Algebra(1) 5° 1b by juan guerrero

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria

Ubicándonos dentro del contexto de la sesión Nº 01 comentamos:

LEYES

Con frecuencia se denomina al álgebra como la aritmética de las siete operaciones queriendo subrayar con ello que a las cuatro operaciones matemáticas conocidas por todos, el álgebra añade otras tres; la potenciación y sus dos inversas (Radicación y Logaritmación). Pues bien, comencemos nuestras pláticas algebraicas con “la quinta operación” LA POTENCIACIÓN. Esta operación responde a exigencias propias de la vida práctica, ya que tiene múltiples aplicaciones en las diferentes ramas de la ciencia. Veamos algunos ejemplos: Una de las aplicaciones es la teoría molecular de la materia en la cual, Amadeo Avogadro determina una constante llamándola el número de Avogadro cuyo valor es N = 6,023 x 10 23 . ¿Cómo sería sin la representación exponencial? Otra de las aplicaciones es en el campo de la astronomía donde también se trabajan con cantidades de gran magnitud; tales como la velocidad de la luz, la distancia que existe de un astro a otro, etc. Otra aplicación importante se observa en la física cuando se trabajan las ecuaciones dimensionales, donde se utilizan básicamente el exponente negativo. Finalmente concluimos planteando el siguiente problema de astronomía: se acostumbra describir las distancias entre las estrellas mediante unidades llamadas años luz. Por definición, un año luz es la distancia que recorre la luz en un año (365 días). Si la luz viaja con una velocidad de 3,1x 10 5 Km/s aproximadamente. ¿Cuántos km hay en un año luz?

I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Mediante ejercicios reconoce y aplica las leyes exponenciales que rigen en la potenciación de monomios. 2. El estudiante adquiere habilidad operativa y reduce expresiones garantizando su correcta definición y procedimientos. II. COMENTARIO PREVIO Estamos en época de grandes cambios en la enseñanza secundaria, en todas partes del mundo. Es que los educadores tienen la sensación que la brecha existente entre la enseñanza actual y las necesidades culturales del hombre moderno, debe ser llenado urgentemente o se convertirá en un abismo infranqueable. Una de las principales características de la ciencia moderna es el uso de la matemática. Por eso no es de extrañar que en muchos lugares la reforma de la enseñanza comience por esta materia. Si ella no se actualiza, será difícil modernizar lo demás. El doctor Luis Santaló en Por qué y para que enseñar matemática en la escuela, sostiene: “Posiblemente lo más importante y Primordial es la elección de los temas a tratar”. Y a esta elección, podemos añadir y destacar otro problema fundamental; el del desglose, ordenación y jerarquización de estos temas, ya que la naturaleza jerárquica de la matemática hace muy importante para el que aprende que quien enseña lo haga en la secuencia adecuada. Con lo expuesto justificamos el estudio de las Leyes Exponenciales en tres sesiones: Sesión Nº 01: Leyes de la Potenciación Sesión Nº 02: Leyes de la Radicación Sesión Nº 03: Ecuaciones Exponenciales S5AL31B

III.

CONTENIDO TEORICO LEYES EXPONENCIALES

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

ÁLGEBRA

5to Año Secundaria

Son definiciones y teoremas ligadas a las operaciones de potenciación y radicación en el campo de los números reales. El conocimiento del tema garantiza que el desarrollo de los demás temas sea de la mejor manera. Potenciación Es la operación matemática que permite la presencia del exponente afectando a una expresión llamada base y cuyo resultado se denomina potencia. a n

= P ; a ∈ R ;

∈ Z ; P ∈ R

Donde: a: Base n: Exponente P: Potencia

1  1 1  1 1  1 1  8  1 −  +  −  +  −  +  −  − 3  3 5  5 7  7 9  9  1 8 1− − =0 9 9 ∴

E =0 0 ≠1

No tiene sentido calcular indeterminado

a1 = a, ∀ a ∈ R

Ejemplo : reduce la expresión : 1

1) Exponente Natural En la potenciación, si el exponente “n” es un número natural y la base “a” es un número real se define: a) Exponente Cero Toda cantidad real a excepción del cero elevada al exponente cero es igual a la unidad. = 1 , a ∈ R

∧ a

≠ 0

Ejemplo: Dar el valor si existe en: 2 2 2 8 2 E =  + + + −  3 15 35 63 9 

Solución: ¡CUIDADO! previamente debemos analizar la base para verificar si es distinto de cero.

2 2 2 2 8 + + + − 1x3 3x5 5 x7 7x9 9

S5AL31B

pues es

b) Exponente Uno Toda cantidad real elevada el exponente natural uno es igual a la misma cantidad.

Definiciones Importantes

a 0

32 79 1    + 21 + 1 5 5 

Solución :

1 1 16 +2 +1 = + 3 = 5 5 5 c) Exponente entero positivo Una cantidad real elevada a un exponente “n” natural mayor que uno (1), equivale a multiplicar “n” veces dicha cantidad (base).

a n = a . a . a  a ; a ∈R; n ∈ N ∧ n 〉 1 Ejemplos: 3 5 =3 x 3 x 3 x 3 x 3       5 veces

(- 5)3 = (- 5) (- 5) (- 5) = - 125

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

= 243

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria LEYES EXPONENCIALES DE LA POTENCIACIÓN

x . x. x   x      = xn, n ∈ N ; n > 1 n veces

Observación : Lo expuesto anteriormente en (1) se puede esquematizar de la siguiente forma :

 a.a .a  a ; n ∈ N ∧ n 〉 1  an = 1 ;n = 0 , a ≠ 0 a ; n = 1, a ∈ R  2) Exponente Entero Negativo Nos indica que la base diferente de cero afectada de exponente negativo se invierte. (inverso multiplicativo) Si a ≠0 ∧n ∈ N se define : a −n =

1 = a 

1 an

n m a

TEOREMAS: A continuación enunciamos los teoremas :

Sea : {a;b} ⊂ R ∧ {m; n; p} ⊂ Z 1.

am a

= a m −n ; a ≠0

(

)

 m n a   

(a .b ) n

( −5 ) −3

( − 2 ) −6 3  5 

−3

   

a  b 

   

a m   bp 

( −5 ) 3 1

1 1 =− −125 125

1 = = 6 = 6 64 (− 2) 2 5 = 3 

   

53 33

Observación :

125 27

b p .n

( )

Ejemplo 1: Simplificar :

, b ≠0

21 6 x 35 3 x 80 3 15

x 14

x 30

Al Solución : Se recomienda descomponer las bases como producto de factores primos, obteniéndose bases iguales :

( 3 x7 ) 6 x (5 x7 ) 3 x (2 4 x 5 ) ( 3 x 5 ) 4 x ( 2 x7 ) 9 x ( 2 x 3 x 5 ) 2 3

Aplicando potencia de un producto :

Potencia de potencia

≠

m a   

Si x es una cantidad positiva muy grande, las expresión es uno.

III. La expresión no depende de x. Solución : Factorizando en el numerador y denominador :

2 5 2 x −1. 3 x −1  5 . 3 −5    

5 2 x −1. 3 x −1 (5 . 3 −1 )

70 ⇒ E =5 14

obtener como resultado una expresión numérica donde la letra x ya no aparece, concluimos que la expresión es independiente de x, es decir para cualquier valor que tome x, la respuesta siempre será 5. Luego : I) F II) V III) V

3 6 x7 6 x 5 3 x7 3 x 212 x 5 3

3 Potencia con exp onentes en cadena

x 5 4 x 2 9 x7 9 x 2 2 x 3 2 x 5 2

Ejemplo 3: Si : x x x w=

Multiplicando y dividiendo potencias con bases iguales : 3 6 x 7 9 x 5 6 x 2 12

c. Una potencia con exponentes en cadena, se reduce desde la parte superior.

3 6 x 5 6 x 211 x 7 9

Ejemplo 2: Al reducir : “El nuevo símbolo de una buena educación....”

5 2 x . 3 x − 5 2 x −1 . 3 x −1

II. Si x = 8 la expresión igual a 5.

 m n a       

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

, b ≠0

a mn

5 2 x +1 . 3 x −5 2 x . 3 x −1

Se puede afirmar que :

=a m .n .b p .n

   

n , No definido 0−

S5AL31B

5 2 x −1 . 3 x −1

a. La potenciación es distributiva respecto a la multiplicación y división (teoremas 4 y 5)

T a =

p [ (am)n ] = [ (am) p ] n

=a n . b n

Observaciones importantes :

f. Los teoremas expuestos son fácilmente demostrables para exponentes naturales. Es necesario que puedan ampliarse a exponentes reales, pero para su demostración es necesario otros elementos de matemática superior.

=a m .n . p

m. bp   a   

   

1 = = 2 9 3

w m a

e. Recordar que la igualdad goza de la propiedad simétrica, es decir:

a m . a n = a m +n

5to Año Secundaria

a =b ↔b =a , ∀ a , b ∈R

Ejemplos : −2

ÁLGEBRA

S5AL31B

= 2. Calcular x x xx + xx + x

Solución : =2 Recordar : 1. a m +n = a m . a n “El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

( )

2. a m .n = a m 3.

m p +n

( )

= an

m p .a n

W= W=

. xx

. x

xx + xx

 x xx x    

W = 22

01. Si A = 5 −1 + 2 −1 +3 −1 −1

 1   5 

−2

   

 ( 2n+ 3 ) veces    x.x.x  x  x6  

     

3 + 2 2 

−2

   

a) 7 d) 10

e) 19/30

2  .2 .2 . 2 +2  .2 .2 . 2 +2  .2 x  x  2 07.Si 6 veces

6 veces

a) 64 d) 128

6 veces

b) 36 c) 192 e) N.a.

03. Reducir :  x − 7 x + 2 + 7 x +4   x − 7 x −2 + 7 x −4  7  

7 E = 

S5AL31B

b) 7 e) 49

0 ,5

c) 343

a) 4 d) 20

x +5

−2

x +4

−15 . 2

+6 .2

1 + 3 

 1   + 7  

−2

   

1 + 6 

1 −1  2

   

3 . 3 n −1

x −4

+ 37 + 37

x −3

+ 37

x+2

+ 37

x −2

+ 37

x +1

+ 37

x −1

b) 372 e) N.a.

a) 37 d) 374

+ 37

c) 373

, P

a) 32 d) 256

b) 16 e) 64

b) 24 e) N.A.

c) 48

a) 550 d) 55

08. Si : xx = 5, Reducir :

(x 5 ) x + x x + x x (x x + 4 + 1 ) −x

2 5

3 6

( )

 x 10

b) 50 e) N.a.

S5AL31B

x +1

−x

c) 3

x ≠

c) 11

x x +1

x   +x x   

2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 +  + 2 x +10 2 x −10 + 2 x −9 + 2 x −8 +  + 2 x

Halle :

S 32 b) 32 e) 1024

c) 128

I) ∀ x∈ R; x0 = 1 ⇒ (- 2)0 = 1 II) Si xm.xn = xm+n ⇒ 33 . 33 = 99 III) ∀ x ∈ R; (- x)2 = x2 ∨ (- 3)2 = - 9

c) 128

04. Si : xx = 2, Calcular : x 2 x +x x

07. Determinar el valor de verdad de las proposiciones :

1+x

( ) .(x ) .(x )

E = x1 0; 1

b) 2 e) 8

a) 64 d) 256

03. Proporcionar el exponente final de x11 en la expresión :

2 n + 91 + 2 n + 92 Entonces P. E es:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

  

06. Si tenemos la expresión S definida como : S=

E = x x + 2x

2 n + 90 + 2 n + 91

a) 12 d) 8

c) 15

6     2 4    2             

a) 1 d) 4

02. Si xx = 2, calcular el valor de:

c) 9 3 n +3 −3 n +1

b) 15 e) c y d

   

− 2 2 ( A) Donde : 1 x 2 x 3 x ……x7 = n

01. Simplificar : =

 3 −n 3 − 3 

Hallar el valor de:

x +3

TAREA DOMICILIARIA x +4

   

c) 2x - 1

 30 2 x 35 3 x 6 4   

a) 15 d) 2255

 2 −3 5 2  

c) 24

 24 x 14 3 x 15 6   10. Efectuar : E = 

   

b) 16 e) N.a.

05. Si A =

x −1

−2 . 2 x +3

b) 2x e) N.a.

c) x3

b) 8 e) 11

02. Reducir :

a) 1/7 d) 7

    1   n +2   x 

b) 2 c) 1/3

d) 31/30

x +2

a) 1 d) 7

06. Calcular el valor de E : E

. Hallar A + N

5 3

5. 2

c) 20

b) x2 e) x5

a) x d) x4

PRACTICA DE CLASE

c) x+1

  3 n +6  x  x.x.x  x       ( 4 n − 2 ) veces

= 2 4 = 16

 30  N=      19 

b) 18 e) 24

05. Reducir :

x    xx  x   

 x x x   x     

b) x e) x5

09. Simplificar :

Entonces dentro de dos años dichas edades sumarán : a) 16 d) 22

5to Año Secundaria

2 −2

( )

x . xx

a) 1 d) x2

3  64   4 4 −0 , 5     2        

Luego en w se obtiene :

ÁLGEBRA

04. La edad de José es el cuádruplo de la edad de Carlos. Si Carlos tiene en años.

p   = a m   

5to Año Secundaria

x   −x x −1   

a) VFV d) VFF

b) VVF e) FFF

c) VVV

08. Determinar la veracidad o falsedad de las proposiciones : I) ∀ x ∈ R; n ∈ N : (-x)2n = x2n II) ∀ x ∈ R; n ∈ N: (-x)2n+1 = - x2n+1 III) ∀ x ∈ R; x2 ≥ 0 IV) ∀ x ∈ R; x3 ∈ R a) VVFF

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) VFVF

c) VVVF

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d) FFVV 09. Si P(x) =

(

e) N.a. x

x5 +5

x +1

x+2

5to Año Secundaria

Si n es par ∧ a <0 → r ∉ R Si n es impar ∧ a ≥ 0 → r ≥ 0 Si es impar ∧ a<0 →r<0

• • •

)

Calcular : P(10) a) 31 d) - 3100

b) 310 e) 300

c) - 310

3x3x3x  x3x3 El valor de : M =         

)

+1 factores

b) 9 8 c) 3 243 e) hay 2 correctas

II. COMENTARIO PREVIO

= r

; n ∈ N

∧ n > 1

donde: Indice (n ε N) n

Radicando

Si n es par

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

; m , n,p ∈ R

⇒

4) m

x a . mn y b .

⇒ 25 = 32

32 = 2

3 −125 = - 3 125 = -5 ⇒ (-5) = -125

anp

. y

mnp

OBSERVACIÓN: Del Teorema anterior, si las bases x, y z son iguales, se concluye a una forma practica de reducir, veamos:

;

Raíz enésima

r ≥0

raíz principal

4.1)

4.2)

irreductible

•

83 =38 =2

•

81 4 = 4 81

• •

55 = 7

−1

= 3 −1 =

. n b

mnp

xb :

x(an +b )p +c

mnp

Leyes de (an −b )Waltor p +c

{

;

A∈ R+ ∧ n∈ N (n ≥ 2)

Luego:

5 3 = 5 125

}

a ; n b ⊂R

 a ; si x ≥ 0 a = a=  − a; si x < 0

2n 2n

Ejemplos: 3 2 =| 3 | = 3

(−3 )2

Si n es par entonces a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 n a a n = n b b

xa :

5 7 =2

=n a

5) Valor principal de una radicación:

Leyes Exponenciales de la Radicación A continuación enunciamos los siguientes teoremas: n ab

Ejemplos:

−

es una fracción

= r

∧ a≥0 →

mnp

m n a n = am

como se trabaja únicamente en R se establece (observe el cuadro anterior). •

Definición de Exponente Fraccionario

RADICACIÓN EN R. Es una operación inversa a la potenciación, donde a partir de dos cantidades: Indice y Radicando obtendremos otra cantidad llamada raíz. La operación de radicación la definimos, así: ⇔ a = rn

34 = 81

En la sesión anterior se hizo referencia a la potenciación, como la quinta operación matemática y que presenta dos inversas (radicación y logaritmación). Luego de haber estudiado la potenciación nos asiste el imperativo de realizar el estudio de una inversa de ésta, en este caso: LA RADICACIÓN

n a

3   

raíz real principal

1. Mediante leyes reconoce las clases de exponentes en la radicación de monomios. 2. Relacione las leyes exponenciales de la radicación de monomios en la resolución de ejercicios.

Si mnp > 0 → a ≥ 0

81 =

I. OBJETIVOS ESPECIFICOS .

III. CONTENIDO TEORICO .

S5AL31B

Ejemplos:

10. Si : k5 = 35 – k3

a) 9 16 d) 27 81

ÁLGEBRA

LEYES EXPONEN 5to Año Secundaria CIALES

{

4  5 3 −

}

; b ≠ 0 , n a ; n b ⊂R

2   



¡IMPORTANTE! ¡IMPORTANTE! La La radicación radicación es es distributivo distributivo

2 − 3

;3-5

0 6 6  6 − 3  

Si n es par entonces a ≥ 0 ∧ b > 0 con con respecto respecto aala lamultiplicación multiplicación yy división. división. S5AL31B “El nuevo

=| −3 | =3



COROLARIO

símbolo de una buena educación...."

=6 − 3

; 6-

3 >0

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2n + 1

1 a 2n + =a

5to Año Secundaria 3) 1 + x + x2 + x3 + … =

Ejemplos: 3

(− 2 )

= −2

x x

x ac

a a m a ..... m a          

Ejemplo 01. Proporcionar el valor de: 5 3

m n +1 a m +1

Si “n” es impar

m n −1 a m +1

n radicales

Si “n” es par

n− 1

x... ∞ =

; x ∈ R, ∀n ∈ R

- {0 ; -1} 2) n

3 2

→

4 3

6 4 5 32 . 27 3 5 3 4 2 . 81 4

2 6 .3 4 2 5 .3 3

5 =

(

x x x x x x +x  x  

 32  .  3 27  



; x ∈ R, ∀n

∈ R-{0;-1} En ambos teoremas: n ∈ N ∧ n ≥ 2 sólo en el caso de que “n” sea un número par el radicando “x” deberá ser positivo.

−1

+ 89

− 2 −1

+ 16 16

−4 −4

Solución: Efectuando cada uno de los términos por separado:

= 20

- 8 - 25 32 * 100

1 +x1 −x   



)

( )

= x

 x x +x   

Luego el exponente de x x es e x x −1 * 16

Ejemplo 4: Efectuar:



25 . 33

⇒W=6

( − 32 )

1  −  12 + 148 − 75  2   3    4 25 + 45 −4 400   

      

( − 32 )

2 3  − − (−32 ) 5 +(−32 ) 5   

2 − 5

−

3 5

5

=  − 32   

−3

    4 x 3 + 16 x 3 − 25 x 3  3   4 5 2 + 9 x 5 −4 (20 )2    

1 −   2          

1 1 E=   4 − 8  1 − 1  3

E=   8  

S5AL31B



−

= ( − 2)

- 2

-1 -3

1/3 1/2

1/2

-1 =8

- 4 16

- 4

−3

1/5

= 10

1/3

0 1 1/4

16 2 = 4

−2

=−

1 4

Reemplazando los valores en P: P = 10 + 2 + 4 P = 16 Ejemplo 6: Reducir:

1 8

(−2 )

/ 5

7 57

Solución:

/ 3

 3    1 =83 =2

- 1/2

1/2

−3 −1

    

= 5 ( − 32 ) −2 =  5 − 32   

En E se obtiene:

* 8

x −1 x x

Solución:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

100

− 8 −3

32 − 25

Solución: 27 2

Solución:

1 x : n x : n x : ... ∞ =n + x

S5AL31B

Ejemplo 2: Reducir:

TEOREMAS DE CONVERGENCIA n

x x x 2 x +x x .x  x  

Solución: Aplicando la definición de exponente fraccionario en cada radical, se obtiene: W=

a:          

2 5

−1

n radicales

a : m a : .... m a :

a m −1

a : m a : .... m a :

Ejemplo 3: Halle el exponente de x x en:

a:          

 

2 5   = 3   3  

( 3/ )( 4 )( 5 )

n radicales

−2

 3   3   2 5  

⇔0<x<e

Ejemplo 5: Calcular el valor de:

   

EJERCICIOS EXPLICATIVOS N° 2

TEOREMAS ADICIONALES

  2 3 +4 3 −5   3   5 +3 5 − 20   

;0<x<1

Si a.b es par → x ∈ R ∧ x ≥ 0

5to Año Secundaria 1  − x4  2 3   

35 = 3

1 −x

ÁLGEBRA

e = 2,7182….

COROLARIO

(−2 )4 4

(− 2 ) 4

/ / /7 7 5

/ 3

Si simplificamos directamente se podría llegar a una contradicción, pero la expresión si existe pues ( − 2 ) 4 = 2 4 es positivo. “El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria

Ejercicio 7: Reducir a su forma más simple: M=

x 2 ....

, n

radicales. Solución: Por inducción y aplicamos la ley de Walter: 1 radical:

2 radical:

3 radical:

2 3

a) m-t + 1 d) mt - 1

x 3 −1

m −1

x xm −1 xm −1

a) -22 d) 2-3

( ) (3 )

x 2 ...

b) 212 e) (1/2)2

n 1 x3 −

a) 17 d) 4

a) a . d) b2

2y x −y

x −5

(1 − 8 )

15 x −5 − 7 x −5 7 5 −x − 15 5 − x

a) 10-4

d) 23 a) 107 d) 95

b) 7 e) 105

n 2 −1

x+ 1

      

c) 10

e) 10 + 2

se obtiene: 7 5

b) 3 e) 81

−3

;

c) 9

6 2

b) 6

+ 5 ( 5 − 32 ) 5

c) -2

e) N.A.

nm −1 m

a) 2-1 d) 2

n 2

x .

− 27 + 5 − 32 + ( −4 ) 2 + 5 ( −6 ) 5

08.Reducir: S5AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 5 e) N.A.

c) x2

b) 1 e) x

b) 3-1 e) 3

b) 15 e) 37

c) 57

 n +1  3  32  125     

b) 52 e) N.a.

c) 3-3

a) 2-1 d) 5

c) 5-1

b) 10-1 e) 2

c) 10

05. Si al efectuar : 5

TAREA DOMICILIARIA

S5AL31B

27 2

a) 5 d) 5-3 04. Reducir :

−1 / 3

c) -7

01. Al efectuar :

x ......

Cuál será el valor más simple de la expresión :

12. Efectuar:

a) 34 d) 3-2

x .

n +2 − 2 n +2 A = n +2 5 2 −n − 2 − 5 − n − 2

03. Hallar el exponente final de x. a) -15 d) -5

a) 27 d) 75

R= ....

10 multiplicaciones indicadas

c) n

3 3 2 x . x . x 2

2 +1

E = 81 −16 − 8

07.Efectuar: A=

−1

03.

se obtiene:

b) n e) nn

( 5 − 8 )6

a) 2

a) n-1 d) n-n

11. Efectuar:

hallar el valor de: x x − 2 a) 27 d) 30

(9 −2

06.Al reducir: A=

Si : 120

n −1 n n +1  n   n    

1    M 

c) ab2

c) 24

c) 103

02. Al reducir:  x 7  256     

b) 4

c) 8

02. Indique Ud. El exponente final de  

−16

10. Si “n” es un número entero positivo mayor que 2; simplifique:

05. Calcular: 2

b) 4 e) 32

3 x +y

b) 10 e) 8

-1 -3 4 8 (-2) . 4

Obtendríamos :

a .

1 125

-1 -3 -27

a) 2 d) 16 5

a5 .

b) a e) a2 b

PRACTICA DE CLASE 01. Reducir :

1 16

c) (1/2)-2

09. Dar el equivalente de: 3

-1 -2 -4

c) mt+1 - 1

2x 3 x −y + 21

4 −x

S =

3/2

x −y

( 0 ,5 )

b) m-t - 1 e) m-t+1 - 1

radicales:

5to Año Secundaria

( 2 x +1,5 )

04. Reducir:

3 = 3 x 3 3 −1 .

. . . n

ÁLGEBRA

Sabiendo que existen “t” radicales.

3 −1

x 3 .....

Se obtiene xm siendo : m = “El nuevo símbolo de una buena educación...."

465 5n

;

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria

Hallar el valor de “n” siendo este el número de radicales de la expresión dada. a) 5 d) 6

b) 4 e) 2 x −y

06. Reducir :

a) 9 d) 5

4 x + 18 x −y

x −y

d) 5 4 5 a)

c) 10

a P =

0, abcdef

e) 2

b) -11 e) N.a.

c) 2

4 2

e).

III. CONTENIDO TEORICO

.....

 .  

B =5

− a

3 .......... ......

a) 2 d) 16

c) 9

5 . 20 5 ......

b) 5 e) N.A.

c) 7

En una igualdad de potencias que presentan igual base; es necesario que los exponentes sean iguales para cumplir con la relación de igualdad.

a +1

16. Señalar verdadero o falso :

12. Sabiendo que (a - b) es impar ; al efectuar :

R = a −b (a − b )b −a + b −a (b −a )a −b

II)

Se obtiene :

x 4 =4 x

= x

4 5

; ∀x ∈R

Am = An → m = n

; ∀x ∈R

III) n

08. Reducir : M 6

= 5

(1 − 3 )6 + (3 −2

3 )5 + ( 3 −1)8

a) 2 −2 3 b) 6° c) 3 −2 3 d) 4 ( 3 −1) e) N.a.

a) 9 d)

10. Calcular :

S5AL31B

d) 1

a .b a +b

b) e) 2

Se obtiene :

a) 1

3 18

b) FVFF e) FVFV

d) 3

b) 50

1 3

3 

. 



........ 3     

En algunos casos, cuando la incógnita se se puede obtener formando expresiones análogas en los dos miembros de la ecuación. Veamos los ejemplos : si : xx = 55 → x = 5

c) VVVV

c) 3100

e) 3

N= 5

Calcular:

5 4

5 3 5 3 5 .......... ..

M . N

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

I. OBJETIVOS ESPECIFICOS .

1. Reconoce y transforma una ecuación trascendente a ecuación algebraica, para su posterior resolución.

14. Si : M = 5

ECUACIONES CON EXPRESIONES TRASCENDENTES

50 Radicales

5 .......... ...

S5AL31B

= 8

a −3

8 −3

→ a = 8

Es necesario recordar estructuras que caracterizan a cierto tipo de ejercicio, donde se aplican criterios de la teoría exponencial y Ecuaciones Exponenciales. 1. Hallar “x” en :

.X .. XX

II. COMENTARIO PREVIO . Se hizo referencia a la potenciación y radicación con el estudio de sus respectivas leyes.

; A ≠ 0; 1; − 1

;∀ x ∈Ren la base y en el exponente, su valor presenta

−32 = 3 −8 . 3 4

a) VVFV d) FVVV

3 3 .......     

c) 3

IV)

si : a

−1

c) 0

13. Al reducir :

1  1   3 −  . 3 +  9 9    1  1   9 −  . 9 +  3 3   

Si : n ∈z + ∧n ≥2 → x a =n x

a .b a −b

50 Radicales

b) 1 2

H = 3  

09. Calcular :

R = 18

ECUACIONES EXPONENCIALES Reciben este nombre las ecuaciones trascendentes reductibles a ecuaciones algebraicas, y se caracterizan por tener la incógnita como exponente. Para resolver ecuaciones exponenciales es necesario tener presente la siguiente propiedad :

15. Al efectuar :

x+1

  a. −  

La aplicación de dichas leyes se encuentra con frecuencia en la resolución de ecuaciones exponenciales.

-1

A= 3

Dar la suma de las cifras de : B - A

. Calcular: (a+c+e)-(b+d+f)

a) 11 d) -9

3 2

2  7 3 49 4 4 A=   7   4 49   2 4

11.Reducir: a>0

07. El equivalente de:

d) 4

2 x +y

b) 11 e) N.A.

56 5

9 (3 x ) + 4 (2 2 x )

c) 3

5to Año Secundaria

a) 5 3 5

3(6 x +1 ) + 2 3 x + 3

B = x +1

ÁLGEBRA

Si n = # par X = ±n n → Si n =#impar ; ∀ n ∈ R+ − {0} X= n n

2. Resolver :

.∞ .. XX

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

Si n = # par X = ±n n → Si n =#impar ; ∀ n ∈ R+ − {0} X= n n

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria

Se sugiere que las estructuras expuestas ( 1 al 7); sean demostradas en clase por el profesor. 3. Reducir :

E =n n

n n

ÁLGEBRA

PRACTICA DE CLASE n n

∞

;∀ n ∈ R − +

→ E =n

(1 / 3) 2 / x

{0} a) -2 d) -3

4. Reducir :

= 81

b) -1/2 e) N.A.

c) -1

;∀n ∈ R−{0;1}

x>0

a) 1 d) 7/4

5. Reducir :

b) -1 e) N.a.

b) -1 e) -4/7

c) 4/7

a) 1 d) 4

;∀n∈R−{0; −1}

27 = 9 x

→ E =n +1 X

a) 7/2 d) 3/2

x>0

6. Efectuar :

, r+s

E = n(n + 1) + n(n + 1) + ...

3x a

→ E =n + 1

; ∀n(n+1)∈R −{0} 7. Efectuar :

E = n(n + 1) − n(n + 1) − ...

→ E =n a)

6 d) -2

;

a) 1824 d) 1812

3 /( x −5)

∀n(n+1)∈R −{0}

c) x=3

¡Importante! : Por la frecuencia en presentación de dichos ejercicios, necesario que los alumnos reconozcan forma o estructura de los mismos y inmediato indicar el resultado.

la es la de

125

− x −2

a) 1 d) 4

−1

c) -5

a) 2 d) 1

b) 2 e) N.a.

07. Reducir siendo x > 0.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

−1

es: c) 3

Calcular

2 −x

2 2

hallar el valor de:

x x +1

5 −1



=5 2

P P

c) 5

2 16 16 = x ( x +1)

c) 23

16.Si: 25

= TT

250

1875

= II

=55

2 /2

R= b) 562 e) 54

1250

( W.T.I.)

c) 52

c) 22 TAREA DOMICILIARIA

12.Resolver:

S5AL31B

5 −1

b) 22 e) N.a.

a) 2 d) 28

a) 531 d) 53

b) 2-1 e) 24

x −1

5 −1

10 −1

b) 2 e) 50

Calcular:

x x

a) 2 d) 23

10 −1

10 −1 5 −1

5 −1

11.A partir de:

32 25

S5AL31B

10 −1

a) 1/2 d) 10 15.Resolver:

c) 1816

b) 2 e) 0

x −2

= 5

x.y

−25

10 −1

= 81

−1

P = x −x1 / 2 −16 x −1

b) 2 e) N.a.

8 −9

1/ 2

c) 5

Calcular:

b) 1820 e) N.a.

06. El valor de “x” si:

= 16

3 3

10.Siendo:

dar como respuesta el valor de + x + y.

a) x=0 b) x=-1/2 d) x=1/2 e) x= -5 05. Hallar el valor de “a” si:

b) 8 e) 6

c) 3

resolver:

14.Si:

( 2 x −y )

c) -3/2

04. Resolver:

a) 1 d) 3

x +3 x +....

b) 2 e) N.a.

es:

se obtiene un número decimal de la forma: 0, mnp . Hallar p.

x −y

b) -5/2 e) -7/2

Después

09. Resolver el sistema:

(35 x )

c) 1,2

316 x +1 + 9 8 x −1 = 28

=3 a

03. Si “r” y “s” son las soluciones de la ecuación: E =n X : n X : n X : ...

b) 0,2 e) N.a.

13.

c) 3

30 + 30 + 30 + ...

x− 1

a) 0,5 d) 0,6

    3 3 2 x 2 : 3 x 2 :....∞  x :     

08. Siendo: x= calcular:

02. Hallar el valor de “x” si: 1 E =n Xn Xn X ... ∞ →E =n − X

    4 4 x 4 x.......∞ x     

a) 1 d) 4

01. Hallar “x” si:

5to Año Secundaria 3

3 5 x +3

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3

01. Al reducir :

5to Año Secundaria x

se obtiene 5 ;

7 3

e) 1,5

7 23

b) 1

 x x 5 x −12 . 125 25 

14 23

Se obtiene

 a+ 2   

a− 1

Se obtiene : x

a) 3 d) 7

− 1

   

b) 4 e) 5

c) 6

 x 16 3    

2 −5

3 x +1

se obtiene

b) 3 e) 1276

c) 125

04. Si el equivalente de : 3 5

5 3 25 4 9 3 9 25

b) 27 e) 363

(0 ,6 ) 8 ;

S5AL31B

b) 3 , 5

=5 5

; (17 z)z = 17 17

c) 8 a)

b) 17 3 5

c) 17 4 5

e) N.a.

 6    

12. Hallar x . z

b  se obtiene  a   ;  

b −3

3 −9

b) 5 e) 7

c) 3

en :

3 x x =

a) 3 −9

0 ,5 9 ; Zz = 16 0,5 3

b) 3 −9

d) 3 −9 . 4 −8

a) 1

d) –1

c) −

e) N.a.

09. Hallar x . y en : y

a) 2

c) 4

b) 18 2 e) N.a.

d) 3

c) 2 , 5

1 4

 (3 x )x = 27 9 ∧ 16  2y  =  

05. Si : (2 x − 1)3(2 x −1) = 618 . x+1. a) 4 , 5

e) N.A.

d) 17 5 5

Hallar : xx. a) 1 d) 55

08. Resolver : 81 3 2 x = 27 4 2 x

; hallar el valor de : x x −2

a) 16 d) 20

a) 4 d) 2

     

Hallar “n”.

03. Al reducir : 23

b) 6 e) 10

1 1  2 −3 4 3 b  a  

x . Hallar (a+2) .

3 5

11. Hallar E = x . 16 Z Si :

07. Si al efectuar :

a2 − 1

a+ 1

 

a) 7 d) 9

02. Al reducir :

d) 1

1 x +2 12

Hallar la suma de cifras del valor de x.

7 e) 13

d) 2

3 5

0, 2 4 3

06. Al efectuar :

5to Año Secundaria

el valor de 2x es :

ÁLGEBRA

c) 9

Hallar 10. Hallar x . y en : xx

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

∧ y y = 25 −0 ,1

S5AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."