COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Secundaria
2do Año Secundaria 45
IV
46
MATEMÁTICA
2do
Año
Paso un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito.
PLANTEAMIENTO DE I.- OBJETIVOS ESPECÍFICOS : 1.1 Expresar algebraicamente una expresión verbal. 1.2 Solucionar problemas planteando ecuaciones. II.- PROCEDIMIENTOS: A) MOTIVACIÓN:
5 Que entrego su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan solo la mitad de la parte de la de su Padre. x/2 Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo: 4 Entonces: x = x / 6 + x / 12 + x / 7 + 5+ x / 2 + 4 Para responder a la pregunta ¿Cuántos años vivió Diofanto cuando le llegó la muerte?, solo basta resolver la ecuación formulada al final. Así :
El arte de plantear ecuaciones.- El idioma del Algebra es la ecuación. “Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del ingles u otra lengua al idioma algebraico”, escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado ARITMETICA UNIVERSAL. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la traducción. Uno de estos famosos problemas fue : ¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh , milagro!, cuan larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de bello cubrióse su barbilla. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Paso un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su hijo primogénito que entrego su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan solo la mitad de la parte de la de su padre. Y con pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llego la muerte?. B) CONTENIDO TEÓRICO: Analice los problemas explicados y saque sus propias conclusiones : Problema (01) : Vamos ha desarrollar el problema que trata de la biografía de Diofanto(redactado en la parte inicial).
Sacamos MCM de todos los denominadores, incluyendo el segundo miembro : 84 Dividimos el MCM entre todos los denominadores y multiplicamos por sus respectivos denominadores. Resulta : 84x = 14x + 7x + 12x + 420 + 42x+ 336 transponiendo términos : 84x - 75x = 756 9x = 756 x = 84
PRACTICA DE CLASE 01. La tercera parte de la diferencia de un número con 5 es igual a la cuarta parte del mismo número más 2. Hallar el número. 02. Encontrar el mayor de tres números enteros consecutivos pares que sumados den 120. 03. Cuál es el número cuyos 2/ 3 ; disminuido en 2 es igual a sus 3/ 5, aumentado en 3?
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh , milagro!, cuan larga fue su vida, x cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. x/6
04. El mayor de dos números es 10 más que 5 veces el menor. Si su suma es 28. Dar como respuesta el producto de ambos.
Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de bello cubrióse su barbilla. x / 12
06. La diferencia entre dos números consecutivos impares es igual al doble del menor, disminuido en 8. Hallar el mayor 07. Si un número entero, se le suma el doble de su consecutivo, se obtiene 41. Hallar la semisuma de dichos números.
Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. x/7 S2MA34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
05. Separa 900 soles en dos partes de modo que la primera parte sea 300 soles menos que el doble de la segunda parte. Hallar la primera parte.
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“El nuevo símbolo de una buena educación...”
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08. El segundo de dos números es 20 menos que 4 veces el primero. Su suma es 15. Dar como respuesta los números. 09. El segundo de tres números es igual a 6 veces el primero. El tercero es uno más que el segundo. Si la suma de los tres números es 53. Hallar el mayor. 10. El menor de dos números es 3 menos que el mayor, si al mayor se le disminuye en el doble del más pequeño, el resultado es -9. Encontrar el mayor. 11. Se han repartido chocolates entre cierto número de niños; dando a cada uno 4 chocolates sobrarían 2; pero dando a cada uno 6 chocolates faltarían 8. Hallar el número de niños y el número de chocolates.
46
MATEMÁTICA
2do
Año
Tan sólo cuando el joven regresó a su casa comprendió que debido a la ventaja concedida tubo que caminar, no el doble , sino el cuádruple de los que anduvo el doctor. ¿A qué distancia de la casa del doctor estaba la de su joven desconocido? 19. ¿Cuál fue la longitud de la tela si a pesar de haberse ya vendido una tercera parte más la cuarta parte más la sexta parte aún sobran 30m de tela? 20. Hace 10 años la edad de “A” era los 3 / 5 de la edad que tendrá dentro de 20 años. Hallar la edad actual de “A”. 21. En una fiesta, la relación de mujeres a hombres es de 4 a 3; en un momento dado se retiran 4 damas y llegan dos hombres con lo que la relación es ahora 6 a 5. Indicar cuántos hombres deben llegar para que la relación sea 1 a 1.
12. Benilde recibió 200 soles, tuvo entonces 3 veces lo que hubiera tenido si hubiera perdido 200 soles. ¿Cuánto tenía al principio?
22. Gaste los 2/ 3 de lo que no gasté y aún me quedan S/. 20 más de lo que gasté. ¿Cuánto tenia? .
13. El quíntuplo de un número, más 8 es igual al triple del mismo número aumentado en 6. Hallar dicho número.
23. De 100 personas que leen por lo menos 2 ó 3 diarios notamos que 55 leen Comercio y Expreso; 35 leen Expreso y Extra y 60 leen Comercio y Extra. ¿Cuántas personas leen los tres diarios?
14. La quinta parte de un número aumentado en 6, excede en 4 a la sexta parte del mismo número aumentado en 8. Hallar dicho número.
24. 300 empleados deben cobrar S/. 25 200, pero como algunos de ellos se retiran; el resto tiene que cobrar S/. 140; cada uno. ¿Cuántos se retiraron?
15. El triple de un número, disminuido en 1 es a 4 como el doble del mismo número, aumentado en 1 es a 3. Hallar dicho número. PRACTICA DE CLASE (Nivel II) 16. Encontrar el menor de 4 números enteros consecutivos, de tal modo que el triple del tercero menos el segundo dé el último. 17. Tres hermanos: Carlos, Manuel y Edwin recibieron una herencia. Carlos y Manuel recibieron en común 36 mil soles, lo correspondiente a Carlos y Edwin ascendería a 38 mil soles y la parte de Manuel junto a la de Edwin asciende a 42 mil soles. ¿Cuánto recibió Carlos?
01. De los S/. 60 que tenía; si no hubiera comprado un regalo que me costo S/. 16 ; tan sólo hubiera gastado los 2/ 3 de lo que no hubiera gastado. ¿Cuánto gaste? a) 20
b) 32
c) 40
d) 24
e) 36
18. “ EL PASEO ” . • Pase Usted mañana por mi casa -- dijo el viejo doctor a un conocido. • Muy agradecido. Saldré mañana a las tres. Quizá desee usted dar también un paseo. En este caso salga a la misma hora y nos encontraremos a la mitad del camino. • Usted olvida que soy ya viejo y ando tan solo 3 kilómetros por hora, en tanto usted, jovenzuelo, cuando más despacio va, hace 4 kilómetros por hora. No seria ningún delito que me concediera una ventaja. • Tiene razón -- contestó el joven --. Como quiera que yo recorro un kilometro a la hora más que usted, le doy este kilómetro de ventaja, es decir, saldré de mi casa un cuarto de hora antes ¿ le será suficiente? • Es usted muy amable − aprobó el anciano. • El joven cumplió lo prometido y salió de su casa a las tres menos cuarto, marchando a 4 kilómetros por hora. El doctor salió a la calle a las tres en punto y anduvo a 3 kilómetros por hora. Cuando se encontraron, el anciano dio la vuelta, yendo juntos a su domicilio.
02. Perdí el doble de lo que aún tengo; de no ser así, cuando compre un libro de S/. 32 me hubiera sobrado tanto como hoy me falta. ¿ Cuánto tenía? a) 36 b) 48 c) 32 d) 42 e) 50
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S2MA34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
03. Una sandía pesa 4 kg. más media sandía. ¿Cuánto pesa sandía y media? a) 6
b) 8
c) 10
d) 9
e) 12
04. ¿Qué número es tanto más del cuadrado de la mitad de 20 como tanto menos de la mitad del cuadrado de 20? a) 150
b) 200
c) 100
d) 300
e) 250
05. Un padre reparte su fortuna entre sus hijos dándole S/. 480 a cada uno; debido a que dos de ellos renunciaron a su parte; a cada uno de los restantes les tocó S/. 720. ¿Cuántos son los hijos? “El nuevo símbolo de una buena educación...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Secundaria a) 8
b)7
c) 5
2do Año Secundaria 45
d) 6
e) 4
b) 12
c) 15
d) 13
e) N.A
07. Dos amigos A y B están jugando a los naipes, acuerdan que el que pierda dará al otro S/. 2. Si después de 13 juegos consecutivos A ha ganado S/. 10. ¿ Cuántos juegos ha ganado B?. a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
MATEMÁTICA
a) 160 m.
b) 2
c) 3
d) 4
b) 4
c) 8
d) 9
b) 230
c) 165
e) N.A
d) 260
e) 80
12. Una persona sube una escalera con el curioso método de subir 5 escalones y bajar 4, si en total subió 75 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? a) 15
b) 14
c) 19
d) 40
e) 20
13. Una persona sube una escalera de tal manera que por cada 7 pasos que avanza retrocede 3; dando un total de 207 pasos. ¿Cuántos pasos fueron de retroceso? a) 60 b) 84 c) 76 d) 92 e) 56 14. En un examen de 30 preguntas, cada respuesta correcta vale 4 puntos, la incorrecta –1 punto y en blanco 0 puntos. Si un estudiante obtuvo 82 puntos y notó que por cada respuesta en blanco tenía tres correctas. ¿Cuántas contestó incorrectamente? a) 4
b) 3
c) 2
d) 5
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b) 56
c) 42
d) 180 m.
e) 200 m.
a) 600
b) 700
c) 400
d) 500
e) 800
d) 48
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
PRACTICA DE CLASE (Nivel III)
a) 13
b) 17
c) 12
d) 16
e) 18
02. En un corral hay conejos y gallinas; si el doble de ojos es 20 menos que el doble de patas. ¿Cuántos conejos hay? a) 5
b) 6
c) 7
d) 4
e) 3
03. En un rebaño el número de ovejas más bueyes es 30, el de bueyes más vacas es 50, el de vacas más cabras es 70 y el de vacas más ovejas es 40. ¿Cuánto suman los bueyes y cabras? a) 60
b) 40
c) 70
d) 50
e) 30
04. Si se forman filas de 8 niños sobras 4 pero faltarían 8 niños para formar 3 filas más de 7 niños. ¿Cuántos niños son? a) 64
b) 76
c) 84
d) 92
e) 72
05. Si los alumnos se sientan de 2 en 2 se quedarían de pie 18 alumnos y si se sientan de 3 en 3 sobrarían 4 bancas. ¿Cuántos alumnos son? a) 82
b) 96
c) 68
d) 78
e) 102
06. Lo que tengo más lo que te debo da S/. 2200. Si pagara lo que debo me quedaría S/. 1000. ¿Cuánto debo?.
e) 6
15. A, B y C tiene en total 126 limones; si “C” le diera la cuarta parte a “A” tendrían la misma cantidad; pero si “a” le diera la mitad a “B” entonces “B” tendría la misma cantidad que “C”. ¿Cuántos limones tiene “B”? a) 28
c) 120 m.
01. Dame S/. 2 y tendré tanto como tú tengas; pero si te doy S/. 3 tú tendrás el doble de lo que yo tenga. ¿Cuánto tienes?.
e) 5
11. Si subo una escalera de 5 en 5, doy 4 pasos más que subiendo de 6 en 6. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? a) 120
b) 140 m.
e) 7
10. Una cantidad de S/. 580 se pagan con billetes de S/.100 y S/. 20. ¿Cuántos se han dado de S/. 100, si los billetes de s/. 20 son 5 más que los de S/. 100?. a) 6
Año
17. Si tuviera el doble de lo que no he perdido me compraría lo que cuesta el triple de lo que tengo menos 300 soles. ¿Cuánto tenía si perdí S/. 200?.
09. Los animales que tiene Pepita son todos perritos menos 5; todos gatitos menos 7 y todos loritos menos 4. ¿Cuántos gatitos tiene? a) 1
2do
16. Si el perímetro de un cuadrado se reduce en 40 m, entonces su área se hace igual a 9/16 del área inicial. Determinar el perímetro del cuadrado original.
06. Con S/: 120 se compraría cierto número de libros, si el precio de cada uno aumento en S/. 2 se compraron 3 libros menos. ¿ Cuántos libros compraron? a) 10
46
a) 500
b) 600
c) 800
d) 1000
e) 900
07. Yo tengo el triple de la mitad de lo que tienes más S/. 10. Si tú tuvieras el doble de lo que tienes; tendrías S/. 5 más de lo que tengo. ¿Cuánto tengo?
e) 64 S2MA34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Secundaria a) 50
b) 55
2do Año Secundaria 45 c) 60
d) 40
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MATEMÁTICA
a) 3
b) 40
c) 50
d) 60
c) 3
d) 6
e) 7
10. En un corral entre patos, gallinas y conejos se contaron 58 cabezas y 148 patas. ¿Cuántos conejos hay? a) 18
b) 24
c) 20
d) 16
e) 22
11. En un establo entre pollos; gallinas y carneros el número de alas es excedido por el de ojos en 14. ¿Cuántos carneros son? a) 4
b) 8
c) 5
d) 6
e) 7
12. Un campesino tiene 280 animales entre caballos y pollos. El número total de cabezas y alas de pollos y caballos es igual al número de patas. ¿Cuántos pollos hay? a) 170
b) 70
c) 210
d) 240
b) 6
c) 8
d) 10
d) 28
e) N.A
b) 10
c) 85
d) 90
e) 70
19. Un joven durante todos los días del mes de Diciembre desayuna: pavo, panetón o chocolate a un costo en cada caso de S/. 15 , S/. 11 y S/. 6 respectivamente. Si su gasto diario no excede a S/. 16 ¿Cuántas mañanas desayuno chocolate si durante todo el mes gastó S/. 269? a) 14
b) 16
c) 19
d) 20
e) 10
20. Algunas personas consumen menús de S/. 5 y S/. 7 en cierto restaurante de esta localidad, al término de ello pagan S/. 83 en total. ¿Cuál es el número mínimo de personas que consumieron estos menús?. a) 10
b) 11
c) 13
d) 16
e) N.A
21. Las entradas al cine cuestan adultos S/. 7, niños S/. 3. En una función especial se recaudó S/. 331. ¿Cuántos niños como mínimo pudieron como mínimo pudieron entrar a esta función? a) 40
b) 17
c) 15
d) 22
e) N.A
e) 180
13. Una persona compró con S/.148 aretes y sortijas. Si cada arete costó S/. 13 y cada sortija S/. 16. ¿Cuántos artículos compró en total?. a) 4
c) 12
18. Un granjero compró pavos, patos y pollos. Si cada pavo costó S/. 100, cada pato S/. 50 y cada pollo S/. 5 Si en total compró 100 animales con S/. 1000 ¿Cuántos pollos compró?. a) 50
b) 5
b) 9
e) 20
09. Se desea repartir manzanas equitativamente entre cierto número de niños sobrando tres manzanas; pero si se les da 2 manzanas más a cada uno faltarían 7 manzanas. ¿Cuántos niños son? a) 4
Año
e) 45
08. En una partida de ajedrez hay 120 jugadores; si cada uno jugó una sola vez resultando igual número de ganadores que de empatadores. ¿Cuántas partidas quedaron empatadas? a) 30
2do
22. Un caníbal se demora 13 minutos para comerse un hombre, 9 minutos para comerse una mujer y 5 minutos para un niño. ¿Cuántas personas puede comerse como máximo en 133 minutos?.
e) 12 a) 39
b) 133
c) 17
d) 12
e) N.A
14. Se debe pagar S/. 184 con monedas de S/. 2 y S/. 5 ¿Cuántas monedas como máximo se debe emplear?. a) 87
b) 80
c) 89
d) 91
e) 39
15. Se desea repartir S/. 41 con monedas de S/. 2 y S/. 5. ¿De cuántas formas se puede hacer el reparto? a) 2
b) 4
c) 6
d) 3
e) 5
16. El precio de un conejo es S/. 30 y el de un pato S/. 50. ¿Cuál es el mayor número de animales que se pueden comprar con S/. 1600? a) 50
b) 62
c) 52
d) 80
e) 73
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 01 01.Caperucita roja va por el bosque llevando una cesta con manzanas para su abuelita. Si en el camino la detiene el lobo y le pregunta: ¿Cuántas manzanas llevas en tu cesta? Caperucita responde: “llevo tantas decenas como el número de docenas más uno”. ¿Cuántas manzanas llevaba Caperucita en su cesta? a) 30
b) 6
c) 20
d) 60
17. Se dispone de S/. 100 para comprar 40 estampillas de S/. 1, S/. 4 y S/. 12. Si desea mas comprar aunque sea una sola estampilla de cada valor. ¿Cuántas estampillas de S/. 1 se compraron? S2MA34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
S2MA34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
e) 180
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2do Año Secundaria 45
02.A cierto número par, se le suma los dos números pares que le preceden y los dos impares que le siguen, obteniéndose en total 968 unidades, el producto de los dígitos del número par en referencia es: a) 162
b) 120
c) 36
d) 150
e) 63
03.Una pieza de género tiene 20 metros de longitud. En una segunda compra que hizo, se adquirió los 2/3 del resto que había quedado después de la primera. Sabiendo que las dos compras son iguales, es decir cuántos metros se compraron la primera vez. a) 7
b) 9
c) 15
d) 13
e) 8
04.En 2 oficinas A y B de un Ministerio había en el año de 1942, un cierto número de empleados, en 1943 se aumentaron 5 empleados a A y 6 a B., resultando ésta con el doble número de funcionarios. En 1944 se aumentaron 2 a B y quedaron 4 cesantes en A, resultando esta oficina con la tercera parte de funcionarios que B. ¿Cuántos empleados había en las 2 oficinas en 1942? a) 9
b) 22
c) 31
d) 39
e) 42
05.Averiguando el número de miembros de una familia, un hijo varón responde: “Tengo el doble de hermanos que hermanas”. Pero una hija contestó: “Mis hermanos son el triple de mis hermanas”. El total de miembros de esta familia es: a) 15
b) 13
c) 7
d) 8
e) 4
06.Gasté 5/6 de mi dinero. Si en lugar de gastar los 5/6 hubiese gastado los 3/4 de mi dinero tendría ahora 18 soles más de lo que tengo. ¿Cuánto gasté? a) 115
b) 180
c) 108
d) 112
e) 216
07.Tu tienes la mitad de lo que tenías y tendrás el triple de lo que tienes; si tuvieras lo que tienes, tenías y tendrás; tendrías lo que yo tengo, que es 9 soles más de lo que tú tendrás. ¿Cuántos soles tenemos entre ambos? a) 3 soles
b) 18
c) 9
d) 12
e) 21
08.Se tiene 48 litros de vino distribuidos en tres vasijas A, B y C con objeto de que cada una de ellas tenga igual cantidad, se hace lo siguiente: con parte del vino obtenido en A se doblan los contenidos de B y C; después de esta operación se doblan los contenidos de A y C con vino de B, y por último con vino de C se doblan los contenidos de A y B. ¿Cuántos litros de vino contenía la vasija B? a) 14
b) 26
c) 8
d) 9
e) 29
09. ¿Qué hora es? Si la mitad del tiempo transcurrido desde las 09:00h es igual a la tercera parte del tiempo que falta transcurrir para ser las 19:00 h? a) 12:00h S2MA34B
b) 13:00h
c) 14:00h
d) 13:20h
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
e) 12:30h
46
MATEMÁTICA
2do
Año
10.De dos cajas que contienen lapiceros el segundo contiene el doble que el primero, cuando de ambos se sacan igual número de lapiceros, lo que contiene el segundo es el triple de lo que contiene el primero. Si agregamos 27 lapiceros a lo que quedó en el primero, obtendríamos tantos lapiceros como tenía el 2do al principio. ¿Cuántos lapiceros contenía al principio la primera caja? a) 9
b) 18
c) 27
d) 24
e) 12
11. En 2 habitaciones hay un total de 90 focos de los cuales hay un cierto número de focos prendidos. Luego se prenden tantos focos como el número de focos prendidos excede al de los apagados; resultando el número de focos prendidos el doble de los apagados. ¿Cuántos estaban prendidos inicialmente? a) 50
b) 55
c) 45
d) 60
e) 65
12.En una caja vacía que pesa 50g depositamos 10 esferas rojas, 5 esferas blancas y 2 esferas azules. Se sabe que una esfera blanca pesa 2g más que una roja, una esfera azul, 4g más que una roja y una esfera blanca tiene un peso igual a los 4/5 del peso de una azul. Las esferas del mismo color tienen igual peso. Hallar el peso total, en gramos, de la caja con las esferas en su interior? a) 174
b) 124
c) 155
d) 185
e) 170
13. Se tiene S/.82 en dos grupos de monedas, en uno hay monedas de S/.1 y en el otro de S/.0.50. Si del segundo grupo se pasan al primero 12 monedas, los dos grupos tendrían igual valor. ¿Cuántas monedas habían inicialmente en el primer grupo? a) 94
b) 40
c) 35
d) 20
e) 52
14.Alex concurre al BINGO con S/.450 y cuando está perdiendo con 2/7 de lo que no pierde, apuesta lo que le queda y consigue duplicarlo. Determinar si ganó o perdió y qué cantidad. a) ganó S/.100
b) perdió S/.100
c) perdió S/.250
d) ganó S/.250
e) perdió S/.700
15. El doble de lo que me faltaría para tener lo que tu tendrías, si es que yo te diese S/.5, es igual a 6 veces más de lo que tengo. ¿Cuánto tengo, si tu tienes 3 veces más de lo que yo tengo? a) S/.10
b) S/.20
c) S/.40
d) S/.5
e) S/.50
16. Del dinero que tengo, gasté la cuarta parte de lo que no gasté; de lo que no gasté, perdí la tercera parte de lo que no perdí; y del dinero que me queda pagué la mitad de lo que no pagué. ¿Cuánto debía si lo que no gasté excede en S/.40 a lo que no debía? a) S/.100
b) S/.80
c) S/.70
d) S/.60
e) S/.50
17.Se tiene 48 palitos de fósforos divididos en 3 grupos, del primer grupo se pasan al segundo tantos palitos como hay en éste; luego del segundo grupo se pasan al tercero tantos palitos como éste tiene y lo mismo hizo del tercero al primero, quedando los tres grupos con la misma cantidad de palitos. ¿Cuántos palitos tenía el primer grupo al inicio? a) 22 S2MA34B
b) 14
c) 12
d) 28
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
e) 16
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2do Año Secundaria 45
18. Un sargento luego de una misión piensa: “He perdido los 2/7 de mis hombres, pero, si me enviaran 37 hombres más, el número de los que tenía al principio (antes de la misión) quedaría aumentado en sus 3/8. ¿Cuántos soldados murieron en acción? a) 15
b) 16
c) 37
d) 17 e) 18
19.Al dar una práctica de matemática observé “que fallé tantas preguntas como acerté, pero no contesté tantas como puntaje saqué”. Las prácticas tienen 20 preguntas que se califican así:
46
MATEMÁTICA
2do
Veamos algunos casos para entender los conceptos de algunos términos. CASO 1 : Las edades de los alumnos de primer grado “A” del colegio “Lord Kelvin” son: 11; 10;13;11;13;12;13;10;12;11;14;12;11;12;12;11;12;12;12; y 10 años. Organicemos estos datos en una tabla y luego en un gráfico:
b) 10
c) 16
d) 12
b) 150
c) 130
d) 120
e) 90
INTRODUCCIÓN A LA
fi
10 11 12 13 14
e) 20
20.Un asunto fue sometido a votación de 600 personas y se perdió, habiendo votado de nuevo las mismas personas sobre el mismo asunto fue ganado el caso por el doble de votos por el que se había perdido y la nueva mayoría fue con respecto a la anterior como 8 es a 7. ¿Cuántos cambiaron de opinión? a) 140
Fi
EDAD
- 10 puntos si está bien respondido. - 2 puntos si está mal respondido. - 0 puntos no contestada. ¿Qué puntaje alcance? a) 8 ptos.
3
TABLA Nº 1
Esta tabla se llama “DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS” Gráfico de Barras
Nro. de alumnos
I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Deducir los conceptos de las variables estadísticas. Interpretar los conceptos de Estadística.
10 8
II. PROCEDIMIENTO:
6
A) MOTIVACIÓN : Expresiones como éstas son comunes en la vida diaria: • • • • • • •
El promedio de las edades de los alumnos es 13 años. El más alto de la sección mide 1,56m. Los dueños de la fábrica de ropa donde trabaja mi hermano necesitan saber las preferencias del público para sus nuevos diseños. Las calificaciones de los alumnos del primer grado en Matemática varían entre 12 y 15. El gobierno necesita conocer las necesidades de colegios, postas médicas y carreteras para atender mejor al país. Las estadísticas muestran que Universitario es el favorito ante Alianza Lima. Según las estadísticas el 60% dicen que Alberto Fujimori Fujmori renuncie a la Presidencia de la República del Perú.
B) CONTENIDO TEÓRICO: Todo lo relacionado con la organización de datos se estudia con la ESTADISTICA. Esta ciencia nos ayuda a recopilar, organizar , interpretar la información que estos datos nos proporcionan para luego incluso inferir o llegar a algunas conclusiones. S2MA34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
Año
4 2
10
11
12
13
14
Edad
COMPLETE USTED LO QUE A CONTINUACION SE LE SOLICITA: 01.¿Qué es para Usted la ESTADISTICA?. a) Una ciencia d) Un Técnica
b) Un arte e) Una disciplina.
c) Un deporte
02.¿Qué hace la ESTADISTICA?. .................................................................................................................................... S2MA34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
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2do Año Secundaria 45
46
MATEMÁTICA
2do
....................................................................................................................................
...................................................................................................................................
....................................................................................................................................
...................................................................................................................................
03.¿Para qué nos sirve la ESTADISTICA?. .................................................................................................................................... ................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ....................................................................................................................................
Año
................................................................................................................................... 10.A los alumnos del Colegio “Lord Kelvin” se les llama POBLACION. ¿Qué es POBLACION?. ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................
04.¿Qué es una TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS?. ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... PRACTICA DE CLASE 05. ¿Qué es un GRAFICO DE BARRAS? ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 06.Según la TABLA Nº 01 ; son 5 los alumnos de primero “A” que tienen 11 años, éste dato (5) se llama frecuencia absoluta ( Fi ) ¿Qué es frecuencia absoluta?. ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 07.Según la TABLA Nº 01: Son 3 los alumnos de primero “A” que tienen 10 años, pero el total de alumnos es 20, entonces la expresión 3/20 se llama FRECUENCIA RELATIVA. ¿Qué es FRECUENCIA RELATIVA? ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ...................................................................................................................................
Responda a lo que se le solicita: 01.Según la tabla Nº 1,¿Cuál es la edad más frecuente? ........................................................................................................................... 02. ¿Con qué frecuencia se repite la edad 11 años? ........................................................................................................................... 03. Según la tabla Nº 1, ¿Cuántos alumnos son menores de 12 años? ........................................................................................................................... 04. Según la tabla Nº 1, ¿Cuántos alumnos tienen 12 años o más? ........................................................................................................................... 05. ¿Qué porcentaje de los alumnos tienen 11 años? ........................................................................................................................... 06. ¿Cuál es la frecuencia relativa con la que los alumnos de primer grado tienen 12 años? ...........................................................................................................................
09. En el caso 01 hemos estudiado las edades de los alumnos del primero “A” del colegio “Lord Kelvin”, de acuerdo a ello: A las edades en estudio se le llama VARIABLE ESTADISTICA. ¿Qué es la VARIABLE ESTADISTICA?
07. ¿Cuál es la frecuencia relativa con la que los alumnos de primer grado tienen menos de 13 años?
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...........................................................................................................................
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MATEMÁTICA
2do
Año
08. ¿Cuál es el porcentaje de alumnos de primer grado que tienen 10 años?. ........................................................................................................................... 09. ¿Cuál es el tamaño de la muestra?. ...........................................................................................................................
TAREA DOMICILIARIA 01.¿Cómo averiguaría el tamaño de la muestra? 02. Qué otras variables estadísticas podríamos estudiar de los alumnos del colegio “Lord Kelvin”. Nombre por lo menos 5.
DISTRIBUCION DE I. OBJETIVOS ESPECIFICOS: 1.1 1.2
En una encuesta sobre estudios realizados que se hizo a un grupo de 180 personas se obtuvo los siguientes datos: A. B. C. D. E.
Personas que no saben leer Personas que apenas leen Personas sólo con primaria Personas sólo con secundaria Personas con estudio superior
................... 5 .................. 10 .................. 44 .................. 82 .................. 39
Organicemos estos datos por medio de una tabla de DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS.
RECORDANDO QUE: FRECUENCIA ABSOLUTA: Es el número de elementos de la muestra con el mismo valor. Además se representa por Fi En el caso (01) aparece bajo el nombre de Nº de amigos. FRECUENCIA RELATIVA: Se llama así al cociente de Fi / n y se representa por fi
Elaborar tabla de distribución de frecuencias. Interpretar tablas de distribución de frecuencias.
MUESTRA: Es una parte de la población y se le representa por n . En la TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS, la columna de fi se escribe al lado derecho de la columna de frecuencias absolutas.
II. PROCEDIMIENTOS: A) MOTIVACIÓN:
Manos a la obra:
•
DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS:
• • •
Como tu mismo has podido deducir: La ESTADISTICA es una........................cada vez más importante en la vida diaria. Estoy seguro que más de una vez escuchaste frases como ésta: “No voy al centro de Lima en horas punta para ahorrar tiempo” “Estas son las estadísticas para el primer tiempo: Alianza Lima, disparos al arco once, errados 8 y acertados 3, tiros de esquina, siete”. “Según la encuesta el candidato favorito lleva una ventaja de 20 puntos a su más cercano contendor”
X
Fi
A
5
HI
fi
hi
5/180
B C D
B) CONTENIDO TEÓRICO:
44/180 82
E La ESTADISTICA nos proporciona métodos para: (1) Recopilar Datos. (2) Organizar los datos por medio de tablas y gráficos. (3) Obtener conclusiones de tablas y gráficos, las cuales se transforman en información. (4) Tomar decisiones teniendo como base la información obtenida.
TOTAL CASO 3 Para estudiar el peso de los adultos mayores de 50 años del lugar donde vivo pesamos a 60 de ellos y estos fueron sus pesos en kg.:
CASO 2 S2MA34B
56;68;56;48;60;45;45;56;72;76;56;46;79;80;46; “El nuevo símbolo de una buena educación...”
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78;56;58;60;60;60;72;72;72;72;80;80;80;76;76; 78;78;84;56;58;56;60;68;60;60;60;74;68;67;69; 67;71;71;73;80;56;45;46;56;67;68;68;68;70 y 72. Elabore usted una TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS. Debes tener en cuenta que cuando las variables están muy dispersas, se pueden agrupar los datos en CLASES. Por ejemplo en la primera clase pueden agruparse los pesos de 45 a 50 Kg. la segunda clase de 50 a 55 Kg. y así sucesivamente. Pero ahora te preguntarás y en qué clase incluirás el peso
de 50 Kg. tu que
opinas: ........................................Porqué?, Porque: ................................................................................ ....................................................................................................................................................
46
MATEMÁTICA
2do
Año
¿En cada caso diga usted cuál es la población y cuál es su variable estadística en estudio?. 03. Escojan en su grupo una variable estadística a estudiar en su sección y haga las siguientes anotaciones. Estudiaremos la variable:..........................................................n = ............................... ¿Cómo averiguará sus datos? ....................................................................................................................................... Nuestros datos son:......................................................................................................... Elabore su tabla de distribución de frecuencias. Anote tres conclusiones a la que puede arribar.
PRACTICA DE CLASE
1) .........................................................................................................................................
01. Entre los estudiantes de un colegio averiguamos mediante una encuesta la cantidad de horas que ven televisión.
2) ......................................................................................................................................... 3) .........................................................................................................................................
Las respuestas fueron las siguientes: 2
1
3
4
1
2
2
1
4
3
2
2
3
3
0
2
1
1
0
1
2
3
5
2
1
4
0
1
2
1
4
1
0
3
2.
a) Organizar estos datos en una tabla de distribución de frecuencias donde la variable estadística se llama Nº de horas. b) ¿Cuál es la mayor frecuencia?. c) Anota tres conclusiones a la que puedes arribar.
TAREA DOMICILIARIA 01. La siguiente encuestas da a conocer las notas de 40 alumnos del colegio “ Los Triunfadores”, luego de un examen de Matemática:12-14-12-13-12-12-13-15-13-16-13-17-18-20-20-13-14-15-16-12-1516-17-19-19-13-12-12-13-13-13-13-14-14-14-15-13-14-13-11. Elabora una tabla de distribución de frecuencias y responde: a) ¿Cuál s el tamaño de la muestra?. b) ¿Cuál es la frecuencia relativa del grupo que obtuvo nota 12?. c) ¿Cuántos obtuvieron 16?. d) ¿Cuántos alumnos obtuvieron nota mayor que 16?. e) ¿Qué fracción de alumnos obtuvieron nota 15 ó menos?.
02. Estuvimos investigando algunos asuntos como los siguientes: a) b) c) d) e) S2MA34B
La producción de café de los países del mundo. El estado civil de los profesores del colegio. La edad de los peruanos. El salario de los trabajadores de la empresa HAYDUC. El color de refrigeradoras que se prefiere en Chimbote. “El nuevo símbolo de una buena educación...”
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2do
Hablamos entonces de variable ...............................................................................
I. OBJETIVOS ESPECIFICOS: Diferenciar una variable cualitativa de una cuantitativa. Diferenciar una variable cuantitativa discreta de una variable cuantitativa continua.
Hablamos también de algunas variables tales como: el número de alumnos aprobados en una determinada asignatura, el número de personas que prefieren leer un determinado diario de la capital, el número de viviendas por edificio, el número de amas de casa que prefieren lavar con una determinada marca de detergente; es decir, variables cuantitativas cuyos valores se pueden contar, estas variables son las ............................................. ...................................................................................................................................
II. PROCEDIMIENTOS: A) MOTIVACIÓN Muchas veces la variable en estudio en una determinada investigación son las siguientes:
También podemos formar un grupo de variables así: El diámetro de cada fierro producido por Sider Perú, El peso de cada pan de una panadería, la estatura de los alumnos de un colegio, el peso de los trabajadores de una empresa, la velocidad de los autos, etc. Estas variables sus valores se hallan midiendo, estas variables son las ................................. ...................................................................................................................................
El número de páginas de un cuaderno usado por un alumno. Estado civil en una muestra: casado, viudo, soltero, divorciado, conviviente. El número de hijos por familia. El número de viviendas por edificio. La raza de una persona (blancos, negros, chinos, indios, mestizos, etc. La estatura de un grupo de personas. El diámetro de las varillas de fierro que produce Sider Perú. Las preferencias sobre un determinado deporte: fútbol, voley, natación, tenis, basquetboll.
A continuación se te presenta dos tablas de Distribución de Frecuencia, analiza detenidamente y saca tus conclusiones: TABLA Nº 1 Peso en Kg
Si Usted puede agrupar en variables cualitativas y variables cuantitativas, hágalo:
60 a 65 65 a 70 70 a 75 75 a 80 80 a 85 85 a 90 90 a más Total
Variables Cuantitativas ..................................................................................................... ......................................................................................................................................... Variables Cualitativas: .......................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................
Nº de Adultos
Frec. Relativa
14 28 46 42 25 15 10 180
0,08 0,16 0,26 0,23 0,14 0,08 0,06 1,0
De las variables cuantitativas diga cuales son discretas:...................................................... ..........................................................................................................................................
TABLA Nº 2
B) CONTENIDO TEÓRICO : Analice la siguiente información y complete.
Sexo Masculino Femenino Total
Son aquellas variables estadística que se pueden contar o medir, tales como: Las edades de un grupo de personas, la estatura de algunos niños, el contenido de cada botella de gaseosa, la velocidad de los automóviles, el número de hijos por familia, las notas en un determinado curso en el colegio, la longitud de cada fierro producido por Sider Perú.
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Frecuencia Absoluta 42 82 124
Frecuencia Relativa 0,34 0,66 1
Podemos decir que la TABLA Nº 1 tiene las siguientes características:..........................
Hemos hablado de variable ............................................................................................ Son aquellas variables que no son medibles, debido a que sólo estudiamos la cualidad en sí de los elementos de la muestra, tales como: estado civil, raza, color de piel, preferencias por una S2MA34B
Año
determinada marca de chocolates, preferencia por una determinada programación televisiva, preferencia por algún deporte, etc.
VARIABLES
• • • • • • • •
MATEMÁTICA
.................................................................................................................................... .................................................................................................................................... S2MA34B
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MATEMÁTICA
2do C D TOTAL
Y se usa para las variables .......................................................................................... De la TABLA Nº 2 sus características son: ...................................................................
28 44
....................................................................................................................................
Según esto responde a los siguiente:
Y se usa para variables ...............................................................................................
a) b) c) d)
....................................................................................................................................
La variable estadística ¿es cualitativa o cuantitativa? ¿Cuál es el tamaño de la muestra? La variable estadística , ¿es continua o discreta?. ¿Cuál es la frecuencia relativa para cada una de las variables?
PRACTICA DE CLASE Desarrolle los siguientes planteamientos:
TAREA DOMICILIARIA:
01. ¿Cuáles de las siguientes variables estadísticas son cualitativas?. a) b) c) d) e) f)
Desarrolla los siguiente planteamientos.
El estado civil. Las preferencias del público. El sexo. Estudios realizados por un profesional. Nacionalidad. Población de las provincias de una región en un determinado año.
01. En tu sección , elige dos variable una cuantitativa, otra cualitativa y realiza lo siguiente: 1. Haz una tabla de distribución de frecuencias. 2. Saca tres conclusiones de cada tabla.
02. Agrupe en variables continuas y variables discretas las siguientes: a) La estatura de los alumnos de un colegio. b) El número de hijos de los profesores de un colegio. c) El número de páginas de los libros de una biblioteca. d) Los pesos de un grupo de vacas. e) Las calificaciones de un grupo de alumnos en matemática. f ) El número de goles marcados en cada partido de un campeonato. g) El peso de cada bolsa de un determinado detergente. 03. La figura siguiente muestra una tabla de distribución de frecuencias de las preferencias de lectores de cuatro diarios: a) Número de personas que leen El Comercio. b) Número de personas que leen La Noticia. c) Número de personas que prefieren La Vista. d) Número de personas que prefieren El Crítico.
S2MA34B
Diarios
Fi
A B
72 16
HI
fi
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hi
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Año
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Al averiguar el estado civil entre 300 personas de Breña, se obtuvieron los siguientes datos:
I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
TABLA DE DISTRIBUCIÓN
1.1 Presenta los datos estadísticos mediante los diversos gráficos estadísticos.
ESTADO CIVIL
1.2 Calcula la media, mediana y moda de un grupo de datos estadísticos. II. PROCEDIMIENTOS : A) MOTIVACIÓN ORGANIZACIÓN DE DATOS :
CASADOS
FRECUENCIA ABSOLUTA F 85
FRECUENCIA RELATIVA F 85/300
28%
SOLTEROS
125
125/300
42%
VIUDOS
35
35/300
12%
55
55/300
18%
TOTAL
300
La ESTADÍSTICA es una ciencia cada vez más importante en la vida diaria. Estoy seguro que más de una vez escuchaste frases como ésta :
GRÁFICO DE BARRAS 180 Frecuencia
−
1
TABLA N° 1
“No voy al centro de Lima en Horas punta para ahorrar tiempo” “Estas son las estadísticas para el primer tiempo: Alianza Lima, disparos al arco once , errados 8 y acertados 3, tiros de esquina, siete” “Según la encuesta el candidato favorito lleva una ventaja de 20 puntos a su más cercano contenedor ”. “César es el más alto que el promedio de la clase”
100 75 50 25 Estado Civil
B) CONTENIDO TEÓRICO : La ESTADÍSTICA nos proporciona métodos para :
CASADOS
SOLTEROS
VIUDOS
SEPARADOS
GRÁFICO N° 1
(1) Recopilar Datos (2) Organizar los Datos por medio de tablas y gráficos (3) Obtener conclusiones de tablas y gráficos las cuales se transforman en información. (4) Tomar decisiones teniendo como base la información obtenida.
Estudiemos algunos casos: S2MA34B
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S2MA34B
%
SEPARADOS
ESTADÍSTICA es derivada de la palabra ESTADO. Desde mucho tiempo atrás los gobernantes realizan censos a fin de averiguar la cantidad de habitantes, de viviendas, de centros médicos, etc. a fin de atender mejor a sus gobernados.
−
Año
CASO 1.
ORGANIZACIÓN DE DATOS
− −
2do
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100%
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MATEMÁTICA
2do
Año
En cada uno de los 24 partidos de fútbol de un campeonato se hicieron goles que registramos en la siguiente tabla de distribución :
POLÍGONO DE FRECUENCIAS 150 125 100
N° DE GOLES 0
N° DE PARTIDOS 3
FRECUENCIA RELATIVA 3/24
1
5
5/24
75
2
8
8/24
50
3
5
5/24
4
3
3/24
TOTAL :
24
1
25
Estado Civil CASADOS
SOLTEROS
VIUDOS
SEPARADOS
TABLA N° 2 GRÁFICO N° 2
N° de partidos
8
GRÁFICO DE SECTORES
6 4 2 N° de goles
Para halar los ángulos de cada
1
sector procedemos así : 360° : 300 = 1.2°. luego multiplicamos cada frecuencia absoluta por este resultado.
VIUDOS : 35 X 1.2° = 42°
SOLTEROS : 125 X 1.2° = 150
SEPARADOS : 55X 1.2° = 66°
3
4
GRAFICO N° 4 CASO 3:
Las estaturas en centímetros de 42 alumnos y alumnas son: 160 152 140 156 152 150
GRAFICO N° 3 CASADOS : 85 X 1.2° = 102°
2
158 148 143 148 153 146
155 155 140 142 149 151
158 140 141 156 155 152
156 152 146 152 150 154
154 153 144 142 148 152
158 156 152 144 151 150
En casos como estos una tabla como la TABLA N° 2 sería muy grande, por lo cual es preferible disponer estos datos en una tabla de distribución con INTERVALOS. Para esto procedemos así : RECORRIDO = MAYOR DATO − MENOR DATO
CASO 2: S2MA34B
= 160 − 140 = 20 “El nuevo símbolo de una buena educación...”
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“El nuevo símbolo de una buena educación...”
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MATEMÁTICA
2do N ∑ X| i=1 x= Ν
Este recorrido nos da una idea de cuán extenso debe ser un INTERVALO. Consideremos aquí que los intervalos se escriban de 5 en 5 pero a partir de 1.38 cm, por ejemplo. INTERVALOS
138 − 143 143 − 148 148 − 153 153 − 158 158 − 163
MARCA DE CLASE
FRECUENCIA ABSOLUTA
Xi
Fi
140,5 145,5 150,5 155,5 160,5
6 5 16 11 4
FRECUENCIA ACUMULADA Hi 6 11 27 38 42
Donde el símbolo
N ∑ Xi significa “sumatoria de todos los términos x i desde i = 1 hasta i =|
i = N”. Si se trata de DATOS AGRUPADOS : Vamos a suponer que
x1, x 2 , x 3 ...., x k
∗
No existe regla fija acerca del número de clases que se forman, pero este debe ser ni muy grande ni muy pequeño.
∗
Un INTERVALO se representa por un punto interior que puede ser su punto medio que recibe el nombre de MARCA DE CLASE ( Xi ).
o lo que es lo mismo : k ∑ x iFi i=1 x= Ν
Regresamos al CASO 2; en la TABLA N° 2vamos a reemplazar la columna de FRECUENCIA RELATIVA por x iFI así:
En nuestra TABLA N° 3, el primer intervalo es 138 − 143 y la MARCA DE CLASE es
X| ∗
N° DE GOLES
143 + 138 = 140,5 2
¡ATENCIÓN! Si un dato esta en el limite superior de una clase, lo incluimos en la clase siguiente. Si un intervalo es 143 a 148 y un alumno mide 148 cm. Incluimos este dato en la clase siguiente que va de 148 a 153 cm.
N° DE PARTIDOS F|
x| F|
0 1 2 3 4 TOTAL
3 5 8 5 3 24
0 5 16 15 12 48
5
x| + x 2 + x1 + ... + x N x= N
o lo que es lo mismo :
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x|
Luego la media será:
Es decir :
x =
∑x i =1
N
i
Fi =
48 =2 24
¡CUIDADO!
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
son las
donde F1 + F2 + F3 +.... + Fk es el
x F + x 2 F 2 + x 3 F3 + ... + x k Fk x= 1 1 N
Acerca de la TABLA N° 3 observamos lo siguiente: A los INTERVALOS en los que hemos agrupado los datos. También se les llama CLASES. En ocasiones también se les llama INTERVALOS DE CLASES.
F1, F2 , F3 ...., Fk
frecuencias absolutas de número total de observaciones o datos, entonces la MEDIA ARITMÉTICA se calcula así:
TABLA N° 3
∗
Año
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En una tabla de datos agrupados por intervalos de clase, la media se calcula con esta última formula empleada, solo que aquí x i representa a las MARCAS DE CLASE.
MATEMÁTICA
2do
Año
Está referida a la suma gradual de frecuencias absolutas Ejemplo: En la TABLA N° 3 la tercera frecuencia acumulada se escribe FAi y es igual a 27, es decir:
FAi = F1 + F2 + F3
MEDIDAS DE DISPERCIÓN
27 = 6 + 5 + 16
Estas medidas dan una idea de la forma como los datos están dispersados respecto a las medidas de Los datos agrupados en INTERVALOS DE CLASE se grafican en HISTORIGRAMAS, en este caso, tenemos el siguiente .
tendencia central. Estas medidas son:
HISTORIGRAMA Rango O Recorrido: Es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos.
20 FRECUENCIAS
Desviación: De un valor respecto a la media aritmética, es la diferencia entre ese valor y la media aritmética. Expresa la “separación” respecto a la media aritmética. Desviación Media (DM): Es la media aritmética de los medios absolutos de todas las desviaciones. k ∑ xi − x i=1 DM = N
138
σ =
i
− x)
S2MA34B
153
2
i =1
N
La Frecuencia Acumulada (Hi): “El nuevo símbolo de una buena educación...”
158
163
EN ACCIÓN ... Una máquina produce 200 clavos con los siguientes resultados Longitud en mm Frecuencia De 15,1 a 15,5 15 De 15,6 a 16,0 36 De 16,1 a 16,5 57 De 16,6 a 17,0 61 De 17,1 a 17,5 22 De 17,6 a 18,0 9 (a) Establecer la TABLA DE DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS AGRUPADAS, que incluya MARCAS DE CLASE ( x i ) (b) Dibujar el Histograma correspondiente.
En todas las formulas de medidas de tendencia central y de dispersión, K indica el número de variables diferentes. En la TABLA N° 4 resulta que K = 5 ∗
148
Gráfico N° 5
Desviación Típica (σ) : Es la raíz cuadrada positiva de la varianza. k
143
ESTATURA EN CENTÍMETROS
k ∑ x i2 i=1 σ2 = − x2 N
ó
∑( x
10 5
Varianza ( σ 2 ) Es la media de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media aritmética. 2 k ∑ xi − x i=1 σ2 = N
15
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
46
MATEMÁTICA
2do
Año
02. En el curso de matemática, las notas de los alumnos luego de la última prueba fueron distribuidas en intervalos como se indica a continuación :
Son aquellas que dan idea general de que valor sería el más representativo para el grupo de datos.
Las más usadas son :
INTERVALOS
MODA : Es el valor que corresponde a la mayor frecuencia en un conjunto de datos. En el CASO 1, la moda es de SOLTEROS porque corresponde a la mayor frecuencia 128. En el CASO 2, la moda es de 2 GOLES porque corresponde a la mayor frecuencia 8. En el CASO 3, hablamos de CLASE MODAL que en este caso es 148−153 porque corresponde a la mayor frecuencia 16. aquí la MODA de la MARCA DE CLASE de la CLASE MODAL, es este caso : 150,5.
7
5
9
3
1
6
4
Ordenamos :
1
3
4
5
6
7
9
Mediana :
5
03. El siguiente histograma de frecuencias nos da una información sobre el consumo de tabaco en personas cuyas edades están comprendidas entre 18 y 30 años.
Datos :
12
16
22 13
Ordenamos :
12
13
16
Mediana :
13 + 16 = 14,5 2
N° de personas
22
y se calcula sumando todos los datos y dividiendo por el número de ellos.
Lenguaje : Matemática : Religión : Ciencias Naturales
150 125 100 50
Edades 18
01. Determina la mediana, moda y media aritmética de los siguientes datos que corresponden en las notas de un alumno al final del primer periodo lectivo, en los ocho cursos: 16 18 13 17
2 18 10
(c) Calcula la moda, mediana y media aritmética.
PRACTICA DE CLASE
Historia : Arte : Inglés: Ed. Física
F|
(b) Realiza un diagrama de sectores y un histograma.
FRECUENCIAS ABSOLUTAS
x
X|
FRECUENCIA ACUMULADA Hi
(a) Completa la tabla en las columnas respectivas a las marcas de clase y las frecuencias acumuladas.
¡ATENCIÓN! Si el número de datos es par, se toma el valor medio de los dos centrales. Ejemplo :
MEDIA : Se representa por
FRECUENCIA ABSOLUTA
05 − 10 10 − 15 15 − 20
MEDIANA : Es el valor central de los datos, una ves que los ordenados de menor a mayor. Ejemplo : Datos :
MARCA DE CLASE
21
24
27
30
a) ¿Cuántas personas fueron entrevistadas? b) ¿Cuántas personas, da las entrevistadas, son menores de 24 años? c) ¿Se puede afirmar que la Moda del grupo entrevistado corresponde al intervalo de edades comprendido entre 24 y 27?
15 14 18 11
04. Los siguientes polígonos de frecuencias dan a conocer las preferencias de los lectores de dos ciudades, por 5 revistas : A, B, C, D y E. S2MA34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
S2MA34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
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2do Año Secundaria 45
46
MATEMÁTICA
2do
Sporting Cristal 110°
CIUD AD 1
N° de lectores (miles)
FRECUENCIAS
50
25 20 15
¿Cuántos hinchas de cada equipo se manifestaron? Revistas B
C
D
E
06. La siguiente tabla muestra algunos datos de un estudio estadístico. Complétalos y determina la CLASE MODA.
CIUD AD 2
N° de lectores (miles) 50 FRECUENCIAS
Universitario
130° Alianza Lima
40
A
20 15 10
INTERVALOS
MARCA DE CLASE X|
FRECUENCIA ABSOLUTA F|
150
155
3
FRECUENCIA ACUMULADA Hi
−
5
− −
9 10
−
14
−
17
− − -240
19 26 31
Revistas A
B
C
D
E
TAREA DOMICILIARIA
a) ¿Cuántos lectores fueron entrevistados en la ciudad?
01. En cada uno de los siguientes grupos de datos determina la MEDIANA.
b) ¿Qué revista está de moda en la ciudad 1?
a) 17; 13; 19; 10; 15; 18; 21 b) 20; 10; 8; 17; 15; 11; 13; 19 c) 5; 5; 5; 5; 5; 5 02. Completa la siguiente tabla de distribución de frecuencias :
c) ¿Cuántos lectores se entrevistaron en la ciudad 2?
05. El siguiente gráfico de sectores registra información sobre las preferencias de 7200 aficionados al fútbol, respecto a los tres equipos más populares del balompié peruano. S2MA34B
Año
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
INTERVALOS S2MA34B
MARCA DE CLASE X|
FRECUENCIA ABSOLUTA Hi
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
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2do Año Secundaria 45
46
MATEMÁTICA
7
10− 20− − − −
400 420 40 450 470 500 510 590
F2 = F1 + 5 ; F 3 = F1 + F2 F2 = F3 + 2 y F 5 = F4 − 1
03. El gráfico de barras adjunto muestra las preferencias de los electores por los 5 candidatos a la alcaldía de una ciudad, los cuales son identificados con sus respectivo símbolo. Así mismo se inicia el número de votos inválidos.
a) ¿Cuál es la clase modal? b) ¿A que intervalo de clase pertenece la mediana? EJERCICIOS PROPUESTOS N° 02
a) ¿Cuántos votos se han contabilizado? b) Considerando sólo los votos válidos ¿Qué porcentaje correspondió al candidato ganador?
01. Se pesan 5 niños, en Kg, registrándose la siguiente tabla :
N° de votos (miles)
a) Determina el valor x de la media aritmética. b) Calcula la desviación media DM. c) Calcula la varianza σ 2 d) Calcula la desviación típica σ
53 35
X| -
X| -
( X| -
X
X
X )2
22 15 10
10 12 14 15 17
2
a) Escribe los valores adecuados calculando previamente la media aritmética x. b) Calcula la desviación media. c) Calcula la varianza d) Calcula la desviación típica.
S2MA34B
Candida tos No va lidos
02. El auxiliar de contabilidad de una empresa ha registrado los salarios de un sector de trabajadores, como se indica.
Salarios ($)
Año
X|
25
Sabiendo que todos lo intervalos tienen anchos iguales y que :
Peso X|
2do
X| - X
X| - X
( X| - X ) 2
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
04. Se lanza un dado sobre la mesa. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral de este experimento ? 05. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado sobre una mesa, resulte un número menor que 5 ? 06. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado sobre una mesa, resulte un número menor que 2 ? 07. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un as al extraer una carta de una baraja de 52? 08. En una urna hay 12 bolas del mismo tamaño y hechas del mismo material, de las cuales 5 son de color rojo, 3 blancas y el resto negras. ¿Cuál es la probabilidad de al extraer una resulte negra? S2MA34B
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09. Skanito tiene 4 pares de zapatos del mismo modelo pero de diferentes colores, todos colocados en una caja y en forma desordenada.¿Cuál es la probabilidad de que, a oscuras, pueda extraer un par del mismo color?
46
MATEMÁTICA
2do
1. ¿Se obtendrá al menos un sello? 2. ¿Es muy posible que se obtengan dos caras? B) Contenido Teórico
10. Se lanzan dos monedas, simultáneamente. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral de este experimento?
El lanzamiento de las tres monedas es un experimento aleatorio. Al responder preguntas como (1) y (2) damos lugar a sucesos los cuales pueden tener uno o varios resultados.
11. Se lanzan dos monedas simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?
Veamos otro ejemplo: Lacemos un dado sobre una mesa. Aquí nos podremos preguntar ¿Saldrá el resultado menor que 4°? ¿Saldrá impar? De cada una de estas preguntas surge un suceso.
12. Al lanzar simultáneamente dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos una cara? 13. Se lanzan dos dados simultáneamente y se anotan los resultados. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral de este experimento?
SUCESOS RESULTADOS “menor que” (1, 2, 3 ) “obtener impar” (1, 3, 5) “sacar 3” (3) “tres o mas” (3, 4, 5, 6) TABLA N° 5
14. Al lanzar dos dados simultáneamente, ¿Cuál es la probabilidad de que resulten dos números iguales? 15. En simultaneo se lanzan dos dados sobre la mesa. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos números que sumen más de 9? 16.¿Cual es la probabilidad que al lanzar dos dados simultáneamente, resulten dos números que sumen más de 7?
EN ACCIÓN ... Confecciona una tabla similar a la TABLA N° 5 respondiendo a las siguientes preguntas: ¿Saldrá 6?, ¿Saldrá par?, ¿saldrá 1?, ¿Saldrá mayor o igual que 3?, ¿saldrá 4?
17.¿Cual es la probabilidad que al lanzar dos dados simultáneamente, los números obtenidos tengan por suma 10? 18. Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la suma más probable para los números obtenidos? 19. Sobre una mesa se lanzan simultáneamente un dado y una moneda. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral de este experimento? 20. Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par y cara?
INTRODUCCIÓN A LA I. Objetivos Específicos : 1.1 Interpreta la probabilidad de un Suceso 1.2 Aplica la definición de Probabilidad en la Solución de Situaciones de la Vida cotidiana. II. Procedimientos : A) Motivación Imagina la siguiente situación : Lanzamos sobre una mesa tres monedas e intentamos contestar a las preguntas : S2MA34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
Año
REVISEMOS EL DICCIONARIO : 1. Experimento Aleatorio : Es un experimento en el que no se puede predecir resultado. Decimos entonces que el experimento está sujeto al azar. Ejemplos : ∗ ∗ ∗
tirar un dado lanzar una moneda al aire extraer al azar una bola de una urna donde hay bolas de igual tamaño pero de distintos colores.
2. Espacio Muestral : Es el conjunto de todos los resultados que se obtiene al realizar un experimento. Cada subconjunto del espacio muestral se llama suceso Si este último consta de un solo elemento se llama suceso elemental. Ejemplo : S2MA34B
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Cuando lanzamos un dado, el espacio muestral E es :
46
MATEMÁTICA
2do
Probabilidad de que salga impar
3 = 0,5 6
o también P {1; 3; 5} = 0,5
E = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 } Este espacio muestral tiene 6 sucesos elementales. “Obtener par” es un suceso cuyo resultado es el conjunto {2; 4; 6}
Más ejemplos regresamos a la TABLA N° 5 SUCESO “menor que 4” ó {1; 2; 3}
PROPIEDADES DE LA FRECUENCIA Y DE LA PROBABILIDAD Frecuencia Absoluta y Frecuencia Relativa de un Suceso Digamos que tenemos un experimento aleatorio realizado N veces.
FA
= frecuencia absoluta de A = n
fA
= frecuencia relativa de A =
n N
Propiedad Fundamental Si f (s) es la frecuencia relativa de un suceso S se comprueba que : Ο ≤f( s ) ≤1
Demostración : De la definición de frecuencia resulta que el número de veces que se presenta el suceso S en N pruebas cumple con:
Ο n N ≤ ≤ N N N
3/6 = 0,5 = 50%
“obtener impar” ó {1; 3; 5}
3/6 = 0,5 = 50%
“sacar 3” ó {3}
1/6 = 0,17 = 17%
“tres o más” ó {3; 4; 5; 6}
4/6 = 0,67 = 67%
Regla de Laplace : Cuando los resultados son Equiprobables: p (A) =
ó 0 ≤ f (s) ≤ 1
PROBABILIDAD
Sucesos Equiprobables : Son aquellos que tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Al tirar el dado existen 6 posibilidades de resultado; cada una con p = 1/6
0 ≤n ≤N ; dividiendo todo por N :
Probabilidad de un suceso A
=
N° de resultados favorables a A N° de resultados posibles
Ejemplo : En una urna se tienen 8 bolas numeradas del 8 al 8. todas del mismo peso, tamaño y color. ¿Cuál es la probabilidad de extraer al azar bolas numeradas menores que 6?
Probabilidad de un Suceso (p) : Suceso : “menor que 6” ó {1; 2; 3; 4; 5} Sigamos con el dado. El suceso “salir impar” se verifica al obtener 1 ó 3 ó 5. N° de resultados favorables = 5 N° de resultados posible =8 Probabilidad = p = 5/8 ó p = 0,625
Resultados favorables = 3 Resultados posibles = 6 Entonces esperamos que salga impar 3 de cada 6 veces es decir :
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Año
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La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y1 “El nuevo símbolo de una buena educación...”
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2do
Año
05. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos en el lanzamiento de tres monedas? Si p = 0 suceso imposible; si p = 1 suceso seguro.
06. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 8 al sumar los puntos de las caras superiores al lanzar dos dados? Sugerencia : Una tabal de doble entrada (numeración del 1 al 6 en ambos lados) permitirá conocer el número de casos posibles
Diagrama del Árbol
Veamos un caso, lanzamos dos monedas al aire. Se nos pide calcular la probabilidad de obtener alguna cara. Moneda 1
07. Se lanzan dos dados ¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos 10 en la suma de los puntos de las caras superiores?
Moneda 2 C
C S
C
S
CC CS
“alguna cara”
SC
09. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar una moneda al aire obtenga cara? 10. Se lanza un dado al aire, ¿Qué probabilidad hay que se obtenga 3?
S SS
N° de casos favorables = 3
3 N° de casos posibles p (alguna cara) = 4
PRACTICA DE CLASE 01.Se lanzan dos dados sobre una mesa y se anota el resultado obtenido. Escribir el espacio muestral de este experimento. A demás escribir los sucesos “obtener al menos un 2” y “obtener 7 al sumar los números obtenidos”. ¿Cuál es la suma de los elementos de estos dos últimos subconjuntos? 02. En una bolsa hay dos bolas rojas y cuatro bolas azules. Si extraemos al azar tres bolas, escribir los sucesos “obtener tres bolas de igual color” y “obtener una bola azul”. ¿Cuál es la suma de los elementos de estos subconjuntos? 03. Cuando lanzamos 70 veces un dado se obtuvo seis veces el número 3, cinco veces el número 5, cuatro veces el número 6 y tres veces el número 4. a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta del suceso “obtener número par”? b) ¿Cuál es la frecuencia relativa del suceso “obtener número impar”? c) ¿Cuál es la frecuencia relativa del suceso “obtener número primo”? 04. Si en un salón de clase hay 20 alumnos y 30 alumnas, ¿Cuál es la probabilidad de que al salir un alumno del aula este sea mujer? S2MA34B
08. Se lanzan dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo más 10 al multiplicar los puntos de las caras superiores?
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
11. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado sobre una mesa resulte un número par? 12. ¿Cuál es la probabilidad de que en un baraja de cartas, al extraer una de ellas se obtenga un as? 13. En una caja blanca se tienen 12 bolas negras y 18 azules. ¿Cuál es la probabilidad que al extraer una al azar resulte azul? 14. Una tienda vende únicamente 4 bebidas, ¿Cuál es la probabilidad que el próximo comprador elija una de estas 4 bebidas? 15. En un salón de clase hay 35 alumnos, de los cuales 20 son limeños, ¿Cuál es la probabilidad que al elegir uno al azar resulte no limeño? TAREA DOMICILIARIA 01. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo al lanzar un dado? 02. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras al lanzar al aire dos monedas? 03.Se lanzan dos dados sobre una mesa ¿Cuál es la probabilidad que la diferencia de los puntos sea menor que 3? 04. En una fiesta por cada tres varones habían dos mujeres. A la media noche se retira una persona. ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer? 05. En una urna colocamos 15 bolas, de las cuales 7 son rojas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola que no sea roja al extraer una bola de la urna? S2MA34B
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MATEMÁTICA
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2do
SOLUCIONARIO
06. Se lanza un dado y se desea saber, ¿Cuál es la probabilidad que el número sea compuesto? 07. Se lanzan tres monedas, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 sellos?
CLAVES 01
08. Del problema anterior , ¿Cuál es la probabilidad de obtener solo dos caras?
1. E 2. C 3. B 4. D
09. ¿Cuál es la probabilidad que el producto de puntos sea mayor que 12°? 10. ¿Cuál es la probabilidad que el número de puntos de uno sea divisor del número de puntos del otro ? 11. ¿Cuál es la probabilidad que la suma de los puntos sea múltiplo de 5?
Año
a) x =
01.
9. C 10. A 11. B 12. E
10 + 12 + 14 + 15 + 17 5
12. ¿Cuál es la probabilidad que la suma de los puntos sea un múltiplo de 3?
b) DM = 02.
5. C 6. A 7. B 8. D
10,4 5
13. C 14. B 15. C 16. B
= 13,6.
17.D 18. A 19. A 20. C
Luego :
Xi
Xi −X
( Xi −X )2
10 12 14 15 17 Total =
3,6 1,6 0,4 1,4 3,4 10,4
12,96 2,56 0,16 1,96 11,56 29,2
c) σ 2 =
= 2,08
29,2 5
=5,84
c) σ = 5,84 =2,42
Similar al anterior : a) x =472,5
03.
b) DM =45,625
c) σ2 = 3193,75
d) σ =56,51
a) 2 + 10 + 15 + 22 + 35 + 53 = 137 mil votos. b)
53 135
x 100% =39,2%
CLAVES 02 04 6
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S2MA34B
05 06 07 08 09 2/3 1/3 1/13 1/3 1/4
10 4
11 12 1/2 3/4
13 36
14 1/6
15 1/9
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
16 17 18 5/12 1/12 7
19 12
20 1/4