COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ero. Año Secundaria
27
GEOMETRÍA CONCEPTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES OPERACIONES CON SEGMENTOS I. OBJETIVO DE LA GEOMETRÍA El objeto de la geometría es el estudio de las figuras geométricas desde el punto de vista de su forma, extensión y relaciones que guardan entre sí. Geometría plana.- Estudia las figuras planas, esto es, aquellas cuyos puntos se encuentran en un mismo plano. Llamada también Planimetría. Geometría del espacio.- Estudia las figuras sólidas o del espacio, esto es, aquellas cuyos puntos no se encuentran en un mismo plano. Ejm: cubo, prisma, pirámide, esfera, etc. II. FIGURA GEOMETRICA Se llaman figuras geométricas a los conjuntos de puntos, tales como las líneas, superficies y cuerpos. El punto representa el conjunto unitario. En toda figura, menos en el punto, distinguiremos su tamaño, su forma y su posición.
Clasificación de las figuras planas:
Congruentes. Cuando tienen igual forma y tamaño. Semejantes. Cuando tienen igual forma pero diferente tamaño.
S4GE31B
3ero. Año Secundaria28
Equivalente. Cuando tienen la misma área o el mismo volumen pero diferente forma o tamaño.
a)
2.Línea Recta: Sucesión continua de puntos que se desplaza hacia ambos extremos en forma ilimitada. 3.Plano: Superficie imaginaria ilimitada, es engendrada por una línea recta cuando se desplaza paralelamente a su posición original. IV. OTROS TERMINOS GEOMETRICOS 1.Línea: Está formada por una sucesión continua de puntos con una sola dimensión que es la longitud. 2.Semi-recta: Parte de la recta que carece de punto de origen. 3.Rayo: Parte de la recta que posee punto de origen. 4.Segmento de recta: Porción de recta comprendido entre dos puntos que son los extremos. Conjuntos Convexos Definición: Un conjunto “P” del plano recibe el nombre de conjunto convexo, si y solo si, para cada par de puntos A y B de P, se cumple que AB ⊂ P . Un conjunto que no es convexo se llama CÓNCAVO.
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
b) A
c) A
A
Donde:
B B
B
III. ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRÍA Los elementos geométricos fundamentales son: 1) El Punto 2) La Recta y 3) El Plano 1.Punto: Límite mínimo de la extensión, que se considera sin longitud, latitud ni profundidad. La idea de punto geométrica nos lo da la punta de un alfiler o la marca que deja la punta de un lápiz. Expresa tan solo una idea y no un objeto real.
GEOMETRÍA
e)
d) ___ ___ De los conjuntos conjuntos convexos.
precedentes
(a)
son
SEGMENTO DE RECTA
Definición: Para dos puntos cualesquiera A y B, el segmento AB es el conjunto de los puntos A y B y de todos los puntos que están entre A y B. Los puntos A y B se denominan extremos. Segmentos consecutivos: Dos o más segmentos se llaman consecutivos, cuando cada uno tiene con el siguiente un extremo común. Los segmentos consecutivos pueden pertenecer a una misma recta o a una poligonal. Congruencia de segmentos: Se dice que dos segmentos son congruentes cuando tienen la misma longitud. Punto Medio o Punto Bisector de un segmento: Se dice que el punto “M” de AB es un punto medio. Si: AM=MB a A
B
Observaciones: a) Todo segmento tiene exactamente un punto medio. b) Si los puntos extremos de un segmento y
(x2, y2 ) ,
Solución: m =
n=
2
;
2
2+6 =4 ; 2
4+8 =6 2
Luego: M= (4,6) c) Si los puntos extremos de AB tienen por coordenadas x 1 y x 2 , es decir:
A = x1 y B = x 2 , entonces, su punto medio tiene por coordenada: x +x 2 m= 1 2
Distancia entre A y B: AB =x
2
− x
1
A) Suma de Segmentos:
( x 1 , y1 )
B
C
D
AB + BC +CD =AD
B) Resta de Segmentos:
A
entonces su punto medio
tiene por coordenada (m;n). S4GE31B
+x
y +y 2 n= 1 2 Ejemplo: Si: P=(2;4) y Q=(6,8) Hallar la coordenada de su punto medio.
A
PQ , tienen por coordenadas
1
OPERACIONES CON SEGMENTOS
a
M AM = MB = a
x
m=
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
B
C
D
AB =AD −BD
PROBLEMAS RESUELTOS
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ero. Año Secundaria 01. En una recta se encuentran los puntos consecutivos A, B, C donde BC mide 10 y AC , 40. Hallar la medida del segmento AB . a) 10 d) 40
b) 20 e) 50
c) 30
Solución: Sea la recta:
27 03. En una recta se encuentran los puntos A, B, C y D consecutivos tal que AC = 18 y BD = 20. Hallar CD − AB a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
C
A
B 18
10
C
40 AB = 40 −10
AB =30
02. Los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D; son tales que: AD = 18, BD =13 y AC = 12. Hallar BC b) 7 e) 5
c) 8
Solución:
C 13
B 12
D
b) 10 e) 13
CD = AD − AC
A
Clave “B”
a) 1 d) 4
B
(*) a + b = 15 ........(1) (*) b + c = 17 .......(2) (*) a + c = 20 ........(3) Sumando: (1) + (2) + (3): 2(a+b+c) = 52 (a+b+c) = 26 17
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
⇒ a=9
a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
D
a A
c) 6
b B
c C
Del enunciado: (*) a = 3b = 4c = k ...... (1) (*) a + b +c = 19 ..........(2)
D
A
3
c) 3
c
b B
C
d D
E
Del Dato: (*) a + b + b + c + c + d = 44 a + 2b +2c + d = 44 ....... (1) AE = a + b + c + d = 25..... (2) DE =2 AB ⇒ d =2a..... (3) Reemplazando (2) en (1): (a+b+c+d) +b+c=44 25 + b+c=44 b+c=19 ......(4) Reemplazando (4) en (2): a+d+19=25 a+d=6 ...... (5) Reemplazando (3) en (5) a+2a=6 a=2 Luego: ∴ AB = a = 2
Clave: “B”
De (1) a=k S4GE31B
12
b) 2 e) 5 a
Solución:
c C
e)
3
=
Solución:
04. Los puntos colineales y consecutivos son tales que: AB + BC = 15; BC +CD = 17; AB +CD = 20 ; hallar AB – BC + CD
CD =6 .......... ..(1)
BC = 7
Del enunciado tenemos: a = 2b + 1.......(1) a + b = 31 .......(2) Reemplazando (1) en (2): 3b + 1 = 31 ⇒ b =10 Luego:
06. Sobre una línea recta se ubican ordenadamente los puntos A, B, C y D, si AB = 3BC = 4CD y AD=19m. Calcular la longitud de BC .
d) 15
k
07. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos: A, B, C, D y E. Si AC + BD + CE = 44, AE = 25 y DE = 2AB. Calcular la longitud de AB .
R
Clave “B”
Solución:
Reemplazando (1) en (2): BC =13 − 6
Q
Clave “B”
b
BC = b =
Clave: “A”
CD − AB = 2
a
k = 12 Por tanto:
QR = b = 10
c) 14
k k + = 19 3 4
b
P
CD − AB = 20 − x − 18 + x
b) 13
k+
∴ BC = 4
a
CD = BD − BC CD =20 −x .......(2) Restando: (2) menos (1) CD − AB = 20 − x − (18 − x)
CD = 18 −12 BC =BD −CD ......( 2)
c) 11
c= k4 Reemplazando en (2)
Solución:
AB = AC − BC
a) 12 16
18
S4GE31B
D
AB =18 −x .......(1)
Clave “C”
b= k3
c =11
Clave “C”
20
AB = AC − BC
a) 6 d) 9
Luego: b =6 y Por tanto: a – b + c = 9 – 6 + 11 = 14
a) 9 d) 12
x B
GEOMETRÍA
05. P, Q y R son 3 puntos consecutivos de una recta PQ = 2QR + 1 y PR = 31. Hallar QR.
Solución:
A
A
c) 3
3ero. Año Secundaria28
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ero. Año Secundaria 08. Sobre una línea recta se ubican ordenadamente los puntos A, B, C, D y E; si AC + BD + CE = 32 y además:
BD =
3 AE 5
27
a) 25 d) 20
b) 12.5 e) N.a.
. Calcular la longitud de
c
b
E
01. AC + BD = 40 cm . Hallar : PQ
C
D
A a P
a) 5 d) 20
E
AD = a + b = 25
b) 10 e) 25
(a + b + c + d )
5 b + 5c = 3a + 3 b + 3c + 3d
a) 25 d) 21
Reemplazando (2) en (1):
Solución:
2b + 2c = 3a + 3d......( 2)
a + (3a + 3d ) + d = 32 a +d =8........(3)
b) 19 e) N.a. a
c) 23
b) 30 e) 5
A
AC
D
D
b) 6 e) 7 = 2
Reemplazando (3) en (2):
2 ( AB
3
c) 8
mts
−BC
2
;
AB
.
AC
)
Calcular “x” x
2b + 2c = 3(a + d ) 2(b + c) = 3(8) b +c =12........( 4)
Del enunciado, tenemos:
Sumando (3) y (4): a +b+ c + d = 20
De (1):
7 a =8 b
a = Clave: “B”
09. A, C, D y E son puntos colineales y consecutivos tal que D sea punto medio de CE y AC +AE = 50. Hallar AD.
k 7
a) 4 d) 7
=k........( 1)
a +b =45.............( 2)
AE = 20
S4GE31B
a) 3 d) 10 08.
C
C
B
A
c) 20
B
c) 3
x
x
C
b) 2 e) 5
07. CD = AB + BC ; AD = 10 mts BC / CD = 2/5. Hallar “x”
03. AD = 24 cm , AC = 15 cm ; BD = 17 cm. Hallar “x ”
b B
A
a) 50 d) 15
N
B
M
A
C
R
O
a) 1 d) 4
x
10. A, B y C son puntos colineales y consecutivos, tales que 7AB =8BC y AC = 45, hallar BC.
M
A
c) 15
Clave: “A”
c) 4
x
02. AB = 60 cm ; BC = 40 cm AM = MC . Calcular “x”
a + b = 25
b) 7 e) 6
C b Q b D
a B
D
06. AM = 4 mts , OR = 6 mts 1/ AM + 1/AR = 2/ AO . Hallar “x”
x
a + a + 2b = 50 2(a + b) = 50
Además:
5
D
Reemplazando:
d
a + b + b + c + c + d = 32 a + 2b + 2c + d = 32 ...... (1)
3
C
a) 2 d) 8
C
B
A
P
PRÁCTICA DE CLASE
b
Del enunciado: AC + AE =50
Del Dato: AC + BD + CE = 32
b+c =
b
A
c) 30
Solución:
B
x
Clave: “D” b) 20 e) 50
A
2AD + 5AB = 14 mts. Calcular “x”
k 168 = 8 8
BC = b =
c) 50
Solución:
a
a
GEOMETRÍA
∴ BC = 21
AE . a) 10 d) 40
3ero. Año Secundaria28
04.
b) 10 e) 8
c) 12
PR + QS = 20 mts
QR
= 6 mts.
Calcular : “x”
∧
b=
k 8
x P
R
Q
S
Reemplazando “a” y “b” en (2):
k k + = 45 7 8 k = 168 Luego:
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
a) 14 d) 10
b) 11 e) 9
c) 13
A
a) 2 d) 3
C
b) 5 e) 1,5
c) 8
09. AM = MD ; AB + CD = 10 mts BM - MC = 2 mts. calcular “x” x A
a) 7
05. 7 PC = 2 PD + 5 PB S4GE31B
B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
B
b) 4
M
c) 6
C
d) 9
D
e) 2
=
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ero. Año Secundaria 10.
1 / AP =2 / AB =1 / AQ ; AP
=
27 2
mts BQ = 3 mts. Calcular : “x” x P
A
B
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
11. AB = BD
2
a) 2 d) 6
Q
c) 3
AC + CD
;
2
x
a) 9 d) 2
B
C
b) 1 e) 0,8
D
c) 7
12. Los puntos consecutivos A, M, B y C pertenecen a la misma recta. M es el punto medio de AC . Hallar MB; si AB – BC = 32. a) 8 d) 16
b) 32 e) 24
c) 18
13. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D cumpliendo la relación: AD – BD – 2CD = 1. Hallar AD, si AB = 3 y AC = 5. a) 5 d) 9
b) 6 e) 7
c) 8
14. Sean los puntos colineales y consecutivos: A, B, C y D. Calcular “AD” si : AC = 7 ; BD = 9 y BC = 4. a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
b) 2 2 e) 8
b) 9 e) 6
c) 8
17. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D tal que “M” es punto medio de AB y “N” es punto medio de CD . Calcular “MN” si AC = 6 y BD = 8. a) 7 d) 10
b) 9 e) 5
c) 12
18. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, y D de manera que AC = 8, BD = 7 y AD = 4BC. Calcular “BC”. a) 2,5 d) 4
b) 3 e) 5
c) 3,5
19. Sobre una recta se dan tres puntos consecutivos M, A y B , tal que AB = 2 y MB . MA = 24. Calcular la distancia de “M” al punto medio de AB . a) 4 d) 8
b) 5 e) 10
GEOMETRÍA
a) 45 d) 10
c) 6
20. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Siendo CD = 3AB y AD = 3BC = 60. Hallar “AC”.
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
c) 15
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Se tiene los puntos colineales A, B, C y D. AC=2BD. Calcular “BC”. Si: 2AB + 8 = 3BC + 4CD a) 8 d) 10
b) 12 e) 11
c) 9
02. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, E, tal que AC+BE = 20 . Hallar BC, si AE=BC+12. a) 6 d) 5
b) 3 e) 8
c) 4
03. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C. Luego se toma el punto medio “M” de BC . Hallar AM, si: AB+AC=14µ. a) 7µ d) 3,5µ
b) 14µ e) N.A.
c) 28µ
04. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, cumpliéndose que AC + BD = 10µ y BC=3µ. Hallar AD. a) 6µ d) 9µ
b) 7µ e) N.A.
c) 8µ
05. En una recta se encuentra los puntos consecutivos A, B, C, D y cumplen la siguiente relación: 4AB - BD - 2CD = 4µ ; AB = 3µ ; AC = 5µ Hallar AD: a) 5µ
S4GE31B
b) 30 e) 20
c) 4
16. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B y C de tal manera que : AC+AB=18 ; si “M” es punto medio de BC . Calcular “AM”. a) 12 d) 7,5
= 2 BD −1
Calcular : “x” A
15. Se tiene los puntos A, B, C y D, colineales y consecutivos, tal que AB=4 y AB.BD = AC.CD. Calcular “CD”.
3ero. Año Secundaria28
S4GE31B
b) 6µ
d) 8µ
e) N.a.
06. Sobre una línea recta se marcan los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que AB, BC y CD están en progresión aritmética. Si AD = 27 y CD = AB + 6. Hallar AB a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 07. Tres segmentos tienen sus longitudes proporcionales a los números 5, 8 y 12. Si el mayor tiene 56 unidades más que el menor, entonces la longitud del segmento que no es mayor ni menor es: a) 20 d) 72
b) 32 e) 86
c) 64
08. Se tienen los segmentos consecutivos colineales AB , BC y CD . El primero es el cuádruple del segundo y el tercero es el doble de AC . Si AD = 30. Hallar la distancia entre los puntos medios de AB y CD . a) 8 d) 16
b) 12 e) 18
c) 15
09. En una recta se toman los puntos colineales O, A, B. Si OA + OB =13 m. Calcular la distancia de “O” al punto medio de AB. a) 5 d) 6,5
b) 6 e) 7,5
c) 5,5
10. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D. Si AB = 2CD; BC igual a 5CD y BC = 3m. Calcular AB . a) 1,2 d) 1,4
b) 6 e) 1,6
c) 2,8
11. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B y D de modo que AC = CD. Calcular BC, Si: AB = 6m y BD = 14m
c) 7µ
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ero. Año Secundaria a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4 12. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que:
AB =
BC 2
=
CD
01.
Calcular AB. a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
b) 10 e) 16
AB CD
=
a) 36 d) 56
3 2
;
AB BC
b) 38 e) 64
2 a) 4 d) 36
=
BC 3
=
CD 4
b) 16 e) 45
02.
=
03.
4
08.
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E de tal manera que se cumpla: AB = BC/2 = CD/3 = DE/4. Calcular AE si AC = 6m
+
=
AC 3
a) 3 d) 6 04.
AB 2
a) 6 d) 36
c) 27 05.
06.
3
=
CD
LN MQ
c) 5
5 b) 9 e) 45
=
DE 7
, AE = 51 c) 24
=
1
5 NQ
.
LM
a) 12 d) 1/13 10.
c) 24
b) 1/12 e) N.a.
c) 13
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos P, Q y R entre los puntos Q y R se toma un punto H, tal que:
PH =
HR y QR − 4 PQ = 28 . 4
Hallar QH.
Sobre una recta se dan los puntos: A, B, C, D de modo que AC = 12m, BD = 15m, BC = CD/2, calcular el valor de AB. b) 6m e) 9m
b) 21 e) 18
Sean los puntos colineales y consecutivos L, M, N, P, Q, siendo: 2LM = MN y
Hallar b) 4 e) 12
BC
09.
y AD = 22 m
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, y E hallar BE, si:
=
a) 20m d) 25
c) 14
Se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D; siendo B punto medio de AC. Calcular AB, si:
4
c) 42
c) 6
b) 12 e) 20
a) 5m d) 8m
S4GE31B
AB2
c) 10
Sobre una recta se dan los puntos A,B, C, D, E y F consecutivamente de modo que BE = 5/8. AF y AC + BD + CE + DF = 26m. Hallar el valor de AF a) 13cm b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
Se tiene los puntos consecutivos “P”, “Q”, “R” y “S” de manera que: PR + QS = 20m, si QR = 6m, halle PS
BD
CD
y AC = 4 + CD
b) 12 e) 9
a) 10 d) 16
AD
15. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, hallar AD, Sí:
AB
a) 18m d) 3
c) 12
14. Sobre una recta se toman los puntos A, B, C, D. Calcular AD, si: BC = 6
que
b) 9 e) 5
07.
MA . MB = 81
c) 6
13. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B y C. Hallar AM2 – BM2. Sabiendo que AB x AC = 16 y que M es punto medio de BC. a) 8 d) 14
Se tienen los puntos consecutivos: “M” , “A”, “O” y “B”, siendo “O” punto medio de AB. Calcular OM, sabiendo
GEOMETRÍA a) 8 d) 7
TAREA DOMICILIARIA
. Si AD = 24m.
3
3ero. Año Secundaria28
27
a) 7 d) 4,5
b) 5,6 e) N.a.
c) 4,8
c) 7m
Sobre una recta XX1 se dan los puntos O, A, C, B de tal manera que OA = 6cm, OB = 15cm y AC CB/2, se pide determinar la longitud OC.
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
S4GE31B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ero. Año Secundaria
27
A
180°
A
Definición: Es la reunión de dos rayos que tienen un punto extremo común, es decir tienen el mismo origen. Los dos rayos son los lados del ángulo y el punto extremo común se llama VÉRTICE del ángulo. A
θ°
x
m∠ AOB = 180 °
θ°
O
4. Ángulo Recto: Es aquel ángulo cuya medida es igual a 90°
B
O
B
Elementos del ángulo. 1. Lados: OA y OB 2. Vértice: “O” 3. Simbología: ∠ AOB, AOB; ∠ AOB 4. Notación: ∠ AOB = OA ∪ OB 5. Medida: m ∠ AOB = θ°
O
∠ AOB ≅ ∠ POQ
Bisectriz de un ángulo. La bisectriz de un ángulo es el rayo que partiendo del vértice divide al ángulo en dos ángulos congruentes. • OX : es bisectriz del ∠ AOB
II. SEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS
α
θ
B
D
∠ AOB ≡ ∠ COD m∠ AOB = m ∠ COD
1. Ángulos adyacentes complementarios: Se dice que dos ángulos son adyacentes complementarios, cuando tienen el mismo vértice y cuyos lados tienen el mismo vértice y cuyos lados no comunes forman un ángulo recto.
A
α
B
O 90 ° ∠ α ∠ 180 °
B
θ
C
Los ángulos AOB y BOC son adyacentes complementarios.
3. Ángulo Llano o rectilíneo: Es aquel ángulo cuyos lados son dos rayos opuestos; es decir son colineales y su medida es 180°.
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
C
III. SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS.
1. Ángulos adyacentes: Se dice que dos ángulos son adyacentes cuando tienen el mismo vértice y un lado común tal que los lados se encuentren a otro y otro lado del lado común.
α°
Q
B m∠ AOB = 0°
A
O
S4GE31B
O
O° ∠ θ ∠ 90 °
∝
A
B θ=90 °
B
2. Ángulo Obtuso: Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 90° pero menor que 180°.
P
∝°
O
A
O
Dos o más ángulos son congruentes si tienen igual medida.
Los ángulos: AOB y BOC son adyacentes (*) dos o más ángulos serán adyacentes consecutivos cuando cada uno de ellos es adyacente con su inmediato.
5. Ángulo Nulo o Perígono: Es aquel ángulo cuya medida se considera igual a 0°.
θ°
Ángulos congruentes. (≡)
A
θ
1. Ángulo Agudo: Es aquel ángulo cuya medida es menor que 90° pero mayor que 0°. A
C
2. Ángulos opuestos por el vértice: Son dos ángulos determinados al trazar dos rectas secantes.
A
I. SEGÚN SU MEDIDA
B
α lado común θ
O
O
Clasificación de los ángulos. Los ángulos se clasifican según su medida, de acuerdo a su posición y según sus características.
θ
B
GEOMETRÍA
• m∠AOX =∠ XOB = θ° • ∠AOX =∠ XOB
ÁNGULOS
O
3ero. Año Secundaria28
α + β = 90 °
S4GE31B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ero. Año Secundaria 2. Ángulos adyacentes suplementarios: Se dice que dos ángulos son adyacentes suplementarios, cuando tienen el mismo vértice y cuyos lados tienen el mismo vértice y cuyos lados no comunes forman un ángulo recto. B
θ C
α O
A
PROBLEMAS RESUELTOS 01. La diferencia entre el suplemento y el complemento del ángulo “α”, es igual a 6 veces el ángulo “α”. Hallar dicho ángulo. a) 30° d) 15°
b) 90° e) N.a
c) 60°
27 8α - 360 = 180 - α 9α = 540
3ero. Año Secundaria28
GEOMETRÍA
B
α=60 °
R P
03. Si a uno de 2 ángulos suplementarios se le disminuye 35° para agregarle al otro, este nuevo resulta ser 8 veces mayor de lo que era el primero. El menor de los ángulos suplementarios mide: a) 50° d) 55°
b) 45° e) N.a.
c) 125°
Solución: Sean los ángulos “α” y “θ”
α α
Si se agrega y disminuye 35°, se tiene: (θ + 35)= 8( α - 35) θ + 35 = 8α - 280 8α - θ =315 .............................. (2)
D
160° = 180° α + θ = 20° ........... (2)
c) 15°
∧
C
B
06. En la figura: AOC = 150°, BOD = 110°. Calcular: BOC C
Clave: “B”
C
a) 80° d) 55°
B
O
b) 90° e) N.a.
A
c) 85°
Solución: Del dato tenemos: AOC = AOB + BOC BOD = COD + BOC
O
A
a) 80° d) 60°
P
b) 50° e) N.a.
b) 140° e) N.a.
c) 70°
Reemplazando: 150 + 110 = 180 + BOC BOC =80 Clave: “A”
B
O
D
Solución: De la gráfica:
R
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
Clave: “A”
AOC+BOD= AOB+BOC+COD+BOC
∧
a) 80° d) 120° Solución:
BOC = β = 80
D
γ = 140°
Clave: “D”
P Q R =160 , B O C =?
A
Además: α + β+ θ = 180 …………………... (3) Sumando (1) y (2) y reemplazando en (3) β + β + α + θ = 260° β + 180 = 260
Reemplazando (2) en (1) α + θ + γ = 160° 20° + γ = 160°
B
α = 55 θ = 125
02. Si a un ángulo se le resta su complemento es igual a la cuarta parte de su suplemento. Hallar dicho ángulo.
S4GE31B
θ
05. En la figura: AOC = 140, BOD = 120, BOC = ?
α + θ = 180° 8α - θ = 315° 4α = 495°
04.En la figura: OP y OR son bisectrices
Solución Sea el ángulo “α” Luego: α - (90° - α) 1/4 (180 - α) 2α - 90 = 1/4 (180 - α)
θ
PQR = 160° α + γ + θ = 160° ......................... (1) Además: α + θ + (α + γ + θ) = 180° α+θ+
Por dato α + θ = 180° ............................. (1)
γ O
A
α=15 °
b) 45° e) 75°
C
Sumando (1) + (2)
Solución Sea el ángulo “α” Por da: (*) Suplemento = 180 - α (*) Complemento = 90 - α Planteando la ecuación: (180 - α) - (90° - α) = 6α 90 = 6α
a) 80° d) 60°
AOC = α + β = 140 ..............……. (1) BOD = β + θ = 120 ……………… (2)
De la gráfica:
C
D α
c) 100°
A
β
θ
O
D
Se tiene, según los datos: S4GE31B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
PRÁCTICA DE CLASE
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ero. Año Secundaria 01. Tres ángulos consecutivos, situados a un mismo lado de una recta están en progresión aritmética. Calcular los ángulos, si el menor y el mayor están en relación de 3 es a 7. a) 36°, 60°, 84° c) 60°, 20°, 70° e) N.a.
27
05. En el siguiente gráfico:
b) 0°, 60°, 84° c) 40°, 50°, 80°
c) 96°
03. En el siguiente gráfico BD es bisectriz del ángulo CBE y la suma de los ángulos ABC + ABE = 86°. ¿ Cuál es el valor de los ángulos ABD?
D
70°
C
AOC + BOC = 100° AOC - BOC = 40° OD → Bi sec triz de
a) 8° d) 15°
D
E
a) 85° d) 100° AOC. Hallar DOB
b) 6° e) 10°
b) 35° e) 60°
c) 43°
a) 100° d) 80°
b) 50° e) N.A
c) 5°
R
N
B
A
C
a) 14° d) 26° S4GE31B
b) 24° e) 10°
c) 12°
a) 18° d) 45°
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
b) 25° e) 60°
c) 95°
09.En la figura si: medida del ángulo BON= 20° ON bisectriz del ángulo AOQ. “x” C
A
a) 30° d) 60°
b) 40° e) 70°
c) 50°
B c) 30°
a) 51° d) 54°
S4GE31B
b) 45° e) 50°
c) 30°
13.Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Se trazan las bisectrices OP y de los ángulos AOB y COD OQ respectivamente. Si m ∠ POQ = 70° y m∠ BOD = 120°. Hallar la medida del ángulo AOC.
ˆ Q NO
O
b) 52° e) 55°
Q
c) 53°
10.Se tienen los ángulos adyacentes suplementarios AOB y BOC . Si OM es bisectriz del ángulo AOB. Calcular la medida del ángulo BOM. Siendo además m∠ BOC m∠ AOB = 40°. a) 40° d) 30°
a) 60° d) 55°
b) 20° e) 30°
c) 40°
ˆ N y 14.Dados los ángulos consecutivos M O
x° P
12.Si el suplemento del suplemento del suplemento de la medida de un ángulo se la añade el complemento del complemento del complemento del doble de la medida de dicho ángulo, se obtiene el triple de la medida del ángulo mencionado. Calcular dicho ángulo.
a) 60° d) 50°
x°
O
O
b) 90° e) 105°
c) 70°
M
Q
D 120
OM bisectriz del ángulo AOP. Calcular
07.Si los puntos A, O y B es una recta, OQ es 04. Sabiendo que: bisectriz del ángulo AOM y OQ →Bi sec triz de AOB m ∠ QON 5 = . Hallar la medida del m ∠ QOB 7 OR →Bi sec triz de AOC y BOC =48 ° ángulo NOB. Calcular QOR A
O
A
06. Se tiene tres ángulos consecutivos AOB, BOC y COD de tal manera que las bisectrices de los ángulos AOB y COD son perpendiculares y el ángulo BOD mide 80°. Calcular la m ∠ AOC.
B
120°
B B
A
C
11.De que ángulo se debe restar su complemento para obtener 10°.
C O
b) 48° e) N.a.
a) 45° d) 48°
GEOMETRÍA
08.En la figura, calcular la medida del ángulo formando por la bisectriz del ángulo AOB y COD.
A
02. Cinco ángulos situados alrededor de un punto están en progresión aritmética. Calcular el mayor de los ángulos si los menores están en relación de 4 es a 5. a) 84° d) 40°
3ero. Año Secundaria28
b) 20° e) 35°
c) 10°
ˆ N MO
, ,
OX
es
bisectriz
del
OY ,
es
bisectriz
del
ˆ Q NO
ˆ Y XO
, OZ es bisectriz del . Si m∠ NOQ - m ∠ MON = 60°. Calcular m∠ NOZ: a) 20° d) 25° 15.Sabiendo
b) 15° e) N.a que
los
c) 30° ángulos
superpuestos
ˆ B y AO ˆ C son complementarios, AO
siendo OX , bisectriz del ángulo BOC, entonces el ángulo AOX mide: a) 30° b) 37° d) 53° e) 45° 16.De la figura: Hallar “x”:
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
c) 60°
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ero. Año Secundaria
a) 1° d) 4°
b) 60° e) 36°
c) 45°
17. Se tiene los ángulos consecutivos AOB BOC y COD tal que OC es bisectriz del ángulo BOD; además se cumple: m AOB +m AOD = 100. Hallar m AOC a) 100° d) 60°
b) 80° e) 40°
c) 50°
18. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC; el primero es mayor que el segundo en 40°. Se traza la bisectriz OX del ángulo AOC. Calcular la m BOX. a) 40° d) 20°
b) 50° e) 70°
c) 80°
19. Sobre una línea se tiene cinco ángulos consecutivos, los cuales se encuentran en progresión aritmética. Si el mayor de los ángulos excede al menor en 20°. Hallar el menor de dichos ángulos. a) 20° d) 40°
b) 50° e) 70°
c) 36°
20. Hallar “x”. Si: m AOD = 220°; m BOD=230°, m AOC = 240. a) 10° d) 40°
b) 20° e) 50°
c) 30°
b) 2° e) N.a.
GEOMETRÍA
a) 80° d) 60°
C A
c) 15°
a) 96° d) 24°
b) 135° e) N.a.
b) 50° e) N.a.
c) 45°
05. Hallar “x” en la figura, si POQ = 100. R
P
Y
a) 50° d) 20°
x° α
β
α
b) 40° e) N.a.
X
c) 30°
b) 110° e) N.a.
c) 120°
08. La suma del complemento de un ángulo “α” con el suplemento de un ángulo doble es igual a 3/2 del complemento de un ángulo “β” y α - β = 24°. Calcular el complemento del ángulo de “α”. b) 18° e) 38°
c) 24°
X'
a) 28° d) 95° S4GE31B
12. Si los puntos A, O y B están en una recta, OQ es bisectriz del ángulo AOM y m ∠QON 5 = . Hallar la medida del m ∠QOB 7 ángulo NOB. M
O
b) 14° e) 69°
N
Q
A
O
b) 25° e) 60°
B
c) 30°
C
A
α
c) 70°
13. En la figura la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOB y COD.
B
06. En la figura: OB bisectriz de AOE OC bisectriz de BOE OC bisectriz de COE Si BOD = 36. Hallar AOE
b) 50° e) N.a.
a) 18° d) 45°
09. En la figura AOM = BOX BON = 22.BOX = ? ON es bisectriz de AOX OM es bisectriz de AOX M
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
A
O
a) 100° d) 130°
11. Se tienen tres ángulos consecutivos, AOB, BOC y COD de tal manera que las bisectrices de los ángulos AOB y COD son perpendiculares y el ángulo BOd mide 80°. Calcular la m ADC. a) 100° d) 80°
C
a) 36° d) 45°
A
B
c) 48°
B
c) 160°
04. La diferencia de dos ángulos adyacentes es 90. ¿Cuál s la diferencia de los ángulos formados por sus bisectrices?
β
b) 72° e) N.a.
07. En la figura AOC y BOC son suplementarios. AOB = 80. Hallar AOC.
03. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, calcular la suma de AOC y BOD si el ángulo formado por las bisectrices vde AOB y Cod es de 90°
a) 40° d) 30°
D E
b) 45° e) N.a.
a) 150° d) 180°
10. Calcular la medida de un ángulo, sabiendo que su complemento es a su suplemento como 1 es a 10. a) 80° b) 75° c) 70° d) 95° e) 69°
B
c) 3°
02. Si a un ángulo se le resta su complemento es igual a la cuarta parte de su suplemento; calcular dicho ángulo.
PROBLEMAS PROPUESTOS S4GE31B
3ero. Año Secundaria28
01. Encontrar la mitad de la tercera parte del complemento del suplemento de un ángulo que mide 96°.
2x x
a) 30° d) 53°
27
B N
120°
α X
c) 56°
70° A
a) 85° d) 100°
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
O
b) 90° e) 105°
B
c) 95°
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ero. Año Secundaria 14. En la figura si: m BON = 20°. ON bisectriz del ángulo AOQ, OM bisectriz del ángulo AOP. Calcular “x”
B N
x° x°
P
Q
O
b) 52° e) 55°
c) 53°
15. Se tienen los ángulos adyacentes suplementarios AOB y BOC. Si OM es bisectriz del ángulo AOB. Calcular la medida del ángulo BOM, siendo además m BOC - m AOB = 40° a) 40° d) 30°
b) 20° e) 35°
c) 10°
TAREA DOMICILIARIA 01. Se tiene los ángulos consecutivos suplementarios AOB y BOc que se diferencian en 38°. Calcular la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC y el rayo OB. a) 76° d) 19° 02. Hallar “x”
b) 38° e) 24°
a) 54° d) 27°
b) 36° e) 58°
a) 45° d) 48°
b) 46° e) 38°
GEOMETRÍA
OX: Bisectriz del ángulo BOC OY: Bisectriz del ángulo AOX OZ: Bisectriz del ángulo XOY Hallar el suplemento del complemento de la medida del ángulo BOZ.
c) 54° a) 24° d) 27° 30’
c) 44|
05. Si a la medida de un ángulo se le resta dos grados mas que a la tercera parte de su complemento, resulta un cuarto del suplemento del ángulo, disminuido en un grado. ¿Cuánto mide dicho ángulo? c) 44°
06. Alrededor de un punto O, en sentido horario, en forma consecutiva se trazan los rayos siendo AO, OB, OC y OD ,
b) 24° 30’ e) 115°
c) 25°
09. Los
rayos y se encuentran ubicados en un mismo plano de modo que la bisectriz del ángulo OX del ángulo AOB es perpendicular a la bisectriz OD del ángulo BOE. Si XOE = 160°. Calcular el complemento del ángulo BOD OA, OB , OC , OD y OE
a) 70° d) 30°
b) 40° e) 20°
c) 140°
10. La tercera parte de la mitad del suplemento de la medida de un ángulo excede de 2 a los 3/5 del complemento de la medida del mismo ángulo. a) 60° d) 120°
b) 30° e) 45°
c) 10°
OA ⊥ OB y OC ⊥ OD . Hallar la medida del ángulo que forman las bisectrices de AOC y BOD.
b) 45° e) 90°
c) 120°
07. Se tiene los ángulos consecutivos: AOB, BOC y COd de tal modo que AOD = 100° y BOC = 60°. Calcular el ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOB y COD. a) 60° d) 90°
b) 60° e) 25°
b) 16° e) 64°
04. El doble de la medida de un ángulo es igual al triple de la media de su complemento. Hallar la medida del ángulo.
a) 135° d) 150°
30°
S4GE31B
a) 24° d) 44°
3ero. Año Secundaria28
c) 20°
x°
a) 30° d) 50°
03. Se tiene los ángulos consecutivos AOB , BOC y COD, siendo 2(AOB) = 3(COD); AOC = 92° y BOD = 76°. Hallar la medida de BOC.
A
M
a) 51° d) 54°
27
c) 70°
b) 70° e) 85°
c) 80°
RECTAS
08. Sean los ángulos AOB y BOC adyacentes, suplementarios d modo que BOC - AOB = 44°. Se trazan:
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
Ángulos formados por dos rectas paralelas. S4GE31B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ero. Año Secundaria
27
Si L1 // L2
α
a d
b c
θ
n p
3.
L
4.
5.
a) 35° d) 55° 02.
∠ Conjugados
a) 15° d) 30°
Internos ................. ............................... ............................... Externos ............... ............................... ............................... Internos ........... ............................ ............................ Externos ............. ............................ ............................
Y
c) 50° 06.
x
a) 144° d) 136°
En la figura mostrada Determinar α + β
03.
Si
XX' // YY' .Hallar 100° 100° X
38°
b) 32° e) -10°
Y'
120°
c) 10°
β
D
α C
En la figura
α x
a) 35° d) 39°
X' C α
Y
11. Y'
c) 50°
En la figura L1 // L2. Si el triángulo ABC es equilátero, hallar α + β
a) 60° d) 15°
B
b) 30° e) N.a.
β
L1
c) 45°
08.
En la figura L1 // L2. Hallar la medida de
α
∧
D E F si AD ⊥BC y AD ⊥DE A
b) 80° e) 40° XX' // YY'
α
c) 0
α
12.
∧ . Hallar x
C
a)240° d) 120°
L1
F x
S4GE31B
b) 180° e) 300°
c) 210°
En la figura, hallar “a”. Si L1 // L2
B
40°
L2
A
E L2
D
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
b) 40° e) 50°
D
C
S4GE31B
L2
A
F
E
05.
L1
β
B
A
a) 100° d) 60°
En la figura: L1 // L2. Clacular la medida del
c) 65°
X
c) 3/4
∧ ángulo x sabiendo que: α - β = 160°
B
perpendicular a AC y α y β son entre si como 2 es a 7. Hallar β - α
En la figura, L1 // L2 y α + β = 160°. Hallar θ
b) 2/3 e) 1/3
En la figura XX' // YY' y ABCD es un cuadrado. Hallar el ángulo α.
En la figura, AB // EF ; DE es
∠ Correspondientes ........................... ............................................................ ............................................................ ............................................................
L4
X'
β
04.
10.
b) 185° e) 95°
L3
a) 1/2 d) 1/4
Y'
150°
a) 175° d) 155°
β - α. 07.
a) 72° d) -32°
L2
X'
β
α
Y
. x
35°
Y
L1
140°
XX' // YY'
120°
L2
c) 134°
60°
c) 90°
α
b) 154° e) 146°
c) 25°
En la figura L1 // L2 y L3 // L4. Calcular x/y y
b) 60° e) 150°
X
b) 10° e) 40°
Y'
30°
a) 30° d) 120°
L1
α
09.
α
L2
Hallar el ángulo en la figura, si L1 // L2
Practica de Clase: 01.
X' x
α
b) 40° e) 80°
3x/2
∠ Externos ........................................ ........................................................... ........................................................... ...........................................................
∠ Alternos
30°
X
L
Entonces: 1. ∠ Internos ......................................... ........................................................... ........................................................... ........................................................... 2.
GEOMETRÍA
L1
β
m q
3ero. Año Secundaria28
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ero. Año Secundaria 3x
27
L1
x
5α
2x
3ero. Año Secundaria28
GEOMETRÍA
β
L1 w
x
a
a) 15° d) 50°
3x w
b) 45° e) 60°
13. En la figura adjunta
3α
c) 30°
4α
a) 10° d) 80°
AB , CD y EF
b) 50° e) N.a.
L2
α
a) 36° d) 20°
c) 70°
19.
01.
x
L2
a
β
b) 40° e) N.a.
E
Si L1 // L2. Hallar:
(y −x)
θ θ
3
D
x y
14.
B
b) 145° e) 60°
L2
30°
c) 30°
20. a) 5 d) 10
En la figura, determinar el suplemento de b, si se sabe que L1 // L2 y además 4a - b = 30°
b) 6 e) N.a.
17.
α
α
n
a
n
2β
02.
Si L1 // L2. Hallar “x”, Si a° + b° + c° + d° = 140° a
L1
e) N.a.
b x° c
8x°
θ
θ
L2
a) 30° c) 50° d) 60°
x°
03.
L2
a) 45° c) 30° d) 25°
L2
d
x°
L1
3β
b
x
e) 30°
c) 7
4a
m
b) 18°
Si L1 // L2, hallar “x”:
En la figura mostrada, L1 // L2. Calcular “x”
m
L2
b) 15|
L1
L1
L2
130°
a) 10° c) 20° d) 30°
x
a) 110° d) 50°
a) 15° c) 12° d) 20°
α α
x
L1
L2
x°
Según el gráfico, L1 // L2. Calcular el valor de “x”:
F
A
2x
L1
35°
C
L1 3x
c) 50°
∧ son paralelas, F E B = 65° y E B D=
16.
Si L1 // L2. Hallar “x”
L2
∧
∧ 15°, entonces C D B es igual a:
PROBLEMAS PROPUESTOS
L1
α
b) 40° e) 70°
Hallar “x” si L1 // L2
b) 20° b
e) 18°
L1
b x°
a)90° d) 135° 15.
b) 105° e) 130°
c) 120°
Del gráfico, calculae el valor de “x”. Si L 1 // L2:
a) 100° d) 180° 18
b) 135° e) 200°
c) 140°
a a
En la figura, calcular “x”. Si L1 // L2 a) 60° c) 105° d) 135°
S4GE31B
L2
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
S4GE31B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
b) 75° e) N.a.
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ero. Año Secundaria
27 d) 110°
04.
GEOMETRÍA F
e) 150° L1
Si L1 // L2, hallar “x” 07.
Si L1 // L2. Hallar “x”:
2x
2β
a) 12° d) 15°
110° a
a) 15° d) 45°
b) 20° e) 60°
c) 30°
11.
7x
4x
L2 4x
L2
a) 40° c) 80° d) 100°
x
b) 10| e) 18°
08.
En la figura L1 // L2. Hallar “x”:
En la figura AB, Cd y EF so paralelas m∠ FEB = 65°, m∠ EBD = 15°. Entonces m∠ CDB
Si L1 // L2. Hallar “x”. Si a° + b° + c° + d° = 122°
a) 10° d) 18°
a) 125° d) 145°
L2
α θ
b) 130° e) 135°
b) 15° e) 13°
a) 12°30’ d) 10°
c) 12°
06.
b) 51° e) 71°
c) 60°
09.
c) 115°
En la figura Ab.BC. Hallar el ángulo “x” en función de “α”, si FG // AC.
F
Hallar”x”, si L1 // L2
Hallar “x”, si L1 // L2
2α 2θ
30°
L2
θ
L2
a) 120° S4GE31B
a) 30° d) 80°
θ
40°
b) 100°
c) 80°
10.
b) 45° e) 90°
α C
a) 64° d) 170°
x
α
L2
b) 168° e) 172°
c) 166°
a) 90° + α / 2 b) 180° − α c) 90° + 2α d) 180° - α / 2 e) 90° + 3α / 2 c) 60°
13.
∧ Hallar el valor del ángulo “x”. Si F O C = α / 3. L1 // L2 y L3 // L4
TAREA DOMICILIARIA
Si L1 // L2. Hallar “x”
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
L1
A
θ x°
c) 13°
80°
α x
L1
b) 15° e) 8°
60°
x
B
L1
L2
En la figura mostrada. Calcular “x”, si L1 // L2
G
a) 41° d) 61°
L1 θ
5α
15. 12.
a
c) 270°
Calcular el valor de α (L1 // L2)
L1
B
x° d
14.
b) 45° e) 180° - 2
L2
D
A
a) 45° d) 30°
13α
L1
b
L2 L4
L3
6α
F
E
C c
c) 9°
2α
e) N.a.
3x O
b) 60°
L1
α
α
2x
2a
L2
G
L1
x°
L1
05.
3ero. Año Secundaria28
S4GE31B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ero. Año Secundaria 01.
27 80°
Si L1 // L2 que se cumple
3ero. Año Secundaria28
GEOMETRÍA
F
θ
a
3b
θ
L1
A
a) m - n c) m + 2n = 90 e) 2m = n 02.
a
n
a) 80° / 3 d) 50°
L2
b) m + n = 90 d) m = 2n
05.
Hallar θ L1 // L2
b) 50° / 3 e) N.a.
7α
a) 84° d) 45° 08.
b) 50° e) 90°
2φ 45 α + 30 θ
a) 2° d) 15° 03.
b) 5° e) N.a.
EF // AB
E
x2 x
x
a) 45° d) 90°
L2 c) 10°
06.
a) 2° d) 15° 04.
145°
c) 37°
a) 30° d) 43° 09.
c) 40°
Si: α + θ = 260 y L1 // L2// L3. Calcular “x”
θ
L1
x θ
L2
α
L3
β β L2
c) 10°
a) 10° d) 41°
b) 20° e) N.a.
c) 30°
Si: m // n. Calcular θ° 07.
S4GE31B
b) 33° e) N.a.
L1
α
A
b) 5° e) N.a.
2
Si: L1 // L2 y α + θ = 300° Calcular:
F
40°
L1
x +2
θ
b) 60° e) N.a.
x B
a)10° d) 50°
L2
. Calcular α
α
c) 37°
En la figura L1 // L2. Calcular “x”
α α + 15
Si: α − θ = 6 y m // n. Calcular “x”
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
L2
c) 80°
En la figura calcular “x”, si: α +θ = 270 y m // n
L1
4α
n
m
φ
2α 3α
α
m 3b
m
x
θ
L1
α
θ
10.
a) 20° b) 30° d) 58° e) N.a. Hallar “α”L1 // L2
S4GE31B
c) 50°
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
b) 20° e) N.a.
c) 30°