IV IV BIMESTRE BIMESTRE
TEMA 04: FUNCIÓN LOGARITMICA
02
Tercer Año Secundaria01
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
Si b es un número real positivo distinto a la unidad, se llama función logarítmica en base b a aquella función que tiene por dominio al conjunto de los números reales positivos, cuya regla de correspondencia viene dada por:
2) Como : 3-3= 1 , entonces : -3 = log 1 3 27 27
1 Esto se lee así: “- 3 es el logaritmo de 27
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
COMENTARIO PREVIO: En el presente capítulo entraremos al estudio de los logaritmos, un tema importante tanto en el campo netamente matemático como también a su aplicación en las diferentes ciencias, así como en la ingeniería. Se podrían mencionar muchas aplicaciones de los logaritmos, tales como su presencia en las fórmulas químicas, específicamente en la electroquímica, en la evaluación del interés compuesto, cálculo de la antigüedad de los restos fósiles (según el contenido de carbono 14), etc..... El estudio de que realizaremos de los logaritmos serán enfocados en dos formas una primera etapa corresponde al estudio de los logaritmos visto como operador es decir ver los teoremas respecto a las operaciones que con ellos se realizan y una segunda etapa sería observar el comportamiento de los valores que toma el logaritmo al asignarle valores a su variable independiente y concluir dándole el nombre de Función Logarítmica.
Es decir:
{
+
∧b ≠1 ∧x ∈ R
Frecuentemente a la función logaritmo en base b se le define como la función inversa de la función exponencial de base b. LOGARITMO DE UN NÚMERO Se denomina logaritmo de un número real positivo al exponente al cual será necesario elevar una base positiva y diferente de la unidad para obtener como resultado una potencia igual al número propuesto” Notación: y = log b x ................................ ( I ) y = logaritmo (y ∈R) x = número propuesto ( x ∈R +) b = base (b ∈R + ∧ b ≠ 1) De acuerdo con la definición de logaritmo y de la notación (I), se puede establecer que: b y = x .................................( II ) Si se sustituye (I) en (II) se obtendrá la siguiente igualdad fundamental:
blog b x = x Ejemplo: De acuerdo con la definición de logaritmo, podemos establecer:
}
+
PROPIEDADES GENERALES DE LA FUNCION LOGARITMICA 1. En el campo de los números reales no existe el logaritmo para números negativos. 2. Si la base b está comprendida entre cero y uno (0 < b< 1) los números comprendidos entre cero y uno tienen logaritmos positivos y los logaritmos de números mayores que uno serán negativos. 3. Si la base b es mayor que uno ( b > 1), los números comprendidos entre cero y uno tienen logaritmos negativos y los logaritmos de números mayores que uno serán positivos.
S1RM31B
T = Log 8 15 , Ejemplo: expresarlo como:
podríamos
T = log 8 (3 . 5 ) = log 8 3 + log 8 5 B) Logaritmo de un Cociente:
log b 1 =0
∀ b ∈ R + ∧b ≠1
∀ b ∈ R+
1) Como: 23 = 8 , entonces : 3 = log 8 2
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
∧b ≠1
PROPIEDADES OPERATIVAS DE LOS LOGARITMOS A) Logaritmo de un Producto:
∀b > 0
S1RM31B
∧ b ≠1 ;
∧
∀x 1 , x 2 ∈R +
b ≠ 1;
x Log b ( 1 ) = log b x 1 − log b x 2 x2
Ejemplo:
T = log 5 (
17 ), 2
podríamos
expresarlo como: T = log5 17 − log5 2 C) Logaritmo de una Potencia:
∀b > 0
∧ b ≠1;
∀x ∈R +;
∀n ∈Q
Ejemplo: Reducir: T = log 3 34 + log 2 25 + log 7 73
5. El logaritmo de la base es uno. log b b =1
∀b > 0
log b x n =n log b x
4. El logaritmo de la unidad es cero.
CONTENIDO TEORICO: FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Log b ( x1. x 2 ) = log b x1 + log b x 2
en base 3”
F = ( x; y) / y =log b x ; b ∈ R
Donde:
Tercer Año Secundaria
Esto se lee así: “3 es el logaritmo de 8 en base 2”
F( x ) =log b x
Diferenciar Función Exponencial y Función Logarítmica, para su posterior aplicación en la resolución de problemas. Determine la característica en un Logaritmo Decimal. Opera logaritmos neperianos con una aplicación adecuada de las propiedades. Resuelve ecuaciones e inecuaciones logarítmicas.
ÁLGEBRA
∀x 1 , x 2 ∈R +
Por la propiedad:
T = 4( log3 3) + 5( log 2 2 ) + 3( log 7 7 ) T = 4 (1) +5 (1) +3 (1) ∴ T = 12 T= 4+ 5 + 3 D) Podemos elevar a una misma potencia a la base y al número, y el logaritmo no varía. ∀b > 0
∧ b ≠1;
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
∀x ∈R +;
∀n ∈Q
Tercer Año Secundaria01
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN log b x =log
bn
xn
Es una relación matemática que permite multiplicar logaritmos dispuestos en la forma.
Ejemplo: Para log 9 16 tenemos: log 9 16 = log 2 16 2 = log 81 256 , 9
o
también log 9 16 =log
Ejemplo: Calcular el valor de x de la igualdad:
16 =log 3 4
9
* Corolario: log n b b
m
=
log x 7 . log 7 32 = 5
m n
E) Cambio de base: Permite expresar el logaritmo de un número x en base b en otra base m, según la fórmula: log x m log x = b log b m
⇒ log m x = log b x . log m b
Incógnita Dato Dato
log 2 3
log 7 3 =
log 3 7
Después de simplificar cuidadosamente, nos queda: log x 32 = 5
=32
Observaciones: Para la resolución de algunos ejercicios pueden ser útil tener en cuenta las siguientes relaciones.
,
es
decir:
1 log b x = log x b
∀ x1, x 2 ∈ R + b > 0 ∧ b ≠ 1
REGLA DE LA CADENA
II)
Tercer Año Secundaria
Un sistema de logaritmo de base b, es el conjunto de todos los logaritmos de los números reales positivos en base b, tal que b > 0 ∧ b ≠ 1 Ejemplo: Para los conjuntos:
{ B = {y ∈ R / y = log
} x ; x ∈R }
A = y ∈ R / y = log 2 x ; x ∈ R + 0,8
+
Es fácil deducir que así como existen infinitas bases; existen también infinitos sistemas de logaritmos de entre los cuales los de mayor uso son dos. A) SISTEMA DE LOGARITMOS DECIMALES También llamados logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, es el sistema que tiene como base al número 10, es decir:
{
Notación
y = ln x: logaritmo natural del
C) FORMULAS DE CONVERSION I. Conversión de logaritmos naturales en decimales. log x = 0,4343 ln x Dato Icógnita
Tenemos: A : Es un sistema de logaritmos en base 2 B : Es un sistema de logaritmos en base 0,8
A = y ∈ R / y = log10 x ; x ∈ R +
Lectura: número x
}
II.Conversión de logaritmos decimales en naturales. ln x = 2,3026 log x Dato Icógnita
COLOGARITMO Y ANTILOGARITMO COLOGARITMO Se llama cologaritmo de un número de una base dada al opuesto (negativo) del logaritmo de dicho número, es decir:
+ ∀ x∈ R b > 0 ∧ b ≠ 1
utilizada: Co log b x =− log b x
log b x1 =log b x 2 ⇒ x1 =x 2
1 log 3 7
ÁLGEBRA
y =log 10 x =log x
I) Si:
PROPIEDAD: El logaritmo de un número x en base b es igual al inverso del logaritmo de b en base x.
S1RM31B
5
De donde: x = 5
Ejemplo: Expresar log 7 3 en base 7 Según la 1ra. Fórmula:
log 7 3 =
log x 7 . log 7 32 = 5
x
log 2 5
log 3 3
Aplicar la regla de la cadena en el primer miembro es equivalente a hacer simplificaciones sucesivas, tal como se indica:
Por definición de logaritmo se debe establecer que:
Ejemplo: Expresar log 3 5 , en base 2 De acuerdo con la 1ra. Fórmula:
log3 5 =
log b a . log a c . log c d . log d e = log b e
02
a log b c = c log b a
SISTEMAS DE LOGARITMOS
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
Lectura: y = log x logaritmos del número x B) SISTEMA NATURALES
DE
LOGARITMOS
También llamado sistema de logaritmos neperianos, en honor a su inventor Jhoan Napier, es el sistema que tiene como base al número trascendente: e= 2, 718 281 82.... Notación utilizada: y =log e x =ln x S1RM31B
ANTILOGARITMO Llamada también exponencial, se define así:
anti log b x =b x
∀ x∈ R b > 0∧ b ≠ 1
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
Tercer Año Secundaria01
Esto significa que la curva está situada siempre a la derecha del eje de las ordenadas (eje Y) Ejemplo: Reducir:
ÁLGEBRA
Tercer Año Secundaria
, la curva está situada siempre a la derecha del eje de las ordenadas (eje Y) Ejemplo:
T = Co log 2 4 + anti log 4 (0,5 )
II) F es univalente (inyectiva) en todo su dominio. Esto significa que tiene inversa.
II) F. es univalente (inyectiva) en todo su dominio por lo tanto tiene inversa. III)Intercepta al eje X en (1; 0) es decir el punto (1; 0) ∈ F
Por las definiciones: T = −log 2 4 +4 0,5
III)Intercepta al eje X en (1; 0) Esto significa que el punto: (1; 0) ∈ F
IV) La función es creciente en todo su dominio: ∀x 1 , x 2 ∈F , Si:
T = −log 2 2
2
+4
1 2
Por propiedad:
IV) La función es decreciente en todo su dominio ∀x1, x 2 ∈F, si:
x1 < x 2 ⇒ F( x1 ) > F( x 2 )
T = −2(log 2 2) + 4
T = −2(1) + 2
T=0 RELACIONES ENTRE OPERADORES: Colog ; antilog y log
V) Si x crece ilimitadamente, F(x) decrece ilimitadamente. VI) Si x se aproxima ilimitadamente.
Y I.
anti log b (log b x ) =x
II.
log b ( anti log b x ) =x
III.
02
F:y=bx
co log b ( anti log b x ) = − x
V) Si x crece ilimitadamente, ilimitadamente.
Y
F: y = bx
x1 1
x2
X
y=x
x2 X
F( x1)
Si : 0 < b < 1 Para este caso la gráfica de la función logaritmo es como se muestra; de donde se pueden apreciar las siguientes propiedades: I) Dom( F) = 0; ∞ ;
S1RM31B
Reciben este nombre todos aquellos logaritmos de base 10 como por ejemplo:
CASO II Si : b > 1 La gráfica de la función es como la mostrada en la figura De donde podemos apreciar las siguientes propiedades:
Ran ( F) = −∞; ∞ I) Dom ( F) = 0; ∞ ;
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
=2
log 0,001 =log10
4
log 10 = log10
1 4
− 3
=
=− 3
1 4
Si “x” no es una potencia racional de 10, su logaritmo es un número irracional. Observación: Dentro del cálculo logarítmico, es frecuente usar logaritmos de 2 y 3 ya que conociendo a estos, y con el auxilio de las propiedades de los logaritmos, se podrán conocer los logaritmos de todos Los números compuestos por ellos.
A) FORMA GENERAL LOGARITMO DECIMAL
DE
UN
log x = CARACTERISTICA , MANTISA
∀x > 0 Donde la característica y la mantisa se definen de la siguiente manera:
LOGARITMOS DECIMALES CASO I:
2
I) log 2 = 0, 30103 II) log 3 = 0, 47712 F: y = log x b
1
1
x11
crece
F( x2)
F-1: y = logbx
F(x1)
F(x)
VI) Si x se aproxima a cero F(x) decrece ilimitadamente.
cero, F(x) crece
y=x F(x2)
GRAFICA DE LA FUNCION LOGARITMICA
x 1 > x 2 ⇒ F(x 1 ) < F(x 2 )
log100 =log10
Ran ( F) = −∞ ;∞
y = log x , donde: x = 10 y
Es fácil deducir que si “x” es una potencia exacta de 10, es decir de exponente entero, su logaritmo “y” decimal, es también un número entero; en cambio si “x” es una potencia de exponente fraccionario de 10, su logaritmo decimal “y” será también un número fraccionario. S1RM31B
I) Característica: Es la parte entera del log x; ésta puede ser positiva o negativa y se puede calcular mediante reglas sencillas. II) Mantisa: Es la parte decimal del log x, y se calcula mediante tablas. B) DETERMINACION DE LA CARACTERISTICA Considerando al logaritmo de x: log x, se distinguen dos casos para determinar su
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
Tercer Año Secundaria01
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN característica, la misma que se calculará teniendo en cuenta las siguientes reglas: I) Si x > 1 ⇒ log x > 0 La característica en estos casos es positiva e igual al número de cifras de la parte entera de x disminuido en uno ( 1 ).
a) 5 d) 11
b) 7 e) 3
c) 9
02
ÁLGEBRA
a) 1
b) 2
Tercer Año Secundaria
c) 3
d) 4
1 1 1 + + 1 + Log bca 1 + Logac b 1 + Log ab c
e) 5
11. Determinar “x” a partir de : 3x = 5 03. Con los siguientes datos: Log 2 = a y Log 3 = b Hallar: Q = Log 72 a) 2b + a d) 2b + 3a
b) a – 2b e) 3 – 2a
c) 3b – 2a
a) x = log5 3 c) x = 3log 5 e) x = log 1/35
a) ½ d) ab + ac + bc
b) x = log35 d) x = 5log 3
la característica es : 3 - 1= 2 log 2 457,29 , la característica es : 4 - 1 = 3
Co log16 9
II) Si 0 < x < 1 ⇒ log x < 0 La característica en estos casos es negativa e igual al número de ceros que suceden a la primera cifra significativa de x incluyendo al cero ubicado a la izquierda de la coma decimal.
Ejemplo : log 0,000923 , la característica es : -4 = 4 log 0,0089
, la característica es : -3 = 3
a) 2
log 5 2
log 2 7
log 7 3
b) 4
c) 1/4
d) 1/2
a) 10 d) 10
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 06. Calcular “α” en : α = ( log tan 1° ) ( log tan 2° ) ( log tan 3° )....... ( log tan 89° )
PRÁCTICA DE CLASE 01. La igualdad:
log a x
x =a Se cumple si y sólo si:
a) a > 0 ; x ∈ R b) a > 1 ; x ∈ R – {0} c) a ≠ 1 ; x > 0 ∧ a > 0 d) a ∈ R – {1} ; x ∈ R – {0} e) a > 1 ; x > 0 02. Calcule:
E = Log 6 216 + Log8 64 + Log13 169 S1RM31B
a) 10
b) 2
d) 0,1
b)
e) 0,01
2
“x” 2
b) 14 e) 4
14. Calcular:
3
Log 7 5
Log 4 7
a) 2 d) 5
32 7(x −2)
=5
15. Calcular:
Indicar el valor de “x”. a) 48
b) 51
c) 55
d) 58
e) 16
09. Halle el mayor valor de “x” en la igualdad : 2
log11 ( x −7 x +21)
5
a) 2
b) 3
c) 4
Log 3 4
e) 6
10. Resolver y hallar “x” en la ecuación
1 1 + = log15 log ( x +3) 10 log( x +1) 10
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
Log a x
a) 1 d) 4
17. Reducir: S1RM31B
b) 2 e) 5
b) 8 e) 0,25
100
c) 4
Log x
. 3 +10
Log10
=17
Log x
b) 2/5 e) 5
c) 3/2
21. Hallar “x” en: 1+Lnx
3
Log b 3
+ 7x
a) 2 d) 0,5
−co log 7 2
2 +Lnx
+3
=2
3+Lnx
Log c 4
Log 3 a
b) 25 e) 125 3
2 + anti log 2 Log3 9 +7
a) 2/3 d) 5/2 c) 4
Log 5 c
c) 3
20. Señalar la menor raíz de la ecuación:
a) e d) e c) 5
23. Si: c) 3
b) e2 e) e/2
c) e-1
22. Luego de resolver: Lnx Lnx + 42 = Lnx13 señalar el producto de sus soluciones a) e4 d) e8
Log a 3
si se sabe que: x = 2 Log 3a
=3
d) 5
a) 2 d) 1/5 16. Calcular:
log1125
Log a 2 Log b 4 5
b) 2 e) 5
10
b) 3 e) 7
+Log0,5 Log3 81
19. Calcular:
c) 6
08. A partir de la igualdad : log log
en:
Log5 ( 2 x −3) =4
a) 1 d) 4
Log 0.5
10
e) 1
13. Hallar
Log 4
c) 100
10
10
a) 10 d) 2
b) 1 c) 0 e) [log tan 89° ]89
c) 100
e) N.a.
05. Simplificar : M = log94 . log53 . log725 . log2 49
a) log tan 89! d) –1
8 − Anti log 3 2 log5 75 + Co log 5 3
2 log
A = Antilog
log 9 5
07. El valor de “x” diferente de 1 que verifica : log x2 = ( log x )2, es :
Observación.- la expresión 3,176 091 indica que solo la parte entera es negativa, es decir, no debe confundirse con: - 3,176 091. Si se desea saber el valor de 3,176 091 , se deberá efectuar así: - 3 + 0,176 091 = - 2,823 909
0, 25
04. Hallar el valor de : P=
c) a + b + c
18. Calcular:
12. Obetener el valor reducido de : Ejemplo : log 457 ,
b) abc e) 2
b) e7 e) e13
c) e6
Log a b =3 y Log b 4a = 2 ,
indicar el valor de “b” a) 2 5 8 b) 2 5 2 d) 2 e) 2 3 2 24. Resolver: Loga64 Logxa = 3
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
c) 4 3 2
Tercer Año Secundaria01
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 2 d) 4
b) 8 e) 5
c) 6
Log x −2 Anti log3
25. Al resolver la ecuación: x log x ( x +4 ) podemos afirmar:
= 25
log 4 +2
+3
b) 190 e) 1181
log 6 +2 ; 5
c) 187
27. El equivalente de : Q= a) 2
b) 4
16
log 9 8
log 4 3
Log log 10 = Colog x x Co log Anti log x
c) 8
[a (
d) 16
3 − 2 )
x
]2
=0,5
a) 0,8355 d) 0,7218
3− 2)
b) 0,9375 e) 0,6521
c) 0,5724
5 Log 1
1 9
+ Anti log0, 25
a) 10
b) 10 2
d) 10 4
e) N.A.
3 4 3 4
; ;
2 3 5 4
> b) <0; > e) <
3 4
3 2
>
;
3 2
c) <
1 4
1 2
-2a
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
x
1 2
log
co log 1000 anti log 1000 (-1) = 0
log x + log y = log(x+y) ¿Cuántas son falsas?
µ
2 µ
c)
a) todas d) 1
b) 3 e) Ninguna
1 2
;
3 2
c) 2
05. Siendo : a > 1 ∧ b > 1, reducir :
e) 1µ
E= b
a
log log b a log a
>
PROBLEMAS PROPUESTOS
c) a b
a) a
b) b
d) b a
e) ab
06. Siendo a + b > 0, reducir : E= log
01. Calcular :
d)
a
µ
b) 2 log 3 c) - 2 log 3 e) No existe en R
•Los logaritmos de números reales positivos son siempre positivos. •Es falso que en ningún caso se cumple que :
x
b)
b)
7 2
02. El valor :
(
7 7
a) 1
P
30. Hallar “x” en : S1RM31B
d)
> - {1}
L
C
-1 c) 4
•
a
a) 2µ
e)
7
7
) L=
c) 7
7
7 2
log
a
a a
100
a) 2
.
3
log b b
10
es : a) 100
b) 1000
d) 10
e)
S1RM31B
2 8
• co log 0 ,1 1000 000 = 6
Calcule el segmento OQ
c) 10 3
4
b) 3 e) 6
45°
co log 6
04. De las proposiciones siguientes :
2a; - 1 2
34. En la figura C representa una función logarítmica y L una función lineal. Hallar la suma de las coordenadas en el punto P.
25
a) 2 d) 5
a) - 3 log 3 d) 3 log 2
Curva Logarítmica
O
F(x) = log ( 4 x −3) ( 3 − 2 x )
log 9
Co log 8 0,5
anti log 4 y = log 2 2
e) 2
= 10 25 ……… (2)
y
29. Calcular :
03. Calcular log y si :
c) 1
recta
Calcular (x - y) .
d) <
2 3
Q
log x
a) <
Tercer Año Secundaria
b)
c) 2/3
10 ………… (1) y = 10
e) 32
3 2 1 2
y
32. Si :
Obtener el valor de : log a 4 a(
b) 1/3 e) 3/5
ÁLGEBRA
35. Del siguiente gráfico :
33. Encontrar el dominio de la función F definida por:
28. Sabiendo que : 3
d) 3
y
a) 198 d) 202
log a
31. Hallar “x” en :
a) 1/5 d) 2/5
+5
3
a)
Rpta : ...............
26. El valor de : log 2 3+2
5
Anti log3 2 = 3
2
a) Admite como solución a la unidad b) Se verifica para x = -9 c) Su C.S. = {-9; 1} d) Es inconsistente e) Es indeterminada
M = 2 es :
02
c)
log a 100
d)
log 3 log 9 ( a + b ) 18 1 +log 9 log 3 ( a + b ) b)
1 2
07. Siendo : reducir :
e)
3 2 1 4
c) 1
{a; b; c; x; y} ⊂ R + - {1}
log b 100
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
L=
a)
x
log abc
log y x x log y x y
y
x y
y
log abc
y x
b)
log x 4 log x 4
x
a) 2
c) 1
1 1 1 − + 1 + log 3 (10e ) 1 + Ln 30 1 + log( 3e ) es : b) log 3 e) log (3e)
c) Ln 10
09. Resolver la ecuación logarítmica : 4 log x = 10 x x
b) 10 e) 1 x
=
b) 4 e) 7
9
x
d)
d)
b)
1 27
e)
a) 2 d) 5
2
a) 5 d) - 5
a) 3 −1
c)
1 81
1 9
co log8 log8
b) -
d) - 3
e) 0
1 2
log 2 x
log 3 6 .
1 3
02.
b) 3 e) 0
c) 2
UNT - 96 : AREA “A” La expresión :
1 1 1 + + Log p x Logq x Log r x
c) 3
Es equivalente a : a) Log pqr x b) Log p x.Log q x.Log r x log
a)
10
b)
10 2
d)
2 2
e)
2
c) Log pqr x
log x
c)
1 Log pqr x
1 2 03.
3
d)
1 e)
Log pqr x
3
UNT - 96 : AREA “A” y “B” El conjunto solución de la ecuación :
c) 2 CLAVES DE PROBLEMAS PROPUESTOS
e) 8
1 e 6
17. Resolver :
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
CEPUNT 96 : III SUMAT. AREA “A”
a) 4 d) 1
Calcular :
=
c 15 a 20 d
Una de sus raíces es :
log log log x = 1 + log 2
R = log
b 14 e 19 d
( log 2x 6) ( log 6 x ) + 0,5 = Log x 2
1 3
c)
log 2 3 . log 6 3 + log 3 2 . log 6 2
20. Sabiendo que :
c) 3 −3
1
d) 4
1 9
b 13 e 18 a
Al resolver la ecuación :
= 2x log 3
b) 3 −2 e) 2
b)
=0,5
e) Absurdo
1 3
a)
3
1 4
b) -
01.
x
-
12. Hallar una solución de la ecuación :
S1RM31B
)
=1
b) 7 c) 4 e) No tiene solución
6 − log 2 x 16. Resolver : log x log x 4
a)
x
b 12 d 17 d
TAREA DOMICILIARIA
log 2 6
= 27 x
1 3
c) 4
19. Calcular el valor de :
2
log x
)
:
1 9 1 d) 3
E=
x− 1
x −3
b) 3 e) 6
(log8
c) 2
( x +1) −log 1 ( x −3)
x− 2
x +3 −
x
e) Ecuación Absurda
2 x
Dar la menor de sus soluciones : a) 3
(
18. Resolver
3 2
b)
d) 3 11. Resolver :
2
a 11 e 16 e
=1
2
2
c) 5
3
c) 4
15. Hallar el valor de “x” en la ecuación : x
log
log
a)
1 2 5 2
a)
Tercer Año Secundaria
1 +log 2 ( x −4 )
1 x
es :
log 1
c) 0,1
x log x x
a) 3 d) 6
=
b) 4 e) 2 4
14. Resolver :
2
y dar el producto de sus soluciones :
10. Resolver :
4
2 log 2 + log 4 − 5x − 6x = 3 log (2 x − 1)
E=
a) 100 d) 0,01
log x
ÁLGEBRA
13. Una solución de la ecuación :
08. El equivalente de :
a) 1 d) Ln 30
2
d) 16
e) ( abc ) xy
d) xy
02
Tercer Año Secundaria01
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
S1RM31B
2 d 7
3 e 8
4 d 9
5 a 10
(anti log x 2 ) (co log x 2 ) = −8 Log4 x es :
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
07.
04.
a) {-2}
b) {-2 ; 2}
d) {-2 ; 4}
e) {2 ; 4}
c) {2}
a) 25 d) 10
En la expresión: 5 Log a 10 =N ; se cumple la siguiente relación : 1) 2) 3) 4)
08.
05.
09.
c) 15
b) 5 e) 125
c) 5
CEPUNT 1999 - 2000 : AREA “A” El valor de “x” en la ecuación :
b) 2 y 4 e) N.A
c) 3 y 4 1 +log 2 ( x −4) =log
a) 5 d) 8
El valor de “x” que satisface la ecuación :
Log x x Log +1 = 0 ; x2 a) 10 0
b) - 10 0
d) - 10 −1
e) 10 2
2
(
x +3 − x −3
)
es :
UNT - 97 : AREA “B”
06.
b) 20 e) 5
es :
UNT - 99 : AREA “A” El valor de x en la ecuación :
a) 1 d) 25
Son ciertas : a) 1 y 4 d) 5
Tercer Año Secundaria
Log5 x + Log x 5 = 2 ; es :
El valor de “N” es el doble del valor de “a” El valor de “N” es igual que el valor de “a” El valor de “N” es el cuadrado del valor de “a” El valor de “N” es mayor que el valor de “a”
5) El valor de “N” es menor que el valor de “a”
ÁLGEBRA
UNT - 99 : AREA “A” La suma de las raíces de la ecuación : 2 Log x − 15 x = 2
UNT - 96 : AREA “B”
02
Tercer Año Secundaria01
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
es :
c) 101
10.
b) 6 e) 9
c) 7
CEPUNT 2000 - I SUMATIVO AREA “A” Al efectuar : ( −1) 6
log 2
log 4
2
+
16 +5
se obtiene :
UNT - 99 : AREA “B”
a) 19
b) 4
d) 71 / 2
e) 7
c) 11
Al simplificar la expresión : x −e e
Lnx
x
se obtiene: a) -1 d)
S1RM31B
x −e e
x
b) 0
c) 1
e) e −x
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
S1RM31B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."