COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
3ro. Año Secundaria 21 B
III
GEOMETRÍA
22
a c
RELACIONES MÉTRI 1.
M
A'
B'
A
B
A'
B'
B
A A'
B'
N
B
D
D
01. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 cm. si uno de los catetos mide 5 cm. más que el otro. ¿Cuánto mide cada cateto?
C a
Aplicación: En una circunferencia, la cuerda trazada del extremo del diámetro es media proporcional entre dicho diámetro y su proyección sobre él. (Fundamentalmente esta afirmación con la figura respectiva) b) En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre dicha hipotenusa.
Solución: En el ∆ ABC se tiene:
B
A
n
=
m h
⇒
h2
N
(
RELACIONES MÉTRICAS TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
EN
EL
a) En un triángulo rectángulo, cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre dicha hipotenusa. Sea el ∆ BAC, recto en A. m, la proyección del cateto c. n, la proyección del cateto b. Luego por semejanza de triángulos
a b
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
=
b n
⇒
n
m D
C
Aplicación: En una circunferencia, la perpendicular trazada desde un punto cualesquiera al diámetro es media proporcional entre los segmentos que determina sobre dicho diámetro. c) TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a
2
= b2 + c2
Respuesta: AB = 15 cm. y
AC = 20 cm.
Nota: En este problema queda descartada la posibilidad de que las medidas de los catetos sea negativa, por lo que no se ha tomado en cuenta el binomio ( x + 20) 02. En el triángulo rectángulo 30° - 60°, el cateto mayor mide 10 3 cm. hallar la longitud de la hipotenusa.
b2 = a .n
Solución: S3GE33B
x 2 +5 x −300 =0 x +20 ) ( x −15 ) =0 x −15 =0 x =15
h
B
=25 2 (T. de Pitágoras)
2 x 2 +10 x −600 =0
A
A
2.
)2
x 2 +x 2 +10 x +25 =625
N
M
C
x+5
x 2 +( x +5
= m. n
A' B'
25
x
Por semejanza de triángulos:
B M
C
Ejemplos:
n
B
h
B
Entonces, la proyección de un punto sobre una recta (situado fuera de ella), es el pie de la perpendicular trazada de dicho punto a la recta.
S3GE33B
M
A
Fig. 01
Entonces, la proyección de un segmento sobre una recta es el segmento determinado sobre la recta por las proyecciones de los extremos del segmento dado.
N
n
m
b
a
Si AB | | MN, ⇒ A' B' ≅AB (Fig. 03) Si AB __ / MN, ⇒ A' B' <AB (Figs. 04 y 05) Si AB ⊥ MN, entonces la proyección es un punto (Fig. 06)
M'
MN .
2
m
M
A' B' es la proyección de AB sobre
N
b
c
c
Según la posición del segmento a la recta, se tiene:
M
c2 = a .m
A
Fig. 02
P
b) Proyección de un segmento sobre una recta: Sea AB un segmento y MN la recta (Fig. 02). Si se trazan las perpendiculares se tiene que AA' y BB' a la recta dada, se tiene que
⇒
m
1
a)Proyección de un punto sobre una recta: Sea P un punto fuera de la recta L (Fig. 01). Si se traza la perpendicular PP ' a la recta dada, se tiene que, P’ es la proyección de P sobre la recta L.
Si el punto está en la recta, su proyección sobre ella es el mismo punto. Así, en la figura anterior de M sobre la recta L es M’.
c
A
PROYECCIONES: Es conveniente saber dos conceptos elementales sobre proyecciones :
P'
=
3ro. Año Secundaria A
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
3ro. Año Secundaria 21
C
D
C
30°
10 3
y
12
2x A
R
O
M x
B
26
60°
B
a) En el ∆ BCA , BC = 2AB
Solución: Debemos hallar el valor de MB.
( Postulado del ∆ 30° - 60°) a)
b) Luego:
( 2x )2 4x
2
(
−x 2 = 10 −x
2
3
)
DM
=
26 −x
DM MB 12 x
26 x −x 2 =144
300 3
x 2 =100 x =10
=
12
3 x 2 =300 x2 =
AM
2
=100 ×3
−x
2
+ 26 −144 =0
2
(
x −26 −144 =0 x −18 ) ( x −8 ) =0 x −8 =0 x =8
Respuesta: La longitud de la hipotenusa es 20 cm. 03. En la circunferencia de centro O, se tiene:
Luego: CD = MR = 26 - 2 x 8 = 26 - 16 = 10 cm.
CD | | AB , DM ⊥AB , AB =26 cm.
b) En el ∆BMD:
y 2 =12 2 +8 2
y
DM = 12 cm.
¿Cuánto miden las cuerdas CD y DB?
y
2
=144 +64
y
2
=208
y=
208
y =14 . 42 Respuesta: CD = 10 cm. y DB = 14.42
Practica de clase S3GE33B
GEOMETRÍA
3ro. Año Secundaria
01. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 cm. y la proyección de uno de sus catetos sobre la hipotenusa es 4 cm. Hallar la longitud de dicho cateto.
12. Hallar la longitud la altura de un triángulo equilátero de 16 cm. de lado. (Con aproximación a centésimas)
02. En un triángulo, un cateto mide 12 cm. y su proyección sobre la hipotenusa es 8 cm. ¿Cuánto mide dicha hipotenusa?
13. La longitud de uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 15 cm. Si la base es 4/5 de este lado. ¿cuánto mide cada cateto?
03. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm. y el cateto menor 6 cm. ¿Cuánto mide las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa?
A
x
22
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
04. La altura trazada del ángulo recto de un triángulo rectángulo determina sobre la hipotenusa segmentos de 8 cm. y 6 cm. ¿Cuánto mide dicha altura? 05. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm. y la altura trazada del ángulo recto 12 cm.. Hallar la medida de los segmentos determinados sobre dicha hipotenusa. 06. De un punto de una circunferencia se traza un diámetro y una cuerda. Si el diámetro mide 9 cm. y la cuerda 6 cm. ¿cuánto mide la proyección de esta cuerda sobre el diámetro?
14. La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles 2 cm. ¿cuánto mide cada cateto? mide 10 15. La altura de un triángulo equilátero es 3 cm. ¿Cuánto mide cada cateto? 16. La diagonal de un cuadrado mide 4 ¿Cuánto mide su perímetro?
18. En cada una de las figuras siguientes, halle los valores numéricos de x, y. (Opere con radicales si fuera necesario) b)
a) a°
12 90°
x
y
x
9
y 90°
2a°
c)
d)
9
y
09. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 40 cm. y uno de sus catetos 32 cm. ¿cuánto mide el otro cateto?
2 cm.
17. La base de un rectángulo mide el doble de su altura. 5 m. ¿Cuánto mide su Si su diagonal mide 5 perímetro?
07. De un punto de una circunferencia se traza una perpendicular al diámetro. Si los segmentos determinados sobre dicho diámetro miden 36 y 16 cm. ¿cuánto mide la perpendicular? 08. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 54 y 72 cm. Hallar la longitud de la hipotenusa.
3
x
4 a°
135°
135°
x y
90° a°
a°
a° 15
10. La altura de un muro es 3.20 m. Una escalera de 4.20 m. de longitud se apoya sobre el muro de modo que sus extremos superiores coinciden. ¿cuál es la distancia que hay del pie del muro al pie de la escalera? (Con aproximación a centésimas)
19. En un triángulo rectángulo, el cateto mayor mide 5 cm. más que el menor. Si la hipotenusa mide 25 cm. ¿Cuánto mide cada cateto?
11. Un poste de luz de 8 m. de altura se afirma con un cable que ejerce una fuerza contraria al viento. Si el poste se sujeta a partir de 0.80 m de su extremo superior y la distancia del pie del poste al pie del cable es 4 m, ¿cuánto mide el cable? (Con aproximación a centésimas)
Problemas Propuestos 01
S3GE33B
20. Las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética cuya razón es 3 cm. ¿cuánto mide cada lado?
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 01. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 8 cm. más que el cateto menor. Si el cateto mayor mide su perímetro? a) 40 cm. d) 49 cm.
b) 48 cm. e) N.a.
c) 34 cm.
02. En un triángulo rectángulo la diferencia de los catetos es 3 cm. Si la longitud de la hipotenusa es 15 cm. ¿cuánto mide cada cateto? a) 12 y 9 cm. d) 12 y 11 cm.
b) 12 y 10 cm. e) N.a.
c) 10 y 9 cm.
03. El perímetro de un rectángulo mide 112 cm. y la diagonal 40 cm. Hallar sus dimensiones. a) 20 y 22 cm. d) 30 y 40 cm.
b) 22 y 24 cm. e) N.a.
c) 24 y 32 cm.
04. En un trapecio rectángulo, el lado perpendicular a las bases mide 9 cm. y las bases 30 cm. y 18 cm. Hallar la longitud del cuarto lado. a) 12 cm d) 15 cm
b) 14 cm e) N.a.
c) 14, 5 cm
05. En un trapecio isósceles, los lados no paralelos forman con la base mayor ángulos de 45° i miden 4 2 cm. cada uno. Si la base menor mide 56 cm, ¿cuánto mide la base mayor? a) 64 cm. d) 42 cm.
b) 70 cm. e) N.a.
c) 38 cm.
06. Las diagonales de un rombo miden 56 m y 42 m. Hallar su perímetro. a) 40 m d) 180 m
b) 70 m e) N.a.
c) 140 m
07. Los catetos de un triángulo rectángulo están en la relación de 3 a 4. Si la longitud de la hipotenusa mide 25 cm. Calcular la longitud del cateto mayor a) 10 cm. d) 28 cm
b) 20 cm e) N.a.
c) 22 cm
08. La altura de una pared es de 7 m. Una escalera de 25 m de longitud se apoya sobre la pared de modo que sus extremos superiores coinciden ¿Cuál es la distancia que hay del pie de la pared al pie de la escalera? S3GE33B
3ro. Año Secundaria 21 a) 24 m d) 18 m
b) 22 m e) 15 m
b) 19 cm e) 22 cm
a) m d) 2 m
c) 20 cm
10. Calcular la diagonal de un cuadrado cuyo lado 2 cm. mide 15 a) 10 cm d) 15 cm
b) 12 cm e) 30 cm
c) 14 cm
11. Calcular el lado de un cuadrado, si se sabe que la suma de su diagonal con su lado mide 16.8994 cm. a) 7 cm d) 10 cm
b) 8 cm e) 11 cm.
c) 9 cm
12. Calcular el lado de un triángulo equilátero cuya 3 cm. altura mide 15 a) 28 cm. d) 38 cm
b) 30 cm e) 41 cm.
c) 40 cm
13. Calcular la altura de un triángulo equilátero cuyo 48 cm. lado mide a) 4 cm d) 8 cm
b) 5 cm e) 10 cm.
c) 6 cm
14. Desde un punto P se trazan una recta perpendicular PC y dos oblicuas AP y PB a un mismo lado de la perpendicular. Si AB = 26 cm., AC = 9 cm. y PA = 15 cm. Calcular la longitud de la oblicua PB. a) 31 cm d) 37 cm
b) 33 cm e) 40 cm
b) 35 cm e) N.a.
3ro. Año Secundaria
b) m2 e) N.a.
c) m + 1
17. En un triángulo rectángulo ACB recto en C, hallar c, si a = n2 - 1 y b = 2n. a) ( n2 - 1 ) d) n2 + 1
b) n + 1 e) N.a.
18. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 41 cm. y uno de los catetos 9 cm. Calcular la altura correspondiente a la hipotenusa. a) 8, 78 cm d) 6, 24 cm
b) 9, 56 cm e) N.a.
c) 10, 34 cm
19. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 34 cm. y la altura del triángulo 30 cm. Calcular la longitud de la base. a) 30 cm. d) 38 cm
b) 32 cm e) N.a.
07. Los lados de un triángulo miden 11 cm., 18 cm, y 20 cm ¿cuántos centímetros debe quitarse a cada lado para que resulte un triángulo rectángulo? 08. Desde un punto exterior se trazan 2 oblicuas a una recta, que miden 7 y 24 cm. Si la distancia entre los pies de dichas oblicuas es de 25 cm. Calcular la medida de la perpendicular bajada desde el punto exterior sobre la recta. 09. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 56 cm. la altura bajada de la hipotenusa mide 6.72 m. Calcular la longitud de los catetos. 10. Calcular el cateto menor de un triángulo rectángulo, cuyo perímetro mide 20 cm. y la suma de sus catetos 11.5 cm.
c) 40 cm
20. La base de un triángulo es doble de su altura. Si su 5 m. Calcular su diagonal mide 10 perímetro. a) 40 m d) 70 m
b) 50 m e) N.a.
c) 60 m
POLÍGONOS INS
Tarea Domiciliaria 01. Calcular la base de un rectángulo cuya diagonal 29 m y su altura es igual a 2/5 de la mide 5 base. 02. La base de un triángulo isósceles mide 34.6420 m. Los ángulos de la base mide 30°. Calcular la altura. 03. El perímetro de un rectángulo mide 82 m y la diagonal 29 m. Calcular el lado menor.
c) 40 cm
06. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 26 cm y la suma de sus catetos 34 cm. Calcular la longitud del cateto mayor.
c) ( n - 1 )
c) 35 cm
15. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo está en relación de 1 es a 2. Si la longitud del cateto 3 cm. Calcular la longitud menor mide 15 del cateto mayor. a) 30 cm d) 45 cm
GEOMETRÍA
c) 21 cm
09. La hipotenusa se un triángulo rectángulo isósceles 2 cm. Calcular la longitud de cada mide 20 cateto. a) 18 cm. d) 21 cm
22
04. Hallar las diagonales de un rombo cuya suma es 42 m y uno de sus lados mide 15 m. 05. Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que un cateto es 8 cm. menos que la hipotenusa y 1 cm. más que el otro cateto.
1.
POLÍGONOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA: Un polígono se llama inscrito en una circunferencia si todos sus vértices son puntos de dicha circunferencia, tal como el triángulo ABC de la figura 01. Un polígono se llama circunscrito en una circunferencia si todos sus lados son tangentes a dicha circunferencia, tal como el cuadrilátero ABCD de la figura 02.
16. En un triángulo rectángulo ACB recto en C, hallar a, si b = m2 - 1 y c= m2 + 1
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
S3GE33B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
3ro. Año Secundaria 21
GEOMETRÍA
22
B
B
o
r
C
A
72°
r
A
o
C
r
o
C
D Fig. 02
Cuando el polígono está inscrito, la circunferencia se llama circunscrita; cuando el polígono esta circunscrito, la circunferencia se llama inscrita. Saber que: a) Todo triángulo es siempre inscriptible en una circunferencia; pero un cuadrilátero para ser tal, debe tener sus ángulos opuestos suplementarios. b) Todo polígono regular se puede inscribir y circunscribir en una circunferencia. c) Los centros de la circunferencia inscrita y circunscrita a un polígono regular coinciden; y además, es el centro del polígono. POLÍGONO REGULAR INSCRITO: Sabemos que un polígono es regular si sus lados son congruentes.
S3GE33B
M
D
D
r
En un polígono regular inscrito, el centro y el radio del polígono son el centro y el radio de la circunferencia. Apotema de un polígono regular inscrito es el segmento perpendicular trazada del centro de la circunferencia al punto medio de un lado, tal como OM . Además, en todo polígono regular inscrito los lados de un polígono son cuerdas congruentes de la circunferencia; por consiguiente, los arcos, así como los ángulos centrales son congruentes. Cualquier polígono regular puede inscribirse en una circunferencia; pero, solamente estudiaremos: el cuadrado, el exágono regular y el triángulo equilátero. Si r es el radio de la circunferencia c, l el lado del polígono ap su apotema, tenemos: I. Cuadrado Inscrito. a) Costrucción: 1) Se trazan dos diámetros perpendiculares de la circunferencia. 2) Se trazan las cuerdas que unen los extremos de los diámetros. Así obtenemos el cuadrado inscrito ABCD (Fig. 04)
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
F
Fig. 04
Fig. 03
o
2.
l
M
En la figura 03, el pentágono ABCDE es un polígono regular inscrito.
A
o
A
D
ap
r E
B
C
ap
ap
Fig. 01
C
B
l
l
r
A
3ro. Año Secundaria
B
2
= r2 + r2 (Teorema de pitágoras)
2
= 2r2
2 = r c) Cálculo del apotema en función del radio: En el ∆ BCD (Fig. 04), O y M son puntos medio de
dos lados, entonces Luego:
OM =
l
ap = ap =
BC 2
2
r
2 2
II. Hexágono regular inscrito a) Construcción: 1) Con una longitud igual al radio, se divide la circunferencia en 6 partes.
b) Cálculo del lado en función del radio: De la simple construcción se deduce que: =r c) Cálculo del apotema en función del radio: En el ∆ FMO (Fig. 05) se tiene: 2
ap 2 =r 2 − =( T. Pitágoras l 2 2
)
r2 4 r 2 −r 2 3 r 2 ap 2 =r 2 − = 2 =r − 4 = 4 4 ap =
r
3 2
III. Triángulo equilátero inscrito: a) Construcción: 1) Con una longitud igual al radio, se divide la circunferencia en 6 partes.
2) Se trazan consecutivamente las cuerdas que unen estos puntos de división. Así, se obtiene el hexágono inscrito ABCDEF (Fig. 05)
S3GE33B
E
Fig. 05
b) Cálculo del lado en función del radio: En el ∆ AOB (fig. 04), se tiene:
l l l
M
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
2) Se trazan las cuerdas que unen los puntos de división no consecutivos. Así, se obtiene el triángulo equilátero inscrito ABC.
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
3ro. Año Secundaria 21
C
2= r=
M o
l
ap
B
A r D Fig. 06
2
=( CD
2
=( 2 r =r
)2
)2
Luego:
3.
Luego, podemos decir:
4
=
2
4
−r 2 =4 r 2 −r 2 =3 r 2
2
=2
2
P4
P6
• El apotema de un hexágono inscrito en una 3 cm. ¿Cuánto mide el circunferencia mide 5 perímetro del hexágono y la longitud de la circunferencia? Solución:
TEOREMA: La razón de la longitud de una circunferencia y su diámetro, es la misma para todas las circunferencias.
Sabemos que: ap =
Sean C y C’ las longitudes de dos circunferencias de radios r y r’.
De donde: 5
P7
r 2
2 2
P3
o
r
3 =
3 2
r
3 2
C' = 2r 2 r'
Supongamos que los lados de un cuadrado inscrito se dupliquen sucesivamente ( Fig. 07 ), así obtendremos polígonos de 8, 16, 32, 64, ..... lados y cuyo perímetro es un número real que se aproxima a la longitud C de ka circunferencia como límite. Por consiguiente, si p es el perímetro de un polígono regular de n lados, tenemos: p → C
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
Práctica de clase
, que es la suma para todas las
circunferencias, es un número que se llama “pi” y cuyo símbolo es π.
P1
⇒ Esta fórmula circunferencia.
C
=π
2r
expresa
la
longitud
Para su aplicación usaremos: π = 3.14
S3GE33B
01. ¿Cuánto mide la apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 8 cm. de radio? 02. El apotema de un cuadrado inscrito mide 2.82 cm. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia circunscrita? 03. ¿Cuánto mide el apotema de un exágono regular inscrito en una circunferencia de 16 cm. de diámetro?
C = 2 π r
π es un número irracional cuyas aproximaciones son: 3, 3.14, 3.141592, .........
Ejemplo 01:
= 10 cm.
Respuesta: El perímetro del hexágono mide 60 cm y la longitud de la circunferencia 62.8 cm.
C
2r
3
C = 2π r= 2 x 3.14 x 10 = 62.8 cm.
Luego:
C
3
Luego: p = 6 l = 6 x 10 = 60 cm.
Fig. 08
P2
Fig. 07
2 ×5 r=
r'
De modo que: Si:
P8
r
r
La razón
2
ap =
La longitud de una circunferencia es el límite de los perímetros de los polígonos regulares inscritos.
P5
r
Solución: Sabemos que:
S3GE33B
2
LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA: Sabemos que un segmento puede medirse utilizando un instrumento como es la regla graduada; en cambio, tratándose de una curva y en particular de una circunferencia, no es posible esta medición mediante un instrumento rectilíneo, es decir, no se puede establecer una razón entre la curva y el segmento. Por tal razón, para calcular la longitud de la circunferencia emplearemos otro procedimiento geométrico.
Ejemplo 01: La apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 2 cm. ¿cuánto mide su perímetro?
De donde:
2
l= r 2 2 . 2 =4 De donde: l = 2 Luego: p = 4l = 4 x 4 = 16 cm.
−r 2 ( T. de Pitágoras )
3
ap =
3ro. Año Secundaria
Se lee: “p se aproxima a Como límite”.
2
Además:
c) Cálculo del apotema en función del radio: En el ∆ CBD ( Fig. 06 ), O y M son puntos medios de dos lados, entonces
OM =
GEOMETRÍA
Respuesta: El perímetro del cuadrado mide 16 cm.
b) Cálculo del lado del radio: En el ∆ CBD (Fig. 06) se tiene:
l l l
r
22
la
04. El apotema de un exágono regular mide 3 cm. Hallar la longitud del radio de la circunferencia circunscrito.
algunas 3.1416,
05. El lado de un exágono regular inscrito mide 12 cm. ¿Cuánto mide el apotema del triángulo equilátero inscrito en la misma circunferenci?
de
06. ¿Cuánto mide el diámetro de una circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero de 4.5 cm de apotema?
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 07. El lado de un cuadrado inscrito mide 12 cm. ¿Cuánto mide su apotema? 08. ¿Cuánto mide el lado y el apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 12 cm, de radio? 09. El apotema de un cuadrado inscrito mide 22, 56 cm. ¿Cuánto mide el radio de circunferencia circunscrita? 10. ¿Cuánto mide el lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 62, 8 cm. de longitud? 11. El perímetro de un triángulo equilátero es 108 cm. ¿Cuánto mide su apotema? 12. El perímetro de un exágono regular inscrito es 48 cm. ¿Cuánto mide su radio u apotema? 13. Hallar la longitud de la circunferencia circunscrita a un hexágono regular de 96 cm. de perímetro. 14. La longitud de una circunferencia mide 31. 40 cm. ¿Cuánto mide su radio? 15. La apotema de un triángulo equilátero inscrito mide 3 cm. Hallar la longitud de la circunferencia circunscrita.
3ro. Año Secundaria 21 02. Cuánto mide el lado de un hexágono regular inscrito cuyo apotema mide 6 cm.? a) 2
3 cm b) 3
d) 5
3
3 cm c) 4
3 cm
d) N.a.
03. El apotema de un triángulo equilátero mide 3. Calcular el valor del lado a) 4
3 cm b) 5
d) 6
3 cm e) N.a.
3 cm c) 5 cm.
04. El lado de un cuadrado inscrito mide 14.1 cm. Hallar la longitud de la circunferencia circunscrita. a) 62,8 cm d) 20,2 cm
b) 71,4 cm e) 10,5 cm
c) 40,3 cm
05. El perímetro de un hexágono regular inscrito mide 48 cm. ¿Cuál es la longitud de la circunferencia circunscrita? a) 40 cm d) 48,3 cm
b) 50,24 cm e) N.a.
c) 30,10 cm
06. La longitud de una circunferencia es 18.84 cm ¿Cuánto mide el lado del triángulo equilátero inscrito de dicha circunferencia? a) 2 d) 6
b) 3 e) 7,2
c) 5,19
07. Hallar la longitud del apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 50.24 cm. de longitud? a) 5,64 d) 1,12
b) 3,12 e) N.a.
c) 3,28
08. ¿Cuánto mide el apotema de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 1,256 de longitud?
Problemas Propuestos 01. El lado de un triángulo equilátero inscrito mide 18 cm. ¿Cuánto mide su apotema? 3 cm b) 2 a) 3 d) 2 cm, e) N.a.
S3GE33B
3 cm c) 4 cm
a) 12,3 cm d) 20,8 cm
b) 17,3 cm e) N.a.
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 2,13 e) N.a.
GEOMETRÍA
c) 3,12 cm
3ro. Año Secundaria
10. En una circunferencia de 6 m de radio, se determina un arco de 48° 36’ ¿cuál es su longitud? a) 5,08 m d) 1,12 m
b) 3,12 m e) N.a.
a) 10 cm d) 18 cm
b) 12 cm e) N.a.
03. Calcular el valor de la medida del apotema de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 18 cm de radio?
c) 2,25 m
11. A un ángulo central de 60° le corresponde un arco de 12.56 cm. de longitud ¿cuánto mide el radio de la circunferencia que contiene a dicho arco? c) 15 cm
04. La medida de un lado de un triángulo equilátero es 18 cm. Hallar el radio de una circunferencia circunscrita? 05. Hallar el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia que a su vez está inscrita en un cuadrado de 64 cm2. de área.
12. La longitud de una circunferencia es 6.28 m. ¿cuántos grados tiene el arco que pertenece a dicha circunferencia y cuya longitud es 0.628 m? a) 60° d) 28°
b) 30° e) N.a.
c) 45°
13. Un niño que recorre el borde de la región circular de un coliseo de gallos da 120 pasos de 31.4 cm cada uno ¿cuánto mide el diámetro del coliseo? a) 8 m d) 15 m
b) 10 m e) N.a.
c) 12 m
14. El radio del arco de una bicicleta mide 32 cm y el diámetro de la goma 4 cm. ¿Cuánto ha recorrido un ciclista cuando la llanta delantera de su máquina ha dado 1000 vueltas? a) 2,260 Km d) 2,148 Km
b) 2,1604 Km e) N.a.
e) 3,420 Km
ÁREAS
15. El diámetro de una de las llantas traseras de un tractor mide 1.20 m ¿cuántas vueltas dará dicha llanta para recorrer el largo de un terreno que mide 376.80 m? a) 20 v d) 28 v
b) 12 v e) N.a.
c) 100 v
I.
AREA DEL TRIÁNGULO A. Área de un triángulo rectángulo: El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de sus catetos. Q
Tarea Domiciliaria
c) 10,3 cm
09. Un arco de 36° pertenece a una circunferencia de 2 m de radio. Hallar la longitud de arco a) 1,256 cm d) 5,10 cm
22
A=
S3GE33B
2
c
01. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado circunscrito a una circunferencia de 15 cm. de radio? 3 02. El lado de un triángulo equilátero mide 8 cm. hallar la medida del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.
bc
P
II. EXPRESIONES TRIÁNGULO
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
R b
DEL
ATREA
DE
UN
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
3ro. Año Secundaria 21
A. En función de sus lados (Fórmula de Herón) A=
Q
c
R
a
donde “p” es el semiperímetro del triángulo. B. En función del radio “r” de la circunferencia inscrita:
ra
a
01. Hallar
Q
b
Análogamente, tomando en cuenta las obras circunferenciales ex - inscritas, se verifica que:
2
si
A=abc
H
a) 17 d) 3
h
L
C
b) 8 e) 6
c) 2
En función del lado (L) :
A=
L2
5
3 13 3
d)
b)
5
3
3 3
3
c)
13
e) N.a.
3
B
4
DE
A=
h2
a) 4b) 34 d) 68
3 3
AREAS
H
C
c) 18 e) N.a.
18 30°
A
DE
BC =7
y
BA =8
a) 73 d) 72
Teorema 1: Las áreas de dos triángulos que tienen la misma altura. Son proporcionales a sus respectivas bases.
C
16
03. Hallar el área del triángulo rectángulo ABC, si A
D. En función del radio (r) de una de las circunferencias ex-inscrita:
c)
3
e) N.a.
3
3
B
III. RELACIONES TRIÁNGULOS: R
b) 4
07. Hallar el área del triángulo ABC
En función de la altura (h):
a
3
A
Q
b
c) 5 e) 12
06. Hallar el área de un triángulo equilátero, si la altura 5 del triángulo es a)
4R
R
a) 8b) 15 d) 6
05. Hallar el área de un triángulo equilátero, si el lado 3 es 2
A
L
R
C. En función del radio (R) de la circunferencia circunscrita:
b) 75 e) N.a.
c) 74
08. Hallar el área del triángulo PQR Q
Teorema 2: Las áreas de dos triángulos que tienen la misma base son proporcionales a sus respectivas alturas. Teorema 3: Las áreas de dos triángulos cuales quiera son proporcionales a los productos de sus bases por sus respectivas alturas.
C
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
B
a) 25 d) 56
b) 19 e) N.a.
AB =5
y
AC =3
15
c)28
04. Hallar el área del triángulo rectángulo ABC si
53° P
a) 20 d) 70
Teorema 4: Si dos triángulos son semejantes, sus áreas son proporcionales a los cuadrados de S3GE33B
figura,
02. Hallar BH , AC =21 y el área del triángulo es igual a 42.
a
P
la
B
d) 2
r
c
de
AC = 17
a) 3
b
P
área
A
E. Área del triángulo equilátero:
L
c
el
BH =8,
B
Q
o
Practica de Clase
A = pr A = (a + b + c )
C
P
p (p - a) (p - b) ( p - c )
Q P
3ro. Año Secundaria
cualquiera de sus elementos homólogos perímetros.
A = ra ( p - a )
b
c
GEOMETRÍA
22
S3GE33B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
R
8
b) 40 e) 48
c) 60
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 09. Hallar el área del triángulo PQN es 14, además N es punto medio de PR a) 14 d) 15
b) 7 e) 16
c) 28
10. Hallar la altura del triángulo, si el área del triángulo ABM es 2 veces el área del triángulo MBC y el área de ABC es 24. B
3ro. Año Secundaria 21 a) 6
105
2
105
d)
105
b) 3
105
el lado AC son 49/25 y 576/26 . Hallar el área del triángulo.
e) N.a.
∩
BAC
A
C
8
a) 8b) 4 d) 5
área
triángulo
ABC
22. El área del triángulo formado al unir los puntos medios de los lados de un triángulo es 7. Hallar el área del triángulo original. a) 14 d) 21
es
28
23. Hallar el área del rombo
D
10 2 37°
A
120°
42
7
D
a) 15 d) 42
b) 30 e) N.a.
C
4
a) 8
3
b) 4
d) 2
3
e) N.a.
3
c) 6
3
16. Dado
un
triángulo
Hallar el área de dicho triángulo. a) 24 b) 84 d) 42 e) 56
ABC, AB =15 .
H1
C
7
a) 28 d) 14
b) 28/3 e) N.a. del triángulo
c) 23/8
ABC
BH es 5 veces DH 1 .
obtusángulo
A =16 ° C =37 ° y
c) 21
H
20. El área
C
5
12. Hallar el área total del triángulo ABC
es 20 Hallar
y la
suma de las áreas de los triángulos ABC y ADC.
a) 100 d) 192
b) 96 e) 97
c) 193
24. Hallar el área del rombo si su área
B
c) 78
D
17. En la figura hallar el área del triángulo FAH si
B
FH =9
JH = 16
53°
A
48
2
c) 7
y
c) 3 e) 7
A
b) 28 e) N.a.
B
B
A
A
b) 24 e) N.a.
H
a) 20 d) 23
C
3
D
c) 32
13. Los lados de un triángulo son 11, 12, 13 cm. Hallar su área.
F
a) 48 d) 51
J
H
b) 52 e) 54
c) 50
c) 25
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
H1
C
5
b) 21 e) 24
c) 22
21. Se tiene un triángulo equilátero de 10 m. de lado, se unen los puntos medios de sus lados y se forma un triángulo cuya área es: a) 25
S3GE33B
del
c) 84
e) 3
ADC.
AB =AC
= 120 ° y
B
a) 48 d) 80
b) 82 e) 72
BH = 3 DH 1 . Hallar el área del triángulo
11. Hallar el área sombrada:
A
a) 74 d) 86 19. El
c) 6 e) N.a.
15. Hallar el área del triángulo ABC si AC =4 y x
3ro. Año Secundaria
18. En un triángulo ABC, recto en B la proyecciones ortogonales de los lados AB y BC sobre
c)
14. Los lados de un triángulo son 6a, 9a, 11a y su área 182 . Hallar “a + 2” es igual a 18 a) 3b) 5 d) 4
GEOMETRÍA
22
S3GE33B
3 3/4
b) 25 d)
a) 15 d) 17
b) 12 e) N.a.
c) 9
25. Hallar el área sombreada, si el área del triángulo es 18.
3/2
25
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
3ro. Año Secundaria 21 Q
A
3a
a) 36/5 d) 12/5
b) 14 e) 17
S
a) 2 d) 2
c) 12
03. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 8, M y N son puntos medio. Hallar el área del cuadrilátero PBCD
C
b) 4 e) N.a.
P
B
a) 3 d) 9 M
P
A
a)
D
2a
a
a) 20 d) 30
b) 40 e) 15
"n" triángulos L1
c) 10
Problemas Propuestos
27.Sean P1 // P 2 ; además la distancia entre ellos 12 m . Hallar la suma de las es 5m y AB = áreas de triángulos ABC, ABD, ABE, ABF, ABG.
C
S
d)
64
b) 20 m2 e) N.a.
6 3
N
b) 64
D
c) 12
c)
3
32
6 3 A
e) N.a.
B
TC =10
B
04. En la figura, hallar la relación entre el área del cuadrado y el cuadrilátero BCDR, si el lado del cuadrado es 10, (P, Q son puntos medios)
01. En un triángulo isósceles ABC, con AB = BC, la altura que parte de B mide 8 m. y el perímetro es 32 m. Hallar el área del triángulo. a) 48 m2 d) 50 m2
6 3
35
b) 6 e) 15
AT =7 ,
P
R
D
06. Hallar el área del triángulo rectángulo ABC, si
B
Q
N
C
c) 6
30. Si ABCD es un rectángulo de largo igual a 10 y ancho igual a 8. Hallar el área sombreada si P, Q, R, S son puntos medios. A
3a
C
c) 24/5
A
26. Hallar el área sombreada , si el área del triángulo es igual a 60.
4a
b) 100/2 e) 94/5
M
R
D
5a
3ro. Año Secundaria
a
2a
a) 16 d) 15
GEOMETRÍA B
B
P
22
C
C
T
a) 60 d) 40
b) 70 e) N.a.
c) 50
07. En un triángulo recto en N, hallar el área de dicho triángulo. Si: MP =4 , QO = 21 N
c) 15 m2
P
O
R
P
02. Si AB =BC ;
AC =10 ; DC =6
A
. Hallar el área del triángulo ABC.
A a) 80 d) 80
L2
B b) n d) 40
c) 40n
c) 1
M
a) 21 d) 68
Q
T
b) 84 e) 42
08. Hallar el área del triángulo. D
A
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 3 e) 1/3
D
05. Hallar el área del cuadrilátero AMPN si la figura es un cuadrado de lado 6M y N son puntos medios.
29. Si ABCD es un cuadrado de lado 4. Hallar el área sombreada, si P, Q, R, S son puntos medios.
S3GE33B
a) 3/2 d) 1/2
B
Q
C S3GE33B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
c) 74
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
3ro. Año Secundaria 21
22
GEOMETRÍA
3ro. Año Secundaria
B
15. Por el incentro “I”de un triángulo rectángulo ABC ( m ∡B = 90° ) se trazan I M ⊥ AI ( M en BC (N en BC ). AC ), MN ⊥ Calcular el área de la región triangular INC; si
AB =3 m A
3m
a) 10m2 d) 30m2
T
C
5m
b) 15m2 e) N.a.
c) 20m2
09. Dos lados de un triángulo miden 9 y 13 si una de las alturas de dicho triángulo mide 12 cm. Hallar el área de dicho triángulo. a) 120 cm2 d) 180 cm2
b) 140 cm2 e) N.a.
c) 150 cm2
10. Dos lados de un triángulo miden 15 y 7 cm. Si una de las alturas de dicho triángulo mide 8 cm. Hallar el área de dicho triángulo. a) 56 cm2 d) 75 cm2
b) 28 cm2 e) N.a.
c) 15 cm2
11. Dos lados de un triángulo miden 5 y 12 cm. ; el ángulo comprendido entre los lados es igual a 150° . Hallar el área del triángulo. a) 30 cm2 d) 15 cm2
b) 12 cm2 e) N.a.
c) 35 cm2
10 y la distancia 12. En un triángulo ABC: AC =
del punto medio de BC a AC es 4. Calcular el área de la región triángular ABC. a) 40 b) 30 c) 100 d) 10 e) N.a. 13. Calcular el área de la región triangular regular sabiendo que ésta es numéricamente igual a la longitud de su altura. a)
b) 3
2
d) 3
2
3
c)
3
e) N.a.
14. En un triángulo rectángulo un cateto mide 4 m y la altura relativa a la hipotenusa mide 2,4 m. Hallar el área de dicho triángulo. a) 4 m2 d) 6,4 m2 S3GE33B
b) 4,8 m2 e) 7,2 m2
a) 1 m2 d) 1,5 m2
y
BC =4 m
b) 2 m2 e) 2,5 m2
c) 3 m2
Tarea Domiciliaria 01. En un triángulo rectángulo ABC: m ∡B = 90°, se traza una altura BH . Si AH = 2 y HC = 8; Calcular el área de la región ABC. 02. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, el radio de la circunferencia inscrita mide 4 y m ∡ C = 37°. Calcular el área de la región ABC. a) 96 d) 84
b) 48 e) N.a.
c) 120
03. Las medidas de los lados de un triángulo son 13, 14 y 15. Calcular el área de la región triangular correspondiente. a) 48 d) 84
b) 56 e) N.a.
c) 80
04. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD si el área de la región ABC es 64 y 5 AB =3 BC . Calcular el área de la región
ABD. a) 20 d) 32
b) 24 e) N.a.
c) 30
05. En un triángulo ABC: AC = 8, calcular la longitud del segmento MN ( M ∈ AB y N ∈ BC ) para que las regiones MBN y AMNC sean equivalentes; además MN // AC. a) 4 d) 6
b) 2 2
2
c) 4
2
e) N.a.
c) 6 m2
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
S3GE33B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
3ro. Año Secundaria 21
22
GEOMETRÍA
3ro. Año Secundaria
SOLUCIONARIO Nº
EJERCICIOS PROPUESTOS 01
02
03
01.
B
A
A
02.
A
C
B
03.
C
D
E
04.
D
A
A
05.
A
B
B
06.
C
C
B
07.
B
A
B
08.
A
B
B
09.
C
A
A
10.
E
A
B
11.
A
B
D
12.
B
A
A
13.
C
C
C
14.
D
A
C
15.
D
C
A
16.
D
17.
D
18.
A
19.
B
20.
C
S3GE33B
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
copyright 2002
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
S3GE33B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”