TRABAJO DOMICILIARIO 1. En una muestra aleatoria de 500 familias que tienen televisores en la ciudad de Lima, se encuentra que 340 están suscritas a Direct TV. ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra si se quiere tener 95% de confianza de que la estimación de P esté dentro de 0.02? SOLUCION: Se trataran a las 500 familias como una muestra preliminar que proporciona una estimación de p=340/500=0.68 2
n=
(Z ) xPxQ 1.962 x 0.68 x 0.32 = =2090 s2 0.022
>>> Por lo tanto si basamos nuestra estimación de P sobre una muestra aleatoria de tamaño 2090, se puede tener una confianza de 95% de que nuestra proporción muestral no defiera de una proporción real por más de 0.02.
2. De una población de 20000 universitarios se desea obtener una muestra para conocer la estatura promedio. La estimación muestral deberá tener un error máximo de 1 cm., respecto al verdadero promedio, con un nivel de confianza del 95%. Esto es que en 95 de cada 100 intervalos el error no será mayor de 1. Un estudio preliminar nos indica que la desviación estándar será de 5 cm. DATOS: N=20000 universitarios E=1 cm Nivel de confianza 95% Z=1.96 20000(1.96)2 (5)2 N Z2σ2 n= = =95.5 ≈ 95 ( N −1 ) E2 + Z 2 σ 2 ( 19999 ) ( 1 )2+(1.96)2(5)2 >>> Se debe tomar una muestra a 95 universitarios. 3. Se desea estimar la proporción de jóvenes de la ciudad de Lima que hacen uso de Internet como mínimo una hora diaria con un 97% de confianza. De estudios anteriores se conoce que P=0.80 y se desea un E = 5.6%. Suponiendo que N = 1800. ¿Cuál debe ser el tamaño de muestra? DATOS: N=1800 Nivel de confianza=97% Z=2.17 E=0.056 P=0.80 Q=0.20
n=
1800(2.17)2 x 0.80 x 0.20 N Z 2 PQ = =212 ( N −1 ) E2 + Z 2 PQ 1799(0.056)2+(2.17)2 x 0.80 x 0.20
>>> Se debe tomar una muestra de 212.
4. El Director del Departamento de Salud Pública de la Ciudad de Cajamarca desea obtener una muestra de los registros de casos de mordidas de perro, reportadas durante el año anterior, para estimar la edad media de las personas mordidas. El Director desea una muestra con una seguridad del 95%, con un error del 5%. En base a estudios anteriores se conoce que la edad promedio de las personas que son mordidas por perros es de 25 años y la desviación estándar es de 5 años. ¿De qué tamaño debe ser la muestra? DATOS: P=25 años E=1.15 ERROR (E)2=1.56 Z=1.96 (Z)2=3.84 2
σ =5 años , σ =25 años
muestra=n=
Z 2 σ 2 1.962 x 25 = =61.47 ≈ 61 2 2 E 1.25
>>> El tamaño de nuestra muestra debe ser como mínimo de 61 casos de mordidas. 5. A una universidad ingresan 1500 estudiantes el año 2014. Se desea conocer el porcentaje de alumnos fumadores y el promedio de cigarrillos diarios que fuman los alumnos. Como no es posible estudiar a todos los alumnos se decide seleccionar una muestra que permita realizar las estimaciones de las dos características de interés. Las condiciones que se imponen para determinar el tamaño de la muestra. Para el porcentaje de fumadores: Nivel de confianza 95%. Error absoluta o precisión 5%. Para el promedio de cigarrillos: Nivel de confianza 95%. Error absoluto o precisión no superior del 10% del promedio verdadero. Fumadores: N=1500 Nivel de confianza=95% Z=1.96 E=5%=0.05 P=0.50 Q=0.50
n=
( 1.96 )2 x 0.5 x 0.5 x 1500 Z 2 xPxQxN = =305.9≈ 306 E2 x ( N −1 )+ Z 2 xPxQ ( 0.05 )2 x ( 1499 ) + ( 1.96 )2 x 0.5 x 0.5
Se debe de tomar 306 fumadores para la muestra 306 x 100=20,4 Porcentaje de alumnos fumadores: 1500 Cigarrillos: N=1500 Nivel de confianza=95% Z=1.96 E=10%=0.1 P=0.50 Q=0.50 ( 1.96 )2 x 0.5 x 0.5 x 1500 Z 2 xPxQxN n= 2 = =90.3≈ 90 E x ( N −1 )+ Z 2 xPxQ ( 0.1 )2 x ( 1499 ) + ( 1.96 )2 x 0.5 x 0.5 Se debe de tomar 90 para la muestra Promedio de cigarrillos diarios: 3 6. Queremos ajustar una máquina de refrescos de modo que el promedio del líquido dispensado quede dentro de cierto rango. La cantidad de líquido vertido por la máquina sigue una distribución normal con desviación estándar 0.15 decilitros. Deseamos que el valor estimado que se vaya a obtener tenga un error de estimación no mayor a 0.2 decilitros con una confianza del 95%. ¿De qué tamaño debemos escoger la muestra? Datos: s=0.15 decilitros α= 1-0.95= 0.05 Zα/2= Z0.025 = 1.96 s²=0.0225 e=0.2 decilitros SOLUCION z2 σ 2 n= 2 e n=
( 1.96 )2 x ( 0.0225 ) ( 0.2 )2
n=2.1609≈ 2
>>> El tamaño de la muestra que se debe escoger es de 2 decilitros. 7. Una máquina llena cajas con cierto cereal. El supervisor desea conocer con un error de estimación de máximo 0.1 y un nivel de confianza del 90%, una media estimada del peso. Como la varianza era desconocida se procedió a escoger una muestra piloto. Los resultados fueron los siguientes: 11.02, 11.14, 10.78, 11.59, 11.58, 11.19, 11.71, 11.27, 10.93, 10.94. ¿Cuántas cajas debe escoger?
DATOS: Z=1.64 E=0.1 Hallo varianza con los números dados: varianza =0.10136 Ahora hallo desviación estándar: σ =0.318 muestra=n=
Z 2 σ 2 1.64 2 x 0.318 = =85.5 ≈ 85 E2 0.12
>>> Se debe escoger 85 cajas. 8. Un analista desea estimar el sueldo promedio de los trabajadores de una compañía determinada, con un margen de error de 80 y una confianza del 90%. Se estima que la desviación estándar de los salarios no es mayor de 400 soles. ¿Cuál es el número de trabajadores que deben muestrearse, como mínimo, para satisfacer este objetivo de investigación si se conoce que en total son 1200 trabajadores?
σ =400
DATOS: E=80 NC.90%=Z=1.64 N=1200
1200 ( 1.64 )2 ( 400 )2 N Z2σ2 n= = =63.72 ≈ 64 ( N −1 ) E2 + Z 2 σ 2 ( 1199 )( 80 )2 + ( 1.64 )2 ( 400 )2 >>> Número de trabajadores que deben muestrearse es 64.
9. Se desea realizar un estudio del clima laboral en un sector industrial que agrupa a 4000 trabajadores. ¿Qué tamaño de muestra debe considerarse, si el nivel de confianza con el que se va a trabajar es de 95% con un nivel de precisión (error) de 0.05 se tiene información respecto a estudios anteriores en los cuales el 60% opina que el clima laboral de su empresa es bueno? Determinación del tamaño de la muestra: Tenemos: N=4000 P=porcentaje de trabajadores que opinan que el clima laboral es bueno= 60% A un 95% de confianza, el valor Z de la distribución normal estándar es de 1.96 E=0.05 ( 1.96 )2 x 0.60 x 0.40 x 4000 Z 2 xPxQxN n= 2 = E x ( N −1 )+ Z 2 xPxQ ( 0.05 )2 x ( 4000−1 ) + ( 1.96 )2 x 0.60 x 0.40
n=
3687.936 3687.936 = =337.74 ≈ 338 9.9975+ 0.921984 10.919484
10. Supongamos que queremos realizar una evaluación del desempeño en una empresa compuesta por 1250 trabajadores. La empresa no cuenta con recursos disponibles para realizar esta evaluación a todos los trabajadores por lo cual solo considera una muestra representativa ¿ a cuántos trabajadores debemos seleccionar, si consideramos un nivel de confianza del 95% y un nivel de precisión absoluta de 0.07, no se ha realizado estudios anteriores similares y no se han hecho pilotos. DATOS: N=1250 trabajadores E=0.07 Nivel de confianza=95% Z=1.96 P=0.5 Q=0.5 ( 1.96 )2 x 0.5 x 0.5 x 1250 Z 2 xPxQxN n= 2 = =169.5≈ 169 E x ( N −1 )+ Z 2 xPxQ ( 0.07 )2 x ( 1249 ) + ( 1.96 )2 x 0.5 x 0.5 >>> Se debe tomar a 169 trabajadores.