Las temáticas del curso de circuitos I se dividen en 2: 1) Circuitos Resistivos. Fuentes DC Corriente y Voltaje Dependientes Análisis de Circuitos. 2) Circuitos RC, RL, RLC
Análisis DC---Carga Análisis AC---Desfase
Voltaje: Fuerza necesaria para mover un electr贸n de un punto a otro. Se mide en Voltios(V). Mediante la formula de cambio de trabajo con respecto a la carga. dW dq
V
Corriente El茅ctrica: La cantidad de electrones por unidad de tiempo. Se mide en Amperios(A). Mediante la formula que relaciona la cantidad de electrones (carga) con respecto al tiempo. i
dq dt
Resistencia: Oposici贸n al paso de corriente(electrones), se representa con la letra R y se simboliza con la letra griega omega(惟). Se puede encontrar en modo de calor, luz, movimiento y sonido.
Potencia: El trabajo realizado por unidad de tiempo, corresponde al producto entre el voltaje y la corriente. Se expresa en vatios(w).
P
dW dq dq dt
dW dt
Esta ley plantea la relación existente entre Voltaje, Corriente y Resistencia. Plantea que la corriente es proporcional al cociente entre el voltaje y la resistencia total del circuito. Normalmente se encuentra de la siguiente manera: i
V R
V
i R
R
V i
Esta ley es muy usada en el análisis de circuitos eléctricos con excitación DC, aunque para el análisis AC se emplea con similitud pero necesita elementos adicionales para su análisis.
Aquellos en los que los elementos se encuentran dispuestos de tal manera que la corriente sea igual en cada uno de ellos. La resistencia equivalente del circuito se encuentra por medio de la suma algebraica de las mismas.
RT R1 R2 R3
V (t ) V (t )
V (t )
VR1 VR 2 VR 3 i R1
i R2
i R3
i RT
El voltaje se divide, en las resistencias.
Los circuitos en paralelo son aquellos que se encuentran dispuestos de tal manera que el voltaje en cada uno de ellos es igual, y la corriente se divide. Es decir, con un nodo en comĂşn. La resistencia equivalente del circuito se encuentra por medio del inverso de la suma de los inversos.
i (t )
i (t )
V R1
V R2
V R3
1 V( ) RT
i (t )
V (
1 ) RT
ď‚— Ley de Corrientes. (LCK): La suma algebraica de las
corrientes hacia un nodo es cero en todo instante. Se deben tomar en cuenta las direcciones de las corrientes respecto al nodo. Cuando salen del nodo se toma negativo(-), y cuando entra al nodo con positivo(+).
i i R1
R2
0
ď‚— Ley de Voltaje. (LVK): La suma algebraica de los
voltajes alrededor de cualquier trayectoria cerrada en un circuito es cero en todo instante.
v
0
Se debe tomar en cuenta la polaridad de los voltajes, si entra por el (-) es negativo en la ecuaciĂłn, y si entra por el (+) es positivo.
E1 VR1 VR 2 0 E1 VR1 VR 2
Análisis por Mallas. → Análisis por Nodos. →
Divisor de Voltaje. → Divisor de Corriente. → SuperMallas. → SuperNodos. → Transformación de Fuentes. → Thevenin Y Norton. →
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7.
Se aplica LVK, la incógnita es la i(corriente). Identificar mallas del circuito. Asumir sentido de las corrientes, TODAS en el mismo sentido. Por cada malla existe 1ª ecuación. Si no hay fuente de voltaje la ecuación se iguala a 0. Si hay fuente de corriente no hay necesidad de plantear ecuación, ya que la incógnita es la i. Si la corriente entra por el positivo de la fuente será negativa en la igualdad.
i1
i2
Encontramos 2 mallas.
Vg i1R1 R2(i1 i 2) Vg i1( R1 R2) i 2 R2
Vi i 2 R3 R2(i 2 i1) Vi i1R2 i 2( R3 R2)
Observamos que despuĂŠs de plantear las ecuaciones de malla obtenemos un sistema de ecuaciones simultaneas, para resolver estos sistemas existen diferentes mĂŠtodos.
i1
i2
Vg i1( R1 R2) i 2 R2 9 (3 2)i1 2i 2 9 5i1 2i 2
Vi 7
i1R2 i 2( R3 R2) 2i1 (5 2)i 2 7 2i1 7i 2
Uno de los métodos para resolver este tipo de sistemas es la sustitución, en el cual se despeja una de las variables en una ecuación y se reemplaza en a otra. Otro método es el de igualación, en el cual se despejaa la misma variable en ambas ecuaciones y se despeja la variable que queda. Un método muy usado para resolver este tipo de sistemas es el de determinantes, ya que si el sistema posee mas de 3 ecuaciones se volvería tedioso el calculo de las variables.
Para el calcular las variables por medio de determinantes se debe escribir el sistema en forma matricial. El determinante general corresponde al producto de la diagonal principal menos el producto 5 2 9 de la secundaria. 2 7 7
(5 7) ( 2
2)
31
Los otros determinantes se hallan sustituyendo la primera columna por el vector de soluciones. 1
i1
(9 7) ( 2 7) 1
i1
49 31
1
49
i1 1.58 A
2
i2
(5 7) (9 2) 2
i2
17 31
2
i2
17
0.54 A
Si una corriente da negativa quiere decir que el sentido de la corriente es al contrario del supuesto en la malla.
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8. 9.
Se aplica LCK, (ient=isal). La incógnita es V. Identificar los nodos. Convención de signos, sentidos de corrientes y nodo de referencia. Si hay fuente de voltaje no debo hallar ese nodo, ya que la incógnita es V. Obtengo n-1 ecuaciones que por mallas. Por cada nodo hay 1ª ecuación. Fuentes de corriente no se desprecian. La ecuación solo debe contener las corrientes que caen sobre el nodo. Corrientes que salen (–) y las que entran (+).
i3
i1 i2
Existe un solo nodo(Va), ya que en los otros 2 hay fuentes de voltaje, y por lo tanto no debemos plantear ecuaciones. i1
E1 Va R1
i2
Va R2
i3
E 2 Va R3
La ecuaci贸n del nodo Va quedar铆a: i1 i 3 i 2 E1 Va R1
Va R2
E 2 Va R3
i3
i1 i2
i1
E1 Va R1
i1
i3
E1 Va R1
i2
Va R2
i3
E 2 Va R3
i2 Va R2
E 2 Va R3
Sustituyendo los valores quedarĂa, y despejamos Va: 9 Va Va 3 4 Va
7 Va 5
264 5.617V 47
Sabemos que en los circuitos en serie la corriente es la misma en todos los dispositivos, por lo tanto, existe un método de análisis que agiliza el trabajo en circuitos con esa configuración. Podemos hallar la corriente fácilmente con la ley de Ohm, veamos:
VRx iT Rx Vf iT RT Vf VRx Rx RT
VR1 VR1 VR 2 VR 3
iT R1
5 3 1.25V 3 4 5 5 4 1.66V 3 4 5 5 5 2.08V 3 4 5
Antes de emplear el mÊtodo de Divisor de Corriente se debe tener en cuenta el concepto de CONDUCTANCIA, se denota con G y se define como el reciproco de la resistencia, la unidad de medida es el siemens(S) y los mhos( Ί-1). La relación de voltaje y corriente es la inversa de la resistencia ya que son duales. R
G
Voltaje(V)
i*R
i/G
Corriente(i)
V/R
V*G
R
1 G
G
1 R
Sabemos que en los circuitos en paralelo el voltaje es el mismo en todos los dispositivos, por lo tanto, existe un método de análisis que agiliza el trabajo en circuitos con esa configuración. Podemos hallar el voltaje fácilmente con la ley de Ohm, veamos:
VT
if GT
VT G1
2 iR1 0.3 0.192A 0.3 0.2 0.14 T x 2 i R2 0.2 0.128A if 0.3 0.2 0.14 Gx 2 GT iR 3 0.14 0.0896A 0.3 0.2 0.14
iRx V G iRx
iR1
Una supermalla se da cuando hay una fuente de corriente en medio de 2 mallas, el resultado es que de las dos inc贸gnitas solo necesitare una, por lo tanto, solo habr谩 una ecuaci贸n.
ia ib
I1
ib ia I 1
R1 ia R2 ib 0 R1 ia R2 (ia I 1) 0 ( R1 R2) ia R2 I 1 R2 I 1 ib ia ( R1 R 2)
R2 I 1 ( R1 R 2)
ia
I1
ib
ib
ia
Siguiendo el procedimiento anterior:
ia ib
I1
ib ia I 1
5 ia 7 ib 0 5 ia 7 (ia 5) 0 (5 7) ia 7 5 35 ia 12 ia
2.91A
ib
ib
35 12
5
2.08A
Un Supernodo se presenta cuando hay una fuente de voltaje en medio de 2 nodos, el resultado es que los 2 nodos se convierten en uno mas grande que los contiene:
VA VB E1 VA E1 VB AsĂ los nodos A y B se vuelven uno solo. Y se continua el trabajo como un anĂĄlisis de nodos normal.
VA VB
9
VA
9 VB
Planteamos las ecuaciones para el superNodo y el nodo C:
VC VB VA VB Y 2 3 3 5 9 Ahora sustituimos Va, y factorizamos: 87 Vc 9 Vc 6 VB VB 135 3 5 Y resolvemos por cualquier mĂŠtodo: VC
VB
VA
3.21V
VB
12,21V
Vc
18,21V
En la ley de ohm observamos como es la relaci贸n entre el voltaje y la corriente, gracias a esto podemos escribir equivalencias de este tipo:
Vth
ith
Rth
ith
Vth Rth
Estos dos circuitos son equivalentes, hay que tener en cuenta que la resistencia en los dos tiene el mismo valor lo que cambia es el valor de la fuente.
E1
i
1
R2
10mA 1k E1 R1
6V 2k
10V
Los circuitos se pueden escribir de diferentes maneras
y por lo tanto existen circuitos equivalentes como vimos en transformación de fuentes, el teorema de Thevenin plantea que todo circuito se puede llevar a una mínima expresión constituida por una fuente de voltaje en serie con una resistencia y el equivalente Norton de una fuente de corriente y una resistencia en paralelo.
1. 2.
3. 4. 5.
Se quita la carga del sistema. Encuentra el voltaje entre los puntos A y B con el circuito abierto. Este serรก el Vth. Pone en corto Ay B y calcula la corriente. Esta serรก la corriente de Norton. In. La resistencia de Thevenin se calcula como la equivalente del extremo a los puntos A y B. Si la fuente que alimenta el circuito es de Voltaje se pone en corto y si es de corriente se deja como circuito abierto.
El voltaje entre A y B, es el mismo que cae en la R2, una forma de hallar este voltaje es con un divisor de voltaje:
VR 2
E1 R2 RT Rth
9 3 4
43 3 4
7
4
5.14V
Rth
Vth
8.71
Tiene alta ganancia, alta impedancia de entrada y baja
impedancia de salida, por lo general se utiliza para proporcionar cambios en la amplitud y en la polaridad del voltaje, se usa en muchas aplicaciones de calculo analógico, como convertidor V-I y viceversa y otras muchas aplicaciones electrónicas. Para un amplificador de tensión, la ganancia viene determinada por la expresión:
Av
Vo Vi
La mejor aproximación para el diseño de circuitos es suponer que el amplificador operacional es ideal, Para simplificar los cálculos de diseño, deberemos asumir las siguientes características para un amplificador operacional ideal: Ganancia en lazo abierto = ∞ Impedancia de entrada Rd = ∞ Impedancia de salida Ro = 0 Vo = 0 cuando V1 = V2 Podemos resumirlas en 2 sencillas reglas.
1.
Regla 1: Cuando el amplificador operacional trabaja en su zona lineal, las dos entradas presentan la misma tensión (característica de cortocircuito virtual).
2.
Regla 2: No existe circulación de corriente a través de los terminales de entrada al AO.
Analizaremos 2 configuraciones básicas pero no se deben olvidar que existen muchísimas mas.
Una de sus configuraciones es como inversor, resulta sencillo calcular la ganancia de este circuito, ya que, como hemos considerado en la regla 2, por las líneas de entrada al AO no circula corriente, luego la entrada no inversora está a un potencial de 0 V. Por la regla 1, o del cortocircuito virtual, la entrada inversora debe tener también un potencial de 0 V, así que, a efectos prácticos, el terminal inversor está conectado a masa.
Por ley de Kirchoff:
Ii
Ir
Ya que la parte derecha de R2 está a potencial de masa (0 V), y la parte izquierda está a Vi, por la ley de Ohm:
Vi Vo Vo R1 R2 R1 Vi R2 Como vemos el circuito invierte la señal de entrada y la ganancia es el cociente entre R1 y R2. Vo
R1 Vi R2
El segundo circuito es el circuito no inversor por la regla 1 tenemos Vi en las dos entradas.
Por la regla 2, Ir debe circular a travĂŠs de R2 hacia tierra ya que el AO no puede absorber corriente. Por divisor de Voltaje: R 2Vo Vo R1 R 2 R1 Vi 1 R1 R 2 Vi R2 R2 Por lo tanto, la ganancia serĂĄ positiva y siempre mayor o igual a 1.
Hemos trabajad0 diferentes métodos de análisis en circuitos netamente resistivos ahora comenzaremos a trabajar 2 nuevos dispositivos, que son pasivos pero que tienen una característica que los diferencia de las resistencias: Almacenan energía.
Uno de ellos es el condensador que almacena energía en forma de campo eléctrico, y el otro elemento es el inductor o bobina, el cual almacena energía en forma de campo magnético.
Los condensadores consisten en un par de superficies conductoras, generalmente en forma de laminas, separadas por un material dielĂŠctrico(aislante). Almacenan energĂa en forma de campo elĂŠctrico.
La carga almacenada en una de las placas es proporcional a la diferencia de potencial entre esta placa y la otra, siendo la constante de proporcionalidad la llamada capacitancia.
El funcionamiento del condensador es bĂĄsicamente:
En el sistema internacional se mide en Faradios (F), comĂşnmente se encuentran valores entre los microfaradios y los picofaradios. Y se simboliza:
Recordemos del inicio del curso la definici贸n de corriente
Si sustituimos la carga de condensador en la definici贸n corriente obtenemos:
un de
Ahora sacamos la C como constante obtenemos que la corriente en el condensador es:
Y si despejamos el voltaje obtenemos el voltaje en el condensador obtenemos:
ď‚—
Ya tenemos el voltaje en la bobina ahora despejaremos la corriente:
Son circuitos que contienen solamente un componente que almacena energía (puede ser un capacitor o inductor), y que además pueden describirse usando solamente una ecuación diferencial de primer orden. Los dos posibles tipos de circuitos primer orden: Circuito RC (Resistor y Capacitor). Circuito RL (Resistor e Inductor).
Constan de resistencia y condensador.
Mallas V (t )
i R
1 C
i dt
Nodos V ( t ) Va R
dVa C dt
0
Constan de resistencia y bobina.
Mallas V (t )
i R
di L dt V ( t ) Va R
Nodos 1 Va dt L
0
La respuesta natural de un sistema es aquella que se obtiene al evaluarlo sin excitación, en el caso de un circuito eléctrico corresponde al análisis sin fuente también se le conoce como trasciente, es decir se analiza con fuente igual a 0. Esta se puede hallar mediante muchos métodos, aquí abordaremos las variables separables y el operador diferencial.
El método de variables separables consiste en ordenar
la ecuación de tal forma que la parte diferencial quede a un lado de la igualdad y las constantes al otro. Luego se integran ambos lados de la igualdad para
quitar la derivada y así obtener el resultado. Se deben tener en cuenta las condiciones iníciales del sistema, normalmente las C. Iníciales son =0.
Por ejemplo al analizar un circuito RC por nodos observamos: V ( t ) Va dVa C R R dt Sabemos que para la respuesta natural la excitaciĂłn del sistema es 0, por lo tanto levando a cabo los pasos anteriores obtenemos.
Va R
dVa C dt
dt RC k
ď Ź
dVa Va t RC
Va
dt RC
dVa Va
t RC
ln Va
k
Esta es la respuesta del sistema, y siempre tendrĂĄ la misma forma.
ď‚— Consiste en reemplazar las derivadas o las integrales
por un operador, en este caso llamado p, es decir:
d 1 1 p dt p dt p d2 1 2 2 p dtdt p 2 dt p2 Para este mĂŠtodo se debe recordar que la respuesta natural para un sistema de primer orden es: k
ď Ź
pt
R.Natural
Si tomamos el circuito analizado por variables separables y lo analizamos mediante el mĂŠtodo de operador diferencial obtenemos:
Va dVa C R dt Si factorizamos Va: 0
Va pC
Va R
C p Va
1 R
Vemos que Va no puede ser 0, por tanto, lo que es cero es lo que esta en el parĂŠntesis :
1 1 p 0 pC RC R Si reemplazamos en la formula de respuesta natural obtenemos: t Va k ď Ź RC
Si
ahora tomamos un observamos: Va 1 Va dt 0 R L Si factorizamos Va:
0
Va
1 R
circuito
Va R
RL
por nodos,
1 Va L p
0
1 pL
Vemos que Va no puede ser 0, por tanto, lo que es cero es lo que esta en el parĂŠntesis :
0
1 R
1 pL Va
p
k
ď Ź
R t L
R L
La respuesta forzada de un sistema es aquella que se
obtiene al evaluarlo con excitación, en el caso de un circuito eléctrico corresponde al análisis con fuente también se le conoce como estado continuo. Al igual que la trasciente existen muchos métodos de solución, se puede evaluar los condensadores como circuito abierto y las inductancias como cortocircuitos únicamente cuando se trabaja en DC, cuando se trabaja en AC se usan los coeficientes indeterminados o el factor integrante.
Cuando se trabaja en DC el comportamiento de estos elementos hace mas sencillo el maniobrar con ellos. Como dijimos anteriormente las inductancias se vuelven Cortocircuitos y los condensadores circuitos Abiertos.
Vm
if R Vm iF
dif L dt
if R Vm R
Vm
Vm
Vm
Vm
1 V ( t ) if R if dt C Al abrirse el circuito el flujo de corriente se detiene por lo tanto no existe ninguna corriente entre los terminales, por lo cual la respuesta forzada de este sistema es: iF 0
También llamado método de conjetura o intuitivo, sirve tanto en AC como en DC, y se deben tener en cuenta 2 tips. 1.
¿Qué tipo de entrada existe?
2.
“De tal palo tal astilla” ó “Hijo de tigre sale pinta’o”.
1.
¿Qué tipo de entrada existe? Aquí debemos tener en cuenta que si mi entrada es DC, mi salida debe ser DC, o si es AC debe ser AC. Si queremos hallar la corriente del sistema, hacemos mallas: Vm
Vm
i R Vm R
di L dt i
in out
DC DC
Vm P
Por intuición sabemos que la i es DC por tanto es una constante, y la derivada de una constante es =0.
2.
“De tal palo tal astilla” ó “Hijo de tigre sale pinta’o”. Nuevamente tener en cuenta que si la entrada es de un tipo la salida debe ser de la misma, y si entra de una familia la salida debe diferir en una constante, es decir la familia se debe mantener. 2t 2t d ( ke ) 2t in AC 5e 2 ke dt in out AC ke 2t
Planteamos la malla: 5e 2t (ke 2t ) R1 2t
5e
5 5 (
R1 L1)
ke 2t ) ( R1 k ( R1 L1) (
k
L1 L1) out
d (ke dt 5
i (
R1 L1)
2t
)
e
2t
Como su nombre lo indica es la respuesta total del sistema y se consigue mediante la suma de la respuesta natural y la forzada. Veamos que en el circuito RC, la respuesta forzada es igual a 0, por lo tanto, la respuesta completa es igual que la natural. AquĂ debemos tener en cuenta las condiciones inĂciales de los elementos, no es lo mismo trabajar con un condensador descargado que con uno que si lo este.
0
Usualmente, las C.I.= , no olvidemos que solo usualmente es 0, no siempre.