2º BACHILLERATO CCSS TEMA 7 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Pacoorti©2013
CONTENIDOS Recta tangente a una curva en uno de sus puntos. Primera derivada. Crecimiento y extremos. Segunda derivada. Curvatura. Criterios para detectar extremos. Problemas de optimizaci贸n.
Recta tangente a una curva en un punto. Si f(x) es derivable en x0. La ecuaci贸n de la recta tangente en x0 es: y= f(x0) + f ' (x0) (x- x0)
INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA 1ª DERIVADA
Crecimiento y decrecimiento de funciones. Si f(x) es derivable: Es creciente en x0: f ' (x0) 0. Es decreciente en x0: f ' (x0) 0.
INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA 1ª DERIVADA
Recíprocamente.
Si f ' (x0) > 0: f(x) es creciente en x0. Si f ' (x0) < 0: f(x) es decreciente en x0.
INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA 1ª DERIVADA
Máximos y mínimos relativos. Si f (x) tiene un máximo o un mínimo en x0: f ' (x0) = 0
INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA 1ª DERIVADA
Máximos y mínimos relativos. Puntos de derivada nula, f ' (x0) = 0 :
MÍNIMO
MÁXIMO
PUNTO DE INFLEXIÓN
INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA 1ª DERIVADA
Máximos y mínimos relativos. IDENTIFICACIÓN: MÍNIMO
MÁXIMO
PUNTO DE INFLEXIÓN
Si f ' (x) pasa de: negativa a positiva
Si f ' (x) pasa de: positiva a negativa
Si f ' (x): No modifica el signo.
INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA 2ª DERIVADA
Concavidad, convexidad y puntos de inflexión: CÓNVEXA
CÓNCAVA
PUNTO DE INFLEXIÓN
Tangentes por debajo.
Tangentes por encima.
Cambio de cv a cc o viceversa.
INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA 2ª DERIVADA
Concavidad, convexidad y puntos de inflexión: CÓNVEXA
Si f ' (x) CRECE: Si f ' ' (x) > 0
CÓNCAVA
Si f ' (x) DECRECE: Si f ' ' (x) > 0
PUNTO DE INFLEXIÓN
Si f ' (x) cambia: f ' ' (x) = 0.
INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA 2ª DERIVADA
Criterio para determinar máximos y mínimos: MÍNIMO
Si f ' (x) = 0 y f ' ' (x) > 0
MÁXIMO
Si f ' (x) = 0 y f ' ' (x) < 0
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
En los problemas de optimización hay que encontrar los máximos absolutos de una función en un intervalo cerrado [a,b]. Posibilidades:
Dentro del intervalo, o sea donde f’(x)=0
En los extremos del intervalo.
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Una fábrica tiene una pared en forma de triángulo isósceles de 8 m. de base y 5 m. de altura. Se quiere construir una estantería con forma rectangular en dicha pared que tenga área máxima. ¿Qué dimensiones tendrá?
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Usando los datos del problema se ENCUENTRA la función que hay que optimizar.
f(x,y)=2xy x [0,4]
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Si tiene varias variables se relacionan entre si. y 5 20-5x 5 = ; y= ;y=5- x 4-x 4 4 4
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Se sustituye en la función para tener una sola variable. 5 5 f(x) = 2x 5 - x ÷ = 10x - x2 4 2
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Los extremos de la función son o bien cuando f ' (x) = 0 ó en los extremos del dominio. 5 2 x ; f′(x) = 10 - 5x 2 10 - 5x=0 ⇒ x=2 f(x) = 10x -
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Los extremos de la función son o bien cuando f ' (x) = 0 ó en los extremos del dominio. f ( 2 ) = 10 ; f ( 0 ) =0 ; f(4)= 0.
– La solución es que ha de hacerse a 2 m del Centro y el área será de 10 m2