COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
IV
III. CLASIFICACIÓN POLIGONOS:
POLIGO I.
2 DO Año Secundaria DE
09
10
LOS
Los polígonos s e clasifican según los siguientes criterios.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO IRREGULARES: Son aquellos polígonos que tienen sus ángulos y lados desiguales.
2 DO Año Secundaria 4. El número total de diagonales que pueden trazarse en un polígono es:
B. Por el número de lados:
Dt
DEFINICÓN DE POLIGONOS: Es la porción del plano limitada por una línea poligonal cerrada, las cual recibe el nombre de “Contorno” del polígono. A α1
B2 B
B1
A
α5
α2 B3
α3 C
A. Por la forma de su contorno: Convexo: Son aquellos polígonos que en los que cualquier recta secante determina a lo más, dos puntos de corte. En un polígono convexo, todos los ángulos internos son convexos.
B5
B D
α4
C
B4 D
A
Los elementos de un polígono son: ● LADOS: AB, BC , CD , etc son los segmentos que lo limitan. ● Vértice: (A, B ,C, etc) son la intersecciones de dos lados consecutivos, el número de lados es igual al número de vértices. ● Ángulos interiores: (α1, α2, α3, etc) son los ángulos formados por dos lados consecutivos. ● Ángulos Exteriores: (β1, β2, β3, etc) son los ángulos formados en un vértice por un lado y prolongación de un lado consecutivo. Los ángulos exteriores son adyacentes a los interiores. ● Diagonales: AC , AD , BD , BE, etc son las líneas rectas que unen dos vértices no consecutivos. S2RM34B
III. PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS:
CONCAVO: Son aquellos polígonos en los que una recta secante puede determinar más de dos puntos de corte. En un polígono cóncavo existe sal menos un ángulo interior cóncavo.
II. ELEMENTOS DE UN POLIGONO:
(
E
E
La longitud total del contorno de un polígono recibe el nombre de “perímetro”.
(
Triángulos : 3 lados Cuadriláteros : 4 lados Pentágonos : 5 lados Hexágono : 6 lados Heptágono : 7 lados Octágono : 8 lados Nonágono : 9 lados Decágono : 10 lados Endecagono : 11 lados Dodecágono : 12 lados Pentadecágono : 15 lados Icoságono : 20 lados
)
)
B
F
E
1. El valor de un ángulo interior “α” de un polígono regular de “n” lados es:
α=
2. La suma “Sβ” de los ángulos exteriores de un polígono (convexo o cóncavo) de “n” lados, es igual a 360º.
EQUILATERO: Son aquellos polígonos que tiene todos sus lados iguales. EQUIANGULOS: Son aquellos polígonos que tienen todos sus ángulos iguales. REGULARES: Son aquellos polígonos que tiene sus ángulos y sus lados iguales entre sí. En consecuencia, los polígonos regulares son a la vez: convexos, equiláteros y equiángulos. Todo polígono regular es inscriptible y circunscriptible a una circunferencia.
S β =360 º 3. El número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un polígono es igual al número de lados menos tres.
β=
360 º n
3. La suma de los ángulos centrales de un polígono regular es igual a 360º.
Sθ=360 ° 4. El valor de un ángulo central de un polígono regular es igual a:
θ=
360 ° n
PRACTICA DE CLASE 01. ¿En qué polígono de diagonales es igual al número de lados.? a) hexágono b) Pentágono c) octágono d) cuadrilátero e) triangulo
d=n–3 S2RM34B
180 (n − 2) n
2. El valor del ángulo exterior “β” de un polígono regular de “n” lados es:
Sα=180 (n − 2)
D
C
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) Propiedades de los polígonos regulares.
a) Propiedades generales de los polígonos: 1. La suma “Sα” de los ángulos interiores de un polígono (convexo y cóncavo) de “n” lados, es igual a tantas veces un ángulo llano como lados menos dos tiene el polígono.
n(n − 3) 2
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 02. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un polígono regular de 18 lados? a) 138° d) 118°
b) 160° e) 145°
c) 120
03. ¿Cuántos lados tiene aquel polígono convexo en el cual, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 5 veces la suma de las medidas de los ∠s , exteriores? a) 10 d) 5
b) 11 e) 6
c) 12
04. La suma de las medidas de los ángulos internos de cierto polígono regular excede a la suma de los ∠s externos en 900° ¿Cuántos lados tiene el polígono? a) 16 d) 12
b) 18 e) 5
c) 9
05. El número de diagonales de un polígono regular, es igual a la suma del número de ángulos centrales. Hallar el número de lados de dicho polígono. a) 5 d) 12
b) 6 e) 15
c) 9
06. En un polígono regular se cumple que la suma de las medidas de un ángulo central, un ángulo exterior y un ángulo interior es 210°. Calcular el número total de diagonales.. a) 48 d) 54
b) 50 e) 56
c) 52
07. En un polígono regular la suma de las medidas de sus ángulos internos más la suma de las medidas de sus ángulos centrales es 1260°. Calcular el número de vértices. a) 9 d) 5
b) 12 e) 6
c) 4
08. En un heptágono, tres de sus ángulos interiores miden 120° cada uno- Calcular la medida de los otros cuatro ángulos sabiendo que son congruentes. S2RM34B
2 DO Año Secundaria a) 130| d) 135°
b) 120° e) 155°
09
c) 115°
09. Si la medida del ángulo central de un polígono regular es numéricamente igual al número de diagonales de un octágono. Calcular la medida del ángulo interior del polígono. a) 120° d) 160°
b) 150° e) 80°
c) 60°
10. ¿Cuál es el polígono regular en el cual al aumentar en 3 su número de lados, la medida de su ángulo exterior disminuye en 27? a) 6 d) 6
b) 4 c) 5 e) 7
11. ¿Cuál es el polígono convexo en el que al duplicarse el número de lados la suma de los ángulos internos se cuadruplica? a) triángulo b) cuadrado c) heptágono d) Hexágono e) Eneágono 12. La diferencia de los ángulos interiores de los polígonos regulares es 15°. Hallar en cuanto difieren sus ángulos centrales. a) 20° d) 15°
b) 50° e) 60°
c) 30°
13. Calcular el número de lados de un polígono si desde 3 vértices consecutivos se trazan 140 diagonales. a) 25 lados d) 55 lados
b) 70 lados e) 75 lados
c) 50 lados
14. La diferencia entre el número de lados de dos polígonos regulares es 2; y los ángulos centrales difieren en 15°. ¿Cuántos lados tiene el polígono de mayor número de lados? a) 6 d) 9
b) 7 b) 8 e) 10
15. Se tiene 2 polígonos regulares en donde el número de diagonales difieren en 4 y sus ángulos exteriores están en la relación de 5 a
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
10
2 DO Año Secundaria
6. Hallar el número de lados del polígono mayor.
consecutivos, expresados en grados sexagesimales. Hallar la medida menor.
a) 5 d) 8
a) 108° d) 106°
b) 6 c) 7 e) 11
EJECICIOS PROPUESTOS N° 01 01. El número de diagonales de un polígono convexo es el doble que su número de lados. Calcular la suma de sus ángulos internos. a) 540° d) 1080°
b) 720° e) 1360°
c) 900°
02. ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo en el que si su número de lados aumenta en 8 su número de diagonales aumenta en 52? a) 45 b) 6 c) 12 d) 14 e) 8 03. ¿Cuántos lados tiene el polígono que tiene 119 diagonales? a) 12 d) 18
b) 15 e) 19
c) 17
04. El número de lados de un polígono es igual a la mitad del número de diagonales. ¿Cuál es el número de lados? a) 5 d) 8
05. ¿En que polígono, el número de diagonales es igual al número de lados? a) Hexágono c) Octágono e) N.a
b) Pentágono d) Cuadrilátero
06. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un polígono de 18 lados? a) 120° d) 145°
b) 160° e) 138°
c) 118°
07. Los ángulos internos de un pentágono convexo tiene por medidas números S2RM34B
c) 107°
08. Hallar el número de diagonales de un decágono. a) 24 b) 32 c) 42 d) 36 e) 35 09. Hallar el número de diagonales de un polígono convexo cuyo ángulo interiores suman 900° a) 11 d) 14
b) 12 e) 15
c) 13
10. Hallar el número de lados de un polígono sabiendo que la suma de sus ángulos internos y externos es 3960°. a) 21 d) 24
b) 22 e) 25
c) 23
11. Calcular la suma de ángulos internos de aquel polígonos que tiene tantas diagonales como números de lados. a) 540° d) 720°
b) 6 c) 7 e) 9
b) 105° e) 109°
b) 480° e) 700°
c) 610°
12. ¿Cuál es el polígono convexo en que el número de lados es igual a 1/3 del número de diagonales? a) 9 d) 12
b) 8 e) N.a
c) 7
13. ¿Cuál es el polígono convexo sabiendo que su número de diagonales es el triple del número de lados? a) 12 d) 10
b) 9 e) N.a
c) 85
14. ¿Cuál es el polígono convexo sabiendo que el número de lados y el número de diagonales están en la relación de 2 a 25?
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) Polig. 28 lados c) Polig. 28 lados e) N.a
b) Icoságono d) Decágono
2 DO Año Secundaria
original ¿Cuántos lados tiene el polígono original? a) 25 b) 27 c) 20 d) 16 e) 30
15.¿Cuál es el polígono convexo, sabiendo q ue la suma del número de lados más el número de diagonales es igual a 91? I. a) Polígono de 14 lados b) Polígono de 18 lados c) Polígono de 16 lados d) Polígono de 26 lados e) N.a.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
10
09
2 DO Año Secundaria
EL TRIANGULO, ELEMENTOS, CLASIFICACIONES, LINEAS NOTABLES DEFINICIÓN:
III. CLASIFICACIÓN: Los triángulos se clasifican atendiendo a sus lados y a sus ángulos. A. Según sus lados: Equilátero: son los triángulos que tiene sus tres lados congruentes. Isósceles: Son los triángulos que tiene dos lados congruentes. El lado desigual se llama base. Escaleno: Son los triángulos que tienen sus tres lados desiguales.
Se denomina triángulo a una región del campo plano limita por tres rectas que se cortan dos a dos. B α2
B2
TAREA DOMICILIARIA 01. En un polígono rectangular, el doble del número de diagonales es el quíntuplo del número de lados. La medida de si ángulo interno es: a) 115° d) 130°
b) 120° e) 135°
c) 125°
02. ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo en que el número de diagonales es mayor en 133 al número de lados? a) 19 d) 24
b) 23 e) 5
c) 16
03. La suma de los ángulos de cierto polígonos regular excede a la suma de los ángulos externos en 900° ¿Cuántos lados tiene le polígono? a) 16 d) 12
b) 18 e) 5
c) 9
04. ¿En que polígonos se cumple que el número de sus diagonales excede al número de sus vértices en 7? (Dar el número de lados). a) 7 b) 8 c) 9 d) 11 e) 13 05. Si el número de lados de un polígono regular aumenta en 10, cada ángulo del nuevo polígono es 3° mayor que cada ángulo del S2RM34B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
A
B1
α1
α3
C B3
En general el triángulo se denota como: ∆ABC.
Son los componentes fundamentales de un triangulo son: sus tres lados y sus tres ángulos. Además de estos componentes fundamentales mencionaremos los siguientes:
Los elementos de un triangulo son : ● Vértice: Son los extremos comunes A, B, C de los segmentos rectilíneos que forman el triangulo ABC. ● Lados: Son los segmentos AB, BC y AC limitados por los vértices A, B, C. ● Ángulos interiores: ( α1 , α2 , α3 ) son
2p = AB + BC + CA S2RM34B
escaleno
IV. COMPONENTES DE UN TRIANGULO:
II. ELEMENTOS:
los ángulos formados por los lados y el vértice común. ● Angulo Exteriores: Son los ángulos que se forman mediante un lado, un vértice y la prolongación del lado adyacente ( β1 , β2 , β3 ). Perímetro: Se denomina perímetro de un triángulo a la suma de las longitudes de sus tres lados. El perímetro se denota por el símbolo “2p”. Asi:
isósceles
equilátero
ALTURAS: De un triangulo son los segmentos de perpendicular trazos de cada vértice a la recta que contiene el lado opuesto. A
A R
Q
Q P
O B
P Triàngulo acutàngulo
En
Triàngulo obtusoàngulo
la
C
C
B R
O
figura:
las
alturas
son
AP , BQ y CR ;
a la altura AP se le llama altura donde A o altura correspondientes a lado BC; en forma similar se denominan a las alturas trazadas desde los otros vértices. Las tres alturas de un
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
2 DO Año Secundaria B
triángulo o sus prolongaciones se cortan en un punto, llamado ortocentro. S
MEDIDAS: De un triangulo son los segmentos que tiene por extremos un vértice y el punto medio del lado opuesto.
Q
E
R
Q
R
C
B
P Triángulo acutángulo
C
Punto I : Incentro
β β
A
C
P
θ θ
S
MEDIATRIZ: De un triángulo es la perpendicular trazada en el punto medio de cada lado. Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado. Circuncentro. Propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo: En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos internos es igual a 180º.
a) VVV d) VFF
b) FVV e) FFF
a) 11º d) 10º
c) FVF
02. De las afirmaciones ¿Cuáles son verdaderas y cuales falsas?
a) 60º d) 90º
10º
b) 16º e) 9º
b) FVF e) N.a
c) VFV
03. Señalar el lado mayor del triángulo PQR mostrado. Q
B
64º
a) PQ d) F.D
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
48º
b) QR e) N.a
R
c) PR
c) 80º
09. Un triángulo tiene por los lados 3 y 7 cm, si el tercer lado del triángulo mide el triple de uno de ellos, hallar el perímetro del triángulo. b) 19cm e) F.D
c) 30 cm
10. La suma y diferencia de dos ángulos de un triángulo son 100º y 40º respectivamente. Hallar el tercer ángulo de dicho triángulo.
70º
3x
A
b) 40º e) 50º
a) 31cm d) 31 ó 19cm
40º+2x
C
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 06. En la figura que se muestra. Calcular “α“:
a) 30º d) 70º
b) 90º e) N.a
c) 80º
ˆ + ˆ y: 11. Hallar x
65º
50º
y
B 70º
80º 60º
x a) 115º d) 145º
A
120º
α
a) 20º d) 60º
C
b) 50º e) 80º
07. 1. Ángulos iguales 2. Ángulos diferentes 3. Dos Ángulos iguales
68º
P
c) 15º
05. En la figura hallar
a) Triangulo acutángulo: si sus lados tres ángulos interiores son agudos. b) Triángulo obtusángulo: si tiene ángulo obtuso. c) Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo recto.
04. Hallar “θ“.
S2RM34B
120º
6θ
B
A S
01. De las siguientes afirmaciones, marca con una “V” lo verdadero y con una “F” lo falso. I) Triángulo escaleno: lados diferentes longitudes. II) Triángulo Isósceles: si sus tres lados son de igual longitud. III) Triángulo Equilátero: si tiene dos lados de igual longitud.
a) VVV d) FFV
I Q
Q
PRACTICA DE CLASE
BISECTRIZ: De un triángulo es la bisectriz de cada uno de sus ángulos. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un llamado Incentro.
α α
Calcular el menor de los ángulos interno de dicho triángulo.
5θ
P
Q
O
En la figura: AP , BQ y CR son las medianas del triángulo SBC ∴ R, P y Q son los respectivos puntos medios de los AB , BC y AC . lados Las tres medianas de un ángulo se cortan en un punto llamado baricentro.
P
2 DO Año Secundaria
Punto E: Circuncentro
O B P Triángulo obtusángulo
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
10
C
E
A
A
09
b) 103º e) 95º
c) 105º
ˆ + ˆ y: 12. Hallar x
c) 30º
50º
a) isósceles b) equilátero c) escaleno
x
y
Marca la alternativa correcta: a) 1b,2c,3a d) 1a,2b,3c
b) 1c,2b,3a e) 1c,2a,3b
c) 1b,2a,3a
08. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo están en la porción de 4, 6 y 8. S2RM34B
a) 60º d) 50º
b) 40º e) 30º
c) 55º
13. Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados miden 5cm y 12cm. ¿Cuál es el perímetro del triángulo?
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 22cm d) F.D
b) 22 ó 29cm c) 29cm e) N.a
14. En
la
15. En
la
2 DO Año Secundaria
09
figura,
hallar
10
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO B
ˆ P ; si el P Q ˆ R= HQ 120 º
130°
PQ = QR. Hallar α + β
a) 60° d) 30°
α
40º
P a) 40º d) 60º
β R
a) 120º d) 60º
b) 90º e) 180º
c) 30º
H b) 80º e) 75º
R
c) 70º
PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 02 01. Calcular la medida del tercer ángulo de un triángulo ABC, si las medidas de los otros dos son: A = 58°40’15” B = 35°10’20” a) 80°40’15” c) 84°20’15” e) N.a..
b) 86°10’15” d) 86°10’45”
b) 20° e) 48°
a) 40°20’ d) 42°32’
b) 40°22’ e) N.a..
a) 40° d) 30°
b) 60° e) 20°
a) 40° d) 80°
b) 30° e) N.a..
c) 50°
04. En un triángulo ABC, el ángulo B es el doble del ángulo A y el ángulo C es igual a la suma de A+B. ¿Cuánto mide el ángulo menor? a) 30° b) 40° c) 20° d) 50 e) N.a.. 05. En la figura cuanto mide el ángulo C, sabiendo que el triángulo es isósceles. “El nuevo símbolo de una buena educación....”
c) 50°
07. La suma de las medidas de los ángulos B y C de un triángulo ABC es 105°. Si la medida del ángulo A excede a la del ángulo C en 40. ¿Cuál es la medida del ángulo B? a) 40° d) 70°
b) 50° e) N.a..
c) 60°
a) 3 y 5 d) 10 y 18
b) 20 y 45 e) N.a..
c) 27 y 45
14. la medida de dos ángulos internos son 38° y 63°. ¿Cuánto mide el tercer ángulo interno? a) 69° d) 81°
b) 70° e) 29°
c) 79°
15. Los ángulos internos de un triángulo son proporcionales a 2, 4 y 6. ¿Cuáles con sus medidas? a) 30°, 60°, 90° c) 50°, 50°, 80° e) N.a.
b) 40°, 50°, 90° d) 20°, 40°, 60°
TAREA DOMICILIARIA
08. Hallar “x” en al siguiente figura: 01. Hallar
B
ˆ , si AB =BC x
B 2x+10°
c) 42°22’
03. Si la medida de uno de los ángulos de un triángulo rectángulo es 4/5 de la medida del otro.¿Cuánto mide el ángulo menor?
c) 25°
06. En un triángulo ABC, el ángulo A es la mitad del ángulo B y el ángulo C es los 2/3 del ángulo A. ¿Cuánto mide al ángulo C?
02. Si uno de los ángulos agudos de un triángulo mide 47°38’. Calcule el otro ángulo.
S2RM34B
13. El perímetro de un triángulo es 96 cm, si un lado mide 24 cm y lo otros están en la relación de 3 es a 5. ¿Cuánto mide cada uno de estos lados?
C
A
P
Q
12. AB =10cm; BC =8cm; AC =2cm
Q
figura:
2 DO Año Secundaria
A
a) 10° d) 40°
2x-10°
b) 20° e) 50°
xº 2x
C
c) 30°
09.En los siguientes grupos de medidas indicar las que pertenecen a los lados de un triángulo 7 cm; 12 cm; 4 cm En el triángulo ABC, dadas las medidas de sus lados, señala sus ángulos mayor, medio y menor
A
55º
a) 90º d) 80º ˆ +n ˆ 02. Hallar m
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b) 60 e) 75º
c) 70º
70º
50º m
10. AB =10cm; BC =6cm; AC =8cm 11. AB =12cm; BC =6cm; AC =10cm S2RM34B
C
120º
20º
n
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 100º d) 180º
b) 101º e) N.a
c) 99º
03. Hallar β:
60º
2 DO Año Secundaria
09
PROPIEDADES FUNDAMENTALES EN EL TRIANGULO, ANGULO POR LINEAS 1. FORMADOS Suma de los Ángulos interiores:
B αº a
c A
C
b
xº A xº = 90º +
c) 14º
b) 120º e) 110º
b) 21cm e) N.a
C
xº
θº
a
c
A zº
θº
φº
αº
A φº
αº
xº
C
si: b > a > c
xº 5. “P” un punto interior cualquiera: B
A
a
c
θº
C xº = θ/2
A
xº
φº
b
C
si: p < x + y + z <(2p) donde (2p) : perímetro p : semiperímetro
ANGULOS FORMADOS POR LINEAS NOTABLES S2RM34B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
E
B
θº > αº > φº
COROLARIO: Propiedad del cuadrilátero cóncavo.
αº
θº/2
3. Por bisectriz, y exterior
y° C
xº = θº+ φº y° = αº+ θº zº = αº+ φº
c) 42cm
θº xº = 90º -
C
b
A
E
B
B
2. Medida de un ángulo exterior:
c) 140º
05. Dado un triángulo isósceles cuyos lados miden 8cm y 17cm. Hallar el semiperímetro del triángulo. a) 33cm d) 43cm ó 42cm
φº αº + θº + φº = 180º
04. La suma de dos ángulos de un triángulo ABC es 140º y su diferencia es 20º. Hallar el menor ángulo externo de dicho triángulo. a) 100º d) 130
αº
A
αº /2
2. Por bisectrices exteriores.
4. Relación de lado – Angulo b) 18º e) 10º
C
b-a<a<b+c a-c<b<a+c b-a<c<b+a
2β
a) 16º d) 26º
1. Por dos bisectrices interiores.
B
θº
7β
2 DO Año Secundaria
3. Desigualdad de longitudes de sus lados.
B
20º
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
10
S2RM34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4. Por una altura y bisectriz
2 DO Año Secundaria
09
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
10
7. Ang. Formado por una bisectriz y lado opuesto.
B
2 DO Año Secundaria PRACTICA DE CLASE
B
01. 1. Angulo < 90º 2. Angulo = 90º 3. Angulo > 90º
θº
B
Marca la alternativa correcta:
xº
xº A
A
αº
θº
A
αº
mº
nº
θº
xº =2 θ º
C
αº - θ º = mº - nº
º º xº = α - θ 2
a) 30º d) 19º
C x°
B
D θ°
α°
θº
xº A
C
A
αº
θº H
φº
M
A C
6. Por dos mediatrices
R
P
a) 40º d) 45º 04. En la figura β+θ+ γ .
b) 30º e) N.a
c) 35º
que se muestra. Calcular
B
αº
B
θº
120º
B
B
.
Q
E
x° = ( α°+ θ° ) /2
9. Por un bisectriz y mediana. (Triángulo rectángulo)
PQ = PR
c) 20º
xº
12. Ang. Formado por Bisectrices.
xº = ১ - θº
c) 1c,2a,3b
b) 18º e) 28º
03. Calcular x ˆ . Si
B
B
b) 1b,3c,2a e) N.a
ˆ = 3x+20; 02. En un triángulo se sabe que: A ˆ = 4x – 20. Hallar x ˆ = 2x; C ˆ . B
11. Ang. Formado por 2 Bisectrices
8. Por una altura y mediana (Triángulo rectángulo)
5. Por dos alturas
a) 1a,2b,3c d) 1b,2a,3c
C
D
D
H
xº =180º -
a. Recto b. Acutángulo c. Obtusángulo
θ
xº
xº
xº
A A
C xº =180º -
θº
A
১
θº D
M
xº = ( α+º θ )/2 º
C
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
C
β A
γ
C
a) 180° b) 120° c) 360° d) 540° e) 720° 05. En la figura mostrada, calcular “x”:
xº = (αº- θ º) 2 10. Propiedad de la mediatriz S2RM34B
θº
S2RM34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
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2 DO Año Secundaria
09
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
10
2 DO Año Secundaria
11. en la figura que se muestra, Calcular “x”.
70º
α
θ
40º
50º x
a) 40° d) 60°
b) 45° e) 70°
c) 50°
a) 160° d) 200°
b) 180° e) 150°
D
c) 190°
60º
x
a) 160° d) 200°
b) 180° e) 210°
a) 100° d) 95°
12. En
ˆ +ˆy . 15. En la figura, hallar x
c) 200°
la
A b) 10° e) 40°
a) 100° d) 130°
b) 110° e) 140°
α
B
D
C b) 54° e) N.a
B a) 108° d) 90°
E
AC =BC
a) 15 d) 8
, Calcular “x.
b) 16 e) N.a
c) 13
02.En la figura, calcular el valor de “x” sabiendo que BP es bisectriz del ángulo ABC y ∠APB - ∠BPC =18°.
c) 70°
xº C
x A
a) 20° d) 36°
b) 18° e) N.a
14. En la figura, hallar “x”. “El nuevo símbolo de una buena educación....”
c) 251°
B
A
08. En la figura, calcular “δ + θ”
b) 250° e) N.a.
C
b) 60° e) 90°
β β β
01. La suma de los lados de un triángulo son: a+b =29; b+c= 21 y a+c = 24. ¿Cuánto mide el lado menor del triángulo?
D c) 72°
B
50º
a) 50° d) 80°
y
PROBLEMAS PROPUESTOS N° 03
yº
13. En la figura
c) 30°
α α α a) 249° d) 252°
x
b) 20° e) 50°
A
c) 120°
10. Hallar “x”:
80º
x
C
A
c) 20°
07. En le grafico mostrado, calcular “α”:
xº
xº
C
69º
figura:
entonces “x” mide:
α 40º
c) 90°
ˆ = y 36 º ; AB = AC = CD ,
60º
50º
S2RM34B
b) 80° e) 120°
B
60º
β
xº
09. En la figura mostrada, Hallar “x”:
B
a) 5° d) 30°
β
60º
δ
40º
30º
06. En la figura mostrada, calcular “α”:
a) 10° d) 40°
α
30º
S2RM34B
c) 23°
P
C
Q
a) 5° b) 8° c) 9° d) 4° e) N.a 03.Determinar el valor de “x” sabiendo que el MON es equilátero.
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
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09
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
10
2 DO Año Secundaria
B 6
5 β
β
x
O
xº x
x β
a)5<x<6 d)0<x<10 M
a) 75° d) 40°
b)25<x<36 e)N.a
c) 50°
b) 16 e) N.a
c) 13
a) 5,10 y 13 c) 5,12 y 11 c) N.a
b) 8,12 y 8 d) 4,10 y 14
a) 32° d) 74°
03. Hallar “x” en la figura, si
b)80° e)N.a
b) 148° e) N.a.
c) 16°
01. En la figura, hallar ˆ B, si el AB ˆ C HA
a)20° d)40°
A
D
α
b)18° e)60°
a) 100° d) 130°
b) 110° e) N.a
64°
30º C
H
α
b) 30° e) 50
3α
c) 80° a) 93° d) 37°
02. Si el triangulo ABC es equilátero. Hallar “x”. 10.Hallar “x”: S2RM34B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
c) 120°
α
c)15°
S2RM34B
C
c) 23°
05. Hallar “x” en la figura:
a) 70° d) 60°
07.Hallar entre qué valores está “x”:
xº
A
= 140°
80° φ
AC = BC
a) 20° b) 18° d) 36° e) N.a 04. En la figura, calcular (x°+y°)
TAREA DOMICILIARIO
c)50°
x
φ
c) 70°
E
C
09. Hallar “x”:
06.El perímetro de un triángulo mide 28. Calcular la medida de sus lados sabiendo que el lado mayor excede al intermedio en 3 y éste excede al menor en 5.
c)50°
b) 60° e) 90°
B
x
a)25° d)40°
b)80° e)75°
a) 50° d) 80°
15.En un triángulo ABC se toman sobre AB un punto M, sobre AC, P y sobre BC, N tale que: AM=MP y PN=NC. Sí ABC = 32. Hallar: ˆN MP
b) 28, 92 y 30 d) 29, 30 y 31
05. La suma de los lados de un triángulo son: a+b =29; b+c= 21 y a+c = 24. ¿Cuánto mide el lado menor del triángulo? a) 15 d) 8
a)25° d)40°
80
A
C
A 50°
B
04. El perímetro de un triángulo mide 90. Calcular la medida de sus lados sabiendo que son 3 números enteros consecutivos. a) 25, 26 y 27 c) 30, 31 y 32 c) N.a
c)1<x<11
08.Hallar “x” AB = BC
N
b) 30° e) N.a
10º
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
x°
β 3β
b) 103 e) N.a
c) 64°
.
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10
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
SOLUCIONARIO Nº
Ejercicios Propuestos 01
02
03
01.
C
B
C
02.
A
C
C
03.
C
A
B
04.
C
A
D
05.
D
C
D
06.
B
B
A
07.
B
D
C
08.
E
C
D
09.
D
D
A
10.
B
C
C
11.
A
D
A
12.
A
B
C
13.
B
E
D
14.
C
B
C
15.
A
B
A
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003
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