FACULTAD DE INFORMÁTICA Y CIENCIAS APLICADAS ESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS AREA DE MATEMÁTICA
PENSAMIENTO LÓGICO UNIDAD UNO “LÓGICA PROPOSICIONAL” DOCENTE: LIC. BELISARIO CARRANZA
2016
INDICE
OBJETIVOS .................................................................................................................... ii OBJETIVO GENERAL ....................................................................................................... ii OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................................ ii 1.
LÓGICA. CONCEPTOS BÁSICOS E INTRODUCCIÓN A LA ASIGNATURA. ..................... 1 1.1. DEFINICIÓN ETIMOLÓGICA...................................................................................... 2
2.
DEFINICIONES DE PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS. ................................. 2 2.1. CLASE DE PROPOSICIÓN .......................................................................................... 4
3.
SIMBOLIZACIÓN DE PROPOSICIONES Y DE TERMINOS DE ENLACE........................... 5
4.
PROPOSICIONES Y TERMINOS DE ENLACE. ............................................................. 6
5.
OPERADORES LÓGICOS BASICOS (TABLAS DE VERDAD) .......................................... 7
6.
NEGACIÓN, CONJUNCIÓN, DISYUNCIÓN................................................................. 9 6.1. LA NEGACIÓN .......................................................................................................... 9 6.2. LA CONJUNCIÓN .................................................................................................... 10 6.3. LA DISYUNCIÓN ..................................................................................................... 11
7.
TABLAS DE VERDAD Y APLICACIONES. ................................................................... 14
8.
OPERADORES LÓGICOS DERIVADOS CONDICIONAL Y BICONDICIONAL ..................... 18 8.1. EL CONDICIONAL. .................................................................................................. 18 8.2. EL BICONDICIONAL. ............................................................................................... 19 8.3. LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL. .................................................................. 20
9.
EQUIVALENCIAS LÓGICAS (≡) ................................................................................ 21
10. TAUTOLOGIAS Y CONTRADICCIONES. .................................................................... 23 10.1. TAUTOLOGÍA: ...................................................................................................... 23 10.2. CONTRADICCIÓN. ................................................................................................ 24 11. REGLAS DE INFERENCIA. INFERENCIAS VÁLIDAS Y NO VÁLIDAS.............................. 25 11.1. VALIDEZ DE ARGUMENTOS ................................................................................. 27 BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................. 31
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Definir el concepto de lógica, proposiciones simples y compuestas, las clases de proposiciones, las tablas de verdad, la negación, la conjunción y la disyunción, asimilando los conceptos de condicional y bicondicional a través de las leyes del algebra proposicional, definiendo la tautología y las contradicciones, las reglas de inferencia y los circuitos lógicos.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Definir el concepto de lógica, proposiciones simples y compuestas, así como también las clases de proposiciones. Conocer y poner en práctica las tablas de verdad, en que consiste la negación, la conjunción y la disyunción. Asimilar en que consiste el condicional y el bicondicional a través de las leyes del algebra proposicional. Definir en qué consiste la Tautología y las contradicciones, las reglas de inferencia y los circuitos lógicos.
ii
Unidad No. 1
Pensamiento Lógico
1. LÓGICA. CONCEPTOS BÁSICOS E INTRODUCCIÓN A LA ASIGNATURA.
En la Vida cotidiana constantemente escuchamos a nuestros alrededores, expresiones como: “es lógico” ó “es ilógico” de lo que dijo o de lo que hizo una persona. Si les preguntamos sobre ¿Qué es la lógica? Podríamos obtener respuestas de diferente índole. Para algunos lo lógico es identificar con lo evidente, lo que una persona debe hacer o no. Lo ilógico es relacionado con lo absurdo, con lo que no tiene sentido, con lo que no debe ser.
Para otros, lo lógico es lo que se presenta con orden, coherencia y lo ilógico es lo que se expresa sin orden sin coherencia, por ejemplo, cuando una persona sólo es blablablá, piensa y habla bonito, pero no actúa según lo que piensa o expresa, afirmamos que es incoherente. Cuando un alumno presenta un trabajo de manera desordenada pasando de un punto a otro y no concluye ninguno decimos que es ilógico.
El estudio de la lógica es fundamental porque nos ayuda a “pensar con mayor corrección, claridad, orden, profundidad e ilación”. Es decir, nos ayuda a la elaboración de pensamientos racionales según las leyes de la recta razón y a ordenar o hilvanar nuestros pensamientos, de tal manera que las conclusiones obtenidas estén relacionas con otros pensamientos. Además, la lógica nos puede facilitar el descubrimiento de la falsedad o veracidad de las argumentaciones que aparentemente se presentan como bien estructurados.
1
Lic. Belisario Carranza
Pensamiento Lógico 1.1.
Unidad No. 1
DEFINICIÓN ETIMOLÓGICA
El término lógica procede del griego “logos” que se traduce por: palabra, expresión, pensamiento, concepto, discurso, habla, razón, inteligencia. Del término “ICA” que significa relacionado a, o relacionado con. Entonces la lógica se puede definir, desde su génesis, como lo relacionado con el pensamiento o la razón.
Algunas definiciones de la lógica:
La lógica estudia la razón como la herramienta del conocimiento. - Jacques Maritain.
La lógica es la ciencia del pensamiento correcto. - Raymond McCall
La lógica es la ciencia de las reglas del racionalismo correcto. - Agazzi, E
La lógica es la teoría formal del razonamiento, el estudio de la argumentación formalmente válida, la ciencia de la inferencia deductiva. -Alfredo Deaño.
La Lógica es el estudio de la estructura de las proposiciones y del razonamiento deductivo. - Pitágoras.
Nuestro enfoque estará en función de la última definición.
2. DEFINICIONES DE PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS.
Enunciado: es cualquier frase u oración que expresa una idea. Proposición: son oraciones aseverativas que se pueden clasificar como verdaderas o falsas, se representan con las letras minúsculas: p, q, r.
2
Lic. Belisario Carranza
Unidad No. 1
Pensamiento Lógico
Ejemplos:
Jesús murió crucificado
9< 10
45 = 3-2
3+5 = 4
El gallo es un pez
Podemos decir: verdadero, verdadero, falso, falso, falso respectivamente. Expresiones no proporcionales: son aquellos enunciados a los que no s eles puede asignar un valor de verdad. Entre ellos tenemos a los exclamativos, interrogativos o imperativos. Ejemplo:
¿Cómo te llamas?
Prohibido pasar
Borra la pizarra
¿Qué hora es?
¡viva la selección!
Observación: toda proposición es un enunciado, pero no todo enunciado es una proposición. Enunciado abierto: son enunciados que pueden tomar cualquiera de los dos valores de verdad. Ejemplo: Si en la proposición: “diez es menor que once” 10<11
Si reemplazamos el número 10 por la letra “X”, se obtiene la expresión: X<11 Entonces, convenimos en que “X” es un número cualquiera, luego el enunciado pude ser falso o verdadero. 3
Lic. Belisario Carranza
Pensamiento Lógico
Unidad No. 1
Los posibles valores de verdad de una proposición se pueden esquematizar en una tabla de la forma:
P
V
P Ó
F
1
0
2.1. CLASE DE PROPOSICIÓN A. Simple o atómica: Son enunciados que están formados, básicamente, por sujeto y predicado. Ejemplo:
Cincuenta es múltiplo de diez.
Ramiro es ingeniero eléctrico.
Ocho es número par.
La UTEC es de El salvador.
B. Compuesta o molecular: formada por dos o más proposiciones simples. Ejemplo:
17 es un número primo y siete es impar
Ingeniero es docente de matemática o coordinador
hoy llueve y ayer hizo sol
Licenciado Belisario no es cantante.
4
Lic. Belisario Carranza
Unidad No. 1
Pensamiento Lógico
Ejercicios: Clasifique los enunciados en simples o compuestos, en el paréntesis: 1. El ingeniero Genaro es coordinador
(
)
2. El 2 ó el 3 son divisores de 48
(
)
3. Mauricio Funes es el presidente de El salvador
(
)
4. El 14 es factor de 42 y el 7 también
(
)
5. El Licenciado Carranza es docente universitario
(
)
6. Si x > 10 entonces 2X-3>16
(
)
3. SIMBOLIZACIÓN DE PROPOSICIONES Y DE TERMINOS DE ENLACE. Denominados conectivos lógicos. Son símbolos que enlazan dos o más proposiciones simples para formar una proposición compuesta.
SIMBOLO
OPERACIÓN LÓGICA
SIGNIFICADO
~ Ó ˥
Negación
No P
˄
Conjunción
P y q
˅
disyunción
P Ó q
→
condicional
Si p entonces q
↔
Bicondicional
P si y solo si q
ΔóṾ
Disminución exclusiva
O…… O….
SIMBOLOS AUXILIARES
( ) Paréntesis
[ ] Corchetes
{ } Llaves
5
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Pensamiento Lógico
Unidad No. 1
Los símbolos auxiliares desempeñan en lógica la misma función que en las matemáticas. En lógica determinan el alcance y la predominación de las constantes lógicas (proporcionales).
4. PROPOSICIONES Y TERMINOS DE ENLACE.
Para realizar la composición de enunciados es necesario enlazarnos mediante los conectivos lógicos: ˥, ˄, ˅, Δ, ↔, →. Para estas las podemos dar mediante una forma verbal y matemática. Ejemplo:
FORMA VERBAL
FORMA MATEMATICA
Ramiro es ingeniero y docente
P˄q
3 es un numero primo o par
P˅q
2 es un numero primo o par
PΔq
Si estudio mucho entonces
P→q
aprobare el ciclo
Seré licenciado en diseño gráfico si
P↔q
y solo si estudio en la universidad
No estudio, pensamiento lógico y
~p ˄ ~q
no seré licenciado en diseño gráfico.
EJERCICIOS: Escriba dos enunciados para cada uno de los términos de enlace (conectores).
6
Lic. Belisario Carranza
Unidad No. 1
Pensamiento Lógico 5. OPERADORES LÓGICOS BASICOS
Los valores de verdad pueden expresarse fundamentalmente de dos formas: F y V ó 1 y 0. La F y el 0 indican Falso y la V y el 1 indican lo verdadero.
El número de combinaciones posibles es de estos, se pueden calcular con la siguiente expresión:
2ᶯ
n= el número de veces de proposiciones
I. Así tenemos: n= 1, tenemos dos valores de verdad.
P
P
V
1 Ó
F
0
En un diagrama de árbol lógico: 1 V P
Ó
F
P
0 7
Lic. Belisario Carranza
Pensamiento Lógico
Unidad No. 1
II. .n= 2, tenemos cuatro combinaciones posibles: 2ᶯ= 2²=4
P
q
P
q
V
V
1
1
V
F
1
0
F
V
0
1
F
F
0
0
Ó
En un diagrama de árbol lógico:
Observación. Podemos sustituir V por 1 y F por 0.
8
Lic. Belisario Carranza
Unidad No. 1
Pensamiento Lógico
III. .n=3, tenemos ocho combinaciones posibles:
2ᶯ= 2³= 8
Ó
p
q
.r
V
1
1
1
V
F
1
1
0
V
F
V
1
0
1
V
F
F
1
0
0
F
V
V
0
1
1
F
V
F
0
1
0
F
F
V
0
0
1
F
F
F
0
0
0
P
q
.r
V
V
V
Realiza tú el diagrama de árbol lógico y para cuando tengamos 4 proposiciones.
6. NEGACIÓN, CONJUNCIÓN, DISYUNCIÓN.
6.1. LA NEGACIÓN Se denota por ~, ˥ y significa lo mismo que la palabra “No” del lenguaje cotidiano. ~, ˥ puede leerse:
a) No p b) No es cierto que p c) Es falso que p 9
Lic. Belisario Carranza
Pensamiento Lógico
Unidad No. 1
Para la negación, podemos establecer dos reglas:
R1: la negación de una proposición es verdadera cuando esta es falsa y viceversa. Es decir, si p es verdadero ~p será falso y si p es falso ~p será verdadero.
R2: dos negaciones sea anulan, es decir ~ (~p) es igual a p.
Ejemplo: “Jennifer no me ama”: ~p, si la negamos nos queda, Jennifer me ama: ~ (~p) = p
Su tabla de verdad es la siguiente:
p
~p
1
0
0
1
Ó
p
~p
V
F
F
V
6.2. LA CONJUNCIÓN
En el lenguaje ordinario la conjunción representa “Y” y en el lenguaje lógico se representa por ˄. Este símbolo se utiliza para unir dos proposiciones simples, conformando proporciones compuestas o moleculares.
Ejemplos:
a) David trabaja en la UTEC y Roberto en la USA p
q
10
Lic. Belisario Carranza
Unidad No. 1
Pensamiento Lógico
Tendríamos:
b)Las salvadoreñas son hermosas y las hondureñas son honestas. p
q
c) El licenciado Carranza es docente y carpintero p
q
Todas se simbolizan por p ˄ q. La validez de esta conjunción puede determinarse mediante la siguiente ley:
“La conjunción de dos proposiciones es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones que la integran y falsa en cualquier otro caso”.
Su tabla de verdad.
p
q
P˄q
V
V
V
6.3. LA DISYUNCIÓN
La disyunción se representa por: Ṿ Ó V, en el lenguaje cotidiano ámbar significan “O”. El símbolo Ṿ representa la disyunción exclusiva y el símbolo V representa la disyunción inclusiva. 11
Lic. Belisario Carranza
Pensamiento Lógico
Unidad No. 1
La Ṿ excluye que pueda existir la posibilidad de una verdad simultanea Ejemplo: 1. Ramiro nació en Usulután Y nació en La Paz, P
q
2. “K” es par Ó “K” es impar. P
Ambas:
q
PṾq
p
Q
P Ṿq
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
Observación: la disyunción exclusiva también se puede representar por Δ
Ejemplo: Ramiro es culpable o inocente Resultará que: p
Q
P Ṿq
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
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Lic. Belisario Carranza
Unidad No. 1
Pensamiento Lógico
1) Es falso si Ramiro es culpable e inocente. 2) Es verdadero si Ramiro es culpable y no es inocente. 3) Es verdadero si Ramiro no es culpable y es inocente. 4) Es falso si Ramiro no es culpable y no es inocente.
LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA
El valor de verdad de esta disyunción determina mediante la siguiente ley: “La disyunción de dos proposiciones es falsa cuando ambas son falsas y es verdadera cuando al menos una es verdadera”.
Ejemplo: José es ingeniero o José es abogado.
Su tabla de verdad: p
Q
P V q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Resultaría que: es verdadero
1) Si José es Ingeniero y José es abogado. 2) Si José es Ingeniero y José no es abogado 3) Si José no es Ingeniero y José es Abogado. 13
Lic. Belisario Carranza
Pensamiento Lógico
Unidad No. 1
Resultaría que: es verdadero 4) Si José no es Ingeniero y José no es Abogado.
Ejercicio: dadas las siguientes proposiciones:
.p: aprobarse el cuerpo del delito .q: aprobarse su culpabilidad en el juicio .r: el homicida será condenado.
TRADUCIR LAS PROPOSICIONES SÍMBOLICAS:
(˥p˄˥q) v ˥r
( p v q) ˅ r
˥(p v q) ˄ ˥ (p ˄ q)
.r ˄ ˥ (p v q)
( r v ~ p) ˄ ~ (q v r).
7. TABLAS DE VERDAD Y APLICACIONES.
Sabemos que las tablas de verdad nos dan las diferentes combinaciones que se pueden dar al usar proposiciones enlazadas por conectivos.
Si queremos la tabla de verdad de: (~ p ˄ ~ q) v r.
Haríamos lo siguiente:
14
Lic. Belisario Carranza
Unidad No. 1
Pensamiento Lógico
Escribiremos las combinaciones básicas de las proposiciones: p
Q
R
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
Le agregamos ~p; ~q.
~p
~q
F
F
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
V
V
Las relacionamos con el conectivo entre ellas, es decir resolvemos el paréntesis recordando la regla del conectivo, en este caso: “Y”
15
Lic. Belisario Carranza
Pensamiento Lógico
Unidad No. 1
Es verdadero si ambas son verdaderas.
~p
˄
~q
F
0
F
F
0
F
F
0
V
F
0
V
V
0
F
V
0
F
V
1
V
V
1
V
1= VERDADERO 0=FALSO
El resultado del paréntesis lo enlazamos con la base de la proposición “r” a través del conectivo: V (0). (~ p ˄ ~ q)
V
.r
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
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Lic. Belisario Carranza
Unidad No. 1
Pensamiento Lógico
El rectángulo mostrado nos da las combinaciones entre las proposiciones. En resumen, tendríamos: P
q
R
~p
˄
~q
(~ p ˄ ~ q)
V
V
V
F
0
F
0
1
1
V
V
F
F
0
F
0
0
0
V
F
V
F
0
V
0
1
1
V
F
F
F
0
V
0
0
0
F
V
V
V
0
F
0
1
1
F
V
F
V
0
F
0
0
0
F
F
V
V
0
V
1
1
1
F
F
F
V
0
V
1
1
0
Ejercicio: elaborar las tablas de verdad de la expresión.
a. (p v q) ˄ r
b. ~ (p ˄ q) ˄ (~ p ˄ ~ q)
c. r ˄ ˥ (p v q)
d. (r v ~ p) ˄ ~ (q v r).
17
Lic. Belisario Carranza
Pensamiento Lógico
Unidad No. 1
8. OPERADORES LOGICOS DERIVADOS CONDICIONAL Y BICONDICIONAL 8.1. EL CONDICIONAL. Este conectivo se le llama también implicación y se denota por: → En el lenguaje cotidiano tiene el significado de: “si……entonces….”. Siendo p y q proposiciones lo expresaríamos así: .p → q El valor de verdad de este condicional se puede determinar así: “una implicación es verdadera siempre que no se dé el caso de que el antecedente sea verdadero y que el consecuente sea falso”. En otras palabras, el condicional es falso solo en el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente sea falso, es decir: .p → q 1F0 Ejemplo: “la libertad del ser humano es condición suficiente para que sea responsable” p
q
.p → q
V
V
1
V
F
0
F
V
1
F
F
1
La cual nos dice que:
Es verdadero afirmar: si el ser humano es libre, entonces es responsable.
Es falso afirmar: si el ser humano es libre, entonces no es responsable.
Es verdadero afirmar: sí el ser humano no es libre, entonces es responsable.
Es verdadero afirmar: si el ser humano es libre, entonces no es responsable.
18
Lic. Belisario Carranza
Unidad No. 1
Pensamiento Lógico
8.2. EL BICONDICIONAL.
Este conector se le denomina también complicación y se simboliza por: ↔. En el lenguaje cotidiano tiene el significado de “si y solo sí; “cuando y solamente cuando” siendo “p” y “q” proposiciones, entonces:
.p ↔ q. El valor de verdad del Bicondicional es el siguiente: “es verdadero cuando sus dos componentes tienen el mismo valor de verdad”; o sea cuando ambos son verdaderos o ambos son falsos. p ↔ q. V 1 V F1F La cual nos dice que:
Es verdadero afirmar que: si Lilian es feliz, Belisario está con ella.
Es falso afirmar que: si Lilian es feliz, Belisario no está con ella
Es falso afirmar que: si Lilian no es feliz, Belisario esta con ella.
Es verdadero afirmar que: si Lilian no es feliz, Belisario no está con ella.
Ejercicios: dadas las proposiciones siguientes, conectarlas con el condicional y Bicondicional. .p: tener interés por la clase de pensamiento lógico. .q: estudiar constantemente .r: aprobare el ciclo 19
Lic. Belisario Carranza
Pensamiento Lógico
Formar su tabla de verdad y escriba lo que nos dicen.
Formar la tabla de verdad de:
Unidad No. 1
a. (p ˄ q) → r b. .r ↔ (p v q) c. ~ [ (p → q) ˄ (q → r)] → (p → r) d. ~[~p →(~q ˄ ~ r)] e. [ ( p v q ) ↔ r] → [ ( p →q)] f. [ (p ↔r) ˄ (q ↔ r)] v [ (p ˄ q) → (r v q)] Observación: debe aplicar el orden de los símbolos auxiliares.
8.3. LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL. Llamada también leyes del algebra de Boole. Las dos expresiones Booleanas tienen siempre el mismo valor. Las principales a continuación.
Sean p, q, r proposicionales, entonces:
.p ˄ p = p
.p v p = p
X˄V=x
.p ˄ q = q ˄ p
pvq=qvp ~ (~ p)= p
(p ˄ q) ˄ r = p ˄ ( q ˄ r) (p v q) v r = p v (q v r)
~ ( p ˄ q ) = ~ p v ~q ~ (p v q)= ~ p ˄ ~q
20
Lic. Belisario Carranza
Unidad No. 1
Pensamiento Lógico
Las demostraciones se pueden realizar a través de sus tablas de verdad, dando en ellas resultados iguales en ambos miembros de la igualdad, ejemplo:
~ (p ˄ q) =? ~p v ~q. p
q
(p ˄ q)
~ ( p ˄ q)
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
p
q
~p
~q
~(p ˄ q)
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
V
Podemos observar que los resultados de las tablas de verdad son iguales: Ejercicio: demostrar las otras leyes booleanas.
9. EQUIVALENCIAS LOGICAS (≡)
Dos expresiones lógicas son equivalentes siempre y cuando producen los mismos valores de verdad al sustituir sus variables.
Las leyes del algebra proposicional (Booleanas) son equivalencias lógicas. 21
Lic. Belisario Carranza
Pensamiento Lógico
Unidad No. 1
Ejemplo: usar tabla de verdad para demostrar la equivalencia lógica de:
.p ↔ q ≡? (p → q) ˄ (q → p). p
q
P↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
p
q
.p → q
(p → q)
(p → q) ˄ (q →p)
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
Luego son equivalentes lógicos, ya que dan los mismos valores de verdad.
(p ˄ q) v (p ˄ ~ q) .p
.q
.p → q
~q
p˄ ~q
(p ˄ q) v (p ˄ ~q)
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
F
F
F
F
F
F
V
F
F
Obtenemos los mismos resultados en ambos miembros. 22
Lic. Belisario Carranza
Unidad No. 1
Pensamiento Lógico
Ejercicios: usar tablas de verdad para demostrar si las expresiones son lógicamente equivalentes:
P → q y ~p v q
(p v q) → r y (p →r) ˄ (p ˄ r)
P ↔ q y (p → q) ˄ (~p →~q)
P ↔ q y ~p ↔ ~q 10. TAUTOLOGIAS Y CONTRADICCIONES.
10.1. TAUTOLOGÍA: Una proposición simbólica es tautología cuando los resultados son todos verdaderos. En otras palabras, “cualquier proposición que posea la propiedad de ser verdadera sin importar los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen”. Ejemplo: dada la expresión (p ˄ q) → p. ¿es tautología? p
Q
P˄q
(p ˄ q)
→
p
1
1
1
1
V
1
1
0
0
0
V
1
0
1
0
0
V
0
0
0
0
0
V
0
Es tautología. Ejemplo: (p v q) v (p v ~q) p
q
Pvq
~q
P v ~q
(p v q)
v
(p v ~q)
V
V
V
F
V
V
1
V
V
F
V
V
V
V
1
V
F
V
V
F
F
V
1
F
F
F
F
V
V
F
1
V
Lo que demuestra ser tautología. 23
Lic. Belisario Carranza
Pensamiento Lógico
Unidad No. 1
Ejercicio: demostrar si las siguientes expresiones lógicas son tautológicas, siendo p, q, r proposiciones:
[ p ˄ (p → q)] → q
(~ ( ~p)) ↔p
[(p →q) ˄ (q → r)]→ (p →r)
F→x
(p Ṿ q) → [ (p v ~q)] ˄ ((~p) v q)]
10.2. CONTRADICCIÓN. Una proposición simbólica es contradictoria cuando sus resultados son todos falsos. Ejemplo: dado (p v q) ˄ (~p ˄ ~q). ¿Es contradicción? P
q
Pvq
~p
~q
~p ˄ ~q
(p v q)
˄
(~p ˄ ~q)
V
V
V
F
F
F
V
0
F
V
F
V
F
V
F
V
0
F
F
V
V
V
F
F
V
0
F
F
F
F
V
V
V
F
0
V
Lo cual demuestra ser una contradicción
Ejemplo: dado p ˄ ~q. ¿es contradicción? p
~p
P ˄ ~p
V
F
0
F
V
0
Ejercicios: demostrar en las expresiones simbólicas son contradicciones. 1. [(p → q) ˄ [( ~p) → q)] ˄ ~q 2. P ˄ (p → q) ˄ (~q) 3. (p v q) ˄ (p v ~q) ˄ ~p Observación: al no ser tautología o contradicción se denominan contingencias. 24
Lic. Belisario Carranza
Unidad No. 1
Pensamiento Lógico
11. REGLAS DE INFERENCIA. INFERENCIAS VÁLIDAS Y NO VÁLIDAS.
Denominados los diez mandamientos de la lógica
Modus Ponendo Ponens (PP). P→q p q
Ejemplo: Si llueve, entonces las calles se mojan Llueve Luego, las calles se mojan
Modus Tollendo Tollens (TT)
P→q ~q ~p Ejemplo: Si llueve, entonces las calles se mojan Las calles no se mojan Luego, no llueve.
Doble negociación. ˥˥p P
Ejemplo: No ocurre que David no es un estudiante David es un estudiante. 25
Lic. Belisario Carranza
Pensamiento Lógico
Unidad No. 1
Adjunción ( A ) P Q P˄q
Ejemplo: Roberto es cocinero Pedro es profesor Roberto es cocinero y pedro es profesor
Simplificación (S) p˄q p q
Ejemplo: Tengo un libro y tengo un lápiz Tengo un libro Tengo un lápiz
Modus Tollendo Ponens (TP) Pvq ~q p.
Ejemplo: He ido al cine o me he ido a la UTEC No he ido a la UTEC Por lo tanto no he ido, he ido al cine 26
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Unidad No. 1
Pensamiento Lógico
Tarea: investigar la forma de la inferencia:
Ley de adición (LA)
Silogismo hipotético (SH)
Silogismo disyuntivo (DS)
Simplificación disyuntiva (SD)
Ley conmutativa
Leyes de Morgan (MG)
11.1. VALIDEZ DE ARGUMENTOS
En matemática existen muchos métodos para demostrar la veracidad de un teorema, pero nosotros, usaremos la DEMOSTRACION DIRECTA. Este método consiste de una sucesión de afirmaciones (1), (2), …(n) para luego concluir con una verdad o falsedad.
Esquema: Supongamos: p1 p2
premisas (p1˄p2˄…˄pn)
.pn Q
conclusión.
Ejemplo: Si los intelectuales son autoritarios entonces son conservadores. Los intelectuales no son conservadores. Luego los intelectuales no son autoritarios.
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Pensamiento Lógico
Unidad No. 1
SOLUCIÓN:
Señalamos las proposiciones
Usamos los conectivos para tener la expresión lógica
Aplicamos una tabla de verdad. P
q
~q ~p
Forma [(p → q) ˄ ~q)] → ~p .p
.q
.p → q
~q
(p → q)˄ ~q
~p
[(p → q)˄~q)] →~p
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
El argumento es válido porque se obtiene una tautología
Ejemplo: Si estudio constantemente las clases de pensamiento lógico, entonces aprobare el curso. Si apruebo el curso de pensamiento lógico, entonces seré Licenciado en Diseño gráfico.
Luego: si no soy licenciado, entonces no estudié constantemente las clases de pensamiento lógico P
q
q
r ~r
~p
[(p → q) ˄ (q→ r)] → (~r → ~p).
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Unidad No. 1
Pensamiento Lógico
[(p → q) ˄ (q→ r)] → (~r → ~p).
p
q
r
p→q
q →r
(p → q) ˄ (q → r)
~r
~p
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
V
(~r → ~p)
[(p → q) ˄ (q → r)]
(-r →~p)
V
V
1
V
F
F
1
F
V
F
1
V
F
F
1
F
V
V
1
V
V
F
1
V
V
V
1
V
V
V
1
V
R/ Es un argumento válido, ya que obtenemos una tautología.
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Pensamiento Lógico
Unidad No. 1
Ejercicios: demostrar, usando tablas de verdad, la veracidad o falsedad de los argumentos.
1. Si los catedráticos son democráticos, entonces son progresistas. Los catedráticos no son progresistas Luego: los catedráticos no son democráticos.
2. Si los alumnos estudian diariamente, aprobaran el examen. Si son responsables, estudian diariamente Luego: si los alumnos no aprueban el examen, entonces no son responsables.
3. Ningún libro es cuaderno Ningún cuaderno es lápiz Por lo tanto: ningún libro es lápiz.
4. Si es lunes, entonces es martes. Es lunes. Por lo tanto: es martes.
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Pensamiento Lógico BIBLIOGRAFÍA
1. Scheinerman, Edward. Matemática Discreta. Editorial Thomson 2006. 2. Pérez, Antonio (2000). Métodos de Conteo. Editorial Capeluz. 3. Zelaya, René. Lógica Proposicional. UCA Editores 2003. 4. Carranza, Belisario. Apuntes de clase. UTEC 2012-2013.
ENLACES RELACIONADOS CON LA UNIDAD
1. https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional
2. http://es.slideshare.net/smoralesmartinez/proposiciones-logicas-40840714
LECTURA COMPLEMENTARIA
1. http://www.ejemplode.com/29-logica/2381-ejemplo_de_proposiciones.html
2. http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/libros/filosofia/intro_logica/1_parte .pdf
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