Безопорное движение

Гречко Н.Ф.

БЕЗОПОРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ

2012

УДК 008: 904.: 75.046.3(477.7) ББК 63.4(4Укр 73)32-434+85.143.56(4Укр73)32 Г64

Гречко Н. Ф. Г64 «Безопорное движение транспортных средств», – Одесса: Печатный Дом, 2012. - 208 с. Пособие по разработке, проектированию и эксплуатации транспортных средств с безопорным (самотяговым) перемещением, а также учебное – для специалистов в области транспортной энергетики. В книге изложены теоретические основы по энергетическим и силовым процессам в движительных системах различных видов транспорта. Предназначена широкой читательской аудитории, особенно интересующимся повышением эффективности работы транспорта (экономией энергии и сохранением экологии природной среды).

ISBN 978-966-389-318-1

© Гречко Н. Ф., 2012

‫٭‬3‫٭‬

ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга является пособием по разработке, проектированию и эксплуатации транспортных средств с безопорным (самотяговым) движением. Опорное движение транспорта осуществляется с помощью упора, создаваемого движителем (гребным винтом судна, ведущим колесом автомобиля, реактивным соплом самолета). Безопорное движение осуществляется при прямом действии внешней движущей силы на транспорт (перемещение парусного судна под действием давления движущихся воздушных масс на парус, плот на реке перемещается под действием сил трения движущегося потока, движение автомобиля при его буксировке и др.). Безопорное (самотяговое) движение транспорта достигается путем замены действия активной внешней движущей гидродинамической, центробежной силы на действие внутренней силы инерции. В книге изложены теоретические основы энергетики предприятий транспортной отрасли (основные законы механики, гидравлики и термодинамики). Приведены примеры решения задач, облегчающие лучшее усвоение материала по энергетическим и силовым процессам, протекающим в движительной системе транспорта (водного, наземного и воздушно-космического). Несмотря на постоянное совершенствование транспортной техники и достигнутые определенные успехи в повышении экономичности и надежности ее работы, перспективы дальнейшего применения существующего принципа преобразования энергии в движительных установках транспорта ведет к быстро нарастающему противоречию с природной средой, проявлением которого является недопустимое, уже в некоторых районах выходящее из-под контроля, ухудшение экологической обстановки. Применяемые способы перемещения транспорта требуют огромных энергетических затрат, а выбросы тепла транспортными системами загрязняют и разрушают окружающую среду. Потери энергии в любом процессе перемещения неизбежны, но удельные значения потерь энергии на единицу ‌­выполненной работы должны снижаться. Необходимо искать и реализовывать более совершенные принципы работы движительных установок транспорта (ДУТ).

‫٭‬4‫٭‬

При всем многообразии видов и конструкций ДУТ, у них общая структура и функции основных узлов и элементов: двигатель, система энергопередачи от двигателя к движителю и движитель. Безопорные ДУТ работают более эффективно и практически сводят к нулю негативное влияние на экологию природной среды. Автор не рассчитывает, что все высказанные соображения получат единодушную поддержку, однако, надеется, что у читателей появится желание ознакомиться с принципиально новым подходом к организации движения транспорта за счет сил, неконтактируемых с внешней средой, т.е. независимых от состояния среды, в которой движется транспорт, а также углубить исследования и возможности использования для технологических целей в других областях производства (генерирующих и потребляющих энергию). По характеру изложения материала книга рассчитана на широкий круг читателей со средним образованием, на неспециалистов и специалистов другого профиля. Все практические замечания и предложения по книге следует направлять в издательство.

‫٭‬5‫٭‬

ВВЕДЕНИЕ Перемещение, как и все процессы в природе, связано с энергообменом, т.е. с поглощением или выделением энергии. Любой технологический процесс можно представить как определенную совокупность элементарных процессов, протеканию которых препятствуют силы сопротивления (силы упругости, трения, вязкости, притяжения и т.д.). Силы характеризуют механические взаимодействия и описываются законами классической механики Ньютона (взаимодействия больших масс и малых скоростей движения). Взаимодействия элементарных частиц характеризуются изменением энергии и описываются законами квантовой механики (исчезающе малых масс и больших конечных скоростей). Все существующие в природе предметы являются физическими телами. Физические тела состоят из вещества или материи. Материя есть объективная реальность, проявляющаяся в наших ощущениях. Известны две формы материи: вещество (встречающееся в твердом, жидком, газообразном, плазменном и сверхсжатом состояниях) и поле (гравитационное, действие которого проявляется в мире больших тел; электромагнитное, проявляющееся в макро- и микромире; сильные и слабые поля, действующие только в микромире между частицами, находящимися на малых расстояниях). По современным представлениям, расстояния между атомными ядрами при самой плотной упаковке вещества не менее 10-8 см. Радиус атомного ядра имеет порядок 10-13 см. Соотношение этих размеров больше в сотни тысяч раз. Для более наглядного представления соотношения размеров, т.е. расстояний между атомными ядрами и радиусами самих ядер, упрощенно можно представить так, если бы мы стали рассматривать, например, обычную нитку, используемую в швейном производстве, через микроскоп с фантастическим увеличением размеров. Тогда мы увидели бы, что нитка, как и все ‌­окружающее, состоит из молекул, те, в свою очередь, состоят из атомов, атомы состоят из ядер и электронов. Нитка – это не единое целое, она состоит из множества атомных ядер, расположенных друг от друга на расстояниях, в сотни тысяч раз превышающих их собственные размеры (10‑8/10‑13 = 10-5 раз).

‫٭‬6‫٭‬

Если мысленно размер атомного ядра увеличить до размера футбольного мяча, то расстояния между соседними мячами будет не меньше 30 км. Растяжение нитки и ее разрыв означает, что эти расстояния стали еще больше в результате возросшего напряжения, увеличения количества движения как отдельных ядер, так и всей их совокупности. Для нас разрыв нитки представляется как разрушение чего-то непрерывного, разделение целого на отдельные части. На самом деле, растягивая руками нитку, молекулы руки (атомные ядра молекул) взаимодействуют с молекулами нитки и обмениваются с ними количествами движения. Некоторое количество квантов – порций движения от молекул руки (пальцев, держащих нить), переносятся к молекулам нитки, при этом количество движения молекул нитки изменяется. Эти изменения передаются от одних молекул нитки к другим. В результате количества движения молекул нитки увеличиваются до определенной величины, характеризующей прочность материала этой нитки, и нитка разрывается. В физическом поле отсутствует масса покоя. Поле связывает основные составные части вещества (элементарные частицы) в единые системы и передает с конечной скоростью действие одних частиц на другие. При взаимодействиях осуществляется энергообмен. В технологических процессах используются различные виды энергии: тепловая, механическая, электрическая и др., различие отдельных видов энергии определяется различной формой движения материальных систем. При переходе движения из одной формы в другую изменяется в определенных эквивалентных отношениях и величина энергии в тот вид энергии, которой обладает рассматриваемая система материальных тел. В случае полностью изолированной системы при любых происходящих в ней процессах, общая энергия системы не изменяется, так как движение – способ существования материи, всеобщее ее свойство; энергия не уничтожается и не создается вновь. В случае отдачи системой части энергии в окружающую среду, на такую же величину уменьшается и ее общая энергия. Полный запас энергии системы определяется всеми возможными видами макроскопических и микроскопических движений

‫٭‬7‫٭‬

и взаимодействий как самой системы, так и ее частей. Полная энергия системы складывается из кинетической энергии ее макроскопического движения, потенциальной энергии взаимодействия с внешними физическими полями и внутренней энергии. Под энергией тела понимают способность или возможность его производить работу. Потенциальную энергию (энергию положения) и кинетическую – (энергию движения) тела в целом или системы тел называют внешней энергией; потенциальную и кинетическую энергию частиц, составляющих тело (молекул, атомов, элементарных частиц), называют внутренней энергией. Пример внешней потенциальной энергии: сжатая пружина, газ в емкости под давлением, нагретое тело и др. Пример внешней кинетической энергии: вращение вала двигателя, движение атмосферных воздушных масс, движение в трубопроводе газа, жидкости и др. Внутренняя энергия тела зависит только от его внутреннего состояния: складывается из энергии межмолекулярных и внутриатомных взаимодействий, движений, колебаний и кинетической энергии хаотического (теплового) движения молекул и атомов. Энергия движущихся частиц тела зависит от степени его нагретости: чем выше температура тела, тем больше его внутренняя кинетическая энергия. В теплоэнергетике в качестве рабочих тел (энергоносителей) в турбинах и двигателях внутреннего сгорания используются водяной пар и газ (смесь продуктов сгорания с воздухом). Водяной пар обладает как внутренней кинетической энергией, определяемой его температурой, так и внутренней потенциальной энергией, определяемой расстоянием между частицами пара. При конденсации пара и испарении (процессы, протекающие с постоянной температурой), при превращении его в жидкость, уменьшается внутренняя потенциальная энергия (при испарении осуществляется обратный процесс), внутренняя кинетическая энергия остается без изменения, так как температура (при конденсации и испарении) сохраняется ‌­постоянной. Выделение энергии при конденсации связано с уменьшением расстояния между частицами пара, так как плотность воды во много раз больше плотности пара.

‫٭‬8‫٭‬

Работа, теплота и энергия измеряются в джоулях. В механике под работой понимают результат перемещения тела под действием приложенной к нему силы; в термодинамике – способ изменения внутренней энергии системы. Температура идеального газа пропорциональна средней энергии, приходящейся на одну молекулу. Изменение температуры указывает на изменение энергии. Работа служит количественной характеристикой изменения энергии в процессе силового взаимодействия макроскопических тел; функцией процесса изменения состояния системы. Первый закон термодинамики – закон сохранения и превращения энергии в тепломеханических процессах применяется для закрытых термодинамических систем (поршневых машин: двигателей внутреннего сгорания, компрессоров) в виде соотношения: dq = dU + PdV, а для открытых термодинамических систем (турбомашин: лопаточных компрессоров, паровых и газовых турбин) в аналогичном виде: dq = di – VdP. В обоих выражениях: dq – подвод (отвод) тепла к системе; dU – изменение внутренней энергии системы; di – изменение энтальпии (i = U + PV, здесь PV – механическая работа газа); PdV и VdP – совершаемая системой внешняя работа. Если система взаимодействует с окружающей средой не механически, а электрически, химически и т.п., то вместо механической работы L = ∫ VdP в уравнение первого закона термодинамики должны войти выражения для работы химических, электрических и других сил. Законы сохранения отражают важнейший принцип неуничтожимости материи и ее движения, взаимосвязь и взаимопревращаемость известных форм движения материи. Законы сохранения обладают функцией запрета. Они не дают детальных указаний на организацию технологического процесса. Но они в известной мере служат критерием истинности теории, реальности изобретения, если окажется, что какой-то процесс противоречит законам сохранения, то осуществить такой процесс невозможно. Законы механики чаще всего имеют вид законов изменения, а не постоянства физических величин. Так, например, законы Ньютона: первый закон инерции описывает связь состояния движения тела с действием на него внешних сил;

‫٭‬9‫٭‬

второй закон – действие сил на изменение скорости тел; законы Максвелла связывают изменение электрического и магнитного полей и их количественные характеристики. Законы сохранения предполагают существование физических величин, не изменяющихся во времени. Такими величинами являются импульс (количество движения), момент импульса (момент количества движения), энергия, электрический заряд. Существуют законы сохранения, справедливые лишь для ограниченного класса явлений – законы сохранения в теории элементарных частиц. По мере развития науки происходит уточнение законов сохранения. Так, с появлением теории относительности оказалось, что масса тела зависит от его скорости, а энергию необходимо определять так, чтобы она не обращалась в нуль, когда тело находится в состоянии покоя в выбранной системе отсчета.

‫٭‬10‫٭‬

ГЛАВА 1. МЕХАНИКА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ § 1. Общие сведения

Любое изменение состояния физического тела (механическое, химическое и др.) подчиняется определенным законам природы. Движение тел – законам механики. Классическая механика, основанная на законах Ньютона, хорошо описывает движение больших тел при относительно небольших скоростях перемещения. Для микрочастиц (элементарных частиц), движущихся с высокими конечными скоростями, справедливы законы квантовой механики. Создание и обслуживание высокоэкономичного оборудования требует широких технических знаний, среди которых важное место занимают знания о принципах действия и работы механических устройств, машин, знание законов теоретической и прикладной механики. Механизмом называют систему подвижно связанных между собой тел, совершающих под действием приложенных к ним сил определенные, заданные движения. Тела, входящие в механизм, называются звеньями. В механизмах имеются подвижные и неподвижные звенья. Звено, движение которому сообщается приложением внешней силы, называется ведущим, а звено, которому движение передается от ведущего, называется ведомым. Механизмы в большинстве случаев являются кинематической основой машины. Машина – это один или несколько связанных между собой механизмов, предназначенных для преобразования энергии из одного вида в другой (машины-двигатели, движители) или для выполнения полезной механической работы (машины-орудия). Двигатели: газовые турбины, двигатели внутреннего сгорания, преобразуют химическую энергию топлива в механическую; гидротурбины преобразуют механическую энергию движущегося потока воды в механическую энергию вращения вала турбины; электродвигатели преобразуют электрическую энергию в механическую. Движители: гребные винты морских и речных судов, паруса, реактивные струи газа, воды (рабочего тела), ведущие коле-

‫٭‬11‫٭‬

са автомобиля и др. преобразуют механическую энергию упора движителя в механическую энергию движения транспортного средства (судна, автомобиля и др.). Машины-орудия называются технологическими машинами – это станки, конвейеры, компрессоры, насосы, молоты, лифты. Технологические машины обрабатывают (преобразуют) материалы изделий, а транспортные – обеспечивают их перемещение. В механике природа сил не рассматривается, их делят на внешние силы, внутренние силы упругости и силы инерции. Нагрузка, действующая на тело при его взаимодействии с другими телами, называется внешней силой. По способу приложения внешние силы разделяют на сосредоточенные и распределенные. В отличие от распределенных нагрузок, сосредоточенные нагрузки действуют на очень малой площади твердого тела, в точке. По характеру действия нагрузки разделяют на постоянные (статические) и переменные. Наиболее простые нагрузки – сосредоточенные, статические. Под воздействием внешних сил тело деформируется. При этом взаимное сцепление между частицами материала (тела) оказывает противодействие внешним силам – так возникают внутренние силы упругости, которые распределяются по всей площади поперечного сечения тела равномерно или неравномерно. Отношение величины внутренних сил упругости, приходящихся на единицу площади поперечного сечения тела, называется напряжением. Напряжение является мерой интенсивности распределения внутренних сил. Так как внутренняя сила упругости, как и всякая сила, является вектором, то и напряжение – вектор. Единица измерения напряжения – Паскаль, Па = Н/м2. Если векторы внутренних сил и напряжения направлены под прямым углом (перпендикулярно) к сечению тела, их ‌­называют нормальными и обозначают σ (в жидких и газообразных телах называют давлением и обозначают Р). Если напряжение направлено (рассматривается) в плоскости сечения, то его называют касательным и обозначают буквой τ. В прикладной механике к этим буквам добавляют индексы,

‫٭‬12‫٭‬

обозначающие вид деформации: р – растяжение; с – сжатие; ср – срез при сдвиге; к – кручение. К внутренним силам можно отнести и силы инерции. Силы инерции не являются результатом непосредственного действия других тел на данное тело. Силы инерции возбуждаются движением самого тела и проявляются при его неравномерном движении. Как и другие силы, они способны совершать работу. Более подробная информация об использовании сил инерции для выполнения полезной работы приведена в разделе безопорного (самотягового) движения транспортных средств.

§ 2. Агрегатное состояние вещества

Вещество, наряду с физическим полем, – основная форма материи, представляющая совокупность дискретных (прерывистых) образований, обладающих массой покоя (атомы, молекулы и все построенные из них физические тела). Агрегатное состояние вещества – это состояние одного и того же вещества, отличающееся характером теплового движения частиц (атомов, молекул). Вещество в любой фазе агрегатного состояния: твердом, жидком, газообразном или плазменном может находиться только при определенных внешних условиях (температуре и давлении), изменение которых приводит к фазовому переходу из одного агрегатного состояния в другое. Твердое тело характеризуется стабильностью формы и объема, образующие его атомы совершают малые (тепловые) колебания вокруг фиксированного положения равновесия. Твердые тела делятся на кристаллические и аморфные. В кристаллических существует дальний геометрический порядок в расположении атомов и молекул, образующих пространственную или кристаллическую решетку (металлы, камни, песок и др.). Аморфные тела не имеют кристаллической решетки, их атомы располагаются беспорядочно (высоковязкие материалы: пластмассы, смолы и др.). Твердые тела обладают объемной упругостью и упругостью формы. Жидкие тела сочетают в себе некоторые характеристики твердых тел (сохранение объема, малая сжимаемость,

‫٭‬13‫٭‬

­ ольшая плотность, определенная прочность на разрыв) и б газообразных тел (отсутствует упругость формы, имеют высокую текучесть). Для жидкости характерны: ближний порядок в расположении молекул, атомов и малое различие в кинетической энергии теплового движения молекул и их взаимодействия (потенциальной энергии). Движение молекул состоит из колебаний около положения равновесия с относительно редким переходом от одного равновесного положения к другому, с этим связана текучесть жидкости. Газообразные тела имеют значительно большую кинетическую энергию теплового движения частиц (молекул, атомов, ионов) по сравнению с потенциальной энергией (молекулярного взаимодействия) частиц, поэтому частицы двигаются хаотично, свободно, равномерно заполняя весь предоставляемый им объем. Агрегатное состояние вещества характеризуется внутренним трением – вязкостью. Вязкость твердых тел приводит к необратимым энергетическим процессам, потреблению, т.е. преобразованию подведенной энергии в работу при пластических деформациях тела. Работа деформации, отнесенная к поперечному сечению или объему деформируемого образца, характеризует величину расхода энергии на обработку детали или потерю энергии (при деформациях тела). Вязкость жидкостей и газов оказывает сопротивление перемещению одной их части относительно другой. Вязкость связана с переносом импульсов молекул (количества движения) из одного слоя жидкости или газа в другой. Плазменное состояние характеризуется полной или частичной ионизацией газа (молекулы газа при высоких температурах или электрических разрядах полностью или ‌­частично ‌­распадаются на положительно и отрицательно заряженные частицы – ионы); общий электрический заряд плазмы равен нулю (примеры: пламя в камерах сгорания двигателей, топках паровых котлов, печей, электрическая искра, молния, разряд в люминесцентной лампе дневного света и др.).

‫٭‬14‫٭‬

Изменением температуры или давления вещества можно его переводить из одного агрегатного состояния в другое, например, подвод тепла к кусочку льда: вначале он переходит при постоянной температуре в жидкое состояние, а затем при более высокой и тоже постоянной температуре переходит в газообразное состояние (пар). Газ, поставляемый в газовых баллонах, находится в жидком состоянии под давлением. При подаче газа к горелке, у которой его давление снижается, газ переходит из жидкого состояния в газообразное и горит. Некоторые твердые тела, такие как нафталин, твердая углекислота, «сухой лед», твердый йод при нагревании сразу переходят из твердого состояния в газообразное. Такой процесс называется сублимацией или возгонкой.

§ 3. Понятие о физическом законе

Процессы, протекающие в окружающем нас мире, – это сложные явления, зависящие от многих факторов. Изучение даже простого процесса, если учитывать все влияющие на него причины, факторы, оказывается весьма сложным. В связи с этим возникает необходимость в упрощении описания рассматриваемого процесса путем отбора и учета лишь основных факторов, существенно влияющих на ход этого процесса и ему подобных. Например, для оценки движения лодки от одного берега к другому можно ограничиться знанием только одного фактора – ее грузоподъемностью. Если же требуется привести лодку в конкретное место на другом берегу, то необходимо учесть скорость течения реки, силу и направление ветра и сопротивление воды, т.е. располагаемую движущую силу лодки. Упрощенное рассмотрение процесса позволяет установить сравнительно простые количественные связи между различными величинами, характеризующими эффективность процесса. Эти связи и называются физическим законом. Как правило, связь между физическими величинами выражается математическими уравнениями. Возможны два способа записи уравнений:

‫٭‬15‫٭‬

Уравнения для величин. В этом случае каждая физическая величина может принимать различные значения (равные произведению численного значения величины на единицу измерения). Поэтому уравнения для величин не зависят от выбранной системы единиц измерения. Следовательно, физический закон остается справедливым независимо от выбора единиц. В данной книге все уравнения представляют собой уравнения для величин. В этом случае единицы измерения оставшихся величин не могут быть выбраны произвольно. Тогда единицы измерения указываются после формулы, например: Ne - мощность, кВт; V - скорость, км/ч; R – сила сопротивления, кН и т.д.

§ 4. Понятие о физической величине и ее измерении

Физические законы выражаются в виде математических соотношений между физическими величинами. Физическая величина – это количественная характеристика измеряемого свойства объекта – физического тела, явления или процесса. Так, длина, температура, давление, удельный объем, масса, сила электрического тока, количество теплоты – физические величины. Каждая физическая величина представляет собой произведение ее численного значения на единицу измерения. Измерить какую-либо физическую величину – значит сравнить ее с однородной величиной, условно принятой за единицу измерения. В настоящее время установлена и применяется Международная система единиц, получившая сокращенное название СИ, а ее единицы – единицами СИ. В системе СИ в качестве основных используются семь единиц: метр – единица длины, м; секунда – единица времени, с; килограмм – единица массы, кг; ампер – единица силы электрического тока, А; Кельвин – единица температуры, К; моль – единица количества вещества, моль; Кандела – единица силы света, Кд. Все остальные единицы представляют собой произведения степеней основных единиц, не содержащие численных коэффициентов, т.е. образуются когерентно из основных единиц. Другие единицы являются некогерентными и поэтому не входят в систему СИ. Например, Ньютон (Н) – когерентная единица силы. Так как 1 Н=1кг·м/с2, эта единица выведена без числен-

‫٭‬16‫٭‬

ного коэффициента. Единица киловатт (кВт) – некогерентная единица мощности, поскольку 1 кВт=103 кг·м/с3, т.е. она выведена с помощью численного коэффициента (103). Различают скалярные и векторные величины: Скалярные величины полностью характеризуются ‌­численным значением и единицей измерения. Например, длина l, время t, масса m, температура Т. В расчетах скалярные величины выражаются действительными числами, с ними можно производить любые действия, которые выполняются с действительными числами, они могут иметь положительные или отрицательные численные значения (исключение составляет температура по шкале Кельвина). Векторные величины полностью характеризуются численным значением величины, единицей измерения и направлением, например, скорость, сила, напряженность физического поля.  Над  обозначением физической величины ставится стрелка: V , F и т.д. Если же направление векторной величины в рассматриваемой задаче не существенно, а важны лишь численные значения величины и единица измерения, то пишут |V|, |F| или просто V, F. Векторная величина геометрически изображается отрезком, имеющим определенное направление и длину.

‫٭‬17‫٭‬

ГЛАВА 2. КИНЕМАТИКА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Кинематика – раздел механики, изучающий «геометрию» движения тел вне зависимости от причин, вызывающих это движение. Без рассмотрения вопроса, почему движение тела происходит именно так, а не иначе, устанавливается математическое соотношение между его различными характеристиками, такими как перемещение, пройденный путь, скорость, время движения, ускорение. Подчеркнем, что в кинематике ускорение считается заданным, его величина находится опытным или расчетным путем с помощью законов динамики, когда известны силы, определяющие характер движения.

§ 5. Система отсчета. Движение поступательное и вращательное

Изменение положения одного тела относительно другого называют механическим движением. Оно относительно и рассматривается в какой-либо системе отсчета. Тело, относительно которого наблюдают движение, называют телом отсчета. Система отсчета представляет собой совокупность системы координат и времени, связанных с телом отсчета. Чтобы описать движение тела, надо знать движение каждой его точки. В общем случае все точки движутся по-разному. Описать такое движение сложно, приходится идти на упрощение, учитывать лишь существенные признаки процесса. Траектория – это линия, в каждой точке которой последовательно побывало движущееся тело. В разных системах отсчета траектория имеет различный вид. Когда траектория какой-либо точки тела представляет собой идентичную траекторию любой другой точки этого тела, только сдвинутую на какое-то расстояние в пространстве, и эти расстояния между точками не меняются (такое тело называется твердым), то считают, что тело движется поступательно. При поступательном движении тела можно мысленно соединить отрезком любые две его ‌­точки. Этот отрезок будет перемещаться параллельно самому себе и сохранять длину неизменной. Пример: движение карандаша на столе.

‫٭‬18‫٭‬

Твердое тело кроме поступательного может совершать и вращательное движение (относительно соответствующей системы отсчета) Тогда траектории всех точек тела будут окружности или их части, лежащие в параллельных плоскостях, с центрами всех окружностей, расположенными на прямой линии, называемой осью вращения. Ось вращения может находиться как внутри тела, так и, частично или полностью, вне его.

§ 6. Движение точки. Координаты. Радиус-вектор

Координата – это положительное или отрицательное число, показывающее местоположение тела: в какой стороне и на каком расстоянии от точки отсчета находится тело. Координата указывает не путь, какой прошло тело к данному моменту времени, а лишь текущее, меняющееся (возрастающее или убывающее) расстояние от точки отсчета до тела с учетом направления координатной оси. Положение материальной точки в пространстве определяется тремя величинами (координатами x, y, z). Если будет известна, например, координата x в каждый момент времени, то это означает, что известна лишь зависимость x = f(t) = x(t). Функция x(t) есть кинематическое описание движения точки вдоль координатной оси ОХ (рис. 1). Графически в общем случае эта функции представляет собой некоторую кривую линию, выражающую зависимость координаты точки от времени t. В течение этого времени t, т.е. одновременно и независимо могут и будут изменяться, в соответствии с известным принципом независимости движения, и остальные две функции точки y(t) и z(t).

Рис. 1

‫٭‬19‫٭‬

Знание величин x, y, z (координат точки) не дает сведений о пройденном пути. Путь – это общая длина траектории тела, который численно всегда больше или равен координате, лишь в том случае, если тело движется прямолинейно и параллельно вдоль координатной оси. Итак, положение точки М в пространстве задается тремя величинами (x, y, z), представляющими собой кратчайшие расстояния точки от трех взаимно перпендикулярных плоскостей в выбранной системе отсчета (системе координат), см. рис. 2.

Рис. 2 Если материальная точка перемещается только вдоль некоторой прямой, то она характеризуется одной координатой х и имеет одну степень свободы движения. Если же точка ‌­движется только в пределах плоскости, то ее положение описывается двумя координатами: х и у. В этом случае точка обладает двумя степенями свободы. Движение точки в пространстве характеризуется тремя координатами x, y, z. Такая точка обладает тремя степенями свободы. Координаты точки зависят от выбранной системы отсчета. В кинематике все системы отсчета равноправны. При рассмотрении кинематических вопросов следует пользоваться той системой отсчета, в которой движение точки выглядит проще. Например, если рассматривается движение в поле тяготения,

‫٭‬20‫٭‬

то одну из осей координат можно совместить с направлением силы тяжести. Отрезок с обозначенным направлением (стрелкой), соединяющий две фиксированные точки, называют радиус-вектором и обозначают r = r(t). В системе координат радиус-вектор соединяет начало координат (т. 0, см. рис. 2) с точкой М (с заданными координатами x, y, z). Положение точки в пространстве определено, если заданы три координаты точки или известен ее радиус-вектор, в последнем случае положение точки задано более кратко, одной векторной величиной – r(t). Движение математически описано полностью, если известен радиус-вектор как функция времени r(t), т.е. известны три скалярные функции х(t), y(t) и z(t). Например, для равномерного движения материальной точки с постоянной скоростью v, функция r(t) имеет вид:

r(t) = ro + vt

(1)

r(t) = ro + vоt + аt2/2

(2)

или для равнопеременного движения с постоянным ускорением a, м/с2.

Здесь ro - радиус-вектор, характеризующий начальное положение точки

ro = r(t) = r(0),

(3)

v – начальная скорость, м/с; t – время, с Уравнение (1) описывает движение материальной точки для случая движения, когда все силы уравновешены. Уравнение (2) описывает движение, когда действующие силы постоянны, т.е. движение происходит в постоянном во времени однородном силовом поле, например, в поле тяготения.

‫٭‬21‫٭‬

Таким образом, функция r(t) содержит полную информацию о кинематике движения.

§ 7. Сложение векторов

Положение материальной точки в пространстве характеризуется радиус-вектором. В системе координат его рассматривают как векторную сумму трех векторов:

Рис. 3

r = rx + ry + rz,

(4)

где rx, ry, rz – проекции радиус-вектора на оси координат ОХ, OY и OZ. Эти проекции также являются радиус-векторами, лежащими на осях координат. Начало их находится в точке 0 (начале координат), а концы – в точках на соответствующих осях с координатами x, y, z и называют их составляющими радиус-вектора r. Здесь координаты x = rx, y = ry, z = rz. Слагаемые rx, ry, rz в формуле (4) можно менять местами и

‫٭‬22‫٭‬

группировать любым образом, как при нахождении суммы обычных чисел. Поскольку составляющие радиус-векторы, взаимно перпендикулярные векторы, являющиеся сторонами прямоугольного параллелепипеда (рис. 3), то абсолютной величиной (модулем) вектора r называют длину этого вектора, равную длине диагонали прямоугольного параллелепипеда. В геометрии доказывается, что длина диагонали равна

r=

x2 + y 2 + z 2

(5)

Сложение произвольно направленных векторов, т.е. векторов, углы между которыми произвольны, выполняется аналогично выше рассмотренному по правилу параллелограмма. Последовательно применяя правило параллелограмма можно найти сумму любого количество векторов.

Рис. 4

Например, для сложения двух векторов r1 и r2 (рис. 4) надо построить параллелограмм, сторонами которого были бы векторы r1 и r2. Суммарный вектор изобразится диагональю параллелограмма. Все векторы r, r1 и r2 начинаются в одной точке – вершине параллелограмма r = r1 + r2. Модуль вектора (абсолютная длина вектора) всегда r > 0 и обозначается | r | = r.

‫٭‬23‫٭‬

ГЛАВА 3. СКОРОСТЬ § 8. Перемещение

Перемещение материальной точки в пространстве приводит к непрерывному изменению ее координат или радиус-вектора, который при этом поворачивается и изменяет свою длину. Радиус-вектор, как и координаты движущейся точки х(t), y(t), z(t), зависит от времени и является функцией времени r(t). Рассмотрим, как при перемещении точки меняются ее координаты и радиус-вектор. Предположим, что движущаяся точка не покидает плоскость, т.е. имеет две степени свободы. В момент времени t1, координаты точки x1 y1, а по истечении времени Δt в момент времени t2 = t1 + Δt, координаты точки уже другие – х2 и y2.

Рис. 5 Радиус-вектор за тот же промежуток времени Δt1 изменился по модулю и направлению от r1 до r2 (рис. 5). Чтобы определить изменение (приращение) какой­-­либо величины, достаточно вычесть из ее нового значения старое. Следовательно, приращения координат будут: Δх = x2 – x1 и Δy = y2 – y1. Каждое из этих приращений в зависимости от направления перемещения точки (функция х(t) возрастает или убывает) может быть как положительным, так и отрицатель1 Значок Δ при какой-либо физической величине: t, х, V…, ­означает изменение, приращение этой величины на некоторую часть, частичку (ее увеличение или уменьшение).

‫٭‬24‫٭‬

ным; для нахождения нового значения любой координаты следует к старому значению координаты прибавить приращение: x1 + Δх = x2 и y1 + Δy = y2. Изменение координат означает изменение радиус-вектора. Приращение радиус-вектора Δr = r2 – r1. Приращение есть такой вектор Δr, который надо прибавить к вектору r1, чтобы получить вектор r2 (рис. 6).

Рис. 6

Рис. 7

r1 + Δr = r2.

Можно складывать векторы по правилу параллелограмма или применить более простой прием сложения. Для этого нужно построить вектор r1 (в масштабе) и к концу r1 прибавить вектор приращения Δr (рис. 7). Затем, соединив начало r1 с концом вектора Δr, получим вектор r2, который равен результату суммы векторов r1 и Δr. Приращение Δr радиус-вектора называют вектором перемещения точки. Этот вектор характеризует конечный результат любого перемещения. Следует помнить, что длина Δr не равна длине пути, пройденному телом с момента t1 до момента t2. Дело в том, что траектория тела может быть извилистой и тогда длина части траектории между точками с координатами x1, y1 и x2, y2 будет больше длины отрезка, соединяющего эти точки.

‫٭‬25‫٭‬

Приращения радиус-вектора Δr и координат Δх, Δy связаны, так как Δх и Δy являются проекциями вектора Δr на оси координат ОХ и ОY (см. рис. 8).

Рис. 8

Значение проекции вектора Δr на координатную ось можно найти с помощью тригонометрических функ­ций угла α, образуемого направлением вектора перемещения с положительным направлением оси ОХ. Например, приращение Δх = АВ = = Δr·cos α. Если угол α<90º, cos α >0; если α = 90º, cos α = 0 и при α > 90º, cos α <0. Согласно теореме прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов АС2 = (АВ)2 + (ВС)2. По аналогии (рис. 8б) найдем величину вектора перемещения Δr при движении точки в двухмерном пространстве:

‫٭‬26‫٭‬

В общем случае для движения точки в пространстве

(6) § 9. Скорость движения

Для определения скорости необходимо знать пройденный путь и время, в течение которого перемещалось тело. В технике часто для рассматриваемого вопроса не важно направление движения тела, важно лишь расстояние, на которое переместилось тело, его путь. Зная путь S и затраченное время t, находят среднюю скорость движения V по формуле

V =

S , м/с t

или по заданной средней скорости находят длину пути S = Vt, м, либо время t = S/V, с (ч). Путь – это общая длина траектории, а траектория зависит от изменения координат точки, которые в зависимости от заданного закона движения точки изменяясь могут и возрастать и уменьшаться, искривляя траекторию – увеличивают длину пути. Поэтому путь не является вектором и определяемая по такому пути скорость также не будет вектором. Чем меньше интервал времени, в течение которого рассматривается скорость, тем точнее описывается движение. Скорость – важная характеристика процесса движения, определяет его интенсивность, влияющую на качество различных процессов: механических, тепловых и др., связанных преобразованием энергии, и работой. В механике при анализе движения рассматривают скорости перемещения: средние и мгновенные. Средней скоростью перемещения точки называют вектор скорости

‫٭‬27‫٭‬

, где Δr – вектор перемещения точки за период времени Δt.

Длина вектора скорости (модуль) показывает, как быстро, в среднем, перемещается точка, а направление – определяет, в какую сторону, в среднем, происходит перемещение. Знания средней скорости недостаточно для подробного описания движения. Мгновенная скорость (скорость в данный момент времени) может быть получена из выражения для вектора средней ‌­скорости (7), представленного в виде отношения разностей исходных величин (радиус-векторов и моментов времени)

(8) Если будем уменьшать промежуток времени Δt, приближая его к нулю, то радиус-вектор r2 будет поворачиваться и менять свою длину, непрерывно приближаясь по модулю и направлению к вектору r1. Отношение Δr/Δt с приближением Δt к нулю, будет стремиться к пределу, равному производной функции r(t) по времени, т.е. равной некоторой определенной величине, характеризующей тот момент времени и ту точку траектории, вблизи которой взяты предельно малые: интервал времени Δt и вектор перемещения Δr. Производную V′, т.е. предел отношения Δr/ Δt при стремлении Δt к нулю называют мгновенной скоростью, просто скоростью в данный момент времени, или скоростью в данной точке траектории и обозначают ее V:

(9) Выражение (9) часто записывают по-другому в виде отноше-

‫٭‬28‫٭‬

ния дифференциалов вектора перемещения и изменения времени

Рис.dr 9

V =

dt

(10)

Здесь вместо значка Δ к физической величине приписывают знак дифференциала d, что означает качественный переход дроби от малых конечных величин к бесконечно малым величинам dr и dt (приращениям перемещения и времени). Вектор мгновенной скорости V в точке М (рис. 9) направлен по касательной к траектории в сторону перемещения точки. Забегая несколько вперед (см. § 10) отметим, что численное значение мгновенной скорости можно определить по графику функции r(t) (построенному в масштабе), по углу наклона α, касательной (вектора V) к положительному направлению гори-

‫٭‬29‫٭‬

зонтальной оси, tg α = V′ = V, м/с. В этом случае касательная продлевается до пересечения с абсциссой (рис. 9).

§ 10. Кинематическая связь функций координат со скоростью точки

Перемещение точки в пространстве связано с одновременным изменением всех ее координат. Рассмотрим скорость точки, движущейся в двухмерном пространстве. Вектор скорости V можно представить в виде его составляющих, лежащих на осях координат, т.е. как векторную сумму двух взаимно перпендикулярных векторов Vx и Vy (рис. 10).

Рис. 10

В этом случае составляющие векторы Vx и Vy раздельно ‌­характеризуют интенсивность независимых движений, быстроту изменения координат X и Y. Если функция координаты х(t) или y(t) с течением времени увеличивается, то знак составляющей вектора скорости положительный, если уменьшается – знак отрицательный. Быстроту изменения координат x и y можно найти другим способом, аналогичным нахождению мгновенной скорости V (по первым производным от функций координат точки х(t) и y(t) по времени):

(11) Vx и Vy представляют собой проекции вектора V на оси ОХ и OY. Скорости Vx, Ay есть величины, измеряемые в м/с. Одна из них может быть положительной, когда векторы Vx или Vy

‫٭‬30‫٭‬

направлены в положительную сторону координатной оси или отрицательной (при противоположном направлении вектора). Итак, скорость вдоль любой оси есть производная от соответствующей координаты по времени. Например, требуется определить скорость Vх, если координата точки меняется по закону x(t) = Аt3, где А – коэффициент, t – время. Согласно выражению (11) необходимо определить приращение координаты Δх через интервал времени Δt → 0. Новое время интервала t2 = t1 + Δt. Тогда новая координата х2 = А(t + Δt)3. Приращение координаты равно:

Отношение

Скорость

;

dx = 3At 2 dt

(12)

Абсолютная величина вектора скорости при движении тела в пределах плоскости равна

= V V=

Vx2 + Vy2 , м/с.

(13)

В случае движения тела в пространстве

V = V = Vx2 + Vy2 + Vz2 , м/с.

(14)

Пример: трамвай идет со скорость Vтр = 36 км/ч. Внутри, вдоль вагона, идет пассажир со скоростью Vп = 7 м/с. Требуется определить в данный момент абсолютную скорость пассажира относительно Земли:

‫٭‬31‫٭‬

м/с. § 11. Классификация скоростей движения тела

Различают два типа движений: поступательное и вращательное (криволинейное). Законы, определяющие движение тела в обоих типах движения, аналогичны. Уравнения, описывающие вращательное движение, можно вывести из уравнений поступательного движения, произведя соответственно следующие замены:

Таблица 1

Поступательное S – перемещение, м; V – скорость, м/с; a – ускорение, м/с2 ;

Движение Вращательное φ – угловое перемещение, рад; ω – угловая скорость, с-1, (рад/с); β – угловое ускорение, с-1(рад/с2;

При поступательном и вращательном движении различают следующие скорости и ускорения:

Таблица 2 Вид движения Равномерное; Равномерноускоренное;

Скорость Постоянная; Изменяется равномерно;

Ускорение Равно нулю; Постоянное;

Неравномерноускоренное

Изменяется неравномерно

Изменяется

Величины: перемещение (путь) – S, скорость – V, ускорение – a, угловая скорость – ω и угловое ускорение – β являются

‫٭‬32‫٭‬

величинами векторными. При дальнейшем рассмотрении они записываются в векторной форме, только в том случае, когда важно их направление. Во всех остальных случаях рассматривается только величина (модуль) вектора. Соотношение между перемещением, скоростью и временем для всех видов движения можно определить, используя зависимости V = φ(t) или графики скорости.

Рис. 11 Зависимости, позволяющие определить величину скорости в любой момент времени и перемещение тела к этому моменту, рассмотрены §§ 9, 10. Площадь кривой V = (t) (рис. 11) характеризует изменение интенсивности движения в каждый момент времени.

§ 12. Нахождение закона движения точки по равномерной скорости

Если известна скорость точки во все моменты времени V(t), то можно найти закон движения точки х(t). Наиболее простой случай, когда точка движется равномерно, ее скорость с течением времени не изменяется (постоянная). В этом случае в соответствии с общим методом нахождения функций, например х(t) и V(t), нужно вычислить насколько изменились координаты этих функций по сравнению с первоначальными величинами хо и Vо за одинаковые (очень малые) промежутки

‫٭‬33‫٭‬

времени Δt = t1 – tо = t2 – t1. (см. § 10) и условия задачи (изИз соотношения вестны постоянная скорость Vх и одинаковые промежутки времени Δt), найдем приращение Δх = VхΔt. Произведение двух постоянных величин – постоянная, следовательно, и левая часть этого равенства тоже постоянная, т.е. приращение Δx будет одинаковым и пропорциональным Δt. Тогда к моменту времени t = tо + ∑Δt координата точки изменится до значения х = хо + ∑Δх. За полное время движения точки t – tо = Δt координата точки изменится на величину х – хо = ∑Δх. После подстановки полных приращений в исходное равенство получим искомую зависимость координаты от скорости точки х ‑ хо = Vх(t ‑ tо) или

x= x0 + Vx ( t − t0 )

(15)

Если отсчет времени начинается с момента tо = 0, то получим

= x x0 + Vt

(16)

Если в начальный момент времени тело находилось в точке, принятой за начало отсчета, то

x = Vt

(17)

Полученный результат можно представить графически (рис. 12).

‫٭‬34‫٭‬

Рис.12

Соответствующие графики, приведенные на рис. 12, при аналогичном рассуждении могут быть получены и для движения по другим направлениям, например, при движении параллельно координатным осям ОY и ОZ. Если постоянны все три проекции вектора скорости Vх = const, Vy = const и Vz = const, то вектор скорости V также постоянен по величине и направлению. Это указывает на прямолинейное и равномерное движение точки. Итак, если известны скорость равномерного прямолинейного движения и начальное положение точки (координаты или радиус-вектор rо, то положение движущейся точки, т.е. ее радиус-вектор (или три координаты) в любой момент времени можно найти :

r (t ) = r0 + V ( t − t0 )

(18)

Прямолинейное равномерное движение в реальных условиях не наблюдается в течение короткого времени, например, падения парашютиста в спокойном воздухе или транспорта на коротких участках трассы (дороги).

§ 13. Ускорение

Ускорение - векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения с течением времени вектора скорости точки по его численному значению и направлению. При прямолинейном движении среднее ускорение точки аср равно отношению приращения скорости ΔV к промежутку вре-

‫٭‬35‫٭‬

мени Δt, за который это приращение произошло:

(19)

здесь V2 – V1 – начальная и конечная скорости точки;

t2 – t1 – промежуток времени, в течение которого произошло изменение вектора скорости (по модулю и направлению). Так как скалярная величина Δt > 0, то вектор аср направлен туда же, куда направлено среднее изменение скорости Vср (рис. 13).

Рис. 13. Зная среднее ускорение, можно вычислить средние скорости, относящиеся к соседним промежуткам времени. Среднее ускорение недостаточно подробно описывает процесс изменения скорости точки. Из выражения (20) и рис. 13 видно, что с уменьшением интервала времени Δt, абсолютная величи-

‫٭‬36‫٭‬

на вектора ΔV и его направление изменяются. Отношение ΔV/Δt по абсолютной величине становится все меньше. С приближением Δt к нулю, отношение ΔV/Δt приближается к вполне определенной величине – к пределу, ‌­равному первой производной скорости точки по времени или второй производной перемещения по времени:

(20) Этот предел отношения (бесконечно малых приращений) называют мгновенным ускорением, ускорением данной точке траектории или в данный момент времени. Здесь символ dt, как и раньше (для вектора скорости), означает бесконечно малый промежуток времени, за который вектор скорости изменяется на предельно малую величину dV. При изучении ускорения, также как и при изучении скорости, рассматривают не вектор а, а его взаимно перпендикулярные составляющие аx и ay или координаты проекций аx, ay вектора а на соответствующие оси. Модули проекций аx и ay входят в расчетные формулы со знаком «плюс» или «минус» в зависимости от величины тангенса угла, т. е., если угол вектора а по отношению к положительной части соответствующей оси координат острый, то знак «плюс», тупой – знак «минус». Если же угол α = 90º, то проекция вектора равна нулю, это означает, что точка движется в этом направлении равномерно. Итак, движение, при котором вектор ускорения точки сохраняет свою абсолютную величину и направление в пространстве, называют равнопеременным движением. В этом случае вектор а = const и его проекции аx и ay также будут постоянны. При а = 0, как следует из определения ускорения, движение точки является прямолинейным и равномерным, скорость точки не изменяется ни по модулю, ни по направлению.

§ 14. Нахождение скорости по ускорению

Если известна зависимость ах(t) во все моменты времени, то можно найти закон изменения скорости Vх(t). Подобная задача рассмотрена в § 12. Там была найдена зависимость х(t) по известным начальной координате точки хо и скорости вдоль прямой ОХ

‫٭‬37‫٭‬

(21) Определялась площадь (VхΔt) под кривой графика скорости. Так как , то для очень малых промежутков времени Δt, т.е. очень узких, последовательно суммируемых элементарных площадок, характеризующих приращение скорости ахΔt = ΔVх (здесь Δt – ширина, ах – высота передней стороны площадки), получим площадь, характеризующую полное приращение скорости за время t – tо. Таким образом, зная первоначальную скорость Vо и полное приращение скорости за время t – tо, можно определить скорость движущейся точки в любой момент времени t.

§ 15. Нахождение скорости при равнопеременном движении

Рис. 14.

Рассмотрим случай движения точки вдоль некоторой ‌­прямой с постоянным ускорением. Для упрощения решения задачи направим одну из осей системы координат в направлении вектора ускорения а. Тогда проекция ускорения на эту ось будет ах = const и положительно направлена. График функции ахΔt изображен на рис. 14. Рассмотрим начало движения точки с момента tо и скорости ‌­ Vох. Так как по условию направление составляющей вектора скорости точки Vох совпадает с направлением ах = const, то

‫٭‬38‫٭‬

изменение скорости к произвольному моменту t легко найти по графику описанным выше способом (см. § 14). Общее изменение ΔVх равно площади заштрихованного прямоугольника

ΔVх = Vх(t) – Vох = ах(t – tо) или

Vx ( t ) =V0 x + ax ( t − t0 )

(22)

Если отсчет начинается с tо = 0, то уравнение (22) принимает вид:

Vx (= t ) V0 x ± axt

(23)

При использовании конкретных значений Vо и а в формуле (23) надо учитывать правило знаков.

Рис. 15 Графики скорости различных равнопеременных движений приведены на рис. 15. Графики: § линия 1 соответствует Vох = 0; § линии 2, 3 – равенству ускорений при движении с разной скоростью; § линия 4 – движение с отрицательным ускорением; § линия 5 – движение с изменением направления скорости.

‫٭‬39‫٭‬

§ 16. Законы движения точки при равнопеременной скорости

Ранее (см. § 12) был рассмотрен закон движения точки х(t) при ее равномерной скорости движения. Так выяснили особенность изменения х = φ(t) при равномерном движении точки Vх = const. Применяя общее правило для нахождения скорости,

, было установлено, что Δх = VxΔt; при Vх = const и для ‌­одинаковых Δt → 0, приращение Δх = const, в результате была найдена зависимость х(t) = хо + Vхt и аналогичные для направлений движения точки по осям ОY и OZ, если знать скорость равномерного прямолинейного движения и начальное положение точки (радиус-вектора)

r (t ) = r0 + V ( t − t0 ) При tо = 0 r (t = ) r0 + Vt

В общем случае скорость движения точки непостоянна (Vх ≠ const). В таких случаях приращение координаты даже при очень малых и равных Δt → 0, величины Δх, характеризуемые численно величиной площади элемента независимого движения, будут отличаться. Тогда общее приращение координаты х(t) – хо за время t – tо будет равно алгебраической сумме всех изменений координаты, случившихся за это время движения точки, т.е. будет численно равно суммарной площади всех одинаковых бесконечно узких элементов Δt. Эта суммарная площадь, равная площади фигуры, ограниченной графиком скорости Vx(t), осью времени и вертикальными прямыми, проведенными через точки tо и t. При подсчете площадей надо учитывать знак приращения площадей. При Vx(t) > 0, знак «плюс», при Vx(t) < 0, знак «минус».

‫٭‬40‫٭‬

Рис. 16 Если скорость меняется по закону х(t) = Vох + а(t – tо), то можно, умножая левую и правую части уравнения на (t – tо), получить (рис. 16) трапецию, площадь которой равна полусумме оснований (основания Vох и Vох + а(t – tо)), умноженной на высоту, равную (t – tо), т. е. численно равна :

Эта площадь выражает изменение координаты х(t) – хо Следовательно

или (24) Здесь хо – начальная координата, соответствующая началу отсчета времени tо. Зависимость (24) есть кинематическое описание движения точки, перемещающейся с постоянным ускорением вдоль прямой. Если начало отсчета начинается с tо = 0, то формула (24) принимает вид

(25)

‫٭‬41‫٭‬

В решаемых задачах векторы задаются, как правило, абсолютными величинами и направлениями. Тогда удобно использовать модули соответствующих проекций с указанными знаками (±) в зависимости от направления соответствующего вектора по отношению к точке отсчета. Зависимости для других осей аналогичны:

(26)

(27) Все они – (25), (26) и (27) – представляют собой проекции на оси координат одной векторной величины

(28) По полученным уравнениям можно найти лишь положение движущейся точки в каждый момент времени, но не пройденный точкой путь. Для нахождения пути необходимо более подробно исследовать траекторию, т.е. определить точки, в которых меняется направление движения и т.д. Пример. Требуется описать движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью Vо с поверхности Земли, мальчиком, имеющим рост h, м. За начало отсчета принять поверхность Земли. Вертикальная координата тела будет зависеть от времени следующим образом:

(29)

‫٭‬42‫٭‬

Здесь h =|r0|; V0 = |V0|; g = |а|. § 17. Уравнение траектории

Зависимости (25), (26) и (27) позволяют найти траекторию точки в системе координат Х, Y, Z. В механике уравнение траектории выражает связь между координатами движущейся точки. Следовательно, для нахождения уравнения траектории из уравнений (25), (26) и (27) надо исключить время. Пример. Точка движется по горизонтали (вдоль оси ОХ) равномерно со скоростью Vх = Vох, по вертикали – свободное падение с высоты h с начальной скоростью Vоz, направленной вверх. Такое движение описывается уравнениями:

;

Здесь h =|r0|; Vох = |rох|; Vоу = |rоу|; g = |а|. Исключив из уравнений время, получим связь между координатами Х и Z в виде

(30) Получим изменения высоты, выраженное в виде квадратного трехчлена, т.е. траектория точки (график квадратного трехчлена) – есть часть параболы.

‫٭‬43‫٭‬

§ 18. Вращательное движение

При вращательном движении все точки тела, находящиеся на расстоянии R > 0 от неподвижной оси вращения совершают плоское круговое движение. При вращении каждая точка твердого тела описывает дугу окружности с центром, лежащим на оси, при этом все такие окружности лежат в параллельных плоскостях и все дуги содержат одинаковое число дуговых единиц измерения (градусов, радиан). Так как положение неподвижной оси задано, а расстояние точек тела от оси не меняется, то определить положение тела в пространстве можно с помощью всего лишь одного числа, такое тело обладает одной степенью свободы. Таким числом (координатой) может быть φ – угол поворота тела относительно нулевого положения тела. При вращении угол φ меняется. При поступательном движении основные линейные величины (перемещение – S, скорость – V, ускорение – a) связаны между собой V = S/t и определенным образом с угловым перемещением φ, угловой скоростью ω и угловым ускорением β. Угловая скорость, характеризующая быстроту изменения угла φ(t) вращающегося тела, измеряется в радианах в секунду:

, рад/с

(30)

Установим связь линейной скорости V с угловой ω. За время Δt тело повернется на угол Δφ. Находящаяся на теле точка на расстоянии R от оси, переместится, пройдя по дуге окружности расстояние ΔS = R Δφ, м. Линейная скорость точки:

‫٭‬44‫٭‬

где Δr – приращение радиус-вектора за время Δt.

При Δt → 0 вектор r2 приближается к r1. Направление Δr подходит к направлению касательной к окружности, а длина вектора Δr – к длине дуги ΔS. В этом случае абсолютная величина линейной скорости точки будет равна:

(31) Если угловая скорость ω будет меняться, то и скорость V будет переменной величиной, пропорциональной радиусу. По аналогии с линейным движением закон изменения положения точки при вращательном движении: Тело вращается равномерно, его положение в момент t будет:

φ(t) = φо + ωо(t – tо), при tо = 0 φ(t) = φо + ωоt

(32)

Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости:

(33) При равнопеременном движении (вращательном) ускорение β = const. Так как соотношения для постоянных, мгновенных и средних величин (перемещения, скорости и ускорения) линейного и вращательного движений справедливы, то угловая скорость:

ω(t) = ωо + β(t – tо)

(34)

ω(t) = ωо + βt

(35)

где ωо – угловая скорость в момент начала движения tо. При tо = 0

‫٭‬45‫٭‬

Закон движения точки:

(36) При tо = 0

(37) Индекс «0» указывает на принадлежность физической величины к начальному условию процесса. С изменением угловой скорости меняется и линейная скорость. Если угловая скорость меняется только по величине, то согласно равенству (32) можно записать:

ΔV = R·Δω.

Тогда ускорение, характеризующее изменение скорости по величине (модулю), называют касательным или тангенциальным ускорением:

(38)

§ 19. Тангенциальное и нормальное ускорение

Рис. 17

‫٭‬46‫٭‬

Так как ускорение направлено в сторону изменения скорости ΔV, которое в общем случае может совпадать с направлением скорости ΔV и не совпадать. При совпадении направлений векторы складываются V1 ± ΔV = V2, суммарный вектор V2 направлен вдоль той же прямой, что и вектор V1. Но вектор V2 > V1, т.е. вектор V1 изменяется только по модулю. Если вектор V1 изменяется по модулю и направлению, то приращение ΔV можно представить состоящим из двух векторов (рис. 17). Один из них направлен вдоль прямой (вектор мгновенной скорости совпадает с направлением касательной к траектории в т. М), поэтому приращение ΔVt называют касательной или тангенциальной составляющей приращения скорости. Другой вектор ΔVn направлен перпендикулярно к направлению вектора (из точки касания М по радиусу к центру кривизны траектории) и называют его нормальной составляющей приращения. Полное изменение вектора ΔVn = ΔVt + ΔVn, характеризующее ускорение движения тела в системе координат, позволяет судить о влиянии ускорений независимых движений на траекторию движения точки (тела), более подробно исследовать кинематику. Полное ускорение:

(39) Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости в данной точке траектории (в данный момент времени) по величине, а нормальная – по направлению.

‫٭‬47‫٭‬

Рис. 18 Например, точка движется неравномерно по криволинейной траектории (рис. 18). Если участок АВ мал, то он неотличим от части окружности радиуса R, называ­емого радиусом кривизны траекто­рии в данном месте. В этом случае длина участка АВ равна длине дуг ΔS = R·Δα или Δα = ΔS/R, где Δα – малый угол между радиусами, проведенными в точки А и В. Согласно теореме о пересечении перпендикуляров, угол между векторами V1 и V2 будет равен Δα (см. рис. 18). Треугольник с основанием Vn, при условии, что Δt → 0, то и ΔV → 0, следовательно, и стороны ΔVt → 0, ΔVn → 0 и угол Δα→ 0, а треугольник будет близок к равнобедренному треугольнику, при этом два его угла при основании близки к прямым углам. Тогда основание треугольника ΔVn = V1Δα или, так как V1 ≈ V2, можно принять:

,

(40)

где – абсолютная величина скорости (мгновенная скорость) движения на бесконечно малом участке траектории. Тогда:

‫٭‬48‫٭‬

(41) Из равенства (41) следует, что нормальное ускорение не зависит от изменения абсолютной величины скорости ΔVt, но зависит от самой величины скорости V и радиуса кривизны траектории R. Нормальное ускорение характеризует только изменение скорости по направлению и направлено по радиусу к центру кривизны. Если тело движется по окружности, нормальное ускорение называют центростремительным. Абсолютная длина вектора скорости за малый промежуток времени Δt тоже изменяется (как видно из рис. 18) на величину ΔVt. Вектор касательного ускорения аt направлен по касательной к траектории, а его проекция на касательную:

(42) Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости только по абсолютной величине (модулю). Если |V| = const, то тангенциальное ускорение равно нулю, длина вектора V не меняется и происходит только изменение направления скорости.

‫٭‬49‫٭‬

ЗАДАЧИ Процесс решения задачи похож на небольшое исследование. Заранее далеко не всегда ясно, какой должна быть последовательность действий для получения результата. Никаких универсальных методов для этого не существует. Решение кинематических задач направлено на приобретение опыта использования уравнений кинематики в конкретных условиях, сформулированных в задаче.

1. Тело брошено под углом к горизонту. Требуется определить радиус кривизны траектории R в верхней точке. Тело движется с равнопеременной скоростью в горизонтальном направлении. В верхней точке горизонтальная составляющая скорости тела равна Vх, вертикальная составляющая скорости тела Vy = 0, ускорение равно g и направлено перпендикулярно траектории (нормальное ускорение), его величина:

,м

(43)

2. Требуется переправить груз через реку с параллельными берегами, расстояние между которыми l (рис.19). Скорость течения по ширине реки одинакова и равна ū. Скорость катера относительно воды V = const. Определить, с какой наименьшей скоростью Vmin должен перемещаться катер, чтобы из точки А (правый берег) доставить груз в точку В (левый берег). Для решения задачи надо знать скорость катера относительно берегов V (рис. 19). Скорость катера относительно берегов есть векторная сумма скорости течения ū и скорости катера относительно воды:

,

(44)

‫٭‬50‫٭‬

Катер сможет пройти из пункта А в В только в том случае, если его скорость V (относительно берегов) направить по ‌­прямой АВ под углом относительно берегов равным или больше угла α (рис. 20). Если угол α” > α, то катер снесет течение воды в пункт В:

Рис. 19

Рис. 20 Нужное направление вектора V может быть получено при разных значениях вектора V, скорость течения – вектор ū во всех случаях одинакова. Из равенства (44) видно, что вектор скорости катера Vmin должен быть направлен перпендикулярно к вектору V, т.е. направление вектора скорости определяется траекторией линии катера АВ. Из подобия изображенных прямоугольных треугольников (рис. 20) найдем:

‫٭‬51‫٭‬

Vmin =

ul l 2 + S2

(45)

3. Применительно к условию перевозки груза, сформулированному в задаче (2), требуется определить, на какое минимальное расстояние Smin снесет катер вниз по течению при переправе груза, если скорость катера относительно воды будет равна V. Как и в задаче (2) вектор скорости течения реки ū задан по модулю и направлению, вектор v определен (задан) только по величине (модулю), а направление может быть любым.

Рис. 21 Если начало вектора v совместить с концом вектора ū (рис. 21а), то конец вектора v может лежать в любой точке окружности радиуса v. Из рис. 21б видно, что v < ū, снос катера течением реки неизбежен, если v > ū, то катер доставит груз в пункт В или любой другой выше по течению. Минимальный снос катера будет, если вектор скорости V (относительно берегов) направлен по касательной к ‌­окружности радиуса v (рис. 21). Из подобия треугольников найдем:

‫٭‬52‫٭‬

u2 − v 2 V 4. Два велосипедиста отправляются одновременно из пунктов А и В, находящихся на расстоянии l километров со скоростями V1 (из п. А) и V2<V1 Через сколько времени произойдет встреча велосипедистов? Примем за положительное направление движения по оси Х (от А к В) координату первого велосипедиста за время t, равную: Vmin = l

x1(t) = V1t и координата второго велосипедиста: x2(t) = l – V2t

В момент встречи координаты велосипедистов совпадают:

x1 = x2, тогда: 5. Для самостоятельного решения. С высоты Н1 = 10 м над Землей начинает падать камень. Одновременно с высоты Н2 = 5 м вертикально вверх брошен второй камень. С какой начальной скоростью брошен второй камень, если известно, что камни встретились на высоте h = 1 м над Землей? Ответ: ( H1 − H 2 ) g V0 = 2 ( H 2 − h ); При Н1 = 10 м, Н2 = 5 м, h = 1 м – Vo ≈ 3,7 м/с.

‫٭‬53‫٭‬

ГЛАВА 4. ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Динамика – раздел механики, в котором изучаются закономерности механического движения и взаимодействия макроскопических тел под действием приложенных к ним сил. В основе динамики лежат следующие законы Ньютона: закон инерции, закон действия силы и закон равенства действию противодействия. Любое движение тела рассматривается в какой-либо системе отсчета (см. § 5). В динамике в отличие от кинематики не все системы отсчета равноправны,​имеются преимущественные системы, так называемые инерциальные, только относительно них выполняются основные положения механики. В общем случае в качестве системы (тела) отсчета можно использовать разные тела, находящиеся в различном состоянии (покоя или движения), например, поезд, самолет, Земля и др. Однако, если в системе отсчета, связанной с движущимся поездом, рассматривать движение пассажиров относительно вагона (его стенок), то при равномерном движении поезда сидящие пассажиры и свободно лежащие на столике предметы находятся в неподвижном состоянии, а при изменении скорости поезда (приращения или убыли скорости вагона) пассажиры и незакрепленные предметы, получая ускорение относительно стенок вагона, будут отклоняться или перемещаться в противоположную сторону вектора ускорения вагона. Это ускорение пассажиров и предметов на столике вызвано не непосредственным внешним воздействием вагона или Земли, а внутренним свойством тел, присущим каждой частице каждого тела сохранять постоянной свою скорость, точнее, количество движения, равное произведению массы тела на скорость движения. Это явление (свойство) сохранения покоя или мгновенной скорости в прямолинейном движении при скомпенсированных внешних воздействиях называют инерцией. В рассмотренном примере основной закон выполняется по отношению к системе отсчета, связанной с вагоном поезда.

2

Открыт в начале XVII века Галилеем

‫٭‬54‫٭‬

Таким образом, системы отсчета, относительно которых основные положения механики выполняются, называют инерциальными системами отсчета. Особенность инерциальных систем состоит в том, что тела, находящиеся в состоянии покоя по отношению к таким системам, не испытывают действия неуравновешенных сил. В этой системе ни одно движение не может начаться без действия на него со стороны другого тела или тел. Системы отсчета, связанные с ускоренно (по отношению к Земле) движущимися телами (пароходами, автобусами и др.) являются неинерциальными. Система отсчета, связанная с Землей, только приближенно может считаться инерциальной. Более близка к инерциальной гелиоцентрическая система отсчета, связанная с Солнцем, начало координат такой системы помещено в центр солнечных масс, а оси координат направлены к неподвижным звездам. Инерциальных систем отсчета имеется множество, законы механики во всех инерциальных системах одинаковы, однако, характер движения тела – различный, так как зависит от начальной скорости движения тела и координат (расстояний).

§ 20. Закон инерции

Первый закон Ньютона (или закон инерции2) в механике является основным: «Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если действие со стороны других тел не изменяет этого состояния». В первом законе для тел с неизменной и независящей от скорости формой и массой, определена совокупность условий, при которых количество движения свободного тела сохраняется. Наблюдения и опыт косвенно это положение подтверждают. В действительности нет и не может быть свободных и ни с чем не взаимодействующих тел. В инерциальных системах всем телам (материальным объектам различной массы, формы, природы и др.), находящимся при скомпенсированных внешних и внутренних воздействиях в состоянии покоя или равномерного движения, присуще свойство сохранения импульса тела, который противодействует другим телам при изменении состояния данного тела. Это явление в механике получило название инерции.

‫٭‬55‫٭‬

Количество движения для указанных состояний тела выражается произведением массы тела на его скорость:

mgt = const и mv = const

(47)

где m – масса тела, кг;

a – ускорение свободного падения, м/с2; t – время, с; v – скорость, м/с. При взаимодействии с другими телами количество движения данного тела изменяется. Интенсивность (скорость) изменения количества движения тела характеризует величину его противодействия изменению состояния, т.е. силу инерции, численно равную силе, определяемой вторым законом Ньютона:

mv = ma = F,Н t

(48)

Здесь F – сила инерции, Н.

В механике природа сил не исследуется, ее цель в рассмотрении результатов: действия сил, взаимодействия тел и отыскании методов, с помощью которых можно определять траектории движения тел по заданным начальным значениям координат и скоростей или импульсов тел. Импульс тела – физическая величина, равная произведению вектора силы на время действия. Согласно (47), (48) импульс тела P:

P = mv = Ft = mat, Н с

(49)

Систему тел, взаимодействующих только между собой и не взаимодействующих с другими телами, называют замкнутой системой.

‫٭‬56‫٭‬

В замкнутой системе импульс сохраняется неизменным, но внутри системы импульсы между частями системы могут перераспределяться. При взаимодействии тел (замкнутых систем) образуется новая замкнутая система со свойственным ей перераспределением импульсов и изменением по величине и направлению действующих сил.

§ 21. Понятие силы

Основное положение механики состоит в утверждении, что состояния движения тел определяются воздействием их друг на друга. Действие – это физическая величина, имеющая размерность произведения энергии на время (или импульса тела на перемещение). Если рассматривать некоторую совокупность возможных движений тела между двумя его положениями, то, в соответствии с принципом наименьшего действия, истинное его движение будет отличаться от возможных тем, что для него значение движения является наименьшим (по пути наименьшего сопротивления). Такой подход к анализу движения позволяет найти уравнение движения тела и изучить это движение. Воздействия на данное тело могут быть самыми разнообразными и, следовательно, природа сил, источники их тоже разнообразны. Что общего между силами сжатой пружины, силой тяжести камня, движущей силой ракеты или мускульной силой живого существа? Когда человек не может поднять тяжелую вещь, то говорят: «не хватает сил». При этом происходит сравнение действующих сил, совершенно разных по своей природе: мускульной силы и силы притяжения Земли. А если поднятый вами предмет вы держите на весу, то это означает, что мускульная сила рук равна силе притяжения Земли. Таким образом, две силы, независимо от их природы, ‌­считаются ‌­одинаковыми, равными и противоположно направленными, если их одновременное воздействие на тело не меняет его состояния (покой или скорость движения). Понятие силы относится к двум телам. Всегда можно указать тело, на которое действует сила, и другое тело, со стороны которого эта сила действует.

‫٭‬57‫٭‬

Сведения о силах получают опытным путем или теоретически, путем вычисления на основе имеющихся представлений о форме движения, строении вещества и вида взаимодействия. Несмотря на разнообразие воздействий тел друг на друга в природе, по современным представлениям имеется всего четыре типа сил. Это силы гравитационные (силы тяготения), электромагнитные силы, ядерные и слабого взаимодействия. Эти силы значительно отличаются по своим свойствам: по величине, зависимости от расстояния, сферы действия, где они являются основными действующими силами в происходящих процессах. В механике Ньютона (классической механике) рассматриваются лишь гравитационные силы и электромагнитные, законы последних много сложнее гравитационных и могут проявляться в самых разнообразных обличиях. Например, силы упругости, которые препятствуют сжатию жидких и газообразных тел, обеспечивают сохранение формы твердых тел, силы живых существ (силы мышц – это тоже электромагнитные силы). Количественную меру взаимодействия, в результате которого действующие тела меняют скорость движения, т.е. сообщают друг другу ускорения, в механике называют силами.

§ 22. Второй и третий законы Ньютона

Силы, действующие при непосредственном соприкосновении тел или на расстоянии, являются причиной, заставляющей тело двигаться с ускорением или прекращать движение. Например, в газотурбинной ступени, газ (за счет ‌­создаваемой разности давлений в потоке) значительно ускоряется, затем в рабочих каналах ротора турбины при изменении направления потока возникающие центробежные силы приводят во вращательное движение ротор и соединенный с ним жестко, вал потребителя (компрессора, электрогенератора, гребного винта судна и др.). Другой пример, действие сил на расстоянии: взаимное притяжение магнитов, отталкивание однородных электрических зарядов, притяжение тел к Земле и Земли к телам в результате создания действующими телами физических полей: магнитного, электрического и гравитационного.

‫٭‬58‫٭‬

При взаимодействиях осуществляется один из основных принципов физики, принцип причинности в законах динамики: здесь причиной является сила, а следствием – ускорение или деформация тела, если последнее неподвижно (или закреплено), происходит изменение формы тела, его размеров. Установление причин явлений делает возможным их предсказание и воспроизведение. Второй закон Ньютона определяет пропорциональную зависимость между силой и ускорением тела. Коэффициентом пропорциональности служит масса тела. Чем больше сила или больше приложенных к телу сил, тем при одинаковой массе тела его ускорение больше. Количественно эта зависимость выражается уравнением:

F = ∑ F = ma, Н

(50)

где F – сила, Н;

m – масса тела, кг; a – ускорение тела, м/с2. Если сила F = 0, ускорение тела также равно нулю, или, если а = 0, то и действие силы на тело также равно F = 0. Ускорение зависит не только от величины cилы, но и от величины массы тела и его физических свойств. Согласно (50) при одинаковой (постоянной) силе, взаимодействие двух тел определяется равенством произведений m1a1 = m2а2, отсюда отношение ускорений равно обратному отношению масс:

a1 m2 = a2 m1

(51)

‫٭‬59‫٭‬

Таким образом, масса тела является основной динамической характеристикой тела. Если на тело действует постоянная сила, например, сила, создаваемая работой двигателя, то тело движется равномерно, с постоянной скоростью. В этом случае на тело действуют две силы: движущая сила и сила сопротивления среды (сила трения), силы уравновешены, ускорение тела а = 0:

F - R = 0, F = R, Н

(52)

здесь F – движущая сила, Н;

R – сила сопротивления среды, Н. Третий закон Ньютона является законом равенства действия и противодействия сил. Любое действие тел друг на друга является взаимодействием. Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению. В данном случае одинаковы по величине взаимодействия, т.е. силы приложены к разным телам. Поэтому действующие силы, которые рассматриваются в третьем законе Ньютона, не могут уравновешивать друг друга. Из отношения (51) видно, что при одинаковой силе двух взаимодействующих тел абсолютные значения ускорений а1 и а2 определяются их массами и не зависят от характера действующих между ними сил.

§ 23. Массы. Массовый расход. Плотность

Ускорение тела зависит от величины силы, приложенной к телу и свойств самого тела, среди которых основной характеристикой является физическая величина, называемая массой. Чем больше масса тела, тем к телу надо приложить большую силу, чтобы изменить его скорость: если тело находится в движении или сообщить ему движение, если тело находится в покое. Следовательно, масса характеризует два свойства тела:

‫٭‬60‫٭‬

1) инерцию, так как тело изменяет состояние своего движения только под воздействием внешней силы и 2) тяготение, так как между телами действуют силы гравитационного притяжения. Закон всемирного тяготения был открыт и сформулирован Ньютоном. Согласно этому закону тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Из закона тяготения следует, чем больше гравитационная масса взаимодействующих тел и чем меньше расстояние между телами, тем сила притяжения между телами больше. Силы всемирного тяготения универсальны. Они действуют между любыми телами, обладающими массой, а массу имеют все тела. Для сил тяготения не существует никаких преград. Они действуют сквозь любые тела, экраны, преграды и сообщают всем телам независимо от их массы одно и то же ускорение. Экспериментально подтверждено (Галилеем и другими исследователями), что гравитационная и инерционная массы численно равны. Гравитационную массу (количество вещества) определяют взвешиванием на рычажных весах в условиях равновесия масс взвешиваемого тела и гири. Результат взвешивания представляет собой величину покоящейся массы тела и не зависит от ускорения притяжения в пункте взвешивания; его называют массой тела и измеряют в единицах массы – килограммах (кг) или в дольных единицах. В химии и термодинамике применяют также внесистемные единицы массы: кило-моль (Кмоль), моль (моль), граммэквивалент (г.экв.). В практике результат взвешивания часто неправильно называют весом тела, силой веса. Между тем из равенства ‌­ускорений, сообщаемых Землей всем телам, следует, что вес тела в определенных условиях изменяется и может быть доведен до невесомости (при свободном падении тел).

‫٭‬61‫٭‬

Отличие силы тяжести от веса (общепринятого определения веса нет) прежде всего, в том, что при свободном падении тела его вес исчезает, остается только сила тяготения. Вес не является особой силой, это название относится к частному виду силы упругости взвешивающих пружинных устройств. Под весом в обиходе понимают силу давления тела на горизонтальную опору. Именно эта сила, действуя на чашу пружинных Весов, растягивает пружину, и под действием этой силы поворачивается коромысло рычажных Весов. Например, тело (T) лежит на горизонтальной опоре (донышке чаши Весов) – (О). Сила тяжести – Р, силу давления на опору (вес) обозначим G. Реакция опоры R, согласно третьему закону Ньютона, равна G (R = G) и направлена в противоположную сторону. Она приложена не к опоре О, а к телу Т. Сила Р является результатом взаимодействия тела с Землей, а вес G характеризует другое взаимодействие, взаимодействие тела Т и опоры О. Поэтому вес обладает особенностями, отличающими его от силы тяжести Р. Вес определяется всей совокупностью действующих на тело сил, а не только действием силы тяготения. Например, вес тела в жидкости (то же и в воздухе) меньше, чем в вакууме из-за возникновения выталкивающей силы (Закон Архимеда). Вес значительно зависит от ускорения, с которым движется опора. Вес тела на экваторе Земли меньше веса на полюсе в результате действия на экваторе центростремительного ускорения. Рассмотрим изменение веса тела в лифте. Представим себе, что тело находится на опоре пружинных Весов в лифте, движущимся с ускорением (а), если ускорение направлено вниз, то, согласно второму закону Ньютона:

ma = P – R, где m – масса тела, кг.

а

R = G, то ma = P – G,

Если ускорение направлено вверх, то ma = P + G; лишь при а = 0 G + Р, т.е. вес тела равен силе притяжения к Земле. В общем случае: G = Р ± ma = m(g ± a); Р = mg и G = ma. Если лифт падает свободно, т.е. ускорение: а = g, то G = m(g - g) = 0.

‫٭‬62‫٭‬

Это означает наступление невесомости. Тогда Весы показывают нуль, т.е. тело не давит на опору и реакция опоры R = 0. В энергообразующих машинах (двигателях внутреннего сгорания, паровых и газовых турбинах, компрессорах, насосах и др.) используются жидкие и газообразные тела. В рабочих процессах таких машин, систем возникает необходимость изменять и контролировать массовые и объемные расходы газовых, жидких и псевдо жидких тел. Расходом называют количество вещества, протекающее через проходное сечение крана, канала или трубопровода в единицу времени. Под расходом вещества подразумевают массовый или объемный расход, выражаемый в единицах массы или объема:

G = m/t, кг/с, и

V = G/ρ, м3/с,

(53)

где G – массовый расход, кг/с;

m – масса вещества, кг; t – время, с, (ч); V – объемный расход вещества, м3/с, (м3/ч); ρ – плотность, кг/м3. Для измерения расхода чаще используют дроссельные, скоростные, объемные расходомеры и мерные баки. Тела, имеющие одинаковые объемы, но состоящие из разных веществ (чугун, алюминий, цемент, мазут, природный газ и др.) обладают различной массой. Отношение массы тела к его объему называют плотностью:

, кг/м3.

(54)

Здесь ρ – плотность тела. Единицы измерения твердых и жидких тел указываются (в таблицах справочников) в кг/дм3 или в г/см3; для газообразных тел, кг/м3. m – масса тела, кг; V – объем тела, м3

‫٭‬63‫٭‬

Плотность твердых и жидких веществ (под веществом понимают различные формы материи, характеризующиеся наличием массы покоя) зависит от температуры и мало - от давления. Плотность газообразных веществ значительно зависит от давления и температуры. В таблицах приводятся значения нормальной плотности газа ρн, соответствующей температуре 0оС и давлению 760 мм рт. ст. (101,3, КПа). В практике часто применяют понятие относительной плотности тела, характеризуемой числом, показывающим, во сколько раз плотность данного тела больше или меньше плотности какого-либо вещества, принимаемого в качестве стандартного:

(55) здесь ρ – плотность данного вещества, кг/м3; ρо – плотность стандартного вещества, кг/м3; d – относительная плотность, величина безразмерная. Обычно в качестве стандартного вещества принимают: а) воду при 4оС и ρо = 1000 кг/м3 (при определении ‌­относительной плотности твердых и жидких тел). б) сухой атмосферный воздух (при нормальном атмосферном давлении и температуре 0оС, ρо = 1,293 кг/м3) при определении относительной плотности газов. Например, если указывается, что относительная плотность мазута – 0,94, каменного угля -1,4, а латуни – 8,6, то это означает, что плотность данного вещества во столько раз меньше или больше плотности стандартного вещества. Удельным объемом вещества ‫ ע‬называется объем, занимаемый единицей массы вещества:

‫ע‬

, м3/кг.

(56)

Объем, удельный объем газов и паров, как и плотность, зна-

‫٭‬64‫٭‬

чительно зависят от температуры и давления; чем выше давление и ниже температура, тем больше плотность газов и паров и тем меньше их удельный объем и объем. Удельный объем твердых и жидких тел главным образом зависит от температуры: с ростом последней удельный объем несколько увеличивается, а плотность уменьшается. Исключение составляет вода, плотность которой при нагреве от 0°С до 4°С увеличивается до 1000 кг/м3, при дальнейшем нагреве – снижается, например, при t = 20°С ρ0 = 997 кг/м3, а при 100°С – ρ0 = 958 кг/м3.

§ 24. Сила. Сложение и разложение сил

В механике важно знать, при каких условиях возникают силы, какая величина их и направление, т.е. знать, как силы зависят от скоростей движения тел и от расстояний между ними. В механике макротел главным образом, имеют дело с тремя типами сил: гравитационными, упругими и силами трения, которые зависят либо только от расстояний между телами или частями одного тела (гравитационные и упругие силы), либо только от относительных скоростей (силы трения). Уравнение второго закона Ньютона (50) позволяет ‌­рассчитывать самые разнообразные движения тел. По известным силам можно вычислять координаты тела в любой момент времени, если известны (заданы) скорость и координаты тела в начальный момент движения. Сила, ускорение и импульс тела, также как и скорость (гл.2) есть величины векторные, следовательно, и уравнение F = ma, является компактной записью трех уравнений:

Fx = max F y = ma y

(57)

Fz = maz где Fх, F y, Fz – проекции вектора силы на оси координатной системы;

‫٭‬65‫٭‬

ax, ay, az – проекции вектора ускорения на те же оси. Чаще известны силы как функции координат и скоростей. Зная силу и массу, можно определить ускорение. Из кинематики (гл.3) известно, что ускорения не определяют однозначно скорости и координаты. Но для случая постоянной силы, когда проекция ускорения в каком-либо направлении постоянна (например, на ось Х), компоненты скорости Vx и координаты Х удовлетворяют уравнениям (23), (25), § 16.

(58) Следовательно, для определения составляющих скорости и координаты в произвольный момент времени необходимо установить скорость V0 и X0 в начальный момент (времени отсчета t = 0). Если же сила меняется, то эти формулы не будут ‌­справедливыми. Зависимости скоростей и координат будут более сложными. Импульсы или количество движения тела (§ 20):

P = mV

(59)

зависят одновременно от инертных свойств тела и его состояния движения (скорости). Производная от импульса по времени равна действующей силе:

dP = F , Н; отсюда dP = Fdt dt

(60)

При постоянной силе последнее равенство дает изменение импульса за конечное время ∆t:

P2 – P1 = F∆t

(61)

Из этого равенства (61) можно определить конечный импульс или скорость тела по известным начальным (заданным) значениям P0, F0 и ∆t.

‫٭‬66‫٭‬

Так как силы - векторные величины, то их надо складывать геометрически, в отличие от скалярных величин, складываемых арифметически. Вектор характеризуется величиной (модулем) – длиной отрезка и направлением (стрелкой на конце отрезка). Правила сложения и вычитания векторов изложены в гл. 2. Правила векторного сложения сил позволяют определять направления действия сил и величины сил, когда тело ‌­находится в движении или в состоянии покоя (равнодействующая векторной суммы сил равна нулю). Если силы действуют вдоль одной линии, то векторное сложение превращается в обычное сложение или вычитание в зависимости от совпадения направлений действующих сил. В реальных условиях на тело действуют, как правило, не одна сила, а несколько. Силы, направленные противоположно силе тяжести, часто называют реакциями опоры. Сила реакции опоры действует всегда по нормали к поверхности вне зависимости от того, горизонтальная поверхность опоры или наклонная. Действие стола на лежащую на нем книгу или пола в школе на стоящего или идущего по нему ученика – это реакции опоры. Подобные силы встречаются всегда по две и, притом, являются равными и противоположно направленными. Такие две силы называют действием и противодействием. Их нельзя называть уравновешивающими силами, так как они приложены к разным телам (см. третий закон Ньютона), а уравновешивающие силы – это силы, приложенные к одному телу. Правило векторного сложения сил дает возможность определять направление действия силы и вычислять ее величину. Векторную сумму сил, действующих на тело можно заменить одной силой, результирующей или равнодействующей, которая производит на тело такое же действие, как и все приложенные к телу силы, а отдельные силы, действующие на тело в этом случае, называют составляющими. Сумма (или разность) двух сил равна диагонали параллелограмма, которая всегда меньше суммы двух его сторон.

‫٭‬67‫٭‬

В твердом теле силу можно переносить вдоль линии ее действия в любую точку; при этом результат действия силы на тело не изменяется. Например, равнодействующая F = F1 ± F2 = F ≥ 0; при F1 = F2, F ≥ 0. При F = 0 силы уравновешивают друг друга. Если две действующие силы находятся не в одной линии, а направлены под углом и приложены к телу в одной точке, то равнодействующая этих сил выражается диагональю параллелограмма F, построенного на отрезках (векторах), характеризующих эти силы, рис. 22.

б) Рис. 22 Графически равнодействующую можно находить с помощью параллелограмма или треугольника сил (см. гл. 2, сложение скоростей). Рассмотрим случай, когда действующие силы F1 и F2 направлены друг к другу под углом и приложены к различным точкам тела (F1 в т. А и F2 в т. В), рис. 23. Для нахождения равнодействующей надо найти точку О пересечения этих сил и в эту точку перенести силы F1 и F2 (в масштабе сил и с указанием направления их действия), построить на этих векторах сил параллелограмм и построить равнодействующую F —диагональ параллелограмма.

‫٭‬68‫٭‬

Рис. 23 Затем эту равнодействующую можно перенести по направлению силы в любую точку тела, например, в точку О’. При нахождении равнодействующей нескольких сил последовательно находят равнодействующую суммы этих двух сил и третьей силы, затем равнодействующую суммы этих трех сил и четвертой силы и так далее до нахождения равнодействующей всех сил, т.е. силы, способной заменить воздействие на тело всех заданных сил. Графическое нахождение равнодействующей многих сил упрощается применением правила многоугольника сил. Для этого вначале откладывают вектор, графически изображающий первую силу, к концу этого вектора пристраивают вектор, параллельный второй силе и равный ему по длине (в масштабе, его модулю), затем к концу второго вектора пристраивают вектор, параллельный третьей силе и равный ей по длине и т.д. Замыкающий отрезок графически изображает вектор, характеризующий по числовому значению и направлению равнодействующую силу. Если векторы действующих сил F1 и F2 параллельны и направлены в одну сторону (рис. 24) их арифметическая сумма равна сумме:

F = F1 + F2,

(62)

‫٭‬69‫٭‬

а точка приложения равнодействующей делит расстояние между точками приложения сил на отрезки, обратно пропорциональные силам

F1 b = F2 a

(63)

Рис. 24 Пример. Определить числовое значение равнодействующей двух параллельных сил, направленных в одну сторону (F1 = 1000 кН; F2 = 50 кН) и точку приложения равнодействующей, если расстояние между точками приложения сил равно 0,5 м. Решение. Находим сумму приложенных сил:

F1 + F2 = 100 + 50 = 150 кН

Находим точку приложения равнодействующей силы:

b F1 100 = = = 2 , отсюда b = 2a a F2 50

С другой стороны, a + b = 0,5 м, подставляем b = a + 2a = 3a.

3a = 0,5 м, a = 0,5/3 = 0,17 м и b = 0,5 – 0,17 = 0,33 м. Задача, обратная сложению сил, т.е. разложение сил, возни-

‫٭‬70‫٭‬

кает, когда необходимо определить уравновешивающие силы в элементах системы.

Рис. 25 Например, определить силы натяжения тросов канатной переправы. Вес тяжести грузовой кабины надо разложить по двум направлениям каната, к которому подвешен груз (рис.25). Здесь 1 – кабина; 2 – трос; Fт – сила тяжести грузовой кабины; Fн – сила натяжения троса (по двум направлениям); F – равнодействующая сила натяжения троса. Из конца вектора равнодействующей силы (диагонали параллелограмма) проводим линии, параллельные тросам до пересечения с ними. Получаем параллелограмм сил. Длины его сторон (в масштабе отрезков, характеризующих силы Fт и F) равны величинам сил натяжения концов сторон каната. Любую силу можно разложить на две силы – стороны параллелограмма, одна из которых выбирается произвольно. К каждому вектору можно пристраивать любой многоугольник. Часто бывает удобным разложить силу на две взаимно перпендикулярные – одну вдоль интересующего нас направления, а другую направить перпендикулярно к выбранному направлению. Построенные составляющие силы называют: первую – продольной (скользящей), а вторую – нормальной (перпендикулярной) составляющими.

‫٭‬71‫٭‬

В соответствие с теоремой прямоугольного треугольника запишем:

,

(64)

где Fп – продольная составляющая и Fн – нормальная проекции силы на выбранное направление и нормаль к нему. Сила

Fп = Fп cos α

(65)

где α – угол между вектором силы и направлением, на которое она проецируется. Рассмотрим более сложный пример разложения сил, связанных с движением парусной яхты. Известно, что парусные суда могут двигаться под парусом при острых углах к курсу (перемещения зигзагами) против ветра. Как же это удается? Идти на парусах прямо против ветра невозможно, но под некоторым углом к встречному направлению ветра идти на яхте с пониженной скоростью можно. На рис. 26 схематично показано взаимодействие движителя (паруса) яхты и ветрового потока воздуха, а также направление движения яхты и ветра.

Рис. 26 На рис. 26 обозначены силы: Fв - сила ветра,

‫٭‬72‫٭‬

Fск - скользящая (продольная) составляющая силы ветра, действующая на парус; Fн – нормальная составляющая силы ветра, действующая на парус; Fпн – сила нормального (по отношению к борту яхты) упора, стремящаяся сдвигать яхту в боковом (бортовом) направлении; R – равнодействующая сила сопротивления бортовому движению яхты; Fдв - движущая сила, обеспечивающая движение яхты по заданному курсу (под острым углом к курсу). Из рисунка видно, что для определения движущей яхту силы произведено двойное разложение силы ветра. В начале получили силу Fн путем выбора скользящего направления движения ветрового потока по парусу, и затем вновь разложили полученную нормальную составляющую Fн в поперечном и продольном направлениях (по отношению к оси яхты), получив при этом движущую силу яхты Fдв.

§ 25. Сила упругости

Силы упругости возникают при деформировании взаимодействующих тел или между частями одного и того же тела. Под деформацией понимают изменение объема или формы тела. Силы упругости определяются величиной деформации. При прекращении деформации упругие силы исчезают. Твердые тела благодаря упругим силам сохраняют свои объем и форму. Жидкости сохраняют свой объем и не сохраняют форму. Жидкость легко приобретает форму того сосуда, в который она переливается, при этом силы упругости не проявляются, но при сжатии, например, пластиковой бутылки, заполненной водой, силы упругости сразу же возникают, из бутылки выбрасывается струя. Точно также сила упругости появляется при сжатии воздуха в насосе. Но для увеличения объема газа никаких усилий не требуется. Например, из проколотого воздушного шарика воздух самопроизвольно вытекает наружу. Таким образом, упругие силы возникают всегда при изменении формы или объема твердого тела, при изменении объема

‫٭‬73‫٭‬

жидкости, а также при сжатии газа. Газ всегда находится в сжатом состоянии (под давлением, т.е. чтобы удержать его в определенном объеме, требуются внешние силы, будь то силы тяготения (земная атмосфера) или силы, действующие со стороны стенок резиновой камеры колеса велосипеда или футбольного мяча. Деформация возникает лишь при сдвиге (перемещении) различных участков тела. Например, при растяжении резинового шнура, различные части шнура перемещаются на неодинаковые расстояния. Больше всего смещаются края, меньше всего – в средних частях, а в середине вообще не растягивается, середина остается на месте. В результате деформирующая (растягивающая) шнур сила по отдельным элементам (участкам) шнура передается и увеличивается в течение некоторого времени (соответственно также последовательно меняются и скорости деформирования) ускорения. Аналогично процесс протекает и при сжатии тела. При жестком (быстром) ускорении или торможении интенсивно возрастающие силы могут привести к разрушению тела. Следует заметить, что появление деформации не всегда приводит к появлению силы упругости. Те тела, в которых возникают силы упругости и которые после прекращения действия сил восстанавливают форму или объем тела, называются упругими телами. Пластичные тела, в которых после деформации их форма не восстанавливается, например, свинцовая проволока, влажный песок и др. Хотя при деформации этих тел также возникает сила, но это не сила упругости, так как ее величина зависит не от величины деформации, а от скорости изменения деформации. При малых деформациях тел связь силы упругости с величиной деформации установлена Робертом Гуком. Сила упругости прямо пропорциональна изменению длины образца испытуемого материала. При больших деформациях пропорциональность между величинами силы и деформации нарушается. Силы упругости жидкостей и газов играют важную роль в процессах преобразования и переноса энергии, в работе энергопреобразующих машин (двигателей внутреннего сгорания, паровых, газовых и гидротурбин, компрессоров, насосов, дви-

‫٭‬74‫٭‬

жителей водного и воздушного транспорта). Эти проблемы изучаются в термодинамике, гидро- и газодинамике. В настоящей работе рассматриваются лишь отдельные разделы указанных наук, непосредственно относящиеся к повышению энергетической эффективности и принципам работы двигателей и движителей.

§ 26. Силы трения

Силы трения – это особый вид сил. Они возникают и действуют вдоль поверхностей непосредственно соприкасающихся тел. Основное их отличие от гравитационных сил и сил упругости состоит в том, что они зависят от скорости движения взаимодействующих поверхностей и, как правило, возрастают с увеличением относительной скорости. Силы трения не только тормозят движение, но в ряде случаев и обеспечивают движение, выполняя роль как бы опоры для увеличения скорости движения. Например, автомобиль при движении испытывает кроме отрицательного воздействия сил трения (трения ведомых колес о дорожное покрытие), также и положительное действие трения, создающего упор для ведущих колес автомобиля, (препятствуя проскальзыванию при увеличении скорости автомобиля). Силы трения зависят от состояния трущихся поверхностей, от скорости, а при движении тела в воздухе или в воде - зависят от формы и размеров тел. Силу трения, действующую между телами, неподвижными друг относительно друга, называют силой трения покоя. Если тела неподвижны, то трение покоя равно нулю. Наибольшее значение силы трения f, при которой сдвиг тела еще не наступает, называют максимальной силой трения покоя - fт. Величина силы fт не зависит от направления действия силы на тело. Между силой f и силой нормального давления Р (силой, с которой тело давит на соприкасающуюся с ним поверхность, перпендикулярно к этой поверхности) имеется ‌­прямо ‌­пропорциональная зависимость (установленная физиком Кулоном):

‫٭‬75‫٭‬

f = k Р, Н

(66)

где k – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом трения, зависящий в основном от материалов трущихся поверхностей (при движении чугуна по стали k ≈ 0,26; чугуна по бронзе k = 0,20 – 0,15; стали по стали k = 0,15). В действительности коэффициент k зависит от многих факторов: качества обработки трущихся поверхностей, их загрязнения, скорости скольжения. При значениях силы f > fт начинается скольжение.

§ 27. Силы сопротивления при движении твердых тел в жидкостях и газах

При движении твердого тела в жидкости или газе на него действует сила сопротивления среды, которая направлена против скорости тела относительно среды и тормозит движение, или (за счет сил трения) поток может приводить тело в движение по направлению течения потока. Особенность сил сопротивления среды в том, что они проявляются только при наличии относительного движения тела и окружающей среды. Сила трения покоя (в жидкой или воздушной среде) полностью отсутствует. Это означает, что даже слабое усилие может сдвинуть массивное тело. Сила сопротивления (вязкого трения) зависит от размеров, формы и состояния поверхности тела, свойств жидкостей (газа), в котором тело движется, и от относительной скорости тела и среды. Зависимость силы сопротивления от скорости тела сложная. С увеличением скорости сила сопротивления сначала растет медленно, а затем интенсивно возрастает. При малых скоростях тела силу сопротивления среды можно принимать равной:

f = -k1V, Н

(67)

Здесь k1 – коэффициент трения, зависящий от формы, размеров, состояния поверхностей тела и вязкости среды. Для сложной формы тела коэффициент k1 определяется экспериментально.

‫٭‬76‫٭‬

При больших скоростях тела (относительного движения) сила трения растет пропорционально квадрату скорости:

f = -k2V2, Н,

где k2 – коэффициент трения (новое значение), всегда направлен против относительной скорости. Если на тело действует постоянная сила, то сопротивление среды возрастает до выравнивания сил – действующей на тело и силы сопротивления. С этого момента скорость движения тела становится постоянной (уравновешенной), установившееся движение в вязкой среде.

§ 28. Трение качения

Трение качения возникает в тех случаях, когда одно тело ‌­катится по другому. Трение качения более чем в сотню раз меньше трения скольжения. Возникновение сил сухого трения в настоящее время объясняется образованием адгезионных связей между контактирующими поверхностями взаимодействующих тел. Считается, что при относительном перемещении трущихся поверхностей происходит разрыв уже образовавшихся молекулярных связей и постоянное образование новых. При разрыве и образовании адгезионных связей механическая работа переходит в теплоту, повышая внутреннюю энергию тела. Силовые поля вокруг молекул при сжатии и растяжении деформируются и рассеивают энергию. Сила трения при страгивании тела, в момент, непосредственно предшествующий началу относительного движения трущихся тел, больше, чем при установившемся движении, так как при отсутствии скольжения в результате длительного соединения контактирующих тел образуются более прочные связи, чем при относительном их движении и кратковременных контактах отдельных участков трущихся поверхностей. При скольжении силы трения тангенциальны, параллельны и противоположно направлены по отношению к направлению вектора активной (движущей) силы. Количество разрушающихся и повторно образующихся ад-

‫٭‬77‫٭‬

гезионных связей при скольжении больше, чем при качении тел, так как сила разрывающая (разрушающая) адгезионную связь направлена почти перпендикулярно к поверхности качения и тем исключает повторное образование новой связи в зоне локальных контактов. В подшипниках машин трение качения зависит от неровностей трущихся поверхностей и их твердости, т.е. от степени вдавливания катящегося тела в поверхность другого тела, по которой тело катится. В современных быстроходных машинах подшипники скольжения заменяют шариковыми и роликовыми. При движении транспорта трение играет двойную роль, т.е. проявляется в различных обличиях. С одной стороны, силы трения препятствуют перемещению, с другой – делают его возможным. В одних условиях его роль отрицательная (тормозящее перемещение), в других – положительная (играет роль движущей силы). Например, для ведомого колеса автомобиля, в зоне контакта его с дорогой, трение выступает в роли сопротивления движению, увеличивает затраты энергии на перемещение. Если рассматривать ведущее колесо автомобиля или велосипеда, то становится очевидным, что трение его о дорогу является движущей силой, перемещающей автомобиль. При гололеде движение и управление автомобилем из-за проскальзывания колес (уменьшения трения) значительно затрудняется. Потери энергии при качении колеса связаны не только с внешним трением, действующим в опоре оси и в точке контакта с дорогой, но и с внутренним трением, возникающем при деформации колеса и дорожного покрытия. Свойства деформируемых тел определяются упругостью, вязкостью и пластичностью (§§26, 27). Затрачиваемая при деформациях работа преобразуется в тепло и рассеивается в окружающей среде. Таким образом, колесо приводит как бы к постоянной утечке потенциальной энергии груза. Для восполнения этих потерь при перемещении груза на колесах приходится совершать дополнительную работу. Если в замкнутой системе силы трения совершают работу, то механическая энергия не сохраняется.

‫٭‬78‫٭‬

Причина особой роли сил трения состоит в том, что работа этих сил не может быть получена через изменение потенциальной энергии системы. Силы трения зависят от скорости тел, но не от их расстояния. Поэтому работа сил трения не связана определенным ‌­образом с изменением расположения тел и не изменяет их положения, при котором потенциальная энергия могла бы увеличиваться. Отрицательная же работа трения снижает кинетическую энергию. В результате – полная механическая энергия системы убывает.

§ 29. Роль колеса при перемещении груза

Вращение колесу сообщается либо при помощи вала, если оно является ведущим (приводным), или осью при ее поступательном движении вместе с транспортом. В обоих случаях колесо накатывается на дорогу. При этом колесо в двух местах входит во взаимодействие с внешними предметами: с опорой колеса, в которой скользит ось (в подшипнике скольжения) и с дорогой, по которой колесо катится. Основным сопротивлением движению является трение скольжения оси колеса в опоре, так как трение качения колеса по дороге значительно меньше. Экспериментальная оценка энергозатрат на перемещение груза тремя способами, выполненная И.Ф. Гончаренко, показала, что при перемещении груза на тележке волоком (колеса тележки застопорены – не вращаются) и на катящихся колесах малого диаметра, равного d, усилия, прикладываемые к тележке, практически мало отличаются. Но при перемещении груза на той же тележке с колесами большого диаметра D (в несколько раз превышающего диаметр d), прикладываемые к тележке усилия значительно уменьшаются. Для сравнения результатов рассмотрим энергозатраты при перемещении груза на одно и то же расстояние. В качестве такого расстояния возьмем путь, равный одному обороту колес тележки с большим диаметром D. За один оборот груз переместится на расстояние L = πD, м. Коэффициент трения о поверхность скольжения и в опоре оси примем одинаковым, равным µ.

‫٭‬79‫٭‬

При перемещении волоком, груз весом G с коэффициентом трения застопоренных колес тележки µ испытывает сопротивление силы трения F = µG, на ее преодоление затрачивается работа A1 = FL1, Дж. При перемещении тележки на колесах с малым диаметром d, за один оборот колеса затрачивается работа A2 = FL2. Для того, чтобы переместить груз на расстояние L, колеса тележки должны сделать L/L1 оборотов. В этом случае общая работа, затрачиваемая на перемещение груза равна µG·πD(D/d) ≈ A, т.е. примерно равна работе, затрачиваемой при перемещении тележки с грузом волоком. При перемещении груза на тележке с колесами, имеющими диаметр D, нужно сделать один оборот. При этом путь силы трения будет равен L, и затраченная работа A = µG·πD. Анализ и сопоставление полученных выражений показывает, что выигрыш в силе тем больше, чем меньше диаметр оси колеса по сравнению с его диаметром или отношением радиусов r/R. Суть получаемого энергетического эффекта состоит в том, что сила трения действует на малом плече, равном r = d/2, а груз перемещается на большом плече, равном радиусу колеса R = D/2. Фактически колесо – это своеобразный рычаг, работающий в условиях действия сил трения на ограниченном участке (на коротком плече), пропорционально отношению (r/R). Такой «рычаг» от обычного рычага отличается тем, что может действовать непрерывно, его не нужно возвращать в исходное положение как обычный рычаг для повторения цикла действия. Геометрия колеса переводит рабочий цикл колеса из дискретного в непрерывный, обеспечивающий длительную работу. Принцип действия колеса основан не на преобразовании сил трения, а на использовании изменения соотношения моментов. Трущиеся поверхности колеса имеют замкнутую форму, что позволяет реализовать непрерывный режим движения. Центр масс колеса может совмещаться с центром его вращения, поэтому колесо может быть динамически сбалансированным. Далее будет рассмотрен принципиально другой способ организации движения транспорта с использованием сил инерции, обеспечивающий высокую энергетическую эффективность движения и управления транспортных средств.

‫٭‬80‫٭‬

§ 30. Разложение силы на две составляющие силы, приложенные в одной точке

В энергопреобразующих машинах (поршневых и турбомашинах, парусных устройствах и др.) важной практической ‌­задачей является задача сложения или разложения данной силы на составляющие силы, которые своим совместным действием в заданном направлении могли бы заменить данную силу. Для того, чтобы решить задачу разложения данной силы Р, заданной по численному значению и направлению, на две составляющих силы Рu и Рn (окружную и нормальную силы), необходимо дополнительно иметь одно из ниже перечисленных условий:

Рис. 27 · направление обеих составляющих сил; · числовое значение одной и направление другой составляющей силы; · числовое значение и направление одной из составляющей сил; · числовое значение обеих составляющих сил. На рисунках 26 и 27 приведены примеры сложения и раз-

‫٭‬81‫٭‬

ложения сил для движения судна под парусом, работы кривошипно-шатунных механизмов поршневых машин и вращение ротора турбомашины.

§ 31. Силы при вращательном движении

В практике мы встречаемся с различными видами вращательного движения (вращение колеса, волчка, карусели и др.). Рассмотрим примеры вращательного движения подробнее. Например, различные части рабочего диска, вращающегося вместе с валом турбины, движутся неодинаково. Части диска, расположенные ближе к валу, за одно и то же время совершают меньшие перемещения и, следовательно, имеют меньшие скорости, чем части, расположенные дальше от вала. Неодинаковые и ускорения различных частей диска. При поступательном движении тела все точки движутся одинаково, т.е. имеют одинаковые перемещения, скорости и ускорения. Для описания поступательного движения тела достаточно определить движение одной точки тела. При вращательном движении, например, катящегося колеса или вращающегося волчка следует рассматривать движение как результат наложения двух движений: для колеса – поступательного и вращательного; для волчка – вокруг собственной оси и вращения оси волчка вокруг его вертикальной оси, неподвижной будет оставаться лишь одна точка – точка опоры волчка. Поэтому описание движения по одной точке возможно только при простейшем вращательном движении, т.е. при вращении тела вокруг неподвижной оси. Так как уравнение произвольного движения материальной точки является векторным, поэтому его можно заменить системой трех уравнений (см. §§18, 19):

max = Fх, may = Fy, maz = Fz ,

(68)

где ax, ay, az – проекции вектора ускорения на оси координат; Fx, Fy, Fz – соответствующие проекции результирующей силы. Если при движении по окружности материальная точка остается в одной плоскости, а ось вращения направлена пер-

‫٭‬82‫٭‬

пендикулярно плоскости движения, и перемещение вдоль оси отсутствует, то движение материальной точки описывается системой двух уравнений:

max = Fх, и may = Fy

(69)

При рассмотрении криволинейного движения (см. гл. 3) была использована более удобная запись уравнений. Вектор ускорения раскладывался на нормальную и касательную составляющие. Примем и здесь такое обозначение ускорений и сил:

man = Fn, и mat = Ft

(70)

Рис. 28

Здесь Fn и Ft – нормальная и тангенциальная проекции силы (рис. 28). Эти уравнения выражают второй закон Ньютона, записанный в другой форме, более удобной для описания движения материальной точки М по окружности.

§ 32. Равномерное движение материальной точки по окружности

В общем случае скорость движения по окружности может

‫٭‬83‫٭‬

меняться и по направлению движения и по величине скорости. В качестве примера рассмотрим движение шарика по круговому желобу, расположенному горизонтально. Если пренебречь трением, то скорость шарика остается неизменной в соответствии с законом сохранения энергии. В этом движении шарика скорость меняется только по направлению. Тангенциальное ускорение at связано с угловым ускорением b (см. §§18, 19) равенством:

at = βR

(71)

где R – радиус окружности, по которой движется шарик. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости только по абсолютной величине. Если абсолютная скорость не изменяется, то движение называют равномерным, тогда ускорение at = 0. В этом случае тангенциальная составляющая силы Ft = 0. Таким образом, при равномерном движении материальной точки по окружности система уравнений (70) сводится к одному уравнению, которое определяет нормальное ускорение an:

man = Fn

(72)

Так как at = 0 и Ft = 0, то в уравнении (72) ускорение an совпадает с полным ускорением, а сила Fn – с результирующей силой, действующей на материальную точку. Векторы a и F направлены от материальной точки к центру окружности. В §19 была установлена связь значения нормального ускорения с величиной линейной скорости V и угловой скоростью ω, имеющая вид:

V2 или an = ω2R an = R

(73)

При равномерном движении величины V и ω постоянны. Эти равенства справедливы и в более общем случае, когда величины ускорения и силы меняются со временем. Используя

‫٭‬84‫٭‬

равенство (73) запишем уравнение вращательного движения в виде:

mV 2 = Fn или mω2R = Fn R

(74)

Нормальное ускорение направлено к центру кривой траектории и называется центростремительным ускорением. Ускорение аn определяет изменение направления скорости материальной точки при ее движении по окружности или криволинейной траектории. Роль центростремительной силы при равномерном движении по окружности сводится к непрерывному изменению направления скорости.

§ 33. Силы, поддерживающие равномерное движение материальной точки по окружности

Природа сил, вызывающих и поддерживающих равномерное движение материальной точки по окружности разно­ образны. Если при движении по окружности шарика, закрепленного на нити, нить оборвалась бы, например, в точке 1 (рис. 29), то согласно первому закону Ньютона шарик стал бы двигаться прямолинейно и равномерно со скоростью V (при отсутствии сил тяготения) по направлению касательной к окружности в точке 1. Если нить при движении шарика не обрывается, то она растягивается. В результате появляется упругая сила натяжения, которая изменяет направление движения шарика и сообщает ему нормальное ускорение а n = (V 2/R) = ω 2R.

‫٭‬85‫٭‬

Рис. 29 Деформацию растяжения нити трудно заметить, но возникающую при вращении шарика силу упругости (натяжения нити) легко измерить, прикрепив нить к пружинному динамометру. Аналогично с помощью возникающей силы при вращении можно определить силу трения покоя f. Величина силы f меняется в пределах f = 0 ÷ K. Здесь K – коэффициент трения (в жидкости f = 0); Р – сила нормального давления. Если угловая скорость такова, что mω2R ≤ KP, то возможно равенство :

mω2R = f

(75)

Сила Р по величине равна весу (силе притяжения тела к Земле Р = mg). В приведенном примере вращательное движение груза возможно лишь при угловой скорости ω2 ≤ ω2 =Kg R max , отсюда коэффициент трения:

‫٭‬86‫٭‬

Рассуждая подобным образом, можно определить максимальную частоту вращения на нити шарика (для ‌­вышеприведенного примера):

, где F – упругая сила натяжения нити.

При ω > ωmax нить разрывается. Подобные явления происходят и в других технических решениях. В одних случаях они полезны, в других – вредны. В качестве вредного явления может служить разрушение турбомашины при увеличении частоты вращения выше допустимой (при нарушении правил эксплуатации турбин, компрессоров и др.). То же явление выполняет полезную работу в сепараторах для жидких топлив, в двигателях внутреннего сгорания, в механических сушилках мокрых тканей и др.

§ 34. Неравномерное движение тела по окружности. Момент силы. Правило моментов

Рис. 30

‫٭‬87‫٭‬

При движении тела по криволинейной траектории, в частности – по окружности, движение будет неравномерным, если изменяется окружная скорость:

, а тангенциальное ускорение тела не равно нулю (§ 31).

Тангенциальное ускорение характеризует изменение только абсолютной величины окружной скорости

. Здесь R – радиус окружности; u – окружная (линейная) скорость движения тела по окружности радиуса R; φ – угол поворота (перемещения тела по окружности) за время t; ω – угловая скорость; β – угловое ускорение. Для описания неравномерного движения тела по окружности необходимо использовать уравнения (70), (71). После совместного решения получим уравнение движения тела по окружности с изменяющейся окружной скоростью.

Ft = mβR, Н

(76)

здесь Ft – тангенциальная составляющая силы F, движущей тело по окружности. Работу совершает только тангенциальная составляющая силы F.

‫٭‬88‫٭‬

Рис. 31 Неравномерное криволинейное движение удобнее описывать с использованием понятий момента силы и момента инерции. Рассмотрим в виде примеров действие двух параллельных сил на опору. Равнодействующая двух неравных параллельных сил F1 и F2, направленных в одну сторону (рис. 31), равна их арифметической сумме:

F = F1 + F2 и направлена в сторону действия складываемых сил.

Точка приложения равнодействующей (2) делит расстояние между точками приложения действующих сил F1 и F2 на отрезки длиной L1 и L2 по величине обратно пропорциональные силам.

L1 F1 или F1L1 = F2L2 = L2 F2

(77)

Из равенств (77) следует, что при нарушении равенства отношений одних величин, например, изменения сил или длин отрезков (L1, L2) величина и направление равнодействующей

‫٭‬89‫٭‬

не изменяется, изменится лишь ее точка приложения на участке (1-3). Это свойство сохранения равновесия, т.е. равенства произведений сил на соответствующие длины отрезков, имеет важное значение для вращательного движения. Рычажные системы широко используются в технике. Рассмотрим одну из таких систем, обеспечивающих работу предохранительных клапанов, устанавливаемых на воздушных ресиверах компрессоров, паровых котлов, водяных баков и др.

Рис. 32 На схеме рычажного предохранительного клапана (рис. 32) обозначены: 1 – тарелка клапана, 2 – шток предохранительного клапана, 3 – рычаг, 4 – груз, 5 – цепочка для подъема клапана, 6 – ось вращения рычага, 7 – направляющая вилка 0. На рычаг действуют две силы: Р – сила давления воздуха (пара, жидкости) на тарелку клапана, направленная вверх, и сила тяжести груза G, направленная вниз.

‫٭‬90‫٭‬

Если рычаг находится в равновесии под действием двух параллельных противоположно направленных сил, то точка приложения равнодействующей указанных сил лежит на оси вращения. Равновесие сохраняется, если произведение силы на плечо для обеих действующих сил одинаковое, т.е.

F1L1 = F2L2

(78)

Здесь F – сила, L – плечо. Плечом силы называют кратчайшее расстояние (L) между осью вращения (центром окружности, дуги поворота) и направлением действия силы F (плечо перпендикулярно вектору силы). Произведение силы на плечо называют моментом силы и обозначают буквой М. Единица измерения момента силы – Ньютон на метр (Н·м).

M = F·L, Нм

(79)

Правило моментов выполняется, если рычаг находится в равновесии, т.е. моменты сил относительно точки опоры (оси вращения) равны. Условились момент силы М считать положительным, если действующая сила стремится поворачивать тело по часовой стрелке, и отрицательным, если сила стремится поворачивать тело против часовой стрелки. Тело, имеющее ось вращения, будет находиться в равновесии, если сумма приложенных к нему положительных моментов сил равна сумме отрицательных моментов сил.

Рис. 33

‫٭‬91‫٭‬

Если на тело действуют две равные параллельные силы, противоположно направленные и не лежащие на одной прямой (рис. 33), то их называют парой сил. Пара сил не имеет равнодействующей и поэтому она не может сообщить телу поступательного движения. Пара сил создает только вращательный момент, равный произведению одной из сил на плечо, в данном случае – кратчайшее расстояние между линиями действия параллельных и противоположно направленных сил:

M = F·L, Нм

(80)

Здесь М – вращающий момент пары сил, Нм;

F – сила, Н; L – плечо пары сил, м (рис. 33). Чем больше момент, т.е. произведение величин F и L или их отдельных значений, тем вращающее действие пары сил больше.

§ 35. Момент инерции

При движении тела (А) по окружности (рис. 34) под действием силы F, действующей в плоскости перемещения тела вокруг неподвижной оси, каждая точка тела описывает дугу окружности с центром на оси вращения О.

Рис. 34

‫٭‬92‫٭‬

Все дуги тела параллельны и содержат одинаковое число дуговых градусов. Так как положение оси задано, а расстояние между осью и положением тела, движущегося по окружности, не изменяется, то положение тела в пространстве можно определить лишь с помощью только одной координаты φ, числа, равного углу поворота:

∆φ = φ – φ0

Здесь φ0 – начальный угол отсчета положения тела на окружности. Угол φ0 принимается φ0 ≥ 0. Изменение функции φ(t) характеризуется угловой скоростью ω = dϕ , а быстрота изменения угловой скорости – угловым dt ускорением β = ddtω , рад/с2. Угловое ускорение β создается только тангенциальной составляющей действующей силы F на тело, движущееся по окружности:

Ft = mat = mRβ, Н. На рис. 35 видно, что разные по величине и направлению силы F < F1 < F2, действующие на тело А, создают одинаковую вращающую силу Ft и, следовательно, одинаковое ускорение движения тела по окружности радиуса R.

Рис. 35

‫٭‬93‫٭‬

Буквой L обозначены плечи соответствующих сил L > L1 > L2. Величина плеча зависит от направления действия силы F по отношению к радиусу, проведенному из центра окружности О к точке А, через которую проходит касательная к окружности, определяющая направление силы Ft. Произведение силы на плечо называют моментом силы (79) М = FtR. Из рисунка 35 видно, что Ft = F sin α и L = R sin α, подставляя в выражение для момента силы М значения сомножителей, получим момент силы для движущегося тела по окружности:

М = Ft R = F sin α (L/sin α) = F·L, Н·м

(81)

Так как величины М и R при вращении тела не изменяются, то момент силы М определяет угловое ускорение β. Сравнивая движение материальной точки по окружности с прямолинейным движением (с учетом ранее установленных кинематических соответствий, гл.2: линейному перемещению S соответствует угловое перемещение φ, линейной скорости V – угловая скорость ω, линейному ускорению a – угловое ускорение β. Установим энергетические характеристики обоих видов движений путем сравнения величин совершаемой работы. При перемещении тела под действием силы на величину dS, совершаемая работа равна:

dL = Ft·dS

(82)

При перемещении тела по окружности на величину dS = Rdφ, работа совершается только тангенциальной составляющей силы Ft, так как нормальная составляющая силы Fn меняет только направление скорости, не изменяя кинетической энергии тела:

dL = Ft·Rdφ = Мdφ

(83)

Отсюда следует, что при угловом перемещении роль силы выполняет момент силы М, а роль массы при движении тела по окружности выполняет произведение m·R2, его обознача-

‫٭‬94‫٭‬

ют буквой I и называют моментом инерции:

I = mR2

(84)

Используя установленные энергетические соответствия для случая движения материальной точки по окружности:

M = Iß

(85)

Отсюда следует, что мерой инертности при движении материальной точки по окружности служит момент инерции. Сопоставляя исходные уравнения Ft = mat с М = Iβ, видно, что они эквивалентны и могут быть использованы для описания движения материальной точки, исходя из удобства решения задачи.

§ 36. Центростремительная сила

Движение точки по окружности характеризуют угловой скоростью, измеряемой радианами в секунду (рад/с) и частотой вращения, измеряемой числом оборотов в секунду n, с-1. Так как длина окружности S = 2πR, то полный угол, описываемый материальной точкой за один оборот, равен 2πR = πD, (здесь D – диаметр окружности). Если точка на окружности описывает n оборотов в секунду, то линейная (окружная) скорость точки равна V = 2πRn = πDn, м/с. Угловая скорость ω = V/R, с-1 или V = ω R, м/с (см. гл. 2). При равномерном прямолинейном движении скорость V по числовому значению и направлению остается постоянной; при вращательном движении сохраняется постоянным только числовое значение скорости ω, а направление скорости непрерывно меняется. Это значит, что скорость равномерного вращательного движения – величина переменная, т.е. материальная точка движется по окружности с ускорением, которое в любой момент направлено по радиусу к центру окружности и называется центростремительным ускорением а

a = V2/R = ω2R, м/c2

(86)

‫٭‬95‫٭‬

Причиной всякого ускорения является сила. Сила есть количественная мера взаимного действия тел друг на друга: согласно третьему закону Ньютона силы взаимодействия тел равны по величине и противоположны по направлению. Причиной центростремительного ускорения тела является внешняя центростремительная сила, постоянно действующая со стороны другого тела на данное равномерно движущееся по окружности тело. Эта сила направлена к центру окружности. Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила определяется произведением массы тела на центростремительное ускорение:

Fn = man = mV2/R

(87)

где Fn – центростремительная сила в Ньютонах, Н;

m – масса тела, кг; an – центростремительное ускорение, м/с2 ; V – окружная скорость вращения, м/с; R – радиус вращения, м. Центростремительная сила зависит от: массы движущегося по окружности тела, квадрата окружной скорости и радиуса вращения. На величину центростремительной силы наиболее сильно влияет окружная скорость тела (квадратичная зависимость). Повышение окружной скорости тела в 3 раза увеличивает центростремительную силу в 9 раз.

§ 37. Центробежная сила

Всякая сила действует в определенном направлении и является причиной определенного ускорения. При криволинейном движении, например, при равнопеременном движении тела по окружности причиной нормального (центростремительного) ускорения (см. § 36) является внешняя центростремительная сила, постоянно действующая на тело, направляя его к центру окружности.

‫٭‬96‫٭‬

Центростремительная сила создается при взаимодействии движущегося тела с другим телом, вынуждающим движущееся тело перемещаться по определенной криволинейной траектории. Это другое тело при взаимодействии с первым может находиться в покое или в движении. В первом случае заданная криволинейность для движущегося тела создается конструкцией взаимодействующей поверхностью второго неподвижного тела, по которой скользит движущееся тело, во втором – силой. Согласно третьему закону Ньютона, силы, с которыми два тела действуют друг на друга, всегда равны по модулю и противоположны по направлению. Центростремительная и центробежная силы, возникающие при вращательном движении, подчиняются закону равенства действия – противодействию, они не уравновешивают друг друга, так как приложены к различным телам. Центробежная сила – сила, с которой движущееся тело действует на другие тела (связи), ограничивающие свободу движущегося тела и вынуждающие его двигаться криволинейно. Центробежная сила направлена от центра кривизны траектории и численно равна, как и центростремительная сила, произведению массы тела на ускорение

Fц = mV2/R,

(88)

где m – масса тела, движущегося по криволинейной траектории, кг; V – скорость тела, м/с; R – радиус кривизны траектории, м. Центробежная сила и ее работа значительно зависят от окружной скорости вращения. При увеличении скорости, например, в 3 раза, центробежная сила увеличивается в 9 раз.

§ 38. Силы инерции

Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета, так как относительно этих систем рассматриваемое тело движется с одинаковым ускорением.

‫٭‬97‫٭‬

Системы отсчета, в которых законы Ньютона не выполняются, называют неинерциальными. В этих системах отсчета данное тело движется относительно инерциальной системы отсчета с некоторым ускорением, т.е. с некоторой дополнительной силой, называемой силой инерции. Для поступательного движения в неинерциальной системе отсчета ускорение в разных точках пространства будет одинаковым и представляет собой ускорение инерциальной системы отсчета. Для вращательного движения в неинерциальной системе отсчета ускорение тела в разных точках пространства будет различным, зависящим от радиус-вектора, который и определяет положение тела относительно инерциальной системы. В механике наряду с обычными силами, которые действуют на данное тело со стороны других тел, вводятся силы инерции, т.е. такие силы, появление которых явно не обусловлено действием каких-либо определенных тел. Напомним основные положения механики. Ускорение тела вызывается определенными силами, сила – есть количественная мера взаимного действия тел друг на друга и, согласно третьему закону Ньютона, силы взаимодействия тел равны по величине, и противоположны по направлению. Сохранить второй и третий законы Ньютона при рассмотрении движения относительно неинерциальных систем невозможно. Второй закон Ньютона – это уравнение движения, его можно использовать в несколько измененном виде, пригодном и для решения задач с силами инерции, которые, с одной стороны, подобны обычным силам: вызывают ускорения тел. С другой стороны, силы инерции значительно отличаются от обычных сил: они не вызываются воздействием одного тела на другое, они обусловлены другими, т.е. более отдаленными инерциальными системами (по отношению к данной). Как определить силу инерции? Обозначим ускорение тела относительно инерциальной системы отсчета буквой а. Это ускорение обычно называют абсолютным. Ускорение относительно неинерциальной системы отсчета называют относительным и обозначают ао. Для инерциальной системы отсчета второй закон выполняется:

‫٭‬98‫٭‬

F = ma

(89)

Для неинерциальной системы отсчета второй закон не выполняется, т.к. ускорение aо ≠ a и

F ≠ maо

(90)

F + Fи = maо

(91)

Для того, чтобы в неинерциальной системе отсчета также выполнялся бы второй закон Ньютона, необходимо чтобы выполнялось равенство:

Здесь Fи – есть та дополнительная сила инерции, которую нужно прибавить к обычной силе F. Тогда второй закон Ньютона будет выполняться и в неинерциальной системе отсчета. Это сделать можно, так как сила инерции равна произведению массы тела на разность абсолютного и относительного ускорений тела:

Fи = m (aо – а)

(92)

Подставим уравнение (91) в уравнение (90), окончательно получим (89), уравнение второго закона Ньютона в обычной форме. Таким образом, для вычисления силы инерции надо найти разность ускорений тела относительно инерциальной и неинерциальной систем отсчета. Эта разность зависит от ускорения неинерциальной системы отсчета и является кинематической задачей, которую можно решить, если известен характер движения неинерциальной системы относительно инерциальной системы.

§ 39. Неинерциальные системы отсчета, движущиеся прямолинейно с постоянным ускорением, и системы с равномерно вращающимся движением

Рассмотрим простые, но практически важные виды движения

‫٭‬99‫٭‬

неинерциальных систем отсчета.

I – прямолинейное движение неинерциальной системы ‌­отсчета. Если скорость тела относительно инерциальной системы отсчета (ИСО) с постоянным ускорением ап, которое называют переносным, НИСО равна Vo, а сама система НИСО движется прямолинейно относительно ИСО со скоростью Vп (Vп – переносная скорость), то скорость тела относительно ИСО равна:

V = Vo + Vп.

(93)

а = аo + an.

(94)

Fи = –man.

(95)

Такая же зависимость будет между уравнениями:

Отсюда аo – а = –an. Тогда силы инерции равны

Итак, если НИСО имеет ускорение an = const, то в ней, кроме обычных сил, имеются и силы инерции (95). Рассмотрим на примерах отличие описаний движения тел в НИСО от описаний в ИСО.

Рис. 36

‫٭‬100‫٭‬

Тележка с подвешенным грузом В (рис. 36) движется по горизонтали с постоянным ускорением an. При установившемся движении груз В отклоняется от вертикали подвеса на угол α и замирает. Опишем движение груза в ИСО. Подвешенный груз В движется по горизонтали с ускорением а = an, так как относительно тележки груз покоится, а тележка движется с ускорением an. На подвешенный груз действуют две силы: сила тяжести Р и сила натяжения нити Т. Эти силы сообщают подвесу груза горизонтальное ускорение an. Второй закон Ньютона man = mа = Р + Т выполняется. Из рисунка видно, что отношение ускорений an/g равно tg α = man/mg, т.е. силы Р и Т вызваны воздействием других тел: притяжением груза к Земле и силой упругости нити подвеса. Здесь третий закон Ньютона справедлив: груз В притягивает Землю и растягивает нить подвеса.

Рис. 37 2 ω2 R ω ( R + L sinα ) = tg α= g g

для ИСО и

ω2 R tg α= g

для НИСО.

‫٭‬101‫٭‬

Описание движения груза в НИСО. Относительно тележки груз B неподвижен: ао = 0. На груз действуют те же силы Р и Т (рис. 37), но эти силы не сообщают грузу ускорения. Поэтому второй закон Ньютона не выполняется. Чтобы он выполнялся, надо добавить силу инерции Fи = –maи. В этом случае сумма действующих на груз сил равна нулю и ускорение груза относительно тележки an = 0. Теперь второй закон Ньютона выполняется, так как после решения равенства Р + Т + Fи = 0 при an = 0 уравнения равенства сил в обеих системах дают одинаковый результат:

tg α = an/g Сила инерции Fи не вызвана воздействием какого-либо определенного тела и, следовательно, третий закон Ньютона для силы Fи не выполняется, а силы Р и Т вызваны действием других тел.

II – равномерно вращающаяся неинерциальная система отсчета. Рассмотрим вращение НИСО с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси, при этом тело покоится относительно самой вращающейся системы:

Vo = 0 и аo = 0

Это условие упрощает задачу. Если тело находится на расстоянии R от оси вращения, то относительно ИСО оно имеет ускорение

а = –ω2R

(96)

Знак «минус» связан с тем, что радиус-вектор R направлен от центра, а ускорение an = а равно абсолютному ускорению и направлено к центру. Относительное ускорение по условию отсутствует (an = 0).

‫٭‬102‫٭‬

Используя определение силы инерции и условие ао = 0, запишем выражение для силы инерции, действующей на тело, находящееся во вращающейся системе координат:

Fи = m(aо – а) = mω2R

(97)

Эта сила инерции направлена от оси вращения и поэтому называется центробежной силой инерции. Она с изменением величины R меняет свое значение, т.е. в различных точках вращающейся системы сила различна. Аналогично примеру I, после составления уравнений движения для инерциальной системы mа = Р + Т и для неинерциальной системы с прибавлением силы инерции (Fи = – mаn) – mа = ω2R с учетом аo = 0 сумма всех сил равна нулю: Р + Т + Fи = 0. Окончательный результат, т.е. отношение ускорений, будет одинаковым Третий закон Ньютона выполняется для сил Р и Т и не выполняется для силы инерции Fи , которая не вызвана воздействием какого-либо тела. При практическом решении многих задач удобнее описывать движение относительно вращающейся системы отсчета, вводя при этом силу инерции.

§ 40. Практическое использование центробежных сил

Всякое криволинейное движение тела является результатом взаимодействия данного тела с другим. При этом тело, движущееся криволинейно, создает центробежную силу, направленную по нормали к криволинейной траектории, и может достигать значительных величин, а при равномерном движении тела по траектории с одинаковой кривизной (по окружности) центробежная сила сохраняется постоянной по величине и направлена от центра по радиусу окружности. Постоянство центробежных сил дает возможность использовать их в технике для выполнения многих процессов, связанных со сжатием газообразных и жидких тел, с сепарированием, вращением турбин, автоматическим регулированием работы двигателей, работой защитных устройств машин и др.

‫٭‬103‫٭‬

Основным назначением систем автоматического регулирования турбин, обеспечивающих подачу энергии в общую электрическую сеть, является такое изменение их нагрузки, чтобы частота электрического тока в сети оставалась постоянной. Изменение мощности турбины производится увеличением или уменьшением подачи пара в турбину путем изменения степени открытия парорегулирующего клапана.

Рис. 38 Рассмотрим простейшую схему системы автоматического регулирования (рис. 38), в которой в качестве элемента, управляющего изменением открытия парорегулирующего клапана, используется центробежный регулятор прямого действия, соответственно связанный с нагрузкой турбины. При уменьшении нагрузки турбины и при той же степени открытия парорегулирующего клапана 1, число оборотов турбины возрастает, шары центробежного регулятора 2 под воздействием центробежных сил расходятся, муфта A сдвигается вверх и, соответственно, через систему рычагов AB и BD подвод пара в турбину уменьшается. Мощность турбины снижается, частота оборотов турбины и электрогенератора приходит в соответствие с нагрузкой системы. Турбина работает в новом режиме. При увеличении нагрузки

‫٭‬104‫٭‬

турбины действие регулирования протекает в обратном порядке. Центробежные насосы нагнетают жидкость (растворы, воду, нефть) под действием центробежных сил, развиваемых при вращении рабочего колеса с радиальными ‌­межлопаточными ‌­каналами, заполненными перекачиваемой жидкостью.

Рис. 39 Насос (рис. 39) состоит из вала 1, на котором закреплены одно или несколько последовательно расположенных рабочих колес 2. Колеса размещены и вращаются в плотном корпусе с улитообразным выходным патрубком 3. Жидкость по всасывающей трубе 4 поступает к центральной части рабочего колеса, к входным сечениям радиальных криволинейных каналов колеса. Вследствие создаваемого разрежения при вращении колеса, жидкость входит в каналы и за счет центробежных сил перемещается к периферии колеса, ‌­отбрасывается к стенкам корпуса, и далее в результате создаваемого напора (давления) жидкость транспортируется к месту назначения.

‫٭‬105‫٭‬

Повышение давления воздуха газа в центробежных компрессорах производится за счет работы центробежных сил аналогично повышению давления жидкости в центробежных насосах. Паровые и газовые турбины, преобразующие потенциальную энергию рабочего тела (пара, газа) в кинетическую энергию и далее за счет центробежных сил – в механическую энергию вращения вала с непосредственной передачей ее потребителю (электрогенератору, компрессору, гребному винту судна и др.). Турбина состоит из одной или нескольких отдельных ступеней, последовательно размещенных на одном валу. Потенциальная энергия рабочего тела по ходу его в турбине каскадно, в каждой ступени преобразуется в механическую энергию вращения вала турбины путем передачи ему крутящего момента, создаваемого рабочей решеткой ступени. На рис. 40 дана конструктивная схема проточной части ступени паровой турбины (а) и кинематика разложения скоростей рабочего тела в проточной части (б). Каждая ступень, кроме первой, состоит из сопловой и рабочей кольцевых решеток (рис. 40а). Сопловые решетки закреплены в корпусе неподвижно, рабочие решетки устанавливаются на периферии рабочих дисков, закрепленных на валу турбины и вращающихся вместе с валом (см. рис. 40) Профили поперечного сечения сопловых и рабочих лопаток, форма образуемых ими межлопаточных каналов как и их назначение различны. В сопловой решетке скорость рабочего тела примерно в десять и больше раз ускоряется, достигая значения С1. Скорости – векторные величины, сложение и разложение линейных скоростей, направленных под углом друг к другу, производят геометрически, т.е. построением треугольника скоростей или параллелограмма.

‫٭‬106‫٭‬

Рис. 40. Осевая турбинная ступень (а) и распределение параметров пара в ней (б): 1 – диафрагма, 2, 4 – сопловые и рабочие лопатки, 3, 6 – корпус и вал турбины, 5 — диск ступени Рабочая решетка вращается на средней длине (высоте) рабочих лопаток с окружной скоростью u = ωr. Геометрическая сумма двух скоростей, направленных под углом, равна замыкающей стороне треугольника скоростей (рис. 41), линейной скорости W1, направленной под углом β1 к плоскости вращения рабочего диска.

Рис. 41

‫٭‬107‫٭‬

Задачи сложения и разложения скоростей решаются так же ,как и сложение и разложение сил (см. § 24). В рабочей решетке скорость выхода рабочего тела W2 изза потерь, связанных с трением потока о стенки, относительная скорость W2 < W1. Как и для входного сечения рабочей решетки, строится выходной треугольник скоростей (рис. 41) и находится величина и направление абсолютной скорости С2. Зная скорости, их изменение и массовые расходы рабочего тела, можно определить работу и мощность ступени турбины. В рабочей решетке при изменении направления движения пара (газа), возникающие центробежные силы вращают ротор турбины, совершая полезную механическую работу.

‫٭‬108‫٭‬

ГЛАВА 5. ЭНЕРГИЯ, ТЕПЛОТА, РАБОТА § 41. Энергия

Энергия – общая мера различных форм движения материи, заполняющей все мировое пространство. Разнообразие движений (материи) характеризуется различными видами энергии. Общим свойством, присущим всем видам энергии и объединяющим их, является способность или возможность каждого вида энергии выполнять работу и переходить при определенных условиях в любой другой ее вид в строго определенном количественном соотношении. Это дает возможность все виды энергии и ее изменения при механических и тепловых процессах измерять количественно в одних единицах, джоулях (1 Джоуль равен работе силы в 1 Ньютон на пути в 1 м, Дж = Нּм = кг·м2/с2). Теплота, подводимая в термодинамическом процессе, идет на изменение внутренней энергии тела и на совершение внешней работы, т.е. подводимая в термодинамических процессах теплота сначала идет на изменение внутренней энергии тела, а затем уже совершается внешняя работа за счет изменения внутренней и механической энергии рабочего тела. Работа и теплота – это меры форм механического и теплового энергообмена системы с окружающей средой. Механическая энергия проявляется в непосредственно наблюдаемом движении тел, имеющем определенное направление в пространстве (вращение вала, движение газа, жидкости по трубе и др.). Электрическая энергия – движение электронов по проводнику, химическая энергия, освобождаемая при химических реакциях (например, при сжигании топлива в двигателях внутреннего сгорания, в газотурбинных установках и др.), представляет собой потенциальную энергию атомов, выделяющуюся при образовании новых молекул. В отличие от рассмотренных видов энергии направленного движения частиц, тепловая энергия передается в молекулярном и внутримолекулярном ‌­ненаправленном, т.е. хаотическом движении атомов и молекул вещества. Тепловая энергия газообразных тел проявляется в ко-

‫٭‬109‫٭‬

лебательном, вращательном и поступательном движениях молекул, которые постоянно меняют свою скорость по величине и направлению. При этом любая молекула может перемещаться по всему объему рабочего тела. В твердых телах тепловая энергия проявляется в колебаниях молекул и атомов относительно положений, определяемых кристаллической структурой вещества. В жидкостях тепловая энергия проявляется в колебании и перемещении молекул или их комплексов. Газообразное вещество, посредством которого тепло преобразуется и совершает работу в какой-либо машине, называют рабочим телом. Каждое тело в любом его состоянии может обладать одновременно различными видами энергии: тепловой, механической, химической, электрической, внутренней, а также потенциальной энергией различных физических полей (гравитационного, магнитного и др.). Сумма всех видов энергии, которыми обладает тело, представляет собой полную его энергию Е. В специальной теории относительности Эйнштейна установлена общая пропорциональная зависимость между полной энергией тела и его массой:

E = mc2, где с – скорость света;

(98)

m – релятивистская масса. Из каких бы видов энергии (тепловой, электрической, химической и др.) ни состояла полная энергия частицы, тела или системы тел, она выражается этим соотношением. В разных системах отсчета полная энергия различна, так как меняются и скорость, и масса. Наименьшей энергией частица или тело обладает в системе отсчета, относительно которой частица покоится. Для случая движения со скоростями, близкими к скорости света необходимо учитывать влияние скорости на инертность тела при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Аналитически эта задача решается с помощью формул преобразования Лоренца, в которых исклю-

‫٭‬110‫٭‬

чается возможность получения в системе Х1 скорости V > С:

Х1 = K(X – Vt),

K где коэффициент =

( 1 −V C ) 2

2

−1

и

X1 = K =

(

X − Vt 1 −V 2 C2

Преобразование Лоренца приводит к соотношению:

L = Lo/K,

)

−1

.

где Lo – длина предмета, неподвижного по отношению к наблюдателю, а L – длина предмета, по отношению к которому наблюдатель движется со скоростью V:

= L L0

V2 1− 2 C

Отсюда первое следствие теории относительности: движущееся по отношению к инерциальному наблюдателю тело сокращает свои размеры в направлении движения. В соответствии со вторым законом Ньютона (§ 22) отношение F/a определяет инертную массу при ускорении тела. Опытами с быстро движущимися электронами, физиками подтверждено, что инертность тела зависит от его скорости и что, в соответствии с теорией относительности, масса движущегося тела выражается уравнением:

m=

m0

1 −V 2 C2 ,

где mо – масса покоя, т.е. масса, измеренная в системе координат, связанных с данным телом. Эта зависимость показы-

‫٭‬111‫٭‬

вает, что имеется достаточно большой диапазон скоростей тел, примерно до V ≤ 0,4C, при которых изменение массы можно принимать m ≈ mо. В макроскопических процессах при значительном изменении энергии, например, при нагреве 268 м3 воды от 20 до 100 °С, масса увеличивается всего лишь на 1 мг. Поэтому в расчетах технической термодинамики изменение массы тела при его нагревании не учитывают. Массу тела принимают независимой от его энергии и скорости движения. Зависимость (98) универсальна, она характеризует работу тела с массой m так: при скорости V << С

Е = mV2 = (mV)V = FtS/t = FS,

(99)

где F – сила, Н; S – путь, пройденный телом под воздействием силы F, м, t – время, с.

§ 42. Внутренняя энергия термодинамической системы

Всякая термодинамическая система в любом состоянии обладает некоторым запасом энергии. Полную энергию системы в общем случае удобнее рассматривать в виде суммы ее внешней Ев и внутренней U энергий. Энергию, отнесенную к массе тела, называют удельной:

е = Ев/М, u = U/М, где е – удельная внешняя энергия, Дж/кг;

u – удельная внутренняя энергия, Дж/кг; М – масса тела, кг. Внешняя энергия включает кинетическую энергию движения тела в целом относительно окружающей среды и потенциальную энергию физических полей. Если газ или жидкость транспортируются непрерывным потоком в трубопроводе, то в его внешнюю энергию дополнительно входит энергия проталкивания (давления).

‫٭‬112‫٭‬

В процессах, которые изучает техническая термодинамика, потенциальная энергия пренебрежимо мала, поэтому ее изменение в термодинамических системах не рассматривают, а кинетическая энергия имеет существенное значение лишь при анализе потоков газообразных и жидких рабочих тел. Таким образом, основным термодинамическим понятием является внутренняя энергия системы (рабочего тела). Тепловая, химическая и внутриядерная энергия входят в состав внутренней энергии тела. Внутреннюю энергию тела можно рассматривать как бы состоящую из двух частей: внутренней тепловой энергии Uт и нулевой энергии U0, равной внутренней энергии тела, условно охлажденного до абсолютного нуля (энергии структуры вещества, которая при химических реакциях изменяется и величина U0 – изменяется):

U = U0 + Uт,

Внутренняя энергия Uт связана с тепловым, хаотическим движением молекул и атомов и может выражаться через температуру тела и другие его параметры. Полная энергия тела в общем случае может быть представлена в виде суммы: нулевой U0, внутренней тепловой Uт, внешней кинетической Ек, суммы внешних потенциальных Епi энергий и энергии давления (проталкивания) при движении потоков газа, жидкости в каналах:

Е = U0 + Uт + Ек + ∑Епi + Епр

Таким образом, внутренняя энергия представляет собой энергию всех видов поступательного, вращательного и колебательного движения микрочастиц, составляющих систему, а также энергию их взаимодействия между собой. Запас внутренней энергии зависит только от состояния системы. Следовательно, внутреннюю энергию можно рассматривать как одну из характеристик состояния термодинамической системы наравне с такими параметрами как температура, дав-

‫٭‬113‫٭‬

ление, объем. Внутренняя энергия является более сложным параметром, который определяется не по измерительному прибору, как например, давление или температура, а рассчитывается по уравнению. Изменение внутренней энергии не зависит от характера термодинамического процесса, она характеризует энергетический потенциал системы и поэтому зависит лишь от состояния системы в начале процесса и в конце его. Единицей измерения служит джоуль, который равен работе силы в 1 Ньютон на пути в 1 метр: 1 Дж = 1Н·м. Изменение внутренней энергии равно:

(100) где u1 и u2 – удельная внутренняя энергия системы с­ оответственно в начале и конце ­термодинамического процесса, Дж/кг. Энергия давления (проталкивания) возникает в проточных термодинамических системах при перемещении (транспорте) непрерывным потоком газообразных и жидких рабочих тел в каналах, трубах и представляет собой дополнительную механическую энергию вещества, зависящую от параметров его состояния в потоке. Энергия давления при течении вещества передается по ходу движения от источника транспортирования к выходному сечению системы, выталкивает его из занимаемого объема:

Рис. 42

При равновесном выводе рабочего тела из рассматриваемого сечения системы (рис. 42) 1 кг массы рабочего тела совершаетcя механическая работа L, равная произведению силы Р, действующей на сечение размером F на пути тела ∆х:

‫٭‬114‫٭‬

L = P·∆х + (PF)·V/F = PV, Дж/кг

(101)

где Р – сила, действующая в сечении канала, Н;

∆х – длина пути элемента рабочего тела, м; F – площадь проходного сечения канала (потока) м2; P – давление рабочего тела в потоке, Н/м2; V – удельный объем рабочего тела, м3. Произведение PV = епр, характеризует удельную механическую энергию, передаваемую передним частицам в транспортируемом потоке пара (газа), т.е. это есть та доля энергии, на которую повышается энергетическое состояние потока. Следовательно, для веществ, находящихся в сплошном потоке, определяющим параметром термодинамического процесса для одного килограмма вещества будет уже не только внутренняя энергия U, а сумма энергий, называемая энтальпией и обозначаемая в термодинамике буквой i.

i = U + PV, Дж/кг

(102)

Такой же энтальпией i обладает 1 кг газа, вытесняемый поршнем из цилиндра двигателя внутреннего сгорания. Энергия сил давления PV может быть утилизирована после ‌­выхода газа из цилиндра. Разность энтальпий потока газа (пара), например, в турбинах, характеризует величину полезной работы и потерь энергии от необратимости. Из физики известно, что полная энергия замкнутой системы сохраняется неизменной. Важной особенностью энергетических законов сохранения (энергии, импульса и момента импульса), характеризующих движение материи, среди всех других физических законов, эти законы выделяются своей всеобщностью. Они выполняются одинаково строго в квантовых явлениях (в релятивистской механике) и в классических явлениях, происходящих с макроскопическими телами (в механике Ньютона).

‫٭‬115‫٭‬

§ 43. Теплота

В настоящее время техническая термодинамика изучает широкий круг взаимных превращений тепловой, механической, химической и других видов энергии с точки зрения применения этих превращений в технике, находя наиболее экономичные пути получения полезной работы в тепловых энергогенерирующих и энергопреобразующих установках. Техническая термодинамика исследует соотношения между параметрами термодинамических систем и совершаемой работой. Универсальность методов термодинамики можно объяснить тем, что любой вид энергии при возможных ее превращениях в конечном результате обязательно сопровождается тепловым эффектом. В энергию теплового движения переходит механическая энергия в результате действия сил трения, химическая энергия, энергия электрического тока, энергия света и т.д. Основной же областью применения термодинамики являются находящиеся в равновесии термодинамические системы. Термодинамической системой называют совокупность тел и физических полей, обменивающихся энергией путем теплопередачи и работы как друг с другом, так и с внешними по отношению к данной системе телами и физическими полями. Отсюда следует, что термодинамической системой может быть любое тело, которое состоит из большого числа частиц – молекул, атомов. Наиболее простая система – это газообразное рабочее тело (газ, пар). Если теплообмена с окружающей средой в системе нет (система тепло-изолирована), то она может обмениваться энергией с окружающими телами только путем работы. Количество энергии ∆Е, переданной в результате теплообмена в форме теплового (хаотического) движения частиц от тела А к телу В, называют теплотой или количеством теплоты ∆Q, Дж, равное ∆Е = ЕА – ЕВ. При этом ЕА определяется температурой ТA тела А, а ЕВ – температурой ТB тела В. Теплота всегда передается от тела с более высокой температурой к телу с меньшей температурой. Так, если ТA > ТB, то ЕА > ЕВ и тепло передается от тела А к телу В, а при обратном соотношении температур, передача меняет знак направления. При

‫٭‬116‫٭‬

этом подводимую теплоту считают положительной, а отводимую – отрицательной. Если ТA = ТB, то передача энергии хаотического движения не происходит, и в этой системе тел никакого тепла нет. Тепло появится лишь тогда, когда начнется процесс перехода внутренней тепловой энергии U от одного тела к другому, т.е. после появления разности температур. При передаче энергии в форме работы, меняется величина, т.е. количество энергии упорядоченного (направленного) движения частиц, составляющих тело. Происходит перемещение тела как целого. Например, при расширении газа за счет разности давления между входным и выходным сечениями соплового канала турбинной ступени, происходит превращение внутренней энергии и энергии давления (проталкивания), т.е. энтальпии газа, в кинетическую энергию потока газа с дальнейшим преобразованием ее в рабочих каналах ступени турбины в механическую энергию вращения вала турбины. Количество превращенной энергии из одного вида в другой называют количеством работы L или просто работой. Работа не может содержаться в каком-либо теле, она появляется только тогда, когда происходит процесс превращения энергии. Таким образом, работа и теплота не являются параметрами состояния тела, а лишь результатом определенных процессов с преобразованием энергии рабочих тел. В термодинамике рассматривается, как правило, механическая работа, совершаемая рабочим телом (газом, паром), представляющая собой результат изменения объема тела или его перемещение. Например, работа расширения газа в результате его нагрева никакого внешнего изменения его кинетической и потенциальной энергии не вызывает. Потери на трение отсутствуют. Внутреннее давление в цилиндре и внешнее давление среды на стенки цилиндра и поршень одинаковы и равны Р. Подвод тепла dq вызовет увеличение объема газа, совершая при этом работу расширения. Поршень с площадью F

‫٭‬117‫٭‬

переместится в цилиндре на величину dS, произведет работу против окружающей среды, равную PFdS = PdV. Учитывая закон Паскаля о равенстве давления газа на ограничивающие его стенки, найдем элементарную работу 1 кг газа в идеальном процессе без трения:

dL = PdV

(103)

При наличии трения внутри газа и на ограничивающих его стенках, которое может оказаться возможным только в том случае, когда давление газа будет больше давления окружающей среды на величину ∆Р. При этом работа трения будет равна:

dLтр = ∆PdV.

Тогда полезная работа над окружающей средой составит лишь часть работы расширения:

dLтр = (P – ∆P)dV = PdV – dLтр

(104)

L = ∫ PdV

(105)

Из (104) видно, что сумма dLтр + dLтр = PdV, т.е. полная работа расширения газа при изменении его объема от V1 до V2 равна: Процесс расширения и работу расширения L представим графически в координатах PV (рис. 43).

Рис. 43 Кривая 1 – 2 изображает процесс расширения. Площадь, ог-

‫٭‬118‫٭‬

раниченная кривой расширения 1 – 2, абсциссой V1–V2, ординатами 1–V1 и 1–V2, характеризует величину работы расширения. Работа газа при бесконечно малом изменении объема на рис. 43 отмечена штриховкой. Из графика видно, что площади под кривыми 1a2 и 1b2 неодинаковы и работа при изменении состояния газа по точкам 1b2 больше, чем по кривой 1a2. Это подтверждает, что работа не является параметром состояния рабочего тела. Работа газа, находящегося в непрерывном потоке, при равновесном подводе энергии, в данном случае тепла dq при отсутствии трения будет состоять из работы расширения PdV и приращения энергии давления d(РV):

dLпот = PdV – d(РV) = PdV – (PdV + VdР) = –VdР (106)

Так как теплоэнергетические процессы в двигателях, системах и установках совершаются, как правило, в непрерывном сплошном потоке, то величину Lпот называют технической работой и обозначают Lт. Для открытых термодинамических систем с наличием энерго- и массообмена полезная работа равна:

(107) Работа потенциальных сил, в том числе работа перемещения в поле тяготения, магнитном и др. в общем случае выражается через приращение соответствующей внутренней – инерционной и внешней – потенциальной энергии. Работа кинетической энергии равна разности кинетических энергий в начале и в конце рассматриваемого процесса:

dLk = di = WdW

‫٭‬119‫٭‬

W22 W12 Lk = i1 − i2 = − 2 2 ,

(108)

где W1 – скорость газа в начале канала, м/с;

W2 – скорость газа в выходном сечении канала, м/с i1, i2 – энтальпия потока в начале и конце канала, Дж/кг

§ 44. Работа и теплота в равновесных процессах

Работа и теплота – это меры форм механического и теплового энергообмена системы с окружающей средой. При механическом энергообмене передается энергия упорядоченного, направленного движения микрочастиц, составляющих рабочее тело системы, а при теплообмене передается энергия хаотического, ненаправленного движения микрочастиц, составляющих тело. Изменение параметров рабочего тела, происходящее в результате сжатия, нагрева и др., называется процессом. Графическое изображение процессов в координатной системе с осями Р и V, i и S или T и S называют PV, iS и TS-диаграммами. Состояние рабочего тела в этих диаграммах характеризуется точками (1) или (2), а процесс – линией (1-2), рис. 44. Площадь под линией процесса в РV-диаграмме равна величине работы (механического энергообмена системы с окружающей средой), а в ТS-диаграмме – количеству теплоты (тепловому энергообмену с окружающей средой).

Рис. 44. Изображение работы: а – в РV-диаграмме; б – в ТS-диаграмме; в – 1-2t – теоретическая работа, 1-2 – действительная работа в iS-диаграмме.

‫٭‬120‫٭‬

Процесс характеризует взаимодействие термодинамической системы с окружающей средой. Движущей силой, т.е. причиной взаимодействия, служат разности давлений, температур и энтальпий, однако, это условие необходимо, но еще недостаточно для осуществления энергообмена. Кроме наличия разности ∆Р, ∆Т или ∆i необходимо еще, чтобы поверхность, отделяющая систему от окружающей среды, позволяла взаимодействовать (менять объем системы, передавать тепло, перемещать тело в каналах турбомашин). Интенсивность обмена энергий зависит от величины разностей ∆Р и ∆Т. Процессы, происходящие под действием бесконечно малой разности температур и давлений, называются равновесными, обратимыми. Процессы, происходящие под действием больших разностей температур и давлений, называются неравновесными, необратимыми.

§ 45. Работа и теплота в термодинамическом процессе

Количества работы и теплоты зависят от характера процесса Р = φ(V) и Т = φ(S), (см. рис. 44). Чтобы вычислить работу, рассмотрим процесс расширения газа в РV-диаграмме, полагая, что в цилиндре давление газа Р воздействует на площадь поршня F и перемещает поршень на расстояние dS, совершая при этом элементарную работу, равную:

dL = PFdS = PdV, Дж,

dLi = dL/M = PdV, Дж/кг,

где dV = FdS – элементарное изменение объема системы.

Удельная работа расширения (рис. 44а) при изменении состояния рабочего тела от т. 1 до т. 2 равна

Li = ∫ PdV, Дж/кг.

(109)

‫٭‬121‫٭‬

В РV-диаграмме форма кривой изменения состояния рабочего тела, а следовательно, и величина площади под кривой зависят от вида процесса, т.е. от того, какой из параметров в уравнении состояния не изменяется, остается постоянным. Так в процессах при: V = const – изохорном процессе, работа равна

Lv = 0, так как dV = 0 P = const – изобарном процессе:

Lp = P∫ dV = P(V2 – V1) = R(T2 – T1), Дж;

(110)

Lt = ∫ PdV = RT/V dV = RTlnV2/V1, Дж

(111)

T = const – изотермическом процессе

Для неравновесных процессов (реальных), полезная работа будет меньше, чем полученная в (110) и (111). Часть работы будет затрачена на преодоление трения между слоями движущегося газа, газом и стенками и др. (потери от необратимости).

PVk = const – адиабатный (изоэнтропический) процесс, в котором система не обменивается теплотой с окружающей средой, dq = 0 в течение всего процесса. k = Cp/Cv – показатель адиабаты идеального газа, Cp и Cv – удельные теплоемкости при изобарном и изохорном процессах (более подробно см. § 47). Практически адиабатными могут считаться процессы, происходящие при кратковременном тепловом взаимодействии с окружающей средой (со стенками устройств), например, при расширении газов в сопловых и рабочих каналах турбин, при выстреле из орудия, сжатии воздуха в цилиндре двигателя и др., а также в хорошо теплоизолированных устройствах (трубопроводах, камерах). Рабочее тело в таких условиях теряет или получает лишь ничтожное количество теплоты. Работа в Р,V-диаграмме показана на рис. 44а.

‫٭‬122‫٭‬

Выражая давление через объем, Р2 = const/V2 = P1V1/V2 и подставляя в уравнение (109), получим аналитическое выражение для работы адиабатного процесса:

(112) PVn = const – политропный процесс, учитывает условия протекания реальных процессов (наличие теплообмена и изменение состояния рабочего тела). n – показатель политропы, в каждом конкретном процессе величина n = const, но для различных процессов n может принимать любые числовые значения:

n = lg

P1 P2

lg

V2 V1

(113)

В координатах lgP, lgV политропный процесс изображается прямолинейно, если же – непрямолинеен, то процесс (расширения, сжатия) разбивают на участки, которые можно линеаризовать и для них находят значение n. Работа равна:

(114) Теплота – это работа, вид энергии, связанный с хаотическим движением и взаимодействием молекул. Количественно обмен тепловой энергией, как и другие виды энергии, может быть выражен математически подобно количеству механической работы через две физические величины.

‫٭‬123‫٭‬

Уравнение для определения количества теплоты, аналогично уравнению работы (109) имеет вид:

, Дж/кг

(115)

Из уравнения (115) видно, что для количества теплоты величиной, характеризующей «движущую силу», т.е. причину теплообмена, служит абсолютная температура Т. Вторая величина S – энтропия, как и объем в механической работе, является признаком обмена тепловой энергией (введена физиком Р. Клаузисом в 1852 г.). Энтропия является функцией состояния термодинамической системы. Она определяет (характеризует) нижний рациональный предел преобразования тепловой энергии в полезно используемую в данном процессе или в данном цикле. Особенность ее состоит в том, что она обязательно изменяется при наличии теплообмена. При подводе теплоты S возрастает, при отводе – уменьшается. Кроме теплообмена никакие другие воздействия на систему не могут изменить значения S. Трудность понимания физического смысла S состоит в том, что никаким прибором энтропию нельзя измерить непосредственно, как, например, давление или объем. Изменение энтропии можно лишь вычислить по изменению величин, доступных непосредственному измерению (Р, Т, V). Так как уравнения для элементарного количества теплоты и работы по форме одинаковы:

dq = TdS и dLi = PdV , то для вычисления q и Li в обоих случаях надо знать уравнения связи Т = φ(S) и Р = φ(V). В ТS-диаграмме количество теплоты выражается аналогично работе в РV-диаграмме (рис.

44 а, б). Знак количества теплоты и работы (подвода их или отвода) соответствует росту или уменьшению S и V.

§ 46. Первый закон термодинамики

В основе закона сохранения и превращения энергии лежит

‫٭‬124‫٭‬

принцип эквивалентности различных видов энергии. Все ‌­формы движения материи могут переходить в другие формы в строго определенных эквивалентных количествах, не ‌­зависящих от характера процессов и условий их осуществления. Общее количество энергии в изолированной системе не может измениться ни при каких условиях. Применительно к термодинамическим системам и окружающей среде закон сохранения энергии показывает, что увеличение внутренней энергии системы равно уменьшению энергии окружающей среды. Первый закон термодинамики – закон сохранения энергии. Изменение U — внутренней энергии системы в термодинамике – выражается через количества работы и теплоты, которыми система обменивается с окружающей средой. Количество механической работы L считается положительным, если происходит уменьшение внутренней энергии системы U, т.е. когда работа осуществляется в окружающей среде. Количество теплоты положительно, если оно увеличивает внутреннюю энергию системы, т.е. когда теплота «подводится» к системе из окружающей среды. С учетом этого правила, математическое выражение первого закона термодинамики:

Дж или на единицу массы рабочего тела: Дж/кг

(116)

Для процессов с бесконечно малым изменением параметров система уравнений записывается в дифференциальной форме:

du = dq − dL или

(117)

dq = du + dL = du + d ( PV )

(118)

‫٭‬125‫٭‬

§ 47. Теплоемкость

Уравнение (115), связывающее количество теплоты с изменением энтропии, используется, в основном, для теоретических выводов. В практических вычислениях количеств теплоты удобнее пользоваться не энтропией, а теплоемкостью. Теплоемкостью называется количество тепла, необходимого для повышения температуры тела на один градус. Различают: массовую, мольную и объемную теплоемкость. Массовая теплоемкость – это количество тепла, необходимое для повышения температуры 1 кг тела на 1°, т.е. это теплоемкость, отнесенная к 1 кг массы тела. Соответственно, мольная теплоемкость - теплоемкость, отнесенная к одному молю, а объемная – 1 м3 тела. Так как в 1 м3 при различных условиях и температурах содержится различное количество вещества, объемную теплоемкость относят к такому количеству вещества, которое содержится в 1 м3 при нормальных условиях (нм3). Теплоемкость зависит от характера процесса, поэтому в различных процессах значения теплоемкостей различны. Пусть в каком-либо процессе к 1 кг вещества, имеющего параметры Р, V, Т, подводится количество тепла ∆q, в результате температура тела повышается на ∆t. Но температура и тепло изменяются непрерывно на бесконечно малую величину, тогда теплоемкость в пределе:

(119) представляет собой теплоемкость тела при данной температуре, в данном состоянии и называется истинной ‌­массовой теплоемкостью. Индекс х указывает на то, что теплоемкость рассматривается в процессе, в котором параметр тела х остается неизменным. Таким параметром может быть давление тела, его удельный объем или другая функция параметров тела. Из уравнения (119) следует, что количество тепла dq, ‌­подведенное в каком-либо процессе можно выражать через

‫٭‬126‫٭‬

приращение температуры dt этого тела:

и

(120)

Теплоемкость Сх в общем случае не является функцией параметров состояния тела, а зависит от пути, совершаемого им в процессе, и представляет собой количество тепла, которое нужно подвести к телу для повышения его температуры на 1° в данном процессе. Размерность теплоемкости Сх = q(t2 – t1), Дж/(кг∙°С) или Дж/(м3∙°С) В различных процессах теплоемкость может принимать различные значения (от 0 до ±∞), т.е. может быть любой положительной или отрицательной величиной. В реальных процессах теплоемкость меняется соответственно изменению температуры и давления тела. По этим причинам величину q по формуле (120) подсчитывают только для отдельных процессов, в частности для изобарных и изохорных процессов, теплоемкости которых достаточно изучены. Массовую теплоемкость тела для изобарного процесса обозначают Ср, а для изохорного – через Сv. Объемные теплоемкости соответственно обозначают через С’p и C’v. По известным объемным теплоемкостям и плотности тела ρ, кг/м3, находим:

Ср = С’p/ρ и Сv = С’v/ρ, Дж/кг∙°С

(121)

Соотношение теплоемкостей обозначают через k = Ср/Cv, (см. § 45), показатель адиабатного процесса (расширения, сжатия). Для температур 0 ÷ 300 оС k = 1,4 для двухатомных газов (кислород, азот, окись углерода, воздух…); k = 1,3 для метана, сернистого газа; k = 1,25 для углекислого газа (с ростом температуры k уменьшается). Зависимость между теплоемкостями идеальных газов при постоянном давлении и постоянном объеме, установленная уче-

‫٭‬127‫٭‬

ным Майером, дает возможность определять по одной известной другую, неизвестную теплоемкость:

Ср – Cv = R

(122)

где Ср и Cv – истинные массовые теплоемкости при постоянном давлении и объеме в Дж/(кг∙град); R – газовая постоянная, Дж/(кг∙град). Часто удобнее принимать за единицу количества вещества его килограмм-моль. В одном киломоле содержится μ кг вещества (μ – молекулярная масса вещества), в этом случае пользуются мольной или молярной теплоемкостью Сμ, Дж/ (кмоль∙°С):

Срµ = µСр и Сvµ = µСv

(122)

Количество тепла по уравнению (120) можно выразить через среднюю теплоемкость Сm процесса, равную:

Сm = q/(t2 – t1) отсюда q = Сm(t2 – t1)

(124)

Объем 1 киломоля идеального газа в нормальных условиях (при давлении 760 мм рт. ст. и температуре t = 0 °С) равен 22,4 м3. Истинная теплоемкость С’x и средняя – С’xm идеальных газов соответственно равны:

С’x = µСx/22,4 и С’xm = µСxm/22,4

(125)

Значение каждой теплоемкости зависит не только от начального и конечного состояния тела, но и от характера процесса. Поэтому теплоемкость тела не является параметром его состояния:

‫٭‬128‫٭‬

Разность: µСр – µСv = µR = 8314 Дж/(кмоль∙К):

(126) Из объединенного закона Бойля-Мариотта-Гей-Люсака для идеального газа, в общем случае, когда изменяется абсолютное давление, абсолютная температура и удельный объем, видно, что эти величины связаны между собой:

P1V1 P2V2 = T1 T2

(127)

Отсюда можно получить расчетную формулу для определения конечного удельного объема газа при изменении давления и температуры:

V2 =V1 ⋅

P1 T2 ⋅ P2 T1

(128)

Если в уравнении (127) обозначить постоянную величину PV/Т через R, то получим уравнение Клапейрона, называемое характеристическим уравнением (уравнением состояния) идеального газа: PV = RT, (129) здесь R – газовая постоянная, определяется по соотношению R = 8314/µ, Дж/(кг∙град); Р – абсолютное давление газа, Н/м2; V – удельный объем, м3/кг; Т – абсолютная температура, К; µ – относительная молекулярная масса газа (табл. 3).

‫٭‬129‫٭‬ Наименование Азот Аммиак

Химическая формула

Молекулярная масса µ

Газовая постоянная R, Дж/(кг∙град);

Плотность при нормальных физических условиях: 0 °С, 101325 Н/м2 = 760 мм рт. ст.

N2

28,01

296,8

1,250

NH3

17,03

488,2

0,7714

Водород

H2

2,016

4124,3

0,08987

Воздух

-

28,96

287,1

1,2928

Газ сернистый

SO2

64,06

129,8

2,9263

Газ углекислый

CO2

44,01

188,9

1,977

Кислород

O2

32,00

259,8

1,429

Окись углерода

CO

28,01

296,8

1,250

Пар водяной

H2O

18,02

461,5

0,804

Метан

CH4

16,04

518,25

0,7168

Таблица 3. Характеристика некоторых газов § 48. Закон Джоуля

Внутренняя энергия любого вещества состоит, как уже говорилось, из внутренней кинетической энергии, определяемой скоростью движения частиц, составляющих тело, и внутренней потенциальной энергии, определяемой силами межмолекулярного взаимодействия. У идеальных газов силы сцепления между молекулами отсутствуют, в связи с чем внутренняя потенциальная энергия идеальных газов равна нулю, и внутренняя энергия идеальных газов состоит из одной только кинетической энергии. Поэтому внутренняя энергия идеальных газов зависит лишь от их температуры (закон Джоуля).

§ 49. Энтальпия

Энтальпия является одной из важнейших функций в технической термодинамике. Она характеризует энергетическое состо-

‫٭‬130‫٭‬

яние рабочего тела, выражает его полную энергию, состоящую из внутренней энергии и потенциальной энергии, которую рабочее тело может передать (получить) в виде работы в процессе энергообмена (расширения, сжатия газа, перемещения потока газообразных и жидких тел и совершения им работы). Математическое выражение энтальпии имеет вид:

i = U + PV, Дж/кг

(130)

Энтальпия идеального газа, как и внутренняя энергия, является функцией состояния термодинамической системы и зависит только от температуры. Это подтверждается. Если в уравнение (130) подставить из уравнения Клапейрона RT вместо PV, то энтальпия примет вид:

i = U + RT Это значит, что энтальпия идеальных газов зависит, как и внутренняя энергия, только от температуры, но не зависит от других параметров, т.е. изменяются они или нет (P, V, ρ). Дифференцируя уравнение (130) и решая его совместно с уравнением первого закона термодинамики (118), выразим последний через понятие энтальпия: di = dU + d(PV) = dU + PdV + VdP = (dq – PdV) + PdV + VdP = dq + VdP,

отсюда:

dq = di – VdP

(131)

Разность энтальпий характеризует работу открытых термодинамических систем. Система, которая, кроме обмена энергией в виде теплоты и работы, может еще обмениваться с окружающей средой массой рабочего тела, называется открытой системой.

‫٭‬131‫٭‬

К открытым системам относятся лопаточные энергопреобразующие машины (турбины, компрессоры, насосы). Системы, которые обмениваются с окружающей средой только энергией в виде теплоты и термодинамической работы (расширения, сжатия) называются закрытыми системами. К закрытым системам относятся поршневые машины: двигатели, компрессоры, насосы. Первый закон термодинамики для закрытых систем выражается через внутреннюю энергию и термодинамическую (техническую) работу lT:

dq = dU + dlT = dU + PdV

(132)

Для открытых систем первый закон термодинамики выражается через энтальпию и располагаемую работу l0 = –VdP (см. 132). Чтобы установить зависимость i = φ(T), выразим слагаемые dq и dP в уравнении (130) через температуры в процессе при V = const. В этом случае dq = CvdT, и из уравнения состояния Клапейрона: dP = RdT/V;

di = dq + VdP = CvdT + VRdT/V = (Cv + R)dT = CpdT

(133) Так как изменение энтальпии идеального газа зависит только от изменения температуры, то это выражение пригодно не только для процессов (движения газа в каналах турбомашин), но и для любого изменения состояния. В открытой системе, например, из сосуда с газом при давлении Р через патрубок с площадью проходного сечения F дли-

‫٭‬132‫٭‬

ной Х выходит масса газа М. В равновесном процессе работа выталкивания этой массы равна:

Lb = PFdX = PV, Дж; l= b

Lb PV = = PV , Дж/кг.

M M

(134)

Это работа только на вывод 1 кг массы. Но так как 1 кг выходящей массы уносит с собой из системы свою внутреннюю энергию в количестве u, Дж/кг, то полное изменение энергии системы, вызванное выводом из нее единицы массы, будет равно u + PV = i, Дж/кг. Таким образом, энергообмен открытой системы с окружающей средой при наличии массообмена определяется произведением энтальпии на изменение массы. В инженерной практике широко применяются процессы, связанные с преобразованием энергии в непрерывно движущемся потоке рабочего тела (турбины, компрессоры, реактивные двигатели). Уравнение первого закона термодинамики для проточных систем получим при анализе энергообмена, в данном случае в качестве термодинамической системы будем рассматривать участок межлопаточного канала турбины (газовой. паровой, реактивного сопла турбореактивного двигателя и др.). Участок канала ограничен сечениями 1-2 (рис. 45).

Рис. 45 По отношению к массе газа, заключенной между этими се-

‫٭‬133‫٭‬

чениями, окружающей средой будут стенки канала (1‑2) и части потока до сечения (1) и за сечением (2). Выделенный элемент потока 1-2 в общем случае может обмениваться энергией в форме теплоты q через стенки канала и технической работы l канала, образованного турбинными лопатками, а через ‌­сечения 1 и 2 обмениваться массой газа. Если через сечение 1 в систему поступает масса газа с энтальпией i, и с некоторой скоростью C, м/с, то энергия системы увеличится не только на величину энтальпии поступившего газа, но и на величину его кинетической энергии C2/2, Дж/кг, т.е. каждый килограмм вводимой (выводимой) массы увеличивает (уменьшает) энергию системы на i + C2/2, Дж/кг. Для стационарного потока (неизменяющегося во времени) энергетический баланс системы равен:

C12 C22 i1 + = i2 + + q − Lt 2 2 C12 − C22 i1 − i2 =q − − Lt 2

(136)

(137)

Так как кинетическая энергия может быть превращена в работу и обратно, что имеет место в турбинах и компрессорах, то сумму:

называют располагаемой работой L0, тогда уравнение

(135) можно записать:

‫٭‬134‫٭‬

∆i = q – L0 или di = q – dl0

Сравнивая равенства (131) и (137), найдем выражение элементарной работы через параметры состояния газа dl0 = –VdP. Знак располагаемой работы определяется знаком величины dP, т.е. ростом и понижением давления в процессе. Так для процесса с понижением давления (dP < 0). Располагаемая работа будет положительной, так как удельный объем газа увеличивается (расширение газа в турбине). Располагаемая l0 и техническая работа lt – это та работа, которая совершается только в открытой системе. Ее не следует смешивать с работой расширения газа в закрытой системе

Рис. 46. Изображение располагаемой работы в pvдиаграмме

Рис. 47. К определению количества тепла в изобарном процессе и изменения кинетической энергии потока в адиабатном процессе в is-диаграмме

Различие между располагаемой работой и работой расширения, характерной для закрытых систем, состоит в том,

‫٭‬135‫٭‬

что в открытой системе работа объединяет затраты энергии на ‌­расширение (сжатие) газа, ввод (вывод) массы и изменение кинетической энергии движущегося потока рабочего тела (рис. 46, 47). В процессе, происходящем без теплообмена, q = 0 согласно уравнению (137):

L0 = –Δi.

(138)

Если lt = 0, т.е. стенки канала (турбинные сопловые лопатки) неподвижны, изменяется только скорость потока, то:

C22 C12 − =i − i , 2 2 1 2

(139)

т.е. изменение кинетической энергии пропорционально изменению энтальпии газа, взятому с обратным знаком. Таким образом, через изменение энтальпии в инженерных расчетах определяют либо количество теплоты в изобарных процессах P = const при расчете теплообменников и камер сгорания, либо количество работы в адиабатических процессах течения газа при расчете газовых и паровых турбин, реактивных двигателей. Расчеты ведут с применением iS-диаграмм.

§ 50. Схема расчета термодинамического процесса

Рассчитать процесс – это значит определить значение термодинамических параметров рабочего тела в начале и в конце процесса, изменение функций состояния, количество теплоты и работы, которыми обменивалась система с окружающей средой. Рекомендуется рассчитывать в следующей последовательности.

‫٭‬136‫٭‬

§ с помощью уравнения состояния системы (рабочего тела) определить зависимости изменения процесса Р = f(V), T = f(V) или T = F(P); § используя известные (по условиям задачи) значения параметров состояния, найти численные значения параметров в начале процесса (P1, V1 и T1) и в конце (P2, V2 и T2), а если требуется, то и для промежуточных состояний, по уравнению процесса Р = φ(V) и др. (см. п. 1); § по значениям параметров найти изменения функций состояния:

∆S = S1 - S2

(см. § 51)

Рассчитать количества механической работы, теплоты и располагаемой работы в рассматриваемом процессе:

Если таблиц теплоемкостей нет, то предварительно надо найти теплоемкость газа в данном процессе по уравнению:

C = Сv + PdV/dT

(140)

Вычисленные значения ∆U, L, q должны удовлетворять ∆U = q – l. Для вычисления L0 надо использовать уравнение процесса V = f(P). Величины ∆i, q, L должны удовлетворять:

∆i = q – L0

(141)

Все величины могут быть определены аналитически, по уравнениям либо графически с помощью PV и TS-диаграмм.

‫٭‬137‫٭‬

§ 51. Вычисление изменений функций состояния

1. Изменение внутренней энергии идеального газа в любом термодинамическом процессе равно:

(142) Во многих случаях вместо средней теплоемкости Cvср можно подставлять в (142) постоянную истинную (изохорную) теплоемкость Cv. 2. Изменение энтальпии идеального газа в любом термодинамическом процессе равно произведению Cр на ∆Т:

(143) 3. Изменение энтропии для случая S = φ(T, V) равно:

или

(144)

Если же используется зависимость S = φ(T, P), то ∆S равно:

(145)

(146)

‫٭‬138‫٭‬

§ 52. Вычисление количества теплоты и работы в термодинамических процессах Изохорный процесс протекает при V = const. Уравнение изохорного процесса:

P T1 R P =T = const⋅ T , 1 = V P2 T2

(147)

Давление в изохорном процессе пропорционально абсолютной температуре газа.

, Дж/кг;

(148)

, Дж/кг;

, Дж/(кг∙К)

(149)

∆l0v и ∆Sv – располагаемая работа и энтропия.

Изобарный процесс протекает при Р = const Уравнение изобарного процесса:

V T1 R V =T = const⋅ T , 1 = P V2 T2

(150)

Отношение удельных объемов в изобарном процессе про-

‫٭‬139‫٭‬

порционально отношению абсолютных температур

, Дж/кг = qp C p (T2 − T1 ) , Дж/кг

(151) (152)

располагаемая работа; (153)

, Дж/(кг∙К) Изотермный процесс протекает при T = const. Уравнение изотермного процесса:

= P

P1 V2 const P1V1 ,= = V P2V2 P2 V1

(154) Давление обратно пропорционально удельным объемам в процессах T = const:

Дж/кг (155) Так как в процессе при T = const изменение ∆T = 0; ∆U = 0; ∆i = 0, то количество теплоты и располагаемая работа равны:

qт = Lт, Дж/кг и L0т = qт – lт

(156)

‫٭‬140‫٭‬

, Дж/(кг∙К)

(157)

Адиабатный (изоэнтропный процесс, dq = 0) Уравнение адиабатного процесса:

PVk = const,

(158)

где k = Ср/Сv – показатель адиабаты идеального газа. Соотношения между давлениями и объемами:

(159) Преобразовывая уравнение адиабаты с помощью уравнения Клапейрона получим соотношения:

(160)

(161) Работа в адиабатном процессе:

Дж/кг

(162)

‫٭‬141‫٭‬

(163) т.к. R = Ср – Сv; k = Ср/Сv la = Сv(T1 – T2)

(164)

Количество подведенной теплоты в адиабатном процессе qa = 0. В этом случае работа в адиабатном процессе совершается за счет уменьшения внутренней энергии системы, т.е. ∆Ua = –La. Если работа совершается над системой (процесс сжатия L < 0), то увеличение U равно количеству подведенной к системе L. Располагаемая работа в адиабатном процессе:

(165) Сравнивая выражение располагаемой работы Loa (165) с работой расширения (163) видно, что в адиабатном процессе в k раз больше работы расширения: Loa = kla. Графически адиабатный процесс в TS и iS-диаграммах изображается в виде прямой оси ординат. Политропный процесс. Реальные процессы в тепловых двигателях и компрессорах протекают при наличии теплообмена и с изменением параметров Р, V, Т, т.е не являются процессами при dq = 0, P0 = const, T = const или V = const.

‫٭‬142‫٭‬

Уравнение политропного процесса имеет вид: n n n = PV const ; P= P= const , 1V1 2V2

(166)

где n – показатель политропы.

В конкретном процессе величина n постоянна, но в различных процессах может иметь любое значение. Для идеального газа, подчиняющегося уравнению состояния РV = RТ, можно найти уравнения политропного процесса, связывающие параметры Р, Т и V: n−1 n−1 n−1 TV = T= T= const 1V1 2V2

TP (

− n−1) n

= T1P1(

− n−1) n

(167) (168)

Решая совместно уравнения, получим:

(169)

(170)

(171) При исследовании работы тепловых машин измеряются значения Р и V в ходе процесса расширения (сжатия) и ­строится

‫٭‬143‫٭‬

зависимость P = φ(V) (снимается индикаторная диаграмма для ДВС и находится значение):

n = lg

P1 P2

lg

V1 V2

Работа расширения в политропном процессе:

(172)

(173)

, Дж/кг

R = Ln (T − T ) или n −1 1 2

(174)

(175)

Количество теплоты равно:

qn = Cn(T2 – T1), Дж/кг,

(176)

где Сn – теплоемкость газа в политропном процессе, Дж/ (кг К). Теплоемкость Сn находят по общей формуле теплоемкости (140): C = Сv + P(dV/dT) после подстановки в нее значения отношения (dV/dT) = –VT–1(n-1)n-1, получаемого путем логарифмирования и дифференцирования уравнения из следующего преобразования: Cn = Cv −

C p − Cv n−k PV 1 RT 1 n−k ⋅ = Cv − ⋅ = Cv − = Cv (177) ; Cn = C v T n −1 T n −1 n −1 n −1 n −1

‫٭‬144‫٭‬

В политропном процессе теплоемкость газа может быть отрицательной при k > n > 1. В этом случае, несмотря на подвод тепла к газу, его температура падает или наоборот. Это объясняется тем, что процесс идет при значительном расширении и малом подводе тепла, т.е. Ln > qn и изменение энергии отрицательное: ΔUn = qn – Ln Уменьшение U газа приводит к падению его температуры. По аналогии с адиабатическим процессом, сравнивая располагаемую работу с работой расширения в политропном процессе видим, что располагаемая работа больше Ln в n раз: L0n = nLn Политропный процесс является обобщенным. В зависимости от конкретного значения показателя политропы, можно получить различные частные процессы, в том числе и ранее рассмотренные, протекающие при: P = const (n = 0); PVk = const, dq = 0 (n = k); V = const(n = ±∞)

На рис. 48 и 49 показано влияние значения на положение линии процесса в PV- и TS-диаграммах.

Рис. 48. Влияние показателя политропы на положение линии процесса в рабочей диаграмме

Рис. 49. Влияние показателя политропы на положение линии процесса в тепловой диаграмме

‫٭‬145‫٭‬

ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ГАЗОДИНАМИКИ § 53. Основы динамики сжимаемой жидкости

Преобразование энергии расширения газа (пара) в энергию вращения ротора турбины осуществляется в результате обтекания лопаток при течении газа по межлопаточным каналам сопловой (неподвижной) и рабочей (вращающейся) решеток турбинной ступени. В потоке газа возникают потери, снижающие долю полезно использованной энергии газа в решетках ступени, что понижает КПД турбины. Задача конструктора и эксплуатационника заключается в том, чтобы обеспечить при высокой надежности наибольшую экономичность работы турбины. Изучение и организация тепловых процессов в турбине требует знания законов течения сжимаемых жидкостей. Они излагаются в курсах газовой динамики. В настоящем учебном пособии рассматриваются лишь основные понятия и уравнения, которые необходимы для тепловых расчетов паровых и газовых турбин (определения параметров и расходов рабочего тела, основных геометрических размеров проточной части, мощности и экономичности агрегата), а также для анализа явлений, возникающих в процессе эксплуатации турбин.

Термины и определения

Сплошной средой в механике называют физические объекты, основные характеристики которых (давление, плотность, температура и др.) изменяются непрерывно. Жидкость является сплошной средой. Она отличается от твердого тела легкой подвижностью своих частиц и изменяемостью формы объема. Течения жидкостей и газов имеют много общих свойств, поэтому их изучают вместе. В зависимости от свойств сжимаемости и вязкости, жидкости делят на сжимаемые и несжимаемые, на идеальные (невязкие) и реальные (вязкие). Сжимаемость – это свойство вещества сопротивляться ‌­изменению своего объема. Если плотность среды при некото-

‫٭‬146‫٭‬

ром изменении давления и температуры не изменяется, такую среду называют несжимаемой (капельная жидкость). Газовая динамика – наука о движении газов с большими скоростями. К таким скоростям относят скорости движения, близкие скорости распространения звука в газе или превышающие ее. В этом случае в потоке наблюдаются такие изменения давления и температуры, при которых заметно изменяются плотность газа, т.е. при движении проявляется особое свойство газа – сжимаемость. Если скорость движения газа значительно меньше звуковой, то изменения давления в потоке газа невелики, и газ ведет себя как несжимаемая среда. Наука, изучающая законы движения газов с малыми скоростями, называется гидроаэромеханикой или гидроаэродинамикой. Особенность газовой динамики по сравнению с гидроаэродинамикой состоит в том, что в первой (движение с большими скоростями) обязательно учитывается влияние скорости газа на изменение его давления и температуры, на изменение плотности. При этом для описания поведения газа необходимо использовать уравнения состояния газа и изменения энергии с учетом сжимаемости и теплообмена. При движении газа с большими скоростями необходимо учитывать законы не только механики, но и термодинамики (в технике движение газов в соплах реактивных и ракетных двигателей, движение газа в каналах газовых турбин и компрессоров, обтекание воздухом частей самолетов, ракет и снарядов, движущихся с околозвуковыми и сверхзвуковыми скоростями). Воду при скоростях движения меньше 400 м/с и воздух – меньше 100 м/с можно считать несжимаемой жидкостью. Сжимаемость газа в соответствии со скоростью движения нарастает постепенно, нет четкой границы перехода действия законов гидроаэродинамики к действию законов газовой динамики. Обычно считают, что при скоростях газа, превышающих примерно 0,3 скорости звука, сжимаемость начинает заметно влиять на результаты. Например, если скорость звука в воздухе при 288 К (15 °С) составляет 340 м/с, то уже при скоростях движения воздуха (или тела в воздухе), превышающих 110 м/с следует пользоваться при расчетах газовой динамикой.

‫٭‬147‫٭‬

Вязкость, внутреннее трение – свойство жидкостей и газов оказывать сопротивление деформации. Количественно характеризуется коэффициентами вязкости. Динамическую вязкость измеряют в Па·с, а кинематическую – в м2/с. В потоке жидкости, между слоями, движущимися с разными скоростями, действуют касательные силы, силы внутреннего трения. Напряжение трения (сила трения, действующая на единицу площади поверхности слоя жидкости) согласно закону Ньютона определяется произведением коэффициента трения жидкости на градиент скорости (изменение скорости течения в поперечном сечении потока от его поверхности). Вязкость жидкости определяется силами межмолекулярного взаимодействия и увеличивается с понижением температуры. Вязкость газов в основном определяется тепловым движением молекул, при котором они переходят из одних слоев в другие. Вязкость газов увеличивается с повышением температуры.

§ 54. Основные уравнения движения сжимаемой жидкости

Пространственный поток, обтекающий турбинные лопатки, описывается сложными уравнениями. При расчете турбины большинство практических задач позволяет пользоваться упрощенными уравнениями, выведенными в предположении одномерности и стационарности потока и с использованием экспериментальных коэффициентов. В одномерном стационарном потоке параметры рабочего тела (газа, пара): давление, температура, плотность, скорость и др. не зависят от времени и зависят только от одной ‌­координаты, направление которой совпадает с направлением скорости течения потока. При этом максимальная скорость потока в любом поперечном сечении межлопаточного канала мало отличается от средней скорости, а параметры потока изменяются лишь при переходе от одного сечения потока к другому. Поэтому приближенно движение газового потока можно рассматривать как одномерное, установившееся с некоторой средней по сечению скоростью и другими параметрами, получая при этом достаточно достоверный результат.

‫٭‬148‫٭‬

В основе теории течения сжимаемой жидкости лежат следующие четыре уравнения: термодинамического состояния, сплошности (неразрывности потока), импульса (количества движения) и сохранения энергии.

1. Уравнение состояния идеального газа (перегретого пара)

PV = RT = i

k −1 , k

(178)

где Р – давление, Па; V – удельный объем, м3/кг; Т – температура, К; R – газовая постоянная, Дж/(кг К); k – показатель адиабаты, при отсутствии потерь показатель изоэнтропы n = k = Cp/Cv, для газа k = 1,4; для перегретого водяного пара k = 1,26÷1,33; для сухого насыщенного пара k = 1,135; Ср и Сv – удельные теплоемкости соответственно изобарного и изохорного процессов, Дж/(кг град); i – энтальпия газа (пара), Дж/кг. Состояние перегретого пара значительно точнее выражается зависимостью:

i =

kPV + const k −1

(179)

Изменение состояния идеального газа (пара) подчиняется уравнению адиабаты:

(180) где ρ– плотность газа (пара), кг/м3.

‫٭‬149‫٭‬

2. Уравнение неразрывности (181) где G – массовый расход газа (пара), кг/с;

F – площадь поперечного сечения канала, м2; c – скорость движения газа в канале, м/с.

(182) Дифференцирование этого уравнение dF/F = dV/V – dC/C показывает, что приращение площади сечения канала определяется суммой приращений скорости потока и удельного объема газа. Поэтому в зависимости от того, какое приращение превалирует, форма сопла при докритических скоростях истечения и сверхкритических получается различной.

3. Уравнение импульса (количества движения)

Количеством движения называют произведение массы тела на его скорость. Изменение количества движения тела за время ∆τ равно импульсу равнодействующей внешних сил, ‌­действующих на тело в течение того же времени (разгоняющих тело от скорости c0 до c1 или тормозящих его). Применительно к потоку газа (пара) уравнение импульса:

m ( c1 − c0 ) = R = G ( c1 − c0 ) , τ

(183)

‫٭‬150‫٭‬

где R – вектор равнодействующей всех сил в проекции на направление движения потока газа (пара), Н; m – масса газа (пара), кг; τ – время действия силы Rc; c – скорость движения потока, м/с.

«0» и «1» – индексы, указывающие на принадлежность величины к сечению канала 0-0 или 1-1; G – массовый расход газа (пара), G = m/τ, кг/с;

4. Уравнение сохранения энергии в термической форме

В общем виде первый закон термодинамики для 1 кг газа (пара), протекающего через сопловый канал от сечения 0-0 до сечения 1-1 можно представить равенством:

(184) где ∆q – подведенная к потоку теплота, Дж/кг; (U0 – U1) – изменение внутренней энергии потока, Дж/кг; (P0V0 – P1V1) – работа сил давления, Дж/кг; c02 c12 − – изменение кинетической энергии потока, ­Дж/кг; 2 2

g ( Z0 − Z1 ) – изменение потенциальной энергии (энер-

гии положения) в сопловом канале, Дж/кг; для газового ­(парового) потока можно принимать g ( Z0 − Z1 ) = 0; Lт – удельная техническая работа сопла L = 0 (подвод, отвод механической энергии), Дж/кг. Используя равенство (129), обозначим U + PV = i и подста-

‫٭‬151‫٭‬

вим в уравнение (185). Окончательно получим:

,

(185)

где i – энтальпия, Дж/кг.

Выражение (185) является уравнением сохранения энергии для установившегося движения потока газа (пара) в сопловых каналах (турбинных решетках) не зависимо от того, сопровождается течение газа (пара) с потерями или без потерь. В соплах и рабочих решетках (в межлопаточных каналах) турбин течение пара (газа) происходит с большими скоростями (сотни м/с), длина каналов невелика (S ≤ 150 мм), поэтому теплообмен с окружающей средой можно не учитывать, ∆q = 0. Для сопловой решетки техническая работа Lт = 0 (решетка неподвижна). Уравнение (185) для сопловой решетки приводится к виду:

c12 − c02 , Дж/кг (186) i0 − i1 = 2 Таким образом, изменение кинетической энергии потока определяется изменением только энтальпий (теплоперепада) между рассматриваемыми сечениями канала. Уравнение (186) позволяет решать задачи, не требуя обязательного знания законов изменения потерь и изменения состояния рабочего тела, необходимо лишь знание энтальпий в начале и конце процесса. Учитывая равенства (179) и (180) для идеальных рабочих тел (газа, пара), уравнение (187) можно представить: c12 c02 k (187) = − (P V − P V ) 2 2 k −1 0 0 1 1 Здесь значения P1 и V1 для реального потока должны браться

‫٭‬152‫٭‬

по реальному состоянию газа (пара) в конце процесса расширения. Уравнение (187) для адиабатического процесса расширения газа, используя равенство (131) можно представить:

c12t c02 − = C p (T0 − T1t ) , 2 2

(188)

где Cp – изобарная теплоемкость газа, Дж/(кг К);

T0 – T1t – абсолютная температура соответственно во входном и выходном сечениях сопла (турбинной решетке), К; C0 – C1t – скорость газа во входном и выходном сечениях сопла, м/с. Таким образом, приведены различные формы уравнения сохранения энергии для одномерного течения газа (пара) в соплах (решетках турбомашин).

5. Уравнение Бернулли

Термическая форма уравнения энергии (186) - (188) не дает связи между изменением скорости потока (кинетической энергии) и изменением давления. Такую связь можно установить путем преобразования уравнения энергии, выразив его в механической форме. Будем считать, что общее количество теплоты, которым располагает газ, складывается из двух частей: теплоты, подводимой к газу извне или выделяющейся в результате реакции горения топлива в количестве dq и теплоты трения dqтр , выделяющейся внутри газа за счет работы трения. Теплота трения, не изменяя общей энергии установившегося потока dqост, может значительно влиять на изменение давления в потоке (на гидравлические потери). Поэтому трение в уравнении энергии, выражаемом в механической форме, надо учитывать. Чтобы исключить из уравнения энергии (186) величины термической природы, достаточно вместо энтальпии подставить ее выражение, получаемое с помощью первого закона термодинамики (§ 49, уравнение 130).

‫٭‬153‫٭‬

. Отсюда видно, что тепловые воздействия входят в обе части этого равенства и взаимно уничтожаются. Уравнение, в котором остаются только одни механические величины, удобнее записать в таком виде:

(189) Уравнение (189) и есть уравнение энергии потока в механической форме. Конечная форма уравнения получается интегрированием выражения (190) и имеет вид:

(190) Выражение, стоящее в левой части уравнения (190) называют располагаемой работой (§ 49, уравнения 129, 130). Уравнение энергии в механической форме показывает, что располагаемая работа газа при его движении расходуется на изменение кинетической энергии газа, на совершение внешней технической работы и на совершение работы трения (на преодоление сопротивления сил трения). Ранее было указано, что располагаемую работу можно вычислить, если известна зависимость V = φ(P) (§ 49). Наиболее простая форма уравнения (190) получается, когда плотность и, следовательно, удельный объем не зависят от давления и температуры (как, например, при движении газообразных или жидких тел с малой скоростью). Если V = L/r = const, то:

‫٭‬154‫٭‬

(191) В этом случае уравнение энергии получает вид:

или (192) Это и есть уравнение Бернулли, полученное впервые более чем два века тому назад. Это уравнение является частным случаем общего уравнения энергии (190). Уравнения энергии в термодинамической форме, выражаемые через энтальпии движущегося потока газа (пара), используют для таких технических устройств, в которых отсутствует техническая работа, например, во входных устройствах сопловых решеток турбин, камерах сгорания, лопаточных компрессорах и др.

§ 55. Применение первого закона термодинамики к открытым термодинамическим системам

В инженерной практике большое значение имеют процессы, связанные со стационарным течением газообразных и жидких тел. Стационарным течением называют течение, при котором в любом сечении канала параметры среды остаются неизменными во времени Рассмотрим, как используется энтальпия для расчета течения газообразных рабочих тел. В качестве примера рассмотрим рабочий процесс турбинной ступени. На рис. 50 дана схема простейшей паровой турбины.

‫٭‬155‫٭‬

На валу турбины 1 закреплен диск 2 с рабочими лопатками 3. В корпусе турбины 5 расположены сопла, устройства для преобразования потенциальной энергии пара (газа) в кинетическую

.

Рис. 50

В сопловых каналах по ходу потока давление рабочего тела уменьшается от Р0 до Р1, а скорость возрастает от с0 до с1. С большой скоростью рабочее тело из сопел поступает в каналы, образуемые рабочими лопатками, в которых часть кинетической энергии преобразуется в работу вращения вала с диском, на котором закреплены рабочие лопатки. В результате скорость пара уменьшается от с1 до с2. Давление на рабочих лопатках (в межлопаточных каналах) не изменяется. Со скоростью с2 рабочее тело покидает ступень. Рассмотренная турбина – маломощная, вспомогательная, имеет низкий коэффициент полезного действия (КПД), для которой основным требованием является ее простота (конструкции, обслуживания) и дешевизна. Рабочие лопатки, образующие рабочую решетку ступени устанавливаются на диске вала. Во время работы турбины рабочие лопатки, диск и вал вращаются под воздействием пара (газа), проходящего через рабочую решетку.

‫٭‬156‫٭‬

В проточной части ступени, состоящей из сопловой и рабочей решеток, преобразование энергии осуществляется по следующей схеме: пар или газ поступает к сопловой решетке с давлением Р0 и энтальпией i0. Пар (газ), расширяясь в соплах, увеличивает скорость потока и снижает давление до значения Р1, а энтальпию – до значения i1t (при теоретическом изоэнтропном расширении), в действительности – до значения i1. Разность энтальпий h01 = i0 – i1t представляет собой располагаемый перепад энтальпий. Процесс расширения строится в диаграмме iS. По известным начальным параметрам пара Р0, t0 и конечному давлению Р1 находится величина h01 и определяется теоретическая скорость в выходном сечении сопловой решетки cit = 44,7 h01 , м/с. Действительная скорость вследствие потерь, связанных с трением потока, вихреобразованием и др. меньше теоретической, ее обычно принимают по характеристикам профиля (в справочной литературе) с учетом значения коэффициента скорости φ находят действительную скорость c1 = φcit. На диаграмме (рис. 51) откладывают потерю энергии в соплах

Рис. 51 , кДж/кг

‫٭‬157‫٭‬

по изоэнтропе вверх и определяют энтальпию в т.1. Процесс 0-1 характеризует действительный процесс в сопловой решетке. Затем находят относительную скорость пара (газа) при входе на рабочую решетку. Рабочая решетка вращается с числом оборотов вала турбины. Окружную скорость движения лопаток u, м/с, рассматривают на среднем диаметре рабочей решетки, т.е. с учетом диаметра рабочего диска и середины высот рабочих лопаток. Окружная скорость ступени равна:

u = πdn, м/с Здесь d – средний диаметр ступени,

n – число оборотов в секунду. Относительную скорость пара, поступающего к рабочей решетке обозначают w1, а выходную скорость из решетки – w2, м/с.

Рис. 52 На рис. 52 показана кинематическая схема движения рабочего тела соответственно в сопловой и рабочей решетках. Для сопловой решетки, на входе поток поступает со скоростью c0 ≈ 30÷60 м/с, по касательной к входному профилю лопаток под углом α0. Выходит поток из сопловой решетки под углом наклона выходной кромки сопловой лопатки α1.

‫٭‬158‫٭‬

Рабочая решетка вращается с окружной скоростью u, следовательно, на рабочую решетку поток пара поступает со скоростью w1, значительно меньше скорости c1. Входные и выходные скорости и углы можно определять аналитически или графоаналитически с помощью треугольников скоростей. В последнем случае расчет более нагляден и представлен на рис. 52. Построение треугольников выполняется в следующей последовательности: вначале строится входной треугольник. Проводится горизонтальная линия, совпадающая с направлением вектора ­окружной скорости. Затем под углом α1 ≈ 12÷14° к горизонтальной оси строится в масштабе вектор скорости c1, к концу вектора c1 присоединяется вектор окружной скорости u, замыкающий вектор w1 и угол β1 и есть искомые величины. Скорость w1 = w2t принимается в качестве теоретической для выходной скорости из рабочей решетки. Действительная скорость w2 = ψw1. Коэффициент скорости рабочей решетки ψ, определяется по справочной литературе, как и коэффициент φ. При ориентировочной оценке можно принимать: φ = 0,96÷0,94; ψ = 0,95÷0,92.

§ 56. Работа пара (газа) на рабочих лопатках турбинной ступени

Струя пара с большой скоростью поступает из сопел в каналы рабочей решетки. Вследствие криволинейной формы каналов (рис. 50, а, б) поток на лопатках изменяет направление своего движения. В результате на каждый элемент потока рабочего тела со стороны криволинейной поверхности канала, образуемого рабочими лопатками, воздействует центростремительная сила:

–Р = G(c2 – c1), Н

(194)

В соответствии с третьим законом Ньютона (§22) реакция потока рабочего тела с равной по величине силой воздействует на рабочую лопатку, эту силу называют центробежной (§37), направленной по нормали к кривизне поверхности лопатки в противоположную сторону центростремительной силе. Центростремительная и центробежная силы приложены

‫٭‬159‫٭‬

к разным взаимодействующим телам, поэтому они не уничтожаются, а производят работу: одна – деформирует тело, другая – приводит рабочую лопатку в круговое движение. Центробежная сила равна:

–Р = G(c1 – c2), Н

(195)

–Рu = G(c1u – c2u) Н

(196)

Сила Р может быть разложена на силу Рu, действующую в направлении окружной скорости u и силу Рa, ‌­перпендикулярную Рu. Сила Рu вызывает вращение лопаток и называется окружным усилием. Она является проекцией силы Р на направление окружной скорости, поэтому можно написать:

где G – массовый расход пара, (газа), кг/с;

c1u и c2u – проекции скоростей c1 и c2 на направление окружной скорости, м/с. При выводе уравнений (195) и (196) предполагалось, что направление скоростей c1 и c2 и их проекций совпадают. Так как в турбинных ступенях часто угол α2 < 90°, то направления проекций c1u и c2u противоположны, поэтому при α2 < 90° уравнение (196) должно быть записано в виде:

Рu = G[c1u – (–c2u)] = G(c1u + c2u)

Пользуясь треугольниками скоростей, можно записать:

, Н (197) Механическая (секундная) работа, производимая 1 кг пара (газа) в секунду (развиваемая мощность) на рабочей решетке ступени равна произведению силы Рu на секундный путь ‌­канала

‫٭‬160‫٭‬

решетки, т.е.:

, кВт (198) или , кВт, где М – момент силы, М = Рur (здесь r – радиус рабочей решетки (по средней высоте рабочей лопатки, м), Н м; ω – угловая частота, ω = 2πn, с-1. Из треугольников скоростей (см. рис. 52) имеем:

. Отсюда:

Окружная (лопаточная) мощность ступени:

c12 − c22 + w22 − w12 Nu = G 2

(199)

На вал турбины передается внутренняя мощность ступени Ni < Nu на величину тепловых потерь в ступени. На выходе из турбины – эффективная мощность турбины равна Ne = Niηм, кВт. Здесь ηм – коэффициент, учитывающий механические потери в турбине, связанные с трением. В зависимости от мощности ηм = 0,97 ÷ 0,99.

‫٭‬161‫٭‬

§ 57. Влияние рабочего тела на удельную мощность турбоустановки

В энергогенерирующей промышленности используются три типа турбин: паровые, газовые и гидравлические. В специальной литературе достаточно освещены преимущества и недостатки всех типов турбин. В предлагаемом анализе рассмотрим лишь влияние свойств применяемых газообразных и жидких рабочих тел и их комбинирование, т.е. смещение их в рабочем цикле, на экономичность установки и ее стоимость. Из (199) следует, что на показатели эффективности ‌­турбоустановок кроме аэрогидродинамического совершенства проточной части турбин значительно влияют и физические свойства рабочих тел. Принцип работы всех типов турбин одинаков. Основное отличие их состоит в использовании различных рабочих тел и технологий подготовки последних к работе в рабочей решетке ступени, в выработке мощности ступенью. В уравнение (199) входит расход рабочего тела, (секундная масса). На вырабатываемую мощность прямо пропорционально влияет плотность, точнее, удельная масса расходуемого рабочего тела. Например, молекулярная масса водяного пара (при нормальных физических условиях) примерно в 1,6 раза меньше газа, используемого в газотурбинных установках (ГТУ). Газ в ГТУ состоит из более чем 98% чистого воздуха с добавкой в камере сгорания к воздуху 1,5 ÷ 2% продуктов сгорания. В гидротурбинах рабочее тело – вода, которая имеет массу примерно в 900 раз больше, чем водяной пар в паротурбинных установках (ПТУ). Если сравнивать турбины, рассчитанные на выработку одинаковой мощности, то в газовой турбине количество ступеней меньше и ее габариты меньше, меньше материальные затраты, но экономичность работу ГТУ значительно уступает ПТУ. В ПТУ мощность вырабатывается только на основе преобразования тепловой энергии, а в ГТУ используется тепловая энергия сжигаемого топлива и механическая энергия компрессора. На привод воздушного компрессора ГТУ расходуется более 2/3 вырабатываемой газовой турбиной мощности. Мощность гидротурбинных ступеней во много раз больше

‫٭‬162‫٭‬

мощностей ступеней паровых и газовых турбин. Вывод: плотность рабочего тела является важной характеристикой в создании энергопреобразующих машин, устройств.

§ 58. Газотурбинная установка с комбинированным рабочим телом

Основные направления совершенствования ГТУ известны, поэтому рассмотрим лишь одно наиболее перспективное направление, связанное с использованием новых рабочих тел. К нему относятся газотурбинные установки с комбинированным рабочим телом (ГТУ-КРТ), работающие на смеси газа с водяным паром. Схемные и конструктивные проработки такого типа установок показывают, что их экономичность по сравнению с обычными ГТУ при тех же начальных параметрах газа и без дополнительных затрат топлива возрастает до 6 ÷10%, полезная мощность – до 10 ÷ 14%. Находящиеся в эксплуатации ГТУ при небольших дополнительных капитальных затратах и увеличении габаритов могут быть переведены на работу по циклу ГТУ – КРТ. Результат реконструкции ГТУ может быть получен: § либо с сохранением прежней полезной мощности, но в этом случае снижается начальная температура газа, повышается надежность, моторесурс и коэффициент полезного действия (КПД) ГТУ или сохраняются и мощность и температура газов перед турбиной, но тогда значительно повышается только КПД ГТУ – КРТ; § либо повышается полезная мощность и КПД при сохранении начальной температуры газов и моторесурса. Технологическая схема ГТУ – КРТ следующая: в тепловую схему (цикл) ГТУ вводится водонагреватель для нагрева обычной пресной воды до температуры несколько ниже температуры насыщения при давлении воды в нагревателе в 2 и больше раз, (но не больше критического давления для испарения воды). Нагрев воды в водонагревателе в данном случае производится за счет тепла отработавших газов в ГТУ. Затем нагретую воду пропускают через диффузор, выходное сечение которого соединено с газопроводом перед ГТУ. В диффузорном адиабатном ис-

‫٭‬163‫٭‬

парителе при сбросе давления перегретая вода (по отношению к давлению в газопроводе перед турбиной) при сбросе давления быстро испаряется (до 30 ÷ 40% подаваемой массы воды), пар поступает в газопровод, наращивая массу ‌­парогазовой смеси и соответственно выработку мощности ГТУ, а неиспарившаяся вода (70 ÷ 60%) возвращается в нагреватель или утилизируется для хозяйственных нужд (отопление, подогрев холодной воды, поступающей в водонагреватель и др.). Полезную мощность ГТУ можно увеличить, если нагрев воды в водонагревателе дополнительно осуществлять за счет сжигания любых видов низкокачественных топлив (твердых, жидких и газообразных).

‫٭‬164‫٭‬

ГЛАВА 7. СИЛА, РАБОТА, ЭНЕРГИЯ § 59. Сила

Сила – векторная величина, характеризующая меру механического взаимодействия тел. Взаимодействие может осуществляться как при непосредственном контакте тел (например, при сжатии, перемещении, трении) так и между удаленными телами посредством поля. В механике Ньютона природа сил не учитывается, будь то сила тяжести, сила давления газа, жидкости на стенки сосуда или мускульная сила, их рассматривают как физически родственные величины. Сила характеризуется численным значением (модулем), направлением и точкой приложения. Единица силы в СИ – Ньютон [1Н] = [кг м/с2]. Сила однозначно определяет ускорение изменения состояния тела, но не его скорость, т.е. определяет быстроту изменения скорости. Чтобы находящееся в покое тело приобрело некоторую скорость, необходимо, чтобы сила действовала конечное время, ускорение возникает сразу после того, как начала действовать сила. Чтобы остановить тело для действия силы требуется некоторое конечное время. В механике важно (§21) лишь знать, при каких условиях возникают силы и какова их величина и направление, как силы зависят от координат и скоростей движения. Определять величину сил, когда и как они действуют, можно не вникая в природу сил, располагая лишь способами их измерения. В механике, в первую очередь, имеют дело с тремя типами сил: гравитационными, упругими и силами трения. Их величины определяют опытным путем или расчетным, на основе установленных физических законов. Силы зависят либо от расстояний между телами или частями одного тела (силы гравитации и упругости), либо только от относительных скоростей (силы трения). Второй закон Ньютона (§22) является основным уравнением движения тел. Это уравнение позволяет по известным силам вычислять перемещение тела в любой момент времени, его скорость и решать другие задачи,Ш (связанные с определением работы, затрат энергии и др.)

‫٭‬165‫٭‬

§ 60. Работа

Второй закон Ньютона в форме импульса dР = Fdt позволяет определить как меняется скорость тела по величине и направлению, если на него в течение времени dt действует сила F. Для определения работы важно уметь вычислять изменение скорости тела только по величине при перемещении тела на отрезок dr под действием силы F. Воздействие силы на тело, вызывающее изменение абсолютной скорости, характеризуется величиной, зависящей как от силы, так и от перемещения тела, на которое действует сила. Этот результат воздействия называют работой. В практической деятельности человека эту работу выполняют различного рода двигатели (поршневые, турбинные, электрические...). Величина работы зависит от совпадения направлений векторов F и dr. Из физики известно, что работа L равна произведению действующей силы на пройденный телом путь ̣Δx. Точное количественное определение величины работы можно выразить так: на тело (материальную точку) действует результирующая сила F. За бесконечно малое время dt тело переместится на отрезок dr = dx. Произведенная силой работа при перемещении тела равна:

dL = Fxdr = Fxdx cos α,

(200)

Рис. 53 где Fx – проекция результирующей силы;α – угол между силой и перемещением тела (рис. 53).

‫٭‬166‫٭‬

Произведение двух векторов в математике называют скаляром, величиной, характеризуемой только численным значением, не имеющей направления, всегда положитель­ной и зависящей от угла α. Проекция вектора – величина алгебраическая. Если угол α < π/2 , то cos α > 0, при α = π/2, cos α = 0 и при α > π/2, cos α <0. Отсюда следует, что величина работы, т.е. ее потенциал при α = 0 является максимальным в данных конкретных условиях (с учетом величины силы и характера перемещения). Работу можно записывать в виде:

ΔL = F·dr

(201)

Необходимо помнить, что, если действует несколько сил, то результирующая сила равна геометрической сумме всех сил:

F = F1 + F2 + ....

(202)

В этом случае работу нужно рассматривать как алгебраическую сумму работ действующих сил:

ΔL = Fdr = F1dr + F2dr + F3dr + ... отсюда работа результирующей силы F (полная работа) равна работе сил, действующих на тело, т.е. работа каждой силы есть скалярное произведение этих сил на перемещение тела dr, а не произведение силы на перемещение, вызванное этой силой. На тело, кроме данной силы, могут действовать и другие силы. Перемещение тела за одно и то же время зависит от скорости, которую успело приобрести тело. Работа данной силы определяется конкретно скалярным произведением (кроме случая, когда α = 0).

‫٭‬167‫٭‬

В том случае, когда точка, к которой приложена сила, не перемещается в пространстве относительно данной системы отсчета, работа этой силы равна нулю. Например, при скольжении тела по некоторой поверхности с трением, сила трения f1, приложенная к движущемуся телу, совершает работу, а сила трения f2, приложенная к неподвижной поверхности (опорной поверхности), никакой работы не совершает (рис. 54). Так как точки поверхности, к которым приложена сила трения, не перемещаются (dr = 0), перемещается при скольжении сама сила (взаимодействующее скользящее тело движется, перемещается от одних точек к другим), сила действует, перемещаясь.

Рис. 54 Работа может быть как положительной, так и отрицательной, что следует из влияния угла приложения силы к телу α = 900, (см. 200). При взаимодействии силы с углом α = 90° никакой работы не совершается, но имеет место создание момента силы (см. гл.3), если тело движется с некоторой скоростью. В этом случае движение из прямолинейного преобразуется в криволинейное с соответствующим появлением центростремительных и центробежных сил. Если ось вращения не будет в центре кругового движения тела, то в этом случае крутящий момент силы будет выполнять роль рычага. Единица работы в системе СИ: сила в 1 Н на пути в 1 м совершает работу, равную 1 Джоулю. Соотношение между единицами работы:

1 кгс·м = 9,8 Н ·1 м = 9,8 Дж

‫٭‬168‫٭‬

Выражение (201) дает элементарную работу (на малом участке пути, на котором силу можно считать постоянной). Если сила на пути S не меняется и угол α примерно одинаков (нет спусков, подъема пути), то работа равна:

L = FS∙cos α

(203)

Работа на конечном участке пути должна определяться как алгебраическая сумма:

(204) § 61. Кинетическая энергия

Прямолинейное равноускоренное движение возникает тогда, когда на тело действует постоянная сила (ускоряющая или тормозящая тело). Для определения работы, совершаемой постоянной силой F, воспользуемся уравнением (204) с учетом совпадения направления векторов силы и перемещения (угол α = 0). На отрезке пути S сила совершает работу L:

= L FS = maS

где m – масса тела;

(205)

a – ускорение тела; S – пройденный телом путь, определяемый изменением скорости от V0 (начальная скорость) до V > V0. Для равноускоренного движения путь находится по формуле:

= S

(

)

1 2 V − V02 .

2a

‫٭‬169‫٭‬

Если начальная скорость равна нулю, то путь:

V2 S= 2a

(206)

Эта формула связывает путь с ускорением и скоростью. Так:

V = 2aS

(207)

Подставляя значения S в выражение для работы (205), окончательно получим:

mV 2 mV02 (208) = L − 2 2 Величину, равную половине произведения массы тела на квадрат скорости, называют кинетической энергией Т:

mV 2 T= 2

(209)

Таким образом, работа движущей силы на пути S равна изменению кинетической энергии тела:

L= T − T0

(210)

dL = dT

(211)

Кинетическая энергия тела увеличивается, когда работа положительна, уменьшается при отрицательной работе. Кинетическая энергия зависит от скорости, следовательно, кинетическая энергия, как и скорость, зависит от системы отсчета. Так как на малом участке пути dS = dr силу можно считать постоянной, то и работу можно принимать:

‫٭‬170‫٭‬

Этот результат (соотношение) будет выполняться даже в тех случаях, когда направления векторов скорости и силы не совпадают. Формула (209) справедлива и для случаев, когда сила по величине и направлению переменная, действует на криволинейном участке пути конечной длины.

§ 62. Потенциальная энергия

В теоретической механике доказывается, что полная энергия тела Е равна сумме кинетической энергии тела Т и потенциальной энергии Р. При рассмотрении работы, равной изменению кинетической энергии тела был использован только второй закон Ньютона (закон движения). Теперь вычислим элементарную работу, используя выражения для сил взаимодействия между телами системы. Так как при взаимодействии силы могут быть разнообразными, то рассмотрим различные случаи. Начнем с потенциальной энергии тела, находящегося в поле тяготения Земли. Система состоит из земного шара и камня, поднятого на небольшое расстояние от поверхности Земли. Сила взаимодействия этих тел равна:

Р = mg

(212)

Сила притяжения камня к Земле направлена вертикально вниз (относительно системы отсчета, связанной с землей), движение камня будем рассматривать в плоскости координат X, Y. Работа силы P при перемещении камня на малое расстояние dr (вверх от Земли)

dL = Pdr = P dr cos α = –Pdx

(213)

Если бы камень двигался вниз, то работа была бы положительной. Работой Земли под действием силы камня можно ‌­пренебречь, так как перемещение Земли к камню ничтожно изза ее огромной массы. Сила притяжения Р постоянна, работа:

dL = –Pdx = –dU

(214)

‫٭‬171‫٭‬

т.е. элементарная работа внутренних сил системы равна приращению с обратным знаком величины:

U = mgx ,

(215)

где U – потенциальная энергия взаимодействия камня и Земли.

Итак, установлена работа внутренних сил в системе в виде приращения некоторой величины, зависящей только от расстояния между телами. Причем, когда сила тяжести совершает отрицательную работу (тело перемещается вверх от Земли), то потенциальная энергия увеличивается (–dU). Кинетическая энергия будет уменьшаться, так как dL = +dT. При совершении положительной работы (за счет изменения кинетической энергии) потенциальная энергия будет убывать. Из уравнения (213) следует, что работа сил тяжести зависит лишь от изменения высоты тела над поверхностью Земли (dx) и не зависит от перемещения его в горизонтальном направлении (dy). Это справедливо не только для элементарной работы, но и для работы на конечном участке пути. При ступенчатом перемещении (по наклонной линии вверх, по междуэтажному лестничному маршу), совершаемая работа будет равна только сумме пройденных вертикальных отрезков и равна нулю – на горизонтальных. В системе координат X, Y работа будет:

L = –mg(x2 – x1) = –(U2 – U1)

(216)

где значения U1 и U2 характеризуют потенциальную энергию в точках x1 и x2. Формула (216) аналогична формуле (208). Вывод: работа силы тяжести не зависит от формы пути и определяется только начальным и конечным положением тела. Из (216) следует, что работа на замкнутом пути L = 0. Подобно рассмотренному взаимному действию сил притяжения двух тел совершают работу силы упругости, например, при растяжении (или сжатии) пружины на конечную величину, работа определяется только деформацией (удлинением) пружины строго по оси пружины, т.е. искривление оси пружины на ра-

‫٭‬172‫٭‬

боту не влияет (от формы пути тел, на которые действует пружина, работа потенциальных сил не зависит, подобно работе сил тяжести. Все определяется исключительно разностью значений потенциальной энергии в начальном и конечном состояниях:

,

(217)

где Δl1,2 – изменение длины пружины при данных перемещениях тел. Потенциальная энергия не зависит от свойств тел, которые связывает пружина. Эту энергию следует считать внутренней энергией (напряжением) в самой сдеформированной пружине. Работу сил упругости растянутой пружины можно выразить как изменение потенциальной энергии с обратным знаком (зависящей от координат величины). Этот результат справедлив для любых сил, зависящих от расстояний между телами, но не зависящих от их скоростей. Механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий, сохраняется в замкнутой системе лишь в случае, когда в ней действуют силы, зависящие от расстояний. Системы, в которых действуют только эти силы, называют консервативными. Работа таких сил всегда может быть представлена как приращение потенциальной энергии (зависящей от координат тела), взятой с обратным знаком:

L = –ΔU.

(218)

Между потенциальной и кинетической энергиями имеются важные различия. Потенциальная энергия зависит только от расстояний между телами, а кинетическая энергия – только от скоростей тел. Кинетическая энергия всегда положительна, а потенциальная может быть положительной и отрицательной. Положительная работа внутренних сил системы всегда приво-

‫٭‬173‫٭‬

дит к увеличению кинетической энергии, которая обязательно уменьшает потенциальную энергию. Кинетическая энергия – величина, относящаяся к одному телу, а потенциальная энергия – это энергия взаимодействия минимум двух тел (или частей одного тела) друг с другом, само понятие силы всегда относится к двум телам: к телу, (при взаимодействии) на которое действует сила, и к телу, со стороны которого она действует. Таким образом, из приведенного следует, что и кинетическая энергия (аналогичная внутренней энергии тела) и потенциальная энергия (аналогична работе тепла в первом законе термодинамики) являются функциями состояния энергетической системы, т.е. их можно точно определить, если известны координаты и скорости всех тел системы.

§ 63. Закон сохранения энергии в механике

Закон сохранения механической энергии рассмотрим для частного случая системы, состоящей из двух тел – тела, поднятого над Землей (камня) и земного шара. Под действием силы тяжести камень свободно падает. Работа, совершенная силой тяжести при перемещении камня на отрезок пути dr, равна изменению кинетической энергии камня (работой Земли можно пренебречь из-за малой величины):

dL = dT

(219)

Эту работу можно представить изменением потенциальной энергии взаимодействия системы камень - Земля:

dL = –dU

(220)

Так как левые части уравнений работы равны, то и правые части равны, т.е.:

dT = –dU

(221)

‫٭‬174‫٭‬

Из (221) видно, что увеличение кинетической энергии Т системы равно убыли потенциальной энергии U. Отсюда следует, что изменение суммы кинетической и потенциальной энергий равно нулю:

dT + dU = d(T + U) = 0

(222)

Величину Е = Т + U называют полной механической энергией системы. Уравнение (222) выражает одну из форм закона сохранения энергии в механике, его можно представить и в другой форме, так как в замкнутой системе механическая энергия остается постоянной. Если в начальный и конечный момент времени энергия системы равна: T1 + U1 и T2 + U2, то T1 + U1 = = T2 + U2. После подстановки значений Т = mV2/2 и U = mgx получим другую форму закона сохранения механической энергии:

mV 2 mV12 mV22 + mgx = const или + mgx1 = + mgx2 (223) 2 2 2

Уравнения (223) позволяют определять скорость камня на любой высоте h над Землей (h = x). При падении камня его потенциальная энергия U2 уменьшается и настолько же увеличивается его кинетическая энергия Т. Для двух тел с массами m1 и m2, связанных пружиной, закон сохранения энергии имеет вид:

mV12 mV22 k ( l + l0 ) E= + + = const , 2 2 2 2

здесь k – коэффициент упругости пружины; l – длина сдеформированной пружины; l0 – длина ненагруженной пружины

(224)

‫٭‬175‫٭‬

§ 64. Влияние трения на закон сохранения энергии

Напомним, что при наличии трения в замкнутой системе механическая энергия не сохраняется. Процесс трения – это работа сил сопротивления движению тела в любой материальной среде. В результате из-за перехода одной формы движения в другую полная механическая энергия системы Е = Т + U убывает на величину, эквивалентную ΔТ. Особенность сил трения (см. § 26) состоит в том, что работа их не может быть выражена через изменение потенциальной энергии тела (системы). Работа сил трения не приводит к изменению потенциальной энергии системы. Силы трения зависят от относительной скорости движения тел, а не от положения их в системе. Поэтому работа сил трения не связана определенным образом с изменением расположения тел и не приводит к такому изменению их расположения, при котором запас работы, которую может совершить система, увеличивается.

§ 65. Мощность

Энергия системы определяет запас работы, которую она может совершить. Конкретный объем работы может быть выполнен в течение различного времени. Например, одна и та же емкость (бочка) при частичном открытии проходного сечения крана заполняется водой в течение четырех-пяти часов, а при полном открытии крана – заполняется водой в течение двух часов. Поэтому наряду с понятием работа применяется и другой показатель, характеризующий не только величину работы, но и интенсивность ее выполнения, быстроту, с которой производится работа. Эту величину называют мощностью. Если за время dt совершается мгновенная работа dL, то, в соответствии с определением, мощность N равна:

N =

dL dS = F = FV , dt dt

(225)

где F – сила; dS – перемещение; V – скорость движения точки приложения силы.

‫٭‬176‫٭‬

Развиваемая двигателем мощность, как и мгновенная работа, равна скалярному произведению векторов действующей силы и скорости движения тела (точки приложения силы). Следовательно, во время движения мощность можно менять за счет изменения: действующей силы, скорости и угла α между направлениями векторов F и V (см. 225).

N = F∙V cos α

(226)

Контролируемое изменение мощности промышленных двигателей или движительных установок транспорта – ДУТ, включающих в свой состав все оборудование, обеспечивающее движение транспортного средства и работающее как единое целое в одном режиме, обычно производится изменением расхода топлива (тепла) на двигатель или ДУТ:

, кг/с,

(227)

где Q – расход тепла, определяемый при расчете двигателя, кДж/с; – низшая теплота сгорания топлива, кДж/кг; В – расход топлива, кг/с. Неконтролируемое изменение мощности в движительных установках всех видов транспорта происходит в результате изменения сопротивления движению, равного результирующей силе сопротивления R, соответственно автоматически изменяется скорость, а затем движущая сила путем изменения подачи топлива в двигатель и устанавливается заданный режим движения. Таким образом, на любом участке энергетической системы связи двигателя с движителем (потребителем), передаваемая мощность в начале рассматриваемого участка является располагаемой (теоретической) работой L0 = Nt (здесь t – время), а действительная (полезная работа L оценивается в конце рассматриваемого участка, и получается меньше теоретической на величину потерь L0 – L = ΔL > 0.) Аналогично располага-

‫٭‬177‫٭‬

емая работа снижается и на последующих участках системы передачи энергии. Таким образом, передаваемая от двигателя к движителю мощность непрерывно снижается за счет отрицательной работы, затрачиваемой на преодоление сил сопротивления. Диссипативные потери энергии, связаные с силами трения (§ 64), сопротивлением внешней среды, инерционным сопротивлением (приведения в движение массы самой системы связи, т.е. мощностей: холостого хода и нагрузочной), а также в движителе при преобразовании подведенной к нему энергии в силу упора, обеспечивающего перемещение транспортного средства. В результате, создаваемая движущая сила, (на лопатках ротора турбины или в цилиндре - на поршень двигателя) после преобразования энергии топлива в механическую работу в ДУТ, в упор (в силу, движущую транспорт) суммарная потеря энергии достигает 80% и больше. Возможность дальнейшего существенного повышения эффективности ДУТ (экономичности работы и снижения капитальных затрат) требует изменения принципов: передачи энергии от двигателя к движителю и работы самого движителя. В качестве одного из вариантов решения проблемы может служить способ движения (гл. 8), который более подробно рассматривается, обосновывается его целесообразность и возможность применения в движительных установках транспортных средств.

‫٭‬178‫٭‬

ГЛАВА 8. БЕЗОПОРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТРАНСПОРТА § 66. Физические основы безопорного движения транспортных средств

Если к вагонетке или телу приложить силу F, то тело после преодоления инерции покоя начнет двигаться с равномерно увеличивающейся скоростью V. Скорость движения в любой момент можно легко определить по известной в физике формуле:

V2 V = 2aS или = aS , 2

(228)

где а – ускорение тела, характеризующее прирост скорости движения за время dt, a∙dt = dV; S – путь, пройденный телом. Тело обладает некоторой массой m. Умножая обе части равенства (228) на массу m, получим:

mV 2 = maS 2

(229)

Согласно второму закону Ньютона, произведение (ma) количественно характеризует силу F, действующую на тело. Пусть тело движется вдоль прямой и на него действует постоянная сила F, направленная вдоль этой прямой. На отрезке пути S сила совершит работу:

L = FS

(230)

Как повлияет эта работа на тело? Конечно, скорость тела возрастет. Но понятие работы в физике отличается от того, что под этим словом подразумевают в повседневной жизни. И сила, и перемещение тела – векторные величины. Произведение FS в (230) следует рассматривать как произведение проекций дейст-

‫٭‬179‫٭‬

вующей силы FS на направление перемещения dS, равное скаляру, элементарной работе dL:

dL = FdS = FdS cos α = ma dS cos α

(231)

Работа зависит от величины и направления действующей силы, (массы тела, его ускорения) и величины перемещения. Тело может подвергаться одновременному воздействию нескольких сил, имеющих разные направления. В этом случае работать будет проекция результирующей силы на перемещение. Модуль перемещения тела всегда dS > 0, а отдельные силы Fi, входящие в результирующую силу F, могут иметь проекцию Fs, i ≥ 0. При перпендикулярном направлении отдельных сил на направление перемещения, работа этих сил равна нулю (FdS cos 90° = 0), т.е. в данный момент эти силы не изменяет абсолютную скорость тела V, меняют лишь направление его движения, отклоняя траекторию тела в направлении действующей на него силы под углом α > 0. С увеличением угла α воздействие силы на тело возрастает по закону изменения синуса. При α = 90° проекция действующей силы на тело Fi по величине становится равной самой действующей силе:

Fi = F sin 90° = F

(232)

При дальнейшем увеличении угла α в интервале от 90° до 180° проекция действующей силы уменьшается, достигая при α = 180° нулевого значения (Fi = 0). Так под воздействием других тел создается и изменяется центростремительная сила, направленная по радиусу к центру кривизны траектории. При равномерном движении тела по окружности центростремительная сила в физике определяется по формуле:

Fцс = mu2/r = mω2r,

где m – масса тела, кг;

u – окружная скорость, м/с, равная 2πrn;

(233)

‫٭‬180‫٭‬

ω – частота вращения, ω = 2πn, c-1; r – радиус окружности, м; n – число оборотов, об/с; Fцс – центростремительная сила, действующая на окружности радиусом r, Н. Центростремительная сила принуждает тело двигаться по заданной криволинейной траектории, а в случае постоянной силы, тело будет равномерно двигаться по окружности радиуса r с окружной скоростью u = 2πrn, где n — число оборотов в секунду. Одновременно движущееся по окружности тело будет противодействовать центростремительной силе (§§ 36, 37), создавая равную по величине и направленную прямо противоположно центробежную силу. Эти силы не уравновешивают друг друга, так как они приложены к разным телам. Обе силы могут и совершают работу. Из теории механики известно, что работа не зависит от природы сил. Центростремительная сила обеспечивает непрерывное изменение направления движущегося тела по заданной криволинейной траектории, а центробежная сила, если другое тело, взаимодействующее с первым, закреплено неподвижно, подвергает его упругой деформации или разрушению, либо приводит в движение вместе с основанием, на котором оно закреплено, например, при движении рабочих лопаток вместе с ротором турбины, т.е. с основанием для лопаток (см. § 60). Окружное движение рабочих лопаток вместе с ротором турбины осуществляется не за счет упора, создаваемого движителем, т.е. рабочими лопатками, а в результате соответствующего преобразования энергии потока рабочего тела (пара, газа) на рабочих лопатках гидродинамического воздействия, т.е. за счет прямой передачи движущей силы рабочего тела непосредственно движителю, в данном случае рабочим лопаткам, закрепленным на роторе. Это и есть безопорное вращательное движение ротора, осуществляемое за счет центробежной силы потока в активной турбине. К безопорному движению можно отнести парусное движение; движение тел в несущем потоке жидкости, воздуха (за счет работы сил трения несущего потока).

‫٭‬181‫٭‬

Движение транспорта за счет непосредственного действия на него движущей силы рабочего тела названо безопорным (БД) или самотяговым движением (СТД), а движение за счет упора – опорным (ОД). Соответственно, движительные установки транспортных средств – БДТ и ОДТ. Движущие силы природного происхождения (давления, трения: воздушных и водных потоков) - нестабильные, неуправляемые и ограниченные по величине, используются в общем энергетическом балансе лишь как добавочные силы и вспомогательные. Движущие силы, создаваемые в рабочих процессах известных различных (поршневых, турбинных) двигателей, преобразуются в самих двигателях в работу вращения, и для ее дальнейшего использования требуется механическая трансмиссия и движители, преобразующие мощность двигателя в силу, движущую транспорт. Такая схема реализации энергии в транспортных средствах ведет к значительным энергетическим, материальным затратам и усложнению эксплуатации движительных установок транспорта.

§ 67. Принцип работы транспортных средств при безопорном движении

Способ безопорного движения основан на использовании в качестве движущей транспорт силы – суммарной силы одновременно работающих центробежных и гидродинамических сил рабочего тела двигателя. Движущая сила генерируется и передается одновременно рабочим телом в динвенсоре напрямую, в виде тяговой (толкающей) силы, приложенной непосредственно к транспортному средству. Динвенсор (ДВ) – устройство, в котором силовое действие рабочего тела преобразовывается в движущую силу транспортного средства. Конструктивная схема динвенсора представляет собой блочную компоновку энергопреобразующих элементов движительной установки. На жесткой раме последовательно, соосно установлены и закреплены неподвижно сопловое устройство и полуцилиндрический (параболический) криволинейный рабочий канал (КРК).

‫٭‬182‫٭‬

В зависимости от вида транспорта, продольное положение опорной рамы, т.е. общей оси сопла – КРК, можно менять в горизонтальной или в горизонтальной и вертикальной плоскостях, обеспечивая тем векторное управление транспортным средством.

Рис. 55 На рис. 55 представлена схема движения рабочего тела в КРК и векторы сил, действующих со стороны потока на рабочую поверхность канала. Жидкое рабочее тело (вода или другая жидкость) поступает в сопловое устройство динвенсора, представляющее собой суживающийся канал, в котором предварительно сжатая насосом вода (см. рис. 56) при прохождении через сопло потенциальная энергия рабочего тела преобразуется в кинетическую, значительно увеличивая скорость потока. Из сопла рабочее тело поступает в виде свободной струи с большой скоростью в криволинейный рабочий канал, в котором плавно меняется направле-

‫٭‬183‫٭‬

ние движения потока рабочего тела на 180о или несколько меньше. Возникающая при этом неуравновешенная центробежная сила потока оказывает мощное давление на КРК динвенсора, прочно соединенного с корпусом транспортного средства, т.е. непосредственно действует на корпус транспортного средства, совершая при этом механическую работу – перемещая транспорт в заданном направлении. Скорость потока на выходе из КРК несколько меньше, чем на входе (ориентировочно коэффициент потери скорости ψ ≈ 0,96 ÷ 0,98). Механизм взаимодействия потока жидкости с рабочей поверхностью КРК осуществляется по следующей схеме: при движении элементарной частицы жидкости dm с постоянной окружной скоростью u = ωr по криволинейному каналу с радиусом кривизны канала r и угловой скоростью ω, возникает центробежная сила, с которой частица воздействует на КРК, направленная по нормали к рабочей поверхности канала, по линии, соединяющей центр полуцилиндрической поверхности канала с центром тяжести частицы:

(234) Рассмотрим три точки 1, 2, 3 (рис. 55). Центробежные силы частиц в точках 1 и 3 по законам механики можно разложить на силы Рa и Рд. Силы Рa направлены во взаимно противоположные стороны и, будучи равными по значению, взаимно уничтожаются, не оказывая движущего воздействия на КРК (с точки зрения его смещения в направлении действия этих сил). КРК, воздействуя на поток, плавно изменяет направление его движения. Составляющие сил частиц жидкости Рд имеют одинаковое направление. Проинтегрировав величины dPд по рабочей поверхности канала, получим суммарное значение центробежной силы Рд, направленной вдоль траектории движения транспортного средства. Эта движущая сила создается не за счет упора движителя, а за счет движения рабочего тела.

‫٭‬184‫٭‬

Таким образом, центробежная сила Рц и есть активная управляемая сила, движущая транспорт. При выходе потока жидкости из КРК в виде свободной струи дополнительно создается реактивная сила, направленная прямо противоположно реактивной силе потока, выходящего из соплового канала и поступающего в КРК. Так как потеря скорости потока в КРК невелика, то в общем случае разностью этих реактивных сил, при сравнении ее с тяговой силой, можно пренебречь.

§ 68. Эффективность безопорного движения транспорта

Принципиальная схема безопорной движительной установки (БДУ) транспортного средства, наиболее простой вариант (без утилизации энергии рабочего тела), представлена на рис. 56.

Рис. 56.

1 – двигатель (тепловой, электрический); 2 – центробежный насос высокого давления; 3 – сопло; 4 – криволинейный рабочий канал (КРК); 5 – расходная и сбросная (расходно-сбросная) емкость рабочей жидкости; 6 – динвенсор.

‫٭‬185‫٭‬

Работа осуществляется в следующей последовательности. Двигатель (поршневой, турбинный или электрический) приводит в работу центробежный насос, который забирает воду из расходного бака, повышает давление жидкости (в среднем до 5-15 МПа) и подает ее через сопловое устройство с большой скоростью (до 40÷60 м/с) в КРК. Из КРК жидкость поступает в сбросной бак или во вторую ступень (другой КРК с углом установки 90° по отношению к первому КРК по вертикали на рис. 56 – не указано), а затем на рабочую решетку утилизационной гидротурбины (утилизирующей кинетическую энергию потока для производства электроэнергии или другой работы). Эффективность работы безопорной движительной установки транспорта характеризуется высокой энергетической экономичностью (см. §70) и независимостью движущей силы от вида и состояния среды, в которой движется транспорт, так как при движении БДУ рабочий процесс не вступает непосредственно в контакт с внешней средой и имеет возможность осуществлять движение в зависимости от вида транспорта в различных направлениях. Высокая экономичность связана с использованием низкотемпературного и энергоемкого жидкого рабочего тела, а также совмещения процессов генерирования и передачи движущей силы в виде тяговой силы непосредственно транспортному средству, осуществляя движение без опорного взаимодействия с внешней средой. В тепловых двигателях в качестве рабочего тела применяются газообразные рабочие тела: водяной пар и газ, представляющий собой смесь воздуха (до 94 ÷ 98%) с продуктами сгорания (до 1,5 ÷ 6%). Мощность двигателя существенно зависит от плотности рабочего тела (от изменения его объема при сжатии), от его массы, то есть, энергоемкости рабочего тела, которая у газообразных рабочих тел по сравнению с жидким рабочим телом в 700 850 раз меньше. Например, в газотурбинной установке на сжатие воздуха в компрессоре расходуется до 75% мощности газовой турбины и только 25% приходится на полезную мощность.

‫٭‬186‫٭‬

В паротурбинных установках высокое давление пара достигается за счет предварительного сжатия воды, подаваемой в парогенератор водяным питательным насосом высокого давления. Вода – мало сжимаемая среда, поэтому и работа, затрачиваемая на сжатие воды значительно меньше, чем на сжатие газообразных тел. Пар высокого давления получается за счет испарения сжатой воды. Поэтому на получение пара высокого давления для паротурбинных установок по сравнению со сжатием воздуха в ГТУ расходуется значительно меньше энергии. Что же касается паровой турбины, то она работает на водяном паре, т.е. тоже на газообразном рабочем теле. Ее мощность зависит от массы расходуемого пара на турбину, как и в ГТУ. В безопорных установках рабочее тело – жидкость, на сжатие которой, как уже указывалось выше, затрачивается мало энергии. Поэтому безопорные движительные установки, работающие с использованием жидкого рабочего тела, высокоэкономичны, расходуют по сравнению с опорными движительными установками в десятки раз меньше топлива. Это важное преимущество БДУ, но их ценность во много раз возрастает, так как значительно улучшается экология воздушной и водной среды. Другие преимущества БДУ связаны с отсутствием контакта с внешней средой при создании движущей транспорт силы и независимостью ее от состояния внешней среды, а также возможностью свободного пространственного движения и остановки в любой точке пространства (воздушной и жидкой средах).

§ 69. Методика расчета экономичности работы безопорной движительной установки

Методика расчета экономичности БДУ различных видов транспорта аналогична. Поэтому ограничимся рассмотрением расчета экономичности работы лишь одним видом транспорта, например, морского судна или автомобиля. Оценку экономичности целесообразно производить путем сопоставления затрат энергии на движение транспортного средства проектируемого или находящегося в эксплуатации, с опорной движительной установкой (ОДУ) и его же работу с предполагаемой (БДУ), работающих в одинаковых условиях.

‫٭‬187‫٭‬

В качестве основного и идентичного комплексного показателя эффективности для сравниваемых опорной и безопорной движительных установок транспортных средств принимается величина движущей транспорт силы. В ОДУ – упор, создаваемый: гребным винтом судна, ведущими колесами автомобиля или реактивным двигателем самолета, с тяговой силой в БДУ, создаваемой динвенсором. Вспомним, что уравнение произвольного движения материальной точки является векторным, поэтому его можно ‌­заменить системой трех уравнений: max = Fx,

may = Fy,

maz = Fz

(235)

Здесь ax, ay, az – проекции вектора ускорения на оси координат; Fx, Fy, Fz – соответствующие проекции результирующей силы. При движении материальной точки по окружности, оставаясь все время в одной плоскости, движение вдоль оси Z отсутствует, то Fz = 0 и az = 0. В этом случае произвольное движение материальной точки описывается системой двух уравнений:

max = Fx,

may = Fy

(236)

Для изучения кинематики при движении тела по окружности удобнее вектор ускорения разложить на касательную и нормальную составляющие, т.е. вместо проекций ax и ay, вводятся тангенциальное и нормальное ускорения at и an. В результате получают уравнение для определения ускорений at, an под действием сил:

mat = Ft,

man = Fn

(237)

Эти уравнения представляют собой другую форму записи второго закона Ньютона, которая удобна для описания движения тела по окружности.

‫٭‬188‫٭‬

В общем случае движения по окружности скорость может меняться по величине и направлению. Обозначим через r радиус окружности, по которой происходит движение. Tангенциальное ускорение at связано с угловым ускорением β равенством:

at = βr

(238)

Тангенциальное ускорение определяет изменение величины угловой скорости ω, связанной с линейной скоростью равенством:

V = ωr Здесь ω – угловая скорость, ω = dφ/dt = 2πn;

dφ – угол поворота, град (рад, об); n – число оборотов. Если величина скорости остается неизменной, движение тела по окружности называют равномерным, тогда угловое ускорение β = 0, следовательно, и сила Ft = 0. Таким образом, при равномерном движении тела по окружности не равны нулю только нормальные составляющие: ускорения an и силы Fn. Поэтому для описания равномерного вращения вместо системы уравнений (236) достаточно использовать одно уравнение, определяющее нормальное ускорение:

man = Fn

(239)

Ускорение an в уравнении (239) совпадает с полным ускорением, а сила Fn – с результирующей силой, действующей на тело. Векторы a и F направлены от тела к центру окружности. Связь нормального ускорения с величиной линейной скорости V или угловой скорости имеет вид:

V2 или an = r

(240)

‫٭‬189‫٭‬

При равномерном движении величины V и ω в (240) постоянны. Эти равенства справедливы и в более общих случаях, когда величины V и ω меняются во времени. Используя равенства (240), уравнение вращательного движения запишем в виде:

mV 2 = Fn или r

(240)

Силы Fn направлены к центру окружности и называются центростремительными. Известно, что силы появляются только при взаимодействии тел. Например, поток жидкости движется по криволинейному каналу, который непрерывно меняет направление движения потока. Со стороны потока на внутреннюю поверхность канала (см. §67) действует центробежная сила Fц, равная по величине и противоположная по направлению центростремительной силе Fn:

Fц = Fn = mω2r

(242)

Центробежная сила Fц стремится сдвинуть КРК, который закреплен на транспортном средстве неподвижно, образуя с ним единое целое (тело), способное под действием силы перемещаться в направлении действия силы Fц. Для расчета эффективности работы безопорной движительной установки, необходимо выбрать прототип, т.е. проектируемое или находящееся в эксплуатации транспортное средство, определить для него движущую силу и конечный показатель эффективности – потребляемую мощность или расход топлива при движении транспортного средства с заданной скоростью. Из технической документации прототипа известны мощность главной энергетической установки Ne, кВт; эффективный КПД – ηe; удельный расход топлива bе, кг/кВт и скорость движения транспорта V, м/с. По указанным данным рассчитывается интегральная сила сопротивления движению транспортного средства R, кН, на преодоление которой расходуется мощность главной энергетической установки :

‫٭‬190‫٭‬

кВт

(243)

Составляется уравнение движения транспорта. В общем виде уравнение движения имеет вид:

f = Fд – R, кН

(244)

где f – избыточная движущая сила, кН.

При f ≥ 0 имеет место переходный режим работы (увеличение скорости или торможение). При f = 0 имеет место режим стоянки или движение транспорта с постоянной скоростью.

Fд – движущая транспорт сила, кН; R – общее сопротивление движению, учитывающее все потери энергии (снижение мощности от главного двигателя до движителя и потери в движителе). Мощность является энергетическим потенциалом (§ 65):

. В пределе (dt → 0), Ne → Fд, т.е. в начале рабочего процесса Fд характеризует располагаемую движущую силу, способную совершать работу, эту движущую силу называют мощностью (§ 66), которая при взаимодействии с силами сопротивления при перемещении на элементарном участке пути, совершая работу, непрерывно рассеивает (снижает) некоторую часть располагаемой механической энергии и, соответственно, величину мгновенной движущей силы непрерывно по всей длине цепочки связей от двигателя к движителю и далее – в движителе, т.е. в движительной установке транспортного средства, обеспечивая заданную скорость движения транспорта. При изменении скорости или сопротивления движению изменяется нагрузка движительной установки и, соответственно, расход топлива на главный двигатель.

‫٭‬191‫٭‬

Основные режимы работы (нагрузки), т.е. величины Ne и V, наиболее характерные в эксплуатации, оцениваются по прототипу: движущая сила Fд в БДУ – это сила тяги Fт, точнее, самотяги, и при движении транспорта в заданном направлении Fт = Fд – равной значению в конце системы энергопередачи движительной установки:

Fт = Fу ηу

(245)

где Fу – сила упора прототипа, Fу = R, кН;

ηу – коэффициент упора (по прототипу). Например, для морского судна ηу ≈ 0,98 ÷ 0,99. Условия расчета Fт ≥ Fд. В расчетное уравнение движения вводятся все действующие на транспорт с БДУ силы (см. пример расчета, уравнение 253). В приближенном расчете учитываются: импульсы входящих и выходящих потоков жидкости, реактивные силы (сопла и КРК), общая сила сопротивления движению транспортного средства и движущая транспорт сила, с учетом величин потерь энергии (ориентировочно, по справочной литературе) в процессах преобразования энергии, связанных с трением, вихреобразованием и др.) Далее, по закону Бернулли, находится требуемая скорость потока жидкости, поступающей в КРК динвенсора:

(246) где P – статическое давление жидкости, кПа;

ρ – плотность жидкости, кг/м3; g – ускорение свободного падения, g = 9,81 м/с2; h – напор жидкости, создаваемый центробежным насосом, м. вод. ст.; w – скорость жидкости на входе в КРК, м/с.

‫٭‬192‫٭‬

Для случая Р = const искомая скорость согласно (246) равна:

w = 2 gh

, м/с

(247)

Из решения уравнения (244) находится массовый расход жидкости (рабочего тела): при Fт = R и Fт = Fц, т.е. Fц = R

определяется:

(248) Далее определяется радиус КРК (вариантный расчет величины r по равенству:

(249) Водяной центробежный насос, обеспечивающий работу БДУ, выбирается по справочной литературе, например, в теплоэнергетике для котельных агрегатов, работающих с докритическими параметрами пара. Заводами выпускаются питательные и конденсатные насосы, которые удовлетворяют требованиям БДУ. В соответствии с методикой расчета комплектуется состав безопорной движительной установки транспортного средства.

§ 70. Пример. Расчет эффективности работы транспортного средства с безопорным движением

В соответствие с методикой расчета (§69) в качестве прототипа принято морское судно, находящееся в эксплуатации: газотурбоход «Инженер Ермошкин», контейнеровоз Черноморского пароходства Дедвейт – 20075 т, грузовмести-

‫٭‬193‫٭‬

мость – 54500 м3. Длина – 204 м, ширина – 30 м, осадка Т = 9,9 м, 1980 г. Мощность главной энергетической установки 35000 кВт, скорость хода 25,2 узла, дальность плавания 22000 миль, два главных газотурбинных двигателя мощностью по 17250 кВт. Двухвальная движительная установка (ГТУ + ПТУ), эффективный коэффициент полезного действия двигателя ηe = 0,35, удельный расход топлива be = 0,238 кг/кВт∙ч.

м/с.

Расчет: 1. Исходные данные: ∑Ne = 35000 кВт, скорость V = 25,2∙1852/3600 = 12,96 ≈ 13

2. Максимальное сопротивление движению судна R: R = ∑Ne∙ηд/V, H (250) где ηд = ηbn∙ηb∙ηy, движительный КПД (учитывает потери валопровода, винта и упора) ηд = 0,65 ÷ 0,72, принимаем ηд = 0,70: кН. Величины Ne и V определяются при проектировании судна или, если оно находится в эксплуатации, то оценивается приближенно по отчетной документации.

3. Условия расчета: Fд – движущая сила судна Fд = Fт, здесь Fт – сила тяги, Fт = Fуηу, где Fу – сила упора гребного винта, принимается равной Fу = R, Н; ηу —коэффициент упора, ηу = Fт/Fу ≈ 0,98 ÷ 0,99.

4. В общем виде уравнение движения судна: f = Fд – R, где f – избыточная движущая сила, равная f = 0 ÷ Fд;

(251)

‫٭‬194‫٭‬

±f = Fд – R или f = m β r, Н. В начальный момент движения судна Fд > R (режим увеличения скорости судна), f >0; при снижении скорости судна Fд < R и f < 0 (режим торможения движения). При движении с установившейся скоростью судна и при стоянке f = 0. Уравнение движения принимает вид: Fд – R = 0 (252) Отсюда находим силу Fд при движении судна с полной скоростью V = 13 м/с, по (250).

Fд = R = 1885 кН.

5. Определение тяговой силы Fт при работе безопорной движительной установки, т. е. с использованием движущей силы, создаваемой КРК.

5.1. Условие расчета Fт ≥ Fд.

5.2. Уравнение движения судна при работе динвенсора (ДВ). На рис. 57 схематично показаны действующие силы при движении судна с установившейся скоростью, м/с.

Рис. 57

‫٭‬195‫٭‬

І – сопловое устройство, генерирующее ‌­высокоскоростную свободную струю жидкости, направляемую в КРК, с импульсом, равным mw1.

II – устройство КРК, в котором кинетическая энергия потока жидкости преобразуется в центробежную силу Fц, равную тяговой силе Fт. Так как устройства I и II в динвенсоре неподвижны, то к судну приложены силы, обеспечивающие его движение с заданной скоростью V, м/с. Уравнение действующих сил имеет вид: mw1 – mw2 – R1 + R2 + Fд – R = 0

(253)

где mw1, mw2 – импульсы выходящих потоков жидкости из устройств I и II; устройства I и II неподвижны, и импульсы mw1 ≈ mw2, так как коэффициент потери скорости в КРК ψ = w2/w1 ≈ 0,90 ÷ 0,95, скорость w2 = ψw1, м/с; R1 и R2 – реактивные силы, создаваемые выходящими потоками из сопла и КРК, они противоположно направлены, а коэффициент потери скорости ψ = 0,90 ÷ 0,95. Разность этих сил и импульсов по сравнению с их ­абсолютной величиной близка к нулю.

R – интегральная сила сопротивления движению судна, принимается равной силе сопротивления прототипа (241).

Fт – тяговая сила, создаваемая в КРК. С учетом анализа значений действующих на судно сил при его движении с установившейся скоростью, уравнение движения принимает вид: Fт – R = 0 (254) 5.3. На основе закона сохранения импульса при решении уравнения (245) определяются основные параметры свободной струи рабочей жидкости, поступающей в КРК: скорость потока w и масса m, кг.

5.4. Выбор насоса для подачи рабочей жидкости в сопловое устройство и в КРК производится по напору h, м вод. ст., создаваемому насосом.

‫٭‬196‫٭‬

5.5. По известному напору, используя уравнение Бернулли, находится требуемая скорость потока на входе в КРК: P + ρgh + ρw2/2 = const,

(255)

где P – статическое давление жидкости, Па; ρ – плотность жидкости, кг/м3; g – ускорение свободного падения, 9,81 м/с2; h – напор жидкости, создаваемый насосом, м вод. ст; w – скорость жидкости на входе в КРК, м/с.

5.6. Для случая P = const, искомая скорость согласно (255) равна: w = 2 gh , м/с (256)

5.7. Из решения уравнения (250) находится массовый расход рабочего тела (сжатой воды): при Fт = R и Fт = Fц, т.е.

Fц = R , отсюда (257)

Радиус криволинейного рабочего канала для судовой установки ориентировочно можно принимать r ≥ 0,2 ÷ 0,6 в зависимости от мощности Ne. После определения расхода рабочего тела, значение радиуса КРК уточняется, исходя из условий компоновки БДУ: ,м

(258)

5.8. Водяной насос высокого давления выбирается по справочной литературе. Например, российский Сумской насосный завод для энергоблоков: 100, 200, 300 МВт выпускает конденсатные насосы.

‫٭‬197‫٭‬

Для конкретного расчета тяговой силы, создаваемой движительной безопорной установкой судна «Инженер Ермошкин», выбран электронасос Сумского насосного завода 16 К с В 10 к 5: Максимальная подача 450 м3/ч, h = 240 м вод. ст., n = 1470 об/мин, Nn = 500 кВт.

5.9. Далее определяется мощность, потребляемая водяным насосом (или насосами) и путем сравнения мощностей при работе опорной и безопорной ДУТ устанавливаются затраты энергии на движение транспортного средства (в данном случае – судна). Делается вывод по эксплуатационным затратам (стоимости топлива) и, соответственно, по капитальным вложениям, а также учитывается специифика работы установок.

6. Расчет безопорной ДУТ для судна «Инженер Ермошкин» 6.1. Для ГТХ «Инженер Ермошкин» (см. п.2) по уравнению (250) определена сила тяги (упор гребного винта) Fт = R = 1885 кН.

6.2. Для безопорной ДУТ выбран лопастной электронасос Сумского насосного завода (его характеристика приведена в методике расчета (п. 5.8) 6.3. Скорость свободной струи после сопла (при безударном входе в КРК) равна:

w = 2 gh = 2 ⋅ 9,81 ⋅ 240 =68,6 м/с.

6.4. Массовый расход рабочей жидкости, подаваемой в КРК: Vr 450 ⋅ 1000

= G

= 3600

= 125 3600 кг/с

(263)

Принимаем кривизну канала: r = 0,4 м и r = 0,35 м кг/с;

кг/с.

‫٭‬198‫٭‬

6.5. Центробежная сила, создаваемая в КРК: а) при r = 0,4 м кН (264) б) при r = 0,35 м кН (265) Уменьшение радиуса криволинейного канала ведет к уменьшению расхода рабочего тела и к увеличению гидравлических потерь при сохранении движущей силы.

6.6. Тяговая сила Fт = Fц, создаваемая безопорной ДУТ при r = 0,4 м Fт = 1876 кН

(266)

Небаланс движущих сил в пределах точности расчета ≤ 0,5%. Оба варианта БДУ обеспечивают одинаковую скорость движения судна со значительным уменьшением затрат энергии на работу этого же транспорта с проектной опорной движительной установкой. При заданном значении движущей транспорт силы Fд, которая определяется зависимостью: Fд = φ(R), где R – сила сопротивления движению транспортного средства, определяемая при проектировании или в приближенных расчетах находится по (250), а Fд – по (252). Изменение кривизны КРК (радиуса канала) как следует из (264) влияет в прямо пропорциональной зависимости на массовый расход рабочего тела, т.е. на затраты энергии при дви-

‫٭‬199‫٭‬

жении транспорта, на потребляемую мощность движительной установки, на расход топлива и на издержки эксплуатации, а Также прямое негативное влияние на экологию природной среды. В рассмотренном примере при полной ходовой нагрузке (расчетной мощности движения судна в варианте его работы с опорной системой движения О-ДУТ), мощность равна 35 000 кВт. При работе этого же судна, при прочих равных условиях, расходуемая мощность равна мощности потребляемой гидросистемой, главным ее потребителем – высоконапорным центробежным насосом с мощностью 500 кВт. Сопоставление затрат энергии на движение транспорта, показывает, что работа судна с Б-ДУТ расходует в десятки раз меньше топлива, чем при работе с опорной движительной установкой. Такое значительное повышение экономичности работы БДУ связано с применением более простой и малозатратной технологии преобразования энергии. Основные теоретические и конструктивные решения, т.е. «источники» повышения экономичности приведены в § 71.

§ 71. Основные преимущества и недостатки безопорного движения транспорта

Безопорное движение транспорта (БДТ) является принципиально новым, практически не изученным, опытным путем подтверждаются только ведущие основные технологические процессы, связанные с преобразованием энергии и возможностью движения в заданном направлении, наблюдаемые в активных ступенях турбин. Но даже при крайне малых сведениях о БДТ, можно отметить некоторые общие, важные преимущества и недостатки безопорного движения транспортных средств. К преимуществам относятся: возможность организации самотягового движения транспорта за счет использования внутренней, инерционной природы силы, движущей транспорт, за счет регулируемой центробежной силы. Развиваемая эффективная мощность равна:

‫٭‬200‫٭‬

Ne = Мкрω = Frω = FU, кВт Здесь Мкр – крутящий момент, Дж; ω – угловая частота, с-1; F – центробежная сила, Н; r – радиус (плечо), м; U – скорость потока рабочего тела в КРК, м/с. Крутящий момент и окружная скорость U зависят от величины радиуса, мощность зависит от произведения F∙r и ­изменяется пропорционально скорости U в первой степени, а движущая транспорт сила (центробежная) изменяется пропорционально второй степени скорости (U2). Следовательно, при увеличении скорости рабочего тела в КРК в два раза мощность центробежного насоса увеличится также в два раза, а движущая транспорт сила увеличивается в четыре раза, создавая значительную экономию энергии на движение транспортного средства:

U2 F =m r

,

здесь m – масса жидкого рабочего тела. Из этого отношения видно, что скорость U играет роль постоянно работающего рычага, механизма, с помощью которого можно регулировать прикладываемую к рычагу силу. Работа (механическая) совершается, как известно, под действием силы, перемещающей тело. С помощью непрерывно действующего рычага с плечом, равным радиусу r, можно менять центробежную, т.е. движущую силу и тем снижать затраты энергии на работу движения. Энергия расходуется только при совершении работы, при взаимодействии с силами сопротивления. Поэтому, если совместить по времени и технологии два рабочих процесса: генерирование движущей транспорт силы и одновременно ее передачу рабочим телом непосредственно транспортному средству в качестве тяговой силы, то потери энергии в промежуточных

‫٭‬201‫٭‬

звеньях (в трансмиссии, т.е. в системе энергопередачи от двигателя к движителю и от движителя к транспортному средству) в БДУ не имеют места, просто отсутствуют, отсутствуют и материальные затраты на промежуточную систему энергопередачи. Отсутствуют дорогостоящие тепловые двигатели и системы, их обслуживающие, потребление топлива. Динвенсорные двигатели могут использоваться в механоэлектроэнергетике. В качестве рабочего тела в БДУ используется жидкость (вода), которая имеет высокую плотность (удельную массу), т.е. имеет высокую энергоемкость и, следовательно, малые габариты. Кроме того, работа подвода потенциальной энергии к жидкому рабочему телу – повышение его давления – по сравнению с газообразным рабочим телом во много раз меньше затрачиваемой работы на его сжатие, так как жидкость – мало сжимаемая среда. Например, на сжатие (повышение давления) газа в газотурбинных установках в среднем расходуется до 75% мощности ГТУ. Сегодня экологическая обстановка требует от создателей механизированной транспортной техники применять технологические процессы с минимальным нарушением природной среды (по выбросу тепла, вредных газов и др.) во всех сферах деятельности человека. Этому требованию в большой мере отвечает технология безопорного движения (предельно мало сжигается топлива на производство транспортной работы). К недостаткам безопорного движения относятся: установка на транспортном средстве дополнительного оборудования в виде емкостей для жидкого рабочего тела (расходно-сбросного бака), что несколько усложняет компоновку движительной установки. Наличие свободной поверхности в баке будет негативно влиять на устойчивость транспорта, так как при изменении скорости движения при поворотах, подъемах и спусках на трассе (это относится только к автотранспорту), жидкость в баке будет менять центр тяжести, по инерции будет смещаться в противоположную сторону изменения вектора движения. При эксплуатации автотранспорта в зимнее время, особенно в северных районах, необходимо предусматривать защиту

‫٭‬202‫٭‬

гидравлической системы движительной установки от замораживания рабочего тела (воды), появления льда в системе и временного вывода транспорта из рабочего состояния. но эта проблема – решаемая. Безопорная технология позволяет значительно сократить расход топлива, оставляя его для химических технологий

‫٭‬203‫٭‬

ЛИТЕРАТУРА 1. Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1986.

2. Бухонцев Б.Б., Климеонтович Ю.Л., Мякишев Г.И. Физика, механика. – М.: Просвещение, 1971.

3. Андрющенко А.И. Основы технической термодинамики реальных процессов. – М.: Высш. школа, 1975.

4. Гончаревич И.Ф. На гребне волны (способы перемещения в природе и технике. – М.: Наука, 1989.

5. Исаев С.И., Миронов Б.М., Никитин В.М., Хвостов В.И. Основы термодинамики, газовой динамики и теплопередачи. – М.: Машиностроение, 1968.

6. Гречко Н.Ф. Способ гидродинамического движения и управления судном. Украина. Патент 58013А на изобретение, 15.07.2003.

7. Щегляев А.В. Паровые турбины. – М.: Энергия, 1967.

8. Яблоков Л.Д., Логинов И.Г. Паровые и газовые турбоустановки. – М.: Энергоиздат, 1988.

‫٭‬204‫٭‬

Содержание ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5 ГЛАВА 1. МЕХАНИКА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 10 § 1. Общие сведения 10 § 2. Агрегатное состояние вещества 12 § 3. Понятие о физическом законе 14 ГЛАВА 2. КИНЕМАТИКА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 17 § 5. Система отсчета. Движение поступательное и вращательное 17 § 6. Движение точки. Координаты. Радиус-вектор 18 § 7. Сложение векторов 21 ГЛАВА 3. СКОРОСТЬ 23 § 8. Перемещение 23 § 9. Скорость движения 26 § 10. Кинематическая связь функций координат со скоростью точки 29 § 11. Классификация скоростей движения тела 31 § 12. Нахождение закона движения точки по равномерной скорости 32 § 13. Ускорение 34 § 14. Нахождение скорости по ускорению 36 § 15. Нахождение скорости при равнопеременном движении 37 § 16. Законы движения точки при равнопеременной скорости 38 § 17. Уравнение траектории 41 § 18. Вращательное движение 42

‫٭‬205‫٭‬

§ 19. Тангенциальное и нормальное ускорение 45 ЗАДАЧИ 49 ГЛАВА 4. ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 53 § 20. Закон инерции 54 § 21. Понятие силы 56 § 22. Второй и третий законы Ньютона 57 § 23. Массы. Массовый расход. Плотность 59 § 24. Сила. Сложение и разложение сил 64 § 25. Сила упругости 72 § 26. Силы трения 74 § 27. Силы сопротивления при движении твердых тел в жидкостях и газах 75 § 28. Трение качения 76 § 29. Роль колеса при перемещении груза 78 § 30. Разложение силы на две составляющие силы, приложенные в одной точке 80 § 31. Силы при вращательном движении 81 § 32. Равномерное движение материальной точки по окружности 83 § 33. Силы, поддерживающие равномерное движение материальной точки по окружности 84 § 34. Неравномерное движение тела по окружности. Момент силы. Правило моментов 86 § 35. Момент инерции 91 § 36. Центростремительная сила 94 § 37. Центробежная сила 95 § 38. Силы инерции 96 § 39. Неинерциальные системы отсчета, движущиеся пря-

‫٭‬206‫٭‬

молинейно с постоянным ускорением, и системы с равномерно вращающимся движением 98 § 40. Практическое использование центробежных сил 102 ГЛАВА 5. ЭНЕРГИЯ, ТЕПЛОТА, РАБОТА 108 § 41. Энергия 108 § 42. Внутренняя энергия термодинамической системы 111 § 43. Теплота 115 § 44. Работа и теплота в равновесных процессах 119 § 45. Работа и теплота в термодинамическом процессе 120 § 46. Первый закон термодинамики 123 § 47. Теплоемкость 125 § 48. Закон Джоуля 129 § 49. Энтальпия 129 § 50. Схема расчета термодинамического процесса 135 § 51. Вычисление изменений функций состояния 137 § 52. Вычисление количества теплоты и работы в термодинамических процессах 138 ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ГАЗОДИНАМИКИ 145 § 53. Основы динамики сжимаемой жидкости 145 Термины и определения 145 § 54. Основные уравнения движения сжимаемой жидкости

147 4. Уравнение сохранения энергии в термической форме

150 § 55. Применение первого закона термодинамики к открытым термодинамическим системам 154 § 56. Работа пара (газа) на рабочих лопатках турбинной ступени 158

‫٭‬207‫٭‬

§ 57. Влияние рабочего тела на удельную мощность турбоустановки 161 § 58. Газотурбинная установка с комбинированным рабочим телом 162 ГЛАВА 7. СИЛА, РАБОТА, ЭНЕРГИЯ 164 § 59. Сила 164 § 60. Работа 165 § 61. Кинетическая энергия 168 § 62. Потенциальная энергия 170 § 63. Закон сохранения энергии в механике 173 § 64. Влияние трения на закон сохранения энергии 175 § 65. Мощность 175 ГЛАВА 8. БЕЗОПОРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТРАНСПОРТА 178 § 66. Физические основы безопорного движения транспортных средств 178 § 67. Принцип работы транспортных средств при безопорном движении 181 § 68. Эффективность безопорного движения транспорта

184 § 69. Методика расчета экономичности работы безопорной движительной установки 186 § 70. Пример. Расчет эффективности работы транспортного средства с безопорным движением 192 § 71. Основные преимущества и недостатки безопорного движения транспорта 199 ЛИТЕРАТУРА 203

Наукове видання (російською мовою)

Професор, доктор технічних наук ГРЕЧКО Миколай Пилипович

БЕЗОПОРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ

Верстка П. Бондарчук Підписано 15.09.2012 Формат 60х84 1/8 Гарнітура TimesNewRoman. Друк офсетний. Фіз. друк. арк. 17,4. Ум. друк. арк. 16,26. Наклад 300 прим. Зам. № 88-07 Видавничо-поліграфічне підприємство «Друкарський дім» Свідоцтво ДК №1732 від 29.03.2004. Одеса, вул. Садова, 3. Тел.: 32-82-04 E-mail: p_dom@tvweek.odessa.ua