COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to. Año Secundaria negativa del electrón es -1,60.10 −19
I
♦ ♦
Mediante ejercicios reconoce y aplica las leyes exponenciales que rigen en la potenciación de monomios. Mediante leyes reconoce las clases de exponentes en la radicación de monomios. Relacione las leyes exponenciales de la potenciación y radicación de monomios en la resolución de ejercicios. El estudiante adquiere habilidad operativa y reduce expresiones garantizando su correcta definición y procedimientos.
INTRODUCCIÓN: Veamos la necesidad e importancia de este capítulo a través de algunos ejemplos. Los números 10, 100, 1000, etc. juegan un papel muy importante en la notación decimal y se llaman potencias de 10. Un modo conveniente de indicar estas potencias es mediante el uso de exponentes:
10
1
=10
10
2
=10 x 10 =100
10 3 =10 x 10 x 10 =1000
(602 seguido de 21 ceros). IV. El radio del núcleo del urano -235 es °, siendo cada aproximadamente 7,0.10–5 A −8 cm. °= A
5
quinta potencia”. El numeral 5 en 10 5 se llama exponente. La mayor utilidad de estas formas exponenciales está en el trabajo científico, debido a la necesidad de simplificar los cálculos con números muy grandes o números pequeños. Citamos los siguientes ejemplos: La estrella más cercana, alfa Centauri, está a 25.000.000.000.000 millas de la tierra que puede simplificarse diciendo Alfa Centauri está a 25. 12 millas de la tierra.
10
Para finalizar, planteamos el siguiente problema de astronomía. Se acostumbra describir las distancias entre las estrellas mediante unidades llamadas años luz. Por definición, un año luz es la distancia que recorre la luz en un año (365 días). Si la luz viaja con una velocidad 5 km/s. aproximadamente ¿Cuántos km hay de 3,1.
p
(2 p + 3 q − 7 ) veces
EXPONENTE NATURAL Es el exponente entero y positivo que nos indica el número de veces que se repite una expresión como factor. Ejemplos :
5 6 = 5 . 5 . ...... . 5 6 veces
x x x − − ... − y y y
72
3 3 3 xy . xy ... xy = xy
(
4 n −1
; 4n -
4 n −1 veces
4.
= 4 y y y .4
x
... 4
43 veces
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
x
y
x
43
)
16
3
−8 +2
= (4 − 4 ) −2 +2 = 0 0
→
EXPONENTE NEGATIVO Nos indica que la base diferente de cero se invierte (inverso multiplicativo).
"n " veces
a
−1
1
=
;
a
∀a ∈ R −{0 }
TEOREMA
)(
) (
xy xy ... xy
) ≠(
No tiene sentido ya que ( número natural.
xy
)
7 + 2
a −n =
7 +
1 a
∀a ≠ 0 ∧ n ∈ N
n
2 ) no es un Ejemplos:
N es el conjunto de los números naturales. R es el conjunto de los números reales. EXPONENTE CERO Todo número diferente de cero elevado al exponente cero es la unidad. a
1∈N
x
a ; Si : n = 1 a . a ...... a Si n ∈ N ; n ≥ 2
( 2. (π +
0
= 1
;
∀ a ∈ R
(
3. x
2 2 2
)0
1 3
2
−3 = b) ( − 4 )
1 8
−2
=
1 9 1
(−4 )
)0
3
=
1 − 64
=−
1 64
= 8 2 = 64 3
5
=1
NOTA: −n
=1
+ 15
)
0
0
=1
(− 425 ) = 1 4. Observació n 0 − 425 = − 1 S4AL31B
=
1
+y
0
∧ a ≠ 0
−2
d) 5 − 2 −3 = 1 2
1. − 4 +
2
a) 3
c)
Ejemplos:
3
4
(4 −
NOTA:
x = − y
72 veces
es indeterminado
Ejemplo:
( 7 + 2 ) veces
DEFINICIONES PREVIAS
3.
00
dicha
n a =
10
2.
NOTA:
;
expresión no está definida
en un año luz?
II. Entre los años 1908-1917, el físico norteamericano Robert Andrews Millikan dedujo que la carga S4AL31B
p p p
En general :
Vemos la gran utilidad de esta forma exponencial en el trabajo científico.
1. =10 x 10 x 10 x 10 x 10 =100000
y así sucesivamente; leemos 10 5 como “diez a la
I.
3 3 3 3 2 p + 3 q − 7 x ... x = x
(2p + 3q - 7) ∈ N
10
10 4 =10 x 10 x 10 x 10 =10000 10
5.
x
4to. Año Secundaria
10
OBJETIVOS:
♦
III. En la teoría molecular de la materia, Amadeo Avogadro determina una constante llamándola el 23 número de Avogadro, cuyo valor es 6,02.
LEYES ♦
C, del
mismo modo su masa es 9,11.10 −28 g.
ÁLGEBRA
18
17
no esta definido en (n ∈ N)
EXPONENTE FRACCIONARIO El exponente fraccionario se expresa como los radicales, donde el denominador de dicho exponente representa el índice del radical.
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN m
a n
n
n
am
=
=
m
a
4to. Año Secundaria
; ∀n ∈N ∧n ≥2
3. ¿
POTENCIACIÓN
43 / 2 =
43 =
64 = 8
10 2. 8 10 / 3 = 3 8 10 = 3 8 = 2 10 = 1024
3. 81 3 / 4 = 4 81 3 = 4 81 4.
Calcular : 4 −2
3
4 5.
; a
∈ R
;
n ∈ N
;
1 = 2 = 4
1 4
=
1
x m .x n = x m +n
2
27
→
1 ; x ∈R
x
Resolución: Es equivalente a :
27 9
→
Se reduce de dos en dos de arriba hacia abajo, como sigue :
1 2
2
1 16
1 9
1/2
* *
4
1/4
=
− x . x ... x
x
m
.x
n
=
x . x ... x
. x . x ... x
2.
n veces
=x
(
1 9
=
→
NOTA:
=x
1 . 2 . 3 .... 50
3
n(n + 1) 2
)−14
− 13
15 14
.....
∀x ≠ 0
=x
x.x .x ..... x
n
=x
(
4.
a n c b
7
xy x
8 16
4
=x
=
( x )16 (y 7 )16 (z8 )16
( )
4 a n 4 = c b
50 !
TEOREMA
(x a .y b )n
Ejemplos:
(
15 (− 14 )...(15 ) =x −
= x0 = 1
1. x 5 . y 4 2.
4
= x a . n y b. n
)7 = (x 5 )7 (y 4 )7 = x 35 y 28
(x 4 a 3 c 2 )2 = x 4.2 .a 3.2 .c 2.2 = x 8 a 6 c 4
NOTA: (-15) (-14) ... (-1)(0)(1) ...(15) = 0
2
TEOREMA
a
m
a
n
= a m −n
5
; m, n ∈ N ∧ m ≥ n a ∈ R - {0}
TEOREMA
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
=x
27
)
3.
1 .2.3.....50 = 50! Se llama factorial de 50
n (n +1) 2
Ejemplos:
50
)
4 ... x 2 3 ...
(
1 3
n veces
2. 2 3 3 3 = (2 . 3) 3 = 6 3 = 216
= x m .n
− 15 ... x
Pero : 1 + 2 + 3 + ..... + n =
veces
3.
Ejemplos:
1 1 =4 = 16 2
; a , b ∈R ∧ n ∈ N
1. (x. y) 5 = x 5 . y 5
n veces
m +n
(m + n ) veces
x.x .x ..... x
Finalmente : 27 1 / 3 = 3 27 = 3
S4AL31B
n veces
Ejemplos:
1. a 5 .a 6 .a 7 = a 5 + 6 + 7 = a 18 2 3 n 1 + 2 + 3 +...... + n 2.
1
=
.x
m veces
2 1 1 2 1 16
*
(x m )n
m +m+ ... + m
(x ) (x 3 )5 = x 3.4 .x 3.5 = x 12 .x 15
Demostración: n
n
= (a .b ) n = a n .b n
1.
m
b
a .a .a ... a . b . b .... b = n
3 4
−2 −2
n
n veces
; x ∈ R ∧ m, n ∈ N
(x m ) n = x m .x m .x m ... xm = x
Reducir : 9 −16
=a
( a . b ) n = (ab)(ab)(ab )......( ab )
2
p ∈ R
Donde : a : base n : exponente natural p : potencia TEOREMA
n
Demostración:
Demostración:
1
−1
n
−1
Resolución: Usando las definiciones de exponente negativo y fraccionario, se tiene : −2
= a
(a . b)
?
TEOREMA
(x m ) n = x m .n
Identidad fundamental P
x 2 +1 = x . x ... x
¿Por qué? ................................................................
DEFINICIÓN: Es una operación matemática que consiste en hallar una expresión llamada potencia, partiendo de otras dos llamadas base y exponente respectivamente.
= 3 3 = 27
4to. Año Secundaria
( 2 +1) veces
Ejemplos: 1.
ÁLGEBRA
18
17
S4AL31B
3
Demostración:
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a
m
a
n
=
a
(m − n ) + n
a
=
n
a
m−n
a
.a
n
n
=a
m −n
Ejemplos:
2 20
1.
2 a
2.
a
16
4to. Año Secundaria
DEFINICIÓN: Dados un número real “a” y un número natural n mayor que 1, “b” se llama raíz n-ésima principal de a y se denota por b = n a sí y solo sí b n = a , donde a,b ∈R ∧ n ∈ N - {1} bajo la condición de que si n es par, +
=2
20 − 16
=2
4
entonces a,b ∈ R 0 .
= 16
− 8 = −2 (única en R)
n
=
a
n
b
n
; b≠0 1.
b
= x
;
n ∈ N
;
4
16
3
16
81
4
=
16
−3
3. ¿ TEOREMAS DE RADICACIÓN
2
3
=
−2
2
∀ a.b≠0
n
=
2 30 2. − 20 2
( ) ( )
2 x a 3. b3 y
α n
(a )
β n
(b )
2
=
−2
=
2
=
60
2 − 40
a b
αn
3
4
5
2
=
5
7
7
3.
7 .4
2 .
3 . 28 2 .
7 .4 . 5
140
5
5
Regla Práctica
3
I.
=
−2
?
n
m
xα
xβ
p
n .m .p
xγ
=
m+ β )p + γ x (α
(x + x + x + .......)
a .b =
n
a .
n
1 b
TEOREMA en
R
m n
=2
(a ) (b 3 y ) − 2 2x − 2
=
1.
a . m, n ∈ R
2.
Si : m . n es par → a ≥ 0
3.
4
3
5
x1
x
3
5
x2
x5
x 3
3
=
=
x5
4
32 =
a −4 x b
−6y
=
b6y a
4x
2.
3
3. ¿
5
a .b
4 .3
3 .2
x 1 . 3 +5 =
x
x1
5 . 2 +3
=
=
5 .3 .4
12
6
x
x8 13
x (2 . 3 +5 )4 +1
= 60 x 45
1.
100
=
a
m.n
3
Ejemplos:
βn
16 . 2 =
7
=
3
a
16 . 2 = 4 (1, 4 ) = 5,64 Aproximadamente
5 3
(−3 )(−2) =
.
b
4.
Ejemplos: 1. 3 4 2
7
−3
2. ¿ 3 2 4
−2 ?
4
2 . 4 .3
= 3 .4 . 2 x = 24 x
x
2
= 21
4
23
2 (1 .4 + 3 )3 + 4 =
24
2 25
8
3
16
−5 =
24
−5
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
24
? n
m
x α÷
p
x β÷
xγ
n .m . p
=
m− β )p + γ x (α
(x - x + x - .......)
¿Por qué? ...........................................................
RADICACIÓN EN R
3
II.
¿Por qué? .............................................................
NOTA: Los teoremas expuestos y demostrados para exponentes naturales, pueden ampliarse a exponentes reales. Pero para su demostración es necesario ya otros elementos de matemática superior.
S4AL31B
7
¿Por qué? .............................................................
Si n es par entonces a ≥ 0 ∧ b ≥ 0
Ejemplos :
β b
5 . 4 .3 2 . 4 .3 . 5 7
Ejemplos: TEOREMA
−n n bn a b = = b a an
1.
4
=
7
De la fórmula anterior : Si las bases a , b, c son iguales, eso determina a una forma práctica de reducir.
Corolario 1
n aα
5
2
=
16 3 =3 = 8 =2 2
2
3
5
3
n ≥2
; n ∈ N ∧ b ∈ R − {0 }
4
= 4 5 . 12 2 . 60 7 2.
81 1. 4 =
3
⇔ yn
n
Ejemplos:
a
Si n es par entonces a ≥ 0 ∧ b > 0
6 n y = x
a b
=
b
2.
Identidad Fundamental: TEOREMA
n
n a
puesto que (−2) 3 = −8
3
= a (3 + 5 x) − (3 − 5 x) = a 10 x
3 −5x
4to. Año Secundaria
Ejemplos:
Así 4 16 = 2 ya que 2 4 = 16 (2 es la raíz principal)
3 +5x
ÁLGEBRA
18
17
En los exponentes, los signos se alternan. Ejemplos:
RADICALES SUCESIVOS TEOREMA
2 n
a
S4AL31B
m
b
p
c
n
=
a
. n.m b
.
n.m .p
c
1.
4
x3 ÷
2
x1
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
=
4 .2
x 3 .2 . 1 =
8
x5
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to. Año Secundaria
ÁLGEBRA
18
17
4to. Año Secundaria
¿Porque? ...............................................................
2.
x
1
÷ x
1
÷ x
1
÷ x
1
÷ x
1
=
24
= 2 .2 . 2 . 2 . 2
x
{[(1 . 2 −1)2 +1]2 −1} 2 +1
=
32
x
11
=
d) ¿ (−8 )1 / 3 = (−8 ) 2 / 6 ?
x
15
16
x
.x
2
5
5
=x8
+2−
5
16 = x 16
¿Porque? ............................................................... 3
3.
x
4
÷ x
1
÷
4
x
1
=
3 .2 .4
x
(4 . 2 −1)4 +1
= 24 x 29
ECUACIONES EXPONENCIALES
Ejemplos Aplicativos:
Definición:
1. Hallar el exponente de “x”, luego de simplificar : Corolario 2 a .b
x
ac
=
b
x
3 3 x x . x2 x 4 3 3 x x
c
Ejemplos: 1. 3 . 5 x 3 . 4 = 2. 3 2
3 .2
3 =
x
4
2
2
.
2 .3
3
3
=
6
4.
6
12 22 2 x .x 12 x 10
27
= 6 4 . 27
a) ¿ 2 . 7 (−5 ) 2 . 3 = 7 (−5 ) 3 ?
3
)
S4AL31B
II.
12 12 2 = x .x
x
3 .4 . 2 =(− 3)
4
=81
?
(bases iguales)
(x.x 2 )24
4
x3
x
(
.x
x
(1 .4 + 3 )2 +1
2 .2 .2 . 2
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
.x
a) 10 d) 15
a , b ≠ 0 (analogías)
III. a m = b m
a,b≠0
)
−3
02. Simplificar:
(
x +5
a) 7 d) 19
)
−3
1 − 2
c) –1/15
( −15 (2 ) − 2 (2
x +3
x
b) 17 e) 5
a) 28 d) 24
) )
c) 13
b) 26 e) 216
c) s9
04. Calcular el valor de: 4 n −1 + 1
S = n −1
a) 2n d) 5n
4 1 −n + 1
b) 3 e) 1
c) 4
(x + 2)5 = 3 5
a b = mn
05. Calcular “R” en: 2 R=
si b = n = 0 donde a,b ≠ 0
PRACTICA DE CLASE
a) 1 d)
(4 ) 2
b) 2 2 –1
e) N.a.
01. Calcular el valor de: 06. Simplificar la expresión:
0 ,5 .4
x ((1 . 2 −1)2 +1)2 −1 S4AL31B
1 − 3
b) 7 e) 7-1
(Exponentes Iguales)
x+2=3 x=1 IV.
1 +2 x1 +x
→ a=b
0 ,5 4
1 + − 5
)
xx
aa = bb
Ejemplo :
−4
(
03. Si: xX = 2. Reducir:
Ejemplo : (x + 2)(x + 2) = 2 2 x+2=2 x=0
24
Resolución: Aplicando las reglas prácticas I y II se tendrá
¿Porque? ............................................................... 4
=
x÷ x÷ x÷ x
3 b) ¿ (−16 ) 3 / 4 = 4 − 16 ?
3 = −27
a≠0
2. Reducir :
¿Porque? ...............................................................
/3
am = an → m=n
= x 72 Respuesta : El exponente final es 72.
Analice cada una de las siguientes preguntas:
c) ¿ (−27 ) 4
24
24
2
→ a=b
=
1 4
x > 0
I.
A=
)
5 2 x +2 − 2 x +4 + 6 2 x −1
24
22 x 2 = 12 .x 10 x
= 6 108
(
;
Resolución: Usando la regla práctica I
2 .2 .3 (3 .2 +1).3 +1 2 x .x 4 . 3 3 . 3 +1 x
(
son expresiones trascendentales.
Formas:
+
Si ab es par → x ∈ R 0
5
Aquella que la variables aparecen en el exponente
24
2 −2 / 3 + − 27 −5 / 3 + − 27 81
37
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
2
c)
2
−0 , 2
−2
−0 ,5
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
(n −1)
(n −1 )
veces
1 1 1 − ...... n n n
1 E = n
a) n d) nn
1 1 . n n
factores
1 1 1 1 1 − ........ . n n n n n
n
n
2 n
xn
c) 1/n
a)
b)
2
d) 1-
3 n
xn
4
....
n
xn
n
b) xn
d) - xn
e) x n n
2
E =32 :
a)
6
d)
5
6
3
8
2
5
6
b)
6
e)
6
32 :
n+ 2 n− 1 x2
3
9
3
n+ 1
c)
6
6
3
b) 2
d)
7
e)
n2 + 1
1 x−
5
a) abn+1
x .
d) c)
6
3 3/2
d) b
a6b
5 5
a .
5
b) a e) a2b
b2 b
−16
b
c) ab
b)
d) 5
e)
ab b
+1
5
1 −n
+1
n
X3 a) 2 d) 5 c)
5
n −1
3
4
9
2
a) 1 d) 3
c) 3
2
2
2n 2
n2
n a b
n
+x
b) 2 e) 5
xn
n
xn
c) ½
xn
3 n
xn
4
.....
4
a) 2 d) 5
e) an bn+1
a −2
3
(a
a −3
a
a) a n a
b) n
d) a y b
e) b y c
a
xn
a
b) 3 e) 25
c)
5
n
1 b n−
n
a) bn d) bn-2
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
n
b) b e) bn+ 1
a) 5 d) 4
1 b n− ..........
b) 1/6 e) 3/8
c) 5/6
x −2 + y −2 (xy) −2
b.
8x 3 y −4 4x −1y 2
XX S4AL31B
c) 2
XX
= Xx2
+ y; x 3
/
b)
y2
c) x − y; x 3 / y x + y; x / y
d)
e) x + y; x 3 / y 5 07. Si
02. Sea x>1 y además:
c) bn -1
b) 3 e) 7
a.
x
482. 15 4.4 3 a) 2 d) 4/3
1 b n−
n
=
b) 3 c) 1/3 e) 1/5 5 , indica el exponente de a x en:
a) x 2 + y 2 ;2x 4 y 6
105.65.24
n −1 n
; x ∈N
06. Si: xy ≠ 0 , simplificar:
01. Simplificar: c)
04. Simplificar: 2 n +4 − 2. 2 n +2
PROBLEMAS PROPUESTOS
)
4 n +2 3
c) x-2
2. 2 n +3
Se obtiene 52n. Calcular x c) ab
b) x3 e) x-20
a) 2 d) 1/2 05. Si: x x 2 n
c) 8
03. Simplificar:
a) x7 d) x-5
20. Al reducir:
n
b) 3 e) 7
2
Se obtiene una expresión equivalente a x10. Calcular “n” 3
x
x − 3 − x − 5 + x −7 + x 3 + x5 + x7 ;x ∈ R
16. Reducir: 2n
5
5
x 4 n + x 3n x
c) 8
6
b)
5
n +1
19. Después de simplificar:
17. Simplificar: 2
11. Indicar el exponente de x x en: x x 3 S4AL31B
n
5
a5 .
a) 1/5
32 ........ ∞ radicales
32 :
n n −1 ab n ab
se obtiene
10. Hallar el equivalente a:
2
2
a) 5 b) 4 d) 2 e) 1 15. Hallar el equivalente a:
72
n +2
a)
a)
2 +1
( 21 )( 35 ) ( 80 ) ( 15 )( 14 )( 30 )
81
3
12
x.
6
c)
b) 4 e) 32
09. Al reducir:
Hallar
2
14. Simplificar:
.
4to. Año Secundaria
18. Calcular el valor de:
n
08. Reducir: 4
2 +1
2 -1
e) -
a) 2 d) 16
c) xn
a) x
2
c) x3
b) 3 e) 4
13. Calcular el valor de “E” en:
xn
ÁLGEBRA
18
n −1
b) n – 1 e) n2n
xn
17
Calcule: a) x2 d) 1
12. Hallar su equivalente de:
07. Simplificar:
E =
4to. Año Secundaria −1 1 − n
x y = 2 , Calcule:
( x x ) y .( x 3 ) − y .( 4 y ) y−2 x
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
2
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
4to. Año Secundaria
c) 4
d) 4
17
e) 5
6
4
9 . 20
3
6
2 .
9 . 5
9 .
3
a) 2 d) 1/4
9
b) –3/2 e) 5/3
c) 1/2
b) 5,2 e) 4;2
c) 7;2
xx Calcule: x 3
09. Calcule: 33
a)
3
d) 1
a) 21 d) 42
3 (3)(3) 3 −4 .
b)
2
e)
7
3 −3
0
c)
+
x x3
04. Si: x = x x3
+
=3
x6
1 a. 3 b.
{(2− 3
−1
2 + 7
−2
c) 37
15. Efectuar:
3−
5
)27 9− 2
a) 5;2 d) 4;7
−1
9 + 16
}
a) 1/2 d) 1/9
c) 2;3
1 x3 x
1 x
c) 9
Son
igualdades
relativas
x3
4
x3
4
x3
4
6 + 6 +.......
c.
3
3
3.....
3
a) 1 d) – 2
G=
-1 -1 1/2 1/2 -(1/3) -(1/2) -(1/4) (1/3) - (1/2) + (1/4)
a) 2b) 5 d) 4
c) 1/4
c) 3 e) N.a.
TECNICAS DE CONVERTIBILIDAD Las ecuaciones exponenciales se convierten en ecuaciones algebraicas aplicando ciertas técnicas que enseguida se enuncian y describen 1º Conseguir una ecuación donde queden igualadas dos potencias que tengan la misma base. a x
= a y
Ejemplo: Resolver:
x 3 ......... " n " radical
9
Entonces:
c) 2
Ejemplo: Resolver:
4 n +2 b) 3n e) 1
c) 2n
c) 3 “El nuevo símbolo de una buena educación....”
9x-2 = ↓ (32)x-2 =
3x+1 3x+1
32x-4 = 3x+1 2x-4 = x + 1
2º En aquellas casos en donde existan términos de la forma kx, se hace un cambio de variable del tipo k x = y, para obtener una ecuación algebraica respecto a y.
2 n x 12 n +2
a) 6n d) n
Calcule “n”.
⇒ x = y
x=5
02. Hallar la novena parte de:
12. Si el exponente final de x es 7/4: ; x >0 xn . x x
b) 2
b) – 3 e) 3
incógnitas
Se entiende por igualdad relativa a aquella que se verifica para algunos valores que se le asigne a sus incógnitas.
01. El grado absoluto de la expresión: 4
cuyas
aparecen como exponentes.
es 15 Hallar el inverso de “n”
πππ .......
S4AL31B
3 3− 2
TAREA DOMICILIARIA
b.
a) 1
4
b) 3/7 e) 3/91
ECUACIONES EXPONENCIALES
x3 .
b) 3 e) 3
ECUACIONES
c) 2/3
3 . Hallar el valor de:
a) 1 d) 27
− 50
b) 1; 2 e) 5;9
11. Calcule: a. 6+
+3
42 − 1
2− 1
3
1
n
05. Simplificar:
6 5−
2− 1
+
b) 0,6 e) 1
x x .
x x6
b) 25 e) 28
10. Calcule: −1
a) 1/6 d) 1/5
9
14. Si se cumple que: a) 2;3 d) 1;2
4to. Año Secundaria
6 n + 9 .6 n − 6 x 6 n n n n 2 x 10 + 25 x 10 − 23 x 10
2x. 2 = 3 4x
2 b.
ÁLGEBRA
03. Reducir:
13. Calcule el valor de “x”, en: 08. Efectuar: a. 2 .
18
S4AL31B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
2x + 2x+2 = 40 2x + 2x . 22 = 40 y + 4y = 40 y=8 ↓ 2 x = 23
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Entonces:
x=3
4to. Año Secundaria
17
ÁLGEBRA
18
4° Reducir
3
3X
= 27
4to. Año Secundaria
9 x −4
; 27 = 33 (éste valor lo
reemplazamos)
3º Existen casos en los que la ecuación se consigue una igualdad en el exponente.
n
E =A
n
33
n− 1 A n A...... ∞ ⇒ E = A
( )
X
9 x −4
= 33
a
x
= b
⇒ a = b
5° Reducir 3
En este caso se admitirá x = 0, cuando a ≠ b.
n
E = A :
n+ 1 ⇒ E = A
1° Si :
n
n
=n
n
, si n es impar
n
x= ±
, si n es par
Hallar x 2° Si :
n
n
x=
=n
n
x= ±
, si n es par
Hallar x
01. Hallar el valor de “x” en: 2
2x+1
b) 4 e) 2
= 25
6
S4AL31B
=
( )
( )
3 2 x −8
= 33
; ,
transformando
1 = 2
2−
1 2
2 −
a
x 2 −x
2
2x+1
3 2 x −8
1 =a 2
1 2
;
8 =2
x
= 33
a bases iguales; exponentes iguales. 2x + 1 = 8 ; resolviendo la ecuación x = 3,5 = 27 9
x −4
⇒ E =n
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
éste
2 x −8
=33
; comparando:
2 x −7
PRACTICA DE CLASE 01. Resolver:
2 x −7
15 2 x +1
; a bases iguales, exponentes
5
3X = 32x – 7 ; a bases iguales, exponentes iguales
= 3 x +3
x +3
a) – 2 d) 3
b) – 3 e) – 4
c) 2
02. Calcular “x” si:
x = 2x – 7 ; resolviendo la ecuación:
22
x −1
= 48
x
x=7 a) 1/2 d) – 1/2
03. Resolver:
( )
x x x a
Solución:
−x
=a
1 8
(a )
x x
=a x
2
y 8 = 23 (éstos
x −x
=a
x −x
a x 2
1 23
=2
S4AL31B
=a x
−3
1 23
;
efectuando
c) – 2
3x 3 −x
a) 2 d) – 4
valores lo reemplazamos). a x 2
b) – 1 e) 1
03. Dado que: 310x+4 = 2592 Calcular:
b) 4 e) 1
c)
33x a
y
(éstos valores lo reemplazamos)
4
04. Resolver: 39
2 −x
a) 4 d) – 4
b) 6 e) – 2
05. Si: ab = ba y a3 = b2 Hallar E = (a + b) “El nuevo símbolo de una buena educación...."
valor.
(reemplazando éste valor).
x = 1/2
(éste valor lo
Efectuando
X
=33 . 3
efectuando
−3 2 2
iguales.
c) 3,5
Solución: Recuerde que debemos llegar a obtener bases iguales.
∞ .. n n.
33
o
3° Reducir :
n n
– 4
reemplazamos).
Solución: No debe olvidarse, que en la mayoría de problemas sobre ecuaciones exponenciales, debemos llegar a obtener bases iguales.
02. Resolver: 3 3
E =n n
3
PROBLEMAS RESUELTOS
, si n es impar
n
X
(3 )
= n (n + 1) + n (n + 1) + .... ∞ ⇒ E = n + 1
De: 22x+1 = 256 ; a 256 le damos la forma de potencia de 2 . 256 = 2 8 (éste valor lo reemplazamos en la ecuación).
.∞ ..
; Resolvemos (32)x
3 2 −1 2
(éste valor lo 33
a) 4,5 d) 3 x=
x −4
reemplazamos)
E
n x ...
( )
3 2 33
−3 =a 2
Resolvemos
¡IMPORTANTE! Es necesario recordar estructuras que caracterizan a cierto tipo de ejercicios, donde se aplican criterios de la teoría exponencial y ecuaciones exponenciales.
x x x
A : n A : .....
6° Reducir
n=3
x x x
n
=
32x – 8
(zn)x = (3+n)x 2n = 3 + n
Ejemplo: Resolver: Se deduce:
3X
2 −x
2 −3 =
; 9 = 32 (éste valor lo
reemplazamos) x
ax
=a 9
9
c) 2
2
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 1/8 d) 1/5
b) 5/8 e) 8/5
4to. Año Secundaria
c) 45/8 xx
1 2
3 2 2 = a a −a
a)
2 2
b)
d) 2
e)
c) 2
2
a) ½ d) 1/256 2
2
9−8
a) 3 d) ½
0 ,5
b) ¼ e) 1
a) 1 d) ¼
08. Calcular “x” en:
xx = a) ½ d) 1/16
1 4
2
b) ¼ e) 1
c) 1/8
7
7 x +3
a) 7 d) 6
= 2 7 x +3
b) 2 e) 8
a) 1 b) 3 c) 5 d) mayor que 5 e) menor que 1 11. Resolver: 27
a) 8/3 d) – 4 12. Hallar “x” en:
9 3 +x
=
b) 10/3 e) – 2
3
3
c) –3/2
−1
A=
)
b)
d) 2
e) 2
=
2
c) 2/
2
2
=3
a) 1 d) 4
2x+2
c) – ½
=y
c) 4/3
a) a d) a
(ab )
2 n
+xn
=
b) ab e) n ab
b
a) 1 d) 4
c) b
x n −x
16. Determinar “x” en:
xx x
.∞ ..
a)
2
b)
d)
2 /2
e) 2
=2
2 +1
c)
2 -1
2
a) n d) n –1
2 .
a) –1 d) 4
2a
b) 2 e) 5
4
=
c) 3
18. Hallar “n” en: m −n .
4
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
m n +1 .
xx
b) n n e) 2n
3 3 x2 x3 x4 x 1 2 x x3 x3 x
2
3
m n +1 −1 =0
a) 1 d) 2 04. Simplificar: S4AL31B
b) ½ e) – 1
2 x +1 x
x +2
4 4x
b) 2 e) N.a.
c) 3
07. Resolver el sistema: m n −2 = 4 m 2n −3 = 64
n
y dar como respuesta el valor de m + n c) n
a) 5 d) 8
03. Si: x = 16. Hallar:
17. Resolver: 2 .
=xx
c) x x
06. Si: x ∈ Z + ∧ x ≤ 1000, calcular el valor de:
1 b
c) 7
b) x x 2 e) N.a.
a) x
C= xn +a n
y
x 2 x +1 ; a > 0 ; a ≠ 1 x x
d) x x
c) 3
PROBLEMAS PROPUESTOS
n
. (x +1)(x +1 )(x +1 )
x
01. Resolver:
x −1
b) 2/3 e) 2
b) 6 e) 9
x
b) 2 e) 5
; ∀ x ∈ IN
05. Hallar el equivalente de: P=
3x + 3x –1 + 3x – 2 + 3x – 3 + 3x – 4 = 121
2x+1
2 1−x
a) 5 d) 8
4
2
2 2 −x + 2 4 −x − 2 1−x
x>12000
02. Resolver:
c) 4
10. Hallar el valor de “x” (3x -1)x+4 = (3x – 2)x + 3
–3
2 x
x
a) 1
x Calcular: y
a) ¼ d) 9/2
14 9 x − 5
c) 2
b) ½ e) – ¼
15. Si: y X = x ∧ x y
09. Resolver:
S4AL31B
2
c) ½
c) 3
20. Resolver:
14. Resolver: 2x+3
b) 2 e) N.a.
(
1 = 3
b) – 1 e) 1/3
4to. Año Secundaria
19. Determinar el valor de “x” en:
c) 16
13. Hallar “x” en:
2 /4
07. Si: x 3 x = 0,125 Calcular “x” a) 2 d) 4
b) ¼ e) 64
−1 −9 −x
ÁLGEBRA
18
a) 1 d) 4
1
=
06. Resolver: 2 +1
17
−
c)
b) 6 e) N.a.
c) 7
08. Hallar “x” en: 51+2 x = 3125 :
1 9
a) 2 d) 5
b) 3 e) N.a.
c) 4
09. Halle “x” en: x x = (1 / 2)(1 / 4) 2
a) 132 d) 14
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b) 116 e) N.a.
c) 12
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to. Año Secundaria
17
18
ÁLGEBRA
4to. Año Secundaria
10. Hallar “x” en: 5x + 5x +1 + 5x + 2 + 5x + 3 = 3900
a) 2 d) 5
b) 3 e) N.a. x −2
a) 1 d) 9
a) 6 d) 8
= 44
x +1
b) 3 e) N.a.
c) 6
−2
=
1
4
1 2
d)
b) 12 e) N.a.
c) 116
13. Resolver:
a) 0 d) 5
89
a) 2
xx
x −1 3
2 3x −1
−
3x −7
8 x −3 =0
b) – 3
c) 2
44
4
= 22
−1
1 2
c) 6
=2 c) −
1 2
e) N.a.
03. Hallar “x”: 5x
a) 2 d)5
12−x
25
= 32 5
x +2
b) 3 e) N.A.
c) 4
04. Hallar “x”:
−2 0,6 3 4 x −1 =0,25 2
a) 1 d) 5
x
a) 2 b) 4 d) 8 e) N.a. 15. En la siguiente igualdad: n
−x −1
14. Hallar “x” en: −3
c) – 6
b) 3
e) N.a.
3
b) 4 e) N.a.
02. Resolver:
12. Hallar “x” en:
a) 14 d) 2
2 x +1 − 2 x −3 − 2 x −2 = 52
c) 4
11. Hallar “x” en: 28
01. Hallar “x”:
b) 2 e) N.a.
c) 3
05. Calcular “x” en: 7 −x (3125)(25) =5 5
a) 6 d) 8
2 n −1 = 3 4
b) 7 e) N.a.
c) 5
Calcular un valor que toma “n”, si n ∈ Q
1 4
a) 1,6
b)
d) 1,5
e) N.a.
c) 0,25
TAREA DOMICILIARIA S4AL31B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
S4AL31B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."