Teoría de elasticidad 1) Elasticidad 1.1) Elasticidad lineal 1.1.1) Tensión 1.1.2) Deformación 1.1.3) Ecuaciones constitutivas de Lamé-Hooke 1.1.4) Ecuaciones de equilibrio 1.1.4.1) Equilibrio interno 1.1.4.2) Equilibrio en el contorno 1.1.5) Problema elástico 1.1.6) Elasticidad y diseño mecánico 1.2) Elasticidad no lineal 1.2.1) Deformación 1.2.2) Ecuaciones constitutivas 1.2.3) Aproximación hasta segundo orden
Ley de Hooke
Conforme el resorte está estirado (o comprimido) cada vez más, la fuerza de restauración del resorte se hace más grande y es necesario aplicar una fuerza mayor. Se encuentra que la fuerza aplicada F es directamente proporcional al desplazamiento o al cambio de longitud del resorte.
Toda fuerza aplicada a un sistema masa-resorte es igual al opuesto de la constante elástica del resorte por el desplazamiento desde su punto de equilibrio. Formulando esto, nos queda que: F=-k. x x
Hooke también nos dice que al aplicarle una fuerza a un resorte, el resorte aplica la misma fuerza pero en sentido contrario. El signo menos indica que la fuerza del resorte está en la dirección opuesta al desplazamiento si el resorte se estira o se comprime.
Ejercicios: 1) Una masa de 0,30 Kg está suspendida de un resorte vertical y desciende a una distancia de 4,6 cm después de la cual cuelga en reposo. Luego se suspende una masa adicional de 0,50 Kg de la primera. ¿Cuál es la extensión total del resorte? Datos:
Grafico
m1= 0,30 Kg m2= 0,50 Kg X1= 4, 6 cm = 0,046 m g = 9, 8 m/seg2
Incognita: X =? (Longitud de alargamiento total)
Solución: La distancia de alargamiento o estiramiento total está dada por F = k. X Donde F es la fuerza aplicada, en este caso el peso de la masa suspendida sobre el resorte F1 = m1. g = kX1 K= m1. g / x1= (0,30 kg) (9,8 m/seg2)/0,046m k = 63, 9 New / m
Conociendo k, la extensión total del resorte se encuentra a partir de la situación de la fuerza equilibrada: F = (m1 + m2).g = k. X
Así: X= (m1 + m2). g/ k X = (0, 30 kg + 0, 50 Kg) . 9, 8 m / seg2 / 63, 9 New / m
X = 0, 12 m = 12 cm.
2) Si un resorte se le cuelga un peso de 500 g y se deformo 20cm. ¿Cuál será el valor de su constante? Datos:
Grafico
M= 500g =.50 kg X=20cm =.20m G= 9.8 (m /s)
Incógnitas: K =?
Solución: F=mg F= (50 kg) (9.8 m/s) F=4.9 N F=k. x K=F/X K= (4.9 N)/ (20 m) =
24.5 N/m
Mรณdulo de elasticidad
Un mรณdulo elรกstico es un tipo de constante elรกstica que relaciona una medida relacionada con la tensiรณn y una medida relacionada con la deformaciรณn.
Los materiales
Los materiales
elรกsticos isรณtropos
ortรณtropos o
quedan caracterizados
anisรณtropos
por un mรณdulo elรกstico
requieren un nรบmero
y un coeficiente
de constantes
elรกstico (o razรณn entre
elรกsticas mayor.
dos deformaciones).
Mรณdulo de Young: estรก asociado directamente con los cambios de longitud que experimenta un cable, un alambre, una varilla, etc. cuando estรก sometido a la acciรณn de tensiones de tracciรณn o de compresiรณn. Por esa razรณn se le llama tambiรฉn mรณdulo elรกstico longitudinal.
Módulo de compresibilidad: está asociado con los cambios de volumen que experimenta un material bajo
la acción de
esfuerzos (generalmente
compresores) que actúan perpendicularmente a su superficie. No implica cambio de forma, tan solo de volumen. Módulo elástico transversal: está asociado con el cambio de forma que experimenta un material bajo la acción de esfuerzos cortantes. No implica cambios de volumen, tan solo de forma. También se le llama módulo elástico tangencial y módulo elástico cortante
Mรณdulo de Young
El mรณdulo de Young o mรณdulo de elasticidad longitudinal es un parรกmetro que caracteriza el comportamiento de un material elรกstico, segรบn la direcciรณn en la que se aplica una fuerza.
Para un material elรกstico lineal el mรณdulo de elasticidad longitudinal es una constante, su valor se define como el cociente entre la tensiรณn y la deformaciรณn que aparecen en una barra recta estirada o comprimida:
E = o/ t Dรณnde: E: es el mรณdulo de elasticidad longitudinal. O: es la presiรณn ejercida sobre el รกrea de secciรณn transversal del objeto. t: es la deformaciรณn unitaria en cualquier punto de la barra.
La posibilidad mรกs comรบn para hacer esto es definir el mรณdulo de elasticidad secante medio, como el incremento de esfuerzo aplicado a un material y el cambio correspondiente a la deformaciรณn unitaria que experimenta en la direcciรณn de aplicaciรณn del esfuerzo: Variaciรณn del esfuerzo aplicado
Modulo elasticidad
Variaciรณn de la deformaciรณn
secante
unitaria
Ejercicios: 1) ¿Si la barra de metal se reduce en 0.00003 metros, encuentra el módulo de Young? Datos: Δl = 3 .0 x 10⁵ m m = 500 kg d = 5cm = 0.05 m l = 1.4 m.
Incógnitas: Y=? Solución: Primero calculamos una fuerza p=m*g p = (500 kg) (9.8 m/s²) = 4900 N
Después calculamos el valor del área a = π * d² / 4 a = π (0.05m)²/4 a = 1.96 x 10¯³ m²
Y finalmente calculamos el módulo de Young F*l Y = ---------. a * Δl
4900n * 1.4m Y = -----------------------------------. 1.96 x 10¯³ m² * 3 .0 x 10⁵ m
Y = 116 666 Mpa//
Grafico
2) ¿Cuál es la sección Transversal de una barra de Aluminio de 0.87m de longitud si al aplicarle una fuerza de 75 N se deforma 1.2 cm considerar que el Modulo de Young del aluminio es 7x10 (10) N/m2?
Datos:
Grafico
L= 0.87 F= 75 N X= 1.2 cm Y= 7x10 (10) N/m2
Incógnitas: Sección transversal=?
Solución: Y = [F / (sección transversal)] / (x / L) Despejando la sección transversal: (sección transversal) = [F. L] / (Y. x) (sección transversal) = [(75 N) (0.87 metros)] / ((7x10^10) N/m^2) (0.012 metros)) (sección transversal) = 7.767*10^-8 metro^2
Mรณdulo de corte
El mรณdulo de corte mide la resistencia de un material a la deformaciรณn de corte. Se calcula mediante la siguiente expresiรณn
S= esfuerzo de corte/ deformaciรณn de corte S= (F/A) / ( x/h)
Ejercicio: 1) Una fuerza de corte de 2600N se distribuye de manera uniforme sobre la sección transversal de una barra de 1.3 cm de diámetro, ¿cuál es el esfuerzo cortante? Datos F= 2600 N D= 1.3 cm
Incógnitas Esfuerzo cortante =?
Solución τ = F/A = F / (π r²) = F / (π d²/4) = 4 F / (π d²) Donde τ es la letra griega "tau", usada para tensión de corte. τ = 4. 2600N / (3,1416. 0,013² m²) = 19588255 Pa τ ≈ 19,6 MPa // son aproximadamente 200 kg-fuerza/cm²
Grafico
Modulo volumétrico
El módulo de compresibilidad (K) de un material mide su resistencia a la compresión uniforme y, por tanto, indica el aumento de presión requerido para causar una disminución unitaria de volumen dada.
El módulo de compresibilidad K se define según la ecuación: K= -V
p
P es la presión,
p cambios de presión
V es el volumen,
V cambios de volumen
V
El módulo de compresibilidad tiene dimensiones de presión, por lo que se expresa en pascales (Pa) en el Sistema Internacional.
Ejercicios: 1 Dos alambres del mismo material e igual longitud, tienen diámetros diferentes que guardan una relación n. ¿Qué diferencia de alargamientos tendrán bajo la misma carga? Datos
Grafico
El alargamiento del alambre de diámetro es:
El alargamiento del alambre de diámetro n d es:
Luego, la diferencia de alargamiento es: ) 2 Un ascensor es suspendido por un cable de acero. Posteriormente este cable es reemplazado por dos cables de acero, cada uno con la misma longitud que el original pero con la mitad de su diámetro. Compare el alargamiento de estos cables con el cable original.
Solución El alargamiento del cable es:
Cuando se ponen dos cables se tiene que: F’ =
d’ =
El alargamiento será:
Luego, el alargamiento se duplica:
2) U n l í q u i d o c o m p r i m i d o e n u n c i l i n d r o o c u p a u n v o l u m e n d e 1 0 0 0 c m 3 c u a n d o l a p r e s i ó n e s d e 1 M n / m 2, y u n v o l u m e n d e 9 9 5 c m 3, cuando la presión es de 2Mn/m2 ¿ c u á n t o m i d e s u m ó d u l o de elasticidad volumétrica? Datos
Grafica
Vt = 1000 cm3; V2 = 995 cm3 Pt = 1MN/m2; P2 = 2MN/m2
Incognita K=?
Solución E= -
p/ (delta V/ V) p= p2 – p1 = 1NM / 2 elevado
v= V2 – V1 = -5 (3 elevado) Reemplazando en E E= -1/ (-5/ 1000) E= -1000 (1/-5) E= 200 NM/2
Fuentes de consulta: http://www.rena.edu.ve/cuartaEtapa/fisica/tema12b.html https://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20120415152101AAUQhBu http://www.buenastareas.com/ensayos/Problemas-Ley-De-Hooke/384022.html http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_el%C3%A1stico http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_Young http://fisicadecarlos.blogspot.com/2010/05/problema-del-modulo-de-young.html http://galia.fc.uaslp.mx/~medellin/Applets/Corte/Corte.htm https://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20111214185854AAOe2Nf http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_compresibilidad http://es.scribd.com/doc/61580374/EJERCICIOS-RESUELTOS-PS