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Índice Elementos básicos de la geometría plana. . . . . . . . . . . . . . . 4 Definición de conceptos de la geometría plana. . . . . . . . 5 Ángulos en el plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Clasificación de los ángulos según su medida. . . . . . . . . 7 Clasificación de los ángulos por la suma de su medida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Clasificación de pares de ángulos por la posición de sus lados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 Clasificación de pares de ángulos por su posición entre dos rectas paralelas y una transversal. . . . . . . . . . . 12 Triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Clasificación de los triángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Propiedades de los triángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Congruencia de triángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Teorema de Tales y Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Clasificación de los polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Elementos de un polígono regular. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Propiedades de los polígonos convexos . . . . . . . . . . . . 22 Perímetro y área de triángulos y páralelogramos. . . . . . . . 24 Regiones poligonales y áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 La circunferencia y sus elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Medición de ángulos en la circunferencia. . . . . . . . . . . 27 Razones trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Leyes de Seno y Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Estadística descriptiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2
Introducción Hola hijos de dios, es hora de que sepan que no la matemáticas. La Matemática es la ciencia que se ocupa de describir y analizar las cantidades, el espacio y las formas, los cambios y relaciones, así como la incertidumbre. En esta revista hablaremos sobre: - Los triángulos ángulos y relaciones métricas. - Identificamos diferentes tipos de ángulos y triángulos, utilizamos las propiedades y características de diferentes tipos de ángulos y triángulos. - Resolveremos ejercicios y problemas de su entorno mediante la aplicación de las propiedades de la suma de ángulos de un triángulo. Esperemos que nuestra revista les pueda servir y les guste mil, gracias hijitos.
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Elementos básicos de la geometría plana La geometría plana está ligado de tres conceptos que son: la línea, el plano y el punto, los cuales se denominan primitivos.
- El punto: El punto no tiene longitud, anchura ni espesor. (Figura 1) - La línea: Tiene una sola dimensión: longitud, tiene anchura y espesor. Pueden ser rectas, curvas o ambas. (Figura 2) - Plano: Tiene la superficie como la de una pared o un piso. (Figura 3)
Figura 1 Un punto.
Figura 2 Línea.
Figura 3 Plano.
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Definición de conceptos de la geometría plana
La geometría son las figuras que se hacen en un plano. • Puntos colineales: son puntos que están en una misma recta. (Figura 4) • Puntos coplanares: son puntos que esta ubicados en un mismo plano. (Figura 5)
A
B
Figura 4 Puntos colineales.
Figura 5 Puntos coplanares.
• Rectas paralelas: son rectas que están en un mismo plano pero no se intersecan. (Figura 6) • Rectas intersecantes: son tres o más rectas con un punto en común. (Figura 7) • Rectas concurrentes: son 3 o más rectas en un mismo punto. (Figura 8)
Figura 6 Rectas paralelas.
Figura 7 Rectas intersecantes.
Figura 8 Rectas concurrentes.
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• Segmento de la recta AB: es una recta que dos puntos están en la misma como A y B. (Figura 9)
Figura 9
• Segmentos de recta congruentes: si dos segmentos de recta tienen la misma longitud entonces son congruentes
Figura 10
A
AB
B
• División de un segmento de recta: es la división en partes de un segmento entonces su longitud es igual a la suma de las que dividiste. (Figura 10) • Punto medio: es el punto que está en medio de una recta. • Rayos opuestos: son puntos que son colineales. • Bisectriz o bisector de un segmento de recta: es cualquier punto, recta, rayo o plano que se interesequen en un segmento. • Polígono: es una figura geométrica por segmentos de recta.
Figura 11
• Ángulo: son un par de rayos que tienen un punto en común. • Circunferencia: es una curva que está cerrada en la que dos puntos están en un mismo plano. (Figura 11)
Figura 12
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• Arco: son dos puntos en una circunferencia. (Figura12) • Ángulo central: es el vértice que está en el centro de una circunferencia.
Ángulos en el plano Clasificación de los ángulos según su medida • Agudo: mide más de 0 grados a 90 grados. • Recto: mide 90 grados. • Obtuso: mide más de 90 grados pero menos de 180 grados. • Llano: mide 180 grados. • Cóncavo: mide más de 180 grados pero menos de 360 grados. • Entero: mide 350 grados.
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Clasificación de los ángulos por la suma de su medida
• Complementarios: la suma de sus medidas es 90º • Suplementarios: las sumas de sus medidas es 180º • Conjugados: la suma de sus medidas es 360º
Ejemplo Cuatro ángulos suplementarios están a razón 7:5:3:6 • Encuentra en la medida de ambos ángulos Paso 1. Identifica qué tipo de ángulos son. En este caso son suplementarios, o sea, miden 80 en la suma de ambos. Paso 2. Para sacar la razón de cada ángulo suman los datos que te dan. 7 + 4 + 3 + 6 = 20
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Paso 3. Como el ángulo que forman juntos es de 180 . Calcula cuantas veces cabe el resultado de las razones mamados, o sea cuantos 20 caben en el 180º. 180 = 9 20 Paso 4. Ya tienes el factor. El número clave es en este caso es el 9, ahora sólo multiplica las razones por el número clave. 7 x 9 = 63º 4 9 = 36 3 x 9 = 27 6 9 = 54 Paso 5. Ésos son tus resultados. Si quieres comprobar sólo súmalos y si el resultado es 180 (por ser un ángulo suplementario) lo hiciste bien. 63 + 36 + 27 + 54 = 180
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Clasificación de pares de ångulos por la posición de sus lados • Adyacentes: tienen el mismo vÊrtice y un lado común • Adyacentes que forman un par lineal: cuyos lados no comunes son rayos opuestos forman un par lineal. • Opuestos por el vÊrtice: cuando dado rectos se intersectan, se llaman ångulos opuestos por el vÊrtice. Los opuestos son ångulos que los lados forman dos pares de rayos opuestos.
Ejemplo B
F G
#1 Los ĂĄngulos đ&#x;“? AOE y đ&#x;“? EOD son complementarios. La medida del
A
O
C
ĂĄngulo đ&#x;“? EOD es 15 menos (-15) que siete veces (7x) la medida del ĂĄngulo đ&#x;“? AOE.
E D
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Esto quiere decir que el ĂĄngulo đ&#x;“? EOD es 15 menos (-15) que 7 veces (7x) la medida del ĂĄngulo đ&#x;“? AOE y son complementarios (đ&#x;“? EOD + đ&#x;“? AOE = 90Âş) o sea (7x - 15 + x = 90 ) Para resolver sĂłlo tienes que encontrar el valor de x 7x - 15 + x = 90Âş 7x + x = 90 + 5 8x = 105 x = 105/8 x = 13.125ÂŚ
A. Deja todas las variables del lado izquierdo y las constantes de lado derecho. B. Suma lo que te quedĂł. C. Divide el nĂşmero en que la cantidad de variables. D. Ya tienes el valor de x.
Ahora resuelve lo que te pidieron: đ&#x;“? AOE = x
đ&#x;“? EOD = 7x - 15
x = 13.125
7 (13.125) - 15 91.875 - 15 = 76.875ÂŚ
#2 Si seis e es la bisectriz de GO y OE ÂżCuĂĄnto miden... đ&#x;“? GOC? đ&#x;“? BOF? đ&#x;“? FOG?
13.125ÂŚ
a) đ&#x;“? AOE y đ&#x;“? GOC on opuestos por el vĂŠrtice, o sea miden lo mismo.
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b) 📐 GOC, 📐 BOF y 📐 FOG Son ángulos complementarios (suman 90º), ya tienes 📐 FOG, solo te faltan dos ángulos. Restan 90 el valor que ya tienes 90 - 13.125 = 76.875¦ c) Te dicen que 📐 BOF = 📐 FOG eso quiere decir que entre los dos suman 76.875 . Para sacar el valor de cada uno solo divide 76.875/2 = 38.43
📐 BOF = 38.43 📐 FOG= 38.43
Clasificación de pares de ángulos por su posición entre dos rectas paralelas y una transversal
• Ángulos exteriores o externos: son los que quedan en la parte externa de las 2 rectas coplanares. • Ángulos internos o interiores: son los que quedan en la parte interna de las 2 rectas coplanares. • Ángulos alternos internos: son los pares de ángulos externos. No adyacentes y y que se encuentran en un lado diferente de la transversal. • Ángulos alternos internos: son los pares de ángulos internos que no son adyacentes y que se encuentran en diferente lado de la transversal. 12
• Ángulos correspondientes: son los pares de ángulos no adyacentes situados en el mismo lado de la transversal. • Ángulos exteriores consecutivos: los dos pares de ángulos externos situados del mismo lado de la transversal. • Ángulos interiores consecutivos: son los pares de ángulos internos situados del mismo lado de la transversal.
• Postulado de los ángulos correspondientes: Si dos rectas paralelas son cortadas por la transversal, los ángulos correspondientes son congruentes. • Teorema de ángulos alternos internos: Cada par de ángulos alternos internos son congruentes entre sí, si las dos rectas paralelas son cortadas por la transversal. • Teorema de ángulos internos consecutivos: Cada par de ángulos internos consecutivos son suplementarios, si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal. • Teorema de ángulos exteriores consecutivos: Si dos rectas paralelas son cortadas poco una transversal, 13
entonces cada par de ångulos exteriores consecutivos son suplementarios. • Teorema de ångulos alternos externos: Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ångulos alternos externos son congruentes entre si.
Ejemplo Los ĂĄngulos 5 y 6 son suplementarios, pero no lo resolveremos aĂşn ya que son variables distintas. 1. El ĂĄngulo 4 y 6 son iguales 50 = 6x - 3 y tenemos que saber el valor de x: 50 = 6x - 3 50 + 3 = 6x 53 = 6x 53/6 = x x = 8.83ÂŚ
50Âş 7y + 5
6x - 3
2. Ahora de resolver el ĂĄngulo cinco 5 y 6 son suplementarios 7y + 5 + 6x - 3 = 180 7y + 5 + 6(8.83) - 3 = 180 7y + 5 + 53 - 3 = 180 7y + 55 = 180 7y = 180 - 55 7y = 125 y = 125/7 y = 17.85ÂŚ
3. Y listo đ&#x;“? 5 = 7y + 5 7(17.85) + 5 125 + 5 130ÂŚ
đ&#x;“? 6 = 6x - 3 6(8.83) - 3 53 - 3 50ÂŚ 14
Triángulos Clasificación de los triángulos según sus ángulos - Triángulo acutángulo: sus tres ángulos son agudos - Triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto - Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso
Triángulos según el número de lados que poseen - Triángulo escaleno: Todos sus ángulos son de diferente longitud - Triángulo isósceles: Tiene dos lados de igual longitud - Triángulo equilatero: Tiene los tres lados de la misma longitud
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Propiedades de los triángulos
1. En todo triángulo la suma de sus ángulos internos es igual a 180º. 2. En cualquier triángulo, un ángulo externos es igual a la suma de los dos internos no adyacentes a él u opuestos. 3. La suma de los ángulos externos de un triángulo, es igual a 360º. 4. Cada ángulo de un triángulo equilatero mide 60º. 5. En un triángulo rectángulo, el opuesto al ángulo recto se llama "hipotenusa" y los otros dos lados "catetos". 6. En cualquier triángulo solo puede hacer un ángulo recto. 7. Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo, son complementarios. 8. En todo triángulo solo puede haber un ángulo obtuso 9. En todo triángulo a mayor lado se pone mayor ángulo y viceversa. 10.En un triángulo rectángulo isosceles cada uno de los ángulos agudos miden 45º. 11.En todo triángulo, la longitud de un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que la diferencia. 12.En un triángulo isosceles, la altura que corresponde a la base también es la mediana, bisectriz y mediatriz. 13.E n u n t r i á n g u l o , á n g u l o s d e i g u a l m e d i d a l e corresponden lados opuestos de igual longitud.
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Ejemplo A
El ĂĄngulo c (x) se suplementa con el externo (suman 180 entre los dos). 160 + x = 180 x = 180 - 160 x = 20ÂŚ
(3x - 2)°
160Âş
x°
C (2y + 3)°
B
Tenemos lo que vale x, ahora nos servirĂĄ para resolver el ĂĄngulo A đ&#x;“? A = 3x - 2 3(20) - 2 60 - 2 = 58 ÂŚ Ahora, los ĂĄngulos interiores son suplementarios SĂłlo resolveremos la ecuaciĂłn 3x - 2 + x + 2y + 3 = 180Âş 3(20) - 2 + (20) + 2y + 3 = 180 60 - 2 + 20 + 2y + 3 = 180 81 + 2y = 180 2y = 180 - 81 2y = 99 y = 99/2 y = 49.5 ÂŚ
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Congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes si sus ángulos y lados son de la misma medida • Criterio LLL. Sus tres Llanos son congruentes • Criterio LAL. Los de sus lados y un ángulo que forman son congruentes • Criterio ALA. Si dos de sus ángulos y un lado son congruentes
Ejemplo B
D
2 A
En esta figura, C es el punto medio de AE » ¿Cuál es el criterio que los vuelve semejantes?
4
1
3 C
E
a) En BAC y DCE aparece esto ¦__ __¦que quiere indicar un ángulo recto por tanto ya tienes una A. b) En el problema te dicen que C es el punto medio de AE, o sea que AC = CD. Ya tienes una L. c) Recordemos las propiedades: Ángulos opuestos son iguales así que 2 = 3. Ya tienes A. El criterio de congruencia sería ALA
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Teorema de Tales y de Pitágoras
- Teorema de tales: Dos triángulos con un ángulo común y los lados opuestos a este paralelos se llaman triángulos en posición de tales.
- Teorema de pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
Ejemplo B
P
A
QC = 10 PQ = 25 AC = 50 BQ = y
Q
C
Para obtener el valor de x haremos la comparación, una división entre ángulos correspondientes (PQ a AC, BP a PA y BQ a QC)
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Igual, siempre el más grande sobre más chico 50 = 10 » hagamos el despeje 25 X 50x = 10 - 25 50x = 250 x = 250/50 x = 5¦
Polígonos Una figura es un polígono si cumple estas condiciones: 1. Tiene 3 o más lados. 2. Los lados que tienen externos en común no son coliniales. 3. Cada lado intersecta a dos de los otro lados, pero solo en sus extremos.
Clasificación de los polígonos
Según sus ángulos - Polígonos convexos: no tienen ángulos mayores de 180º y la recta con la que se prolonga cada uno de los lados no corta ninguno de ellos. - Polígonos cóncavos: tiene al menos un ángulo mayor a 180º y la prolongación de cualquiera de sus lados corta al menos uno de ellos. 20
- Polígonos equiangulos: es equiangulo si todos sus ángulos son congruentes. - Polígonos equilateros: es equilatero si sus lados son congruentes. - Polígonos regulares: es el que es equilatero y equiangulo (lados y ángulos son congruentes). Según su número de lados Nombre
Número de lados
Triángulo
Tres
Cuadrilátero
Cuatro
Pentágono
Cinco
Hexágono
Seis
Heptágono
Siete
Octágono
Ocho
Eneágono
Nueve
Decágono
10
Endecágono
11
Pentadecágono
15
n-ágono
n lados
Elementos de un polígono regular
• Centro del polígono regular: Los centros de la circunferencia se inscribe y se circunscribe un polígono regular coinciden. • Radio de un polígono regular: al radio de la circunferencia circunscrita al polígono. 21
• Apotema de un polígono regular: segmento de la recta perpendicular trazando desde el centro del polígono a cualquiera de sus lados. • Ángulo central: al ángulo que forman dos radios consecutivos, todos son congruentes y su medida se calcula en 360/n
Propiedades de los ángulos convexos
1. La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados, designada como Sainternos es igual a 180(n-2)
Sainternos = 180(n - 2) 2. Los pares de los ángulos externos e internos en cada vértice son suplementarios:
aexterno + ainterno =180º 3. La suma de la medida de los ángulos externos de un polígono, uno en cada vértice, es 360º
Sainternos + Saexterno = n(180) 4. La medida de cada ángulo externo (aexterno) de un polígono regular de n lados es igual a 360º/n 5. La medida de cada ángulo interno de un polígono regular de n lados es igual a 360º/n 22
6. El nĂşmero de diagonales (d) que pueden trazarse desde cada uno de los vĂŠrtices de un polĂgono convexo de n lados es igual a n-3. 7. El nĂşmero de diagonales (d) que se pueden trazar desde todos los vĂŠrtices de un polĂgono se obtiene con expresiĂłn
d = n (n - 3) 2 Ejemplo
3y+2
4y-5
7y+3 9y-13
Halla la medida de đ&#x;“? E 6y-1
5y+2
1. Sabemos que la suma de ĂĄngulos internos dan 180(n-2)
O sea: 3y+2+4y-5+6y-1+7y+3+5+2+9y-13= 180(6-2) Juntemos tĂŠrminos 3y+4y+7y+9y+6y+5y Âť 34y 3+2-5-1-13+2 Âť -12 34y-12 = 180(4) 34y-12 = 720 34y = 720+12 34y = 732 y = 732/34 y = 21.529 23
Entonces:
đ&#x;“? E = 9y-3 đ&#x;“? E = 9(21.529)-3 đ&#x;“? E = 193.76-13 đ&#x;“? E = 180.7ºŒ
PerĂmetro y ĂĄrea de triĂĄngulos y paralelos PerĂmetro: es la longitud de su contorno.
Regiones poligonales y ĂĄreas - RegiĂłn polĂgonal: es la uniĂłn de todos los puntos de un polĂgono y su interior. - Ă rea y uniĂłn de ĂĄrea: la unidad de ĂĄrea se relaciona con la unidad de longitud y puede deďŹ nirse como ĂŠl ĂĄrea de la regiĂłn que forma un cuadrado cuyo lado es de longitud unitaria.
Âť Ă rea de un triĂĄngulo A = bh/2 Âť Ă rea de un rectĂĄngulo A = bh 24
» Área de un cuadrado A = lxl » Área de un rombo A = dD/2 » Área de un trapecio A = mh » Área de polígonos regulares A = bh/2
Ejemplo
» Calcula el área de un polígono regular de 12 lados, si cada uno de sus lados mide 7cm. Repasemos las fórmulas A=nbh 0=0central 2 2
a=1/2 b tan0
Tendremos que sacar primero el valor de 0 0central = 360 » 360 = 30 n 12 25
Ahora el apotema (a) a = 0.5 b » 0.5(7) = 3.5 = 13cm. tan0 tan15 0.2679 Por último, calculamos el área 2
A = nbh » (12)(7)(13)= 1092 = 546cm 2 2 2
La circunferencia y sus elementos - Circunferencia: es el conjunto de los puntos en un plano
-
que equidistante a la misma distancia de un punto fijo dominado centro. Radio (r): es cualquier segmento de recta / distancia de cualquier punto de la circunferencia a su centro. Diámetro (d): es una cuerda que contiene el centro de la circunferencia. Secante: cualquier recta que corta una circunferencia en dos puntos. Tangente: cualquier recta que contiene uno punto de la circunferencia.
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MediciĂłn de ĂĄngulos en la circunferencia
Âť MediciĂłn de un ĂĄngulo central: es aquel cuyo vĂŠrtice es el centro de una circunferencia, es igual a la medida de su arco correspondiente. Âť MediciĂłn de un ĂĄngulo inscrito: aquel cuyo vĂŠrtice es un punto cualquiera de una circunferencia y sus lados contienen cuerdas en esta, es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. Âť Medida de un ĂĄngulo seminscrito: es aquel cuyo vĂŠrtice es un punto cualquiera de una circunferencia, pero uno de sus lados contiene una cuerda de la circunferencia y el otro es una recta tangente a esta Ăşltima.
Ejemplo A R
#1 Determina la medida del ĂĄngulo đ&#x;“? ASB
65Âş 100Âş
O
S C
B
T
1. Determinar la fĂłrmula que me sirve Sabes que AB es igual a 100Âş Para determinar đ&#x;“? ASB, la fĂłrmula es x y o sea Âť AB Âť 100 = 50Âş 2 2 2
La medida de đ&#x;“? ASB = 50ºŒ 27
#2 En la circunferencia las rectas RT y AC son tangentes en el punto S ÂżNuestra fĂłrmula? El arco correspondiente, mide lo doble que el ĂĄngulo. En este caso: AS = 2đ&#x;“? ASR AS = 2•65 AS = 130ºŒ
Razones trigonomÊtricas para triångulos rectångulos Razones trigonomÊtricas • • • • •
Seno: lado opuesto/ hipotenusa (sen = CO/H) Coseno: lado adyacente/ hipotenusa (cos = CA/H) Tangente: lado opuesto/ lado adyacente (tan = CO/CA) Cotangente: lado adyacente/ lado opuesto (cot = CA/CO) Secante: hipotenusa / lado adyacente (sec = H/CA) • Cosecante: hipotenusa/ lado opuesto (cosec = H/CO)
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Ejemplo
B
Datos:
C
đ&#x;“? BCA = 90Âş
c
a
b
a = 60 cm b = 85 cm A
#1 Determina el valor de cada razĂłn trigonometrĂa para al ĂĄngulo A 1. Determina el valor de đ&#x;“? A ÂżQuĂŠ funciĂłn nos sirve? sen0 = CO/H cos0 = CA/H tan0 = CO/CA
Âť Tenemos datos en los catetos, es decir, nos sirve tangente (tan)
2. tanA = CO/CA tanA = 60/85 tanA = 0.70588 A = tan-1 0.70588 A = 35.21 A = 35Âş SenA = 0.5735 CosA = 0.81915 TanA = 0.7
3. Ahora solo usa la calculadora
CotA = 1.4281 SecA = 1.2207 CosecA = 1.7434 29
Ley de los cosenos Ley de los cosenos: El cuadrado de la longitud de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de la longitud de los otros dos lados. (c2=a2+b2-2ab cos C)
Ejemplo B 70 a 50 c
» Determina
la medida del ángulo C
Sustituyamos la fórmula: C
A
b 75
c2=a2+b2-2ab cos C »
c2-a2-b2 = cos C -2ab
Solo sustituimos y resolvemos: 2500-4900-4225 = cos C -2(70.65) -6625 = cos C = 0.73 -9100 C = cos-1 0.73 »
C = 42º¦ 30
Ley de los senos Ley de los senos: Las longitudes de los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Sen A = Sen B = Sen C a b c
Ejemplo B
1. Determinemos la medida del ángulo B 96
62º A
128
C
Tenemos que saber los datos que nos proporcionan 62º 128 96
El lado que corresponde a los 62º mide 96 Sustituyamos la fórmula: Sec C = Sen B » Sen 62º = Sen B c b 96 128 Ahora solo solucionémoslas: Sen 62º = Sen B 96 128 31
128 Sen 62º = 96 Sen B 128 (0.88) = 96 Sen B 113 = 96 Sen B 113 = Sen B » 1.17 = Sen B » B = Sen-1 1.17 96 = 53º¦
Estadística descriptiva La estadística proviene de la voz italiana "statista" que significa estadística. La estadística es la rama de las matemáticas cuyo objeto es ayudar a recolectar, organizar, presentar y analizar datos numéricos relativos a un conjunto de observaciones.
- Población: es el conjunto de todos los elementos de un -
-
grupo que se estudia. Muestra: es el conjunto de una población, el cual se selecciona por distintos métodos. Variable y dato: una variable es una característica de interés que presentan los elementos de una población o de una muestra. Experimento: es la actividad mediante la cual se obtiene conjunto de datos. Estadístico: es un número que resume los datos recopilados de una muestra. Parámetro: es un número que resume los datos recopilados de una población. 32
- Distribución de frecuencias: es una tabla en la que se presentan en forma estructurada todos los datos recopilados de la variable de estudio.
Distribución de frecuencias y clases » » »
Fronteras de clases: son las fronteras de clase o verdaderos límites de clases. Amplitud de clase: es la diferencia entre las fronteras superior e inferior. Marca de clase: es el valor medio del intervalo de clase y se obtiene mediante la fórmula.
Distribución de frecuencias acumuladas: La frecuencia acumulada de un dato o una clase es la suma de la frecuencia de la clase o el dato y las frecuencias de las clases anteriores a ella. Distribución de frecuencias relativas: Una distribución de frecuencias relativas influye los mismos intervalos de clase que una distribución de frecuencias.
Ejemplo
37 28 14 07 11 23 16 28 43 37 11 17 22 47 50 63 08 45 47 67 16 47 17 37 33
1. De estos números sacaremos: frecuencia absoluta (fi), frecuencia acomunada (Fi), frecuencia relativa (ni) y frecuencia relativa acumulada (Ni). Descubriremos los límites de las clases, la amplitud de la clase y la marca de la clase (Ci). En este caso, el número 7 es el menor, y el 67 el mayor. Esos son los límites de todos nuestros datos. » Para saber que tan grande harás los intervalos, solo los restas y divides el número de intervalos que quieras poner: 67 - 7 = 60 Redondeamos -en lugar de usar 67, usaré 70- y haré 7 intervalos. Intervalos
Ci
fi
Fi
ni
Ni
[0-10)
5
2
2
0.083
0.083
[10-20)
15
7
9
0.291
0.374
[20-30)
25
4
13
0.166
0.54
[30-40)
35
3
16
0.125
0.665
[40-50)
45
5
21
0.208
0.873
[50-60)
55
3
24
0.125
0.998
[60-70)
65
0
0
0.998
fi=24
Fi=24
Ci » Se saca sumando los límites y dividiéndolos sobre 2. fi » Se obtiene a partir del número de veces que se repite un número en cada intervalo. 34
Fi » Se obtiene sumando todas las Fi, con orden. ni » Se obtiene dividendo el número de fi entre el total de Fi (aquí, 24). Ni » Se obtiene con los mismos pasos que en Fi. Sumando los todos.
35