COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN IV
DESIGUAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS: ESPECÍFICOS Conoce los diferentes axiomas y teoremas sobre los números reales, respecto a la relación de orden entre ellos. Sabe operar adecuadamente con intervalos. Forma una base matemática para el estudio de las inecuaciones. COMENTARIO PREVIO: La Resolución de Ecuaciones lineales y cuadráticas, la congruencia de figuras geométricas y las relaciones entre las diversas funciones trigonométricas son temas relacionados con la igualdad. A medida que avancemos en el desarrollo de las ideas matemáticas, veremos que las desigualdades son tan importantes en las aplicaciones de la matemática como las ecuaciones. Una desigualdad está involucrada cuando estamos mas interesados en el tamaño aproximado de una cantidad que en su valor exacto; por ejemplo, si decimos que el diámetro “d” de un planeta es aproximadamente 18 700 millas, queremos decir que: 18 650< d < 18 750. Si realizamos un análisis nos daremos cuenta que la medición absolutamente exacta de cualquier cantidad física; tal como una distancia, un peso, una velocidad, etc. ... es completamente imposible, la precisión depende de los instrumentos de medida y tales instrumentos pueden usarse sólo para medir dentro de ciertas tolerancias especificadas, nunca exactamente.
4to Año Secundaria
52
ÁLGEBRA
4to Año Secundaria
Por todo lo expuesto concluimos que es necesario un buen entendimiento básico de las desigualdades. Nos ocuparemos a continuación de las desigualdades entre números reales y enseguida desarrollaremos algunos conceptos y leyes fundamentales que conciernen a ellos.
DEFINICIÓN DE < ; >
7. Sí a < b y c < 0, entonces a.c > b.c
Dados a, b, c ∈ R se asevera:
LEY DE TRICOTOMIA
CONTENIDO TEÓRICO:
Ejemplos:
RELACIÓN DE ORDEN
Es una comparación que se establece entre dos elementos de un conjunto que pertenece al campo de los números reales. El campo real es un CAMPO ORDENADO. Símbolos de la relación de orden:
>: “mayor que” < : “menor que”
(estrictos)
≥ : “mayor o igual que” ≤ : “menor o igual que”
(no estrictos)
DESIGUALDAD Es una relación de orden que se establece entre dos números reales de diferente valor. Existen dos tipos de desigualdades: 1. Desigualdad Absoluta: Es aquella que se verifica para todos los valores reales que se asignen a sus variables. Ejemplos: * x + 6 > x + 2; se verifica ∀ x ∈ R 2 * x + 1 > 0; Se verifica ∀ x ∈ R 2. Desigualdad Relativa: Es aquella que se verifica sólo para cierto conjunto solución de sus incógnitas. Ejemplos: * 2x – 3 > 5; se verifica ⇔ x > 4
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
1. a < b si y sólo si b – a es positivo. 2. a > b si y sólo si a – b es positivo.
7 < 9 porque 9 – 7 = 2 y 2 es un número real positivo.
– 6 < –5 porque –5 – (–6) = 1 y 1 es un número real positivo.
Para cualquier número real “a”, una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple:
a <0
De la definición también se concluye:
a =0
v
v
a >0
Corolario: Dado dos números reales a y b; sólo se puede establecer una de las tres relaciones.
a <b
v
a =b
v
a >b
Propiedades 1.
– 3 > –9 porque –3 – (–9) = 6 y 6 es un número real positivo.
Si a ambos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma cantidad, entonces el sentido de la desigualdad no se altera. Sí a > b → a ± n > b ± n
a > 0 si y sólo si a es positivo.
* 3x – 2 ≤ x + 4; se verifica ⇔ x ≤ 3 S4AL34B
51
Aplicaciones:
a < 0 si y sólo si a es negativo.
x+5< 9⇒ x< 9–5
⇒x < 4 y – 11 > 5 ⇒ y > 5 + 11 ⇒ y > 16
DEFINICIÓN DE ≤; ≥
2. Si a ambos miembros de una desigualdad se le multiplica o divide por una misma cantidad positiva, entonces el sentido de la desigualdad no se altera.
Dados a, b ∈ R se asevera: 1. a ≤ b si y sólo si a < b ó a = b 2. a ≥ b si y sólo si a > b ó a = b Las proposiciones a < b, a > b, a ≤ b y a ≥ b se denominan desigualdades. En particular, a < b y a > b se llaman desigualdades estrictas, mientras que a ≤ b y a ≥ b se llaman desigualdades no estrictas. TEOREMAS: Dados a, b, c, d ∈ R 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Sí a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0 Sí a > 0 y b > 0, entonces a .b > 0 Sí a < b y b< c, entonces a < c Sí a < b, entonces a + c < b + c Sí a < b y c < d, entonces a + c < b + d Sí a < b y c > 0, entonces a.c < b.c
S4AL34B
Si: a < b ∧
an < bn a b n>0⇒ < n n
Aplicaciones: 3 x > 75
y 8
<2
⇒ ⇒
x>
75 3
y < 2 (8)
⇒ x > 25 ⇒ y < 16
3. Si a ambos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por una misma
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN cantidad negativa, entonces el sentido de la desigualdad se invierte.
Sí a < b ∧ n < 0
an > bn ⇒ a >b n n
Aplicaciones: –2 > 10
x −5
⇒
x<
10
⇒
−2
< 7 ⇒ x > 7 (-5)
⇒
x< - 5
4to Año Secundaria
51
8. Si se eleva ambos miembros de una expresión o un mismo exponente impar entonces el sentido de la desigualdad se conserva. Si a > b ⇒ a 2 n +1 > b 2 n +1
Son intervalos cuyos extremos son números reales (finitos) y a su vez serán:
5. Si se resta miembro a miembro desigualdades de sentidos contrarios, entonces se conserva el sentido de la desigualdad que hizo de minuendo.
-∞
⇒
a 2n > b 2n
a
+∞
b
7. Si se divide miembro a miembro desigualdades de sentidos contrarios y con todos sus miembros positivos, entonces se conserva el sentido de la desigualdad que hizo de dividendo.
a b Si a > b > 0 ∧ 0 < c < d ⇒ > c d
Se denomina así cuando por lo menos uno de los extremos es el ideal +∞ ó -∞. Estos son de la forma: 1.
x
Números Negativos
+
En dicho intervalo extremos “a” y “b”.
+∞
x<0
x
3. Sea I un subconjunto de IR (I ⊂ IR). Decimos que I es un intervalo, si y sólo sí es el conjunto de todos los número reales que están comprendidos entre dos extremos (que pueden ser finitos o ideales).
+∞
a
-∞
Si: x ∈ <a; +∞> ⇒ x > a
no están incluidos los 2.
3. Intervalo Semi – abierto Mixto
x
Semiabierto por la izquierda
INTERVALOS
-∞
a Si: x ∈ [a; +∞> ⇒ x ≥ a
x -∞
a
+∞
b
3.
Si: x ∈ <a; b] ⇒ a < x ≤ b
Si I es un intervalo, puede ser: acotado o no acotado “El nuevo símbolo de una buena educación....”
+∞
b
Si: x ∈ <a; b> ⇒ a < x < b
Números Positivos
0
a
-∞
x>0
-∞ ac < bd
B. Intervalos No Acotados
2. Intervalo Abierto
-
+∞
b
Si x ∈[a; b> ⇒ a ≤ x < b En dicho intervalo sólo se incluye el extremo “a”.
En dicho intervalo se incluyen los extremos “a” y “b”.
Es una recta geométrica donde se establece una biyección, es decir a cada número real se hace corresponder un único punto de la recta y para cada punto de la recta sólo le corresponde un único número real.
a
-∞
Si: x ∈ [a; b] ⇒ a ≤ x ≤ b
RECTA NUMÉRICA REAL
6. Si se multiplica miembro a miembro desigualdades del mismo sentido y con todos sus miembros positivos, entonces se conserva el sentido de la desigualdad.
S4AL34B
x
x
a–c>b–d
⇒
Semi-abierto por la derecha
1. Intervalo Cerrado
Si: a < b; c < d ⇒ a + c < b + d
Si: 0<a<b; 0 < c < d
En dicho intervalo sólo se incluye el extremo “b”.
A. Intervalos Acotados
9. Si se eleva ambos miembros de una desigualdad a un mismo exponente por entonces se conserva el sentido de la desigualdad siempre que ambos miembros sean positivos.
Si a<b y a > 0 ∧ b > 0
⇒
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x > -35
4. Si se suma miembro a miembro desigualdades del mismo sentido, entonces el sentido de la desigualdad se conserva.
Si a > b; c< d
ÁLGEBRA
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S4AL34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
+∞
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
x +∞
-∞ Si: x ∈ <-∞; a> ⇒ x < a
4to Año Secundaria
51
Es decir:
4. Los intervalos son sumamente útiles:
A ∪ B = {x ∈ IR / x ∈ A ∨ x ∈ B}
Ejemplos:
El conjunto solución de la inecuación: 2 2 +3x – x ≥ 0 es el intervalo cerrado: x ∈ [1; 2]
+∞ Si: x ∈ <-∞; a] ⇒ x ≤ a
b) Para expresar el dominio y rango de una relación y de una función de R en R. Ejemplo:
5.
y
x +∞
-∞
A ∩ B = {x ∈ IR / x ∈ A ∧ x ∈ B} A – B = {x ∈ IR / x ∈ A ∧ x ∉ B}
C A = A C = A' = {X ∈ IR / x ∈ IR ∧ x ∉ A} Aplicación: Sean los conjuntos (intervalos)
B = {x ∈ IR / - 8 ≤ x < 12}. Hallar: A ∪ B , A ∩ B , A – B , B – A , A’ , B’
4 7
x
El dominio de la función f(x) es: x ∈ <0; 7] El rango de f(x) es: y ∈ <0; 4]
1.
La notación ∞, que se lee infinito no es un número real, sino un símbolo que se utiliza para indicar que un intervalo es ilimitado por la derecha (+∞) o por la izquierda (– ∞)
2. Un intervalo abierto puede simbolizarse de 2 formas: <a; b> =] a; b [ Un intervalo cerrado sólo se simboliza de 1 forma: [a; b] S4AL34B
Ejemplo: Sí x ∈ <-2; 3] , ¿entre qué valores estará (x + 2)? Si:
x ∈] –2; 3[ ⇒
0 < x + 2 < 5 (Infimo) cota inferior
-∞
-2
•
El número 3 es una cota superior del intervalo <-2, 3>, porque x < 3, ∀ x ∈ <-2,3>
•
El número 3,002 es cota superior del intervalo <-2, 3>, porque x < 3,002 ∀ x ∈ <-2, 3>, etc. Todos los números mayores o iguales a 3 son cotas superiores.
-1
Un subconjunto S no vacío de números reales está acotado superiormente si existe un número M, tal que:
x≤M , ∀x ∈ S
Definición 2: Un subconjunto S no vacío de números reales está ACOTADO INFERIORMENTE, si existe un número m, tal que:
se llama "Cota Superiores" S4AL34B
1/2 conjunto de cotas superiores
Definición 1:
(Supremo) cota superior
+∞
3 conjunto de cotas superiores
Cota superior, Cota Inferior, Supremo, Ínfimo, Máximo y Mínimo de un Conjunto
OPERACIONES CON INTERVALOS
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
1) En el intervalo A = <-2, 3> el extremo superior 3 o cualquier número mayor que 3 es una cota superior del intervalo A. Ver el siguiente gráfico:
2) En el intervalo [-1; 1/2], el extremo superior 1/2 o cualquier número mayor que 1/2 es una cota superior del intervalo [-1; 1/2]
ACOTACIONES
c) Para “ACOTAR”
M es cota superior S ⇔ x ≤ M, ∀ x ∈ S
A = {x ∈ IR / x ≤ 5}
f(x)
Si: x ∈ <-∞; +∞> ⇒ x ∈ R
OBSERVACIONES IMPORTANTES
4to Año Secundaria
Puesto que los intervalos en IR son conjuntos especiales de los números reales, podemos operar con ellos. Sean A y B intervalos, se definen y se denotan:
x -∞
ÁLGEBRA
3. Si el extremo de un intervalo es infinito, este siempre irá como ABIERTO. [a; +∞> ; <a; +∞> ; <-∞; a] ; <-∞; -a>
a) Para expresar el conjunto solución de inecuaciones. Ejemplo:
4.
52
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
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51
Un número se llama INFIMO de un conjunto, si éste es el mayor de las cotas inferiores.
m≤x, ∀x∈S se llama "Cota Inferiores"
1 1) En el intervalo: A = − ; 3 , el ínfimo 2 es –1/2.
m es cota inferior de S ⇔ m ≤ x, ∀ x ∈ S
2) En el intervalo: B = [5; ∞>, el ínfimo es 5.
Ejemplos: 1) En un intervalo A = <-3; 2], son cotas
inferiores los números –3, -3,002; -3,5; -4, etc. Todos los números menores o iguales que –3 son COTAS INFERIORES. Pues:
-3 ≤ x, ∀ x ∈ <-3; 2]
-3,002 ≤ x ∀ x ∈ <-3; 2]
-3
OBSERVACIONES: máximo y mínimo valor que toma un conjunto, respectivamente. B. Un conjunto de números está ACOTADO si y sólo si está acotado superior e inferiormente. Ejemplos: • El intervalo: A =<–2;7> es ACOTADO.
2
• El intervalo: B = < 8; +∞> no es ACOTADO. C. El supremo y el ínfimo de un conjunto pueden ser o no un elemento del conjunto.
Definición 3:
TEOREMAS ADICIONALES
Un número se llama SUPREMO de un conjunto, si éste es la menor de las cotas superiores.
Sean a, b, c, d, x ∈ IR
Ejemplos:
1. ∀ a ∈ IR: a2 ≥ 0
1) En el intervalo: A =
1 − ;3 , el 2
supremo es 3. 2) En el intervalo: B = supremo es 5.
−∞ ;5
S4AL34B
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Si a y b tiene el mismo signo, entonces:
1 1 1 a<x<b ⇔ > > a x b 8.
+
∀ai ∈IR , i =1; 2; 3;...; n m
16.
a <x <b
a 2 < x 2 < b2 ; Si 0 < a < b ⇒ 0 ≤ x 2 < max [a 2 ; b 2 ] ; Si a < 0 ∧ b > 0 2 2 2 ; Si a < b < 0 b < x < a
2. 0 ≤ a < b ∧ 0 ≤ c < d ⇒ 0 ≤ ac < bd 3. ab > 0 ⇔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) 4. ab < 0 ⇔ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0)
, el 5.
a >0 ⇔
1 >0 a
1 <0 6. a < 0 ⇔ a “El nuevo símbolo de una buena educación....”
9.
a+
10.
b+
1 a 1 b
≥2
; ∀ a ∈ IR +
≤2
; ∀ b ∈ IR −
a m + bm a + b > ; 0 < a < b; “m” no 2 2 es fracción propia positiva. PRÁCTICA DE CLASE
01.
Marque verdadero (V) o falso (F): I. 2 ≤3 III. -1 < 0
A. El supremo y el ínfimo representan al
conjunto de cotas inferiores
Definición 4:
7.
Ejemplos:
Es decir:
ÁLGEBRA
52
a) FFVV d) VVVF 02.
b) VVVV e) FFFF
0≥0 π ≥ 3,14 c) FFVF
Siendo x >0; y > 0; z > 0, indicar el menor valor de la expresión:
( x + y)( x + z ) y + z ) xyz
11. a2 + b2 ≥ 2ab; ∀ a, b ∈ IR 12. a2 + b2 + c2 ≥ ab+ ac+ bc;∀ a, b, c ∈ R
a) 1 d) 8
13.
II. IV.
b) 4 e) 8/3
c) 6
a +b 1 ≥ ab ≥ ; ∀ a , b ∈ IR + 3. Siendo a > 0, b > 0; c> 0; d >0, indicar la correcta afirmación acerca de λ siendo: 1 1 2 + 4 a b abcd λ= 2 a +b +c +d a +b +c 3 1 ≥ abc ≥ ; ∀ a , ba), λ=1/4 c ∈ IR + b) λ ≥ 4 c) λ ≤ 1/8 1 1 1 3 d) λ ≥ 1/4 e) λ < 1/2 + + a b c 04. Si:] x; y [ ⊂ ] a; b [, entonces es verdad 3 que:
14.
a +b +c +d 4 ≥ abcd 4
a) x ≤ a ∧ y ≤ b b) x ≥ a ∧ y > b c) x ≥ a ∧ y ≤ b
; ∀ a , b, c, d ∈IR +
15.
a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n n S4AL34B
≥ n a 1.a 2 .a 3 ... a n ; “El nuevo símbolo de una buena educación...."
d) x ≥ a ∧ y ≥ b e) x ≤ a ∧ y ≥ b
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4to Año Secundaria
05. Hallar el menor número racional “m” donde ∀ x ∈ [2; 4] satisface la desigualdad:
x +3 x −5
11.
≤m
a) -2/3 d) -7
b) -1/3 e) -6
c) -5/3 12.
07.
b) -2 e) -1
08.
c) 0
01.
b) 9 e) 0
02.
c) 12
Si la unión de los intervalos:
Si: x2 - 6x + 8 < 0 y demás consideraremos: λ=x2- 6x + 8, entonces se puede afirmar que:
Es: [p + q; m [ ∪ ] p - q; n]
a) λ e cualquier real negativo b) -1 < λ < 0 c) -1/2 ≤ λ<0 d) -1 ≤ λ < 0 e) -1 < λ ≤ 0
a) -11 b) 11 d) -1 e) 0 Sean los intervalos:
ax 2 + (1 − 2a ) x + a
Calcular: “p + q + m + n”
03.
A = [-6; 5]
∈ R;
b) [1/4; +∞[ e) ]1/4; +∞[
∀x
c) [2; -3[ 04.
Sea S el área de un triángulo de lados a; b y c. ¿Qué podemos afirmar de λ si:
λ=
a 2 + b2 +c2 3.S
a) λ ≤ 4
b) λ >4
d) λ ≥ 4
e) λ < 1
S4AL34B
? 05. c) λ < 4
c) 1
06.
b) 11
d) 13
e) 14
07.
09.
a) 1 d) 4
11.
Para los reales afirmamos: I. II.
2
Si a > 0 a > 0 Si a < b ac < bc
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
Si a < b a + c < b + c Si a < 0 -a > 0 (a + b)2 > 2 ab
a) Sólo I
b) Sólo II
d) Todas
e) N.A.
3 x − 4m . Tenga m
como solución ]3; ∞[
13.
c) Sólo III 14.
Si: a < 0 < b, afirmamos
d) ab > 0 e) ab < 0
b) 5/17 e) 9/13
c) 19/14
Hallar el complemento del solución luego de resolver: (x - 5) (x - 3) ≤ (x - 4) (x - 3) a) [3; +∞[
b) ]-∞; 3[
d) ]-∞; 4[
e) ]-∞; -3[
Calcule el conjunto desigualdad:
conjunto
c) [4; +∞[
solución
de
la
x x x x + + + > x − 17 2 3 4 5 a) [-60; +∞[
d) ]-60; 0[
b) ]-60; +∞[ c)]-∞; -60[
e) x ∈ φ
15. Resolver: 3x+4 ≤ 2x+10 < 5x+8 a) [2/3; 6]
b) φ
d) ]2/3; 6]
e) ]2/3;6[
c) IR
Hallar los valores de “m” para los cuales “x” es un número positivo, si x = m - 2 a) m > 2 d) m ≤ 2
10.
¿Qué valor deberá tomar m > 0 para que la
a) 6/13 d) -17/14
I. a2 > ab II. a – b –1 < 1 III. a–1 < b –1 IV. a2 < b2 ¿Cuántas son verdaderas? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 08. Si: a/b < 0, entonces se cumple que:
c) 12
c) 3
c) Sólo I
Son verdaderas:
Si la intersección de los intervalos: A = ]-5; -1[ U ]2; 11[ B = [-3; 4] Es [a; b [ U ]c; d]. Calcula “a + b + c + d” b) 2 e) 5
12.
Para reales afirmamos: I. II. III.
B = ]-2; 9[
a) 10
-1
desigualdad: 2x+3 <
b) I y II e) N.A.
a) a < 0 y b > 0 b) a > 0 y b < 0 c) a > b
Calcular la suma de los valores enteros de A∩B
∈R a) ]-∞; 2[ d) [1; +∞[
c) ]-4;8]
p = [-11; 1[ ; q = ]3; 11]
09. Sabiendo que a > 0, indique el intervalo al que pertenece, conociendo:
10.
b) ]4; 8[ e) [-4; 8[
Si 0 < a < b 0 < b < a
a) Todas d) I y III
Sean los intervalos: C = [-4; 4]; D = ]4; 8[ .Calcular : C ∪ D a) [-4; 4] d) [0;8]
4to Año Secundaria -1
Son verdaderas:
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 01
Hallar el menor número M con la propiedad de que para todo x ∈ R se cumpla: 1 +6x - x2 ≤ M a) 11 d) 10
III.
1 A = / n ∈ Ζ+ n
Hallar el menor número “m” con la propiedad 7 +12 x −2 x 2 ≤ m, ∀x ∈ℜSea S
ÁLGEBRA
52
Determine si existe el supremo y el ínfimo de A y establecer si pertenecen o no al conjunto A.
06. Dar el mayor número entero M que satisface la desigualdad: 2x2 - 4x +1 > 2M, ∀x ∈ R (Tal desigualdad la llamaremos absoluta) a) 3 d) 1
Dado el conjunto:
51
b) m < 2 e) m < -2
TAREA DOMICILIARIA
c) m > -2 01.
Resolver: 2x + 4 ≤ x +12 a) ]-∞; -8] d) [8; +∞[
b) ]-∞; -16] e) [-8; +∞[
E = [-4; 5[ F = ]-2; 5]
c) ]-∞; 8]
Es: [a; b]. Calcular “ab”
Resolver: (x - 5) (x - 2) ≤ (x + 3) (x + 1) a) x ≥ 7 d) x ≤ 7
Si la unión de los intervalos:
b) 7/11 ≤ x c) x ≤ 7/11 e) N.A.
02.
a) -20
b) -10
d) 8
e) 25
Si: a > b > 0 y M = [-2a; 2a] , N = [-2b; 2b] Indicar M ∩ N
S4AL34B
c) 2
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
03.
a) [-2a ; 2b]
b) [-2b; 2a]
d) [-2b; 2b]
e) [-2a; 2a]
c) [-a; b]
a) [-12; -3]
b) [-3; 10]
d) [-3; -1]
e) [-9; 10]
A = ]-∞; ∞[ B = [-3; 4[ C = ]-1; 3[ .
Calcular: A ∩ B ∩ C
a) ]-1; 4[
b) [-3; 3]
d) ]3; 4[
e) [-3; -1[
a) Si: b) Si: c) Si: d) Si: e) Si: 06.
a=b a = -b a = b ∧ a = -b a=b=0 a = b ∨ a = -b
Si se sabe que 0 < x < 1; Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? a) b) c) d) e)
07.
a -b =0 a 2 - b2 = 0 a 2 - b2 = 0 a 2 - b2 = 0 a 2 - b2 = 0
ÁLGEBRA
52 12.
Si: “x” es entero. ¿Qué tomar “x” en:
x +1 3
a) 1 d) -6
>
¿Cuántos números enteros satisfacen el sistema: 5x - 6 > 3x-14
7x + 6 < x + 12 2
x −1 5
b) -3 e) 11
a) 3 d) 6
? c) 0
13.
Resolver el sistema:
8x-5 < Si
a) -11 d) -14 5
d) x > 1-
5
b) x < 1 + c) x ∈ φ
5
e) x < 1-
5
14.
b) [8; +∞[ e) [2; +∞[
b) -12 e) -15
5x+4 > 10 4x+3 > 8 3x+2 > 6 c) [-8; +∞[
c) -13
¿Cuántos valores enteros satisfacen el siguiente sistema?
Resolver el sistema: 2x+4 ≤ 3x+6 ≤ 5x-10 a) [-2; +∞[ d) φ
15x − 8 2
Y dar como respuesta la suma de todos los valores enteros de “x”
a = 1 -
a) x > 1 +
c) 5
2(2x-3) < 5x-3/4
5
11.
b) 4 e) 7
a) 14 d) sólo 1
6x-5 < 12 7x-6 < 14 8x-7 < 16
b) 8 e) Ningún valor
INECUACIO OBJETIVOS ESPECIFICOS: ESPECIFICOS
valor no puede
x +a 09. Resolver: a , >1 a +1
10.
4to Año Secundaria
c) 4
Saber resolver inecuaciones polinomiales en base a los teoremas sobre desigualdades y al método de los intervalos. Generar las condiciones para un estudio adecuado del dominio y rango de las funciones. Reconocer y saber resolver inecuaciones fraccionarias, irracionales, etc. COMENTARIO PREVIO: Este capítulo nos ayudará a desarrollar aún más la capacidad de análisis, pues la diversidad de problemas que se presentan aquí requiere que el estudiante sea analítico, pues de esa manera lograremos determinar la solución respectiva al problema. En algunos casos las soluciones de las inecuaciones se dan en gran cantidad, por lo que serán agrupadas en intervalos. ESQUEMA Polinomiale ss Polinomiale Ine cuac ione ss Ine cuac ione
Resuelve el sistema y marque el intervalo solución:
Frac cionarias Frac cionarias Irrac ionale ss Irrac ionale
2 ≤ 5-3x < 11 2 > -3-3x ≥ -7
0 < x 2 < x3 < 1 0 < x 3 < x2 < 1 0 < 1-x < x < 1 0 < x-1 < x < 1 0 < 1-x < x < 1
Dados los números racionales U, V y W que satisfacen:
U > W, entonces se cumple: V S4AL34B
08.
c) ]-1;3[
Para los números reales “a” y “b”. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera? 2
d) U + V > W
U +V b) > W + 1 e) U + W > V V
c) [3; 13]
Sean los intervalos:
2
51
c) V > U
N = [-12; -1] U [1; 13] Luego de calcular la intersección, indique un intervalo
05.
a) U > V + W
Sean los intervalos: M = [-15; -9] U [-3; 3] U [10; 17]
04.
4to Año Secundaria
5 a) − ;1 3 c) ]-2; 1] 5 d) −2;− 3
CONTENIDO TEÓRICO:
5 b) − ;1 3
INECUACION POLINOMIAL DE GRADO SUPERIOR
e) Es aquella inecuación, que tiene la siguiente forma general:
5 4 − 3 ; 3
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
S4AL34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN P(x) = a x n +a x n −1 +.... +a 0 1 n (*)
>
<0
4to Año Secundaria ....
•
El conjunto solución toma en consideración a la reunión de las zonas positivas o negativas, dependiendo del sentido de la inecuación.
Donde: {a0, a1,....... an}⊂ R a0 ≠ 0; n ∈ Z+ ; n > 2
-
Resolución de una ecuación polinomial: Para resolver esta inecuación se procede de la siguiente manera: I. Se factoriza el polinomio P(x) en R. II. Los factores primos obtenidos que resultan positivos, luego de factorizar el polinomio, se pueden omitir (El C.S. de esta inecuación no se altera). III. Para luego aplicar el método de los puntos críticos. MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS En (*) consideramos que P(x) se factoriza de la siguiente manera: P(x) = (b 1 x - c 1 )(b 2 x - c 2 )(b 3 x - c 3 )...(b n x - c n )
cn
c n-1
bn
b n-1
Los valores que anulan a P(x) son diferentes. Los coeficientes de “x” en todos los factores lineales, deberán ser positivos; si uno de estos coeficientes en un factor no fuese positivo, se tendrá que multiplicar por (-1) a dicho factor, cambiándose el sentido de la desigualdad.
Procedimiento • Se iguala a cero, cada factor lineal, obteniéndose así valores diferentes para “x”, a los cuales se les denomina: puntos críticos. • Estos valores se ubican en la recta numérica en forma creciente (de menor a mayor), dividiendo a la recta numérica en (n+1) zonas. • El polinomio va a tomar valores positivos y negativos de forma intercalada en cada zona, según la figura. S4AL34B
-
+
ÁLGEBRA
52
c3
c2
c1
b3
b2
b1
-1
Conjunto de Valores Admisibles (C.V.A.): El conjunto de Valores Admisibles de una expresión matemática en R, es el conjunto de todos los valores reales que puede tomar la variable de la expresión, para los cuales dicha expresión está bien definida en R.
+ 4
Ejemplos:
5 x −2
6
4. (x - 2)(x - 5)(x - 7) > 0 Es equivalente a: (x - 2) (x - 5) > 0 ⇔ x ∈ R - {7}
-
+
Ejemplos: Resolver: ≥ 0 Resolución:
-
+ 1
+ 3
2
+∞
2. (x + 2) (x3 - 27) < 0 Factorizando: (x + 2) (x - 3) (x2 + 3x + 9) < 0
(x + 2)(x - 3) < 0
I. x > 0 ⇔ x2m+1 > 0 II. x ≤ 0 ⇔ x2m+1 ≤ 0 Así por ejemplo: (x - 1)3 > 0 ⇔ (x - 1) > 0 (x + 4)5 ≤ 0 ⇔ (x + 4) ≤ 0
−∞ -
+ 2
3. (x + 1)(x - 4)(x - 5)4 ≤ 0 Es equivalente a: (x + 1)(x - 4) ≤ 0 ⇔ (x - 5)4 ≥ 0 ∀x∈R
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
P( x ) Q( x )
-
-
+ -4
1
+ 3
+∞
CS = x ∈ [-4; 1] U [3; +∞>
+∞
INECUACIÓN FRACCIONARIA E IRRACIONAL Antes de estudiar estas inecuaciones, definiremos al conjunto de valores admisibles de una expresión matemática en R. S4AL34B
>
< 0
Donde P(x) y Q(x) son polinomios y además: Q(x) de grado n ≥ 1.
5. (x + 4)3 (x - 1) (x - 3)5 ≥ 0 Es equivalente a: (x + 4)(x - 1)(x - 3) ≥ 0
(+) ∀ x ∈ R
-1
Es aquella inecuación, que tiene la siguiente forma general.
Conclusión: Los polinomios de la forma ( x −a ) 2 m +1 ; m ∈ N ∧ a ∈ R tienen el mismo signo que su base (x-a).
CS = x ∈ [1, 2] U [3, +∞>
+
INECUACIÓN FRACCIONARIA
7
Teoremas: Dado x ∈ R: , m ∈ N
≥ 0
Puntos críticos: {1, 2, 3}
-
5
→ C.V.A. (f) = R -{2}
2) Sea g(x)= 4 2 x − 6 → C.V.A. (g) = [3; +∞>
CS = x ∈ <-∞, 2> U <5; +∞> - {7}
Factorizando: (x-1)(x-2)(x-3)
1) Sea f(x) =
+
2
1. x3 - 6x2 + 11x - 6
−∞
-
+
CS = x ∈ [-1, 4] U {5}
c c1 c c > 2 > 3 > ....... > n b1 b2 b3 bn
−∞
4to Año Secundaria
Observación: x = 5 verifica la inecuación:
+
Sea:
Para la aplicación del método, se debe tener en cuenta:
51
Resolución de la inecuación fraccionaria: e sigue los siguientes pasos: I. Se factoriza los polinomios P(x) y Q(x) en R. II. Se halla el C.V.A. de la expresión
P Q
C.V.A.
P (x) Q(x)
= R - {x/Q(x) ≠ 0}
III. Multiplicando a la inecuación por Q (2x ) , se obtiene la inecuación equivalente: > P(x). Q(x) < 0 la cual será resuelta por el método de los puntos críticos.
IV. El conjunto solución es la intersección del C.V.A. con la solución de III. Ejemplo: Resolver:
x2 +x −2 x 2 − x −12
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
≥ 0
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
I.
≥ 0
-3
-
+ 1
-2
+
4to Año Secundaria
4 x+2 − ≥ 2 x − 2 x − 2x + 2
3 x −1
05. Resolver:
2 5 + < −1 x +1 x − 5
si su intervalo solución es:
f ( x ) >h(x)↔{h(x)<0∧f(x)≥0}v{h(x)≥0∧f(x)>
x∈<-∞; a] U [b, c> U <d,+∞>
h (2x )
Hallar: (a + b + c + d)
(1)
(x - 1)(x + 2)(x + 3)(x - 4) ≥ 0
-
ÁLGEBRA
52
II.
II. C.V.A. = R - {-3, 4} III. Multiplicando la inecuación por: (x + 3)2 (x – 4)2, la inecuación es equivalente a:
+
51
CS : S1 ∩ S2 ∩ S3
( x −1)( x + 2) ( x + 3)( x − 4)
Factorizando:
4to Año Secundaria
(2)
a) -2 d) 2
CS = S1 U S2
a) -5 d) 5
g(x) ↔f(x)≥0 ∧ g(x)≥0∧ f(x)
>g(x)
(x
2
9
3
+ 3) (x + 6 ) (x
2
5
− 4 x + 5 ) (x − 3)
(x − 1) (x + 3)7 (x − 3)3 INECUACIÓN IRRACIONAL
Ejemplos:
Es toda inecuación que tiene la siguiente forma general:
Resolver:
≤ 0 Indicar su intervalo solución:
5x −2
2)
3 x +1 > - 2
Donde: F(x) es una expresión matemática irracional.
3)
2 x +6
Resolución:
5)
<0
4)
a) x ∈ <-∞ ; -6] U <-3; 1> U <1, 3> b) x ∈ <-∞ ; -3] U <1, 3> c) x ∈ <-∞ ; -2] U <-1; 1> U <2, +∞> d) x ∈ ∅ e) x ∈ R
≥ 3
1)
F(x)
>x+1
x 2 −x −2
2 x +1 -
<5-x x −8
>3
A continuación presentaremos los casos más frecuentes, de una inecuación irracional. f(x ) f(x )
<h (x) >
;
f(x )
c)
>h(x)
03. Resolver: 5 4
x
+ 5x
+ 2x 3 + 10x 2 + 3x + 15 ≥ 0
a) x ∈ <0, +∞> c) x ∈ <2, +∞> e) x ∈ <-4, +∞>
A = {x ∈ R /
x +3 ≥ 0} x −5
B = {x ∈ R/
x −2 ≥2} x +4
Hallar (A ∩ B)
a) x ∈ [-5, +∞> c) x ∈ <-∞, -5] e) x ∈ R
a) <- ∞, -3] U <5; +∞> b) <-10, +∞> c) <-∞, 10> d) [-10, -4> e) N.A.
b) x ∈ [5, +∞> d) x ∈ <-∞, 9]
04. Resolver:
2x 2 − 3 x + 3 1 >− (x − 2)(2 x + 3) 2
Sea f(x) y h(x) expresiones no irracionales. I.
b) x ∈ <-2, +∞> d) x ∈ <-1, +∞>
07. Resolver:
Indicar el intervalo solución.
g(x )
; Los cuales se resuelven aplicando los siguientes criterios:
08. Hallar F U G. F = {x ∈ R+ /2x2 - 5x + 7 ≥ 0} G = {x ∈ R+ /2x2 - 5x + 30 ≥ 0}
f ( x ) <h(x) ↔ f(x)≥ 0 ∧ h(x) > 0 ∧ f(x) <
h (2x )
S4AL34B
PRÁCTICA DE CLASE 01. Resolver:
(1)
(2)
2
x2 4 > − 2 x +2 x +2
4
2
>
b) -1 e) 1
06. Resolver:
f (x) >
CS = x ∈ <-∞; -3> U [-2; 1] U <4; +∞>
c) 1
02. Resolver:
III.
4
b) 0 e) 10
su conjunto solución es: x ∈ <a, b> U <c, d> Hallar: E = a + b + c + d.
(3)
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
Indicar su intervalo solución. a) x ∈ <-∞, -3/2> U <0, 7/6> U <2, +∞> b) x ∈ <-∞, 2> U <4, +∞> c) x ∈ <-∞, -1> U <1, 2> U <3, +∞> d) x ∈ R e) N.A. S4AL34B
a) <0, 1] U [3/2, + ∞> c) R+ e) R - {3/2} 09. Hallar J ∩ K siendo: J = {x ∈ R- /x2 - 7 < 0]
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b) R d) R - {1}
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN G = {x ∈ R /x - 5 > 0}
4to Año Secundaria
51
2
a)
− 7 ,
c)
− 7 ,− 5
e)
− ∞ ,−7
7
10. Resolver:
b)
− 5 ,
d)
− ∞ ,−5
x 2 −16 <
a) <-8, -4] U [4, 8> c) <- ∞, -4] U [8, +∞> e) <-8, 8>
a) 2 d) 16
5
3
,
3
4
48
x
b) <- ∞, -4] U [4, +∞] d) <-∞, 6>U<8, +∞>
3
− x 2 − 2x
+x +k
a) <0, 1> b) <1/4, 2> d) <-∞, -1> U <0, 2>
≤ 0
c) <1, 2> e) <-∞,0>U<0,1>
7 6 > 2, el conjunto solución + x +3 x −7
18.Si:
a) [-3, -1/2]U<7, 11> c) <-3, -1/2] e) <-∞, -6] U [-1, +∞>
d) R
b) <-3, -1/2>U<7, 11> d) <-6, -1>
19.Resolver:
2 4 ≥ 1 −x 14 x
12. Determine los valores de x que impiden que y tome valores reales en la ecuación: xy2 - y2 - x = 0 a) R -{1} d) <1, +∞>
b) [1, +∞> e) <0, 1>
13. Resolver:
x
2
−25
a) <-9, -5] U [5, 9> c) <-∞, -9> U <9, +∞> e) <-∞, -5] U [5, +∞> 14. Resolver:
x
2
5
<
56
b) [0, -1/8) d) <-1, ∞>
20.Resolver:
3x − 2 < 4 x +1
b) <-9, 9> d) R
7 2 −x 3 x +1 x 2 −9
a) <-1, 2] U [3, +∞> c) <-∞, -3> e) [-3, -1] U [2, 3]
a) <-∞, 0> U [1/8, 1) c) <0, -1/8) e) R
c) <-∞, 0]
≥ 0
a) <-∞, 0> U [1/8, 1) c) <0, -1/8> e) <-∞, -6> U <-1, + ∞)
b) [0, -1/8) d) <-1, +∞>
<
2 x +5
a) {2} b) R c) <-∞, -1> d) <-1, +∞> e) [-1, +∞> 16.Determine cuántos valores enteros de k satisfacen el sistema: x2 - 4x + 2k < 0 ... (1) x2 + x + 0.5 > 0 ... (2) k S4AL34B
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 02 01. Resolver:
x3 - 18x2 + 77x > 60
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
a) x∈[-2; +∞> c) x∈<-1; +∞> e) x∈[1; +∞> ≤ 0
x3 −2 x 2 +1
> 1, donde: 0 < a < b.
b) x ∈<- a; 1>
c) x ∈<- b; 1>
d) x ∈<-
x2 −4 5
a ; 1> b
x +a
6a 2 2
x −a
(x
− 8 )(x (x
S4AL34B
2
2
8
a < 0.
2
− 9) (x
(
3
x +4
)
2
x − 4x + 3
< 0
10. Resolver: 2
4 −x 2 ( x +2) 7
5
x −3 ( x +1) 4 x 3 ≥ 0
Indicar un intervalo solución:
a) <-3a; a] b) <-∞ ; 3a] U <a; +∞> - {- a} c) [-3a; a> d) <-∞ ; a] U <3a; +∞> e) R - {-a; a} 06. Resolver: 3
x2 +2
a) x ∈ <-∞ ; -4> U <2; 3> b) x ∈ <-∞ ; -3> U <2; 3> c) x ∈ <-∞ ; -2> U <3; +∞> d) x ∈ R e) x ∈ ∅
05. Resolver la inecuación: ≥
x3 −4 b) x∈<-∞; 3> d) x∈<-∞; 2>
09. Resolver:
e) x ∈<a; b>
3a
<
a) x∈<-∞; -2> c) x∈<-∞; 4> e) x ∈ ∅
a a) x ∈<- ∞; > b
−
b) x∈<-2; +∞> d) x∈[-2; 1]
08. Resolver:
a) x ∈ <-∞, -4] U <-1; 1> U <3; 5] b) x ∈ <-∞, 2] U <-1/2; 1> U <4; 7] c) x ∈ <-4, -1> U <-1; 3> d) x ∈ <-∞, 4] U <8; 7> e) x ∈ ∅
x
c) 3
x −2 x2 < 2 x +2 x +2
x 3 − 3x 2 − x + 3
ax + b bx + a
b) 2 e) 6
07. Resolver:
x 2 − x − 20
04. Resolver:
E = a + b + c.
a) 4 d) 1
03. Resolver:
x −a
+
Hallar:
a) x ∈ <-3; -1> U <1; 5> b) x ∈ <-2; 0> U <1; 4> c) x ∈ <-1; 1> U <2; 5> d) x ∈ <3; 5> e) x ∈ <-3; 0>
Considerando que: x +1 +
si su intervalo solución es: x ∈ <-a; b> U {-c, c}
x4 - 2x3 - 16x2 + 2x + 15 < 0
02. Resolver:
b) R d) [-1, -3] U <-∞,-3]
15. Resolver la siguiente inecuación : 3 x +6
4to Año Secundaria
a) x ∈ <1; 5> U <12; +∞> b) x ∈ <1; 4> U <10; +∞> c) x ∈ <-1; 5> U <12; +∞> d) x ∈ <0; 5> U <10; +∞> e) x ∈ <-12; -5> U <-1; +∞>
es:
3 b) 0, 2 3 3 3
c) ∅ e) [-2, 2]
c) 5
17.Si k > 1/4, hallar el conjunto solución en:
11. ¿Cuáles son los valores de y para que la ecuación x 2 + xy + y2 - 4 = 0, defina valores reales de x? −4 a)
b) 4 e) Infinitos
ÁLGEBRA
52
a) [-2; 2] d) [-2; 0] 11. Resolver:
b) <-∞; -2> c) <3; +∞> e) [-2; 0] U {2} x +2 > x
Dar un intervalo solución: 2
− 4 )(x −1)
+ 4)
≤ 0
a) x ∈ [-2; 2] d) x ∈ <2, 7>
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b) x ∈ <-2; 2] e) x ∈ R
c) x ∈ [-2; 8]
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to Año Secundaria
12. Resolver:
05. Resolver: x 2 −2 x +10 < 2 x −5
a) x > 3 d) x > 5
b) 2 < x < 5 e) x ∈ ∅
c) x > 1
5
4
2
x + 9 ( x +1) ( x + 2) x − 7 x +12 6
3
4
8−x
32
2 − x +4
3
x + 7 ( x − 8) ( x − 8)
a) x ∈ <-7, -2] U <2, 3] U [4, 8> U {-1} b) x ∈ <-7, -1] U <2, 3] U [4, 8> c) x ∈ <-4, -1] U <2, 3] U [4, +∞> d) x ∈ <-1, 1> U <2, +∞> e) N.A.
a) -4 d) 3
1 − 6 ,4
b) x ∈
x +1 + 1 − x
03. Resolver:
3
a) x ∈ [-1,0> U [1, 4] c) x ∈ <-1,0> U [1, 7] e) x ∈ ∅
a) x ∈ <-∞, 1/3> U <2, +∞> c) x ∈ R
a) -20 d) 10
d) x ∈ ∅ e) x ∈ <-1/6, +∞> Resolver: 8−| x
2
−1 | ( x
a) x ∈ <-2, 3> d) x ∈ R
S4AL34B
2
−x −6) <0
b) x ∈ <-1, 1> e) N.A.
c) x ∈ <-2, 2>
( x + 5) 3
I.
x ∈ [1, 3] ⇒
II. x ∈ [1, 2] ⇒
a) FVV d) VVF
x
c) -15
c) [7/3, 4] e) <0, 1]
a) [5/2, 3> d) [2, 3>
− 2x −3 b) [2, 5] e) {2, -2}
≤
0 c) <2, 3/2>
15. El conjunto solución en: |x|2 - 4 > |3x - 6|
(
x 4 +1( x 2 − 4 x + 5) 3 4 x −1 x x ≤0
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
3
x +2
x −4 x −5
x +6
)
3
a) [-6, 3]’ d) <3, +∞>
b) [-7, 5/2]’ e) <-∞ , -6>
c) [-5, 2]’
16. Si x ∈ <-2, 1] entonces x2 + 2x + 2 pertenece al intervalo: S4AL34B
1 3 , 2 4
∈
x +7 ∈ [3, 4] x +1 b) FFF e) FFV
c) VVV
19. Sea J = {x ∈ R/x ≤ |4x-7| < x+5}, entonces J es igual a:
a) x∈<-∞;-3]U<-1;-1/2]U[1/4,1/2>U<2,+∞> b) x∈<-∞;-2]U<-1;-1/2]U[1/4,1/2>U<3,+∞> c) x∈<-∞;-1]U<-1;-1/2>U[1/4,1/2]U<2,+∞> d) x ∈ R e) N.A.
| x| − 2
c) [3, 11>
III. x2 ∈ <4, 9> ⇒ x+1 ∈ <-2, -1> U <3, 4>
14. Hallar el conjunto solución en:
(3x + 2) 7 (2 x + 5) 6 ( x − 3)13
b) [0, 9> e) [2, 10>
18. Determinar la verdad o falsedad en:
≥0
10. Resolver: 5
a) [2, 4> d) [3, 9>
2 , +∞>
(8x + 1)(2 x − 1)( x 2 − x ) 3 ( x + 1)( x 3 − 8)
2
c) [0, 4>
1 ∈ <1/3, 1] entonces x2 + 2x + 3 x +1
(64 x 3 + 24 x 2 − 6 x − 1) 3 ( x 2 − x )( x 2 + x 4 ) 4 ( xa)+<2/5, 3) 7/5] U [7/3, 4>
b) x ∈ [-1,4] d) x ∈ R
b) 5 e) N.A.
b) [0, 2> e) [1, 5]
pertenece al intervalo:
13. Hallar todos los valores reales “x” que verifican:
09. Resolver: x +20 > x su intervalo solución es [a, b>. Hallar (a+b).
b) x ∈ <-∞, -1/4> U <1/4, +∞>
04.
≥ x-4
1 x− + 8 4 −x ≥ 0 x
x 3 −3x 2 +5x −6 > x −2
0
a) x ∈ <-∞, -3] U [1, +∞> b) x ∈ <-∞, -2] U [4, +∞> c) x ∈ <-∞, -1] U [2, +∞> d) x ∈ <-∞, 0] U [4, +∞> e) x ∈ R
08. Resolver:
e) x ∈ R
≥
x 2 +2 x −3 > -2
a) x ∈ [-4, +∞> b) x ∈ <-∞, -1] U [1, +∞> c) x ∈ [-1, 1] d) x ∈ ∅ e) x ∈ R d) x ∈ ∅
17. Si
12. Resolver; hallar su intervalo solución
c) 2
1
1 2 , 4
1 c) x ∈ − , +∞ 6
≥ x-4
07. Resolver:
6 x +1 ≥ 2 x - 3
02. Resolver:
b) -2 e) -1
2 ] U [2
a) [0,2] d) [1, 4>
b) x ∈ <-∞, -2 2 ] U [4, +∞> c) x ∈ <-1, 1> d) x ∈ <-∞, -1] U [2, +∞> e) x ∈ R
x ∈ [a, b] U [c, d]
su intervalo solución es: Hallar: (a + b + c + d)
≤ 0
a) x ∈
a) x ∈ <-∞, -2
x 2 −x − 2 − 2
4to Año Secundaria
x 2 −8 ( x 2 −x −2)
11. Resolver:
06. Resolver:
01. Resolver:
ÁLGEBRA
a) x ∈ <-∞, -5] U <-2, -2/3> U <0,3> b) x ∈ <-∞, -4] U <-2, 1> U <2,3> c) x ∈ [1, 3> d) x ∈ <-3,3> e) N.A.
< 1
a) <-∞, -4> U <-5/2, +∞> b) <-∞, -4> U <1, 2> c) <-4, +∞> d) <-5/2, +∞> e) N.A.
TAREA DOMICILIARIA
7
| x +1 | x +4
52
51
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b) R d) <1/3, 2/5]
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to Año Secundaria
51
resulta de reemplazar una o más variables por valores numérico o algebraico.
ÁLGEBRA
52
Simbólicamente: R: A
COMENTARIO PREVIO: Par ordenado: Un par ordenado es un conjunto formado por dos elementos en el que se introduce un orden “natural”. Notación:
Donde:
→ B; R ⊂ A x B con A ≠ φ y B ≠ φ A x B = {(a; b) / a ε A ∧ b ε B} R
A
Producto cartesiano: Dados dos conjuntos A y B el producto cartesiano de ambos se denota por A x B y se define como el conjunto de pares ordenados, cuyo primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto. Es decir:
Rango de R
Conjunto de llegada
Dominio: Es el conjunto formado por los primeros componentes de los pares ordenados (a: b) que pertenece a R. Simbólicamente: Dom (R) = {a ε A / ∃ b ∈ B ∧ (a, b) ∈ R} Rango: Es el conjunto formado por los segundos componentes de los pares ordenados (a; b) que pertenecen a R. Simbólicamente: Rango (R) = {b ∈ B / ∃ a ∈ A ∧ (a, b) ∈ R}
A x B = {(a; b)/a ∈ A ∧ b ∈ B } Propiedad: Si: n representa el número de elementos de un conjunto determinado. Se cumple que:
FUNCIO
n (A x B) = n (A) x n (B)
OBJETIVOS ESPECIFICOS: ESPECIFICOS Diferenciar las Relaciones de las funciones. Encontrar dominios e imágenes de las funciones Graficar las funciones más importantes Hallar el número real (valor numérico) o la expresión algebraica (cambio de variable) que S4AL34B
RELACIONES BINARIAS: Sean A y B dos conjuntos diferentes del vacío, decimos que el conjunto “R es una relación binaria de A es B”, si R es un subconjunto del producto cartesiano A x B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
Ejemplos de relaciones de IR en IR 1. x2 +y2 = 25
Conjunto de partida
Si (a; b) = (c; d) ⇒ a = c ∧ b = d
a) ∀ x ∈ A ⇒ (x, x) ∈ R ⇔ x R x (Reflexiva). c) Si (x, z)∈R ∧(z, t)∈R ⇒ (x, t)∈R (transitiva)
B Dominio de R
2do. componente 1er. componente
Se dice que “R” es una relación de equivalencia sobre un conjunto A ≠ φ, a toda relación de A en A que goza de las tres siguientes propiedades:
b) Si (x, z) ∈ R ⇒ (z, x) ∈ R (simétrica).
Gráficamente:
( a; b )
Propiedad:
4to Año Secundaria
2. x2 + y2 < 9 3. x2+ y2 > 9 4. x2 + y2 ≤ 9 5. (2, − 1), donde R: 2x − y − 5= 0 6. S ⊂ T, donde S: x2 + y2 < 4 T: x2 + y2 < 25 7. L1 // L2, donde L1: x − y=0, L2: y = x + 5 8. L1 ⊥ L2, donde L1: x+y–1=0; L2: y =x–2
CONTENIDO TEÓRICO: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Nota importante: Las siguientes notaciones son equivalentes y se usan indistintamente. Lo que el estudiante debe saber es interpretarlos. a R b ⇔ b = R (a) ⇔ ( a; b ) ∈ R Equivalente:
Definición: Dados dos conjuntos no vacíos A y B llamamos función definida en A y con valores en B, o simplemente función de A en B a toda correspondencia f que asocia a cada elemento, x ∈ A un único elemento y ∈ B. Notación funcional:
x R y ⇔ y = R(x) ⇔ (x; y) ∈ R Si: R: IR → IR, además
Se lee f es función de A en B.
IR x IR = {(x, y) / x ∈ IR ∧ y ∈ IR} Relación de equivalencia: S4AL34B
f f:A → BvA → B Condición de existencia y unicidad: Sea:
f: A → B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN I.
Para cada x ∈ A, ∃! y ∈ B / (x; y) ∈ f.
II. Si: (x; y) ∈ f ∧ (x; z) ∈ f ⇒ y = z Ejemplo: f
4to Año Secundaria
51
52
ÁLGEBRA
y
4to Año Secundaria y
4. Función Lineal
y
f
Rango de una función: Es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados que forman la función f y se denota; Rf ó Rang f.
f
x
f
Regla de correspondencia f(x) = ax + b; a ≠ 0 x
x
B
A
Rf = {y ∈ B/ x ∈ A ∧ (x; y) ∈ f}
1
a
2
b
3
c
4
d
Conjunto de Partida
Conjunto de Llegada
Ejemplo: Sea: f = {(1; 2); (4; 7); (5; 4); (9; 10)} ⇒ Df = {1; 4; 5; 9} Rf = {2; 7; 4; 10}
f = {(1; a); (2; b); (3; b); (4; c)} Cumple la definición ∴ es función. En cambio: f B
A 5
a
9
b
13
c
Regla de correspondencia.- Es la relación que existe entre las primeras y segundas componentes de una función. Donde: x: variable independiente y: variable dependiente Sea la siguiente función:
No se cumple la condición de unicidad ∴ no es función. Observación: No deben existir dos o más pares ordenados diferentes con el mismo primer elemento; en caso exista de acuerdo a la definición, las segundas componentes tendrán que ser iguales si no es así entonces no es función. Ejemplo: F = {(3; a-3); (5; 7); (3; 8); (5; b-1); (2; 9)} Es función siempre y cuando: a–3=8 ∧ b–1=7 Es decir: a = 11 ∧ b = 8. Dominio de una función: Se llama así al conjunto de todas las primeras componentes pertenecientes a una función f, y se denota de la siguiente manera: Df ó Dom f.
En general:
f(x) = x2; x ∈ N
Función real de variable real Sea f una función de A en B.
No es función
No es función
Rf = R
1. Función Constante Regla de Correspondencia: f(x) = C; Df = R, Rf ={C}
-b/a
Gráfica. = {(x; y) ∈ R2 / y = f(x), x ∈ Df} Teorema.- Si f es una función de R en R ⇔ toda recta paralela al eje “y” corta la gráfica a lo más en un punto.
Regla de correspondencia
C> 0 C= 0
f(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0, {a, b, c}⊂ R Df = R
x
Toda función cuadrática se puede llevar a la forma: f(x) = a(x-h)2 + k Donde: V = (h; k) vértice.
C< 0 C 2. Función Identidad
y
Regla de correspondencia: f(x) = x ó I(x) = x Df = R
y
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
∆= 0
a>0
f
Rf = R
y
∆> 0
a>0
v x
45°
x
v
v
x
a<0
a<0
3. Función Valor Absoluto Regla de correspondencia f(x) = |x| =
Donde: y
x;x≥ 0 − x ; x < 0
f
Df = R Rf = R 0+
45°
y
∆< 0 a>0
∆ = discriminante
45°
2
∆ = b - 4ac
v v
x
x a<0
Df = {x ∈ A/ ∃! y ∈ B / (x, y) ∈ f} S4AL34B
x
5. Función cuadrática
y
(f: A → B), si: A ⊂ R B ⊂ R Diremos que f es una función real de variable real. Gráfica: Si f es una función real de variable real, la gráfica de f es la representación geométrica de los pares ordenados que pertenecen a f.
a>0 b>0
b
Funciones especiales
f = {(1; 1); (2; 4); (3; 9); (4; 16)….} Luego: f(1) = 1; f(2) = 4; f(3) = 9; f(4) = 16 ..........
f = {(5, a); (9, b); (9, c); (13, a)}
y
Df = R Es función
S4AL34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
Rf = R
52
ÁLGEBRA
4to Año Secundaria a) Sólo I y II b) sólo II y IV c) I, II y III d) sólo III y IV e) N.A.
ii. (f – g)(x) = f(x) – g(x)
Regla de correspondencia: f(x) = Df = R
51
D(f + g) = Df ∩ Dg
6. Función Raíz Cuadrada
04. Dada la relación R definida con los números reales: R = {(x, y) / |x-y| < 5} Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas: I) R es reflexiva II) R es simétrica III) R es transitiva IV) R no es de equivalencia
D(f – g) = Df ∩ Dg
x
y
+ 0 + 0
4to Año Secundaria
iii. (f.g) (x) = f(x). g(x) D(f. g) = Df ∩ Dg F x
iv. (f/g)(x) =
f( x ) g (x )
; g(x) ≠ 0
D(f/g) = Df ∩ Dg ∧ g(x) ≠ 0 7. Función Signo Regla de correspondencia
F(x) = Sgn(x) Dom F = R;
Observación:
1, si : x > 0 = 0 , si : x = 0 −1, si : x < 0
Rang F = {-1; 0; 1}
Si: (f. f. f. f. . . . . . f)(x) = f(x) . f(x) . . . . . f(x) n veces
n veces
Entonces: f(nx )
y
= [f (x) ]n ;
Df n = Df : n ∈
N 1 x -1
Álgebra de funciones 1. Igualdad de Funciones: Las funciones f y g cumple:
Ejemplo: Dadas las funciones: F = {(-3;4); (-1;0); (2;0); (3;1); (4;1); (5;3); (6;6)} G= {(-4;3); (-3;0); (1;0); (2;3); (3;3); (4;6); (6;6); (7;5)} Determinar:
son iguales si se
a. Df = Dg (igual dominio) b. f(x) = g(x), ∀ x ∈ Df = Dg
a) b) c) d) e)
f±g f.g f/g g/f f2 - 2g
A continuación vamos a definir las diferentes operaciones que se pueden establecer con las funciones. Sean las funciones f, g con dominios Df y Dg respectivamente. i. S4AL34B
a) Sólo I b) sólo II y III c) I, III y II d) sólo I, II y IV e) N.A.
PRÁCTICA DE CLASE 01. Sean A = {1, 2, 3} B = {4, 5} Cuáles de los siguientes conjuntos son relaciones de A en B. I.- {(1, 4) (2, 4)} II.- {(1, 5) (2, 4) (4, 3)} III.- {(3, 5) (2, 5)} a) Sólo I d) III y II
02. Dado el número U = {1, 2, 3, 4} y las relaciones: R1 = {(x, y) / x = y} R2 = {(x, y) / y = 4} R3 = {(x, y) / x > y} El número de elementos de R3 – (R1 U R2) es: a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
03. Si R es una relación en A = {2, 3, 9} tal que R ={(x, y) ∈ A x A/ y + 1 <x2} entonces: I) Dom(R) = {2, 3} III) Dom(R)=Ran(R) II) Ran(R)= {9} IV) R tiene 7 elementos
(f + g)(x) = f(x) + g(x) “El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) sólo I y II c) sólo I y III e) N.A.
S4AL34B
05. Si R = {(x, y) / 2x – y = 5} ⊂ M x M, donde: M = {1, 2, 3, 4, ......, 9} y si “m” es la suma de todos los elementos del dominio de R y “n” es la suma de todos los elementos del rango de R, entonces: Hallar el valor de m.n. a) 620 d) 635
b) 625 e) N.A.
c) 630
06. De un conjunto A a un conjunto B se pueden formar 1024 relaciones, si el conjunto A tiene dos elementos. Cuántos elementos tiene el conjunto B. a) 10 d) 5
b) 6 e) 7
c) 8
07. Sean las relaciones: R ={(1;3) (2;4)(3;5)(1;1)(2;2)(4;2)(3;1)} T = {(x, y) / (y, x) e R}. Entonces ¿Cuáles de las afirmaciones siguientes son falsas? I) R es transitiva pero no simétrica II) R ∩ T = {(1; 1) , (2; 2)} III) Dom (R) - Dom (T) ≠ ∅ a) Sólo I b) sólo II d) sólo I y II e) todas
c) sólo III
08. Hallar el dominio (Df) y el rango (Rf) de la siguiente función: f={(2,5);(-1,-3);(2,2a-b);(-1,b-a);(a+b2, a)} Luego indicar: Df ∩ Rf
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) {3} d) {5}
b) {-1} e) {φ}
c) {2}
09. Hallar a + b, si el dominio de la función: F(x) =
x 2 −1 3x − 7 − 8 x 2
2
+
4 x −1
a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2/3 e) 1/6 10. Calcular el rango de: f(x) = x 2 + 4 x +1 Sabiendo que: x ∈ <2, 4> b) <
c) <13;33>
d) <
e) <
10 ;
15 ;
33 >
21 >
2
F(x) = 2x + 3x + 2;
x ∈ R
b) [7/8; +∞> e) N.A.
c) [-1; 2]
a) [0; 1/5> d) [1/5; +∞>
x2 5x + 64 c) [0; 5>
13. Hallar el rango de la siguiente función:
a) [-1/3; 0] d) [1/3; 4]
15. Hallar el rango de la función: G(x) = x2 - 6x + 3; si x ∈ <-2; 5>
c)
x 3 − 6 x 2 + 3x + 10
a) <-2; 5> U <5; +∞> b) <-4; 3> U <3; +∞> c) <-4; 6> d) <-4; 5> U <5; +∞> e) <-3; 5>
S4AL34B
x
y
b)
x 2 − 2x + 4
a) R [2; +∞>
3 -2
x −3 −2
y
x
3
18. Si:
c) [1; 6]
x 2 −4 x +5 + 2 }
F(x) =
x −2
c)
x −3
3 e) N.A.
c) F = 3G
x
2
x
c) R2, R3
03. Sea R una relación definida en el conjunto {x/x=2n , n e Z+,5 < x < 25} y sea n(R) el número de elementos de R. Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas. I) n(R) = 10 ⇒ R no es reflexiva II) n(R) = 10 ⇒ R es reflexiva III) R es transitiva ⇒ n(R) > 3 Son verdaderas: a) Sólo I b) sólo II d) sólo I y II e) Todas
a) 16 d) 22
c) sólo III
b) 18 e) 24
c) 20
05. Si el conjunto M tiene 2 elementos, entonces el número de relaciones binarias en MxM es:
c) 3
20. Hallar la gráfica de la siguiente función: F(x) = (x + 2)2 – 4
a) 22 d) 216
b) 24 e) N.A.
c) 28
06. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} y la siguiente relación en A:
x + | x −3 | x − | x −3 | −3 “El nuevo símbolo de una buena educación....”
y
b) R1, R3 e) Todas
04. En el conjunto [1,8] ∩ Z se define la relación R cómo. a R b ⇔ a es divisor de b. Hallar n(R)
19. Sean las funciones: F = {(-3,2); (0,0); (2,4); (3,-1), (4,3)} G = {(2,0); (3,4); (4,7); (6,2)} Hallar la suma de valores extremos de: (F + G). b) 10 e) N.A.
x
c) <2; +∞> d)
( x −2)( x −3)
b) F = 2G e) F ≠ G
d)
y
3−| x |
a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) 5 02. Dado el conjunto A = {a, b, c, d} y las relaciones: R1 = {(a, a), (d, d), (a, d), (d, a)} R2 = {(c, c), (b, b)} R3 = {(a, a), (b, b), (c, b), (d, a)}, son transitivas: a) R1, R2 d) N.A.
b) [3; +∞> e) <3; +∞>
a) 6 d) 13
x 2 + 2x + 4
b) [1/3; 3] e) [-3; 1]
F = {(x; y) ∈ R2 /y =
4
G = {(-4,1); (-3,0); (-1,5); (2,-1); (7,4)} Indicar el número de elementos de G/F. e) N.A.
y
21. Hallar la gráfica de: F(x) = a)
01. Si F(x) =
x
x
14. Hallar el rango de: F(x) =
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 03
y
d)
y
( x 3 − 4 x 2 − 5x )( x 2 − 6 x + 8)
a) F = G d) F + G = 0
2
b) <-∞; 1/5] e) N.A.
F(x) =
b)
c) <-∞; 3] x
G(x) = Indicar lo correcto:
12. Hallar el rango de la función: F(x) =
b) [3; +∞> e) <-∞; 0>
4to Año Secundaria
y
17. Determinar el rango de:
11. Hallar el rango de la siguiente función:
a) [1/8; +∞> d) <-∞; 7/8>
ÁLGEBRA
52 a)
a) {0} d) {3; -3}
F(x) =
35 >
13 ;
51
a) <-6; 19> b) [-5; 10> c) [-6; 19> d) <-6; 6> e) [-7; 10> 16. Hallar el rango de la siguiente función:
Es x ∈ [-a; -b] U [b; a]
a) <-15; 35>
4to Año Secundaria
S4AL34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to Año Secundaria
R = {(2,2), (2,1), (1,1), (4,4), (3,z), (x,y) , (x,z) , (2,3) , (z,y) , (3,1)} Si R es una relación de equivalencia. Hallar el valor de: 3x + 2y – z
2.- {(2,1), (3,2), (4,3), (3,4)} 3.- {(3,4), (2,3), (4,1), (2,3)} 4.- {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} Son funciones solamente:
a) 2 d) 7
a) Todas d) 1,3 y 5
b) 4 e) N.A.
c) 0
07. Sea R una relación en: A={1,2,3,4,5,6} definida por “x es divisor de y”, entonces: 1. R es reflexiva 2. R es simétrica 3. R es Transitiva Son ciertas solamente: a) Todas d) 2,3
b) 1,2 e) N.A.
A
B 1
a
2
b
3
c
4
A
1
a
a) Todas d) 1,3 y 4
gráficos
y
representan
y
2
b c
A
x
x
(1)
a
1
b
2
(2)
2
b
3
x
(3)
(4)
a) Todas d) 3 y 4
b) 1; 2 y 3 e) N.A.
(3) Son ciertas solamente:
Son ciertas solamente: c) 2; 3 y 4
a) Todas d) 2 y 3
b) 1 y 2 e) N.A.
b) 1 y 2 e) N.A.
c) 1 y 3
b) 1,2 y 5 e) 3,4 y 5
c) 2,3 y 4
14. Sea A = {x ∈ N / 0 < x < 5} ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son funciones de A en A? R1 = {(x, y) ∈ A x A / x = 2} R2 = {(x, y) ∈ A x A / y = 2} R3 = {(x, y) ∈ A x A / x + y = 5} R4 = {(x, y) ∈ A x A / x = y2} a) R1 ∧ R2 d) todas
b) R2 ∧ R3 ∧ R4 c) sólo R3 e) R1 y R4
15. Para A = {1, 2, 3} , B = {3, 4, 5} Sean f y g dos aplicaciones de A en B tales que: f = {(1, 3), (2, 4), (a, b)} y g = {(3, 3), (2, 4), (c, d)} Si: ∀x ∈ A, f(x) ≠ x, Rango (f) ≠ B y g (1) = 3 Hallar el valor de: (b – a) – (c – d) a) 2 b) 4 c) –2 d) –1 e) N.A.
y
B
4to Año Secundaria
13. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos describen a una función A x A: A = {1, 2, 3, 4, 5} 1.- {(x, y) ∈ A2 / x = 4} 2.- {(x, y) ∈ A2 / y = 4} 3.- {(x, y) ∈ A2 / x + y = 6} 4.- {(x, y) ∈ A2 / x2 + y2 = 25 5.- {(x, y) ∈ A2 / x < y}
a) {0, -1, -2, -3, -4} b) {-2, -3, 0, 3, 2} c) {7/2, 15/4, 2, 3, 0} d) {-15/4, -7/2, 0} e) {–7/2, –15/4, –3, –2, 0}
(2) B
c) 1,3 y 4
1
a
(1) A
B
ÁLGEBRA
a) Todas d) 2 y 3
b) 1,2 y 3 e) N.A.
11. Los siguientes funciones:
52
Son funciones de A en B:
10. Sea f: A → R definida por f (x) = 4x – 4. Hallar el rango de f si: A = {-1/2; -1; 0; 1; ½}
c) 1,3
08. Son funciones:
51
c) 1 y 3
12. Sean los conjuntos: A = {2, 3, 4} y B = {3, 4, 5} y las siguientes 09. Se tiene los siguientes conjuntos de pares relaciones de A en B. ordenados: 1.- {(2, 3), (3, 4), (4, 5)} 2.- {(3, 2), (4, 3), (5,4)} 1.- {(1,2), (2,3), (3,4), (4,3)} 3.- {(3, 3), (4, 4)} S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....”
16. Si f es una función. ¿Cuáles son verdaderas? I) Si a = b ⇒ f(a) = f(b) II) Si a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f(b) III) Si f(a) = f(b) ⇒ a = b a) I d) todas
b) II e) I y III
c) III
A = {2, 4, 6, 8, 10} , B = {a, b, c, d, e} ¿Cuáles de las siguientes relaciones definen aplicaciones de A en B? R1 = {(2, a), (4, c), (10, c), (8, e), (6, e)} R2 = {(10, a), (6, b), (2, a), (6, e), (4, d)} R3 = {(6, a), (4, b), (8, c), (10, e)} R4 = {(a, b), (4, e), (6, a)} R5 = {(10, b), (8, b), (4, b), (2, b), (6, b)} a) R1 ∧ R3 d) todas
c) R3, R4; R5
18. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es función? I) {(1, 3), (2, -2), (-1, 7), (2, -4)} II) {(1, 0), (0, 0), (2, 0), (3, 0)} III) {(1/2,3), (1/3,2), (1/5,1) IV) {(3,4), (5,2), (6,2), (3,4)} a) I y II d) I
b) I, II y III e) todas
c) II, III, IV
19. Si el siguiente conjunto es una función {(3,-2), (4,2a - b), (8,1), (3,a + b), (4,-4)}, el valor de a2 + b2 es: a) 1 d) 4
b) 3 e) 5
c) 0
20. Sean las funciones: F = {(-3,2); (0,0); (2,4); (3,-1); (4,3)} G = {(2,0); (3,4); (4,7); (5,2)} Hallar la suma de elementos del rango de: (F2 + 3 G) a) 16 d) 59
b) 13 c) 30 e) N.A. TAREA DOMICILIARIA
01. Dado el conjunto: A = {2; 4; 6} y las relaciones en A: R1 = {(2; 2), (2; 4), (4; 4 ), (6; 6), (4; 2)} R2 = {(x, y) / y – x = 0} R3 = {(x; y) / y – 2 = x}; ¿Cuáles son relaciones de equivalencia? a) R1 d) R2 y R3
17. Sean: S4AL34B
b) R1 ∧ R5 e) N.A.
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b) R2 e) R1 y R2
c) R1 y R3
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to Año Secundaria
02. Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} y las relaciones en A: I) R1={(1;2), (1;3), (1;4), (2;3), (2;4), (3;4)} II) R2 = {(x; y) /x2 + y2 = 5} ∪ {(1; 1)} III) R3 = {(1; 1), (2; 2), (2; 3)} Indicar las relaciones transitivas. a) II b) I ∧ II d) I, II ∧ III e) I ∧ III
A a
1
b
2
c
3
c) R1 ∧ R2
b) R1 e) R3
a) VVF b) VFF c) FVF d) VVV e) VFV 05. Dados los conjuntos: A = {x ∈ R / 3 < x < 6} B = {x ∈ R / x ∈ [-1; 4]}. Calcular el área que determina la gráfica de A x B a) 22µ2 8µ2
b) 6µ2
c) 15µ2
06. Son funciones inyectivas:
d) 12µ2
e)
b
2
B
a
1
b
2
b
2
a) Todas d) 2 y 3
c) 1 y 3
a)
y
B
b
2
c
3
1
c)
d)
y
x
y
3
(2)
4
x
x
B
e)
b
2
c
3
y
G = {(0,
1
b
2
c
3
d) 3
e) N.A.
a)
b)
y
1 1
x
x -1
2 −x −1 |
c)
d)
y 1
a
-2
B
1
x
1 2 3
13. Dadas las funciones: F(x) = 3x - 5; x ∈ [0, 6]
S4AL34B
y
e) N.A.
1
-1
(2)
y
1
c) 1 y 3
A
c) 2
x −1 x +2
-1
10. Graficar: F(x) = |
3 )}
12. Graficar la función: F(x) = Sgn
-2
b
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
8 ); (2, 1/2); (4;
b) 0
08. Son funciones biyectivas:
a
2 + 5 ); (2, 0)}
a) 1
x
(3) b) 1 y 2 e) 3
B
x
-2
Hallar M = (F.G)(2)
2
b
1
A
x
2
11. Sean las funciones: F = {(0, 2 ); (1, 2
B
a
a
a) Todas d) 2 y 3
y
x
A
(1) A
1
b)
07. Son funciones sobreyectivas:
1
c) 1 y 3
e) N.A.
b) 1 y 2 e) N.A.
a
y
d)
09. Graficar la función: F(x) = ||x-2| - 2|
(3)
x
-1
y
c)
b) 1 y 2 e) 1
2
x
2
(3)
c
y
b)
1
c
a) Todas d) 2 y 3
y
a)
B
a
(1)
S4AL34B
a
1
4to Año Secundaria
A
(2)
A
04. Dado el conjunto: A = {-2; -1; 3; 4} y las relaciones en A: R1 = {(-2,-1), (-2;-2), (-1; 2), (-1;-1), (3;3), (4; 4)} …........... ( ) R2 = {(x; y) / | x | = | y | ............... ( ) R3 = {(x; y) / y = x – 2} ............... ( ) Indicar con una V si es reflexiva y con una F si no lo es.
ÁLGEBRA
52
3
A
R1={(1;2), (2 ;3), (2;1), (3;4), (3;2), (4; 3), (3;3)} R2 = {(x; y) / x2 + y2 = 5} R3 = {(x; y) / y = x – 2}; ¿Cuáles son simétricas?
51 B
(1)
c) II ∧ III
03. Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} y las relaciones en A:
a) R1 ∧ R3 d) R2
A
B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
-1
x
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN x 2 − 2 x; G(x) = x;
4to Año Secundaria
x ∈[ −1, 2 ] x ∈< 2,4 ]
a)(F+G)(x)=
a) [-4; +∞>
b) [-2; +∞>
d) [-6; +∞>
e) [1; +∞>
x 2 + x − 5; 3x + x − 5; b)
Si x ∈[0,2] Si x ∈< 2,4] (F+G)(x)
x 2 + x + 5; 3x − x + 5; c)
=
Si x ∈[0,2] Si x ∈< 2,4]
(F+G)(x)
x + x − 5; 3x + x − 5; 2
=
x − x + 5; 3x + x + 5;
x + x + x +1 | x +1 |
y
y
F
G
a
b
x
x
Hallar la gráfica de:
17. Determinar el rango de: F(x) = |x + 8| - |x – 8|
=
H(x) =
b) [-8; 8] e) <-∞; 8]
y
a)
Si x ∈[0,2]
c) [-16; 16]
a)
F( x ) + G ( x )+ | F( x ) − G ( x ) | 2 y
b)
y
b)
y
d)
x
x
x
x
y
y
Si x ∈< 2,4] c)
(
)
x / x x 2 − 4 ≥ 0 x −4
a) <-∞; 1] b) <-∞; 1] U <1, +∞] U {0} c) <1; +∞> d) [-1; 1> e) <-∞; 0> U <1; +∞> S4AL34B
20. Si las gráficas de F(x) y G(x) son:
c)
14. Hallar el rango de la función:
c) 7
18. Graficar F(x) = x|x|.
Si x ∈< 4,5]
e) N.A.
F = x ,
b) 3 e) N.A.
2
a) <-∞; -1> U [2; +∞> b) <-∞; -3> [2; +∞> c) <-∞; -2> [1; +∞> d) <-∞; -2] U <2; 4> e) R - {-1}
a) [-4; 4] d) [8; +∞>
Si x ∈[0,3] (F+G)(x)
2
F(x) =
a) -3 d) -7
c) [-1; +∞>
4to Año Secundaria
x 0 - x1 .
Hallar:
16. Hallar el rango de la función: 3
ÁLGEBRA
52
15. Hallar el rango de la función: F(x) = x2 - 2|x| - 3
Hallar: (F + G)
d)
51
d)
y
y
x
x
x
x
e) N.A.
e) N.A.
19. Sean las funciones en R: h(x) = x2 - 4x + 7 g(x) = x2 - 10x - 27 Si: y
h(xO) ≤ h(x); ∀ x ∈ Dom h g(x1) ≥ g(x); ∀ x ∈ Dom g.
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
S4AL34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to Año Secundaria
52
51
II. Propiedades generales de los logaritmos
log a
1) Solamente existen sistemas de logaritmo cuya base es una cantidad positiva diferente de 1.
LOGARITM
a ∈ < 0; 1 > ∪ < 1; +∞ > 2) En el campo de los números reales no existen logaritmos de cantidades negativas.
OBJETIVOS ESPECIFICOS: ESPECIFICOS
ÁLGEBRA N
4to Año Secundaria
M =
log a M N
log a b . log b c . log c d . log d e = log a e
9) En todo sistema de logaritmos, si se eleva la base a un número “n”, para que no varía, también debe elevarse el número. Igual sucede cuando se le extrae la raíz “n”. Esta propiedad sólo se basa en Potenciación y Radicación.
CONTENIDO TEÓRICO: I. Definición Se denomina logaritmo de un número real “N”, al exponente a que debe elevarse una base positiva y distinta de la unidad, para obtener una potencia igual al número propuesta o sea “N”: Notación
log a M =log a n M n = log n a
3) El logaritmo de la base es la unidad.
log a a = 1
Permite escribir el logaritmo de un número con su base conocida, en otro logaritmo del mismo número pero en otra base. Sea la base original “a” y el número N, se desea cambiar a una base “b” del mismo número N. Esta transformación se realiza de la siguiente; manera:
log a 1 = 0
Se lee: “logaritmo de N en base a es igual a b”. Ejemplo: Hallar el logaritmo de 83 4 en base 5 2 Resolución
5) Logaritmo de un producto Es igual a la suma de los logaritmos de sus factores.
Sea “x” el logaritmo buscado:
6) Logaritmo de un cociente Es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
log 5 2 83 4 = x
log a N =
log a ( M . N ) =log a M +log a N *
( 2) 5
M log a = log a M −log a N N
= 83 4
b
x
2 5 = 23 . 41 / 3 x 25
7) Logaritmo de una Potencia Es igual al producto del exponente por el logaritmo dado con su respectiva base.
= 23 . 2 2 / 3
2 x / 5 = 211 / 3
Cuando las bases son iguales, entonces los exponentes son iguales.
x 11 = 5 3
log a c
=c
1 Co log a N = log a = − log a N N V. Antilogaritmo Se denomina antilogaritmo en una base “a” al número que dio origen al logaritmo.
Anti log a x =a x Por definición, el antilogaritmo y logaritmo, expresados en la misma base son funciones inversas, por tanto:
Anti log a ( log a x ) = x VI. Sistemas de logaritmos Sistemas de logaritmo neperiano o natural
log a b
CONSECUENCIAS DE LA FORMA DE CAMBIO DE BASE 1) log a N =
De un número en una base “a” es el logaritmo de la inversa del número en la misma base. También es equivalente al logaritmo del número en la base, precedido del signo menos.
Es aquel sistema de logaritmo, en el cual la base a emplear es el número “e”, donde: 2 < e < 3. (e ≅ 2,7182) siendo sus notaciones:
1 log N a
log e N =ln N
log a M N =N log a M Logaritmo decimales vulgares o de Brigss
2) Regla de la Cadena 8) Logaritmo de una Raíz Es igual al cociente del logaritmo del radicando entre el índice de la raíz.
Definición: Recibe este nombre, el sistema de logaritmos, cuya base es 10. La base no se escribe y su representación es:
log a N . log N a =1 3) Extensión de la regla de la cadena
De donde: x = 55/3 S4AL34B
*
log b N log b a
PROPIEDAD EN EL CAMBIO DE BASE
Por definición: x
M
III. Cambio de base
4) El logaritmo de la unidad es cero
Loga N = b
n
IV. Cologaritmo
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
S4AL34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to Año Secundaria
log10 N = log N Características: Es la parte entera del logaritmo decimal de un número. Puede ser positiva o negativa. Determinación de la característica de log N Cuando N>1: La característica es positiva igual al número de cifras que hay en su parte entera menos uno. Ejemplos: log 657⇒ la característica es: 3 – 1 = 2 log 3287,17⇒la característica es: 4 – 1= 3 Cuando: 0<N<1: la característica es negativa; siendo en valor absoluto igual al número de lugares que se debe desplazar la coma decimal para que el número resulte con una cifra entera.
PRÁCTICA DE CLASE 01. Calcular el valor de “E” E =log 64 log 4 / 9 log a) 2/3
b) – 1/6
d) –6
e) 1
E=
c) 3/2
x
6
36 + log
1 4
b) –3 e) –2
x
x
x
, log x x
log100 log 5 13 169
2
c) ¼
log 0,00050007: la característica es:– 4= 4 Mantisa Es la parte decimal del logaritmo vulgar.
x
x
. log x
x x
x =
3
c) 1
04. Calcular “x” a partir de las igualdades
log ( x +1) N =0,146135 ......................
.. (I)
log ( x −1) N = 0,292270 ......................
. (II)
- La Mantisa en los logaritmos decimales, se halla mediante tablas.
d) a + c
e) – 1/3
05. Calcular “x” en:
•
a) 2 d) 5
log E = 24.56786 ⇒ 24 + 1 = 25 cifras enteras
•
log E = 2.32723 ⇒ 2+1 = 3 cifras enteras
•
log E = 6.42345 ⇒ 6 + 1 = 7 cifras enteras.
S4AL34B
x
4.
log 2 7
2 log 4 5
49
b) 6 e) 2
25
log 9 16
log 7 0 . 5 E = 7 log 2 7 0 . 5 log 2 7
b) 14 e) log 0,5
E
1+ log a b 1+ log a b = a
log b 5
+ b) 10
d) b
e) logb a
(
log x x 2 + 2
)
c) 3
b) 3 e) 6
27
e) 5
2
log7 2
c) 172
a) –2
b) 7
d) 2
e) – 3
c) 3
14. Si:
2 log 2 ( 2 x −3) + 3log 3 ( 3x − 4 ) + 4 log 4 ( 4 x − 2 ) = 9
Calcular “x”: a) 10
b) 3
d) 12
e) 7
c) 2
15. Calcular el valor de:
c) a
E = co log 4 .anti log 2 . log 2 . log 2 . anti log 0,5 . l
10. Si:
a) – 3
b) –1
d) 4
e) ½
c) 2
log c a . log b c +log c a . log a b +log b16.c .Calcular log a bel=16 número de cifras que tendrá el desarrollo de:
Calcular: 2
a) 8
b) 16
d) 8
e) 32
2
E =2 28 x 329 x 5 20
Si: log 2 = 0,30103, log 3 = 0,47712
c) log abc
a) 25
b) 28
d) 37
e) 36
c) 32
antilog125 antilog3 colog25 antilog5 log7 49 c) 1
06. Calcular “x” en:
log a x . log b c (1 + log c a ) = log b x . log c x . log a c
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
d) 8
c)
27 E = co log 7 anti log 9 log 3 anti log 2 log 8 +1 8
11. Calcular el valor de:
=2 log 3
b) 3
13. Calcular el valor de:
1+ log b a 1+ log b log a 5 a b
a) 5
a) 2
4
c) 12
E =log b a + log c b + log a c b) 2
3
log 3 4
2
a) 0
Cuando se trata de calcular el Nº cifras enteras, se tiene:
2
09. Calcular:
b) 3 e) 3 / 3
Observaciones
- La Mantisa es siempre positiva
2
a) 49 d) log2 7
log 0,0023: la característica es: - 3= 3 log 0,0000426: la característica es: –5= 5
c) c
08. Calcular:
03. Calcular “x” en la expresión: log
log
a) 4 d) log 2
E = log1/ 4 log 6 2 log
a) 1/3 d) - 3
Ejemplo:
3
b) a e) a/b
07. Calcular el valor de:
3
02. Calcular el valor de:
a) 4 d) –1/2
4to Año Secundaria
a) 1 d) ac
log
8
ÁLGEBRA
52
51
a) 7
b) 5
d) 3
e) 25
c) 2
17. Calcular el valor de. E =log
12. Calcular “x” en:
anti log x anti log 4 2 anti log 2 3 = 625 S4AL34B
8
a) 0.3615
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
781.25 , si log 2 = 0,30103
b) 0.8737
c) 0.3737
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d) 0.69897
4to Año Secundaria
4to Año Secundaria 15. Calcular:
a) 2 d) 4
E = log 25 −log 20 log 5
,si
log
2=0.30103 a) 0,69897
b) 0,3615
d) 0,2117
e) 0,8436
c) 0,7257
(
ln x 4 +29x 2 −712
a) 4 d) 5
) =8
b) 2
c) 3
e) 6
log x
= ln
1 . Hallar e
“x”. a) e9e/11
b) e3e/7
d) e11e/9
e) N.A.
log 2 x + log1 / 2 x + log 4 x + log
4 log 8
3
9
log
c) 4
log a . log a b −log a log a c =1 log x a
=
b) 1 e) –2/3
e) F.d.
x
b) 1/a e) 1
07. Calcular “x” en:
(
) (
d) log 7
c) bc
)
b) 2a e) 7
c) a
b) 5/3 e) 9
c) 1/3
a) 5
b) 3
d) 6
e) 4
x x 4 log 7 + 3 log 7 =5 log 7 x −log 7 27 2 3 “El nuevo símbolo de una buena educación....”
.Si
x =
a) 1 d) 4
b) 2 e) N.a
75 P = Log 16
c) 7
11. Resolver: log a x
1 log a x
=b
e) -a
c) a
b) 2
d) 4
e) 8
x log x ( x +4 )
2
= 25
b) – 7 e) 14
S4AL34B
5
c) Log 5
c) – 2
19. Si: Log x – 3 Log 2 = 1 hallar “x”: a) 2 d) 40
b) 8 e) 1
c) 80
20. Halle de: 2 10 Log (x +x ) =20
a) 4 d) 7
b) 3 e) 4 y – 5
c) 6
c) 3
TAREA DOMICILIARIA
14. Calcular: Log
32 + Log 243
b) Log 2 e) N.a
a) 7 d) 2
a) Admite como solución a la unidad b) Se verifica para x = -9 c) Conjunto solución = {-9; 1} d) Es inconsistente e) Es indeterminado
a) 20 d) 20/9
c) 3
18. Resolver: Log (2 – x) + Log (3 – x) = Log 20
b
a) 1
5 − 2 Log 9
a) Log 3 d) Log 6
b
b) ba
d) b
09. Al reducir:
c) 4
(0,25) −Log16 9 + Log 0,5 ( Log 3 81)
13. Hallar “x” en: xLog 2+Log Log 2= Log Log 16
5log7 2
b) 3 e) 7
16. Calcular:
podemos afirmar: 2
a) 2 d) 5
17. Calcular:
12. Al resolver la ecuación:
2 2 + log7 5 + 5log7 14
a) 3 d) ½ log7 5
c) 1998
+6 x loga 5
a) ab
E= c) ¼
d) 1
log b x log c x
08. Calcular:
02. Calcular “x” en: x log 2 + log log 2 = log log 16
b) 0
7 log 5 a
06. Si se cumple que:
a) 2a d) ab/c
c) 3
a) 1997
E = 5 loga
= 27 x
2 7 loga x + 5 x loga 7 = 343
b) 2 e) – 4
x = 15 / 2
10. ¿Qué valor asume la expresión:
27 2+1
b) (1/4)-1/3 e) 3
log 5 x =3 log 5 6 − 2 log 5 3 + 3 log 5 2 −3a)log 1/a5 4
03. Calcular “x” en:
2
c) 2
c) e5e/7
01. Calcular “x” en:
a) 4 d) 2
Log 4 1 1 1 1 Log 7 3 + + + ........ + Log 7 5 4 log 2 N log 3 N log 4 N log 1999 N3
; Donde: N = 1999! , se obtiene:
Calcular “x” en: a
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 04
a) 1 d) – 2
c) 5
04. Calcular “x” en:
a) –2/3 d) 1
20. Resolver la ecuación:
ln x −e log x ln x +e
b) 3 e) 1
a) 15/2 b) ½ d) 15 e) 8 05. Calcular “x” en:
19. Calcular el valor de “x” en:
S4AL34B
ÁLGEBRA
52
e) 1.7257
18. Calcular el valor de:
e
51
3 8
b) 9 e) 9/20
01. Calcular: Log 64
16
c) 15/4
a) 73/6 d) 12/73
2 + Log b) 73/12 e) 1/2
3
27 c) 6/73
02. Calcular: Log16 Log 8 Log 2 2
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 1/2 d) – 1/4
b) – 1/2 e) 1
03. Hallar
c) 1/4 en:
Log 4 2 Log 5 ( 2 x − 3) =4
04. Calcular:
b) 14 e) 4
3Log 7 5
c) 6
a) 2 d) 1/5
Log b 3
Logc 5
3
2
a) 2 d) 4 c) 4
b) 8 e) 5 1−b
12.Si: b b
(b
Logc 4
Loga 3
b) 25 e) 125
b
)
a) 2 d) 5
c) 5
b log b x
= bb
3Loga x + 7 x Loga 3
si se sabe que: a) 1 d) 4
x = 2 Log 3 a b) 2 e) 5
(
c) 4
d)
07. Reducir:
1 1 1 14. + + 1 + Log bc a 1 + Log ac b 1 + Log ab c a) 1/2 d) ab + ac + bc
b) abc e) 2
c) a + b + c
08. Señalar la menor raíz de la ecuación:
100 Log x . 3 +10 Log 10 10 Log x
= 17
a) 2/3 b) 2/5 c) 3/2 d) 5/2 e) 5 09. Si: F(x + logx) = x – logx; hallar: F (11) a) 2 d) 9
S4AL34B
b) 3 e) 11
c) 7
b) a a
a) a a
e) a
c) a
a2
a
a) 2 d) 3
log 4 3
b) 2 e) 8
2
c) 3
2
b) – 6 e) 12
c) 6
14. Resolver:
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
= 27
c) 104
log 2 3
log 3 135 − log 9 25
)
log
0, 04
3 0 ,125
b) 3 e) 5
c) 0
17. Resolver: 2
3
(log b) log x .(log b) log x .(log b) log x ...... a) 200 d) 20
b) 100 e) 150
c) 400
a) -1 d) 4
b) 1 e) -2
6
(3 log
3
3)]
c) 3
19. Calcular E si x = 10 3
log n a a + b log n a + a log n b + log n b b
1 + log x (
3 log (log x ) log (log ( log x ))
anti log 4 x = anti log 2 [co log
15. Si: a y b son las raíces de la ecuación: x2 – 3x + n4 = 0 Calcular:
a) – 12 d) 9
c) 2/ 50
18. Qué valor de “x” verifica la igualdad:
Simplificar la expresión:
2 log3 8
b) 1/ 100 e) 300
c) 3
b) 103 e) 105
a) x d) 4
x a log a 4 ax + log x 4 ax + log a 4 + log x 4 =a a x c) 3
a) 100 d) 1
16. Hallar el valor de:
13. Resolver: 06. Calcular:
b) 2 e) 5
a) 102 d) 10
2−b
b) 3 e) 6
¿Cuántas raíces tiene esta ecuación para un valor determinado de “n”?
log ( −log x )
c) 6
= 5 . Simplificar:
log b x
4to Año Secundaria
15. Resolver la siguiente ecuación:
e) 2 3 2
d) 2
ÁLGEBRA
52
a) 1 d) 4
c)
11. Resolver: Loga64 Logxa = 3
b) 3 e) 7 Log a 2 Log b 4 5
=3 y Log b 4a = 2 , b) 2 5 2
a) 2 5 8
4
Log4 7 Log3 4
a) 2 d) 5
05. Calcular:
10. Si: Log a b
51
indicar el valor de “b”
“x”
a) 10 d) 2
4to Año Secundaria
4 −x ) = log log n −1 10
E = log x 3
a) 11 d) 9
log
3
x
+4
b) 3 e)12
log 2 x
+6
log
6
x
c) 10
20. Resolver el sistema. Hallar “x”: x log 2 xy − log 2 = 8 . . . . . . . . . (1) y
2
log x
S4AL34B
=4
log y
……. . . . . (2)
PROGRESI OBJETIVOS ESPECIFICOS: ESPECIFICOS Diferenciar los términos: Progresión Aritmética y Progresión Geométrica.
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Interpolar Medios Aritmética y Medios Geométrica. COMENTARIO PREVIO:
4to Año Secundaria
51
El término general o término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos de la sucesión. Ejemplo: El término general de la sucesión: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49 es n2 ∀ n ∈ N Dentro de las sucesiones tenemos PROGRESIONES.
¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?
Es aquella, en la cual un término cualquiera, excepto el primero, es igual al anterior aumentado en una cantidad constante llamada razón aritmética. A la progresión aritmética también se le denomina progresión por diferencia.
N
an
an a1 a2 a3 a4 : : an
2
;–
x3 3
p términos
;
x4 4
;–
x5 x6 ; ; 5 6
ri =
p términos
Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión es finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión es infinita.
PROGRESION GEOMETRICA IV. Término Central: Cuando “n” es impar. a + an ac = 1 2
a + a x +1 a x = x −1 2
V. Suma:
÷÷ t1 : t2 : t3 : t4 : .........: tn
a + an Sn = 1 n 2
Sn =
Si “n” es impar
4.7. extremo anterior
13.
16.
19.
÷÷ = Inicio de la progresión geométrica. t1 = Primer término [t1 ≠ 0] : = Separación de términos q = Razón [q ≠ 0] tn = Término enésimo Sn = Suma de “n” primeros términos Pn = Producto de “n” primeros términos
22
5 medios aritméticos
I. Razón: r = a2 – a1 = a3 – a2 .... = ak – ak – 1 Interpolación de Medios Aritméticos: S4AL34B
Elementos de la progresión geométrica.
n [2a 1 +(n −1) r ] 2
Propiedades:
10.
÷÷ t1 : t1q : t1q2 : t1q3 : ......... : t1qn-1
S n =n a c
Medios Aritméticos: Son los términos comprendidos entre dos extremos. Ejemplo:
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
Es aquella sucesión numérica, en la cual el primer término y la razón son diferentes de cero y además un término cualquiera, excepto el primero, es igual al anterior multiplicado por una misma cantidad llamada razón geométrica, a una progresión geométrica también se le denomina progresión por cociente. Representación.
* Si: r > 0 Progresión Aritmética Creciente * Si: r < 0 Progresión Aritmética Decreciente
; 1≤k≤n
b −a m +1
ri: Razón de interpolación aritmética
* Corolario:
r =a k −a k − 1
→
a p +a q =a 1 +a n
÷ a1. (a1 + r). (a1 + 2r). … [a1 + (n – 1) r]
Sea la P.A: ÷ a1. a2. a3..... ak... ax… ay... an
a n =a1 +( n − 1) r
b = a + [(m + 2) − 1] r
÷a1............ aP............. aq............ an
Clases de progresión aritmética: De acuerdo a la razón:
….
S4AL34B
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
÷ = Inicio de la progresión aritmética. a1= primer término an= término enésimo r = razón de la progresión aritmética Sn= Suma de los “n” primeros términos
1; 4; 9; 16; 25; 36; 49
x2
De (II)
III. Términos equidistantes de los extremos Sean ellos: aP; aq
CONTENIDO TEÓRICO:
Elementos de una progresión aritmética
Sucesión: a1; a2; a3;…; an Ejemplos:
1; -x;
m medios aritméti cos
Dados: a, b, m
a n =a1 +( n − 1) r
las
÷ a1. a2 . a3 ..................… an
S
n 1 2 3 4 : : n
÷ a .......... b .......... ........
II. Término General
Representación
R
n
4to Año Secundaria
a x =a y + (x −y) r
En muchas ocasiones los conjuntos de elementos cualesquiera se ordenan de igual manera que están ordenados los números naturales. Siempre que los elementos de un conjunto estén en correspondencia con los números naturales 1; 2; 3; … , de forma que a cada elemento le asignamos un número natural correspondiente, el conjunto se convierte en una SUCESION.
Es una función definida de N a R en la forma siguiente: S: N R S: n an
ÁLGEBRA
52
extremo posterior
Clases de P.G. *
Si:
q>1
*
Si: 0<q<1 P.G. Decreciente
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
P.G. Creciente
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN *
Si:
q<0
P.G. Oscilante
Propiedades: Sea la P.G. ÷÷ t1 : t2 : t3 ........ tk : .......... tn
4to Año Secundaria
VII. Suma límite: Suma de todos los términos de una progresión geométrica ilimitada y decreciente. Slim =
I. Razón:
q=
t 2 t3 t = = ... = k t1 t 2 t k −1
q=
tk t k −1
1≤k≤n
;
t1 1−q
Si: -1 < q < 1
÷÷ 3 . 9.
27.
81.
243.
extremo posterior
Interpolación de Medios Geométricos ÷÷
III. Siendo: ta, tb, dos términos equidistantes de los extremos: t1 , tn , se cumple:
a .......... b .......... ........
÷÷ t1 .......... ta ............ tb ............. tn a términos
m medios geométri cos
Dados: De
a, b, m
b = aq
a términos q1
Cuando el número de término es impar
VI. Suma: t n q − t1 q −1
q −1 S n = t1 q −1
S4AL34B
b a
PRÁCTICA DE CLASE
( t c ) 2 =t1 . t n
V. Producto:
= m +1
( Pn ) 2 =( t1 . t n ) n
01. Hallar la suma de los 30 primeros múltiplos de 4. a) 1680 d) 1860
b) 1800 e) 1620
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 7 e) 5
b) 2 e) 3/2
c) 3
b) 16
d) 12
e) 10
consecutivos c) 14
06. Expresar en función del número de términos la suma de los términos de la progresión aritmética ÷4. 10. 16. . . a) n (2n + 1)
d) n (n + 1)
b) n (3n + 1)
e) N.A.
07. La suma del cuarto y décimo término de una Progresión Aritmética es 60 y la relación del segundo al décimo es 1/3. Hallar el primer término. a) 10 d) 7
b) 4 e) 8
c) 6
c) 1600 08. Determinar “q” para que las raíces de la ecuación:
02. En una P.A. se conoce que t1 = a – 2; r = 2 - a y S=10 − 5a. ¿Cuántos términos tiene la progresión? a) 1 d) 3
a) 1 pm d) 4 pm
04. Siendo (x + y), (4x – 3y), (5y + 3x), los tres términos consecutivos de una P.A. Hallar x/y.
a) 18
c) 4
x4 −
5x 2 +q = 0 2
S4AL34B
b) 4/9 e) 9/16
c) 1/4
b) 2 pm e) 8 pm
c) 3 pm
10. Determinar la razón de una P.G. de 7 términos, sabiendo que la suma de los 3 primeros es 26 y la suma de los 3 últimos 2106. a) 1 d) 9
b) 3 e) 27
c) 6
11. La suma de los términos de una P.G. decreciente y prolongada indefinidamente es “m” veces la suma de sus “n” primeros términos. Hallar la razón. a) m
n −1 n
d)
m −n m −1 b) n c) m n
m
m−n
e) N.A.
12. En un cuadrado de lado “l” se unen los puntos medios de los 4 lados y se forman otro cuadrado cuyos puntos medios de sus lados se unen también para formar un nuevo cuadrado y así sucesivamente. Hallar el límite de la suma de las áreas de todos los cuadrados así formados? a) 4 l2 d) l2
b) 2 l2 e) N.A.
c) 144l2
13. La suma del sétimo y quinceavo término de una P.A. es 106 y la relación del término 19 al término 13 es 31/21. Calcular el valor del término 31. a) 158 d) 168
Formen una P.A. a) 9/4 d) 4
09. A las nueve de la noche término una de las clases en una academia y en el tiempo que duró la sesión dio el reloj 48 campanadas. ¿A qué hora empezó la sesión, si el reloj de control da las horas y medias horas?
c) 18
c) n (4n + 1)
q1 = Razón de interpolación geométrica
IV. Términos Central: (tc)
n
,
(m +2 ) −1
t a . t b =t 1. t n
Sn =
t n = t1. q n −1
(II):
b) 17 e) N.A.
05. ¿Cuántos números bases después de 12 suman 378 ?
t x =t y . q x −y
t n =t1. q n −1
4to Año Secundaria
03. ¿Cuántos medios aritméticos se pueden interpolar entre 8 y 48 de tal manera que se forme una P.A. cuya suma de términos sea 588?
a) 1 d) 2/3
729
4 medios geométricos
ÁLGEBRA
a) 16 d) 19
Medios Geométricos: Son los términos comprendidos entre dos extremos. Ejemplo:
extremo anterior
II. Término General
52
51
b) 148 e) N.A.
c) 153
14. En una P.A. con un número impar de términos el término central vale 31 y el producto de los extremos es 520. La “El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN diferencia de los cuadrados del término final y del término inicial es: a) 42 d) 1302
b) 2604 e) N.A.
c) 62
15. Sea la P.A. ÷ a, b, c, d de razón “r”. Calcular: k = a) 2 d) 1/2
a 2 + d2 − b2 − c2 r2 b) 1 e) 4
a) 1/5 d) 5/48
c) 0
1 2 1 2 + 2 + 3 + 4 + ....... 7 7 7 7 b) 1/24 e) N.A.
c) 1/16
17. Hallar la suma de los “p” primeros términos de una progresión aritmética, sabiendo que el enésimo término es 2n+1. a) p (p + 2) b) p (2p + 2) c) p + 3 d) 2 (p + 5) e) N.A. 18. Hallar los valores reales de “x” e “y” tales que los números x, 2x − y, 2x + y forman x una P.A. y los números , xy, 3( x − y )2 y representen una P.G. Dar como respuesta xy. a) 64 d) 36
b) 32 e) N.A.
c) 6
x3 – 13mx2 + 13 mx − 3m = 0 Están en progresión geométrica, hallar la suma de los cuadrados de las raíces de dicha ecuación. a) 71/9
b) 81/9
e) 51/9
20. Dada la progresión: 5. 10. 5....... ¿Cuántos términos de esta progresión hay que tomar a partir de la posición 14 para que sumen tanto como los 9 primeros? a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
01. Una compañía comercial decide poner 20 avisos separados por intervalos iguales a partir del kilómetro 50 hasta el kilómetro 164 de la Panamericana Norte. ¿En qué kilómetro estará ubicado el doceavo aviso? a) 106 b) 112 c) 116 d) 120 e) 124 02. Si a1, a2, a3,.... están en progresión aritmética. Calcula la suma:
S=
1 1 1 1 + + + ... + a 1a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a n a n +1
1 a) a 1a n d)
1 a 1 a n +1
c) 91/9
n n b) c) a 1 a n +1 a 1a n n +1 e) a 1a n
03. Dada 2 progresiones, una geométrica y la otra aritmética cuyo primer término es el mismo e igual a 1/3 la razón común. Sabiendo que los 5 primeros términos de la aritmética son iguales a la suma de los infinitos términos de la geométrica. Hallar el 1er. término. a) – 15/7 d) – 20/21
19. Si las raíces de la ecuación:
S4AL34B
d) 61/9
51
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 05
16. Halle la siguiente suma:
S=
4to Año Secundaria
b) – 2/3 e) N.A.
c) 13/14
04. Se tiene una P.A. creciente en la 6324 excede al término de lugar 797 en el término de lugar 19. Si la progresión tiene 815 términos. Hallar la suma de los términos de la progresión. Dar como respuesta la suma de las cifras de dicha suma.
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
ÁLGEBRA
52
a) 19 d) 28
4to Año Secundaria b) 24 e) N.A.
1
c) 31
a+ b
05. Sean a1 y a2 las raíces de la ecuación a2 − 15ª + m = 0, y a3 y a4 las raíces de la ecuación a2 − 60 a + n = 0. Se sabe que a 1, a2, a3, a4 (en este orden) forman una P.G. creciente. el valor de n/m es: a) 8 d) 81
b) 16 e) N.A.
06. Calcule
S=
el
valor
c) 25 de
“E”
:
1 3 5 7 + + + +........ 2 4 8 16
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 07. El producto de los términos de lugar par de una P.G. de número impar de términos positivos es 387420489 y el producto de los de lugar impar es 31381059609. Calcular el valor del cuadrado del término central de dicha progresión: Datos: log3 387420489 = 18 log3 31381059609 = 22 a) 729 d) 1963
b) 2187 e) N.A.
c) 6561
08. Hallar: S = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 +.... 0<x<1 a) (1–x)−2 d) (1–x)−4
b) (1–x)−1 e) N.A.
c) (1–x)−3
09. En una P.G. de razón 2, la suma de los términos es 93 y la suma de sus cuadrados es 3069. El valor del término central es: a) 6 d) 8
b) 24 e) N.A.
c) 12
10. Si a, b y c son tres números positivos en P.A. (en ese orden). Diga usted que tipo de progresión forman los siguientes números:
S4AL34B
,
1 a+ c
1
y
b +c
a) Progresión aritmética b) Progresión geométrica c) Progresión armónica d) Progresión trivial e) No forman ninguna progresión 11. La suma de los “n” primeros términos de una progresión es: Sn = n2 –n +3 Halle usted el décimo término. a) 20 d) 17
b) 16 e) 18
c) 15
12. Un alpinista escala una montaña de 5700 m. de altura. En el transcurso de la primera hora alcanzó una altura de 800 m; mientras que durante cada hora siguiente subió a una altura de 25 m. menor que en la precedente. ¿Cuántos metros ascendió durante la última hora, en que alcanzó la cima? a) 600 d) 640
b) 625 e) 650
c) 630
13. Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación x 2 − 6x + p = 0, x3 y x4 las raíces de la ecuación: x 2 − 54x + q = 0. Se sabe que los números x 1, x2, x3, x4 (en la sucesión dada) forman un P.G. creciente. El valor 8p + 4q es: a) 2241 d) 2160
b) 2187 e) N.A.
c) 2214
14. Si x, y, z, w son cuatro números en P.A. Entonces xyzw + (y + x)4; es: a) Cero b) Un cuadrado perfecto c) Un cubo perfecto d) Divisible entre xyzw e) No se puede afirmar nada 15. En una progresión aritmética con un número impar de términos, el término central vale 27 y el producto de los extremos es 329. La
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN diferencia del término mayor menos el término menor es: a) 30 d) 27
b) 40 e) N.A.
c) 16
16. Formar una ecuación bicuadrada, sabiendo que sus raíces forman una P.A. donde el valor máximo de un término es 15. a) z4 + 25z2 – 225 = 0 b) z4 − z2 +250 = 0 c) z4 − 250z2 + 5625 = 0 d) z4 + 225z2 – 5625 = 0 e) N.A. 17. Se tiene “n” montones de granos con un número de granos en P.A. creciente. Si del primer montón se quita un grano, del segundo 2, y así sucesivamente, queda en el último doble número de granos que en el primero. Se sabe además que existen en total 460 granos. Y finalmente, que si del primero se quitan 2, del segundo 4, del tercero 6 y así sucesivamente, en el último quedan 18 granos más que en el primero. Calcule el último montón. a) 60 d) 64
b) 62 e) 70
c) 68
18. En una P.G. de razón 3, la suma de los términos es 120 y la suma de sus cuadrados 7380. Las suma de los términos extremos es : a) 243 d) 106
b) 84 e) N.A.
c) 85
19. Evaluar la siguiente serie:
1 3 7 15 W =1 + + + + + ... 3 9 27 81 a) 7/2 d) 11/2
b) 5/2 e) N.A.
c) 9/2
20. Si: S1 , S2 , S3 , ....... Sp ; son las sumas de “n” términos de “p” progresiones aritméticas, cuyos primeros términos son: 1, 3, 5, 7, ... etc. Hallar la suma :
S4AL34B
4to Año Secundaria
51
np (np +1) d) 2 np (np −1) e) 2
a) np b) np (p + 1)
np ( np + 2) c) 2 TAREA DOMICILIARIA 01. Hallar el término 12 de la progresión aritmética cuyo primer término es 5 y la razón 2. a) 29
b) 27
d) 23
e) 21
d) 960
e) N.A.
c) 1020
03. El cuarto término de una progresión aritmética es 9 y el noveno término es –6, la razón “r” vale:
e) − 1
c) 2
a) 2
6
b) 3
d) 5
6
e) N.A.
6
c) 4
Σ = S1 + S2 + S3 + ....... + Sp “El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 10 e) N.A.
c) 7
b) 4 e) 5
c) 8
c) 7
n −7 2
a)
d) n − 7
N°
e)
3 (n−7) 2
08. La suma del cuarto y noveno término de una P.A. es 32 y la relación del sexto al octavo término,
15 . El término doceavo es: 19
a) 27 d) 29
SOLUCIONARIO
b) ( n − 6 )
b) 16 e) N.A.
c) 8
3 4 5 , , a −x x a +x
están en P.A.
Señale la afirmación correcta. a) 3 x = 2 a
b) 3 x = a
d) 3 x = 4 a
e) 3 x =
6
05. Hallar la razón de una P.A. si la suma de “n” términos es n( 5n − 3 ).
a) 6 d) 2
07. Dada la progresión: ÷ a1. a2. a3. … .an −7 Calcular el cociente que resulta de dividir la sumatoria de todos sus términos entre el término medio.
09. Si:
04. La suma de los tres números que están en P.A. creciente es 27 y su producto 243. Hallar la razón.
a) 8 d) 5
b) 5 e) N.A.
n +7 2
b) 990
d) − 2
a) 3 d) 9
c)
a) 980
b) − 3
4to Año Secundaria
06. En la P.A. siguiente: ÷ . . . 5. . . 47. . . 159 El número de términos que hay entre 47 y 159 es el triple del número de términos que hay entre 5 y 47, Hallar la razón de la P.A.
c) 25
02. Hallar la suma de los 20 primeros términos de la progresión: ÷, 2, 7, 12, .........
a) 3
ÁLGEBRA
52
c) 3x=
a 3
a 4
01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.
01 E C E B D D C E A C B E A B D
20.
10. Si se sabe que: (x – 4); (x); (x + 2); (y + 1); (3y); (9y – 6) es una progresión geométrica. Además que x, y, z es una progresión aritmética. Halle z. S4AL34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
Ejercicios Propuestos 02 03 04 05 A C C C A E D B A B D D D C E B B B E B E E B C B C C C A C A A A C D C D E C A A B A E D B D B C B A B B B B D B A A C B B D C C B D C B D
E
B
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to Año Secundaria
51
52
ÁLGEBRA
4to Año Secundaria
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003
S4AL34B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
S4AL34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."