Movimiento armonico simple by Pedro Buitrago

ESCUELA NORMAL SUPERIOR ANTONIA SANTOS PUENTE NACIONAL 2007 MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Movimiento armónico simple: Movimiento producido por una fuerza recuperadora, donde la fuerza recuperadora es variable tanto en magnitud como en dirección. Ley de Hooke:

F = - K.X

E1. Qué fuerza se debe hacer sobre un resorte

para deformarlo 20 cm, si

sabemos que al suspender una masa de 2 Kg, sufre una deformación de 45 cm? Datos: x = 20 cm; m = 2 Kg ⇒

K = ?

Si x2 = 45 cm = 0,45 m F=? F = K.X (1) Ayuda:

K.X = m.g

equilibra a K = m.g/x;

P = m.g (2) a) Halle K

b ) Halle F

Preguntas: 1. ¿Cual es el significado del signo - en la ecuación de Hooke? 2. Si tomas un resorte, es posible que determines la constante de elasticidad? Si la respuesta es afirmativa, indica los pasos a seguir. Pregunta tomada de lasa Pruebas Icfes:

Dos láminas delgadas de masas m cada una están sujetas por medio de un resorte de constante K y longitud natural l. El sistema se coloca entre dos paredes separadas una longitud L/2 como se indica en la figura. El coeficiente de fricción estático entre cada una de las láminas y la pared es µ . El sistema está en equilibrio. (Nota: Desprecie el efecto de la gravedad sobre el resorte. Las láminas se cambian por otras de igual material pero masas M cada una. El valor máximo de M para que las láminas no deslicen hacia abajo es

µ.k .l 2g

B. m.µ

.k .l 4g

Análisis para determinar la respuesta. 1. Se pregunta sobre la máxima masa que se puede sostener con el resorte como lo indica la figura. Por lo tanto la unidad de medida de la respuesta debe corresponder a masa (gr, Kg, lb, onzas,..etc) 2. La unidad de medida de K es N.m; µ no tiene unidades, por lo tanto las respuestas A y C tienen las mismas unidades de medida.

N  . m  m  m = 2  seg 

 Kg . m 2  seg    m  = Kg 2  seg 

3. Las respuestas B y D por estar en función de m tienen unidad Kg. Lo anterior no nos permite descartar respuesta alguna. 4. Puesto que existe un reemplazo de las masas iniciales m por las láminas de masa M, entre las cuales no existe relaci{on, podemos descartar las respuestas B y D. 5. El análisis de los vectores libres correspondientes a las fuerzas que se dan en el sistema, teniendo en cuenta que se encuentra en equilibrio, es decir que las masa no se desplazan, basta con resolver el sistema para una sola masa M.

6. fr : Fuerza de rozamiento entre la pared y la lámina. P : Peso de la lámina. Luego:

⇒ fr = M.g, luego µ.N = M.g despejando N,

. fr = P = M.g

N =

M .g



Además: F R = N = k.X  Como F R = K.X

Reemplazando en :

Tenemos:

M .g

x = L/2

entonces:

= k. L/2

N = k. L/2 reemplazando a N, según k .L despejando a M, tenemos: 2

M =



µ.k .L 2g

Que corresponde a la respuesta A. RESORTES UNIDOS EN SERIE Y EN PARALELO En paralelo En serie K=

k 1. k 2 k1 + k 2

K = K 1 + k2

La constante de elasticidad de un sistema de resortes unidos en serie, de constantes de elasticidad k1 y k2 está dada por: K = k1.k2 /(k1 + k2) La constante de elasticidad de un sistema de resortes unidos en paralelo, de constantes de elasticidad k1 y k2 está dada por:

K = k 1 + k2 E.2

Un sistema de resortes, unidos en serie, de constantes de elasticidad k 1 =

0,8 N/m y

0,6 N/m se deforma 20 cm. Que fuerza, recuperadora, ejerce el

resorte? Datos: k1 = 0,8 N/m y 0,6 N/m x= 20 cm.

F=?

Soluci贸n: Sabemos que

F = - K.x

pero existe un sistema de resortes en serie, los dos se

comportan como un solo resorte pero con constante de elasticidad

k 1. k 2 , por lo k1 + k 2

tanto es necesario hallar primero el valor de la constante de elasticidad, resultado del sistema conformado por los resortes.

N N 0,6 m m K= N N 0,8 + 0,6 m m 0,8

N2 m2 K= N 1,4 m 0,48

k = 0,34 N/m

Ahora procedemos a determinar el valor de la fuerza ejercida por el resorte: F = - kx

E.3

entonces,

F = - (0,34 N/m) .(0,2 m)

luego

F = - 0.068 N

Un bloque de 4 Kg de masa se comprime contra un resorte de constante de

elasticidad 8 N/m. Cuando el resorte se ha comprimido 12 cm se deja libre de tal forma que la masa salga disparada. Si suponemos que no existe rozamiento entre la superficie y el bloque, calcular: a) La fuerza ejercida por el resorte en el momento de dejar libre la masa.

b) La aceleración que experimenta la masa. c) La velocidad que adquiere y la distancia recorrida a los 5 seg. De dejar el resorte. Solución:

F = K.x

F = 8 N/m.0,12m = 0,96 N.

F = m.a

a = 0,96 N/ 4 Kg = 0,24 m/seg 2

Vf = Vi + a.t

Vf = 0 + 0,24 m/seg2. 5 seg

X = Vi .t + ½.a.t2

X = ½.0,24 m/seg2.(5 seg)2

Vf = 1,2 m/seg = 0,12*25 m

X= 3m TERMINOS ASOCIADOS AL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Oscilación: movimiento de la partícula hasta regresar a su posición inicial. Periodo, frecuencia, punto de equilibrio: punto donde la fuerza recuperadora es nula. Puntos de retorno, elongación, amplitud. Elongación:

X = A. Cos W.t

W = 2.π/ T

V = - A.W. Sen W. t

a = - A.W2. Cos W. t

Para determinar la velocidad de un péndulo, conociendo la amplitud, la elongación y el periodo, se aplica la ecuación:

V = ±w. ( a 2 − x 2 )

E.4 Deducción de la ecuación anterior: Ecuación de la elongación: x = A. Cos W.t

Ecuación de velocidad:

(1)

V = - A.W. Sen W. t

(2)

Observará, que se tienen dos ecuaciones de primer grado, por lo tanto para trabajar con ellas podemos aplicar uno de los métodos de solución de sistemas de ecuaciones: Igualación, reducción, determinantes…etc. En este caso en las ecuaciones aparecen las funciones seno y coseno las cuales desaparecen en la ecuación final, ello me permite pensar que en alguna parte se debe aplicar una identidad trigonométrica, posiblemente Sen 2A + Cos2 A = 1. Entonces procedemos a elevar las dos ecuaciones al cuadrado: X2 = A2. Cos2 W.t

(1)

V 2= A.2W2. Sen2 W.

t (2)

A la primera ecuación la multiplicamos por w 2 y obtenemos: x2 .W2 = W 2A2 . Cos2 W.t

(1)

V2 = A2 .W.2 Sen2 W.t

(2)

Sumando miembro a miembro, los miembros izquierdos y los miembros derechos de la igualdad, tenemos:

X2 .W2 =

A2 .W.2 Sen2 W.t + W 2A2 . Cos2 W.t

Factorizando el Segundo miembro de la igualdad, se tiene: V2

X2 .W2 = W 2A2 ( Sen2 W.t + Cos2 W.t )

Aplicando la primera identidad pitagórica, obtenemos: V2

X2 .W2 = W 2A2*1

Despejando

V2 ⇒

V2 = W 2A2 - X2 .W2

Factorizando en el segundo miembro: V2 = W 2 ( A2 - X2 )

Despejando v ⇒

V = ±w. ( a 2 − x 2 )

EJERCICIOS. E.5 Qué fuerza se debe ejercer sobre un resorte de constante de elasticidad 8 N/m, para deformarlo 25 cm? E.6 La aguja de una máquina de coser tiene aproximadamente un M.A.S y realiza 40 ciclos en 5 segundos, calcular: a.

La frecuencia de la aguja.

b. El periodo de la aguja.

E.7 Enuncie el periodo y la frecuencia de dos eventos o fenómenos.

E.8 Enuncie Y DESCRIBA tres eventos o fenómenos de la naturaleza de los cuales se pueda hablar de periodo y frecuencia.

Un movimiento armónico simple tiene la característica de poderse explicar en términos de una función senoidal. Las ecuaciones que expresan la elongación ( posición), la velocidad en cualquier instante y la aceleración se presentan en la página 2. Tenga en cuenta que W expresa la velocidad angular de la partícula y que W = 2π / T. E.9

Si una partícula oscila con M.A.S. de 10 cm de amplitud ( A), hallar la elongación

( y), su velocidad ( v ) y la aceleración ( a ) 0,5 segundos después de iniciado el movimiento sabiendo que su periodo es de T = 1,8 segundos.

E.10

Hallar el periodo de una masa de 0,5 Kg atada a un resorte de constante de

elasticidad K = 2 N/m. E.11

Determinar el periodo de una masa de 1 Kg atada al mismo resorte del ejercicio

anterior. E.12 Que sucede con el periodo al aumentar la masa? Qué pasaría con el periodo si la masa disminuye? E.13.

Cuál es el periodo de un péndulo simple de 1 m de longitud en el ecuador terrestre

donde la g = 9,8 m/seg2 y cuál es el periodo del mismo péndulo si se lleva al polo norte donde la g = 10,2 m/seg2 ¿ E.14. El péndulo se atrasa o se adelanta en el polo norte?

E.15 Qué sucede con el periodo de un péndulo cuando aumenta y disminuye la longitud de dicho péndulo?

************************************* Recordemos que en el movimiento uniforme: v =

W =

2.π. Rad T

W =

θ. t

d 2.π .R ⇒ vl = t T

vl =

θ t

⇒ θ = W .t

Deducción de la ecuación de elongación, a partir de la proyección del movimiento circular: Recordemos que: Cosθ se define como cateto adyacente ( x ) sobre hipotenusa que es el radio y que corresponde a la vez a la Amplitud ( A), a partir de la definición de coseno aplicado al ángulo y teniendo en cuenta que la velocidad angular W se define como el ángulo barrido en la unidad de tiempo, se obtiene la ecuación correspondiente a la elongación. Cosθ =

x 2π ⇒ x = A.Cosθ ⇒ x = A.CosWt ⇒ x = A.Cos .t A T

Senθ = −

Vx 2π 2π ⇒⇒ V x = −W . A.SenW .t ⇒ V x = − . A.Sen .t W .A T T

Cosθ = −

ax 2π ⇒ a x = −a c .CosWt ⇒ a x = −W 2 A.CosWt ⇒ a x = −W 2 A.Cos .t ac T

Analice cada una de las gráficas, empiece por determinar cuales son las magnitudes que se relacionan en ella. Observe y verifique con un péndulo los cambios presentados a través del tiempo de la magnitud registrada en el eje vertical.

DESARROLLO ANALITICO

1. Una masa acoplada a un resorte vibra con una amplitud de 3 cm y con un periodo de π segundos, calcular la máxima velocidad y la máxima aceleración adquirida por la masa. Solución: 2π A T

Vmáx = ? ⇒Vmáx = W . A

Vmáx =

a máx = ? ⇒ a máx = W 2 . A

a máx = (

a máx = 12

2.π

Vmáx =

2π 3cm π.seg

a máx =

) 2 .3.cm

Vmáx = 6

cm Seg

4 .3.cm Seg 2

cm seg 2

2. El movimiento de una partícula, se rige bajo la ecuación: x = 4.Cos10t. Cuál es el valor de

A=¿ W=¿

T= ¿

y la

f=¿

Solución: Comparando la ecuación dada con la ecuación de elongación: x = 4.Cos10t podemos deducir, que:

x = A. Cos Wt A = 4 cm;

W = 10 seg -1 , a continuación 2π 2.π ⇒T = T W

procedemos a sustituir el valor de W. Puesto que

W =

reemplazando el valor de W, tenemos que:

T =

seg.

2.π 10seg −1

T = 0,62

Puesto que el valor de la frecuencia f, es inverso al periodo, podemos aplicar la f =

ecuación: a)

Vmáx = ?   ⇒ Vmáx = W . A

Vmáx =

1 1 Ciclos ⇒⇒ f = ⇒⇒ f = 1,59 T 0,62 seg Seg

2.π

Entonces: Vmáx = T .4cm = 0,62 seg * 4cm

8.π cm .cm = 40,51 0,62 seg seg

a máx = (

2.π 2 ) .A T

a máx =

4.π 2 4 * 9,86 * 4cm .4cm = 2 (0,62 seg ) 0,384 seg 2

39,43 * 4cm cm = 410,39 2 0,3844 seg seg 2

FUERZA RECUPERADORA DE UN RESORTE La aceleración de una partícula animada de movimiento armónico simple, se rige por el modelo: a = - w2 . x Según la ley de Hooke, la fuerza ejercida por un resorte está dada por: F = - K.x, donde K es la constante de elasticidad del resorte y x representa la deformación, (Longitud que se estira o que se encoge el resorte). La segunda ley de Newton o ley del movimiento, nos dice que F = m.a

Aplicando el método de igualación para las dos ecuaciones de F, tenemos que:

despejando la aceleración, tenemos: a = −

- K.x, = m.a

k *x m

La aceleración, cuando no es máxima, está dada por a = -w 2.x

Igualando, tenemos: −

reemplazando a:

⇒

k = m.(

2.π 2 ) T

k . x = −w 2 . x , cancelando x, se obtiene m

−

k = −w 2 . m

2.π T

⇒

despejando a T, se obtiene:

k = m.

4.π 2 T2

T = 2.π

⇒ T2.k = 4.π2 .m de donde

m k

Ejercicio. De la ecuación del periodo de una masa suspendida de un resorte, se puede deducir que: a. El periodo es (directa, inversamente) proporcional a la raíz cuadrada de la masa. b. El periodo es (directa, inversamente) proporcional a la raíz cuadrada de la constante de elasticidad del resorte. c. A mayor masa (mayor, menor) periodo. d. A menor masa (mayor o menor) el valor de la constante de elasticidad. Es de suma importancia que Ud., verifique paso a paso la deducción de las ecuaciones, lo cual le da destreza en procesos analíticos.

E.1 Hallar el periodo de una masa de 150 gr suspendida de un resorte de constante de elasticidad 0,8 N/m. Solución m = 0,15 Kg

K = 0,8 N/m

T =¿

Reemplazando los datos en la ecuación,

N = Kg .

m seg 2

T = 2.π 0,1875.seg 2

T = 2.π

0,15Kg N , reemplazando 0,8 m

⇒ T = 2*3,14*0,433 seg ⇒ T = 2,72

seg E.2 Compruebe los datos de la tabla, haciendo uso de la ecuación de periodo de un resorte, cuando de el se suspende una masa. d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 0,2 0,5 0,8 1 1,5 0,1 1,5 1,5 1,5 1,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,4 0,2 1 2 3,97 6,28 7,95 8,89 10,88 2,81 12,17 17,207 7,7 5,44

m(kg) K(N/m) T (seg)

d1,d2,d3,…(dato n) representan el encabezado de los datos de la tabla.

Periodo T

Periodo Vs Constante 20

Analice la gráfica Periodo contra K, a

partir de los datos de la tabla.

10 5 0 1

4 5 6 7 Constante K

m(kg) K(N/m) T (seg)

1,5 1,5 0,5 0,6 10,9 9,9

1,5 0,7 9,2

1,5 1,5 0,8 0,9 8,6 8,11

1,5 1,5 1,5 1 0,4 0,3 7,7 12,167 14,05

1,5 0,2 17,2

1,5 0,1 24,3

Analice los cambios en la tabla de

Periodo Vs elasticidad ( T - K )

datos y los cambios en la grรกfica.

30 Periodo T

25 20 15 10 5 0 1

Elasticidad K

Periodo de una masa que oscila suspendida de una cuerda. Observe en la grรกfica las fuerzas que se ejercen

sobre

masa

suspendida.

Haciendo uso adecuado de los elementos presentados en la grรกfica, se obtiene la ecuaciรณn

del

periodo

oscilantes, dada por:

T = 2.ฯ

L g

masa

Analice el cambio de periodo a medida que varían la constante de elasticidad del resorte y la masa suspendida del mismo y presente una conclusión y compruebe si los datos de la tabla son correctos. E.3

Laboratorio: Haciendo uso de la ecuación de periodo de una masa

suspendida de una cuerda, hállese el valor de la gravedad en el laboratorio. Aplique las nociones básicas de estadística para obtener un dato confiable. EJERCICIOS. 1. Que fuerza debe ejercerse sobre un resorte de constante de elasticidad 5 N/m, para deformarlo 10 cm? SOLUCIÒN Datos: K = 5 N/m

x = 10 cm = 0,1 m

F = -kx entonces, F = - 5 N/m*0,1 m

F=¿

⇒ F = - 0,5 N.

2. Una masa de 5 Kg se suspende de un resorte de elasticidad de 12 N/m, que tanto se deforma? SOLUCIÒN Datos: K = 12 N/m

F = -kx entonces,

x=¿

x =−

F k

m = 5 Kg

⇒

x =−

mg k

5Kg * 9,8

⇒

x=− 12

N m

m seg 2

⇒

x=−

49 N / 1 ⇒ X = 4m N 12 m

3. A partir de la gráfica del movimiento de un péndulo, y analizando los puntos extremos y el punto medio o punto de equilibrio, determine la gráfica de cambio de la energía potencial, la energía cinética, la velocidad y la aceleración de la masa suspendida de la cuerda.

Recuerde que en los puntos de retorno la Velocidad de la masa oscilante es mínima, es decir que Vc = Vb = 0; que en dichos puntos la aceleración es máxima ab = ad = amáx , tenga en cuenta que existe una diferencia, la cual consiste en el sentido y dirección tanto de la velocidad como de la aceleración.

La velocidad máxima se consigue en el punto más bajo de la caída del péndulo, es decir en C. Teniendo en cuenta esos datos, trate de dibujar el gráfico que

representa el cambio tanto de energía potencial como de energía cinética.

LABORATORIO No

T = 2.π

M.A.S

L g

Objetivos: - Determinar el periodo del movimiento pendular. - Verificar las leyes del péndulo. Materiales: 1 Tornillo de mesa, 1 varilla soporte, 1 nuez, 1 cronómetro, 1 mordaza, hilo, 1 esfera y paciencia. Procedimiento: 1. Observe detenidamente el montaje presentado. 2. Desarme y vuelva a armar. 3. Poner en movimiento el péndulo. Tenga en cuenta que el movimiento se realice en un solo plano. 4. Analice cuidadosamente los elementos y términos del M.A.S haciendo uso del material presentado. 5. Analice con el grupo como determinar, con la mayor precisión, posible el periodo del movimiento. 6. Suelte ligeramente la mordaza y mientras el péndulo se encuentra en movimiento, aumente o disminuya la longitud de la cuerda. 7. Tabule el periodo para 5 longitudes de cuerda, según las indicaciones dadas. 8. ¿Que conclusión (es) se deduce (n) de la experiencia? 9. Analice la experiencia del montaje de varios péndulos con un soporte común y presente sus conclusiones.

Guía para la toma de datos, la precisión de la toma de datos es fundamental para los cálculos solicitados:

Longitud del péndulo 10 cm 1. Con ayuda del cronómetro tome el tiempo, periodo, de un ciclo. Tómese 6 registros, en lo posible uno por cada estudiante del grupo. Estad. E.1 Periodo(seg)

E.2

E.3

E.4

Halle la media aritmética de estos registros:

E.5

E.6

T m1 = ______.

2. Ponga en movimiento el péndulo y observe si se realiza en un solo plano, si es así inicie el cronometraje de 10 oscilaciones y determine el periodo medio de una oscilación. Tm2 = _______ 3. Determine el valor de la gravedad en el laboratorio, primero con el primer promedio y luego con el segundo promedio y presente: T = … g =… 4. Halle la media aritmética de los dos promedios anteriores, es decir:

Tm =

Tm1 +T m 2 2

Determine la gravedad con este Nuevo promedio, determine T = … y g =… con los primeros datos y presente una conclusión. Para mayor facilidad, un miembro del grupo pasara los datos al computador, en el programa Excel, y en las celda indicadas digita los datos obtenidos para finalmente evaluar el trabajo del grupo, tenga en cuenta que cada miembro del grupo participa positiva o negativamente en la valoración del grupo. Prof: Lic: Pedro P. Buitrago R.