COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
2do Año Secundaria
83
84
MATEMÁTICA
2do Año Secundaria {
I BIMESTRE
[
(
)
]
}
1°
OPERACIONES
2° 3° Ejemplo 01: Efectuar:
I.
II.
(7 × 5 − 3 2 ) + 2 [4 2 + (6 : 3 + 5 − 9 ) + 5 2 × 3 2 − 64 ]
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 1.1. Realiza operaciones fundamentales correctamente en Q. 1.2. Operar correctamente operaciones combinadas en Q, donde intervengan signos de colección.
SOLUCIÓN:
PROCEDIMIENTOS:
26 + 2 [ 42 + 4 + 52 x 32 -
A. Motivación:
26 + 2 [ 16 + 4 + 25 x 9 ] - 8
Al operar al interior de cada Signo de Colección, el orden de las operaciones es el mismo que lo explicado. 64 ] , operando dentro [ ]
26 + 2 [ + 16 + 4 + 225 - 8 ]
Hallar el resultado de:
16 1 1 + 3 2 −1 y dar su respuesta con aproximación al centésimo: 25 9 11
Rpta:..............................................................
26 + 2 [ 237 ] 26 + 747 500 Rpta.
Ejemplo 02: ¿Cuál es el decimal que resulta al efectuar la siguiente operación? E = (0,18333) (0,151515 .....) : (0,111 .....)
B. Contenido Teórico: En ejercicios donde aparecen algunos o todas las operaciones estudiados, efectuamos éstas según el siguiente orden:
SOLUCIÓN: Hallamos la generatriz de cada decimal:
1.- Operamos las POTENCIAS y las RAICES. 2.- Luego operamos las multiplicaciones y divisiones. 3.- Finalmente operamos las SUMAS y RESTAS.
SIGNOS DE COLECCIÓN: Los más usados son: PARENTESIS ( ), LLAVES { } y CORCHETES [ ]. Si en un ejercicio de operaciones combinadas aparecen los Signos de Colección, efectuamos las operaciones al interior de éstos. Si en los Signos de Colección ocurre que hay unos al interior de otros, empezamos efectuando operaciones al interior de los primeros. Ve esquema:
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
11 33 183 − 18 165 11 = = • 0,18333.... = 0,18 3 = 900 900 60 180 60
• 0,151515...= 0,1 5 =
S2MA31B
15 5 = 99 33
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
• 0,111....... = 0,1 =
2do Año Secundaria
83
MATEMÁTICA
84
1 9
2do Año Secundaria
2 1 1 × + 5 3 2 7 / 30
Reemplazando:
11 × 5 × 9 11 5 1 E = ⇒ E = 0,25 : ⇒E = 60 × 33 60 33 9 Ejemplo 03: Reducir:
03.
3 P = 8
+
5
⋅
3
−
2
:
Efectuar:
1 1 + 7 4 + 46 1 57 +2 28
4
6 25 25 15 1,3 + 0,8 3 − 0,75
SOLUCIÓN: Efectuando:
3 1 3 7 + − 21 P = 8 10 10 = 40 = 4 5 3 17 170 + − 3 6 4 12
Rpta. 04.
Reducir:
2 10 3 19 × + × 5 7 7 5 − 1 6 3 / 28 35
PRACTICA DE CLASE Nº 01 01.
Efectuar:
1 1 1 + 4 2 3 1 24
02.
05.
Simplificar:
1 1 7+2 1 + 1 14
1 2 + + 3 1 1 3 2
Reducir:
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
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06.
2do Año Secundaria
Reducir:
83
MATEMÁTICA
84
2do Año Secundaria
10. Efectuar:
E=
924 ,3555 .... − 24 ,3555 97 ,666 .... + 2,333 .....
13 1 1 1 × + + 12 2 3 4 − 74 × 1 13 3+ 12
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01 07.
Efectuar:
(0,3)4 ×(0,002 )5 (0,9 ) 2 ×(0,0016 )3
01.
a) 53 02.
2 2 16 4 : (- 2) + { (- 8) (- 3) : (- 2) + (- 7) - (- 6) (- 8) }
Hallar el resultado de: b) 48
c) 59
Reducir:
(0,05 )3 ×(0,008 )8 (0,5 )2 ×(0, 2)12 a) - 1 03. 09.
Calcular: E =
[
0,32111 ... − 0, 24999 ...
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
1 2
c) 1
1 3
d) -
1 4
e) -
1 2
Efectuar:
]
−1
a) 0
S2MA31B
b)
3
1 1 2 − 2 5 − 29 1 1 9 + 25 4
6 1 + 5 6 × 7 3 − 3 10
04.
e) N.a.
Efectuar:
F=5 08.
d) 62
Reducir:
S2MA31B
b) - 1
1 1 + 9 3
c) 1 −1
×
41 61
−2
d) 2
10 0 2 −1
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) N.a.
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
a) 1 05.
2do Año Secundaria
1 c) 2
b) 2
83
MATEMÁTICA
84
d) 3
P = 1 −
e) N.a.
1 1 1 1 1 − 1 − 1 − ... para que "P", resulte igual a 0,1? 3 4 5 6
a) 18
Efectuar:
1 1 + 1 × 2 3 1/8 1 1 + 4 6
11.
b) 12
b)
1 2
c) 4
d) 2
e) N.a.
12.
Simplificar:
13.
1 1 1 + − 1/9 1/2 1/3 −1 1 3 +− 1/5 1/3 a) 07.
113 225
c) - 4
b)
233 225
c)
17 250
b) 8
¿Cuánto le falta a los
c) 6
1, 25 − 0,45
c) 0,2
b) 99
1 4
e) 1
14.
d)
1 990
c) 90
b) 1/2
1 900
15.
c) 2
Si: x =
b) 35
c) 40
e) 10 a)
2 9 5 de los de para ser igual a la fracción generatriz del decimal 3 10 6
d) 0,25
e) más que 0,25
d) 33
e) 66
÷ 3,1 ×0 ,0 1 ∩ 2, 15
d) 1/3
e) 1/4
d) 65
e) N.a.
1 , calcular el valor de: 12 E=
d) 9
2
¿Cuántas fracciones propias de denominadas 75 y donde el numerador es un número de dos cifras, existen? a) 30
e)
)
Efectuar:
a) 1 d) -
e) 10
La raíz cúbica de 23 . 312 excede a la raíz cuadrada de 26 . 34 en:
Calcular la raíz cuadrada de: E = 99,777.... + 0,222..... a) 7
09.
1 4
b) -
d) 20
3,5 −1,8 3 1 Ε= × 71 9,7 −6,4
¿Cuál es la fracción generatriz de: 0,12 + 0,333....+0,58222....? a)
08.
1 2
(
b) 0,15
a) 9 06.
c) 30
Calcular el valor de:
a) 0,1 a) 1
2do Año Secundaria
3 4
b)
2 2
3 3 − x + 2x − 1 − 4x 4 2 c) 0
d) 1 -
1 6
e) 1 -
0,555....? a) 0
b)
1 3
c)
1 6
d)
1 18
e)
TAREA DOMICILIARIA Nº 01
1 20 01.
10.
Si: a = 2 -
¿Cuántos "paréntesis" se deben considerar en:
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
3 ; b=
2 +1 y c=
3 − 2 . ¿A qué es igual: a + b + c ?
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
1 3
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 02.
b)
2
Calcular: ( 0,27 ) a) 1
04.
b) 1 -1
d) 1
e) 0
c) 8
d) 4
e) N.a.
b) 3
Efectuar:
(
INTERVA c) 3
Efectuar: (0,0222 .....) −2 :
E=
0,04 + 0,09
d) 4
625 y dar como respuesta la raíz cuadrada de lo obtenido. c) 9
)
2
e) 5
d) 4
I.
a) 1
b) 2
Objetivos Específicos: 1.1. Realizar operaciones conjuntistas con intervalos
e) 16 II.
Procedimientos:
y dar como respuesta: A) Motivación ¿Cuántos números existen entre 999 y 1001 ?. Suponga que está en el campo de los números reales.
E 3 +E 2 +E 0
06.
2do Año Secundaria
+ 0,333...
b) 2
a) 1 05.
c) 3
MATEMÁTICA
84
83
Efectuar: (0 ,1 +0 ,3 ) −3 a) 6,25
03.
2+ 3
2do Año Secundaria
c) 3
d) 4
e) 16
Rpta.: ............................................................
Evaluar: E = (0,125) - 3 : (0,25) - 2 y dar como respuesta: 5
a) 1
b) 2
c) 3
B) Contenido Teórico Es la unión de los números racionales (Q) con los irracionales (II) Es decir: Q U II = R
E + 6 2E d) 4
e) 16 Ejemplo: De Números Reales: 0,5, -
2 ,
3 ,1+
5 , π + 2, - 7, -
GRAFICA R
Q Z N
A.
I
VALOR ABSOLUTO : a Es la distancia del CERO a dicho número.
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
5 , etc. 3
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Luego:
+ 11
=− 11
2do Año Secundaria
83
MATEMÁTICA
84
GRAFICA
= 11
Así : 11
,+ Siempre es abierto + 0 4. CERRADO POR UN EXTREMO : Cuando se incluye un extremo y el otro no.
11 0
A = x / 5 ≤ x ≤ 8
11
B.
2do Año Secundaria
11
[ 5, 8 [
GRAFICA A
INTERVALOS: Conjunto de números reales que pueden o no incluir los extremos. CLASES :
0
1. ABIERTO.- Cuando no incluyen los EXTREMOS y no llevan signo igual. Así: M = x ∈ R / a < x < b Ejemplo : B =x ∈ R / -3 < x < 3 ] -3, 3 [
4
-1
0
1
-2
-3
-4
GRAFICA
5
6
7
8
] 3, +∞ [
GRAFICA
Se representa con un círculo sin llenar
M
2. CERRADO: Cuando incluyen los extremos y lleva signo IGUAL. Ejemplo : C = x / – 3 ≤ x ≤ 0 [ - 3, 0 ]
0
1
2
3
+
4
PROBLEMAS : Ejemplos C
-3
3
M = x / 3 < x B
-2
2
5. ABIERTO POR UN EXTREMO : No se incluye un extremo.
GRAFICA
-3
1
-2
01. -1
0
1
2
Se representa con un círculo lleno .
Dados los intervalos P = [ -3, 2 [ , Q = ] -1, 3 ] , Hallar P U Q Solución : Se grafican los intervalos. Q
3. ILIMITADO: Cuando sus extremos están representados por infinito + ó –.
En la unión se toma los extremos finales. Así: P U Q = [ -3,3 ]
P -3
-2
-1
0
1
2
3
P U Q S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
2do Año Secundaria
83
04. 02.
2do Año Secundaria
Hallar el intervalo P – Q, SI P = ] – 2, + ∞ [ y Q = [ 2, 5 ] Solución : Se grafican los intervalos
M = −1 , 4 N = 1 , 6 2 2
Dados :
MATEMÁTICA
84
Q
Hallar M ∩ N
P -
Solución : Se grafican los intervalos
+ -2
-1
0
1
2
3
4
5
N M -1
1 -
1 2
2
3
4
5
6
P – Q = ] – 2, 2 [ U ] 5, + ∞ [
7
0 1 2
05.
Graficar y hallar A
B , si A= [ -4, 1 [ y B = ] – 2, 3 ]
Solución : Se grafican los intervalos M ∩ N
En la INTERSECCIÓN se toma el segmento “central”, respetando sus extremos.
- 4 -3 - 2
-1
0
A
B = [ - 4, - 2 ] U [ 1, 3 ]
1
2
3
1 , 4 N= Así : M ∩ 2
03.
Hallar el intervalo R – S , Si R = [ - 5, 1 [ y S = ] – 2, 3 ] Solución : Se grafican los intervalos
En la figura simétrica, se respetan los EXTREMOS “extremos” y se cambian los extremos “MEDIOS”.
S R
PRACTICA DE CLASE Nº 02: Resolver :
-5
-4 -3
-2
-1
0
1
2
3
01. R-S
R - S = [ - 5, - 2 ]
El extremo exterior se respeta, pero el INTERIOR se cambia.
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
El conjunto A = { x /x ∈ R , 5< x< 9 } con notación de intervalo se escribe : a) [ 5, 9 ]
b) ] 5, 9 [
c) [ 5, 9 [
d) ] 5, 9 ]
02.
El conjunto B = { x /x ∈ R , x < - 2 } con notación de intervalo se escribe :
03.
a) ] - ∞, - 2 [ b) ] 0 , - 2 [ c) [ 0 , - 2 ] d) ] 0, - ∞ [ El intervalo [ -3 , 5 [ con notación conjuntista se escribe :
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) N.a.
e) N.a.
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) { x / -3 < x < 5 } d) { x / -3≤ x <5 }
2do Año Secundaria
b) { x / x < 5 } e) N.a.
c) { x / x > -3 }
83
MATEMÁTICA
84 09.
2do Año Secundaria
Dados los intervalos: A = ] - 4 ; 3 [ y B = [ - 3 ; 5 [ ; obtener (A ∪ B) – (A ∩ B) a) ] - 4 ; - 3 [ ∪ ] 3 ; 5 [ d) ø
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02
10.
c) R - ] - 3 ; 5 [
4
Efectuar: | - 0 , 2 | + | 1, - 9 | + | 0,3 | y dar la respuesta redondeada a los centésimos. a) 0, 41
Sean los intervalos: A = [ 2, 4 [ y B = ] 3 , 8 [
b) R - ] - 4 ; - 3 [ e) N.a.
b) 0,87
c) 1,25
d) 1,27
e) 4,21
Hallar : 01.
a) [ - 8 , 2 ] 02.
d) [ - 2 , 8 ]
e) N.a. 01.
El conjunto A = {x ∈ R / 5 ≤ x <12}, con notación de intervalo se escribe: .......................... ...........................................................
b) [ - 4 , - 3 [
c) [ 2 , 4 ]
c) ] - 3 , + ∞ [
b) [ 2 , 3 ]
d) [ - 1 , 6 ]
e) N.a.
d) [ 3 , 8 [
e) N.a.
02.
Dado: x ∈ ] – 2, +∞], con notación conjuntista se escribe: ....................................................
03.
Dados: U = R; A = {x / x ∈ R ∧ - ∞ < x < 10} B = {x / x ∈ R ∧ x ≥ 5}
A∆B a) [ - 2 , 3 ] U [ - 4 , 6 ] d) [ 2 , 3 ] U [ 4 , 8 [
05.
c) [ 2 , 8 [
Hallar: A - B a) [ - 2 , 3 [
04.
b) ] – 8 , - 2 [
Hallar: A ∩ B a) ] 3 ,4 [
03.
TAREA DOMICILIARIA Nº 02
Hallar: A U B
b) [ - 2 , 2 ] U [ - 3 , 3 ] e) N.a.
Hallar: (A ∩ B)'
c) [ 0 , 1 ] U [ 3 , 5 ] 04.
Dado U = ] - ∞ + ∞ [ ; A = ] - ∞ , 2 ] y B = ] - 4 , ∞ ]
Si: U = R, M = {x / x ∈ R ∧ x ≤ 8} N = {x / x ∈ R ∧ x ≥ 0}
Hallar A U B a) ] - ∞ , - 3 ] 06.
c) U
d) [ - 3 , + 3 ]
c) N.a.
b) ] 2 , 4 [
c) ] – 4 , - 2 [
d) A
e) N.a.
c) B
d) U
e) N.a.
Hallar: ( A U B )’ a) A
08.
b) ] - ∞ , 8 [
Hallar: A ∩ B a) ] – 4 , 2 ]
07.
Calcular: (M - N)' ∩ M
b) Ø
OPERACIONE
Hallar: A – B a) B
S2MA31B
b) A
c) ] - ∞ , - 2 ]
d) ] - ∞ , 4 ]
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) N.a. S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
2do Año Secundaria
83
I. Objetivos Específicos: - Transforma y simplifica radicales. - Homogeniza radicales Con responsabilidad y en forma grupal. - Multiplicar y/o dividir correctamente radicales. II. Procedimientos: A) Inicial: Los números reales es la unión de los racionales (Q) con los irracionales (I=); es decir:
R I
Z N
2;
Complete Ud. Los elementos que faltan: Signo de Radicación Exponente
Cantidad subradical
B) Contendio Teórico: Para responder correctamente a la pregunta anterior sólo basta estudiar la siguiente teoría con paciencia.
12 12
6
Transformación y simplificcación de radicales: Trasnformar radicales, es un proceso en el cual en índice de un radical se trnasforma en otro ya sea mukltiplicámdose o dividiéndose por un número entero.
S2MA31B
32
25 ;
2;
6
32
4
y
25
4
y
12
25 3 2 ×2
12
34
y
12
y
12
2 5 ×3
2 15
Recordando, Radicales homogéneos son aquellos radicales que tienen elm mismo índice. Por lo tanto, la multiplicación y/o división de radicales, se realiza así : Primero: homogeneizamos radicales. Segundo: Escribimos los radicandos bajo un solo radical. Tercero: Simplificamos los radicandos.
Efectuar:
3
3
2 1×4 ;
Ejemplo:
Ejemplo: Transfromar
4
Multiplicación y división de Radicales: Para efectuar las operaciones de multiplicación y/o división de radicales, debemos tener en cuenta que los radicales deben ser homogéneos.
Respuesta: ..............................................................
ab
6
Solución: 1°) Sea saca el mcm de los índices: mcm (3 - 6 - 4) = 12 2°) Éste mcm, se divide por cada índice anterior, éste resultado se multiplica por cada exponennte de la cantidad subradical, así:
¿Cuántos reales hay entre 2 y 5?
=
Ejemplo:
Responde a la siguiente pregunta:
c
2 →3 ⋅2 2 1 ⋅2
Homogeneizar radicales, es un proceso que consiste en hacer que todos los índices de los radicales que se tienen que homogenizar tengan al final el mismo índice (índices iguales).
3
Indice
3
Así:
Homogeneizar:
Gráficamente:
2do Año Secundaria
Solución: De indice 3 a índice 6, sólo se multiplica el exponente de la cantidad subradical por 2.
Q∪I=R
Q
MATEMÁTICA
84
Solución: E=
(3
4
2
(3
4
) 2
2
6
6 12 2 3
)
2
6
25 ÷6
12
23
25 ; mcm (4 - 76 - 12) = 12
2 a índice 6.
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN E= E=
3 × 2 × 12 2 3 × 12
6 12
2 10
=
6
12
2do Año Secundaria
83
2 10
23
25
=
6
MATEMÁTICA
84
2do Año Secundaria 4
06.
Homogeneizar los siguientes radicales:
07.
Homogeneizar los siguientes radicales:
08.
Escriba bajo un solo radical:
3
25
×
8
27
09.
Escriba bajo un solo radical:
3
72
×
4
73
6;
5
5
5;
6
7
6
75
8;
32
PRACTICA DE CLASE 03 I) ¿Qué son radicales homogéneos?
3
2;
4
........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... II) Realiza la transformación de los siguientes radicales: 01.
Transfromar el radical
2
en otro índice 4.
02.
Transfromar el radical
3
en otro índice 6.
03.
Transformar el radical
3
×
5 en otro índice 6.
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03 04.
Transfromar el radical
12
7 en otro índice 8.
01.
Homogeneizar los siguientes radicales: Dar el menor: c)
20
Homogeneizar los siguientes radicales: Dar el mayor:
3
a)
05.
Transformar el radical
5
2 en otro índice 20.
02.
a)
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
20
84
64
53
b)
b)
20
5
24
6 10
54
c)
24
6;
6;
d)
63
2;
74
4
8
5;
6
d)
5
20
55
e) N.a.
28
e) N.a.
7
24
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 03.
a) 04.
36
4
73 ×
36
6
b)
35
36
3
1 Efectuar: 2
b)
1 5
(
2
5
25
×
d) 32
4
12.
3
c)
10
15
c)
4
12
4
1 4
09.
d) 350
12
a) 1 11.
3
d) 12
12
3
d) 5
c) b; a; c
a) 0,000000003 d) 0,00000333 13.
e) N.a.
3
14.
e) N.a.
3
12
12
e) 12
15.
b) 0,00000033 e) 0,0000000033
Si: 2 < × < 5, calcular: M =
| x − 2| +| x − 6| +8 2
b) 4
c) 6
Determinar el valor de: F = a) - 16
b) 32
Reducir: E =
3 ⋅
a) 3
b) 9
d) 8
(3 2 −10 ) 2 −
3
2 ⋅
2 ⋅
2 ⋅
2
3
3
(
15
2
d)
15
8
e)
32
15
2 12 − 3 10
27 ;
6
7
d) 625
e) N.a.
)
b) 7
03.
(
6
2
)
5
d) 81
e) N.a.
72
y
18
53
34
15 2 8 27
54
04. c) 49 5
;
d) 7 b=
3
9;
c=
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
Reducir: 2 2 1 / 3 3 4 2 3 E = 1
e) N.a.
7 2 ⋅
32
3 S2MA31B
+5 −32 +3
e) 18
Transfromar a índice 8.
Efectuar:
4
d) - 14
Homogeneizar:
5
c) 125 7
(11 −3 3 )
e) x
2
c) 27
5 32
3
4
c) 42
3 ⋅
e) c; b; a
c) 0,000000033
TAREA DOMICILIARIA Nº 03
02.
b) 25
d) c; a; b
3 10 n
e) N.a.
2
1 c) 32
Ordenar de menor a mayor: a =
S2MA31B
an + 1 = an +
2 12 ⋅ 3 10
Efectuar:
Reducir:
Si: a1 = 3
a) 2
c) 5
b) (32)–1
a) 5 10.
b) a; c; b
Entonces: a10 – a8 es igual a:
01.
1 a) 2
a) a; b; c
27
2 ) ( 2 6 3 ) ÷ 6 12 144
)
2do Año Secundaria
5)
12
3
P = (15
12
e) N.a.
7 29
MATEMÁTICA
84
2 ) ( 3 3 8 ) ÷2 3 4
3
b) 12
4
Efectuar:
7
83
75
d) 7
7 19
c) 41
7 ) 82
Efectuar: F = ( 8
a)
08.
×
c)
7 52
b) 604
Efectuar: E = ( 5
a) 12 07.
72
Escribir bajo un solo radical y señalar la cantidad subradical.
a) 10 06.
36
b)
7 49
a) 216 05.
9
Escriba bajo un solo radical.
2do Año Secundaria
4
2
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
2do Año Secundaria
83
MATEMÁTICA
84
2do Año Secundaria
Analice los siguientes, ejemplos: 01. De
su factor racionalizante (F.R.) es
3
02. De
3
2 su F.R. es
03. De
8
4 5 su F.R. es
04. De
n
am 3
06. De
5 +
(
08. De (
22 48
−5
a m −n
su F.R. es
05. De 07. De
3
– 2 su F.R. es
+2
3
5 −
su F.R. es
3
3
7 +5
) (8
a +
b ) su F.R. es (
−
3
3
) su F.R. es ( a −
7 −5
) (8
+
3
)
b)
Racionalización: Es un proceso que consiste en convertir un número irracional en racional. Y se realiza de la siguiente manera:
RACIONALIZA I)
Objetivos Específicos: 1.1. Convertir un número irracional en racional.
II)
Primero: Buscamos el factor racionalizante del radical que se desea racionalizar que puede ser del numerador o del denominador. Segundo: Multiplicamos tanto al numerador como al denominador de la fracción por su factor racionalizante. Al efectuar quedará el numerador o denominador racionalizado según halla sido la intención inicial. Ejemplos: Racionalizar los denominadores de: 1 01. su F.R. del denominador es 5
1 5
Procedimientos: A) Motivación: ¿Será lo mismo
1 3
que
3 3
?
02.
3 (7 −
su F.R. es
5)
3 (7 − 5
Rpta: ........................, porque: ......................... B) Contenido Teórico:
(7 +
(7 + (7 +
5
03. Racionalizar el numerador de
RACIONALIZACIÓN DE RADICALES:
5 5
5) 3 (7 + 5 ) = 7 −5 5)
8
5 )
35 52
Primero Convertimos: 8
Factor Racionalizante: Llamamos así a un número irracional, que al multiplicar con otro número irracional el resultado da un número racional. “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
5 = 5
)
=3 (7 +
Actividad: lee detenidamente la siguiente, información, subrayando lo que consideres importante para su comprensión.
S2MA31B
5.
35 5
S2MA31B
8
a
35 5 “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 8
Su F.R. de
35 8
3
=
x
8
5
8
5
8
MATEMÁTICA
84
a)
8
3
8
33
2do Año Secundaria b) 3
2
c) 5
2
02.
b) 0,114
c)
0 ,1
33
3
03.
Rpta.
b) 2
d)
4
Después de racionalizar se obtiene: a) 1
7+ 3
04.
Efectuar:
PRACTICA DE CLASE Nº 04 Racionalizar los numeradores de: 3
1) 3
3 +2
4) 02.
3)
2
5 −
5)
2
3
3 −2
2)
2
3
2
6)
2
05.
2 3
1
4)
7)
10.
5 − 8
5
6 − 2
8)
6 + 2 2 (
6 7 + 7
5)
3 +1
2
06.
2 2
7 − 3
3
2
3)
6)
9)
7 +1
3
c)
b) 3
Reducir:
7 + 3 7 −
07.
3
1
1
+
3+ 2
3 ( 2 +1) ( 5 −1)
b)
5
a) 1 08.
Reducir: a =
S2MA31B
5 +2 2
+
1 8 + 7
e) 0,1 3
(
− 2 2 −3
d) 4
e) 5
d) 33
e) N.a.
d) 8
e) N.a.
+
2 5+ 3
+
1
2 +1
+
1 2+ 3
y dar como representa la quinta potencia de lo
c) 1
2
b) 2
3
2 n −3
8
c) 3
Sumar los radicales semejantes: 3
d) 8
b) 8
3
⋅
n +2
e) N.a. 16
d) 4
e) N.a.
a m −1 b + b 2 m −5 a −1 + n 3 c)
3
d) 1
3
e) N.a.
Luego de racionalizar el denominador de:
2 3
a)
2
b)
3
2
c)
6
2
2
; indicar el numerador simplificado.
d)
6
4
3+ 2
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
)
4
3
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 04 01.
72 + 50 − 8
0 ,1 2
3)
09.
2
3 +1
c) 6
Multiplicar los radicales homogéneos
a) 8
5 −
2
Calcular E2, si: E = 2 + 3 + 2 − 3
a)
11 − 10
7
7 −2) (
3
obtenido:
2)
3
b) 2
a) 2
4
Racionalizar los denominadores de: 1)
6 1 1 + + 2 + 2 2+ 3 5 +2
a) 1
2
+
c) 3 3
01.
e) 4
2
Hallar la fracción decimal equivalente a la siguiente expresión: a) 0,125
3
d) 5
3
3
38
3
=
83
33
5
5
=
8
es
2do Año Secundaria
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) N.a.
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 10.
2do Año Secundaria
Luego de racionalizar el denominador y simplificar:
a)
b)
2
3
4
c)
2
; indicar el numerador.
2
d)
2
1 2
4
e) N.a.
3
11.
¿Cuál es el factor racionalizante que hace racional el denominador de:
a) 12.
4
b)
2
7+ 5
Evaluar:
d)
4
2
+
6 +2
−
c) 31
1
Calcular el cuadrado de:
13 + 2 3
b) 13
3
2 14 − 2 3
c) 8
−
b) 2 4 +1
4
a) 20
4 +1 −
4
4 −1
b) 18
05.
Racionalizar:
I.
14 14
2 7− 5 1 3 −1
−
+
1 3 +2 1 3 +1
−
1 2 −1
+
1 2 +1
e) 0
e) 3
y dar como respuesta la décima potencia de lo obtenido. d) 32
OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1.1 1.2
II. d) –2
c) 19
Racionalizar:
5
FUNCION
Reducir: 4
04.
53
e) 8
d) 10
c) –1
Racionalizar el numerador de:
+2
6+ 5 d) 7
+
8
?
03.
e) N.a.
8
1
4
3
2 − 3 + 2 + 3 − 3
2+ 3
a) 1 15.
2
b) 3
a) 11 14.
c)
22
¿Calcular el cuadrado de: a) 1
13.
4
2do Año Secundaria 4
2 4
MATEMÁTICA
84
83
e) Na.
Comprenda que muchos de los objetos que vemos en nuestro medio tiene una representación matemática: Dada una ecuación reconozca que clase de gráfico va ha generar.
PROCEDIMIENTOS A. Motivación ¿Sabías que muchas de las líneas que hay en el mundo tienen su representación matemática?. ¡Si! La recta, la parábola...¡increíble! ¿no? nos internaremos a este fascinante aspecto de la matemática, conocemos la función lineal, la función valor absoluto, la función cuadrática. Graficaremos líneas rectas con precisión, parábolas de curvas perfectas, reflejos exactos y muchas cosas más. A coger nuestros instrumentos y a preparar nuestra mente y ¡A comenzar! ¿Cuál crees que sea la razón por la cual la antena parabólica recibe este nombre? Rpta. .........................................................
TAREA DOMICILIARIA Nº 04
(2+
) (2−
01.
Calcular:
02.
Racionalizar el denominador de:
2
2
) (2+
3
) (2−
3
B. Contenido Teórico
)
Función: Conjunto no vacío de pares ordenados (x; y) en el cual dos pares ordenados distintos no tienen la misma primera componente. Importante:
1 3
2 2
1. La función se representa mediante una regla de correspondencia, así: Ejemplos: (a ) y = 3x-1 ó f(x) = 3x-1
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
y = f(x)
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
2do Año Secundaria 2
83
MATEMÁTICA
84
2
(b) y = 4x +1 ó f(x) = 4x +1
1 (c ) y = 2 x
2do Año Secundaria y
y
1 ó f(x) = 2 x
x
1/3
1
-1
2. Toda función tiene Dominio y Rango. Dominio: Es el conjunto de las primeras componentes de cada par ordenado de una función (abcisas o elementos x), y se representa D(f). Rango: Es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la función (ordenadas o elementos y) y se representa por R(f).
c) y =
Ejemplo:
1 x
d) y =
x
x −1
y
a) En la función: f(x) = x + 3
y
Estamos en el campo del conjunto de los números reales (R). x
Entonces:
x
Dominio = R Rango = R b) En el gráfico, hallar el dominio y el rango:
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
y+
x-
01.
x+
Determinar el dominio y el rango de cada una de las funciones:
A = (x; y) / y =
-5
B = (x ; y) / y =
y-
{(x; y) / y = D = {(x ; y) / y = C=
Dominio = D(f) = 〈 - ∞ ; + ∞ 〉 = R Rango = R(f) = [ – 5 ; + ∞ 〉 3. Toda función tiene una representan a sus pares ordenados. Ejemplos: a) y = 3x – 1
1 ; y ∈R x −1
(x +1) ; y ∈R (x − 2) x −3 ; y ∈R 5 −x
}
}
E = {(x;y)/y = x2 – 3} F = {(x; y) / y = x + 3; x > 2} G = {(x; y) / y = x2; x > 3}
b) y = 4x2+ 1
Gráfica de funciones Especiales: 1. Función Lineal.- Es aquella cuya gráfica es ujan línea recta. La regla de correspondencia para esta función tiene la forma general:
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
2do Año Secundaria
83
MATEMÁTICA
84
2do Año Secundaria
y = ax + b ó f(x) = ax + b 5
donde: a, es la pendiente de la recta. b, es el intercepto de la gráfica con el eje "y".
4 3
Observación:
2 1
1) La pendiente a, es la medida de la inclinación de la recta respecto a la horizontal (eje x). -1
2) De izquierda a derecha,
1 -1
Si: a > 0 (a positivo), la recta asciende. Si: a < 0 (a, negativo), la recta desciende. Si: a = 0 (a sin signo), la recta es paralela al eje "x" y pasa por el punto (0; b) D(f) = R R(f) = R
Ejemplos: 01.
Graficar, hallar el dominio y el rango de: b) y = x – 3
a) f(x) = 3x + 2
1. Tabulamos
Solución:
x y
1) Tabulamos: x y
.. -1 0 1 .. -1 2 5
... ...
-1 0 - 4 -3
1 -2
Los puntos ordenados ( - 1; - 4 ); ( 0; - 3 ) y ( 1; - 2 ) pertenecen a la gráfica.
Los pares ordenados: (-1; –1); (0; 2) y (1; 5) pertenecen a la gráfica de la recta. 2.
2) Graficamos los puntos:
-1
1
-3 -4
D(f) = R R(f) = R S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
2do Año Secundaria
83
84
MATEMÁTICA
2do Año Secundaria y
2. Función Valor Absoluto:
10 8 6
Es aquella función conformada por dos funciones con diferente dominios, su regla de correspondencia es: y = |x + b| + c.
4
Gráficamente se obtiene dos rectas con un punto común.
2
Ejemplo: Graficar y = |x + 2| -6
-10 -8 x -4 y 2
-2 0 0 2
-4
-2
2
-2
-4 -6
x
-8 -10
4
2 4
6 8 10 Dominio = R Rango = 〈 0 , + ∞ 〉 3. Función Cuadrática: La gráfica de esta función de segundo grado es una parábola como la tg.
2. Gráficamente puntos: ( - 4; 2 ) ( - 2; 0 ), ( 0; 2 ) y ( 2; 4 ) y
y
y
x
-4
-2
x
Forma general de la Regla de correspondencia: y = ax2 + bx + c; a ≠ 0 -
D(f) = R R(f) = 〈 0 ; + ∞ 〉
x
Si: a > 0, la parábola se abre hacia arriba Si: a < 0, la parábola se abre hacia abajo a; b y c , son coeficientes. X es la variable independiente Y es la variable dependiente.
Ejemplo: 02.
COORDENADAS DEL VÉRTICE
Graficar y señalar su dominio y su rango de y = | 2x – 6 |
Dada Y = ax2 + bx + c; la abscisa del vértice de la parábola se obtiene operando: X =
Solución: 1. Tabulamos:
El par ordenado correspondiente al vértice de la parábola es:
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
−b 2a
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
2do Año Secundaria
83
MATEMÁTICA
84
−b −D V ; ; donde D = b2 – 4ac 2a 4 a
2do Año Secundaria
− 4 − 24 V 2( 2 ) ; 4 ( 2 )
Ejemplo 01: Graficar Y = x2
Su gráfica es:
Solución:
y
Los coeficientes son a=1; b=0 ; c=0 ; como Además:
⇒ V( − 1;−3 )
a > 0, la gráfica se abre hacia arriba. x
D = b2 – 4ac = 0 – 4 (1) (0) = 0
-1
Las coordenadas del vértice son:
-3
−0 −0 V 2 (1 ) ; 4 (1 ) ⇒ V( 0 ;0 )
Dominio = R Rango = [ - 3 ; ∞ 〉
Su gráfica es:
PRÁCTICA DE CLASE Nº 05
y 01.
Graficar: f(x) = x
02.
Graficar: f(x) = | x+1|
03.
Graficar : f(x) = 3, hallar su dominio y su rango
04.
Graficar: Y = 3|x + 2|; x > 5
x
Ejemplo 02: Graficar Y = 2 x2 + 4x – 1,da su dominio y su rango Solución: - Los coeficientes son: a = 2; b = 4 y c = -1 - Como a > 0, la gráfica se abre hacia arriba. Discriminancia
D = b2 – 4ac
D = (4) 2 – 4 (2) (-1) D = 24 Luego, las coordenadas del vértice son:
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
2do Año Secundaria
83
MATEMÁTICA
84 I)
2do Año Secundaria II)
Y
Y
X 05.
X
Graficar en un solo sistema las funciones: y = ax2 + bx + c x = ay2 + by + c
III)
IV)
Y
Y
X
X 06.
Graficar, dar el dominio y su rango de: y = x2 + 6x + 20 ; x > 1 02.
03. 07.
04.
e) N.a.
a) [ 3 ; + ∞ 〉
c) R
d) [ - 3 ; + ∞ 〉
e) N.a.
c)] - 2 ; + ∞ [
d) [ 2 ; + ∞ [
e) N.a.
c) 〈 - 4 ; 7 ]
d) [ 4 ; 7 [
e) N.a.
c) 〈 - ∞ ; 9 ]
d) 〈 - ∞ ; + ∞ 〉
e) N.a.
06. PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 05
c) R – {1}
d) R – {-1}
e) N.a.
Contestar ¿Cuáles son funciones de las siguientes gráficas?
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
b) [ 4 ; 7 ]
x −4 + 7 −x
Determina el rango de: f(x) = 9 - x2 a) 〈 - ∞ ; - 9 ]
b) 〈 - ∞ ; 9 〉
De: f(x ) =
1 ; hallar D(f) x b) R – {0}
Los puntos ( - 2 ; - 8 ) y ( 0 ; 2 ) Pertenece a la gráfica de una función lineal. Determina la pendiente. a) 1
08.
b) [ - 2 ; + ∞ 〉
Determina el dominio de: f(x) =
a) R 07.
b) ] 3 ; - ∞ 〉
Determina el rango en: f(x) = x2 + 2
a) 〈 - 4 ; 7 〉 05.
01.
d) Todas
a) ] 2 , + ∞ [
Determinar el vértice de cada una de las siguientes funciones cuadráticas: a) y = x2 + 3x + 2 b) y = 4x2 + 13x + 3 c) y = x2 – 7x +12
a) I y II b) II y III c) Sólo II Señale el dominio de f(x) = x −3
b) 2
c) 3
d) 5
e) N.a.
La pendiente que pasa por el origen de coordenadas es 2. si el punto (m;n) pertenece a dicha recta. Calcular (m/n)
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 1/2 09.
b) 2
c) –1/2
2do Año Secundaria d) 0
83
MATEMÁTICA
84
e) N.a.
La función y = ax + b tiene pendiente igual que la función identidad y pasa por el punto 7 ). Calcular a + b.
2do Año Secundaria Y = | 2 x – 1 0| - 1
(3;
04.
Graficar: Y = (x – 3 )2 – 1
a) 1
b) 3
c) 5
d) 6
e) 8 05.
10.
Graficar, hallar el dominio y el rango de :
¿Cuánto mide ángulo que forma la gráfica de la función y = x – 3 con el eje "x"? Y = x 2 + 4x + 4 a) 35º
11.
b) ( 0 ; 1 )
c) ( 1 ; - 1 )
d) ( - 1 ; 0 )
b) –3
c) 5
d) –5
b) 1
c) 2
d) 3
b) 4
c) 2
d) 3
e) 3
e) N.a.
e) 5
OBJETIVO ESPECÍFICOS 1. Realizar la suma y resta de expresiones algebraicas en forma correcta, respetando los signos. 2. Observar que estas operaciones de adición y sustracción se hacen entre términos semejantes. 3. Realizar la multiplicación y división entre monomios y polinomios en forma correcta, respetando los signos. PROCEDIMIENTOS
a) ( - 1 ; - 3 )
a) Motivación En la clase anterior estudiamos la teoría exponencial y pudimos darnos cuenta de la necesidad de poder hacer algunas operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división entre estas expresiones algebraicas. De allí aparece la necesidad de querer estudiar este tema por ser de vital importancia en el área del Álgebra. Nos daremos cuenta que estas operaciones son tan simples como las operaciones entre números, la diferencia esta, en que estas se hacen entre términos algebraicos.
b) ( - 1 ; 0 )
c) ( - 1 ; 1 )
d) ( 1 ; - 3 )
Graficar :
e) ( 0 ; 3 )
b) Contenido Teórico Y=2x+4
02.
OPERACIONES CON
¿En qué punto cambia de dirección la gráfica de la función Y + 3 = | x + 1| ?
TAREA DOMICILIARIA Nº 05
01.
e) N.a.
¿Cuánto es la distancia entre los puntos de intersección del ejes con la gráfica de la función y + 2 = -|x + 2| ? a) 1
15.
e) N.a.
¿En cuántos puntos interseca la gráfica de la función Y = -|x |+2, al eje x? a) 0
14.
d) 45º
¿Cuál es el mínimo valor que puede tener el rango de la función y = |x + 2| + 3? a) 1
13.
c) 30º
¿En qué punto intercepta la gráfica de la función: Y = |x +1 |; al eje Y ? a) ( 0 ; 0 )
12.
b) 37º
Graficar:
1. Suma o Sustracción Juan tiene 7 caramelos y Ana, 5 caramelos. Si los juntáramos en una sola bolsa tendríamos 12 caramelos en total. Esto se puede simbolizar de la siguiente manera:
Y=|x–3|+3 03.
5 car + 7 car – 12 car ó 5 c + 7c = 12c
Graficar :
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
2do Año Secundaria
Si tuviéramos 6 caramelos y 7 panes y quisiéramos juntarlos en una sola bolsa, sólo diríamos: “se tiene 6 caramelos y 7 panes”. Es decir no podría efectuarse operación aritmética alguna. De donde se concluye lo siguiente: PARA ADICIONAR O SUSTRAER ES NECESARIO TOMAR ELEMENTOS DE UN MISMO CONJUNTO. Sumar dos o más expresiones algebraicas llamados SUMANDOS, consiste en hallar una expresión llamada SUMA o SUMA TOTAL, cuyo valor numérico sea igual a la suma de los valores numéricos de los sumandos, para cualquier conjunto de valores que se atribuyen.
Regla .- Para sumar expresiones se escriben unas a continuación de otras, todas con sus propios signos y luego se reduce términos semejantes si los hubiera. Ejemplo. Si P = 5x3 - 3x + 7
;
Q = 4x3
;
84
83
MATEMÁTICA
2do Año Secundaria
1) Si se suma o restan expresiones algebraicas de igual grado, no se puede predecir el grado de las expresiones resultante. El máximo grado posible es igual al grado de las expresiones. 2) Si se suman o restan expresiones algebraicas de grados diferentes, el grado de la expresión resultante es igual al grado de la expresión de mayor grado. 3. MULTIPLICACIÓN. Multiplicar dos expresiones algebraicas, llamadas multiplicando y multiplicador, consiste en hallar otra expresión algebraica llamada Producto, cuyo valor numérico sea igual al producto de los valores numéricos del multiplicando por el multiplicador, para cualquier conjunto de valores que se les atribuya a sus letras. •
Primer Caso: Multiplicación de monomios Regla 1. Se determina el signo del producto de acuerdo a las reglas de los signos. 2. Se multiplica los valores absolutos de los coeficientes numéricos 3. Se multiplica la parte literal aplicando la teoría de exponentes.
R = 2x3 + 5x2 + 3x - 9
Ejemplo: Multiplicar. - 3x5 por 8x4 y8 z
Hallar: P+Q+R
Solución
Solución:
5
3
P + Q + R = 3x + 5x - 2 2. Resta o Sustracción Resta r dos expresiones algebraicas, llamadas minuendo y sustraendo, consiste en hallar otra expresión llamada Diferencia, cuyo valor numérico sea igual a la diferencia de los valores numéricos del minuendo y sustraendo, para cualquier conjunto de valores que se atribuyen a sus letras. Regla Para restar dos expresiones algebraicas, se escribe el Minuendo con sus propios signos y a continuación el Sustraendo con signos cambiados, y luego se reducen términos semejantes si los hubiera. Ejemplo. Si: P – Q = 8x3 - 5x2 + 7x - 6 y Q = 8x3 - 2x2 + 7x - 7 Hallar P – Q Solución P – Q = 8x3 - 5x2 + 7x - 6 - 8x3 + 3x2 - 7x + 7
4
8
9
9
( - 3x y ) . ( 8x y z ) = 24x y z
2
Nota. Si se trata de multiplicar varios monomios y todos son positivos, el producto es positivo. En caso de que todos ellos son negativos, el producto es positivo si hay un número par de factores negativos y es negativo si hay un número impar de factores negativos. Ejemplo: Multiplicar los siguientes monomios:
−3 2 3 2 5 10 8 5 − 22 3 3 2 8 x y ; − a xy ; x z ; - 14x2 y z5 ; a x z 5 4 11 7 3 2 10 8 5 −22 3 2 8 x z − 14 x 4 yz5 a x yz − x y 5 11 7
(
)
Luego:
3 × 3 ×10 ×14 × 22 5 15 18 a x z = 18 a 5 x 15 y 8 z18 5 × 4 ×11 × 7 •
Segundo Caso: Multiplicación de Polinomios Regla Se multiplica cada término del primer polinomio por cada termino del segundo polinomio, luego se reducen términos semejantes si los hubiera.
= 3x2 + 1 Propiedades de la Suma y Resta
Ejemplos. S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
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2do Año Secundaria
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Multiplicar: 2
3
MATEMÁTICA
84
2do Año Secundaria
3. División de Polinomios Para todos los métodos es necesario que el dividendo y divisor estén ordenados y completos. Antes debemos tener en cuenta las propiedades a aplicarse en la división de polinomios.
2
3x - 5x + 8 por 7x - 2x + 5x - 3
Propiedades
Solución 2
3
2
1° El grado del cociente es igual al grado dividendo menos el grado del divisor.
( 3x - 5x + 8 ) . ( 7x - 2x + 5x - 3 ) 5
4
3
2
4
3
2
3
2
Q o = Do −d o
21x - 6x + 15x - 9x - 35x + 10x - 25x + 15x + 56x - 16x + 40x - 24 5
4
3
2
2° El grado máximo del resto es el grado del divisor disminuido en la unidad. Además el grado del resto es menor que el grado del divisor.
21x - 41x + 81x - 50x + 55x - 24 Propiedades de la Multiplicación 1) En toda multiplicación algebraica el grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores. 2) En toda multiplicación de polinomios homogéneos el producto es un polinomio homogéneo. 3) En toda multiplicación, el término de mayor grado del producto es igual al producto de los términos de mayor grado de los factores. 4) En toda multiplicación, el término de menor grado del producto es igual al producto de los términos de menor grado de los factores. 4. DIVISIÓN. 1. División de Monomios Se dividen los coeficientes atendiendo a una correcta aplicación de la ley de los signos, a continuación se dividen las variables aplicando la teoría exponencial (división de potencias con igual base) Ejemplo. Dividir :
R o <d o
⇒
Ro
máx = d
máx R omáx →Grado del resto
o
− 1
imo
3° La propiedad fundamental de la división en el álgebra forma una identidad; para todo valor que se le asigne a su variable. 4° Si la división es exacta, el resto es un polinomio idénticamente nulo. D = d . Q
⇒
R ≡O
Ejemplo: Hallar los grados del cociente, residuo y residuo máximo en:
32 x 2 y 5 z 9 = −16 y 2 z 5 − 2 x 2 y 3 z4
x 12 + 3 x 9 + 5 x 7 + 3 x 2 − 11 ; x 3 + 3x7 + 9
2. División de un Polinomio con un Monomio Cada término del dividendo se divide con el divisor y se procede como en el caso anterior.
D° = 12 d° = 7
Q° = 12 – 7 = 5 R°máx = 7 – 2 = 6
Ejemplo. Dividir :
3a 5 b 2 c 9 − 9a 3 b 5 c 4 − 6a 5 b 2 c 7 3a 3 b 2 c 4 Solución:
A continuación detallamos 2 métodos para dividir polinomios: A) MÉTODO DE HORNER. Este método utiliza coeficientes separados de acuerdo al esquema:
3a 5 b 2 c 9 9a 3 b 5 c 4 6a 5 b 2 c7 − − 3a 3 b 2 c 4 3a 3 b 2 c 4 3a 3 b 2 c 4 a
S2MA31B
2
c5 − 3b 3 − 2a
2
c3
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN mismo signo
D
signo cambiado
I V I S O R
2do Año Secundaria
D I V I D E N D O
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MATEMÁTICA
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2do Año Secundaria
d (x) = ax + b ; a ≠ 0 De acuerdo al esquema:
. .
D I V
+
+
I D E
N D O
+
+
ax + b = 0 RESIDUO "k columnas"
COCIENTE
. .
x = - b/a
K = Grados del divisor COCIENTE FALSO Donde:
Ejemplo: Dividir:
RESTO
Cociente = verdadero
2x 5 − x 4 + 2x 3 + 5 x 2 + 2 2x 3 − x 2 + 5
Cociente falso a
Ejemplo: Dividir:
3 x 6 − 8 x 5 + 6 x 4 + 13 x 3 + 17 x 2 − x + 2 3x − 1
Solución. 1°. Completamos y ordenamos los polinomios a dividir: D(x) = 2x5 - x4 +2x3 +5x2 +0x +2 d(x) = 2x3 -x2 +0x +5
Solución: Como están completos y ordenados, lo llevamos al esquema:
2°. Realizamos la división según el esquema:
3
2 1
2
-1 1
0
2 0 0
5 0 -5 0 0
2
1
0 q (x)
1
-6
13
17
-1
3
1
3
-1
4
7
2
9
-3
12
21
6
5
3x - 1 =0 x=1/3
1 0 -5
-5
8
3
1 0 -3
q (x) falso
R (x) q(x) verdadero =
∴ q (x) = x2 +0x + 1 = x2 + 1 R (x) = 1x2 +0x - 3 = x2 - 3
39 − 3 12 21 6 3
q(x) = 1x5+ 3x4-x3+ 4x2+ 7x + 2 R (x) = 5
B. MÉTODO DE RUFFINI:
PRÁCTICA DE CLASE Nº 06
Este método es una consecuencia de Horner que se aplica cuando el divisor es de la forma: S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
R(x)
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 01.
Dadas las expresiones: A = 4x3 - 7xy - 5xy5 , Hallar : a) A + B
02.
2do Año Secundaria
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MATEMÁTICA
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2do Año Secundaria 3
3
06.
Hallar la suma de: x y – xy + 5 ;
07.
Simplificar:
08.
Efectuar:
4
2
2
3
x – x y + 5x y – 6 ;
B = 6x3 + 9xy - 3xy5
b) A – B
c) 2A +3B
d) 4A – 5B
1 1 1 1 1 x − − x + − ( x − 1) 3 2 2 3 4
Efectuar: - 8y – ( - 7y - [ ( 3y – 7x ) – ( 2y – 8x ) ] + 5x )
a) ( - 15x2 y ) ( - 3x3 y2 z5 ) 03.
Dados: P = (c – 1) x2 + 3x + 3y Q = 5x2 – 3 ( x + y ) Si P – Q se reduce a 6 (x+y), hallar el valor de c b) ( 5x3 y2 ) ( 6x5 y6 ) ( - 11 xz4 )
04.
Reducir: 4x2 + [ -T ( x2 – xy ) – ( - 3y2 + 2xy ) – ( - 3x2 + y2 ) ]
c) 3 a2 b ( 5a2 – 2ab + b2 )
d) ( 2x2 – 5x + 9 ) ( 6x2 – 3x + 11 ) 05.
Simplificar la expresión: 2x – 5 [ 7 – ( x – 6 ) + 3x ] – 21
e) ( 2x4 + 3y – 4z ) ( 7x2 y – 8xy2 + y3 )
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
6xy3 + x2 y2 + 2
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MATEMÁTICA
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2do Año Secundaria
f) ( 2x + 3y – 4z ) (2x – 3y + 4z )
09.
Efectuar: a) Dividir:
2x 5 + 4 x + 6 x 7 − x 2 + 2 + 6 x 4 − x 6 x 3 − 2x + 1 + 3 x 4
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 06 01.
Calcular: (E + A)5, si: A = 1 + x - x2 ; a) 32
02.
E = x2 - x – 1 b) 32 x10
c) - 32 x5
d) 0
e) 1
d) 0
e) N.a.
d) 3m - 2n
e) 0
Reducir: S = 2(x2+x+1) +3(x2 - x+1) - 5 (x2 -1/ 5x - 2)
b) Dividir:
6 x 4 − 19 x 3 y + 3 x 2 y 2 + 22 x y 3 + 9 y 4 3 x 2 − 5 xy − 3 y 2
a) 2x2 - x +1 03.
b) 3x + 5
c) 15
Efectuar: R = 2n (m2+p2) - 2mn(m - n) - 2n (p2 + mn) a) m + n
04.
6 x 6 − 3 x 5 + 2 x 4 + 33 x 3 + 8 x 2 − 6 x + 4 c) Dividir: x 3 − 2x 2 + 3x + 1
c) 1
Si: P(x)= 1- x2 + x ; Q(x) = 2 – x ; R(x) = x 2 + 2. ¿Cuánto le falta a la resta de Q meno R para ser igual a la suma de P más Q? a) 3x + 1
05.
b) m2+ p2 + n2
b) 4x - 2
c) x
d) 3 + x
e) 3 - x
d) 10x3 + 2
e) N.a
Dadas las siguientes expresiones: A = 2(x2 + x + 2) (x - 1) + 3(x + 1) (x2 - 1) B = 2(x2 - x + 2) (x + 1) + 3(x - 1) (x2 + 1) Indica el valor de (A + B) - 4x + 6. a) 8x3 - 2x
06. d) Dividir:
3x 5 + 9 x 4 + 7 x 2 + 5 x − 2 2x − 1
S2MA31B
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c) 10x3
Señale el resultado de multiplicar la suma de: 2x - x 2 + x3 con x2 - x3 + 3 ; Con el resultado de la diferencia de 3x2 + x + 6 con 3x2 - x- 1. Al resultado final restarte: 4x (x + 5) a) x2 - x
07.
b) 10x3 - x
b) x2 + 10
c) 21 + x
d) 21
Si se sabe que:
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“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) N.a
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MATEMÁTICA
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2do Año Secundaria
2
A = 2(x + x +1) (x + 1) + 2x B = 2(x2 - x +1) (x - 1) - 2x 15. Hallar el resto de:
Calcular: A - B - 4x - 4
08.
a) 8x2 Efectuar:
3
(
b) x2 - 3x + 11 2 + 3
)(
c) x2 - 3x + 17
)
3 − 2 +5
(
6 +
d) x2 + x - 3
2
)(
2 − 6
d)
2 −3
a) x
e) N.a.
)
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4 ) + x 2 − 4 x 2 + 5x − 1 c) x2 – 2
b) 3x
d) - 5x + 32
e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA Nº 06 a) - 7 09.
b) - 17
c) 11 2
2
2
2
Efectuar: P = (a + 2b) (a - b ) - (a - ab) (a + b ) + 2ab a) 2a2 b
b) 4a2 b
c) 2a b2
( 3 x + 4 y )2 + ( 4 x − 3 y )2 10. Calcular: R = x2y2 a) 1 11.
En la división:
b) 2
c) 3
3
e) N.a.
01.
De a2 sustraer la suma de 3ab – 6 y 3a2 - 8ab + 5
02.
Efectuar:
2
d) a b2
e) a2 b
a) (x + y + z) + (2x – 3y + z) (– 4x + 5y – 2z) b) ( x2 + y2 – 3xy ) – ( - y2 + 3x2 – 4xy ) 03.
d) 4
e) 5
a)
2 x 4 + 5 x 3 + ax + a x2 − x + 1
12.
x +y x −y x +y x −y − ÷ x −y − x +y x − y x + y
d) - 3
b) 4
c) 3
d) -x2
e) 4
x3 − 4x + 6 x 2 + 2x − 2
04.
Al dividir: 8x4 + 2x3 + 3x2 entre (4x – 1). Se obtiene un cociente, que tiene por suma de coeficiente a:
05.
Dividir: 4x5 + 2x4 + 2x3 – x2 + 4x entre 2x3 + 3x2 – x + 2
e) N.a.
Si al dividir: Ax3 +Bx2 + Cx + D por 3x 2 + 2x - 1, el cociente fue (A - 2) (x) + 3 y el residuo: 3x + A + 2 a) 19
14.
c) 2
¿Cuál es la suma de los coeficientes del cociente que resulta de dividir: a) - 1
13.
b) 8
a a 2 3a a +1 + − 2 a +2 3 a −6 4 −a
b)
Se obtiene como resto solamente un término constante. Indique su valor. a) - 1
Simplificar las siguientes expresiones:
b) 28
c) 20
d) 16
e) N.a.
Si P y Q son dos polinomios de grados desconocidos y al realizar las siguientes operaciones se obtiene que: (PQ)2 / (P - Q) es de grado 10. ( P + Q)2 / Q es de grado 5. Hallar el grado de P, si es mayor que el de Q. a) 64
S2MA31B
b) P 2 - Q 2
c) P2 - Q2
d) Q2
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) N.a. S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
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2do Año Secundaria
Ejemplo 1: Sea el monomio 5x7 y3 z6
GRADOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS DE I.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Lograr que el alumno determine el grado absoluto y el grado relativo, tanto de un monomio como de un polinomio y su posterior aplicación en la resolución de problemas que involucren a los grados. 2. Conocer los Polinomios especiales fundamentales y resolver ejercicios.
II.
PROCEDIMIENTOS A. MOTIVACIÓN Habiendo aprendido a reconocer una expresión algebraica observando solamente los exponentes de las variables de la parte literal, ahora continuamos nuestra incursión en el álgebra, precisamente observando los exponentes para determinar una característica propia de las expresiones algebraicas: su grado.
GR(x) GR(y) GR(z) GA GA
G. A. = Grado Absoluto G. R. = Grado Relativo II. Grados de un monomio Entero y Racional 1. El Grado Relativo se refiere sólo a una variable y está dado por el exponente que afecta a dicha variable. 2. El Grado Absoluto del monomio está dado por la suma de los exponentes de sus variables (Suma de los grados relativos) S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
7 ⇒ Este monomio es de séptimo grado con respecto a “x” 3 ⇒ Este monomio es de tercer grado con respecto a “y” 6 ⇒ Este monomio es de sexto grado con respecto a “z” 7+3+6 16 ⇒ Este monomio es de dieciséis grado con respecto a todas sus letras.
Ejemplo 2: Hallar el coeficiente del monomio M(x; y)= 2 3a - b x8a yb - 3. Sabiendo que su grado absoluto es 10 y el grado relativo respecto a “y” es 2. Solución Extrayendo los datos del ejemplo. GR(y) = GA = GR(x) =
2 → b–3=2 → 10, de aquí se concluye: 8 → 8a = 8 →
b=5 a=1
Calculando el Coeficiente solicitado Coeficiente = 2 3 a −b Coeficiente = 2 3 (1)−5 = 2 3 −5 = 2 −2 = 1 / 4 III. Grados de un Polinomio Entero Racional
B. CONTENIDO TEÓRICO I. Definición - Se denomina grado de una expresión algebraica a una característica relacionada con los exponentes de sus variables. - Nuestro estudio se centrará en el campo de las expresiones algebraicas racionales enteras, por lo tanto el grado es un número entero positivo. - Se distinguen dos tipos de grados : Grado Relativo y el Grado Absoluto. - Cuando hablamos del Grado Relativo nos referimos a una determinada variable de la expresión; y cuando mencionamos el Grado Absoluto, nos referimos a todas las variables de la expresión en discusión.
= = = = =
1. El Grado Relativo de un polinomio, viene expresado por el mayor exponente que afecta a la variable. 2. El Grado Absoluto de un polinomio, se determina ubicando el término que tiene mayor grado absoluto. El mencionado valor viene a ser el grado absoluto del polinomio. Ejemplos 1: Sea el polinomio: P(x; y; z) = 3x5 y z8 - 23 x8 y2 z3 + 5x4 y5 z2 - z9 y2 Exponentes de x Exponentes de y Exponentes de z Grado Absoluto de cada polinomio
→ → →
5 1 8
8 2 3
4 6 2
0 2 9
→
14
13
12
11
Por la realización se concluye: GR(x) GR(y) GR(z) GA S2MA31B
= = = =
8 6 9 14
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
El polinomio es de octavo grado con respecto a “x” El polinomio es de sexto grado con respecto a “y” El polinomio es de noveno grado con respecto a “z” El polinomio es de grado catorce con respecto a todas sus letras. “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
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Ejemplo 2:
POLINOMIOS
Sea: P(x;y) = xm + n + xm yn + 2 + 3xn ym + 3 (m>n) Exponentes de x Exponentes de y Exponentes de x Grado Absoluto de cada polinomio
→ → →
m+n 1 m+n
m n+1 m
n m+3 n
→
m+n+1
m+n+2
m+n+3
1.
Luego: GR(x) = m+n GR(x) = m+3 GR(x) = m+n+3
P(x; y) = (a + 2) x2a + 1 yb + 2 + (a - b) x2a + 3 y3 + (3b - 1) xa + 1 yb + 1 es de grado absoluto10, mientras que el grado relativo de “x” es 7. Calcular la suma de los coeficientes de “P”.
P(x) = 5x + 3 de primer grado P(x) = - 5x2 + 7x - 4 de segundo grado P(x) = 3x3 - 2x + x2 - 6 de tercer grado P(x, y) = 6x5 y - 3x3 y3 + 11xy4 2.
Solución 1° Se recomienda elaborar el siguiente cuadro: P(x; y)=(a+2) x2a + 1 yb + 2 + (a - b) x2a + 3 yb - 3 + (3b - 1) xa + 1 yb + 1 → → →
2a+1 b+2 2a+b+3
2a+3 b–3 2a+b
P(x) = 2x8 - 7x5 + 8x2 - 5 ordenado descendentemente P(x) = 7 + 4x - 6x2 + x3 - x7 ordenado ascendentemente 3.
(a+2) + (a – b) + (3b – 1) a+2 + a – b + 3b – 1 = 2a + 2b +1 .......... (1)
→ →
2a + 3 = 7 2a + b + 3 = 10
→ →
POLINOMIO COMPLETO Es aquel polinomio que es caracteriza por tener los exponentes de su variable ordenatriz desde el mayor hasta el cero (éste corresponde al término independiente). Ejemplos: P(x) = 8x + 2x2 - 11 - x3 + x4, es un polinomio completo pero desordenado.
3° Calculamos “a” y “b” haciendo uso de los datos, así: 7 10
POLINOMIO ORDENADO Un polinomio es ordenado cuando sus términos están dispuestos de tal forma que los exponentes de la letra en referencia (variable ordenatriz) van aumentando o disminuyendo. Ejemplos:
a+1 b+1 a+b+2
2° Nos piden la suma de los coeficientes, es decir:
GR(x) = GA =
POLINOMIO ENTERO Es el polinomio cuyo valor numérico depende exclusivamente del valor de su variable, y que presentan exponentes enteros y positivos (Expresión algebraica racional entero). Los coeficientes de los polinomios se pueden elegir de algún sistema matemático distinto del de los números reales. Sin embargo, a menos que se especifique otra cosa, el término polinomio se referirá siempre a un polinomio con coeficiente real. Ejemplos:
Ejemplo 3: Si el polinomio:
Exponentes de x Exponentes de y Grado Absoluto
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¡IMPORTANTE! Si un polinomio es completo, no necesariamente estará ordenado. Si un polinomio es ordenado, no necesariamente estará completo. Un polinomio de grado “n” y completo posee “n+1” términos distintos.
2a = 4 → a = 2 2(2) + b + 3 = 10 4 + b + 3 = 10
b=3
P (x) = x4 + x3 - x2 + 3x + 1; es un polinomio ordenado y completo descendentemente. P(x) = - 8 + x - 2x2 - 5x3
4° Los valores de “a” y “b” lo reemplazamos en (1), para obtener la suma de coeficientes. 2a + 2b + 1 = 2(2) + 2 (3) + 1 = 4 + 6 + 1 = 11 4.
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“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
POLINOMIO HOMOGÉNEO Recibe este nombre el polinomio que es caracteriza por tener igual grado absoluto en todos sus términos. Ejemplos:
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
2do Año Secundaria
83
MATEMÁTICA
84
2do Año Secundaria
2
Q(x) = 7x + 5x - 1 a) 3x5 y9 - 5x11 y3 + 2x8 y6 + x7 y7 Grado absoluto: 14 =
14 =
Calcular los valores de a, b y c, si los polinomios son idénticos.
14 = 14
SOLUCIÓN:
b) 2x3 - 6x2 y + 9xy2 + y3 Grado absoluto: 3 =
3
=
3 = 3
Por dato: ax2 + 3x + bx +5x2 + c - 2 ≡ 7x2 + 5x - 1
OBSERVACIÓN: El ejemplo anterior es ordenado y completo con respecto a sus dos variables; luego, es HOMOGÉNEO. 5.
Reduciendo términos semejantes en el primer miembro: (a + 5) x2 + (b + 3) x + (c - 2) ≡ 7x2 + 5x - 1
POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO Es aquel polinomio que es igual a cero para cualquier valor que se le asigne a la variable o variables, y que tienen iguales los coeficientes de sus términos semejantes. Ejemplo:
Entonces se cumple:
P(x) = ax2 + bx + c = 0
Para que este polinomio sea idénticamente nulo es necesario que: a = b = c = 0 6.
POLINOMIO IDÉNTICO Dos polinomios son idénticos, si poseen el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a sus variables. Se caracterizan por tener iguales los coeficientes de sus términos del mismo grado (llamados TÉRMINOS SEMEJANTES).
02.
Coef. de x 2 :
a+5=7
→
a=2
Coef. de x :
b+3=5
→
b=2
Coef. de x 0 :
c – 2 = -1
→
c=1
Si el polinomio: P(x) = 5x a - 18 + 15xa - b + 15 + xc descendente, entonces el valor de (a + b + c) es:
Si el polinomio es completo y ordenado descendentemente podemos establecer que:
P(x; y) = Ax4 + Bx2 y + Cy2 Q(x; y) = Dx4 + Ex2 y + Fy2
I. II.
Si P es idéntico a Q:
III.
Ax4 + Bx2 y + Cy2 ≡ Dx4 + Ex2 y + Fy2 Entonces se cumple:
a – 18 = 2 a – b + 15 = 1 20 – b + 15 = 1 c – b + 16 = 0 c – 34 + 16 = 0
→ →
a=20 b=34
→
c=18
Por lo tanto: a + b + c = 20 + 34 + 18 a + b + c = 72 Respuesta.
A = D → Coeficientes de x4 B = E → Coeficientes de x2 y C = F → Coeficientes de y2
03.
Determinar (m + n + p) sabiendo que el polinomio: P(x) = 3xm + n + 8 + 7xn + p + 2 + 5xp + m - 9
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
Es ordenado y completo en forma ascendente.
Dados los polinomios: P(x)= ax2 + 3x + bx + 5x2 + c - 2
S2MA31B
es completo y ordenado en forma
SOLUCIÓN:
Ejemplo: Sean los polinomios:
01.
- b + 16
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
SOLUCIÓN: S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Por dato del problema respectivamente: m+n+8=0 n+p+ 2=1 p+m- 9= 2
2do Año Secundaria
83
m + n = - 8 ....... n + p = - 1 ....... p + m = 11 .......
(1) (2) (3)
2do Año Secundaria 5
los exponentes de “x” de izquierda a derecha deben ser: 0; 1; 2 → → →
MATEMÁTICA
84
13
4
g) A(x ; y ; z) = x y z j) A(x; y) = xm + 2 yn ab 02.
5
h) B(x; y) = 3 x y
12
i) M (x; y) 2m xm + 3 y4
Calcular el grado relativo y grado absoluto en los polinomios: a) 2x3 y2 - 5xy7 + 7x2 y5
Sumando miembro a miembro las ecuaciones (1), (2) y (3) se obtiene: 2m + 2n + 2p = 2
b) 53 x6 y9 z2 + x5 y8 z4 + 2xy9 z7
Dividiendo entre 2: m + n + p = 1 respuesta
c) - 3x2 abc3 - 26 xa4 b5 + 4a3 b2 c9 d) P(x; y) = 2x3 y4 - 33 x2 y + x5
04.
e) A(x; y) = 4ax3 - 3x2 y6 + 2ab x7 + y7
Determinar el valor de “a” sabiendo que el polinomio: P(x; y) = 3 x n
3 −4
y 9 + 7 x 3 a +7 y 2 − 5 x n
3 −11
f) B(x) = 5x5 + 3x4 - 11x3 + x - 12
y 4 n es homogéneo.
g) Q(x; y; z) = x3 y5 - 6yz8 + 33 x2 y4 z9
SOLUCIÓN: Para que el polinomio sea homogéneo el grado absoluto de todos los términos debe ser el mismo. n
3
+ 5 = 3a + 9 = n
3
03.
a) 25
+ 4 n - 11
(II)
04. (I)
→ n = 4
05.
n3 + 5 = 3a + 9 (4)3 + 5 = 3a + 9 3a + 9 = 69 3a = 60 → a = 20
Respuesta.
06.
)
3
2 6 17 8 x y z 7
d) 37 a3 b2 cmn
e) - 15a7 b6 c4
c) 5 - 3 x4 y9 z3 xy3 f) M(x ; y) = x7 y11
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
c) a = b = 3
2
. x 2 n −3 . x 4
( )
xn
b)
e) N.a.
c) a = b = 3
b) a = 2 ; b = 5 e) N.a.
(
01. Calculamos el grado relativo y grado absoluto en los monomios:
S2MA31B
b) a = 2 ; b = 5 e) N.a.
x n −2
Desarrolla en tu cuaderno.
a) 32x7 y4 z5
d) 29
Hallar “n” si es de segundo grado.
PRACTICA DE CLASE Nº 07 I.
c) 218
Calcular “a” y “b” si en el monomio: x a + 1 yb - 3; se cumple que su grado absoluto es 12 y GR(x) = 3GR(y). a) a = 5 ; b = 3 d) a = 6 ; b = 9
Reemplazando el valor de “n” en la igualdad (II).
b) 28
Si el monomio: P(x; y)=3(a+2b) x3a - 5 y(b + 1) / 2 El grado relativo de x es 4 y el grado absoluto es 6. Hallar el coeficiente. a) a = 5 ; b = 3 d) a = 6 ; b = 9
De la igualdad (I), podemos determinar el valor de “n”. n2 + 5=n2 + 4n – 11 → 4n = 16
Señalar el coeficiente de: M(x; y) = 8 a + b x2a yb - 2. Sabiendo que su grado absoluto es 7 y el grado relativo respectivo a “y” es 1.
2
2
.x4
07.
Si en el polinomio: P(x; y) = 5b xa yb + 2, el grado absoluto es 8, mientras que el grado relativo de “x” es 5. Calcular el valor de “b”.
08.
Dado el polinomio: P(x; y) = xa - 2 yb + 5 + 2xa - 3 yb + 7xa - 1 yb + 6 ; GA = 17 ; GR(x) = 0 calcular (a – b).
S2MA31B
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COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 09.
2do Año Secundaria
83
Sea: 4xm3n + 2p y2m + n + 3p z3m + 2n + p tiene grado absoluto 60. Hallar el grado absoluto de: A(x; y) = 4m + 2 yn + p + 3 z4 .
10.
Hallar (m – p) si el polinomio: 4xm + p + 3 yp - 2 + 9xm + p + 1 - 5xm + p + 1, es de grado absoluto 14; y se cumple : GR(x) = GR(y) + 4
II.
A continuación exponemos un conjunto de ejercicios que te deben permitir repasar la teoría explicada en clase y resumida al iniciar el capítulo que se indica.
01.
El polinomio P(x; y) es homogéneo, calcular: E = a – b + ab. P(x; y) = 2xa - 5 y2 - 5xb + 3 y7 - 2x9 y5
02.
03.
04.
El polinomio: coeficientes.
MATEMÁTICA
84
2do Año Secundaria
05.
Si se cumple la siguiente identidad; calcular 3m – n + p. 7x2 - 5x + (p + 4) ≡ (m + 1) x2 + (n - 4) x + 7
06.
Determinar (m + n + p), sabiendo que el polinomio: P(x, y) = 5xm + 2 yn + 2xm + 1 y2 + x2p y4 + 3xq - 1 y5, es homogéneo de grado 7.
07.
Si el polinomio: P(x) = 2xd + c - 3xa + b + xa + c - 4xb - 1 , está ordenado consecutivamente en orden descendente; calcular (a + b) (c + d).
08.
Si los polinomios: P(x) = (a + 2) x 2 + (3b - 1) x + 5 ; Q(x) = (2a + b) x 2 - (b + 2) x - c ; son idénticos; entonces (2a + 2b + c) es:
09.
Si el polinomio x5a + 3 yb + 2 + x4a + 5 - 2xy8 ; es homogéneo. Entonces (3a – 2b) es:
P(x; y) = 2xm + 1 y3 - mxn + 1 + mnx5 y4 , es homogéneo. Calcular la suma de sus
Dado el polinomio: P(x) = x a + 2 - xb - 3 + 2xc + 1 , ordenado y completo decrecientemente, calcular a, b y c.
Si se cumple la siguiente identidad: (m - 4)x + (n + 1) ≡ 0. Calcular m y n.
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“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
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“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 10.
11.
12.
2do Año Secundaria
83
Si el polinomio 3xa + 2b-c + 2xa + b - x2b - 3 + 1, es completo y ordenado, entonces el valor de (a + b + c) es:
MATEMÁTICA
84
2do Año Secundaria 2a+1
+ 3x
c+2
15.
En el polinomio ordenado y completo: P(x) = x Hallar (a + b + c).
16.
En un polinomio homogéneo ordenado y completo en “x” e “y”, la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 156. ¿Cuál es su grado de homogeneidad?
17.
Hallar (a + b + c) si el polinomio P(x)= x3a – b + x2n + 3x3b + c + 12ya + b + c es completo y ordenado.
Hallar el grado absoluto del polinomio P si se sabe que es homogéneo y que la suma de los exponentes de “x” es igual a 20. P(x; y) = 8xm + 2n yn - 2xm + n y12
+ 2x
b+3
+ ... + 2c
Hallar (m – n) si: 2(x+7) ≡ m(x+2) + n(x-3)
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 07 13.
Si el polinomio es idénticamente nulo; entonces el valor de (bc : a) es: P(x) = (3a - b) x 2 + (b + c + 2)x + c + 1.
01.
Calcular (a +b) si: M(x, y) = 4b x3a + 2b y5a - b, es de GA = 10 y GR(x)=7. a) 1
02.
Hallar el grado absoluto del polinomio “P”, si se sabe que es homogéneo; y que el grado relativo a “x” es 2 menos que el grado relativo a “y”. P(x; y) = 7xm + n yn + 2xm + 6 yn + 4
03.
c) 3
d) 4
Si GR(x) = a, GR(y) = b. Hallar el GA de: M(x, y) = a) 2
14.
b) 2
b) 4
c) 6
e) 5
x a −1 y b +4 x 4 −b y 7 −3 a
d) 8
e) 10
d) - 5
e) - 8
Hallar (m - n) si el polinomio P(x, y) es homogéneo: P(x, y) = 3x3m + 2ny4 - 2x2m - a y-2a - 1+7x2myn+7 a) 5
04.
b) 7
c) – 2
Hallar m + n + p, si el polinomio en completo y ordenado en forma descendente. P (x) = xm – 10 – 3xm – n + 5 + 15xP – n + 6 a) 10
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S2MA31B
b) 12
c) 16
d) 38
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) 40
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 05.
2do Año Secundaria
83
Si el polinomio: P(x, y) = mx2 + 4my2 + 3nx2 + 4x2 - 3y2, es idéntico a
MATEMÁTICA
84 13.
Calcular:
N=
F
(
3
Hallar (m + 2n). a) 3
06.
07.
08.
09.
c) 10
d) 7
Determinar “n” si el monomio es de segundo grado:
M(a ) = 3
a) 1
d) 5
b) 7
c) 3 2
2
e) 19
a n −2 4
7
a 3n
b) 1
3
15.
a
b) (24)2 - 16
d) 9
c) 12 n
(
e) N.a.
d) 10
Si el monomio:
a) 24
b) 22
S2MA31B
c) 25
d) 23
e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA Nº 07 01.
Si: F(x, y) = ab (xy2)7 - a y-b P(x, y) = ba(x2y)b - 2
02.
Si el polinomio: P(x) = - 3xa + 1+ 2xb - 4+6 es completo y ordenado, calcular a + b.
03.
Sea el polinomio: P(x) = (a - 4) x2 +
e) N.a.
b −4
a
c) 5
d) 9
e) N.a.
x + ab
que se reduce a primer grado.
Hallar “m”, si: m2 = P (P (a + b)), m ≥ 0. 04.
Hallar el coeficiente del monomio: M(x; y) = 2m - n x2m - n ym + n Si: GR(x) = 6 y GA (M) = 15
)
05.
b) 3x2 - 6x + 5
e) N.a.
Son términos semejantes, calcular a - b.
Si F x +1 ≡ 3x + 2 Hallar F(x) a) 3x2 + 6x - 5
d) (24)2
Es grado 18, y los grados relativos a, x, y, z son números consecutivos (en este orden). Calcular: mnp.
En el polinomio: P(x) = (2x + 1) + (x + 2) - 128 (2x + 3), “n” es impar. Además la suma de coeficientes y término independiente suman 1. Hallar el valor de “n”. b) 6
c) (24)2 -+2
c
b) 18
a) 7
e) N.a.
A(x, y, z) = xm + n yn + p z p + m
d) Indeterminado e) N.a.
c) 5
c
d) 7
Calcular la suma de coeficientes en:
a) (24)2 + 16
Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo: b
c) 5
2
c) 2
b) 6
a) 6
)
b) 3
a) - 6 b) 8 c) 4 d) 1 e) 2 El grado absoluto de: xm y2n + 1 z [xm - 1 y zn - 1 + (xy)m zn ] es 17. Determinar (mn)m. Si GR (y) = 9.
b
2 +5
P(x - 1) = (3mx - 4m)2 + (3x + 4) - x2 + 4 M ∈ Z+, sabiendo que es cuádruple de su término independiente.
e) 9
P(x)= c(x + x ) +a(x + x ) + b(x + x ) + abc
12.
14.
Calcular “m + n” si el polinomio: P(x,y)= 3x2m + a - 4 ym + n + 2 + 5x2m + a - 3 ym + n + 1 - 7x2m + a - 2 ym + n , es de grado 10 y la diferencia entre los grandes relativos a “x” e “y” es 4.
a
11.
a) 1
a n +1
Si el polinomio: P(x) = a(x+2) + b(x + 3) - a(2x + 3) + c, es idénticamente nulo. Hallar el valor de: L = c a − b
a) 36 10.
(
F(x) = 60x5 - 185x4 - 45x3 - 92x2 - 10x - 12 b) 2
a) 0
2 + 5 + F(3) F
F(x, y) = 13x2 + 9y2
)
2do Año Secundaria
c) 3x2 - 6x - 5
d) 3x2 + 6x + 5
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) N.a.
Sabiendo que el grado absoluto del monomio.
x n +8 12 n
S2MA31B
n +5
xn
2 +5 n
es 8, calcular “n”.
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83
MATEMÁTICA
84
2do Año Secundaria
Expresión Algebraica Es toda asociación de constantes numéricas y letras (variables), entrelazados por cualquiera de los operadores matemáticos de: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación, o una combinación limitada de éstos. Para que una expresión sea considerada algebraica, una variable nunca se debe ubicar como exponente de una potenciación o índice de una Radicación. Ejemplos: 3 + 52 – ( - 3 ) -5
25 3x
5 x 3 + 3x 2 − 7 x7 3
- 2xy -
5 +x
3
1/2
2x + xy -1/3 - y - 2
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se puede realizar de acuerdo a: Monomios
DEFINICIÓN, CLASIFICACIÓN, ELEMENTOS Y PROPIEDADES DE
Según su número de términos
OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Realizar el reconocimiento de una expresión algebraica a partir de su número de términos y la naturaleza de su exponente. 2. Reconocer términos algebraicos semejantes para su posterior aplicación en la resolución de problemas.
Según la naturaleza de su exponente
PROCEDIMIENTOS A. MOTIVACIÓN Cuando se logra abstraer cantidades en variables, se está innovando el conocimiento matemático que da origen a la formación del ÁLGEBRA, constituyéndose como un nuevo conocimiento matemático abstracto y generalizado. En el álgebra, para lograr la generalización, la cantidades se representan mediante letras (variables), las cuales pueden representar todos los valores.
Polinomios
Racional Irracional
1 término Binomios
........
2 términos
Trinomios Cuatrinomios ..............
........ ........ ........
3 términos 4 términos .....................
Polinomio
........
n términos
Entera
Fraccionaria
1. EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL ENTERA. Es aquella expresión algebraica cuya parte literal está afectada de exponentes naturales. Eso implica que no tiene letras o variables en el denominador.
B. CONTENIDO TEÓRICO Definición de Álgebra Rama de la matemática que trata de la cantidad considerada del modo más general, sirviéndose de letras para representarla. S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
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2do Año Secundaria
Ejemplo.
3
a) – 7 b) x2 - 2x - 3 3 c) 5xy 2 x 2 + 2y
MATEMÁTICA
84
83
Es una expresión algebraica irracional
xy
2
x - 2xy + y
EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL FRACCIONARIA Es aquello expresión algebraica que por lo menos presenta un exponente ENTERO NEGATIVO en su parte literal (variable). Eso implica que posee letras en el denominador. Ejemplos:
2
xy + y
Es una expresión algebraica racional fraccionaria
34 +
1 5 1 + 7 3
Es una constante numérica, por lo que será una expresión algebraica racional entera.
2
3xy + x4
→ → →
2x3 - 3y2 + xy4
No es una expresión algebraica, se trata de una expresión trascendente exponencial.
2 x4
(x + 1)2
1 x 2 3 x − 2 + 3 y x y
3xy +
2
Es una expresión trascendente exponencial
2
Cos (x - x + 3)
Es una expresión trascendente trigonométrica.
14x + x + x + ... ∞
No es una expresión algebraica porque tiene infinitos términos.
2
3
2x + y x +1
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
EXPRESIÓN ALGEBRAICA IRRACIONAL Es aquella expresión algebraica que por lo menos presenta un exponente fraccionario en su parte literal. Es decir presenta radicales afectando a la parte literal o variable. Ejemplo: x3 y1/2 3xyz – 3
2
x y + x2 5
x y z
2ab - 1/3 + a2 2x1/2 - y1/3 - 2
• • • • •
Con la finalidad de fijar correctamente los conceptos antes expuestos, presentamos algunas expresiones algebraicas y su correspondiente clasificación, de acuerdo a la naturaleza de sus exponentes. 2x4 + 6y5 - 7x5
Racional entera
2y
Racional entera
4x3 + 5y3 + 6z2
Racional fraccionaria
1 2 1 3 1 2 x + z + xy 3 5 4
Observaciones Las expresiones que no corresponden al concepto de expresión algebraica conforman al conjunto de expresiones no algebraicas o trascendentes. El conjunto de las expresiones algebraicas y las no algebraicas conforman el universo de la expresión matemática. Todas las constantes numéricas diferentes de cero son consideradas como expresiones algebraicas RACIONALES ENTERAS de grado igual a cero. Sólo la expresión algebraica posee el concepto de grado algebraico. Es una expresión algebraica, los exponentes de su parte literal deben estar comprendidos en el campo de los números racionales (Q).
Es una expresión algebraica racional
-2
x+3
2x4
2do Año Secundaria
4x1/3 + 5y1/4 + 3
x 5 − +1 x +y y +z 2
x + 3 5 y - 13 2x + 3 y + 5 z
Racional Entera Irracional Racional fraccionario
Irracional Racional entera
Por lo expuesto; analicemos las expresiones:
5 x 2 + 5 3 y + 4 z 2 y 3 Irracional S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
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2do Año Secundaria
MATEMÁTICA
84
83
2
- 4x y
− 5 x 3 + 5 y 2 + 7 z4 2x - 2 - 5y - 3 -
7 xy
Racional entera
3
5
+ 7x y
2do Año Secundaria
el signo es “-“ el signo es “+”
Cuando se trata de un término precedido del signo (+) se puede omitir la escritura del mismo.
Racional fraccionaria
Ejemplo :
TÉRMINO ALGEBRAICO (MONOMIO) Es la expresión algebraica mínima en la cual sus elementos (variables y números) no están separados por el signo “+” o el signo “-”. Estando asociados sus elementos con los operadores matemáticos de : Multiplicación, división, potenciación y radicación.
12x5 y2 el signo que se antepone es +
Ejemplos:
Ejemplo:
5xyz
Es un monomio racional entero
5 3 7 x y 7 - xy z
x
yz
- 4x2 y3
2
Es un monomio irracional
PARTE LITERAL: Conformada por las letras (variables) que aparecen en el término algebraico.
Es un monomio irracional
Ejemplo: - 4x2 y3
Es un monomio racional fraccionario
La parte literal es “y”
EXPONENTE: Número que se coloca en la parte superior derecha de la letra o variable. Ejemplo:
ELEMENTOS: Un término algebraico consta de los siguientes elementos :
- 4x2 y3 Exponentes
Signo
• Coeficiente
El exponente de x es 2. El exponente de y es 3.
OBSERVACIONES:
-5 X 2 Y 3
Parte literal : Variables
Si en un término algebraico el coeficiente es un número entero positivo indicará las veces que debe repetirse como sumando la expresión afectada. Ejemplos : 7x = x + x + x + x + x + x + x
Se distingue: SIGNO:
El coeficiente es - 4
Es un monomio racional entero
x x −3 5 -4
COEFICIENTE: Es el número o parámetro que multiplica a la parte literal o variable, considerándose con todo y signo.
7 veces
Símbolo matemático que indica la cualidad del término, puede ser positivo (+) o negativo (-).
Ejemplo: S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 120x = x
+
x
2do Año Secundaria + x + ......... + x 120 veces
MATEMÁTICA
84
83
2do Año Secundaria
Son términos algebraicos semejantes porque poseen las mismas variables “x” e “y” afectadas con los mismos exponentes, así : El exponente de “x” es 2 en ambos monomios. El exponente de “y” es 3 en ambos monomios. OBSERVACIONES:
nx = x
+ x
+ x + ......... + x
•
•
Si el exponente es un número entero positivo indicará las veces que debe repetirse como producto (factor) la expresión afectada. Ejemplos : nx = x . x . x . x . x . x . x 7 veces 120
x
3 2 3 2 x yz ; x zy son semejantes porque poseen iguales variables afectadas 85 85
de los mismos exponentes, asimismo observamos que presentan igual coeficiente. Por lo tanto; además de ser semejantes también son iguales.
"n" veces (n ∈ Z+)
Los monomios
•
x2 y3 ; 3x4 y2 no son términos semejantes, presentan las mismas variables pero afectadas de exponentes distintos.
PROPIEDAD ADITIVA DE LOS TÉRMINOS SEMEJANTES Si dos o más términos son semejantes estos pueden sumarse algebraicamente atendiendo a sus coeficientes. Ejemplo : abc + 1997
x . x . x . ......... . x
=
x . x . x . ......... . x
01.
Si son semejantes, se cumple : a+2=b+3 b+1=4
TÉRMINOS O MONOMIOS SEMEJANTES Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal afectada por los mismo exponentes.
a=4 ,
S2MA31B
;
02.
15 2 3 x y 4
a = b + 1 ... (1) b=3 ... (2)
Reemplazando (2) en (1):
Ejemplo: 2x y
Si los términos: 3ma + 2 nb + 1 ; 2mb + 3 n4 son semejantes. Entonces (a + b) es: SOLUCIÓN:
(n ∈ Z+)
3
abc
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
n veces
2
abc
1 + 1997 + 26 - 15 = 2009 =
Luego, obtenemos: 2009
x
abc - 15
Sumando algebraicamente sus coeficientes:
120 veces n
abc + 26
luego :
a+b =7
Si: t1 = abxa y3 ; t2 = 2x2 yb , son términos semejantes. Calcular: t1 + t2 . SOLUCIÓN:
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
2do Año Secundaria
Por dato: abxa y3 ; 2x2 yb son semejantes; luego: a = 2 ; b = 3
83
02.
Se concluye:
03.
t2 = 2x2 y3 → t1 + t2 = 8x2 y3
04. PRÁCTICA DE CLASE Nº 08
05.
1 + 6 = a) 512 + 3
b) 12
06.
c)
2x =
d)
5y + y-1 =
b) 4
e) 3x2 -
2 xy − 3 z 3 =
b) 12
c) 0,8
d) 0,4
c) 9
d) 8
b) 2x5
c) - 3x5
d) - 5x5
b) 18x12
c) 15x12
d) 12x12
i)
x −y - 2
c) 2x2 z + z2
1 - 3x - 1 + y - 2 = x +y
d) axy - ay + b2 ym e) 3 3 x 3 + y2 x3
j) xyz - x + y 2
S2MA31B
f) x - 2 y-3 + 2x - 4 - 5
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) N.a.
e) N.a.
e) N.a.
Clasificar las siguientes expresiones algebraicas, según la naturaleza de sus exponentes:
b) 6x2 - 25xy + y2 h) 5ab3/4 + x + b2
e) N.a.
Sabiendo que la expresión: P(x) = (a + b) x 12 + axb + a + bx2b + 4 esta conformada por términos semejantes, hallar P(x).
a) 5
g) 2xy - 22 + x =
“x” a
Indicar el resultado que se obtiene de P(x) = (a + b) xa + (a + 1) xb + 1 - abx5 si está formado por 3 términos semejantes.
a) 24x12 08.
f) 16x2 - 12y2 =
e) N.a.
Dado los términos algebraicos: t1 = (m + 2a) x6 ; t2 = (8 + m) x3b - 3 . Calcular el valor de: b 2 + b + 1
a) x5 07.
d) 9
a) -198 b) -270 c) –300 d) 324 e) N.a. Dar la suma de los coeficientes de los siguientes 3 términos semejantes que tienen a “x” como única variable. 3,2m + a ; - 0,2 m2 x2 + a ; 0,8 mx8
a) 13 b) 3xy =
c) 15
Calcular la suma de los coeficientes sabiendo que t 1 y t2 son semejantes de variables “y”. t1 = a3 bx - 3 y2 ; t2 = ab3 xa ya + b + 1
a) 2
Clasificar las siguientes expresiones algebraicas, según la naturaleza de sus exponentes.
2do Año Secundaria
Calcular el valor de (a + 2b) si los términos siguientes son semejantes: 3ya + b ; 2 5 y 8 ; - 0,2yb + 3 a) 13
t1 = (2) (3) x2 y3 = 6x2 y3
01.
MATEMÁTICA
84
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN g)
2do Año Secundaria
xy 3 + y
02.
h) 17 abc i) xyz3 - x + y2
03.
j) 3x - 2 + x7 - 11 09.
2 + b
4 + a
3b
Considerando que la expresión: F(x) = 2ax + 2bx + abx esta formada por términos semejantes, reducir la expresión que a continuación se indica:
3
04.
10.
b) 8x2
a) 12 b) 10 c) 8 d) 15 Expresar 183.124 como 2x . 3y, señalar luego el valor de (x + y).
e) N.a.
a) 11
e) 15
b) 16
d) 2x2
e) N.a.
b) 2
b) - 16z8
c) - 32z8
d) z8
Después de reducir:
Reducir el siguiente polinomio a su mínima expresión, si todos sus términos son semejantes:
x2 x3 x3
a) Racional entera d) No se sabe
e) Imposible 06.
3
•
4
x2
a) 2x 12.
13.
b) x
2
c) - 2x
2
d) 4x
2
e) 6x
2
d) 4 3
x5 x3
x4
3
x
A =2
−2 2 −1 + 8 −1
B=
( 4) 4
23
−2
P =3 x
Señalar que clase de expresión algebraica es: E = AB P
a) y3
a) Racional entera d) No se puede determinar
c) 15y3
d) 3y3
e) 9y3
c) Irracional
Sean:
Si todos los términos del siguiente polinomio son semejantes. ¿Cuál es el polinomio reducido? P(y) = (m + t) ym + t + y8 - (m - t) yt + 7 B) 6y3
e) 5
La expresión algebraica que se obtiene es:
b) Racional fraccionaria e) N.a.
P(x) = (a + b) xa + 3 (a + 2b) xb - 5abx2 2
d) 18
c) 3 3
05.
c) 21
La expresión: E(x;y)= xn - 2 + y5 - n es racional entera. ¿Cuántos valores puede tomar “n”?
Reducir los siguientes términos semejantes, si tienen como única variable a la letra “z”. - 6mzm + 5mz8 - 2mz8 a) 32z8
11.
c) 3x2
2do Año Secundaria
Si los términos: T1 (x) = axa + 3 y T2 (x) = (a+ 2)x3a – 7. Se puede reducir a uno solo; dan la suma de coeficientes.
a) 1
P(x)= 3ax2 + 2bx2 - abx2 a) 6x2
MATEMÁTICA
84
83
b) Racional fraccionaria e) 5
4
x
4 3 x
x9
c) Irracional
Indique el resultado que se obtiene luego de reducir: 2
18 x 2 - 3
2x 2 + 3
8x2 - 2
50 x 2 + 3
32 x 2 - 4
72 x 2
07.
Después de reducir:
10
(a 2 b 3 ) (a 5 b 4 )10 4
(a 2 b 6 ) 2
3
(ab 2 )6
(a 7 b 8 ) 2 ab 4
la expresión algebraica que se obtiene
es: a) Racional entera d) No se puede determinar 08.
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 08 01.
5
5
De las siguientes expresiones: x2y + x2 / y ;
x
;
x 2 + 3 y ; x2y - 2 ;
1 x
Cuántas son racionales? a) 1 S2MA31B
b) 2
.
c) 3
d) 4
c) Irracional
Calcula la suma coeficientes de los términos semejantes: T1 (x) = (a - 2) x- a + b + 3 T2 (x) = ab x3a - 12 T3 (x) = (a - b) x3a -12 a) 18
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
b) Racional fraccionaria e) N.a.
b) 80
c) 90
d) 100
e) 5 S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) N.a.
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 09.
2do Año Secundaria
83
MATEMÁTICA
84
2do Año Secundaria
La expresión: E (x, y, z) = mx7 - 2n y 3n - 6 zn - m es racional entera. Calcular “m + n”, sabiendo que m>1. TAREA DOMICILIARIA Nº 08
10.
11.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 Obtener la suma de los términos semejantes: (c + 5) x4c - 3 ; (2c) xc + 9
e) N.a.
a) 17 x13
e) N.a.
b) 11 x3
c) 8 x3
01.
d) 10 x3
a) 5x2 + xy - 1 b) 5x +
¿Cuántas de las siguientes expresiones algebraicas? x-2 + x2 ;
3
Clasifique las siguientes expresiones algebraicas:
y
4
c) 6x - 3x
x + y ; log x ; x- 2+x2 + x3+x4 +...
2
d) 5x5 + x- 1 a) 1 12.
c) 3
d) 4
e) 0
e) 7
Indicar si las expresiones son racionales (R) o irracionales (I) I) x2/ 3 y2
a) IRRI 13.
b) 2
II) 3/x + 1
III)
b) RIRI
2 x −1 + 4 IV)
c) RRII
f) 7x + (yz)2 / 3 g) 1/ 2 (xy) 6 + 1
x +y −1
h) x + 1/ x
d) IIIR
j) 8
e) N.a.
Indicar SI las expresiones algebraicas son racionales enteros (RE) o racionales fraccionarias (RF). I)
2 x +y −2
3x 1 + y − 2 z −1
II)
3x +
1 2
02.
Hallar la suma de los términos semejantes dados: a2 (xy2)7 - ay- 6 ; - n a(x2y) n - 2
03.
Si la expresión racional entera: 4x6/ n + 2y (n +1) / 2 Calcular la suma de los valores que toma “n”.
1 2 III) x + x a) RE, RF, RE, RF d) RF, RF, RF, RF 14.
b) 1
6
04. b) RE, RE, RF, RF e) N.a.
c) 2
Después de realizar:
c) RE, RF, RE, RF
4
x 20
3
x 5
x
x
x
Se obtiene una expresión algebraica: .............
La expresión algebraica: P(x) = 2/ 3 x3n-7 es racional entera y Q(x) = fraccionaria. Hallar “n”. a) 0
15.
IV) x −0 , 5 −1 +2 x
d) 3
2 x 4 n −15 es racional
e) 4
05.
¿Qué clase de expresión algebraica se obtiene después de reducir la expresión: a
(ab ) b
b
(ab )a
a −b
a +b ab • (ab )
?
E(x)= x-2+n +y5-n es una expresión entera. Calcular la suma de los posibles valores de “n”. a) 8
S2MA31B
b) 7
c) 6
d) 10
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
e) 11
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
2do Año Secundaria
83
84
MATEMÁTICA
2do Año Secundaria
SOLUCIONARIO Ejercicios Propuestos Nº
01
02
03
04
05
06
07
08
01.
A
C
A
B
C
D
C
B
02.
A
E
C
C
A
C
C
A
03.
C
B
D
B
D
E
B
C
04.
D
E
D
D
B
D
D
B
05.
C
C
A
C
C
C
D
C
06.
C
A
B
C
B
D
B
B
07.
B
B
C
B
D
A
D
D
08.
E
D
B
A
A
B
E
C
09.
D
A
B
C
C
B
A
D
10.
A
B
C
C
D
E
B
A
11.
C
C
A
B
D
E
B
12.
C
C
D
E
A
C
A
13.
B
C
B
C
C
E
B
14.
D
E
E
B
E
E
D
15.
C
C
D
A
D
A
B
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
S2MA31B
“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”