Algebra 5° 3b by juan guerrero

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5 to Año Secundaria

III BIMESTRE:

ECUACIONES DE OBJETIVOS ESPECÍFICOS: •

Reconoce y clasifica una ecuación algebraica desarrollando la percepción y acumulando experiencias que servirán de soporte para futuras formalizaciones

•

Dado un conjunto de Ecuaciones de Primer Grado, trabaja creativamente y con actitud crítica situaciones problemáticas, utilizando una variedad de técnicas de cálculo y aplicando correctamente las propiedades que correspondan.

ÁLGEBRA

5 to Año Secundaria

•

¿Cuántas raíces reales o complejas posee una ecuación?

•

Dados dos números a y b, ¿cuántas raíces de una ecuación dada están comprendidas entre a y b? (problema de la separación de las raíces de una ecuación).

Desde este punto de vista los dos teoremas fundamentales son el de René Descartes y el teorema fundamental del álgebra (K. Gauss – D′Alambert). Este teorema fue enunciado por Girard en 1625, sólo realizó una demostración incompleta por parte de D′Alambert (1746). La primera demostración completa fue establecida por K. Gauss (1799). Después Cauchy, Weierstrass y Kronecker dieron otras demostraciones. El teorema de Gauss – D′Alambert se enuncia “Toda ecuación polinomial de grado n posee por lo menos una raíz (compleja o real)”.

COMENTARIO PREVIO:

CONTENIDO TEÓRICO:

Hace cinco mil años, en el país de los sumerios, cerca del Golfo Pérsico, se dieron las primeras dificultades matemáticas que necesitaban ser interpretadas bajo ciertas igualdades. Esto dio inicio a las primeras relaciones que, posteriormente, los matemáticos dieron el nombre de Teoría de Ecuaciones.

1. IGUALDAD DE NÚMEROS REALES

Con el afán de resolver las ecuaciones se han creado nuevas teorías, nuevos conceptos, nuevos conjuntos numéricos. El método de resolución de las ecuaciones de primer y segundo grado fueron descubiertos por los matemáticos sumerios y babilonios (3000 años a.C) y por Diofante (329 – 410 d.C) fundador del Álgebra, por los hindúes y, finalmente por los árabes (siglo IX). Este método forma parte del más antiguo patrimonio matemático de la humanidad. La ecuación de tercer grado dio ocasión a Cardano (1501–1576) y a Tartaglia (1499– 1557) para inventar los números complejos en el siglo XVI. Ludovico Ferrari (1522–1565), discípulo de Cardano, encontró el método general de la resolución de la ecuación de cuarto grado. Posteriormente, René Descartes (1596–1650), sabio y filósofo francés, inventor de la geometría analítica descubre otra forma de resolver la ecuación cuártica.

Como es lógico, los matemáticos trataron de resolver las ecuaciones de grado superior a cuatro (quinto grado, sexto grado,…., de grado n). Este estudio tenía un interés doble, ya que hubiera constituido un gran logro encontrar un método general de resolución para todas las ecuaciones de una incógnita, cualquiera sea su grado.

Es la relación matemática donde nos indica que dos cantidades tienen el mismo valor. Se denota por el signo =, que se lee igual. Veamos: 27 = 27 ; |9| = |- 9| ; A = B AXIOMAS DE LA IGUALDAD.Enunciaremos los siguientes axiomas sobre la Igualdad de Números Reales. Axioma de Reflexividad: Todo número real es igual a si mismo. Si a ∈ R ⇒ a = a Axioma de Simetría: Si un número real es igual a otro, entonces el segundo es igual al primero. Si a = b ⇒ b = a, a; b ∈ R Axioma de Transitividad: Si un número real es igual a otro, y este otro es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero.

Tras muchos intentos se llegó a la conclusión de que las ecuaciones de quinto grado o superior eran imposibles de resolver sólo usando cálculos algebraicos. Un médico italiano de Bolonia, Paolo Ruffini (1765–1822), había tratado de demostrarlo en 1798, en su teoría general de las ecuaciones; pero la demostración resultó incompleta. Al cabo de unos años, el joven matemático noruego Abel (1802– 1829) descubrió en 1824 el teorema que lleva su nombre y dice: “Es imposible resolver algebraicamente las ecuaciones generales de grado superior a cuatro”.

Si a= b ∧ b = c ⇒ a = c; a; b; c ∈ R

Este teorema fue reforzado por Evariste Galois (1811–1832), matemático francés, fundador de la teoría de los grupos. Dado que los matemáticos no lograron encontrar métodos generales de resolución para ecuaciones de grado superior a cuatro; trataron de responder ciertas cuestiones como: •

¿Cuántas raíces positivas posee una ecuación?

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2. ECUACIÓN Una ecuación es una igualdad condicional entre dos expresiones matemáticas definidas sobre un mismo conjunto numérico, donde participa por lo menos una variable (cantidad desconocida llamada variable). Es todo enunciado abierto en que aparece el signo “=” y cuyo valor de verdad se determina mediante su correspondiente conjunto de valores admisibles para la variable (conjunto solución).

Ejemplo 2: La ecuación 3x – 5 = 0, tiene como raíz o solución a: x = 5/3. 5  Luego, su conjunto solución es: C.S. =   3  3. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS Ecuación polinomial: Es una ecuación algebraica racional entera.

OBSERVACIONES.-

P(x) = ax + b= 0 P(x) = ax2 + bx + c = 0 P(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0 P(x) = a0xn + a1xn–1 + a2 xn–2+ a3 xn–3 +...+ an – 1 x + an = 0 n ∈ Z+ ∧ {a0; a1; a2; a3; ...an - 1;an} ⊂ R ; a0; a1; a2; a3; ...; ; an - 1; an son los coeficientes.

Enunciado abierto: Es toda expresión que contiene por lo menos una variable, que para determinados valores de su dominio se convierte en un enunciado verdadero o falso llamado proposición. Variable: Es el símbolo que puede tomar un valor cualquiera de un determinado conjunto llamado dominio. A las variables que intervienen en la ecuación se les llama incógnitas

Nota: El conjunto de valores admisibles en una ecuación polinomial son todos los reales.

Conjunto solución:

Ecuación fraccionaria: Es una ecuación algebraica racional fraccionaria.

El conjunto solución de una ecuación es el conjunto de valores (soluciones) que permiten que la ecuación sea una proposición verdadera.

7 - 5x+11= 0 ....... CVA = R - {-2} x +2 3 5 4 + − =0 P(x)= ....... CVA = R - {-1,-3,1} x +1 x + 3 x −1 P(x)=

Si una ecuación no posee solución alguna, entonces definiremos a su conjunto solución como el vacío y lo denotaremos por φ o {} Ejemplo 1. Sea la ecuación: x3= 4x. 13= 4(1)

Ecuación Irracional:

→ 1=4

Proposición falsa Si x = 2:

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3.1. DE ACUERDO A SU FORMA:

Notación: A(x) = B(x)

Si x = 1:

ÁLGEBRA

P(x)= x − 2 + x 2 − 3 = 0 .Restricción de la ecuación: x - 2 ≥ 0 → x ≥ 2. Luego C V A= x ∈ [2,+∞>

2 = 4(2) → 8 = 8 3

Proposición verdadera Nota: El hecho de haber establecido el conjunto de valores admisibles (CVA), no implica haber resuelto la ecuación, sólo se le ha restringido.

Si x = - 2: (- 2)3=4(- 2) → - 8 = - 8 Proposición verdadera Si x = 0:

03= 4(0)

→ 0= 0

3.2. DE ACUERDO A SU CONJUNTO SOLUCIÓN:

Proposición verdadera

Ecuaciones consistentes o compatibles: Son aquellas que tienen o aceptan por lo menos una solución. A su vez se dividen en:

De lo expuesto; vemos que 2, - 2, 0 son soluciones de la ecuación de acuerdo a la definición, luego: CS = {2, - 2, 0}

- Determinadas: Ejemplo: x3 = x,

Son aquellas que tienen un número limitado de soluciones. CS = {1; 0; - 1}

- Indeterminadas: Son aquellas que tienen un número ilimitado de soluciones. Ejm: Ejemplo: x + 1 = x + 1, CS = R S5AL33B

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Ecuaciones inconsistentes o incompatibles.- Son aquellas que no tienen solución, también se les denomina absurdas o imposibles.

1 Ejemplo: = 0 CS = φ x 4. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 0 LINEALES EN UNA VARIABLE Son aquellas ecuaciones que tienen la forma:

Donde: a, b son los coeficientes, “x” es la incógnita. Para obtener la única raíz o solución de la ecuación, basta con despejar la incógnita, así tendremos

b a

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(a=5; a=- 3) ∧ (a ≠ - 2; a ≠ - 3) ⇒ ∴ a= 5 6. ECUACIONES EQUIVALENTES: Dos o más ecuaciones de las mismas variables son equivalentes, si y solo si poseen el mismo conjunto solución. Ejemplos: P1 =

P(x) = ax + b = 0

que: x = −

x 2x + = 14 → CS = {12} 2 3

P2 = 5x – 36= 24 → CS = {12} Como los conjuntos solución son iguales, entonces P1 y P2 son equivalentes:

(presentación única solución).

5. ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN PARAMETRICA EN VARIABLE “X”.

Para resolver una ecuación de primer grado es fácil, bastará con aplicar algunas propiedades básicas de los números reales hasta hallar el valor de la incógnita.

ax= b.........(*) Se debe tener cuidado, cuando la variable aparece en el denominador o cuando se presenta un término radical; es justamente en estos casos que aparece una raíz extraña en algunas ecuaciones.

Caso I:

Si: a ≠ 0 (no importa el valor de b), reemplazamos en (*), obteniéndose x = b/a una sola solución, con lo cual su conjunto solución es finito, luego (*) es compatible determinada.

Caso II:

Si: a = 0, b = 0, evaluando en (*) se tiene 0x = 0, indicando que existen infinitas soluciones, luego (*) es compatible indeterminada.

Luego, para resolver ecuaciones en general y de primer grado en particular es necesario tener en cuenta lo siguiente:

Caso III: Si: a = 0, b ≠ 0, al reemplazar en (*) se obtiene 0x = b que carece de soluciones, con lo cual su conjunto solución es vacío, luego (*) es incompatible.

a) Si se divide ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se perderán soluciones. Esto se puede evitar si la expresión que se divide (simplifica) se iguala a cero.

Ejemplo: En la ecuación paramétrica en “x”: (a – 5) (a + 3) x = (a + 2) (a + 3) Halle los valores de a para que sea: I) Determinada II) Indeterminada III) Incompatible

Ejemplo: Resolver: (x + 3) (x - 2) = 4 (x - 2)

Resolución Resolución

a ≠ 5 I) (a - 5) (a+3) ≠ 0  a ≠ − 3 II) (a – 5) (a + 3)

= 0 ∧ (a + 2) (a + 3)

(a = 5; a = – 3) ∧ (a = – 2; a = – 3) III) S5AL33B

(a – 5) (a + 3)

⇒

Simplificando (x - 2) para no perder solución: x – 2 = 0 → x = 2 Luego, tendremos: x + 3 = 4 → x = 1 La ecuación tiene 2 soluciones x = 2 y x = 1 (de no haber igualado a cero, hubiéramos perdido la solución x=2).

∀a ∈ R -{- 3, 5}

b) Si se multiplican ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se puede introducir soluciones extrañas. Esto se puede evitar si previamente se simplifica por separado cada miembro de la ecuación.

=0 ⇒

∴a= - 3

= 0 ∧ (a + 2) (a + 3) “El nuevo símbolo de una buena educación...”

≠0 S5AL33B

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Ejemplo:

(x + 3 ) ( x − 2)

Resolver:

x −2

2 2 = 2x + 3 + . x −5 x −5

Para lo cual x = 5 no es solución. Observaciones:

Primero simplificamos (x - 2), y tendremos; x + 3 = 4 → x = 1 Observación.- Si hubiésemos trasladado (x - 2) a multiplicar, tendríamos que una solución sería x = 2, que es una solución extraña, pues no verifica la igualdad. c) Si se eleva ambos miembros de una ecuación a un mismo exponente, entonces se pueden introducir soluciones extrañas. Ejemplo:

1. El conjunto solución de una ecuación depende del conjunto numérico en que se quiere resolver la ecuación, por ejemplo: Si queremos resolver en el conjunto de los racionales (Q), entonces el conjunto solución de la ecuación: x2 = 2, es vacío; pues no existe número racional cuyo cuadrado es 2. Si embargo si resolvemos en el conjunto de los reales (R), entonces el conjunto solución es { − 2 , 2 }. De la misma manera, la ecuación x 2 = – 1, no tiene solución en R, pero si la tiene en el conjunto C. Al despejar x se obtiene: x = −1 ó x = - −1 .

x 2 +7 =x −7

Si definimos {- i; i}.

Resolución Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación propuesta: x + 7 = x – 14x + 49 ⇒ 14x = 42 ⇒ x = 3 2

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Obtenemos: x2 – 12 +

Resolución

Resolver:

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)

= (x −7 )2

Pero si reemplazamos; x = 3 en la ecuación dada tendremos:

−1 =i (i es la unidad imaginaria del conjunto C), el conjunto solución es:

2. Si p y q son expresiones algebraicas en una variable “x”, entonces un enunciado de la forma “p = q” se llama una ecuación algebraica en “x”. Si obtenemos una proposición verdadera cuando reemplazamos x por x0; entonces x0 es llamada una solución de la ecuación. x 0 es un valor del dominio (conjunto de valores admisibles) para x.

3 2 +7 =3 −7 → 16 =−4 →4 =−4

3. Si el conjunto solución de una ecuación es todo el dominio para x, entonces la ecuación se llama una IDENTIDAD, por ejemplo:

Proposición Falsa (No cumple), luego: x = 3 es una solución extraña, y la ecuación es incompatible, pues no tiene solución: Observación: Siempre que se potencie los dos miembros de una ecuación. El valor o los valores obtenidos para “x” deben comprobarse en la ecuación original pues pueden no ser soluciones verdaderas. d) Si a ambos miembros de una ecuación le sumamos un mismo número o un mismo polinomio, la nueva ecuación es equivalente a la inicial.

La ecuación: 1 −x 2 = (1 −x)(1 +x) es una identidad; pues es cierta para todo número en el dominio para x, esto es, en el intervalo cerrado: [- 1, 1]. 4. Si en el dominio para “x” existen números que no son soluciones, entonces la ecuación se llama ecuación condicional o un enunciado abierto. Por ejemplo; en la ecuación: x 2= x , cuyo dominio para x es: [0, ∞> existen números en el dominio que no son soluciones, por ejemplo x = 4 ∈ [0, +∞>, y no es solución, luego se trata de una ecuación condicional.

Observación: Si a ambos miembros se suma o resta una función arbitraria la ecuación resultante no necesariamente es equivalente a la inicial. La ecuación: x2 – 12 = 2x + 3 tiene por raíces: x = 5; x = - 3 Sumando a los dos miembros de la ecuación original: S5AL33B

2 x −5

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5 to Año Secundaria ↔

PROBLEMAS EXPLICATIVOS

5 01. Sayumi tenía 120 nuevos soles. Si gastó los de lo que no gastó. ¿Cuánto dinero gastó Sayumi? 7 Resolución Sea x la cantidad de nuevos soles que gastó Sayumi. Entonces (120 - x) nuevos soles es lo que no gastó.

5 Luego: Gasto = (No gastó) 7 5 Entonces: x = (120 - x) ↔ 7x = 600 – 5x 7

Respuesta: Como la clase empezó a las 8:00 a.m. y duró 80 minutos entonces terminó a las 9:20 a.m. 03. Un río tiene una corriente de 3 kilómetros por hora. Si el bote de Aly Boydi tarda el mismo tiempo en ir 18 kilómetros río abajo y 15 km. río arriba. Calcule la velocidad del bote en aguas tranquilas. Resolución Sea V la velocidad del bote en aguas tranquilas, entonces (V + 3) es la velocidad del bote río abajo (con la corriente a favor) y (V - 3) es la velocidad del bote río arriba (contra la corriente), entonces tenemos:

↔ 7x + 5x = 600 ↔ 12x = 600 ↔ x=

t = 80’

600 12

Distancia

Velocidad

Río Abajo

V+3

Río Arriba

V–3

↔ x = 50

1 02. Walter llega tarde al colegio cuando había pasado un de la clase de álgebra; 6 minutos después 8 4 llega Jimmi y sólo escucha los de la clase. Si la clase empezó a las 8:00 de la mañana. ¿A que 5

18 15 = V + 3 V −3

↔ 18V – 15V= 45 + 54 ↔ 3V = 99 ↔ V=

Resolución

1 4 t (pues Jimmi sólo escuchó los t). 5 5 1 1 1 1 Luego: t= t + 6↔ t– t=6 5 8 5 8 3t ↔ =6 40 ↔ S5AL33B

↔ 18 (V – 3) = 15 (V + 3)

↔ 18V – 54 = 15 V + 45

hora terminó?

equivale a

1 t + 6 ' ) de la clase, que 8

99 3

↔ V = 33 Respuesta: La velocidad del bote en aguas tranquilas es 33 kilómetros por hora.

40 x 6 3

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18 V+3 15 V −3

Como el tiempo es el mismo:

Respuesta: Sayumi gastó 50 nuevos soles.

Sea t el tiempo (en minutos) que duró la clase. Jimmi se pierde (

Tiempo

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ÁLGEBRA

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n 2 (n − 2) − n +1 −n n − n x = n − 2 .

Se enfoca De acuerdo a su forma

De acuerdo a su C.S.

Se considera Algebraica

Polinomial P(x)=a x n + a x n-1 + a x n-2 + ...+ a = 0 o 1 2 n

Compatible

Exponencial x x- 256= 0

Poseer grado

Incompatible (CS= O ) Determinada (C.S. Finito)

Logarítmico Log x - 1= 0 6

Fraccionaria 3 =5 x+2

I. Es determinado cuando n ≠ 1 ∧ n ≠ -1 II. Es indeterminado cuando n = 1 ∨ n = -1 III. Es incompatible cuando n = 2

Puede ser

No Algebraica

Se caracterizan por:

)

(

Clasificación de las Ecuaciones

a) VVV 04.

Indeterminada (C.S. Infinito)

c) VFV

d) FFV

e) VFF

Luego de resolver la ecuación en “x”:

x +b +

Trigonométrico Senx - x= 0

b) VVF

x − 2b 3

x − 3b 5

23 x − 4 b 15

− 2b .

Es cierto que:

Irracional x-7 =7-x

a) La solución depende de b (b ∈ ℜ) b) Tiene una sola solución c) No tiene solución

d) Tiene infinitas soluciones e) Tiene dos soluciones

PRÁCTICA DE CLASE 01.

05.

Clasificar las siguientes ecuaciones algebraicas de acuerdo a su forma. ECUACIÓN ALGEBRAICA

CLASIFICACIÓN

x4 −3 5 x2 + x −6

ECUACIÓN ALGEBRAICA

Luego de resolver la ecuación en “x”:

x −m

CLASIFICACIÓN

x −3 − 5 −x = 0

6 x +5 02.

−x =0

3x + 7 = 3x + 7

03.

x +5

+5 −

2 x −4

1 1 = x x

CLASIFICACIÓN

x −p

1 1 1 = 2 + +  mn m n p 

II. Si m + n + p ≠ 0 siempre existe solución y es única. III. Siempre la solución es m + n + p.

ECUACIÓN ALGEBRAICA x(x - 8) = (x - 4)2

a) VVV

CLASIFICACIÓN

b) VFV

c) VFF

d) FVV

Resolver: (x-9) (x-7) (x-5) (x-1) = (x-2) (x-4) (x-6) (x-10) a) 4,5

b) 3,5

c) 5,5

d) 2,5

−x + 2

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones con respecto a la ecuación en x:

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e) FFV

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01 01.

5x = 5x x −5

x −n

I. Si m + n + p = 0 la ecuación tiene infinitas soluciones con mnp ≠ 0.

Clasificar las siguientes ecuaciones algebraicas de acuerdo a sus soluciones:

ECUACIÓN ALGEBRAICA x3 = 25x

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e) 1

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 02.

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Resolver: 10. 2

(12346 ) − (24691 )

(12344 ) − (24689 ) a) 12345 03.

d) 14395

c) ℜ–{1}

b) 1

Resuelva la ecuación:

x 2

e) –2

01.

x −1 3

x 2 + 2x − 3

1 2

x 6

d) 3

e) 8

c) {–1}

d) {4}

e) {–6}

x −a −b c

b) cc) a

Resolver: x + 8 + a) 1

4 x −1

b) - 1

02.

x −b −c a

x −a −c b

d) b

= 10 − x +

03.

b) - 7

d) FFFV

e) FVFF

b7 + c 5 − x a2

b) a + b + c

4x a 2 + b7 + c 5

c) abc

d) 1

e) (abc)/4

Resolver la ecuación de primer grado en “x” b

Sabiendo que el coeficiente principal es 17, mientras que el término independiente es 15 Hallar: (a + b - c)/x

x −1

a) –34/5 d) Indeterminado

e) Incompatible

d) Indeterminado

e) Incompatible

04.

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b) -34/6

c)-34/8

d) -34/3

e) -34

La siguiente ecuación es de primer grado y Mónica, considerando que “x” es la incógnita, hallar “a + b”

 17 a  b b b   − 51 x 2 +  + + + 8 x + a + b = 0  3  2 3 6  a) 1

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a 2 + c5 − x

c) 7 y - 7

c) FFVV

a a c c a  4 + 5 + 20 −7 c  + +  + + + +4 =0  3 2 12 − 5 x 5 10 15  

e) 0

c) 1 y – 1

a) a2 + b7 + c5

e) 4

= 3 . Donde {a; b; c}⊂ ℜ+ Halle x0

b) VFVF

Resolver la siguiente ecuación:

Resolver: x − 5 + 2 3 − x = 9 − x + 12 − 4 x a) 7

Respecto a la ecuación de variable x: m (m 2 – 1) x = 0, establezca el valor de verdad de cada proposición:

a 2 + b7 − x

d) 2

c) Tiene tres raíces

I. Es compatible para cualquier valor de m. II. Si m = –1, tiene infinitas soluciones. III. Si m = 0, tiene solución única. IV. Si m ∈ {0; 1; –1}, tiene una única solución e igual a cero.

. Calcular 2x0

c) –2

. Marque lo correcto:

b) Tiene dos raíces e) Incompatible

a) VVVV

b) –1

Si x0; es solución de:

c) 0

b) {2}

Si x0; es solución de:

a) 2

09.

x 2 − 25

TAREA DOMICILIARIA

d) 5

– a – b.

08.

x +3

e) 16345

Halle “m” si la ecuación: (m – 1) x = m2 – 3m + 2 presenta infinitas soluciones.

a) 1/2 07.

x −5

a) Tiene una raíz d) Indeterminado c) 13564

b) 1

a) {3} 06.

3x − 2

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Halle “n” de modo que la ecuación (n + 1) x = n2 + 3 sea compatible.

a) 2 05.

Resolver:

3x + 2

b) 11365

a) 3 04.

ÁLGEBRA

S5AL33B

b) 3

c) 5

d) 3

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e) 2

ECUACIONES COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 05.

ÁLGEBRA

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Resolver:

−x − a b +c

−x − b a +c

a) –a-b-c 06.

5 to Año Secundaria

−x − c a +b

b) a + b + c

=3 c) abc

d) 3abc

Determinar el parámetro “p” de modo que la ecuación: 2 px − 3 x −1

3 px − 2 x +1

= 2 p + 1 . Se reduzca a una de primer grado.

e) a + b - c

OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Dado un conjunto de Ecuaciones de segundo Grado, resolverlos aplicando correctamente las propiedades que corresponden. COMENTARIO PREVIO: Una vez asimilado la parte del análisis matemático correspondiente al estudio de polinomios, y dentro de ello una definición fundamental para enmarcarnos en el desarrollo de este tema, la cual dice que, para un polinomio de una variable, el valor de la variable para el cual el polinomio se anula, se denomina raíz del polinomio. Ejemplo: Para el polinomio: P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 Sus raíces son: {1; 2; 3}. Entonces: P(1) = 0 ; P(2) = 0 y P(3) = 0 La finalidad de este módulo, es el análisis particular de los polinomios de segundo grado que constituirán las ecuaciones de segundo grado. CONTENIDO TEÓRICO: Toda ecuación completa de segundo grado o cuadrática con una incógnita, adopta la siguiente forma: ax 2 + bx + c = 0

Donde:

ax2 → Término cuadrático bx → Término lineal c → Término independiente

FORMAS INCOMPLETAS DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO. 1. 2. 3.

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Si: b = 0 Si: c = 0 Si: b = c = 0

S5AL33B

se tiene: ax2 + c = 0 se tiene: ax2 + bx = 0 se tiene: ax2 = 0

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ÁLGEBRA

5 to Año Secundaria 2

RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO:

Dada la ecuación: ax + bx + c = 0 podemos enunciar las siguientes propiedades:

Al estar un miembro igual a CERO se procede así:

1. Suma de Raíces (S): Es igual al coeficiente del término lineal con signo cambiado, dividido entre el coeficiente del término cuadrático, es decir:

I. POR FACTORIZACIÓN: −b S =x1 +x 2 = a

Consiste en descomponer el primer miembro en dos factores utilizando el método del aspa simple o completando cuadrados, luego, se iguala cada factor a cero y se obtiene las raíces de la ecuación.

2.- Producto de Raíces (P): Es igual al término independiente, dividido entre el coeficiente del término cuadrático, es decir:

Ejemplo: x2 – x x

6 = -3 -2

0 c P= x1 . x 2 = a

Igualando cada factor a cero, se tiene como soluciones o raíces: x=3

3.- Diferencia de Raíces (D): Se determina por la siguiente relación:

x=2

Conjunto solución: {3; 2}

D = x 1 −x 2 =

± b 4 −4 ac a

II. POR FÓRMULA: Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0. Se puede obtener las raíces aplicando la siguiente fórmula:

x =

4x2 – 12x + 5 = 0 donde a = 4 ; b = –12 ; c = 5

b 2 −4 ac

−b ±

Ejemplo: Dada la ecuación:

Suma de Raíces (S)

S = x1 + x 2 =

Ejemplo: 2x2 + 9x – 5 = 0 De donde: a = 2; b = 9; c = - 5

x =

−(−12) 4

Productos de Raíces (P)

−9 ± 9 2 −4(2)(−5) 2(2) x1 =

x2 =

− 9 + 121 4 −9 − 121 4

−9 ± 121

P = x1 . x 2 =

4 1

D = x1 − x 2 = =−5

5 4

b 2 − 4 ac a

± (−12 )2 − 4 (4 ) (5) 4

=± 2

NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO: Para conocer la naturaleza de las raíces se analiza el valor de la cantidad subradical:

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES: “El nuevo símbolo de una buena educación...”

Diferencia de Raíces (D)

Nota: Una ecuación de segundo grado tiene como máximo dos soluciones o raíces.

S5AL33B

−b

∆ = b2 – 4ac S5AL33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5 to Año Secundaria

ÁLGEBRA

5 to Año Secundaria

Llamada “Discriminante”. Se presentan los siguientes casos: 1.2.3.-

PRÁCTICA DE CLASE

Si: ∆ > 0. Existen dos raíces reales y diferentes. CS = {x1; x2} Si: ∆ = 0. Existen 2 raíces reales e iguales. CS = {x1 } Si: ∆ < 0. Existen 2 raíces complejas conjugadas. CS = {x1; x2}

01.

Completar: Ecuaciones

Discriminante (Δ)

Naturaleza de raíces

Raíces (Δ)

Conjunto solución

x2 + 6x + 9 = 0

FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN CONOCIENDO SUS RAÍCES

x2 − x + 1 = 0

Primer Método:

3x 2 − x −1 = 0

Ejemplo:

x 2 + 3x + 5 = 0

Formar la ecuación de segundo grado si esta tiene como raíces: x = 7 y x = 3 se forman binomios y se efectúa el producto igualando a CERO, es decir:

02.

Completar el cuadro:

(x – 7) (x – 3) = 0

Ecuaciones

Entonces la ecuación pedida será: 2

x – 10x + 21 = 0

x2 − 6 = 0

Segundo Método:

3x 2 + 6 x = 0

Consiste en calcular la Suma (S) y el producto (P) de las raíces, los resultados se sustituyen en la fórmula:

2 x 2 − 48 = 0 x2 +1 = 0

x2 − Sx + P = 0

03.

Ejemplo:

Completar el cuadro:

2x 2 + x + 3 = 0

r+s=…

∧ r.s = …….

3x − x + 2 = 0

r+s=…

∧ r.s = …….

x2 + x + 1 = 0

r+s=…

∧ r.s = …….

2x 2 − 3 x = 1

r+s=…

∧ r.s = …….

03.

Resolver: a)

2x + 1

x+2

2 2

x −2 x −4 x −4 x 2 −2 − = x − 2 x − 3 x 2 − 5x + 6

S5AL33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

r y s raíces

Ecuaciones

Formar la ecuación de segundo grado si esta tiene como raíces: x = 7 ∧ x = 3 Entonces: S = 7 + 3 = 10; P = (7) (3) = 21 Sustituyendo en la fórmula tendremos: x2 – 10x + 21 = 0

S5AL33B

−

1 x(x − 2)

x −4 x(x + 2)

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

= 0 c)

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 04.

a) r + s d)

1 r2

b) x − 4 + x = 2 e) 22x + 2x + 3 = 128

1 r

12.

c) r – s

r2 r +1

13.

s +1 14.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 6/5

Indicar el producto de las inversas de las raíces de: 3x 2 + 4x = 12 a) 4/3

08.

b) -4/3

c) –1/4

d) 4

b) ± 2

c) 4

e) –4

b) 3/4

c) 4

b) 5

e) 2

c) 3

b) 2

c) 1/2

02.

Si el producto de las raíces de la siguiente ecuación: (m – 1)x2 + (2m+2)x + m + 4 = 0; es 9/4. Indicar lo correcto. a) m + 1= 3 d)

11.

m +3 2

b) m2 = 9

c) m – 1= 6

e) m –1 = 10

Si las raíces de la ecuación: (x – a)2 + (x – b)2 + 2c2 = (x + c)2

S5AL33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 1

d) 1/3

e) 3

Hallar “a” en: a2 x2 – (a + 2) x + 1 = 0. Sabiendo que sus dos raíces son iguales. b) –2/3

c) –2

03.

d) 1/3

e) Hay dos correctas

Resolver la ecuación: (n – 2)x2 – (2n – 1)x + n – 1 = 0.

10.

d) 2

Si se consideran las ecuaciones:

a) 2 d) 1/4

c) m > 9

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02

Si la suma de sus raíces de la ecuación: (m – 2)x2 + mx + 1 = 0; es 2. Hallar “m” a) 4/3

b) m > b e) m > 11

e) 3 01.

09.

e) –12

La ecuación cuadrática: (m + 1)x2 – 4x + 1 = 0 se anula para un solo valor de “x”. Hallar m.

a) 1 d) ±4

d) –1

x2 + bx + c = 0; x2 + px + q = 0, donde las raíces de la primera ecuación son la suma y el producto de las raíces de la segunda ecuación y recíprocamente. Señale Pb.

Calcular la diferencia de las raíces de: x2 – 6x + 5 = 0 a) 2

c) 6; –6

Determinar la condición para que la ecuación: x2 – 6mx + 9m2 – 2m + 2 = 0; posea raíces iguales o mayores que 3.

a) 4

e) 5/2 15.

07.

b) –6

a) m > 3 d) m > 11/9

Señale la suma de las inversas de las raíces de: 2x 2 – 6x + 5 = 0

b) (-2b) es la media armónica de a y c d) ab + bc + ac = 0

Hallar el valor de K para que la ecuación 9x2 – kx + 1 = 0 tenga raíces iguales. (k < 0) a) 6

e) r3 + s3

a) (-2a) es la media armónica de b y c c) (-2c) es la media armónica de a y b e) Cualquiera de las anteriores

x −7 − 2 x = 3

g) (2r + 3s + 1)(2s + 3r + 1) 06.

5 to Año Secundaria

Son iguales. Podemos afirmar que:

Dada la ecuación x2 – 3x – 5 = 0, si sus raíces son r y s, halla: 2

ÁLGEBRA

Resolver: a) 2x + 3 = x d) x4 - 10x2 + 21 = 0

05.

5 to Año Secundaria

Sabiendo que el discriminante es 25.

1  a) − 3 ;  2 

−1   b) 3 ;  2  

1  − 3 ; −  2 

1  1 ;  e) − 2 2 

1  c) 3 ;  2 

Sea la ecuación de segundo grado:

S5AL33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5 to Año Secundaria

(m + 3)x – 3(m – 1)x + (6 – m) = 0 Indicar la suma de los valores de “m” que se obtienen en: • • • • •

a) 35/ 2 04.

b) –66/ 5

d) 53/ 2

e) 26

b) 3A2 = 16B e) A2 = 9B

−

4 5

− 1 ; siendo:

10.

11.

d) 9

b) 5x2 + 6x + 1 = 0 e) N.a.

c) 1

d) – 1

Siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación Hallar E = (x1 + 1) (x2 + 1) b) 1

2x2 – x + 3 = 0.

c) 2

d) – 1

−1 n 2 −1

, n > 1

e) 4

n 2 −1 n 2 − n 2 −1 −1

12.

n −1

a) – 2

d) 17/3

e) 5

13.

b) – 4

c) 1

e) n –

¿Cuál de las siguientes alternativas no se relacionan? d) 9

e) 6

d) 2

e) 4

Dada la ecuación: (2x – 3) 2 = 4(2x – m) y considerando que “x” es la incógnita. Halle los valores reales que debe tener “m” de manera que:

K = x 12 + x 2 2 . Determinar el mínimo valor de K

Las raíces de la ecuación sean reales y diferentes La ecuación tenga raíces iguales Las raíces de la ecuación no sean reales Las raíces de la ecuación sean reales

a) m ∈ <- ∞ ; 4] d) {4}

b) m ∈ <- ∞ ; 4> e) {8}

c) m ∈ <4 ; ∞ >

14. Determinar “m” en la ecuación: S5AL33B

d) –1

Si: m, n son las dos raíces de la ecuación: x2 – 2x + 2 = 0 Calcular: E = mm+n . nm n

x2 + (m – 2)x – (m + 3) = 0, donde x1 , x2 son las raíces; además:

c) – 4

n −1

(m + n)x2 + (m + 1)x + 3 = 0

c) 2

b) -

n −1

a) b) c) d)

b) – 6

e) 0

Calcular la raíz x1 de la ecuación: ax2 + bx + c = 0. Sabiendo que:

c) 5x2 – 6x + 1 = 0

Dada la ecuación:

a) 7

e) 17

−1 =i

Tengan las raíces iguales. Indicando la suma de la mayor “n” con la menor “m”. b) 20/3

c) 5

b) – 2

a) 3

c) A2 = 3B

Calcular los valores de “m” y “n” de tal manera que las ecuaciones: (n – 1)x2 + 2x + (m – 4) = 0

07.

a) 3

a) 5x2 + 6x + 5 = 0 d) 5x2 – 6x + 5 = 0

a) 3

b) 11

En la ecuación cuyas raíces son x1 ; x2 : 2ax2 + (3a – 1)x + k + a = 0 Hallar el valor entero de k a fin de que exista un solo valor de “a” que permita que las soluciones x1 ; x2 sean iguales.

Formar una ecuación de segundo grado de coeficientes reales, sabiendo que una raíz es:

06.

c) 55/ 2

09.

5 to Año Secundaria

En la ecuación: 2x2 – (m – 1)x + (m + 1) = 0. ¿Qué valor positivo debe darse a “m” para que las raíces difieran en uno? a) 7

La ecuación: x2 – Ax + B = 0, tiene una raíz que es el triple de la otra. Luego A y B están relacionados por: a) A2 = 16B d) 2A2 = 3B

05.

08.

La suma de las raíces es igual a 2. El producto de raíces es igual a cinco décimos. La suma de las inversas de sus raíces es doce. Las raíces son recíprocas. Una de sus raíces es 2.

ÁLGEBRA

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S5AL33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5 to Año Secundaria

x2 – 3mx + m2 = 0, sabiendo que sus raíces x1 ; x2 satisfacen la relación: a) ± ¼ 15.

b) ± ½

c) ½

d) – 1

x 12

+x 2 2

=1,75

06.

e) 1

a) 0,25

   

−1

a) 1

b) 0,5

c) -0,5

Si las raíces de la ecuación cuadrática Indique el menor valor entero de m. a) –8

02.

d) 2

07.

e) –2

b) – 7

x +

c) – 6

a) 1/n

(m + 3) x 2 + 6x – 2 = 0 son reales y diferentes. 08. d) – 5

x =3

e) No existe

09.

b) 13

c) – 5

d) 0

Si tenemos que las raíces de la ecuación mx 2 + 2(m + 3) x + m + 8 = 0 son complejos y conjugados. Hallar el menor valor entero de m. a) 4

b) 5

c) 2

d) 6

b) – 1/n

c) 1/2 n

d) – 2n

e) – 1/2 n

c −a

b −c

b (a −c ) a ( b −c )

a −b

c −a

b(a − c )

a (b − c)

¡2 = -1 “El nuevo símbolo de una buena educación...”

Dada la ecuación: x2 - 2x + m = 0. Calcular “m” si una de las raíces es 1 + 2i, (i = b) 3

c) 4

−1 ); m ∈ R

d) 5

e) 8

Si la ecuación: x2 + px + q = 0; tiene por conjunto solución {r, s} si: r – s = 4 y r3 – s3 = 208; entonces p/q es: b) 3/2

c) 2/5

d) 2/7

e) 1/7

Hallar el valor de “a” para que las raíces de la ecuación: x2 – (a + 3) +

a) 5/3 12.

−3 + 4 ¡ 2

a2 4

+ 1 = 0 se diferencien

en 5

b) Sus dos raíces son iguales d) La suma de sus raíces es cero

Formar una ecuación cuadrática de coeficientes reales siendo una de sus raíces

S5AL33B

b −c a −b

a) 2/3

Si se verifica que: cx1 = x2 (bx2 – c) Siendo x1 y x2 raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0 (abc ≠ 0), entonces podemos decir que: a) Una de ellas es igual a cero c) Sus raíces son recíprocas e) Sus raíces son complejas

05.

e) 5

e) No existe 11.

04.

d) 4

Hallar una de las raíces de la ecuación: a (b - c)x2 + b (c - a) x + c (a - b) = 0 Si x es la incógnita

a) 2

e) 15 10.

03.

c) 3

Dos de sus raíces toman la forma: 2m y 2n. Calcular (m + n) a) 12

b) 2

Sea la ecuación:

a) 15

3) 15x2 – 34x + 15 = 0 5) x(x - 1997) = (x - 1997)

[(m + n)2 – (m - n)2] x2 + (m - 1)2x – [(m + n)2 + (m - n)2] = 0 siendo m ≠ 0 ∧ n ≠ 0 y x1 y x2 son sus raíces. ¿En cuántas unidades es necesario disminuir dichas raíces para que sean simétricas?

Después de resolver: 5

Resolver las ecuaciones:

Indicar la ecuación que posee la menor raíz

TAREA DOMICILIARIA 01.

5 to Año Secundaria

1) x2 = 7 2) (x + 1) (x – 3) = 12 4) (x + 3) (x + 5) = 13x2

Si x1 ; x2 son las raíces de: x2 + 10 = 5x

 1 1 Calcular:  x + x 2  1

ÁLGEBRA

b) 7/3

c) 10/3

d) 5/6

e) 20/3

Resolver e indicar la solución: x −2 + 2 x −5 + x +2 +3

, nota a) 7 S5AL33B

b) 13

c) 15

2 x −5 =7

d) 5

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 16

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 13.

5 to Año Secundaria

Calcular “m” para que la ecuación:

19.

14.

b) 3/4

e) 5/3

b) VFF

c) VVF

20.

d) VVV

b) 1/2

d) - 1

18.

c) - 1

b) a2c2

c) a/c

+1 = 0

x2 = mm ; m ∈ IR+

Rpta: ............................. 22.

r s + =4, halle la suma de todos los valores “m” que s r d) 0

En la ecuación:

P(x) =

d) 1/a2c2

(x 2 + a )2 −(x 2 − a )2 2

+ (3a − 1)x + (a + b)

Calcular un valor de “b” para que exista un solo valor de “a” que permita que las raíces de P(x) sean iguales.

e) 4

El producto de multiplicar el término independiente con el coeficiente del término cuadrático de la ecuación que tiene por raíces el cuadrado de la inversa de las raíces de ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0, es: a) ac

p 2 2

Rpta: .............................

satisfacen la condición b) - 4

()

Son: x1 = mm + 1

e) 1/6

Si r y s son raíces de la ecuación cuadrática:

a) 1

c) x2 – 9x – 18 = 0

21. Si la ecuación: P(x) = x2 – 3nx + 2n2 – n – 1 pose una raíz mayor que 4 y otra menor que 5 para un conjunto de valores de “n”. Halle dicho conjunto.

c) – 1/2

mx2 – 2(m – 1) x + m = 0 y cumplen

b) x2 – 6x + 18 = 0 e) x2 – 6x – 18 = 0

Hallar “p” si las raíces de la ecuación:

x 2 − ( p + 3 )x +

e) FVV

Resolver: (1 + x) (1 + 2x) (1 + 3x) = - 15 Indicar la suma de las raíces no reales: a) 0

x2 + (m – 1) x + m – 2 = 0; tiene una sola solución real. x2 – (n + 1) x + 2n = 0; tiene una raíz igual a 3.

a) x2 + 9x + 18 = 0 d) x2 – 9x + 18 = 0

) Si la ecuación admite solución, ésta debe estar comprendido en [-1; 0] ) La ecuación tiene dos soluciones reales ) La ecuación tiene una única solución

a) VFV

17.

d) 3/2

Sea la ecuación: x +1 + 2x = 0 Indicar el valor de verdad de las proposiciones: ( ( (

15.

c) 1/2

5 to Año Secundaria

Hallar la ecuación de segundo grado de coeficiente principal 1 y de raíces m y n se sabe que: • •

6x2 + (2m + 3) x + m = 0 tenga una raíz solamente a) 3

ÁLGEBRA

Rpta: ............................. 23.

Si:

(aa – 3) x2 + 5x + bb + 3 = 0 (a – 2) x + 10x + 3bb + 2 = 0 a

e) c/a

Poseen un conjunto solución A y B respectivamente. SI al hallar el producto cartesiano A x B se obtuvo C y al hallar B x A se obtuvo C. Halle “a + b”/ {a; b} ⊂ Z Rpta: ............................. 24.

Si las raíces de las ecuaciones en “x”: x2 – 3x + m + 1 = 0 3x2 + 5x + m = 0 son imaginarias y reales respectivamente, determine los valores enteros de “m”. Rpta: .............................

S5AL33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S5AL33B

ECUACIONES BINOMIOS – “El nuevo símbolo de una buena educación...” TRINOMIOS – RECÍPROCAS

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5 to Año Secundaria

ÁLGEBRA

5 to Año Secundaria

Resolución Factorizando: (8 x 3 +1)(x 3 −1) = 0 (2 x +1)(4 x 2 − 2 x +1)(x −1)(x 2 + x +1) = 0

ECUACIÓN BINOMIA

⇒2 x + 1 = 0 ∨ 4 x 2 − 2 x + 1 = 0 ∨ x −1 = 0 ∨x 2 + x + 1 = 0

Se denomina así a las ecuaciones de dos términos que presentan la siguiente forma general:

x =−

∀a;b≠0∧n∈N

ax n +b =0

1 2

∨x =

1± 3 ¡ 4

∨ x =1 ∨ x =

−1 ± 3 ¡ 2

 −1 + 3 ¡ −1 − 3 ¡  1 1+ 3 ¡ 1− 3 ¡  ∴C.S. = − ; ; ;1 ; ;  2 4 4 2 2    

Éstas se resuelven factorizando o utilizando la fórmula de “Abraham de Moivre” Ejemplo: Resolver: 9 x 4 − 1 = 0

ECUACIÓN RECÍPROCA

Resolución

Se denomina así a las ecuaciones cuyos coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales en valor absoluto.

Factorizando: (3 x 2 +1)(3 x 2 −1) = 0 ⇒3 x

x2 = −

+1 = 0

x =±

∨ x2 =

x =± −

∨ 3x

1 3

3 3

Ejemplo: Observa las ecuaciones:

−1 = 0

2x 3 + 5 x 2 + 5 x + 2 = 0

x 4 − 7x 3 + 6x 2 −7x +1 = 0 3x 5 + 2x 4 + 5 x 3 − 5 x 2 − 2x − 3 = 0

3 1

∨ x =±

¡ ∨ x =±

3 3

1. 2.

 3  3 ¡; − ¡; 3 3  

∴ C.S. = 

Propiedades:

3 3

;−

3    3  

Si “r” es raíz de la ecuación recíproca entonces “1/r” también es raíz de la ecuación. Si la ecuación es recíproca de grado impar, tiene una raíz “1” ó “- 1” (se evalúa para determinar cual de ellas es la raíz) Si P(x) = 0 es una ecuación polinómica recíproca de grado “n”, se cumple: 1  P (x) ≡ x n P     x 

Teorema: Las ecuaciones binomias sólo tienen raíces simples, no aceptan raíces múltiples.

ECUACIÓN TRINOMIA Son aquellas ecuaciones de tres términos que presentan la siguiente forma general: ax 2 n +bx n +c =0

; ∀ abc ≠ 0 ∧ n ∈ N

Estas ecuaciones se resuelven factorizando o realizando el cambio de variable: x n = z ; lo que la convierte en una ecuación cuadrática. Después de resolver ésta, se repone la variable original y se hallan las soluciones de la ecuación trinomia. Ejemplo: Resolver: 8 x 6 + 7 x 3 − 1 = 0 S5AL33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S5AL33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

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5 to Año Secundaria

Para resolver la ecuación recíproca se consideran los siguientes casos:

   1 1  ⇒ x 2 6 x +  − 13  x + − 2 = 0 x x     

Si el grado es par: Se factoriza la parte literal del término central y se agrupa convenientemente; luego se realiza el cambio de variable respectivo: Si: x +

x + x3 +

1 x2 1 x3

Si: x − 2

5 to Año Secundaria

Reponiendo “x” y reemplazando en “α”

Casos: I.

ÁLGEBRA

1 x 1

=a −2

x +

= a 3 − 3a

x3 −

Efectuando: (6 x 2 −13 x + 6)(x 2 − 2 x +1) = 0

x2 1 x3

(3 x − 2)(2 x − 3)(x −1)2 = 0 2

=a +2

2 3  ; 1 Igualando a cero cada factor el C.S.=  ; 3 2  

= a 3 + 3a

Se resuelve la ecuación con la nueva variable luego se repone, la variable original y se resuelve, hallándose las soluciones de la ecuación recíproca. Ejemplo: Resolver:

6 x 4 − 25 x 3 + 38 x 2 − 25 x + 6 = 0

* También se puede factorizar por aspa doble especial II.

Si el Grado es Impar •

Se factoriza mediante el método de los divisores binómicos, evaluar para x=1 ∨ x=–1

•

Luego de obtener el factor lineal, el otro factor es un polinomio recíproco de grado par al cual se le aplica el método para resolver la ecuación recíproca de grado par.

Resolución

Ejemplo: Resolver:

25 6   ⇒ x 2 6 x 2 − 25 x + 38 − + 2 =0 x x  

6 x 5 − 29 x 4 + 27 x 3 + 27 x 2 − 29 x + 6 = 0 Resolución

Agrupando:

Factorizando por divisores binómicos:

   1  1   − 25  x +  + 38  = 0 .............. (α) ⇒ x 2 6 x 2 +   2 x x     

x+1 = 0 x= -1

Realizando el cambio de variable en el corchete:

6(a 2 − 2) − 25 (a ) + 38 = 0

-29

-6

- 62

-6

62 - 35

- 35

-29

⇒(x + 1)(6 x 4 − 35 x 3 + 62 x 2 − 35 x + 6) = 0

⇒ 6 a − 25 a + 26 = 0 Factorizando por aspa simple ⇒ (6a – 13)(a – 2) = 0

Igualando cada factor a cero: ⇒x +1 = 0; x = −1

6 x 4 − 35 x 3 + 62 x 2 − 35 x + 6 = 0 S5AL33B

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5 to Año Secundaria

Aplicando el método para la ecuación recíproca de grado par; se obtiene:

ÁLGEBRA

5 to Año Secundaria

Ejemplo: Resolver: x 4 − 3 x 2 + 1 = 0 Resolución

(2 x 2 − 5 x + 2)(3 x 2 −10 x + 3) = 0

Por la fórmula: Factorizando cada factor por aspa simple: (2x - 1)(x - 2)(3x - 1)(x - 3) = 0



Igualando a cero cada factor el conjunto solución final es: C.S. = −1;



x1 =

1 1  ; 2; ; 3  2 3 

3+ 5 2 3+ 5

x2 = −

ECUACIÓN BICUADRADA Se denomina así a las ecuaciones de cuarto grado que tienen la siguiente forma general: ax 4 +bx 2 +c =0

x =±

3± 5 2

x3 =

−b ±

; ∀ abc ≠ 0

b 2 − 4 ac 2a

3− 5

x4 = −

Para resolver esta ecuación se factoriza o se utiliza la relación de la bicuadrada:

x =±

3− 5

Propiedades de: ax 4 + bx 2 + c = 0 1. Las raíces de la ecuación bicuadrada son opuestas dos a dos es decir:

x 1 = α; x 2 = −α; x 3 = β; x 4 = −β

Ejemplo: Resolver: 36 x 4 − 73 x 2 + 16 = 0 Resolución

2. Suma de productos binarios

Factorizando por aspa simple: (4 x 2 −1)(9 x 2 −16 ) = 0

x1 x 2 + x 3 x 4 =

Igualando cada factor a cero:

4x2 −1 = 0

9 x 2 − 16 = 0

x =

⇒

x2 =

⇒

1 4 16 9

⇒

x =±

b a

∨ − (α 2 + β2 ) =

3. Producto de raíces:

x1 x 2 x 3 x 4 =

c a

∨ α 2 . β2 =

4 3

Reconstrucción de la ecuación bicuadrada

1 4 4 1 ∴ C.S. =  ; − ; ; −  2 3 3 2

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c α

b a

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5 to Año Secundaria

ÁLGEBRA

5 to Año Secundaria

Ejemplo: Formar la ecuación bicuadrada, dos de cuyas raíces son: - 3 y 2¡

4 Suma de  2  producto x +  x +   = 0 p roductos binarios  de raíces

Resolución Por teoría sabemos que las otras dos son las opuestas: x 1 = −3 ∧ x 2 = 3 Sean:

x 3 = 2i ∧ x 4 = −2i ⇒x 4 +(−9 − 4 i 2 )x 2 +(−9)(−4 i 2 ) = 0

⇒ x 4 + (−9 + 4 )x 2 + (−9)(4 ) = 0 ∴ x 4 − 5 x 2 − 36 = 0 ECUACIONES FRACCIONARIAS Son aquellas que se reducen a la forma: P(x) Q(x)

∀ Q(x) ≠ 0

Para resolver estas ecuaciones se debe restringir el denominador (diferente de cero), luego resolver la ecuación y finalmente intersectar los conjuntos de valores obtenidos Ejemplo: Resolver:

2 x −3

−

x x−2

x x2 − 5x + 6

Resolución Restringiendo: x - 3 ≠ 0 ∧ x - 2 ≠ 0 x≠3 ∧ x ≠ 2 ............. (α) Efectuando operaciones:

2x − 4 − x 2 + 3 x 2

x − 5x + 6 ⇒5 x − 4 − x 2 = x

(x - 2)2 = 0

x 2

x − 5x + 6 ⇒x 2 − 4 x + 4 = 0

∴ x = 2................ (β)

De α ∧ β: Vemos que x = 2 no satisface la ecuación: ∴ C.S. = ∅

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5 to Año Secundaria

PRÁCTICA DE CLASE 01.

Calcule:

x 5 − 3 x 4 + x 3 − x 2 + px + q = 0

positivo

x + x − 3 x − x + rx + 3 = 0

b) - 2

6a + 2 , si una de sus raíces es igual a: b −c

a) 1

Tengan tres raíces comunes e indicar el valor de: p + q + r a) 1

c) 5

5 to Año Secundaria

x 4 − (a + 2)x 3 + bx 2 + cx + 4 = 0

Determinar los números enteros p; q; r de manera que las ecuaciones:

02.

ÁLGEBRA

07.

d) - 7

b) - 1

 x4  x3 1  x 2 2 2  − 2  + 2 −1 = + 3  4    2 4 x  x x  

08.

“b” toma su mínimo valor

d) - 4

e) - 2

d) 1 + i

e) 1 – i

Indicar una raíz de: 4 x 4 + 1 = 0

e) – 9

Indicar una raíz de:

c) 4

 ; 1 + 5    

1 2

3 2

i b)

1 2

1 3

−



3 3

3 − 3 = 2002  x + Luego de resolver: x + x 



1  x 

Podemos afirmar que: a) 4 − 3 03.

2 i +2

2 2

6 2

e) -

a) x = 1 es una raíz c) x = - 2002 es una raíz e) x = i es una raíz imaginaria

Indicar una de las soluciones de: 09.

ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0

04.

1 2

−

Si x 1 y x 2 son las soluciones reales de la ecuación recíproca: ax 4 + (b − 3)x 3 −10 x 2 + (5 − a )x + b + 6 = 0

Si: a + b = b + c + d = d + e a) i

b) x = - i no es una raíz d) Sólo posee una raíz imaginaria

c) 1 −

3 2

1 2

−

3 2

Proporcione el valor de: (x1 + x 2 )x1x 2

i e) - i

a) 1

Resolver la ecuación bicuadrada: 10.

(5 n 2 + 2)x 4 −(4 n 4 + 9)x 2 + 3(n 2 + 2) = 0

b) 2

c) 4

Si el producto de raíces es igual a 1. Dar como respuesta la raíz de mayor valor absoluto

05.

3 /2

Calcular los valores de “α” para que la ecuación: x 4 + (1 − α)x 2 + 2α − 6 = 0 , tenga sólo dos raíces reales a) ]- ∞; 3[

06.

b) ]- ∞; 5[

c) ]- ∞; +4[

d) ]3; +∞[

e) ]4; +∞[

{x1; x 2 ; x 3 ; x 4 }

Si se cumple: a + c = 2b ∧ a 2 = 49 c 2 Calcular el valor de:

E = ( x1 x3 ) −1 + ( x 2 x 4 ) −1 ; Si x1 + x3 = 0 a) 3

b) - 4

c) 5

d) - 3

Sea la ecuación de coeficientes enteros:

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e) 36

En la ecuación bicuadrada: ax 4 + bx 2 + c = 0; a ≠ 0 , de raíces

a) 2/

d) 9

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e) 3,5

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05. EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03 01.

m ∈ R ∧ m> 1

a) 3 b)

m + (m − 1) 2 m 1 − 2m

− m + (m − 1) 2 m 1 + 2m

1 + (m − 1) m + 1 1 −m

06.

m + (m − 1) 2 m 1 + 2m

3 5 x − 4 − 3 4 x − 3 − 3 3x − 2 + 3 2x − 1 = 0

08.

09.

De la ecuación: x 4 − 9 x 2 + 8 ; al resolver se obtienen sólo como raíces a 1 y 2

II.

De la ecuación bicuadrada: Ax 4 + Bx 2 + C = 0 ; La suma de sus raíces es −

III.

En toda ecuación bicuadrada de coeficientes reales A; B; C; raíces.

c) I y II

d) Sólo III

b) 1/4

c) 4/3

d) 3/4

e) 5/4

Hallar la suma de las quintas potencias de las raíces de la ecuación: x 4 − 7 x 2 + 4 x − 3 = 0 b) - 140

c) -110

d) 110

e) - 12

La ecuación bicuadrada:

B A

a) 2 10.

b) 6

c) – 4

d) - 8

e) b y c

Al resolver:

e) I y III

c) 1

Señale el denominador de la raíz obtenida: a) a + b +c

(4 x + 3) 3 + (4 x − 3) 3

S5AL33B

5k 4 − m 5

(a −1 + c −1 )(x + b −1) = 2(a + b + c)

(3 x + 4 ) 4 − (3 x − 4 ) 4

b) 0

e) 15

(a −1 + b −1)(x + c −1 ) +(b −1 + c −1 )(x + a −1) +

Calcular la suma de raíces reales de:

a) - 1

d) 0

“q” sabiendo que son reales. Indicar pq

A ≠ 0 siempre existirán 4

Son verdaderas:

04.

c) – 5

x 4 − (p + 2)x 2 + 4 = 0 Tiene las raíces de la ecuación: x 2 + px + q = 0 , calcular “p” y

b) Sólo II

e) 0

m 5 + 2k 4

a) 120

De las proposiciones:

a) Todas

b) 13

a) 1/2

Qué se puede afirmar de sus raíces:

03.

d) 1

La ecuación: x 5 − 5 mx + 4 k = 0 ; tiene una raíz “r” de multiplicidad 2. Calcular el valor de: T=

b) Una es real y la otra es imaginaria d) Son reales e iguales

c) 8

Luego de resolver: 2 5 x + 3 x = 315 x 4

a) 12

Luego de resolver:

a) Son reales y negativos c) Son irracionales e) Son dos números consecutivos

b) - 2

Si dos de sus raíces toman la forma: 2 m y 2 n , calcular m + n

07. 02.

En la ecuación: Donde: M = S; N = R; P = Q Calcular la suma de sus raíces si dos de ellas son a y b (a ≠ b), si a + b = 10 ∧ ab = - 10

(x 2 − m 2 ) 2 − 4 m(x 3 − m )(mx −1) = 0 ;

− m + (m − 1) 2 m 1 − 2m

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Mx 5 + Nx 4 + Px 3 + Qx 2 + Rx + s = 0

Calcular una raíz de:

ÁLGEBRA

b) 1

c) - a - b – c

d) ab + ac + bc

42 43

d) 3

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e) 7 S5AL33B

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e) abc

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ÁLGEBRA

56 06.

5 to Año Secundaria

Al resolver la ecuación recíproca:

TAREA DOMICILIARIA 01.

Indicar una raíz de la ecuación:

1 −i

2 2(−1 +i)

3x 5 − x 4 − x 3 + x 2 + x − 3 = 0 Una de sus raíces es:

9x4 + 4 = 0

3 (1 + 2i)

3 2

1 +i 3

a) - 1

−

3 02.

Formar una ecuación bicuadrada cuyas raíces se pueden determinar a partir de: x 2 = 16 ................ (1)

07.

03.

b) x 4 + 31 x 2 + 400 = 0 e) x 4 + 13 x 2 + 36 = 0

c) x 4 − 41 x 2 + 400 = 0

Hallar el valor de “n” en la siguiente ecuación bicuadrada

08.

04.

09. c) 9

d) 12

e) 4

Sabiendo que x = c es una raíz de la ecuación: ax 5 + (b − ac )x 4 − bcx 3 − bx 2 −(a − bc )x + ac = 0 ; a ≠ 0, ¿qué condición se debe

cumplir entre “a” y “b”, para que las otras raíces sean reales? b) a + 2 b 2 ≥ 0 e) b ≥2 a

a) a + 2b ≥ 0 d)

≥2 b

1 2

3 2

c) −

1 2

−

3 2

i d)

5 6

  = 4  x + 1  + 19   x  4  

b) 2

c) 0,6

Resolver: x 2 + x + 1 =

42 x2 + x

b) - 2

d) 1

, dando enseguida la suma de sus soluciones enteras c) – 1

d) 1

e) 2

En la ecuación polinomial:

F(x) = x 3 − 5 x 2 − (4 m + 9)x + 237 − 4 m = 0 Sabiendo

que

sus 2

raíces:

x1 ; x 2 ; x 3

satisfacen

a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

ax 4 + (b − 3)x 3 −10 x 2 + (5 − a )x + b + 6 = 0

Proporcionar: (x1 + x 2 )x1.x 2 a) 2

S5AL33B

b) 2

c) 4

d) 9

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e) 3/4

 x1 + 1  x +1 x +1   +  2  +  3  = 38 2 2      2 

x1 y x 2 son las soluciones reales de la ecuación recíproca:

Es:

Calcular el valor de m. 05.

11 8

c) a ≥ b 2

Una raíz real de:

a) - 3

Si el producto de sus raíces es 36 b) 6

a) 1,5

x 4 + (n − 25 )x 2 + 4 (n − 3) = 0

a) 48

−

 1 3 x 2 +  x2 

x 2 = 25 ................. (2)

a) x 4 + 31 x 2 − 400 = 0 d) x 4 − 30 x 2 + 29 = 0

b) −

e) 25

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e) 14

condición:

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ECUACIONES

ÁLGEBRA

5 to Año Secundaria

Es aquella ecuación que tiene la siguiente forma general:

P(X) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + a 2 x n -2 + ... + a n -1 x + a n = 0

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:  

Reconocer una ecuación polinomial e indicar la relación existente entre solución y raíz. Resolver ecuaciones de cualquier grado aplicando los teoremas y técnicas adecuadas.

COMENTARIO PREVIO Al - Guarismi, el año 1 100 estudia ecuaciones del tipo: ax 2 + e = bx , ax2 + bx = e , ax2 + bx + c = d; etc y da soluciones para cada caso. La época de oro de las matemáticas Italianas se da en el siglo XVI, con Scipiene del Ferro, Nicola Tartaglia, Girolamo Cardano, Ludovico Ferrari, Frencois Viette, etc, quienes resolvieron las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Hecho de trascendental importancia en esa época.

Donde: a0; a1; a2;.............. : an – 1 ; an Son sus coeficientes x es la incógnita Si: a 0 ≠ 0, el grado de la ecuación es “n” (n ∈N) Si: a 0 = 1, La ecuación es mónica. RAIZ O CERO DE UN POLINOMIO Dado el polinomio P(x). Se denomina raíz o cero del polinomio, al número “a” si y solo si el polinomio P(x) es divisible entre (x - a).

La historia da cuenta de que el profesor Scipiene del Ferro logré resolver la ecuación de tercer grado en 1515, pero no la dio a conocer siguiendo las normas científicas de su época. Aún así, confió sus resultados a Antonio Fiore.

El polinomio P(x) tiene una raíz de valor “a” P(x) = (x - a) q(x) Ejemplo:

En 1541 Antonio Fiore se bate en duelo matemático con el profesor Nicola Trataglia para ver quién resuelve la ecuación de tercer grado, saliendo vencedor este último.

Hallar las raíces de: P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6

Cardano quien era médico, adivino y matemático logra con tretas y promesas, que Tartaglia le hiciera conocer la solución de la ecuación de tercer grado. El mismo año Cardano publica su libro “Arte Mayor” en donde da la solución de la ecuación de tercer grado como suya y menciona que Tartaglia no es sino un redescubridor ya que del Ferro había dado la primera prueba hace 30 años.

Resolución

En la misma obra aparece la solución de la ecuación de cuarto grado, debido a Ludovico Ferrari, discípulo de Cardano. Posteriormente se dieron otras pruebas tanto de la ecuación de tercer grado (F. Viette) como de la ecuación de cuarto grado (R- Descartes)

Observación:

Después de los rotundos éxitos de los matemáticos Italianos viene nuevamente un largo periodo de estancamiento en la tarea de la solución de ecuaciones de quinto grado. Recién en 1825, el joven matemático noruego Niels Henrick Abel demostró que la ecuación general de quinto grado no es resoluble mediante la extracción de raíces y las operaciones aritméticas conocidas.

Factorizando se tiene: P(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) Luego las raíces o ceros de P(x). Son: {1; 2; 3}

Una manera práctica de hallar las raíces de un polinomio P (x), es formar la ecuación: P(x) = 0. Así: P(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) = 0. CS = {1; 2; 3} En este ejemplo las raíces del polinomio P (x) coinciden con las soluciones de la ecuación P (x) = 0, lo cual no ocurrirá siempre. Raíz de Multiplicidad “k”:

Por otro lado en 1929 Evaristo Galois, probaría que las ecuaciones de grado superior a cuatro no son resolubles por radicales y dio las condiciones necesarias y suficientes para que una ecuación de cualquier grado sea resoluble por radicales. Actualmente existen técnicas que permiten resolver ecuaciones de cualquier grado.

Dado el polinomio P(x) se denomina raíz de multiplicidad “k” (k ∈ Z+) del polinomio P(x). Al número “a”, si y sólo si el polinomio P(x) es divisible entre (x – a)k, pero no es divisible entre (x – a)k+1, es decir si: P(x) = x4 – x3 – 3x2 + 5x – 2

CONTENIDO TEÓRICO:

Factorizando se tiene: P(x) = (x – 1)3 (x + 2)

ECUACIÓN POLONOMIAL EN UNA INCÓGNITA

Luego las raíces de P(x) son: {1; 1; 1; –2} y se dice que:

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ÁLGEBRA

5 to Año Secundaria TEOREMA DE CARDANO – VIETTE

 “1” es una raíz de multiplicidad 3 (raíz triple)  “2” es una raíz de multiplicidad 1 (raíz simple)

Sea la ecuación polinomial: P(x) = a0 xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 +...+ an – 1x + an = 0

Formemos la ecuación: P(x) =0 ⇒ P(x) = (x – l)3 (x + 2) = 0 ⇒ (x – 1) = 0 ⇒ x=1 ∨ 3

∨ x=–2

a0 ≠ 0. Cuyas raíces son: {x1; x2; x3;............; xn} Se cumple las siguientes relaciones

x+2=0

•

Luego: CS {1; –2}

S1 = x1 + x2 + x3 + ............ + xn = –

Observación:

•

La ecuación antes expuesta tiene 4 raíces y dos elemento en su conjunto solución. Cuando un polinomio tiene raíces múltiples el número de raíces y el número de soluciones no coincide.

a1 a0

Suma de Productos Binarios: S2 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 +...... + xn -1 xn = –

•

Ejercicio:

a2 a0

Suma de Productos Ternarios: S3 = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + ...... + xn – 2 xn – 1 xn = –

En la ecuación polinomial: x3 (x – 2)2 (x2 + 9) (x + 3 3 ) = 0. Señale: a) El número de raíces

Suma de Raíces:

b) El número de soluciones

• c) Su conjunto solución

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA Toda ecuación polinomial con cualquier tipo de coeficientes numéricos tiene por lo menos una raíz que generalmente es compleja. Corolario:

Producto de Raíces: Sn = x1 x2 x3 .............. xn – 1 xn =(-1)n

an a0

Ejemplo: 01. En: 4x4 + 3x3 – 2x2 + 3x – 1 = 0 Calcular:

Toda ecuación polinomial de grado n > 1. Tiene exactamente “n” raíces complejas en general. Luego dada la ecuación polinomial: P(x) = a0 xn + a1xn – 1 +.......+ an–1x + an = 0: a0 ≠ 0 Se tiene: P(x) = a0(x – x1) (x – x2)...... (x – xn) = 0 Donde: {x1; x2; x3;..........; xn) son raíces de P(x)

S3 S4

02. En: 3x5 + 10x12 - 2x10 - 25x5+ 15 = 0 Calcular: S10 TEOREMAS SOBRE LA ECUACIÓN POLINOMIAL 1. Toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y de grado n ≥ 2. Que tenga una raíz de la forma: “a + b ”, donde: a y b ∈ Q (b > 0) ∧

∈

I ; tendrá como raíz necesariamente al número (a –

2. Toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y de grado n a + b , donde: a y b ∈ Q+ ∧ forma necesariamente a los números:

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S5AL33B

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≥ 4: que tenga una raíz de la

ab ∈ I . Tendrá como raíces

a − b :− a + b : − a − S5AL33B

b ).

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(x + 2 )3 - 2(x + 2)2 + (x + 2) - 5 = 0. Efectuando se obtiene: x3 + 4x2 + 5x – 3 = 0. También se puede usar el siguiente método:

Observación: x=2

Q: conjunto de los números racionales I: conjuntos de los números irracionales

x=2

Ejemplos: 

En la siguiente ecuación:

P(x) = x 3 −7 x 2 +ax +b =0 . a, b Hallar (a + b) si su raíz es: 3 +  

∈Q

x=2

Formar la ecuación de menor grado posible sabiendo que una raíz es coeficientes son racionales. Dadas la ecuación: x3 + x2 + mx + n = 0. m, n ∈ R Donde: 1 + 7 i es una de las raíces. Hallar 1a suma de coeficientes de la ecuación.

5 + 3 y además sus

•

↓

-3

↓

Encontrar la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación: x 5 – 3x3 + 2x2 + 1 = 0, disminuidas en 1.

x 2 ± k; x 3 ± k;  ; x n ± k}

Es:

+ + an− 0 1 (x k ) +a n =

 x   +a 1  k  

n −1

   

x + +a n −1  k 

   +a n =0 

O también: 1 + 2 + a oxn + a 1 k1 x n − a 2k 2x n − + a n kn = 0

Ejemplos: •

Encuentre la ecuación, cuyas raíces son las de la ecuación: x 2 – x – 6 = 0. Multiplicadas por 2. La ecuación es: x2 - 21 x - 22 . 6 = 0

Ejemplos:  Halle la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación: x2 – 2x – 8 = 0, pero aumentadas en 1. La ecuación es: (x – 1)2 – 2(x – 1) – 8 = O  Encuentre la ecuación cuyas raíces son los de la ecuación x 3 – 2x2 + x – 5 = 0 disminuidas en 2. S5AL33B

-5

x ao  k 

Con raíces: {x1; x2; x3;................; xn} entonces: 1. La ecuación de raíces aumentados o disminuidos en un valor “k”, es decir con raíces:

a o (x k ) + a 1 (x  k)

x3 + 4x2 + 5x − 3 = 0

a o x n + a 1 x n −1 + a 2 x n −2 + + a n −1x +a n =0 : a o ≠ 0

n− 1

-2

Luego la ecuación es:

Sea la ecuación polinomial:

2. La ecuación de raíces multiplicadas por un valor “k” (k ≠ 0); es decir con raíces:

TRANSFORMACIONES DE ECUACIONES

{x1 ± k;

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La ecuación es:

Toda ecuación polinomial de coeficientes reales y de grado n ≥ 2 que tenga una raíz compleja de la forma, a + bi. Donde a y b ∈ R (b ≠ 0). Tendrá necesariamente como raíz al complejo conjugado de dicha raíz es decir otra raíz será: a – bi

ÁLGEBRA

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

x 2 − 2x − 24 = 0

•

Halle la ecuación cuyas raíces son las de la ecuación: x 3 + 2x2 - 5 x 6 = 0 multiplicadas por 3. La ecuación es: x3+2 . 31 x2 + 5 . 32 x - 6 . 33 = 0

S5AL33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3

5 to Año Secundaria

ÁLGEBRA

5 to Año Secundaria

x + 6x - 45x - 162 =O PRÁCTICA DE CLASE 3. La ecuación de raíces invertidas es decir con raíces:

01.

1 1 1  1 ; ; ;  ;  Es: Xn  x1 x 2 x 3

a) 2 02.

a nx

+ an− 1x

n− 1

+ + ao

Calcular la suma de las raíces de: x3 + 2x2 = x – 1 . b) -2

c) 3

d) -1

e) 1

Calcular el producto de las raíces de: 2x3 +6x2 = 5x + 8 .

= 0

a) -1

b) -2

c) 4

d) -4

e) -6

Ejemplo: 03.

Dada la ecuación: x3 - 5x2 + 7x + 2 = 0.

1 1 1  De raíces {a; b; c}, entonces la ecuación cuyas raíces son:  ; ;  es 2x3 + 7x2 - 5x + 1 = a b c  0

Resolver la ecuación: x3 + 2x2 – 11x = 12. E indicar una de sus raíces a) 1

04.

b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

Resolver la ecuación: x3 + 2x2 – 15x - 36 = 0. E indicar su conjunto solución. a) {-2;-2;3}

b) {-3;-3;4}

c) {-4;-4;5}

d) {-5;-5;3}

e) {-1;-1;4}

TEOREMA DE BOLZANO Dada la ecuación polinomial F(x) = 0. Donde F(x) es una función continua definida en [a; b]

05.

Si: x = 2 es una de las raíces de: P (x) = x3 + 4x2 –7x + a, a ∈ ℜ. Indicar una de las otras dos raíces. a) 1

Si F(a). F (b) < 0. Entonces existe al menos una solución real: x0 ∈ < a; b > /

F(x 0 ) = 0

06.

b) 2

07.

b) -1

08.

F(b)

a) -1

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

d) -2

b) -1

c) –5

d) -1/2

e) 3

e) –3

x1 + x 3 x2 b) 1

c) -2

d) 3

Sabiendo que a; b; c, son las raíces de: x3 + 5x2 +2x = 3. Calcular: R = a) 1

S5AL33B

c) 2

Si x1; x2; x3 son las raíces de: P(x)= x3 + 2x2 – 5x – 6. Además: x3 > x2 > x1 . Calcular:

09.

e) -5

Resolver: x(x2+ 9x) = -23x – 15. E indicar la menor solución: a) 2

d) 4

Resolver: x3 – 5x2 – 2x + 6 = 0. E indicar la solución entera. a) 1

F(a)

c) -3

S5AL33B

b) 0

c) 2/3

d) 3/2

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 4

1 a

e) ¾

1 b

1 c

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 10.

5 to Año Secundaria

ÁLGEBRA

5 to Año Secundaria

Sea la ecuación: 2x + 3x = –4x + 3. Además: x1; x2; x3 son sus raíces. EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 04 Calcular: x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 01. Sean: x1; x2; x3 raíces de la ecuación: 2x3 – x + 5 = 0 a) 1

11.

b) 1/2

b) Sólo II

b) 1/3

02. d) I y III

c) 1/4

Determinar el valor de “k” en:

a) 2

b) 3

e) II y III

d) 2/3

x1 −3

x1 x 2 + x1 x 3 + x 2 x 3 2

d) 5

04.

d) -3/2

e) 4/3

b) - 5

c) - 4

d) - 7

e) 2

En la ecuación: x3 - 63x + α = 0. Determinar un valor de α para que una de las raíces sea el doble de otra. a) 162

e) 6

c) -2

Sean: a, b, y c raíces de la ecuación: x3 – 4x2 + 2x + 4 = 0 2 b2 c2 Calcular: a + + a) 5

03.

+x1x 2 x 3

b) 2

e) -1/2

x3 + 9x2 + kx – 24 = 0.

c) 4

x13 +1

a) 1

c) Sólo III

Si: x1; x2; x3 son sus raíces, verificar:

b) 180

c) 400

d) 800

e) N.A.

En la ecuación polinomial:

Si: r1; r2; r3 son las raíces de la ecuación: 6x3 – 11x2 – 3x + 2 = 0

P(x) = x3 +(m +2) x2 +(m2 –3) x +m2 +2 = 0 De raíces x1 ; x2 ; x3. Calcular el valor de “m” de tal manera que la expresión:

Calcular:

2 +x 3 A = x 12 + x 2 tenga el máximo valor. 2

E= a) 2/3 15.

Calcular:

Si una raíz de: 4x3 – x2 –16x + 4 = 0. Es el negativo de la otra. Determinar la tercera raíz. a) –1/2

14.

e) -1/3

Presenta dos raíces enteras negativas Posee una raíz real. La menor raíz real es –5

a) Sólo I

13.

d) 1/3

Al resolver la ecuación: x3 + 6x2 = –3x + 10. Indicar lo correcto I. II. III.

12.

c) 2

1 r1

1 r2

a) l

b) 3/2

c) –1/6

d) 1

e) –2

05.

Hallar la relación que debe existir entre los coeficientes de la ecuación: x3 + cx2 + bx + a = 0, si sus raíces suman uno: a) 2/3

b) 3/2

c) –1/6

d) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Hallar la relación que debe existir entre los coeficientes de la ecuación: ax3 + bx2 + cx + d = 0: a ≠ 0. Si una de sus raíces es el negativo de la otra. a) ab = cd b) ac = bd c) ad = bc d) a + b = c + d e) a + d = b + c

e) – 2

06.

Sabiendo que: x = c es una raíz de la ecuación: ax5 + (b- ac)x4 - bcx3 - bx2- (a- bc)x + ac= 0 (a>0). ¿Qué condición deben cumplir a; b y c para que las otras raíces sean reales? a) |b| ≥ a

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“El nuevo símbolo de una buena educación...”

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b) |b| ≤ a

c) |b| ≥ 2a

d) |b| ≤ 2a

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 2 c = a + b

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 07.

b) 6

b) 24

d) 8

13.

e) 9

c) - 24

d) 62

b) 13

c) 24

d) 26

d) α∈ 14.

e) 28

F m

15.

16. n

b) - 1

b) 18

c) 2

d) - 2

e) 4

c) 19

d) -18

−{0}

1 3

e) α ∈ R

b) 4

c) 5

d) - 3

e) -1

e) y 3 −2 y 2 +y − 1 =0

¿Cuál será la ecuación cúbica cuyas raíces sean el doble de los recíprocos de cada una de las raíces de la ecuación polinomial?

c) - 0,2

d) - 0,4

e) 5

El producto de los coeficientes de la función polinomial de menor grado que pasa por los puntos: (0; 0); (1; 1) ; (2; 0) y (3; -1) es:

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

b) -14/9

c) 5/9

d) -15/9

e) -16/9

18. Sabiendo que: a b y c son raíces de la ecuación: x 3 - 7x2 + 5x + 6 = 0. Calcular: M = (a + b - c)-1 + (b + c - a)-1 + (c + a - b)-1 a) 31/55 19.

b) 9/55

c) 7/155

d) 29/155

e) 27/55

Si la ecuación: x5 - 10a3x2 + b4x + c5 = 0 tiene 3 raíces iguales. Hallar el valor de: ab 4 - 9a5 a) c

S5AL33B

−∞; −

Se sabe que: x1 ; x2 y x3 son las raíces de la ecuación. x 3 – x2 – 1 = 0. Encontrar una nueva ecuación cuyas raíces son: x1 + x2 ; x2 + x3 ; x3 + x1 a) y 3 − 2 y 2 + y −1 =0 b) y 3 − 2 y 2 + y + 1 = 0 c) y 3 − y 2 − y −1 =0

a) -15/4

e) -17

La ecuación: x – 12x – 5 = 0. Contiene 2 raíces cuya suma es 2. Calcular la suma de las inversas de las otras dos. b) 0,4

−∞;

α∈

a) Cx3 - Bx + A = 0 b) Cx3 + 2Bx2 + 4A = 0 c) Cx3 + 2Bx2 – 4A = 0 3 2 3 d) Cx – 2Bx + 8A = 0 e) Ax – 2Bx + 4C = O 17.

a) 0,2

Ax3 – Bx + C = 0 ; C ≠ 0

Si: (2 + i) es una raíz de multiplicidad dos del siguiente polinomio: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 25 Hallar: a + b + c + d. Además: a ; b ; c ; d ∈ R. a) 17

−{−4 }

d) y 3 − 2 y 2 − y +1 =0

p     np + mp + mn   

a) - 5

Si la ecuación: x4 + mx3 + 2x + n = 0 m ∧ n ∈ R; admite una raíz triple. Hallar: m2 + n3 a) 3

Sea el polinomio: F(x) = x3 + 3x2 – 9

Calcular:

12.

−∞ ;

c) α∈

Además: F(m) = F(n) = F(p) = 0

11.

5 to Año Secundaria

Sea la ecuación polinomial: P(x) = ax3 + x2+ x + b = 0: a ≠ 0 Determinar los valores de “a” de modo que P(x) admita una raíz real “r” de multiplicidad 2. a) α∈

e) - 34

Hallar el valor de “k” si las raíces de la ecuación: x 3 - 9x2 + kx - 24 = 0 Están en progresión aritmética. a) 12

10.

c) 7

ÁLGEBRA

Hallar un polinomio mónico P(x) con coeficientes enteros y de menor grado posible una de cuyas 3 raíces sea: 2 + 3 . Indicar la suma de los coeficientes de este polinomio. a) 34

09.

Indicar el menor valor que debe tener el grado del polinomio P (x). Con coeficientes reales, tal que: (2 + 3 ) Sea una raíz simple, (3 + 2i) sea una raíz de multiplicidad 2 y ( 3 + 2 ) sea una raíz triple. a) 5

08.

5 to Año Secundaria

S5AL33B

b) - c5

c) 0

d) c2

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 1

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 20.

5 to Año Secundaria

Encontrar un polinomio mónico en "x" de coeficientes en Z que acepte a Hallar la suma de coeficientes de dicho polinomio. a) 165

b) 168

c) 170

d) 174

2−

a) VFF e) 162

Si: F(x) =

1 3

−1

)

5 to Año Secundaria

III) Una raíz es real

3 como raíz.

06.

y además a, b y c son raíces de la ecuación: x3 - 3x - 1= 0.

b) FFV

c) FVF

d) FFF

e) VVV

Si: P(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)+(x - 2)(x - 4) Indicar la alternativa más correcta: a) b) c) d) e)

TAREA DOMICILIARIA 01.

ÁLGEBRA

Tiene 3 raíces reales Tiene 3 raíces reales negativas Tiene 3 raíces reales positivas Tiene 2 raíces reales positivas y una es negativa N.A

Calcular S = F(a) + F(b) + F(c) a) 1 02.

b) 3

c) 1/3

d) 9

e) N.a.

07.

Halle las raíces r1 , r2 , r3 , r4 de la ecuación:

a) x4 – 2x2 + 25 = 0 b) x4 + 2x2 + 25 = 0 c) x4 + 2x2 + 5 = 0

4x4 - ax3 + bx2 - cx + 5 = 0 a) 1/2 03.

b) 1/4

c) 5/4

d) 1

e) N.a.

08.

Halle las raíces r1 , r2 , r3 , r4 de la ecuación:

r2 4

r3 5

r4 8

09.

b) 1/4

c) 3

d) – 1

d) 1

e) 2

b) –2

c) 4

d) – 4

d) −p 3 +9 q 2 05.

b) −4 p 3 −27 q 2

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

c) p 3 +2 q 4

e) 4 p 3 −27 q 2

Sobre la ecuación: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + c = 0 Donde: 2a2 < 3b ∧ {a; b; c; d; e}⊂ R Indicar verdadero (V) o falso (F) I) Todas sus raíces son reales II) Al menos dos raíces son complejas

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e) –6

Resolver: x3 + 2x2 – 11x = 12. E indicar una de sus raíces.

04. Sean a . b y c raíces de la ecuación: x 3 + px + q = 0 (a, b, c diferentes) expresar en términos de p y q a: M=(a -b)2 (b - c)2 (a - c)2 a) 4 p 3 + 27 q 2

e) 1

Calcular el producto de las raíces de: a) –1

10. c) 5/4

b) –2

2x3 + 6x2 = 5x + 8

Indique el valor de: r4 a) 1/2

d) x4 + 2x2 - 25 = 0 e) x4 + x2 + 25 = 0

Calcular la suma de las raíces de: x3 + 2x2 = x – 1 a) 2

4x4 - ax3 + bx2 - cx + 5 = 0 Sabiendo que son reales positivos y que:

Formar la ecuación de menor grado posible con coeficientes racionales, en la que una de sus raíces sea. 3 +i 2

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e) 6

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5 to Año Secundaria

SOLUCIONARIO Nº 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

EJERCICIOS PROPUESTOS 01 02 03 04 C E A B A C D D C D D A B B B B E D C C B C E C B D D D E B D E E D E D A A D A D D E D E D B A D B D E E C C

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