Soluciones problemas de cálculo vectorial

Problema 1 (Solución) a normal al plano P y otro vector  1. Sea un vector  b que forma un ángulo α con el 2 a . Demostrar que se verifica la siguiente relación: a b   × a  ×b =−a Proy P  

Para resolver este problema de forma cómoda es necesario elegir “de forma conveniente

los ejes de coordenadas”.

Tomaremos los ejes tal y como se muestran en la figura.

Del gráfico se desprende que el vector

a expresado en función de los vectores unitarios es: el vector

a =a z k ; de forma análoga 

 b , se puede expresar como:

 b=b x i b z  k .

Empecemos por calcular el valor de lado izquierdo de la relación que tenemos que demostrar:

∣ ∣ ∣ ∣

i  a × b = 0

j k 0 a z =a z b x j

bx 0 bz Continuando con el cálculo: i a ×  a ×b = 0 

j 0

0 az bx

 k 2 a z =−a z b x i Como el vector a sólo tiene una componente, su 0

módulo es igual a su componente, por tanto se concluye que:

a ×  a ×b=−a 2 b x i 

Por otra parte, la proyección del vector b sobre el plano P es justamente la componente sobre el eje X del vector b, y en consecuencia, la relación queda demostrada, es decir: Proy  P   b=b x i

Problema 2 (Solución) 2. Hallar el valor de m para que los siguientes vectores sean coplanarios: a =2 i −j  k ,  b=i 2 j−3 k y c =3 i m j5 k  Para resolver este problema debemos tener claro los conceptos de producto escalar y vectorial de dos vectores: si los tres vectores son coplanarios deben estar en el mismo plano, pues bien, si calculo el producto vectorial de dos vectores, el vector resultante debe ser perpendicular al plano formado por ambos vectores y en consecuencia, debe ser perpendicular al vector que no he utilizado; si calculo el producto escalar del vector obtenido del producto vectorial con el que no he utilizado, debo obtener cero, ya que son perpendiculares ( se recuerda que el producto escalar de dos vectores es cero si son perpendicuales ) Empecemos calculando el vector que resulta de multiplicar vectorialmente los vectores a y b:

∣

∣

 i j k  a × b= 2 −1 1 =i 7 j5 k  1 2 −3 A continuación calcularemos el producto escalar de este vector por el vector c, sabiendo que el resultado debe ser cero, es decir:  i 7 j 5  k ⋅3 i m j5 k =0

⇒ 37 m25=0

⇒ m=−4

Problema 3 (Solución) 3. Descomponer un vector v dirigido según unidades según las direcciones a =i j ; b=j   k ;  c = k i

i jk y módulo  27 de los vectores