Algebra(2) 4° 1b by juan guerrero

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Ejemplos: -8x3y2z ; x2 – x + 1 ;

Fraccionaria Irracional

Monomios Según número de términos

Entendemos que, Algebra es la parte de la matemática que estudia a la cantidad en su forma más general posible, empleando constantes y variables y las operaciones que con ellas se realizan en los conjuntos numéricos. EXPRESION ALGEBRAICA Es una combinación de constantes y variables en cantidades finitas donde solo intervienen las seis operaciones fundamentales suma , resta, multiplicación, división potenciación y radicación, sin variables en los exponentes.

Racional

Según la naturaleza del exponente

Entera

Polinomios

1° Término Binomios

2° Término

Trinomios

3° Término

Cuatrinomios

4° Término

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Son aquellas expresiones cuyas variables no están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios. Estas expresiones se subclasifican en: A) RACIONALES ENTERAS: Son aquellas expresiones en los que al transportar todas las variables al numerador, sus exponentes resultan ser enteros no negativos.

4y 2x − z

Ejemplos:

Nota: Cualquier expresión que no cumpla con los requisitos mencionados se denomina expresión no algebraica o trascendente.

2x2y ;

x +1 ; 2x + y2 3

B) RACIONALES FRACCIONARIAS: Son expresiones en donde por lo menos una de sus variables aparece en el denominador, o si están en el numerador, alguna de ellas aparece con exponentes entero negativo.

Ejemplos 2x + 5√3 + logx2 ; 1 + x + x2 + x3 + ......... ;

Ejemplos:

TERMINO ALGEBRAICO Es la mínima expresión algebraica en la que sus elementos se encuentran ligados por las diferentes operaciones aritméticas, excepto la adición y sustracción. Sus partes se indican en el siguiente esquema.

2 x3

; 3 xy +

1 2x + 1 ; x x −1

exponentes

signo coeficientes

-6

2 y

parte literal (variables)

TERMINOS SEMEJANTES Son aquellos que tienen la misma parte literal. Dos o más términos se pueden sumar o restar sólo si son semejantes, para lo cual se suman o restan los coeficientes y se escriben la misma parte literal.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES Estas expresiones se caracterizan por que sus variables están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios. Ejemplos: 1

GRADO DE LAS

Ejemplos: 7xy2 ; - xy2 ; √2 xy2 son semejantes y se pueden reducir a: (7 - √2) xy2 = (6 + √2)xy2 CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

x −3 ;

x 2y

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

GRADO: Es aquel exponente numérico (no variable) racional positivo o negativo que afecta a una variable tomada como base.

Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según la naturaleza de sus exponentes o por el número de sus términos.

Clases de Grado: a) Grado Relativo (G.R.): Con respecto a una de las variables

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

6 xy 4 ; 5 x 2 y +

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

b) Grado Absoluto (G.A.): Con respecto a todas sus variables

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

En el siguiente cuadro se muestra como obtener los grados de las diferentes operaciones: OPERACIÓN MULTIPLICACI

GRADO DE UN MONOMIO

ÓN A)

POTENCIACIÓN RADICACIÓN

GRADO ABSOLUTO: Se calcula sumando algebraicamente los exponentes de sus variables. Así: El monomio: M(x, y) = 7x3 y5 Tiene por Grado Absoluto(G.A) = 3 + 5 = 8º grado

IMPORTANTE • El grado de toda constante siempre es cero, cte≠ 0. Ejemplo: Si P(x) = 43 su grado es cero por ser constante • Si P(x) = 0 Este es el único polinomio cuyo grado es indefinido. GRADO DE UN POLINOMIO A)

DIVISIÓN

GRADO RELATIVO: Se refiere a una de sus variables de la expresión y está determinada por el mayor exponente que posee dicha variable; para ello la expresión debe estar previamente reducida o simplificada. Así: El monomio 4x2 y5 z8 es: con respecto a “x”, de 2do grado con respecto a “y”, de 5to grado con respecto a “z”, de 8vo grado

GRADO RELATIVO: Se refiere a una de sus variables y está determinado por el mayor exponente que afecta a dicha letra en todo el polinomio.

PRACTICA DE CLASE 01. Respecto a la expresión: x3

a) Es de 1er grado d) Es de 6to grado

+ x1

− x2

+ x0

9 38

b) Es de 2do grado c) Es de 3er grado e) N.a.

02. Determine el grado del siguiente monomio: P(x) = 24 a) 14.5

Así: El polinomio F(x, y) = 2x2y4z3 – 3x3y2z + 5x5yz 2 es:

GRADO RESULTANTE Se suman los grados de los factores Se resta el grado del dividendo menos el grado del divisor Se multiplica el grado de la base por el exponente Se divide el grado del radicando entre el índice del radical.

b) 14

8 2 3 x y

c) 10

d) 8

e) 2

03. Calcule el grado de: 3

Con respecto a 2x” de 5to grado Con respecto a “y” de 4to grado Con respecto a “z” de 3er grado

a) 2

GRADO ABSOLUTO: Se calcula indicando el término de máximo grado. Así: El polinomio:

b) 3

1 + x 2 + x9

c) 6

- (x2 + 2x + 1)3 + 1

d) 9

e) 0

04. Determine el grado de la siguiente expresión: 8 −1 + x) P(x) = 5 (x − 2 x)(x

x 2 −1

3 2 2 2 5 4 5 3 2 4  x y  z − 3  x y  z − 8  x y  z 7o

11 o

10 o

Tiene por grado absoluto 11. S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

a) 7/5

S4AL31B

b) 1

c) 6/5

d) –7/5

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 0

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

05. Calcular (m+n), si el monomio: M=

b) 4

x1 +m y 2 −n

c) 6

a) 6

d) 8

e) 5

06. Hallar (a+b)10, si los términos: ;

a) 3 c) 64

d) 128

e) 1024

b) 0

c) 68

d) 69

e) 172

08. Hallar el valor de “n” si el grado de “P” y “Q” es igual a 3 y 4 respectivamente y se conoce que el grado de la expresión:

(P 7 + Q 5 ) 2 n (P 5 + Q 4 ) n + 3



c) 3 3 7

d) –1

4 7

b) 7

b) 1463

c) 5

d) –6

b) 7

c) 6

d) 4

e) 8

16. Determinar el valor de “m” para que la siguiente expresión:

e) 4

F(a, b) = d) 1465

e) 8

Si su grado absoluto es 10 y el grado relativo a “y” es 4. Hallar el grado relativo a “x”.

20 7

c) 1464

  -7  + 2x + 1 3 4 x +x −x   1

P(x, y) = 2xa+2 y2 – 3xa+1 yb + 52 x6 yb-1

09. En P(x, y) = (x+y ) (x+y ) (x+y ) ...(x+y ) el grado absoluto es: a) 1462

e) 1

15. Dado el polinomio:

a) 5

es igual a 4.

sea de grado 1. d) 4

Q(x) =   a) 6

b) 70

2 7

c) -3

 

es de grado 20. G.R. (x) = 8

b) 2

e) 10

14. Determine el grado de:

P(x,y)= 4 x m +1y n −2 + 6x m +2 y n −1 + 6 x m +3 y n −2

a) 1

d) 9

Ax4 + (B-3)x2 + Bx + A

07. Calcular mn si el polinomio:

a) 71

c) 8

12. Hallar el valor de “a” para que el grado del siguiente monomio sea igual a 10. P(x, y) = (22 xa+2 y) 2 a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) 3

13 x 4 ab y 5 a +b

son semejantes: b) 0

b) 7

13. Hallar A-B para que el polinomio:

2 17 x(a +b ) y 6

a) 32

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

11. ¿Cuál es el grado absoluto de: P(x, y) = 3x6 y2 + 2x5 y3 – 8x4 y2 + 9y9 – 7x2 y2

x 1 −n y 2 −m es de grado absoluto 10 y el grado relativo a “y” es 4. a) 2

120

e) N.A.

 1/2  

 a1 / 3  b m  

−1 / 4

Sea de 2do grado. a) 37

b) 35/2

c) 31/3

d) 37/2

e) 37/3

17. Hallar el valor de “n” si el grado de “P” y “Q” es igual a 5 y 3 respectivamente y se conoce que el grado de la expresión: 10. Si el grado de P(x) es 4 y el grado de Q(x) es 5. Hallar el grado de R(x) si: 5 2 3 R(x) =

a) 30

b) 40

[ P(x) .Q(x) + Q

[ [ P(x) − Q(x) ]

c) 45

(x)

]

+ Q(x)

d) 65

]

a) 1 e) N.a.

b) 2

[ P 9 + Q 4 ] 3 n −2 [ P 6 + Q 7 ] n +4

c) 3

d) 4

es 105.

e) N.A.

18. Hallar el grado del siguiente producto: L = (x7+1)(x9+1)(x11+1) ... 20 factores

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

120

3 3

x y+x yz-xyz+x y a) 500

b) 510

c) 520

d) 530

e) 540 a) 2

19. Si G.P. (x) → 3 ∧ G.Q. (x) → 4 ¿Cuál es el grado de la expresión?

[ ] [ P 3 Q 2 + P 2Q 3 ]2 PQ 2

b) 47

c) 48

d) 49

e) 50

S(x,y)= 2( x n −1 ) 3 ( y n −2 ) 2 − 3x 9 −n y12 −n + x n −6 b) 61

c) 62

d) 9

e) 15

d) Solo III

e) I y III

I) Su grado absoluto es 9 II) Su G.R. (x) es 3 III) Su G.R. (z) es mayor que G.R. (x)

20. Determinar la suma de los grados absolutos máximo y mínimo que puede adoptar:

a) 60

c) 6

03. Con respecto al monomio 7x3y4z2 es FALSO que:

2  2 2 3 (PQ )2   P Q + PQ   E= 

a) 46

b) 3

d) 65

e) 70

a) Solo II

b) Solo I

c) I y II

04. Son términos semejantes: a) 5b2 y 5a2

b) 3a2bc y 3a2b

d) a2+b y a + b2

e) N.a.

c) 99a2 y

 − 

1 6

05. ¿Cuál es el coeficiente numérico de la expresión?

 17   1 3     b c  4  2  a)

17 4

17 c 4

17 c 8

17 8

e) N.a.

06. La expresión: 10x3y2 - 9y2x3+23x (xy) 2 a) Es un trinomio c) Se puede reducir a monomio e) N.a.

b) Se puede reducir a binomio d) Equivale a cero (0)

07. Al ordenar decrecientemente el polinomio:

PROBLEMAS PROPUESTOS

x6+y3+x4y2+x5y+x3y5

01. Señale Verdadero o Falso: I. 24 x2 y es una E.A. racional entera

respecto a “x” o respecto a “y” ¿Qué término ocupa en ambos casos el mismo lugar?

1 3 2 x y es una E.A. racional fraccionaria 3

02. Hallar el grado absoluto de la expresión:

a) x6 b) y3 c) x4y2 d) x5y 08. Señale la afirmación Falsa: a) Un polinomio completo no siempre está ordenado b) Un polinomio ordenado no siempre está completo c) Un polinomio completo de grado 8, siempre tiene 9 términos d) Un polinomio ordenado de grado 6, siempre tiene 7 términos e) Un polinomio completo puede estar ordenado

S4AL31B

II.

III. xx+2x no es una expresión algebraica a) VVF

b) VVV

c) VFF

d) FVF

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) VFV

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) x3y5

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

120

P(x,y)= ax - a x y+a x y -a y 09. Hallar el valor de a para que el grado del siguiente polinomio sea 9: 3xa+1y-4a+2xay-5x2 a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 5

10. El polinomio: xm+3+xm+1yn+y4 es homogéneo. Hallar: m+n a) 4

b) 3

c) 5

d) 6

e)No se puede determinar

a) b) c) d) e)

Es heterogéneo, ordenado y completo Es homogéneo, ordenado y completo Es homogéneo, ordenado e incompleto No es homogéneo, no es ordenado ni completo Ninguna anterior

17. Si el polinomio es completo, hallar n.

11. Hallar el grado del producto :

P(x) = xn+1+3xn+2+xn+3+5

P(x) = (6x2+1)3 (x2+x+1)5 (x3-8) a) 15

b) 7

c) 20

d) 17

e) 19

12. Señales verdadero o falso respecto a estas expresiones: 1 − 5x . Y 3

es irracional

b) VFF

c) VVV

c) 1

I) P(x)= x-2+3x-1+2 es polinomio entero en x II) ax2y3, con a constante es de grado absoluto 5 III) sen x + x2, es una expresión algebraica

2 y es racional fraccionaria 3 x +1

a) VFV

b) 0 e) 3

18. Indique Verdadero o falso:

II) 3xy+y2 es racional entera III)

a) -1 d) 2

a) VFF d) FFF

e) VVF

b) FFF

c) FFV

c) 19

d) 11

e) 13

d) -2x7y3

e) 5x4y3

Hallar: G.A. + G.R. (x) - G.R. (z)

c) 4

d) 5

b) 5

c) 8

20. Si: (a+2) x2a+3 y3b-1; (b-3)xa+5 y2a+b-3

14. Hallar el valor de n, para que el grado de (2xn+2y) 3 sea 18 b) 3

e) 12

zx−1

a) 3

a) 1

d) 9

x 4 y6 (2a – b)x2 + 4bx+2c ≡ 7x2+20x – 5

b) 17

e) FVF

19. Dada la expresión:

13. Hallar 2a+b, si se tiene que:

a) 21

d) VVF

e) 7

son semejantes; su suma es: a) 2x7y2

b) -x5y3

c) 3x3y7

15. Si el siguiente polinomio es homogéneo: P (x,y) = x5+xny2+xmy4+yr-1

TAREA DOMICILIARIA

Hallar m+n+r a) 5

b) 7

c) 9

d) 10

01. Señale verdadero o falso: I. 4x2y2 es una EA racional entera. II. 2x –1y2 es una EA racional fraccionaria. III. xx + log x no es una expresión algebraica.

16. El polinomio: S4AL31B

e) 12

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) VVF

b) VVV

4to Año Secundaria

c) VFF

d) FVF

b) 3

c) 6

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

x4 yb

e) VFF

02. Halla el grado absoluto de la expresión: 3x2 yz + 2x3yz + x3y3 a) 2

119

x −2 Hallar: GA + GR (x) + GR(y)

d) 9

e) 15

d) sólo III

e) I y III

a) 3

b) 5

c) 8

d) 9

e) 12

5 2

03. Con respecto al monomio 7x y es falso que: I. Su grado absoluto es 7. II. Su GR (x) es 4 III. Su coeficiente es 7. a) sólo II

b) sólo I

c) I y II

04. Son términos semejantes: a) 5ab2 y 5ab2

b) a2c y 3a2b

d) a2 + d y a+b



c) 9a2b y  −



1  3 a 8 

e) N.a.

05. Hallar el valor de n, para que el grado (2xn+2y) 4 sea 20. a) 2

b) 3

c) 4

06. Si el siguiente polinomio es homogéneo: P(x, y) = 10x5 + 3xny2 + 2xmy4 – 5yr – 1 Hallar: 2m + 3n – r a) 5 b) 7 c) 9

d) 5

e) 7

d) 10

e) 12

d) 4

e) 3

07. Si el polinomio es completo. Hallar n P(x) = 4xn – 1 + 3xn – 2 + 2xn – 3 + 5 a) –1

b) 0

c) 1

08. Indique verdadero o falso: I. P(x) = x2 + 3x + 2 es una EA racional fraccionaria. II. abx2y3, con ab constante es de grado absoluto 3. III. Senx + x–x es una expresión algebraica. a) VFF

b) FFF

c) FFV

POLINOMIOS ESPECIALES POLINOMIOS ESPECIALES Se denomina así a un conjunto de polinomios que gozan de características especiales, llámese la ubicación de sus términos o por el comportamiento de los exponentes que afectan a sus variables. Entre los más importantes tenemos.

d) VVF

10. Dada la expresión:

e) FVF

A. Polinomio Ordenado Es todo aquel polinomio cuyos exponentes de una de sus variables (llamada letra ordenatriz) van aumentando o disminuyendo de izquierda a derecha según que el orden sea creciente o decreciente respectivamente. Ejemplo:

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 9

P(x, y) = x +

4to Año Secundaria 4

119

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

120

2 x y + 2x y - 3xy + 7

Con respecto a “x” está ordenado en forma decreciente. Q(x, y) = 3x11 y2 - x6 y4 + 62 x3 y5 + y8

3) En cualquier polinomio completo y ordenado y de una variable la diferencia de grados entre dos términos consecutivos es uno. Ejemplo: P(x) = 4x 3

Con respecto a “x” está ordenado en forma decreciente.

exponentes desde el mayor en forma consecutiva hasta el exponente cero inclusive (término independiente), de uno en uno sin importarnos el orden de su presentación.

Con respecto a “y” está ordenado en forma creciente. B. Polinomio Completo Un polinomio es completo con respecto a una de sus variables, cuando contienen todos los

5x 2 + 3 x + 16x 0

1 1

4) En cualquier polinomio completo y ordenado, el grado de un término cualquiera es la media aritmética entre sus extremos de los términos que lo rodean. Ejemplo: Lugar: 1°

2°

3°

F(x) = 4x5 - 3 x4 - 2x3 + x2 + 7x + 5x0 4° 5° 6°

2+4 =3 2 4 +6 Gt5 = =5 2 Gt3 =

Ejemplo: P(x) = 2x2-5x4+3x3-7x + 1 →Term. Indep. 2° 4° 3° 1° 0° Tiene todas las potencias de la letra “x” desde la potencia 4 hasta cero. Luego diremos que P(x) es un polinomio completo con respecto a “x”, pero desordenado. Propiedades:

C. Polinomio Homogéneo

1) En todo polinomio ordenado y completo de una sola variable se cumple que el número de términos está determinado por el grado relativo aumentado en la unidad. # términos = Grado Relativo + 1 Ejemplo: P(x) = 5x 3 + 2x2 - 6x + 5 Es de 3er grado y tiene 4 términos. 2) En todo polinomio ordenado y completo el menor exponente respecto a una variable es CERO, denominándose a este término. INDEPENDIENTE, el cual se encuentra al final o al comienzo cuando el polinomio está ordenado en forma decreciente o creciente respectivamente. Ejemplo: F(x) = 4x3 + 2 x2 - 5x + 3 → 3x0 = T.I. G(x) = 2 - 5x + 7x2 + 3x ↓ 2x0 = T.I. S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

Son aquellos polinomios cuyos términos (todos ellos) poseen el mismo grado absoluto. A dicho valor se le denomina grado de homogeneidad (G.H.) Ejemplo: P(x, y) = x7 - 3x5 y2 + 8x3 y4 – y7 G.A.= 7° 7° 7° 7° P(x, y) es homogéneo de sétimo grado. Observación: No existe polinomio homogéneo de una sola variable, deberá poseer dos o más variables. Ejemplo: P(x) = ax6 + bx6 + cx6; no es homogéneo. ¿Por qué? Porque depende de una sola variable: a, b y c son constantes; entonces se podrá reducir a un solo término, así: S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 6

4to Año Secundaria 6

P(x) = ax +bx + cx = (a+b+c)x = Kx

119

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

Hagamos: x = 2 ∧ y = 1

En P(2; 1) = (2+1)2 - (2-1)2 = 9 - 1 = 8 D) Polinomio Entero en X Es aquel que depende únicamente de la variable “x”, siendo sus coeficientes números enteros.

En Q(2, 1) = 4(2)(1) = 8 Se observa que P(2; 1) = Q(2, 1) En consecuencia P(x;y)∧Q(x;y) son polinomios equivalentes y se les podrá representar así:

Ejemplo: P(x) = 2x4 - 3x3 + 7x2 – 2 P(x; y) < > Q(x; y) E) Polinomio Mónico Es aquel polinomio entero en x que se caracteriza por su coeficiente principal igual a la unidad.

Ejemplo: P(x) = x2 – 7x + 5; es un polinomio mónico de segundo grado (cuadrático). Q(x) = 2x + 3 + x3 - 4x2 ; es un polinomio mónico de tercer grado (cúbico). F) Polinomios Idénticos ( ≡ ) Dos polinomios reducidos, son idénticos cuando los coeficientes que afectan a sus términos semejantes son iguales. Sea: P(x) = ax3 bx2+cx+d ∧ Q(x)=Ax3 + Bx2

+ Cx + D

Se dice que P(x) ≡ Q(x) (idénticamente iguales , si se cumple que: a = A , b = B , c = C y d = D. G) Polinomios Equivalentes ( < > ) Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes adoptan el mismo valor numérico para un mismo sistema de valores asignados a sus variables.

Observación: Si dos polinomios son idénticos, entonces también serán Equivalentes, es decir también se obtendrá el mismo valor numérico para cualquier sistema de valores que se asigne a sus variables. Algunos autores utilizan indistintamente los símbolos de identidad (≡) y equivalencia (< >). ¡No te confundas! H) Polinomio Idénticamente Nulo (≡ 0) Un polinomio reducido es idénticamente nulo, cuando los coeficientes de todos sus términos son nulos o ceros. Ejemplo: Si:

Ax7 + Bx6 + Cx5 + Dx3 + E ≡ 0

Se debe cumplir: A = B = C = D = E = 0 Propiedades Adicionales en los Polinomios i) Para todo polinomio se cumple que su suma de coeficientes se obtiene reemplazando ala variable o variables con las cuales se está trabajando por la unidad. ∑ Coeficiente = P(1) ii) Análogamente, el término independiente (T.I.) se obtiene reemplazando a la(x) variable(s) por cero.

Ejemplo: Dados los polinomios: P(x; y) ≡ (x+y) 2– (x – y)2 ∧ Q(x; y) ≡ 4xy

T.I. = P(0)

Si ambos admiten el mismo valor numérico para cualquier valor de “x” ∧ “y”, entonces serán equivalentes; veamos:

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

es homogéneo de 10° grado. ¿De qué grado será el monomio: a

a) 24

b) 25

xb .

c) 27

xa .

d) 30

e) 33

06. ¿Cuál será el valor de : A + B + C + D para que el polinomio: Ax3 + 2x2 - 3x3 + 2Cx2 + 8 - 3Bx + D + 9x sea idénticamente nulo? a) 0

b) –2

c) 2d) –3

e) 4

07. dado el polinomio homogéneo: P(x, y) = xa + yb+c + xb yc + xc yb + xd ye + x e yd

PRACTICA DE CLASE Si la suma de todos los exponentes del polinomio es 54. K = a + b + c + d + e, es:

01. Si el polinomio es homogéneo: P(x, y) = x5 + xn y2 + xm y4 + yr-1 Hallar m + n + r.

a) 54

a) 5 b) 7 c) 9d) 10 e) 12 02. Determinar la suma de coeficientes del polinomio. P(x, y) = axa-4 + bxa+b-5 + cxc-b+3

b) 2

c) 3d) 5

a) 150

P(x) = x12-a + x2a-4 + x4-2a b) 3

c) 6d) 4

a) 5/4

b) 5/3

c) 2/3

b 2 + ac − ac

d) 2/5

b) -225

c) 225

d) 425

e) N.a.

b) 65

(7x3 - 6x2)7 (3x - 2)8 (5x4 - 4x3 + 1)6 c) 64 d) 128 e) 112

b) 8

c) 7d) 5

e) 10

11. El polinomio : x3n-1 + x3n-2 + x3n-3 +... + 1 es ordenado y completo. ¿Cuántos términos tiene? e) 3/2

a) 3n+1

b) n

c) 3n-1

d) 3n

e) n+1

12. Hallar a + b + c en el siguiente polinomio homogéneo:

05. Si el trinomio: a

S4AL31B

a) 32

a) 6

04. Si: ax2 + bx + c ≡ (mx + n)2 . Calcule:

e) 40

10. Hallar “K” si se cumple la siguiente identidad: (x+y)7 - x7 - y2 ≡ Kxy (x+y)(x2 + xy + y2)2

e) 7

d) 24

09. Hallar la suma de coeficientes de:

e) N.a.

03. Señale el grado del polinomio entero ordenado en forma estrictamente decreciente:

a) 5

c) 25

08. ¿Cuál es el término independiente de: (x + y + 8z - 5)2 (2x2 - y3 + z + 3)2

Si se sabe que es completo y ordenado decrecientemente. a) 4

b) 27

El valor de :

x a +b +b x b +c +c x a +c

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

E = 10xa+3 - 2axb+a + (xy) c - x2 yb+2 S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 10,5

b) 10

4to Año Secundaria

c) 11

d) 9

119

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

120

e) 12,5 20. Halle “a + b + c” si: 4x2 – 14x-48 ≡ a(x+1)(x+2)+b(x+2)(x+3)+c(x+1)(x+3)

13. Se conoce que el polinomio: 4xa + 3xb yc + xc yb + ya

a) 34

b) 19

c) -4

d) 4

e) –19

es homogéneo, ordenado y completo respecto a “x” e “y” según esto. ¿Cuánto vale a + 2b + 3c? a) 14

b) 13

c) 12

d) 11

e) 10

14. Si: ..... 3xa yb + 5xa-1 y4 + 7x3 yc + ..... son términos consecutivos de un polinomio ordenado, homogéneo y completo. Entonces a + b + c es: a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

PROBLEMAS PROPUESTOS

e) 16 01. Calcular la suma de coeficientes de:

15. Calcular el grado del polinomio entero y ordenado decrecientemente. P(x) = x2m + xm-3 + x4-m a) 6

b) 18

c) 20

d) 14

f(x) =(2x −1)5 (3x −2)11 (4x +1)

a) 1 e) N.a.

b) 2

c) 3d) 4

e) 5

02. Calcular el Termino independiente de: f(x) =(3x +1)9 (2x 5 −2)3 (x −3)

16. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo: a) 24

P(x) = c(xa+xb) + a(xb+xc) + b(xa+xc) + abc a) 6

b) 9

c) 12

d) 15

e) 18

b) 3

c) 22

d) 21

e) N.a.

03. Calculara el valor del coeficiente del polinomio: P (x, y) = 4n m x 3m +2 n . y 5m −n

17. Hallar la suma de coeficientes de la expresión: a) –1

b) 23

Si su G.A. es 10 y su G.R.(x) = 7

E = [2x2 - 3x + 1]3 (x5 + 2)2 c) 4d) 8 e) 0

a) 2

b) 18

c) 4d) 8

e) N.a.

04. Hallar el valor de 5m + 2n con la condición que el monomio: 18. Determinar “m” con la condición que el término independiente del producto (m > 0).

Sean de G.A.= 53 y de grado relativo respecto a “x” es 20.

(x + 3)2 (x + 2)3 (x - m)2 (x2 + 5) sea 1440 a) 1

b) 2

c) 3d) 4

a) 22

e) 5

S4AL31B

c) 64

d) 33

e) N.a.

es un polinomio homogéneo cuya suma de cuadrados de sus coeficientes es 48, hallar el grado del polinomio. Nota: m > 0

−2

b) 32

c) 16

P (x, y) = mx m + p + nx m −n y 3n −p + py n +p

P(x)=(a+c-3abc)x2y + (a+b-6abc)xy+(b+c-7ab)

a) 8

b) 13

05. Sabiendo que:

19. Sabiendo que el polinomio es idénticamente nulo:

 abc  a, b, c ≠ 0. Calcule A =   a +b +c 

P (x, y) = x 4m +4n . y 9 m −3n

a) 3

b) 6

c) 4d) 8

e) N.a.

06. Dado el polinomio homogéneo: d) 16

e) 81

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

P (x, y) = x a + y b +c + x b y c + x c y b +

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

es 2 entonces el producto de sus coeficientes es: x d ye +x e yd ,

si la suma de todos los exponentes del polinomio propuestos es 42, el valor de: E = a+ b + c + d + e es: a) 7 b) 21 c) 14 d) 28 e) 33

a) 2 b) 4 13. Si el grado del monomio:

c) 8d) 46

e) 64

M(x) =

07. Dado el polinomio:

4 6

P (x) = (n −1)x m −1 +(m − 2)x n −2 + (2q +1)x p −3 +(p +1)x q −1 −1

Ordenado y completo, la suma de sus coeficientes es: a) 13

b) 12

c) 15

es igual a 5, calcular el valor de a) 6

d) 18

e) N.a.

08. Si P(x) es completo, hallar su grado:

c) 2n – 4

e) N.a.

b) 2

c) 3d) 4

e) N.a.

15. El polinomio P (x) = 3x a −4 − x 2a −14 − x 2 está ordenado descendentemente. Calcular P(2), si (a-4) y (2ª-14) son consecutivos.

P (x, y) = 5x m +3 . y 2n +1 − 4x m −1 . y 3n +1

es homogéneo y la relación de los exponentes de “x” en sus 2 términos es como 3 es a 1. Hallar: m +n b) 11

c) 8d) 9

d) 2n – 2 e) N.a.

09. Si el polinomio:

a) 7

a +4

14. Si el grado absoluto de “P” es 11, determine el valor de “n”

a) 1 b) 2n + 1

P (x; y) = x 3n −1y n − 2x 2n −2 y 2n + x n −3 y 3n z 2

P (x) =1 + x + x 2 + x 3 ...( 2n −3) términos

a) 2n – 1

b) 7

x 3a

c) 1d) 9

a) 70

b) 72

c) 76

d) 80

e) N.a.

10. P (x) = ax 2 +(b + 3)x + 9 Q(x) =(c −1) +(c −3)x +(8 −a )x 2

Son idénticos. Calcular abc a) 100

b) 200

c) 400

d) 120

e) N.a.

11. Si el polinomio: P (x) = x a +2 b + ... + x a −2 b

es completo, ordenado en forma ascendente y tiene 25 términos, entonces la cantidad de términos que le falta a: Q(x) = x a +b (x a + x a −1 + x a −2 )

para que sea completo es: a) 10

b) 9

c) 16

d) 15

e) 28

12. Si el grado de homogeneidad del polinomio: P (x) = ((m + n )x) m −n +(0,5x) n +p + S4AL31B

((m + p )x) m −p

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

TAREA DOMICILIARIA

PRODUCTOS NOTABLES

01. Sea el binomio: Q(x;y)= ax a +2 y 3 + a 2 x 5 y 3 − 3x b −5 y 2 + bx 3 y 2 Calcular:

ab + 1

a) 1

b) 5

c) 3d) 4

Son productos cuyo desarrollo se conoce fácilmente por una simple inspección. Los más importante son:

e) N.a.

01. BINOMIO AL CUADRADO.

02. Calcular la suma de coeficientes del polinomio homogéneo: 3

P (x; y) = 5(a + n )x n y 5n +2 − 2(2a − 4 b − n 2 )

  Trinomio cuadrado 2 2 2  Perfecto * (a − b) = a − 2ab + b  * (a + b)

x 3n +n . y 8 − 5(b + n 2 − 2n )(xy)a +3b

a) 40

b) 36

c) 62

d) 70

+ 2ab + b

e) N.a.

03. Calcular abc en el polinomio:

P (x) ≡ (a + 3)x −1)(x + 2) + (b − 2)(x −1)(x +10) + (c − 2)(x + 2)(x +10)

02.SUMA POR DIFERENCIA * (a+b)(a-b) = a2 - b2 ← Diferencia de cuadrados

es idénticamente nulo. a) –2

b) –4

c) –8

d) –12

e) –16

03.BINOMIO AL CUBO

04. En el polinomio:

* (a+b)3 = a3 + 3a2 b +3ab2 +b3

P (x) ≡(ax +b) (x n +1)

* (a – b) = a – 3a b +3ab – b

forma desarrollada

Se cumple: P(2) + 130 = b + 4 = a Además P(x) es mónico. El valor de “n” es: a) 7

b) 6

c) 5d) 4

04.BINOMIO POR TRINOMIO (Suma o Diferencia de cubos )

e) –1

05. Si P(x) y F(x) son polinomios de primer grado de coeficientes naturales, y además: F(4) = 19 ∧ P (F(x) –3) ≡ 20x+ 8 Calcular: F (P (4)) a) 112

b) 113

c) 114

d) 115

e) 116

* (a+b) (a2 - ab +b2 ) = a3 +b3 * (a - b) (a2 +ab +b2) = a3 - b3 05.BINOMIO CON UN TERMINO COMUN * (x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab 06.PRODUCTO DE BINOMIOS * (ax+b)(cx+d) = acx 2 + (ad+bc)x +bd

07.TRINOMIO AL CUADRADO S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

* (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

* (a+b+c)3 + 2(a3+b3+c3 ) = 3(a+b+c)(a2+b2+c2) +6 abc

forma desarrollada

•

08.TRINOMIO AL CUADRADO * (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c) forma semidesarrollada

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

120

IDENTIDADES CONDICIONALES I) Si a+b+c= 0; se demuestra que: * a2+b2+c2 = -2(ab+bc+ac) * a3+b3+c3= 3abc * (a2+b2+c2 )2 = 2(a4+b4+c4 )

09.IDENTIDADES DE LEGENDRE * (a+b)2 + (a - b)2 = 2(a2+b2 ) * (a+b)2 - (a - b)2 = 4ab COROLARIO * (a+b)4 - (a - b)4 = 8 ab(a2+b2 )

* (ab+aac+bc)2 = a2b2 +a2c2 +b2c2 * Si a2+b2+c2 = ab+bc+ac Donde a,b,c ε R Se demuestra que: a=b=c * Si: a2n +b2n+c2n+…+m2n = 0

10.IDENTIDADES DE LAGRANGE

* (a2 + b2 ) (x2+y2) = (ax+by) 2 +(ay - bx)2 a

x (- )

y (+)

a + 2n b + 2n c +...+2n m = 0

donde n ε N, es posible sólo si : a = b = c = ……= m = 0

11.IDENTIDAD DE ARGAND * (x2 +x+1) (x2 -x+1) = x4+x2+1 * (x2m +xm ym +y2n )(x2m - xm yn +y2n ) = = x4m + x2m x2n + y4n •

PRACTICA DE CLASE

IDENTIDADES AUXILIARES * (a+b+c) (a2+b2+c2 -ab - ac - bc)=

01. Simplificar: E = (a – b) (a + b – c)+ (b – c) (b + c – a)+(c – a) (c + a – b)

= a3+b3+c3 -3abc S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 0b) a

c) b

d) c

4to Año Secundaria

e) a + b

b) 40

d) x2 – x +16

c) 48

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

09. Sabiendo que: x + 1/x = 2 Calcular el valor de x6 + 1/x6

02. Simplificar: M=(x – 3)(x – 1) (x+2)(x+4) – (x – 2)(x+3)(x+5) (x – 4) – 12(x + 4) (x – 3) a) x2 +x+ 5

119

a) 1b) 3 e) 42

c) 64

d) 32

e) 2

10. Si se cumple que: a+b=3 y ab= -2 Determinar el valor de: a5 +b5

03. Simplificar la sgte expresión: 14

 ( x − 1)7 ( x2 + x + 1)7   ( x + 1)12 ( x2 − x + 1)12      ( x3 − 1)7 ( x3 + 1)12     a) (x+1)30

b) (x – 1)30 c) x30

d) x

a) 1b) –1

a) a2

(a + b +c)(a +b −c)(a −b +c)(a −b −c) +4 a 2 b 2 +c 2

b) b2

c) a2 + b2

d) 0

e) a2 – b2

c) 2 – 2

d) 22

c) 2

d) –2

b) c2

c) b2

e) N.a.

06. Reducir la siguiente expresiva : E =

(3 2 + 2 3 )(3 4 + 2 6 )(3 8 + 212 )(316 + 2 24 ) + 2 48

b) 32 2

c) 6 6

d) 3

e) 4 2

07. Si se cumple que: (x/y) m + (y/x)m = 79 Hallar :

a) 1b) 2

c) 3

a) ± 1

b) ± 3

a) 31/3

b) 2

(x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 1 (x − y)(y − z)(z − x) 9 c) 1

d) –1

e) 3

Calcular : M = 3 x 10 + x −10 + 2 c) 7

d) 4

e) 6

x m ym

d) 2/5

e) N.a.

a + b

15. Si : x + 3 y + Calcular :

b a c) ± 2

d) ± 4

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

z =0

G= e) N.a. a) 1b) 3

S4AL31B

e) a2+b2

d) 0

14. Si : x4 - 3x2 +1=0

a) 5b) 3

x m + ym

08. Si se cumple que: a/b + b/a= 7 Calcular el valor de:

e) 0

13. Evaluar la siguiente expresión:

5 (x +y ) 3(x −z) 8 (w −y)  E = 32 (z+w)         

a) 2b) 2 – 1

e) 753

12. Simplificar: (a+b+c+d)2 + (a-b-c+d)2 +(a-b+c-d)2+ (a+b-c-d)2 – 4(a2+b2+c2+d2 ) a) a2

05. Si: (x+y+z+w)2 = 4(x+y)(z+w) calcule el valor de:

d) 373

(m + n )2 + (n + p )2 + (p + m)2 ; es: mn + np + pm

e) 1

04. Simplificar : E =

a) 243 b) 191 c) 573 11. Si m + n + p = 0; entonces el valor de:

S4AL31B

c) 9

d) 27

(x + y + z) 3 xyz e) 1/3

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 16. Hallar el valor numérico de : E = x6 - 6x4 +9x2 3 7 − 6 + Para : x = 3 a) 12

b) 24

4to Año Secundaria

7 +

c) 28

d) 56

e) N.a.

c) a

d) b

(a −b)(a +b) 2 +2ab +(a −b)2  +2 b 3    

a) 2b) 4

c) 8

a) 12

(x + y − 3 z) 2 + (3 x − y − z) 2 + (x − 3 y + z) 2 x 2 + y 2 + z2

b) 16

c) 9

d) 8

Calcular: a) 1b) 2

+ −

−d2

c) 3

a) 7b) 5

e) N.a.

c) 30

d) 38

e) N.a.

d) 8 y

xy(x + y) = 70

c) 10

d) 8

a) 24

b) 23

c) 26

d) 4

e) N.a.

08. Si: x +

PROBLEMAS PROPUESTOS

S4AL31B

e) N.a.

c) 3

(a − b)3 + (b − c)3 + (a − c)3 10 d) 4

e) N.a.

1 =3 x

Calcular: x 5 + x −5

x2 − 9 01. Si: x = – 3 Calcular: E = x+3 c) 4

d) 21

07. Si: a – b = b – c = 3 3 Calcular:

a) 1b) 2

b) 6

e) N.a.

a +b+c =9

a) –6

e) N.a.

Hallar: A = ab + ac + bc

c 2 =(d +1) (c −d )...( II)

d) 42

06. Dado: a 2 + b 2 + c 2 = 29

20. Si se cumple que: a 2 =(b +1) (a −b)...( I)

c) 43

c) 10

05. Si: x 3 + y 3 = 133 Calcular: x + y

e) N.a.

19. Si: x + y + z = 0. Calcular el valor de:

b) 20

a) 6b) 5

2 −1

d) 16

a) 40 b) 41 03. Dado: x 2 −1 = 6x Hallar: x 2 + x −2

04. Si: a 2x + a −2x = 27 Hallar: a x − a −x

18. Calcular el Valor Numérico de: b=

1 = 3 5 . Hallar: x 2 + x −2 x

a) 10 e) N.a.

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

 a + b a − b   a 2 − b 2  +   a − b a + b   a 2 + b 2 

Si: a = 3 4

120

02. Si: x +

17. Simplificar:  a) 1b) 2

119

a) 123 d) 8

b) 124

c) 121

d) 128

e) N.a.

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) N.a.

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 09. Calcular:

x + y

a) 1b) 3

e) N.a.

(3x 5 − 1 + 2x 4 )(3 + 4x − 2x 2 )(x 2 + 1) c) 144

b) 54

d) 130

e) N.a.

a) 12

b)13

c)17

d) 19

e) N.a.

02.Hallar “m” para que en el producto resultante, el termino de grado 4º tenga como coeficiente 21. a) 2b) 3

c) 52

d) 48

e) N.a.

c) 4

d) 6

e) N.a.

03.Hallar “m” para que en el producto resultante, el término de grado 3º tenga como coeficiente 7.

(m + 3x 2 )(mx 2 − 3x + 1)(x − m )

a 1996

a) 2b) 3

c) 3

d) 4

e) 5

d) 6

e) N.a.

a) 610

b) 620

c) 630

d) 440

e) 800

05. Hallar el grado absoluto del producto total en:

A= c) 15

c) 4

04.Hallar el grado absoluto del producto total en: (x 22 + 1)(x 23 + 1)(x 24 + 1)...... 20 factores en total

a 1996

13. Si: a + b = 2, ab = 3 Calcular:

a) 5b) 10

d) 21

01.Hallar el coeficiente del término de grado 5 del producto total en:

1 1 = 4 Hallar: x 3 + 3 x x

a) 1b) 2

c) 12

TAREA DOMICILIARIA

ab = 4

b) 180

b) 9

e) N.a.

1 12. Si: a + =2 a Halle:

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

Calcular: A = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c) 2

d) 8

10. Siendo: a – b = 5 Hallar: a 3 − b3

a) 50

120

a) 18

c) 2

a) 185

119

15. Si: a + b + c = 3 a 2 + b 2 + c 2 = 9

y x

x y + =7 y x

Siendo:

11. Si: x +

4to Año Secundaria

d) 20

x 2 + 1)(x 12 + 1)(x 36 + 1)(x 80 + 1).......

a 2 + b2

a) 3025

b) 3045

d) 3410

c) 3065

e) 385

e) N.a.

PRACTICA DE FIJACIÓN DEL APRENDIZAJE 14. Si: a + b + c = 0 Entonces:

(

)(

01. 8 2 + 1 8 2 −1 4 2 + 1

(a + b − 2 c) 2 + (a + c − 2 b) 2 + (b + c − 2 a ) 2 a 2 + b2 + c2

a) 2

b) 3

)(

)

2 +1 +1 c) 4

d) 5

02. Efectuar: a) 1b) 3 S4AL31B

c) 9

d) 9,5

e) N.a.

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

6 2 +1 6 4 −6 2 +1 +6 2 −1 6 4 +6 2 +1             

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) N.a.

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

120

(x+1) (x-1) (x +x+1) (x -x+1) – (x +1) (x -1) a) 2√2 N.a.

b) 2 6 2

c) 2 3 3

d) 3 16

b) 25

c) 24

d) 59

e) N.a.

04. Si: x3 + y3 = 10 xy = 6 Calcular: (x + y)3 – 18(x + y) + 20 a) 50 05. Reducir:

a) 3a

c) 30

d) 20

e) 10

(

)

− 2 ( a −1 ) a 2 + a + 1 − 2

b) 2a

c) 6a

d) 4a

e) 5a

d) x6 + x –1

e) x12 + x2 – 1

b) 27

c) 9

d) 8

e) 64

c) 18

d) 29

b) 0

c) abc

d) 4abc

e) 2(a + b + c)

b) – x18 + 1

c) x18 + x9 – 1

d) x18 + 1

e) x 18

b) – 60

c) – 70

d) – 80

e) N.a.

d) 2

e) 1

15. Siendo: a + b = 3 y ab = 3 Calcular: M = (a + a2 + a3 + a4) + (b + b2 + b3 + b4) a) 3

b) 24

a +b +c 2

14. Si: (x – a) (x –b) (x – c) ≡ x3 + 5x2 + 15x – 10 Hallar: a3 + b3 + x3 a) – 50

07. Si: x2 + 1 = 3x Hallar: x3 + x-3 a) 36

c) – 2x6 + 2

13. Efectuar: (x+1) (x-1) (x4+x2+1) (x6-x3+1) (x6+x3+1) a) x18 – 1

06. Calcular: ab + ac + bc, sabiendo que: a2 + b2 + c2 = 10 a + b +`c = 8 a) 54

Para: x =

a) a2 + b2 + c2

b) 40

( a + 1 ) 3 + ( a −1 ) 3

b) x6 – 1

12. Hallar: x2 + (x – a)2 + (x – b)2 + (x – c)2

03. Si: x – y = 7 ; xy = 5 Calcular: x2 + y2 a) 49

a) x6 + x3 – 1

b) – 3

c) – 2

e) 31

08. Reducir: (x+2) (x+3) (x+4) (x+5) – x2 (x+7)2 – 120 a) 22

b) 11

c) 22(x+7)

d) 22x2+154x

e) 22x2+154

09. Efectuar: (a+b)4 – (a –b)4 + 8ab (a+b) (a-b) a) 8a3b

b) 8ab3

PRACTICA CALIFICADA c) 16ab3

d) 16a3b

e) N.a.

10. Reducir: (x+2) (x - 3) (x - 5)- x2 (x - 1)2 +26 (x2-x+4) a) 220

b) 221

c) 222

a) 4 d) 223

e) 224

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

b) 5

c) 27

d) 12

02. Si: p + q + r = 0, entonces simplificar: 3

11. Reducir: S4AL31B

01. En la expresión: (3m4 – am2)2 = 4ma – bm6 + 9mc, entonces el valor de: (b – a) (c – d) es:

S4AL31B

(p + q ) 2 + (q + r) 2 + (p + r) 2 pq + qr + pr

se obtiene:

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 3

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 3 3

4to Año Secundaria

b) 3 − 3

c) 3 − 2

d) – 1

e) 1

03. Si a = 3, entonces el valor de: 16

8 (a 2 +1)(a 4 +1)(a 8 +1) +1

a) a2

b) √3

es:

c) 3

d) 6

(a –b) ( a + b) = 49, a2 + b2 = 337 y √a + √b = 7, entonces el valor de b) 145

c) 144

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

La operación de la división aparece y se desarrolla conjuntamente con los números quebrados al llamarles números ruptos (rotos) y empleó la raya de quebrado para separar el numerador del denominador. En el siglo XVI aparece la reducción de quebrados a un común denominador por medio de M.C.M. La división de polinomios se simplifica cuando aparecen los trabajos de Guillermo Horner y Paolo Ruffini; donde se muestran esquemas que hacen que la división de polinomios sea mas sencilla.

e) 27

La división de polinomios tiene mayor aplicación en la teoría de ecuaciones. A continuación desarrollaremos una aplicación importante del Horner al cálculo de la suma de las potencias de las raíces de una ecuación polinominal.

04. Si:

a) 125

119

d) 120

ab a − b

, es:

e) 140

Ejemplo: Sea polinomio; P(x) = x3- x2+11x - 6 donde se sabe que las raíces son: x 1=1; x2=2; x3 =3 ahora obtendremos el polinomio: P(x) = 3x2 – 12x + 11 (llamado también la derivada de P (x)). Luego dividimos :

05. Si: (x + y + z + w)2 = 4 (x + y) (z + w) Calcule el valor de:

P ' (x ) por Horner. P (x )

5 (x +y )  3 (x −z)  E = 32 (z +w)   8 (w −y)    

b) 2-1

a) 2

c) 2-2

d) 22

e) N.a.

Lo que se obtiene en el cociente representa : S o = x10 + x 02 + x 03 = 3 S1 = x 1 + x 2 + x 3 = 6

DIVISIÓN ALGEBRAICA DE

S 2 = x12 + x 2 + x 32 = 14 2 S 3 = x13 + x 32 + x 3 = 36 3

1 6 -11 6

Objetivos   

Conocer los métodos de división de polinomios. Buscar la aplicación de la división a capítulos posteriores. Hallar los restos de algunas divisiones en forma directa.

-12 18

11 -33 36

18 -66 84

36 -154

Introducción S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

84 

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

↓ So

↓ ↓ S1 S 2

↓ S3

119



Lo cual se verifica teniendo en cuente que : x1= 1; x2 = 2; x3 = 3; como se planteó al inicio.

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

120

Métodos para Dividir Para dividir polinomios; se van a desarrollar dos métodos :

A. Método de Horner Este método utiliza coeficientes separados de acuerdo al esquema.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS mismo signo

D I V I S O signo cambiados R

Definición Es aquella operación donde a partir de dos polinomios llamados dividendo y divisor se obtienen otros dos polinomios llamados cociente y residuo; donde estos 4 polinomios cumplen la siguiente identidad. D(x)

≡

d(x) q(x) + R(x)

Algoritmos de

D I V I D E N D O

: COCIENTE

RESTO "k" columnas

la División

Donde : D(x)= Polinomio Dividendo d(x)= Polinomio Divisor q(x)= Polinomio Cociente R(x)= Polinomio Resto ó Residuo

NOTA

Además : Grado [d(x)] > Grado [R(x)]

∨

K = Grado de Divisor R(x)=0 Ejemplo:

PROPIEDADES DEL GRADO ♦GR [d(x)] ≥ GR [d(x)] ♦Máximo GR [R(x)]= GR [R(x)]-1 ♦GR [q(x)] = GR [D(x)] - GR [d(x)]

Dividir:

2x5 − x4 + 2x 3 + 5 x 2 + 2 2x3 − x 2 + 5

Clasificación de la División Primero completamos los polinomios:

A. División Exacta ↔ R(x) ≡ 0 Del algoritmo: D(x) ≡ d (x )q (x ) + R(x )

⇒

D(x)

≡

2x5 − x 4 + 2x 3 + 5 x 2 + 0 x + 2

D(x)

≡

D(x ) ≡ q (x ) d (x )

−x

+ 0x +5

B. División Inexacta ↔ R(x) ≠ 0 Del algoritmo: D(x) ≡ d (x )q (x ) + R(x )

⇒ S4AL31B

D(x ) R(x ) ≡ q (x ) + d (x ) d (x )

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria 1

-1

-5

-3

-5 1

Llevamos al esquema:

119

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

como están completos y ordenados llevamos al esquema: 3x-1=0 X=1/3 3

q(x)

-6

13 17

-1

-3

12 21

q(x)Falso R(x)

3 9 - 3 12 21 6 3

R(x)= 1x2 + 0x – 3 = x2 – 3

q(x) verdadero =

B. Método de Ruffini Es una consecuencia del método de Horner que se aplica cuando el divisor es de la forma:

q(x) = 1x5 + 3x4 – 1x3 + 4x2 + 7x + 2

≠

R(x)

q(x)= 1x2 + 0x + 1 =x2 + 1

d(x) = ax + b ; a

R(x) = 5 0; de acuerdo al esquema: ax+b= 0

DIVIDENDO

-b x= a

Teorema del Resto Este teorema nos permite hallar el resto de una división en forma directa; de acuerdo al enunciado: Sea P(x) un polinomio no constante; entonces el resto de dividir P(x)entre: (x - a) es P(a).

COCIENTE FALSO RESTO

Donde:

cociente verdadero

cociente falso a

Demostración: Del algoritmo: P(x) ≡ ( x − a ) q ( x ) + R para:

Ejemplo :

x = a ⇒ P (a ) = 0 q (a ) + R ⇒

Dividir:

Ejemplo:

3 x 6 + 8 x 5 + 6 x 4 + 13 x 3 + 17 x 2 − x + 3 3x − 1

S4AL31B

P (a ) = R

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

Sea P(x) un polinomio no constante.

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

I. x 2 + 5 x − 1 = 0 → x 2 + 5 x = 1

P es P(5) x −5 P (x) ♦ El resto de es P(- 4) x +4 ♦ El resto de

II. Resto =

2 2 2  x +5 x +4   x +5 x +6   +x −4   

(1)

= (5) (7) + x2 – 4 1 –5x

Procedimiento Práctico

= 35 +1 – 5x – 4 = -5x +32 ∴ Resto = -5x +32

I.I gual a cero el divisor. II. Reemplazar en el denominador. Ejemplo :

Hallar el resto de : x

+ x −1 x −2

I. x − 2 = 0 → x = 2 II. Resto = 2 5 + 2 − 1 = 33

Generalización del Teorema del Resto El teorema del Resto también se aplica para divisores de la forma: ax +b ; a grado mayor que uno de acuerdo al siguiente procedimiento:

≠

0 ; y para divisiones de

I. Se iguala a cero el divisor y se despeja lo más conveniente. II. Se reemplaza en el numerador; hasta obtener un polinomio de grado menor que el grado del divisor el cual será el resto. PRACTICA Ejemplo: 01. Halle la suma de los coeficientes del cociente de:

Hallar el resto de:

+ 5x 5x

( x + 1)( x + 2 )( x + 3 )( x + 4 ) + x 2 − 4 x2 + 5x −1

+ bx

+ 3x + 3

− 3x − 3

resto es: 5cx

a) 5

Resolución:

b) 1

c) 9

d) 6

e) 8

02. La expresión (x2+2x+5) será un factor de (x4+px2+q), cuando el valor de “pq” es:

Por el T.R. Generalizado:

S4AL31B

25 x

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

. Sabiendo que su

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) -150

b) 150

c) 250 6x

03. Si el resto de dividir:

4to Año Secundaria

+ 4x

d) -250

+ 5x 2

+ 8x

119

e) 400

+ mx + n

+ 2x + 1

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

120 4x

+ 2x

+ 6x

es: “px+q”. Calcular el valor numérico a) 1

−x

b) 3

c) 6

d) 9

e) 0

08. En la siguiente división efectuado por el método de Horner: de:

m (q + 2 )

n(p + 5 )

d c

1 -1 c

a) 1

b) 2

04. Halle m+n+p si:

c) 3 5

+ 4x 2x

a) 0

3 3

b) 27

05. Si la siguiente división

+ mx

+ px + n

+ ax

+ cx + d

−x −1

a) -1

+ Ux +x

e) 18 Calcule el valor de:

d) 4

+ Dx

-e e

Calcule a - b - c + d + e; si los coeficientes del dividendo suman -10. b) 2

c) 3 Ax

c) 10

d) 0

e) 1

09. Si la división indicada:

d) 10

+ bx

e) 5 arroja como resto 5x2 - 3x+7

c) 12

b) 2

06. En la siguiente división

+3+x

a) 1

d) 4

-3 -c e 1

+ Nx + I

a +b+d

+ 7x

+ 3x

− 3x

− 8x

− 4x + λ

a) -2x

c+a −d

, ofrece un residuo lineal. ¿Cuál es éste?

b) -x+2

c) x+2

d) -2x+1 e) 2x - 3

e) 5 ; el resto es 5x2 - 3x+7. Calcule el valor de 10. La división siguiente

A+D+U+N+I. Sabiendo que el resto de dividir:

x+A x −1

es 9; y el resto de dividir:

x+D x−2

es 6.

+ 3x

+ bx x

+ 6 bx

+x+a

−x+b

, se sabe que el resto es 2x+3, además la suma de coeficientes

del cociente es mayor 1ue 15. Calcule ab. a) 19

b) 29

c) 39

d) 49

e) 59

07. Encontrar el resto de la división:

a) 4

b) 9

c) 7

d) 2

11. Calcule (mn+np+mp) si el resto de la división:

e) 8 4

+ nx 2x

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

+ px

− 5x + 2

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

+ 6x + 6

es -5x+8

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) -12

b) -16

4to Año Secundaria

c) -137

d) 124

e) 46

12. Calcular “a+b” si la división ax

+ 2 ( 3 + a )x

+ (12 − a ) x

− (6 − b )x

a) 1

b) 2

+ b −1

c) 6

d) 8

( x + 1 )( x

x + 2x − 1 Da un cociente que evaluado para x=2 es igual a 39 y a; b ∈ Z+

b) 4

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

120

c) 3

d) 4

e) 5

d) 4x

e) 6x

d) 2x

e) x

17. Halle el resto de dividir:

a) 1

119

a) x+6 e) 10

+x 2

+ 1 )( x

b) x - 1

+ 1)

c) 2x -1

18. Sea la división de polinomios:

13. Si x1, x2, x3 son las raíces del polinomio P(x)=x3+2x-1. Averigüe el residuo de:

 1 1 1 P (x ) − P  + +  x x2 x3  1 x a) 0

   

c) 2x – 1

a +1

d) x – 12

2a a −1

+ 7x + 4

b) x - 1

( x + 2 ) .( x + 6 ) ( x + 1 )( x + 3 ) el valor de “n”. e) 6

a) 5

− 256 x x

a) 200

c) -1

−1

a) x7+1

+ 1)

7 + (x x

15. Halle el residuo en la división: 36

; n ∈ Z n es par, el término independiente del cociente igual a 510. Calcule

b) 8

20. Halle el resto de:

c) 5x+5

19. Si se sabe que en la división:

e) 2x+1

d) 8

. Indicar el resto de la división:

−x +1

a) x+3

14. Halle “a” si el polinomio P(x) = xn-axn-1+ax-1; es divisible por F(x)=(x-1)2

a) 2

+ 2x x

+x b) 2x - 12

b) x2+1

d) 6

e) 0

d) 6

e) 5

105

c) 7

− 2x + 2

b) 150

c) 10

d) 255

e) 100

TAREA DOMICILIARIA

16. Calcule el resto de dividir: 01. Si la división de: (Ax4+Bx3-16x2+9)÷(3-x-2x2) es exacta. Determine el valor de (A/B) (x3 - 3x2+9x - 5) ÷ ( x − 3 4 + 3 2 − 1 ) S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 1/6

b) 3

4to Año Secundaria

c) 6

d) 1/3

119

e) 9

(x + 3 )

+ 71 x

+ ax

+ bx

b) -10

b) x+6

c) x+6

d) 5x – 1 e) 3x+6

b) -6x+1

c) 2x

d) 10

c) 0

e) 5

(x + 1) (x + 3 )

d) 1

a) -12 (x+1)2 e) x+3

d) 5x - 1

09. Si: f(x) y g(x) tiene como divisor común a (x-1) halle el residuo de la división:

e) -1

+ (x x

+ x)

−5

xf( x

+ x +1

a) -7

( x + 1 ) ( x + 5 )( x + 6 )

c) 0

b) -3

04. Calcular el resto de: x

08. Halle el resto al dividir en:

03. Calcular “k” si: P(x,y,z) = x3+y3+z3 + kxyz; es divisible por: x+y+z

a) 3

+ (x + 2 )

a) 2x+12

+ 2x + 7

( 3 − x )( x + 5 )( x + 7 )( x − 1 ) el resto es: 72x + c. Hallar a + b - c

a) -5

( x + 3 )( x + 2 )

02. En la siguiente división: 2x

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

120

b) 0

c) 1

d) -5

e) -1

a) 1

) + g (x

)

+ x +1

b) 0

c) 6

d) x+1

e) 2

10. Sea P un polinomio en x divisible por (x 3-25x+42). ¿Cuál será el residuo al dividir P(x) entre (x 2)? a) 2 05. Dado:P(x)=2x5-

Calcule P(

x4+5x3-6

x2+6x+4

b) -2

c) 0

d) 1

e) -1

. PRACTICA

)

01. Calcular la suma de coeficientes del cociente, luego de dividir: a) 0

b) 16

d) -

5x 5 − x 4 + 6x 3 − 7x + 3

e) 3

5x 2 − 6x + 2 06. En la siguiente división:

3 nx

+ (n

− 3 )x

a) 0 2

− ( n + n )x

+ 5 nx + n

nx − 1 resto es igual a 19; calcular “n”, si n ∈ N a) 1 b) 2 c) 3

La suma de coeficientes del cociente más el d) 4

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

c) 2

d) 3

e) 4

d) 2

e) 3

02. Calcular “a+b”, si la división:

6 x 5 − x 4 − 4 x 2 + ax + b 3x 2 + x − 1

e) 5 a) -2

07. Halle el residuo de la división:

b) 1

S4AL31B

b) -1

es exacta. c) 1

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

2 x 5 − 6 x 3 + kx 2 − 7 x−3

03. Calcular “a-b”, si la siguiente división es exacta:

6 x 4 + 4 x 3 − 5 x 2 − 10 x + b 3x 2 + 2x + a a) 20

b) 30

c) 40

a) -81

d) 50

e) N.a.

04. Proporcione el residuo de dividir:

x 3 + Ax + B x

+ Cx + A

a) 1

d) 6

e) 8

c) ± 2

b) -3

d) ± 1

e) ± 3

09. hallar el resto de dividir: b) 2x + 1

c) 2x - 1

d) x + 2

e) x - 2

x 5 + (b − a )x 4 + x 3 − (a − b)x 2 + (a 2 + ab + b 2 )x + a 3 + b 3 x −a +b

6 x 5 − 2 ax 4 + 5 bx 2 + cx

3x 2 − x + 3 se obtiene un cociente entero cuyos coeficientes disminuyendo de 2 en 2 y un resto de grado cero. Calcular

c) 9

08. Al dividir : x 5 − 10 x 3 − 21 x + 90 entre “x-α”; el tercer término del cociente es “ − x 2 ”. Hallar α a) 3

; sabiendo que es equivalente al cociente.

a) x - 1 05. En la división:

b) 81

a +b+c 3

a) 2 b 3

b) 2a

d) 2 a 3

c) 2b

e) ab

10. Para efectuar una división según la regla de “Paolo Ruffini” se planteó el siguiente esquema:

b) -1

c) 3

d) -3

e) -5

Calcule

4 1

-3 8a

-b c

a m

n +d .

a) 3

b) 4

c) 5

06. Dividiendo por Horner: 1 p 3

3 -7 -4

-20 b 4 5

c d -16

e 10

11. Efectuar: x 2 + x 4 + 2x 3 +   3 −1   

Indique el resto. a) 1

P= a+b+c+d+e+f

07. Determine división: S4AL31B

b) -12 −k

c) 0

d) 12

e) -21

b) 7

c) 13

d) 8

e) 9

12. Hallar (m-n) si la división:

mx 4 − nx 3 + 22 x 2 − 13 x − 15 6x 2 − 4 x + 5

para que el coeficiente del término lineal del cociente entero valga (-45) en la

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

x +1 − 3

Luego: a) 21

3 1 − 3  x +   3 +1      

S4AL31B

es exacta.

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) -20

b) -21

4to Año Secundaria

c) -22

d) -23

13. Proporcione el cociente luego de efectuar la siguiente división:

e) 24

4 x 12 − 9 x 9 + 4 x 3 − 5

119

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

a) x - 2

b) 2x + 1

d) 2x + 2

e) 2x - 1

20. Proporcione el residuo de :

x3 − 2

a) 4 x 9 − x 6 − 2 x 3 − 8 b) 4 x 3 − x 2 − 2 x − 8 c) 4 x 3 − x 2 − 8 d) 4 x 9 − x 6 + 2 e) 4 x 9 + x 6 + 2 x 3 + 8

c) x - 1

( x + 3 ) 20 ( x − 2 ) ( x + 4 )( x + 2 ) a) x - 1

b) x - 2

e) x - 3

d) 2x - 1

e) 0

14. Halle el resto en :

8 x 19 + 16 x 18 + 128 x 5 + 64 x 6 + x 2 − 3 x+2 a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) -7 15. Si el polinomio: n 5 x m − 3 n 5 x m − 1 + 2 m + 4 ; es divisible entre (x-2) el valor de “n” es : a) -2

b) -1

c) 1

d) 2

e) 3

16. Sabiendo que: P(x) = x 2 − 8 x + 16 , hallar el resto de dividir: P(x+3) entre (x+2) a) 36

b) 16

c) 49

d) 9

e) 4

17. Calcular “m+n+p”, si el resto de la división:

mx 8 + nx 6 − 3 x 5 − 1 x a) 0

b) 1

es : 8 x 2 − px − 5 .

c) 2

d) 3

e) 4

18. Calcular el resto de dividir:

8 x 20 + 5 x 8 − 4 x 4 + 3

TAREA DOMICILIARIA

2x 4 + 1 a) 6

b) -6

c) 3

d) -3

e) 1/2 01. Calcular “a” y “b” si la siguiente división es exacta.

19. Hallar el resto luego de dividir:

5 x 4 − 11 x 3 + 15 x 2 + ax + b

( x − 3 ) 100 + ( x − 4 ) 47 x 2 − 7 x + 12

S4AL31B

5x 2 − x − 2

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

a) a=1 b=5 S4AL31B

b) a=2 b=-6

c) a=1 b=-6.

d) a=4 b=7

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) N.a.

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

02. Calcular “a+b” si la división:

(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4 ) + 25 x 2 − 5x +1

x 4 − 3 x 3 + 5 x 2 + ax + b x2 − x +1

a) 30

deja por residuo: 7x + 8 a) 10

c) 14

d) 13

3 + 2 x 4 − 1 + 2 − 3  x 2 +2   

Hallar su valor numérico para x = 5

+ ( x + 3)

− 6x

a) 2

x+2 b) -6

c) -3

d) 12

e) N.a.

04. Dividiendo por Ruffini:

e) 70

(c-2)

16 11

22 d

f 32

b) 0

3 −

6 − 4 −2 

c) 1

d) 3

(

)

b) 163

c) 173

d) 183

(

)

(

)

Ax 2 + Bx + A

da por resto: R (x ) = Ax + B . c) 15

a) 2 b) 4 c) 6 06. Calcular el valor de “n”, si en la división:

d) 12

e) N.a.

d) 8

Determinar : a) -2

A −1 . B b) 4

c) -3

d) 3

e) 10

3 nx 5 + (n + 3)x 4 + (4 n − 2)x 3 − 4 nx 2 + 9 nx − 2 n 3x − 2

DIVISIBILIDAD

Se cumple: Σcoef . . Q (x) = 2 x resto ( Q (x) → cociente) c) 3

d) 4

e) 5

1. CEPUNT 96 : II SUMAT. AREA “A” Calcular m , sabiendo que la división :

07. Calcular el resto de dividir: S4AL31B

e) 193

ABx 2 + A + B 2 x 3 + Bx 2 + A + B 2 x + A

05. ¿Qué valor deberá asignarse a “α” para que el polinomio: 5x3 - α(x2 + x - 1) admita como divisor a: 5x2+2x-4.

b) 2

e) 5

10. Si la siguientes división:

c +d +f Evaluar: a +b

a)1

6  x 2 

09. Determinar la suma de coeficientes del cociente que se obtiene al dividir: 4 x 80 − 2 x 79 + x + b entre (x -1). a) 153

b) -6

d) 60

e) 17  f(x)=  

( 2x + 3 )

a) 10

c) 50

08. Sea el polinomio:

b) 12

03. Calcular el resto de la división:

a) 1

b) 40

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 5

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

[(b a) a − b 2

b) 1- b

+ 3 ab + a 2 − ab a

c) 1

e) N.A.

)]2 − b 4

; es :

1 2

7 6

c) -

7 6

e) N.A.

d) 16 y 15

e) N.a

b) –2

c) 3

d) –3

e) 4

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

05. Hallar un polinomio de cuarto grado en variable “x”, que dé como residuo 2x al dividirlo por (x-1) 2 y dé como residuo 3x al dividirlo por (x-2)3. a) (x-3)3 (3x+1) + 2 c) (x-2)3 (4x – 3) + 3x e) N.a

b) (x-2)2 (4x+3) + 3x d) (x – 2)3 (3x + 1)+ 2x

06. Encontrar el valor de K para que el polinomio: x 3 + y3 + z3 + (k – 9) x y z, + z.

  es :  d) −

a) 2

a) 5

3. UNT - 99 : AREA “A” Si el polinomio x 3 + ax 2 + bx + c es divisible por ( x + 2 ), ( x − 3 ) y ( x − 1 ) entonces el valor de:

a+b   c

c) 13 y 12

04. Si al dividir: 12x4 + Mx3 + Nx2 + 25x – 15 entre un polinomio de segundo grado, se obtuvo como cociente 4x2 + 3x – 2 y como residuo 6x – 5. Calcular M + N

d) 0

3 7

b) 15 y 16

03. Qué valor debe tener k para que el polinomio: P(k)=x6+2x5 + kx4 – x3 + 2(8 + k)x2 + 6x – 18, sea divisible por x3 + 2x2 – 3 d) 5

) (

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

; es exacta :

x 2 + 3x + 2 c) 3

120

a) 14 y 13

x 3 + mx 2 + 5 x + 2

a) 1 b) 2 2. CEPUNT 98 - 99 El residuo de la expresión :

119

a) 1

1 2

e) 2

b) 3

c) 6

sea divisible por x + y

e) 4

07. Al dividir un polinomio P(x) entre el producto (x+1) (x-2) (x+3) el resto obtenido es x 2 – 5x+1. Encontrar cuáles son los restos que se obtiene al dividir P (x) entre x + 1 ; x-2 ; x+3 a) 7; -3 ; 12 e) 7; -5; 25

b) 14; 13; -15

c) –13; 12; 15

d) –8; 13; 15

08. Al dividir un polinomio P(x) entre (x+3) se obtuvo por residuo –5 y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 3. Encontrar el residuo de dividir P (x) entre (x –1). a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

09. Un polinomio de cuarto grado es divisible entre (x+2) tiene raíz cuadrada exacta. Al dividirlo entre (x – 2) y (x + 1) los restos obtenidos son iguales a 16. Calcular la suma de sus coeficientes. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA 01. Hallar m sabiendo que: P(x) = 2mx4 – mx3 + 6x – 24 es divisible entre: 2x2 –x + 4 a) 4

b) 3

c) 6

d) 7

02. Determinar M y N de manera que el polinomio: x4 + 2x3 – 7x2 + Mx + N sea divisible entre x2 – 3x + 5

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

a) 36

b) 37

c) 38

d) 39

e) N.a

10. Determinar un polinomio P(x) de quinto grado que sea divisible entre (2x 4 – 3) y que al dividirlo separadamente entre (x+1) y (x-2) los restos obtenidos sean respectivamente 7 y 232. e) 2

a) 12x5 – 3x4 – 15x + 6 c) 12x5 – 4x4 – 15x + 6 e) 10x5 – 3x4 – 15x + 6

S4AL31B

b) 10x5 – 4x4 + 15x + 6 d) 10x5 – 4x4 – 15x+7

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

11. Encontrar un polinomio P(x) de tercer grado sabiendo que al dividirlo separadamente entre (x+3), (x+2) y (x-5), se obtenga siempre el mismo residuo (- 6) y al dividirlo entre (x + o1) el resto sea (42). a) 3x2 – 57x – 95 d) 3x3 – 57x – 96

b) –3x3 + 57x – 95 e) –3x3 + 57x – 59

c) x3 + 57x – 96

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

a) –4

b) –2

c) 30

d) 6

20. Determinar el residuo de dividir un polinomio P (x) entre: x3+ x2 + x + 1 siendo dicho resto divisible por (x – 1), además el polinomio disminuido en 2 unidades es divisible por (x 2+1). Señale como respuesta la suma de los cubos de sus coeficientes. a) –8

b) –3

c) 3

d) 0

12. Un polinomio entero en “x” de tercer grado se anula para x = 7 y para x = -3 y el dividirlo entre (x – 10) da como residuo 39 si el primer coeficiente del polinomio es 3. Hallar el resto al dividirlo entre (x – 8). a) 52

b) 53

c) 54

d) 55

e) 56

13. Un polinomio de grado “n” y variable x es divisible entre (x n-1 + xn-2+1) y tiene por término independiente 2. Además dicho polinomio disminuido en 9 es divisible entre (x – 1) y disminuido en 388 es divisible entre (x – 2). Calcular el valor de “n”. a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

14. Cuál es la suma de coeficientes de un polinomio P (x) si se sabe que es mónico y de tercer grado, siendo divisible entre (x-2) (x+1) y carece de término cuadrático. a) 2

b) –5

c) –4

d) 8

e) –3

15. El siguiente polinomio: P(x) = (x2 – n2) (x3 – m3), se anula sólo para 4 valores diferentes de x. Calcular el resto de dividir entre (x – 2n) a) 27n5

b) 29n5

c) 25n5

d) 24n5

e) 21n5

16. Al efectuar la división del polinomio P(x) entre (x2+1) se obtiene como residuo (x – 2). El resto que se obtiene al dividir el cubo del polinomio P(x) entre x2 + 1 es: a) x – 11

b) x – 2

c) 11x-2

d) 11x-8

e) 11x + 2

17. Al dividir un polinomio P(x) entre (x2 + 2) se obtiene un cociente Q(x) y un resto (3x – 1). Si Q(x) es divisible entre (x2 – x – 6) el resto de dividir P(x) entre (x+2) es: a) 5

b) –5

c) 7

d) –7

e) 6

18. Si el polinomio P(x) se anula para x = 1, x = 2, x = 3, además es de cuarto grado y divisible por (x – 5), se pide calcular la suma de coeficientes de P (x) si presenta como primer coeficiente a la unidad. a) 3 b) 4 c)5 d) 1 e) 0 19. Señalar la suma de coeficientes de un polinomio en x, de tercer grado, que es divisible por + 1) y al dividirlo entre: (x – 1), (x – 2) y (x – 4) presenta en cada caso el mismo resto 30. S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 7

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 8

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

120

x − a = 0

COCINTES NOTABLES

→

x ±a

x = a

Reemplazamos en el Dividendo : R = a n − an

Reciben este nombre aquellos que se originan de divisiones que adquieren la forma :

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

→

R = 0

Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente exacto. Luego el cociente es : x n −a n = x n −1 + x n −2 a + x n −3 a 2 +... + xa n −2 + a n −1 x −a

n ∈ Z+ Segundo Caso :

El desarrollo de estos cocientes se puede escribir correctamente sin necesidad de efectuar la división. Es importante hacer notar que los términos de su desarrollo se caracterizan por que obedecen a una misma ley de formación, de la forma general :

Exponente común

xn ± an x ±a Bases Podemos extraer las siguientes características :

xn + an x−a

Aplicaremos el Teorema del Resto : x − a = 0

→

x = a

Reemplazamos en el Dividendo : →

R = an + an

R = 2ªn ≠ 0

Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente completo o cociente mixto. Luego el cociente es :

* El Dividendo y el Divisor deben ser binomios, o cualquier otra expresión que se reduzca a ellos. * Las bases están indicadas en el divisor, debiéndose repetir en el dividendo. * Los exponentes que afectan a las bases en el dividendo deben ser iguales y nos indicará el número de términos que tendrá en su expresión el cociente notable.

x n +a n 2a n = x n −1 + x n −2 a + x n −3 a 2 +... + xa n −2 + a n −1 + x −a x −a

Tercer Caso : 2. ESTUDIO DE LA DIVISION NOTABLE .-

xn − an x+a

Se presentan 4 formas o casos distintos de divisiones notables, que lo vamos a determinar combinando adecuadamente los signos. Aplicamos el Teorema del Resto : x + a = 0 → x = −a Reemplazamos en el Dividendo :

Primero Caso :

xn − an x −a Aplicamos el Teorema del Resto : S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

Si n es un número par R = 0 Origina un cociente exacto R = (−a)n − an → S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

120

119

Si n es un número impar R = − 2an ≠ 0 Origina un cociente completo

x n +a n = x n −1 − x n −2 a + x n −3 a 2 − x n −4 a 3 +... −xa n −2 +a n −1 x +a

Observaciones : Por lo expuesto anteriormente podemos concluir :

Luego el cociente obtenido es : Si “n” es un número par x

−a x +a

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

= x n −1 − x n −2 a + x n −3 a 2 −... + xa n −2 −a n −1

Si “n” es un número impar

x n −a n 2a n = x n −1 − x n −2 a + x n −3 a 2 −... − xa n −2 + a n −1 − x +a x +a

−

Los divisores de la forma (x − a) provocan un desarrollo cuyos signos son todos positivos. Los divisores de la forma (x + a) provocan un desarrollo cuyos signos están en forma alternada, así : +, −, +, −, ... El primer término del cociente notable se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose xn − 1 A partir del segundo término del desarrollo, el exponente de la primera base disminuye de 1 en 1 mientras que aparece la segunda, cuyos exponentes aumentan de 1 en 1 hasta (n − 1) El desarrollo es un polinomio homogéneo.

3. PRINCIPIO A CUMPLIRSE EN UNA DIVISION NOTABLE .-

xm ±ap

Cuarto Caso :

xq ± ar

xn + a n x+a

Es división notable o inmediata si y sólo si :

Aplicaremos el Teorema del Resto : x + a = 0

→

m p = =n q r

x = −a

Reemplazamos en el Dividendo : Si n es un número par R = 2an ≠ 0 Origina un cociente completo R = (−a)n + an → Si n es un número impar R = 0 Origina un cociente exacto Luego el cociente obtenido es : Si “n” es un número par

Donde : n = Número de términos del cociente. m, p, q, r ∈ R ∧ n ∈ Z+ De la división notable expuesta podemos concluir: * Los exponentes de “x” y “a” en el divisor nos indicará la forma como aumentan o disminuyen los exponentes de las variables mencionadas. * Si r > q, los grados absolutos del desarrollo aumentarán de acuerdo a la diferencia (r − q) * Si r < q, los grados absolutos del desarrollo disminuyen de acuerdo a la diferencia (q − r) Para ser más objetivos veamos los siguientes ejemplos : Ejemplo 01 :

x 21 − a 35

x n +a n 2a n = x n −1 − x n −2 a + x n −3a 2 − x n −4 a 3 +... + xa n −2 −a n −1 + x +a x +a

Si “n” es un número impar S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

x −a

= x18 + x15 a 5 + x12 a10 + x 9 a15 + x 6 a 20 + x 3a 25 + a 30

G.A. → 18 < 20 < 22 < 24 < 26 < 28 < 30 S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA T8 = − x20 y42

Ejemplo 02 :

x 24 − a 18 4

x −a

= x 20 + x16 a 3 + x12 a 6 + x 8 a 9 + x 4 a12 + a15

Ejemplo 02 : Calcular el valor de “n” en :

G.A. → 20 > 19 > 18 > 17 > 16 > 15

x 4 n +4 − y 5 n x n +1 + y 2 n −3

4. FORMULA DEL TERMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LOS COCIENTES NOTABLES .Para que sea un cociente notable . Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes notables, sin necesidad de conocer los demás :

Resolución :

4n + 4 5n = n +1 2n − 3

Para una división de al forma :

xn ± an n −1 n −2 n −3 2 n −2 n −1 =x +... ± xa  ±x   a +x   a ± ... ± T    ± a   x ±a k 1 2 3 n −1 n

4(n +1) 5n = (` n +1) 2n − 3

Tk = Signo xn − k ak − 1

8 n − 12 = 5 n

El signo del término buscado dependerá de la forma del divisor y del lugar : * *

3 n = 12

Cuando el divisor es de la forma (x − a) entonces, el signo del término buscado será positivo (+) Cuando el divisor es de la forma (x + a) entonces, el signo del término buscado será : ( − ) Si el lugar que ocupa es PAR . ( + ) Si el lugar que ocupa es IMPAR .

n = 4

Ejemplo 03 : EJEMPLOS ILUSTRADOS

Si el grado del octavo término del cociente notable

Ejemplo 01 :

xn −1

Hallar el octavo término del desarrollo de :

x3 −1

x 60 − y 72 x 5 + y6 Resolución :

Es 12, hallar el número de términos de su desarrollo Resolución :

Tk = Signo xn − k ak − 1

Número de términos será : n/3

Cómo el divisor es de la forma (x + a) y el término ocupa lugar PAR, entonces el signo será negativo (−) T8 = − ( x5 )12 − 8 ( y6 )8 − 1 S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

T8 = (x 3 ) 3 S4AL31B

−8

(1)8 −1 = x n −24

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

Luego : n – 24 = 12 a)

n = 36

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

120

x 10 + y10 2

x −y

x 12 + y10

x +y

x 25 + y 35 5

x +y

x 15 − y 20 x 3 + y4

N.A.

Luego, el número de términos será : 12

03. Calcular el número de términos del cociente notable:

Ejemplo 04 :

x 2n − y 3m x2 − y3

¿Qué lugar ocupa en el desarrollo del cociente notable, el término cuyo grado absoluto es 252? si se cumple que: x

160

−y

T20 . T30 = x

100

144

280

a) 100

x 4 −y 7

Resolución :

b) 150

c) 50

d) 30

e) 60

c) 86

d) 43

e) 45

c) 391 251

d) 391 250

e) 391 249

04. Dar el número de términos del cociente notable: xn −yn

Hallemos el término que ocupa el lugar “k” que cumpla la condición dada. 4

Tk = ( x )

40 − k

(y )

x2 −y2

k−1

si el penúltimo término es: x y

G A Tk = 160 − 4k + 7k − 7 = 3k + 153

a) 42

Por dato del problema : G.A.Tk = 252

b) 82

05. Calcular: (256 - 1) : 624 3k + 153 = 252

a) 390 001

b) 390 251

k = 33 P RACTICA DE CLASE PRACTICA DE CLASE

06. El número de términos que tiene el siguiente desarrollo de: x 4 n − y5n x 4 − y5

Objetivos: Al finalizar el estudio de esta clase, el alumno será capaz de: 1. Definir e identificar a los cocientes notables. 2. Resolver problemas que involucran cocientes notables

sabiendo que el t(5) tiene grado absoluto 32, es: a) 8

01. En el desarrollo de:

b) 9

a 148 m − b 296 n

x 15 + a 9

hay un término de grado 24, la diferencia de los exponentes de “x” y “a” es: b) 24

c) 5

d) 11

d) 6

e) Ninguno

a) m = 2 n=2

b) m = 3 n=2

−b

c) m = 3 n=3

;

sea a56 b708 d) m = 2 n=3

02. Cuál de las siguientes divisiones no genera un cociente notable?

S4AL31B

e) N.A.

07. Hallar “m” y “n” para que el término 60 del cociente:

x 45 + a 27

a) 7

c) 10

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) N.A.

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

x120 − y180

08. Dado la siguiente división notable

Calcular la suma de las cifras de “ab” sabiendo xa + yb que los grados absolutos de los términos de su desarrollo aumentan de 3 en 3. a) 10

b) 9

c) 8

d) 54

e) 44

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

Calcular “a+b” si el término quinto es: xc yd, además d - c = 3. a) 70

b) 100

c) 120

x 12 − 1 x 3 −1

x 12 + 1

x 3 −1

xa − yb x2 − y3

x 15 + 1 x 3 −1

x 15 + 1 x3 +1

x 15 − 1 x 3 −1

10. En el cociente de:

hay un término cuyo grado es el doble del número de términos. ¿Qué lugar ocupa este término? a) 2

b) 3

c) 4

a 5 − b3 el grado del término que ocupa el lugar “k” supera en 8 al grado del término de lugar “k” contado desde el último. Calcular k . k. b) 81

c) 100

d) 15

e) 36

11. De:

x 2n − a 2n x−a

II.

x 2 n +1 + a 2 n +1 x +a

III.

−a x+a

8 xy (x 2 + y 2 ) para x = 3, y = 2

a) 3-2

b) 2

d) 1

e) 3+2

2a 2 + 2 b 2 ¿Qué valor adquiere el término central para: a =

2n + 2

a) 2 c) I, II y III

d) Sólo II y III

e) Ninguno 17. Efectuando:

12. Si xm-96 y14 es el octavo término del desarrollo del cociente notable: x

−y

x p − yq b) 144

13. En el cociente notable de:

S4AL31B

( x + y )100 − ( x − y )100

(a + b ) 50 + (a − b ) 50

Con n ∈ Z+, son exactos: a) Sólo I b) Sólo I y II

a) 124

e) 6

16. En el cociente notable de:

2n + 2

d) 5

15. Calcular el valor numérico del término central del cociente notable:

a 105 − a 63

a) 9

e) 140

14. En el desarrollo del cociente notable de:

09. x12 + x9 + x6 + x3 + 1 es el desarrollo de: a)

d) 130

c) 168

;

calcular (m + p + q). d) 158

xa − yb

b) 1/2

x + 48 2 2 d)

x − 48 2 2

y15 − y −10 y 3 − y −2

el número de términos enteros es: e) N.A.

a) 6

b) 2

c) 4

d) 3

18.Hallar el número de términos que tendrá el cociente notable:

x 5 − y7 “El nuevo símbolo de una buena educación...”

;

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 5

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

x 5 m +10 − y 5 m −50

120

a) 86

x 2n +9 − y 2 n +5

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA b) 87

c) 88

d) 89

e) 90

02. Indique la división que dio origen al cociente notable: a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

e) N.a.

x 4 n − 2 − x 4 n − 4 + x 4 n −6 − ... + x 2 − 1

19.Encontrar la suma algebraica de todos los términos del desarrollo del cociente: 32

a +1

− 2a 8 − 15

Sabiendo que es exacto:

x4n + 1 x2 + 1

x4n −1 x4 −1

x4n −1 x4 +1

x4n −1 x2 +1

03. Reducir: x 14 + x 12 + .... + x 2 + 1

a) 25

b) 32

c) 128

d) 96

x 6 + x 4 + ... + x 2 + 1

e) 48

20. Encontrar el número de términos de: . . . . - x108 y55 + x99 y60 - . . . .

a) x 8 + 1

b) x 6 + 1

c) x 5 + 1

d) x 7 + 1

e) x 8 − 1

sabiendo que es el desarrollo de un cociente notable. a) 12

b) 22

c) 24

d) 21

e) 23

04. Hallar el número de términos del desarrollo de un cociente notable que tiene los siguientes términos consecutivos:

21. Hallar a + b + c si el término central del cociente notable: 3 3 x a − 40 + y b −114

x +y

.... +x 70 y 12 −x 63 y 15 +....

a) 14

Es el noveno e igual a x40 yc. a) 53

b) 54

c) 11

d) 48

b) 15

c) 16

d) 17

e) 18

05. Hallar el número de términos del cociente notable:

e) 59

x 4 n +12 − y 4 n − 3 x n −8 − y n −9

“El ser humano es como un quebrado: El numerador es lo que él es y el denominador lo que él cree que es. Cuánto mayor es el denominador más pequeño es el quebrado”. a) 14

b) 13

c) 12

d) 15

e) 16

Leon Tolstoi 06. Qué relación deben cumplir “a” y “b” para que la expresión tenga la forma de un cociente notable: PROBLEMAS PROPUESTOS 3 3 x a + b y ab − y a + b +ab 2 2 (xy)ab − y a + b

01. Sabiendo que x a y 24 es el término central del desarrollo del cociente notable. x 75 − y b xc − y2 S4AL31B

. Calcular: a + b + c.

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

a) ab = 1

b) a + b = 3

c) ab = -2

d) a - b = 4

07. Si los grados absolutos de los términos del cociente notable: S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) ab = -1

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

x mn − y n

120

a) n n . n

b) n n

xm − y

van disminuyendo de dos en dos y además el cuarto término tiene un grado absoluto de 21. Hallar su número de términos. a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA n

e) 12

   (3n  +24)veces        3 4 x .3 4 x ... 3 4 x    3 45 6 x x x  

x 40 − y 20 x2 − y

b) 6

c) 7

d) 8

e) 10

d) n 2 n

e) n 2

02. Reducir:

08. ¿Qué lugar ocupa el monomio en el cual la diferencia de exponentes de “x” e “y” es 11 en el desarrollo de:

a) 5

c) n n

c) x 3

b) x

   .    

 2 3n + 4  n  x 2n  n 5  x . x  

d) 1

      

03. Encontrar la suma de los exponentes de x ∈ y al efectuar: 09. Si en el desarrollo de siguiente C.N. :

−y

y ... ∞

a) 5/3

x3 − y

b) 3/2

c) 5/11

d) 6/5

e) 5/22

el término de lugar 8 contando a partir del extremo final tiene por grado absoluto 38, el número de términos que tiene el desarrollo es : a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 10. El menor valor del término racional que se obtiene al efectuar el siguiente cociente :

04. Resolver:

16 4 − 8 2 3

a) 16

b) 8

4 − 2

c) 4

= 256

, y dar valor de X x

es : a)

d) 2

b) 2

c) 4

d) 16

e) N.A.

e) 1 (x +1)

05. Si: (x +1)(x +1)

= 2 . ¿Cuál de las ecuaciones se cumple?

PRACTICA DE FIJACIÓN DEL APRENDIZAJE

 .n .n  ... n 01. Efectuar: n

a) x+2=

n . factores

S4AL31B

2 +1

e) x 2 - 2= “El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

b) 2x=2

c) x 2 =2+

d) x - 1= - 2

2 -1

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

06. El valor real de x que resuelve la ecuación: x x a) Está entre 0 y 1

=8 2

119

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

12. Si: a 3 − a 2 – 2a – 1 = 0. Halle el valor de : c) Está entre 2 y 3

e) N.A.

07. Hallar x en: x x 4

=3 .

b) Está entre 1 y 2

d) Es negativo

a) 2b) 4

c) 1

d) 8

e) 16

13. Si se cumple:

b) 8 2

; a ∈ N – {1}

4 a 2

5 .........

3 .......... .

Hallar el valor que toma: “a . b” 08. Resolver:

a) 11 2

a) 0

b) 1

x +1

x +2

c) 2

x +3

+ ... + 2

x +10

c) 14

d) 15

e) 4

1 x x x

4 09. Reducir: 23 −1 −2   L =(−8 )−3 +(16 )−2     

a) 1

b) 0

c) –1

d) 2

a) 5

b) 6

15. Reducir: 10. Si : M ≠ 0, calcule su valor aproximado.

a) 1

b) 2

c) –2

M+ M+ ......

a) 1 e) 2

−x

x +x x 5  +x     x +4 x +1  x   

b) x

S4AL31B

e) 9

, si x x = 5.

d) 30

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

d) x 2

e) x 5

16. Calcular el valor de:

−4 ((x125 )125 )−5

c) –30

d) 8

c) x+1

2 99 0 x(−2) .(x − 3 (x 5 (x(−1) .x(−2) )3 )2 )1 / 7

b) 15

3 4 1   x

c) 7

11. Reducir e indicar como respuesta el exponente final de x, (x > 0)

a) –20

e) -2 x

e) 19

14. Si x ∈ R - {1}. Hallar “n”, en:

= 4092

d) 3

b) 12

a) 2

b) 3

c) 4

 a +1  a   a   a −1   

; si a −a =

1 3

d) 5

e) –2 S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

17. Reducir:

22. Si: z = 3 A= n

(xy) x

+(yz)

−n

+(zx)

−n

−1

.z y

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

120

−1

4 . Hallar el valor de: 9

2 E=  3 z 

2   3 z +z  

 +z   

∀ n ∈ N - {1} ; xyz ≠ 0 a) 1

b) 0

d) x n y n z n

c) x

a) 1

e) xyz

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

23. Simplifique: 18. Calcular el exponente final de x en: M= S(x)= a) 3 n - 1 / 2 n 3

x ......" n" radicales

b) 3 n - 1 / 3 n

c) 3 n - 1/2

d) 3 n / 2 n

−1

2.3

37 37

b) 37 2

a) 37

x +4

+ 37

x +3

+ 37

x +2

+ 37

x +1

+ 37

x −4

+ 37

x −3

+ 37

x −2

+ 37

x −1

+ 37

c) 37 3

d) 37 4

e) 1/37

24. Cuantas veces x es y, si:

19. Simplificar: n

E indicar el exponente final de n a) n

b) n 2

− n

−8 x=  1 

2   − − n  n    n n        

d) n 2

−1

e) n n −1

20. Calcular:

(1100000 )

a) 60

b) 60,2

 60 ,3

d) 60,5

a) 0,125

b) 0,5

25. Si: n n =2; calcular:

0,00000004 2 (8000000000 ) 3

−4

−0 , 5

; y=

 4   

c) n n

−9

a) 32 e) N.A.

c) 2

n +1

b) 16

−81

−16

−2

−1

d) 4

e) 8

d) 4

e) 2

. c) 8

26. Reducir la siguiente expresión: 5

21. Siendo a+b=2.

Reducir: R=

a) 2 0

c) 2

 a   

 a  

 a   

− a

 a   

d) 4

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

x x x

e) 10 a)

S4AL31B

b) 4 x 7

1 6

d) 3 x 4

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

27. Calcular aproximadamente cada expresión: 31. Dada la siguiente sucesión: A=

72 + 72 + 72 + ... ∞

20 − 20 − 20 − ... ∞

x1 =

C= 5

D= 4 E= 5

Calcular: 2

5 5

64 ∞

x 3 . x 10

b) 4

c) 5

d) 1/2

e) 1/4

27 4 27 ... ∞

5 5

−∞

4 3

34

b) B

−∞

32. Simplificar:

n −1

c) C

d) D

b) 2

4 +2

+3 +8

n −1

1 −n

n −1

+12

1 −n

b) 10

c) 12

d) 24

e) 36

; es

4 +3 4 +...

c) 5

n −1

1 −n

e) E a) 9

M= 3

2 6

28. El valor reducido de:

a) 1

x4 . x

a) 2 27

, ...

Señale cual de ellas es la cantidad menor. a) A

2 ; x2 = 2 2 ; x = 2 2 2 3

d) 7

33. Sabiendo que:

e) 11

1 1 1 + = . a b a+b

29. El equivalente de: 

P=    a)

 5 x .     

 8 x .     

 x   

c) 6 x

Reducir:

..., es d) x

   

30. Hallar el exponente de “x” en:

a) x/2

x . x . x ... x          

b) 2x

 x   +   x  

a +b a

x   b x 

a +b

c) 2 x 2

d) 4x

e) 1

97 radic.

a) 1 - 4

−97

b) 1+ 4

c) 1 - 4

1−4 d) 2

1+4 e) 2

34. Simplificar ∀x ∈ N - (1). x

a) 5/6

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

b) 1/5

c) 2

2 +3

−x x

+ 2 x

d) 3

−x

e) 5

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 35. Resuelva: a)

=3 x

. E indique

b) 1

4to Año Secundaria

119

120 a) 9

3x .

d) 2

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA b) 3

e) 3

36. Resolver:

d) 4 3

c) 27

e) N.A.

TAREA DOMICILIARIA 01. Simplifique:

1 3

x +1

1 3

x+2

1 3

x+3

=120 a) 1

a) - 1

b) - 2

c) - 3

d) - 4

e) - 5

b) 2

a) 0,1

b) 0,2

= (0 ,3 )(0 , 2) .(0 ,1)(0 , 4 )

c) 0,3

d) 0,01

a) 45/60 03. Reduzca:

b) 46/60

e) 5

−1

+ 27

c) 47/60

3 x

−2

−1

+64

−9

−2

−1

d) 48/60e) 49/60

2 2 .

−9

e) 0,03

38. Resolver:

4 −x

15 . 14 . 30

4 −x

02. Efectúe: C= 125 −9 −2

c) 3d) 4

37. Determine el valor de “m” en: (0 ,003 )

21 . 35 . 80

2 /2

2 .

c) 1d) 1/2

e) 2

04. El valor reducido de: a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5



16 J=   

− 16

− 1



 − 2    

Es: a) 1

39. Resolver: x x +y = y 3

x +y

=x y

b) 2

c) 1/2

d) 4

e) 1/4

05. Siendo: m

Siendo x>0, y>0, x ≠ y, indicando “x - y”

−1

m m

−1

a=   x    x .......    x  "(3m)" veces

a) - 5 40. Si: S4AL31B

b) - 4

−81

=81

. Calcular:

c) – 3 4x

d) – 2

e) - 1

x  

− 1

 .x  

− 1

.......   x  

 4  "m veces"  

x .

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

b) x 2

c) x 4

d) x 6

e) x 8

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

120

a) 2

Halle el valor de: N= m ab a) x 0

119

b) 2

c) 2

d) 2

x 3

2 ......." ∞ " rad

b) 7 2

d) 7 2

 x

∞

; x>0

es: a)

e) 2

b) 4 2

d) 2

e) 1/2

11. Luego de resolver: 07. Siendo: a a = 2 . Calcule el valor de: 81

T= a) a 4

b) a 16

c) 4

 a +1  a +1  a

Indique:

d) 8

e) 16

a) 30

b) 54

a +1

+ a a +a

c) 81

z+ 1   2 16    

     

=4 3

4 2 z +3

2  z −z +1    

a) 5

08. Dada la igualdad: a a = 3 , el valor reducido de: U= a a

b) - 7

c) 9d) – 11

e) 13

12. Resolver en R. a +1

es:

d) 84

e) 108

a) 1/4

b) 1/2

x +2

+16

x −1

c) 1d) 2

= 17

e) 4

13. Resuelva en R: 09. Dada la igualdad:

, calcule el valor de:

 x −1  x x −1   +1 x 

a) - 2

b) - 1

14. Luego de resolver: 3 18 = x 3 x S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

10. Resuelve:

06. El valor reducido de: Q=

S4AL31B

c) 0

x +3

d) 1

−9 = 0

e) 2

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Indique: x a)

4to Año Secundaria

119

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

120

c) 3

d) 3 3 3

e) 3 E=

1 x

x x

15. Resolver: (2 x −3)2

(2 x −3 )

b) 3/2

c) 5/2

a) 120 x 115 a) 1/2

d) 7/2

b) 120 x 116

120

d) 120 x 118

117

120

119

e) 9/2 20. Simplificar:

16. El exponente formal de “n”; al reducir la expresión: A= x

a) x

b) 2x

2 x

3 x

es:

c) x 2

......x rad

e) x 2 +x

d) x+1

17. Reduzca:

a) x 2

9 + 18

, si x > 0

d) x 3

c) x

b) 2/3

c) 1

d) 3/2

e) 3 a)

18. Resuelva: x

a) - 1/2

 1 −x 2 x    

b) - 2/2

c) - 3/2

x x

x −1

1 −x

k 1  3 − 1 2  3k 

   

1 3

1 3 3

k 1  3 + 1 9  3k 

1 3

......

   

“k” radicales

k 1  3 − 1 3  3k 

   

3 +1 k

3 −1

k 1  3 − 1 2  3 k +1 

    22. Calcular aproximadamente:

d) - 4/2

19. Simplifique:

e) - 5/2

A= a) 2

b) 2 3 2

4 ........

d) 16

23. Sabiendo que x ∈ y verifican la igualdad xy+x+y=1, halle el valor de:

S4AL31B

e) 1

21. Señalar el exponente final de x en: x

C= x 6 + 12

a) 1/3

x  x −x −x x +x  x  −x −x x +x x

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

 y +1 x +1  4   x +1 y +1 4 

a) 1

b) 2

   

d) 4

119

120

e) 8

1  =   = 2 . Hallar al valor de: b  1 −b  b1 −a a a +b  1 +b  b1 +a a +b a

a) 2 b) 1/2 c) 4 25. Calcular el exponente final de x en:

a) 1

b) 2

c) 3

2 4

3 5

b a 1 +a . b

e) 8

.......

d) 1/2

e) 1/4

01. Si: P(x) = 2x2 – 1 Calcular: P(2)P(1) + P(0)P(2) b) 4

c) 6d) 8

c) 5x-10

b) 8

d) 4

e) 7

e) 16

e) 30

a) 20

b) 18

d) 25

c) 9d) 27

e) 24

b) 80

c) 20

d) 18

e) 96

x(x + 2) 2 P (3) + P (7 ) P (1) + P (5 ) b) 5

c) 2d) 1/2

e) N.a.

11. Si el polinomio: P(x) = 3x3a - 9 +xa+b - 3 +6(x2)4b+a - c Es completo y ordenado en forma creciente, calcular (a+b+c) a) 1

04. Dado: 6x2 – 10x(a – x) ≡ bx2 +10x Calcular (a – b) S4AL31B

d) 15

a) 10 b) 15 c) 20 08. Si en el polinomio: P(x; y) = x3 yn – n(xyz)3n +(xn )n y11 Y el GR(x) =9, calcular GA (P)

a) 7/3

c) 15

c) 14

e) 16

Calcular:

d) 10x-14e) 10x-5

03. Si: F(x+1) = F(x) – 2x+1 Además: F(0) = 5 Calcular : F(-1) + F(1) a) 6

b) 13

10. Si: P (x + 1) =

P(3x+1) = 15x – 4 Calcular: P(2x-1) b) 5x-9

e) –7

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 07. En el polinomio: P(x, y) = 2xn+3 ym – 2 z6 – n + xn+2 ym – 3 Si el GA(P) = 11 y GR(x) – GR(y) = 5; calcular (2m+n)

a) 12

e) 10

02. A partir de:

a) 10x-9

d) –17

09. Dados los polinomios: P(x) = (x2+xy+y3 )(x3+xy-y2 ) Q(x) = (y2-xy+x3 )(x5+2x+1) Dar el grado de P2 (x). Q(x)

PRACTICA DE CLASE

a) 2

c) 15

06. Si el polinomio: P(x, y) = xa + 3xbyc + 5xc yb +2yax0 Es homogéneo, completo y ordenado respecto a sus dos variables, dar (3a+2b+c)

    

d) 1/4

b) 16

05. Dar (m+n-p) si el polinomio: P(x) = xm-10 + 3xm –n+5 + 2xp –n+6 Es completo y ordenado en forma descendente. a) 12

24. Sabiendo que a

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

a) 17

−1 (x −y )  3 −xy

b) 3

c) 6d) 1

e) – 2

12. Dado el monomio: M(x, y) = 42 (- 2)-b x2b+3a y3a-b Si el GA = 8 y GR(x) = 7 “El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

Dar su coeficiente: a) 4

b) 3

c) 2d) 1

e) –2

14. Si: M(x) =

a) 5x-2

c) 3d) 4

d) 12

e) 14

b) 5x+2

c) 2x-5

d) 2x+5

e) x+5

e) 5 22. Calcular el valor de “n” si la expresión:

Calcular M(M(5)) b) 2

c) 10

p(5) = 5 y P(4) = 3P(3)

2x + 3 x −2

a) 1

b) 8

21. Encontrar un polinomio “P” de primer grado y en una variable tal que:

E = P (3) +P (4 )

b) 2

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

a) 6

13. Si: P(x- 2) = x2 – 4x + 4 Calcular:

a) 1

120

2 ) 3 .x 2 n − 3 (x n −

M(x ) =

c) 3d) 4

(x n ) 2 .x 4

e) 5

x 4 .n 5

es de 2do grado.

x +2 15. Si: P (x) = x −1

a) 1

Hallar: P( P ( P ( P (2) ) ) ) a) 1

b) –1

23. Si: c) –2

d) 2

e) 0

16. Si: P(x+4) = 3x – 1 Calcular “x” en: P(x) + P(x+1) = 1 a) 1

b) 2

c) 3

b) 12

d) 4

c) –1

e) 3

x n y m z5 n

b) 3

c) 4

d) 5

20. Hallar el grado de P(x) si los grados de P2(x). Q(x) y

S4AL31B

e) 6

+ x 6 +8

b) 22

c) 24

d) 26

e) 28

e) 10

b)10

c) –11

d) 11

e) N.a.

25. Hallar “n” para que la suma de coeficientes del polinomio: p(x- 3) = (2x – 5)n +(x – 1)n +(x – 2)n – 8(3x+1) exceda en 28 a su término independiente: a) 3

x −1m y n −3 z m +2

Tiene un grado relativo a: “x”, 12 y por grado relativo “y”, 10 el grado relativo con respecto a “z” es: a) 2

+x x

d) 5

Calcular P(1)

a) –10 d) – 12

c) 4

24. Dado el polinomio: P(x; y) = xa-2 yb+5 + 2xa-3 yb +7xa-1 yb+6 Donde: GA =17 y GR(x) = 0 Calcular : (a – b)

e) 5

19. Si la expresión: E=

P (x 2 −1) = x x

a) 20

17. Calcular la suma de coeficientes del polinomio: P(x, y) = a2 xa+7 – bxa yb + abyb+4 Si es homogéneo. a) – 3

b) 3

b) 2

c) 4

d) 6

e) 9

26. Dar el grado absoluto mínimo del polinomio: P(x; y) = a4m x2m –4 y3 – abxm+3 yn –5 +ambm x3 y2m –6 – (b2xy) m –13 a) 26

b) 25

c) 24

d) 23

P 3 (x) son 27 y 23 respectivamente. Q(x)

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 11

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA 2

P(x - 1) = x + x + 1 Q(x + 1 = x2 - 2x + 2 Además : H(x) = P(x + 1) + Q(x - 1) Calcular H(3) DOMICILIARIA

a) 4

b) 8

c) 16

d) 32

e) 64

08. Dado el polinomio : P(x;y) = 6 x m −2 y n +5 + 3 x m −3 y n + 7 m −1 y n +6

TAREA DOMICILIARIA

Si GA(P) = 17 y GR(x) = 6. Calcular (mn)

01. Si P(x9 = 3x + 2. Calcular : P(x + 1) + P(x - 1) a) 3x + 5

b) 3x - 1

c) 6x + 5

a) 5

d) 6x + 4 e) 3x + 4

b) 10

03. Dado: P(x+1) =

x x −1

c) 17

d) 18

a) 1

b) 12

P (2) + P (6 ) + P (3 ) P (2) − P (6 ) + P (3 )

c) 1/6

e) 4

P (x + h ) − P (x )

c) 3

b) -1

c) 0

e) 5

d) 1

e) 2

06. Se tiene: P(x) = (x −1)2 + k . Reducir : M= a) -4

b) -2

c) 0

P (x ) − P (x + 2) x d) 2

d) 4

e) 5

c) 11

d) 12

e) 13

11. Si P(x) = x2 + 3x+ 1. Hallar p(x+1). dar como respuesta la suma de los coeficientes del polinomio resultante. b) 10

c) 6

d) 12

e) N.a.

p(x+n) = 2x2 - nx - 2n2 + 4 Hallar p(1) sabiendo que p(n) = -4. a) -1 b) -4 c) 0 13. Dadas las expresiones algebraicas : A=

d) 2

e) 6

n +2 2 n −2 4n

Hallar el valor de “n”, sabiendo que el grado absoluto de la siguiente expresión : 3 ABC es 117. e) 4 a) 42

07. Dados los polinomios : S4AL31B

c) 3

12. Si “n” es un número natural fijo y

d) 4

05. Si P(x) = 2x + m ; P(4) = 11. Calcular P(-2) a) -2

b) 10

a) 1

h b) 2

b) 2

a) 9

d) 6

04. Si P(x) = 5x + 2. Evaluar :

a) 1

e) 15

10. Dar el número de variables del monomio : M(a;b;c;...) = a . b 2 .c 3 .d 4 ... si su grado absoluto es 66.

Evaluar :

a) 1/12

d) 3

P(x;y) = x 3 n −1 y n − 2 x 2 n −3 y 2 n + x n −3 y 3 n

e) 27

;x≠1

c) 35

09. Si el GA(P) = 11. Calcular “n”

02. Si P(x - 3) = x + 5. Calcular : P(0) + P(1) + P(2) a) 9

b) 7

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

b) 39

c) 41

d) 37

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 38

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

14. p(x), q(x) y r(x) son polinomios. Si G.A.(p(x))=20, G.A.(q(x))=10 y G.A.(r(x)) = 12. Hallar :

PRÁCTICA

GA(p(x) + q(x))4 ÷ (r(x))2 a) 66

b) 36

c) 46

d) 50

e) N.a.

15. Si el término independiente del producto : 2(x - 3)2 (x - 2)3 (x - m)2 (x + 1)3 es -576. Hallar m2. a) 4

b) 9

a) x

c) 16

d) 36

e) 64

16. Dado el siguiente polinomio : P(x) = (3mx - 4m)2 + (3x - 4)2m - x2 + 4 Hallar la suma de sus coeficientes sabiendo que el término independiente es 36 y que m ∈ N. a) 3

b) -3

c) 4

(x +2)(x +3)(x +4 )(x +5 ) +1 ; x>0 01. Efectúe: Señalando luego de reducir el término lineal.

d) -5

  M = b  

a) 1 x −5

y +3

12 . b

c) 5x

b) 2

es de cuarto grado con respecto a “a” y de sexto grado absoluto. El valor de (x + y) es : a) 28

b) 29

c) 31

d) 32

e) 35

18. Dado el monomio : M(x ; y) = (a + b)x2a-2 y3b donde : COEF (m) = GR(x) GA(m) = 27 Calcular (ab) a) 5

b) 7

a) 13

e) 9x

b) 15

 b 2 +1   a 2 +1  

d) 4

e) 5

20 . Calcular: x x+2 x−2 + F= x−2 x+2 c) 18

d) 19

e) 20

04. Siendo xy=1, calcular el valor de “m” en :

c) 12

d) 35

2  1  1  (x + y)2 + (x 2 + y 2 )2 ≡  x −  +  x2 −  x   x2 

e) 42

19. Dados los polinomios P(x) y Q(x) tal que :

a) 2

3 P (x ).Q(x ) tiene grado 4.

 P (x )     (Q(x )) 

   a 2 +1   +a  2  b +1   

c) 3

03. Si: (x + 1)2 − (x − 1)2 =

d) 7x

02. Si se cumple que: (a+b)2 – (a - b)2 = 4 Calcular

e) 5

17. Si la expresión : E= 3

b) –2x

b) 4

c) 6

d) 1/2

2   +4m  

e) 1/4

05. Reducir:

tiene grado 8

1 +24 (5 2 +1)(5 4 +1) (5 8 +1)

Dar el grado de Q. a) 4

b) 7

c) 9

d) 10

e) 11

a) 1

b) 5

M(x ; y ) =

x b ya

S4AL31B

e) 36

2 2 2 Q = (a − b) + (b − c) + (c − a )

xa yb

sus grados relativos son iguales, hallar su grado absoluto. b) 4

d) 25

06. Si: a – b = b – c = 5 Evaluar:

20. Si el monomio :

a) 2

c) 6

d) 8

e) 10

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

a) 25 S4AL31B

b) 30

c) 35

d) 40

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 45

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

07. Efectuar:

b) 1/4

c) 2/5

d) 2/3

z2 + 2 xy = 2 + 2

Halle : x + y + z , si : x,y,z ∈ Re) 5/2

08. Simplificar: (a , b ∈ R+) a 2 + ab + b 2 a + ab + b

a) 5

b) 0

c) 7

d) 8

-b

c) 3 32

10. Si : x = y=

;y=

1 a

d) 1

e) –3

. además:

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

15. Siendo: a+b+c = 0 / a ; b ; c ∈ R Determine el equivalente reducido de “M” siendo: M = A ÷ R, donde: A = a 3 b + b 3 c + c 3 a + ab 3 + bc 3 + ca 3

d) 16

R = (a 2 + b 2 + c 2 )2

e) 64

a) –1/2

b) –2

c) 1

d) 2

e) 0

(x + z −2) (x 2 −x(z − 2) +(z −2)2 ) 3 xy(z −2) − y 3 b) 5

c) 1

d) –1

TAREA DOMICILIARIA e) 3

01. Si: a+b = ab+1 ∧ a 2 + b 2 = 2 ; donde

11. Si: (a + b)3 = a 3 + b 3 , donde ab ≠ 0.

a;b ∈ R+. Hallar :

Determine el equivalente reducido de :

a) –1

b) 10

12. Si: a 2 + 1 = 2 + 2 + 2 a2

c) 0

(a + b)5 + a 5 + b 5 (a + b)6 + a 6 + b 6 d) 2

b) –1

a) 0

c) –2

1 1 + a b

b) 1

02. Sean: a;b; x ∈ R+ tales que :

e) 1

. Calcular:

a 16 +

S4AL31B

a −1

c) –2

3 − 2

a) 2

a) 0

a− a

a) 1

e) 9

z=2Calcular :

b) 2

x 2 + y 2 = 27 . Calcular: E = x – y

09. Dada las condiciones: a 2 + b 2 + c 2 = 2 (a+b+c) (2+ab+bc+ac) = 32 Calcule : a+b + c a) 4b) 2

a) 0 14. Si : x =

-a+

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA y 2 +2 xz = 2 − 7

2 2 2       a + b + c  + a + b − c          

{a,b,c} ∈ R+ a) 3/2

120

13. Si : x 2 +2 yz = 7 − 2

(a + 2 b +c) (a +c) + b 2

119

c) 2

d) 5

e) 4

(x +3b)2 + (x + 3a)2 = 12x(a + b)

 6 x + 2a + b   ; a ≠ -b a +b  

Hallar : 2 

1 16 a

a) 5 d) 1

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 2

b) 12

c) 7

d) 21

e) 3

03. Si: a+b+c = 3 S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

120

a) 7/2 04. Si: x -

b) 2/7

c) 1/7

d) 7

 + 1   x8

a) x

d) 0

b) 1

c) 2

b) -2

c) 1

1  = a2   1 16 Halle: a + 16 a

e) 9

d) 2

07. Calcular el valor de :

e) 3

7 +4

e) 2

3 x

c) 1

d) 0

e) -1

(a + b +c)2 = 3(a 2 + b 2 +c 2 )

d) 7/2

Halle:

e) 5/2

(a + b + c)3 (ab + bc + ac ) (b + c) + 3 3 3 3 abc a +b +c

(m 4 + n 3 )3 = 2(3 m 8 n 3 + n 9 + 32 )

a) 10 d) 212

c) 0

d) -3

(x +1)2

12. Sean a,b, c ∈ R – {0} que cumplen:

(m 4 −n 3 )5

b) 2 5

c) -2

b) 2

sabiendo que se cumple:

a) 1

e) 6

(x 2 + 1)2 Encuentre el valor de : x4 + 1 a) 3

c) 5

d) 5

2+ 2+ 2

a) 0 b) -1 11. Sabiendo que se cumple:

4 x + z , sabiendo que {x;y;z} ⊂ R y b) 3/2

c) 3



2 06. Si: x(x-3y) + 1 = z(4 − z) − 9 y

a) 3

b) 1

2 10. Si:  a +

a 5 + b5 E= ab (a 3 + b 3 )

Calcular:

(x + y + z)4 − 4 (x 2 + y 2 + z2 + xy + yz + zx) .... .....( xy + yz + zx)

a) 0

3 a 3 + b3  a + b  =  . Calcular: 2  2 

a) -1

f(x;y;z)=

Calcular : f( 3 ; 2 ;1)

1 =1; x>0 x

1  1   4 1  Reducir: 8  x +   x 2 + x +    2 x   x  x4

05. Si:

e) 4

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

a +b +c = 2. Hallar : (ab +bc +ac )−1 2

b) 15

13. Si: (a , b, c) ⊂ R+. Calcular:

e) 215

c) 11 a3

b 2c

d) 9

e) 12

Si se cumple: a 2 + 2 b 2 = 2 a (b +c) −2 c 2

08. Si: x + x −1 = 4. Hallar x 3 − x −3

d) 10

e) 12

09. Siendo f una expresión matemática de variables x;y;z ∈ R, con regla de correspondencia:

14. Sean las números reales a, b, c; que satisfacen: a 3 + b 3 + c 3 = 3 abc

; a+b+c≠0

S4AL31B

a) 30

b) 3

c) 2

d) 3 8

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 2 14

a) 5

b) 7

c) 8

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

Calcular:

b4 . c4 Q = 2 ab 2 c 3     

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

a) - 1

e) 5

c) 3

d) 4

a) 3

e) 5

x= 3 3 + b) 10

c) -1

d) 8

e) –5

a) 30x+77 06. Halle el resto:

c) 2

d) – 1

e) 5

d) x+11

e) - 31x -77

b) 610 x 2 - 611x – 1

c) 610 x 2 +611x+1

e) 611 x 2 - 1

(x − 1) 2 + (x 2 − 1) 3 + (x 3 − 1) 4 + ....( x 2 n −1 − 1) 2 n (x − 1)(x + 1)

; {a; b} ⊂ Z ax 2 + bx + 1 obtendremos como cociente y residuo polinomios no constantes mónicos de coeficientes reales; además se sabe que el residuo es un monomio halle: a + b d) 9

c) - 31x+77

07. Halle el resto en:

e) 5

2 x 4 + 6 x 3 + (a − 7 )x 2 + bx + 1

Siendo n ∈ N a) 1 - x

b) 1 + x

e) 10

2 n 3 n (4 − 1)(1 − x) d) (4 + 1)(x + 1) 3 2

e) 0

08. Halle el resto en la siguiente división:

03. El resto de la división:

1 + x + x 2 + x 3 + .... x 4 n −1 (1 + x)(1 + x 2 )

− Ax 4 + Bx 3 + Ax 2 + 8 x − 9 2x 2 + x − 3

S4AL31B

d) 8

x 10 −1 x(x −1)(x − 2)

d) 511 x 2 - 510x -

02. Si dividimos:

c) 15

b) 31x+77

a) 611 x 2 - 610x+1

x 2 + 2x + 1 Determine la suma de los coeficientes del cociente obtenido

b) 11

c) 7

x2 −x −5

x 6 − 7x 5 − 9x 4 + 6x 3 + 6

a) 13

e) N.A

(x + 2) 3 (x − 3) 3 + (x − 2) 2 (x + 1) 2 + (x + 3)

01. Determine al dividir:

b) - 7

b) 6

3− 8

PRÁCTICA N° 2

a) 0

d) 3

05. Halle el resto de la siguiente división:

15. Hallar : x 3 − 3 x + 4 para :

a) 1

c) – 2

3 x n +1 + x + 2 x−3 La suma de coeficientes del cociente es 1093, calcular “n”

b4 . c4 Q = 2 ab 2 c 3     

b) 2

b) 0

04. En la siguiente división:

a) 1

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

A Es el polinomio R(x) = 3x - 3. Calcule 3 +B 3

15. Hallar : x 3 − 3 x + 4 para :

Calcular:

120

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

a) 0

S4AL31B

b) 1 - x

c) 1 + x

d) 1 + x 2

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) x 2 - 1

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

119

09. Al dividir el polinomio p(x) entre (x - 1) y luego entre (x - 2) se obtiene el mismo resto 4, además p(x) es divisible entre (x - 3). Calcular el término independiente p(x) si es de 3º y además cp es 2. a) - 1

b) - 3

c) – 12

d) - 7

120

4to Año Secundaria

ÁLGEBRA

a) x+2

b) - x + 1

c) - x - 1

d) x+1

e) - 8 GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL

10. Sea p(x) un polinomio mónico de 3º si p(x) es divisible entre (x+2) y también entre (x+3) y además al dividir p(x) entre ( x 2 - 1) el resto es 17x+19. Calcular p(0) a) 10

b) 17

c) 2

d) 12

e) 6

11. Calcule “m” para que la división: x 5 − nx + 2 m − 2 x 2 + x −1

a) 5

12. Al dividir:

b) 6

5 2

d) 10

e) 8

16 x 4 + 2 x + 1 se obtiene como cociente : − 2x − 1

a  b  c  q (x) =  − 1 x 3 +  − 2 x 2 +  − 3 x + d 3  4  5  halle a+b+c+d a) 34

b) 30

c) 21

d) 8

e) 50

13. Luego de dividir: (x − 4 )(x −1)(x − 3)(x − 6 )(x 2 − 7 x − 6 )(x 2 − 7 x −12 ) (x 2 − 7 x) 2 − 4 Calcule la suma de los coeficientes del cociente obtenido a) - 140

b) - 156

c) – 175

d) – 144

e) - 136

d) 19

e) 92

14. Calcular a+b+c, si el resto de dividir: entre ax 5 + bx 4 + cx 2 − 5 x − 3 2 x 3 + x 2 − x − 2 es : a) 18 b) 20

c) 15

15. Halle el resto en la siguiente división: (x + 1)n + x 4 + x + 4 x 2 + 2x + 2 S4AL31B

e) x - 1

donde n = 4º

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S4AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”