COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN IV
5to Año Secundaria
39
EL POSTULADO DE LA UNIDAD (área del cuadrado) El área de una región cuadrada, es igual al cuadrado de la longitud de su lado.
REGIÓN Denominamos región poligonal a la reunión de todos los puntos de un polígono con todos los puntos de su interior. Por ejemplo, una región triangular es la reunión de un triángulo y su interior.
l
Aa
l
l
UNIDAD DE ÁREA Es la medida de un cuadrado cuyo lado es la unidad de longitud empleada. En la vida diaria, el área se mide por el metro cuadrado m2; es decir, un cuadrado de lado igual. A un metro. ÁREA DE UNA REGIÓN POLIGONAL Expresamos el área de una región poligonal por medio de un número real positivo que le corresponde como medida. Éste indica el número de veces que la unidad de área está contenida en la región poligonal. EL POSTULADO DE ADICIÓN DE ÁREAS Si dividimos una región poligonal en dos o más regiones, entonces, su área total, es igual a la suma de las áreas de todas sus regiones parciales. En la figura,
a2
a3
a1
atotal = a1 + a2 + a3 S5GE34B
A = ι2 Denotaremos el área de una región poligonal por el símbolo A y para abreviar, nos referiremos simplemente: el área del cuadrado, el área del rectángulo, el área de un triángulo, etc. En cada caso. Entendemos desde luego, que se trata del área de la región correspondiente. TEOREMA DEL ÁREA DEL RECTÁNGULO El área de un rectángulo, es el producto de las longitudes de sus dos lados a los cuales llamaremos base (al lado mayor) y altura (lado menor). Hipótesis: Sean los rectángulos sombreados de iguales dimensiones. b
h
b
b
2
A
b
h
A
h
2
h
b
h
Tesis: A = b – h Demostración: Paso 1: Las áreas de los dos cuadrados de la figura son b2 y h2 (Por el postulado anterior). Paso 2: El área de toda la figura es (b+h)2 Paso 3: También, de la figura, podemos observar que su área es b2 + 2ª + h2 b2 + 2A + h2 = (b + h)2 (del paso 2 y 3) b2 + 2A + h2 = b2 + 2bh + h2
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
GEOMETRÍA
5to Año Secundaria
Paso 4: Finalmente, simplificando la igualdad anterior. A = b.n
Sea el ∆ NMK M
TEOREMA DEL ÁREA DEL PARALELOGRAMO El área de un paralelogramo, es igual al producto de las medidas de su base y altura. Hipótesis: Sea el paralelogramo NLCR. I
l
Podemos decir, también que una región poligonal es la figura plana que se forma al reunir un número finito de regiones triangulares.
40
E
L
C
G
h N
Tesis: A =
E
K
b
b.h 2
Demostración:
h
Paso
1:
Trazo
MG / / NK y GK / / MN
N
b
R
Tesis: A = b.h Demostración: Paso 1: Trazo y prolongo LC hasta I (Construcción auxiliar). NI ⊥ LC; RE ⊥ LC
Paso 2: NIL ≅ REC ( NI ≅ER , lados opuestos del rectángulo NIER y NL ≅CR , lados opuestos de un paralelogramo). Paso 3: ANICR = ANIL = ANICR – AREC (De la figura, A significa área y los subíndices) se refieren al polígono. Paso 4: Es decir, ANLCR = ANIER (Simplificando la igualdad anterior). Paso 5: Pero ANIER = A = b.h (Teorema anterior) finalmente, de los pasos 4 y 5.
Paso 2: ∠ GMK ≅ ∠ MKN y ∠NMK ≅ ∠ MKG Paso 3: ∆ NMK ≅ ∆ MGK Paso 4: A NMK + AMKG = ANMGK Paso 5: 2ANMK = ANMGK Paso 6: ANMK = A =
S5GE34B
y como
ANMGK=A=b.h Paso 7: Finalmente, A =
b.h 2
TEOREMA DEL ÁREA DEL TRIÁNGULO EQUILÁTERO El área de todo triángulo equilátero, es igual al cuadrado de la longitud de su lado, multiplicado por la cuarta parte de la raíz de tres. I
A = b.h
l
l
TEOREMA DEL ÁREA DEL TRIÁNGULO El área de cualquier triángulo, es igual al semiproducto de la longitud de su base por la longitud de su altura. Hipótesis:
A NMGK 2
N
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
1 2
C
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN A=
ι2 3 4
TEOREMA DEL ÁREA DEL ROMBO Para hallar el área del rombo, multiplicaremos las medidas de sus diagonales y a este resultado lo dividiremos entre 2.
L
C
N
d 1 .d 2 2
TEOREMA DEL ÁREA DEL TRAPECIO El área de un trapecio, es igual al producto de la longitud de su altura por la longitud de la mediana.
b1
I
L
10 = h
C
b2
Todos estos teoremas deben ser demostrados por el alumno. EJERCICIOS RESUELTOS
Reemplazando el valor de h en la ecuación (II). b = 5(h) = 5(10) = 50 Finalmente, las dimensiones del rectángulo son base 50 cm y altura 10cm. 03. El área del un terreno de forma cuadrada mide 900m2. si se desea cercar todo el terreno, ¿cuántos metros de alambre necesitamos? Solución: Dato: A = 900m2 (área del cuadrado)
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GEOMETRÍA
5to Año Secundaria
Sabemos que el área del cuadrado
Del segundo dato:
h=
2
A= ι ... (I) Reemplazando el dato en la ecuación (I) y resolviendo 900 = ι 2 extrayendo raíz cuadrada. 30 =
ι
b 5
Finalmente, necesitamos 120m de alambre.
Extrayendo raíz cuadrada
18 000 =
1 2 b 5
90 000 = b2 300 = b
Reemplazando el valor del b en la ecuación (II). h=
b 5
h=
300 ⇒ h = 60 5
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01 01. El área de un rectángulo es 300m 2. Encuentre las longitudes de sus lados, si su base es el triple que su altura.
300 = b(6)
300 =b 6
... (II)
18 000 = (b)
Efectuando
04. Si el área de un paralelogramo es de 300cm 2 y la longitud de su altura mide 6cm. Encuentra la longitud de su base. Solución: Datos: A = 300cm2 (área del paralelogramo) h = 6cm (altura) Por teoría, área del paralelogramo A = b.h ... (I) Reemplazando los datos en la ecuación (I) y resolviendo.
b 5
Reemplazando el valor de A, la ecuación (II) en la ecuación (I) y resolviendo: A=b.h
Para cercar el terreno necesitamos conocer el perímetro del terreno. Recordemos: Perímetro del cuadrado P = 4 ι Reemplazando valores, = 4(30) Resolviendo =120
100 = h2 extrayendo la raíz cuadrada
b1 + b 2 A = h 2
S5GE34B
02. La medida del área de un rectángulo es 500cm2, si la longitud de su base es cinco veces la longitud de su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones? Solución: Datos: A = 500 (área del rectángulo) b = 5h (relación entre base y altura) Sabemos que: A = b.h ... (I) Y del segundo dato b = 5h ... (II) Reemplazando el valor de A y la ecuación (II) en la ecuación (I). 500 = (5h) (h)
40
500 =h2 5
h N
01. Encuentre la longitud de la base de un rectángulo, si su altura mide 12m. y su área es de 384m2. Solución: Datos: A = 384 (área del rectángulo) h = 12 (altura del rectángulo) Por teoría, área del rectángulo A =b.h reemplazando datos en la igualdad anterior y resolviendo. 384 = (12) (b)
Finalmente, la longitud de la base es 32m.
d1
A=
39
384 =b = ⇒ b = 32 12
d2 I
5to Año Secundaria
Simplificando
50 = b Finalmente, la longitud de la base del paralelogramo es 50cm. 05. Si el área de un paralelogramo es 18 000m2. Además, su altura es
1 5
de la base.
Encuentre sus dimensiones. Solución: Datos: A = 18 000 (área del paralelogramo)
h 1 = (relación entre altura y base) b 5 Por teoría,
S5GE34B
A = b.h
... (I)
a) 10m; 30m
b) 15m; 25m
d) 15m; 30m
e) N.a
c) 20m; 30m
02.El perímetro de un rectángulo es de 140m. y su diagonal mide 50m. Encuentre su área. a) 1 200m2 d) 1 500m2
b) 1 300m2 e) 1 600m2
c) 1 400m2
03. El solar de una casa tiene 64. de largo por 36m de ancho ¿Cuántas locetas cuadradas de 40cm de lado se necesitarán para cubrir el piso?
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 16 000 d) 14 000
b) 17 000 e) 14 500
a) 768cm d) 678cm2
b) 770cm e) N.a
2
c) 778cm
2
a) 1 100m d) 1 300m2
b) 1 150m e) N.a
c) 60cm; 180cm
2
c) 1 200m
2
06. El área de un rectángulo es 714,05m 2. Al aumentar su ancho en 6m y quitarle esta misma cantidad a su base, su área aumenta en 6m2. Encuentre las dimensiones del rectángulo. a)20,45m; 30,46m c) 21,46m; 30,46m e) N.a
b) 23,45m; 30,45m d) 20,45m; 30,40m
07. Si un cuadrado tiene su diagonal igual a 30 2 m ¿Cuál será su área? a) 899m2 d) 902m2
b) 900m2 e) 903m2
c) 901m2
08. El área de un cuadrado es 100m 2. si sobre al diagonal de éste se construye otro cuadrado. ¿Cuál será su área? a) 100m2 d) 400m
2
b) 200m2
c) 300m2
e) N.a
09.El área de un cuadrado es 180m 2. Encuentre el área de otro cuadrado, cuya diagonal mida diez veces el lado del primero. a) 8 000m2
b) 9 000m2
d) 7 000m2
e) N.a
S5GE34B
10.Si las longitudes de un rectángulo son 270cm. De largo por 30cm de ancho. ¿Cuántos cm. Habrá que aumentar al ancho y cuántos disminuir al largo para que resulte un cuadrado de igual área? a) 50cm; 160cm
05. En un rectángulo, sus lados son como 3 es a 4 y la suma de sus longitudes es 20m mayor que la longitud de la diagonal. Encuentre su área. 2
39
c) 15 000
04. Si la base de un rectángulo es 16cm menos que el doble de su ancho. Encuentre su área, si su perímetro es de 112cm. 2
5to Año Secundaria
a) 25,31m; 55,31m c) 26,31m; 55,31 e) N.a
b) 25,32m; 55,32m d) 26,32m; 55,32
b) 400m2
d) 200m2
e) N.a
c) 300m2
3 correspondiente mide los 5
de la base.
b) 1512,1m
2
e) N.a
2
b) 650m2
d) 670m2
e) N.a
d) 125
2 3 m e) N.a
2 3 m c) 126
2 m
17.El área de un triángulo es 360m2. La suma de las longitudes de su base con su altura respectiva es 78m. Encuentre estas longitudes. a) 67,3m; 10,5m
b) 67,3m; 10,7m
c) 68,3m; 10,5m
d) 68,3m; 10,7m
21. Encuentre la longitud de la altura de un triángulo equilátero de área igual a 54 3 m2?
d) 6
2
b)8
2
e) N.a
c) 1512,2m
c) 660m2
c) 260cm2
a) 388,80m d) 388,86m2
b) 388,82m e) N.a
2
a) 253
2 3 m b) 254
d) 256
2 3 m e) N.a
c) 388,84m
S5GE34B
2 m
b) 11
2 m
c) 12
2 3 m c) 255
2 3 m
23. Si el área de un paralelogramo es de 366m 2 y su base mide 15,25m. Encuentre la longitud de su altura. b) 24m e) N.a
c) 25m
a) 25,33m
b) 25,34m
d) 25,36m
e) N.a
c) 25,35m
25. Los lados consecutivos de un paralelogramo miden 22m y 70m, respectivamente. Si su diagonal menor mide 90m. Encuentre su área. a) 360,12m2
b) 360,11m2
d) 363,11m2
e) N.a
c) 363,12m2
2
20.Encuentre la longitud del lado de un triángulo equilátero, si su área es de 72 3 m2. a) 10
2
24. La altura de un paralelogramo es de 30m y su área es de 760,2m2. Encuentre la longitud de su base.
19. Los lados de un triángulo son 3 números enteros consecutivos. Si su perímetro es 90m. y la altura del lado mayor mide 25,086m. Encuentre su área. 2
c) 7
2
22. Si un triángulo equilátero tiene una altura de longitud 16 3 m. Encuentre su área.
a) 23m d) 26m
18. En un triángulo isósceles, sus lados congruentes miden 26cm y su base 20cm. Encuentre su área. b) 240cm2 e) N.a
e) N.a
2 3 m
2
14. ¿Cuál será el área de un triángulo rectángulo, si su hipotenusa mide 40 2 m y uno de sus catetos es el doble de otro? a) 640m2
2 3 m b) 127
a) 220cm2 d) 280cm2
Encuentre su área. 2
a) 128
e) N.a
13. La base de un triángulo es 71m y su altura
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a) 500m2
d) 13
c) 18cm
12.El área de un rectángulo es 1 400m2. si a su base le aumentamos 20m y a su altura 50m, entonces resulta un cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
c) 10 000m2
15.Si en un triángulo rectángulo isósceles su hipotenusa mide 20 2 m. Encuentre su área.
a) 9
d) 60cm; 190cm
b) 17cm e) N.a
d) 1512,3m
5to Año Secundaria
16.La hipotenusa de un triángulo rectángulo forma con el cateto mayor, que mide 16 3 m, un ángulo de 30º. Encuentre su área.
11.Si a los lados de un cuadrado le agregamos 6cm y 9cm. Entonces su área se duplica. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?
a) 1512,0m
GEOMETRÍA
b) 50cm; 170cm
e) N.a
a) 16cm d) 19cm
40
2 m
26. Los lados consecutivos de un paralelogramo miden 34m y 15m respectivamente. El lado de 15m determina con su base un ángulo de 30º. Encuentre el área del paralelogramo. a) 255m2
b) 260m2
d) 270m2
e) N.a
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
c) 265m2
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5to Año Secundaria
39
40
GEOMETRÍA
5to Año Secundaria
33.El perímetro de un rombo es 272m. la 27.Si la diagonal mayor de un paralelogramo es de 35,6m y dos de sus lados consecutivos miden 16m. y 24m. respectivamente. Encuentre su área. a) 316,31m2
b) 316,32m2
d) 316,34m2
e) N.a
c) 316,33m 2
28. En un paralelogramo, su diagonal menor mide 58cm y su base 72cm. Encuentre su área, si el ángulo que forma la diagonal menor con el lado más pequeño es de 90º a) 2447,33cm2
b) 2447,34cm2
c) 2447,35cm2
d) 2447,36cm2
diagonal menor es los
8 de la mayor. 15
Encuentre el área. Del rombo. a) 3820m2 d) 17 500
b) 3840m2 e) N.a
c) 3860m2
34. Si una de las diagonales de un rombo mide 10m más que la otra. Encuentre la longitud de cada diagonal, si el área del rombo es 336m2. a) 21,3m; 31,3m c) 21,5m; 31,5m e) N.a
b) 21,4m; 31,4m d) 21,6; 31,6
35.Si los lados de un rombo miden 10
29 m y
e) N.a la relación entre sus diagonales es 2
29.El área de un rombo es 90m , si una de sus diagonales mide 15m. ¿Cuál es la longitud de la otra diagonal? a) 12m d) 15m
b) 10m e) N.a
c) 14m
30.La diagonal mayor de un rombo mide 6m más que la otra. Encuentre sus longitudes, si el área del rombo es 340m2. a) 22,25m d) 25,25m
b) 23,25m e) N.a
c) 24,25m
31. En un rombo, sus diagonales están en la relación 5 a 12. Encuentre su área, si su perímetro es 52m. a) 110m2 d) 100m2
b) 130m2 e) 120m2
c) 150m2
32. La relación de las diagonales de un rombo es como 8 es a 10 y la diferencia de sus longitudes es 4m. Encuentra su área. a) 160m2 d) 100m2 S5GE34B
b) 120m2 e) N.a
c) 170m2
2 . 5
TAREA DOMICILIARIA 01. Los lados AB y BC de un triángulo isósceles ABC miden 20, el lado AC mide 24, se trazan CP , tal que BP =5 y AF (F en PC ), tal que PF = 2 FC. Calcular el área APF. a) 48 b) 72 c) 96 d) 108 e) N.a. 02. En un triángulo isósceles ABC, AC = BC; se traza la mediana BM y la altura CH intersectándose en F. Calcular el área AHFM, si el área del triángulo ABC es 72m2. a) 6m2
b) 12m2
d) 36m2
e) N.a.
c) 24m2
Encuentre el área del rombo. a) 1 000m2 d) 4 000m2
b)2 000m2 e) N.a
c) 3 000m2
36. El perímetro de un rombo es 180m y la suma de sus diagonales es 152m. Encuentre su área. a) 3750m2 d) 3756m
b) 3752m2 e) N.a
c) 3754m
37. El perímetro de un rombo es 68m y la diferencia de sus diagonales es 18m. Encuentre su área. a) 206m2 d) 204m2
b) 208m2 e) N.a
03. El área de un triángulo es 60m 2. Calcular el área del triángulo que tiene por vértices los puntos medios de dos lados y el baricentro del triángulo. a) 5m2 d) 15m2
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 90m e) N.a
c) 12m2
BD ED 1 = = ; BC AD 4
04. En la siguiente figura,
sABC= 16m2. Calcular SAEC.
a) 70 d) 150
2
b) 150 e) N.a.
c) 300
06. En un triángulo ABC, se trazan la mediana AM y la bisectriz BF intersectándose en P, si el área APB es 10m 2; AB=5m y BC=6m. Calcular el área ABC. a) 16m2 d) 64m2
b) 32m2 e) N.a.
c) 48m2
07. En un triángulo PQR, la mediana PM y la altura QN se intersectan en O, tal que
S QOM ON 3 = . Calcular QN 8 S PQR
1 5 1 d) 8 a)
1 6 1 e) 9 b)
c)
1 7
08. El área de un triángulo ABC es 30cm2. se traza la bisectriz interior BD , de tal modo que AD =3m y DC=7m. Calcular el área del triángulo ABD a) 5m2 d) 15m2
A
c) 202m2
b) 9m2 e) N.a.
c) 12m2
09. El área de un triángulo ABC es 10m 2, los lados AB y AC miden 4m y 6m respectivamente; se traza la bisectriz interior AF . Calcular el área del triángulo AFB.
38. La diagonal de un rectángulo mide 50m. si su área es equivalente a la de un rombo cuya diagonal menor es igual a la altura del rectángulo y mide 30m. Encuentre la longitud de la diagonal mayor de rombo. a) 80m d) 60m
b) 10m2 e) N.a.
05. El área de un triángulo ABC es 30, AB=10, BC=8; se traza la bisectriz exterior BF . Calcular el área ABF.
E B
C D
c) 70m a) 5m2 d) 12m2 S5GE34B
b) 8m2 e) N.a.
c) 10m2
a) 2m2 d) 8m2
b) 4m2 e) N.a.
c) 6m2
10. En un cuadrilátero ABCD, AB=3m, CD=5m; AD=6, y AC=7m. Calcular el área de la región triangular ABC, si m∠BAC=m∠CDA
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2 6 m
a)
b)
6 2 m 2
5to Año Secundaria B
c)
2 6
P
B S1 S3
P
C
C
D
D
b) 5m2 e) 6m2
c) 7m2
a)
14. Calcular el área de la región sombreada, si BM=MC; I es incentro del triángulo MCD, AB=8m, AD=12M. B
C
M
a2 8
A
a) 16m2 d) 12m2
D
b) 18m2 e) N.a.
c) 20m2
15. El área del rectángulo BEFG es 50m2. Hallar el área de la región sombreada HFID. B
B
a2 d) 5
E
a2 7
F
b) 24cm2 e) 30cm2
C
b) 80m2 e) N.a.
c) 40m2
18.Hallar el área de la figura sombreada, si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 60cm y el lado del cuadrado pequeño EFGH mide 12cm.
c) 25cm2
13.Halle Sx, si ABCD es un paralelogramo S1=4m2; S2 =10m2.
2
a) 40m d) 70m2
41 2 m 4 43 2 d) m 4
45 2 m 4 47 2 e) m 4 b)
c)
17 2 m 4
20. ABCD es un rectángulo cuyo largo es el doble del ancho, siendo P y Q puntos medio de los segmentos y CO , BO respectivamente. Calcular el área de la figura sombreada, si PQ mide 2 2 m B
C Q
P
B
I
O A
F
H
G A
D 2
b) 50m e) 80m2
c) 60m
2
16. En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado de lado a , donde M es punto medio de CD . Calcular el área de la región sombreada.
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
D
P
C
F
A
A
a)
E
A
S5GE34B
a2 6
17. En un trapezoide ABCD,BD = 16m y la proyección de la diagonal AC Sobre una recta perpendicular a BD en D mide 10m. Calcular el área del trapezoide.
H
a) 20cm2 d) 26cm2
c)
e) N.a.
E G
Q
A
b)
a) 160m2 d) 120m2 e) N.a.
R
T S
A
a) 3m2 d) 9m2
C
P
C
12. En el gráfico, BC=5cm y EF=3cm, si el área de las región cuadrangular EFCB es de 16cm2. Hallar el área de la región triangular ABC.
B
M
I
b) S3=2S1+S2 d) S3>2(S1+S2)
5to Año Secundaria B
S2
S2
a) S3=2(S1+S2) c) S3<2(S1+S2)
GEOMETRÍA
Sx
3 6 2 d) m e) N.a. 2 11. En el gráfico, ABCD es un cuadrado, siendo S1, S2 y S3 las áreas de las regiones sombreadas. Decir que relación se cumple.
D
40
S1
m2
A
39
a) 1256cm2 d) 1656cm2
D b) 1512cm2 e) N.a.
a) 5m2 m2 d) 5 2 m2
c) 1556cm2
19. En la figura hallar el área del cuadrilátero PQRS, si AB=12m y BC=9m. T es punto medio de AB , P es punto medio de AD .
S5GE34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
D
b) 7
2 2 m
e) 6
2 2 m
c)
11
2
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
ÁREAS DE POLÍGONO ÁREA DEL POLÍGONO Teorema 54 El área de todo polígono regular, es igual al semiproducto de la medida del perímetro por la longitud de su apotema. Hipótesis: Sea el hexágono regular NILCER con NI+IL+LC+CE+ER+RN=p (perímetro) y OM apotema. L
5to Año Secundaria Paso 6: Pero 6 ι6 =p, entonces, A=
39
p.a 6 2
AREA DEL CÍRCULO Teorema 55 El área del círculo es igual al semiproducto de la longitud de la circunferencia por la longitud del radio. Hipótesis: En la figura, el círculo de centro O tiene su radio de longitud R y su circunferencia de Longitud C.
40
GEOMETRÍA
COROLARIO 1 El área de todo círculo, es igual al producto de π por la longitud de su radio elevado al cuadrado. A = πR2 COROLARIO 2 El área de la corona circular, es igual a π por la diferencia de los cuadrados de las longitudes de los radios de los círculos que la forman.
r
O O
E
Tesis : A=
Tesis:
Paso 1 : Uno O con los vértices par formar triángulos (Construcción auxiliar). Paso 2: Pero polígono NILCER=∆NOI+∆IOL+∆OLC+∆OCE+∆OER+∆ORN (Por definición de región triangular). Paso 3: ANILCER=ANOI+AIOL+AOLC+AOCE+AOER+AORN (Por el postulado de adición de áreas.)
ι6 .a 6 2
(Teorema del área del
triángulo).
ι6 .a 6 Paso 5: ANILCER=6 2 triángulos son congruentes).
S5GE34B
C .R A= 2
Demostración:
Demostración :
(Pues todos los
2
Paso 1: Inscribo un polígono regular de n lados, de apotema a y perímetro p. Paso 2: Apol=
2
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR A Teorema 56 El área de todo el sector circular, es igual al semiproducto de la longitud de su arco por la longitud de su radio. O α
Paso 4: Finalmente, de los pasos anteriores
C .R A= 2
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
A=
R
ι. R 2
Demostrar este teorema. También podemos encontrar el área del sector circular como el semiproducto de la medida del ángulo α expresado en radianes por el cuadrado de la longitud de su radio.
S5GE34B
360 º
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02 01. Halla el área del polígono regular, si su perímetro es 6cm y su apotema mide 3cm.
a) 2R2 d) 8R2
b) 8cm2 e) 5cm2
c) 7cm2
b) 6m2 e) 9m2
c) 7m2
b) 4R2 e) 1R2
c) 6R2
04. Calcular el área de un triángulo equilátero, inscrito en una circunferencia de radio R. a)
l
Paso 3: Aumentado indefinidamente el número de lados de este polígono hasta tal punto que el perímetro de éste se confunda con el de la circunferencia, la apotema con el radio, y el área del polígono con el área del círculo.
π αº R 2
03. Hallar el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio R.
A = π(R – r )
p.a (Teorema anterior). 2
ó A=
Si el ángulo está expresado en grados sexagesimales emplee la segunda igualdad.
a) 5m2 d) 8m2
2
R
p.a 6 2
Paso 4: A∆NOR=
R
ln
M
α R2
02. Calcule el área de un hexágono regular, cuyo lado mide 3m y su apotema es 1m.
an
a6 N
A=
a) 9cm2 d) 6cm2
C
I
5to Año Secundaria
3R2 3 2
b)
3R2 3 6
e)
3R2 3 4
c)
3R2 3 1 d)
3R2 3 8
05. Hallar el apotema de un hexágono regular, inscrito en una circunferencia de radio 3 R.
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1 R 3 4 d) 2 a)
b)
3 R 2
c)
2 R 3
5to Año Secundaria
11. En un triángulo rectángulo los catetos miden 6cm y 8cm, respectivamente. Calcule el radio de la circunferencia inscrita.
e) N.a.
a) 4cm
b) 3cm
06. Calcule el área de un cuadrado circunscrito a una circunferencia de radio r.
d) 2cm
e) 5cm
2
a) 6.2 r d) 6.8 r2
b) 6.6 r e) N.a.
2
c) 6.4 r
2
07. Calcule el radio de una circunferencia, si el lado del cuadrado inscrito mide 8cm. a) 1
2 cm
b) 2
d) 4
2 cm
e) N.a.
2 cm
c) 3
2 cm
08. Determine el área del hexágono regular, inscrito en una circunferencia de radio R. a)
3R2 3 2
b)
3R2 3 4
c)
3R2 3 8
a)
( 3 −1) 4
b)
3 −1 3
c)
d)
( 3 −1) 6
e) N.a.
13. En la figura, AC=5cm, AS=3cm. Calcule el área del círculo.
d) 2cm
e) N.a
10. El área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia mide 50 3 m2. Calcule su apotema. a) 3m
b) 5m
d) 9m
e) 6m
c) 7m
e) N.a
a) 8πm2 b) 10πm2 c) 6πm2 2 2 d) 4πm e) 2πm 17. Hallar el área de un sector circular comprendido en un ángulo de 30º y un radio de 3m.
3π 2 m 2
b)
3π 2 m 3
c)
3π 2 m 4
e) N.a
8π 2 8π 5
b)
8π 3
c)
a) πcm2 d) 4πcm2
b) 2πcm2 e) 3πcm2
c) 1πcm2
14. Calcular el área de un círculo de 8m de diámetro. a) 16πm2 d) 12πm2
b) 18πm2 e) 10πm2
c) 14πm2
15. Hallar la longitud de una circunferencia cuyo círculo tiene un área de 5πm2. a) 6
5 πm
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 2
5 πm
c) 4
b) 5,5πm2 e) N.a
22. Calcule el área de una corona circular entre dos círculos de ( 5 +1)m y ( 5 -1)m de radio, respectivamente. a) 4 5 πm2 πm2 d) 5 πm2
b) 3
π 2
m2
d) 2π/4m
b) 4πm2
d) 8πm2
e) 10πm2
c) 6πm2
20. Calcular el ángulo correspondiente a un sector, cuya área es 2πm2 y el área del círculo es de 12πm2. a) 20º
b) 30º
d) 50º
e) 60º
2
5
r α
b)
1π m 4
c)
π 4
m2
e) N.a
24. Calcule el área de un círculo en forma aproximada, si su radio mide a) 1m2 d) 2m2
b) 1,2m e) 2,1m2
7 m. 22 c) 1,3m2
25.Calcule el área de la región sombreada (Trapecio circular )de radios R=6cm y r=3cm, y α=60º
c) 40º
5 πm S5GE34B
2 5 πm c)
e) N.a.
O
a)
e) N.a
a) 2πm2
c) 6πm2
8π 4
19. Calcular el área de un sector circular comprendido en un ángulo de 60º, si el área del círculo es 12πm2.
C
a) 5πm2 d) 6,5πm2
23. Calcule el área del sector mostrado, si r= 3 m y α=30º
R B
21. Calcular el área de la corona circular, si los radios de los círculos concéntricos, miden 3m y 2m respectivamente.
18. Calcule el área de un sector circular comprendido en un ángulo de 60º, sabiendo que la longitud de la circunferencia es igual a 8πm.
d)
S
c) 4cm
5 πm
5to Año Secundaria
16. Calcular el área de un círculo circunscrito a un cuadrado, si el apotema mide 2m.
a)
e) N.a.
b) 6cm
d) 3
3π d) 5
A
a) 8cm
GEOMETRÍA
40
a)
( 3 −1) 2
09. Determine el área del octógono regular inscrito en una circunferencia, en función del radio R.
S5GE34B
c) 6cm
12. Calcule el radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo, cuyos lados miden 1cm, 3 cm y 2cm respectivamente.
3R2 3 6 d)
39
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
39
01. Si el hexágono de la figura es regular, siendo P, Q y R puntos medios de los lados. Calcular el área de la región sombreada, si r=4m.
R α
r
5to Año Secundaria
40
GEOMETRÍA
5to Año Secundaria
04. Calcular el área de la figura sombreada, si AD es perpendicular a CB.
07.
En la figura,
sombreada, si R=2 C
R R
A
8π a) cm2 2 9π d) 2
9π b) cm2 3
26. Hallar el área de la región sombreada (segmento), si α=30º y r= 6 m. P r O
D
D
R
Q
a) 3R2 d) 6R2
B
A
B
a) 15 3 m2 b) 14 3 m2 c) 13 3 2 m d) 11 3 m2 e) 16 3 m2 02. El triángulo ABC es equilátero. Calcular el área de la figura sombreada, si el área del triángulo ABC es 4 3 m2.
b) 2R2 e) R2
R
c) 4R2 a) (21
05. En la figura, las tres circunferencias son iguales y de radio R=12m. calcular el área de la figura sombreada.
B
α r
3 m
r
9π 2 c) m 6
e) N.a
O
es diámetro y
AB 1 = ; determinar el área de la región BC 2
C
P
AB
2 3 -4π)m
b) (17
2 3 -3π)m
c) (21 3 - 5π)m2 d) (21 3 -3π)m2 e) N.a. 08. Halle el área de la región sombreada, si el radio mide 1m. siendo AB y CD diámetros perpendiculares.
C
Q
1 π + m2 a) 6 12 4
1 π − m2 b) 12 4
1 π − m2 c) 6 10 3
1 π + m2 d) 5 11 4
1 π − m2 12 4
e) 6
R
2
a) 8(4π+3
3 )m
c) 7(3π+2
3 )m2
b) 8(3π+ d)
B
A
60º R
3 )m
D
2
(8 3 − 4 π) 2 m 3
e) N.a. 03. En el triángulo ABC, P, Q y R son puntos medios. Calcular el área de la figura sombreada, si AB=12m.
27. Calcular el área del círculo.
60º
C
A
a) 144 m2 d) 120
2 3 m
b)95
2 3 m
e) N.a.
2 3 m
c)100
3
5π − 2 m2 4
b)
a) (π - 2)m2
5π − 3 m2 d) (3π-2 2
c)
06. El lado de un cuadrado mide 4( 2 +1)m. calcular el área de la figura sombreada.
e)
π 2
2 3 )m
m2
B 6cm
P C
a) 4π2m2 d) 3πm2
b) 3π2m2 e) N.a
c) 4πm2
TAREA DOMICILIARIA
S5GE34B
09. Calcular el área de la figura sombreada, si el radio mide 3 m.
10m
A
Q 60º
60º R
a) 18(2
2 3 +π)m
c) 18(2 e) N.a.
2 3 +3π)m d) 18(
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 18(2
O1
C 2 3 -π)m 2 3 +π)m
a) (4 - π)m c) 4(4 - π)m2 e) 2(4 - π)m2 2
S5GE34B
b) 4(π - 2)m d) 4m2
O2
2
a) πm2
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b)
π 2
m2
c)
π 3
m2
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d)
2π 2 m 5
e)
π
m2
4
5to Año Secundaria a)
10. Determinar el área de la porción sombreada, si el radio de la circunferencia mide 1m.
a 2 (π + 2 − 3 ) 4
39
a 2 (π + 2 − 3 3 ) d) 6
13. Hallar el área de la región sombreada. b) 6m2 e) N.a.
S1 11. Halle S 2
B
C
R O
e)N.a.
a) 2m2 d) 16m2
5to Año Secundaria
a
a 2 (π + 3 − 3 3 ) 4
4
GEOMETRÍA
15. Hallar el área de la región sombreada, si OA=OB, R=2 3 m y m∠AOB=30º A
b)
a 2 (π + 2 − 3 3 ) 12 c)
40
30º
A
a) (15π-6
3 )m2
b) (14π-3
B 2 )m2
c) (30π-6 e)N.a.
6 )m2
d) (25π-6
3 )m2
16. Determinar el área de la región sombreada, si el área del cuadrado ABCD es a2.
c) 8m2
. Si AO=OB y OP=PQ
C
B
a
D
a)
a2 2
b)
2a 2 5
d)
7a 2 5
e)
4a2 7
c)
3a 2 5
19. En la figura, encontrar el área del cuadrado ABCD, sabiendo que FE=9cm; AE=15cm y DE=13cm B
C
A
D
A
a S1
S2
O
P R
1 a) R 2 1 d) 4
a)
πa 6
Q
B
1 b) 2
1 c) R 4
e) 2
2
b)
πa 8
2
A
c) 2
πa 9 9 d)
πa 2 5
e) N.a
5 14. Hallar el área de la región sombreada.
a)
D
a 2 ( 3 −1) 4
a 2 ( 3 −1) c) 3
b)
a 2 ( 3 + 1) 4
a 2 ( 3 + 1) d) 3
e)a2 ( 2 -1) 17. Hallar el área de la región sombreada, si CE= 3 m y ABCD es un cuadrado.
12. Hallar el área de la región sombreada
a) 16cm2 b) 18cm2 c) 19cm2 d) 25cm2 e) 36cm2 20. En la figura mostrada, se pide el área de la región sombreada, si r=4cm y el lado del cuadrado ABCD mide 2 3 cm.
C
B
2a
E
r
30º
a
a) a2 d)
S5GE34B
4a2 5
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b)2ª2 e)
2a 2 5
r
A
D
c) 3ª2 2
a) 3m d) 4,5m2
C
B
a
2a
E
F
2
b) 6m e) 8m2
c) 1,5m2
A
a) (6 - 3 )cm2 18. Si ABCD es un cuadrado, hallar el área de la c) 6(2 - 3 )cm2 región sombreada. S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
D b) 3(2 -
2 3 ) cm
d) 3(4 -
2 3 )cm
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN e) 4(3 -
3 )cm
5to Año Secundaria
39
21. Una circunferencia de 2cm de radio está inscrita en un triángulo de 10cm de hipotenusa. Calcular el área de dicho triángulo 2
a) 36cm d) 20cm2
40
GEOMETRÍA
5to Año Secundaria
parte sombreada que se indica en la siguiente figura.
2
b) 24cm e) N.a.
2
c) 18cm
a) π u2
2
d)
22. La figura muestra un cuarto de círculo y un semicírculo AM=MO=2 3 m. Hallar el área de la región sombreada.
A
3 3 2 u 2
b) 3
2 3 u
e) π
3
c) 4
2 3 u
A
25. En la figura, m BE = mEC ; E es punto de tangencia. Determinar el área del triángulo ABC, si R=( 2 +1). C
a) 56 πm2 d) 44 πm2
E
N
M
ESTRUCTURA DEL
F CAPÍTULO XIV - GEOMETRÍA DEL ESPACIO R Definición Nociones de Geometría Ángulo Diedro Notación Espacial Medida de un Ángulo Diedro 'O C O D Definición Ángulo Triedro Notación B Relación Entre sus Caras Clasificación E Ángulo Poliedros Definición Elementos Caras b) 64 πm2 c) 55 πm2 Aristas e) N.a. Vértices Ángulos Diedros Ángulos Poliedros Diagonal
R
Clasificación O
B a) (
3 )m2
a) (5π - 6 c) (4π -
3 )m
e) (10π - 3
b) (5π + 6
2
3 )m
3 )m2 3 )m2
d) (4π +
B
A
c)
2
23. Hallar el área de la región sombreada, si AOB es un sector circular de ángulo central 60º y radio R= 6 cm.
2 2 + 1)u
b)
( 2 −1) 2 u 2
a) (
R
3 + π)cm
c) (π + 2 e) (π -
2
b) (2π 2
3 )cm d) (2π +
3 )cm
B
3 ) cm 3 )cm
A
El Paralelepípedo El Tronco de Prisma La Pirámide
a) 102m2 d) 110m2
Cilíndrica Cónica Esférica Cilíndro Cono
Áreas y Volúmenes de Sólidos
Prisma
N
B
b) 200m2 e) N.a
c) 100m2
Clasificación
Prisma Recto Prisma Oblícuo Paralelepípedo Cubo
Cilindro Pirámide Regular Cono Recto Esfera
27. Los diámetros de la semicircunferencias son AC=DB, CD Y AB. Si el radio del círculo de diámetro FE mide 8m. Calcular el área de la
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
Superficies de Revolución
F O
Elementos
Clasificación
2
2
El prisma
2 2 - 1) u
C E
2
24. Calcular el área de la región sombreada, si el radio de la circunferencia mide 3 u. S5GE34B
d) (
D
M O
Sólidos Geométricos
( 2 +1) 2 u 2
e) N.a. 26. En la siguiente figura, hallar el área de la lúnula MCND, si el área de la figura curvilínea AOEM + BOFN mide 10m2.
A
60º
D
S5GE34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
Poliedros Regulares Vértices Aristas Bases Caras Laterales Altura Octoedro o Rectoedro Romboedro Hexaedro Regular Propiedades
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
5to Año Secundaria
BREVES NOCIONES DE GEOMETRÍA ESPACIAL Antes de empezar esté capítulo te recomiendo revisar las definiciones dadas de plano, posiciones relativas de rectas y planos dados al iniciar el estudio de la geometría. ÁNGULO DIEDRO Sabemos que al intersecarse dos rectas coplanares, determinan cuatro ángulos, tal como se aprecia en la figura (a).
l1 α
γ γ
l2 α
Figura (a) Si tenemos dos planos en el espacio que se intersecan en una línea recta, como muestra la figura (b), entonces los planos P1 y P2 y la recta l1, forman cuatro figuras, cada una de las cuales tiene la forma que se muestra en la figura (c). Una figura de esta clase recibe el nombre de ángulo diedro y el segmento NG arista del ángulo diedro.
39
l3
figura (b) DEFINICIÓN Cuando dos semiplanos no pertenezcan a un mismo plano y compartan la misma arista, entonces la unión de dicho semiplanos en su arista forman un ángulo diedro la recta común recibe el nombre de arista del ángulo diedro y la unión de cualquier semiplano con la arista se llama cara del ángulo diedro.
5to Año Secundaria l2
l1 K
Arista G
C N
figura (c)
P1
NOTACIÓN Para describir un ángulo diedro, necesitamos conocer qué recta constituye su arista. Podemos hacer esto nombrando dos puntos N y G de la arista. Entonces denotamos el ángulo diedro por ∠NG. MEDIDA DE UN ÁNGULO DIEDRO En la figura, tenemos el ángulo diedro NG, y el plano Q perpendicular a su arita. La intersección del plano perpendicular con el ángulo diedro, se llama ángulo rectilíneo del ángulo diedro.
N
g ψ
P1 P2
GEOMETRÍA
N
G
l1
40
La medida de un ángulo diedro es un número real que es la medida de cada uno de los ángulos rectilíneos. Un ángulo diedro recto, es aquel cuyos ángulos rectilíneos son ángulos rectos. Dos planos son perpendiculares, si contienen un ángulo diedro recto. ÁNGULOS TRIEDOS Si tenemos tres rectas no coplanarias l1, l2 y l3 que se cortan en un solo punto K, entonces éstas determinan tres planos: P1, P2 y P3, como muestra la figura, y tres ángulos diedros de aristas NK, IK, y KC.
P2
P3
DEFINICIÓN Llamamos ángulo triedro o triedro, al conjunto de los puntos comunes a estos tres ángulos diedros. El punto de intersección de las tres rectas se denomina vértice del triedro, las semirectas que se determinan a partir de sus vértices se llaman aristas, los ángulos planos NKI, IKC y NKC son las caras del triedro y los diedros de aristas KN, KI, y KC son los diedros del triedro. NOTACIÓN Podemos describir un ángulo triedro de las siguientes cuatro formas, teniendo en cuenta la figura anterior. a) Por sus aristas: triedro KC. b) Por su vértice y sus tres aristas: triedro KNIC. c) Por su vértice: triedro K, sólo cuando va aislado. d) Por sus caras: triedro n, i, c. La cara se designa con la letra minúscula de su arista opuesta. RELACIÓN ENTRE SUS CARAS PROPIEDADES a) En todo triedro, una cara es menor que la suma de las otras dos y mayor que su diferencia. En la figura. c–n<i<c+n b) En todo triedro se cumple que la suma de sus caras es menor que dos ángulos llanos. c) Al sumar los ángulos diedros de un triedro, obtenemos un número comprendido entre 180º y 540º.
CLASIFICACIÓN El cuadrado siguiente muestra como se clasifican los triedros. TRIEDROS RECTOS Son todos los triedros que tienen una de sus caras ORTOEDRO O RECTÁNGULO formada por un ángulo recto. Son todos los triedros que BIORTOEDRO O tienen dos caras que son BIRECTÁNGULO ángulos rectos. Cuando sus tres caras son TRIORTOEDRO O TRIRECTÁNGULO ángulos rectos.
TRIEDRO ISÓSCELES O ISOEDRO
POLIEDROS Consideremos el espacio interior encerrado por una caja o el espacio encerrado por las paredes de una habitación. En ambos casos podemos apreciar que las paredes son los confines de este espacio encerrado. Este es un ejemplo sencillo de un poliedro.
L
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
S5GE34B
C G
I M
E N R DEFINICIÓN Si cuatro o más planos encierran un espacio, de manera que los límites de dicho espacio son estos planos. Entonces, estos límites forman el poliedro o sólido geométrico. ELEMENTOS
S5GE34B
ISOEDRO Es aquel triedro que tiene la medida de los ángulos de sus caras iguales y de sus diedros opuestos, también iguales.
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN CARAS Son cada una de las regiones poligonales que limitan el poliedro. En la figura, una de ellas es NIGR. ARISTAS Son los lados de las regiones poligonales; es decir, de sus caras. En la figura, tenemos NI, GC , RE , etc. VÉRTICES Lugar geométrico de donde se encuentran tres o más aristas. En la figura, tenemos N, I, L, etc. ÁNGULOS DIEDROS Son los diedros formados por cada dos caras consecutivas. En la figura, GR, LC, etc. ÁNGULOS POLIEDROS Son los ángulos de los vértices. En la figura, estos son R, E, C, etc. DIAGONAL En el segmento de recta que une dos vértices que no están en una misma cara. En la figura, podemos apreciar a IE
5to Año Secundaria
39
Por su número de Caras Por su Sección Plana
Por la regularidad e irregularidad de sus elementos
Convexos Cóncavos
Regulares
Irregulares
POLIEDROS REGULARES A continuación mostramos los únicos poliedros regulares que existen; éstos son sólo cinco y son los siguientes:
GEOMETRÍA
5to Año Secundaria ARISTAS En la figura, podemos apreciar NR; RE; EC; CU; IA; etc.
Icosaedro Formado por 20 triángulos equiláteros Tetraedro Formado por 4 triángulos Equiláteros Poliedros regulares
Número de caras
Número de Aristas
Número de Vértices
Número de Caras por vértice
6
4
3
12
8
3
12
6
4
30
20
3
30
12
5
4 Triángulos Equiláteros 6 Cuadrados 8 Triángulos Equiláteros 12 Pentágonos regulares 20 Triángulos equiláteros
Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro
Icosaedro
Hexaedro Formado por 6 rectángulos (cubo)
CLASIFICACIÓN El siguiente cuadro muestra la clasificación de los poliedros 4=tetraedro, 5=pentaedro, 6=hexaedro, 8=octaedro, etc. Cuando todas sus secciones planas son convexas. Cuando por lo menos una de sus secciones planas en cóncava. Cuando todas sus caras son polígonos regulares congruentes, así como sus diedros y anguloides. Cuando sus caras son polígonos irregulares y desiguales y anguloides desiguales.
40
EL PRISMA Todo prisma está formado por dos regiones paralelas (a las cuales se les denomina BASES) y por un número de paralelogramos igual al número de lados que tienen los polígonos de las bases (los cuales reciben el nombre de CARAS LATERALES) como se muestra en la figura.
L C E
I N
R
A N Dodecaedro Formado por 12 pentágonos regulares
CARAS LATERALES En la figura, tenemos CEE’U; CLNU;
M
Prismas Oblicuos Prismas Regulares Prismas Irregulares Según el número de sus caras laterales
U E'
ORTOEDRO O RECTOEDRO En este paralelepipedo, sus caras son rectángulos y se le suele denominar paralelepipedo rectángulo.
L'
S5GE34B
Si las aristas laterales son perpendiculares a sus bases. Si las aristas laterales son oblicuas a sus bases. Si sus bases son polígonos regulares y además, es un prisma recto. Sus bases son polígonos irregulares. Estos pueden ser triángulos, cuadrangulares, pentagonales, etc.
EL PARALELEPIDEDO Este es un prisma cuyas bases son dos paralelogramos y se clasifican en
VÉRTICE En la figura, éstos son N; I; L; C; E; R, etc. “El nuevo símbolo de una buena educación....”
REE’L’; INMA.
CLASIFICACIÓN DE LOS PRISMAS El siguiente cuadro muestra la clasificación de los prismas.
ELEMENTOS
S5GE34B
NRL’M; LIAN y
ALTURA Es la distancia entre sus bases.
Prismas Rectos.
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Octaedro Formado por 8 triángulos equiláteros
BASES Son las regiones poligonales paralelas y congruentes. En la figura, tenemos POLIGONONILCER y POLIGONOMANUE’L’
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
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5to Año Secundaria
39
40
GEOMETRÍA
ROMBOEDRO Cuando todas sus caras son rombos.
x Recta eje Móvil
HEXAEDRO REGULAR Cuando todas sus caras son cuadrados. A este paralelepipedo lo conocemos como cubo. PROPIEDADES 1. En un paralelepipedo sus caras opuestas son iguales y paralelas. 2. Todas las diagonales del paralelepipedo se cortan en su punto medio. 3. Si un plano corta a cuatro de sus aristas paralela, determinan un paralelogramo sobre el plano. 4. La diagonal de un ortoedro es igual a d2=a2+b2+c2 donde a,b y c son las longitudes de sus aristas. EL TRONCO DEL PRISMA Si tenemos un plano no paralelo a las bases de un prisma, entonces cuando este plano corte a las aristas laterales del prisma, determinará una región poligonal no paralela a las bases del prisma. La porción del espacio encerrado por este polígono y una de sus bases se denomina prisma truncado. El tronco de prisma puede ser triangular o de mayor números de caras y puede ser recto o oblicuo.
R
Recta generatriz (g) Móvil
y
CLASIFICACIÓN a) Por el número de lados de su base éstos pueden ser triangulares o tetraedros, cuadrangulares, pentagonales, etc. b) Por la forma de su base pueden ser: Regulares e irregulares, convexas o cóncavas.
CÓNICA Generamos una superficie cónica, cuando una recta que es secante con la recta eje, gire alrededor de ésta formando con la recta eje un ángulo invariable. La figura muestra sus elementos.
Es aquella porción del espacio limitado por una superficie cilíndrica de revolución y dos planos paralelos entre si y perpendiculares al eje del cilindro. En la figura, se indican sus elementos. Podemos generar un cilindro si hacemos girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. La longitud del lado que sirve de eje será la altura del cilindro y la longitud del otro lado será el radio del cilindro.
Base superior
Generatriz, Lado
Radio
Eje
l1 SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Entiéndase por revolución al giro o vuelta alrededor de un punto o un eje, como por ejemplo, la revolución o giro del la tierra alrededor de su eje. Entonces una superficie de revolución es aquella que se genera por cualquier línea, recta o curva, a la cual denominaremos generatriz, al girar alrededor de una recta fija llamada eje. Podemos generar muchas superficies de revolución de distintas formas, pero nuestro interés, sólo estará puesto en tres de ellas, las cuales son CILÍNDRICA Podremos generar una superficie cilíndrica, si hacemos girar una recta paralela a la recta eje. En la figura, se aprecia como se genera una superficie cilíndrica de revolución y sus elementos.
V = Vértice Recta Generatriz r
ESFÉRICA Generamos una superficie esférica al girar una semicircunfe-rencia alrededor de su diámetro. La figura, señala sus elementos. SEMICIRCUNFERENCIA
LA PIRÁMIDE Es el poliedro cuya base es una región poligonal y sus caras son triángulos que tienen un vértice común
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
Base inferior CONO Obtendremos un cono, si a una superficie cónica de revolución la cortamos por un plano perpendicular a su eje. En la figura, se indican sus elementos. Podemos generar un cono, si hacemos girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos entonces, la longitud de este cateto será la altura del cono, mientras que la longitud del otro cateto, será el radio de la circunferencia base.
Generatriz
EJE
RADIO
Diametro
BASE DEL CONO
CILÍNDRO S5GE34B
5to Año Secundaria
S5GE34B
ÁREAS Y VOLUMENES DE SÓLIDOS PRISMA p: perímetro de la base. a: arista lateral. “El nuevo símbolo de una buena educación...."
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5to Año Secundaria
39
GEOMETRÍA
40
a
5to Año Secundaria h
BASE
01. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
Ap
c ap
b a
CUBO Área Total (ST) Volúmen (V)
PRISMA RECTO Área lateral(SL)
L 2
L ST = 6ª 2 V = a3
SL= (a) (p)
Área Total (ST)
ST = SL + 2SBASE
Volúmen (V)
V = (SBASE) (a)
Área lateral(SL)
SL=Semiperímetro de la base X apotema
Área Total (ST)
ST = SLATERAL+ Sbase
Volúmen (V)
1 V= Sbase (h) 3
a
CILINDRO Área lateral(SL)
BASE
a
a a
PRISMA OBLÍCUO PR: perímetro de la sección recta
L 2
CONO RECTO
Área Total (ST)
ST = 2πr(g+r)
h = ALTURA
Volúmen (V)
V = πr h
g
r
Área lateral(SL)
SL= (a) (pR)
Área Total (ST)
ST = SLATERAL + 2SBASE
Volúmen (V)
V = (SBASE)h= (SR)(a)
PARALELEPIPEDO Área Total (ST) ST = 2(ab+bc+ac) Volúmen (V)
V = abc
g=h
Área lateral(SL)
SL=π rg
Área Total (ST)
ST = πr (g+r)
Volúmen (V)
V=
PIRÁMIDE REGULAR APOTEMA DE UNA PIRÁMIDE REGULAR (Ap)
Del gráfico, A p2 = h 2 + a p2
1 2 πr h 3
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
e) Tres rectas no coplanares que se cortan en un punto, determinan dos planos. ( ) f) Los triedros son ángulos poliedros de 3 caras ( )
k) Un poliedro es una región del espacio formado por cuatro o más regiones poligonales planas. ( ) l) Los vértices de los ángulos poliedros, son también, los vértices del poliedro. ( )
R
m) El icosaedro es un poliedro regular. ( ) n) El hexaedro es un poliedro irregular formado por 6 caras. ( ) Área Total (ST)
ST = 4πR2
Volúmen (V)
V=
02. Responda las siguientes preguntas: a) ¿Cuántas caras tiene un ángulo poliedro de un tetraedro regular?
4 πR3 3
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03 S5GE34B
d) Si la medida de un ángulo diedro es 90º, entonces los semiplanos son perpendiculares entre si. ( )
j) En un triedro, cuando dos de sus caras miden 90º cada uno, entonces se llama triedro birectángulo. ( )
ESFERA
Es el segmento perpendicular trazado desde el vértice de la pirámide a una arista de la base.
( )
i) En todo triedro, la suma de sus caras es menor que 180º. ( )
r
Sección Recta (SR): Es la sección del prisma con un plano perpendicular a las aristas laterales.
c) Un ángulo diedro es un poliedro.
h) En todo triedro, si sus caras son diferentes, sus ángulos diedros son también diferentes. ( )
h
2
PLANO
b) La intersección de un plano perpendicular con el ángulo diedro se llama ángulo rectilíneo. ( )
g) En todo triedro, una cara es menor que su diferencia de las otras dos y mayor que la suma. ( )
SL=2π rg
SECCIÓN RECTA
a) La intersección de dos semiplanos es una recta ( )
S5GE34B
.............................................................
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
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5to Año Secundaria
c) ¿Cuántas caras tiene un tetraedro regular?
HH ' se llama
............................................................. e) Si AA ' fuera perpendicular al plano de la base, entonces el prisma se llamaría
d) ¿Qué poliedro regular se forma por 12 pentágonos regulares?
.............................................................
.............................................................
f) La región paralelográmica BB’ C’ C se llama
e) ¿Qué poliedro regular se forma con 20 triángulos equiláteros?
.............................................................
f) ¿En qué poliedro regular concurren 4 aristas ? ............................................................. g) ¿En qué poliedro sus diagonales son perpendiculares y de igual longitud? ............................................................. 03. C'
D'
H'
A'
B'
C
D A
B
a) El prisma de la figura se llama prisma ............................................................. b) La región ABCD se llama ............................................................. c) S5GE34B
AA ' se llama
g) La reunión de las caras laterales se llama ............................................................. h) Si el cuadrilátero ABCD fuera paralelogramo, el prisma se llamaría. ............................................................. 04. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
5to Año Secundaria
( )
h) Toda esfera no es una superficie esférica.( ) PARTE PRÁCTICA 01. Hallar la suma de las medidas de los ángulos de las caras de un ángulo poliedro de un octaedro. a) 210º d) 235º
b) 220º e) 240º
c) 230º
a) 45 d) 60
b) 50 e) 65
c) 55
03. Calcular la suma del número de vértices de un tetraedro regular y un octaedro regular. a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
04. Hallar la diagonal de un hexaedro regular de arista a.
b) La distancia entre las bases es la arista de un prisma. ( )
d) 3 a e) N.a 05. Calcular la longitud de la diagonal de un octaedro regular de arista a.
( )
d) En toda pirámides el pie de su altura se confunde con el vértice de la pirámide. ( ) e) Si hacemos girar un cuadrado alrededor de uno de sus lados se genera un cilindro. ( ) f) Todo cilindro no es una superficie de revolución. ( )
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
a) a
3
b) a 3
a) a 2
b)
d) a
e) N.a
2
2
c)
c)
3
2 a
06. La arista de un hexaedro regular mide 2m. ¿Cuánto mide su diagonal? a) 2
3
b)
d) 4
3
e) N.a.
S5GE34B
3
07. Hallar la diagonal de un ortoedro, si sus aristas miden 1cm; 2cm y 3cm respectivamente. a)
14 cm
d)
12 cm
c) 3 3
b)
13 cm e) N.a.
c)
15 cm
08. En un paralelepípedo rectángular la diagonal mide 17cm las aristas de la base miden 5cm y 8cm. Respectivamente. Calcular la altura. a) 8
2
b) 9
2 cm
c)
10
2
cm
d) 11
02. Hallar la suma del número de aristas de un dodecaedro y un icosaedro regular.
a) Todo prisma es un poliedro limitado por dos regiones poligonales paralelas. ( )
c) La pirámide es un poliedro.
H
GEOMETRÍA
g) Todo como un sólido geométrico. d)
.............................................................
.............................................................
40
.............................................................
b) ¿Cuánto mide cada ángulo diedro de un hexaedro regular? .............................................................
39
2
e) N.a.
09. La diagonal de un cubo mide Hallar la arista. a) 3m d) 4.5m
b) 4m e) N.a.
27 m.
c) 3.5m
10. Hallar el área lateral de un prisma recto de 10cm de altura y cuya base es un triángulo cuyos lados miden 3cm, 5cm y 7cm respectivamente. a) 140cm2 d) 170cm2
b) 150cm2 e) N.a.
c) 160cm2
11. Calcular el área lateral y total de un prisma recto de 15cm de altura y cuya base es un cuadrado de 4cm de lado. a) 240cm2;230cm2 c) 230cm2;272cm2 e) 240cm2;272cm2
b) 245cm2;271cm2 d) 235cm2;271cm2
12. Calcular el área total de un cubo de 6cm de arista y su volúmen. a) 216cm2;216cm2 c) 217cm2;217cm2 e) 219cm2;219cm2
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b) 218cm2;218cm2 d) 215cm2;215cm2
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
5to Año Secundaria
13. Cuánto mide la arista de un hexaedro regular, si su área total es 24m2. a) 2m d) 8m
b) 4m e) N.a.
c) 6m
2 3 m
b) 38
2 3 m
c) 48 3 m3 e) N.a
d) 38
3 3 m
a) 48
b) 110cm2 e) 140cm2
2 3 m
b) 32
c) 120cm2
2 3 m
e) N.a.
2 3 m c)
33
3
17. Calcular la apotema de una pirámide regular de 160cm2 de área lateral, si su base es un cuadrado de 8cm de lado. a) 2cm d) 8cm
b) 4cm e) 10cm
c) 6cm
18. La altura de una pirámide regular mide 10cm y la base es un triángulo rectángulo de catetos 8cm y 6cm respectivamente. Hallar su volumen. a) N.a. d) 60cm3
b)20cm3 e) 80cm3
2
a) 40πcm ;80cm c) 40πcm2;70πcm2 e) 40cm2;90cm2
16. Calcular el área total de una pirámide regular, si su base es un triángulo equilátero de 2 3 m de lado y su apotema de la pirámide mide 10m. a) 31 m2 d) 34
b) 42πcm2 e) 42πcm3
c) 40cm3
2
b) 40πcm ;90πcm d) 40cm2;80πcm2
a) 8πm d) 6πm3
b) 10πm e) N.a.
3
2
b) 55πm2 e) N.a.
c) 12πm
c) 60πm2
23. Al sumergir un cuerpo en el agua contenida en un cilindro circular recto de 100cm de diámetro el nivel del agua sube 10cm. ¿Cuál es el volumen del cuerpo sumergido? a) 5 x103πcm3 c) 15 x103πcm3 e) 25x103πcm3
b) 10 x103πcm3 d) 20 x103πcm3
24. El área lateral de un cilindro de revolución y su volumen son numéricamente iguales, luego el radio de la base mide. a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
5to Año Secundaria
25. Hallar el área lateral de un cono de revolución de 12cm de generatriz y cuya base tiene 4cm de radio.
c) 4
b) 48πcm2 e) N.a.
c) 52πcm2
26. El área lateral de un cono de revolución es 24m2, si el radio de la base mide 4m. ¿Cuánto mide la generatriz del cono? a) 3/πm d) 6/πm
b) 4/πm e) N.a.
c) 5/πm
27. ¿Cuántos metros cuadrados de tela, serán necesarios para construir una carpa cónica de circo de 30m de generatriz y 30m de diámetro del círculo?
3
22. Un pozo cilíndrico de 10m de diámetro y 4m de profundidad contiene agua hasta 1m del borde. Calcular la superficie mojada. a) 50πm2 d) 65πm2
GEOMETRÍA
a) 44πcm2 d) 56πcm2
21. Hallar el volumen de un cilindro de revolución de radio 2 m y 4m de altura. 3
40
c) 44πcm3
20. Calcular el área lateral y total de un cilindro generado por la rotación de un rectángulo de 5cm de largo por 4cm de ancho, alrededor de su lado menor. 2
15. Hallar el área lateral de una pirámide regular de 10cm de apotema y cuya base es un cuadrado de 6cm de lado. a) 100cm2 d) 130cm2
19. Hallar el área lateral de un cilindro recto de revolución de 3cm de radio y 7cm de altura. a) 40πcm2 d) 40πcm3
14. Hallar el volúmen de un prisma oblicuo, si su base es un triángulo equilátero cuyo lado mide 2 6 m y su altura mide 8m.
39
a) 440πm2 d) 470πm2
b) 450πm2 e) N.a.
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
a) 1650πm3 d) 1680πm3
a) 16πm2 d) 14πm2
a) 216cm2;135πcm2 b) 135πcm2;216πcm2 2 2 c) 217πcm ;216πcm d) 115πcm2;215cm2 e) N.a 29. El área total de un cono circular recto es 62.80cm2. Calcular el radio de su base, sabiendo que su generatriz mide 8cm. a) 2cm d) 5cm
b) 3cm e) 6cm
c) 4cm
c) 1670πm3
b) 18πm2 e) N.a.
c) 20πm2
33. Calcular el área de la superficie y el volumen de la esfera inscrita en un cubo de arista a. a) A=π2; V=
c) A=π2; V= 28. Hallar el área lateral y total de un cono de revolución de 12cm de altura, si su base es un círculo de 9cm de radio.
b) 1660πm3 e) N.a.
32. Hallar el área de una superficie, esférica si su radio mide 2m.
c) 460πm2
πa 3 6
πa 6
b) A=π3; V=
π a2
d) A=π3; V=
π a3
6
6
e) N.a. 34. Calcular el producto y el cociente del área de la superficie y el volumen de una esfera de radio R.
16 2 5 R πR; 3 3 16 R c) πR2; 3 3 a)
16 2 2 πR; 2 16 2 5 d) πR; 3 b)
3 R 3 R
e) N.a 30. Un cuadrado de 12cm de diagonal, realiza una revolución completa alrededor de una de sus diagonales, calcular el volumen del sólido engendrado. a) 140πcm3 d) 152πcm3
b) 144πcm3 e) N.a.
c) 148πcm3
31. En el sólido formado por un cono circular recto de 13m de generatriz y 12m de radio y S5GE34B
por un cilindro circular recto de 10m de altura. Calcular el volumen del sólido.
S5GE34B
35. Si el área de una superficie esférica es de 113,04cm2, el radio de la esfera mide. a) 1cm d) 4cmº
b) 2cm e) 5cm
c) 3cm
36. Los volúmenes de dos esferas están en la razón 125:1728; ¿Cuál es la razón de sus diámetros?
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 5:14 d) 5:16
b) 5:10 e) 5:12
a) 15º d) 90º
c) 5:18
01. Hallar la altura de un tetraedro regular de arista 3ª. 6
a b d) 3
b) 3ª
6
c) 2ª
6
a 6 e) 2
02. Hallar la arista de un tetraedro regular de altura 6 m. a) 4m d) 1m
b) 3m e) 3 6 m
c) 2m
03. Se tiene un triedro O-AOB,BOC y COA miden 60º, 60º y 90º, Respectivamente, hallar el ángulo que forma la arista OB con la cara AOC. Si OB=2k. a) 15º d) 60º
b) 30º e) 90º
c) 45º
04. En un triedro O-ABC los diedros A y B miden 70º y 60º, respectivamente si se traza OF bisectriz del ángulo AOB y además m∠FOC=m∠AOF. Hallar el diedro C. a) 30º d) 120º
b) 60º e) 130º
b) 30º e) N.a.
c) 90º
a) 50cm d) 25
2
b) 50
2 cm
c) 60º
a) 2ª
a) 10 d) 16
2
2
c) 100 e) 25cm
2 cm
2
2
b) 12 c) 14 e) Faltan datos
08. En un triedro equilátero sus ángulos diedros pueden medir a) 40º d) 200º
b) 60º e) N.a.
c) 90º
09. Hallar la suma de las medidas de los ángulos internos de los polígonos que forman las caras de un dodecaedro regular. a) 3 600º d) 7 560º
b) 6 450º e) 6 400º
c) 6 480º
10. Dos caras de un triedro miden 140º y 160º respectivamente, la tercera cara puede medir: a) 10º d) 60º
b) 20º e) 80º
c) 40º
11. La siguiente figura representa un cubo cuya arista mide a cm, ¿cuál es el área de la parte sombreada?
d) a2
5to Año Secundaria 2
b) 3ª cm
2
c)
a
2
3
2 5 cm
e) a2
2 2 cm
12. En un triedro equilátero sus ángulos diedros pueden medir a) 40º d) 200º
b) 60º e) N.a.
c) 90º
13. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? a) Todo prisma es un paralelepípedo b) Un paralelepípedo, es siempre un cubo c) Un cubo es un prisma. d) Un ortoedro es un paralelepipedo cuadrangular. e) N.a. 14. Un rombo cuyas diagonales miden 8m y 6m respectivamente es la base de un prisma recto de 18m de altura. Calcular el área total del prisma, y su volumen a) 48; 432 d) 24; 436
b) 24; 216 e) N.a.
c) 12; 436
15. Calcular la longitud de la diagonal de un paralelepípedo rectangular cuya altura mide 7cm y cuya base es un cuadrado de 36cm 2 de área. a) 8cm d) 11cm
b) 9cm e) 12cm
c) 10cm
16. En un tetraedro regular de arista a. Hallar la distancia de un vértice al plano de la cara opuesta. a)
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
a cm
2
cm2
07. En un poliedro, el número de caras más el número de vértices suman 14. ¿Cuántas aristas tiene dicho poliedro?
05. Un triángulo al ser proyectado sobre un plano determina un triángulo cuya área es la mitad del triángulo dado, calcular el diedro que forma el triangulo con el plano de proyección. S5GE34B
2 cm
GEOMETRÍA
40
39
06. En un triedro trirectangular O-ABC, las áreas de sus caras catetos son AOB=30cm 2; BOC=40cm2; AOC=50cm2. Hallar el área de la cara de la hipotenusa ABC.
TAREA DOMICILIARIA
a) a
5to Año Secundaria
a
d)
a 6 3
a
2
4
3
b)
a 6 2
e)
a 6 4
c)
a2 6 6
17. En un hexaedro regular, la longitud de una diagonal es 27 cm. El área de una cara es a) 6cm2 d) 16cm2
b) 8cm2 e) N.a.
18. La superficie total de un paralelepípedo rectangular es 180cm2, la diagonal de la base mide 10cm. y la suma de las 3 dimensiones miden 17cm. ¿Cuál es la magnitud de las dimensiones? a) 8cm, 4cm, 5cm c) 3cm, 6cm, 8cm e) N.a.
b) 4cm, 5cm, 6cm d) 5cm, 6cm, 7cm
19. La diagonal de un rectoedro mide 10m y su área total es de 261m2. Calcular la suma de todas sus aristas. a) 70m d) 96m
b) 76m e) N.a.
c) 82m
20. En un paralelepípedo rectangular la base mide 50m2, la suma de las medidas de todas sus aristas es 23m y la suma de los cuadrados de las tres dimensiones es 189m2. Calcular la altura del paralelepípedo a) 6m d) 12m
b) 8m e) 18m
c) 16m
21. Cuál es el volumen de un prisma oblicuo, cuya base es el triángulo equilátero de 1,2m de lado y cuya arista lateral es de 2,8m de longitud y forma con la base un ángulo de 30º. a) 0,837m3 d) 0,885m3
b) 0,846m3 e) 0,892m3
c) 0,872m3
22. Se conocen las áreas del fondo, del frente y del lado de una caja rectangular. El producto de estas áreas es igual a: a) El volumen de la caja. b) La raíz cuadrada del volumen. c) El cuadrado del volumen.
S5GE34B
c) 9cm2
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
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5to Año Secundaria
d) El doble del volumen. e) El cubo del volumen.
encuentran las alturas, de los dos volúmenes respectivamente.
23. Con una lámina rectangular de 6cm de largo y 5cm de ancho, se construye una caja abierta, cortando un cuadrado de 1cm de lado en cada esquina. Hallar el volumen de la caja resultante. a) 12cm3 d) 20cm3
b) 15cm3 e) 24cm3
c) 16cm3
b) 2cm e) 5cm
3 3 cm
b) 48
c) 3cm
3 3 cm
e) 72
3 3 cm c)
81
3
cm3
d) 75
3 3 cm
26. Calcular el área total de un cubo, sabiendo que la distancia de uno de sus vértices al centro de una cara opuesta es de 2m. a) 16m2 d) 13m2
b) 15m2 e) 12m2
c) 14m2
27. La altura de un prisma recto mide 6m su base es un rectángulo, en el que un lado es el doble del otro; el área total es 144m 2. ¿Cuál es la longitud de una de las diagonales del prisma? a) 5m d) 9m
b) 8m e) N.a.
c)
1 revolución mide 6 2
1 3
1 4 1 d) 19 2
1 2
b) 26
c) 39
e) 78
30. Un depósito de forma cilíndrica, se desea cambiar por otro de la misma forma, pero aumentando en un 50% la longitud de la circunferencia de la base. ¿En que porcentaje se incrementará el volumen del nuevo cilindro, respecto al primero? a) 125% d) 225%
b) 175% e) 50%
c) 150%
31. La figura mostrada es un ortoedro, el punto H es la posición de una hormiga y el punto C la posición de su comida. Hallar la longitud del menor camino que debe recorrer la hormiga para llegar al punto C. Si
PH = HQ = 1m. RC = 3m; CM =4m
H P
3 4
pies. Entonces el
número de pulgadas que mide su radio es
c) 6m
28. Un cilindro recto, contiene agua hasta en
2 3 3 e) 5 b)
a) 13
25. Hallar el volumen de un prisma recto cuya altura mide 12cm y su base es un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 3cm de radio. a) 54
4 3 1 d) 4 a)
29. Si el diámetro de la base de un cilindro de
24. La base de un prisma recto de 12cm de altura es un triángulo equilátero. Cuánto mide el lado de este triángulo si el área lateral del prisma es 108cm2. a) 1cm d) 4cm
39
R Q
a) 3m de volumen, hallar en que relación se d) 6m S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....”
5to Año Secundaria
32. Un vaso cilíndrico de 20cm de diámetro y 40cm de altura está lleno de agua, si se vierte esta agua en otro vaso de 40cm de diámetro. ¿Hasta qué altura subirá el agua? a) 5cm b) 10cm c) 12cm d) 8cm e) N.a. 33. Un cilindro está lleno de agua hasta la mitad. Se suelta un pedazo metálico y el nivel de agua sube en 3,5cm. si el diámetro del cilindro es 8cm. ¿Cuál es el volumen el pedazo metálico? a) 176cm3 d) 0,226l
b) 88cm3 e) N.a.
c) 264cm3
34. La altura de un pirámide es 3 16 m. ¿A qué distancia del vértice pasará un plano paralelo a la base de la pirámide, de tal manera que los volúmenes obtenidos por este corte sean iguales? a)
3
16 m 2
d) 2m
1 b) m 2
c) 3m
35. La base de una pirámide regular es un triángulo equilátero y las caras laterales son triángulos rectángulos isósceles. Si las aristas laterales miden 4m el área total de la pirámide será. (Considerar 3 =1,73) a) 25,84m2 d) 37,84m2
b) 26,84m2 e) N.a.
a) 2,5m2 d) 25m2
M
c) 5m
b) 50m2 e) 100m2
c) 34,6m2
c) 75m2
37. Calcular el área total de la pirámide cuadrangular regular P-ABCD de 12 u de S5GE34B
arista en la base, sabiendo que el área del triángulo PAC es 48 2 u2 a) 224u2 d) 384 u2
b) 324 u2 e) 440 u2
c) 240 u2
38. El área lateral de un cono de revolución es 65π u2 y el área de su base es 25πu2. Hallar su volumen. a) 300πu3 d) 150πu3
b) 200πu3 e) N.a
c) 100πu3
39. Calcular el volumen de un cono circular, recto cuya generatriz mide 18cm y su área total es igual a la de un círculo de 12cm de radio. a) 136π
3 cm3
b)136π
2 cm3
c) 144π
3 cm3
d) 144π
2 cm3
e) 150π
2 cm3
40. Se tiene un cono circunscrito a dos esferas cuyos radios miden 1cm y 3cm. ¿Cuál es el volumen del cono? a) 27πcm3 d) 45πcm3
e) 3 3 m
36. En una pirámide regular de base cuadrangular de 10m de lado. ¿Cuál es el área de la sombra que proyecta una de sus caras laterales en su base a las 12 meridiano?
C
b) 4m e) 8m
GEOMETRÍA
40
b) 81πcm3 e) 90πcm3
c) 36πcm3
41. Si construimos un cono de revolución con una cartulina, dándole por área lateral la de un sector circular de 120º de ángulo central y 6cm. de radio. Calcular el volumen de dicho como de revolución. a)
16
2 3
πcm3
8 2 πcm3 3 e) N.a c)
b) 16
3 2 πcm
d) 16
3 3 πcm
42. Si la generatriz de un cono circular y el diámetro de su base son iguales entre sí, luego la razón, entre el área lateral del cono y la superficie de la esfera inscrita en el como, es.
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5 4 6 d) 5
4 3 5 e) 3
a)
b)
c)
5to Año Secundaria
3 2
43. Si la altura de un cono recto de revolución es de 4m y su generatriz es de 5m. Determine a qué distancia del vértice se debe hacer pasar un plano paralelo a la base, de modo que el área del círculo determinado sea igual al área lateral del tronco de cono formado. a)
5 rm
b) 5m
d)
10 m
e) N.a
c) 10m
44. La figura mostrada es una circunferencia cuyo radio mide 2m se prolonga el diámetro AB hasta F, de modo que BF=2m. Por F se traza la tangente FM . Calcular el área de la superficie engendrada por la línea mixta QMF. M
A
2
a) 10πm d) 20πm2
b) 15πm e) 25πm2
c) 18πm
2
45. Hallar el área de una superficie esférica inscrita en un cono recto de altura 12m. y radio 5m a) 100
π
m
2
b) 200πm
9 400 π 2 d) m e) N.a. 9
2
c) 300πm
2
46. Dos esferas apoyadas sobre una horizontal son tangentes. Hallar la distancia de sus apoyos cuando ambas giran en sentidos contrarios, 2 vueltas y media si su radio son de 20cm y 10cm respectivamente. S5GE34B
a) 10-3 V d) 1,030 V
b) 1,1V e) 1,331 V
40
b) 1 km e) 3 km
a) 6
2 3 u
d) 4
2
c) 1,21 V
c) 10 km
49. Se tiene un terreno de forma cuadrada. En un vértice se coloca un poste de 7m, de altura y en el vértice opuesto otro de 8m, cuyos extremos están unidos por un cable de 45m de longitud. Hallar el área del terreno. b) 1 012m2 e) N.a.
a) 5,6u d)4,8u
b) 4,6u e) 5,8u
c) 2 024m2
c) 4,3u
51. Determinar el volumen de una esfera circunscrita a un cubo de arista a. a) a3π
3 2
b) a3π
2 3
d) a3π
2 2
e) a3π
2 4
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c) a3π
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SOLUCIONARIO Nº
48. Si un sólido de forma cúbica de un metro de lado se divide en cubitos de un milímetro de lado, entonces, ¿qué altura alcanzará una columna formada por todos los cubitos unos encima de otros? a) 10 km d) 1 000km
GEOMETRÍA
52. Hallar el área de una superficie esférica, si el área lateral del cono equilátero circunscrito a la esfera mide 18 3 u2.
50. Los radios de dos esferas secantes miden 5u y 12u, si la distancia entre sus centros es 13u. ¿Cuánto mide el radio de la sección común?
Q 2
a)(100π+60)cm b)(150π+20 2 )cm c) 150cm d) 120πcm e) (150π + 60)cm 47. Una esfera de volumen V, es calentada hasta que su radio se incrementa en un décimo. El nuevo volumen de la esfera será.
a) 1 000m2 d) 2 025m2
B
O
39
3 3
S5GE34B
3 u
b) 8 e) 12
2 3 u
c) 9u2
3 u
2
01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.
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Ejercicios Propuestos 01 02 03 A A E A E D A A A A E A C B D B C A B D A B A C B A C B B C D E A C A D A A A A C D B C A A C B C E B B E C A B C E B A A A D A B B C E B A A C D B A E A D A B D B A A B B E D A A B A E D B C E E B A
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39
40
GEOMETRÍA
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GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003
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