Aritmetica 3° 4b by juan guerrero

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er Año Secundaria

Dado un conjunto de números, diremos que son primos entre sí, cuando tienen como único divisor común a la unidad.

NÚMEROS CONJUNTO NUMÉRICO APLICACIÓN: Z+

  UNIDAD SIMPLES    PRIMOS   CLASIFICACIÓN DE Z+   COMPUESTOS   

1;2;4;8

Divisores de 15:

1 ; 3 ; 5 ; 15

REGLA PARA AVERIGUAR NÚMERO ES PRIMO.

Se extrae la raíz cuadrada del número, si a raíz cuadrada es exacta, entonces el número no es primo, en caso contrario se sigue el siguiente paso.

Se divide al número entre todos los números primos menores a la raíz cuadrada aproximada.

Si todas las divisiones son inexactas el número será primo, pero si al menos una división es exacta entonces el número no será primo.

N =Aa . B b . C c      

Descomposi ción canónica de N

1. Cantidad de divisores de

(

N CD ( N )

)

CD (N ) =(a +1 ) (b +1 ) (c +1 )

Ejemplo: 320 = 2 3 . 3 2 . 51

Ejemplo: Sea el número 131. Divisores de 12 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12

Como la unidad es el único divisor común 10; 12 y 15 son primos entre sí (PESI) PROPIEDADES

1; 2 1; 3

1. La serie de los números primos es limitada. 2. Todo número primo es mayor que 3, siempre º ±1 ; lo contrario no es de la forma 6 siempre se cumple.

• •

NÚMERO COMPUESTO

º 5 =6

º 18 =6

Son aquellos números que poseen más de dos divisores. Ejemplo : 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14

−1

º 11 =6

•

−1

•

3. Todo número consecutivos siempre son primos entre sí. Ejemplo:

1; 2; 4 1; 2; 3; 6

º 7 =6

• 8 y 9 son PESI • 14 ; 15 y 16 son PESI

º 131 ≠2

º ; 3

º ; 5

º ; 7

º ; 11

Como todas las divisiones so inexactas 131 es primo. TEOREMA FUNDAMENTAL ARITMÉTICA.

Todo número compuesto se puede expresar como un producto de factores primos diferentes elevados a ciertos exponentes; esta expresión es única y se llama “descomposición canónica”. Ejemplo: Sea el número 360 360 180 90 45 15 5 1

2 2 2 3 3 5

C D ( 360 ) = 24 2. Suma de divisores

Para el número 18, la suma de sus divisores es:

18 = 21 x 3 2    D.C

( )

SD18 = SD 21 x SD 3 2 2 1

360 = 2 3 . 3 . 5     

(

)

= (1 + 2 ) x 1 + 3 + 3 2 Descomposi ción canónica  22 − 1   33 − 1 

SD18

S3AR34B

( SD N )

Ejemplo 1:

Sea:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

C D ( 360 ) = ( 3 + 1) ( 2 + 1) (1 + 1)

131 =11, 4 1º 2º Primos menores que 11; 4; 2; 3; 5; 7; 11

Divisores de 15 : 1 ; 3 ; 5 : 15

Ejemplos:

NÚMEROS PRIMOS RELATIVOS PRIMOS ENTRE SI (PESI)

3er Año Secundaria

Divisores de 10 : 1 ; 2 ; 5 ; 10

Ejemplo: 2; 3; 5; 7; 11; 11; 13; …..

S3AR34B

Divisores de 8:

Ejemplo 2: Sean los números 10 , 12 y 15

Son aquellos números que poseen solamente dos divisores que son : la unidad y él mismo.

Divisores de 2: Divisores de 6:

los números 8 y 15

Como la unidad es el único divisor común, 8 15 son primos entre sí (PESI).

NÚMERO PRIMO ABSOLUTO

Divisores de 2: Divisores de 3:

Ejemplo 1: Sean

ARITMÉTICA

x   =  2 −1   3 −1      1 + 1 2 + 1 2  −1  −1   x 3  =  2 −1   3 −1     

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN En general: Sea

3. Suma

N = a α x bβ x c γ x ......          D.C

( SIDN )

inversas

los

β+1

ARITMÉTICA

divisores

PD (18 ) = 18

3er Año Secundaria

φ (p ) =p −1

= 18 6 / 2

Ejemplo:

Calcule la suma de las inversas de los divisores de 30. Analizando sus divisores γ+1

2. Si p es número primo y α es un entero positivo entonces:

18 6

Donde 6 es la cantidad de divisores de 18

a   −1  −1  −1   a  a x ..... =  a −1   b −1   c −1      α−1

SD N

3er Año Secundaria

PD (18 ) =

φ

α p    

CD (18 )

81 = 1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81        

Divisores

SID30 = 1 +

1 5

1 6

1 10

1 15

SID30 =

PD ( 81 ) = 81

( PD N )

18 = 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18          Divisores

PD (18) = 1 x 2 x 3 x 6 x 9 x 18 18 18

N . φ( N )

PRÁCTICA DE CLASE

PD ( 81 ) =

CD ( N )

a) 20 d) 18

(φ( N ) )

Se define para todos los enteros positivos N y representa la cantidad de números enteros positivos menores que N y que son primos relativos (PESI) con N. Algunas veces la función es llamada “Indicador de N” 1. Si N es primo entonces:

S3AR34B

c) 9

b) 21 e) 19

c) 22

03. Determinar el número de divisores pares del numeral 360. a) 45 d) 65

b) 40 e) 70

c) 48

04. Calcular la cantidad de divisores impares del numeral 54 000. a) 12 d) 16

b) 3 e) 15

02. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 360?

En general: para N

PD ( N ) =

01. Indicar la suma de cifras del número de divisores de 600. a) 6 d) 12

CD ( 81 )

5. Función de Euler

Sea el número 18:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

Donde 5 es la cantidad de divisores de 81

Ejemplo I.

S3AR34B

SD ( N ) N

4. Producto de divisores

2 +

= 81 2

En general : para N

(a −1) . b β−1 (b −1) . c γ−1 (c

Si : N > 1 entonces la suma de los enteros positivos menores o iguales a N y PESI con N es;

SD ( 30 ) 30

SID( N ) =

φ(N ) = a α−1

= 30 + 15 + 10 + 6 + 5 + 2 + 1              

N = a α . b β . c γ .....

Entonces:

PD (81) = 1 x 3 x 9 x 27 x 81

α−1(p −1 )

En general: Sea N descompuesto canónicamente:

Ejemplo 2

30 : 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30             

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 9 e) 18

c) 15

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er Año Secundaria a

05. Si el numeral 4 a es PESI con 30, calcular la suma de valores de a. a) 19 d) 30

b) 20 e) Faltan datos

c) 25

06. Hallar a – b sabiendo que N = 2 a . 3 b º más que 3 º . tiene 2 divisores 2

a) 2 d) 4

b) 1 e) 3

07. Si : A = 9 . 10 n

c) 5 tiene 27 divisores,

hallar cuántas cifras tiene A 3 . a) 9 d) 12

b) 7 e) 13

c) 10

08. ¿Cuál es el valor de “a” si el número 24 . 49 a tiene 68 divisores compuestos? a) 2 d) 5

b) 8 e) 9

c) 4 y

09. Si el número A = 3 . 5 tiene tres divisores menos que le número B = 2 x . 5 3 . Calcular : P = A + 2B a) 775 d) 225

b) 1 225 e) 950

c) 500

10. Calcular el valor del menor número que tenga 14 divisores. Indicar como respuesta la suma de sus cifras. a) 12 d) 15

b) 9 e) 18

c) 6

11. ¿Cuántos ceros debe tener N = 2 000….0 para que admita 56 divisores? a) 4 d) 7

S3AR34B

b) 5 e) 8

c) 6

12. Si : W = 2 . 3 . 7 tiene 40 divisores múltiplos de 9 y 30 divisores múltiplos de 2. Hallar “a . 2 + 3 . b” a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 13. ¿Cuál es el menor que tiene 15 divisores? a) 120 d) 148

b) 36 e) 144

c) 18

14. Si N = 13 k + 2 − 13 k , tiene 75 divisores compuestos, hallar el valor de k. a) 3 d) 6

b) 4 c) 5 e) 7

b) 7 c) 14 e) 23

b) 55 e) 58

c) 53

17. ¿Cuántos divisores debe tener un número cuya descomposición canónica es a n + 1 . b n + 3 para que su raíz cuadrada tenga 20 divisores? a) 63 d) 54

b) 48 e) 60

c) 80

18. Si: N = 2 a . 3 2a . 7 3 tiene 84 divisores que no son divisibles por 12, hallar “a”. a) 3 d) 6

b) 4 c) 5 e) 7

19. Dar la suma de las cifras del número que descompuesto en sus factores primos es

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

3er Año Secundaria

. Sabiendo que tiene 72 divisores y el número no es divisible por 27. 3

. b

. a

a) 9 b) 18 c) 24 d) 27 e) 30 20. Determinar N sabiendo que admite sólo 3 divisores primos que sumados resulta 16. Dar como respuesta el menor valor que adopta N, si éste tiene 30 divisores. a) 1 500 d) 1 700

b) 1 584 e) 1 728

c) 1 600

c) 6 e) 8

b) 2 c) 3 e) 5

b) 12 e) 30

c) 20

04. Si abco es igual al producto de varios factores primos consecutivos, donde o = cero, entonces a + b + c es: a) 4 d) 7

b) 5 c) 6 e) 11

05. Si ab es un número primo, mayor que 40 ¿Cuántos divisores que son números S3AR34B

b) 288 e) 136

c) 225

TAREA DOMICILIARIA 01. Si : N =121 x tiene 23 divisores compuestos, hallar “x”. b) 11 e) 8

c) 12

02. Halle “n”, si : A = 15 . 20 n tiene 154 divisores. a) 3 d) 6

b) 4 c) 5 e) 7

B = 7 n , ¿Cuántos divisores tendrá

a) 12 d) 15 04. Si

03. Si se divide 360 entre x; (x + 24) y (x + 48); en los tres casos se obtienen divisiones exactas. Hallar el residuo de dividir 360 entre (x + 72) a) 18 d) 24

a) 144 d) 280

03. Si A = 6 n tiene 20 divisores más que

02. ¿Cuántos primos absolutos de la forma aob existen de modo que la suma de sus cifras sea 13, siendo o = cero? a) 1 d) 4

compuestos tendrá el número abababoo ?

a) 10 d) 9

01. ¿Cuántos números primos comprendidos entre 100 y 160 son tales que la suma de sus cifras sea un número par? a) 4b) 5 d) 7

16. ¿Cuántos divisores compuestos como mínimo puede tener un número, si se sabe que tiene 60 divisores? a) 54 d) 56

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01

15. Sabiendo que aaa tiene 8 divisores, dar la suma de todos los posibles valores de “a”. a) 2 d) 12

ARITMÉTICA

b) 13 e) 16

8n ?

c) 14

4a . 3b

tiene aa divisores, ¿Cuántos divisores tiene abba ?

a) 18 d) 36

b) 9 c) 21 e) 45

05. ¿Cuántas veces será necesario multiplicar por 10 al numeral 16 para que el resultado tenga 60 divisores? a) 4 d) 10

b) 5 c) 8 e) 7

06. Si : P =4 n + 1 + 4 n + 4 n 36 divisores, hallar el valor de “n”. a) 4

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 5 c) 3

−1

tiene

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d) 1

3er Año Secundaria

e) 0

MÁXIMO COMÚN

b) 5 c) 6 e) 2

b) 11 e) 17

c) 7

09. El número 7 920: - ¿Cuántos divisores son pares? - ¿Cuántos divisores son impares? - ¿Cuántos divisores son múltiplos de 33? a) 36; 24; 20 c) 48; 12; 20 e) 48; 18; 20

Máximo Común Divisor (MCD) El máximo común divisor de un conjunto de dos o más números es aquel número que cumple dos condiciones : -

Es divisor común de los números. Es el mayor posible.

Ejemplo:

b) 36; 18; 26 d) 48; 12; 30

10. Calcular el valor de “n” si el número: E = 180 . 12 n . 45 2 tiene 88 divisores divisibles por 8 pero no por 5. a) 2 d) 7/3

b) 3 e) 5

3er Año Secundaria

c) 4

1. Por descomposición simultánea:

391

Ejemplo : Sean los números 540 ; 630 y 810 Conjunto numérico de aplicación : Ζ+

08. Hallar un número primo mayor que 3 tal que su cuadrado, disminuido en la unidad, dividido por 8, da por cociente un número primo. a) 13 d) 5

ARITMÉTICA

MÉTODOS PARA DETERMINAR EL MCD.

07. Hallar “a”, para que el numeral aaaa (7 ) tenga 30 divisores. a) 7 d) 3

540 – 630 – 810 270 315 405 90 105 135 30 35 45 6 7 9

2 3 3 5

MCD

630

;

810)

2 . 3 2 . 5 = 90

2. Por descomposición canónica:

A = 2 4 . 3 6 . 5 4 . 11 3 B = 23 . 38 . 5 2 . 7 2

Se cumple: MCD (A ; B) = 2 3 . 3 6 . 5 2

Ejemplo : MCD (8 ; 15) = 1

3. Por divisores sucesivas o Algoritmo de Euclides: Sean los números A y B (A > B)

º A = B

; se cumple:

MCD (A ; B) = B Ejemplo: MCD (60 ; 15) = 15

323

1. Sean los números A y B Donde : MCD (A ; B) = d Se cumple:

•

Ejemplo : Sean los números:

MCD (A ; B) = 1

A = dp

∴ MCD (18 ; 24) = 6

1. Todos los divisores comunes de varios números, son también divisores de su MCD. 2. Si A y B son PESI, se cumple:

PROPIEDADES

Cuando los números están descompuestos canónicamente, el MCD está determinado por el producto de los factores primos comunes elevados a sus menores exponentes.

PROPIEDADES

∴ MCD (391 ; 323) = 17

Sean los números 18 y 24 Divisiones comunes: 1 ; 2 ; 3 y 6 ↓ Mayor

Asimismo: MCD (60 ; 40) = 20 ; MCD (32 ; 40) = 8

3. Si

(540

2 3

B = dp

p y q son PESI

2. Si MCD (A ; B) = d

   MCD (An ; Bn) = dn  Entonces    MCD  A ; B  = d  n n n     Ejemplo : Si MCD (14A ; 21B) = 350 ÷ 7 MCD (2A ; 3B) = 50 x 4 MCD (8 A ; 12B) = 200 3. Se cumple:

MCD

MCD (AK ; BK) = MCD (A ; B) . K Ejemplo:

∴ MCD (A ; B) = r3 Ejemplo : Hallar el MCD de 391 y 323

MCD (8 K ; 12 K) = 4 K MCD (15 K ; 35 K) = 5 K MCD (8 K ; 15 K) = K

4. Sean los números A ; B ; C y D Donde : MCD (A ; B) = d 1 MCD (C ; D) = d 2

S3AR34B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S3AR34B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Entonces : MCD (A; B; C; D) = MCD

(d 1 ; d 2 )

PRÁCTICA DE CLASE 01. Hallar el MCD de 168; 248 y 360 a) 4 d) 12

b) 8 e) 24

c) 16

02. Si A = 15B y MCD (A , B) = 18, calcular: (A + B) a) 240 d) 288

b) 210 e) 300

c) 250

03. El MCD de 3A y 24C es igual a 18N y el MCD de “c y B es 2N. Hallar el valor de “N” si el MCD de A y 4B y 8C es 210. a) 8 100 d) 3 240

b) 4 860 e) 2 700

c) 1 620

04. El MCD de los números 36K; 54K y 90K es 1 620. Hallar el menor de los números a) 8 100 d) 3 240

b) 4 860 e) 2 700

c) 1 620

05. Si el MCD de A y B es 74 y el MCD de 7 A y 5B es 2 590, calcular B si la suma de A y B es 888. a) 500 d) 532

b) 518 e) 540

c) 524

06. Hallar el valor de “K” si: MCD (5 A ; 5 B) = 20 K MCD (A , B) = 5K – 10 a) 6 d) 12

b) 8 e) 16

c) 10

S3AR34B

b) 5 e) 8

c) 6

08. Hallar la suma de los cocientes sucesivos que se obtienen al calcular el MCD de los números 66 y 51 por el Algoritmo de Euclides. a) 6 d) 10

b) 8 e) 11

c) 9

09. Determinar el MCD de 1 240 y 980 por el método del Algoritmo de Euclides. La suma de los cocientes que se obtienen en le proceso, es a) 9 d) 12

b) 10 e) 13

c) 11

10. Hallar la valor de dos números sabiendo que están en la relación de 5/16 y que su MCD es 21. a) 105 y 336 c) 131 y 256 e) 115 y 336

b) 115 y 216 d) 96 y 435

11. La suma de los residuos que se obtienen al calcular el MCD de 1 050 y 238 por el método de las divisiones sucesivas es a) 154 d) 96

b) 78 e) 98

c) 308

12. Se calculó el MCD de un par de números que suman 222, por divisiones sucesivas, siendo los cocientes 1 ; 2 ; 1 ; 3 y 4.El mayor de ambos es a) 128 d) 122

07. Si MCD (1524 ; N) = 127, hallar el número de valores que podría asumir “N”. a) 4 d) 7

3er Año Secundaria

b) 126 e) 120

a) – 6 d) 3

b) 6 e) 4

3er Año Secundaria c) 2

15. Determinar el MCD de 2 227 y 2 125 por el método del Algoritmo de Euclides e indicar la suma de los residuos obtenidos. a) 204 d) 96

b) 17 e) 102

a) 25 d) 24

b) 26 e) 27

17. Si : MCD de 1ab 7 hallar (a + b + c) a) 10 d) 16

b) 12 e) 18

c) 124

b) 38 e) 84

01. Para calcular el MCD (A , B) se utilizó el método del algoritmo de Euclides donde los cocientes sucesivos son 8, 4, 1 y 4 respectivamente. Si el mCD (A , B) = 6, la suma de los números es: a) 1324 d) 1439

c) 23

y 1cb 3 es 99; c) 14

18. Se tiene tres cajas de galletas a granel y se desea empaquetarlas en bolsas plásticas de manera que no sobren de las 270, 390 y 450 galletas que respectivamente hay en las cajas. ¿Cuántas bolsas plásticas como mínimo se necesitan? a) 74 d) 37

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02

c) 324

16. Aplicando el método del Algoritmo de Euclides determinar el MCD de 1 348 y 1172. Dar como respuesta la suma de los cocientes obtenidos en el proceso.

c) 66

b) 1325 c) 1437 e) 1530

02. Al calcular el MCD de dos números mediante el algoritmo de Euclides se obtuvo como cocientes sucesivos a: 1 ; 2 y 2 si la diferencia fdel MCM y el MCD es igual a 510. Hallar la suma de los 2 números. a) 180 d) 270

b) 210 e) 280

c) 240

03. El MCD de (a + 1) (a + 3 ) (a + 5 ) y el que resulta de invertir el orden de sus cifras es 36. Indicar la suma de dichos números. a) 1554 d) 1221

b) 1110 c) 1776 e) 1332

04. Si se dividen los números 8888 y 11888 entre abc se obtiene por residuos 529 y 314, respectivamente. Hallar a + b + c. a) 13 d) 22

b) 15 e) 12

c) 17

05. Se tienen 2 números A y B tales que MCD (3 A , 3B) = 24 MCM (A/4 , B/ 4) = 30 Hallar A + B sabiendo que no son divisibles entre sí.

13. En la determinación del MCD de un par de números por el método de Algoritmo de Euclides, se obtuvo los cocientes sucesivos; 1 ; 3 ; 2 y 4. Si el MCD es 7 ; el número mayor es

a) 60 d) 72

a) 240 b) 260 c) 280 d) 290 e) 310 14. Si el MCD de 6 432 y 132 se disminuye en 8, entonces será igual a

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

ARITMÉTICA

b) 48 e) 84

c) 64

TAREA DOMICILIARIA S3AR34B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

MINIMO COMÚN COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er Año Secundaria

01. Si al calcular el MCD de dos números por el algoritmo de Euclides se obtuvieron los cocientes sucesivos 2; 5; 3 y 2, calcular el MCD de los números si la diferencia de ellos es 880. a) 20 d) 28

b) 25 e) 14

c) 16

02. ¿Cuántos divisores comunes números 420; 360 y 1260? a) 12 d) 6

b) 10 e) 4

tienen

los

c) 8

03. Los residuos que se obtienen al calcular el MCD de 1 050 y 238 por divisiones sucesivas suman a) 78 d) 96

b) 154 e) 201

a) 10 d) 16

Cálculo del MCM: 1. Por descomposición simultánea

MCD ( A , B ) = 2 x 3 y 5 z Hallar : (x + y + z)

a) 25 d) 31

b) 27 e) 33

c) 29

El MCM de un conjunto de números es le menor de los múltiplos comunes de varios números. Sean los números: •

12: 12, 24, 36 , 48, 60, 72 , 84, 96, 108 , 120 …

•

18: 18, 36 , 54, 72 , 90 , 108 , 126, 144 …

09. Hallar la suma de las cifras del MCD de los números 936; 360 y 1080. a) 6 d) 15

c) 624

b) 9 e) 18

c) 12

Múltiplos ∴ El MCM (12 ; 18) = 36 Obs.: Múltiplos comunes : 36 , 72 , 108 … Múltiplos de … Propiedad: Los múltiplos comunes de varios números son múltiplos de su MCM. Problema:

Solución:

b) 2 e) 5

Sean los números 360; 300 y 200 360 - 300 - 200 180 150 100 90 75 50 45 75 25 15 25 25 5 25 25 1 5 5 1 1 1

2 2 2 3 3 5 5

∴MCM :

23 3 2 5 2     1 800

2. Por descomposición canónica Pasos: - Se descomponen los números canónicamente, en factores primos. - El MCM estará dado por los factores primos comunes y no comunes elevados sus mayores exponentes. Ejemplo: Sean los números 360; 300 y 200

Si el MCM (A , B) = 36, ¿Cuántos múltiplos comunes positivos menores que 180 tienen A y B?

05. A = 4 n . 5 n y B = 12 n . 15 n y MCD (A , B) tiene 15 divisores, calcular “n” a) 1 d) 4

3er Año Secundaria

c) 14

B = 215 . 3 16 . 5 10 . 7 20

c) 308

b) 614 e) 650

ARITMÉTICA

9 6 4 08. Si : A = 4 . 9 . 25

04. El MCD de dos números es 13. Se desea conocer el menor de los números, si los cocientes sucesivos que se obtienen al hallar su MCD por divisiones sucesivas son 11; 9; 1; 1 y 2. a) 604 d) 637

b) 12 e) 18

• 360 = 2 3 3 2 5 • 300 = 2 2 . 3 . 5 2 • 200 = 2 3 . 5 2 El MCM : 2 3 3 2 5 2 = 1 800 Problema : ¿Cuántos divisores 20 5 y 30 4 ?

c) 3

tiene

MCM

Solución:

06. Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B es 162 A = 6 n +1 + 6 n ; B = 9 n +1 + 9 n

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 07. Si : MCD 1ab 7 ; 1cb 3 = 99 Halle (a + b + c)

(

)

Propiedades: 1. Para 2 números A y B que sean P.E.S.I.

S3AR34B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S3AR34B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN El MCD será siempre la unidad y el MCM será el producto de los menores. Para 2 números A y B, P.E.S.I. EL MCD (A , B) = 1 El MCM (A , B) = A . B 2. Para 2 números A y B se cumple siempre que el producto del MCD será igual al producto de los números. Para 2 números A y B MCD (A , B) . MCM (A , B) = A . B 3. Si al conjunto de números se le multiplica o divide por cierto factor su MCM también queda multiplicado o dividido por el mismo factor. Si MCM (A , B) = P MCM (kA , kB) = kP B P A MCM  k ; k  = k   4. Si el MCM de 2 números es “n” y el MCM de otros 2 números es “m” entonces el MCM de los números será el MCM de n y m. Si MCM (A , B) = n ; y MCM (C , D) = m ⇒ MCM (A , B , C , D) = MCM (n,m) 5. Para 2 números A y B Si MCD (A , B) = n MCM (A , B) = m Se cumple : A = np B = nq ⇒ A . B = nm

a) 2

. 5

d) 40 40

a) 8 d) 11

c) 10 e) 7

03. ¿Cuántos múltiplos comunes de 4 cifras tienen los números: 24, 50 y 60? b) 15 e) 16

01. Hallar el MCM de los números: 20 40 ; 10 20 ; 40 20

c) 14

04. Sean A y B dos números primos entre sí, ¿Cuál será su MCD y cuál su MCM? a) A, B ; A – B c) AB ; 1 e) No se puede saber

b) A + B ; A – B d) 1 ; A x B

05. ¿Cuántos divisores tiene el MCM de 1 008 y 2 100? a) 45 d) 80

b) 90 e) 60

c) 135

A = 81 . 18 n

y B = 18 . 81 n

b) 3

es 16 . 3 18

c) 4 e) 6

B = 36 n 48

36 . 48 n

tiene 72 ¿Cuántos divisores tiene A? b) 90 e) 64

divisores,

15. Hallar el valor de MCM (2 A , 3B), sabiendo que : A . B = 5 760 y MCD

y B = 28 k . 32 tiene 72 divisores.

A = 45 . 60 x

a) 360 d) 820

B = 60 . 45 x

Para que se cumpla: MCM (AB) = 12 MCD (A , B) a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

10. EL MCM de 2 números es 320. Hallar dichos números sabiendo que la diferencia entre ambos es igual a 7 veces el menor a) 320 y 60 d) 320 y 30

b) 320 y 50 c) 320 y 40 e) 320 y 20

11. Estrella trabaja 11 días seguidos y descansa el décimo segundo día. Si comenzó a trabajar un día Lunes, entonces, ¿Cuántos días transcurrirán para que pueda descansar un domingo? a) 83 d) 77

b) 89 e) 84

c) 90

a) 125 b) 245 c) 365 d) 605 e) 485 13. La edad que tiene un profesor del colegio Lord Kelvin es múltiplo de 2 más 1, múltiplo de 7 más 6 y múltiplo de 10 menos 1. Si una pitonisa le dijo que iba a vivir 70 años, ¿Cuántos años faltaría para dejar este mundo? a) 0 d) 2

c) 60

08. Hallar “k” si el MCM de A = 28 . 32

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

c) 4 e) 6

12. En el colegio “Lord Kelvin” hay menos de 700, alumnos. Si se cuentan de 6 en 6, de 8 en 8, de 10 en 10 y de 12 en 12 siempre sobran 5; pero si se cuenta de 11 en 11 no sobra ninguno. ¿Cuántos alumnos hay?

06. Hallar “n” si el MCM de:

a) 45 d) 54

b) 3

3er Año Secundaria

09. Hallar “x” en los números

07. Si el MCM de A = m = npq

a) 2 d) 5

b) 10 40 c) 2 40 60 40 e) 20 . 5

b) 9

a) 12 d) 13

ARITMÉTICA

02. Si el MCM (A , B) = 36, ¿Cuántos múltiplos comunes positivos menores que 360 tiene A y B?

a) 2 d) 5

PRÁCTICA DE CLASE

S3AR34B

3er Año Secundaria 40

b) 4 e) 1

c) 3

14. SI se sabe que el MCM (A , B) = 1 848 y A/B = 12. Encontrar el valor de (A – B). a) 154 d) 1562 S3AR34B

b) 1694 e) 1672

b) 720 e) 480

A 3

;

B 2

c) 1440

16. Hallar dos números, sabiendo que su producto es igual a 8 veces su MCM y que su suma es igual a 6 veces su MCD. a) 8 y 40 d) 6 y 40

b) 8 y 30 e) 6 y 30

c) 8 y 20

17. Un automovilista viaja a velocidad constante, recorriendo primero 900 km y luego 1 350 km. Si el MCM de los tiempos empleados es 90 horas, hallar el tiempo que viajó. a) 30 d) 60

b) 40 e) 75

c) 45

18. Para que un objeto que pesa más de 2 000 g complete un peso de 10 kg se puede utilizar un número exacto de pesas de 40 g, 50 g, 60 g ó 0 g. ¿Cuál es el peso exacto del objeto? a) 4 200 g b) 2 800 c) 8 400 d) 5 800 e) 3 000 19. Tres automóviles parten juntos del mismo punto de partida de un circuito cerrado de 3600 m de longitud, si las velocidades de ellos son 60, 36 y 20 m/s respectivamente. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que vuelvan a pasar juntos por el punto de partida? a) 10 min. d) 18 min.

b) 12 min. e) 16 min.

c) 15 min.

20. El MCD de los números abc y cba es 36 y su MCM es 11 232. Hallar el número mayor. a) 345 d) 288

b) 864 e) 936

c) 111

c) 1419 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03 “El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er Año Secundaria Entonces : (a + b+ m + n) es:

01. Dadas las siguientes proposiciones I.

Si varios números son primos entre sí 2 a 2, entonces su MCM es le producto de ellos. II. El MCM de 2 números es igual al producto de su MCD por los cocientes que se obtienen al dividir dichos números entre su MCD. III. Si varios números son primos relativos, entonces su MCD es la unidad. Los respectivos valores de verdad son: a) FVV d) FFF

b) FFV e) VVV

02. Indicar el valor proposiciones: I.

c) VVF

verdad

( (aboab 4

)

c) 18

b) 4 e) 15

b) 6600 e) 14256 el

b) 2 e) 5

c) 5

c) 6930 MCD

) ; mnmn 5 ) = 17160 .

c) 3

k 7k

si el 9k   2k   5 , 10 , 5   = 630  

b) 3 e) 6

MCM

c) 4

05. ¿Cuántos divisores tendrá el MCM de 40 . 60 n y 60 . 40 n si su MCD tiene 100 divisores? a) 200 d) 260

b) 240 e) 280

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 27 e) 33

3er Año Secundaria

M1 M2

c) M1M2

M1 M 2

b) 210 e) 280

c) 70

09. Hallar 2 números sabiendo que su diferencia es 170 y que al sumar su MCD con su MCM se obtiene 530. Dar el mayor número. a) 172 d) 160

b) 176 e) 89

(

b) 14 e) 39

Se denomina fracción a todo par de números enteros dados en un cierto orden, de manera que el primero se llama (numerador) el segundo (denominador) y éste sea distinto de cero. Sea la fracción a/b que también se puede "b" el denominador. En otras palabras, una fracción nos indica una parte que se toma de un todo dividido en partes iguales. Así por ejemplo la fracción 5/12 nos indica que se han considerado 5 partes de un total de 12 partes iguales en las que se ha dividido el total. Ejemplo: si dividimos un total en 25 partes iguales, ¿qué fracción representan las partes sombreadas?

c) 96

)

10. Sabiendo que el MCM ab , ab + 13 es 156. Determinar la suma de los divisores comunes de ab y ab +13 a) 13 d) 26

NÚMEROS FRACCIÓN

08. Hoy las tres campanadas de una iglesia han sido tocadas simultáneamente. Si en adelante la primera será tocada cada 7 días, ¿después de que tiempo se volverán a tocar juntas?

c) 16

CLASIFICACIÓN I. De acuerdo a la relación entre sus términos a) Propia Toda fracción cuyo valor es menor que la unidad y mayor que cero. Esto sucede cuando el numerador es menor que el denominador. Ejemplos:

c) 250

4/7 ; 6/13 ; 89/ 237 ; 127 / 32544

06. La suma de 2 números es 81 y el MCM de ellos es 180. ¿Cuál es el menor? a) 36 d) 45

a) 350 d) 140

a) 100 b) 70 c) 80 d) 50 e) 90 04. Determinar el valor de “k” en los números: A = 15 . 90 k y B = 15 k 90 para que MCM sea 36 veces su MCD. a) 2 d) 5

aboab 4 ; mnmn 5 = 13 y el MCM

S3AR34B

a) 3 d) 6

ARITMÉTICA

01. ¿Cuántos múltiplos comunes de 3 cifras tienen los números 12; 25 y 30?

− 1 ; 3 21 − 1 ; 3 30 − 1 = 26 03. Hallar

04. Calcular el máximo valor de (A + B) si se cumplen: A =a 48 b , B = mnnm ; MCD (A,B) = 33 y 500 < B < 6000

05. Si

TAREA DOMICILIARIA

a) 1 d) 4

b) 16 e) 32

c) 11

las

a) VVV b) VVF c) FVF d) VFV e) VFF 03. Si el MCD de los números aaa y bbb es un número que tiene 12 divisiones ¿Cuántos divisores tendrá su MCM?

a) 9503 d) 9933

b) 10 e) 13

B =12 . 15 m tiene 140 divisores.

II. Si a, b, c, d son PESI → MCM (a, b, c, d) = abad III. Si a ∈ N → MCD (a, a + 1)

a) 15 d) 24

a) 9 d) 12

07. Dos números al multiplicarse por un tercero, se obtiene que su MCD es M, y cuando se divide por dicho tercer número el MCD es M 2 . Hallar el MCD de dichos números.

02. Hallar m si el MCM de A = 12 m 15 y

MCD

b) Impropia Toda fracción cuyo valor es mayor que uno (1). Esto sucede cuando el numerador es mayor que el denominador.

c) 18

Ejemplos: S3AR34B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er Año Secundaria

ARITMÉTICA

3er Año Secundaria

b) Fracciones heterogéneas 15/8 ; 13/5 ; 65 / 27 ; 3 227 /119 Es aquel grupo de fracciones denominadores son diferentes.

cuyos

II. De acuerdo al denominador de la fracción

a) 372 / 106 d) 848 / 309

b) 862 / 725 e) 849 / 308

c) 504 / 312

a) 1h 30 min. c) 2h 30 min. e) 3h

02. Hallar el valor de: Ejemplos:

a) Fracción ordinaria o común Toda fracción cuyo denominador es diferente a una potencia de 10.

9 / 15 ; 65 / 128 ; 31 / 11 ; 3 / 4 OTRAS FRACCIONES

Ejemplos: 17/23; 34/97; 11/56; 457/ 129 b) Fracción decimal Toda fracción cuyo denominador es una potencia de 10.

a) Fracción equivalente: Una fracción equivalente es aquella fracción que tiene el mismo valor que otra más sus términos son diferentes.

07. La cantidad de valores que puede tomar "x", si x/18 es una fracción propia mayor que 2/5, es:

c) 5

08. Halle la fracción tal que si a sus 2 términos se les suma el numerador y el resultado se le resta la fracción, se obtenga 6/ 35.

b) 3

e) 4

43/1 000; 21/ 10 000;

1/100 b) Fracción reductible: Toda fracción cuyos términos comparten divisores y permiten por lo tanto un proceso de simplificación.

a) Fracciones homogéneas Es aquel grupo de fracciones que poseen el mismo denominador. Ejemplos:

180

48 90

24 45

35 71

E =

2 + “El nuevo símbolo de una buena educación....”

3 4

a) 48 m d) 46, 8

1 2 +

b) 98 / 164 e) 98 / 169

2 5 c) 98 / 166

05. Se deja caer una pelota desde cierta altura y en cada rebote pierde 2/3 de la altura anterior. Si en el cuarto rebote alcanzó una altura de 60 cm; la altura inicial fue:

01. Hallar el valor de:

4 2 +

3 2

b) 48, 6 m e) 42, 4 m

c) 60 m

06. Un reservorio de agua se puede llenar con dos llaves A y B en 60 horas y 10 horas respectivamente. Si estando inicialmente vacío el reservorio, se abren simultáneamente S3AR34B

a) 2 / 7 d) 2 / 5

b) 9 e) 7

b) 2 / 3 e) 1 / 3

c) 11

c) 2 / 9

09. La cantidad de fracciones propias menores que 0, 75; cuyos términos son consecutivos, es: b) 2 e) 5

c) 3

10. Un limonero vende 2 /5 del total de limones que tiene, luego vende 1 /2 del resto y finalmente 2 /3 del nuevo resto. Si todavía le quedan 48 limones, el número de limones que tenía a inicio es:

1 4 +

a) 98 / 165 d) 98 / 163

a) 10 d) 8

a) 1 d) 4

2 +

PRACTICA DE CLASE

2 +

c) 245

2 3 +

donde 35 y 71 son PESI

b) 247 e) 244

04. Simplifique:

c) Fracción irreductible: Toda fracción cuyos términos son primos entre sí, es decir el único factor común entre los términos, es la unidad.

6 / 17 ; 25 / 17 ; 11 / 17 ; 3 456 / 11

a) 246 d) 248

b) 2 h 45 min. d) 3h 45 min.

4   1 + 5     3   1 − 4    

03. ¿Cuántas fracciones de denominador 90 están comprendidas entre 3/4 y 7/ 2?

III. De acuerdo a los denominadores de un grupo de fracciones

S3AR34B

a) 2 d) 4

Ejemplos: 77/ 100; 000

1 1   1 − 2   1 + 2      1 2   1 − 3   1 + 3     

las llaves; el tiempo que se demora en llenar es:

a) 460 d) 420

b) 440 e) 520

c) 480

11. El numerador de una fracción excede al denominador en 7. Si el denominador se aumenta en 22 el valor de la fracción es 1/2. la suma de os términos de la fracción original es: a) 23 b) 22 c) 21 d) 20 e) 24 12. Los 3/4 den barril más 7 litros son de gasolina tipo "A" y 1/3 menos 20 litros son de gasolina tipo "B". ¿Cuántos litros son de tipo A? a) 120

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 118

c) 122

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d) 126

e) 124

d) 14 , 5 m

13. Una persona ingresa a un conocido casino de la capital y al apostar por primera vez pierde 1/3 de su dinero; al apostar por segunda vez, gana 2/3 de lo que le quedaba y finamente decide apostar el dinero que le quedaba y pierde la mitad. Si se retiró a su casa con $ 40; el dinero con el que inicialmente jugó es: a) 70 d) 76

b) 72 e) 78

c) 74

14. Un empleado cobra su sueldo e inmediatamente gasta la mitad en alimentos; 1/3 del resto en luz, agua y teléfono; la quinta parte del nuevo resto en pago de impuestos. Si aún le queda S/. 120; su sueldo es: a) 430 d) 450

b) 440 e) 460

c) 420

15. La cantidad de fracciones propias e irreductibles de denominador 21; es: a) 12 d) 9

b) 11 e) 13

c) 10

16. ¿Cuántas fracciones de denominador 120 están comprendidas entre 4/3 y 5/2? a) 141 d) 140

b) 139 e) 138

c) 142

17. La cantidad de valores que puede tomar "n"; si n/24 es una fracción propia mayor que 3/7, es: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 18. Dos cañones pueden llenar un estanque de 36 m 3 en 5 y 6 horas respectivamente; mientras que un desagüe lo podría vaciar en 10 horas. Si se abren los 3 caños y se cierran penas se llena el estanque; los m 3 de agua que se fueron por el desagüe, son: a) 11, 5 m 3 12, 5 m S3AR34B

c) 13, 5 m

3er Año Secundaria

15 , 5 m

19. Una vagoneta de cal pesa 720 Kg. Cuando contiene los 5/8 de su capacidad pesa 95/ 124 de su peso anterior. Hallar el peso de la vagoneta vacía. a) 1 300 kg. d) 1 600 kg.

b) 1 400 kg. e) 1 200 kg.

c) 1 500 kg.

20. Una piscina se puede surtir de agua con dos grifos A y B que pueden llenarla individualmente en 10 y 15 horas respectivamente. Una salida de agua en el fondo permite desalojar todo e volumen de agua en 30 horas. El tiempo necesario (si estuviera llena sus 7/15) para completar de agua la piscina abriendo todos los conductos de entrada y salida simultáneamente, es: a) 2h d) 5h

b) 3h e) 6h

c) 4h

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 04 01. En un depósito existen N litros de vino, primero se reemplaza 1/4 de ese volumen por agua, luego se reemplaza 1/5 de la mezcla por agua ¿Cuántos litros de agua hay en la mezcla final? a) 7N / 15 d) 4N / 15

b) 11N / 5 e) 3N / 15

b) 8 e) 15

a) 20 / 13 d) 30 / 13

b) 40 / 13 e) 50 / 13

a) 234 d) 400

b) 432 e) 287

b) 1/5 e) 3/4

01. Simplifique:

1 2

1 +

2 +

c) 500

05. Un obrero realizó un trabajo en 4 días; el primer día hizo una parte; el segundo día hizo 1/4 de lo que le faltaba, el tercer día hizo 1/5 del resto y el cuarto día hizo el 40% de la obra. ¿Cuántos días menos emplearía si trabaja con el rendimiento del primer día? a) 1 d) 1/2

TAREA DOMICILIARIA

c) 60 / 13

04. Una persona gana en tres juegos consecutivos 1 / 3 de lo que tiene antes de cada juego y en el cuarto pierde los 2 / 3 de lo que tenía antes del tercer juego, resultando con 512 soles. La cantidad de dinero (en soles) que tenía al inicio es:

c) 1/4

a) 9 / 13 d) 6 / 13

b) 5 / 13 e) 7 / 13

1 4 c) 8 / 13

02. Se deja caer una pelota desde cierta altura y en cada rebote pierde 1/ 4 de la altura anterior. Si en el tercer rebote alcanzó una altura de 54 cm; la altura inicial fue: a) 60 cm d) 130 cm

b) 128 cm e) 64 cm

c) 256 cm

03. Un reservorio de agua se puede llenar con dos llaves A y B en 4 horas y 9 horas respectivamente. Si estando inicialmente vacío el reservorio, se abren simultáneamente las llaves; el tiempo que se demora en llenar es: a) 2 h d) 13/ 36 h

b) 47/ 19 h e) 36 / 13 h

c) 19/ 47 h

04. La cantidad de valores que puede tomar "x"; si x/ 12 es una fracción propia mayor que 1/4, es:

c) N / 15

a) 7 d) 10

b) 8 e) 11

c) 9

05. Hallar el valor de:

E =

2 +

c) 9 a) 12 / 31 d) 12 / 7

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

3er Año Secundaria

03. Tres tuberías A, B, C trabajando juntas pueden llenar la tercera parte de un tanque en 2 horas. Si trabajan solo A y B pueden llenar las 3/4 partes del tanque en 5 horas y si trabajan B y C llenarán el tanque en 8 horas. ¿En cuantas horas llenará la tercera parte del tanque trabajando solo la tubería B?

02. Tres brigadas de obreros pueden hacer una zanja, los primeros en 9 días, la segunda en 10 días, y la tercera en 12 días, se emplean a la vez 1/4 de la primera, 2/3 de la segunda y 3/5 de la tercera. ¿En cuantos días se termina la zanja? a) 7 d) 13

ARITMÉTICA

S3AR34B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

1 + 4

2 b) 12 / 11 e) 12 / 13

1 3 +

2 1 +

c) 12 / 5

1 5

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er Año Secundaria

06. Hallar el valor de:

1 1 2   1 + 2   1 − 3   1 − 3       2  1 2   1 + 5   1 − 2   1 + 3       a) 2 / 11 d) 2 / 5

b) 2 / 3 e) 2 / 7

c) 2 / 9

NÚMEROS Número decimal Es la expresión que se obtiene al dividir el numerador de la fracción entre el correspondiente denominador. Ejemplo:

13 4 35 25 29 9

= 3,25

8 19 16

= 3,2222 ...

PRÁCTICA DE CLASE

04. Si 

 a ,3 ; b =0,0 3

calcule:

a) d)

= 1,1875 d)



90 7 20

b) e)

 y c =0,00 3

a +b +c

300 111 90 33

∩= 05. Si: 0, 5 a

b) e)

99 111

33 90

300

m 11

20 5

a) 8 d) 7

11 18 66

b) e)

7 33 42

a) 3 d) 9

15 9

= 2,5

15 73 99

12 9 15 9

S3AR34B

c) 11

3 90

b) 5 e) 1

c) 7

5 = 0,defabc x

y def − abc = 429 calcule " x " a) 3 d) 9

b) 5 e) 5

c) 7

09. Al dividir un número entre 27, 81 y 2 se obtiene un entero, un decimal periódico puro y un decimal exacto respectivamente; ¿cuántas cifras decimales no periódicas se obtiene al dividirlo entre 972? a) 1 d) 4

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 9 e) 15

08. Si: 2 = 0,abcdef y x 

c) 3

07. ¿Cuál es la última cifra del período de (3)–83

03. Calcular la fracción generatriz de 0,7 3 a)

b) 2 e) 5

06. Calcule: a + b, ∩ a b si: + = 0, 96 11 3

∩

02. Calcular la generatriz de 0, 27

= 1,875

= 0, 63 11

S3AR34B

a) 1 d) 4

01. Calcular la fracción generatriz de 0,45 a)

3er Año Secundaria

Número decimal inexacto periódico mixto Se origina cuando el denominador de la fracción generatriz está compuesta por factores 2 y/o 5 y al menos un factor primo distinto a estos. Ejemplo: ∩ 19 = 3, 16 6 ∩ 28 = 0, 62 45 ∩ 43 = 1, 43 30

= 1,4

Número decimal inexacto periódico puro Se origina cuando el denominador de la fracción generatriz no contiene factores 2 ni 5. Ejemplo:

ARITMÉTICA

Calcule: m – a

Número decimal exacto Se origina cuando el denominador de la fracción generatriz está compuesta por factores 2, por factores 5 ó por ambos. Ejemplo:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 2 e) 5

c) 3

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN  10. Calcule una fracción equivalente a 0,3 6

sabiendo que la diferencia de sus términos es múltiplo es 17.

187

510 204

187

b) e)

187

204 210

170 184

227

b) 98 e) 91

12. ¿Cuántas fracciones

c) 99

abcd N

dan origen

b) 8 999 e) 9 001

c) 8 910

13. Sabiendo que al dividir N entre 8 ! se obtiene un decimal de 5 cifras no periódicas y una periódica, ¿cuál es el menor valor de N? b) 23 e) 71

b) 9 e) 12

genera el

, ¿cuál es el

a) 7 d) 10

b) 8 e) 11

18. Se tiene la fracción

Calcule la fracción

que la generatriz de 0, abc tiene un denominador que es primo que sumado con el numerador da 40.

a) 1 d) 4

c) 3

03. Si ∩ = 4 ,1

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

a fracción

2 10 10 !

c) 3

c)3

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 05

a b

01. Indique los valores de verdad de las siguientes proposiciones:

= 0 , ef

(0, 23223222322223 ....... + 0, 01001000100001 .....) es racional. II. 4,0 se aproxima a π con un error menor que 4/5. III. Si a y b son irracionales, a ≠ b, entonces a . b es irracional. a) VVV d) VFV

b) VFF e) FFF

c) FVV

9 7 2

b) e)

3 5 2 9

7 9

Si a y b son irracionales ⇒ a + b es irracional. II. Si K ∈ Q y a es irracional ⇒ a k es irracional. III. Si K ∈ q, k ≠ 0 y a es irracional ⇒ k a ∈ irracionales. Los respectivos valores de verdad son: a) VVV b) FFV c) FVV d) VFV e) FFF

S3AR34B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S3AR34B

− 2)

irreductible da como resultado

b) 14 e) 19

c) 15

04. Si 1 + 8 + 27 + 64 + ...... n sumandos

= 4, 09

1 + 4 + 9 + 16 + ...... n sumandos , entonces n es: b) 5 e) 11

c) 6

05. Si 0, ab + 0, bc + 0, ca + 0, abc = 4, 1 , entonces la cantidad de divisores compuestos que tiene abc es: a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

TAREA DOMICILIARIA 01. Calcular la fracción generatriz de 0, 28 a)

a) 12 d) 16

02. Dadas las proposiciones:

a) 4 d) 7

= 0 ,∩ a

fracción

el decimal de la forma 0, a b c d , entonces (a + b + c) es :

b) 2 e) 5

c (a − 7 ) a

f =

0, abc calcule el máximo valor de: M = 0, abc + 0, cab + 0,bca

a) 1 d)4

c) 9

a + 2

sabiendo

19. Si 0, ab + 0, bc + 0, ca

17. Calcule un número que divido entre 37

tal manera que se cumpla : b + 2 conociendo que a + 2 = e +f.

0,abc + 0,bca + 0,cab ,

3er Año Secundaria

20. ¿Cuántas cifras tiene en la parte no periódica

c) 10

c) 28

14. Calcule el valor de :

b) 2 e) 5

c) 7

a + 1  ( a + 1) a 0 ,  origina el decimal:  2 

0,abcd ?

a) 17 d) 32

b) 5 e) 1

número decimal 0, 0(a - 1) b valor de a + b? a) 8 d) 11

a) 9 000 d) 8 000

a) 3 d) 9

ARITMÉTICA

15. Calcule el período de un decimal periódico mixto, tal que su generatriz es propia, con 220 como denominador. Indicar la suma de las cifras como respuesta.

16. Si la fracción generatriz

11. ¿Cuántas fracciones propias pueden generar una periódica pura de dos cifras? a) 90 d) 100

3er Año Secundaria

7 25 8 35

b) e)

6 15 10

9 45

02. Calcular la generatriz de 0 , 49 a) d)

7 99 23 33

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) e)

7 9 21 99

49 99

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 03. Calcular

fracción

∩ 0 , 25

generatriz

3er Año Secundaria de 08. Si :

ARITMÉTICA

3er Año Secundaria

∩ ∩ ∩ a,2 + 2,8 = b ,1

calcule a + b a) d)

33 25

23 90 12

a) 7 d) 15

∩ N = 0 , 05 ∩ I = 0 , 005

∩ U =0 , 5 ;

59 180

111

111 180 18

30 11

05. Si : 0 , 1 ∩ a =

m 20

SOLUCIONARIO

calcule . K = (U + N + I)−1 a)

c) 9

04. Si:

b) 8 e) 13

N°

EJERCICIOS PROPUESTOS 01 02 03 04 05

01.

02.

03.

04.

05.

calcule: "m", si a

≠ 0. a) 1 d) 8

b) 2 e) 7

c) 4

06. Si:

a 11

b 33

= 0 , ( a + 1) ( a + b )

calcule a + b a) 4 d) 8

b) 7 e) 11

c) 3

07. ¿Cuál es la última cifra de periodo a) 1 d) 7 S3AR34B

b) 3 e) 9

1 3 19

c) 5 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

S3AR34B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."