COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
03
TEORÍA DE
I.
Y
DETERMINACIÓN
IDEA DE CONJUNTO
DE
Por conjunto entendemos como: una colección, agrupación de objetos denominados elementos del conjunto, los cuales (los elementos), pueden ser de naturaleza real o material (carpetas, libros, alumnos, etc.) y abstracta o inmaterial (puntos, rectas, ideas, etc.).
Objetivos Específicos: -
II.
RECONOCIMIENTO
Resume los datos bibliográficos del creador de la teoría de Conjunto. Explica con un lenguaje sencillo la idea de conjunto. Reconoce las de conjunto e identifica sus elementos con responsabilidad. Determina por extensión un conjunto dado por comprensión y viceversa.
Procedimiento: A. Motivación. Se imaginan ustedes como llevaría el control de sus ventas el administrador de una tienda comercial, la señora que vende frutas en la esquina de una calle, el señor que vende pescado en el mercado, la señora que vende ropa en su bazar; como el cajero de un banco tendría que atender a un cliente con tanta rapidez cuando tenga que pagarle S/. 3548 240, todo ese control obedece a una manera de tener cada cosa en su respectivo lugar. Seguramente el cajero del banco tiene agrupados los billetes de S/. 200, de S/. 100, de S/. 50, de S/ 10, pequeños montoncitos de S/. 5, de S/. 2, de S/. 1, de S/. 0.50, de S/. 0.20, de S/. 0.10 para poder pagar en forma rápida y precisa el monto a un determinado cliente. Sabemos que existen varias clases de conjuntos, tales como: finito, infinito, determinado, indeterminado, etc. Algunos de ellos pueden pertenecer a una o dos clases, por ejemplo el conjunto “El presidente del Perú” que es un conjunto determinado y unitario, asimismo hay otros conjuntos con estas características.
Así tenemos los ejemplos siguientes: Ejemplo 1. “La colección de estudiantes de tu grupo”. Cada estudiante es un elemento. Ejemplo 2. “La colección de estados de la materia”. Sus elementos son: sólido, líquido, gaseoso. Ejemplo 3. “La colección de todas las ciudades del Perú”. Lima es un elemento del conjunto. NOTACIÓN DE UN CONJUNTO Para representar un conjunto se ha convenido emplear llaves { }, dentro de las cuales se nombran los elementos del conjunto, unos a continuación de otros. Dichos elementos, se denotan por letras minúsculas, gráficas, nombres, números, que van separados por comas y punto y coma (;). Finalmente para dar nombre al conjunto e identificarlo fácilmente se emplea o denota por letras mayúsculas. Así tenemos: Ejemplo 1. Sea el conjunto:
B. Contenido Teórico
A = {Teresa, Nelly, Carmen, Adelina}
RESEÑA HISTÓRICA El creador de la teoría de conjuntos, GEORGE CANTOR, nació en Sant Petersburgo (Rusia), el año 1845, de padre Danés y madre alemana, pero su formación matemática la materializó en Alemania, Introdujo la idea de “infinito actual”, es decir, la posibilidad de considerar conjuntos infinitos dados simultáneamente. Se le considera el creador de la teoría de los números irracionales y de los conjuntos. Tuvo entre uno de sus principales opositores a LEOPOLDO KRONECKER científico eminente que a pesar de haber sido su maestro, le impidió el acceso a lo que en la época era un cargo importante, es decir, dictar cátedra en la Universidad de Berlín, limitándose a dictar clases en la no muy brillante Universidad de Halle. La enemistad entre Kronecker y Cantor duró casi toda la vida hasta que se reconciliaron cuando ya Cantor estaba muy enfermo. ¿Qué defendía Kronecker?. El decía que “los números naturales son obra de Dios y lo demás es obra nuestra”; abogada por la combinación finita de los números, le S1MA31B
1er Año Secundaria
era muy difícil reconocer la existencia de los decimales infinitos y de las demostraciones matemáticas de infinitos pasos. Cantor por el contrario fue considerado como el “profeta del infinito”. Existen conjuntos – decía – cuyos elementos son tales que no podemos establecer cuál es el último. A este número muy grande, Cantor le denominó ALEPH CER. En un principio su descubrimiento fue ridiculizado, pero finalmente Cantor vivió lo suficiente para ver que su obra era aceptada en todo el mundo. Murió en Enero de 1918.
I BIMESTRE
IDEA DE CONJUNTO, CONJUNTOS
MATEMÁTICA
04
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
Se lee: “A es el conjunto cuyos elementos son: Teresa, Nely, Carmen, Adelina”. Ejemplo 2. Sea el conjunto: B = {2; 4; 6; 8 } Se lee : “B es el conjunto cuyos elementos son: 2; 4; 6; 8” DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Determinar un conjunto, es indicar o señalar en forma clara y precisa, cuáles son los elementos que forman dichos conjuntos. Existen dos formas para determinar un conjunto: por extensión y por comprensión. 1. POR EXTENSIÓN. Un conjunto se determina por extensión cuando se indican uno por uno los elementos del conjunto. Así tenemos: S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
03
MATEMÁTICA
04
Si a = 0 Si a = 1 Si a = 2 Si a = 3 Si a = 4
Ejemplo. Sean los conjuntos: R = {este, oeste, norte, sur }
1er Año Secundaria
x=0+2=2 x=1+2=3 x=2+2=4 x=3+2=5 x=4+2=6
S = { a, e, i, o , u } Por lo tanto, el conjunto V está conformado de la siguiente manera: T = {1; 3; 5; 7; 9; ...} V = { 2; 3; 4; 5; 6 } En el conjunto de R, se indican cada uno de sus elementos que son los 4 puntos cardinales; en el conjunto S se indican las letras vocales de nuestro abecedario; del mismo modo, en el conjunto T se indican todos los números naturales impares. CLASES DE CONJUNTOS 2. POR COMPRENSIÓN. Un conjunto se determina por comprensión cuando se enuncia una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto. Así tenemos:
Entre las principales clases o tipos de conjuntos, de acuerdo al número de elementos, se pueden considerar los: conjuntos finitos y conjuntos infinitos.
Ejemplo 1. Considerando el conjunto: 1. A = {x / x es P }
Conjunto Finito. Es el conjunto cuyos elementos se pueden contar de uno en uno desde el primero hasta el último. Ejemplos:
Se lee: El conjunto de todos los elementos x, tales que x es P (P es la propiedad)
E = { x / x es un día de la semana }
Ejemplo 2. Sea el conjunto:
F = { 3; 6; 9; 12; ...; 2 505 } B = {x / x es una nota musical }
Dentro el conjunto finito tenemos los siguientes tipos de conjuntos: conjunto nulo o vacío y conjunto unitario o singletón .
Se lee: El conjunto B de todos los elementos x, tales que x es una nota musical. CONJUNTO VACÍO.- Es el conjunto que carece de elementos, y se denota por el siguiente símbolo ∅ o { }.
Ejemplo 3. Sea el conjunto:
Ejemplos:
T={x ∈N/2<x<7}
M = {hombres que viven en Marte}
Se lee: T es el conjunto de los x, tal que x pertenece a N y x es mayor que 2 y menor que 7; o sea que esta formado por los números comprendidos entre 2 y 7; es decir:
N={x/x∈Z, x>8,X<7}
T = {3; 4; 5; 6 }
CONJUNTO UNITARIO.- Es el conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplo 4. Sea le conjunto:
Ejemplos V = { x ∈ N / x = a +2 ∧ a < 5 }
Solución: Para determinar los elementos de V, analizamos las condiciones que presenta: • Como a es menor que 5; toma los siguientes valores: 0; 1; 2; 3; 4 • Para hallar los valores de x, reemplazamos los valores de a en x = a +2; así: Valores
S1MA31B
x=a+2 ↓ ↓
C = { El alcalde actual de tu ciudad } D={x/x∈N ,7<x<9} 2.
CONJUNTO INFINITO. Cuando en el proceso de contar, no se puede llegar al último elemento. Ejemplo. R = { 0; 1; 3; 5; 7; .. }
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
03
MATEMÁTICA
04
S = { x/x es una estrella del universo }
07. 08.
1er Año Secundaria
¿Pueden formar un conjunto, un elefante, una flor, y un alfiler? ¿Qué son elementos de un conjunto?
El conjunto infinito puede clasificarse como: numerable o innumerable. II. CONJUNTO INFINITO NUMERABLE.- Se denomina así, al conjunto cuyos elementos se pueden enumerar consecutivamente, aunque no en su totalidad.
Coloca verdadero (V) o falso (F) después de analizar cuidadosamente los siguientes ejercicios: 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08.
Ejemplos. A = {2x – 1 / x ∈ Z+} B = { 2 ; 4; 6; 8; 10; ... } CONJUNTO INFINITO INNUMERABLE.- Se llama así al conjunto cuyos elementos no se pueden enumerar consecutivamente.
El conjunto es una reunión sólo de objetos materiales ......................................... ( ) Para que sea conjunto bien definido, la idea debe ser precisa ............................. ( ) Los entes que pertenecen a un conjunto se llaman elementos ............................. ( ) Los elementos pueden ser materiales como inmateriales ..................................... ( ) El conjunto de alumnos de C.P “Lord kelvin” no está bien definido .................... ( ) El conjunto de letras: a, b , c, d es un conjunto mal definido ............................... ( ) Dado: “El conjunto de perros” es un conjunto mal definido ................................ ( ) El conjunto de los planetas del Sistema solar” no es un conjunto mal definido ..... ( )
Actividad B: Complete los espacios, según se te indica:
Ejemplo: A={x/5≤x≤7,x∈R}
01. B = { x / x ∈ Q}
Concepto de conjunto determinado: ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... Ejemplos:
02.
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
............................................................................................................................................
Concepto de conjunto infinito:
............................................................................................................................................... Ejemplos:
Responda Ud. a las siguientes preguntas: ¿A quién se le considera el creador de la teoría de conjuntos? ¿A qué nacionalidad pertenece y donde mayormente estudio? ¿Qué defendía el creador de la teoría de conjunto? ¿Quién su principal opositor y qué defendía? ¿Cómo se llama una colección cualquiera de objetos? ¿Hay diferencia de significado entre: “Un conjunto de objetos” y “una colección de objetos”?
b)
...............................................................................................................................................
Actividad A: En base a la lectura anterior, desarrolle en forma personal la tarea que se precisa a continuación.
01. 02. 03. 04. 05. 06.
............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
PRÁCTICA DE CLASE
I.
a)
03.
a)
.......................................................................................................................................
b)
.......................................................................................................................................
Concepto de conjunto unitario: ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
......
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
MATEMÁTICA
04
03
1er Año Secundaria
............................................................................................................................................... I. Ejemplos: a)
.......................................................................................................................................
b)
.......................................................................................................................................
A continuación se te propone una serie de ejercicios tipo IBM, los cuales deberán desarrollar, luego encierra en una circunferencia la alternativa que contiene tu respuesta. No olvides cotejar tus respuestas con la clave (aparece al final de esta sesión). 01.
De los siguientes conjuntos: I. A = {x/ x ∈|Ν ∧ x < 10} III. C = {4; 4; 4; 4}
II. B = {es una vocal fuerte} IV. D = {x/x ∈A ∧ 2 < x < 3}
Actividad C: En los paréntesis colocar la clase de conjunto a la que pertenece, en caso de ser conjunto bien definido y (no se puede determinar) en el caso contrario.
Están determinados por extensión
01.
El conjunto se sillas de tu casa
(....................................... )
02.
Los profesores de matemática saben las operaciones básicas
(.......................................)
a) Sólo I y II d) todas excepto III
03.
A = { x/ x = 2}
(....................................... )
04.
¿Mercurio pertenece al sistema solar?
(....................................... )
05.
¡Auxilio!
(....................................... )
06.
Los perros ladran, señal que estamos avanzando
(....................................... )
07.
W = { 1; 1; 1; ...}
(....................................... )
08.
Los alumnos del colegio “lord kelvin”
(....................................... )
02.
03.
b) {-1; 0; 3; 8; 15} e) N. a.
)
03.
El conjunto E = {x/x = 3} esta determinado por extensión ................................ (
)
04.
Dado: A = {n; i; d; o; s}, se lee "A es el conjunto cuyos elementos son las letras n; i; d; o; s " ........................................................................................................ (
)
Si: T = {x/x es una capital Sudamericana}, se lee "T es el conjunto de todas las x tal que x es una capital Sudamericana"............................................................ (
)
−1 3 15 ; 0 ; ;2; ;6 } 4 4 4
2; 4; -6} d) (0; 2; 4; 6) 05.
b) {1; 2; 3; 4; 5} c)
El conjunto cuyos elementos son: 0 ;
7 20 124 ; ; 21 ; . Determinado 3 3 3
por compresión es: a) {
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
{0;
e) {0; 2; 6}
x 4 −1 / x ∈N} 3
b) {
x2 + 6 / x ∈ N} 3
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 01 S1MA31B
c) {0; 5}
El conjunto “A” es un conjunto cuyos elementos son números naturales y A={
)
Un conjunto se determina por comprensión cuando no se designa a ninguno de sus elementos ................................................................................................ (
05.
Newton
El conjunto: M={x2-1 / x ∈|Ν ∧ 0 ≤ x < 5 } Determinado por extensión es:
a) { 02.
c)
x2 − 1 / x ∈ Ν ∧ x 〈 6 }, determinado por extensión es: 4
Colocar (V) o (F) después de analizar cuidadosamente los siguientes ejercicios. Un conjunto está determinado por extensión cuando no se designa a ninguno de sus elementos ................................................................................................ (
b) Pitágoras e) Cantor
a) {0; 1; 2; 3; 4} d) {0; 3; 8; 15}
Actividad D: En base a la lectura anterior, desarrolle las ideas que se precisan a continuación:
01.
c) sólo I y IV
Se le considera como el creador de la “Teoría de los conjuntos” a: a) Tales de Mileto d) Euclides
04.
I.
b) Sólo II y IV e) N. a.
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
c) {
x2 +1 / x ∈ N} x
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d) { 06.
x2 + 3 / x ∈ N} 3
1er Año Secundaria
1er Año Secundaria
Determinar por extensión los siguientes conjuntos. 01.
El conjunto de los días de la semana.
02.
Los números naturales comprendidos entre 5 y 26.
03.
El conjunto de los números naturales.
04.
T = {y / y ∈ N ; 56 < x < 56 }
El conjunto M = {2; 3; 4; 5; 6; 7}, determinado por comprensión:
05.
R = {y / y = 2 x , x < 4 , x ∈N}
M = { x − 1 / x ∈ N ∧ 2 ≤ x < 8 } b) M = { x − 1 / x ∈ N ∧ 2 ≤ x ≤ 8 } c) M = { x − 1 / x ∈ N ∧ 2 < x < 8 } d) M = { x − 1 / x ∈ N ∧ 2 < x ≤ 8 }
06.
P = {x ∈ N / x < 8 }
07.
R = {z ∈N / z = 3 x ; 1 < x < 6}
Sea R={x/x ∈ N ∧ x < 18 ∧ x es número primo} determinado por extensión es: a) R = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 17} b) c) R = {3; 5; 7; 11; 13; 17}
07.
I.
e) N.a.
MATEMÁTICA
04
03
R = {0; 1; 2; 17} d) R = {1; 17}
e) N.a.
a)
e)
N.a. 08.
Sea el conjunto: T = {a ∈ N / a = 3 x; 1 < x < 5} . Determinado por extensión es: a) T = {6; 9; 12} b) T = {1; 2; 3; 4} d) T = {3 x ∈ℵ/ 1 < x < 5} e)
09.
II.
c) T = {2; 3; 4} N.a.
Dados los conjuntos:
{ N = {x
Determinar por comprensión los siguientes conjuntos. 01.
L = {3; 4; 5; 6; 7}
02.
Q = {a; e; i; o; u}
03.
B = {13; 14; 15; 16}
04.
G = {0; 1; 2; 3; 4; 5;....}
} − 1 / x ∈ N ∧ 4 ≤ x < 9}
M = x2 +1/ x ∈N ∧ 2 < x < 6 2
La cantidad de elementos comunes es: a) 2
10.
b) 3
c) 0
d) 6
e) N.a.
RELACIÓN DE PERTENENCIA Y
De las afirmaciones: I. Los atletas más valores del mundo. II. ¿Por qué los conjuntos es una colección de elementos? III. Los peces respiran por las branquias. IV. Los alumnos de alto coeficiente intelectual.
I.
1. Halla el cardinal de un conjunto dado por extensión como por comprensión. 2. Reconoce cuando un elemento pertenece a un conjunto.
Son conjuntos bien definidos: a) Sólo I y II d) Ninguno
Objetivos Específicos:
b) Sólo I y IV e) Todas
c) Sólo III
II.
Procedimientos: A. Motivación: Responda a las siguientes preguntas:
TAREA DOMICILIARIA
* S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
¿Cuántos elementos tiene el conjunto A?. “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
03
MATEMÁTICA
04
1er Año Secundaria
A = { 0; {1; 2 } ; {1;3;4} }
NUMERO CARDINAL
Respuesta: ................................................. *
Se denomina número cardinal o simplemente cardinal de un conjunto, al número de elementos de dicho conjunto.
¿El elemento 1 pertenece al conjunto A? Respuesta: ................................................. ¿ { 3 } pertenece al conjunto A ?.
Se denota de la siguiente manera: Car (A) = n(A) = Nº de elementos de A
Respuesta: ............................................... ¿ {1; 2} pertenece al conjunto A ?.
Ejemplo 1.
Respuesta: ...............................................
Determina el número cardinal del siguiente conjunto:
B. Contenido Teórico:
A = { r, s, t, u, v, x, y, z} RELACIÓN DE PERTENENCIA
Solución:
Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto, se escribe el símbolo ∈ y en caso contrario se escribe el símbolo ∉. Así tenemos:
{r, s, t, u, v, x, y, z } ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 2 3 4 5 6 7 8 N° cardinal de A
Ejemplo 1. Si A = {1; 2; 4; 7}, entonces podemos afirmar que: 1 ∈ A ⇒ “1 pertenece a A” 2 ∈ A ⇒ “2 pertenece a A” 3 ∉ A ⇒ “3 no pertenece a A” 4 ∈ A ⇒ “4 pertenece a A”. 5 ∉ A ⇒ “ 5 no pertenece a A” 6 ∈ A ⇒ “7 pertenece a A” Ejemplo 2.
Por lo tanto el conjunto A indica que tiene 8 elementos, es decir: Car(A) = n(A) = 8 Ejemplo 2. Sea el siguiente conjunto: B = {2; 4; 6; 8; 10 } Solución: Observando que el conjunto de B tiene 5 elementos, es decir:
Si B = {a; b; c; d}, entonces podemos afirmar que: a ∈ B ⇒ “a pertenece a B” b ∈ B ⇒ “b pertenece a B” f ∉ B ⇒ “f no pertenece a B” c ∈ B ⇒ “c pertenece a B”
Car(B) = n(B) = 5 NUMERO ORDINAL Se llama número ordinal, al número natural que corresponde a cada elemento del conjunto. Así por ejemplo, si contamos los elementos del conjunto A (Ejemplo 1), de izquierda a derecha, el ordinal de los elementos será:
Ejemplo 03. Dados los conjuntos: A = {1; 2; {3}; 4; {5; 6}; 7} y B = {0; {1}; 2; 3; {4}} Se tiene que: a) 1 ∈ A e) {7}∉ B
S1MA31B
Analizando el conjunto A, notamos que tiene 9 elementos, porque:
b) {1} ∈ B f) {5} ∉ A
c) {3} ∈ A g) 6 ∉ A
d) 7 ∈ A h) {2} ∉ B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
De “r” es 1 ⇒ “r” es el 1er elemento. De “s” es 2 ⇒ “s” es el 2do elemento. De “t” es 3 ⇒ “t” es el 3er elemento. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
MATEMÁTICA
04
03
1er Año Secundaria
Los conjuntos se representan gráficamente, haciendo uso de regiones planas, cerradas que tienen diferentes formas: ovaladas, triangulares, rectangulares, circulares, dentro de las cuales se ubican los elementos que le pertenecen al conjunto, y fuera, los elementos que no le pertenecen. A esta representación gráfica de los conjuntos se llama diagramas de Venn, en honor al matemático John Venn, quien sistematizó su empleó.
PRÁCTICA DE CLASE I.
Desarrolle lo que se le solicita: 01.
Ejemplo 1. Representa gráficamente los siguientes conjuntos:
Sea: A = {1; 2; 3; { 2 } } ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?
U = {2; 3; 5; 7; 9}
* 1 ∉ A
A = {2; 5; 7; 9}
a) 1 02. U
2
A
7
5 9
Se lee: “A es el conjunto cuyos elementos son: 2; 5; 7; 9. Además observamos: 2∈A 7∈A
; ;
5∈A 3∉A
b) 2
φ∈A 3∈A 1∈A {1} ∉ A {3} ∉ A φ ∉ A
a) FVFFVV 03.
Ejemplo 2. Gráficamente representa los siguientes conjuntos:
* {2} ∉ A
c) 3
* φ∈A
d) 4
e) N.a.
d) FVFVFV
e) N.A
d) 38
e) 18
d) 18
e) 23
d) FFVVVV
e) N.a.
Colocar el valor de verdad a cada proposición si: A = {2; 3; {1} ; {2; 1} } * * * * * *
3
* {2; 3} ∈ A
( ( ( ( ( (
) ) ) ) ) )
b) FFVVFF
c) FFFVVV
P y Q son dos conjuntos tales que: n (P U Q) = 30; n(P - Q) = 12; n (Q - P) = 10 Calcular: n (P) + n (Q)
A = { 1; 3; 5; 6; 8; 10 } a) 15
b) 35
c) 28
B = {7; 5; 3; 9; 10 } 04. C = {9; 8; 5; 3; 11 } 1
A 6
B 10 3 5
8
1 ∈ A 8∉B
10 ∈ A ∩ B 11 ∈ C
a) 10
7
05.
7∉ A 8 ∈ A∩C
C
7 ∈ B 1∉C
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
c) 15
Colocar el valor de verdad a cada proposición si:
9 ∈B∩C
a) FVVVVV S1MA31B
b) 12
A = {{2} ; 3; 1 ; {2; 1} } * φ ∈A ( ) * 3 ∈A ( ) * 1 ∈A ( ) * {1} ∉ A ( ) * {3} ∉ A ( ) * φ ∉ A ( )
9
11
Calcular la suma de los elementos del conjunto A. A = {x/x ∈ N; 10 < 3x + 2 < 18 }
S1MA31B
b) FVFVFV
c) FFFVVV
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 06.
1er Año Secundaria
a) 4
1er Año Secundaria
a) 10 06.
b) 3
MATEMÁTICA
04
Se tiene: A = {1; {1}; 1; φ}. ¿Cuál es el cardinal de A?.
07.
03
c) 2
d) no se puede determinar
b) 11
c) 24
*
B = {x/x ∈ N; 17 < 3x + 2 < 21 }
*
c) 11
d) 15
*
* *
b) 6
e) 17
Del gráfico:
e) N.a.
Calcular la suma de los elementos del conjunto B.
a) 17
d) 16
* *
* *
*
*
e) N.A.
¿Cuántos elementos pertenecen al rectángulo y al círculo pero no al triángulo? EJERCICIOS PROPUESTOS N° 02 01.
a) 2 07.
Dado el conjunto A = {0; {1}; 2; {3; 4}} y las afirmaciones: I. {0} ∈ A
II. {2} ∉ A
Son ciertas: a) Sólo I y II 02.
b) sólo II y III
c) Solo III y IV
d) Sólo II
e) N.A.
08.
El conjunto M es: b) {a; {c; e}; d} e) N.a.
a) F = {x / x es par} b) F = {x / x es impar} c) F = {x / x = 2n-1} d) F = {x / x = 2n+1 ∧ 1 ≤ n ≤ 5} e) F = {x / x = 2n – 1 ∧ 1 ≤ n ≤ 5} Para dos conjuntos M y N se tiene que:
Hallar la suma de los elementos de N:
c) {a; c, d}
Dado: A ∪ B = {2; 3; 4, 5, 7, 8, 9}; A ∩ B = {2; 7} B - A = {8; 9; 10}. Hallar n(B): a) 1
04.
b) 2
c) 3
09. d) 6
05.
c) 12
d) 15
e) 20
d) 38
e) 44
P y Q son dos conjuntos, tales que:
Calcular: n(P) + n(Q)
II) {4; 5} ∉ R V) {5, 4} ∈ R
III) {3} ∉ R
a) 15 10.
Son ciertas: a) 2
b) 18
n(P ∪ Q) = 38; n(P – Q) = 12; n(Q - P) = 20
e) 5
Del conjunto: R = {3; {4; 5}; 0}, se afirma: I) {0} ∈ R IV) 4 ∈ R
e) 0
Determinar por comprensión:
a) 31 03.
d) 4
M ∪ N = {x / x ∈ N ∧ 2 ≤ x ≤ 8} M ∩ N = {5} M – N = {4; 6; 7}
Si: a ∈ M; b ∉ M; {c; d} ∈ M y {e} ∉ M
a) {a; b; c} d) {a; {c; d}}
c) 3
F = {1; 3; 5; 7; 9}
IV. {4} ∈ A
III. n(A) = 5
b) 1
b) 35
c) 28
Sea: A = {1; 2; 3; {2}} ¿Cuántas de las proposiciones son verdaderas?
b) 3
c) 10
d) 1
Si: n(A-B) = 2; n(B-A) = 5 y n(A∩B) = 4.
e) N.a.
*1⊂A
* {2; 3} ∈ A
a) 2
b) 3
* Φ⊂A c) 4
* 2∈A d) 5
Hallar: n(A) + 2n(B) S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) 6
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
04
03
MATEMÁTICA
1er Año Secundaria
TAREA DOMICILIARIA Ejemplo: Sean los conjuntos: 01.
Sea M = {3; 4; {5}; {6; 7}} A = { 1; 2; 3 } ; B = {1; 2; 3; 4; 5} ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son falsas? II) {6} ∉ M V) {{5}} ∈ M
I) {3}∈ M IV) Φ ∈ M 02.
Se verifica que A es subconjunto de B, es decir, que el conjunto A está contenido en B. Aplicando el Diagrama de Venn se tiene:
III) {7, 5} ∈ M
B
Dados: n(A∪B) = 50; n(A-B) = 10; n(A ∩B)=15
A
Calcular: n(B-A) 03.
.4
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Y
II.
.2
A ⊂ B ó B ⊃ A Se lee :
Objetivos Específicos: * *
.3 .5
Calcula la suma de los elementos del conjunto R = {2x- 1 / x ∈ N, 10 < 3x – 2 ≤ 19}
I.
.1
Establece los diversos tipos de relaciones que existen entre cada par de conjuntos. Halla el conjunto potencia y su respectivo cardinal.
Cuando un conjunto se encuentra incluido dentro de otro se dice que ambos son conjuntos comparables. 2. Relación de no inclusión. Esta relación se presenta, cuando un conjunto no es subconjunto de otro. Se presenta dos casos: •
Procedimientos:
“A es subconjunto de B” “A está incluido en B” ó “B incluye a A” “B contiene a A”
A. Motivación:
Cuando los dos conjuntos en referencia tienen algún elemento en común, se tiene una relación de intersección. Ejemplo. Sean los conjuntos:
¿Qué relación existe entre los conjuntos A y B en cada caso?
A = { a, e, o} B = {i, o, u }
B
A
1. 3. 5.
A
7.
B .a
9.
.o .e
A = {x/x es una letra de la palabra amor} B = {Es una letra de la palabra mar} B. Contenido Teórico:
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
.u
A ∩ B •
1. Relación de Inclusión. Se dice que un conjunto A está incluido en B, cuando todos los elementos del conjunto A, están contenidos en el conjunto B; es decir, es un subconjunto. Simbólicamente se denota: A ⊂ B o también B ⊃ A.
.i
Cuando dos conjuntos en referencia no tienen ningún elemento común, reciben el nombre de conjuntos disjuntos. Ejemplo. Sean los conjuntos:
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
MATEMÁTICA
04
03
1er Año Secundaria
{2; 4; 6} M = { 4; 6; 8 } N = { 5; 7; 9 }
PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN M
N .4
.5 .6
.8
.7 .9
Verificamos que M y N son conjuntos disjuntos, porque M y N no tienen ningún elemento que se repite o común. NOTA: Para que quede claro la relación entre conjuntos, es importante definir un subconjunto. Subconjunto. Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento de A está en B. Simbólicamente se denota : A ⊂ B. Aclarando el concepto, sabemos que: si A es un subconjunto de B, decimos que A es parte de B, que A está incluido en B, o que B contiene a A.
*
Conjunto Vacío. Es subconjunto de cualquier conjunto; es decir:
*
Transitiva. Si un conjunto está incluido en otro, y éste en un tercero, entonces el primer conjunto está incluido en el tercer conjunto. Es decir, se cumple:
∅ ⊂ A
Si A ⊂ B y B ⊂ D ⇒ A ⊂ D 3. Relación de Igualdad. Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos. Si: A=B⇒A⊂B ∧ Ejemplos:
B⊂A
M = { 1; 3; 5; 7 } N = { 2x – 1 / x ∈ Z ,1 ≤ x < 5}
Ejemplos:
En los conjuntos observamos que:
A = { 3; 4; 5 } B = {3; 4; 5; 6 }
b ∈ A d ∈ A
Luego los elementos b y d de B están en A, entonces B⊂ A. Si A no es subconjunto de B, se escribe A ⊄ B; se lee: A no es parte de B A no está incluido en B
A no es subconjunto de B
Subconjunto Propios. Dado un conjunto A, su número de subconjuntos será:
2 n ( A) − 1 No se considera el mismo conjunto A. Ejemplo: Sea el conjunto A={2; 4; 6}, los subconjuntos propios de A serán: {2},{4},{6},{2;4},{2; 6},{4; 6},∅ No es subconjunto propio de A: S1MA31B
Reflexiva. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo; es decir : A ⊂ A
4. Conjuntos Diferentes. Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no tiene el otro.
A = { a, b, c, d } B={b,d}
y y
*
⇒ M y N son dos conjuntos iguales.
Ejemplo: Sean los conjuntos:
b ∈ B d ∈ B
La inclusión goza de las siguientes propiedades: reflexiva, conjunto vacío y transitiva.
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
6 es elemento del conjunto B, pero no es elemento A ⇒ A ≠ B. 5. Conjuntos disjuntos. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elemento común alguno. Ejemplos: A = { 2 ;4 ; 6; 8 } B = { x / x es una vocal } 6. Relación de Coordinabilidad de conjuntos. Dos conjuntos son coordínables, equivalentes o equipotentes ( < >), si tienen el mismo número de elementos o el mismo cardinal. A ={ 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10} ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ B ={ a ; e ; i ; o ; u }
son coordinables
Graficando, tenemos: S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
A
B
.2 .4 .6 .8 .10
a. e. i. o. u.
03
MATEMÁTICA
04
1er Año Secundaria
C = [ mamíferos} Analizando los conjuntos, concluimos que el conjunto universal está formando por todos los animales, es decir: U = { los animales } Su diagrama correspondiente es el siguiente:
7. Conjunto de Conjuntos. Es aquel conjunto, donde al menos uno de sus elementos es un conjunto a su vez. Así tenemos: Ejemplo 1. Sean los conjuntos siguientes:
B
A aves
a) M = { { 5; 4}, { 7}, ∅ }
C
Analizando el conjunto de conjuntos, observamos que: M = { {5; 4}, {7} , ∅ } conjunto vacío conjunto con 1 elemento conjunto con 2 elementos
peces
mamíferos
U
CONJUNTO POTENCIA Se llama conjunto potencia de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A y se le denota como P(A). El número de elementos de P(A) o número de subconjuntos de A, está dado por:
n[ P ( A) ] = 2 n ( A )
Entonces M es una familia de conjuntos.
donde n(A) representa el número de elementos del conjunto A.
b) N = { { 1; 2} ; {4; 3}; 9 : ∅ } Entonces N no representa a una familia de conjuntos, pero si es un conjunto de conjuntos. Ejemplo 2. Sean los conjuntos:
Ejemplo 01: Dado: A = { 14; 17}
A = { 3; 4; {5 }; 1} B = { {Ana}, {Dora, María }, {Rosa} } C = { {2; 4; 6}; {a, b, c }7 ; 8 } D = { {e, f }, {0; 1; 3} Es importante saber que cuando todos los elementos de un conjunto, son conjuntos; recibe el nombre de familia de conjuntos. Así tenemos en el ejemplo anterior. A, B, C, D son conjuntos de conjuntos B, D son familia de conjuntos
⇒ n[P(A)] = 22 = 4
Su conjunto potencia será : P(A)={ {14}, {17}, {14;17}, ∅ } Ejemplo 02: Si: n[P(A)] = 16. Hallar n(A) *
De la definición:
8. Conjunto Universal. Es el conjunto referencial que nos permite identificar a otros conjuntos incluidos en él. Se denota por la letra U y su gráfico se realiza preferentemente en un rectángulo; así tenemos: Ejemplo: Sean los conjuntos A = { Aves } B = {peces } S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN n[ P(A)] = 2 16 2
=2
4
1er Año Secundaria
n(A)
*
Recordando x a = a y ⇔x = y
n(A)
MATEMÁTICA
04
03
1er Año Secundaria
Ahora calculamos lo que nos piden: n(A∪B) = 3 + 3 + 2 = 8 Rpta.
= 2 n(A)
4 = n (A)
Ejemplo 03: Si: n[P(A)] = 64; n[P(B)] = 32 n[P(A ∩ B)] = 8.
ACTIVIDAD: En base a la lectura anterior, desarrolle las tareas que se precisan a continuación.
Hallar; n[A ∪ B]
I.
*
Aplicamos la definición en cada caso: Primero:
↓ ↓
2 Segundo:
n(A)
=2
6
n(A)
=2
↓ ↓
2
Tercero:
n(B)
=2
⇒
5 = n (B)
10. 11. 12.
∩ n[P(A ∩ B)] = 2 n(A B) ↓
8
↓
2
n(A ∩ B)
=2 3
n(A ∩B)
=2
⇒
II.
3 = n (A ∩B)
Ahora graficamos y colocamos los cardinales obtenidos.
3
Recordando Como hay intersección entre entre A y B, se grafica así:
B
A
S1MA31B
06. 07. 08. 09.
n(B)
=2
5
6 = n (A)
n(B)
n[P(B)] = 2 32
⇒
3
Colocar verdadero (V) o falso (F) después de analizar cuidadosamente los siguientes ejercicios: 01. 02. 03. 04. 05.
n(A)
n[P(A)] = 2 64
*
PRÁCTICA DE CLASE
2
A
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
B
El conjunto A = {0; 2; 4; 6; 8} es un conjunto finito. El conjunto C = {0; 1; 3; ...} es un conjunto infinito. El conjunto de "estudiantes del planeta tierra es un conjunto finito. El conjunto A = {x/ x = 1,333 ...} es un conjunto infinito. El conjunto finito es aquel conjunto en el que el número de elementos no se puede contar. El conjunto Universal es un conjunto menos amplio que un conjunto vacío. los diagramas de Venn-Euler, se representan mediante figuras sólo rectangulares. Si M = {*}, N = {1; *}, U = {1; 2; *} entonces: *∈ M, *∉ N, {*} ∈ U. Conjuntos disjuntos son los conjuntos que tienen, por lo menos, un elemento común. ( ) Los conjuntos: D = {x ∈ N/ x < 3}, E = {x∈ N/ x > 3} son conjuntos disjuntos. Dados: L = {x∈ N/20 < x < 21}, M = {20; 21; 22} son conjuntos diferentes. Dados los conjuntos: C = {x ∈ N/ x = 3y ^ 2< y < 7}, D = {8; 9; 7; 6} son conjuntos no disjuntos.
( ( ( (
) ) ) )
( ( ( (
) ) ) )
( ) ( ) ( )
Dados los conjuntos, identificar que clase de conjunto es: 01.
A = {{0}}
(........................................)
02.
B = {x/ x es una persona que mide 10 metros de altura}.
(........................................)
03.
Q = {x/ x es una "x"}
(........................................)
04.
El conjunto de personas que viven en el Sol.
(........................................)
05.
El conjunto de células de la planta de la mano de un gato.
(........................................)
06.
El conjunto de puntos de una recta.
(........................................)
07.
Z = {x ∈ N/ x es múltiplo de 3}
(........................................)
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 08.
1er Año Secundaria
M = { x – 2/x ∈ N ^ – 2 < x < 100000}.
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 03 Dados los conjuntos:
09.
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}; A = {x/ x ∈ N ∧ 1 ≤ x < 6}; B = {x + 1/x ∈ N ∧ 0 < x ≤ 4} y C = {1; 2; 6} Hallar: n[P(A)] + n(B) – n[P(C)] a) 28 02.
b) 16
1er Año Secundaria
(........................................)
08.
01.
MATEMÁTICA
04
03
a) 6 b) 12 c) 15 d) 8 Dado el conjunto: A = {2; {3; 4}; {5}} es un elemento de P(A).
e) 9
a) {2; 3}
e) N.a.
10.
d) 24
d) 32
e) N.a.
e) N.a.
c) {5}
b) 2
c) 16
d) 8
e) 9
El número de subconjuntos de { } es: a) 0 d) No se puede determinar
¿Cuántos subconjuntos tiene R?
d) {{2}}
El conjunto "M" tiene 2 subconjuntos más que "N" que es unitario. Hallar n(M): a) 1
c) 32
b) {{3; 4}}
b) 2 e) faltan dados
c) 1
R = {1; {1}; 1; φ} a) 4b) 8 03.
d) 8
e) 9
c) 7
d) 8
c) 6
d) 5
e) 2 B
A b
a c
07.
01.
El conjunto de los dedos de la mano derecha: (.........................................)
02.
El conjunto de los cabellos de todas las personas que viven en Trujillo: (.........................................)
Del gráfico; se cumple:
a) a = n(A) – n(B∪C) d) Todas
Coloque la clase de conjunto a la que pertenece:
e) 15
La unión de dos conjuntos A y B tienen 126 subconjuntos más que su intersección que es un conjunto unitario.¿Cuántos elementos tiene el conjunto A, si (B – A) tiene dos subconjuntos? a) 3b) 4
06.
c) 7
I.
Si el conjunto A tiene 2 elementos, ¿Cuántos subconjuntos propios tiene P(A)? a) 3b) 4
05.
TAREA DOMICILIARIA
¿Cuántos subconjuntos propios tiene W? W = {{3; 4}; {5; 6}; 0} a) 3b) 4
04.
c) 16
C
b) b = n(B) – n(A∪C) e) Ninguna
03. II.
Los gatos más veloces: (.........................................)
Halla los subconjuntos y el cardinal del conjunto potencia de: 01.
A ={a; b; c}
02.
B = {m; n; p; q}
03.
C = {x/ x ∈ Z; – 3 < x < 2}
04.
D = {x + 1/ x < 3 ∧ x es natural}
c) c = n(C) – n(A∪B)
Del gráfico, hallar n(A) + n[P(B ∩C)] A .2 .1
.3 .0
S1MA31B
.5 .6
B .4
.9
.8
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...” .7
C
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
03
MATEMÁTICA
04
1er Año Secundaria
Ejemplo: Dado los conjuntos: A = {2; 3; 5} y B = {1; 2; 4; 6}, hallar:
OPERACIONES ENTRE
a) A ∪ B
b) B ∪ A
c) A ∪ A
d) B ∪ B
Solución: I.
Objetivos Específicos: *
a)
Interpreta y aplica la definición de las operaciones entre conjuntos en la solución de ejercicios y problemas.
A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Gráficamente: A
II. Procedimientos: A.
B.
.3
Motivación: Colocar verdadero (V) o falso (F), en cada caso * * * * * *
A∪A=A A ∪ B = B ∪A A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C A ∩A =A A∩B=B∩ A A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (
( ( ( ( (
B
.5
) ) ) ) )
b)
)
A
B
.3 .5
c)
.2
.4 .6
A U A = {2, 3, 4} Gráficamente: A .2 .3
Y gráficamente así:
.5
B
Para Conjuntos Traslapados A B
Para Conjuntos Incluidos A
S1MA31B
.1
BUA
Simbólicamente se denotaría así: A ∪ B = {x/ x ∈ A ó x ∈ B}
AUB
.6
Gráficamente:
REUNIÓN ENTRE CONJUNTOS: La operación de reunión entre los conjuntos A y B, son todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. La operación de Reunión tiene como símbolo: ∪
A
.4
B ∪ A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Contenido Teórico: Actividad: Lea analíticamente los contenidos que se te alcanza, subraya todo lo que te parece de importancia para la comprensión del tema y completa intuyendo los espacios punteados.
Para Conjuntos Disjuntos
.2
AUB
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS. 1.
.1
AUB
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
AUB
AUA B
2.
INTERSECCIÓN: La intersección entre los conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B; es decir; formado por los elementos comunes. Simbólicamente se denotaría así: A ∩ N = {x/ x ∈ A ∧ x ∈ B} Y gráficamente así:
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Para Conjuntos Incluidos
1er Año Secundaria
A ∩ B= φ
A∩ B
b) B ∩ C
Dados A = { 5; 6; 8; 9 } , B = { 9; 10; 11; 12 }, entonces: A ∪ B = { 5; 6; 8; 9; 10; 11; 12 }.
(
)
05.
Dados: Q= { x ∈ N/ 10 ≤ x < 15 }, L = { 6; 7; 8 }, Luego: Q ∩ L = { }.
(
)
06.
Dados: H = { x ∈ N/ x < 6 } , X = { 9; 8; 7; 6 } , Y = { x+1/ x ∈ N ∧ 4 < x < 8 }. Luego: (H ∩ X) ∪ ( X ∩ Y) = {6; 7 }.
(
)
c) A ∩ C
d) A ∩ B ∩ C
II.
En tu cuaderno:
Solución: Nota: Para desarrollar cualquier ejercicio sobre conjuntos, primeramente se debe tener el conjunto determinado por extensión.
Dados los conjuntos: A= { x -2/ x ∈ N ∧ 3 ≤ x < 7}; B= {x+1/ x ∈ N ∧ x < 8 } y C= { x/ x es múltiplo de 3; x < 18 }
Primero: Determinando por extensión los conjuntos A; B y C, tenemos:
Determinar: a) A ∪ (B ∩ C) d) ( A ∩ B ) ∪ B
A = {3;4;5};
B = {-1;0;1;2};
C = { -2;-1;0;1;2;3;4}
Segundo: Hallando las operaciones solicitadas:
3.
a) A ∩ B = { }
b) B ∩ C = { -1; 0; 1; 2}
c) Hágalo Ud.
d) Hágalo Ud.
............................................................
............................................................
Actividad: En base a la información anterior y a tus deducciones lógicas, desarrolla lo que se te solicita. I.
04.
A∩ B
Ejemplo: Dados los conjuntos: A ={x / x ∈ N ∧ 2 < x < 6}; B = {x /x ∈ Z ∧ -2 < x < 3} y C ={ x + 2 / x ∈ Z ∧ -5< x < 3} Hallar: a) A ∩ B
1er Año Secundaria
Luego: (K ∪ L) ∪ (L ∪ K) = N .
B
A
B
MATEMÁTICA
04
Para Conjuntos Traslapados A B
Para Conjuntos Disjuntos
A
03
Sean los conjuntos: P= { 0; 1; 2; 3 } ; Q= {2; 5; 6; 7}. Luego: P ∪ Q = {0; 1; 6; 7}.
02.
Se tiene: F = { x ∈ N/ 4 < x < 8 }; G= { x+1/ x ∈ N ∧ 2< x < 5}. Luego: F ∪ G = { 3; 4; 5; 6; 7 }. Se tiene K = {x/ x ∈ N, 4 ≤ x ≤ 5 }, L= { x ∈ N/ x >1 }.
03.
S1MA31B
( (
Simbólicamente se denota así: A – B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B} Y gráficamente así:
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
A
Para Conjuntos Disjuntos
B
Para Conjuntos Traslapados A B
Para Conjuntos Incluidos A
)
)
A-B (
c) C ∩ ( B ∪ C)
DIFERENCIA: La diferencia del conjunto A menos el conjunto B, es el conjunto formado por los elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto B; es decir, es el conjunto formado los elementos que sólo pertenecen al conjunto A.
Colocar verdadero (V) o falso (F) después de analizar cuidadosamente los siguientes ejercicios: 01.
b) (A ∪ B) ∩ C e) ( A ∪ B) ∩ ( C ∩ B)
)
A-B
Ejemplo: Dados los conjuntos A = {x/ x ∈ N ∧ x < 5}, S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
A-B= φ
B
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
03
B = { x-2/ x ∈ Z ∧ -1 < x < 3} y C ={2x-3 / x ∈ Z ∧ -1 < x < 4}
1er Año Secundaria
Simbólicamente se representa así: A ∆ B = { x / x ∈ [(A ∪ B) – ( A ∩ B ) ] }
Hallar: a) A – B
MATEMÁTICA
04
También puede representarse así: b) B - C
c) C – B
d) A – C
Solución:
A ∆ B = { x / x ∈ [(A – B) ∪ (B – A ) ] Y gráficamente así: (Hágalo usted)
Primero: Determinamos los conjuntos A, B y C; por extensión: (hágalo Ud.) A = { ...........................................................................................} B = { ...........................................................................................}
A
Para Conjuntos Disjuntos
Para Conjuntos Incluidos
Para Conjuntos Traslapados A B
B
A
C = { ...........................................................................................} Segundo: Hallamos las operaciones que se nos solicitan. (Debe hacerlo Ud.) a)
A∆ B
b)
A∆ B
A∆ B
Ejemplo: Dado los conjuntos: A = { x + 3 / x ∈ N ∧ 2 ≤ x < 6} B = { 2x – 1 / x ∈ N ∧ 2 ≤ x ≤ 6} C = { x (x – 1) / x ∈ N ∧ 2 ≤ x ≤ 5} Hallar: c)
d)
a) A ∆ B
b) A ∆ C
c) (A U B) ∆ C
Solución: Primero: Determinar cada conjunto por extensión: Hallando lo solicitado. A = {5, 6; 7; 8} B = { 3; 5; 7; 9, 11} C = { 2; 6; 12; 20} a) A ∆ B = { ......................................................} 4.
DIFERENCIA SIMÉTRICA: La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B; pero a ambos. Y tiene como símbolo:
S1MA31B
∆
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
b) A ∆ C = { ......................................................} c) A ∪ B =
{ ......................................................}
Luego: (A ∪ B) ∆ C =
{ ......................................................}
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
B
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
MATEMÁTICA
04
03
1er Año Secundaria
2° (A ∪ B) – C = {4; 5; 7} 5.
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO RESPECTO A UN CONJUNTO UNIVERSAL O DE REFERENCIA: El complemento de un conjunto A, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal; pero no pertenecen al conjunto A; es decir, los elementos sólo pertenecen al conjunto U. Su símbolo es: ′;
Finalmente: [ ( A ∪ B ) – C ] ′ = {.....................................................................}
PRÁCTICA DE CLASE
; A ; CA I.
Simbólicamente sería así:
Colocar (V) si es verdadera o (F) si es falsa, según corresponda en cada afirmación: 01.
Dados: J = {x ∈ N/ x > 9}; K = {4; 5}; L = {0; 3; 7}. Luego:(J ∪ L) ∪ (K ∪ L)= {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}
(
)
02.
Dados: H = {x ∈ N/ x < 6} ; X = {9; 6; 7; 8} ; Y ={5; 6; 7}. Entonces: (X ∩ H) ∪ ( X ∩ Y)= {6; 7}
(
)
03.
Si: Q = { x ∈ N/ x >104}; P = {101; 102 }; T = {10}. Entonces: Q – (P U T)= {x ∈ N/ x > 104}
(
)
Ejemplo: Dado los conjuntos:
04.
U = Universal = { x ∈ N / x < 10} A = { x ∈ B / B = <3; 7] } C = { x2 – 3 / x ∈ N ∧ 2 ≤ x ≤ 3 }
Dados: U = { x ∈ N/ 6 < x ≤ 9 } ; C = {7} ; D = {8}; Luego: C’ ∪ D’= {7; 8; 9}
05.
Si: U = {0; 4; 8; 12; 16} y J= {4; 8; 12; 16}. Entonces: J’ – J = { }
(
)
06.
Si: U = {x ∈ N/ x ≤ 10}; N = { x ∈ N/ x ≤ 5}. Entonces: (N ∩ U)’ = {x /x
(
)
A ′ = {x / x ∈ ∪ ∧ x ∉ A} Gráficamente es: U A
A
Hallar: a) A ′
c) (A ∩ B) ′
b) CB
d) [ (A ∪ B) – C ] ′
Solución: Determinar por extensión los conjuntos: U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} B = {4; 5; 6; 7} Hallando lo solicitado:
A = {4; 5; 6; 7} C = {1; 6}
II.
N ∧ 5 < x ≤ 10}
Dados el siguiente gráfico, determinar la operación: . 16
a) A′ = {0; 1; 2; 8; 9} b) CB = B ′ = {0; 1; 2; 8; 9} c) (A ∩ B) ′ 1° A ∩ B = {4; 5; 6; 7} 2° (A ∩ B) ′ = {0; 1; 2; 3; 8; 9}
Q . 18
U . 17 . 19
(Q – U) ∆ (Q ∩ U) = {.......................................................................}
d) [(A ∪B) – C] ′ 1° A ∪ B = {4; 5; 6; 7} S1MA31B
∈
(
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
)
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
03
05. EJERCICIOS PROPUESTOS N° 04 01.
U = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 } A = { x / x ∈ [ 1; 5 ] ∧ x ∈ N } B = { 2; 3; 4; 5 } C = { 1; 2, 6 } Hallar: [ ( B ∩ C) ′ - ( A ∩ B ∩ C)] ′
02.
b) { 2; 3 }
Dado los conjuntos:
¿Cuántos subconjuntos tiene C? a) 1b) 4 06. c) { 1, 2; 3 }
d) U
e) { 2 }
B
e) 16
Calcular la suma de elementos de B:
07. C
b)
c) 6
d) 5
e) 4
Calcular el valor de verdad de cada proposición, si: A = {8; 3; {2}; {1; 3}}
b) [ (A ∩ B) – C] ∪ ( C – A ) d) [ C - (A ∪ B) ] ∪ [ (A ∩ B) – C ]
I. 3 ∈ A a) VVVV
¿Cuáles de las siguientes expresiones representa el área achurada? 08.
B
A
d) 8
Sean los conjuntos:
a) 10
a) [ (A ∪ B) – (B ∩ C) ] ∪ [ C – (A ∪ B) ] c) [ (A ∩ B) – C] ∪ ( C – B )
c) 5
A = {x ∈ Z/ x 2 ≤ 4} B = {Y ∈ A / Y = r +2; r ∈ A}
¿Qué relación dada entre conjuntos, identifica a la zona achurada? A
03.
1er Año Secundaria
A = {1, {1; 2}; 2}; B = {{2}; 1; {1; 2}} y C = (A ∪ B ) – (A ∩ B)
Dados los conjuntos
a) φ
MATEMÁTICA
04
II. 2 ∈ A b) VFFV
III. 8 ∈ A c) FVF
IV. 3 ∈ {1; 3} d) FFVF
e) FFFF
d) {-1; 0; 1}
e) {0; 2}
Determinar por extensión el conjunto: A = {x – 1 / x ∈ N; 4 x < 9} a) {0; 1}
b) {3; 4}
c) {0; 3}
C
04.
a) ( A ∪ C ) – B b) ( A ∪ B ) ∩ A c) ( A ∪ C ) ∩ B d) ( A ∩ C ) – B e) B – ( A ∩ C ) P, S, T, son conjuntos no vacíos. ¿Cuál operación corresponde a la parte sombreada del diagrama?
09.
Determinar por extensión el conjunto:
x3 A = x / x = , x ∈ N 12 + x
P S
10.
S1MA31B
1 2 b) ; ;...
d) No se puede determinar
e) N.a.
13 7 9 23
T
a) ( P – S ) – T d) ( P ∩ S ) – ( S ∩ T )
1 4 7 9 a) ; ; ; ;...
b) ( P ∩ S ) ∩ T e) ( P ∪ S ) ∩ T “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
c) ( S ∩ T ) – ( S ∩ P )
13 13
De dos conjuntos finitos A y B se tiene: n(A) = 4x + 3; n(B) = 2y – 1; n(A ∩B)= x + y +1 Calcular: n(A ∆ B)
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
c) {0; 1; 2; 3; ...}
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 2 x
b) 2 y
c) 3 x
1er Año Secundaria d) 3x +2
03
e) 2 x +y
1er Año Secundaria
grado tanto con una como con dos incógnitas. Para no tener dificultades en esta sesión repasaremos estos elementos.
TAREA DOMICILIARIA I.
MATEMÁTICA
04
B. Contenido Teórico. A continuación se presenta algunos ejercicios para recordar estos elementos básicos mencionados:
En tu cuaderno Efectuar: 01.
Se te dan los conjuntos: 1) 4x - (4 + x)
= ........................................................
2) 20 + 5x - (10 - 4x)
= ........................................................
A = {x ∈ N / 3 < x ≤ 8} B = {x – 1/ x ≤ 7} C = {x ∈ N / x = 4; x = 3}
3) 40 - (8 + 10-x + 12-x)
= ........................................................
4) 100 - (x +12 - a - b + 28 - a - c + 30 - b - c
= ........................................................
5) a- (12 - a)
= ........................................................
Calcular:
6) 120 - (80 - x)
= ........................................................
7) 1000 - (x - 20)
= ........................................................
8) 120 - 2a - 2b - (2a - b)
= ........................................................
U = {0; 1; 2; ………; 9}
a) A – B
b) (A ∩ C)-B
c) [A ∩ B]’C
d) [A ∩ (B - C)]
Hallar los valores de las variables en cada ecuación: I) 1) x + 3 = 5 2) 2x - 10 = 20 3) (x + 3)/2 = 4 1) x = ............
2) x = ..............
3) x = ..............
II) 1) x + 1/2 = 5/2 2) 3x + 2 - x = 12 3)(12 - a- b) + (18 - a - b) = 42
PROBLEMAS ENTRE
1) x = .............. I.
II.
Objetivo específico:
Ejemplos:
Desarrolla correctamente entre conjuntos
1.
Procedimientos:
3) x = ..............
En una Academia de idiomas de 600 alumnos, se sabe que 100 no estudian inglés ni francés 50 estudian francés e inglés. Si 450 estudian francés. ¿Cuántos estudian inglés? Solución:
A. Motivación. Para resolver problemas entre conjuntos, es necesario conocer otros elementos básicos de matemática tales como: Adición y sustracción de expresiones algebraicas, porque muchas veces necesitamos trabajar con datos donde se utilizan variables (letras) y resolución de ecuaciones, porque una veces para resolver el problema se establecen ecuaciones de primer S1MA31B
2) x = ..............
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
Primero: Sacamos los datos, representándolo en forma simbólica: I = estudian inglés, estudian francés. Segundo: Representamos los conjuntos mediante un diagrama: S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
F=
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
MATEMÁTICA
04
03
1er Año Secundaria F
P
F
I
J Tercero: Haremos un vaciado de datos en éste diagrama. • n[I ∪F]' • n[F ∩I]=50 I
F
I
F
• n[F]=450
I
Tercero: Ahora tú coloca en el diagrama los datos. F P(80)
100
100
F(70)
50 400
50
10
100
J(50)
Cuarto: Para hallar la respuesta a la pregunta aplicamos. “La suma de los cardinales de cada zona es igual al cardinal del universo”. Se concluye: I 50
Rpta: ..............................................................
F 50 400 100
2.
Rpta: Estudian inglés 100 alumnos. En una encuesta realizada en el CEPUNT a 150 alumnas con relación a preferencias arrojó lo siguiente: 80 prefieren perfumes, 70 prefieren las flores, 50 prefieren las joyas y sólo a 10 los tres regalos. ¿Cuántos prefieren las flores pero no las joyas ni los perfumes? PRÁCTICA DE CLASE
Solución: Primero:
P = prefieren perfumes F = Prefieren las flores J = Prefieren las joyas
I.
Desarrolle en su cuaderno las siguientes situaciones: 01.
n(U) =150 ; n(P) =80 ; n(F) =70 n(J) =50 ; n(P ∩ I) = 20 ; n(F ∩ J) = 30 n( P ∩ J) = 25 ; n(P ∩ F ∩ J) = 10
En un aula de 50 alumnos; aprueban 30 de ellos, física 30; castellano 35, matemática y física 18; física y castellano 19, matemática y castellano 20; y 10 alumnos aprueban los tres cursos. Se deduce que: a) b) c) d)
Segundo: 02.
En una pella criolla trabajan 32 artistas. De estos, 16 bailan, 25 cantan, 12 cantan y bailan. El número de artistas que no cantan ni bailan es: a) 4
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
2 alumnos no aprueban ninguno de los 3 cursos 8 aprueban matemática y castellano pero no física 2 aprueban matemática, pero no aprueban física ni castellano. 6 aprueban matemática y física pero no castellano
b) 5
c) 2
d) 1
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) 3
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 03.
d) 70
a) 180
e) 65
b) 16
c) 11
d) 9
11.
b) 38%
c) 39%
d) 50%
b) 30
c) 38
d) 20
b) 5
c) 20
d) 15
b) 6000
c) 5000
d) 2000
12.
10.
S1MA31B
b) 38
c) 39
d) 42
b) 45
a) 57
c) 70
d) 55
e) N.a.
b) 42
c) 35
d) 24
e) N.a.
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 05 01.
Sea el siguiente conjunto: A = { 4, 3, {4, 3}, {4}, φ } Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas: I) φ ∈ A ∧ φ ⊂ A III) n(A) = n[P(A)] - 27
e) 25
a) 5 02.
II) { 4, 3} ∈ A ∧ {4, 3} ⊂ A IV) {{4}} ∈ P(A)
b) 3
c) 2
d) 1
e) 4
d) 0
e) 42
Hallar: n[P(B ∆ A)], si: n [P (A)] = 64, n [P (B)] = 32, n [P(A ∩ B)] = 8
e) 1000 03.
04.
b) 32
c) 128
Sean A y B dos conjuntos contenidos en el universo, si: (A - B) ∪ (B - A) = A ∪ B ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? a) A = A - B
e) 63
En el IST “Carlos Salazar Romero” se requiere que los estudiantes del último ciclo de contabilidad cursen matemática, contabilidad o economía. Si se sabe que de 610 estudiantes, 400 cursan matemática, 300 contabilidad, 250 economía, 240 economía y matemática, 90 “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) 200
e) 48
De 68 alumnos del programa de Ing. Agroindustria que han de matricularse en el primer ciclo; 48 alumnos se matricularon en matemática, 25 en lenguaje, 30 en inglés y sólo 6 de ellos se matricularon en las tres asignaturas. ¿Cuántos se matricularon sólo en un curso? a) 40
d) 40
Un club consta de 78 personas, de ellos 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 voley, 6 figuran en los tres deportes y 10 no practican deporte alguno. Entonces, cuántas personas practican un solo deporte?
a) 16 09.
c) 60
Cuántos de los 200 alumnos de la Universidad Nacional de Trujillo están matriculados en Complemento matemático, pero no en física I. Sabiendo que: 105 están inscritos en Complemento matemático, 75 en física, 65 en Complemento matemático y matemática I, 35 en física y complemento matemático, 30 en matemática I y física, 115 en matemática I y 20 llevan las tres asignaturas. a) 25
e) N.a.
Pacientemente, un hospital (con capacidad de 7000 enfermos) informada de que de 1000 de sus enfermos recibieron las vacunas Salk y Sabin. A un total de 2000 se les administró la vacuna Salk, mientras que 5000 recibieron la vacuna Sabin. ¿Cuántos pacientes no recibieron ninguna de las 2 vacunas, si el hospital tenía copado toda su capacidad? a) 7000
b) 120
e) N.a.
92 alumnos se fueron de paseo a Simbal de los cuales: - 47 llevan sándwich mixtos - 38 de queso - 42 de jamón - 28 de queso y mixto - 31 de jamón y mixto - 26 de queso y jamón - 25 los tres tipos de sándwich ¿Cuántos llevaron empanadas si se sabe que varios del total de alumnos lo hicieron? a) 1
08.
c) 60
En un grupo de 100 estudiantes, 42 aprobaron matemática; 30 el curso de química, 28 el curso de física; 10 de matemática y física; 8 física y química, 5 matemática y química y sólo 3 aprobaron los tres cursos? ¿Cuántos no aprobaron ningún curso? a) 28
07.
b) 55
1er Año Secundaria
contabilidad y matemática y 50 contabilidad y economía. ¿Cuántos alumnos cursan las 3 materias?
Si el 6% de una población consume carne de ave y el 77% carne de pescado, el porcentaje de población que consume ambas carnes es: a) 23%
06.
MATEMÁTICA
04
En una clase de 27 alumnos cada uno de estos está en uno por los menos de los dos clubes siguientes: “Club de Natación” y “Cine Club”. El número de alumnos inscritos en los clubes es 7 y el “Cine Club” tiene registrados los 2/3 del total de alumnos. ¿Cuántos miembros tienen el “Club de Natación”? a) 20
05.
03
En una escuela de 135 alumnos, 90 practican fútbol, 55 básquetbol y 75 natación. Si 20 alumnos practican los tres deportes y 10 no practican ninguno. ¿Cuántos alumnos practican un deporte y sólo uno? a) 50
04.
1er Año Secundaria
b) B = B - A
c) A ∩ B ≠ φ
d) B ⊂ A’
Sean a, b ∈ R; A, B son conjuntos tales que B ≠ φ y además (A ∩ B), si: A = {a2 + 2b , b2 + 1}, A ∪B = {a + 4b , -3a + b + 1}
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) A ∪B) ⊂ (A ∩ B)’
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 10 05.
b) 9
09.
e) 6
03.
c) A’ ∪ B’
d) A’ ∩ B’
c) 37
d) 38
b) 1220
c) 120
d) 20
Una persona como huevos o tocinos en el desayuno cada mañana durante todo el mes de enero. Si come tocinos
04.
b) 21
05.
d) 12
e) F.d.
En un colegio asiste 100 alumnos, 50 usan ómnibus, 40 usan bicicletas y 30 sólo caminan. ¿Cuántas personas emplean ómnibus y bicicleta a la vez? a) 10
e) 25
c) 15
b) 20
c) 25
d) 15
e) 5
En una biblioteca había 17 personas de las cuales, 6 leyeron la revista “A”, 9 la revista “B” y 6 leyeron ambas revistas. ¿Cuántas no leyeron ninguna revista? a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
e) 1600
En una población el 45% de los habitantes leen las revistas A y/o B pero no los dos a la vez, el 50% no lee la revista A, el 75% no lee la revista B y 4800 personas leen las revistas A y B. ¿Cuántos habitantes hay en la población? a) 32 000 b) 40 000 c) 42 000 d) 4 500 e) 4 800 En la ciudad de Trujillo se determinó que el 46% de la población no lee la revista A, que el 60% no lee la revista B y el 58% lee A o B pero no ambas. Si 63000 personas leen las revistas A y B. ¿Cuántas personas hay en Trujillo? b) 320 000
c) 340 000
d) 350 000
b) 45
c) 50
d) 55
CONJUNTO DE LOS I.
e) 400 000
En una estación de transportes había 100 personas de las cuales 40 hombres eran provincianos, 30 mujeres eran limeñas y el número de mujeres provincianas excede en 10 al número de hombres limeños. a) 40
II.
Objetivos específicos 1. Reconocer el conjunto de los Números naturales 2. Reconocer las propiedades aplicadas al conjunto de los números naturales. 3. Aplicar las propiedades y técnicas operativas en la resolución de operaciones combinadas teniendo en cuenta el orden operatorio. Procedimientos A. Motivación
e) 60
El matemático alemán Kronecker afirmó: “El número natural lo creó Dios y todo lo demás es obra de los hombres”. Si nos remitimos a tiempos remotos podemos encontrar que nuestros antepasados utilizaban los números, según su necesidad, cual era el contar los animales que poseían, la cantidad de grano que almacenaban, etc. para lo cual era suficiente el conjunto de los números naturales. Posteriormente el hombre ha ido ampliando sus necesidades en la utilización de los números y se ha visto en la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales, como veremos más adelante.
TAREA DOMICILIARIA I.
1er Año Secundaria
a) 30
e) A ∩B
De un grupo de 1800 estudiantes, el número de los que sólo rindieron el 2do. examen, es la mitad de los que rindieron el primero. El número de los que sólo rindieron el 1er examen es el triple de los que rindieron ambos exámenes e igual al de los que no rindieron ningún examen. ¿Cuántos rindieron al menos un examen?
a) 300 000 10.
b) A’ ∩ B
b) 22
a) 1200 08.
MATEMÁTICA
04
En una aula del CEPUNT que consta de 55 alumnos, 25 son hinchas de SC, 32 de AL, 33 de la U y 5 son hinchas de los equipos ¿Cuántos alumnos son hinchas de sólo dos equipos? a) 40
07.
d) 7
03
Después de simplificar la expresión adjunta se obtiene: ({[A’ ∩ B’) ∪ (A ‘∩ B’)}]’ a) A’ ∪ B
06.
c) 8
1er Año Secundaria
Desarrolla las siguientes situaciones: 01.
De 65 familias encuestadas, 38 tienen televisión y 40 radio. ¿Cuántas personas tienen un solo artefacto? a) 13
02.
b) 52
c) 25
d) 31
En una ciudad, al 78% de la población le gusta la carne y al 50% pescado. Hallar el porcentaje de la gente que le gusta la carne y el pescado? a) 15%
b) 26%
c) 28%
d) 30%
B. Contenido Teórico
e) N.a. 1.
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (N) Sean los conjuntos:
e) 35% { }
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
Cardinal del conjunto →
0
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
→ → → → →
{0} {0; 1} {0; 1; 2} {0; 1; 2; 3} {0; 1; 2; 3; 4} ........... ........... ........... {0; 1; 2; 3; 4; ...; 9999} ...........
03
El cuadro adjunto muestra un resumen de las cuatro operaciones básicas. OPERACIÓN Adición Sustracción Multiplicación División
N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}
Elementos
El conjunto así construido, forma la sucesión fundamental de los números naturales que se utilizan para contar. 2.
OPERADOR + × ÷
RESULTADO Suma Diferencia Producto Cociente
Completa el siguiente cuadro y escribe la palabra NO cuando la operación no sea posible en los números naturales.
A partir del cardinal de los conjuntos expuestos, construimos el conjunto de los números naturales (N), así:
1er Año Secundaria
Resultado: Es lo que se obtiene después de realizar la operación.
1 2 3 4 5 .......... .......... .......... 10 000 ..........
→
MATEMÁTICA
04
REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES EN LA SEMIRRECTA El conjunto de los números naturales puede representarse mediante puntos igualmente espaciados en la semirrecta. Para ello se traza una semirrecta que continua de modo indefinido hacia la derecha con una flecha final que indica la dirección a donde se escribirán los números naturales, y se hacen marcas igualmente espaciadas sobre ella.
a
b
16
2
5 2 17 27 5
3 6 0 3 5
Operaciones Básicas a+b
a-b
axb
Potencia a÷b
ab
Radicación b
a
16 = 4
8 64 NO 24 25
Luego, se hacen corresponder los números naturales con los puntos marcados en la semirrecta, así: · 0
· 1
· 2
· 3
· 4
· 5
· 6
Luego se concluye que la adición y multiplicación son operaciones cerradas en N (su resultado es otro número natural), cumpliendo las siguientes propiedades:
· ··· 7
Clausura: ∀ a ; b ∈ N ⇒ (a + b) ∈ N ↓ Se lee: Para todo: ∀ a ; b ∈ N ⇒ (a . b) ∈ N
En la semirrecta numérica, el orden está claramente establecido por la posición de los puntos marcados. 3.
OPERACIONES BÁSICAS COMPLETA:
OBSERVA:
Conmutativa: ∀a;b∈N ⇒ a+b=b+a ∀a;b∈N ⇒ a.b=b.a
Operador 28 + 13 = Elementos para operar (Sumandos)
59 x 21 = 1 239
41
Operador: Es un símbolo que indica la operación que se va a realizar. Elementos para operar: Son aquellos que reciben la acción del operador.
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
Distributiva: ∀ a ; b ; c ∈ N ⇒ a . (b + c) = ab + ac cambiando el orden de los factores también: (b + c) . a = ba + ca.
Modulativa o elemento neutro ∀a ∈N ⇒ a +0=a ∀a ∈N ⇒ a.1=a
Resultado (Suma)
Por lo expuesto concluimos que en toda operación intervienen los siguientes elementos:
Asociativa: ∀ a ; b ; c ∈ N ⇒ (a+b) + c = a + (b + c) ∀ a ; b ; c ∈ N ⇒ (a . b) . c = a . (b . c)
4.
OPERACIONES COMBINADAS Para poder resolver un cálculo con las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación en forma combinada se deben tener en cuenta algunas reglas: *
S1MA31B
Los operadores + y -, separan los términos. “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN *
1er Año Secundaria
03
Para resolver operaciones combinadas donde no figuran paréntesis, primero se resuelven las potencias y las raíces, después los productos y los cocientes y, finalmente, las sumas y las diferencias. En caso de existir signos colectores, debemos cancelarlo realizando las operaciones que contiene.
*
(2
1er Año Secundaria
1 ∆ 2 = 1 2 + 2(1)(2) + 2 2 1∆ 2=9 Ahora, hallemos el valor de 2 ∆ 3:
Ejemplo 1: Efectuar: 4
MATEMÁTICA
04
x 5 − 64 ) x 2 +8
2
÷4
m ∆ n = m2+ 2mn + n2 1. Se realizan potencias y raíces.
(16 x 5 − 8 )x 2 + 64 ÷4
2. Se calculan productos y cocientes
(80 − 8 ) x 2 +16 72 x 2 + 16 144 + 16 160
3. Operación dentro del paréntesis 4. Se calcula el producto 5. Suma
2 ∆ 3 = 2 2 + 2(2)(3) + 3 2 2 ∆ 3 = 25 Luego, reemplazando estos valores en E, tendremos: E = 9 ∆ 25. Hallemos el valor de E = 9 ∆ 25.
Ejemplo 2: Efectuar: 3
m ∆ n = m2+ 2mn + n2
64 +4 x 7 ÷ 2 2 −(−(+(−(2 3 −5 x7 0 ))) 1.Se realizan potencias y raíces
4 + 4 x 7 ÷ 4 - (- (+(-(8 - 5 x 1))) 4 + 7 - (8 - 5) 4+7-3 8
2. Se calculan productos y cocientes 3. Operación dentro del paréntesis 4. Se calculan sumas y restas
9 ∆ 25 = 9 2 + 2(9)(25) + 25 2 9 ∆ 25 = 81+ 450 + 625 9 ∆ 25 = 1156 Ejemplo 5:
es un operador rectángulo, de modo que:
Ejemplo 3: Si a θ b = 2a + 3b. Calcular 3 θ 5.
x = 7x - 25
si x ≥ 4
Resolución:
x = 25 - 7x
si x > 4
En nuestro caso el operador es θ y la regla de formación es: 2a + 3b. Lo que tenemos que hacer es hallar el valor numérico cuando a = 3 y b = 5. Así. a θ b = 2 (a) + 3(b)
1. Reemplacemos los valores de a y b
3 θ 5 = 2 (3) + 3(5)
2. Efectuamos las multiplicaciones
3 θ 5 = 6 + 15
3. Efectuamos la suma
Calcular : P =
2 + 5
Resolución: Hallemos primero el valor de: 2 ⇒
3 θ 5 = 21
2 = 25 - 7(2);
2 < 4
2 = 11 Hallemos luego
Ejemplo 4: Si m ∆ n = m 2 + 2mn + n 2 . Calcular E = 3 θ 5
5 ⇒
5 = 7 (5) - 25
5 ≥ 4
5 = 10
Resolución: Hallemos primero el valor de 1 ∆ 2: m ∆ n = m 2 + 2mn + n 2 S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
Reemplazando estos valores encontrados, en P tendremos: P = 11 + 10.
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
03
MATEMÁTICA
04
Luego: P = 21 = 7(21) - 25 = 122
1er Año Secundaria
a) (45 ÷3)
= 45
3
)
(
)
c) (2 + 3 + 8 ) = 2 + 3 + 8 (
)
d) (5 x 3 x7 ) =5 x 3 x7
(
)
(
)
(
)
(
)
b) (2 )
2
=2
6
2
2
2
e) (11 −7 ) = 11
En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo resuelva cada uno de los siguientes planteamientos:
f) 2 . 2 . 2 =2 5
6
1
=1
g) 3 01.
02.
03.
h)
Si: a; b; c ∈ N. Si a = 2; b = 4; c = 7. Ubique los números a, b y c en la semirecta numérica.
Escribe el nombre de la propiedad que se aplica en cada caso. a)
48 + 37 = 37 + 48
⇒ .................................................................
b)
40 + 0 = 40
⇒ .................................................................
c)
36 + (32 + 15) = (36 + 12) + 15
⇒ .................................................................
d)
(36 + 32) + 15 = 36 + (32 + 15)
⇒ .................................................................
e)
a . b + a . c = a . (b + c)
⇒ .................................................................
f)
a . (b . c) = (a . b) . c
⇒ .................................................................
g)
(3 x 2) x 6 = 6 x (3 x 2)
⇒ .................................................................
h)
5=5x1
⇒ .................................................................
07.
Completa la tabla y escriba la palabra NO cuando la operación no sea posible en los números naturales. a 25 50 96 36
b 31 63 97 20
c 26 24 82 74
(a+b) - c
a - (b+c)
b-c
a+c
a - (b - c)
3
S1MA31B
−7
3
2
3
18
3
100 : 25 = 100 :
8 +8 =
3
8 + 8
32 x 243 = 2
64
6
=
5
32 x
(
25
3
5
64
(
)
243
(
(
)
)
)
Complete la tabla a
b
c
6 9 12 16
6 4 8 9
7 5 3 2
3a - 2b
a 2 − b2
a2 – b2 + c2
(a + b) 2 + c
ab - 5c
Desarrolla aplicando las propiedades de la potenciación. a) 2 5. 2 3
e) (5 6 ) 2
i) (2 . 6 ) 3
b) 3 4 . 3 5
f) (7 3 ) 4
j) (5 M) 4
c) 8 2. 8 7
g) (8 2 ) 2
k) (3 n 2 )5
d) m 4 . m 6
h) (x 4 )9
l) (4 x 5 )3
b) 25 2 = 625
Hallar el resultado de las siguientes operaciones combinadas.
c) a b = c
d) 2[( 8 2 + 9 2 - 1) 05.
2
a) 58 + 4(14-9) b) [408 - (300 - 102)] ÷ 6 + 1 c) 32 ÷ (224 ÷ 7) - 1
En cada expresión identifique base, potencia y exponente. a) 2 7 = 128
j)
5
7
2
Nota: Al introducir el uso de variables en los ejercicios d, h, j, k, l; estamos involucrando a todos los números en discusión. 08.
04.
i)
3
k) 06.
2
2
2
3
I.
:3
3
(
3
PRÁCTICA DE CLASE
3
e)
Comprobar si las igualdades siguientes son verdaderas o falsas. “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
49 x
÷
( 3 2 x 4) - 4]
2 2 −3 x 5 +(2 x 3 ) 2
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN f) 3 2 x 5 x
1er Año Secundaria
03
MATEMÁTICA
04
El cociente entero al dividir el doble de T entre el triple de W es:
16
g) 2 x 3 − 36 x 2 +6 : 9 3
2
a) 25
b) 23
Si:
A = (5 3 )(2 2 ) −[5(2 3 ) ÷4 x 3 +16 ÷(10 −2)] −5
h) ( 4 + 9 + 16 ) 2 − (8 ÷ 4 ) −(2 2 ) 3 i) 09.
81 +2 5 x
05.
9 −6 0 x 6 1 +(5 ÷3)0
b) 125
c) 225
e) 325
10. Hallar el valor de (5 ∆ 1) ∆ 6 sabiendo que: a ∆ b = a b + b a b) 30
c) 1080
b) 254
a) 12 06.
d) 6000
c) 196
e) 6480
d) 150
y F = 500 + {1200 ÷ [10 - ( 12 2 - 71 x 2)]}.
02.
Dadas las expresiones:
c) 2500
d) 4900
e) N.a.
09.
10.
03.
Si R = {[7 - (15 ÷ 3) +
c) 8025
3]3 − (20 − 9)2 }2
d) 8115
e) N.a.
04.
b) 212
c) 216
d) 210
Se tiene las expresiones: W = [(3 2 − 2 2 ) ÷5 +(6 x 5 − 22 ) ÷ 4 ] 2 3
T = (2 )(3 )(5 S1MA31B
2
11.
e) N.a. y
P = [(5 - 2) ÷ 3 + (11- 5) ÷ 2] 2 + (5 x 6) ÷ 3
b) 5
c) 3
d) 2
e) N.a.
b) 0
c) 2
d) 4
e) 8
d) 6
e) 4
x +y . Hallar ( 5 ∆ 4 ) ∆ 13.
b) 8
c) 2
b) 9
c) 15
d) 11
e) 6
b) 44
c) 42
d) 45
e) N.a.
Si se conoce que: m @ n = 5 m 2 − 2 n 5 . Calcular el valor de: 1 @ 0. a) 6
; S = 3 + (15 2 − 5 3 )2 :10 3 El producto de
todos los elementos del conjunto: {X ∈ N/ S < X < R} a) 240
e) N.a.
Si a # b = (a + b) (a - b). Calcular 7 # 2. a) 46
Calcular el valor de x, sabiendo que X - C = D. b) 7508
d) 8
Si a * b = 4a - 5b , a ∆ b = 7a - 3b. Hallar (3 * 2) ∆ (4 * 3). a) 10
C = [(9 2 x 6 + 234 ) ÷8 ]2 −10 3 D = 45 {2 [41 - (20 ÷ 4) ÷ 9 - [ 2 6 − 3 2 - (7)]}
a) 7415
Si x ∆ y = a) 16
Calcular el valor numérico de (F −600 ) 2 +(E −1) . b) 1600
c) 11
Si m ♥ n = m n − n m . Calcular 4 ♥ 2. a) 1
08.
a) 3600
De las expresiones:
a) 4
e) 324
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 06
Si E = 50 ÷[(5 2 x 2) ÷5 +15 ] −1
b) 13
N = [(50 ÷ 5 - 16 ÷ 2 + 12 ÷ 6 ) 3 - (6 ÷ 2 + 8 ÷ 4 )2 - 30 ] 2 Calcular el valor de X, sabiendo que PX = N- 3.
07.
01.
e) N.a.
2
11. Sabiendo que p ∇ q = 6p + 2q, halla el valor de M = [5 ∇ 12] ∇ [14 ∇ 6] a) 516
d) 27
Calcular el residuo que se obtiene al dividir A entre B.
d) 625 2
a) 5400
c) 21
B = (3 3 − 5 2 ) 3 ÷ 2 x 5 +(3 2 −1) ÷8 − 3
Hallar el valor de (5 ∆ 1) 2 si se sabe que x ∆ y = 2x + x 2 + 1 a) 25
1er Año Secundaria
b) 5
c) 1
d) 10
12.
Si a * c = 3 a 2 + 2 c 3 . Calcular el valor de: (2 * 1) * (1 * 0)
13.
a) 542 b) 510 Sabiendo que: a = 2a + 5 a) 18
b) 9
c) 642 d) 480 . Hallar el valor de 3 + 1 . c) 15
d) 11
) −(160 ÷4 )[(15 +20 ) ÷5 ] .
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) 0
e) 417
e) 6
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 14.
2
Sabiendo que: x = x + x + 1 a) 8
15.
b) 10
b) 2
b) 50
a) 3
d) 15
e) 9
d) 4
e) 5
22.
c) 3
c) 75
d) 101
b) 9
c)
b) 32
c) 1
d) No se sabe
x y = 2x - 5y x y = 3x - 7y
Si x > y Si x ≤ y
b) 115
d)
2
e)
2 -1
Sabiendo que:
a) 3 23.
b) -7
c) 4
d) -2
Se define el conjunto () en el conjunto A; verdadero (V) o falso (F).
e) N.a.
A = {0, 2, 4, 6} y con la tabla adjunta; marcar
e) N.a.
e) N.a.
Hallar el valor de : 6 % (2 ∆ [3 # 1]) sabiendo que:
a) 100
3 -1
Calcular: E = (-2 -1) - (-1 -2)
a % b = 2 a 2 - 3b + ab a ∆ b = 6a + 3b - ab a # b = 4ab - 6a + 6b
19.
1er Año Secundaria
Hallar el valor de: 6 & [6 & (6 & {6& ... veces})] sabiendo que a % b = a 2 + 2 a + 1 . a) 49
18.
c) 13
MATEMÁTICA
04
2 .
Hallar el valor de 5 Ω + 7 Ω − 3 Ω + 8 Ω − 10 Ω sabiendo que a Ω = a 2 + 1 si a > 7 y a Ω = a + 2 en otro caso. a) 25
17.
1 +
. Hallar el valor de
03
Si m n = 3 m 2 + n + 2. Hallar “x” en: 2 x = 15. a) 1
16.
1er Año Secundaria
0
2
4
6
0
6
4
2
0
2
2
0
4
6
4
0
2
6
4
6
4
6
0
2
I. a b = b a. ∀ a ∀ b ∈ A c) 108
d) 120
e) 101
II. ∃ a ∈ A y ∃ b ∈ A. tal que: a b = b a
¿A qué es igual: 1 θ { 2θ [ 3θ (4θ (5θ ..... ∞ sabiendo que: III. (2 4) 6 = 2 (4 6) a a θ 1 = 6 a a a b
a
∞
a) FFV
b) FVV
c) VVV
20.
b) 4
d) 6
e) ∞
24.
Si:
b
c
= ac + bc + ab. Calcular:
9
d) 40
e) 41
3
Si a ∆ b = a - b y m φ n = (m/n) + 1. Hallar el valor de “x” en: (4 ∆ 5) φ x = 5/6. a) 5
21.
c) -4
e) VFV
1
a a) 16
d) VVF
Si:
b) 6
B = (B+1)
2
c) 8
d) 9
a) 37
e) 3 25.
, hallar el valor de “a” en:
b) 38
c) 39
De acuerdo a la tabla adjunta. ¿Qué número “x” falta en el recuadro? si se cumple: (4 Ψ X) Ψ 4 = 2.
a = 100
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
a) 8 26.
b) 4
1er Año Secundaria
Ψ
1
2
4
8
1
4
8
2
2
2
8
1
8
4
4
2
8
4
1
8
2
4
1
2
c) 2
MATEMÁTICA
04
03
PROBLEMAS SOBRE CUATRO
d) 1
e) N.a.
PROBLEMAS BÁSICOS SOBRE ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN I.
De acuerdo a las tablas adjuntas, determinar el valor de “X”. @
1
2
3
#
3
2
1
1
3
3
2
3
1
1
2
2
2
1
1
2
1
2
3
3
3
2
1
1
2
3
3
Objetivos Específicos: 1. Resuelve problemas diversos sobre operaciones fundamentales 2. Refuerza las operaciones básicas. 3. Logra habilidad mental en los alumnos.
II.
Procedimiento: A.
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
TAREA DOMICILIARIA I.
Estas personas que tienen que hacer compras o ventas tienen que efectuar adiciones, sustracciones, multiplicaciones otras veces divisiones u operaciones combinadas para hacer sus cálculos.
Resolver los siguientes ejercicios y encierre en un círculo la alternativa que contenga la respuesta correcta. 01.
a) 480 02.
04.
b) 240
c) 48
d) 24
b) 150
c) 315
d) 225
01.
e) 95
Sabiendo que A = x 8 . x 6 ; B = (x 4 )7 ; x 7 = 3 . El número A + B es: a) 90
b) 88
c) 72
d) 78
Se tiene
A = 15 (13 2 +11) ÷15 −(15 −12 )] −11 2
e) 92
c) 20
¿Cuánto pagó en la segunda compra?. ¿Cuánto pagó en la tercera compra?. ¿Cuánto pagó en las dos primeras compras?. ¿Cuánto pagó por todo?
Resolución: Pagó en:
Entonces el valor numérico de (A – B)2+ 4 es: b) 53
Un comerciante compra víveres. La primera vez compra por un valor de S/. 8893; la segunda por S/. 838 más que la primera, y luego en la tercera vez compra por S/. 7834 más que las dos compras anteriores. Hallar: a) b) c) d)
B = {[(6 3 −78 ) −3(2)] ÷2 2 } ÷11 +5
a) 29
Contenido Teórico: A continuación te presento una serie de problemas explicados, trata de comprenderlos y saca tus propias conclusiones.
e) 4800
Se sabe que E = (3 x 4 )9 ; 3 7 = 2187; x 18 = 5 . Entonces E ÷ 2187 es: a) 75
03.
B.
Si A = (2 n 5 ) 4 ; n20 = 30; entonces A ÷ 10 es:
Motivación Los comerciantes hacen ventas por docenas, en cajas o en paquetes y también por cantidades menores del contenido de una caja, para saber cuántos objetos han vendido, primero ven el número de objetos que han despachado en todas las cajas y suman las otras cantidades sueltas que han vendido.
[(3 @ 2) # X] @ [1 # (2 # 2)] = 2. a) 1
1er Año Secundaria
d) 40
La primera compra: S/. 8893 La segunda compra: S/. 838 + S/. 8893 = S/.9731 La tercera compra: S/. 7834+S/. 8893+ S/. 9731 = S/. 26 456
e) N.a.
Respuestas: S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
MATEMÁTICA
04
03
1er Año Secundaria
a) En la segunda compra pagó: S/. 9 731 Resolución: Cálculo de una hora: Como recorre 44 928 m en un día y un día tiene 24 horas, entonces se divide: 44 928 ÷ 24 = 1872 m.
b) En la tercera compra pagó: S/. 26 458 c) En las dos primeras compras pagó: S/. 8893 + S/. 9731 = .................................. d) Por las tres compras pagó: .............................................. = ................................... 02.
Pedro vende 8 837 balones de gas, luego 16 836 balones, finalmente vende la diferencia entre la segunda y la primera venta. Se pide hallar:
Luego en una hora recorre 1872 m.
a) ¿Cuántos balones vende en la tercera venta?. b) ¿Cuántos balones vende en las tres ventas?. c) Si otro cliente desea que le venda la diferencia entre la primera y la tercera venta. ¿Cuántos balones le venderá?.
a) En 9 horas recorre: 9(1872m)= 16 848 m. b) En 18 horas recorre: 18(1872m)= 33 696 m. PRÁCTICA DE CLASE
Resolución: Vende en la: Primera venta: 8837 balones Segunda venta: 16 836 balones Tercera venta: 16 836 – 8837 = 7 999 balones.
03.
I.
El precio de una gallina es de 24 nuevos soles y el precio de un pato es de 49 nuevos soles.. ¿Cuál es la diferencia de precios entre las dos aves?.
Respuesta: a) En la tercera venta vende: 7999 balones. b) En las tres ventas vende: 8837 + 16 836 + 7 999 = 33 672 balones. c) Como otro cliente desea que le venda la diferencia entre la primera y la tercera venta entonces le venderá: 8837 – 7999 = 838 balones.
02.
Por una olla y una jarra se ha pagado 60 nuevos soles, si la olla cuesta 38 nuevos soles. ¿Cuánto cuesta la jarra?.
03.
De un terreno de 816 metros cuadrados, se sacan dos lotes. Si uno mide 209 metros cuadrados. ¿Cuánto mide el segundo lote?.
Tres carpinteros hacen una obra. El maestro recibe 6 veces de lo que recibe el primer ayudante y el segundo recibe 7343 nuevos soles menos que el primero. Si el primer ayudante recibe 3 veces 8341 nuevos soles, se desea saber:
04.
Un comerciante al vender una máquina de escribir por S/. 8160 ha ganado S/. 1 475. ¿Por cuánto compró la máquina?.
05.
El abuelo de Juan nació en 1903. Si murió a los 79 años. ¿Hace cuántos años falleció?. Considerar 2002 año actual.
06.
Un comerciante mayorista recibe orden para vender 714 kilos de trigo, pero solamente tiene 469 kilos. ¿Cuántos kilos de trigo le falta para completar el pedido?.
07.
El administrador de una tienda escolar compra 45 naranjas de una frutera, de otra frutera compra 62 naranjas, durante el día vendió 84 naranjas. ¿Cuántas naranjas le han sobrado para el día siguiente?.
08.
En una granja de la escuela primaria de Virú venden 7 conejos a 28 cada uno. ¿Qué cantidad de dinero reciben por esta venta?.
09.
Un obrero de construcción gana 36 soles diarios. ¿Cuánto gana por una semana y 4 días de trabajo?.
10.
Un panadero tiene contrato para entregar 68 panes diarios en un restaurante. ¿Cuántos panes entregará en 5 días?.
¿Cuánto recibe el primer ayudante?. ¿Cuánto recibe el maestro?. ¿Cuánto recibe el segundo ayudante?. La cantidad que pagó el dueño de la obra.
Resolución: a) El primer ayudante recibe: 3(8341)= 25 023 nuevos soles. b) El segundo ayudante recibe: 7343 nuevos soles menos que el primero: – 7343 = 17 680 n.s. c) El maestro recibe 6 veces del primer ayudante: 6 ( 25 023) = 150 138 n.s. d) El dueño pagó por la obra: 25 023 + 17 680 + 150 138 = 192 841 n. s.
25 023
Un ciclista recorre 44 928 m en un día. Se pide hallar: a) ¿Cuántos metros recorre en 9 horas?. b) ¿Cuántos metros recorre en 18 horas?.
S1MA31B
Instrucción: Dar solución a las siguientes situaciones: 01.
a) b) c) d)
04.
Respuesta:
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
03
¿A cuánto asciende la fortuna de un señor que tiene 385 cabezas de ganado lanar, si cada una cuesta S/. 735?.
a 24 soles cada taza y sal restantes las vende a 23 soles cada una. ¿Gana o pierde en este negocio?. ¿Cuánto?
12.
En un establo ordeñan diariamente 375 litros de leche. ¿Cuántos litros de leche ordeñarán en 246 días?.
a) Pierde S/. 472 d) Pierde S/. 830
13.
¿Cuál es el precio de 4 cajas de aceite de 6 botellas cada una, si el precio de una botella es de 8 nuevos soles?.
14.
Un camionero tiene contrato de transportar 31 104 bolsas de cemento; si en cada viaje conduce 486 bolsas. ¿En cuántos viajes transportará todas las bolsas de cemento?.
07.
08.
01. En una huevería tiene para la venta 7888 huevos para vender en cajas de 164 huevos cada una. ¿Cuántas cajas de huevos hay? a) 40
b) 26
b) 62
e) 45
10.
c) 39
c) 42
e) 45
11.
c) 65
d) 75
e) 104
b) 1 pm – 400 km e) N.a.
c) 1 pm – 400 km
Una señora va al mercado con cierta cantidad de dinero a comprar gallinas todas del mismo precio, pero para comprar 8 gallinas le falta 100 soles y si solamente compra 6 gallinas le sobra 68 soles. ¿Cuánto es el precio de cada gallina y que cantidad de dinero lleva? a) S/. 82 – S/. 556 d) S/. 82 – S/. 656
b) S/. 31 – S/. 428 e) N.a.
c) S/. 41 – S/. 656
b) 35
c) 39
d) 29
b) S/. 35
c) S/. 36
d) S/. 24
b) 24
c) 19
d) 31
b) 25
c) 46
d) 32
b) S/. 408
c) S/. 300
d) s/. 340
b) S/. 250
c) S/. 350
d) S/. 225
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) N.a.
e) N.a.
e) 30
e) N.a.
e) N.a.
La edad de Ernesto es la cuarta parte de la de su abuelo. Si cuando Ernesto nació su abuelo tenía 45 años, ¿cuántos años cumplirá Ernesto dentro de 5 años? a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
En una locería compran 26 docenas de tazas a 14 soles cada una; por flete y embalaje se paga 165 soles y en timbres de factura 280 soles. Le han salido rotas 8 tazas. Hace una venta por 960 soles
S1MA31B
e) N.a.
Entre Carolina, Carlos y Fernando tienen S/. 600. Si entre ambos varones le dieran S/. 100 a Carolina, ésta tendría la misma cantidad que los otros dos varones juntos, ¿qué cantidad tenía la damita inicialmente? a) S/. 200
14.
e) 15
Entre Emilio y David tienen S/. 1200. Si David decide obsequiar S/. 260 a Emilio resulta que ahora ambos tendrán la misma cantidad de dinero. ¿Cuál es la cantidad que tiene Emilio?. a) S/. 310
13.
d) 11
En dos cajas de lapiceros hay 68 de éstos. Si de la caja con más lapiceros extraemos 12 de estos y lo colocamos dentro de la otra logramos que ambas cajas tengan la misma cantidad. ¿Cuántos lapiceros había inicialmente en la caja con menos de éstos? a) 22
12.
c) 13
En dos cajas A y B de tizas hay 32 de éstas. Si de una cada C de tizas sacamos 8 y las agregamos a la que menos tiene de las dos primeras, resultaría que éstas tendrían ahora la misma cantidad. ¿Cuántas tizas tenía inicialmente la que más contiene? a) 20
De Trujillo sale un carro a las 5 a.m. con dirección al sur a una velocidad de 50 km/h y a las 8 a.m. de Chocope distante 50 km/s de Trujillo, sale otro a dar alcance al primero y va a una velocidad de 90 km/h. ¿A qué hora le encontrará y a qué distancia de Trujillo? a) 12 m – 400 m d) 3 pm – 600 km
06.
d) 43
De la cosecha de un viñedo se ha sacado 51 000 litros de vino. ¿En cuántos barriles estarán envasados si cada barril tiene una capacidad de 680 litros? a) 70
05.
c) 42
b) 12
Entre Mario y Felipe tienen S/. 60. Si al menos afortunado le obsequiamos S/. 212 soles entonces ambos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuál es la cantidad que tiene el más afortunado? a) S/. 28
Con 1352 soles he comprado igual número de libros de 24 soles, de 32 soles y de 48 soles. ¿Cuántos libros se ha comprado en total? a) 13
04.
b) 41
c) Gana S/. 1063
Cuando Maritza nació Luz tenía 6 años. Si hoy sus edades suman 64 años, ¿qué edad tendrá Luz dentro de 10 años? a) 45
09.
b) Gana S/. 1120 e) N.a.
La suma de las edades de Luis y Esteban es 25 años. Si Esteban es mayor que Luis por tres años, ¿cuál es la edad de Luis? a) 8
¿Cuántas ovejas se necesitan vender a 253 nuevos soles cada una para con el valor de la venta se pueda comprar un terreno por 6578 nuevos soles?. EJERCICIOS PROPUESTOS N° 07
03.
1er Año Secundaria
11.
15.
02.
MATEMÁTICA
04
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) 19
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
03
15.
En dos depósitos hay 72 chocolates. Si lo que hay en uno es el quíntuplo de lo que hay en el otro: ¿Cuántos chocolates hay en el depósito que más tiene?
16.
Liz tiene S/. 436 y Luz S/. 244. Al ir de compras y gastar la misma cantidad cada una a Luz le queda la cuarta parte de lo que le queda a Liz, ¿cuál es la cantidad que gasto cada una? a) S/. 120
17.
e) S/. 110
Un comerciante en una hacienda compró 5 vacas a 288 soles cada una; para transportarlas ha pagado 60 soles y en alfalfa ha gastado 16 soles. ¿A cómo tendrá que vender cada oveja si en total desea ganar 304 soles?
05.
Un comerciante compra cierto número de pelotas por 1587 soles. Vende 24 pelotas por 768 soles, ganando así 9 soles en cada una; después vende 16 pelotas a 34 soles cada una. ¿A cómo tendrá que vender las restantes si en total debe ganar 624 soles?
b) S/. 30
c) S/. 24
d) s/. 36
e) S/. 40
b) 10
c) 15
d) 12
e) 5
En una reunión hay 45 personas (entre damas y caballeros); si se retiran 5 parejas, la diferencia entre el número de hombres, que hay más y el número de mujeres es 5. Determine el número de damas que quedan. a) 15
20.
d) S/. 250
04.
Mamerto y Maximina tienen S/. 50 y S/. 2 respectivamente. Ambos acuerdan que semanalmente ahorrarán S/. 2. ¿Al cabo de cuantas semanas lo que tiene Maximina será la quinta parte de lo que tendrá Mamerto? a) 8
19.
c) S/. 100
1er Año Secundaria
Fidencio y Petronila reciben de propina S/. 39 y S/. 23 respectivamente. Si en el kiosco gastan en golosinas la misma cantidad de dinero cada uno, lo que le queda a Fidencio es la tercera parte de lo que le queda a Petronila. ¿Cuánto gastaron los dos juntos? a) S/. 15
18.
b) S/. 180
MATEMÁTICA
04
b) 18
c) 25
d) 19
e) 14
En el “Aula de primero A”, se cuentan 30 niños sentados; si salen al frente 4 damitas y 6 varones, la diferencia de niñas sentadas y de varones sentados es 4. ¿Cuántas niñas hay en total en el aula? a) 14
b) 15
c) 17
d) 18
e) 16
TAREA DOMICILIARIA 01.
Una frutera con 192 soles ha comprado igual número de paltas, manzanas y chirimoyas. Si cada palta la compra a 4 soles, cada manzana a 2 soles y cada chirimoya a 6 soles. ¿Cuántas frutas ha comprado?
02.
¿Cuántos pollos ha comprado un negociante con 1058 soles; si al vender 18 pollos por 486 soles ha ganado 4 soles en cada pollo?.
03.
Una vendedora de fruta compra 8 cajones de 150 manzanas cada uno a 85 soles el ciento. Si le ha salido malogradas 48 y obsequia 12 manzanas, ¿qué beneficio obtendrá si las vende la mitad a 3 manzanas por 4 soles y el resto a 5 manzanas por 7 soles?
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
UNIDAD IV
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
03
TEORÍA DE LA
MATEMÁTICA
04
1er Año Secundaria
Numeral Es la representación escrita de los números por medio de símbolos llamados cifras, güarismos o dígitos. Ejemplo:
;
I. Objetivos Específicos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Comprender la importancia de los sistemas de numeración. Diferenciar número de numeral. Diferenciar valor absoluto y valor relativo de las cifras de un numeral. Escribir y leer correctamente cualquier numeral. Descomponer un numeral en su forma polinómica. Convierte un numeral de un sistema de numeración a otro. Resuelve problemas que involucren sistemas de numeración.
II. Procedimiento: A. Motivación. En vista de que la serie de los números es ilimitada aparece como un problema muy difícil el dar nombre a cada número. Efectivamente, si a cada número se le da un nombre distinto, sucede que para nombrar, por ejemplo los mil primeros números naturales habrá que inventar y aprender mil palabras distintas. Esto resulta casi imposible pero, además ¿Cómo nombraríamos después todos los infinitos números que vienen a continuación de mil?. Además el hombre debe representarlos por símbolos adecuados, sin duda el problema se hace más difícil. La teoría de la numeración enseña el modo como resolver estos problemas. La humanidad en su desarrollo histórico ha creado diferentes formas de nombrar o denotar a los números naturales. En cada pueblo y en cada época los números naturales se representaron con diferentes símbolos. Al combinar los símbolo mediante ciertas reglas se pueden representar todos los números naturales. Pero además de existir estas formas de representar los números, existen otras formas que lo estudiaremos detalladamente, los números arábigos en diferentes sistemas de numeración. B.
4, IV, cuatro, four, ...
☺☺☺☺☺ 5, IIII,
1. Del Orden Toda cifra en el numeral tiene un orden, por convención se enumera de derecha a izquierda. Ejemplo: Lugar Número Orden
1º 1 4
2º 9 3
3º 9 2
4º 8 1
Ejemplo:
2
1
4
NUMERACIÓN
Número Es un ente o idea matemática por ello se dice que no tiene definición, el cual nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza. S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
5
ORDEN 1 (unidades) 2 (decenas) 3 (centenas) 4 (millares)
Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números de una manera sencilla, con una limitada cantidad de símbolos llamados numerales.
Es un conjunto de reglas, principios, leyes, empleados para expresar y escribir mediante símbolos los numerales.
, cinco, five, .....
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
Contenido Teórico.
SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN
... . .
2. De la Base Es un numeral referencial que nos indica como se agrupan las unidades de un orden cualquiera para formar la unidad colectiva del orden inmediato superior: Sea “B” una base: B
∈ Z Es mayor que 1
⇒ Base : 2, 3, 4, 5, 6, ...... S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
03
MATEMÁTICA
04
1er Año Secundaria
Cifra máxima = n-1 Cifra mínima = 0
Sobran 2
↓ 12
Base 10
↑
Un grupo de 10
* *
22 (5)
Base 5
El cero no tiene valor por si mismo, si no únicamente valor posicional es decir por el orden que ocupa. Así pues, cada cifra dentro de un numeral tiene un valor digital o valor absoluto y un valor de posición o valor relativo.
↑ Convención referencial (sub índice)
Valor Absoluto (VA) Es el valor que tiene una cifra de acuerdo por su apariencia o figura.
no sobra nada
Valor Relativo (VR)
↓ 30 (4)
Base 4
Es el valor que tiene una cifra de acuerdo al orden que ocupa dentro de un numeral.
↑
3 grupos de 4
Ejemplo: ⇒ 12 = 22 (5) = 30 (4)
VA (2) = 2 VA (4) = 4
REGLA DE LOS SIGNOS En una igualdad de dos numerales a mayor numeral aparente le corresponde menor base: Ejemplo: +
3 2 ( x ) + = 120 ( z) −
VA (5) = 5 VA (3) = 3 2
4
z < x Ejemplo:
VR(5) = 5 x 10
1
= 5 decenas
VR(4) = 4 x 10
2
= 4 centenas
VR(2) = 2 x 10
3
= 2 millares
+
GEUNI ( p ) + = INGRESO 98 ( q ) −
Se cumple: q < p
SISTEMA DECIMAL DE NUMERACION
El sistema decimal de numeración es el que tiene como base diez. Diez unidades de cualquier orden forman una unidad del orden inmediatamente superior. 1
3. De las cifras Las cifras son números naturales inclusive el cero, que siempre son menores que la base en la cual son empleadas o utilizadas.
10
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
x 10
10 3
(unidad) (decena)
x 10
10 2
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ..... , (n-2), (n -1) ↓ cifra no cifras significativa significativas
S1MA31B
3 VR(3) = 3 x 1 = 3 unidades
Cumple:
-
5
(centena) x 10
(millar)
de 10 100 1 = unidad 1000 cuarto = centenas = decenas = unidades millar orden S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
03
Cifras utilizadas: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cero uno dos tres cuatro cinco seis siete ocho nueve
04
MATEMÁTICA
1er Año Secundaria
e. Para leer un número en un sistema diferente al decimal se le nombra cifra por cifra de izquierda a derecha y al final la base. Ejemplo:
123(4)
Convencionalismos utilizados cuando las cifras son mayores que, 9 a = b = c = d =
Se lee: uno, dos, tres de base, 4.
α = (10) β = (11) γ = (12) δ = (13)
Representación literal de numerales. Cuando las cifras son desconocidas se reemplaza por letras del abecedario, para diferenciar de ser una multiplicación de factores, se coloca una raya horizontal arriba de las letras. PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION
Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20
Nombre (Sistema)
n
ab ≠ ab
Cifras que se usan
Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonario Decimal (Décuplo) Undecimal Duodecima Vigesimal
Ejemplo:
0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 0, 1, 2, 3, ... , 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, ... 8, 9, (10) 0, 1, 2, . . . (10), (11) 0, 1, 2, . . . (18), (19)
Enésimal
0, 1, 2, . . . , (n-3),(n-2),(n-1)
Consideraciones en el Sistema de numeración de base “n” a. Cualquier número puede ser escrito empleando el sistema de numeración considerando que la primera cifra siempre es diferente de cero. b. Un número de unidades de cualquier orden que coincida con la base del sistema de numeración, origina una unidad del orden inmediato superior. c. Cualquier cifra escrita inmediatamente a la izquierda de otra representa unidades tantas veces mayores que ésta como unidades tenga la base del sistema de numeración. d. En cualquier sistema de numeración la cantidad de cifras posibles a utilizar siempre será numéricamente igual a la base.
ab : representa un número de 2 cifras del sistema decimal. ab : ∈ {10, 11, 122, . . . , 98, 99}
abc ( 7 ) abc ( 7 ) abc ( 7 )
: numeral de 3 cifras de la base 7 ∈ {100 (7) , 101(7) , . . . , 666(7) } ∈ {1000, 1001, 1002, . . . , 9999}
Numeral Capicúa Se llama numeral capicúa a aquel numeral que tiene representación simétrica es decir las cifras equidistantes de los extremos son iguales. Ejemplos: aa ∈ {11, 22, 33, . . . , 99} aba
abba
∈ {101, 111, 121, . . . , 999} ∈ {1001, 1111, . . . , 9999}
SOMOS
;
RADAR
;
RECONOCER ;
AMOLAPALOMA ;
Ejemplo:
ANITALAVALATINA ;
Base “n” → 0, 1, 2, 3, ......, n -1 “n” cifras
ASIMARIOOIRAMISA
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
MATEMÁTICA
04
03
1er Año Secundaria
xyaxy ( 6 ) = xy x 6 + a x 6 + xy ( 6 ) 3
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE NUMERALES (Exponenciación de Numerales)
abcdef
(n )
A. Se denomina así porque tiene las características de un polinomio donde la variable del polinomio viene a estar dado por la base en la cual está escrito el número.
2
= an5 + bcd (n ) x n2 + ef
(n)
CONVERSION DE UN NUMERO DE UN SISTEMA A OTRO
B. Los coeficientes del polinomio vienen a estar dados por las cifras que componen el número.
Se puede plantear los siguientes casos:
C. El grado del polinomio viene a ser igual a la cantidad de cifras restantes que existen a su derecha.
I. De base diferente de 10 a base 10. II. De base 10 a base diferente de 10. III. De base diferente de 10 a otra base diferente de 10.
Polinomio Algebraico: ax2 + bx + c Polinomio Aritmético o Numérico: * 123 = 1 x 102 + 2 x 10 + 3 * 3000204(5) = 3 x 56 + 2 x 52 + 4 * 210005(7) = 2 x 75 + 1 x 74 + 5 Ejemplos:
ab = a x 10 + b = 10a + b abc = a x 102 + b x 10 + c = 100a + 10b + c
abcd = a x 103 + b x 102 + c x 10 + d
mnp (8 ) = m x 82 + n x 8 + p = 64m + 8n + p abcde(n ) = an4 + bn3 + cn2 + dn + e DESCOMPOSICIÓN POR BLOQUES Es un caso particular de la descomposición polinómica consiste en tomar un bloque considerándolo como una cifra. Ejemplos:
CASO I:
Método 1: POR DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA Ejemplos: *
344 (7) = 3 x 72 + 4 x 7 + 4 = 179
*
1304 (5) = 1 x 53 + 3 x 52 + 0 + 4 = 204
*
3241(7) = 3 x 73 + 2 x 72 + 4 x 7 + 1 = 1156
Método 2: POR RUFFINI Sea:
abc (n ) = an2 + bn + c abc (n ) = (an + b)n + c
Disponiendo:
Base n
2
2324 = 23 x 10 + 24 = 2300 + 24 1453 = 1 x 10 + 453 = 1000 + 453 abcd = ab x 102 + cd = 100 ab +cd abab = ab x 102 + ab = 101 ab abcabc = abc x 103 + abc = 1001 abc
abcabc ( 5 ) = 1001(5) x abc ( 5 ) ababab = ab x 104 + ab x 102 + ab ababab = 10101 ab
ababab (n ) S1MA31B
= 10101(n) x
De base diferente de 10 a base 10
CASO II:
a ↓
b an
a
(an+b)
c → cifras an 2+bn an 2+bn+c
De base 10 a base diferente de 10
Método: DIVISIONES SUCESIVAS
ab ( n )
Para pasar un número decimal a otra base se divide el número por la base del nuevo sistema de numeración. El cociente obtenido se vuelve a dividir por la nueva base y así sucesivamente hasta que se obtenga un cociente que sea menor que la nueva base.
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
Para escribir el número en el nuevo sistema de numeración se escribe el último cociente a la izquierda y cada uno de los restos obtenidos en las divisiones anteriores se van escribiendo sucesivamente a su derecha, así:
abcd → Base (B) abcd R1
B q1 R2
B q2
1er Año Secundaria
465 ( 9 ) = 4 x 92 + 6 x 9 + 5 = 383 Paso 2 :
383 → B(6)
Divisiones sucesivas 383 5
B q3
R3
..
. Rn
∴
MATEMÁTICA
04
03
B qn
∴
6 63 3
465 (9)
6 10 4
6 1
=1435 (6)
abcd = ( q n )( Rn ) . . . ( R3 )( R2 )( R1 ) ( B ) PRACTICA DE CLASE
Ejemplo 1
71984 → B(15) 15 71984 119 4798 148 29 148 134 13 14
15 319 19 4
15 21 6
I.
A continuación propone una serie de ítems, los cuales debes desarrollar en forma grupal consultando con tus compañeros o el profesor. 01.
15 1
....................................................................................................................................... 02.
⇒ 71984 = 164 (13)(14) (15)
¿En qué orden se encuentra la cifra 3 en el numeral 5437?
=164de (15)
¿En que lugar se encuentra la cifra 6 en el numeral 436 559? .......................................................................................................................................
Donde: d = 13 ; e = 14 03.
CASO III: De Base ≠ de 10 a otra base ≠ de 10 Método general: B(n)
→
→
n
.......................................................................................................................................
B(m) ; 10
Descomposición polinómica o (Ruffini)
m ≠ n
→
04. m
Divisiones sucesivas .
S1MA31B
465 (9) → B(10) “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
¿Cuántos sistemas de numeración existen? .......................................................................................................................................
05.
En el sistema decimal cuenta 12 palitos de fósforo y luego agrúpalos de 5 en 5 y responde: a) b) c) d)
Ejemplo 1: Convertir : 465 (9) a base 6 Paso 1 :
¿Qué características tiene el numeral que representa la base de un sistema de numeración?
06. S1MA31B
¿Cuántos grupitos se formaron? ¿Cuántos palitos sobraron sin agrupar? ¿En qué sistema de numeración estamos trabajando? ¿En el sistema que estamos trabajando, qué numeral representa?
Indicar los Valores Absolutos y los Valores Relativos de las cifras del numeral 24326(8. “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 07.
1er Año Secundaria
Expresar la descomposición polinómica de cada uno de los siguientes numerales: a) 2341(5
=
.........................................................................................................
b) 786(9
=
.........................................................................................................
c) 12345(6
=
.........................................................................................................
d) 23425(B =
.........................................................................................................
e) xynm(p
.........................................................................................................
=
08.
Representa 10202(4) en el sistema decimal.
09.
Representa 4321(5) en el sistema decimal.
10.
Representa 108 en el sistema binario.
11.
Representa 23102 en el sistema nonal.
12.
Representa 3320(4) en el sistema heptanal.
13.
Representa 2541(8) en el sistema undecimal.
03
MATEMÁTICA
04 07.
El numeral 540d(15) se escribe en el sistema duodecimal, así: a) A 494(12)
08.
a) 0,22(5)
01.
02.
b) 3401
c) 3402
b) 3151(8)
c) 2151(8)
d) 5111(8)
e) N.a.
b) 2103(4)
c) 1030(4)
d) 1201(5)
e) 1042(6)
b) 0,21(5)
c) 0,11(5)
d) 23(5)
e) N.a.
Expresa la descomposición polinómica de los siguientes números:
d) 905
e) N.a.
d) 3341
e) N.a.
c)4763(9)
En el sistema decimal cuenta 32 palitos de fósforo y luego agrúpalos de 7 en 7 y responde: a) ¿Cuántos grupitos se formaron? b) ¿Cuántos palitos sobraron sin agrupar? c) ¿En qué sistema de numeración estamos trabajando? d) En el sistema que estamos trabajando, qué numeral representa?
e) N.a.
d) 3341
b) 4376(A)
03.
Indicar los Valores Absolutos y los Valores Relativos de las cifras del numeral 50 321 (8)
04.
Expresar la descomposición polinómica de cada uno de los siguientes numerales: a) 2011(5) b) 754(9)
05.
Representa 265(8) en el sistema decimal.
06.
Representa el numeral 237(9) en el sistema decimal.
07.
Representa el numeral 1010010(2) en el sistema ternario.
08.
Inventa un ejercicio, dando un numeral en un sistema diferente al decimal y luego representarlo en otro sistema diferente también al decimal.
El numeral 476 escrito en el sistema quinario será: a) 3301
04.
c) 904
Expresar en base 10 la suma de: 23A(D) y 107(C) a) 3301
03.
02.
El numeral 32012(4) representado en el sistema decimal es: b) 902
e) B264(12)
TAREA DOMICILIARIA
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 08
a) 900
d) A 474(12)
Escriba el numeral 0,24 en el sistema quinario.
a) 2345(8)
01.
c) A 494(c)
¿Cuál de las siguientes expresiones dadas en sistemas de numeración distintas, representa el número mayor? a) 1101(2)
10.
b) A 484(b)
El numeral 5657 en el sistema octanario es: a) 13031(8)
09.
1er Año Secundaria
b) 3401
c) 3402
El numeral 14 325 escrito en el sistema de base 30 será: a) fqf(30)
b) fgf(30)
c) ñzñ(30)
d) fkf(30)
e) N.a.
05.
Convertir el numeral 7ab55(12) al sistema decimal. a) 13 975 b) 17 524 c) 13 673 d) 12 321 El numeral 432(7) se escribe en el sistema de base 3 como:
e) N.a.
06.
a) 22 011(3)
e) N.a.
S1MA31B
b) 22001(3)
c) 22 010(3)
d) 20121(3)
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
03
MATEMÁTICA
04
1er Año Secundaria
Se dice que un número A es divisible entre otro número B cuando el residuo de dividir A entre B es CERO y el cociente es entero. Se dice entonces que A es múltiplo de B o que B es un divisor de A. MULTIPLO.Un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto y entero de veces. Representación: §
TEORÍA DE LA
Si N es múltiplo de n.; N = múlt. de n;
N=
0
n;
N = m x n , si m es entero.
Un múltiplo de un número es el resultado de multiplicar dicho número por un número entero. DIVISOR , FACTOR O SUBMÚLTIPLO.-
I. 1. 2. 3. 4. 5.
Objetivos Específicos: Determinar cifras desconocidas en un numeral aplicando criterios de divisibilidad. Determinar el residuo de dividir un número entre otro, sin efectuar la operación. Resolver una ecuación con más de dos variables donde todos los valores desconocidos son números enteros (Ecuación diofántica). Determinar la cantidad de múltiplos de un número que cumplen determinada condición, aplicando criterios de conjuntos. Resolver diversos tipos de problemas aplicando criterios de divisibilidad.
Se dice que un número es divisor de otro cuando está contenido en él un número exacto y entero de veces. PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD: 01. Operaciones entre múltiplos o
a)
o
o
n+ n = n
MOTIVACIÓN: Parece un problema mal planteado cuando intentamos solucionar estas situaciones:
Ejm: 36 + 45 = 81 ↓ ↓ ↓ o
- En un barco había 180 personas, ocurre un naufragio y de los sobrevivientes 2/5 fuman, 3/7 son casados y los 2/3 son ingenieros. Determinar cuántas personas murieron.
o
b)
o
o
o
n−n =n
Pero,....... tienen solución.
Ejm : 72 - 16 = 56 ↓ ↓ ↓
CONTENIDOS TEÓRICOS
o
Definición.- Es la parte de la Aritmética que estudia las condiciones que debe tener un número para ser divisible entre otro. Estas condiciones se denominan caracteres o Criterios de Divisibilidad. NÚMEROS DIVISIBLES ENTRE SI.“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
o
o
8− 8= 8
TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD
S1MA31B
o
9+ 9= 9
- Hallar el residuo que resulta de dividir 23 452 428 324 122 333 entre 13.
o
c)
o
n xk = n
Ejm : 48 x 5 = 240 ↓ ↓ ↓ S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN o
1er Año Secundaria
03
04
MATEMÁTICA
1er Año Secundaria
03.
o
6 x5= 6
N=a
N = MCM(a, b)
N= b k
o o n =n
d)
Ejm :
N= a+r
64 = 1296 ↓ ↓ o 3
4
N = MCM(a, b) + r
N = b +r5
o
= 3
Ejemplos :
02.Los Números no Múltiplos :
N=8
a) División Inexacta por Defecto :
N = MCM(8,12) = 24
N = 12
D r
d q
N = 20 + 5 N = MCM(20,30b) +5 = 60 + 5
N = 32 + 5
D= d + r b) División Inexacta por exceso :
D
d
r´
q´
D = d - r´ Ejemplo : 61
9 6
7
61 = 9 + 7
04. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES: Dos números enteros cuyo producto es divisible por un cierto módulo, si uno de tales números no admite divisores comunes con el módulo, aparte de la unidad, entonces el otro número será divisible por dicho módulo. Ejemplo 1:
⇒
n=9
Ejemplo 2: 21.b = 35 (7x3) b = 7x 5 x K 3b=5 b=5
Ejemplo : 61 2
DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON:
9
(a + b ) K =
7
61 = 9 -2
Ejemplo: S1MA31B
8n = 9
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
0
a 0
(a – b) K =
a
(a – b) K =
a
0
+bK; + bK ; si “K” es par y – bK , si “K” es impar.
Hallar el residuo de dividir 4365 43 entre 8. “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
03
Resolución:
3E =
4365 43 (
0
8 0
8
=
0
8 0
8
0
=
8
+ 543
=
8
.5
=
8
+ 1) 21.5
=
8
+1).5
=
8
=
8
0 0
0
8
+ 5 )43
2 21
8 + (5 ) 8
MATEMÁTICA
04
+( +(
0
8 0
8
+5
0 0 0 0 0
1er Año Secundaria
5
0
+3 ⇔ E=
4
0
+ r
5
0
+4 ⇔ E=
4
+ r
5
0
+2 ⇔ E=
4
+1
0
+2
0
+3
+ r + r
Ejemplo: Hallar el resto de dividir: 340001 entre 5.
+ r + r
5
34+1 =
5
+ r
5 = r. El residuo es 5.
0
5 RESTOS POTENCIALES
0
340001 =
0
+r +r 0
+3=
5
Por tanto : r = 3
Se llaman restos potenciales de un entero "E" respecto a un módulo "m" al residuo que deja cada una de las potencias naturales de "E" al ser divididos entre el módulo "m". Ejemplo: Calcular los restos potenciales de 3 respecto al módulo 5. Solución: 30 = 5 + 1 31 = 5 + 3 32 = 5 + 4 33 = 5 + 2
ECUACIONES DIOFÁNTICAS Son aquellas ecuaciones insuficientes en las cuales los coeficientes y las variables son números enteros.
Ejemplo: Determine los valores de "x" e "y" sabiendo que son número enteros:
g=4
4x + 7y = 225 Resolución: Criterio: Divisibilidad por 4
34 = 5 + 1 35 = 5 + 3 36 = 5 + 4 37 = 5 + 2
4x + 7y = 225 0
4
"Observe que los restos potenciales empiezan a repetirse en forma ordenada y periódica. Al tomar una potencia cualquiera luego de 4 potencias sucesivas se obtendrá el mismo resto que deja la potencia tomada".
+ (4+3)y = 3y =
0
4
Se tiene en general:
3y - 1 - 8 =
4
3(y-3)=
4
S1MA31B
+1 ⇔ E=
0
4 “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
+1
0
3y - 1 =
0
0
4
+1
GAUSSIANO (g): Se llama así a la menor cantidad de restos diferentes posibles que forman el periodo. En el ejemplo anterior: g = 4.
5
+r
4 0
-
0
4
0
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN y-3=
1er Año Secundaria
03
MATEMÁTICA
04
0
o
4
y=
0
4
a b c d e f g h= 7
+ 3 Luego y = 3
Reemplazando en la ecuación inicial: X = 51
Si
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 1.
Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si su última cifra es un número par. 12; 28; 36; 456; 12345678 son divisibles por 2 pues su última cifra es un número par.
2.
Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de todas sus cifras es un número múltiplo de 3. Ejemplos:
Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si su última cifra es 5 ó 0. 35; 125; 1230; 455; 12345; 24680 son divisibles por 5, pues la última cifra es 5 ó 0.
5.
Divisibilidad por 25: Un número es divisible por 25 si el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 25 ó 00. Ejemplos:
Divisibilidad por 7: número es divisible por 7 si de derecha a izquierda y cifra por cifra se multiplique por los factores: 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, ..... y así sucesivamente; luego efectuamos la suma algebraica debemos obtener cero o múltiplo de 7.
(+ )
o
7
OTRA FORMA: Un número es divisible por 7 si al número se le quita y resta la última cifra multiplicado por 2 así sucesivamente y al final se debe de obtener un múltiplo de 7. Ejemplos: 1582 es divisible por 7 pues: Separamos la ultima cifra 2 y le restamos el doble 158 - 2(2) = 154; hacemos lo mismo: 15 - 2(4) = 7; y como 7 es divisible por 7; entonces 1582 es divisible por 7. 7.
Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de todas sus cifras es un número múltiplo de 9. 72 es divisible por 9 pues 7+2=9. 234 es divisible por 9 pues 2+3+4 = 9. 5445 es divisible por 9 pues 5+4+4+5=18.
325; 125; 475; 123450; 246825 son divisibles por 25 pues el número formado con sus 2 últimas cifras son múltiplos de 25 ó son ‘ceros”. 6.
(− )
entonces
(h + 3g + 2f) –(e + 3d + 2c) + (b + 3a) =
Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si el número formado con sus dos última cifras es múltiplo de 4 o son “ceros”. 112; 128; 12300; 456; 24680; 12345688 son divisibles por 4 pues las dos últimas cifras son múltiplos de 4.
4.
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 31 231 231 (+ )
12 es divisible por 3 pues 1+2 = 3 . 234 es divisible por 3 pues 2+3+4 = 9 5775 es divisible por 3 pues 5+7+7+5 = 24. 3.
1er Año Secundaria
8.
Divisibilidad por 11: Un número es múltiplo por 11 si la diferencia de la suma de las cifras de orden impar y la de orden par es múltiplo de 11. Es decir: Sea N = a b c d e f; es divisible por 11 sí
abcdef Suma de cifras de orden par: a + c + e Suma de cifras de orden impar: b + d + f S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
MATEMÁTICA
04
03
luego se tiene:
1er Año Secundaria
22 - 9(1) = 13; y como 13 es divisible por 13; entonces 2665 es divisible por 13.
(a + c + e) – (b + d + f) =
0
11
10. Divisibilidad por 17: Un número es divisible por 17 si al número se le quita y resta la última cifra multiplicado por 5 así sucesivamente y al final se debe de obtener 0 ó un divisible de 17.
123 464 es divisible por 11 pues:
* *
51 es divisible por 17 pues 5 - 5(1) = 0. 2465 es divisible por 17 pues: Separamos la ultima cifra 5 y le restamos 9 veces al número que queda: 246 - 5(5) = 221; hacemos lo mismo: 22 - 5(1) = 17; y como 17 es divisible por17; entonces 2 465 es divisible por 17
1 2 3 4 6 4 ⇒ (1+3+5) - (2+4+4) = 0 72567 es divisible por 11; pues: (7+5+7) - (2+6) = 11. 9.
Divisibilidad por 13: Un número es divisible por 13 si de derecha a izquierda y cifra por cifra se multiplique por los factores: 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, -3, ..... y así sucesivamente; luego efectuamos la suma algebraica debemos obtener cero o múltiplo de 13. I.
o
(+ )
02.
(− )
03.
h – (3g + 4f + e) + (3d + 4c + b) - 3a =
o
Halle usted todos los factores o divisores de :
Un número es divisible por 13 si al número se le quita y resta la última cifra multiplicado por 9 así sucesivamente y al final se debe de obtener un múltiplo de 13. 91 es divisible por 13 pues 9 - 9(1) = 0. 2665 es divisible por 13 pues: Separamos la ultima cifra 5 y le restamos 9 veces al número que queda: 266 - 9(5) = 221; hacemos lo mismo: “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
04.
b) 18
c) 35
d) 17
30 es múltiplo de 3. 28 es múltiplo de 6. 0 es múltiplo de 7. 308 es múltiplo de 4. 111 es divisible por 3. 1050 es divisible por 125. 4 + 6 es un número par. 15 – 11 es un número impar.
( ( ( ( ( ( ( (
) ) ) ) ) ) ) )
Halle usted: a) El conjunto de todos los múltiplos de 7 menores de 100.
S1MA31B
e) 60
Clasifique usted como verdadera o falsa cada una de las siguientes afirmaciones: a) b) c) d) e) f) g) h)
13
OTRA FORMA
S1MA31B
¿Qué es múltiplo de un número?. ¿Cuántos múltiplos tiene un número?. ¿Por qué se dice que 18 es múltiplo de 9?. ¿Cuál es el múltiplo más pequeño de cada número natural?. ¿Qué nombre reciben los múltiplos de 2?. ¿Y los que no lo son?. ¿Qué es divisor de un número?. ¿Cuántos divisores tiene un número natural?. ¿Cuál es el mayor divisor de un número distinto de cero?.
a) 10
entonces
* *
Responda a las siguientes preguntas: a) b) c) d) e) f) g) h)
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 3 143143 1 (− )
Actividad: Debes desarrollar en tu cuaderno. 01.
a b c d e f g h = 13
Si
PRÁCTICA DE CLASE
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
03
b) El conjunto de todos los múltiplos de 14 menores que 125. c) El conjunto de todos los múltiplos de 2 elevada al exponente 3. d) Pruebe usted que la suma de tres números naturales consecutivos es siempre divisible por 3. e) ¿Cuál es la intersección del conjunto de los números pares y el conjunto de los números impares?. f) Pruebe usted que la suma de dos números impares es un número par. 05.
¿Qué es la divisibilidad? ¿Qué entiende por criterios de divisibilidad?. ¿Puede un número ser divisible por 10 y no por 5?, ¿Por qué? El producto de 6 x 30 x 5, es divisible por 4?, ¿Por qué?.
08.
3
4
5
6
7
09.
8
9
11
Desarrolle los siguientes planteamientos:
10.
.¿Cuál es el residuo de dividir 260 entre 7? a) 1
11
21
12.
25
125 485 521 127 130 333
e) N.A
b) 13
c) 8
d) 15
e) N.A
d) 1
e) N.A
70
¿Cuál es el residuo de dividir 3 entre 7? b) 2
c) 5
¿Cuál es el resto que se obtiene al dividir: 2 3K+1 + 2 6K+4 + 23 entre 7.?
14.
Hallar el residuo que resula de dividir 155 154 entre 8.
15.
¿Cuántos númerales de dos cifras son múltiplos de 8 y terminan en 6?.
16.
¿Cuántos numerales de 4 cifras múltiplos de 7 terminan en 3?.
17.
¿Cuántos números de 5 cifras son tales que son 23 + 5 y terminan en la cifra tres . a)300
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
d) 2
13.
Conteste lo siguiente: a) ¿Cuál es el menor número de tres dígitos que es divisible por 2; 3 y 5? b) ¿Cuál es el menor dígito que debe escribirse a la derecha de 752 para que resulte un número divisible por 3; 4 y 11? c) Cambia el orden de los dígitos del número 4370 a fin de que resulte un número divisible por 2; 4; 5 y 11. d) ¿Cuál es el menor número que debe restarse de 4370 a fin que resulte un número divisible por 9?
c) 5
.¿Cuál es el residuo de dividir 2 entre 17 ?
a) 4
17
b) 6 50
a) 4
33
S1MA31B
¿Cuáles son divisibles por 2? ¿Cuáles son divisibles por 7? ¿Cuáles son divisibles por 11? ¿Cuántos son divisibles por 5? ¿Cuántos son divisibles por 8?
a) Determinar una pareja (a; b) si: 2 ab 80 es múltiplo de 72. b) Determinar una pareja (a; b) si: a 96 b 4 es múltiplo de 12.
18
07.
Considerando los números siguientes: 116; 204; 380; 465; 720; 657; 1080;453 y 2346. Indica lo siguiente: a) b) c) d) e)
Completa una tabla y además marca con una aspa los casilleros respectivos (la flecha se lee “es divisible por”) 2
1er Año Secundaria
e) ¿Cuál es el menor número que debe aumentarse a 2573 para que el resultado sea divisible por 8?
Responda a las siguientes preguntas: a) b) c) d)
06.
MATEMÁTICA
04
18.
d)541
e)NA
b)625
c)534
d)300
e)NA
Cuantos números de 3 cifras múltiplos de 9 existen de tal manera que la cifra central sea igual a la suma de las laterales . a)7
S1MA31B
c)391
¿Cuántos números 17 + 4 de cinco cifras terminan en la cifra 2 ?. a)529
19.
b)400
b)45
c)8
d)9
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e)NA
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 20.
b)133
b) 6
03.
d) 9
e) NA
c) 24
d) 26
b) 28
c) 30
d) 25
c) 9
d) 12
e) NA
María va al mercado con S/. 22,590, compra papayas a 770 soles cada una, naranjas a 910 soles cada una y manzanas a 1430 soles cada una . Si compra la mayor cantidad posible de manzanas; cuantas frutas compro en total, si gasto todo su dinero . a) 7
b) 8
c) 9
d) 4
e) NA
III) 1
a) sólo I, II y III d) todas excepto I y Vi 04.
IV) 9
V) 11
05.
a) 1; 2; 3 y 4 06.
c) sólo II, III y V
b) 2; 3; 4; 5 y 6
c) 1; 2; 3; y 6
d) 2 y 5
b) 1; 2; 3 y 5
c) 1; 2; 3 y 6
d) 1; 2; 3; 4; 6
b) 1 y 5
c) 1 y 6
c) 1; 2 y 11
a) A, B y C
02.
c) 2 y 8
b) A, B y D
c) B, C y D
d) B, D y E
e) N.a.
¿Cuántos múltiplos de 13 hay entre 100 y 755? a) 20 b) 13 c) 50 ¿Cuántos múltiplos de 19 hay entre 50 y 450?
d) 51
e) 60
09.
a) 19
d) 32
e) 33
10.
b) 21
c) 20
¿Cuántos múltiplos de 17, entre 200 y 1300 terminan en cifra 8? b) 8
c) 9
d) 10
TAREA DOMICILIARIA d) 1 y 99
e) N.a.
La diferencia: ab − ba es siempre divisible por: a) 1; 3 y 9
S1MA31B
b) 3; 9 y 11
c) 9 y 11
d) sólo 9
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) N.a.
e) N.a.
08.
La suma: ab + ba es siempre divisible por: b) 1 y 11
e) N.a.
En una tienda hay artículos A, B, C, D y F cuyos precios son: 2; 3; 5; 7 y 11 nuevos soles respectivamente. Si tengo S/. 231 y no me debe sobrar nuevos soles?. ¿Qué artículos puedo comprar?
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 09
a) 1 y 9
e) 1; 3; 7 y 11
La suma de: ab (2 a ) + bba + ba , siempre el divisible por: a) 1 y 7
07.
b) sólo II, IV, y VI e) Todas
El número de la forma a (3 b) (2 a ) es siempre divisible por:
a) 7
01.
VI) 7
El producto de 3 números consecutivos es siempre múltiplo de: a) 1; 2; 3 y 4
Se han comprado botellas de vino: 7 cajas de 18 botellas a s/.50 por botella, 1 caja de 13 botellas a S/.300 por botella, también por lo menos una caja de 19 botellas a S/.100 por botella y cajas (por lo menos una) de 10 botellas a S/. 290 por botella; si por todo se pago S/. 42 000. ¿Cuantas cajas del ultimo grupo se compraron ? b) 15
II) 3
Son ciertas:
e) NA
e) NA
1er Año Secundaria
La diferencia: abc − cba es siempre divisible por: I) 2
e)NA
Compre vacas, cerdos y ovejas que cuestan: s/.70 000, s/.50 000, s/.30000, respectivamente, gastando en total s/. 1 290 000. Si compré doble numero de cerdos que ovejas. ¿Cuántos animales compré en total?
a) 10 25.
c) 10
b) 35
a) 23 24.
d)145
Se compran panetones y tortas a $ 4 y $ 7 respectivamente . Si el gasto fue de $ 123 en total. Determinar la suma del números de panetones mas el de tortas, si el producto de estos números es lo máximo posible. a) 10
23.
c)150
MATEMÁTICA
04
Compre vacas a $ 45 000, cada una y caballos a $ 52 000 cada uno. Si en total gaste $ 939 000. Hallar la diferencia entre el numero de vacas y de caballos que compre . a) 5
22.
03
Cual es el menor numero de tres cifras, múltiplo de 7 que da de resto la unidad al ser dividido por 3 u 11? a)130
21.
1er Año Secundaria
01.
El producto de dos números consecutivos es siempre divisible por:
02.
El número de la forma (3 a ) (4 a ) es siempre divisible por:
03.
¿Cuál es le valor de "a" para que 3253 a sea divisible por 8?
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) 11
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
04.
Hallar el mayor valor de "a" para que 3 a 2a 5 sea divisible por 3.
05.
Hallar "x" en: 2 x 969
03
04
MATEMÁTICA 157
° =7
1er Año Secundaria 163
167
179
181
191
193
197
199
Observación 1. No existe fórmula para hallar todos los números primos.
TEORÍA DE LOS I.
II.
2. La serie de los números primos es ilimitada, osea que por más grande que sea un número primo, siempre hay otro número primo mayor. (Euclides, Elementos, IX-20) 3. Si “P” es un número mayor que 2.
Objetivos Específicos: 1. Dado un número determinar si es primo o compuesto. 2. Determinar cuántos y cuales son los divisores de un número, así como la suma, suma de inversas y producto de los mismos. 3. Determinar la descomposición canónica de un número. 4. Resuelve correctamente ejercicios y problemas referidos a los divisores de un número natural.
4. Si “P” es un número primo mayor que 3.
Procedimientos:
5. Número simple:
o
P=
4 ±1
P=
6 ±1
o
1, 2, 3, 5, .......
A. Motivación:
Números primos.
Fue el matemático griego EUCLIDES el primero en descubrir que los números primos constituyen una serie infinita. Las investigaciones de los matemáticos griegos les condujeron rápidamente al concepto de número primo, basándose en el cual ERATOSTENES construyó su famosa criba para encontrar los números primos en la serie de los números naturales. Considerando el campo de los números enteros positivos se clasificará de acuerdo a la cantidad de divisores del siguiente modo. B. Contenido Teórico:
6. Número compuesto: Es aquel número que tiene más de 2 divisores. Ejemplo: 6
→
4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; . . . . 1;2;3;6; Divisores
(6 posee 4 divisores) NÚMERO PRIMO
7. Todo número primo que divide a un producto de varios factores, divide por lo menos a uno de los factores.
Es aquel número que tiene únicamente 2 divisores: el mismo y la unidad.
1 ;3 2
2
1 ;....; P 3
1 P
Números primos relativos o primos entre si (PESI)
P : número primo (# primo absoluto)
Son dos o más números que tienen como único divisor común a la unidad.
Tabla de Números Primos Menores que 200
S1MA31B
Ejemplo 1
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
101
103
107
109
113
127
131
137
139
149
151
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
Número
Divisores
10
1 ; 2 ; 5 ; 10
21
1 ; 3 ; 7 ; 21 “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
03
MATEMÁTICA
04
1er Año Secundaria 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29
∴
10 y 21 son PESI
Generalización del Teorema de Arquímedes
c) Cómo 853 no es divisible por ninguno de estos números entonces podemos afirmar que es un número primo.
Todo número que divide a un producto de varios factores y es primo con todos ellos menos uno, divide a éste.
REGLA PARA DETERMINAR LOS DIVISORES DE UN NÚMERO a) Se descompone el número en factores primos.
Ejemplo
b) Se escribe el 1 (que es divisor de todo número) y a continuación se pone las diversas potencias del primer factor primo.
o 11 x 17 x 19 x 4 . N = 3
c) Se multiplica los divisores hallados por las diferentes potencias del segundo factor primo.
o
⇔ N = 3
d) Se multiplica todos los factores hallados anteriormente por las diferentes potencias del tercer factor y así sucesivamente. El último divisor hallado al formar éstos productos es el número dado. Tabla de divisores de 240
Números primos entre si dos a dos (PESI 2 a 2) Un conjunto de números resultará ser PESI 2 a 2 si precisamente al tomarlos en pareja resultan ser primos entre sí.
1
2
4
8
16
Ejemplo 1: ¿Son 8 ; 9 y 25 PESI 2 a 2 ?
3
6
12
24
48
x3
Solución:
5
10
20
40
80
x5
15
30
60
120
240
3x5
8 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 9 : 1 ; 3 ; 9 Observación
* 240 posee 20 divisores de los cuales 3 son divisores primos ( 2 ; 3 ; 5 ).
A. Dos números enteros consecutivos siempre son PESI.
Ejemplo: 24 → 1
B. Dos números impares consecutivos también son PESI
La CRITERIO PARA RECONOCER SI UN NÚMERO ENTERO ES PRIMO
; 2 ; 3
; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
Divisores
Unidad Primos
Divisores Compuestos
Para saber si un número dado es primo o no, se deben seguir los siguientes pasos: a. Extraer la raíz cuadrada, aproximadamente por defecto.
D (24) = 8
b. Enumerar los números primos menores a esta aproximación c. Aplicar las condiciones de divisibilidad del número por cada uno de estos números primos.
DP = 2
DC = 5
Número de
Divisores
Divisores
divisores de 24
Primos
compuestos
d. Si en ninguno de los casos es divisible, se dice que el número es primo. Ejemplo 1: ¿Es 853 número primo? Solución a)
853
⇒
D 24 = D P + D C +1 = 2 + 5 +1 = 8
Sea “N” un número compuesto. ≅ 29 , . . .
D (N) = D P + D C + 1
b) Los números primos menores que: 29 , . . . S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
03
DESCOMPOSICION CANONICA (Teorema fundamental de la Aritmética o Teorema de Gauss)
04
MATEMÁTICA
1er Año Secundaria
Todo número que tenga un número impar de divisores es un número cuadrado perfecto. Ejemplo: →
9
Todo número entero mayor que uno (compuesto) se puede descomponer como el producto de sus factores primos elevados a exponentes enteros positivos, dicha descomposición es única.
1 , 3 , 9 ; D(9) = 3.
Divisores
Sea “N” el número compuesto.
36 → 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; D(36) = 9
N = Aα x Bβ x Cθ
Divisores
A, B, C → factores primos. α, β, θ → Exponentes (números enteros positivos)
III. Suma de las inversas de los divisores [SID(N)]
ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO I. Cantidad de divisores [D(N)]
SID(N) =
SD (N) N
Ejemplo:
El número total de divisores de un número es igual al producto de los exponentes de los factores primos aumentados en 1.
SID (600) =
1 1 1 1 1 + + + ... + + 1 2 3 300 600
D(N) = (α + 1) (β + 1) (θ + 1)
SID(600) =
Ejemplo:
600 + 300 + ... + 2 + 1 600
=
SD (600 )
720 = 24 x 32 x 51 D(720) = (4+1)(2+1)(1+1)
∴ SID(600 ) =
D(720) = 5 x 3 x 2 = 30
SD (600 ) 600
IV. Producto de divisores de un número [PD(N)]
II. Suma de divisores [SD(N)]
SD (N) =
A
α +1
β +1
PD (N) = N
θ +1
−1 B −1 C −1 x x A −1 B −1 C −1
D(N)
D(N)
=N
2
Ejemplo: D(720) = 30
Ejemplo:
D(720)
240 = 24 x 3 x 5
PD (720) = 720
2 4 + 1 - 1 3 1 +1 - 1 5 1 +1 - 1 SD (240) = x x = 744 2 -1 3 -1 5 -1
∴
SD(240) = 744
2
= 720 15
PD (720) = 720 15
Importante: S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
600
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
1er Año Secundaria
03
MATEMÁTICA
04
1er Año Secundaria
DESCOMPOSICION CANONICA DEL FACTORIAL DE UN NUMERO
20
θ=4
5 4
Consideraciones:
Cálculo de γ :
0! = 1! = 1
20
2! = 1 x 2 = 2
γ =2
7 2
3! = 1 x 2 x 3 = 6
Reemplazando:
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
20! = 218 x 38 x 54 x 72 x 11 x 13 x 17 x 19
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 PRÁCTICA DE CLASE
6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040
1.
Indicar todos los divisores de 1260.
8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40 320
2.
Determine cuántos y cuáles son los divisores de 72.
3.
Para el número 1440, determine ¿Cuántos divisores tiene?; ¿Cuántos son compuestos?; ¿Cuántos son primos?; ¿Es perfecto, defectuoso o abundante?.
4.
Para los números: 60 y 496, determine: a) El número de divisores primos. b) El número de divisores compuestos c) El número de divisores. d) La suma de todos sus divisores. e) La suma de sus divisores compuestos. f) La suma de las inversas de sus divisores g) El producto de los divisores.
5.
Dado el número 315 000, determine: a) El número de divisores. b) El número de divisores pares. c) El número de divisores impares. d) El número de divisores múltiplos de 3. e) El número de divisores múltiplos de 21. f) El número de divisores que terminan en cero.
6.
En la descomposición canónica de 240!, hallar el exponente de 7
7.
¿En cuántos ceros termina 180! ?
8.
Hallar el valor de K, si: 25 x 15K tiene 24 divisores.
n! = 1 x 2 x 3 x . . . x (n-2)(n-1) x n
Ejemplo: Hallar la descomposición canónica de 20!. Solución:
20! = 1 x 2 x 3 x . . . x 19 x 20 20! = 2α x 3β x 5θ x 7γ x 11 x 13 x 17 x 19 Cálculo de α : 20
2
α = 10 + 5 + 2 + 1
10
2
α = 18
2
5 cocientes
2
2 1
Cálculo de β : 20
β= 6 + 2 = 8
3 6
3 2
Cálculo de θ : S1MA31B
a) 2
β=8
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
9.
b) 3
c) 4
d) 5
e) N.A
Hallar la suma de los dígitos del menor número impar "N" que tiene cuatro factores primos y tiene 24 divisores positivos.
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 14
b) 16
1er Año Secundaria c) 18
d) 20
03
e) N.A
MATEMÁTICA
04
19. ¿Cuántos número de la forma aaa tienen 8 divisores?
10. Si el número: N=25.3x.5x ; tiene 20 divisores compuestos. Hallar "x". a) 4
b) 5
c) 2
d) 3
1er Año Secundaria
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) N.A
e) N.A 20. ¿Cuántos ceros debe tener: 300 ……. 0; Para que admita 288 divisores ?
11. Hallar la suma de los divisores de 24 que sean múltiplos de 3. a) 8 a) 24
b) 45
c) 18
d) 36
12. De los divisores de 180, hallar la suma de los que sean múltiplos de 6. a) 432
b) 528
c) 682
d) 316
b) 10
c) 11
d) 12
e) N.A 21.
Descomponer polinómicamente cada número:
e) N.A
a) 2000
b) 5200
c) 7200
13. ¿Cuántos ceros se debe poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 239 divisores? a) 5
b) 8
c) 10
14. ¿Cuántas veces hay que multiplicar por 8 el número 300 divisores? a) 5
b) 8
c) 10
d) 16
e) N.A
para que el resultado tenga 126 d) 16
e) N.A
d) 6
e) N.A
22.
Descomponer canónicamente 420 e indicar los factores primos.
23.
Descomponer canónicamente 770 e indicar los factores.
24.
Determinar el número de divisores de 720.
25.
¿Cuántos divisores tiene B = 152 × 483.
15. Si 12x tiene 63 divisores compuestos. Calcule "x". a) 5
b) 8
c) 4
16. ¿Cuántos ceros debe tener: N = 20000...000 Para que el resultado tenga 56 divisores? a) 5
b) 8
c) 10
d) 16
e) N.A
d) 6
e) N.A
17. Si N= 13k+2 - 13k tiene 75 divisores compuestos. Hallar "k". a) 2
b) 3
c) 4
18. Sabiendo que : 12 x 30 n tiene el doble de la cantidad de divisores que 12 n x 30. Hallar el valor de "n". a) 3
S1MA31B
b) 4
c) 5
d) 6
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) N.A
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) N.A
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
26.
03
MATEMÁTICA
04
01.
A ? B
Si: A = 202 × 453 y B = 123 × 302, ¿Cuántos divisores tiene A × B? a) 1248
02.
03.
29.
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
d) 184
e) 190
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
d) 3
e) 4
a) 6
d) 12
e) 15
b) 8
c) 10
Un número tiene como factores primos: 2; 3 y 5. Si éste número tiene 20 divisores y es el menor posible, ¿cuál es la suma de sus cifras? a) 6
b) 8
c) 7
d) 5
e) 4
07.
¿Cuantos divisores de 540 son múltiplos de 2? a) 12 b) 14 c) 16 ¿Cuántos divisores de 1200 son múltiplos de 10?
d) 18
e) 15
08.
a) 14
d) 13
e) 11
d) 14
e) 9
09.
11.
b) 16
c) 18
¿Cuántos divisores de 640 no son múltiplo de 20? b) 10
c) 12
Si: A = 122 × 303 y B = 15 × 202. ¿Cuántos divisores tiene A/B? a) 10
S1MA31B
c) 172
a) 0 b) 1 c) 2 ¿Cuál es el menor número que tenga 6 divisores?
10.
¿Cuántos divisores múltiplos de 6 tiene 7200?
b) 199
05.
a) 8
30.
e) N.a.
¿Cuántas veces debemos multiplicar 5 al número 12, para que el producto tenga 24 divisores?
¿Cuál es la suma de las inversas de los divisores de 1080?
¿Cuántos divisores múltiplos de 5 tiene 480?
d) 814
04.
06. 28.
c) 720
Hallar el valor de "x" para que el número A = 10 × 12x, tenga 36 divisores. a) 0
¿Cuál es el producto de los divisores de 400?
b) 624
Calcular la suma de todos los números primos que existen entre 30 y 50. a) 142
27.
1er Año Secundaria
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 10
Si A = 153 × 482 B = 122 × 30 ¿Cuántos divisores tiene:
1er Año Secundaria
b) 12
c) 16
d) 19
Si: N = 50 × 722 y M = 152 × 203. ¿Cuántos divisores tiene
S1MA31B
N3 ? M
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) 20
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 320 12.
b) 408
1er Año Secundaria
c) 352
d) 145
03
04
08.
e) N.a.
Si: A = 20 × 48 y B = 15 × 30 . ¿Cuántos divisores de A × B son múltiplos de 1000? 3
a) 172
2
b) 210
c) 98
d) 108
e) 196
TAREA DOMICILIARIA 01.
Descomponer crónicamente cada número: a) 7040
02.
b) 8100
Descomponer polinómicamente 630 y calcular sus divisores.
03.
Descomponer canónicamente 1080 e indicar el número de divisores.
04.
Descomponer polinómicamente el número 5040; e indicar:
MATEMÁTICA
a) Todos sus divisores.
b) Sus divisores primos
c) El número de divisores
d) El producto de sus divisores
e) La suma de sus divisores
f) La suma de las inversas de sus divisores.
1er Año Secundaria
A
B
B
D
A
E
A
09.
C
D
10.
D
A
B
E
D
D
C
C
A
C
D
B
11.
B
A
C
12.
C
D
E
13.
A
A
14.
B
C
15.
C
E
16.
A
B
17.
A
B
18.
C
E
19.
D
A
20.
B
E
21.
E
22.
B
23.
C
24.
C
25.
A
26.
C
A
D
B
E
B
A
C
A
E
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003
SOLUCIONARIO Nº
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
D
D
A
E
E
D
C
B
B
A
02.
E
D
B
D
B
A
C
A
A
B
03.
B
E
C
D
C
D
D
B
D
C
04.
E
A
E
D
A
B
B
C
C
D
05.
B
C
C
B
E
B
A
E
C
D
06.
C
A
D
A
E
C
C
C
A
A
07.
D
D
E
B
A
B
D
E
D
C
01.
S1MA31B
EJERCICIOS PROPUESTOS
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S1MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”