Algebra 3° 1b by juan guerrero

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria

ÁLGEBRA

Estas expresiones se caracterizan por que sus variables están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios.

I BIMESTRE

Ejm: 5

ALGEBRAICAS POLINOMIOS

1.1 Definir y clasificar expresiones algebraicas. 1.2 Resolver problemas relacionados a polinomios especiales. II) PROCEDIMIENTOS a) Motivación Acerca del Álgebra podemos afirmar actualmente lo siguiente: Es una rama de las matemáticas que estudia a la cantidad del modo más general posible y las operaciones que con ella se realizan en los diferentes conjuntos numérico. Para estudiar a la cantidad del modo más general posible, el álgebra empela constantes y variables. b) Contenido Teórico EXPRESIONES ALGEBRAICAS I. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según la naturaleza de sus exponentes o por el número de sus términos.

x +1

;

2x − y

;

1 xy

A. Grado.- Es aquel exponente numérico (no variable) racional positivo o afecta a una variable tomada como base. B. Clases de Grado a.Grado Relativo (G.R.) Con respecto a una de las variables. b.Grado Absoluto (G.A.) Con respecto a todas sus variables

B. Expresiones Algebraicas Irracionales “El nuevo símbolo de una buena educación...”

negativo

que

GRADO DE UN MONOMIO a) Grado Relativo Se refiere a una de sus variables y está determinada por el mayor exponentes que posee dicha variable; para ello la expresión debe estar previamente reducida o simplificada. Así el monomio: A(x,y,z) = 6x2y5z8 Con respecto a "x" es de 2do grado Con respecto a "y" es de 5to grado Con respecto a "z" es de 8vo grado b) Grado Absoluto Se calcula sumando algebraicamente los exponentes de sus variables. Así el monomio M(x,y,z) = – 3x3y2z5 tiene por Grado Absoluto (G.A.)=3+2+5=10

b) Racionales fraccionarias.- Son expresiones en donde por lo menos una de sus variables aparece en el denominador, o si están en el numerador, alguna de ellas aparece con exponente entero negativo. 2 1 Ejm: 3 ; 3xy; x x

S3AL31B

6x y

Nota: si un polinomio tiene 2 términos recibe el nombre de binomio; si tiene 3, recibe el nombre de trinomio. Si tiene "n" términos se le denomina polinomio de "n" términos. II. GRADO DE LAS EXPREIONES ALGEBRAICAS

A. Expresiones Algebraicas Racionales Son aquellas cuyas variables no están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios. Estas expresiones se subdividen en: a) Racionales enteras.- Son aquellas expresiones en las que al transponer todas las variables al numerador, sus exponentes resultan ser enteros y positivos ( o cero).

;

B. Polinomios.- Un polinomio es la unión de dos o más monomios a través de sumas o restas. Ejemplos: 3x2 – 2x + x3 + 8; x2 + x – 1; x+2

∗ SEGÚN LA NATURALEZA DE SU EXPONENTE

2x2y3;

x − 3y + 1

∗ SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS A. Monomios.- Son expresiones algebraicas racionales enteras en donde no existe nexos de suma o resta, tratándose entonces de un solo término. Ejemplos: 8x5y3; – 2x; 5

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Ejm:

3er Año Secundaria

Importante: El grado de toda constante siempre es cero Ejemplo: • Si P(x) = 24, su grado es cero por ser constante. • Si P(x) = 0. Este es el único polinomio cuyo grado es indefinido. S3AL31B

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3er. Año Secundaria

3er Año Secundaria Operación Grado Resultante Multiplicación Se suman los grado de los factores División Se resta el grado del dividendo menos el grado del divisor Potenciación Se multiplica el grado de la base por el exponente Radicación Se divide el grado del radicando entre el índice del radical

GRADO DE UN POLINOMIO a) Grado Relativo Se refiere a una de las variables y está determinado por el mayor exponente que afecta a dicha letra en todo el polinomio. Así el polinomio: F(x;y;z) = 2x2y4z3 – 3x3y2z + 5x5yz2 Es: Con respecto a "x" de 5to grado. Con respecto a"y" de 4to grado Con respecto a"z" de 3er grado. b) Grado Absoluto Se calcula el término de máximo grado. Así el polinomio:

ÁLGEBRA

POLINOMIOS ESPECIALES Son aquellos polinomios que poseen características particulares que los diferencian de otros. Estos son:

3 2 2

2 5 4

5 3 2

7°

11°

10°

7x y z + 3x y z − 3x y z

Tiene por grado 11.

A. Polinomio Homogéneo Es aquel cuyos términos están constituidos por más de una variable y presentan el mismo grado. Ejemplo: P(x; y) = 2xy4 – 3x3y2 + y5 es un Polinomio homogéneo cuyo grado de homogeneidad es 5. B. Polinomio Ordenado Cuando los exponentes de la variables que se toma como referencia, guardan cierto orden, ya sea ascendente o descendente. Ejemplo: P(x; y) = x5y – 2x3y2 + 6xy3 es ordenado en forma decreciente respecto a "x"; y en forma creciente respecto a "y". C. Polinomio Completo Es aquel que contiene todos los exponentes de la variable que se toma como referencia, desde el mayor exponente hasta el exponente cero inclusive (término independiente). Ejemplo: P(x) = – 3x + 4x2 + 2x3 – 11 es completo de 3er grado y tiene 4 términos. Importante: En todo polinomio completo se cumple que el número de términos es igual al grado del polinomio aumentado en una unidad. # términos = Grado + 1

REGLAS PARA LOS GRADOS DE LAS DIFERENTES OPERACIONES ALGEBRAICAS En el siguiente cuadro se muestra como obtener los grados de las diferentes operaciones.

S3AL31B

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D. Polinomio Idénticos Son aquellos cuyos términos semejantes poseen el mismo coeficiente. Ejemplo: Si P(x) = ax3 + bx2 + c y Q(x) = mx3 + nx2 + p Son idénticos [P(x) ≡ Q(x)], se cumplirá que: a=m; b=n; c=p E. Polinomios Equivalentes Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes adoptan el mismo valor numérico para un mismo sistema de valores asignados a sus variables. Ejemplo: Dado los polinomios: S3AL31B

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ÁLGEBRA

P(x; y) = (x+y) + (x–y) ∧ Q(x; y) = 2(x +y ) Si ambos admiten el mismo valor numérico para cualquier valor de "x" ∧ "y", entonces serán equivalentes; veamos. 2

3er Año Secundaria

∑ coeficientes = P(1)

3. Análogamente, el término independiente (T.I.) se obtiene reemplazando a la (s) variables (s) por cero.

Hagamos x = 3 ; y = 2

T.I. = P(0)

En P(x; y) : P(3; 2) = (3+2) + (3 – 2) = 26 En Q(x; y) : Q(3; 2) = 2(32+22) = 26

EJERCICIOS DE CLASE

Por lo tanto: P(x; y) < > Q(x; y) F. Polinomio Idénticamente Nulo Es aquel que tiene sus coeficientes todos nulos. Su valor es cero para cualquier valor de la variable. Ejemplo: Si: P(x) = ax4 + bx + c, es idénticamente nulo, se cumplirá : a = 0 ; b = 0 y c=0 Y se podrá representar así: P(x) ≡ 0

01.

III)

∗ Propiedades Adicionales en los Polinomios 1. Valor Numérico de un Polinomio Es el valor que adquiere el polinomio cuando se le asigna determinados valores a sus variables. Ejemplo1: Si: P(x) = x2 – 3x + 2 ⇒ P(1) = 12 – 3(1) + 2 = 0 ⇒ P(2) = 22 – 3(1) + 2 = 0 ⇒ P(– 2) = (– 2)2 – 3(– 2) +2= 12

∗ Método de cambio de variable x–1=y ⇒ x=y+1 ⇒ f(y) = 19(y + 1) + 1 = 19y + 19 + 1 ⇒ f(y) = 19y + 20 ∗ Método de formación de variable en el segundo miembro: f(x – 1) = 19x+ 1 = 19x – 19 + 20 ⇒ f(x – 1) = 19(x – 1) + 20 ⇒ f(y) = 19y + 20 , cambiamos y por x: f(x) = 19x + 20 2. Para todo polinomio se cumple que su suma de coeficientes se obtiene reemplazando a la variable o variables con las cuales se está trabajando por la unidad. S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

2y x +2

a) VFV 02.

03.

04.

es racional fraccionaria b) VFF

c) VVV

d) FFF

e) VVF

Señale la alternativa que representa a una expresión algebraica racional fraccionaria. a)

Ejemplo2: Si: P(x) = 4x + 3; hallar P(3x – 5) En este caso reemplazamos x por 3x – 5 ⇒ P(3x – 5) = 4(3x – 5) + 3 = 12x – 17 Ejemplo3: Sea F(x – 1) = 19x + 1; hallar F(x) Solución:

Señale verdadero o falso: 3 I) 5 x . y es irracional 2 II) 3xy + y es racional entera

5x y

−2

y 3

x 2

c) (x–2)–3

1 x

Es una expresión algebraica racional entera, excepto: 1 a) 2 x 3 y 2 b) −5 c) (x–2 d) x

5 3

e) 1

Hallar el grado absoluto de la expresión: x2y + x3yz – xyz + x3y3 a) 2

b) 3

c) 6d) 9

e) 15

05. Son términos semejantes: a) 5b2 y 5a2

b) 3a2bc y 3a2b



− c) 99a2 y  

1 2 a 6 

e) N.A. 06. Hallar el valor de "n" para que el grado de (2xn+2y) 3 sea 18.

S3AL31B

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d) a2 + b y a + b2

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 1

b) 3

3er. Año Secundaria

c) 4d) 5

e) 7

ÁLGEBRA

76 14.

3er Año Secundaria

Respecto a x, la expresión:

07. Hallar el valor de a para que el grado del siguiente polinomio sea 9. x

3xa+1y – 4a+2xay – 5x2 a) 6

b) 7

c) 8d) 9

a) Es de 1er grado d) Es de 6to grado

e) 15 15.

08. Calcule el grado de: 3

a) 2

b) 3

1 +x

c) 6d) 9

16.

c) 9d) 11

e) 13

17.

Calcular a + b + c

11.

−x

b) Es de 2do grado c) es de 3er grado e) Es de 8vo grado

c) 6d) 9

c) 3x3y7

d) – 2x7y3e) 5x4y3

b) 3

c) 4

d) 5

e) N.A.

dado el término: 2xa-1yaz2a. Si su grado absoluto excede en 9 a su grado relativo a "x". Hallar su grado relativo a "y". a) 3

e) 14

b) – x5y3

Si el grado absoluto de: P(x, y) = x2ayb+2 – 3xayb+1 + xayb Es igual a la mitad de la suma de los exponentes de todas sus variables. Calcular el grado relativo a "y". a) 2

c a c b −a b −2 x + x = bx 3 2 b) 5

Si: (a + 2)x2a + 3 y3b – 1; (b – 3)xa+5 y2a+b–3

a) 2x7y2

10. En la siguiente adición de monomios:

a) 3

Son semejantes; su suma es:

e) 0

P(x, y) = 21x3yn – 8(xy) 3n – xny5 b) 7

x 2 +2 x + − 1 1   +  

09. Si el grado relativo a "x" es 9. Dar el grado relativo a "y", en:

a) 5

b) 4

c) 5

d) 6

e) N.A.

¿Cuál es el grado absoluto de? P(x, y) = 3x6y2 + 2x5y3 – 8x4y2 + 9y9 – 7x2y2 a) 8

12.

b) 9

c) 12

d) 15

PROBLEMAS PROPUESTOS IV

e) N.A.

¿Cuál de las siguientes expresiones no es el tipo racional fraccionaria. a)

−5

y +1

−2

c) x

−y

x y

y x

e) N.A. 13.

a) 2

Ax4 + (B – 3)x2 + bx + A Sea de grado 1 b) – 2

a) 1

c) 2

d) – 2

e) 3

c) – 3

d) – 4

e) – 5

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

b) 1

c) 0

d) Indefinido

e) N.A.

03. Dado el polinomio 2xa+2y2 – 3xa+1 yb + 52x6yb–1 , si su grado absoluto es 10 y su grado relativo a "y" es 4. hallar su grado relativo a "x". a) 3

S3AL31B

b) – 1

02. ¿De que grado es la expresión? E = 2xy + (x – y)2 + x2 – y2

Hallar A – b para que el polinomio:

a) 0

01. Calcular (a-b) si el monomio: M(x; y) = 5x2a+bya+2b Tiene: G.A. = 15 y G.R.(x) = 8

S3AL31B

b) 4

c) 5

d) 6

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e)7

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3er. Año Secundaria

04. Hallar el valor de "a" para que el grado del polinomio 3x a + 1 – 4a + 2xay – 5x2 sea 9. a) 7

b) 5

c) 6

d) 8

1 27

a) 2 d) 3

e) 9

06. Se tiene los polinomios P y Q. Determinar el grado absoluto de Q si se sabe que el grado absoluto del polinomio P es 16 y el menor exponente de "y" en el polinomio Q es 4. P = 5xm + 11yn - 3 – 3xm + 7yn + 2 + 7xm + 2yn + 1 Q = 4x2m + 6yn + 2 – 3x2m + 2yn + 7 – 5x2myn + 10 b) 21

1

c)  

  x − y    

x

1  y 

d) 2x3 – 3y– 1

c) 22

d) 24

e) N.A.

b) 3

c) 4

d) 5

e) Hay dos respuestas.

d) 10

e) 12

d) 2

e) 3

d) 11

e) 13

d) 25

e) P(1)

11. Si el siguiente polinomio es homogéneo: P(x; y) = x5 + xny2 + xmy4 + yr - 1 Hallar: m+ n + r a) 5

b) 7

c) 9

12. El polinomio: P(x; y) = ax3 – a2x2y + a3xy2 – a4y3 a) Es heterogéneo, ordenado y completo. b) Es homogéneo, ordenado y completo. c) Es homogéneo, ordenado e incompleto. d) No es homogéneo, no es ordenado ni completo. e) N.A. 13. Si el polinomio es completo: P(x) = xn+1 + 3xn+2 + xn+3 + 5 Hallar "n" a) – 1 b) 0

07. Si G.P.(x) = 3 ∧ G.Q.(x) = 4

c) 1

3  2  2 P Q +PQ  (PQ )2        E = 2 P 3 Q 2 +P 2 Q 3  PQ 2    

¿Cuál es el grado de la expresión?

a) 46

b) 47

c) 48

d) 49

e) 50

08. Marque la alternativa que representa una expresión algebraica racional fraccionaria. −1 1  1   a) 2 x + 2 y b)  c) 8 16 d) 3x3 + 2y4  2  x x  e)

1 2

14. Hallar 2a + b, sí se tiene que: (2a – b)x2 + 4bx + 2c ≡ 7x2 + 20x – 5 a) 21

b) 17

c) 19

15. Si el polinomio: P(x) = 20xm – 6 – mxn – m + 3 + 3pxp – n + 5 Es completo y está ordenado en forma creciente. Calcular. a) 10

P ( −1) +P (0 ) P (1) b) 15

c) 20

09. Marque la alternativa que representa una expresión algebraica racional entera.

S3AL31B

e) N.A.

P(x) = xn - 1 + xn - 3 + x5 - n Si se sabe que tiene tres términos.

n m 1  3 m +2 n 5 m −n

 3  x   Si su G.A. es 10 y el grado relativo a "x" es 7.

a) 20

3er Año Secundaria −1

10. ¿Cuál es el grado del polinomio?

b) 2

ÁLGEBRA

e) 4

05. Hallar el coeficiente del monomio

a) 1

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16. Si el polinomio: 3x3ym + 8xny4 + mxmym + n – 6 es homogéneo, hallar el grado del polinomio: 2x2mym+n + 3xnym+n – 4x3m S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 12

b) 14

c)17

3er. Año Secundaria d) 19

ÁLGEBRA

3er Año Secundaria

e) 20 05. Si el polinomio: 5a3bm + 10anb4 + mambm + n – 6 es homogéneo, hallar el grado del polinomio: 2a2mbm+n + 3anbm+n – 4a3m

17. Sea f(x) = x + 3  a  = 8. Hallar f(a): Si: f   a) 26 b) 28

c) 30

d) 32

06. Si el polinomio es completo: Hallar: n2 +2n – 5

e) 34

P(y) = yn+1 + 8yn+2 + yn+3 + 11.

18. Siendo: F(x+1) = 3x2 +7x – 9 Determinar : F(x – 3) a) 3x2 – 17x + 11 b) x2 – 11x + 7 2 c) 3x – 2z + 1 d) 2x2 – 9x + 11 e) N.A. 19. Determinar "m" con la condición que el término independiente del producto (m > 0): (x + 3)2 (x + 2)3 (x – m)2 (x2 + 5) sea 1440 a) 1 b) 2 c) 3 20. Hallar "K" si se cumple la siguiente identidad: (x + y)7 – x7 – y7 ≡ Kxy(x + y) (x2 + xy + y2)2 a) 6

b) 8

c) 7

d) 4

e) 5

d) 5

e) 10

OPERACIONES CON POLINOMIOS TAREA DOMICILIARIA

01. Si: f(x + 3) = (x – 1) (x + 2) + 3

OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1.1 Efectuar correctamente las operaciones de adición y/o sustracción de polinomios.

Calcular: f(2) + f(1) II. PROCEDIMIENTOS

02. Si el grado relativo de "m" es 9. Dar el grado absoluto del polinomio P(m; n).

A) MOTIVACION

P(m; n) = 21m3yn – 7(mn)3n – mny5 03. Clasifique las siguientes expresiones algebraicas: I. V.

16 x

II.

y 2

III. x +x 2 +x 3 +x 4 +.......

Las matemáticas tienen sus misterios, sus incógnitas, pero a pesar de ello es posible sumar, restar, multiplicar, dividir; en fin realizar operaciones con cantidades desconocidas, ¡solo están representados!, pero se pueden realizar las operaciones con estas cantidades abstractas.

  3 x 2  3  5 x 7   x            

04. Si el grado del polinomio: P(x) = (25x2 + 7)n (100x3 – 1) (2x5 – 1) Es 49. Calcular el valor de n +6 S3AL31B

IV.

En nuestro mundo existen muchos misterios que el hombre, a través de aproximaciones, trata de desentrañar. Es la lucha constante de los estudios de las ciencias.

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

B) CONTENIDOS TEÓRICOS S3AL31B

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3er. Año Secundaria

OPERACIONES CON POLINOMIOS

a + b – c; a – b + c; –a + b + c 2x + y + z; x – y + 2z; 5y – 2z + z m + 3n + 2p; –2m – 3n + p; 3m – 2n – 3p x2 – 3x + 5; –2x2 + 5x + 8; 12x2 – 8x – 6 3x2y2 – y2 + 2x2 ; 5x2 +2x2y2 – 3y2 ; 2y2+3x2 – 4x2y2 g) (a2 + 2ab – c2) – (–b2 + 4ac + 2a2)

[

Si: M = x2 + 3x2-8 ; N = 4x3-4x2-x+2 P = 2x2-8x+3

Colocamos un polinomio debajo del otro, tratando que los términos semejantes estén en una misma columna. así: M → x 3 + 3 x 2 + ox − 8 N → 4x 3 - 4x 2 − x + 2 P → 2x 2 − 8 x + 3

a) (x + y - z) por (x + y + z) c) a2 – ab + b2) por (a + b) e) 3ax-1 +2ax por 3ax+1 – 2ax –1

(+)

Rpta.

Hallar Q(x) – H(x), sabiendo que: Q(x) = 8x7 – 5x2 + 6 – x4 H(x) = 3x2 – x – 2x4 + 7x7 Para hallar la DIFERENCIA, los escribimos: Q(x) – H(x) (8x7 – 5x2 + 6 – x4) - (3x2 – x – 2x4 + 7x7)

Reduciendo términos semejantes: x7 – 8x2 + 6 + x4 - x

Ordenando el polinomio diferencia: x7 + x4 – 8x2 + x + 6. Rpta. PRÁCTICA DE CLASE 02

2 a −a −2 b +(4 a −b) −3 a −b

II. Hallar el producto de multiplicar. (m2 + mn) por (m - m2n + 1) 2x + y por x + y + 3

b) d)

III. Efectuar:

1. SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Para efectuar esta operación, lo transformamos en una adición reemplazando el sustraendo por su opuesto. Ejemplo:

Eliminando los signos de colección: 8x7 – 5x2 + 6 – x4 - 3x2 + x + 2x4 - 7x7

]

h) 2m – n + 2 m − 3 m − (m + n ) i) – [–x+y+{–(–2x+y) - [y – x +(2x – y)] –y}] j) – [– {– (– x+(y + z) + y) – z}+ x] – x+y+ z

Calcular : M + N + P

3er Año Secundaria

b) c) d) e) f)

1. ADICIÓN DE POLINOMIOS Para efectuar dicha operación, escribimos los polinomios, uno bajo el otro, o uno al costado del otro y se procede a reducir términos semejantes. Ejemplo:

5 x 3 +x 2 −9 x −3

ÁLGEBRA

a)(a + b - 1) (a - b + 1) b) (x + 2) (x -1) + (x - 2)(x +3) - (x + 2)(x +3) c)2(x - 1)2 - 3(x - 2)2 - 2(x - 1)2 d) (2x - 1)2 - 3(x + 3) - (x - 1)(x - 2) (x - 3) IV.

Simplificar las siguientes expresiones: a)5(x - 2) - 2(x - 5) b) 3x - [5x - (2x - 2) + 5] - 12 c)

1 1 1 1 2 (x − ) − (x + ) − (x + 1) 2 3 3 2 3

d) 2x - [3x - [2y + 5x) + y] + 3x - 2 e) −x +y −2 x +5 y +x −3 y +−x

PROBLEMAS PROPUESTOS (II) 01. Sustraer 2x + 8 de 3x2 – 6x + 7 a) – 3x2 + 8x + 1 d) – 3X2 – 8X – 1

b) 3x2 + 8x – 1 e) 3x2 + 8x + 1

c) 3x2 – 8x – 1

02.Efectuar: (x + 1) (x + 2) + (x – 1) (x – 2) + 2x(1 – x)

Hallar la suma de: a) 4a + 5b - 3c ; a - b + 2c ; – a + b

S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 2(x +2)

b) 2x + 1

3er. Año Secundaria

c) 2(x – 1)

d) 2(x + 1)

ÁLGEBRA

3er Año Secundaria

e) N.A.

- x -x -x -x -

03.De m2 sustraer la suma de 3mn – 6 y 3m2 – 8m + 5 a) 2m2 – 5mn – 1 d) – 2m2 – 5mn – 1

a) 0

b) x

x - x -x

c) – x

d) 7x

e) – 7x

b) – 2m2 + 5mn + 1 c) 2m2 + 5mn + 1 e) N.A.

04.Hallar A . B, si: A = x2 + xy + y2 B = x2 – xy + y2 a) x4 + 2xy +4x2y2 – y4 d) x4 – xy – y2 – 2y4

b) x4 + x2y2 + y4 e) N.A.

c) x8 + xy + 2x2y2 + 4x4y4 + 8y8

MULTIPLICACIÓN

05.Simplificar: E = [x +{–(x + y) – [– x + (y – z)] – y}] – 2y+2z a) x – y + z

b) – x + y + z

c) x + y – z

d) – x – y – z

e) N.a.

06.Simplificar la expresión: [– 3m – {n +[– m + (2m – n) –(– m + n)] + 3n]} + 3m] a) m + 2n 2

b) m – n

c) 2m – n

I. OBJETIVOS ESPECIFICOS: 1.1.Determinar el producto de dos expresiones algebraicas.

d) – m – n

e) 0

II. PROCEDIMIENTOS

07.Si: A = x – xy – 2y B = 3x2 – 4y2 + 4xy C = – x2 + y2 – 3xy Calcular: B + C – 2A a) 2xy – y2

A. MOTIVACIÓN

b) 3xy + y2 c) – 3xy + y2

d) 4xy – x2

En esta sesión se tratará de la operación algebraica llamada multiplicación y la manera de efectuarla. Recuerda que la habilidad para el manejo de las expresiones algebraicas, con precisión y rapidez, es requisito satisfactorio en las aplicaciones del álgebra.

e) N.a.

08.Hallar:

12m 3 n 2 16m 5 n − 4mn 8m 3 a) 0

b) 2m2n

c) 4m2n

B. DESARROLLO

9m 6 n 5

La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos expresiones algebraicas hallar una tercera llamada producto.

3m 4 n 4 d) – 4m2ne) N.a.

a×b=c factores

09.Dados. P = (p – 1)x2 + 3x + 3y Q = 5x2 – 3(x + y) Si: P – Q se reduce a 6(x + y). Hallar el valor de p. a) 3

b) 5

c) 6

d) 7

10. Simplificar: S3AL31B

e) 8

producto

Recuerde que: a × b = a . b = ab

La multiplicación se caracteriza por medio de cinco leyes o propiedades análogas a las de la adición.

Ley de la Existencia: “El nuevo símbolo de una buena educación...”

S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria

La multiplicación es siempre posible.

ÁLGEBRA

3er Año Secundaria

Para multiplicar monomios, primero se multiplican los signos de acuerdo a la regla dada, después se multiplican los coeficientes y a continuación la parte literal teniendo en cuenta las leyes de los exponentes.

Ley de la Unicidad: Para dos números dados cualesquiera a y b, existe un número c y sólo uno tal que ab=c. Ley Conmutativa: Si a y b son dos números cualesquiera entonces ab=ba. Ley Asociativa: Si a,b y c son tres números cualesquiera entonces: ab) c = a (bc)

1. Efectuar: (−2 x 2 yz 2 ) . (−3 xy 2 z3 ) . (5 xy) −+30 x 4 y 4 z5

Propiedad Multiplicativa de la Igualdad: Si a,b y c son números cualesquiera tales que a=b entonces ac=bc. La multiplicación y la adición están relacionadas por medio de la importante propiedad llamada:

2. Efectuar:

(

Propiedad Distributiva:

)(

) (

)

4   4   4  E = − x . − x ... − x ;  − x . − x ... − x                              8 factores

Dados a,b y c tres números cualesquiera entonces:

8 factores

a(b+c) = ab+ac Regla de los Signos:

La regla de los signos es consecuencia de los teoremas siguientes: * El producto de un número positivo por un número negativo es un número negativo

E =x4 . x2 =x6

* El producto de dos números negativos es un número positivo. En general:

  4  E = − x  . − x     

3. Efectuar:

El producto de un número cualesquiera de factores es positivo si no hay factores negativos o bien si el número de los factores negativos es par, el producto serán negativo si el número de factores negativos es impar.

A = (−3 m 2 n 3 ) = 9 m 4 n 6

Ejemplo: a) ( 4 ) ( - 2) = - 8

b) ( - 2) ( - 3) = 6

En la multiplicación de expresiones algebraicas es conveniente utilizar las siguientes leyes de los exponentes para calcular los términos del producto. a n . a m = a n +m

II. Multiplicación de un Monomio por un Polinomio El procedimiento utilizado es una consecuencia inmediata de la propiedad distributiva. Ejemplos: Efectuar :

(a n )m = a n .m

a 2 b (2 ax − 3 by − 2 ab 2 )

(ab )n = a n . b n

(a 2 b )(2 ax ) −(a 2 b )(3 by ) −(a 2 b )(2 ab 2 )

I. Multiplicación de Monomios S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3

3er. Año Secundaria 2

2 a bx − 3 a b y − 2 a b

ÁLGEBRA

3er Año Secundaria

Por lo laborioso que resulta, la reducción de términos semejantes, es conveniente escribir los factores uno debajo del otro, estando ordenados ambos según las potencias de una cierta variable. (colocando un cero por cada término que falta, con la finalidad de guardar su lugar), luego colocar los productos parciales en columnas de modo que los términos semejantes aparezcan uno debajo del otro para facilitar su reducción. Ejemplos:

Efectuar: − 2 a 2 b . (3 a + 5 ab − 6 a 2 b 2 )

Multiplicar :

3x – 2 por 4x – 5

Resolución : 3

3 2

− 6 a b − 10 a b

4 3

+ 12 a b

3x –

4x –

12x2 – 8x – 15x + 10

III. Multiplicación de Polinomios Para la multiplicación de polinomios también se aplica la propiedad distributiva, es decir se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio, luego se reducen términos semejantes si los hubiera. Ejemplo: Multiplicar:

12x

– 23x + 10

Multiplicar : 2x4 – 3x3 – 2x – 4 por 2x2 – 1 Resolución

3x – 2 por 4x – 5

2x4 – 3x3 + 0 – 2x – 1

Resolución :

2x2 – 0 – 3 4x6 – 6x5 + 0 – 4x3 – 2x2

(3x- 2).(4x- 5)=12 x 2 -15x – 8x+10=12 x 2 -3x+10

– 6x4 + 9x3 + 0 + 6x + 3 4x6 – 6x5 – 6x4 + 5x3 – 2x2 + 6x + 3

Multiplicar :

2 x 4 − 3 x 3 − 2 x − 1 por

2x 2 − 3

Resolución: (2 x 2 -3).(2 x 4 -3 x 3 -2x-1) = =4 x 6 -6 x 5 -4 x 3 -2 x 2 + 6 x 4 +9 x 3 +6x +3 = 4 x 6 - 6 x 5 - 6 x 4 +5 x 3 -2 x 2 +6x+3 S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

Estos productos también se pueden obtener mediante el proceso conocido como de Coeficientes Separados. Este proceso consiste en formar una tabla de doble escribiendo en la primera fila los coeficientes de uno de los factores y en la primera coeficientes del otro factor; en la intersección de cada fila con cada columna, el coeficiente que encabeza la fila por el coeficiente que encabeza la columna.

Multiplicación entrada, columna, los producto del

Finalmente, cada coeficiente del producto es la suma de los productos que pertenecen a una misma diagonal, excepto los extremos. Ejemplos: Multiplicar : 3x – 2 por 4x – 5 Resolución. S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

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3er. Año Secundaria

ÁLGEBRA

3er Año Secundaria

2. Efectúe las siguientes multiplicaciones de Monomios por polinomios a) 3a2 b (5a2 – 2ab + b2) b) - 2a3 b2 (5a3 – 2ab + 6) x

–2

–8

–5

– 15

c) 3/8 x2 y (4x3 y – 12/7 xy3 z – 16/9 y5 z4) 3. Multiplique los siguientes polinomios, ordenando los factores uno debajo del otro a) (2x2 – 5x + 9) (6x2 – 3x + 11) b) (x3 – x + 3) (x2 – 8 + 2x) c) (8x3 + 5 – 7x) (2x3 + 7 – 3x + 4x2) 4. Multiplique los polinomios del ejercicio 3 de la comprobación, por el método de coeficientes separados.

Multiplicar : 2x4 – 3x3 – 2x – 1 por 2x2 – 3

5. Efectúe las siguientes multiplicaciones y halle el producto de la suma de los coeficientes con exponente par, por la suma de los coeficientes con exponente impar.

Resolución:

a) (3x2 – 5x + 7) (2x2 + 6x – 9) x

-3

-2

-1

2 0

4 0

-6 0

0 0

-4 0

-2 0

b) (x2 – 11x + 7) (x3 – 7x2 + 6x – 3) c) (x+5) (2x2 – 5x + 6) d) (x + 8) (x – 3) (x2 – 5x + 7) (x – 1)

6. Efectúe las siguientes multiplicaciones: a) (3x2 – 5xyz2 + 6y3 z5) (2x2 – 3xyz +7y2 z3)

Finalmente el producto será: 4x6 – 6x5 – 6x4 + 5x3 – 2x2 + 6x + 3

b) (5/3 x2 y – 3/7 xy2 z + 11y4 z4) (6x2 – 14xyz + 6z2) c) (x2 – xy + y2) (5x2 – 3xy + 7y2) (x3 – 2x2 y + y3)

PRÁCTICA DE CLASE 03

1. Multiplicar los siguientes Monomios a) (- 15x2 y) . (- 3x3 y2 z5) b) (5x3 y2) . (6x5 y2) . (- 11xz4) c) (3/8 x5 y9) . (- 10/11 x4 y5 z3) d) (- 3/5 xy2) (- 8/9 x3 z2) (- 15/2 x3 y3 z6)

S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

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3er. Año Secundaria

ÁLGEBRA

3er Año Secundaria

PROBLEMAS PROPUESTOS III 7. Hallar “m” para que en el producto resultante, el término de grado 3° tenga como coeficiente 7. 1. Al multiplicar los polinomios: A(x) = 2x4 – x2 + 2x – 3

(mx + 3x2) (mx2 – 3x + 1) (x – m)

y a) 2

B(x) = 3x3 – 6x2 + 1. Señalar el menor coeficiente del polinomio producto. a) 2

b) – 21

c) – 12

b) 3

c) 4

-3

e) 6

-1

(x22 + 1) (x23 +1) (x24 + 1) ..... 20 factores en total a) 610

-4 4

-8

b) 620

c) 19

d) 25

e) N.a.

3. Completar la siguiente tabla del producto de dos polinomios y señale la suma de los coeficientes del polinomio producto. x 1

-3 -5

d) 440

a) 3025

c) 3065

d) 3410

b) 420

c) 70

d) 700

-1

b) - 3

c) 15

d) - 9

e) 5

4. Al multiplicar los polinomios : A(x) = x2 +x + 1 ; B(x) = x + 3. Se obtiene : P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Hallar el valor de : a + b – c a) 6

b) 4

c) 5

d) 7

e) N.a.

5. Hallar el coeficiente del término de grado 5 del producto total en: (3x5 – 1 + 2x4) (3 + 4x – 2x2) (x2 + 1) a) 12

b) 13

c) 17

d) 19

a) 2 S3AL31B

b) 3

c) 4

d) 6

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

TAREA DOMICILIARIA

e) N.a.

6. Hallar “m” para que en el producto resultante, el termino de grado 4° tenga como coeficiente 21. (mx3 – mx + 3x4 – 3 + 5x2) (4 + 3x2 + 2x3 – x) e) N.a.

e) 385

10. Indicar el producto de los coeficientes de uno de los factores de: (4x + 1) (12x + 1) (3x + 1) (2x + 1) – 36 a) 42

b) 3045

-4 a) 6

e) 800

(x2 + 1) (x12 + 1) (x36 +1) (x80 + 1) ...... 10 factores en total

Señalando la suma de los coeficientes positivos del polinomio producto. b) 22

c) 630

09. Hallar el grado absoluto del producto total en: 1

a) 12

e) N.a.

8. Hallar el grado absoluto del producto total en d) - 3

2. Completar la siguiente tabla del producto de dos polinomios. x

d) 6

1. Efectuar las multiplicaciones de los siguientes polinomios: a) (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) c) (5x2 + 3x – 2) (6x3 – x + 1) S3AL31B

b) (6m7 – m2 + 2) (3mn + m4)

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 500

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3er. Año Secundaria

2. Señale el resultado de multiplicar la suma de 2x – x2 + x3 con x2 – x3 + 3; con el resultado de la diferencia de 3x 2 + x + 6 con 3x2 – x – 1, al resultado final restarle : 4x (x + 5). 3. Dadas las siguientes expresiones: A = 2(x2 + x + 2) (x – 1) + 3(x + 1) (x2 – 1) B = 2(x2 – x + 2) (x + 1) + 3(x – 1) (x2 + 1) Indicar el valor de: (A + B) – 4x + 6 4. Si se sabe que: A = 2(x2 + x + 1) (x + 1) + 2x B = 2(x2 – x + 1) (x – 1) – 2x Calcular: A – B – 4x – 4

ÁLGEBRA

3er Año Secundaria

2. Aplicar los productos notables en la solución de problemas. II. PROCEDIMIENTOS. A. MOTIVACIÓN. Para llevar a cabo cualquier multiplicación se debe utilizar la ley distributiva de los números reales, es decir: a(b + c) = ab + ac ó (b + c) a = ba + ca Pero par mayor número de términos esta ley se debe ampliar o buscar métodos prácticos que permitan realizar operaciones con mayor facilidad como la regla del cuadro de doble entrada, que es de mucha utilidad para multiplicar polinomios completo y ordenado en forma decreciente de una variable tal como se muestra: Sean los polinomios: P(x) = x2 + 2x + 3; Q(x) = 2x3 + 4x2 – 5x + 2 Luego se ubican los coeficientes en un cuadro de doble entrada: P 1 2 3 Q 2 4 –5 2 Y se completa el cuadro colocando en cada casillero los productos de los coeficientes de P y Q según corresponda: P 1 2 3 Q 2 2 4 6 4 4 8 12 –5 –5 – 10 – 15 2 2 4 6 Bien sabemos que el grado del producto de P y Q es 5 y los coeficientes se toman sumando diagonalmente los resultados del cuadro. Finalmente como el producto PQ tiene igual característica que: P y Q tenemos: P(x)–Q(x)=2x5 + 8x4 + 9x3 + 4x2 – 11x + 6

PRODUCTOS NOTABLES I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS. 1. Identificar los productos notables a partir de los factores. Así como el reconocimiento de los factores a partir del producto. S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

A pesar de esto para los ejercicios que tengan una o más variables se pueden emplear algunas multiplicaciones cuyos resultados adoptan formas fáciles de reconocer los cuales reciben el nombre de PRODUCTO NOTABLE. B. CONTENIDO TEÓRICO. PRODUCTOS NOTABLES.Son ciertos productos que se determina sin necesidad de efectuar la multiplicación; cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección utilizando para ello identidades algebraicas. S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

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3er. Año Secundaria

Debe tener presente que los diferentes productos notables que se exponen en el presente módulo serán de mucha utilidad cuando esté cursando estudios superiores, por lo que trata de retener su desarrollo y aplicarlo con precisión. La siguiente es una lista de los principales PRODUCTOS NOTABLES: 1.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

(a–b)2=a2–2ab+b2 Observaciones:

(– a + b)2 = (a – b)2 = ( b – a)2

Binomio Suma por Binomio Diferencia: DIFERENCIA DE CUADRADOS

Identidades de Legendre: 2

10. Identidad de Argand: (a2+ ab + b2) (a2 – ab + b2) = a2 + a2b2 + b2 11. Identidad de Gauss:

•Si a; b; c ∈ R:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b) 2

9. Identidades de Lagrange:

12. Identidades Condicionales:

Binomio Al cubo:

(a + b + c)3 = a3 + b3+ c3 + 3(a + b + c) (ab + bc + ac) – 3abc

a3 + b3 + c3 – 3abc = (a+ b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)

(a + b)2 – ( a – b)2 = 4ab

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2(b + c) + 3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc

(a + b) + (a – b) = (a + b )

8. Trinomio al Cubo:

(ax + by)2 + (ay – bx)2 = (a2 + b2) (x2 + y2) (ax+by+cz)2 + (ay–bx)2 + (az+cx) + (bz–cy) 2 = (a2+b2+c2) (x2+y2+z2)

(– a – b)2 = (a + b)2 = ( b + a)2

(a+b) (a–b)=a2–b2

3er Año Secundaria

(a + b + c)3 = a3 + b3 +c3 + 3(a + b) (a + c) (b + c)

Binomio al Cuadrado: (a+b)2=a2+2ab+b2

ÁLGEBRA

a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc entonces: a = b = c •Si a + b + c = 0 ; entonces: a2 + b2 + c2 = 2(ab + ac + bc) a3 + b3 + c3 = 3abc a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + a2c2)

(a – b) = a – 3a b + 3ab – b

(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab (a – b)

PRÁCTICA DE CLASE

5. Multiplicación de un Binomio con un Trinomio: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

ADICION DE CUBOS DIFERENCIA CUBOS

6. Multiplicación de Binomios con Término Común: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab (x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc 7. Trinomio al cuadrado: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

01. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. (x + y) (y – x) = x2 – y2 II. (x + 2) (x – 3) = x2 + x – 6 III. (x + y) (x2 – 2xy + y2) = x3 + y3 a) VVV

b) VFV

c) FFF

d) FVF

02. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. (3n + 1) (3n – 1) = 32n – 1 II. (x + y)3 (x – y)3 = x6 – y6 III. (A + B)2 + (A – B)2 = 2(A2 + B2) S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) FFV

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) VFV

b) FVF

3er. Año Secundaria

c) FFV

ÁLGEBRA

3er Año Secundaria

10. Simplificar: (a2 + 5)(a2 – 5)(a4 – 5a2 + 25)(a4 + 5a2 +25) – (a – 125) + 31250

03. Simplificar: (x + a) (x – a) (x2 – ax + a2) (x2 + ax + a2) (x6 + a6) (x12 + a12) + a24

a) 125 a6

b) 250 a6

c) 25 a6

d) 125

e) N.A.

11. Indica el resultado de efectuar: a) a24

b) x24

c) x12

d) a12

e) a18 2

  + 5  3 

04. Calcular: a) 2b) 6

(x + 9)2 – (x + 13) (x + 5) (x + 10) (x + 9) – (x + 16) (x + 3) a) 21/8

b) 2/7

c) 8

d) 10

d) 8/21

e) 4/7 3

+1)( 2

e) 12

12. Reducir:

c) 3/4

05. Simplificar: H = 15 ( 2

  + 3 − 5  

a) a2

+1)(a

−a

c) a3

b) a

+1) −1

d) a6

e) N.A.

+1) +1

13. Al reducir: a) 8 d) 2

b) 0

c) 1 e) 4

(a + b)3(a – b)3 – (a2 – b2)(a4 + a2b2 + b) + 3a4b2 a) 3a2b4

06. Simplificar: 6

x + x

a) y2

−y

x − x

b) x2

b) 3a4b2

c) 3a6b4

14. Al reducers: (x + 1)(x – 2)(x + 3)(x – 4) – (x + 2)2(x – 3)2 + 2(x2 – x)

−y

c) y

d) x

e) xy

07. Simplificar:

la expresión resultantes es: a) 36

b) – 24

c) – 12x

d) 24x – 1

e) – 12

(x + 1) (x – 1) (x + 2) (x + 4) + 2x(x + 3) – x2(x + 3)2 a) 8

b) – 8

c) 4

d) – 4

01. Efectuar: (x + 2)2 – 2(x + 1)2 + x2

08. Calcular: 2

a) 2b) 4

1 +3 ( 2

+1)( 2

c) 6

+1)( 2

d) 8

a) 1b) 2

+1)

a) 1b) 2 03. Calcular:

(a + b)(a2 + b2)(a3 – b3)(a2 – ab + b2) . (a4 – a2b2 + b4) + b12

S3AL31B

b) b12

c) a24

d) b24

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

c) 3

02. hallar: 5(2 +

e) 10

09. Simplificar:

a) 12

PROBLEMAS PROPUESTOS (V)

e) 2

e) N.A.

a) 2 S3AL31B

3 2 ) – 14 (1 +

d) 4

e) – 1

d) 4

e) 5

3 2 )

c) 3

  2 + 3 + 5    2 + 3 − 5     

b) 2

c) 2

d) 2

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

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3er. Año Secundaria

ÁLGEBRA

a) xb) x4

3er Año Secundaria d) – x2

c) – 1

e) 1

04. Reducir: (a

2 2  4 4 +b ) +b  +b  (ab ) +b 8 a  a     

a) a b) a2

05. Hallar:

d) b2

c) b

a) 2b) 3

20 +14

2 + 20 −14

c) 4

e) ab

d) 5

e) 6

d) 4

e) 5

06. Efectuar: (x2 + 5x + 5)2 – (x + 1) (x + 2)(x + 3)(x + 4) a) 1b) 2

c) 3

DIVISIÓN ALGEBRAICA DE POLINOMIOS

07. Reducir: (a + b + c)3 – (a + b)3 – 3(a + b)(a + b + c)c a) a3

b) b3

c) c3

d) 2a3

e) 2b3

I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS. 1. Conocer los métodos de división de polinomios. 2. Buscar la aplicación de la división a capítulos posteriores. 3. Hallar los restos de algunas divisiones en forma directa.

08. Efectuar: (a+b+c)(a+b+d) + (b+c+d)(a+c+d) – (a+b+c+d)2 a) ab + cd e) (a + b)(c + d)

b) ac + bd

II. PROCEDIMIENTOS. 2

c) ad + bc

d) a + b + c + d

c) 4(a3 + b3)

d) 4(a3 – b3)

09. Realizar: E = (a2+a–ab+b+b2)2 – (a2–a–ab–b+b2)2 a) 2(a2 + b2) b) (a2 – b2) (4) 2 2 e) 2(a + ab + b ) 10. Simplificar: x ( x +1 ) x + 2 ( x + 3 ) +1

(1 + x )(1 + 2 x )(1 + 3 x ) + x 4 S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

A. MOTIVACIÓN. La operación de la división aparece y se desarrolla conjuntamente con los números quebrados al llamarles números ruptos (rotos) y empleó la raya de quebrado para separar el numerador del denominador. En el siglo XVI aparece la reducción de quebrados a un común denominador por medio de M.C.M. La división de polinomios se simplifica cuando aparecen los trabajos de Guillermo Homer y Paolo Rufino; donde se muestran esquemas que hacen que la división de polinomios sea mas sencilla. La división de polinomios tiene mayor aplicación en la teoría de ecuaciones. A continuación desarrollaremos una aplicación importante del Homer al cálculo de la suma de las potencias de las raíces de una ecuación polinominal. Ejemplo: Sea polinomio; P(x) = x3 – x2 + 11x – 6 donde se sabe que las raíces son: x1 = 1; x2 0 2; x3 = 3 ahora obtendremos el polinomio: P(x) = 3x2 – 12x + 11 (llamado también la derivada de P (x)). S3AL31B

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Luego dividimos:

P ' (x ) P (x )

3er. Año Secundaria

ÁLGEBRA

3er Año Secundaria

D(x) ≡ d(x) q(x) + R(x)

por Homer.

Donde : D(x) = Polinomio Dividendo d(x) = Polinomio Divisor q(x) = Polinomio Cociente R(x) = Polinomio Resto ó Residuo

Lo que se obtiene en el cociente representa:

Además: Grado [d(x)]>Grado [R(x) ∨ R(x)=0 PROPIEDADES DEL GRADO

0 S =x +x 0 1 1 S =x +x 1 1 2 S =x +x 2 1 3 S =x +x 3 1

6 - 11 6

0+ x 2 1 +x 2 2 +x 2 3 +x 2

• GR [d(x)] ≥ GR [d(x)] • Máximo GR [R(x)] = GR [R(x)] –1 • GR [q(x)] = GR [D(x)] – GR [d(x)] Clasificación de la División

=03 3 1 =6 3 =214 3 =336 3

- 12 11 18 - 33 18 36 - 66

A. División Exacta ↔ R (x) ≡ 0 Del algoritmo D(x) ≡ d(x)q(x) + R(x) ⇒

B. División Inexacta ↔ R (x) ≠ 0 Del algoritmo D(x) ≡ d(x)q(x) + R(x) 36 84 - 154

⇒

84 . . 3

↓

D( x ) ≡ q(x) d(x)

.....

D( x ) R( x ) ≡ q(x) + d(x) d(x)

Método para dividir Para dividir polinomios; se van a desarrollar dos métodos: A. Método de Homer Este método utiliza coeficientes separados de acuerdo al esquema. mismo signo

Lo cual se verifica tendiendo en cuenta que: x1=1; x2=2; x3=3; como se planteó al inicio. B) CONTENIDOS TEÓRICOS DIVISIÓN DE POLINOMIOS

signo cambiados

D I V I S O R

DIVIDENDO

COCIENTE

Definición Es aquella operación donde a partir de dos polinomios llamados dividendo y divisor se obtienen otros dos polinomios llamados cociente y residuo; donde estos 4 polinomios cumplen la siguiente identidad: S3AL31B

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RESTO "K" columnas

NOTA: K = Grado de Divisor S3AL31B

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3er. Año Secundaria

ÁLGEBRA

Ejemplo:

-1 5

X = 1/3

2x − x + 2x + 5 x + 2

Dividir:

2x − x + 5

- 1

1 0 1

q (x)

0 -5 0 0 2 1 5 1 1 3

0 0

R (x)

DIVIDENDO

-b a

5 R(x)

3 9 − 3 12 21 6 3

• El resto de

P es P(5) x −5

• El resto de

P (x ) es P(–4) x +4

Procedimiento Práctico

4 2

Teorema del Resto Este teorema nos permite hallar el resto de una división en forma directa; de acuerdo al enunciado: Sea P(x) un polinomio no constante; entonces el resto de dividir P(x) entre: (x – a) es P(a). Demostración: Del algoritmo: P(x) ≡ (x – a)q(x)+R para X = a ⇒ P(a) = 0q(a) + R ⇒ P(a) = R Ejemplo: Sea P(x) un polinomio no constante.

q(x) = 1x2 + 0x + 1 = x2 + 1 R(x) = 1x2 + 0x – 3 = x2 – 3 B. Método de Ruffini Es una consecuencia del método de Homer que se aplica cuando el divisor es de la forma: d(x) = ax + b; a ≠ 0; de acuerdo al esquema: ax+b=0

-1

q(x) = 1x5 + 3x4 – 1x3 + 4x2 + 7x + 2 R(x) = 5

2 1 0 -5

9 -3

q(x) verdadero =

q(x) Falso

D(x) ≡ 2x3 – x2 + 0x + 5 Llevamos al esquema: 1

1 7 3 6

Primero completamos los polinomios: D(x) ≡ 2x5 – x4 + 2x3 + 5x2 + 0x + 2

3er Año Secundaria

I. Igual a cero el divisor. COCIENTE FALSO

Donde:

cociente = verdadero

RESTO

II. Reemplazar en el denominador.

cociente falso a

Ejemplo: 5 Hallar el resto de : x + x − 1 x −2

Ejemplo: Dividir:

3 x 6 + 8 x 5 + 6 x 4 + 13 x 3 + 17 x 2 − x + 3 3x −1 como están completos y ordenados llevamos al esquema: 3x-1=0 S3AL31B

-6

I. x – 2 = 0 → x = 2 II. Resto = 25 + 2 – 1 = 33 Generalización del Teorema del resto

17 3

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S3AL31B

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3er. Año Secundaria

El teorema del resto también se aplica para divisores de la forma: ax + b; a ≠ 0; y para divisores de grado mayor que uno de acuerdo al siguiente procedimiento:

01.

I. Se iguala a cero el divisor y se despeja lo más conveniente. II. Se reemplaza en el numerador; hasta obtener un polinomio de grado menor que el grado del divisor el cual será el resto.

02.

Ejemplo: Hallar el resto de:

03.

( x + 1)( x + 2 )( x + 3 )( x + 4 ) + x 2 − 4 x 2 + 5 x −1

Resolución: Por el T.R. Generalizado: I. x2+5x–1 = 0 → x2+5x = 1 II. Resto = (x2+5x+4) (x2+5x+6)+x2–4 (1) (1) = (5) (7) + x2 – 4 1 – 5x = 35 + 1 – 5x – 4 = – 5x + 32 ∴ Resto = – 5x + 32 PRÁCTICA DE CLASE BLOQUE I: División de monomios 01.

24 x 3 y 4 z6

03.

34 x 3 y 2 17 x 2 y 4 x 4 y 4 − 8 x 3 y 2 + 6 xy 3 − 2 xy 2

− 56 x 5 y 2 z5 − 2 x 3 y 4 z6 + 2 xyz − 2 xyz

01.

2 x 5 + 4 x + 6 x7 − x 2 + 2 + 6 x 3 − x 6

02.

6 x 5 − x 4 + 4 x 3 − 5 x 2 − x − 15

03.

30 x 4 + 11 x 3 − 82 x 2 − 5 x + 3

3 x 4 + x 3 − 2x + 1

2x 2 − x + 3 3 x 2 + 2x − 4

BLOQUE IV: Dividir por el método de HORNER 01. (x4 + 3x3 – 5x2 + 3x – 10 entre (x2 + x – 2) 02. (6x5 + 4x4 + 5x3 + 8x2 – 7x – 5 entre (3x2 + 2x + 1) 03. (2x5 + 3x4 + 3x3 + 2x2 – 8x – 11 entre (x2 + 2x + 1)

− 3 x 2 y 2 z5

2x5 + 9 x 4 + x 3 − 8 x 2 + 4 x + 6

−21 x 8 y 6 z 3x 2y4 z

3er Año Secundaria

BLOQUE III: Método Convencional

04. 02.

ÁLGEBRA

X2 + 5 x + 1

BLOQUE V: Dividir por el método de RUFFINI.

8 x n +2 y m +3

01. (5x5 + 16x4 – 15x3 + 2x – 8) : (x + 4)

2x n ym +1

02. (4x4 – 5x3 + 6x2 + 7x + 18) : (x + 1)

BLOQUE II: División de un polinomio

03. (8x3 – 9x2 – 2x +4) : (x – 2) 04. (2x3 – 10x – 15) : (x – 3)

S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S3AL31B

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3er. Año Secundaria

BLOQUE VI: Hallar el resto que resulta de dividir (utilizar el TEOREMA DEL RESTO)

ÁLGEBRA

a) 8

3er Año Secundaria b) 4

c) 2

d) 1

e) N.A.

01. (2x3 – 10x – 15) : (x – 3) 02. (2x4 + 3x3 – 4X + 2) : (x – 2) 07. Si la división de:

03. (160x4 – 24x3 + 6x + 1) : (2x + 1) 04. (18x3 – 4x2 + 4x + 5) : (2x – 1)

x 5 − 25 x 3 + ax 2 + bx + c x3 + 5 x 2 + 3x + 2

05. [(x – (2n + 3)x + 2(n + 3)] : (x – 1)

Entonces el valor de a + b + c es: a) – 53

PROBLEMAS PROPUESTOS (VI)

a) 3x + 2

b) x2 + 10

d) 1

c) x2 – 20x

d) x – 20

2x3 + x 2 + d

a) 9

b) 8

d) 3

e) N.A.

8 x 5 − 8 x 3 + ax 2 + bx + c el resto que se obtiene es: 3x2 – 2x + 1. Entonces a + b + c es:

c) 2

a) 2 d) 5

e) 6

c) 4

d) 5

b) 10

4 x 3 − 2x 2 + x − 3

c) 12

d) 14

x 5 + x 4 − 11 x 3 + 5 x 2 + x + 10 x +4 a) – 12

b) – 15

c) – 17

d) 10

e) 0 TAREA DOMICILIARIA

6 x 6 + 5 x 5 − 4 x 4 + 7 x 3 + 12 x 2 + 13 x + 18 2x + 3 el término independiente del cociente es: “El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 16

10. Al dividir:

06. Al dividir:

S3AL31B

c) 4

09. Si al dividir:

05. Si la división de: 6x4 – 5x3 – 7x2 + Ax + B entre 3x2 + 2x – 2 es exacta. Entonces el valor de A + 2B es: b) 6

e) N.A.

8 x 5 + 4 x 3 + ax 2 + bx + c

e) N.A.

04. Calcular el resto en: (4x3 – 2x2 + 10x – 4) entre (2x – 1)

a) 8

d) 32

el resto que se obtiene es: 2x2 + 4x. Entonces calcular: E = a + b + c – 5d.

a) 2x2 – 2x + 5 b) 2x2 + 3x – 2 c) 2x2 – x + 5 d) 2x2 + x – 2 e) N.A.

b) 1

c) – 6

e) 5

03. Al dividir: 4x5 + 2x4 + 2x3 – x2 + 4x entre 2x3 + 3x2 – x + 2 el cociente es:

a) 4

b) – 48

08. Si al dividir:

01. Al dividir 8x4 + 2x3 + 3x2 – 13x + 8) entre (4x – 1) se obtiene un cociente, que tiene por suma de coeficiente a: a) 4 b) 3 c) 21 02. El resto que se obtiene al dividir: 6x6 – 3x5 + 2x4 + 33x3 + 8x2 – 6x + 4 entre x3 – 2x2 + 3x + 1 es:

, es exacta

Realizar las siguientes divisiones:

S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) N.A.

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 01.

02.

03.

05.

ÁLGEBRA

3er Año Secundaria

16 x m +2 y n +3 4 x m +1 y n −114 x m +11 y 2 n −3 −12 x m −5 y 2 n −3 42 x 6 y 5 − 21 x 3 y 6 +14 x 4 y 3 7x2y2 3 2

04.

3er. Año Secundaria

12 x y

7 3

+ 30 x y

DIVISIBILIDAD

5 2

−6 x y

6x3y2

x5 − 5 x 4 + 9 x 3 − 6 x 2 − x + 2 2

x − 3x + 2

06.

6 x 5 − 20 x 4 − 13 x 3 − 35 x 2 − 12 x + 7

07.

6x6 + 5 x5 − 6 x4 + 5 x3 + 3x 2 − 7x − 8

PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA 01. Suma de Coeficientes: Para determinar la suma de coeficientes de un polinomio, se hacen la variable o variables iguales a 1. Cuando el polinomio tiene una sola variable se tiene: de coeficient es ∑

3 x 2 − x +1

2x 3 + x 2 − 3 x + 1

02. Teorema Independiente: Para calcular el término independiente de un polinomio, respecto a una variable, se hace la mencionada variable igual a CERO. Cuando el polinomio tiene una sola variable se tiene: Término independiente: P(0)

08. (8x4 – 20x3 + 3x – 5) : (x – 1) 09. (4x5 – 11x3 + 6x – 7) : (x –

= P (1)

1 ) 2

03. Si un polinomio P(x) al ser dividido entre (x – a) deja por resto cero, dicho polinomio es divisible entre dicho binomio. Esto se manifiesta así: P (x ) ÷ (x − a)

→ R = 0

Hallar el resto que resulta de dividir: 10. (x40 + 5x39 + 6x38 – 4x2 – 9x + 10 ) : (x + 2) 11. (x128 – 2x127 + x2 – 2x + 3) : (x – 2) 12. (x1998 + 5x1997 + x2 + 5x + 1) : (x + 5)

P(x) es divisible entre (x – a) 04. Si un polinomio P(x) es divisible separadamente entre varios binarios, dicho polinomio será divisible entre el producto de ellos, lo cual se expresa de la manera siguiente;

P (x) ÷ (x − m )

→R = 0

P (x) ÷ (x − n )

→R = 0

Luego: P (x ) ÷ (x − m )(x − n)

S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S3AL31B

→ R = 0

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

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3er. Año Secundaria

05. Si un polinomio P(x) es divisible por el producto de varios binomios, dicho polinomio P(x) será divisible separadamente por cada uno de ellos, lo cual se expresa de la siguiente; manera:

P (x) ÷ (x − m )(x − n)

ÁLGEBRA

El resto ahora es:

→R = 0

P (x) ÷ (x − m)

→ R = 0

P (x ) ÷ (x − n)

→ R = 0

3er Año Secundaria

R m

R  Re sto original =(Re sto obtenido x m ) =  xm = R m 

METODO DE WILLIAM G. HORNER

Observación: Este principio es recíproco al anterior.

Pasos a seguir:

06. En toda división, si al dividendo y al divisor se multiplica por una misma cantidad diferente de cero, el cociente no se altera, sin embargo el resto queda multiplicado por dicha cantidad. Si se desea hallar el resto original, se divide el resto obtenido entre la cantidad por la cual se había multiplicado. Así tenemos: D = dq + R Sea: m ≠ 0 , multiplicando por “m” Dm = (dm )q + Rm

1) Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente en una variable, completo o completado. 2) Coeficientes del divisor ordenado decrecientemente en una variable, completo o completado, con signo contrario, salvo el primero. 3) Coeficientes del cociente que se obtienen de dividir la suma de los elementos de cada columna entre el primer coeficiente del divisor. Cada coeficiente del cociente se multiplica por los demás coeficientes del divisor para colocar dichos resultados a partir de la siguiente columna en forma horizontal. 4) Coeficientes del residuo que se obtienen de sumar las columnas finales una vez obtenidos todos los coeficientes del cociente.

El resto es ahora: R m Luego:

ESQUEMA GENERAL

R. obtenido Rm Re sto original = = =R m m

07. En toda división, si se divide al dividendo y divisor por una misma cantidad diferente de cero, el cociente no se altera, sin embargo el resto queda dividido por dicha cantidad.

Si se desea obtener el resto original se multiplica el resto obtenido por la cantidad por la cual se dividió: Así tenemos:

3 LINEA DIVISORIA

D = dq + R

Sea m ≠ 0 , dividiendo entre “m”, se obtiene:

D d  R =  q + m m m

La línea divisoria se colocará separando tantos términos de la parte final del dividendo como lo indique el grado del divisor. OBSERVACIÓN: Si la división origina un cociente exacto, entonces el residuo es un polinomio nulo (todos sus coeficientes son cero). Ejemplo:

S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

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3er. Año Secundaria

ÁLGEBRA

3er Año Secundaria

Dividir : 6x

− x y + 2x y 3x

+ 6x y 3

2 5

−x y

+ x y − 2 xy

+ 4 xy

+ 2y

3 x 5 − 2 x 4 + 7 x 3 − 11 x 2 + 5 x + 1 x−2

Por Ruffini : 3 6 -1 +2 +6 -1 0 +2 -1 x

-2

0 +4 1 0 -1

2 -1 +1 +3 Coeficientes del Cociente

0 -1 +4 +2 -2 -2 +1 0 +2 -1 -3 0 +6

x-2=0 x=2

-3

-2

+2 3

-7 +2 +9 -1 Coeficiente del Residuo

-11

+6 8

4 15

Residuo

Como : Grado (Q) =5 - 1=4, confeccionamos el cociente :

La variable se agrega de acuerdo al grado del cociente y del resto, se tiene: Q(x ; y) = 2x3 - x2y + xy2 + 3y3 R(x ; y) =-7x3y4 + 2x2y5 + 9xy6 - y7 METODO DE PAOLO RUFFINI Se utiliza para dividir polinomios y cuyo divisor es un binomio de primer grado de la forma: (ax+b). También podría ser cualquier otro divisor que puede ser llevado o transformado a la forma antes mencionada.

Q(x) = 3x4 + 4x3 + 15x2 + 19x + 43 R(x) = 87 OBSERVACION: Si en el divisor (ax+b), a≠1 ; luego de dividir por Ruffini los coeficientes del cociente deben dividirse entre “a” para obtener el cociente correcto. Ejemplo 02: Dividir :

3 x 4 + 5 x 3 - 17 x 2 + 8 x + 7 3x - 1 Por Ruffini :

Pasos a seguir:

3x-1=0 x=1/3

1) Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente, completo o completado con respecto a una variable. 2) Valor que se obtiene para la variable cuando el divisor se iguala a cero. 3) Coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna, luego que el coeficiente anterior se ha multiplicado por  y colocado en la siguiente columna. 4) Resto de la división que se obtiene de sumar la última columna. ESQUEMA GENERAL

-17

-5

-15

-5

1/3

Resto

Coeficientes del cociente

Q° =4 - 1=3 ; (Q°  nos indica el grado del cociente) Confeccionamos el cociente : Q(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1

; R=8

OBSERVACION: Si el divisor es de la forma (ax n+b), para proceder a dividir por Ruffini todos los exponentes de la variable en el dividendo deben ser múltiplos del exponente de la variable del divisor. Luego de verificar esto, se procede como en los ejemplos anteriores.

2 3

Ejemplo 03: Dividir : Ejemplo 01: Dividir : S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

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3er. Año Secundaria

6 x 40 - 31x 30 + 47 x 20 - 56x 10 + 57 2 x 10 - 7

ÁLGEBRA

3er Año Secundaria

Calcular el resto :

x 5 + 3x − 5 x−2

Solución: Por el teorema del resto: x- 2 = 0→ x =2 R = (2)5 + 3(2) – 5 → R = 33 Solución: Ejemplo 02 40, 30, 20, 10 son múltiplos de 10, entonces es posible aplicar el Método de Ruffini. 6

-31

+47

-56

+57

-35

+42

-49

-10

+12

-14

-5

-7

2x10 -7=0 x10 =7/2 7/2 :2

Q° =40 - 10=30, los exponentes de la variable en el cociente disminuyen de 10 en 10. 30

Calcular el resto :

2x 4 + x 3 − 8 x 2 − 3 x + 7 2x − 3

Solución: Por el teorema del resto: 2x–3= 0 → x=3/2 R = 2

3 3 3 3  +   − 8   − 3  + 7 2 2 2 2

81 27 9 + − 18 − + 7 8 8 2

108 9 27 9 − − 11 → R = − − 11 8 2 2 2

Q(x) = 3x – 5x + 6x – 7 R = 8 TEOREMA DEL RESTO Enunciado del Teorema del Resto El residuo de dividir un polinomio Racional y entero entre un binomio de forma (ax+b), es igual al valor que toma dicho polinomio cuando se reemplaza “x” por (-b/a) es decir: P(x) ax+b R

Q(x)

Si: ax+b = 0,

Por definición de división: P(x) = (ax+b) Qx + R

despejando x= −

b a

R = 9 – 11 →

R = -2

Ejemplo 03 Hallar el resto en: (3x60 – 5x45 + 3x30 – 2x15+x5+7) : (x5 + 1) Solución: Expresando el dividendo en función de x5, tenemos:

3(x 5 )12 − 5(x 5 )9 + 3(x 5 )6 − 2(x 5 ) 3 + (x 5 ) + 7

Luego: P(-b/a) = [a(-b/a) + b] Q(x) + R P (-b/a) = 0 + R

(x 5 ) + 1

P (-b/a) = R

Por el teorema del resto:

Entonces; para calcular el resto se iguala el divisor a cero, se calcula el valor de la variable (siempre que el divisor sea de primer grado) y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo. El resultado obtenido es el resto.

El valor obtenido para x5 lo reemplazamos en el dividendo, así:

x5 + 1 = 0 → x5 = -1

R=3(-1)12–5(-1)9+3(-1)6 – 2(-1)3 + (-1)+ 7 Ejemplo 01

S3AL31B

R= 3+5+3+2–1+7 “El nuevo símbolo de una buena educación...”

S3AL31B

→ R = 19 “El nuevo símbolo de una buena educación...”

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3er. Año Secundaria

ÁLGEBRA

3er Año Secundaria

Hallar el resto luego de dividir: Ejemplo 04 Hallar el resto de: (5x7 – 4x6 + 5x4 – 3x3 + 2x2 – 5x + 7) : (x2 + 2)

(x − 3)100 + (x − 4 ) 47 + 6 x 2 − 7 x + 12

Solución: En este caso los exponentes del dividendo no son múltiplos del exponente del divisor. Siendo el divisor de segundo grado, el grado del resto será de primer grado. (es el máximo valor que puede asumir). El procedimiento a seguir es el mismo que en el ejemplo anterior. Expresamos el dividendo en función de la potencia x2 : 2 3

2 3

2 2

5 (x ) x − 4 (x ) + 5 (x ) − 3(x )x + 2(x ) − 5 x + 7

Solución: Factorizando el divisor: x2 – 7x + 12 = (x-4)(x-3) En toda división: D ≡ d . Q + R, reemplazando los datos: (x- 3100) + (x- 47) + 6 = (x- 4)(x- 3) . Q(x) + R 2do. grado

1er. grado

(x-3)100+(x-4)47+6=(x-4)(x-3) .Q(x)+(ax+b), ∀ x Si x = 3, se obtiene: 5 = 3 a + b . . . (1) Si x = 4, se obtiene: 7 = 4 a + b . . . (2)

x +2 Por el teorema del resto, igualamos el divisor a cero y hallamos la potencia x 2 : x2 + 2 = 0 → x2 = -2

Restando 2 – 1 :

Reemplazando en el dividendo tendremos: R = 5(-2)3x – 4(-2)3+5(-2)2–3(-2)x+ 2(-2) –5x+7 R = 5(-8)x – 4(-8)+ 5(4)+ 6x – 4 – 5x + 7 R = – 40x + 32 + 20 + 6x – 4 – 5x + 7 R = – 39x + 55 Ejemplo 05 Hallar el resto en:

Luego: R(x) = ax + b

a=2 b = -1 → R(x) = 2x – 1

Ejemplo 07 Al dividir F(x) entre (4x2 – 9)(x+3); se obtuvo como residuo 2(x - 3) 2. Hallar el residuo de dividir F(x) entre (2x2 + 9x+ 9).

(x 2 + 5 x + 7 )39 − 3(x 2 + 5 x + 5 )41 + (x + 1)(x + 4 ) + 7

Solución: F(x): (4x2-9)(x+3) → R = 2(x - 3)2 Luego: F(x) = (4x2-9)(x+3). Q1 (x) + 2(x- 3)2 .. (α)

x2 +5x + 6

F(x) : (2x2+9x+9) → R = ? (primer grado)

Solución: Como el divisor es de la forma x2 + 5x + 6, buscamos en el dividendo las potencias de (x 2 + 5x); así:

F(x) = (2x2+9x+9). Q2 + ax + b . . . . . (β) De (α) y (β) : (2x+3)(2x-3)(x+3).Q1+2(x-3)2=(2x+3)(x+3).Q2+ (ax+b)

(x 2 + 5 x + 7 )39 − 3(x 2 + 5 x + 5 )41 + (x 2 + 5 x ) + 4 + 7 x2 + 5x + 6

R = (-6+7)39 – 3(-6+5)41 + (-6) + 11 R = 1 – 3(-1)41 – 6 + 11 R = 1 + 3 – 6 + 11 → R = 9

Si x = -3/2, se obtiene : 81/2 = -3/2 a + b ↓ (-) Si x = -3, se obtiene : 72 = - 3 a + b 81/2 – 72 = -3/2 a + 3a 81 – 144 = 3 a -63 = 3 a a =-21 ; b = 9

Ejemplo 06

Finalmente:

Hacemos: x + 5x + 6 = 0 → x + 5x=–6, en el dividendo tendremos: 2

S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

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3er. Año Secundaria

R = - 21x + 9

ÁLGEBRA

3er Año Secundaria

Condiciones que deben cumplir: a) Deben tener las bases iguales. b) Deben tener los exponentes iguales.

COCIENTES NOTABLES Así: I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS. 1. Identificar las divisiones que originan un cociente notable 2 Proporcionar el desarrollo del cociente notable. 3. resolver situaciones que involucran cocientes notables.

10 10 Numéricamente x ± a x ±a

ESTUDIO DE LOS CASOS DE LOS COCIENTES NOTABLES Existen cuatro casos de cocientes notables, que se determinan combinando convenientemente los signos; las cuales son:

II. PROCEDIMIENTOS

xn − a n xn + a n xn + a n xn − a n ; ; ; x −a x −a x +a x +a

A) MOTIVACIÓN Después de haber estudiado la división de polinomios y sus métodos. Ahora vamos a examinar algunas divisiones de polinomio cuyos resultados o cocientes se pueden escribir directamente, sin efectuar la división propiamente dicha. Te desafío, efectúa las divisiones y da el cociente sin efectuar la división: 1) (x – 20 + x2) :(x + 5) 2) (2 + 2x3 – x2) : (– 1 + x)

1 2 3   x + 0 ,5 x − 1  :  x −  2 3  

3) 

B) CONTENIDO TEÓRICO

COCIENTES NOTABLES Definición Son aquellas divisiones algebraicas en las cuales el cociente y el residuo de la división se obtienen sin mediar algoritmo correspondiente, o sea sin necesidad de efectuar la operación. Estos casos especiales de la forma general:

x n ±a n x ±a

S3AL31B

Donde: ∈ X, a son las bases y n N

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

PRIMER CASO

x n −a n x −a a) CALCULO DEL RESTO Por el teorema del resto: X–a=→x=a R = an – an = 0 ∴R=0 Esto indica que para cualquier valor entero de "n" , será siempre exacta por lo tanto es un cociente notable. b) CALCULO DEL COCIENTE Como se está dividiendo un polinomio de grado n entre uno de primer grado, el cociente resultante será de grado (n – 1). Entonces: Para cualquier valor de "n"

xn −a n = x n −1 + x n −2 a + x n −3 a 2 + x n −4 a 3 ...... + a n −1 x −a Ejemplo Calcular el cociente en forma directa de: S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

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3er. Año Secundaria

SEGUNDO CASO: n

x +a x −a

Q (x ) =

R=0

Luego el cociente exacto es: ↓ x n −a n = x n −1 + x n −2 a + x n −3 a 2 + x n −4 a 3 +...... + a n −1 x −a

CUARTO CASO:

x n −a n x +a

Vemos que en éste caso para cualquier valor de "n" el resto es siempre diferente de cero por lo cual el cociente que se obtiene será siempre un cociente completo y nunca un cociente exacto. b) CALCULO DE COCIENTE Luego el cociente completo es:

xn + a n 2a n = x n −1 + x n −2 a + x n −3 a 2 + x n −4 a 3 + ...... + a n −1 + x −a x −a TERCER CASO: x n +a n x +a a) CALCULO DEL RESTO

a) CALCULO DEL RESTO: x+a=0→x=–a R = (– a)n + an Si: n = # par → R = an – an = 2an ≠ 0 → cociente exacto. Si: n = # impar → R = – an – an = 0 → cociente completo. b) CALCULO DEL COCIENTE: 1) Para n = # par Lugar par Q (x) =

x+a=0→x=–a R = (– a)n + an Si: n = # par → R = an + an = 2an ≠ 0 → cociente completo. Si: n = # impar → R = – an + an = 0 → cociente exacto. b) CALCULO DEL COCIENTE 1) Para n = # par: ↓ x n −1 −x n −2 a +x n −3 a 2 −x n −4 a 3 +.... −a n −1 n tér min os

R = 2an ≠ 0

↓ −x n −1 −x n −2 a +x n −3 a 2 −x n −4 a 3 +.... −a n −1 n tér min os

↓ x n −a n = x n −1 − x n −2 a + x n −3 a 2 − x n −4 a 3 +...... − a n −1 x +a 2) Para n = ≠ impar Lugar impar Q (x ) =

↓ x n −1 −x n −2 a +x n −3 a 2 −x n −4 a 3 +.... +a n −1 n tér min os

Luego el conciente completo es: Lugar par

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

R=0

Luego el cociente exacto es:

R = 2an ≠ 0

Luego el cociente completo es:

S3AL31B

↓ x n −1 −x n −2 a +x n −3 a 2 −x n −4 a 3 +.... +a n −1 n tér min os

(NO ES COCIENTE NOTABLE)

a) CALCULO DEL RESTO: x–a=0→x=a R = an + an R = 2an ≠ 0

Q (x ) =

3er Año Secundaria

↓ x n +a n 2 a n 2) = x n −1 + x n −2 a + x n −3 a 2 + x n −4 a 3 +...... − a n −1 + x +a x +a n = # impar:

x4 − a 4 = x 3 + x 2 a + xa 2 + a 3 x −a

ÁLGEBRA

S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

Para

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Q (x) =

3er. Año Secundaria

↓ −x n −1 −x n −2 a +x n −3 a 2 −x n −4 a 3 +.... −a n −1 n tér min os

ÁLGEBRA

R=0

en general:

Luego el cociente exacto es:

t = k

↓ x n −a n = x n −1 − x n −2 a + x n −3 a 2 − x n −4 a 3 +...... − a n −1 x +a 2) Para n = ≠ impar Lugar impar Q (x ) =

n− 1

−x

n −2

n −3

n −4

a +x a −x n tér min os

n-k

k-1

; (1 ≤ k ≤ n)

signo

Donde k es el lugar pedido y n es el exponente de las bases en el numerador. "O sea EL Exponente de x es igual al exponente común de las bases menos, el lugar que ocupa y el de a el lugar que ocupa disminuido en 1" ∗ Regla para el SIGNO

↓ +.... +a n −1

R = 2an ≠ 0

a) Cuando el divisor es de la forma (x – a):

Luego el conciente completo es:

Todos son positivos (+)

↓ x n −a n = x n −1 − x n −2 a + x n −3 a 2 − x n −4 a 3 +...... + a n −1 x +a

−

3er Año Secundaria

b) Cuando el divisor es de la forma (x + )m y si:

2a n x +a

k = # impar → (POSITIVO +) k = # par → (NEGATIVO –) Ejemplos:

El signo del último término del cociente vería por estar ocupando diferente lugar. FORMULA DEL TERMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LOS COCIENTES NOTABLES. Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes notables sin necesidad de conocer los demás.

6 6 1) x − a = x 5 − ax 4 + a 2 x 3 − a 3 x 2 + a 4 x − a 5 x +a

Sabemos que:

xn − a n = x n −1 + x n −2 a + x n −3 a 2 + x n −4 a 3 + ...... + a n −2 x −a t3 t4 + a n −1

2x + 3 y 2 dando la forma adecuada:

( 2 x )4 − (3 y 2 ) 4

2 x + (3 y 2 )

= ( 2 x ) 3 − ( 2 x ) 2 ( 3 y) 2 + ( 2 )(3 y 2 ) 2

−( 3 y 3 ) 3

Donde: t1 = xn-1 = xn-a0 t2 = xn-2 = xn-2a1 t3 = xn-3 = xn-3z2 . . . r69 = ……… = xn-69a68 . . S3AL31B

16 x 4 − 81 y 8

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

⇒

16 x 4 − 81 y 8 2x + 3 y 2

= 8 x 3 −12 x 2 y 2 +18 xy 4 −27 y 6

7 7 3) x + a = x 6 − x 5 a + x 5 a + x 4 a 2 − x 3 a 3 + x +a

4) Calcular el 5to término del desarrollo de:

S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

x 2 a 4 − xa 5 + a 6

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3er. Año Secundaria

a 20 b10 − x 40 y 30

ÁLGEBRA

a) 100, 20

a 2b − x 4 y3

Solución: - Dando la forma adecuada:

3er Año Secundaria b) 150, 30

c) 250, 50

d) 350, 70

e) 400, 80

c) 6, 15

d) 7, 15

e) 8, 15

x 30 − y 45 x 2 − yn

(a 2 b )10 − ( x 4 y 3 )10 (a 2 b ) − ( x 4 y 3 ) - Aplicando la fórmula general: Tk = nn-kak-1 T5 = (a2b)10-5(x4y3)5-1 ∴ T5 = a10b5x16y12

a) 3, 15

b) 5, 15

03. El desarrollo del C.N.: a) 14

xR − yS x 3 + y4

b) – 14

; tiene 14 términos. Hallar (R – S).

c) 98

d) – 98

e) 0

04. Hallar el tercer término del desarrollo del C.N.: 5) Encontrar el T22 del siguiente desarrollo.

a n − b 5 n −18

x155 + a 93

a 2 − b9

a5 + a3 a) a10b16

Solución : Dando la forma de un cociente notable:

b) – a10b18

c) a30b18

d) a15b6

e) a32b20

05. Calcular el cuarto término del C.N.:

(x 5 ) 31 + (a 3 ) 31 x5 + a 3 Como el divisor es de la forma (x +a) y el término a buscar es par (k) tendrá signo negativo (-) ⇒ T22 = - (x5)31-22 (a3)22-1 T22 = - (x5)9 (a3)21 ∴ T22 = - x45a63

x 4 n +5 + y 4 n −6 x n −4 + y n −5

a) x21y6 PRÁCTICA DE CLASE

x8 − y4

c) 6d) 8

e) 10

02. Hallar "n" y el número de términos de los siguientes C.N.: x 210 − y n 3

x −y S3AL31B

d) – x10y6 e) – x21y6

06. Obtener el valor numérico del tercer término del desarrollo de: x 2 − yb Para x = 0,5 e y = x-1 y b = 17

x 8 m − y 40

b) 4

c) x22y6

x a +1 − y 20 b

01. Hallar el valor de "n" para que sea C.N.:

a) 2

b) – x21y5

a) 3-1

b)3

x a −b + y a −b

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

d) – 1

07. Hallar a.b, sabiendo que el término del C.N.: Xa +b − y a +b

c) – 3

S3AL31B

; es x60y40

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 1

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 600

b) – 2,400

c) 4,200

3er. Año Secundaria d) 35

ÁLGEBRA

e) 3,500

( xy )90 −1 ( xy ) 3 −1

08. Dado el C.N.: x15 m +50 − y15 m −10

indicar el grado del término de lugar 19.

x m +1 − y m −2 indica que lugar ocupa el término de grado absoluto 85.

a) 10

b) 13

c) 15

d) 17

a) 11 e) 20

x100 + y150

a 4 m +12 − x 4 m −3

c) 47

d) 31

e) 20

c) 33

d) 19

e) 20

es: xm+t+1yt+80

x 2 + y4

a m −8 − x m −9

b) 14

b) 22

02. Calcular (m-t) sabiendo que el término de lugar 29 del cociente notable correspondiente a:

09. Hallar el grado del décimo del desarrollo de:

a) 32

3er Año Secundaria

a) 42

b) 37

c) 33

d) 84

e) 19

10. El segundo término del C.N.:

x 2 − y2

x 3 −1 − y 3 −1 a) 7

03. La siguiente división:

; es x16y8. Hallar (a + b)

2 2 xm +2 + y3m

b) 9

c) 10

d) 15

11. Sabiendo que xay24 es el término central del desarrollo del C.N.: x75 − y b xc − y2

a) 10

x 2 − y4

e) 8

origina cociente notable; calcular los valores que puede adoptar "m". a) 2 y - 1

b) 2 y - 2

b) 40

c) 59

d) 89

e) 2 y 0

c) 2

d) 3

e) – 8

2 x m +5 + y 2 m + 27

e) 99

x 90 − y −60

x + y 2 m +1 origina un cociente notable:

x 3 − x −2

a) 0

b) 12

c) 14

d) 15

e) 20

b) 1

05. Calcule (a+b) en la división que origina cociente notable: x a +2 + y b +1 x5 + y2

PROBLEMAS PROPUESTOS VII a) 88

01. Dada la siguiente división: S3AL31B

d) 4 y 1

04. Halle Ud. "m" si la división:

12. calcular el número de términos fraccionarios en el C.N.:

a) 10

c) 1 y 3

. Calcular: (a + b + c)

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S3AL31B

b) 66

, si tiene 13 términos. c) 42

d) 55

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) N.A.

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06. ¿Cuál será el término anterior al sexto, del cociente notable originado por.

x 6 n +3 − a 6 n −22 n −6

10 10 − x 20

calcular el t19.

b) x9y7

c) x5y9

d) x10y8

e) 105y8

07. Señale ud. el quinto término del desarrollo de la división:

a) x3a36

b) x18a3

2 +a2

xa − yb x 3 − y7

contando de derecha a izquierda. b) 16a9

C) 8a12

d) 8a15

e) a21

a) 821

b) 729

e) N.A.

b) x40 + 1

c) x80 – 1

01. Siendo "n" un número natural, calcular el lugar que ocupa el término de grado 135 en el siguiente cociente notable. d) x80 + 1 e) N.A. 2 2 x 2 n − 3 − y 2 n + 22

x n −3 + y n −2

02. Encontrar los 4 primero términos del C.N. originado por::

x 3 m − a 2n b) 9

c) 10

d) 11

x 66 − y 88

e) 14

x3 − y4

10. Si los grados absolutos de todos los términos van disminuyendo de 3 en 3 y si además el t40 de su desarrollo tiene grado absoluto 87. Hallar el número de términos, siendo el C.N.: 03. En el desarrollo de

x np − a p xn − a b) 50

c) 52

d) 60

e) N.A.

04. En el desarrollo de: es:

11. Si el siguiente cociente:

S3AL31B

d) 901

+.... + +x + 1

x129 m − a 86 n

a) 48

c) 769

09. Hallar "m + n", si el t25 del desarrollo de:

a) 8

e) x18a36

TAREA DOMICILIARIA 76

x 38 + x 36 + x 34 +.... + x 4 + x 2 + 1

a) x40 – 1

d) – x18a36

, hay un término central, que es igual a xcy231. Hallar E = a + b + c

08. Simplificar: 78

c) x3a3

12. En el cociente notable:

2048 + a 22

a) 16a12

n −8

x 2 +a 2

10 − x 2 a) 106y10

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“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S3AL31B

x 66 − y 88 x3 − y4

x 45 + a 27 x15 + a 9

, el quinto término es:

, hay un término de grado 24, la diferencia de los exponentes de "x" y "a"

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

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ÁLGEBRA

3er Año Secundaria

NOTA: Al factor de un polinomio también se le llama divisor, que no necesariamente es primo.

NOTA: Si se cambia de signo a un números par de factores, la expresión no se altera. Sea F(x) = (x - 4)(2 - x)(x+3)(5 - x) Si se cambia de signo al factor : (2 - x) y (5 - x); se tendrá : F(x) = (x - 4)(x - 2)(x +3)(x - 5) FACTORIZACIÓN En la multiplicación algebraica, el propósito es lograr una expresión resultante llamada producto a partir de otras denominadas factores. Al proceso contrario, o sea el transformar una expresión desarrollada o semidesarrollada en el producto indicado de factores (pero no de factores cualesquiera, sino primos) se le denomina FACTORIZACION. Todo lo antes mencionado podemos resumirlo en el siguiente esquema: multiplicación (x+3)(x+4) = x2+7x+12 factorización

FACTORIZACIÓN EN Q FACTOR O DIVISOR Se denomina así a un polinomio distinto de cero que divide exactamente a otro polinomio. Así por ejemplo: * Para el polinomio P(x; y) = xy (x-y)(x+y) ; un factor o divisor podrá ser el polinomio Q(x; y) =x+y, pues si se divide; P(x,y)/ Q(x,y) se obtendría como residuo cero. FACTOR PRIMO ( IRREDUCTIBLE) Se denomina así a aquel polinomio que es divisible por sí mismo y por la unidad, se dice también que en una expresión no factorizable. Así por ejemplo: *Para el polinomio: P(x,y) = xy(x-y)(x+y); un factor primo podrá ser el polinomio Q(x)= x, pues este es divisible por si mismo y por la unidad. POSTULADO: Todo polinomio lineal de la forma (ax+b) es irreductible en cualquier campo numérico.

La factorización o descomposición en factores de una expresión se realiza sólo para polinomios. TEOREMA DE LA FACTORIZACIÓN UNICA La representación factorizada de un polinomio es única, salvo el orden de los factores. CRITERIOS DE FACTORIZACION No existe un método específico para factorizar a una expresión, ya que ésta puede hacerse por dos o más procedimientos denominadas también criterios. I. FACTOR COMUN y/o AGRUPAMIENTO DE TERMINOS Para analizar este criterio, debe tenerse en cuenta lo siguiente: * Se analiza si toda la expresión tiene uno o más factores comunes, si estuviesen elevados a exponentes, se extrae el que está elevado al menor. * En caso que la expresión no tuviese factores comunes deseados entonces necesariamente, se tendrá que recurrir a la organización de términos, dicha agrupación tiene como objetivo conseguir factores comunes. * Se extrae el factor común y el otro factor se determina dividiendo cada uno de los términos extraídos. Ejemplos: 1. Factorizar : 2a2x + 4ax2 - 6ax

S3AL31B

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S3AL31B

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Se observa que: 2ax es el factor común (monomio) Entonces; 2a2x + 4ax2 - 6ax = 2ax(a+2x - 3)

ÁLGEBRA

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Luego se tiene una diferencia de cuadrados, entonces finalmente tenemos: m2 - 4p2 +4mn +4n = (m+2n+2p) (m+2n -2p)

2. Factorizar: ax + by +ay + bx Agrupando de 2 en 2 se observa: ax + by + ay + bx = a(x + y) + b(x + y)

2) Factorizar : (1+mx)2 - (m+x)2 e indique cuál no es un factor primo.

En cada sumando se repite (x+y): factor común (polinomio ).

a) 1+m d) x-m

b) 1+x e) 1-x

c) 1-m

Luego: ax + by + ay + bx = (x + y)(a + b) 3) Factorizar : a(a2 +bc) + c(a2+b2 ) - b3 a) a-b+c d) a-b-c

e indique un factor:

c) a2-ab+b2

b) a+b+c e) N.a.

3) Factorizar : P(m,n) = mn4 - 5m2n3 + 4m3n2 - 20m4n , e indique un factor. 4) Factorizar: x12 - 1 e indique el número de factores primos a) n-5m d) m2n

b) n +m e) n-m

n -4m a) 7

4) Factorizar: F(x) = a3x3 + a2x2b + a2x2c + a2x2d + abcx +abdx +acd x + bcd e indique un factor:

b) 8

c) 6

d) 5

e) N.a.

III. CRITERIO DEL ASPA SIMPLE Se emplea para factorizar trinomios de la forma

a) ax+2c d) ax+b

b) x-b e) N.a.

general :

c) 2x+c P(x,y) = Ax2m + Bxm yn +Cy2n

II. CRITERIO DE LAS IDENTIDADES. Consiste en emplear adecuadamente los diferentes casos enfocados en los productos notables (Trinomios Cuadrado Perfecto, Diferencia de Cuadrados, Sumas o Diferencia de Cubos, ..etc). Para este caso utilizaran los productos notables en forma inversa, entre los más importantes ya conocidos:

El procedimiento a seguir es: * Se adecua la expresión a la forma antes mencionada * Se descompone convenientemente los extremos( teniendo cuidado con los signos). * Se efectúa el producto en aspa y se suman los resultados, si este coincide con el término central de la expresión, entonces se concluye que los factores serán las sumas horizontales. Ejemplos:

a2n - b2n = (an +bn )(an - bn)

1) Factorizar :

a3n + b3n = (an +bn )(a2n - an bn + b2n ) a3n - b3n = (an - bn )(a2n + an bn + b2n )

Tenemos:

2 x + 14x + 40 x

a2n ± 2an bn + b2n = (an ± bn )2

+10

10x

14x

Ejemplos: 1) Factorizar : m2 - 4p2 +4mn +4n2 El primer, tercero y cuarto término, determinan un trinomio cuadrado perfecto.

2) Factorizar: 8x2 - 22x + 15 ; e indicar un factor: a) 4x + 5 d) 4x - 3

Luego: ( m2+4mn +4n2 ) - p2

Luego: x2 +14x + 40 = (x+10)(x+4)

b) 2x + 3 e) 2x - 5

c) 4x - 5

Entonces: (m+2n)2 - (2p)2 S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

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Para factorizar se adecua el polinomio a la forma general, en caso falte un término este se completará con cero. Se toma el primer trinomio y se aplica un aspa simple para comprobar el término central (xm yn ) Seguidamente a los términos y2n, yn y el término independiente se les aplica un aspa simple para comprobar el término yn . 3) Factorizar : 8x6 +215x3 y3 - 27y6 ; indique la suma de los factores primos Finalmente se aplica un aspa de extremo a extremo para comprobar el término en x m 3

a) 9x +26y d) 9x3-26y3

b) 8x -27y e) N.a.

c) 7x -28y

Los factores se toman horizontalmente.

4) Factorizar: (3m2 -4m)2 - 19(3m2-4m) + 60; indique el número de factores primos. a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

Ejemplos: 1) Factorizar : 6x2 +19xy +15y2 -17y -11x + 4

TEOREMA: Todo polinomio de la forma: P(x) = Ax2 + Bx + C ; {A; B; C} ⊂ Z ∧ ∀ A ≠ 0 es factorizable en las racionales, si y sólo si B2 – 4AC es un cuadrado perfecto.

Ordenando el polinomio de acuerdo a la forma general: 6x2 + 19xy + 15y2 - 11x - 17y + 4 +5y

Ejemplo # 1 ¿2x2 – 5x + 2 es factorizable?

III +3y

Solución: Veamos: (-5)2 – 4(2) (2) = 25 – 16 = 9 Como 9 es cuadrado perfecto ⇒ 2x2 – 5x + 2, si es factorizable en los racionales. Ejemplo # 2: ¿3x2 + x +1 es factorizable en Q? Rpta: ............................................................................... NOTA: Todo polinomio cuadrático en una variable, si es factorizable, debe admitir el criterio del aspa simple. Si no admite aspa simple, es porque no es factorizable a Q.

-4 II -1

comprobaciones: ( I ) : (3x (3y) + (2x)(5y) = 19xy ( II) : (5y)(-1) + (3y)(-4) = -17xy ( III): (3x)(-1) + (2x)(-4) = -11x Finalmente: El resultado es (3x + 5y - 4) (2x + 3y - 1) 2). Factorizar: 3x2 +4xy + y2 +4x +2y + 1 ; e indique un factor: a) x+y-1

b) 3x-y-1

c) x+y+1 d) 3x-y+1

e) N.a.

3) Factorizar : 30x2 + 2xy -4y2 +47x -12y + 7 ; e indique un factor: IV.

CRITERIO DEL ASPA DOBLE Se utiliza para factorizar polinomios que adoptan la siguiente forma: P(x,y) = Ax2m +Bxm yn + Cy2n +Dxm +Eyn + F

S3AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

a) 6x-2y – 1

b) 5x-2y-7

c) 5x+2y+7

d) 6x+2y-1

4) Factorizar : 15x2 -22xy + 24x + 8y2 -16y ; e indique la suma de sus factores primos: a) 8x-6y+9

S3AL31B

b) 8x-6y+8

c) 12x-y+10 d) 6x-12y+1

e) 4x+y-1

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e) N.a.

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3er. Año Secundaria

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3er Año Secundaria

Luego: P(x) = (x2 + 5x + 1) (x2 + x + 1) Por ser polinomio cuadrático en tres variables de 10 términos aplicaremos el método del aspa triple (3 veces aspa simple ). V. ASPA DOBLE ESPECIAL Se emplea para factorizar polinomios de la forma:

III

P(x,y,z) = 6x +13xy+6y +14xz+16yz+8z -21y +19x+22z +15

P(x) = Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E Se adecua el polinomio a la forma general, en caso falle un término, este se completará con cero. Se descomponen convenientemente los términos extremo : Ax4 ∧ E El resultado se resta del término central: Cx Lo que sobre o falte para que sea igual a este, será la expresión que se tenga que descomponer en las partes centrales de los factores nuevos dos factores Luego se aplican dos aspas simples y se toman horizontalmente.

Comprobación para cada variable: I) 6x2 + 19x +15

EJEMPLOS:

II)

6y2+21y+15

III) 6x2 + 14xz + 8x2

1) Factorizar: P(x)= x4 +6x3 + 7x2 + 6x +1 El polinomio está completo y ordenado, entonces, haremos los pasos indicados: x4 +

6x3 +

7x2 +

6x + 1

VII. DIVISORES BINOMICOS O EVALUACION BINÓMICA

2 1:+x

Se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado, cuya única condición fundamental es que acepten al menos un factor de primer grado.

I 2 1:+x

Se observa que:

+ 2x

se tiene +2x2

i) Cero de un Polinomio. Es el valor o conjunto de valores que tiene la propiedad anular (valor numerico cero ) a un polinomio dado.

se debe tener +7x2 se necesita 5x

Ejemplo: Sea: F(x) = 2x3 + 7x2 - 5x - 4

Si x = 1

Pero: 5x puede descomponer como: (5x)(x) (-5x)(-x) Pero sólo una de esas opciones es la conveniente y esa es : (5x) (x), así :

 F(1) = 2(1)3 + 7(1)2 - 5(1) - 4 = 0, se anula. Entonces: 1 será un cero de F(x).

x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 x x

5x II

1 III

En el aspa II se comprueba: (x2)(x)+(x2 )(5x)=+6x3 en el aspa III se comprueba : (5x)(1) + (x)(1) = +6x2 S3AL31B

TEOREMA: Dado P(x), si el número “b” es un “cero” de este polinomio, entonces (x – b) será un factor de P(x).

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ii) Determinación de los posibles cero de un polinomio. S3AL31B

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* Si el polinomio tiene como primer coeficiente la unidad, los posibles ceros estarán dados por los divisores del término independiente con su doble signo, Asi: Si P(x) = x5 - 2x4 +7x3 -3x +2

2) Factorizar : x4+6x3 -5x2 - 42x+40; e indique un factor :

* Si el primer coeficiente del polinomio es diferente de la unidad, los posibles ceros estarán expresados por: Divisores del término independie nte Posibles cero = ± Divisores del primer coeficient e

3) Factorizar : 6x3 -25x2 +23x - 6 ; e indicar la suma de sus factores primos lineales.

Por ejemplo sea: P(x) = 2x3 +7x2 - 5x +3

a) x+1

a) 5x-1

VIII.

* Se determinan los ceros del polinomio * Se deduce el factor que dá lugar al cero del polinomio, mediante el siguiente teorema de la divisibilidad algebraica. Si un polinomio P(x) se anula para x=a ó P(a)= 0. Entonces dicho polinomio tendrá un factor (x-a) * El otro factor se determina utilizando la regla de RUFFINI, que se ha de emplear tantas veces como ceros tenga el polinomio; por lo general se recomienda llevarlo hasta un cociente adecuado, para poder aplicar el aspa doble especial o de segundo grado que es más sencillo de factorizar .

d) 4x-3

e) 2x-7

b) (x+1)(x-2)(2x+3)2(x-3) d) (x+1)(x-1)(2x-1)2 (3x+1)

CRITERIO DE LOS ARTIFICIOS DE CALCULO. A) CAMBIO DE VARIABLE Consiste en buscar expresiones iguales, directa o indirectamente (a través de cierta transformaciones) para luego proceder a un cambio de variable, que permitirá transformar una expresión aparentemente compleja en otra mucho más simple y sencilla.

EJEMPLOS. 1) Factorizar: P(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) +1 Como la expresión no presenta algún factor común o una forma convenientemente (dos 2 primeros y los 2 últimos ).

Haciendo: x2+5x+4 = m, se tendrá :

* Tenemos : posibles ceros: ±1, ± 2.

P(x) = m(m+2) + 1 = m2 +2m + 1 = (m+1)2

Para x=1; F(1) = 13 -3(1)2 +4(1) - 2

Ahora reponiendo la variable original: P(x) = (x2 +5x+5)2

F(1) = 1 - 3 + 4 - 2 =0,se anula. * Entonces tendrá un factor (x-1)

2) Factorizar: P(x) = (x-2)(x+3)(x+2)(x-1) +3 ; e indique un factor:

* Determinar el otro factor por la regla de Ruffini -3

-2

Luego : F(x) = (x-1)(x -2x+2) S3AL31B

c) 3x+2

e) x-5

P(x) = (x2+5x+4) (x2+5x+6) +1

EJEMPLOS: 1. Factorizar : F(x) = x3 - 3x2 +4x - 2

b) 6x-6

d) x+2

4) Descomponer en sus factores primos: P(x) = 12x5 - 8x4 - 13x3 + 9x2 +x - 1

III) Procedimiento a seguir para factorizar.

c) x+5

a) (x-1)(x+2)(2x+1)2(3x-1) c) (3x-1)(x+1)(2x-1)2(x+4) e) N.a.

Posibles ceros: ± 1,3 = ± 1, ± 3, ± 1/2, ± 3/2 1,2

b) x-4

a) x2+x-3 d) x2+x+3

b) x2-x+5 e) x2-x-5

c) x2- x+3

3) Factorizar: F(x) = (x2+7x+5)2 +3x2 +21x +5 ; indicar el número de factores primos: a) 2

b) 3

c) 4

d) 1

e) N.a.

B. QUITA Y PON O REDUCCION A DIFERENCIA DE CUADRADOS. “El nuevo símbolo de una buena educación...”

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ÁLGEBRA 5

Consiste en sumar y restar una expresión (quitar y poner) de modo tal que haciendo ciertas transformaciones (reducciones) adecuadas, se logre una diferencia de cuadrados. EJEMPLOS: 1) Factorizar :

F(n) = n4 + 2n2 +9

La primera intención sería factorizarlo por el aspa simple, pero no resultaría, luego podría intentarse por Identidades, pero no es un trinomio cuadrado perfecto, descartadas estas dos posibilidades; lo factorizamos utilizando el criterio del quita y pon:

F(x) = x + x + 1 + x - x agrupando en forma indicada. F(x) = (x2+x+1) + (x5 -x2 ) F(x) = (x2+x+1) + x2 (x3 -1) F(x) = (x2 +x+1) + x2(x-1)(x2+x+1) sacando factor común: F(x) = (x2+x+1) [1+x2(x-1) ] Efectuando y ordenando : F(x) = (x2+x+1) (x3 -x2+1) 2) Factorizar : P(x) = x 5+x-1 ; e indicar la suma de coeficiente de los términos cuadráticos de cada factor primo.

F(n) = n4 + 2n2 + 9 2 (n2 )

3er Año Secundaria 2

(3 ) = 6n2

a) 0

Utilizando el esquema del trinomio cuadrado perfecto, se deduce que en la expresión; para que 2n 2 sea igual a 6n2 tenemos que sumarte 4n2, siendo esta la expresión a “quitar” y “poner”.

c) -1

d) 2

e) –2

3) Factorizar : F(x) = x10 +x8 +1 ; e indicar un factor primo. a) x2+x+1

Veamos:

b) 1

b) x2-x+1

c) x6-x2+1

d) todas

e) N.a.

F(n) = n4 + 2n2 + 9 +4n2 +4n2 F(n) = n4 + 6n2 + 9 - 4n2 F(n) = (n2 +3)2 - (2n)2 Diferencia de cuadrados F(n) = (n2 +3 +2n) (n2+3-2n) Ordenando: F(n) = (n2 +2n +3) (n2 -2n+3) 2) Factorizar : F(x) = 16x8 - 17x4 + 16 ; e indicar un factor a) 2x2+x+1

b) 2x2-x+2

c) 4x4-7x2-4

d) 2x4-7x2+4

e) 2x2-x-2

3) Factorizar : M(x) = x4 + 324 ; e indicar la suma de coeficiente de un factor primo. a) 23

b) 20

c) 18

d) 16

GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL

e) 14

C. SUMAS Y RESTAS ESPECIALES. Consiste en sumar y restar una expresión en forma conveniente de modo tal que se obtengan uno de las trinomios (x2+x+1) ó (x2-x+1) ambos componentes de una diferencia o suma de cubos (x 3-1 ó x3+1); u otra expresión conocida. Ejemplos: 1) Factorizar : F(x) = x5 +x + 1 sumando y restando x2 : S3AL31B

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