I.E.S. “LAS FUENTEZUELAS”
Fecha: 17/05/2014
Nombre y apellidos:
NOTA
DEPARTAMENTO MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO C
1. El tiempo en minutos dedicado cada día a escuchar música por los estudiantes de secundaria se supone que es variable aleatoria Normal de desviación típica de 15 minutos. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 estudiantes para la que la media muestral es de 66 minutos. a. (1 punto) Explica porqué puede determinarse un intervalo de confianza para el tiempo
medio diario dedicado a escuchar música por los
estudiantes. b. (1.5 puntos) Determina un intervalo de confianza al 97,5%. SOLUCIÓN a. Porque aunque n<30 la distribución de la población es Normal. b. Como 1-α = 0.975, α/2 = 0,0125, P(z<z α/2) =0.9875, zα/2 = 2.24. El intervalo de confianza es: (
- zα/2 · σ/
,
(66 - 2.24 ·15/
+ zα/2 · σ/
)
, 66 + 2.24 ·15/
)
(55.37 , 76.63) Contendrá a la media poblacional con una confianza del 97.5%. 2. Con un nivel de confianza del 95%, a partir de un estudio muestral, el intervalo de confianza de la proporción de habitantes de una comunidad que tiene ordenador portátil es: (0,1804 ; 0,2196) a. (1 punto) ¿Cuál es el tamaño de la muestra? b. (0.75 puntos) ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra para que con el mismo nivel de confianza cometamos un error máximo de 0.01? c. (0.75 puntos) ¿Cuál será el nivel de confianza si para una muestra de 2000 habitantes queremos que el error máximo sea de 0.02? SOLUCIÓN
a.
, E= 0,2196-0.2=0.0196
Si el nivel de confianza es 0.95
, zα/2 = 1,96.
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Fecha: 17/05/2014
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DEPARTAMENTO MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO C
Se toman n=1600. b. Si E=0.01. n=6146,56, c.
zα/2
= E·
Se debe tomar una muestra de 6147 individuos.
=0.02·
=2.24. P(z<2.24)=0.9875 = 1- α/2.
α/2 = 1 - 0,9875 = 0.0125, α = 0.025. Por tanto el nivel de confianza es de 0.975. 3. Se quiere contrastar el tiempo medio en minutos para realizar una prueba. Se ha tomado una muestra de 50 personas y se ha obtenido una media de 48 minutos con una desviación típica de 6 minutos. Se quiere contrastar con un nivel de significación del 5% que la duración de la prueba es de 45 minutos: a. (0.5 puntos) Enuncia la hipótesis nula y la alternativa. b. (0.5 puntos) Obtén y representa la región de aceptación y la crítica. c. (1.5 puntos) Concluye si es aceptable o no la hipótesis nula y que significa tu decisión. SOLUCIÓN
a. H0: μ=45 H1: μ45
b. Región de aceptación: (-1,96 ; 1,96)
c.
=
=3,54
La Hipótesis 0 no es aceptable porque: 3,54 (-1,96; 1,96) Esto quiere decir que el intervalo no contendrá a la media poblacional con una significación del 5%.
4. Se afirma que la proporción de personas que contratan un determinado servicio telefónico es, como mínimo del 23%. Sin embargo la compañía telefónica sospecha que actualmente dicha proporción ha variado. Para comprobarlo hace
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Fecha: 17/05/2014
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una encuesta a 500 clientes potenciales de entre los que solo 98 piensan contratar dicho servicio. a. (0.75 puntos) Con un nivel de significación del 5%, determina si es aceptable la afirmación inicial. b. (0.75 puntos) ¿Y con un nivel de significación del 2%? c. (1 punto) ¿Qué tipo de error podría cometerse en cada caso? SOLUCIÓN
a. Se enuncian las hipótesis: H0: p 0.23 H1: p < 0.23. Región de aceptación: P(z>zα ) = 0.95 (-1,645 ;+) Estadístico de contraste:
=
pr =
=
=0,196 -1,81
Conclusión: Como -1.81 (-1645,+), se rechaza la hipótesis nula. b. Todo igual pero ahora la región de aceptación es: P(z> zα ) = 0.98, (-2,05 , +), por lo tanto se acepta la H0 porque:
-1.81 (-2,05 ;+). c. En el caso a. podría cometerse un error tipo I porque se rechaza y podría ser correcta. En el caso b. podría cometerse error tipo II porque se acepta y podría ser falsa.