Razonamiento matematico 2º 2b by juan guerrero

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN MATEMÁTICO

2do. Año Secundaria 21 2do. Año Secundaria

"n" y "n + 1" son PESI B. Dos números impares consecutivos también son PESI.

Donde: Dp = (N) : divisores propios D (N) : divisores de N

⇒ 6 posee 4 divisores: 1, 2, 3 y 6 ∴ 6 es Nro compuesto.

Criterio para reconocer si un número entero es primo.

Ejemplo:

Números primos relativos o primos entre si (PESI) Son dos o más números que tiene como único divisor común a la unidad.

Para saber si un número dado es primo o no, se deben seguir los siguientes pasos:

4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; ....        

TEORÍA DE LOS

Números

Número Primo: Es aquel número que tiene únicamente 2 divisores: el mismo y la unidad. Nro. Primo 2 3 5

Divisores Unicos 1 y 2 1 y 3 1 y 5



No existe fórmula para hallar todos los números primos. La serie de los números primos es ilimitada, es decir que por más grande que sea un número primo, siempre hay otro número primo mayor. Si "P" es un número mayor que 2. ° 4 = ± 1

Si "P" es un número primo mayor que 3. P

1 ; 2; 5; 10

1 ; 3; 7; 21

Números primos entre si dos a dos (PESI) 2 a 2) Un conjunto de números resultará ser PESI 2 a 2 si precisamente al tomarlos en pareja resultan ser primos entre sí. Ejemplo: ¿Son 8; 9 y 25 PESI 2 a 2?

∴ 10 y 21 son PESI

Propiedades:

Divisores

= Divisor común.

Tabla de Números Primos Menores que 100

Número

1 y P

P : número primo.

Compuestos

Ejemplo:



° = 6 ± 1

 8 y 9 son PESI   8 y 25 son PESI  9 y 25 son PESI  ∴ 8; 9; 25 son PESI dos a dos. Nota: A. Dos números enteros consecutivos siempre son PESI.

Número simple:

RAZONAMIENTO

a. b. c.

Extraer la raíz cuadrada, aproximadamente por defecto. Enumerar los números primos menores a esta aproximación. Aplicar las condiciones de divisibilidad del número por cada uno de estos números primos.

Si en ninguno de los casos es divisible, se dice que el número es primo. Ejemplo: ¿Es 853 número primo?

853 ≅ 29 , . . . a) b) Los números primos menores que: 29 son: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29

c) Concluimos que 853 es un número primo porque no es divisible con los números anteriores.

Número compuesto.- Es aquel número que tiene más d e2 divisores. Ejemplo:

S2RM32B

Divisor Se denomina divisor de un número a cualquier valor que lo divide exactamente mediante una división entera. Observación: Sea N un número entero, si "d" es un divisor de N entonces: < d

≤ N

1 ; 2; 4; 8; 16

Observación:

1 ; 17

Divisor Propio: Es todo aquel divisor de N, menos que dicho número.

16 y 17 son PESI Ejemplo 2: si "n" es número entero.

“ El nuevo símbolo de una buena educación…”

D propios : 1; 2; 3 Regla para determinar los divisores de un número a) Se descompone el número en factores primos. b) Se escribe el 1 (que es divisor de todo número) y a continuación se pone las diversas potencias del primer factor primo.

d) Se multiplica todos los factores hallados anteriormente por las diferentes potencias del tercer factor y así sucesivamente. El último divisor hallado al formar éstos productos es el número dado.

DIVISORES DE UN NÚMERO

Divisores

Tabla de divisores de 240

Ejemplo 1

Números Pr imos

1, 2, 3, 6   

c) Se multiplica los divisores hallados por las diferentes potencias del segundo factor primo.

Solución:

1, 2, 3, 5, .......... .       

6→

D p (N ) = D(N) − 1

120

240

Ejemplo: Analizar y clasificar los divisores de 24.

Divisores de La unidad Divisores Primos (Dp) Divisores

S2RM32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

Compuestos

24 1 2 3 4

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN MATEMÁTICO Bβ Cθ

6 8 12 24

(Dp)

2do. Año Secundaria 21 2do. Año Secundaria 1; B; B2; B3; ... ; 1; C; C2; C3; ... ; Cθ

(β + 1) (θ + 1)

Por el principio de combinaciones:

D24 = 1 + DP + DC = 1 + 2 + 5 = 8

D (N ) =(α + 1) (β+ 1) (θ+ 1)

PROBLEMAS RESUELTOS D (N ) =D P +D C +1

01. Calcular los divisores de 240.

DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA (Teorema fundamental de la Aritmética o Teorema de Gauss) Todo número entero mayor que uno (compuesto) se puede descomponer como el producto de sus factores primos elevados a exponente enteros positivos, dicha descomposición es única. Sea "N" el número compuesto. = Aα × B β× Cθ

→ Factores primos → Exponentes (números positivos)

A, B, C α, β, θ

enteros

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO I.

Cantidad de divisores [D(N)] El número total de divisores de un número es igual producto de los exponente sd e los factores primos aumentados en 1. D (N ) =(α + 1) (β+ 1) (θ+ 1)

Ejemplo: 720 = 24 × 32 × 51 D(720) = (4 +1) (2 + 1) (1 + 1) D(720) = 5 × 3 × 2 = 30 Observación: Número Aα S2RM32B

980 = 24 × 5 × 72 Cálculo de cantidad de divisores: D(3600) = (4 + 1) (2+ 1) (2 + 1) = 45 D(980) = (2 + 1) (1 + 1) (2 + 1) = 18 Nos piden: 45 – 18 = 27 04. Si el número: 15(30x) tiene 294 divisores. Hallar "x".

Generalizando: Sea "N" un número compuesto.

RAZONAMIENTO

Divisores 1; A; A2; A3; ... ;

Total de divisores (α + 1)

Solución: Descomponiendo 240: 240 120 60 30 15 5 1

2 2 2 2 3 5

Solución: Sea: N = 15 (30x) ⇒ N = 2x ⋅ 3x + 1 ⋅ 5x + 1 Hemos hecho una descomposición canónica, luego: D(N) ⇒ (x +1) (x + 2) (x + 2) = 294 Dando forma: (x + 1) (x + 2)2 = 6 (7)2 Comparando:

x =5

Marca con una aspa según el número dado sea primo absoluto o compuesto. 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08.

Solución: Sea: N = 8x ⇒ N = 23x

Luego: 240 tiene 20 divisores (3 divisores primos: 2; 3; 5)

Luego: D(N) = (3x + 1) = 19

120

240

Despejando x: x = 6

Número 7 24 111 173 187 119 213 217

Primo

Compuesto

Escribir todos los divisores de los números dados.

05. Si el número 8x tiene 19 divisores. Hallar "x".

240 = 24 ⋅ 3 ⋅ 5

09. 10. 11. 12. 13.

Número 12 15 28 33 42

Divisores

Descomponer canónicamente los siguientes números y establecer la cantidad de divisores de dichos números. Número 14. 15. 16.

Descomposición Canónica

120 240 90

17. Hallar el número de divisores de 882.

02. Calcular la cantidad de divisores de 26 160.

a) 10 d) 20

Solución: Descomponiendo canónicamente tenemos: 26 160 = 26 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 Luego: Aplicando fórmula tenemos: D (26160) = (6+1) (2+1) (1 + 1) (1 + 1) D(26160) = 84 03. ¿Cuántos divisores más tiene 3600 que el número 980?

b) 8 e) 40

c) 18

18. Hallar el número de divisores propios de 288. a) 17 d) 19

b) 18 e) N.a.

c) 15

19. Si 5n tiene 14 divisores. Hallar "n"

Solución: Descomponiendo cada número en el producto de sus factores primos: 3600 = 24 × 32 × 52

“ El nuevo símbolo de una buena educación…”

PRACTICA DE CLASE

a) 10 b) 14 d) 19 e) 21 20. Si 8n tiene 18 divisores. Hallar "n" S2RM32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

c) 13

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN MATEMÁTICO a) 10 d) 9

b) 8 e) 15

c) 19

2do. Año Secundaria 21 2do. Año Secundaria

a) 40 d) 64

a) 1 d) 8

b) 3 e) 10

b) 38 e) N.a.

a) 3 (n +1) d) (n + 1)

a) 8 d) 10

c) 36

b) 3 (n – 1) e) N.a.

a) 96 d) 91

c) 2 (n – 1) Pares de números primos entre sí:

a) 100 d) infinitos

b) 99 e) N.a.

a) 40 d) 60

b) 392 e) 420

b) 41 e) 4

c) 80

a) 1340 d) 1364

c) 784

b) 1338 e) N.a.

15. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 42 ?

04. El número 1890 es divisible por: b) 3 e) Todas

a) 1323 d) 1329

c) 5

05. Si 4n tiene 81 divisores. Hallar "n": a) 20 d) 9

b) 40 e) 27

c) 80

b) 14 e) N.a.

c) 15

07. El número de divisores de 200 es: a) 20 d) 10

b) 6 e) 12

c) 8

08. ¿Cuántos divisores tiene el número 24000? a) 60 d) 48

b) 56 e) N.a.

c) 24

a) 40 b) 38 c) 36 d) 64 e) N.a. 10. ¿Cuántos divisores tiene el número 49000?

S2RM32B

b) 36 e) N.a.

III. Descomponer canónicamente los siguientes números y establecer la cantidad de divisores de dichos números.

c) 1327 Número

Marca con una aspa según el número dado sea PRIMO ABSOLUTO o COMPUESTO. Número 341

Primo

Compuesto

Descomposición Canónica

a) 6 d) 27

Cantidad de Divisores

180 140 300 360 520 400

311

480

321

560

409

724

413

846

477

900

419

1200 IV. Responde las siguientes preguntas:

511 II. Escribir todos los divisores de los números dados y formar las parejas de dichos números cuyos elementos sean números entre sí.

c) 24 Número

“ El nuevo símbolo de una buena educación…”

b) 90 e) N.a.

c) 89

b) 21 e) N.a.

c) 22

4.5 ¿Cuántos divisores más tiene 360 que el número 98?

509

09. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 14 000?

a) 60 d) 48

b) 1325 e) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

06. El número de divisores de 144 es: a) 13 d) 16

a) 20 d) 24

c) 1327 10

a) 2 d) 7

15 y 28;

14. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 3010?

03. ¿Cuál es el mayor divisor de 784? a) 780 d) 800

13. ¿Cuántos divisores tiene 4 ?

c) 999

c) 9

4.4 Si 42n tiene 81 divisores. Hallar el valor de "n".

02. ¿Cuántos múltiplos tiene un número de 2 cifras?

b) 6 e) 12

4.3 ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 60060?

12. Hallar el número de divisores de: A = 7n + 1 – 3 ⋅ 7n

c) 2

4.2 Si 100n tiene 289 divisores. Hallar el valor que tiene que asumir "n".

11. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 34 000?

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. ¿Cuántos divisores tiene un número primo de 4 cifras?

RAZONAMIENTO

4.1 ¿Hallar el número de divisores de: A = 5n + 1 – 3 ⋅ 5n a) 3 (n +1) d) (n + 1)

b) 3 (n – 1) e) (n + 2)

c) 2 (n – 1)

Divisores S2RM32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

b) 9 e) N.a.

c) 18

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN MATEMÁTICO

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO Mínimo Común Múltiplo De dos o más números naturales, es el menor de sus múltiplos comunes. El mínimo común múltiplo de varios números, a, b, c, se designa abreviadamente así: m.c.m. (a, b, c) Para obtener el mínimo común múltiplo de dos o más números se puede recurrir a su descomposición factorial tomando cada uno de los factores primos que intervengan en las descomposiciones de los distintos números elevado a la máxima potencia con que aparezca. Por ejemplo, para hallar M = m.c.m. (500, 420, 880) se procede como se explica a continuación. Se empieza descomponiendo los tres números en factores primos:

600 250 125 25 5 1

2 2 5 5 5

420 210 105 35 7 1

2 2 3 5 7

880 440 220 110 55 1

2 2 2 2 5

500 = 22 ⋅ 53 420 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 7 880 = 24 ⋅ 5 ⋅ 11 Ahora, para hallar M se toman todos los factores primos que intervienen, 2, 5, 3, 7 y 11, elevados a la máxima potencia con la que aparecen: M = m.c.m. (500, 420, 880) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 = 462. 000 4

Por tanto, el menor de los múltiplos comunes a 500, 420 y 880 es 462.000. Máximo Común Divisor De dos o más números naturales, es el mayor de sus divisores comunes. El máximo común divisor de varios números a, b, c, se designa abreviadamente así: M.C.D. (a, b, c).

S2RM32B

2do. Año Secundaria 21 2do. Año Secundaria Para obtener el máximo común divisor de dos o más números se puede recurrir a su descomposición factorial tomando cada uno de los factores primos comunes a todas las descomposiciones de los distintos números, elevado a la mínima potencia con que aparezca. Por ejemplo, para hallar D = M.C.D. (1.980, 600, 5.040) se procede como se indica a continuación. Se empieza descomponiendo en factores primos los tres números:

1980 990 495 165 55 11 1

2 2 3 3 5 11

600 300 150 75 25 5 1

2 2 2 3 5 5

5040 2520 1260 630 315 105 35 7 1

2 2 2 2 3 3 5 7

1.980 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 11 600 = 23 ⋅ 3 ⋅ 52 5,040 = 24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 Ahora, para hallar D se toman los factores primos comunes a las tres descomposiciones, 2, 3, 5, elevados a la mínima potencia con que aparecen: D = M.C.D. (1.980, 600, 5.040) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60 Por tanto, el mayor de los divisores comunes a 1.980, 600 y 5,040 es 60. El máximo común divisor de dos números también se puede obtener mediante el algoritmo de Euclides.

RAZONAMIENTO

01. Hallar el M.C.M. de: A = 24 × 53 × 73 y B = 23 × 55 × 7 × 132

D = M.C.D. (q, r1) = M.C.D. (r1, r2) Se prosigue así sucesivamente obteniendo números cada vez menores. De esta forma se llegará a ua división exacta. El divisor de dicha división, que es el resto de la anterior, es el M.C.D., D, buscado. Como ejemplo se obtiene el M.C.D. (520, 360): 520 |360 160 1

M.C.D. (520, 360) = M.C.D. (360, 160)

360 |160 40 2

M.C.D. (360, 160) = M.C.D. (160, 40)

Luego MCM (A, B) = 24 × 55 × 73 × 132

Solución: 72 – 40 – 88 36 – 20 – 44 18 – 10 – 44 9 – 5 – 11 3 – 5 – 11 1 – 5 – 11 1 – 1 – 11 1 – 1 – 1

Por tanto, M.C.D. (520, 360) = 40 Los cálculos sucesivos suelen disponerse del siguiente modo: 520

1 360

2 160

160

4 40

Para calcular el M.C.D. de tres números a, b, c, se halla el M.C.D. de dos de ellos, D, y luego se hallar el M.C.D. de D y el tercero, pues: M.C.D. (a, b, c) = M.C.D. (D, c) Siendo D = M.C.D. (a, b) Teniendo en cuenta que entre el máximo común divisor, D y el mínimo común múltiplo, M, de dos números, a y b, se da la siguiente relación: a⋅b=D⋅M

Esta propiedad justifica el siguiente razonamiento: para hallar el M.C.D. (p, q) se divide p entre q, obteniendo un cociente q1 y un resto r1. Entonces:

Por ejemplo, para hallar el m.c.m. (520, 360), cuyo máximo común divisor se ha calculado mediante el algoritmo de Euclides, D = 40, se procede así:

M = m.c.m. (520, 360) =

MCM

03. Hallar el MCM (6; 8) Solución: Sean 6 y 8 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72,78, 84, 90, ... 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, ... Múltiplos comunes: 24, 48, 72, 80, 88, ... Luego el MCM (6, 8) = 24

Solución:

a ⋅b D

520 ⋅ 360 40

Sean 10, 15 y 30 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, ... 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, ... 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, ... Múltiplos comunes: 30, 60, 90, 120, ... Luego el MCM (10, 15, 30) = 30

= 4,660

PROBLEMAS RESUELTOS S2RM32B

2 2 2 3 3 5 11

04. Hallar el MCM (10; 15; 30).

Conociendo D se puede calcular M;

“ El nuevo símbolo de una buena educación…”

 • todos los divisores MCM =   • mayores exp onentes 02. Hallar el MCM de: 72, 40 y 88.

160 | 40M.C.D. (160, 40) = 40 0 4

Algoritmo de Euclides Procedimiento para hallar el máximo común divisor de dos números. Se basa en al siguiente propiedad. "Si d es divisor común de p y q, y p > q, entonces d es divisor del resto de dividir p entre q".

D = M.C.D. (p, q) = M.C.D. (q, r1) Ahora se procede de forma análoga con q y r1: se hace la división entera entre q y r1, obteniendo un cociente q2 y u resto r2. Entonces:

Solución:

05. Calcular el MCD (25200; 19800; 27900)

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN MATEMÁTICO

2do. Año Secundaria 21 2do. Año Secundaria

Solución: Descomposición Canónica: 18 – 42 – 30 9 – 12 – 15 3 – 4 – 5 1 – 4 – 5 1 – 1 – 5 1 – 1 – 1

25 200 = 24 ⋅ 32 ⋅ 52 ⋅ 7 19 800 = 23 ⋅ 32 ⋅ 52 ⋅ 11 27 900 = 22 ⋅ 32 ⋅ 52 ⋅ 31 Luego: MCD = 22 ⋅ 32 ⋅ 52 = 900 06. Calcular el MCD (72, 40 y 88)

72 – 40 – 88 36 – 20 – 44 18 – 10 – 44 9 – 5 – 11

MCD (notar que no no se puede sacar más en común)

Cocientes

Luego: M.C.M (120; 96; 72; 35) = M.C.M (480; 72; 35) Pero: M.C.M (480; 72) = 1440 Luego: M.C.M (1440; 35) = 10080 Por tanto: M.C.M(120; 96; 72; 35)= M.C.M(480;72; 35) = M.C.M (1440; 35) = 10080 08. Hallar el MCM y MCD de: 120, 180 y 300 Solución:

424 120

MCD

PRACTICA DE CLASE

120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5

MCD (120; 180; 300) =

180 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5

2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60

300 = 22 ⋅ 3 ⋅ 52

MCM (120; 180; 300) =

20 y 80 425; 800 y 950 54; 76; 114 y 234 54; 133; 532 y 1824 7; 8; 9 y 13 3; 5; 15; 21 y 42 15; 30; 60 y 180 7; 14; 28 y 26 100; 300; 800 y 900 19 578 y 47 190

23 ⋅ 32 ⋅ 52 = 1800 09. Hallar el MCM y MCD de: 18; 24 y 30

b) 22 y 29 e) 14 y 21

c) 16 843

b) 99;27 e) N.a.

c) 27;33

15. El MCM de 2 números de 30 030 y su MCD es 5. ¿Cuántos pares de números hay con esta propiedad?

a) 105 d) 1135

b) 8 e) 2

c) 5

b) 210 e) N.a.

c) 630

17. Un ómnibus: la primera cada 10 minutos, la segunda cada 12 minutos, la tercera cada 15 minutos y la cuarta cada 20 minutos. Si a las 9:00 a.m. salieron las cuatro líneas juntas, ¿a qué hora volverán a salir juntas nuevamente? a) 9:30 a.m. d) 10:30 a.m.

b) 10:00 a.m. e) 11:00 a.m.

c) 9:45 a.m.

c) 18 y 25

12. 3 reglas de 100 milímetros de longitud cada una, están uniformemente graduadas; la primera cada milímetro, la segunda cada 16/25 de milímetro y la tercera cada 18/23 de milímetro. Si se les hace

18. Tres ciclistas recorren una pista circular y tardan 3 minutos, 5 minutos y 7 minutos respectivamente. ¿Después de cuanto tiempo volverán a pasar al mismo tiempo por el punto de partida, si partieron simultáneamente de dicho punto? a) 15 min

“ El nuevo símbolo de una buena educación…”

b) 17 326 e) 16 923

16. ¿Cuál de los siguientes números es el menor número múltiplo de los 4 primeros números primos?

11. ¿Cuáles son los dos números primos entre sí, cuyo MCM es 330 y su diferneica 7? a) 55 y 46 d) 22 y 15

b) 140 milímetros d) 144 milímetros

14. Hallar los números A y B si se sabe que satisfacen A2 + B2 = 10 530. Y el mínimo común múltiplo es 297.

a) 16 d) 4

Hallar el MCM y el MCD de: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

a) 16 500 d) 17 425

a) 11; 27 d) F.D.

∴ MCD (424; 120) = 8

a) 114 milímetros c) 141 milímetros e) 156 milímetros

13. Las longitudes de las circunferencias de las ruedas delanteras y traseras de una locomotora son respectivamente 250 y 425 centímetros. ¿Qué distancia tendrá que recorrer la locomotora para que una de las ruedas de 2 870 vueltas más que la otra?

II. Contesta las siguientes preguntas:

Descomponiendo:

S2RM32B

Residuos: 64

Solución: Aplicando M.C.M. (120; 96) = 480

Solución:

MCM

Solución: Aplicando el Algoritmo de Euclides:

07. Calcular el mínimo común múltiplo de 120; 96; 72 y 35.

MCD

10. Hallar el MCD (424; 120)

2 2 2

Es decir MCD (72, 40, 88) = 2 × 2 × 2 = 8

coincidir en toda su extensión. ¿A qué distancia del origen coinciden tres trazos de las reglas?

2 3 3 4 5

MCD (8; 24; 30) = 2 ⋅ 3 = 6 MCM (8; 24; 30) = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 = 360

Solución:

RAZONAMIENTO

S2RM32B

b) 105 min

d) 21 min

e) N.a.

19. Se dispone de tres barriles que contienen 210 litros, 300 litros y 420 litros de aceite, respectivamente. Para vaciarlos en envases iguales y que tengan la mayor capacidad posible. ¿Cuántos envases son necesarios? a) 21 d) 51

b) 31 e) 61

c) 41

20. Un bodeguero tiene tres sacos de arroz (pesos 72 kg. 180 kg y 25 kg), y quiere dividirlos en sacos con igual peso. ¿Cuál debe ser el mayor peso en kilogramos de cada uno de elllos? a) 90 d) 36

b) 300 e) 54

c) 125

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Tres cables miden 120m. 85m y 70m, deben dividirse en el menor número posible de trozos de igual longitud. ¿Cuál es la longitud de cada trozo? a) 3 m d) 8 m

b) 11 m e) 6 m

c) 5 m

02. Tres semáforos presentan la LUZ ROJA cada 9'; 12' y 18'. ¿Cada cuántos minutos los 3 semáforos al mismo tiempo presentaran la LUZ ROJA? a) 24 min d) 36 min

b) 18 min e) 48 min

c) 64 min

03. ¿Cuál de los siguientes números es le menor número múltiplo de los 5 primeros números primos? a) 105 b) 2310 c) 630 d) 1135 e) N.a. 04. Dos cintas de 36 y 48 m d e longitud se quieren dividir en pedazos iguales y de la MAYOR longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada pedazo? a) 10 m d) 15 m

b) 12 m e) 18 m

c) 11 m

05. ¿Cuál es la MAYOR longitud de una medida con la que se pueda medir exactamente 3 dimensiones de 140 m; 560 m y 800 m?

c) 85 min

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN MATEMÁTICO a) 20 m d) 80 m

b) 40 m e) 100 cm

2do. Año Secundaria 21 2do. Año Secundaria

c) 10 m

3) 66; 154 y 121 4) 32; 48; 56; 64 5) 40; 80; 10; 160

06. Hallar el MCD (144 y 520) a) 10 d) 8

b) 5 e) 12

c) 7

07. Hallar el MCD /345; 850) a) 5 d) 20

b) 10 e) 18

c) 15

08. Hallar el MCD (33; 77; 121) a) 10 d) 17

b) 7 e) 11

c) 9

09. Hallar el MCD (2168; 7336; 9184) a) 10 d) 15

b) 12 e) 8

c) 14

10. Hallar el MCD (320; 450; 560; 600) a) 10 d) 8

b) 14 e) 40

c) 12

11. Hallar el MCM (2; 3; 11) a) 12 d) 66

b) 14 e) 80

c) 16

12. Hallar el MCM (5; 10; 40; 80) a) 10 d) 80

b) 45 e) 20

(A)# de huevos (B) Costo S/.

II. Desarrollar los siguientes problemas: 06. Hallar la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla de 2, de 5 o de 8 cm de largo.

08. Se recolectan para hacer paquetes de donación: 300 paquetes de fideos, 450 bolsas de avena y 180 tarros de leche. Se desea hacer paquetes que tenga el mismo número de artículos. ¿Cuántos paquetes como máximo se pueden hacer?

...

Se cumple:

8 16 24 32 = = = = .......... 4 2 4 6 8 (constante) Se concluye que: “si dos magnitudes (A y B) son directamente proporcionales, el cociente de sus valores correspondientes es una constante, llamada constante de proporcionalidad”.

A Si A es D.P. a B ⇒ =k; B

10. En el problema anterior. ¿Cuál es el número que representa a la suma de lapiceros y borradores en cada bolsa?

a) 400 d) 510

b) 480 e) 580

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir una de ellas, entonces la otra disminuye o aumenta en las mismas condiciones.

c) 500

Hallar el MCD y el MCM por cualquier método de: 1) 72 y 260 2) 69 y 170

S2RM32B

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar o disminuir una de ellas, entonces la otra aumenta o disminuye en las mismas condiciones. Notación: A es D.P. a B

“ El nuevo símbolo de una buena educación…”

Aα B

Encontrar la relación matemática de cada enunciado: 01. La magnitud A es D.P. a la magnitud B 02. Se tiene dos magnitudes A y B tales que A es I.P. a B 03. Se tiene cuatro magnitudes A; B; C y D tales que A es D.P. a B; A es I.P. a C; A es I.P. a D.

05. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es D.P. a C e I.P.B.

A es I.P. a B , A

(A)# de obreros (B) # de días

1 1 B o Aα α B

...

S2RM32B

08. Si: A es D.P. a P, e I.P. a Q 09. Se tiene dos magnitudes tales que: 3

es I.P. a

10. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es 2 D.P. a B e I.P. a C 11. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es DP a B1/2; A es IP a D2 12. Si : A es DP con B2 e IP a

Observe que si duplicamos el # de obreros, el # de días se reduce a la mitad. Ocurrirá lo mismo si triplicamos, cuadriplicamos, etc. Se cumple:

07. Si A es D.P. a M. IP a C e I.P. a D

Ejemplo:

TAREA DOMICILIARIA I.

k : cte

Notación:

PROPORCIONALID

PRACTICA DE CLASE

06. Si A es D.P. a B2 2.

c) 16

k : cte.

04. Se sabe que A es D.P. a B e I.P a C.

14. Calcular el MCM (2; 4; 8; 16) a) 10 b) 20 d) 18 e) 40 15. Calcular el MCM (8; 10; 15; 32)

Se concluye que: “Si dos magnitudes (A y B) son inversamente proporcionales, el producto de sus valores correspondientes es una constante, llamada constante de proporcionalidad”. Si A es I.P. a B ⇒ A. B. = k

09. Una librería tiene 300 lapiceros, 180 reglas y 240 borradores. Si el dueño desea venderlos empaquetados al mismo precio cada bolsa. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que podrían fabricarse con 3 artículos y que no sobren ni falten?

c) 3800

Observe que si duplicamos el # de huevos, el costo también se duplicará. Ocurrirá lo mismo si triplicamos, cuadriplicamos, etc.

07. ¿Cuál es la menor cantidad de dinero que necesito para comprar un número exacto de pantalones de S/. 30, S/. 45, S/. 50. C/u, si quiero que en cada caso me sobren S/. 25?

c) 40

b) 3520 e) N.a.

2x24 =4 x12=6 x 8 =6=....= 48 (constante)

Ejemplo:

13. Calcular el MCM (9; 12; 16; 25) a) 3250 d) 3720

RAZONAMIENTO

c ,

Encontrar la relación matemática y calcula el valor de una variable 13. La magnitud A es D.P. a la magnitud B; cuando A=51, B=3. Hallar el valor que toma B, cuando A=34

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN MATEMÁTICO 14. Se tiene dos magnitudes A y B tales que A es I.P. a B además cuando A=20, entonces B=24. Hallar B cuando A sea igual a 30 15. Se tiene dos magnitudes A y B tales que A es D.P. a B además cuando A = 75 y B = 5. Hallar A cuando B =4. 16. Si A es D.P. a B, además cuando A = 120 entonces B es igual a 160. Hallar A cuando B sea igual a 120. 17. Si A es I.P. a B además cuando A es igual a 100, entonces B es igual a 240. Hallar B cuando A sea igual a 150. 18. Si A es D.P. a B2, además cuando A es igual a 32 entonces B es igual a 4. Hallar A cuando B sea igual a 3. 19. Se tiene dos magnitudes tales que: 3

es I.P. a

B. Si cuando A = 8 entonces B = 6, halar A cuando B sea 4. 20. Si A es I. P a B3, además cuando A es igual a 1/8 entonces es igual a 2. Hallar A cuando B sea igual a 3.

2do. Año Secundaria 21 2do. Año Secundaria a) 7 d) 9

b) 8 e) 6

03. Si "A" varía en razón directa a "B" e inversamente al cuadrado de "C", cuando A = 10, entonces, B = 4 y C = 14. Hallar "A" cuando B = 16 y C = 7. a) 200 d) 140

b) 180 e) 156

01. El cuadrado de “A” varía proporcional-ente al cubo de “b”. Si “A” = 3 ; “B” = 4. Hallar “B” cuando A = a) 1/4 d) 4/3

3 3 b) 1/2 e) 5/3

c) 3/4

02. Si "A" es directamente proporcional con B 2 e inversamente proporcional a C , cuando A = 4, B = 8 y C = 16. hallar "A" cuando B = 12 y C = 36.

S2RM32B

c) 160

04. Sabiendo que "A" es I.P. a B 3. Hallar "A" cuando B = 2, si A = 6, entonces B = 4. a) 48 d) 52

b) 46 e)4

c) 50

05.Se tiene que "A" es D.P. a "B", si A = 10, cuando B = 4. hallar "B". Cuando A = 8 a) 1 d) 4

b) 2 e) 16

c) 8

06. "A" es I.P. a "B", si A = 20, entonces B= 30. hallar "A" cuando B = 50 a) 10 d) 16

b) 12 e) 20

c) 8

07. Si "A" es D.P. con B2 e I.P. a C , cuando A = 4, B = 8 y C = 16. Hallar "A" cuando B = 16 y C = 36. a) 6 d9 4

PROBLEMAS PROPUESTOS

c) 10

b) 12 e) 10

RAZONAMIENTO

22 "D", aplicación A = 6, entonces d = 3. Hallar "D", si A = 150. 11. Sabiendo que "A" es I.P. a B2 y B es I.P. a C. Hallar a cuando C = 6 , si cuando A = 28, C= 24. a) 8 d) 9

b) 7 e) 12

12. Si: "A" es D.P. a (B + C) e I.P. a D 2, si cuando A = 2, B = 3 y D = 6, entonces C = 5. Hallar "C", cuando A = 9, B = 10 y D = 4. a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

b) 7 e) 6

a) 1 d) 9

b) 4 e) 3

b) 140 e) 180 2

14. Sabiendo que "A" es I. P. a B2 y "C" es D.P. a "B". hallar "A" cuando C = 8, si A = 96 y C = 4. a) 2 d) 9

b) 3 e) 6

“ El nuevo símbolo de una buena educación…”

−1

c) 4

c) 160 2

, luego, que relación existe entre "A" y

e) 9

03. A varía proporcionalmente a B y al cuadrado de c e inversamente proporcional a D. Si cuando A = 8, B = 5 y C = 4, entonces D es 2. ¿Cuánto valdrá B cuando: A = 2D y 4C? a) 40 d) 120

a) 180 d) 140

b) 17 e) 20

c) 15

TAREA DOMICILIARIA 01. A es D.P. con B2 e I.P. a A = 4; C , cuando B = 8 y C = 16. hallar A cuando B = 12 y C = 36. a) 4 d) 12

b) 8 e) 6

c) 9

02. A es D.P. con B e I.P. con C, cuando C es igual a

3 2

, A y B son iguales. ¿Cuál es el valor de B

cuando A es igual a 1 y C es igual a 12? a) 8 S2RM32B

b) 6

c) 160

b) 160 e) 120

c) 154

05. Si A es D.P. a B y C es I.P. con D y E. Cuando A = 2B, D = 4, C = 2, entonces: E = 3. Calcular E cuando A = 72, D = 6, B = 2 y C = 3E2. a) 4 d) 5

b) 6 e) 9

c) 8

06. El cuadrado de A varía proporcionalmente al cubo de B cuando A = 3 y B = 4. Hallar el valor de B cuando A =

15. Si A y B son I.P. y cuando A = 20, "A" es a "B" como 10 es a 9. ¿Qué valor toma "A" cuando B = 72?.

b) 80 e) N.A.

04. X varía en razón directa a Y e inversamente al cuadrado de Z. Cuando X = 10, entonces Y = 4 y Z = 4. Hallar X cuado Y = 16 y Z = 7

a) 16 d) 18

10. Si "A" es D.P. a B , "B" es I.P. a C y "C" es D.P. a D

c) 3

c) 2

09. "A" varía en razón directa a "B" e inversa a C 2, si A = 10, cuando B = 4 y C = 14. Cuando B = 16 y C = 7, "A" es igual a: a) 210 d) 120

c) 6

13.Sabiendo que "A" es I.P. a "B" y "B" es I.P. a "C", hallar "A" cuando C= 3 , si A = 27 y C = 3.

B e I.P. a 3 C . 08. Se sabe que "A" es D.P. a Además cuando A = 14. Entonces B = 64 y C= B. Hallar "A" cuando B = 4 y C = 2B

a) 2 d) 5

c) 4

d) 12

d) 2

1 3

3 3 b)

2 3

c) 3/4

e) 22

07. El cuadrado de "X" varía proporcional-mente al cubo de "Y". Si "X" = 4, "Y" = 2. hallar "Y" cuando X = 2 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

08. Si "A" es D.P. con B2 e I.P. a C1/2, cuando A = 1; B = 2 y C = 64. hallar "A" cuando B = 1 y C = 4 a) 2 d) 1

b) 1/2 e) 8

c) 1/4

09. Si "A" es D.P. con "B" e I.P. a C 2. Cuando A= 4, entonces B =2 y C = 2. Hallar "A" cuando B = 3 y C = 1/2.

c) 4

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN MATEMÁTICO a) 10 d) 4/3

b) 96 e) 8/3

2do. Año Secundaria 21 2do. Año Secundaria

c) 48

REGLA DE 1.

b) 7/4 e) N.A.

c) 3/8

REGLA DE TRES SIMPLE Es un método en el cual intervienen dos magnitudes proporcionales, que tiene como objetivo hallar un cuarto valor, dado tres valores correspondientes a estas dos magnitudes.

1.1.

a 1 . b 1 = a 2 .x ⇒ x = b 1 .

# de obreros 10 ....................... 225 .......................

Costo (S/.)

a1 ................... b1 a2 ................... b2



a1, b1, a2 son datos, mientras que x es la incógnita. Por teoría de magnitudes proporcio-nales se cumple que:

a1 a 2 = b1 a 2

a x = b1 ⋅ 2 a1

⇒

x = 45 ⋅

15 X



100 25

x = 42 .

X = S/ 27 Inversa: (Cuando intervienen dos magnitudes inversamente proporcio-nales).

# días

# h/d

obra

b1 x

c c2

d1 d2

eficiencia dificultad e1 e2

PROBLEMAS RESUELTOS

15 min .............. 1500 m 20 “ ................... x

f1 f2

Usando el método de las fracciones, hallaremos el valor de “x” . Previo al cálculo. Se debe establecer la relación de proporcionalidad entre la incógnita “x” (# días) y las demás magnitudes. Por ejemplo la magnitud “A” (# obreros) y la magnitud “B” (# días) son I.P. ya que a S2RM32B

18 5 . 15 1

Solución:

I.P.

a1 a2

dificultad 1 5

01.Si caminando durante 15 minutos se avanza 1500 metros. ¿Cuánto se avanzaría en 20 minutos?.

D.P. I.P D.P.

# días 42 x

x = 252 días

REGLA DE TRES COMPUESTA Se llama así cuando intervienen más de dos magnitudes proporcionales

# obreros

72 X = 15 ⋅ 40

Solución: Colocaremos en dos filas los datos correspondientes a cada una de estas magnitudes, es decir:

# obreros 18 15

Costo (S/.)

40 72

Ejemplo: Con 18 obreros se puede hacer una obra en 42 días. ¿En cuántos días 15 obreros harán una obra cuya dificultad es el quíntuple de la anterior?

# días 45 x

∴ x = 20 días

Ejemplo: Sofía compra 40 huevos por S/ 15. ¿Cuánto le costará 72 huevos? # huevos

a 1 c 1 d 2 e 1 f2 . . . . a 2 c 2 d 1 e 2 f1

Ejemplo: Cien obreros emplean 45 días para hacer una obra. ¿Cuántos días emplean 225 obreros para hacer la misma obra?

# huevos

a1 a2

a1, b 1 = a2 son datos, mientras que x es la incógnita.

D.P. A

X = b1 .

Por teoría de magnitudes proporcionales, se cumple que:

Directa: (Cuando intervienen dos magnitudes directamente propor-cionales).

“ El nuevo símbolo de una buena educación…”

# días

a1 ........................... b1 a2 ........................... x

Esquema:

1.2.

# huevos

Clases

S2RM32B

MÁS obreros trabajando se emplearán MENOS días, de igual modo se hará con las magnitudes restantes. Entonces:

I.P.

10. Sabiendo que "A" es I.P. a B3. Hallar A cuando B = 3; Si A = 3 y B = 2 a) 8/9 d) 9/8

RAZONAMIENTO

1500 x 20 15

;

x = 2000

02.Si 424 personas consumen 36 bolsas de fideos. ¿Cuántas personas podrán alimentarse con 9 bolsas? Solución:

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN MATEMÁTICO

PRÁCTICA DE CLASE

424 .............. 36 bol x ................... 9 “

424 x 9 = 106 personas 36

03.Si viajando a 60km por hora se demora 3 horas en un viaje. ¿Cuánto se demoraría viajando a 90 km por hora? Solución: Como se trata de una regla de tres simple inversa se consideran los siguientes pasos: 60 km/h .............. 3 horas 90 km/h ................... x

3 x 60 90

;

180 90

x = 20 días 04.Si 12 obreros demoran 15 días para levantar una muralla. ¿Cuánto hubieran demorado si solo hubiera trabajado 9 obreros? Solución: 12 obreros .............. 15 días 9 obreros ................... x

x = 20 días 05.Si un viaje ha demorado 21 horas a un promedio de 80 km por hora. ¿A qué velocidad habría que ir para demorar solamente 14 horas? Solución: 12 hs .............. 80 km/h 14 hs ................... x

80 x 21 = 120 14

x = 120 días

S2RM32B

01. Si un lápiz cuesta S/. 65. ¿Cuánto cuestan 15 lápices? 02. Si una docena de clavos cuesta S/. 144. ¿Cuánto cuesta medio ciento? 03. Si 6 personas consumen 3 kg de arroz. ¿Cuántos kgs consumirán 24 personas? 04.Si a 16 km por hora se recorre 32 km. ¿Cuántos km se recorrerá en el mismo tiempo, a 12 km por hora? 05.Si 12 personas demoran 36 días en hacer una obra. ¿Cuántos días demorarían 18 personas en la misma obra? 06. A 64 km por hora un viaje se ha demorado 6 horas. ¿Cuánto se hubiera demorado si la velocidad hubiese sido de 72 km por hora? 07. Un estanque de 600 litros se ha vaciado en 12 minutos . ¿Cuánto tiempo hubiese demorado si sólo tuviera 450 litros? 08. 42 personas de un campamento tienen provisiones para 30 días; si se retirasen 6 personas. ¿Para cuántos días alcanzaría las provisiones? 09. Si un móvil que viaja a velocidad constante en 6 hrs recorre 600 km . ¿Qué distancia recorrerá al cabo de 8 hrs?

15 x 12 x= = 20 9

2do. Año Secundaria 21 2do. Año Secundaria

RAZONAMIENTO

a) 15 d) 8

b) 12 e) 14

c) 10

14. 12 obreros pueden hacer un trabajo en 29 días. Después de 8 días de trabajo se retiran 5 obreros. ¿Con cuántos días de retraso se entregará la obra? a) 15 días d) 5 días

b) 30 días e) N.A

c) 80 días

15.Una guarnición de 2200 hombres, tiene provisiones para 62 días, al terminar el día 23 se retiran 250 hombres. ¿Cuánto tiempo podrán durar las provisiones que quedan al resto de la guarnición? a) 40 días d) 50 días

b) 44 días e) N.A

c) 80 días

16.8 obreros pueden haber una obra en 20 días. Después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros. ¿Con cuántos días de atraso se entregará la obra? a) 10 d) 12

b) 14 e) 20

c) 9

17. Un propietario tiene 649 corderos que puede alimentar durante 65 días. ¿Cuántos corderos deben vender si quiere alimentar su rebaño por 15 días más dando la misma ración? a) 100 d) 180

b) 200 e) 120

c) 300

10.Si 20 obreros realizan un trabajo en 30 días. ¿Cuántos días demorarán 40 obreros en realizar el mismo trabajo?

18. Un caballo atado con una soga de 3 m de largo demoran 5 días en comer el pasto que está a su alcance. Si la soga fuera de 6 m. ¿Cuántos días tardará en comer todo el pasto a su alcance?

11. 35 obreros pueden terminar una obra en 27 días. Al cabo de 6 días de trabajo se les junta cierto número de obreros de otro grupo de modo que en 15 días terminan la obra. ¿Cuántos obreros eran en el segundo grupo?.

19. En al construcción de un puente trabajaron 15 albañiles durante 12 días, e hicieron las 3/4 partes de la obra; después se retiraron 7 de ellos. En cuántos días concluyeron las restantes la obra?

12. Si 20 obreros son contratados para realizar un trabajo de 800 m2 en 10 días, y al cabo del cuarto día les comunica que en realidad la obra era de 1000m2, y que deben acabar un día antes de lo establecido. ¿Cuántos obreros deberán ser contratados? 13.Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14 días. ¿Cuántos obreros hay que incrementar para que la obra se termine en 8 días?

“ El nuevo símbolo de una buena educación…”

20. Una obra lo pueden hacer 28 hombres en cierto tiempo . ¿Cuántos obreros se necesitarán aumentar para hacer 1/4 de la obra en un tiempo 2/7 del anterior trabajando la mitad de horas diarias?

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Un auto tarda 8 horas para recorrer un trayecto yendo a 90 km/h. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a 60 km/h? a) 10 d) 60

b) 50 e) N.A

c) 56

02. A y B recorren cierta distancia, y los tiempos que emplean están en la razón 15/21. La velocidad de A es de 56 Km/h. ¿Cuál es la velocidad de B? a) 10 km/h d) 40 km/h

b) 20 km/h e) 80 km/h

c) 30 km/h

03. Dos ruedas cuyos diámetros son 1,5m y 2,4 m están movidas por una correa. Cuando la menor da 220 revoluciones. ¿Cuántas revoluciones da la mayor? a) 137,5 rev d) 175 rev

b) 140 rev e) N.A

c) 180 rev

04. Nataly demora 6 horas en construir un cubo compacto de 4 cm de arista, después de 54 horas de trabajo. ¿Qué parte de un cubo de 12 cm de arista habrá construido? a) 1/ 2 d) 2/ 3

b) 1/ 3 e) 4/ 5

c) 1/ 8

05. Percy es el doble de rápido que Miguel y éste es el triple de rápido que Franklin. Si entre los tres pueden terminar una tarea de Aritmética en 16 días. ¿En cuántos días Miguel con Franklin harán la misma tarea? a) 10 d) 40

b) 20 e) 80

c) 30

06. Un buey atado a una cuerda de 7,5 m de longitud puede comer la hierba que está a su alcance en 2 días. ¿Qué tiempo demoraría para comer la hierba que está a su alcance, si la longitud de la cuerda fuera de 15m?. a) 10 d) 12

b) 9 e) 15

c) 8

07. Para pavimentar 180 metros de pista; 18 obreros tardan 21 días. ¿Cuánto días se necesitarán para pavimentar 120m de la misma pista con 4 obreros menos? a) 18 d) 60

b) 20 e) N.A

c) 40

08. Si 16 obreros trabajando 9 horas diarias durante 20 días hacen 60 sillas. ¿Cuántos días necesitarán 40 S2RM32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN MATEMÁTICO obreros trabajando 1 hora diaria menos para hacer un ciento de las mismas sillas? a) 10 d) 15

b) 20 e) 23

b) 54 e) 24

c) 58

10. Si 40 carpinteros fabrican 16 puertas en 9 días. ¿Cuántos días tardarían 45 carpinteros para hacer 12 puertas iguales? a) 5 d) 8

b) 7 e) 10

c) 6

11. Por 8 días de trabajo, 12 obreros han cobrado S/.640. ¿Cuánto ganarán por 16 días, 15 obreros con los mismos jornales? a) 1600 d) 1810

b) 1800 e) 1740

c) 1520

12. 20 obreros, en 14 días de 8 horas; han realizado un trabajo de 120m de largo. ¿Cuántos días de 7 horas emplearán 24 obreros para hacer 90m del mismo trabajo? a) 11 b) 10 c) 80 d) 30 e) 18 13. Por trabajar 8 horas diarias durante 20 días un peón ha ganado S/.120. ¿Cuántas horas diarias habrá trabajado en la misma obra si por 30 días le han pagado S/.225? a) 10 d) 16

b) 12 e) 20

c) 14

14. Si con 120 Kg de pasto se alimenta a 4 caballos durante 5 días. ¿Cuántos kg de pasto se necesitarán para alimentar a 9 caballos en tres días? a) 16 kg d) 140 kg

b) 160 kg e) N.a.

c) 162 kg

15. Si 8 secretarias tardan 3 horas para digitar 72 páginas. ¿Cuánto tardarán 6 secretarias para digitar 90 páginas? a) 6 horas S2RM32B

b) 5 horas

d) 2 horas

c) 18

09. Si 180 hombres en 6 días, trabajando 10 horas cada día, pueden hacer una zanja de 200m de largo, 3m de ancho y 2m de profundidad. ¿En cuántos días, de 8 horas, harían 100 hombres una zanja de 400 metros de largo; 4m de ancho y 3 metros de profundidad? a) 100 d) 61

2do. Año Secundaria 21 2do. Año Secundaria

c) 1,6 horas

e) N.a.

d) 13h

TAREA DOMICILIARIA 01. Si 5 sillas cuestan S/. 180. ¿Cuánto costarán 8 sillas? a) 280 d) 250

b) 288 e) 283

c) 200

02. Si 20 chocolates cuestan S/. 60. ¿Cuánto costarán 6 chocolates? a) 15 d) 13

b) 16 e) 20

RAZONAMIENTO

c) 18

e) 14h

09. Un albañil ha construido un muro en 16 días. Si hubiera trabajado 4 horas menos habría empleado 8 días más para hacer el muro. ¿Cuántas horas hubiera trabajado por día? a) 6h d) 8 h

b) 12 h e) 16 h

c) 10 h

10. Un grupo de estudiantes tienen víveres para un viaje de 48 días. Si se retiran el 25% de los estudiantes. ¿para cuántos días más alcanzaron los víveres? a) 120 d) 15

b) 24 e) 64

c) 16

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

03. Si 8 obreros terminan una obra en 15 días. ¿En cuántos días terminarán la misma obra 12 obreros? a) 7 d) 10

b) 8 e) N.a.

c) 9

04. Si trabajando 10 horas diarias una cuadrilla de obreros tardan 18 días para terminar una obra, trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días terminarán la misma obra? a) 30 d) 28

b) 25 e) 27

GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL

c) 33

SOLUCIONARIO

05. Si 25 pollos cuestan S/. 112,50. ¿Cuánto costarán 14 pollos? a) S/. 63 b) S/. 62 c) S/. 50 d) S/. 44 e) S/. 53 06. Si tres metros de polystel cuesta S/. 120. ¿Cuánto se pagará por 5,5 metros del mismo polystel? a) 200 d) 230

b) 220 e) 195

b) 14 obreros e) 12 obreros

c) 15 obreros

08. Un auto tarda 8 horas para recorrer un trayecto yendo a 90 km/h. ¿Cuántos tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a 60 km/h? a) 10h

“ El nuevo símbolo de una buena educación…”

b) 11h

c) 12h

EJERCICIOS PROPUESTOS 01

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

c) 185

07. Si 21 obreros tardan 10 días para hacer una obra. ¿Cuántos obreros se necesitarán para hacer la misma obra en 15 días? a) 11 obreros d) 13 obreros

Nº

S2RM32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”