COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to. Año Secundaria
33
GEOMETRÍA
34
II
4to. Año Secundaria A
B
d
DEFINICIÓN Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro punto llamado centro
4. Circunferencias Tangentes Interiores :
B
O
d o o1
B A
α
D
r
d
2.
A
d=R-r
C
AB = BC
r
D
R
d
d<R-r
3.
5.Angulo Exterior A α
m E
B
6. Circunferencias Concéntricas :
C
A
A
α m
α m
C
B
A O
C
B
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
C
r
n
d = cero
R
1. Circunferencias Exteriores
n
D
d > R+r
d
4.
α =( n- m )/2
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 2.
O
α
d
d = R+r
A
B
C
D
Si:
C
B
05. Si :
C
"M" es un conjunto de tangencia
o
α = AC / 2
L M
3. Angulo Semi – Inscrito 06.
3. Circunferencias Secantes : “El nuevo símbolo de una buena educación....”
CD
AC ≅ BD
A
α = AB
AB
α
B α
B r
α = ABC / 2
Angulo Inscrito
A
2. Circunferencias Tangentes Exteriores :
D
6. Angulo Ex - Interior
1.Angulo Central
AB ≅ BC AB = CD
B
n
A r
C Si
D
S4GE32B
B
O
α = ( AB + DC ) / 2
E
T
R
x = 90°
4 Angulo Interior
AB AB OE CD T L MN
L
R
x
O
α = BC / 2
R
N
C
T
C
5. Circunferencias Interiores :
M A
1.
R-r < d < R+r
CIRCUNFER
ELEMENTOS - Arco : - Cuerda: - Radio : - Diámetro : - Tangente: - Secante : - Flecha o Sagita :
PROPIEDADES FUNDAMENTALES :
α
S4GE32B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
OM
L
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to. Año Secundaria
C
B
B
A
Si : ABCD : Cuadrilátero Circunscrito
Si A B C D: Cuadrilátero inscrito
α θ
33
GEOMETRÍA
34 04.
4to. Año Secundaria
En la figura, hallar “x” A
A
2x + 3 B
α + θ =180º
C
A
D
D
PRACTICA DE CLASE
07. 01.
B
Calcular en la figura el arco QP “O” centro de la circunferencia
siendo
a) 5 d) 7
r
A
C
05.
a) 160° d) 70°
b) 40° e) N.a.
c) 80°
C
A
D
a) 110º d) 100º
C
06.
x
B
b) 55º e) N.a.
Si : Cuadrilátero ex - inscrito
20°
b) 90º e) N.a.
10.
c) 50º
x
A
C
20°
R
Si P, Q, R y S : son puntos de tangencia
a) 105º d) 20º
b) 105º e) N.a.
S4GE32B
b) 40º e) 110º
c) 130º
a) 2 d) 4 c) 65º
68°
O
PQ = RS
11.
S4GE32B
c) 3
En la figura. Hallar PQ Si PR =9, r =2, QR =3
r
B
O R
P
a) 11 d) 10
a) 56º b) 34º c) 130º d) 28º e) N.a. 08. Hallar el ángulo AOC si “O” es el centro. “El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 1 e) N.a.
Q
C
10.
O
A
B
a) 75º d) 20º
c) 80º
C
07. Hallar el ángulo BOA si “O” es el centro.
130° S
b) 70º e) N.a.
B
C
D
R
D
P
en la figura Hallar x
Q
C
A
09. P
B
Hallar “R”. Si AB 3, BC =4
Q
AD + BC = CD - AB
03.
A
a) 140º d) 90º
c) 100º
Hallar PQ , si QC = 105°
D
a) 100º d) 80º
si AB / / CD
A
100°
B
c) 130º
En la figura AB = 100º, CD = 120º, hallar BD
C
08.
b) 120º e) 150º
B
x
. 02. Hallar x
AB + BC = AC + 2r
a) 100º d) 140º
c) 4
Hallar “x” si AB = 30º y BC = 140º
P
Si: OF = r, es el radio de la circunferencia inscrita
b) 6 e) 4
09.
80º
O
F
C
D
15
C
Q O
B
40°
O
AB + CD = AD + BC
12.
b) 9 e) 5
c) 13
Hallar x si AB +DC =18
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN A
5
Q
4to. Año Secundaria
R
P S
D
a) 5 d) 9
6
y
a) 30º d) 15º
x + y + z
17.
O
a) 45º d) 30º
c) 100º 18.
Hallar x + y
x
b) 50º e) 90º
C
02.
c) 60º
, si AOB Hallar x es 100º
20°
03.
c) 150º
Calcular el ángulo ABC, siendo B el centro de la circunferencia, además AC = AP ; AP y PC son tangentes.
c) 90º
P
B C
Desde un punto E, exterior a una circunferencia se trazan las secantes Hallar el ángulo EBA y EDC .
a) 33º d) 38º
O
x
b) 100º e) 80º
AD
es
perpendicular a BC
x
b) 60º e) 30º
A
AEC , si AC = 123º y
A y
a) 300º d) 120º
A
a) 70º d) 110º D
O
C
x
Si O es el centro de la semicircunferencia, además AO =BC . Hallar x
A
A
b) 50º e) 75º
desde un punto exterior; si la cuerda que une los puntos de tangencia es igual al radio de la circunferencia ?
06.
c) 120º
B
B
14.
b) 60º e) 90º
z
x
En la figura “O” es el centro de la circunferencia. Hallar x Si BAO = 20º y BCO = 30º B
c) 6
Si AB = 50º. Hallar
Q
4to. Año Secundaria
C
b) 4 e) 3
a) 150º d) 200º
01.
30º
P
GEOMETRÍA
34
x
x
13.
R
S
B
4
33
b) 28º e) 66º
a) 40º d) 30º
b) 60º e) 150º
c) 120º
, si “O” es el centro 07. En la figura, hallar x de la circunferencia.
c) 123º x
En la figura AB = 70º.Calcular α + β
70°
B
O
B
a) 40º d) 10º 15.
b) 20º e) 30º
a) 40º d) 50º
c) 60º
Si AB es diámetro y BD = 60º Hallar x
19.
b) 100º e) N.a.
c) 80º
En la figura “O” es el centro de la circunferencia. Hallar x
C
A
β
B
A
a) 40º d) 70º 04.
O β α x
a) 20º d) 30º
α
b) 50º e) 80º
c) 60º
16.
a) 120º b) 60º c) 30º d) 80º e) N.a Si PQ es diámetro, hallar x
a) α + β d) 2α + 2β
b) 2α + β e) α − β
30°
Hallar x , si 4AB = ACB
x
c) α + 2β
A
PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 1
a) 72º d) 88º
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
B
O
B
05. S4GE32B
c) 40º
08. Hallar el arco AB A
x D
b) 70º e) 60º
C
b) 144º e) 164º
a) 120º d) 80º D
c) 36º
¿Cuánto mide el mayor ángulo formado por dos tangentes trazadas a una circunferencia
S4GE32B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b) 40º e) 100º
c) 60º
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 09.
4to. Año Secundaria d) 30°
En la figura, hallar x
e) 35°
13. En la figura “O” es centro y la
x
m PNQ = 130° . Calcular “x” E
GEOMETRÍA
34 01.
A
D
33
Hallar “ X ”. Si tangentes: B
b) 50º e) N.a.
a) 35º d) 55º 11.
b) 70º e) N.a.
14.
C
N
a) 1 d) 4
x
Q
a) 50 d) 25
x
a 2 - b 2+ x 2
02.
b) 40 e) 20
(a + b) (a - b) + 4
b) 2 e) 2,5
C
c) 3 06.
D
B
0
M
03.
α
b) 20° e) 50°
A
c) 100°
Hallar el radio de la circunferencia:
20°
E
a) 50 d) 110 07.
P
T
50° a) 25° d) 155°
Q
b) 70 e) 115
40º 100º
a) 60 d) 90 α
15.
P
a) 40 d) 70 12.
b) 50 e) 80
c) 60
b) 70 e) 75
18
En el gráfico BC es tangente a la circunferencia de diámetro AP siendo la medida del arco MN igual a 62°. Hallar m∡C.
En la figura hallar el ángulo X, M
si: BC + FE = 130º
N
C
A
B A
x
a) 7 d) 31 E
a) 25° S4GE32B
b) 20°
P
C
D
F
c) 50°
a) 2 d) 3 04.
B
b) 14 e) 62
c) 28
x
24
c) 80
80° 60°
R
b) 6 e) 1
Q
a) 15 d) 30
c) 5 08.
¿Cuánto mide el ángulo formado por dos tangentes trazadas desde el mismo punto, si la cuerda que une los puntos de tangencia es igual a el radio? a) 90° d) 180°
b) 120° e) N.a.
S4GE32B
c) 20
Calcular m∡E.
c) 150°
05.Calcular X Si : AB = 90° ; AC = 80° y PM es tangente
b) 18 e) 36
T
Desde un punto “ E “ exterior a una circunferencia se trazan la tangencias EP y Ε Q si “ M “ es un punto del menor arco PQ y m∡PMQ = 3m∡E. a) 20 d) 35
09.
Si mOBP
TAREA DOMICILIARIA
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
c) 90
Calcular “ X ” .Si P, Q y T son puntos de tangencia. P
P Q
c) 50
Calcular lamABC Si: mPTQ = 4mDTE C
x
β
Calcular “α” P y Q son puntos de tangencia.
b) 45 e) 65
c) 30
Q
c) 110º
a) 30 d) 55
Hallar el suplemento de “ X “
Si α + β = 100°. hallar m MQ
P
A B
c) 80º
10. Se dan un triángulo ABC y la circunferencia inscrita, tangente AB en P, a AC en Q y a BC en R. Si la suma del ángulo A con el ángulo C es 70°. Hallar el ángulo PQR.
M
son
A
O
C
F
a) 100º d) 130º
AB y AC
P
50° B
4to. Año Secundaria
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b) 30 e) 45
c) 36
= 200: Calcular “ X ”.
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to. Año Secundaria
B
Q
B c
x
C
α
M
b) 40 e) 60
En la figura “A” y “B” son puntos tangencia. Calcular
c C
A
M
M
A P
b MNP
BH
A. Propiedades de la bisectriz de un ángulo ..................................................................
c) 165
O
A. Caso (ALA) :
≅ A
α
θ
C
N
...........................................................
M
b
θ b
P
M
A
M
B
PM: mediatriz de AB
S4GE32B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
30° h 2
45° L 2 2
h 53°
3
37°
60° 4K
N
C
b) Si “M” y “N” son puntos medios de AB y BC respectivamente.
25 24
12
7
5
41
17 40
15
8
S4GE32B
5K
3K h 2
a) Si “M” es punto medio de AB y MN // AC . Entonces: “N” es punto medio de BC
C. Propiedad de triángulo Isósceles
L
45°
13 A
B. caso (LAL) :
45°
Algunos triángulos Rectángulos cuyos lados son números enteros
B
..................................................................
MNP
L 2 2
m
...........................................................
P ABC ≅
m
...........................................................
B
.................................................................. α
m 2
...........................................................
B. Propiedad de la mediatriz de un segmento ..................................................................
N
B
α° α°
45°
D. Propiedad de los puntos medios
P
1. Casos de Congruencia de Triángulos.
TRIÁNGULO RECTÁNGULOS NOTABLES
........................................................... Z
A. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Altura : Mediana : Bisectriz Médiatriz
...........................................................
A M
AC 2
Entonces: BM =
E. Propiedad de la mediana relativa a la hipotenusa
..................................................................
CONGRUENCIAS, PROPORCIONAL Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
BM : Mediana relativa a AC
∆ ABC es isósceles, AB = BC
b
..................................................................
C
H
2. PROPIEDADES :
B
C
A a
c
≅
ABC ≅
b) 135 e) 115
B
N a
de
x
a) 150 d) 120
AC 2
B
MNP
B
30°
M=
C. Caso (LLL) :
c) 45
A
............................................
P b
ABC ≅
P
Entonces :
................................................... ...............
b
C
4to. Año Secundaria
.......................................................... ........
c
α
A
10.
GEOMETRÍA
34
≅
A
a) 30 d) 50
33
N
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
9
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to. Año Secundaria
Observación
33
34
GEOMETRÍA
4to. Año Secundaria
2. Teorema de la Bisectriz Exterior
L
1
B
x-2
4
2
L
h
x
a b m=n
x+2
6
α+θ
12
L
x
a
3
α
b
θ
75° 15° A
H
C 4h
B. PROPORCIONALIDAD Definición.- Se dice que dos números (a y b) son proporcionales a otros dos números (c y d) cuando la razón geométrica de los primeros sea igual a la razón geométrica de los segundos: Es decir: a b
................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ Aplicación del Teorema de Thales a un triangulo B
c d M
Tres o más rectas paralelas determinan sobre otros dos secantes a ellas segmentos cuyas longitudes serán proporcionales entre si. A
D
1
L
M
2
x
N 9
C
F
L
3
A
También :
C
45° 45°
x
A
C
M
a
D
................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................
1° A
2° M
3° N
C
Si BM ⇒ bisectriz interior y BN ⇒ bisectriz exterior AM AN = MC CN
1 ° total = 2° 3°
• Regla Practica Ejm: Hallar x
70°
AB DE = AC DF
20° 20°
a b m=n
Ejm: Si L1 // L2 // L3. Hallar x
a
b
m
Ejm: Hallar x S4GE32B
a
3. Teorema de la bisectriz Exterior :
Si L1 // L2 // L3 AB DE = BC EF
B
. Hallar:
6
4
E
B
B
4
B
L
PROPIEDAD
Ejm: Hallar x
C MN // AC
................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................
................................................................ ................................................................
BM BN = MA NC
N
A
Ejm: Si
................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................
Si: MN // AC
1. Teorema de Thales :
n
m
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
S4GE32B
4
n
2
x
................................................................ ................................................................ ................................................................ “El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN ................................................................ ................................................................ ................................................................
4to. Año Secundaria
Definición: Dos triángulos serán semejantes cuando los ángulos de uno de ellos sean iguales a los ángulos del otro; como consecuencia. Sus lados respectivos serán proporcionales entre si:
4. Teorema de Menelao : B
M
33
A
B
N
β
β
α
34
GEOMETRÍA
2. Segundo Caso: Dos triángulos serán semejantes si tienen un mismo ángulo y los lados que lo forman son proporcionales. ∼
a
θ
C
M
α
θ
C
P
Si:
ˆ =N ˆ B ˆ =P ˆ C
Ejm: Hallar x :
∴ B
B
C
A
Si: n
b
P
⇒∆ ABC ∼ ∆ MNP
MN // AC
∆ ABC - ∆ MNB
a b = m n
Si :
N
M
α
ˆ = ˆ A M AM . BN . CP = MB . NC . AP
2.
m
α
N
A
4to. Año Secundaria
3. Si:
AB // MN // CD
MN= 3. Tercer Caso: Dos triángulos serán semejantes si sus lados son proporcionales entre si.
AB BC AC = = =K MN NP MP
ab a +b D
B b
N
a
K: razón de semejanza
M
∼
b
a
m
n
N
A
T 2 C
6
A x
P
................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................
Ejm: Los lados de un triangulo miden 2, 8 y 12. Hallar el mayor lado de otro triángulo semejante al primero cuyo perímetro es 182. CASOS DE TRIÁNGULOS
SEMEJANZA
Si:
a b c = = m n p
PROPIEDADES
θ a θ m
1. B
a2 = m . n
5. Teorema de Ceva
N
M
∼ α
θ
α
C
A
θ
Si:
N
M
4.
DE
1. Primer Caso: Dos triángulos serán semejantes si tienen dos ángulo iguales.
B
MN // AC
∆ ABC - ∆ MNB A
P
C
AM . BN . CP = MB . NC . AP
C. SEMEJANZA :
S4GE32B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
C
M
p
c
S4GE32B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
n
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN PRACTICA DE CLASE 01.
4to. Año Secundaria 04.
En la figura mostrada. Si m // n // t
33
GN // AC . Hallar AC . Si G es baricentro y GN = 4
07.
4to. Año Secundaria
De la figura mostrada, hallar
10.
BN , Si MN // AC y AC =
16 ; MN = 4
B
Hallar x:
GEOMETRÍA
34
; BC = 12
a) 2,5 d) 7,5
B
x
15
a) 1,75 d) 2,5 02.
A
b) 1,5 e) 1,25
l
c) 1,42
05.
b) 10 e) 16
L1
Hallar x. L2
A
c) 12
1
x
n 2y +1 l
3x+2
y
6
a) 1 d) 4 03.
b) 2 e) 5
a) 5 d) 7/5 t
c) 3
06.
4
b) 10 e) 8
m x +1
A E
a) 3 d) 7
S4GE32B
n 2x 3x
B
b) 4 e) 5
A
9
D
6
l
β
b) 5 e) 8
c) 6
b) 6,4 e) 7,2
5
C
c) 6 BE .Si EC =10
L3
a) 2,2 d) 6,2 = 10.
13.
F
b) 1,5 e) 3,1
c) 3,5
En la figura, ADEF es un cuadrado. AB= 6 m; BC = 10 m. Hallar el lado del cuadrado. B
c) 3,2
E
D
L5 C
a) 2,8 d) 3, 2
D
b) 0,8 e) N.a.
c) 4, 4
A
a) 3 d) 12/7
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
3
E
L4 A
a) 10 d) 4,8
α α E
B
4
b
α
En la figura hallar ED = 6, AD
L2 c
5
c) 7
En el siguiente gráfico, Hallar EF.
N
a) 4 d) 7 09.
3
b) 6 e) 5
7
M
a2 .b “b” y “c” y Halle : E= c
L1 8
a) 9 d) 6 12.
C
N
x+2
c) 15
En la figura, calcular los valores de “a” ,
a
α B
B
Si: L1 // L2 // L3 // L4 // L5
C
De la figura:
G
En la figura mostrada. Si m // n // l. y AB // CD . Hallar x.
c) 3
NC = x – 3 .¿Qué valor puede tomar “x” para que MN sea paralela a AC ?
F
C
L3
b) 2 e) 5
AM x − 1 ; MB =x + 2 , NB = 6,
5k +1
m 2
a) 1 d) 4 08.
α
C
A
E
5k - 5 B
c) 6,5
A
Siendo L1 // L2 // L3 .Hallar BC
En la figura mostrada. Si m // n // l // r
b) 5,5 e) 8
Hallar AB. Si BN = 4 y NC = 5
C
T
a) 8 d) 14
11.
N
M
n 4x
N
G
m x+2
En un triángulo ABC, AB = 15, BC =13 y AC = 14. Se traza la bisectriz BD . Hallar: AD
S4GE32B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
C F
b) 4 e) 6
c) 24/7
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 14.
En el triángulo ABC MN // AC ,AB= 60 BN = 28 y NC = 17. Hallar AM
4to. Año Secundaria 18.
33
Hallar R, Si: OP = 6; ON = 8
02.
A
Para que el valor de “x” en MN // AC .
N
R
B
A
15.
a) 14 d) 11
C
a) 11,3 d) 22,6
b) 23 e) 21,2
c) 24 19.
Hallar AB: B
x-2
b) 12 e) 15
c) 10
En un triángulo ABC, se traza la bisectriz CF y luego por F, una paralela a AC de modo que intersecta a BC en Q.
a) 6 d) 9 03.
b) 9 e) 10
A
9
a) 12 d) 16 16.
H
16
b) 15 e) 20
C
20.
b) 25/11 e) 2,4
c) 8
06.
Hallar BH: B
A
1
a) 2 d) 5 17.
H
b) 3 e) 6
B
A
a) 6
a) 11/4 d) 19/6
d) 6
b) 17.8 e) 19/6
c) 15/4 04.
En la figura. Si m // n // t. Calcular: “x”:
5x - 5
m
n 2x +1 t
4
a) 4 d) 6
b) 4,5 e) 8
c) 5
05.
N
C
C
H
2
2
3
e) 3
5
c) 2
3
Se da un rectángulo ABCD, en el cual AD = 2CD. Por B se traza BE perpendicular a AC . Si E está en AD y ED = 9m. Hallar : AD a) 10m b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 En la figura mostrada
a) 2,2 d) 4,8 S4GE32B
b) 2,4 e) 9,6
A
a) 6m d) 9 07.
b) 7 e) 10
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
Hallar: MN. B
M
θ
08.
N
θ
A
S4GE32B
c) 8
En la figura mostrada. Si AB= 12m, AC= 9m y BN= 4m.
L 4 . Si AB= 3m, BC= 4m, MN= 2x – 2, Np = 2x + 2, PQ = 3x – 1, CD = y. Hallar : (x + y)
c) 6,8
L3
F
L1 // L 2 // L 3 //
C
L2
E B
b) 3
8
H
mostrada
L1
D
a) 2m d) 5 A
figura
M
Hallar BH:
6
la
c) 14
Hallar EF.
Hallar la longitud de BE .
c) 4
B
En
En un triángulo ABC. Si ∡B = 120°,
7
b) 13 e) 16
L1
c) 15/4
C
9
Q
L 4 . Si: EF – AB = 3m, AC = 16m y DF= 24m.
Hallar: AH
PROBLEMAS PROPUESTOS N°02 01.
L2
L1 // L 2 // L 3 //
En la figura. Si AN = 4 y AC = 18.
AB = 15, se traza la bisectriz BE . c) 17
L3 P
a) 12m d) 15
Hallar BQ. Si: BC = 5 m y AC = 6 m. a) 13/7 d) 49/5
N
D C
A
L4
C
N
x+4
M
B 4
m
D
N
M
A
B x
O
C
4to. Año Secundaria
M
P
B
GEOMETRÍA
34
b) 3 e) 6
C
c) 4
En un triángulo ABC se trazan, la bisectriz AD , la mediana BM y la ceviana
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
RELACIONES COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN CE , concurrntes. Hallar EB. Si AB = 4m; BC = 5m y AC = 6m.
a) 2m d) 2,5
b) 1,8 e) 1,6
4to. Año Secundaria 09.
33
En la figura mostrada: Si AB = 2m y CD = 3m. Hallar: MN.
GEOMETRÍA
34 12.
4to. Año Secundaria
En la figura TB = 7, AT = 15, AK = KC y GC = 4. Calcular TG.
D
c) 3 2
A
M
θ A
C
B
b) 1,.8 e) 3
c) 1,5
En la figura mostrada. Si: AB= 9m , BC= 7m, AC= 8m y MN // AC.
a) 2 d) 3,5 13.
Hallar: MN. B
14. A
C
a) 8m d) 6 11.
b) 3 e) 6/5
c) 8/3
En la figura los lados de los cuadrados de menor a mayor miden 4, xy 9. Calcular: x. E
C A
D B
b) 6 e) 8
c
c) 3
b) 12,5 e) N.a
b) 3,6 e) N.a
c) 7
b) 3/5 a e) a/3
B
A
c) 15
c) 4
En un triángulo ABC, la bisectriz interior BD y la mediana AM se cortan en “F”. Calcular la longitud de FD , si: BF = a, AB = 3b y BC = 4b. a) 2/7 a d) 4/5 a
a) 5 d) 4
b) 2,5 e) 4
M
B
A
AB B A Proyección ortogonal
PROYECCIÓN ORTOGONAL EN EL TRIANGULO B
En un triángulo ABC, se tiene que AB= 6, BC= 8 y AC= 10. La altura BH y la bisectriz interior AF , se cortan en Q. Hallar QB. a) 2,8 d) 3
15.
K
En un triángulo isoceles PQR (PQ= QR), se traza la ceviana PF que corta a la altura QH en “E”. Si FQ = 7dm, EQ = 8dm y EH = 2dm. Calcular QR a) 10,5dm d) 10,7
N
M
G
θ
N
a) 2m d) 1,2
Una proyección ortogonal de un segmento sobre una recta es la porción comprendida entre los pies de las perpendiculares trazadas desde los extremos del segmento a dicha recta.
T 3
2
10.
B
3
A
B
A
C
Acutángulo B H
Rectángulo
A Obtusángulo
AH: proyección de AB HC: proyección de BC
c) 3/7 a RELACIONES MÉTRICAS EN EL, TRIANGULO RECTÁNGULO
a
b
h
n
m c
1.
S4GE32B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
S4GE32B
C
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
c 2 = a 2 +b 2
C
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2.
4to. Año Secundaria
33
GEOMETRÍA
34
e) Teorema de bisectriz exterior :
a.b = c.h
4to. Año Secundaria a) 2 5 cm cm d) 5 cm
A H
b
a 2 = cm
3.
x
2
b = cn
x2 = mn - ab
a
11.
m n
APÉNDICE DE RELACIONES MÉTRICAS
01.
a 2 = b 2 + c 2 - 2cm
b
a
En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza BH altura relativa a la hipotenusa . Si BH = 2 cm. Calcular AH.HC. a) 4 cm d) 8 cm
a c
a) 1/2 d) 4/5
PRACTICA DE CLASE
a) Primer teorema de Euclides : (∆ Acutángulo) Si α < 90
m
02.
b) Segundo Teorema de Euclides (∆ Obtusángulo) Si α > 90
b) 5 cm e) 2 2 cm
06.
b m
α
a 2 = b 2 + c2 + 2cm
a) 2 c) 3, 2 e) 3, 6
c
c) Teorema de la Mediana Si mc mediana
03. 2 2 2 a + b = 2mc +
a
b
mc
c2 2
a B
2 ,
d) 2
6
7 ,2
3
x
b
x2 = ab - mn
08.
09.
7 ,3
d) 2
21 , 4
a) 6 cm b) 8 cm c) 10 cm d) 12 cm2 e) N.A 05. Si AB = 15. BH = 12. Hallar : BC/AC “El nuevo símbolo de una buena educación....”
13. b) h2 =nm d) a2 + b2 = c2 14.
b) mh e) nh/ a
15.
b) 3,2 cm e) N.A
c) 5,1 cm
En un triángulo de lados 5 cm, 6 cm y 7 cm. Calcular la altura relativa al lado de 6 cm b) 2
2 cm c) 2
6
) N.A
Hallar la mediana relativa al lado mayor mide : 13 x 12
a) 5 d) 4, 3
C
17.
b) 6 e) 7, 2
c) 6, 5
En un triángulo de lados 7 cm, 9 cm y 14 cm, hallar la longitud de la mediana relativa al lado mayor. a) 3 cm d) 6 cm
D
a) 6 cm b) 2 5 cm c) 3 5 cm d) 5 cm e) N.A En el problema anterior BH +AD es :
S4GE32B
En un triángulo de lados 5 cm, 12 cm y 13 cm. Calcular la altura relativa al lado mayor
5
H
10.
c) 2
En un triángulo de lados 5, 9 y 10, hallar los segmentos que determina la altura sobre el lado mayor.
c) mn
16.
2
b) 17/9 e) 3
a) 2 3 cm cm d) 6 cm
Las diagonales del rectángulo mostrado miden 9 cm. Si AH =4 cm , el lado CD mide :
A
5
En un triángulo de lados 5, 6, 7 cm. hallar la longitud de la proyección del lado menor sobre el mayor.
a) 4,6 cm d) 5,8 cm
c) hb
7
e) 7 , 21 La altura relativa a la hipotenusa y la hipotenusa de un triángulo rectángulo miden 2 cm y 4 cm respectivamente. Hallar el producto de los catetos. 2
A
c
En el problema 06, hallar la distancia del punto “H” al lado BC a) nh d) mh/b
c) 5
a) 25/7 y 45/7 b)3,6 y 6,4 c)2,2 y 7,8 d) 2,85 y 7,15 e) N.A
b) nm/a e) N.A
B
2
n
H
a) nm/b d) mh/b
3 ,6
b) 2
14
c) 7, 14 04.
S4GE32B
b) 2
m
n
Del problema anterior: Hallar la distancia del punto “H” al lado AC. (Recomendación: aplicar la primera relación anterior en el triángulo AHC)
7
d) Teorema de la bisectriz interior :
m
6
12.
5 cm
e) 10 cm
a) 17/7 d) 19/7
b
h
a) ab = ch c) a2 = nc e) Todas se cumplen
4
En un triángulo rectángulo, se traza la altura relativa a la hipotenusa. Esta altura determina en la hipotenusa dos segmentos (proyecciones) de longitudes 6 cm y 8 cm respectivamente . Hallar la longitud de ambos catetos del triángulo. a) 2
c
a
3 ,2
c) 2/3
Según la figura, marcar la relación correcta.
c) 6 cm
Calcular la longitud de los catetos del triángulo mostrado
2
b) 1/3 e) N.a
C
07. a
C
B
b) 3
b) 4 cm e) 7 cm
c) 5 cm
Hallar BT , si AT. TC =20 .
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to. Año Secundaria
B 10
ß
33
PROBLEMAS PROPUESTOS ß
01.
12
d) 19
En el cuadrilátero, calcular el lado AD
06.
B
A
a) 8 d) 11 18.
C
T
b) 9 e) 12
AP(P en BC)
5 /3cm
c) 3
5
02.
es igual al
b) 2 cm e) 8/3
En
5
En el triángulo mostrado, calcular la medida del ángulo ß.
07.
c) 5/3 cm
a) 15° d) 60° 03.
figura,
A
C
04.
B
E
b) 24m e) 14m
2 ß
Hallar BD
c) 18m
b) 30° e) 75°
a) 17
2 /2
d) 34
3 / 3 e) F.D
b) 17/2
c) 34
a) 6
2 cm
d) 4
2 cm
b) 8
2 cm
c) 3 cm e) 5 cm
En un triángulo acutángulo ABC, el lado AB =17 cm y el lado BC = 16 cm. Hallar la medida de AC si su proyección sobre BC es 6 cm b) 12 cm e) 13 cm
Dos autos parten del mismo punto recorriendo calles distintas a diferentes velocidades . ¿ Cuántos kilómetros han recorrido cada auto si encontrándose a 80 Km de distancia uno del otro, uno de ellos avanzó 16 km más que el otro?
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 150
08.
a) 32 Km, 48 Km b) 40 Km, 56 Km c) 48 Km, 64 Km d) 56 Km, 72 Km e) N.a Juan y Carlos parten del punto “P” con la misma velocidad. Juan va por la pista “A” y Carlos por la “C”. Cuando Carlos termina de recorrer la pista “C”, Juan a recorrido la pista “A” y la mitad de la pista “B”. La menor pista es : P
11.
7
S4GE32B
b) B e) N.a
b) 17 m e) N.A
c) 13 m
b) 17 m e) N.A
c) 13 m
Un “pisapapeles” está sobre una mesa rectangular a 4 cm de un borde de esta y 3 cm de otro consecutivo al primero. La distancia del objeto a una esquina de la mesa será :
B
a) A d) B y A
c) 8 14
La hipotenusa y el cateto mayor de un triángulo rectángulo son dos números enteros consecutivos. Si el otro cateto es igual a la mitad del cateto mayor disminuido en 2 m, hallar la longitud de la hipotenusa. a) 25 m d) 10 m
13.
b) 7 e) 2
La hipotenusa y el cateto mayor de un triángulo rectángulo son dos números enteros consecutivos. Si el otro cateto es igual a la mitad del cateto mayor restado en 10 m, hallar la longitud de la hipotenusa.
a) 3 cm d) 5 cm
C
A
c) 2 m
En el trapecio ABCD ( BC / / AD ) las diagonales se cortan perpendicularmente y luego se traza la altura BH . Hallar dicha altura si : BC =6 , AD =9 y a) 6 d) 2
12.
c) 15 cm
c) 15
b) 1,5 m e) 4 m
a) 25 m d) 10 m
En un triángulo rectángulo la distancia del incentro a los extremos de la hipotenusa miden 13 y 2 26 . Calcular la medida de la hipotenusa. a) 17
La base mayor de un trapecio mide 8 m; sus diagonales son ortogonales y miden 6 m y 8 m. Hallar la base menor.
AH =1
2 /3
c) 45°
Se da un triángulo ABC, cuyos lados AB, AC y BC miden 8 cm, 6 cm y 10 cm respectivamente. Hallar la proyección de AB sobre la bisectriz interior del ángulo A
a) 10 cm d) 12,5 cm 05.
S4GE32B
c) 6
C
3+1
PC ,
la
a) 21m d) 16m
b) 4 3 e) 19
2
AB +DE =7 cm y AE =25 cm
D
O B
5 /2 cm
entonces AP mide :
20.
10.
D
En un triángulo ABC, de lados AB =5 cm , BC =6 cm AC =4 cm .Si la bisectriz interior
a) 10/3 cm d) 3 cm
C
a) 4 5 d) 15
09.
a) 1 m d) 3 m
10
a) 3 5 /2cm b) 2 cm d) 5 cm e) 5 19.
e) 13
A
A
En un triángulo ABC recto en B, hallar la longitud de la bisectriz trazada desde el vértice A, sabiendo que AB =3 cm y AC =5 cm .
4to. Año Secundaria
En el dibujo, hallar la proyección de OC , sobre AO , si OC =17 cm .
3 5
5
c) 10
GEOMETRÍA
34
c) A y B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
b) 4 cm e) N.A
c) 3,5 cm
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 14.
Internamente a un cuadrado de lado 5 cm ubicamos el punto “P”. Si las distancias de este punto “P” a dos lados consecutivos del cuadrado son de 2 cm y 1 cm, calcular la suma de las distancias del punto “P” a los vértices del cuadrado. a) 7
b) 3
5
c) 5 + 3
5 +
e) 5 + 5 15.
10
5 +
5 +2
10
d) 10
2
c) 9,6
b) 9 cm e) 13 cm
05.
02.
3
03.
b) 30 e) N.A.
A
a.b = c.d
θ x 10
a) 12 d) 9
b) 10 e) 13
c) 8
10
a) 22 d) 18
b) 23 e) 19
C
a) 2 04.
3
C
2a
H
b) 3
6
c) 6
2
3 d) 5 3 e) 4 Un arco de circunferencia tiene una cuerda de 2 dm y una flecha e 2 cm. El radio medirá.
S4GE32B
8
c) Teorema de la Tangente :
m
x
B 10
c) 21 a) 4,12 d) 3,05
b) 3,16 e) 2,96
b
c) 3,24
C
a)
31
d)
33
m m
b)
3
e) 2
m c) 4
3 7
2
m
APENDICE : a)
m R
a) 6 b) 7 c) 5 d) 8 e) 4 08. Hallar la longitud de la bisectriz. BD en la figura.
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
x
x = 2 Rr
r
b) S4GE32B
x2 = ab
a
10. Los lados de un triángulo son 8, 10 y 14 metros, respectivamente. Hallar la longitud de la mediana respecto al lado mayor. 6
M 10
ab = cd
d
A
B
A
b
c
4
a
a
5 a+6
d
b) Teorema de Secantes :
18
a
c b
11
B
8
A
3 b) 4
a
09. En el gráfico hallar: “m”
07. En la figura, hallar BM
Según el gráfico. Hallar BC: B
4 22 a) 23 4 15 c) 3 5 11 e) N.a. d) 3
θ θ
A
a) Teorema de cuerdas :
C
D 20
5
B
B
c) 45
RELACIONES MÉTRICAS EN LA
16
6
En un triangulo rectángulo la hipotenusa mide 15m y la altura 6m. Hallar la longitud del cateto menor.
a) 15 d) 5
4to. Año Secundaria
c) 26 cm
06. Hallar AC
a) 5 b) 5 3 c) 3 5 d) 3 e) N.A. En un triángulo rectángulo, recto en B, se traza la altura BH . Si AH = 9, HC = 16; calcular la longitud del cateto AB .
GEOMETRÍA
Hallar la hipotenusa:
TAREA DOMICILIARIA 01.
34
6
10
b) 9,8 e) N.A.
33
B
a) 18 cm d) 20 cm
θ
los lados de un triángulo rectángulo se encuentran en progresión de razón igual a 4. Hallar la altura relativa a la hipotenusa. a) 10 d) 9,4
4to. Año Secundaria
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to. Año Secundaria 03.
x
x =
L 16
L
04.
c) x =
R 3
x
R
b) 11 cm e) 14 cm
R
05. Si AE es a EB como 2 es a 5 y CE.ED =160, hallar AE A E
06.
B
d) 24 08.
02.
c) 4 cm
Se prolonga el diámetro AB =10 cm de una circunferencia un segmento BD =8 cm . Calcular la media de la tangencia trazada a dicha circunferencia por D. b) 8 cm e) 5 2 cm
09.
11.
c) 12 cm
H
a) 4 d) 5,5 07.
B
12.
b) 5 e) N.a
c) 6
D
a) 2 d)
R
5
d) 4
e) 2
2
S4GE32B
c)
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 8
2
5 cm 5 cm
c) 16 S4GE32B
e) N.a
=90 o . En la figura hallar r, si ACB
B R = 12 1
C
a) 3 d) 6
c) 5 3 . Hallar ACB
3 , r2= 12
==90 o , si B r2
A C r 1
a) 30° d) 53°
5 / 5cm
c) 1/5 cm
e) 1 cm
R =3 2
b) 4 e) 7
15. Si r1 = 18
D
b) 2
2 cm
r
c) 72 cm
Se tienen dos circunferencias de radio 3 cm y 5 cm. Se dibuja una cuerda sobre la mayor que es trisecada por la menor como se muestra . Hallar la longitud de dicha cuerda.
5
a) 12
d) 8
c) 6
2
B
A
C
13.
2 cm b) 4
A
M
E
En la figura; hallar R
a) 2
En el cuadrado ABCD mostrado, M es punto medio del lado y BC . Calcular . AB =4 cm ME
C
R
b) 2
b) 48 cm e) 60 cm
B
8
a) 3
Hallar el perímetro de un triángulo rectángulo, si se sabe que altura relativa a la hipotenusa mide 12 cm. y determina en ella segmentos que son entre sí como 9 es a 16.
B
C A
a) 1/3 b) 2/3 c) 3/2 d) 3 e) 3/4 La razón entre los catetos de un triángulo rectángulo es de 2 : 3, entonces la razón entre los segmentos determinados sobre la hipotenusa al ser trazada la altura es de: a) 4/9 b) 5/4 c) 5/9 d) 8/9 e) 2/3
a) 30 cm d) 54 cm
Hallar BC , si AC = 16 cm y TC = 8 cm. (T es punto de tangencia)
T
O
14.
c) 8
Hallar AC , si AH = 2 , HB =3 y HD =6 .
O´
x
D
b) 6 e) N.A
Hallar “x”, si O centro de la circunferencia mayor OT =2 3 y OO′ =9
T
A
a) 4 d) 10
4to. Año Secundaria e) 30
c) 12 cm
b) 3,5 cm e) N.A
a) 10 cm d) 9 cm
C
GEOMETRÍA
34
En una circunferencia se dibujan dos secantes : ABQ y CDQ . Si AB =4 cm , y QB =5 cm . CD =12 cm Calcular QD a) 3 cm d) 4,5 cm
PRACTICA DE CLASE 01.
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia, se dibujan las secantes PAB y PCD. Si AB =3 cm , AP =4 cm y CP =2m . Calcular la medida de CD . a) 10 cm d) 13 cm
L
33
16.
r
3
b) 60° e) 45°
c) 37°
En un cuadrado ABCD, haciendo centro en el vértice D se traza el arco AC que corta a AM en el punto E. (“M” punto medio de BC ). Si BC
= 2
5
cm. Hallar
EM
a) 5 cm b) 2 5 cm c) 5/2 cm d) 1 cm e) 2 cm 17. Interiormente a un cuadrado ABCD se dibuja una semicircunferencia de diámetro
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to. Año Secundaria
ED
a) 2a d) a/4
b) a e) 4a
En
la
figura
01.
c) a/3
hallar
AF ,
M
si
D
A
05.
B
D E
a) 1 d) 1,5 19.
b) 2 e) 1, 2
Hallar “x”, si R = 3 + 2
C
a) 5m d) 20 c) 3
02.
2 .
b) 10 e) 1
03.
En
el
triángulo
20.
b) 1/4 e) 1/5
c) 1
rectángulo ABC: m, siendo PQRS
2
06.
3
a) 2 -
2
b) 3 -
d) 5 -
2
e)
a) L/8 d) 2L/7
b) L/4 e) N.A
c) L/16
A
P
a) 1 m d) 2
)4-
2
04.
2
09.
-1
2
C
c)
E
4
C
En el triángulo acutángulo ABC, hallar si AC es el diámetro del MN semicírculo mostrado, además AM = 7m.
D
07.
la
7
b)
8
d)
13
e)
14
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
a) 2 m d) 8 10.
c)
= 8.
B
MC
b) 4 e) N.a.
c) 6
En el círculo de centro “O”, PC = 5m, ˆ ˆ PE = 2m, P =2 P C E . Calcular el radio del círculo.
11
C
Siendo BC =5, CD =4 , , FC = 4. Hallar AB .
S4GE32B
tangente
si BM . MC
A
x A
a)
c) 3
Calcular
5 α
EF =2
R
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
2α E
O
a) 2 m S4GE32B
A
B
2
2
e) 4
D
P
b) 2 c) 6
AM,
6 S
b) 2 2
a) 1 m d) 1,5
B
F
c) 3
B
Siendo BC = 2m, EF = 6m, ED = 4m. Calcular: AB .
R
C
Calcular la cuerda común AB siendo: CD =PB , AP = 1m.
2 O
4
C
3
O
Tomando como centros los vértices A y D de un cuadrado ABCD se dibujan cuartos de circunferencia. Si la intersección de estas es el punto E, hallar el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo mixtilíneo BEC. (El cuadrado tiene lado L).
08.
D
b) 2 e) 5
C
B
a) 1/2 d) 1/3
a) 1 m d) 4
c) 15
x
un cuadrado de centro “O”. Hallar OB .
Q
F
A
c) 6
BQ +BR =2
R
b) 10 5 e)
c) 15
b) 3 e) 12
E 2
C
O
En el cuadrante AOB, hallar AC siendo: BC = 2m, AO =OB = 3m
En el triángulo escaleno ABC: B = 60° AB +BC =3 3 m, “O” es el baricentro del triángulo equilátero ACD, hallar OB . a ) 1m d) 9
x
4
25
a) 5 m d) 20
C
15
5
B
C
x
7
B
AF = FB
F
A N
En el cuadrado ABCD mostrado: AE +EC = 10 2 . Hallar ED : F
BC =1 y CD =3 A
4to. Año Secundaria
EJERCICIOS PROPUESTOS
A
18.
GEOMETRÍA
34
B
CD . La tangente trazada por B corta a
AD en el punto E. Si AB =a , hallar
33
b) 4
2
P
c) 6
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d) 8 11.
4to. Año Secundaria
33
GEOMETRÍA
34
4to. Año Secundaria
e) 10
En el cuadrilátero de
5
Calcular
=
CD, si MC
ß
m de radio.
B C
A
5
D
F 3
a) 1 d) 2, 5
5
5
M
C
5
b) 1, 5 e) 3
a) 8 d) 14
c) 2 03.
15. Calcular BC Si AB = 3 y CD = 4 A
a) 1 m d) 4 12.
b) 2 ed) 5
c) 3 B
Siendo AM la mediana del triángulo ABC, AE = 4m, EB = 6m, CF = 3m. Hallar AF .
C
A 4 E
b) 2 e) 4
04.
c) 2, 5
F
6
3
B
M
a) 12 d) 19 13.
a) 1, 5 d) 3
x
b) 15 e) 21
C
c) 17
En la figura calcular “r”, si: PQ = 1, QR = 4 y R = 6.
TAREA DOMICILIARIA 01.
Desde un punto B se traza una tangente BA y una secante BCD a una circunferencia, de tal manera que BA = 8 m y BC =4m . Calcular la cuerda DC . a) 12 m d) 9 m
O
b) 11 m e) 8 m
b) 10 e) 16
05.
b) 10 e) N.A
6
b)
d) 4
6
e) N.A
a) 1 d) 5
14.
Q
R
b) 2 e) 0,5
c) 4
02. En
la
figura, AB.BC − AM.MC , BD =8 y BC =18 .
b) 25/4 e) N.a
A R
08.
a) 2 d) 8
b) 3 e) N.a
c) 4
Hallar
BC
c) 4 A
Q
c) 2/3
E
C
09. B
D
O
b) 4 e) N.a
c) 7
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la secante PAB y la tangente PC . Por los puntos A y B se traza otra circunferencia que intersecta a PC en el punto M y a la prolongación de PC en el Punto N. Hallar CN sabiendo que 2
MC =MP, BC. AC =18 y BC
Calcular DE “El nuevo símbolo de una buena educación....”
S4GE32B
,
P
B
a) 3 d) 7
b) 3 e) N.a
B
PD =3, CD =4 y PE =7
c) 10 m
0
M
a) 2 d) 5
A
hallar si
c) 35/2
07. Calcular el radio de la circunferencia . Si AO =OB =8, OM =MB
En la figura, hallar AQ, si AO = diámetro AO =OB y AP =2
Si AB = 5; BC = 2 y CD = 1
S4GE32B
a) 25/2 d) 35/4
O
6
P
P
B
O
c) 20
En un triángulo ABC AB.BC =24 . Se t raza la bisectriz interior y la mediana BM ; si BD BD =DM . Hallar AC . a) 2
2
A
c) 12
En un triángulo ABC se traza la mediana y la bisectriz BM BF , la circunferencia circunscrita al triángulo BMF corta a los lados AB y BC en D y E respectivamente . Si AD =10m . Calcular CE . a) 5 d) 15
D
R
C
M
A D
ß
D
E A
B
06. Hallar “R”
B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
2
−AC
=3
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 3 d) 12 10.
b) 6 e) N.A
R
d)
b) 3
2
e) N.a
c) 2
33
34
GEOMETRÍA
4to. Año Secundaria
SOLUCIONARIO
c) 9
De la figura calcular el radio de la circunferencia si el lado del cuadrado es (2 2 )
a) 1
4to. Año Secundaria
Nº
Ejercicios Propuestos 01
02
03
04
01.
B
B
A
B
02.
A
C
B
B
03.
D
A
D
B
04.
B
C
C
C
05.
D
A
E
C
06.
C
D
A
E
07.
A
B
C
C
08.
A
E
A
C
09.
C
D
C
E
10.
A
C
E
B
11.
C
B
A
C
12.
C
D
C
C
13.
D
A
D
C
14.
C
D
C
B
15.
C
C
C
B
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003
S4GE32B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
S4GE32B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."