Temperatura Assoluta Negativa by Federico Fornari

La temperatura assoluta negativa Federico Fornari

L’esperimento tedesco

Ciò che è normale per molte persone in inverno è stato finora impossibile in fisica: una temperatura negativa. Sulla scala Celsius temperature negative sono sorprendenti solo in estate. Sulla scala della temperatura assoluta, che è utilizzata dai fisici e viene anche chiamata scala Kelvin, non si può andare sotto zero - almeno non nel senso di ottenere pi` u freddo di zero Kelvin. Secondo il significato fisico della temperatura, la temperatura di un gas è determinata dal movimento caotico delle sue particelle - pi` u freddo è il gas, pi` u lente sono le particelle. A zero Kelvin (meno 273 gradi Celsius) le particelle smettono di muoversi e ogni disordine scompare. Cos`ı, nulla può essere pi` u freddo dello zero assoluto della scala Kelvin. I fisici della Ludwig-Maximilians University di Monaco di Baviera e il Max Planck Institute di ottica quantistica di Garching hanno creato un gas atomico in laboratorio che presenta tuttavia valori negativi di temperatura sulla scala Kelvin. Queste temperature assolute negative hanno diverse conseguenze apparentemente assurde: sebbene gli atomi del gas si attraggano e diano luogo ad una pressione negativa, il gas non collassa - un comportamento che è anche postulato per l’energia oscura in cosmologia. Nondimeno motori termici presumibilmente impossibili come un motore a combustione con un rendimento termodinamico di oltre il 100% possono essere realizzati con l’aiuto di temperature assolute negative. Al fine di portare l’acqua ad ebollizione, l’energia deve essere aggiunta. Quando l’acqua si riscalda, le molecole d’acqua aumentano la loro energia cinetica nel tempo e si muovono sempre pi` u velocemente in media. Tuttavia, le singole molecole hanno diverse energie cinetiche - da molto lente a molto veloci. Stati a bassa energia sono pi` u probabili di stati ad alta energia, vale a dire sono solo poche le particelle che si muovono molto velocemente. In fisica, questa distribuzione è detta distribuzione di Boltzmann. I fisici che lavorano con Ulrich Schneider e Immanuel Bloch hanno realizzato un gas in cui questa distribuzione è esattamente invertita: molte particelle sono in possesso di alte energie e solo poche hanno basse energie. Questa inversione della distribuzione dell’energia significa che le particelle hanno assunto una 1

temperatura assoluta negativa. “La distribuzione di Boltzmann invertita è il segno distintivo di una temperatura assoluta negativa, e questo è ciò che abbiamo realizzato”, afferma Ulrich Schneider. “Ma il gas non è pi` u freddo ` di zero Kelvin, bens`ı pi` u caldo”, come il fisico spiega: “E ancora pi` u caldo che a qualsiasi temperatura positiva - la scala di temperatura semplicemente non finisce all’infinito, ma salta a valori negativi, invece.”

1.1

Una temperatura negativa pu` o essere conseguita solo con un limite superiore per l’energia

Il significato di una temperatura negativa in assoluto può essere meglio illustrato con sfere che rotolano in un paesaggio collinare, dove le valli corrispondono a un basso livello di energia potenziale e le colline ad uno alto. Pi` u le sfere si muovono velocemente, maggiore è la loro energia cinetica: se si parte da temperature positive e si aumenta l’energia totale delle sfere riscaldandole, le sfere si diffonderanno sempre pi` u in regioni di alta energia. Se fosse possibile riscaldare le sfere a temperatura infinita, ci sarebbe la stessa probabilità di trovarle in un qualsiasi punto del paesaggio, indipendentemente dalla energia potenziale. Se si potesse ora aggiungere ancora pi` u energia e quindi riscaldare le sfere ancora di pi` u, esse si riunirebbero preferibilmente negli stati ad alta energia e il sistema diventerebbe ancora pi` u caldo che a temperatura infinita. La distribuzione di Boltzmann sarebbe invertita, e quindi la temperatura negativa. A prima vista può sembrare strano che una temperatura negativa assoluta sia pi` u “calda” di una positiva. Questa è semplicemente una conseguenza della definizione storica di temperatura assoluta; tuttavia, se fosse definita diversamente, questa apparente contraddizione non esisterebbe. Questa inversione della popolazione degli stati di energia non è possibile in acqua o in qualsiasi altro sistema naturale, dal momento che il sistema avrebbe bisogno di assorbire una quantità infinita di energia - un’impresa impossibile! Tuttavia, se le particelle possiedono un limite superiore per la loro energia, come la cima della collina nel “paesaggio dell’energia potenziale”, la situazione sarà completamente diversa. I ricercatori del gruppo di ricerca di Immanuel Bloch e Ulrich Schneider hanno realizzato un tale sistema consistente in un gas atomico con un limite superiore di energia nel loro laboratorio, a seguito di proposte teoriche di Allard Mosk e Achim Rosch. Nel loro esperimento gli scienziati hanno prima raffreddato centomila atomi in una camera a vuoto ad una temperatura positiva di pochi miliardesimi di Kelvin e li hanno catturati in trappole ottiche fatte di fasci laser. Il vuoto ultraspinto circostante garantisce che gli atomi siano perfettamente isolati termicamente dall’ambiente. I

Figura 1: Temperatura come un gioco di biglie. La distribuzione di Boltzmann stablisce il numero di particelle che hanno una determinata energia, e ciò può essere illustrato con lâ&#x20AC;&#x2122;ausilio di sfere distribuite in un paesaggio collinare. A temperature positive (immagine a sinistra), la maggior parte delle sfere si trova nella valle al minimo di energia potenziale e riesce a malapena a muoversi; essa perciò è anche in possesso della minima energia cinetica. Stati a bassa energia totale quindi sono pi` u probabili rispetto a quelli con alta energia totale - la distribuzione normale di Boltzmann. A temperatura infinita (immagine al centro) le sfere sono distribuite uniformemente su energie basse e alte. Qui, tutti gli stati di energia sono ugualmente probabili. A temperature negative (immagine di destra), tuttavia, molte sfere si spostano in cima alla collina, al limite superiore della energia potenziale. La loro energia cinetica è massima. Gli stati di energia con elevata energia totale cos`Äą sono pi` u frequenti rispetto a quelli con bassa energia totale - la distribuzione di Boltzmann è invertita.

fasci laser creano un cosiddetto reticolo ottico, in cui gli atomi sono disposti regolarmente in zone reticolari. In questo reticolo gli atomi possono ancora muoversi da un sito all’altro tramite l’effetto tunnel, ma la loro energia cinetica ha un limite superiore e presenta quindi il limite invalicabile di energia richiesto. La temperatura, tuttavia, riguarda non soltanto l’energia cinetica, ma l’energia totale delle particelle, che in questo caso comprende interazione ed energia potenziale. Il sistema dei ricercatori di Monaco e di Garching imposta un limite per entrambe. I fisici portano gli atomi a questo limite superiore dell’energia totale - realizzando cos`ı una temperatura negativa, a meno pochi miliardesimi di Kelvin.

1.2

A temperature negative un motore pu` o fare pi` u lavoro

Poniamo che le sfere possiedano una temperatura positiva e si trovino in una valle al minimo dell’energia potenziale: questo stato è ovviamente stabile questa è la natura come noi la conosciamo. Se le sfere si trovano sulla sommità di una collina alla massima energia potenziale, esse solitamente rotoleranno gi` u e quindi convertiranno la loro energia potenziale in energia cinetica. “Se le sfere sono a temperatura negativa, tuttavia, la loro energia cinetica sarà già cos`ı grande che non può aumentare ulteriormente”, spiega Simon Braun, uno studente di dottorato nel gruppo di ricerca. “Le sfere, dunque, non possono rotolare verso il basso, e rimangono in cima alla collina. Il limite di energia rende quindi stabile il sistema!” Lo stato di temperatura negativa nel loro esperimento è davvero stabile come uno stato di temperatura positiva. “Abbiamo in questo modo creato il primo stato di temperatura negativa assoluta per le particelle in movimento”, aggiunge Braun. La materia a temperatura negativa assoluta ha tutta una serie di conseguenze sorprendenti: con il suo aiuto, si potrebbero creare macchine termiche come motori a combustione con un rendimento superiore al 100%. Ciò non significa, tuttavia, che la legge di conservazione dell’energia è violata. Al contrario, il motore potrebbe non solo assorbire energia dal mezzo pi` u caldo, e quindi fare lavoro, ma, a differenza del caso usuale, pure dal mezzo freddo. A temperature puramente positive, il mezzo pi` u freddo si riscalda inevitabilmente per contrasto (quindi assorbendo una parte dell’energia del fluido caldo) e questo limita quindi l’efficienza. Se il mezzo caldo ha una temperatura negativa, è possibile assorbire energia da entrambi i mezzi, simultaneamente. Il lavoro compiuto dal motore è quindi maggiore dell’energia presa unicamente dal mezzo caldo - l’efficienza è superiore a 100 percento. Il risultato dei fisici di Monaco potrebbe inoltre essere interessante per la cosmologia, in quanto il

comportamento termodinamico a temperatura negativa presenta parallelismi con la cosiddetta energia oscura. I cosmologi postulano l’energia oscura come la forza inafferrabile che accelera l’espansione dell’universo, anche se il cosmo dovrebbe in effetti contrarsi a causa della attrazione gravitazionale tra tutte le masse. C’è un fenomeno simile nella nube atomica nel laboratorio di Monaco: l’esperimento si basa sul fatto che gli atomi del gas non si respingono come avviene di solito, bens`ı interagiscono attrattivamente. Ciò significa che gli atomi esercitano una pressione negativa invece di una pressione positiva. Di conseguenza, la nube atomica tenderebbe a contrarsi e dovrebbe davvero collassare - come sarebbe previsto per l’universo sotto l’effetto della gravità. Ma a causa della sua temperatura negativa questo non accade. Il gas viene salvato dal collasso, proprio come l’universo.

Leggi della termodinamica

Mentre le leggi della termodinamica hanno dimostrato di essere di applicabilità universale, è necessario postulare l’esistenza di stati di equilibrio, al fine di sviluppare la teoria della termodinamica in termini di concetti come temperatura ed entropia. Senza stati di equilibrio, processi reversibili non sono possibili e, pertanto, non vi è alcun modo per identificare il trasferimento reversibile di calore come δQ = T dS. (1) N. Ramsey, senza prove, assume questa ipotesi nel riformulare la Seconda Legge per sistemi con spettri di energia superiormente limitati. Poi, per coerenza logica, le temperature negative appaiono come una realtà. Il punto debole in tale riformulazione è che gli stati di energia sopra quello corrispondente a temperatura positiva infinita non sono stabili. Lo scopo di questa nota è quello di mostrare un tale risultato. Le leggi della termodinamica sono, la Prima, la conservazione dell’energia, la Terza, l’irraggiungibilità dello Zero Assoluto, e la Seconda, l’impossibilità di moti perpetui. Con queste leggi e l’osservazione ulteriore che i corpi esternamente imperturbati raggiungono uno stato di equilibrio stabile, si può postulare l’esistenza di processi reversibili e si definiscono entropia, temperatura, potenziale chimico e, nel caso di fluidi, pressione idrostatica; nel caso di sistemi magnetici si può allora definire il campo magnetico (questo è implicito dall’elettrodinamica dei mezzi continui di Maxwell).

2.1

La Seconda Legge

Esaminiamo la formulazione della Seconda Legge. La seconda legge si basa su due apparentemente differenti proposizioni, i postulati di Clausius e di Kelvin, che a loro volta si fondano sul negare l’opposto di due osservazioni empiriche che a nostro avviso sono sempre vere. Questa negazione rende impossibile un moto perpetuo. Il Postulato di Clausius si basa sull’osservazione che quando due corpi sono in contatto, l’energia sotto forma di calore fluisce spontaneamente da uno all’altro, oppure non accade nulla. Il corpo che rilascia l’energia è chiamato caldo, l’altro freddo. Dunque, diciamo, il calore scorre sempre in maniera irreversibile dai corpi pi` u caldi a quelli pi` u freddi. Se il calore non viene scambiato, diciamo che i corpi sono in equilibrio termico. Il Postulato di Clausius è una negazione dell’opposto in tale forma: è impossibile realizzare un processo il cui unico risultato è il trasferimento di calore da un corpo freddo a uno pi` u caldo. D’altra parte, il Postulato di Kelvin si basa sull’osservazione empirica che è sempre possibile convertire irreversibilmente lavoro in calore, indipendentemente dallo stato del corpo. L’attrito dissipativo è l’essenza di questa forma di trasferimento di energia. Il Postulato di Kelvin nega l’opposto con l’asserzione: è impossibile realizzare un processo il cui unico risultato è la conversione del calore in lavoro, mantenendo lo stesso stato del corpo che rilascia l’energia. Le assunzioni precedenti sono equivalenti. Come accennato prima, garantiscono l’impossibilità di motori che attraverso la conservazione dell’energia realizzino il moto perpetuo. La validità della seconda legge si basa sul fatto che non abbiamo trovato alcun processo che la violi. Sappiamo, da considerazioni atomiche, che la sua validità è invero solo statistica. Con le leggi precedenti e l’ipotesi dell’esistenza di stati di equilibrio termodinamico, si può concepire un processo reversibile, che è quello che consiste di soli stati di equilibrio. Poi, un motore ipotetico che passa attraverso un processo ciclico, un motore di Carnot, ci consente di provare una serie di assunti che portano all’introduzione di una temperatura assoluta, che a sua volta richiede l’uso della temperatura del gas ideale, una quantità necessariamente positiva, e la disuguaglianza di Clausius. Questa disuguaglianza porta alla identificazione dell’entropia. Insistiamo sul fatto che questi due concetti, la temperatura T e l’entropia S, richiedono l’esistenza dello stato di equilibrio. Un passo importante nella precedente procedura di individuazione della temperatura è la prova che per tutti i motori di Carnot che lavorano tra le stesse due fonti di calore, i rapporti tra quantità di calore estratto Qin e rilasciato Qout sono uguali. Pertanto, tale rapporto deve essere una proprietà delle fonti di calore e non dei motori. Facendo appello a un motore fatto di un gas ideale, si giunge alla

conclusione che, |Qout | TL = |Qin | TH

(2)

dove TL e TH sono le temperature rispettive delle sorgenti con le quali il corpo ha scambiato Qout e Qin . I segni di questi ultimi sono determinati ` molto importante sottolineare che la variabile dalla direzione del ciclo. E T viene univocamente determinata da una misura empirica utilizzando un (reale) termometro a gas.

2.2

L’entropia statistica

La Terza Legge garantisce che tutte le temperature assolute sono positive. Si tratta di un ulteriore esercizio semplice per mostrare che tutti i motori reversibili di Carnot che lavorano tra le stesse fonti di calore hanno la stessa efficienza massima (meno di 1) e che tutte i corrispondenti motori irreversibili hanno una minore efficienza. Da un argomento logico, per esempio, si può ulteriormente dimostrare che l’entropia di un sistema termicamente isolato non può diminuire in qualsiasi processo e questo a sua volta significa che l’entropia è una funzione concava dei suoi argomenti, in particolare come funzione dell’energia interna E del sistema. Quest’ultima proprietà è generalmente indicata come l’assunzione matematica e il requisito che lo stato di equilibrio deve essere stabile. Cioè, esso deve essere stabile nelle piccole ` importante rendersi conto che la proprietà di conperturbazioni arbitrarie. E cavità dell’entropia di per sé non indica che l’entropia dovrebbe essere una funzione monotona crescente dell’energia, in modo da garantire solo temperature positive: la fisica quantistica del XX secolo aveva una sorpresa per noi. Ricordiamo qui che la temperatura è data da ∂S 1 = (3) T ∂E N,X dove N è il numero di atomi (o molecole) e X rappresenta i valori degli appropriati parametri estensivi che determinano lo stato macroscopico del sistema. Anche se la termodinamica è una scienza empirica basata sulla logica, ora sappiamo che non possiamo ignorare la struttura atomica della materia. Questo è stato previsto da Boltzmann che trovò che la seconda legge era in realtà di origine statistica e in seguito scopr`ı che l’entropia è data da S = kB ln Ω(E, N, X)

(4)

dove Ω(E, N, X) `e il numero di stati “microscopici” di un sistema con N atomi (o molecole), con energia interna E e un dato valore dei parametri 7

estensivi X. Pertanto, S sarà monotona in E se lo spettro di energia è illimitato dall’alto. Ci aspettiamo che sia limitato dal basso dall’energia dello stato fondamentale (per inciso ciò spiega la Terza Legge). La sorpresa è stata che i sistemi quantistici con singole entità che hanno un numero finito di stati, come ad esempio un insieme di spin in materiali magnetici, danno luogo per l’intero sistema ad uno spettro che è limitato superiormente. Il calcolo semplice della formula dell’entropia usando (4) dà luogo ad una funzione che è effettivamente concava ma che è non monotona. Ciò non può essere, dato che il numero di stati del sistema prima cresce, raggiunge un massimo, e quindi diminuisce. Per quanto vi sia un solo stato con la pi` u bassa energia, ve n’è uno solo anche per il pi` u alto valore di energia. La conseguenza di questo comportamento è che, per valori di energia pi` u elevati di quello con il maggior numero di stati, la temperatura avrebbe un valore negativo come ` importante sottolineare che le temperature indicato dalla relazione (3). E negative sono quindi pi` u “calde” di tutte quelle positive, vale a dire, stanno al di sopra della temperatura infinita positiva.

2.3

Modifiche alla Seconda Legge

Il risultato precedente ha richiesto a Ramsey di rivedere le formulazioni della Seconda Legge in modo tale che le temperature negative non la violino. L’obiettivo principale di Ramsey era quello di essere in grado di identificare la temperatura utilizzando la relazione (2) in un ben definito processo ciclico. Certamente lo ha realizzato, come vedremo di seguito, ma vogliamo sottolineare subito alcune osservazioni. Primo, Ramsey tacitamente ha assunto che lo stato di equilibrio esista e che sia stabile. E in secondo luogo, non ha mai specificato un “termometro universale” che permetterebbe una misura univoca di temperature negative. Al fine di consentire l’uso dell’equazione (2) per identificare temperature negative, Ramsey ha modificato il postulato di Kelvin. L’idea è quella di invertire l’osservazione empirica e la sua negazione. Ovvero, Ramsey ha stabilito, in primis, che il calore può sempre essere trasformato in modo irreversibile in lavoro indipendentemente dallo stato del corpo, e quindi, ha negato il suo opposto in forma di: è impossibile realizzare un processo il cui unico risultato è la trasformazione del lavoro in calore. Questa affermazione vieta certamente un moto perpetuo conservando l’energia. Inoltre, esso permette di costruire un motore ciclico che porta alla relazione (2) con temperature negative. Di seguito mostreremo, tuttavia, che questi stati non sono del tutto stabili. Ma prima vorremmo far presente che un mondo con temperature negative porta a risultati molto contro-intuitivi. Osserviamo prima che l’affermazione che il calore può essere irreversibilmente e totalmente convertito in lavoro implica che i motori a temperature negative 8

sono irrilevanti in quanto si può ottenere lavoro da qualsiasi corpo. Potremmo esaurire tutta lâ&#x20AC;&#x2122;energia di un corpo di grandi dimensioni e ottenere in tutta libertà un sacco di lavoro utilizzabile, il sogno di energia pulita tramutato in realtà. Oltre a questo, questi processi sono di efficienza uguale a uno. Inoltre, si può dimostrare semplicemente che tutti i motori reversibili hanno la pi` u bassa efficienza, ma, ahimè, i motori sono inutili. In secondo luogo, il fatto che Ramsey postuli che il lavoro non possa essere convertito in calore, significa che i corpi meccanicamente interagenti con altri corpi a temperature negative non possono dissipare energia per attrito! In tal modo essi potrebbero spostarsi in un mezzo come se il corpo a temperatura negativa fosse un perfetto superfluido. Molto strano.

2.4

Instabilit` a a temperatura negativa

Nonostante che nessuna violazione della seconda legge sia consentita, siamo in grado di dimostrare che i sistemi a temperatura negativa non sono del tutto stabili. Si può vedere che se un sistema in uno stato di temperatura negativa interagisce con un altro che può avere solo temperatura positiva, allora lo stato di equilibrio è sempre uno stato con una temperatura positiva comune, indipendentemente dalle dimensioni di entrambi i sistemi. Immaginate il caso estremo in cui il secondo sistema è molto pi` u piccolo di quello a temperatura negativa, in modo tale che dovrebbe essere considerato solo come una perturbazione. Esso non costituisce una perturbazione e, necessariamente, toglierà via il sistema pi` u grande dallo stato di temperatura negativa, convertendolo in uno a temperatura positiva. Pertanto, gli stati con temperature negative non sono stabili sotto lâ&#x20AC;&#x2122;azione di piccole, altrimenti arbitrarie, perturbazioni. Questo risultato segue semplicemente dalla seconda legge a causa della illimitatezza del numero di stati di sistemi che possono avere solo temperature positive. Un tale argomento indica che un sistema in uno stato macroscopico a cui corrisponderebbe una temperatura negativa non può stabilizzarsi. Alla fine passerà la sua energia ad un qualsiasi â&#x20AC;&#x153;normaleâ&#x20AC;? corpo con cui interagisce, e necessariamente lascerà quello stato. In assenza di tale stabilizzazione lâ&#x20AC;&#x2122;esistenza di processi reversibili non può essere postulata. Come discusso in precedenza, questo impedisce anche di definire i concetti di temperatura ed entropia. Questa discussione, naturalmente, non implica che i sistemi non possano essere portati in stati macroscopici che corrispondano a temperature negative, ed infatti è stato fatto in sistemi magnetici e, molto recentemente, in reticoli ottici ultrafreddi. Tuttavia, questi stati sono necessariamente instabili. Una domanda interessante emerge se si immagina un sistema che può solo accedere a temperature negative. Allora, cosa succederebbe se fosse messo in contatto con un sistema che accede solo a temperature positive? 9

Poich´e l’energia fluisce sempre dal corpo pi` u caldo al pi` u freddo in accordo con Clausius, allora un possibile scenario `e che tutta l’energia passi al corpo “normale” e il pi` u caldo assuma lo stato quantico unico di energia massima, contribuendo zero all’entropia totale. Questo ricorda un fluido in coesistenza con la sua fase superfluida, quest’ultima essendo posta effettivamente a temperatura zero in un solo macroscopico stato quantico. Non sappiamo di un sistema che possa assumere solo temperature negative, tranne forse il mare di Dirac di elettroni con energie negative (le cui eccitazioni sono i positroni ad energia positiva). Potrebbe essere che lo squilibrio di materia e antimateria nell’Universo sia dovuto a un effetto entropico simile a questo?

Riferimenti bibliografici [1] V. R. Rochin: Are absolute negative temperatures meaningful?, arxiv.org, 2013. [2] S. Braun, J. P. Ronzheimer, M. Schreiber, S. S. Hodgman, T. Rom, I. Bloch, U. Schneider: Negative Absolute Temperature for Motional Degrees of Freedom, Science, 2013.