Algebra 4° 3b by juan guerrero

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

ALGEBRA

CANTIDADES OBJETIVOS ESPECIFICOS: Define y reconoce a las cantidades imaginarias como componentes no reales de los números complejos. Opera con las potencias enteras de i. COMENTARIO PREVIO: El conjunto І de los números irracionales, junto con el conjunto Q de los números racionales constituyen el conjunto R de los números reales. Por los conocimientos previos que manejamos vimos que el campo numérico hasta ahora conocido necesitaba una nueva ampliación que permitiera hallar raíces pares de números negativos. Así, por ejemplo, no existe ningún número real que represente 4 . Estas raíces − 3 , − 8 , −1 , − 4 reciben el nombre cantidades imaginarias. Llamamos imaginarios a los números constituyentes de las componentes no reales de los números complejos. En este módulo que consta de dos sesiones trataremos de realizar un estudio formal y riguroso de este nuevo sistema numérico, en todo momento relacionaremos estos conceptos nuevos con los conocimientos antes conocidos.

Unidad imaginaria: Recibe este nombre el radical −1 , se le representa mediante el siguiente símbolo: i = 2 −1 (notación de Gauss) y cumple i = -1. −1 se tomará como referencia para medir todas las cantidades imaginarias puras. Operación básica de transformación: Sea a ∈ ℜ+, tenemos: −a = a(−1) =

− 9 = 3i

−

Ejemplo: son − 9 ; − 64 ; − 5 ; cantidades imaginarias. Toda expresión de la

4. Hallar el valor de: i 658 + i ∀ q∈ Ζ

La unidad imaginaria i, no siempre estará afectado exactamente de un exponente 0

4 , podría presentarse:

−5 = 5 i ;

;

4 2 = i 9 3

i =i i 2 = -1 i3=-i i4= 1

i =i .i = i i 6 = i 4 . i 2 = -1 i7=i4.i3=-i i 8 = i 4. i 4 = 1

i i 10 i 11 i 12

= i = -1 =-i = 1

Veamos los siguientes ejemplos: ♦

Sabemos que:

=1∀ q∈ Ζ

i 12 448 = 1 ; i 137 956 = 1; i -12 448 = 1

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

5. Simplificar:

i + 4i 2 + 2i 3 + 8i 4 + i 5 + 4i 6 + 2i 7 + 8i 8 8i 9 + 2i 10 + 4i 11 + i 12 + 8i 13 + 2i 14 + 4i 15 + i 16

i 2 + 2 i 4 + 3 i 6 + 4 i 8 + ... + 8n i 16 n 3 i + 5i 2 + 7 i 3 + 9 i 4 + ... + (8n + 1) i 4 n − 4n

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01 1. Hállese la parte real de efectuar: 2

♦ i 217 + i 218 + i 219 + i 220 = 0 ♦ i - 75 + i - 76 + i - 77 + i - 78 = 0



i 4 = 1 ∀ 4 positivo o negativo



i 4 +r = i r

∀ 4 positivo o negativo, r ∈

Ζ  

i + i 2 + i 3 + i 4 = 0 ; en general:

i n + i n +1 + i n +2 + i n +3 = 0 ; ∀n ∈Ζ PRÁCTICA DE CLASE

0≤ r<4; q∈Ζ

+ i 247

i n + i n+1 + i n+2 + i n+3 = 0 ; ∀ n ∈ Ζ

Generalizando: i 4q + r = i r

436

7. Simplificar: 4

Se concluye: i + i + i + i = 0, esta relación podemos generalizarlo diciendo: la suma de cuatro potencias consecutivas cualesquiera de la unidad imaginaria es igual a cero. Es decir:

De i = i se ha concluido que i = -1; conociendo esto podemos deducir todas las demás potencias de i.

–i

(i –233 – i –232 + i –231 -... – i –2 + i –1 – 1) 2

Resumen:

Potencias enteras de la unidad imaginaria:

527

6. Reduce a su mínima expresión:

i 4q + r ; 0 ≤ r < 4; q ∈ Ζ i 15 767 = i 4 (3 941) + 3 = i 3 = - i i -135 = i 4 (-34) + 1 = i 1 = i

Ejemplos

Ejemplo:

CONTENIDO TEÓRICO:

Definición: Las cantidades imaginarias son aquellas que se obtienen por la extracción de raíces pares de números negativos.

♦

Toda raíz imaginaria puede expresarse como el producto de un número real por la unidad imaginaria.

CANTIDADES IMAGINARIAS Los números imaginarios se originan de la extracción de la raíz cuadrada a números negativos.

a i

Recuerde que 4q es

−1 =

4to Año Secundaria 0

forma: 2 n a , donde 2n es par y a es un número real negativo, es una cantidad imaginaria pura.

III

S4AL33B

1. Hallar: 2. Siendo, i =

a) i 4 273

b) i 30 214

III. i-3 224

i 249 + 3i 28 + 12i 377 − i 121 + 12i 379 S4AL33B

a) 1 d) 100 2. Efectuar: E = a) i d) - 1

b) 0 e) 25 i

22 +i

c) 50 55 55

33 33

b) - i e) N.A

c) 1

3. Simplificar: K =

328 321 313 302 293 i +i +i +i +i − 527 − 540 − 584 − 593 − 603 i +i − i +i +i

a) 4 d) - 1

b) 3 e) N.A

c) 8  21     

−1 , dar el valor de:

I. i –7 II. i –21 3. Simplificar:

K =i1 +i 2 +i 3 +.....+i100

i 15 

777! 4. El valor simplificado de:  776!  i    a) 0 b) 1 d) i e) -i

c) -1

5. Efectuar: 1 + i + i3 + i5 + i7 +…. + i79

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

,es:

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 1 d) 32i

b) i e) i + 1

c) 2i

a) i c) i4n+3 (n entero)

i 347 + i 75 751 + i 3538 + i876 800 i −55 + i −242 + i −328 b) 2 e) – i

c) -2i

03. Calcular: i 5 7

a) 1 d) 32i

b) ni e) n

08. Siendo: i =

−1 .

Simplificar:

a) 1 d) 2i

04. Hallar:

i + i 2 + i 3 + i 4 + ...+ i 775 41

i 2 − i 5 + i 2 − i 3 −1

c) i

b) 1 e) – i

c) i – 1

10. Calcular: S = i + i2 + i3 +...... + i100 .Donde: i2 = -1 a) 0 d) 3

b) 1 e) 5

c) 2

TAREA DOMICILIARIA 01. Simplificar:

− 324 + − 100 − − 36 − 361 − − 225 + − 196 S4AL33B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

Dos números complejos son iguales si tienen iguales sus partes reales y sus partes imaginarias: a + bi = c + di ⇒ a = c y b = d

OBJETIVOS ESPECIFICOS:  Realiza un estudio formal de los números complejos y sus respectivas propiedades.  Aplica las propiedades antes estudiadas en la resolución de ejercicios que involucran números complejos.

06. Hallar el valor de: E = i + i + i + i + … + i59!

09. Reducir: iUNT 98 + iWTI 97 + i KELVIN 96 Siendo i = −1 a) 0 d) i

4to Año Secundaria

NÚMEROS

33 33

c) 2ni

b) 2 e) 3i

ALGEBRA

b) i d) i43

E = i2 + 2i4 + 3i6 + 4i8 +… + (2n – 1)i 4n – 2 + 2n.i4n

05. Calcular: i 6 9

07. Hallar el valor de:

02. Calcular: 16

06. Simplificar:

a) -2 d) 32i

4to Año Secundaria

Módulo o norma de un complejo Se define por medio de la relación:

P = a + b i = a 2 + b2

COMENTARIO PREVIO: El matemático francés Descartes fue el primero que llamó imaginarios a los números constituyentes de las componentes no reales de los números complejos. El matemático alemán Euler contribuyó notablemente a divulgar el uso de los números complejos, pero quién mayor auge dio a su utilización fue el matemático danés Wessel, que suministró una valiosa interpretación geométrica de los números complejos. CONTENIDO TEÓRICO: 01.NÚMEROS COMPLEJOS Son de la forma Z = a + bi, a ∈ IR, b ∈ IR se llama: a = Re(z) → parte real de Z b = Im(z) → parte imaginaria de Z Complejos conjugados Son aquellos que difieren únicamente en el signo de su parte imaginaria: 4 – 3i

C ⇔ 4 + 3i C

Ejemplo:

r = − 3 − 4 i = ( −3) 2 + (−4) 2 = 5

02. OPERACIONES COMPLEJOS

CON

NÚMEROS

Adición: Adición (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (2 + 7i) + (-7 - 3i) = (2 - 7) + (7 - 3)i = -5 + 4i Sustracción (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b – d)i

2   1  1  2 1  3 + i  −  4 + i  = (3 − 4) +  − i = −1 + 5   9   5 9 Multiplicación (a + bi) (c + di) = (a c-bd) + (ad +bc)i (2-5i)(3-7i) = 6 - 14i - 15i + 35i2 = -29 - 29i Potenciación Zn = Z.Z.Z.Z.Z.... Z , ∀ Z∈C, n∈N

Complejos Opuestos El opuesto de a + bi es –a - bi Complejos Nulos Aquel número que tiene su parte real y su parte imaginaria iguales a cero: 0 = 0 + 0i Igualdad de dos números complejos

S4AL33B

n veces División de números complejos

a + b i ( a + b i )(c − d i ) ( ac + bd ) + (bc − = = c + d i (c + d i )(c − d i ) c2 + d 2

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

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ALGEBRA

4to Año Secundaria

Efectuar:

Raíz cuadrada de números complejos La radicación de un número complejo arrojará tantas raíces como lo indique el índice del signo radical. Es decir: dado Z = a + bi para calcular las raíces enésimas o raíces de orden “n” de Z (n∈ Ν, n ≥ 2), se establece lo siguiente: n

21 −2 x10 −1 =

1) Cis 60° = cos 60° + i sen 60° = eje real

(

21 −20 i = ±

2) Expresar en forma polar – 4 – 4

21 −2 −100

)

25 − −4 = ±(5 −2 i)

1 3 + i 2 2

r = (−4 )2 +(−4

(2,-4)

θ = arc tg 04.FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA

−4 −4

3 i

3 )2 = 8

−4 3 = arc tg 3 = 240 ° −4

3 i =8 cis 240 °

RELACIONES FUNDAMENTALES

e je im a g in a rio

Observación: Cuando el índice es 2 (n = 2) podría tomarse en cuenta la transformación de radicales dobles en simples, para algunos casos.

a + b i = (a , b ) p b

240°

0 a

60°

e je re a l

03.REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

Establecemos la 21 −20i = x + y i

igualdad:

Elevando al cuadrado: 21 - 20i = (x 2 – y 2) + 2xy i Por igualdad de números complejos: x 2 – y 2 = 21 ....(I) 2xy = -20 ....(II)

La representación gráfica de un número complejo se realiza en un sistema de ejes coordenadas denominado Diagrama de Argand, mediante un punto cuyas coordenadas serán las componentes de un complejo, al punto se le denomina afijo del número complejo.

(I) 2 + (II) 2: (x2 – y2) 2 + 4x2 y2 = (21)2 + (-20)2

Ejemplo: Representar números:

(x2 + y2)2 = 841→ x2 + y2 = 29 .......(III)

Número complejo

(I)+(III): 2x = 50 → x = 25 → x = 5 ó x = –5 2

(III)–(I): 2y2 = 8→ y2 = 4→ y = 2 ó y = -2 De (II): x e y tienen signos opuestos, luego: S4AL33B

(-5,2)

(25) + (-4)

Resolución

Ejemplo: (4,3)

(25) (-4)

a + bi = x + yi

Donde: a, b y n son datos, x e y tendrán que calcularse (x, y ∈ ℜ); para esto se tendrá que elevar ambos miembros a la “n” y desarrollar el segundo miembro por fórmula del binomio de Newton. Se recomienda esto cuando “n” toma valores pequeños, en caso contrario téngase en cuenta la fórmula de Moivre. Ejemplo: Calcular las raíces cuadradas de 21 – 20i

♦ ♦

eje imaginario

Otra forma: Aplicando transformaciones de radicales dobles en simples. Veamos: 21 −20i =

a + b i = r Cis θ

Luego:

y = -2 ó x = -5 ; y = 2 2 − 5 i (2 − 5 i )(4 − 3 i ) 8 − 26i + 15i 2 − x7 = 5 ;26 = = = − i 4 + 3 i (4 + 3 i )(4 − 3 i ) 4 2 + 32 25 25 ∴ 21 − 20i = ±(5 − 2i )

4 + 3i 2 - 4i -5 + 2i 7 -3i

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

gráficamente

los

siguientes

Afijo del complejo (4 ; 3) (2 ;-4) (-5; 2) (7 ; 0) (0 ;-3)

1) r = a 2 + b 2 2) θ = arc tg (

b ) a

módulo argumento

(0 ≤ θ < 2π), a ≠ 0 3) a = r cos θ 4) b = r sen θ

05.OPERACIONES CON COMPLEJOS EN FORMA POLAR

FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA DE UN COMPLEJO

a + b i = r (cos θ + i sen θ)

1°) Multiplicación (r1 Cis θ1) (r2 Cis θ2) = r1 r2 Cis (θ1 + θ2) 2°) División

Sea Cos θ + i sen θ = Cis θ

S4AL33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

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4to Año Secundaria

r1Cisθ 1 r = 1 Cis (θ 1 − θ 2 ) r2 Cisθ 2 r2

⇒ W1=Cis 45° =

K=0

3°) Potenciación

− 2 + 2

⇒ W3=Cis

K=2

225°

−

Nota:

(cis θ)n = cis (nθ)

2 2 2 2

⇒ W4 = Cis 315° =

K=3 i

4°) Radicación

r cis θ = r Cis

(θ + 360° k ) n

PRÁCTICA DE CLASE

Donde: k = 0 ; 1 ; 2 ; ... (n-1) 01. Efectuar:

Ejemplos: 1) Hallar las raíces cúbicas de la unidad

360° k 1 = 1 cis 0 = 1 Cis = Cis (120° k ) 3 K=0 K=1

2 i 2

Si r = 1 tenemos la fórmula de Moivre

⇒ W1=Cis 0 = 1 ⇒ W2=Cis 120°

−1 3 + i 2 2 K = 2 ⇒ W3=Cis 240° = i 2) Resolver x4 + 1 = 0

−1 3 2 2

a) 1 - i d) 1 + i

1+i 1+i 1− 1 +i 1− 1 +i 1− 1 +i 1− 1 −i b) 1 e) i

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

k = 0, 1, 2, 3

S4AL33B

a) 24n -24n+2 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 24n+2 e) -22n+1

)

b) 5 e) 5(n+1)

c) 5(n - 1)

a) 1 d) 4

b) 2 e) N.A.

06. Si: w =

09.

Hállese “Z” Z −12 5 Z −4 = ; Z −8 i 3 Z −8

de:

K = 1 +z

−1 + − 3 . Calcular el Valor 2 K = (5 + 7w + 7w2)12

a) 64 d) 2048

b) 512 e) 2048

b) 4 + 9i e) a y d

a) 52 d) 2

c) 3

numérico de:

a) 6 + 17i d) 6 + 8i

c) 6 + 19i z = 5

10. Si “z” es un complejo tal que .Halle:

3  −5 +12i  2     05. Simplificar: 13 i 37 i 2

+ 1 −z

b) 50 e) 32

c) 48

11. La suma de los siguientes complejos: Z1 = 2 + (y + 2)i Z2 = y + 4 - 3yi / y ∈ R Origina un número real, calcularlo a) 7 d) 2

b) 0 e) 6

c) 5

c) 1024 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02

07. Siendo “W” una de las raíces cúbicas de la unidad tal que: w ≠ 1, calcule:

01. Efectuar: Z

S = (a+aw+w2)4 (1+aw+aw2)4 (a+w+ aw2)4 a) a12 d) (a -1)12

b) (a + 1)12 e) N.A.

08. Si

c) -(a - 1)12

tenemos

que:

3 2 i −9 + + = i 52 1 + 2i 1 + xi 5i

Hállese

Z =

8 n +4 x + yi =1 + i 180° + k 03.360 Si se°cumple: x = −1 = 1 cis 180 = 1 Cis 4 Calcular el valor de “x”.

+ 5x 4n+6 + 6 x 4 + 2

−1

Para: x =

c) 0

02. Si la raíz cuadrada del número complejo: 1 + i es: x + yi .Hállese el valor de: x y M = − y x

n =1

a) 1 d) 5n

2 i 2

(r cis θ)n = rn cis (nθ)

04. Calcular:

4to Año Secundaria

∑ ( 2x n

2 2 + i 2 2

⇒ W2=Cis 135° =

K=1

ALGEBRA

a) 1 d) 4

c) 42n+1 d)

módulo

x +i / x ∈R + b) 2 e) N.A.

“Z”:

a) i d) 1 – i 02. Calcular: E = a) 8 d) 4

c) 1 + i

(1 + i) 9 1 + i9 b) 12 e) 2

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

c) 16

( 1 + i) − ( 1 + i) ( 1 − i) 6

a) i d) i/4 S4AL33B

b) -i e) 0

03. Calcular c) 3

1 1 1+ i + + 1+ i 1−i 1−i

b) 3i e) 2i

valor 2

c) 4i

de:

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

(1 + i) (1 + 3i)

i−3 b) -2 e) 101

c) 10

05. Calcular el menor valor de “n” que verifica: (1 + i)n = 32 i a) 5 d) 10

b) 4 e) 12

c) 8

i 52 + i 421 + i 65 + i 74 + i 33 i 2541 + i 3244 − i 2460 + i 3581 − i 2723

a) i d) -1

a) 100 d) 400

b) -i e) 3

3 3

b) 200 e) 500

11. Sea: Z = x + (y – 2) i W = 5 + (x + 5) i

c) 300

i = −1

b) –8 e) 5

;

donde i =

−1 a) 4 d) 1

b) 2 e) N.A

c) 3

424

201

1 − i5

;i =

a) 82 d) 80i + 16

b) ( 2n + 1 ) I e) N.A.

11. Si: i =

c) n i

06. Hallar “α - β” en : ( 1 + i ) ( 2 + i ) ( α + i ) = (1 - i ) (2 - i ) (β - i ) Sabiendo su i = −1

−1

b) i e) 0

c) 2

1 1 a   + − ( i + 3 + a ) i 3 3i  Z= ; i = −1 1 2  a2   −1 + +  + 9 3i  9  Calcular: Z4 + 1

a) ( n + 1 ) i d) 2n I

a) 2 d) -1

b) 4 e) N.A

b) 81 e) 81 + a

b) 72 e) -54

c) -72

b) 180 e) 360

c) 240

TAREA DOMICILIARIA 4

b) 1 + i e) 0

c) i

2 −

1 + i 1 − i  + 01. Calcular: R =    1 − i 

a) 2 d) 0

b) i e) N.A

1 + i 

c)4

i + i 2 + i 3 + i 4 + ... + i1003 2 − i + i 2 − i3

a) -1 d) -1/2

b) 1 e) (1/2)i

b) 4 i e) N.A

(1 +2i )

1 −2i

a) 16 d) 8

+ 4i = a +b i

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) N.A 04. Sabiendo que E es un valor real, donde el valor de:

3 2 − i

b) 4 e) N.A

a) 2 d) 8

+ 5

c) 6

S4AL33B

b) 4 e) 64

R =1 +z

a) 15 d) 18

( 1

+ 2i

1 − 2i

b) 4 e) N. A

)

c) 32

b)1 e)1/4

b) 16 e) 19

+1 +z

c) 17

+ 4i = a + bi

c) 6

09. Si x; y ∈ IR indicar el valor de sabiendo que: x – 2y + xi – yi = 2 + 5i a)2 d)1/2

(1 + 3i )( 2 + 2i ) 4 ( 3 + 7i )(1 − i ) 2

13. Si: z = 7 ; calcular el valor de:

a) 2 d) 8

3 − 2i

c) 16

03. Si la raíz cuadrada del número complejo 1 + i es x + y i , Hallar el valor de : M = x/y - y/x

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

c) 1/2

12. Halle el módulo del siguiente complejo:

c) 0

08. Hallar “a + b” si:

02. Si Z = 1 + i ; Calcular: Z8 a) 2 i d) 18

1+ i i + i2 + i3 + i4 + 1+ i 1− i2 + i4 1− 1+ i 1− 1− i

3 −2i

c) a + 800

−1 indicar el valor de:

07. Hallar “a + b” si

10. Si: S4AL33B

)− i

+ i

3 + 4i

c) –3

12. Calcular:

a) –i d) 1

09. Simplificar:

a) 1 – i d) 2 i

3 + 4i 5 + 6i + + + 2 − i 4 − 3i 6 − 5i

c) 1

08. Hallar “n” en: [(1 + i)7 + (1 – i)7]n = 26!

E =1+

……………n términos

(1 + i)2 + (1 + i)4 + (1 + i)6 + (1 + i)8 = m + ni m, n ∈ IR. Hallar: m . n

a) 120 d) 300

E =

4to Año Secundaria

1 + 2i

07. Si se cumple:

a) 70 d) 40

ALGEBRA

05. Sumar: ;

Calcular x + y para que Z y W sean conjugados. a) 13 d) 1

06. Simplificar:

2 3

Z = (1+ i) + (1+ i ) + (1+ i ) +…+ (1+ i200)3

Donde: i = −1 , es igual a: a) 1 – 3i d) 2

10. Reducir:

04. Efectuar:

4to Año Secundaria

c) 8

14. Sumar: y

1 + 2i 3 + 4i 5 + 6i + + + ...+" n" tér min os 2 − i 4 − 3i 6 − 5i a) i d) -ni

b) -i e) 0

15. Luego de efectuar: “El nuevo símbolo de una buena educación...."

c) ni

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

2 i − i + 5 i Obtenemos a) 1 + i d) 1

b) -i e) 1 – i

ECUACIONES DE

c) i

16. Si: x, y ∈ IR indique la relación entre ellos para que: (x + yi) (2 + 3i) sea un número real. a) x = 2y d) x – y = 1

b) 2y + 3x = 0 e) x + y = 2

c)x = 3y

17. Indicar el cuadrado de:

9 + 40 −1 + 9 −40 −1 a) 80 d) 625

b) 100 e) 900

c) 36

a) 1 d) 4

a + bi ; indicar: z  b + ai

b) 2 e) 5

c) 3

19. Halle el módulo del complejo:

( 3+ 2i )( sen 66°+i cos 66° ) 4 3 2+ 2 i

;

i = −1 13 2

a) d)

13 2

13 4

e) 8

20. Hallar “x + y” en: ix 1+iy

a) 3 d) 9/2

S4AL33B

3 x +4 i x +3 y

;i =

−1

b) 5/2 e) 7/2

c) 3/2

OBJETIVOS ESPECIFICOS: ESPECIFICOS 

Reconoce y clasifica una ecuación algebraica desarrollando la percepción y acumulando experiencias que servirán de soporte para futuras formalizaciones  Dado un conjunto de Ecuaciones de Primer Grado, trabaja creativamente y con actitud crítica situaciones problemáticas, utilizando una variedad de técnicas de cálculo y aplicando correctamente las propiedades que correspondan. COMENTARIO PREVIO: PREVIO

18. Si: {a; b; c; d} ∈ IR / a ≠ b ≠ 0 además:

Z = c + dic + di =

Hace cinco mil años, en el país de los sumerios, cerca del Golfo Pérsico, se dieron las primeras dificultades matemáticas que necesitaban ser interpretadas bajo ciertas igualdades. Esto dio inicio a las primeras relaciones que, posteriormente, los matemáticos dieron el nombre de Teoría de Ecuaciones. Con el afán de resolver las ecuaciones se han creado nuevas teorías, nuevos conceptos, nuevos conjuntos numéricos. El método de resolución de las ecuaciones de primer y segundo grado fueron descubiertos por los matemáticos sumerios y babilonios (3000 años a.C) y por Diofante (329 – 410 d.C) fundador del Álgebra, por los hindúes y, finalmente por los árabes (siglo IX). Este método forma parte del más antiguo patrimonio matemático de la humanidad. La ecuación de tercer grado dio ocasión a Cardano (1501–1576) y a Tartaglia (1499– 1557) para inventar los números complejos en el siglo XVI. Ludovico Ferrari (1522–1565), discípulo de Cardano, encontró el método general de la resolución de la ecuación de cuarto grado. Posteriormente, René Descartes (1596–1650), sabio y filósofo francés, inventor de la geometría analítica descubre otra forma de resolver la ecuación cuártica. Como es lógico, los matemáticos trataron de resolver las ecuaciones de grado superior a cuatro (quinto grado, sexto grado,…., de grado n). Este estudio tenía un interés doble, ya que hubiera

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

ALGEBRA

4to Año Secundaria

constituido un gran logro encontrar un método general de resolución para todas las ecuaciones de una incógnita, cualquiera sea su grado. Tras muchos intentos se llegó a la conclusión de que las ecuaciones de quinto grado o superior eran imposibles de resolver sólo usando cálculos algebraicos. Un médico italiano de Bolonia, Paolo Ruffini (1765–1822), había tratado de demostrarlo en 1798, en su teoría general de las ecuaciones; pero la demostración resultó incompleta. Al cabo de unos años, el joven matemático noruego Abel (1802–1829) descubrió en 1824 el teorema que lleva su nombre y dice: “Es imposible resolver algebraicamente las ecuaciones generales de grado superior a cuatro”. Este teorema fue reforzado por Evariste Galois (1811–1832), matemático francés, fundador de la teoría de los grupos. Dado que los matemáticos no lograron encontrar métodos generales de resolución para ecuaciones de grado superior a cuatro; trataron de responder ciertas cuestiones como:  ¿Cuántas raíces positivas posee una ecuación?  ¿Cuántas raíces reales o complejas posee una ecuación?  Dados dos números a y b, ¿cuántas raíces de una ecuación dada están comprendidas entre a y b? (problema de la separación de las raíces de una ecuación). Desde este punto de vista los dos teoremas fundamentales son el de René Descartes y el teorema fundamental del álgebra (K. Gauss – D′Alambert). Este teorema fue enunciado por Girard en 1625, sólo realizó una demostración incompleta por parte de D′Alambert (1746). La primera demostración completa fue establecida por K. Gauss (1799). Después Cauchy, Weierstrass y Kronecker dieron otras demostraciones. El teorema de Gauss – D′Alambert se enuncia “Toda ecuación polinomial de grado n posee por lo menos una raíz (compleja o real)”. CONTENIDO TEÓRICO: S4AL33B

1. IGUALDAD DE NUMEROS REALES Es la relación matemática donde nos indica que dos cantidades tienen el mismo valor. Se denota por el signo =, que se lee igual. Veamos: 27 = 27 ; |9| = |- 9| ; A = B AXIOMAS DE LA IGUALDAD.Enunciaremos los siguientes axiomas sobre la Igualdad de Números Reales. Axioma de Reflexividad: Todo número real es igual a si mismo. Si a ∈ R ⇒ a = a Axioma de Simetría: Si un número real es igual a otro, entonces el segundo es igual al primero. Si a = b ⇒ b = a, a; b ∈ R Axioma de Transitividad: Si un número real es igual a otro, y este otro es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero. Si a= b ∧ b = c ⇒ a = c; a; b; c ∈ R 2. ECUACIÓN Una ecuación es una igualdad condicional entre dos expresiones matemáticas definidas sobre un mismo conjunto numérico, donde participa por lo menos una variable (cantidad desconocida llamada variable). Es todo enunciado abierto en que aparece el signo “=” y cuyo valor de verdad se determina mediante su correspondiente conjunto de valores admisibles para la variable (conjunto solución). Notación: A(x) = B(x) OBSERVACIÓNES.Enunciado abierto: Es toda expresión que contiene por lo menos una variable, que para determinados valores de su dominio se

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN convierte en un enunciado verdadero o falso llamado proposición. Variable: Es el símbolo que puede tomar un valor cualquiera de un determinado conjunto llamado dominio. A las variables que intervienen en la ecuación se les llama incógnitas Conjunto solución: El conjunto solución de una ecuación es el conjunto de valores (soluciones) que permiten que la ecuación sea una proposición verdadera. Si una ecuación no posee solución alguna, entonces definiremos a su conjunto solución como el vacío y lo denotaremos por φ o {}

1 = 4(1) → 1 = 4 Proposición falsa

Si x=2:

23=4(2)→8=8 Proposición verdadera

n ∈ Z ∧ {a0; a1 a2; a3; ...an - 1;an} ⊂ R ; a0; a1; a2; a3; ...; ; an - 1; an son los coeficientes. ;

Ecuación fraccionaria: Es una ecuación algebraica racional fraccionaria.

7 - 5x+11= 0 ....... CVA = R - {-2} x +2 3 5 4 P(x)= + − = 0 .......CVA x +1 x + 3 x −1 P(x)=

=R-{-1,-3,1}

ALGEBRA

4to Año Secundaria

solución, también se les denomina absurdas o imposibles. Ejemplo:

Nota: El conjunto de valores admisibles en una ecuación polinomial son todos los reales.

Ecuación Irracional: P(x)= x − 2 + x 2 − 3 = 0 .Restricción de la ecuación: x-2≥0→x≥2. Luego CVA=x∈ [2,+∞>

Ejemplo 1. Sea la ecuación: x3= 4x. Si x=1:

4to Año Secundaria +

Resolución

1 = 0 CS = φ x

4. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 0 LINEALES EN UNA VARIABLE Son aquellas ecuaciones que tienen la forma: P(x) = ax + b = 0 Donde: a, b son los coeficientes, “x” es la incógnita. Para obtener la única raíz o solución de la ecuación, basta con despejar la incógnita, así tendremos que: x = −

b a

(presentación

única solución). 5. ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN PARAMETRICA EN VARIABLE “X”.

Si x=-2: (-2) =4(-2)→-8=-8 Proposición verdadera Si x=0: 03= 4(0) → 0= 0 Proposición verdadera

Nota: El hecho de haber establecido el conjunto de valores admisibles (CVA), no implica haber resuelto la ecuación, sólo se le ha restringido.

De lo expuesto; vemos que 2, - 2, 0 son soluciones de la ecuación de acuerdo a la definición, luego: CS = {2, - 2, 0} Ejemplo 2: La ecuación 3x – 5 = 0, tiene como raíz o solución a: x = 5/3.

5  Luego, su conjunto solución es: C.S.=   3  3. CLASIFICACION DE ECUACIONES ALGEBRAICAS

LAS

3.1. DE ACUERDO A SU FORMA: Ecuación polinomial: Es una ecuación algebraica racional entera. P(x) = ax + b= 0 P(x) = ax2 + bx + c = 0 P(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0 P(x) = a0xn + a1xn–1 + a2 xn–2+ a3 xn–3 +...+ an – 1 x + an = 0 S4AL33B

3.2.DE ACUERDO A SU CONJUNTO SOLUCIÓN: Ecuaciones consistentes o compatibles: Son aquellas que tienen o aceptan por lo menos una solución. A su vez se dividen en: - Determinadas: Son aquellas que tienen un número limitado de soluciones. Ejemplo: x3 = x, CS = {1; 0; - 1} - Indeterminadas: Son aquellas que tienen un número ilimitado de soluciones. Ejm: Ejemplo: x + 1 = x + 1, CS = R Ecuaciones Inconsistentes o Incompatibles.- Son aquellas que no tienen

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

ax= b.........(*) Caso I: Si: a ≠ 0 (no importa el valor de b), reemplazamos en (*), obteniéndose x = b/a una sola solución, con lo cual su conjunto solución es finito, luego (*) es compatible determinada. Caso II: Si: a = 0, b = 0, evaluando en (*) se tiene 0x = 0, indicando que existen infinitas soluciones, luego (*) es compatible indeterminada. Caso III:Si: a = 0, b ≠ 0, al reemplazar en (*) se obtiene 0x = b que carece de soluciones, con lo cual su conjunto solución es vacío, luego (*) es incompatible. Ejemplo: En la ecuación paramétrica en “x”: (a – 5) (a + 3) x = (a + 2) (a + 3) Halle los valores de a para que sea: I) Determinada II) Indeterminada S4AL33B

III) Incompatible

I) (a-5)(a+3)≠

a ≠ 5 0 a ≠ −3

⇒ ∀a ∈ R -{- 3, 5}

II)(a – 5) (a + 3) = 0 ∧ (a + 2) (a + 3) = 0 (a = 5; a = – 3) ∧ (a = – 2; a = – 3)⇒ ∴a= - 3 III)(a – 5) (a + 3) = 0 ∧ (a + 2) (a + 3) ≠ 0 (a=5; a=- 3) ∧ (a ≠ - 2; a ≠ - 3) ⇒ ∴ a= 5

6. ECUACIONES EQUIVALENTES: Dos o más ecuaciones de las mismas variables son equivalentes, si y solo si poseen el mismo conjunto solución. Ejemplos: P1 =

x 2x + = 14 2 3

→ CS = {12}

P2 = 5x – 36= 24 → CS = {12} Como los conjuntos solución son iguales, entonces P1 y P2 son equivalentes: Para resolver una ecuación de primer grado es fácil, bastará con aplicar algunas propiedades básicas de los números reales hasta hallar el valor de la incógnita.

Se debe tener cuidado, cuando la variable aparece en el denominador o cuando se presenta un término radical; es justamente en estos casos que aparece una raíz extraña en algunas ecuaciones.

Luego, para resolver ecuaciones en general y de primer grado en particular es necesario tener en cuenta lo siguiente: a) Si se divide ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se perderán soluciones.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Esto se puede evitar si la expresión que se divide (simplifica) se iguala a cero. Ejemplo: Resolver: (x+3) (x-2) = 4 (x - 2) Resolución

b) Si se multiplican ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se puede introducir soluciones extrañas. Esto se puede evitar si previamente se simplifica por separado cada miembro de la ecuación.

( x + 3) ( x − 2) x −2

Resolver:

Resolución

Primero simplificamos (x - 2), y tendremos; x +3=4→x=1 Observación.- Si hubiésemos trasladado (x 2) a multiplicar, tendríamos que una solución sería x = 2, que es una solución extraña, pues no verifica la igualdad. c) Si se eleva ambos miembros de una ecuación a un mismo exponente, entonces se pueden introducir soluciones extrañas. Ejemplo: Resolver:

x2 +7 = x −7

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación propuesta:

S4AL33B

+ 7)

= ( x − 7)

Pero si reemplazamos; x = 3 en la ecuación dada tendremos:

Proposición Falsa

(No cumple), luego: x = 3 es una solución extraña, y la ecuación es incompatible, pues no tiene solución: Observación: Siempre que se potencie los dos miembros de una ecuación. El valor o los valores obtenidos para “x” deben comprobarse en la ecuación original pues pueden no ser soluciones verdaderas. d) Si a ambos miembros de una ecuación le sumamos un mismo número o un mismo polinomio, la nueva ecuación es equivalente a la inicial.

La ecuación: x – 12 = 2x + 3 tiene por raíces: x = 5; x = - 3 Sumando a los dos miembros de la ecuación original:

2 x −5

Obtenemos:

4to Año Secundaria

Si queremos resolver en el conjunto de los racionales (Q), entonces el conjunto solución de la ecuación: x2 = 2, es vacío; pues no existe número racional cuyo cuadrado es 2. Si embargo si resolvemos en el conjunto de los reales (R), entonces el conjunto solución es { − 2 , 2 }. De la misma manera, la ecuación x 2 = – 1, no tiene solución en R, pero si la tiene en el conjunto C. Al despejar x se obtiene: x = −1 ó x = −1 . Si definimos (i es la unidad −1 =i imaginaria del conjunto C), el conjunto solución es: {- i; i}. 2. Si p y q son expresiones algebraicas en una variable “x”, entonces un enunciado de la forma “p = q” se llama una ecuación algebraica en “x”. Si obtenemos una proposición verdadera cuando reemplazamos x por x0; entonces x0 es llamada una solución de la ecuación. x0 es un valor del dominio (conjunto de valores admisibles) para x.

x2–12+

2 x −5

=2x+3

2 . x −5 Para lo cual x = 5 no es solución.

1. El conjunto solución de una ecuación depende del conjunto numérico en que se quiere resolver la ecuación, por ejemplo:

01. Sayumi tenía 120 nuevos soles. Si gastó los

5 de lo que no gastó. ¿Cuánto dinero gastó 7 Sayumi? Resolución Sea x la cantidad de nuevos soles que gastó Sayumi. Entonces (120 - x) nuevos soles es lo que no gastó. Luego: Gasto = Entonces: x =

5 (120 - x)↔7x=600 – 5x 7 ↔ 7x + 5x = 600 ↔ 12x = 600 ↔x=

600 12

↔ x = 50 Respuesta: Sayumi gastó 50 nuevos soles.

ecuación:

1 −x

es cierta para todo número en el dominio para x, esto es, en el intervalo cerrado: [- 1, 1]. 4. Si en el dominio para “x” existen números que no son soluciones, entonces la ecuación se llama ecuación condicional o un enunciado abierto. Por ejemplo; en la ecuación: x 2= x , cuyo dominio para x es: [0, ∞> existen números en el dominio que no son soluciones, por ejemplo x = 4 ∈ [0, +∞>, y no es solución, luego se trata de una ecuación condicional.

pasado un

los

de la clase de álgebra; 6

4 de la clase. Si la clase empezó a las 5

8:00 de la mañana. ¿A que hora terminó? Resolución Sea t el tiempo (en minutos) que duró la clase. Jimmi se pierde ( clase, que equivale a escuchó los

PROBLEMAS EXPLICATIVOS S4AL33B

1 8

minutos después llega Jimmi y sólo escucha

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

5 (No gastó) 7

02. Walter llega tarde al colegio cuando había 3. Si el conjunto solución de una ecuación es todo el dominio para x, entonces la ecuación se llama una IDENTIDAD, por ejemplo:

(1 −x )(1 + x ) es una identidad; pues

Observaciones:

Resolución

x +7=x –14x+49⇒ 14x = 42 ⇒ x = 3

Observación: Si a ambos miembros se suma o resta una función arbitraria la ecuación resultante no necesariamente es equivalente a la inicial.

ALGEBRA

3 2 +7 =3 −7 → 16 =−4 →4 =−4

Simplificando (x - 2) para no perder solución: x – 2 = 0 → x = 2 Luego, tendremos: x + 3 = 4 → x = 1 La ecuación tiene 2 soluciones x=2 y x=1 (de no haber igualado a cero, hubiéramos perdido la solución x=2).

Ejemplo:

4to Año Secundaria 2

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

4 t). 5

1 t + 6 ' ) de la 8

1 t (pues Jimmi sólo 5

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Luego:

1 1 t= t + 6↔ 5 8

4to Año Secundaria

1 1 t– t= 5 8

ALGEBRA

4to Año Secundaria

↔ 18V – 54 = 15 V + 45

↔ 18V – 15V= 45 + 54

x+2

↔ 3V = 99

3t =6 40

↔ ↔

↔ V= =

40 x 6 3

99 3

2x + 5 = 2x + 5

Resolución

Se enfoca De acuerdo a su forma

De acuerdo a su C.S.

Se considera Algebraica

Polinomial

Se caracterizan por:

Sea V la velocidad del bote en aguas tranquilas, entonces (V + 3) es la velocidad del bote río abajo (con la corriente a favor) y (V - 3) es la velocidad del bote río arriba (contra la corriente), entonces tenemos:

Fraccionaria 3 =5 x+2

Compatible

Exponencial x x- 256= 0

5x = 5x x −5

Indeterminada (C.S. Infinito)

03. Encierra en una circunferencia V (Verdadero) o F (Falso).

Trigonométrico Senx - x= 0

Irracional

PRÁCTICA DE CLASE

Velocidad

Río Abajo

V+3

Río Arriba

V–3

Tiempo

18 V+3 15 V −3

01. Clasificar las siguientes ecuaciones algebraicas de acuerdo a su forma. ECUACIÓN ALGEBRAICA

18 15 = V + 3 V −3

5 − 2x = 0 x −2

S4AL33B

ECUACIÓN ALGEBRAICA

↔ 18 (V – 3)

x −4 − 2 −x =

= 15 (V + 3)

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

CLASIFICACIÓN

x 3 − 2 x 2 +x −7

Como el tiempo es el mismo:

S4AL33B

−x + 2

x-7 =7-x

Distancia

CLASIFICACIÓN

x(x - 2) = (x - 1)2

Incompatible (CS= O ) Determinada (C.S. Finito)

Logarítmico Log x - 1= 0 6

1 1 = x x

ECUACIÓN ALGEBRAICA

Puede ser

No Algebraica

Poseer grado

CLASIFICACIÓN

x3 = 9x

Clasificación de las Ecuaciones

Respuesta: Como la clase empezó a las 8:00

P(x)=a x n + a x n-1 + a x n-2 + ...+ a = 0 o 1 2 n

ECUACIÓN ALGEBRAICA

t = 80’

03. Un río tiene una corriente de 3 kilómetros por hora. Si el bote de Aly Boydi tarda el mismo tiempo en ir 18 kilómetros río abajo y 15 km. río arriba. Calcule la velocidad del bote en aguas tranquilas.

x−3

02. Clasificar las siguientes ecuaciones algebraicas de acuerdo a sus soluciones:

↔ V = 33

a.m. y duró 80 minutos entonces terminó a las 9:20 a.m.

Respuesta: La velocidad del bote en aguas tranquilas es 33 kilómetros por hora. ↔

+5−

- El conjunto de valores admisibles en una ecuación algebraica implica que la ecuación ha sido resuelta. V - F - En una ecuación polinomial sus coeficientes son números naturales V - F - Una ecuación es una proposición matemática V - F - Una ecuación compatible indeterminada tiene infinitas soluciones. V - F 04. Una ecuación compatible:

CLASIFICACIÓN

a) Tiene 2 incógnitas b) No tiene solución c) Tiene un número finito de soluciones d) Tiene un número infinito de soluciones

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

e) c y d

c) Tiene tres raíces e) Incompatible

14. Luego de resolver la ecuación en “x”.

11. Respecto a la ecuación en x, a (a 2 – 1) x = 0, establezca el valor de verdad de cada proposición:

b) 2 soluciones d) 4 soluciones

I. Es compatible para cualquier valor de 06. Se llama ecuación polinomial a la: a) b) c) d) e)

Ecuación Ecuación Ecuación Ecuación N.A.

a. II. Si a = –1, tiene infinitas soluciones.

algebraica racional entera algebraica racional fraccionaria trascendente irracional

III. Si a = 0, tiene solución única. IV. Si a ∈ {0; 1; –1}, tiene una única solución e igual a cero. a) VVVV d) FFFV

08. Resolver: x + 5 +

4 x−6

a) 6 c) 6 y – 6 e) Incompatible

=7 −x +

(

5 − x =8 − x +

a) 6 c) 6 y – 6 e) Incompatible 10. Resolver:

x −3 x+2

x −6

20 − 4 x

Es determinado cuando a ≠ 1∧a ≠ -1

II.

Es indeterminado cuando a =1∨a= -1

S4AL33B

Es incompatible cuando a = 2

a) VVV d) FFV

b) VVF e) VFF

c) VFV

13. Luego de resolver la ecuación en “x”:

x +a+

x − 2a x − 3 a 23 x − 4 a + = − 2a 3 5 15

Es cierto que:

x2 − 9 x2 + x − 2

. Marque lo

correcto: a) Tiene una raíz

b) – 6 d) Indeterminado

)

a 2 (a −2) − a +1 −a a − a x = a −2

b) – 6 d) Indeterminado

x–

c) FFVV

12. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones con respecto a la ecuación en x:

III. 09. Resolver:

b) VFVF e) FVFF

b) Tiene dos raíces

a) La solución depende de a (a ∈ ℜ) b) Tiene una sola solución c) No tiene solución d) Tiene infinitas soluciones e) Tiene dos soluciones

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

x −a x −b x −c 1 1 1 + + = 2 + +  bc ac ab a b c I. Si a + b + c = 0 la ecuación tiene infinitas soluciones con abc ≠ 0. II. Si a + b + c ≠ 0 siempre existe solución y es única. III. Siempre la solución es a + b + c. a) VVV d) FVV

b) VFV e) FFV

c) VFF

01. Resolver:

b) 0 c) 5 e) Indeterminado

b) 5 e) 9

c) 6

04. Dada

ecuación

I. II. III. S4AL33B

La ecuación dada es lineal La ecuación tiene infinitas soluciones La ecuación tiene solución única

b) -11 e) -1

1 x:

2+x + 2−x a) 1 d) 2

Dar el valor de verdad:

(n + 1) 2 (2n + 1) e) 2 b)

n 2

c) 12

08. Resolver:

c) - 27

x + 1 x + 2 5x + 7 + = x 3 6

(n −1) 2 3n d) 2

a) 4 d) -15

b) 2 c) 3 e) ∀ n ∈ R - {+1}

f (P (f (P (2)))) – P (f (P (x))) = 75.

Indique: (7 + 2 x)3 +x

3 d) 3

c) VVVFF

07. Si se define: P(n) = n + 3; f (m) = 3m. Calcular “x” en:

x + 5 x + 7 x + 3 x + 10 + = + x + 2 x + 3 x −1 x +6

b) 2

b) FVFVF e) VFVFV

05. Para que valor real del parámetro “n”, la ecuación del primer grado “x”: (2n – 1)x + 2 = nx – 3n2 será compatible y determinada.

03. Resolver:

a) 4

a) FVFVV d) FFVVV

(x+1) + (x+2)+(x+3) + ... + (x+n)= n 2, n entero positivo, el valor de x es:

02. Resolver: 3 x + 1 + 5 x = 16 x + 1 . Indique la suma de sus raíces. a) 0 d) 7

x = 2 + 3 es solución de la ecuación La ecuación dada es ecuación polinomial

06. En la siguiente ecuación:

(1 − x ) 2 = 9 − x .

a) Incompatible d) 5, - 5

IV.

a) ∀n ∈ R d) ∀n ∈ R+

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03

07. Una ecuación se llama incompatible si: a) Tiene infinitas soluciones b) Tiene 3 incógnitas c) Tiene un número finito de soluciones d) Es irracional e) No admite solución

4to Año Secundaria

d) Indeterminado

05. Toda ecuación lineal presenta: a) 1 solución c) 3 soluciones e) N.A.

ALGEBRA

1 2+x − 2−x

b) 4 e) - 1

09. Resolver: x + 25 − x 2 soluciones tiene? a) 1 d) 4

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 2 e) 0

c) 5

= 7. ¿Cuántas

c) 3

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 10. Hallar x en:

21 + 12 + 14 + x

a) 1 d) 16

b) 4 e) 0

c) 9

b) {1, 2} e) 5

c) {5, 11}

12. Sea la ecuación en “x”: a3x – a4 + 6a2 = (3a – 2)x + 8a – 3 e indicar el valor de “a” para el cual la ecuación presenta infinitas soluciones: a) 1 d) 4

I) Incompatible

b) 2 e) 0

c) 3

II) Indeterminada

18. Si:

b) 1/3 e) 5/3

c) 1

( x −1) 2 = 1 - x. El conjunto solución

de la ecuación es: a) x = 1 d) x < 1

b) x = 3 e) x = 2

c) x > 1

19. Resolver la ecuación de primer grado: (m – 3)x2 + 5m + (m – 2)x – 14 = 0 a) 1 d) 19

13. Resolver:

Señalar la suma de soluciones de m: a) 2/3 d) 4/3

11. Si |– 9x| = 72. Calcular: |x – 3|. a) 0 d) 11

4to Año Secundaria

b) - 1 e) 15

b) 7 e) 570

14. Si a ≠ b, resolver en x: 0.

c) 8

c) 0

de la ecuación:

(x −2) 2 =- 9.

a) 0 d) 4

b) 1 e) N.A.

c) 2

(x+1) + (x+2)+(x+) +... +(x+20) = 420 – x.

b) 5 e) 21

c) 10

17. Hallar m y p para que la ecuación: 3mx–4p=2x+m. Sea: S4AL33B

03. En un reloj se lee: 8: 48 cuando en realidad son: 8:52, más tarde a las 9:42 se lee 9:34, y según esto; ¿A que hora se tenía una lectura correcta? a) 8:02 d) 8:25

b) 8:00 e) 9:11

TAREA DOMICILIARIA

c) 25

a) 20 d) 23

2x − 1 x +3

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 20 e) 35

a) 1/2 d) 3/2

b) 4/5 e) 3/4

−

x −4 x −3

06. Resolver:

a +b 2 a +b a −b 2 ab d) a +b a)

c) 22

x 2 − 6 x + 15 x2 − 9

b) {3, - 3} e) N.A.

b) 16 e) 9

, es:

c) {4, - 4}

10 + 32 + 13 +

a) 1 b) 2 d) 4 e) 5 08. Resolver la ecuación:

a) 18 d) 16

−

c) 25

c) 2/3

ab a +b

a −b a +b

11. Indique que pares equivalentes: I. x = 4; x2 = 16 III. x = 4; x = 16

ecuaciones

a) Las 4 posibilidades planteadas b) Sólo I y II c) Sólo II y III d) Sólo III y IV e) Sólo I y IV 12. El valor de x que satisface la ecuación fraccionaria: 1 +

c) 3 a) 3/4 d) 5/6

1 x+ 2 b) 1/2 e) 7/6

1 1 1+ 3

c) 2/3

13. Hallar el valor de x en: c) 25

x4 ÷

÷3 ...... ∞ = 64

c) 40 a) 2 d) 4 S4AL33B

son

II. x = 4; x2 = 4x IV. x = 4; 4x = 16

x +1 11 = 3 3

b) 9 e) 4

x +2

2x + a x − b 3 ax + (a − b )2 . − = b a ab

x−4 x −5 1 + = 2 x − 3 x − 5x + 6 2

x −1

10. Resolver:

b) 21 e) N.A.

a) IR d) IR - {3, - 3}

02. José tiene tres veces los años que tenía Ricardo cuando el tenía 16 años. Ricardo tiene 24. Hallar la edad de José. a) 25 d) 30

x +2 + x =

c) 8:04

07. Resolver la ecuación:

01. Compre cierto número de folletos de álgebra por 100 nuevos soles. Si el precio por el ejemplar me hubiese costado un nuevo sol menos, tendría 5 ejemplares más por el mismo dinero. ¿Cuántos folletos compre? b) 4 e) 15

09. Resolver:

04. En una sala de juego para entrar se paga 1 dólar y para salir 1 dólar. Una persona juega en 3 salas y pierde en cada una la mitad de lo que tiene. ¿Cuánto tenía antes de empezar a jugar si al final se queda sin dinero?

a) 12 d) 36

a) 5 d) 20

16. Resolver la ecuación: a) 0 d) 12

a) 5 b) 5; - 5 c) - 5 d) Indeterminado e) Incompatible

a (x - a2) - b(x -b2) =

a) φ b) {0} c) {1} d) {a + b} e) {a2 + ab + b2} 15. Determinar el cardinal del conjunto solución

4to Año Secundaria

05. El conjunto solución de:

1 1  x 11 = 3 – x + 11 1 1 – 7+ 285  + + + ... + + 4Resolver: + 9 + ... +x 81 )  x = 285 + (1 20. x −5 306  3x − 5  6 12 20 a) 1 d) 9

ALGEBRA

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 32 e) 64

c) 16

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 14. Hallar el valor del parámetro “a” de modo que la ecuación a2x + 2x + 2 = a2 + a + 3ax sea:   

Compatible determinado Compatible indeterminado Incompatible

BIBLIOGRAFIA 1. 2. 3. 4.

PERELMAN : Álgebra Recreativa POTAPOV : Álgebra SWOKOVSKI : Álgebra Universitaria ACADEMIA CESAR VALLEJO: Compendio Académico 5. RYBNIKOV: Historia de la Matemáticas 6. ALFONSO MORALES: Matemática Resumida

ECUACIONES DE

4to Año Secundaria

También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas. Los matemáticos alejandrinos Heron y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia aunque el libro "La aritmética de Diofante" es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones es sorprendente para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró a su vez, acogida en el mundo islámico en donde se le llamó "ciencia de reducción y equilibrio" (La palabra árabe "ál - jabru" que significa reducción es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX el matemático al-juarizmi escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones con ejemplos y demostraciones incluidas

 Dado un conjunto de Ecuaciones de segundo Grado, resolverlos aplicando correctamente las propiedades que corresponden. COMENTARIO PREVIO: PREVIO La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticos (ax2 + bx + c) así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2 con varias incógnitas. Los antiguos Babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. S4AL33B

4to Año Secundaria

ax + bx + c es factorizable por aspa simple, para lo cual se debe tener en cuenta la siguiente propiedad: Si: m . n = 0 ⇒ m = 0 ∨ n = 0 Resolver: ax2 + bx + c = 0 Factorizando se obtiene: a(x–x1) (x–x2) = 0 De donde:x–x1=0∨x–x2 =0⇒x= x1∨x= x2 ∴C.S = {x1; x2}, x1; x2 se llaman raíces de la ecuación polinomial cuadrática. Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: x2 – x – 12 = 0 Resolución La ecuación dada es: x2 – x – 12=0 Factoricemos al trinomio: x2 – x – 12 Según el criterio del aspa x2 – x–12=(x–4)(x+3) simple tendremos: x -4 x 3

CONTENIDO TEÓRICO:

luego la ecuación dada será: (x–4) (x+3) = 0

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Finalmente de acuerdo a la propiedad señalada líneas arriba; se tendrá:

Llamadas también ecuaciones polinomiales de segundo grado, cuya forma general es: ax2+bx + c = 0 , { a; b; c} ⊂ R / a ≠ 0

OBJETIVOS ESPECIFICOS: ESPECIFICOS

ALGEBRA

RESOLUCIÓN

x – x – 12= 0, es : C.S. = {4; -3}

Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0, sus raíces se obtienen utilizando la fórmula deducida por Sadi Carnot:

x =

A) Por Factorización Este método se aplica únicamente si el trinomio:

− b ± b − 4 ac 2a

Donde las raíces son:

S4AL33B

− b + b 2 − 4 ac ; 2a

x2 =

− b − b 2 − 4 ac 2a

Luego el conjunto solución es:

 −b + b 2 − 4ac −b − b 2 − 4ac   C.S . =  ;  2 a 2 a     Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: x 2 + 3x –1=0 Resolución De la ecuación se deduce que: a = 1 ∧ b = 3 ∧ c = –1 Reemplazando en la fórmula tenemos:

x =

−3 ±

3 2 − 4 (1)(−1) 2(1)

Efectuando y reduciendo: x = − 3 ± 13 2 Finalmente las raíces de la ecuación son:

x1 =

− 3 + 13 2

; x 2 = − 3 − 13 2

En consecuencia el conjunto solución es:

B) Por la Fórmula de Carnot

Toda ecuación de 2do grado podrá resolverse al menos por una de las siguientes formas:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

∨ x + 3 = 0 ⇒ x = 4 ∨ x= -3

Es decir el conjunto solución de la ecuación:

Frecuentemente a dicha ecuación se le llama: Ecuación Cuadrática y se caracteriza por presentar 2 soluciones (su incógnita “x” asume dos valores) MÉTODOS DE ECUACIÓN.

x–4=0

x1 =

 − 3 + 13 − 3 − 13   C.S. =  ;  2 2    

ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN. Para la ecuación: ax2 + bx + c = 0, se tiene: I) Si: a ≠ 0 ∧ {b ; c} ⊂ R , la ecuación es : Compatible Determinada II) Si: a = 0 ∧ b = 0 ∧ c = 0, la ecuación es compatible Indeterminada. III) Si: a = 0 ∧ b = 0 ∧ c ≠ 0, la ecuación es Incompatible.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN NATURALEZA DE LAS RAÍCES. A) DISCRIMINANTE (∆) Llamamos discriminante a la expresión subradical contenida en la fórmula de Carnot: ∆ = b2 – 4ac De este modo la fórmula que da solución a una ecuación de segundo grado queda así :

x =

−b ± ∆ 2a

4to Año Secundaria

Siendo a, b ∧ c números racionales, las raíces de la ecuación serán reales racionales. Pero si ∆ ≠ k2, las raíces de la ecuación serán reales irracionales y conjugadas. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES. Para la ecuación: ax2 + bx + c = 0 / a ≠ 0, de raíces x1 ∧ x2 , tenemos: I) Suma de Raíces: s = x1 + x2 = −

III) Diferencia de Raíces: d= x1-x2=

Primero: Si: ∆ > 0 En este caso las raíces de la ecuación serán reales y diferentes. Segundo:

Si: ∆ = 0

En este caso las raíces de la ecuación cuadrática serán reales e iguales. Este caso se presenta cuando el trinomio “ax 2 + bx + c” es un cuadrado perfecto. Tercero:

Si : ∆ < 0

b a

ALGEBRA

Dada la ecuación cuadrática ax +bx +c=0 / a ≠ 0, si ésta presenta una raíz nula (x=0), se cumplirá que: c = 0.

b) x c)

Raíz Unidad: Dada la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0 / a ≠ 0, si ésta presenta una raíz unidad (x =1), se cumplirá que: a + b + c = 0.

∆ a

Para determinar la diferencia de las raíces se recomienda utilizar la siguiente identidad

( x 1 + x 2 )2 − ( x 1 − x 2 )2 = 4 x 1 x 2 A) RAÍCES PARTICULARES En algunas ecuaciones las raíces se condicionan de tal modo que efectuando alguna operación elemental entre ellas, se podrá deducir alguna propiedad particular, como por ejemplo: Raíces Simétricas: Si x1 ∧ x2 son raíces simétricas, se podrá establecer lo siguiente:

Considerando a x1 ∧ x2 como raíces de la ecuación tal que: S = Suma de raíces P = Producto de raíces Entonces la ecuación que originó a dichas raíces se determina así:

Cuarto: Si:∆ = k2 (cuadrado perfecto)

1 ⇒ x1 . x 2 = 1 m

A. De las Ecuaciones Equivalentes Sean: a1 x2 + b1 x + c1 = 0 ...... (1) a2 x2 + b2 x + c2 = 0 ...... (2) Dos ecuaciones equivalentes, luego entre ellas se cumplirá la siguiente relación:

x −2

+ 2x − 3

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

−

02. Resuelve las cuadráticas:

x +1 x

−9

4 x

siguientes

− 4x + 3 ecuaciones

a) (x + 1)(x + 2)(x+3) = x(x + 4)(x + 5) b) c) d)

x +1 x − 2 + =3 x −1 x + 2 3

72 −x -

x −2 + x −3

16 −x = 2

x −3 5 = x −2 2

03. Completar: a) 2x2 – 7x – 3 = 0

∆ = …………………

b) 7x2 – 11x – 14 = 0

S = …………………

c) x2 – 5x + 6 = 0

a1 b1 c 1 = = a2 b2 c2

d) 2x2 + 7x + 1 = 0 ……… e) 2x2 + x – 1 = 0 …. f) x2 + 2x – 1 = 0

PRÁCTICA DE CLASE

1 x1

1 x2

01. Resolver las siguientes ecuaciones a)

x +1 3

x −2 5

8x +1 15

S4AL33B

1 x1−1 + x − 2

( x1 + 1)( x 2 + 1) = ( x1 + 1)( x 2 + 1) =

…. 04. Relaciona correctamente: I) x2 – 4

3 x + 12=0 a)Raíces reales

II) x2 – 2x – 1 = 0

Raíz Nula: S4AL33B

−21 =7

………..

B) RAÍCES ESPECIALES Llamaremos así a las siguientes raíces:

PROPIEDADES IMPORTANTES.

Raíces Recíprocas: Si x1 ∧ x2 son raíces recíprocas, se podrá establecer lo siguiente: x1 = m ∧ x2 =

x2 – Sx + P = 0

x1 = m ∧ x2 = –m ⇒ x1 + x2 = 0

En este caso las raíces de la ecuación serán imaginarias y conjugadas. Debe notarse que las raíces imaginarias siempre se presentan en parejas, siendo una la conjugada de la otra.

4to Año Secundaria 2

RECONSTRUCCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA.

c p = x 1 . x2 = a

II) Producto de Raíces:

B) ANÁLISIS DEL DISCRIMINANTE Observando la relación anterior, resulta previsible que el valor y/o signo del discriminante determinará la naturaleza de las raíces de una ecuación de 2 do grado. Veamos los siguientes casos:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

iguales b)Raíces reales diferentes

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2

III) x – 2x + 3 = 0 a) I A – II B – III C b) I B – II C – III A c) I C – II A – III B

c)Raíces complejas

4to Año Secundaria

09. La ecuación de segundo grado una de cuyas raíces es la fracción:

d) I C – II B – III A e) I A – II C – III B

05. Calcular “m” para cada uno de los siguientes casos, siendo la ecuación cuadrática:

1+ 3+ x=

1 3+

m=……...... m=……...... m=……...... m=……...... m=……......

06. Calcular “n” para cada uno de los siguientes casos, siendo la ecuación cuadrática: (2n - 5)x2 + (3n - 5)x + n + 1 = 0 a) Raíces iguales b) Suma de las inversas de las raíces es –5/2 c) Diferencia de raíces es 0,5 d) Suma de los cuadrados de las raíces es 5/4

; está dada por:

07. Formar una ecuación cuadrática con coeficientes enteros para cada uno de los siguientes casos:

1 6 1 d) 6 S4AL33B

m +1=0; se diferencian en 2? 4

1 3 2 e) 3

e) 2x2 - 4 = 0

b) 4

d) 5

e) 6

c) -

1 3

c)3x2–x–5=0

x 1n + x n 2

b) 7

; calcular: P(2)

7 3

c) 3

12. Si la ecuación: x2 – 6x + n + 1 = 0, admite como raíces a x1 ∧ x2 , tal que :

Encontrar el valor de n:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 2 e) 5

c) 33

14. Sabiendo que las ecuaciones:

c) 3

x – 3x + m + 1 = 0 3x2 + 5x + m = 0 Son imaginarias y reales respectivamente determine el valor entero de “m” a) 0 d) 4

Presentan una raíz común, formar otra ecuación cuadrática cuyas raíces sean las no comunes de las anteriores a) x2 + x – 1 = 0 b) x2 + (m – n) x + mn = 0 c) x2 – x + 1 = 0 d) x2 – (m + n) x + mn = 0 e) x2 – mn = 0

b) 1 e) 2

c) - 1

19. Determine a + b +c de modo que la ecuación: x3 – ax2 + bx + c = 0 Admita por raíces: a, b, c; abc ≠ 0 a) 1 d) 4

b) - 1 e) 8

c) 0

20. Resolver:

15. En la ecuación: 2x2 – (m - 1) x + m + 1 = 0, ¿qué valor positivo debe darse a “m” para que las raíces difieran en uno? a) 7 d) 10

b) 8 e) 11

c) 9

16. Sabiendo que: (p + q)2 y (p – q)2 son raíces de cierta ecuación cuadrática recíproca donde “p” y “q” son raíces de la ecuación: ax 2 + bx +c = 0; a > b > 0, calcular a4 – b4 a) 2abc d) – 4 ab2c

b) – 2abc2 e) – 4abc2

c) 4abc2

17. Sabiendo que la ecuación: x 4 – 9x + λ = 0 admite dos raíces que suman 3, calcular el producto de todas las raíces

1 1 3 + = ; 2x1 2x 2 5 a) 1 d) 4

b) 11 e) 17

c) 4

11. Sea: {x1; x2} el conjunto solución de: 3x2 – x – 1 = 0. A continuación se establece que: n

13. ¿Para qué valor de “n” el discriminante de la ecuación: x2 – 8x + n = 0, es igual a 20?

x + mx + n = 0 x2 + nx + m = 0

10. Determine la suma de los valores que puede tomar “a” para que la ecuación: (a + 1) x 2 + ax + 1 = 0; tenga una sola solución si “a” es un número real y diferente de –1.

d) 5x2 – x – 3=0

a) 7

08. ¿Para qué valor de “m” las raíces de la ecuación:

a) –

b) 5x2 – 3 = 0

P(n) =

a) x1 = 7 x2 = 4 b) x1 = 2/3 x2 = - 3/5 c) x1 = 3 - 2 d) x1 = 4 + i e) x1 + x2 = - 7/3 ∧ x1 . x2 = 5/9

x2–(m+3)x+

a) 3x2 – 5 = 0

4to Año Secundaria

1 

a) 12

ALGEBRA

a) 44 d) 22

(m + 1)x2 – (3m – 5)x + 2m – 5 = 0 a) Suma de raíces es 5/2 b) Producto de raíces es 9/4 c) Raíces recíprocas. d) Raíces simétricas e) Una raíz es – 2

a) 3 d) 12

b) 6 e) 18

c) 9

18. Si las raíces de la ecuación en “x”

S4AL33B

1   x + x 

1     − 3 x + x  

   = 18 

Indicar la raíz de mayor valor a)

2 +1

d) 2+3

b) 3-2

e) (3+

5 )/2

c) (

2 2 +1)

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 04 01. Indicar la mayor raíz de la ecuación: x 2 - 3x + 2,16 = 0 a) 1,2 d) 0,3 02. Si : x = decirse que: a) x = 3 d) x =2

b) 0,8 e) 1,2

c) 1,8

1 + 2 + 2 +....

, puede

b) 0<x<1 c) x>2 e)x es infinitamente grande

03. Cuál o cuáles de las siguientes ecuaciones:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2

I. x – x – 1 = 0 III. 3x2 + x – 2 = 0

II. x – 2x + 3 = 0

b) Solo II e) I y II

c) Solo III

04. Halle la menor raíz de la siguiente ecuación mónica de segundo grado: (m - 2) x 2 – (3m 8) x + m – 9 = 0 a) -2 d) 3

b) -3 e) -1

c) 2

05. Calcular el valor de “m-2n” si la ecuación cuadrática: 5 (m + n +18) x2 + 4(m - n) x + 3mn = 0 Es incompatible. a) -9 d) 18

b) -18 e) -13

c) 9

06. Calcular la mayor solución de la ecuación: (m - 2) x2 – (2m - 1) x + m – 1 = 0 Sabiendo que su discriminante es 25. a) 3 d) 1,5

b) 0,5 e) N.A.

c) 2,5

07. Calcular “m” para que la ecuación: 6x2 + (2m + 3) x + m = 0. Tenga única solución. a) 3 d) 3/2

b) 3/4 e) 5/3

c) 1/2

08. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones, en base a la ecuación: x (x - 1)2(2x - 3)3(x2 -

b) FVV e) VVF

c) FFV

02 d)

09. En la ecuación cuadrática: ax +bx+c = 0 Afirmamos: I. Si la suma de sus raíces es igual a su producto entonces b + c = 0 II) Si una raíz es la opuesta de la otra entonces b = 0 III) Si una raíz es el doble de la otra, entonces 2b2 = 9ac a) Las 3 afirmaciones son verdaderas b) I y II son verdaderas c) I y III son verdaderas d) II y III son verdaderas e) Sólo II es verdadera

ALGEBRA

4to Año Secundaria

183 35

18. Siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación:

173 35

ax2 + bx + c = 0 ; el valor de : a) b2 - 4ac c)

− 4 ac c

1 r

1 s2

, es:

− 2 ac c

e) b2 + 4ac 11. Si la ecuación: x2 – nx + 36 = 0, admite como raíces a : x1 ∧ x2, tal que:

1 1 5 + = ; encontrar el valor de “n”. x 1 x 2 12 a) 25 d) 24

b) 18 e) 15

c) 12

12. Siendo : x1 ∧ x2 las raíces de la ecuación : 5x2 – 23x + 11 = 0 , el valor de:

3 x1 + 1 3 x 2 + 1 . ; es: 2x1 − 9 2x 2 − 9 a)

17 35

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

143 35

a) 5 ; 2 d) 3 ; -1

b) 1 ; -3/2 e) 2 ; -10/9

a) x2 + 2x – 1= 0 b) 2x2 - 4x + 1= 0 c) x2 - 8x + 2= 0

b 2 − 4 ac 2a 2

13. ¿Para qué valores de “m” la ecuación: x2 - 2(3m+1) x + 7(2m+3) = 0, tendrá sus dos raíces iguales? c) 4 ; -2

14. La ecuación cuadrática cuyas raíces son: 2+ 2 ∧ 2- 2 , es:

10. Si “r” y “s” son las raíces de la ecuación:

2 3 ) =0

( ) Posee 4 raíces o soluciones ( ) Su conjunto solución posee 5 elementos ( ) Posee a x = 0 como raíz simple y a x = 3/2 como raíz triple. S4AL33B

a) VVV d) VFV

No admite raíces reales. a) Solo I d) II y III

4to Año Secundaria

153 35

d) x2 + 4x +2= 0 e) x2 - 4x + 2= 0

15. Si “α” y “θ” son las raíces de la ecuación: x2 - 2x – 5 = 0, encontrar una ecuación cuadrática cuyas raíces sean: α2 y θ2. 2

a) x +14x + 25=0 b) x2 - 2x - 1= 0 c) x2 - 14x + 25= 0

d) x +14x+15= 0 e) x2 - 14x - 25= 0

16. Si x1 y x2 son raíces reales de: ax2+bx+c=0 (a ≠ 0), calcular el valor de “m” para que la ecuación de raíces (x1 + m) y (x2 + m); carezca de término lineal a) – b /2a d) – b/a

b) b/2a e) b/3a

c) b/a

17. Determinar la ecuación de segundo grado cuyas raíces sean: una la suma y la otra el producto de las raíces de: ax 2+bx+c=0; a≠ 0

ax2 + bx + b = 0; a ∧ b ≠ 0 Tales que x1 es a x2 como “b” es a “a” calcular:

a + b

b + x1 x 2 a

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 19. La ecuación P(x) = x2 + bx + c = 0; tiene raíces reales positivas distintas, entonces de las raíces de la ecuación: F(x) = x 2 + b x + c = 0; se puede afirmar: a) Son las mismas de P(x) b) Algunas son negativas c) Algunas son complejas d) Son todas positivas e) Son todas negativas 20. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficiente principal 1 y de raíces m y n se sabe que:  x2 + (m – 1) x + m – 2 = 0; tiene una sola solución real.  x2 – (n + 1) x + 2n = 0; tiene una raíz igual a 3. a) x2 + 9x + 18 = 0 b) x2 – 6x + 18 = 0 c) x2 – 9x – 18 = 0 d) x2 – 9x + 18 = 0 e) x2 – 6x – 18 = 0

TAREA DOMICILIARIA a) a2x2 – a(b - c)x – bc = 0 b) a2x2 – a (b + c)x – bc = 0 c) a2x2 – a (b + c)x + bc = 0 d) a2x2 + a (b - c)x + bc = 0 e) a2x2 + a (b - c)x – bc = 0 S4AL33B

01. Resolver las ecuaciones: 1) x2 = 7 2) (x + 1) (x – 3) = 12 3) 15x2 – 34x + 15 = 0 4) (x + 3) (x + 5) = 13x2 5) x(x - 1997) = (x - 1997) “El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

06. Hallar el valor de “a” para que las raíces de la Indicar la ecuación que posee la menor raíz a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

ecuación: x2 – (a + 3) +

b) 7/3 e) 20/3

a) 1/n d) – 2n

b) – 1/n e) – 1/2 n

c) 1/2 n

03. Hallar una de las raíces de la ecuación: a (b - c)x2 + b (c - a) x + c (a - b) = 0 Si x es la incógnita a)

b −c a −b

b (a −c ) a (b −c ) d)

a −b c −a

c −a b −c

b(a − c) a( b − c )

b) 3 e) 8

S4AL33B

b) 3/2 e) 1/7

2 x −5 + x +2 +3

a) 7 d) 5

b) 13 e) 16

2 x −5 =7

08. Calcular “m” para que la ecuación: 6x2 + (2m + 3) x + m = 0 tenga una raíz solamente a) 3 d) 3/2

b) 3/4 e) 5/3

c) 1/2

b) VFF e) FVV

las

c) VVF

10. Resolver: (1 + x) (1 + 2x) (1 + 3x) = - 15 Indicar la suma de las raíces no reales:

c) 2/5

a) 0 d) - 1

b) 1/2 e) 1/6

c) – ½

11. Sea el polinomio cuadrático: P(x) ≡ (n + 1)! x + n! (x) + (n - 1)!; n ∈ N, indicar verdadero o falso, si P (x) = 0, según corresponda:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) - 4 e) 4

c) - 1

13. El producto de multiplicar el término independiente con el coeficiente del término cuadrático de la ecuación que tiene por raíces el cuadrado de la inversa de las raíces de ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, es: a) ac d) 1/a2c2

( ) Si la ecuación admite solución, ésta debe estar comprendido en [-1; 0] ( ) La ecuación tiene dos soluciones reales ( ) La ecuación tiene una única solución a) VFV d) VVV

a) 1 d) 0

c) 15

r s + s r

=4, halle la suma de todos los valores “m” que satisfacen la condición

b) a2c2 e) c/a

c) a/c

14. Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación polinomial: F(x) = x3 – 3x + 6 = 0 a) 1 d) 8

b) - 1 e) 6

c) 4

15. Si x1, x2, x3 son las raíces de la ecuación: 4x3 + mx2 - 4x + m2 = 0 Además:

c) 4

05. Si la ecuación: x2 + px + q = 0; tiene por conjunto solución {r, s} si: r – s = 4 y r 3 – s3 = 208; entonces p/q es: a) 2/3 d) 2/7

07. Resolver e indicar la solución:

09. Sea la ecuación: x +1 + 2 x = 0 Indicar el valor de verdad de proposiciones:

04. Dada la ecuación: x2 - 2x + m = 0. Calcular “m” si una de las raíces es 1 + 2i, (i = −1 ); m ∈ R a) 2 d) 5

mx2 – 2(m – 1) x + m = 0 y cumplen

x −2 +

a) FFV b) FVV c) VFV d) VVV e) FVF 12. Si r y s son raíces de la ecuación cuadrática:

c) 10/3

02. Sea la ecuación: [(m + n)2 – (m - n)2] x2 + (m - 1)2x – [(m + n)2 + (m - n)2] = 0 siendo m ≠ 0 ∧ n ≠ 0 y x1 y x2 son sus raíces. ¿En cuántas unidades es necesario disminuir dichas raíces para que sean simétricas?

4to Año Secundaria

( ) P(x) tiene raíces reales y diferentes ∀ n ∈ N ( ) P(x) tiene siempre raíces imaginarias conjugadas ( ) Para algún n ∈ N, P(x) tiene raíces iguales

a2 + 1 = 0 se 4

diferencien en 5 a) 5/3 d) 5/6

ALGEBRA

x1 =

a+b+c ; 3a + 4 b + c

x2 =

a+b+c a+c

;

x3 = a) 0 d) - 2 S4AL33B

a+b+c , calcule un valor de “m” 2c b) - 1 e) 1

c) 2 “El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

ALGEBRA

4to Año Secundaria 3

ECUACIONES

En la misma obra aparece la solución de la ecuación de cuarto grado, debido a Ludovico Ferrari, discípulo de Cardano. Posteriormente se dieron otras pruebas tanto de la ecuación de tercer grado (F. Viette) como de la ecuación de cuarto grado (R- Descartes)

Ejemplo: hallar las raíces de: P (x) = x – 6x + 11x – 6 Resolución

Cuando un polinomio tiene raíces múltiples el número de raíces y el número de soluciones no coincide.

Factorizando se tiene: P(x) = (x –1) (x–2)(x – 3) Luego las raíces o ceros de P(x). Son: {1; 2; 3}

Ejercicio:

Observación: OBJETIVOS ESPECIFICOS: ESPECIFICOS  Reconocer una ecuación polinomial e indicar la relación existente entre solución y raíz.  Resolver ecuaciones de cualquier grado aplicando los teoremas y técnicas adecuadas. COMENTARIO PREVIO Al - Guarismi, el año 1 100 estudia ecuaciones del tipo: ax2+e=bx, ax2+bx=e , ax2 + bx + c = d; etc y da soluciones para cada caso. La época de oro de las matemáticas Italianas se da en el siglo XVI, con Scipiene del Ferro, Nicola Tartaglia, Girolamo Cardano, Ludovico Ferrari, Frencois Viette, etc, quienes resolvieron las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Hecho de trascendental importancia en esa época. La historia da cuenta de que el profesor Scipiene del Ferro logré resolver la ecuación de tercer grado en 1515, pero no la dio a conocer siguiendo las normas científicas de su época. Aún así, confió sus resultados a Antonio Fiore. En 1541 Antonio Fiore se bate en duelo matemático con el profesor Nicola Trataglia para ver quién resuelve la ecuación de tercer grado, saliendo vencedor este último. Cardano quien era médico, adivino y matemático logra con tretas y promesas, que Tartaglia le hiciera conocer la solución de la ecuación de tercer grado. El mismo año Cardano publica su libro “Arte Mayor” en donde da la solución de la ecuación de tercer grado como suya y menciona que Tartaglia no es sino un redescubridor ya que del Ferro había dado la primera prueba hace 30 años. S4AL33B

Después de los rotundos éxitos de los matemáticos Italianos viene nuevamente un largo periodo de estancamiento en la tarea de la solución de ecuaciones de quinto grado. Recién en 1825, el joven matemático noruego Niels Henrick Abel demostró que la ecuación general de quinto grado no es resoluble mediante la extracción de raíces y las operaciones aritméticas conocidas. Por otro lado en 1929 Evaristo Galois, probaría que las ecuaciones de grado superior a cuatro no son resolubles por radicales y dio las condiciones necesarias y suficientes para que una ecuación de cualquier grado sea resoluble por radicales. Actualmente existen técnicas que permiten resolver ecuaciones de cualquier grado. CONTENIDO TEÓRICO: ECUACION POLONOMIAL EN UNA INCÓGNITA Es aquella ecuación que tiene la siguiente forma general: P(X) = a0 xn + a1xn – 1 + a2 xn – 2.... + an-1 x + an = 0

Una manera práctica de hallar las raíces de un polinomio P(x), es formar la ecuación: P(x) = 0. Así: P(x) =(x –1) (x – 2) (x–3)= 0. CS = {1; 2; 3}

En la ecuación polinomial: x 3 (x – 2)2 (x2 + 9) (x + 3 3 )=0 Señale: a) El número de raíces b) El número de soluciones c) Su conjunto solución

En este ejemplo las raíces del polinomio P (x) coinciden con las soluciones de la ecuación P (x) = 0, lo cual no ocurrirá siempre. Raíz de Multiplicidad “k”: Dado el polinomio P(x) se denomina raíz de multiplicidad “k” (k ∈ Z+) del polinomio P(x). Al número “a”, si y sólo si el polinomio P (x) es divisible entre (x – a)k, pero no es divisible entre (x – a)k+1, es decir si: P(x) = x4 – x3 – 3x2 + 5x – 2

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA Toda ecuación polinomial con cualquier tipo de coeficientes numéricos tiene por lo menos una raíz que generalmente es compleja. Corolario: Toda ecuación polinomial de grado n > 1. Tiene exactamente “n” raíces complejas en general.

Factorizando se tiene: P(x) = (x – 1)3 (x + 2) Luego dada la ecuación polinomial: Luego las raíces de P(x) son: {1; 1; 1; –2} y se dice que:  “1” es una raíz de multiplicidad 3 (raíz triple)  “2” es una raíz de multiplicidad 1 (raíz simple)

P(x)=a0 xn+a1xn – 1+.......+an–1x+an = 0: a0 ≠ 0 Se tiene: P(x) = a0(x – x1) (x – x2)...... (x–xn)= 0 Donde: {x1; x2; x3;..........; xn) son raíces de P(x)

Formemos la ecuación: P(x)=0⇒P(x)=(x– l)3 (x+ 2) =0 Donde: a0; a1; a2;...... : an – 1 ; an : son sus coeficientes Si: a 0 ≠ 0→el grado de la ecuación es“n”(n ∈N) x → es la incógnita RAIZ DE UN POLINOMIO Dado el polinomio P(x). Se denomina raíz o cero del polinomio, al número “a” si y solo si el polinomio P(x) es divisible entre (x - a). El polinomio P(x) tiene una raíz de valor “a” P(x) = (x - a) q(x)

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

⇒ (x – 1)3 = 0 ⇒ x=1

∨

x+2=0 x=–2

Luego: CS {1; –2}

Sea la ecuación polinomial: P(x) = a0 xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 +...+ an – 1x + an = 0 a0 ≠ 0. Cuyas raíces son: {x1; x2; x3;............; xn}

Observación: La ecuación antes expuesta tiene 4 raíces y dos elemento en su conjunto solución.

S4AL33B

TEOREMA DE CARDANO – VIETTE

Se cumple las siguientes relaciones •

Suma de Raíces:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN S1 = x1 + x2 + x3 + ............ + xn = – •

Suma de Productos Binarios:

Observación:

Suma de Productos Ternarios: S3 = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + ...... + xn – 2 xn – 1 xn =

a3 a0

– •

a2 a0

Q: conjunto de los números racionales I: conjuntos de los números irracionales



 Encuentre la ecuación cuyas raíces son los de la ecuación x3 – 2x2 + x – 5 = 0 disminuidas en 2. La ecuación es: (x + 2 )3 - 2(x + 2)2 + (x + 2) - 5 = 0.



01. En: 4x4 + 3x3 – 2x2 + 3x – 1 = 0

S3 S4

 12

02. En: 3x + 10x - 2x - 25x + 15 = 0 Calcular: S10 TEOREMAS SOBRE POLINOMIAL

ECUACIÓN

∈

I ; tendrá como

raíz necesariamente al número (a –

b ).

2. Toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y de grado n ≥ 4: que tenga una raíz de la forma

x=2

Formar la ecuación de menor grado posible sabiendo que una raíz es 5 + 3 y además sus coeficientes son racionales. Dadas la ecuación: x3 + x2 + mx + n = 0. m, n ∈ R Donde: 1 + 7 i es una de las raíces. Hallar La suma de coeficientes de la ecuación.

x=2

a + b , donde: a y b ∈

Q ∧ a , b , ab ∈ I . Tendrá como raíces necesariamente a los números: +

-2

-5

↓

-3

↓

x2 − 2x − 24 = 0

•

Halle la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación: x3 + 2x2 - 5 x 6 = 0 multiplicadas por 3. La ecuación es: x3+2 . 31 x2 + 5 . 32 x - 6 . 33 = 0 x3 + 6x2 - 45x - 162 =O

3. La ecuación de raíces invertidas es decir con raíces:

1 1 1 1  ; ; ; ;   Es: Xn  x 1 x 2 x 3 n− 1 + a nxn + a n− + ao 1x

= 0

Ejemplo: Dada la ecuación: x3 - 5x2 + 7x + 2 = 0. De raíces {a; b; c} entonces la ecuación cuyas

1 1 1   ; ;  es 2x3 + 7x2 a b c 

raíces son: Luego la ecuación es:

5x + 1 = 0

TRANSFORMACIONES DE ECUACIONES

a − b :− a + b : − a

−

•

Sea la ecuación polinomial:

ao x n + a1 x n −1 + a 2 x n −2 + + a n −1 x +an =0 : ao ≠ 0 Con raíces: {x1; x2; x3;................; xn} entonces: 1. La ecuación de raíces aumentados o disminuidos en un valor “k”, es decir con raíces:

{ x1 ± k ;

x 2 ± k ; x3 ± k ;  ; x n ± k }

es:

Encontrar la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación: x5 – 3x3 + 2x2 + 1 = 0, disminuidas en 1.

2. La ecuación de raíces multiplicadas por un valor “k” (k ≠ 0); es decir con raíces: n

n −1

x  x  ao   +a 1    k     k 

TEOREMA DE BOLZANO Dada la ecuación polinomial F (x) = 0. Donde F(x) es una función continua definida en [a; b] Si F(a). F

(b)

< 0. Entonces existe al menos una

solución real: x0 ∈ < a; b > /

x  + +a n −1    +a n =0  k 

F(a)

O también:

F( x0 ) = 0

1 + 2 + a oxn + a 1 k1 x n − a 2k 2x n − + a n kn = 0

a o ( x k ) +a 1 ( x  k ) n

n− 1

+ +a n −1 ( x k ) +a n =0

Ejemplos:

Ejemplos: S4AL33B

Encuentre la ecuación, cuyas raíces son las de la ecuación: x2 – x – 6 = 0. Multiplicadas por 2 La ecuación es: x2 - 21 x - 22 . 6 = 0

x3 + 4x2 + 5x − 3 = 0

1. Toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y de grado n ≥ 2. Que tenga una raíz de la forma: “a + b ”, donde: a y b ∈ Q (b > 0) ∧

∈Q

Hallar (a + b) si su raíz es: 3 +

Ejemplo:

Calcular:

Efectuando se obtiene: x3 + 4x2 + 5x – 3 = 0. También se puede usar el siguiente método:

En la siguiente ecuación: a, b

•

La ecuación es: (x – 1)2 – 2(x – 1) – 8 = O

P( x ) = x 3 −7 x 2 +ax +b =0 .

an Sn = x1 x2 x3 .............. xn – 1 xn =(-1)n a0

4to Año Secundaria

 Halle la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación: x2 – 2x – 8 = 0, pero aumentadas en 1.

Ejemplos:

Producto de Raíces:

ALGEBRA

3. Toda ecuación polinomial de coeficientes reales y de grado n ≥ 2 que tenga una raíz compleja de la forma, a + bi. Donde a y b ∈ R (b ≠ 0). Tendrá necesariamente como raíz al complejo conjugado de dicha raíz es decir otra raíz será: a - bi

a1 a0

S2 =x1x2+x1 x3 + x2 x3 +...... + xn -1 xn = –

•

4to Año Secundaria

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S4AL33B

a F(b)

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

a) 1 d) -3/2

b) 2 e) 4/3

c) -2

d) |b| ≤ 2a

02. Sean: a, b, y c raíces de la ecuación: x3 – 4x2 + 2x + 4 = 0 2 b2 c2 Calcular: a + +

a) 5 d) - 7

c) - 4

03. En la ecuación: x - 63x + α = 0. Determinar un valor de α para que una de las raíces sea el doble de otra. 3

b) 180 e) N.A.

tenga el máximo valor.

a) l

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

05. Hallar la relación que debe existir entre los coeficientes de la ecuación: ax3 + bx2 + cx + d = 0: a ≠ 0 . Si una de sus raíces es el negativo de la otra a) ab = cd S4AL33B

b) ac = bd

c) |b| ≥ 2a

e) 2c=a+ b

una raíz de multiplicidad 2 y ( sea una raíz triple. a) 5

b) 6

d) 8

e) 9

2 )

c) 7

c) 400

04. En la ecuación polinomial: P(x) = x3 + (m + 2) x 2 + (m2 – 3) x + m 2 + 2 = 0 De raíces x1 ; x2 ; x3. Calcular el valor de “m” de tal manera que la expresión: A = 2 + x 2 +x 2 x1 2 3

b) |b| ≤ a

07. Indicar el menor valor que debe tener el grado del polinomio P(x). Con coeficientes reales, tal que: (2 + 3 ) Sea una raíz simple, (3 + 2i) sea

b) - 5 e) 2

a) 162 d) 800

ax5 + (b-ac)x4 - bcx3 - bx2-(a-bc)x + ac = 0: (a>0) ¿Qué condición deben cumplir a; b y c para que las otras raíces sean reales? a) |b| ≥ a

4to Año Secundaria

08. Hallar un polinomio mónico P(x) con coeficientes enteros y de menor grado posible 3 una de cuyas raíces sea: 2 + 3 . Indicar la suma de los coeficientes de este polinomio.

Además: F(m) = F(n) = F(p) = 0 Calcular: a) - 5 d) - 2

n p    np +mp +mn    

b) - 1 e) 4

a) 17 d) -18

b) 18 e) -17

−∞; −

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 05

α∈

−∞;

01. Hallar el valor de “k” si las raíces de la ecuación: x3 - 9x2 + kx - 24 = 0 Están en progresión aritmética.

α∈

a) 12 d) 26

b) 13 e) 28

c) 24

α∈R

−∞;

d) y 3 − 2 y 2 − y +1 =0 e) y 3 −2 y 2 +y − 1 =0

c) - 0,2 08. ¿Cuál será la ecuación cúbica cuyas raíces sean el doble de los recíprocos de cada una de las raíces de la ecuación polinomial? Ax3 – Bx + C = 0 ; C ≠ 0 a) b) c) d) e)

1 3

09. El producto de los coeficientes de la función polinomial de menor grado que pasa por los puntos: (0; 0); (1; 1) ; (2; 0) y (3; -1) es:

1 3 1 3

Cx3 - Bx + A = 0 Cx3 + 2Bx2 + 4A = 0 Cx3 + 2Bx2 – 4A = 0 Cx3 – 2Bx2 + 8A = 0 Ax3 – 2Bx + 4C =O

a) -15/4 d) -15/9 −{0 }

10.

b) -14/9 e) -16/9

c) 5/9

Sabiendo que: a b y c son raíces de la ecuación: x3 - 7x2 + 5x + 6 = 0 Calcular: M = (a+b-c)-1 +(b+c- a)-1 + (c + a - b)-1

c)ad=bc “El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) y 3 − 2 y 2 + y + 1 = 0

1 −{−4} 3

α∈

e) -1

c) y 3 − y 2 − y −1 =0

05. Sea la ecuación polinomial: P(x) = ax3 + x2+ x + b = 0: a ≠ 0 Determinar los valores de “a” de modo que P(x) admita una raíz real “r” de multiplicidad 2.

e) - 24

d) - 3

c) 5

a) y 3 − 2 y 2 + y −1 =0

c) 19

b) 0,4 e) 5

−∞;

b) 4

07. Se sabe que: x1 ; x2 y x3 son las raíces de la ecuación. x3 – x2 – 1 = 0. Encontrar una nueva ecuación cuyas raíces son: x1 + x2 ; x2 + x3 ; x3 + x1

04. La ecuación: x4 – 12x – 5 = 0. Contiene 2 raíces cuya suma es 2. Calcular la suma de las inversas de las otras dos. a) 0,2 d) - 0,4

a) 3 c) 2

03. Si: (2 + i) es una raíz de multiplicidad dos del siguiente polinomio: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 25 Hallar: a + b + c + d. Además: a ; b ; c ; d ∈ R.

α∈

b) 24 e) - 34

06. Si la ecuación: x + mx3 + 2x + n = 0 m ∧ n ∈ R; admite una raíz triple. Hallar: m2 + n3 4

F m

a) 34 d) 62

02. Sea el polinomio: F(x) = x + 3x – 9

06. Sabiendo que: x = c es una raíz de la ecuación:

01. Sean: x1; x2; x3 raíces de la ecuación: 2x3 – x + 5 = 0 x 3 +1 1 Calcular: +x1 x 2 x 3 x1 −3

ALGEBRA 3

d) a + b = c + d e) a+d=b+c PRÁCTICA DE CLASE

S4AL33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 31/55 d) 29/155

b) 9/55 e) 27/55 5

3 2

c) 7/155 4

11. Si la ecuación: x - 10a x + b x + c = 0 tiene 3 raíces iguales. Hallar el valor de: ab4 - 9a5 a) c d) c2

b) - c5 e) 1

c) 0

12. Encontrar un polinomio mónico en "x" de coeficientes en Z que acepte a 3 2 −3 3 como raíz. Hallar la suma de coeficientes de dicho polinomio. a) 165 d) 174

b) 168 e) 162

c) 170

13. Formar la ecuación de menor grado posible con coeficientes racionales, en la que una de sus raíces sea. 3 +i 2 a) x4 – 2x2 + 25 = 0 b) x4 + 2x2 + 25 = 0 c) x4 + 2x2 + 5 = 0

d) x4+2x2-25=0 e) x4+x2+25=0

14. Calcular la suma de las raíces de: x 3+2x2=x – 1 a) 2 d) – 1

b) –2 e) 1

c) 3

15. Calcular el producto de las raíces de: 2x3 + 6x2 = 5x + 8 a) –1 d) – 4

b) –2 e) –6

c) 4

16. Resolver: x3 + 2x2 – 11x = 12. E indicar una de sus raíces. a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

c) 3

TAREA DOMICILIARIA S4AL33B

4to Año Secundaria 01. Si: F( x ) =

1 3

4to Año Secundaria 2

M=(a -b) (b - c) (a - c)

)

−1

y además a, b y c

son raíces de la ecuación: x3 - 3x - 1= 0. Calcular S = F(a) + F(b) + F(c) a) 1 d) 9

ALGEBRA

b) 3 e) N.A.

c) 1/3

02. Halle las raíces r1 , r2 , r3 , r4 de la ecuación:

a) 4 p 3 + 27 q 2

09. Dada la función: P(x) = x4 + 2x3 + x2 - 8 Decir verdadero (V) o falso (F) en:

I) Tiene un mínimo relativo en x = -1 II) Tiene 2 raíces reales III) Su menor raíz está ubicada en <-3;2>

−4 p 3 −27 q 2

c) p 3 +2 q 4

d) −p 3 +9 q 2

e) 4 p 3 −27 q 2

a) VVF d) VVV

b) VFV e) FFV

c) VFF

4x4 - ax3 + bx2 - cx + 5 = 0 a) 1/2 b) 1/4 c) 5/4 d) 1 e) N.a. 03. Halle las raíces r1 , r2 , r3 , r4 de la ecuación: 4x4 - ax3 + bx2 - cx + 5 = 0 Sabiendo que son reales positivos y que:

r r r + 2 + 3 + 4 =1 2 4 5 8

b) 1/4

d) 1

e) 2

c) 5/4

I) Para: x = 3: P(x) =PI (x) = PII (x) = PIII (x) = 0y PIV (x) ≠ 0 II) Para: x = - 2 : P(x) = 0 : PI (x) ≠ 0 III) Para: x = 4 : P(x) = 0 : P I (x) =0 : PII (x) ≠ 0 IV) P(2) = - 32 Dar como respuesta el valor de P(5) b) 224

d) - 32

e) - 224

e) 32

05. Sean a . b y c raíces de la ecuación: x3 + px + q = 0 (a, b, c diferentes) expresar en términos de p y q a:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

a) < 3/2; 7/4 > d) <5/4; 3/2>

a) VFF d) FFF

b) FFV e) VVV

c) FVF

07. Si: P(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)+(x - 2)(x - 4) Indicar la alternativa más correcta:

04. Determinar el polinomio P(x) de grado 7. Sabiendo que:

a) - 1 12

06. Sobre la ecuación: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + c = 0 Donde: 2a2 < 3b ∧ {a; b; c; d; e}⊂ R Indicar verdadero (V) o falso (F) I) Todas sus raíces son reales II) Al menos dos raíces son complejas III) Una raíz es real

Indique el valor de: r4 a) 1/2

10. La única raíz real de: x5 + x - 10 = 0 se encuentran en:

a) b) c) d)

Tiene 3 raíces reales Tiene 3 raíces reales negativas Tiene 3 raíces reales positivas Tiene 2 raíces reales positivas y una es negativa e) N.A

08. Sea el polinomio: P(x) = x3 - 3x2 + 5 Indicar si es verdadero o falso: I. Sólo tiene una raíz real positiva II. Tiene 2 raíces complejas III. Tiene una raíz comprendida entre <-2; 1> IV. Tiene un mínimo absoluto en x= 2 a) VVVF d) FVVF

S4AL33B

b) VFVF e) FFFV

c) VFFF

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) < 7/4; 2 > e) < 1; 5/4 >

c) <1;2>

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4to Año Secundaria

ALGEBRA

4to Año Secundaria

SOLUCIONARIO Nº 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Ejercicios Propuestos 01 C C B D A A E A D A

02 C C D D D C C B B B C B

03 C B E B E A B D B B C A D D A C A D B E

04 C A B A C A D B A A E E E E C B D B C D

05 D A D D D A B D E D B E A B C C

S4AL33B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

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