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O que é Fração ?
È uma parte do todo ou seja um par ordenado onde o segundo número é diferente de zero. a/b , com a Є IN e b Є IN. (a pertence ao conjunto dos números naturais e b pertence ao conjunto dos números naturais não nulos (com exclusão do zero).
TIPOS DE FRAÇÃO Fração Própria – é aquela onde o numerador (≠ 0) é menor que o denominador como por exemplo: 3/5, , 2/7 , 13/17 , etc. Fração imprópria é aquela onde o numerador é igual ou maior que o denominador. Exemplo: 7/2 , 4/4 , 12/4 etc. Fração decimal é aquela onde o denominador é igual a 10 ou suas potências. Exemplo: 5/10 , 17/10 , 5/100, 31/1000, etc. Fração aparente é a fração onde o numerador é múltiplo do denominador. Exemplo 12/4; representa o número 3 pois 12:4 = 3 ; se o numerador é zero , a fração apresenta o número zero. Assim 0/5 = 0; todo número natural pode ser apresentado por uma fração com denominador 1. Assim 7 pode ser apresentado por 7/1.
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O que é Fração ?
Frações Equivalentes – duas frações são equivalentes quando os produtos do numerador de um pelo denominador das outra são iguais. Exemplo: para 1/2 e 2/4 onde temos: 1 X 4 = 2 X 2 Simplificação de frações Basta dividir ambos os termos por um divisor comum. Exemplo : 3/6 = 3:3 e 6:3 = 1/2 Fração irredutível é aquela que os números são primos entre si (isto é , não possuem outro divisor comum a não ser o número 1). Exemplo: 7/17 é uma fração irredutível , pois 7 e 17 são números primos entre si.
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O que é Fração ? Comparação de frações As frações possuem o objetivo de representar partes de um inteiro através de situações geométricas ou numéricas. Podemos comparar frações utilizando a representação numérica através de algumas técnicas e propriedades. Comparar significa analisar qual representa a maior ou menor quantidade ou se elas são iguais. Para compararmos duas ou mais frações devemos reduzi-la ao mesmo denominador e lembrar que , de duas frações com o mesmo denominador, a maior é aquela que contém o maior numerador. Operações com frações - Adição e subtração
a) Frações homogêneas – conserva-se o denominador e adicionam-se ou subtraem os numeradores. Exemplo: 2/5 + 7/5 = 9/5 ou 7/3 – 2/3 = 5/3 b) Frações heterogêneas – reduzem-se as frações ao mesmo denominador, obtendo-se dessa forma frações homogêneas. Exemplo: 4/5 + 2/3 = 12+10/15 = 22/15
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Comparação de frações Reduzindo ao mesmo denominador – vamos calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores como no exemplo acima: Exemplo: 4/5 + 2/3 = 12+10/15 = 22/15 5, 3 3 5, 1 5 1, 1 logo m.m.c de 5 e 3 = 5 X 3 = 15 4/5 + 2/3 = 12/15+10/15 = 22/15 Observe que reduzimos ao mesmo denominador 5 e 3 = 15
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Multiplicação de frações : Produto de numeradores por numeradores e denominadores por denominadores. Exemplo: 3/7 X 4/3 = 3 X 4 = 12 e 7 X 3 = 21 o que resulta em 12/21. O processo da multiplicação pode ser facilitado usando a simplificação pelo cancelamento dos fatores comuns dos numeradores e dos denominadores. Exemplo: 2/3 X 3/5 nesse caso é possível simplificar 3 por 3 ou seja 3:3 =1 ficando dessa forma 2 X 1 = 2 e 1 X 5 = 5 o que resulta em 1/7. Divisão de frações Produto da primeira pelo inverso da segunda. Exemplo : 1/2 : 3/7 = 1/2 X 7/3 = 7/6 6
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Potenciação de Frações Devemos elevar o numerador e o denominador a esse expoente. (2/5)² = 2²/5² = 4/25 Porcentagem ou Percentagem Denominamos razões percentuais as razões cujos conseqüentes sejam iguais a 100. Exemplo : 30/100(trinta por cento) ; 20/100 (vinte por cento) 30/100 corresponde a 30% e 20/100 corresponde a 20%. Exemplo: 1) Em uma classe de 30 alunos, 15 foram aprovados. Qual a taxa percentual de aprovação? 30 ------- 100 15 ------ x 30 - 100 onde: 30x = 100 X 15 30x = 1500 x = 1500/30 = 50% (taxa de aprovação) 7
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Redução ao Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C) Para comparação de fração e para operações de adição e subtração, efetua-se a redução dos denominadores ao MMC. Assim, para redução das frações 1/3, ¾, 5/6, deve-se seguir os seguintes passos: 1º - encontra-se o MMC dos denominadores (3, 4, 6) 3–4–6 2 Obtém-se o numerador para cada fração, dividindo-se o denominador comum encontrado (12) pelo denominador original e multiplicando-se 3–2–3 2 esse quociente pelo numerador original, resultando: 4/12, 9/12, 10/12. 3–1–3 3 Quando duas ou mais frações têm o mesmo denominador, maior será a que tiver maior numerador. Assim; 4/12 9/12 10/12, ou 1/3 3/4 1 – 1 – 1 12 5/6 Operação com frações a) Adição. Ex.: 1/3 + 7/5 = 5/15 + 21/15 = 26/15 b) Subtração. Ex.: 5/7 - 1/5 = 25/35 - 7/35 = 18/35 c) Multiplicação. Ex.: 3/5 x 2/7 x 25/9 = 10/21
c) Divisão. Ex.: 3/5 2/9 = 3/5 x 9/2 = 22/10
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Operação com frações e) Potenciação. Ex.: (2/5)3 = 8/125 f ) Radiciação. Ex.: = 11/13
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Regras de arredondamento
De acordo com a resolução 886/66 do IBGE: 1) <5 (ou seja 0,1,2,3,4) – o último algarismo a permanecer fica inalterado exemplo: se quiser arredondar para o mais próximo décimo (uma casa após a vírgula) o seguinte número 53,24 , podemos observar que abandonaremos o 4 que é menor que 5 portanto nosso arredondamento ficará 53,2; se desejar arredondar para o mais próximo centésimo 53,242 abandonaremos o dois , logo 53,24; Obs.: inteiro 53,2 - 53 2) >5 (ou seja 6,7,8,9)– o último número a permanecer aumentará em uma unidade exemplo : 53,26 logo abandonamos o 6 (>5) – 53,3 (quando décimo) , desejando arredondar para o centésimo mais próximo 53,267 – 53,27; obs.: inteiro 53,6 - 54 3) = 5 – Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem zeros, o último algarismo a permanecer só será aumentado se for ímpar exemplo : arredondar para o mais próximo décimo 53,25 – abandonamos o cinco e o dois como número par permanecerá 53,2 , se caso fosse 53,35 – o três como número ímpar seria aumenta em uma unidade ou seja 53,4 e essa regra se sucede como centésimos. 10
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Variáveis
Significado de variável no dicionário – mutável, que muda ,que sofre transformações , flexível; Significado estatístico – característica que vamos estudar em determinada população. Quanto à classificação de variáveis tem-se: Qualitativas (nominal / ordinal) ; Variável qualitativa nominal – Quando os elementos dessa variável são identificados por nome exemplo: cor do cabelo , cor dos olhos(azuis, castanhos, verdes); Variável qualitativa ordinal – quando os elementos entre elas indicam uma ordem entre elas exemplo: ótimo , bom , regular , ruim , péssimo. Quantitativas (contínua / discreta): Variável quantitativa discreta – valor muda em saltos ou passos (não existe continuidade) exemplo: número de filhos de um casal , número de carteiras da sala de aula , etc. Variável quantitativa contínua – admite infinitos valores dentro de um espaço ou intervalo exemplo: pesos das pessoas 75,2 (setenta e cinco quilos e duzentos gramas) ou altura 1,72 (um metro e setenta e dois centímetros) , notas de 0 a 10 – 7,5. 11
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VARIÁVEIS:
Quanto à sua origem, as variáveis ou observações podem ser obtidas de:
• Respostas de Pesquisas. Quem aplica a pesquisa não tem nenhum controle intencional sobre os fatores que influenciaram as respostas: a contagem de habitantes de um país, o cadastro de clientes de um banco, a aceitação de um produto por um determinado tipo de consumidor, aplicação de testes psicológicos, avaliações, etc.
• Respostas por Experimentos. Quem aplica o experimento tem controle intencional sobre os fatores que influenciam as respostas: o teste de estabilidade de produtos perecíveis frente a diferentes valores de temperatura e umidade, o desgaste de componentes de equipamentos mecânicos em condições especificadas, etc.
Unidade elementar é qualquer pessoa, objeto ou coisa que faça parte de uma população.
Dado é o resultado de investigação, cálculo ou pesquisa.
Variável é toda característica que pode assumir diversos valores conforme a pessoa, objeto ou coisa. As respostas de uma pesquisa ou um experimento são a matéria-prima da análise estatística em que os dados ou observações são obtidos medindo as características de uma pessoa, objetos ou coisa. O conjunto dessas respostas ou observações forma uma unidade elementar, que em geral, está composta de uma ou mais características denominadas variáveis.
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VARIÁVEIS: a) Variável qualitativa: quando seus valores são expressos por atributos: sexo (masculino-feminino), cor da pele (branca, preta, amarela, vermelha, parda) etc.; b) Variável quantitativa: quando seus valores são expressos em números (salários dos operários, idade dos alunos de uma escola etc.). Uma variável quantitativa pode ser:
Contínua: É aquela que pode assumir qualquer valor numa escala de valores e resulta freqüentemente de uma medição sendo usada em geral, em alguma forma de medida, e se trata geralmente de valor aproximado. As medidas de comprimento, peso, altura, volume, etc. são exemplos típicos de variável contínua. Resumindo, pode-se dizer que variáveis contínuas são aquelas que podem assumir qualquer valor, em um conjunto / intervalo de valores: peso, altura, velocidade, tempo, etc.
Discreta: é aquela que pode assumir apenas um conjunto limitado de valores em qualquer escala de medida e, em geral inteiros, sendo obtida mediante alguma forma de contagem. É uma variável cujos valores podem ser todos relacionados. Uma variável é discreta quando assume alguns valores dentro de certo intervalo. A produção diária de carros de uma fábrica de automóveis, é teoricamente um número inteiro de carros. O número de funcionários de uma empresa só pode ser um número inteiro, não pode ser fracionado. O número de filhos de um casal. O resultado de um sorteio. O número de habitantes de uma cidade. O número de alunos de uma sala de aula. O número de veículos faturados por uma empresa e quantidade vendida de um produto X, são exemplos de variáveis discretas. 13 Prof. Paulo C. Carioca 5/9/2013
Amostragem
CONCEITOS BÁSICOS • POPULAÇÃO OBJETO: É a população total de interesse sobre a qual desejamos obter informações. • CARACTERÍSTICA POPULACIONAL: Este é o aspecto da população que interessa ser medido. • UNIDADE AMOSTRAL: Deve ser definida de acordo com o interesse do estudo, podendo ser uma peça, um indivíduo, uma família, uma fazenda, etc. A escolha deve ser feita no início da investigação. • AMOSTRA: Conjunto formado por um subconjunto da população. • CENSO: Exame de todos os elementos da população. • ERRO AMOSTRAL: É a diferença entre um resultado amostral e o verdadeiro resultado populacional.
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Amostragem
AMOSTRA Amostra é o subconjunto de unidades elementares selecionadas de uma população. AMOSTRAGEM A amostragem é uma ferramenta que permite a você analisar um subconjunto de uma população, objetivando levantar informações sobre fatos relativos a esse subconjunto, com a intenção de inferir o comportamento da população. A amostra é uma parte, um subconjunto de um espaço amostral. Uma amostra deve reunir características básicas de uma população. A amostragem permite recolher amostras, e ainda garante, tanto quanto possível, o acaso na escolha. Desta forma, cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser escolhido, o que garante à amostra o caráter de representatividade, e isto é muito importante, pois, como vimos, nossas conclusões relativas à população vão estar baseadas nos resultados obtidos nas amostras dessa população.
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Amostragem
A importância de uma amostra está na avaliação de grandezas desconhecidas de uma população e a qualidade desta avaliação depende basicamente da representatividade da amostra e a representatividade de uma amostra depende de sua capacidade de reproduzir as características básicas de sua população. Muito provavelmente você não será capaz de entrevistar toda uma população de pessoas ou examinar todo um conjunto de objetos, então você se orienta por um pequeno grupo retirado de uma população / conjunto. Você vai inferir o comportamento da população com base nos resultados descritos da amostra. Uma amostra é uma parte integrante de uma população e a diferença básica entre os conceitos de amostra e população é que a amostra representa parte do todo, enquanto a população representa o todo. Mas à medida que o tamanho da amostra for crescendo, tais informações vão se tornando cada vez mais verdadeiras.
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Diversos fatores justificam os trabalhos com amostras, no lugar de estudar a respectiva população, entre os quais, destacam-se: • Custo: as despesas com operacionalização estatística da população são geralmente bem maiores que com a averiguação de uma amostra. • Velocidade: as pesquisas realizadas com amostras são mais rápidas, em virtude de conter um menor número de unidades. • Praticidade: conforme o próprio conceito, às vezes, a dimensão da população tornas as pesquisas impraticáveis.
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EXEMPLO • Uma fábrica de automóveis não efetua inspeção e ensaios em 100% dos itens que serão agregados ao automóvel, faz as verificações de qualidade e conformidade em momentos específicos durante a produção, seja no início, meio ou fim. Logo no início do processo produtivo, é efetuada a inspeção (usando técnicas de amostragem) dos lotes de produtos recebidos.
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