CAPÍTULO 1. OPERACIONES BÁSICAS CON POLINOMIOS El álgebra se ocupa de sistemas matemáticos. El más fundamental de ellos es el sistema numérico. El álgebra elemental es una generalización de la aritmética ya que mientras que en ésta se usan números reales, que son específicos, en el álgebra se emplean símbolos, que normalmente son letras del alfabeto, considerados como números generales o literales. Los números literales se utilizan en el álgebra para poder considerar propiedades generales de los números, y no sus atributos específicos. 1.1.
NOTACIÓN
Y TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA
Un término puede ser un número específico, un número literal, un producto de ellos, cociente, o una extracción de raíz. Las cantidades 5,
3a,
-
xy,
5b c
,
7z
constituyen ejemplos de términos. Normalmente se escribe el número específico presente en un término como el primer símbolo de éste y se le llama coeficiente numérico del término. Cuando no aparece ningún número específico en un término, como por ejemplo en xy, el coeficiente numérico es 1. Si un término no tiene signo indicado que lo preceda, como en 3a, se toma como implícito el signo positivo. Una expresión simboliza una combinación de términos mediante adición y sustracción. Las cantidades 12,
6a,
10x -
3 y
,
7abc -
9x y
+
xz
son ejemplos de expresiones. Cuando los números literales de una expresión aparecen únicamente en sumas, diferencias o productos, se dice que la expresión es un polinomio. Por ejemplo, las cantidades 12ab,
5a - 6cde,
7xy + az – 2b + 3
son polinomios. Se llama monomio a un polinomio que contiene sólo un término, como 2xy. Un polinomio con dos términos, como 3ab – 2, se llama binomio. Un polinomio con tres términos, como 6xyz – 7y + a, se denomina trinomio. El grado de un polinomio con respecto a un número literal es el exponente mayor de este número presente en el polinomio. Por ejemplo, x5 y – 7x4 y2 – 2x3 y3 + 9y4 es un polinomio de grado 5 en x y de grado 4 en y.
1.2.
EVALUACIÓN
DE EXPRESIONES
El valor numérico de una expresión puede calcularse cuando a cada número literal de la expresión se le asigna un valor específico. Se llama evaluación al proceso de calcular el valor numérico de una expresión.
3
Para evaluar una expresión se sustituye el valor específico dado de cada número literal. Los cálculos se facilitan, y la posibilidad de errores se reduce, cuando el valor específico de cada literal se sustituye usando paréntesis antes de efectuar las operaciones. Cabe mencionar que el valor específico asignado a una literal puede variar de un problema a otro, pero permanece fijo para dicha literal durante un problerma determinado. EJEMPLO: Evaluar la expresión a – 2 (3b + c), dado que a = 3, b = - 1 y c = - 4 a – 2 (3b + c) = 3 - 2 [3 (- 1) + (- 4)] = 3 - 2 (- 3 - 4) = 3 – 2 (- 7) = 3 + 14 = 17 1.3.
ADICIÓN
Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
La suma de dos números literales a y b puede indicarse simplemente como a + b. Los números a y b se llaman términos de la suma. Se denominan términos semejantes los que poseen factores literales idénticos, es decir que son productos de las mismas letras con los mismos exponentes. Los coeficientes numéricos pueden o no ser los mismos. Por ejemplo, 2abc, 3bac y – 10cba son términos semejantes, mientras que 2abc y 3abd no lo son. Cuando los términos que hay que sumar son semejantes, se deben sumar sus coeficientes, obteniéndose así el coeficiente de la suma, que será similar a los términos sumados. La suma se puede simplificar mediante el uso de la ley distributiva de la multiplicación: Si a, b, c ∈ R, entonces a (b + c) = ab + ac a (b – c) = a [b + (- c)] = a (b) + a (- c) = ab – ac - a (b + c) = - a (b) + (- a) (c) = - ab - ac - a (b – c) = (- a) (b) – (- a) (c) = - ab + ac EJEMPLO 1: 4a + a – 8a = (4 + 1 – 8)a = - 3a Los polinomios se suman combinando únicamente los términos semejantes presentes en ellos. EJEMPLO 2: (3a - 2b + c) + (6a + 4b – 5c) = 3a - 2b + c + 6a + 4b – 5c = (3a + 6a) + (- 2b + 4b) + (c – 5c) = (3 + 6)a + (- 2 + 4)b + (1 – 5)c = 9a + 2b – 4c En lenguaje algebraico la operación de restar b de a se simboliza a – b, que es lo mismo que a + (- b). Esto es, para restar b de a se suma el inverso aditivo (o negativo) de b al número a. Cuando los términos que hay que restar son semejantes, se puede simplificar la diferencia empleando la ley distributiva de la multiplicación. EJEMPLO 3: (8a) – (3a) = 8a – 3a = (8 – 3)a = 5a (8a) – (- 3a) = 8a + 3a = (8 + 3)a = 11a (- 8a) – (3a) = - 8a – 3a = (- 8 – 3)a = - 11a (- 8a) – (- 3a) = - 8a + 3a = (- 8 + 3)a = - 5a
4
Para efectuar la sustracción de un polinomio, llamado el sustraendo, de otro polinomio, llamado el minuendo, se suma este último con el inverso aditivo del sustraendo y se combinan los términos semejantes. El inverso aditivo de un polinomio es el que se obtiene sumando los inversos aditivos de todos los términos del polinomio. EJEMPLO 4: (8a + 6b – 2) – (3a – 2b + 5) = 8a + 6b – 2 – 3a + 2b - 5 = (8a – 3a) + (6b + 2b) + (- 2 – 5) = (8 – 3)a + (6 + 2)b + (- 2 – 5) = 5a + 8b – 7 1.4.
SÍMBOLOS
DE AGRUPACIÓN
Los símbolos de agrupación, como son los paréntesis ( ), llaves { } y corchetes [ ], se utilizan para señalar, de una manera sencilla, más de una operación. Por ejemplo, cuando se escribe el binomio 3a + 5b como (3a + 5b), se está considerando la suma de 3a y 5b como una sola cantidad. Asimismo, la expresión a – (b + c) significa que la suma de b y c se va a restar de a. Eliminar o suprimir los símbolos de agrupación significa efectuar las operaciones indicadas por ellos. Se eliminan los símbolos de uno en uno, empezando con el que está situado más adentro, siguiendo el orden propio de las operaciones que hay que efectuar. EJEMPLO: Eliminar los símbolos de agrupación y reducir términos semejantes: 6a – {2b + [3 – (a + b) + (5a – 2)]} = 6a – {2b + [3 – a - b + 5a – 2]} = 6a – {2b + 3 – a - b + 5a – 2} = 6a – 2b - 3 + a + b - 5a + 2 = (6a +a – 5a) + (- 2b + b) + (- 3 + 2) = 2a – b – 1 A veces es necesario agrupar algunos términos de una expresión. Esto se puede llevar a cabo mediante el uso de paréntesis. Cuando un símbolo de agrupación está precedido por un signo positivo (+), los signos de los términos no se alteran; cuando va precedido por un signo negativo (-), se utilizan los inversos aditivos (negativos) de los términos. EJEMPLO: Agrupar los tres últimos términos del polinomio 3a – 5b + c – 2 con un símbolo de agrupación en dos formas, una precedida por un signo positivo y la otra precedida por uno negativo. 3a – 5b + c – 2 = 3a + (– 5b + c – 2) no hay cambio de signo 3a – 5b + c – 2 = 3a – (5b - c + 2) negativos
5
1.5. 1.5.1.
MULTIPLICACIÓN DEFINICIÓN
DE POLINOMIOS
Y NOTACIÓN
El producto de dos números naturales, 3 y 4 por ejemplo, se define como 3×4=4+4+4 Análogamente,
tres términos de 4
5a = 5 ⋅ a = a + a + a + a + a 4ab = ab + ab + ab + ab ab = a × b = b + b + ... + b
cinco términos de a cuatro términos de ab a términos de b
Las siguientes son algunas de las leyes de la multiplicación de números reales: 1. 2. 3. 4.
Ley conmutativa de la multiplicación: Ley asociativa de la multiplicación: Ley distributiva de la multiplicación: Multiplicación de números con signo:
ab = ba a (bc) = (ab)c a (b + c) = (b + c)a = ab + ac (+ a)(+ b) = + ab; (+ a)(- b) = - ab (- a)(+ b) = - ab; (- a)(- b) = + ab
Cuando se tiene a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a, esto es, cinco factores de a, se emplea la notación a5, la cual se lee “a a la quinta potencia”. El número a se llama base y el 5, exponente. Cuando no hay este último, como en x, se supone siempre x a la potencia 1. Así pues, si a ∈ R, m ∈ Z, entonces el producto se define como am = a ⋅ a ⋅⋅⋅ a m factores Nótese la diferencia entre: 2a3 = 2(a ⋅a ⋅ a) (2a)3 = (2a)(2a)(2a) = (2 ⋅ 2 ⋅ 2)(a ⋅ a ⋅ a) = 23 a3 = 8a3 (- 2)4 = (- 2)(- 2)(- 2)(- 2) = + 16 -24 = - (24) = - (2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2) = - 16 Nótese también que a, a2, a3, ... no son términos semejantes.
1.5.2.
MULTIPLICACIÓN
DE MONOMIOS
TEOREMA 1: Si a ∈ R y m, n ∈ Z, entonces am ⋅ an = a m + n. Es decir, bases iguales que se multiplican, la base permanece y los exponentes se suman. EJEMPLOS:
a2 ⋅ a4 = a 2 + 4 = a6 - 3x3 ⋅ x2 = - 3x 3 + 2 = - 3x5 2 (a + 1) ⋅ (a + 1)3 = (a + 1) 2 + 3 = (a + 1)5
Nótese que 23 ⋅ 27 = 2 3 + 7 = 210, NO 410
6
Ahora bien, puesto que las leyes conmutativa y asociativa de la multiplicación son válidas para números, lo mismo específicos que literales, se tiene: EJEMPLOS: (2x2yz3)(- 4x3y2) = (2)(- 4)(x2 ⋅ x3)(y ⋅ y2)(z3) = - 8x5y3z3 (- 32xy2)(- 5x2y3) = (- 9)(- 5)(x ⋅ x2)(y2 ⋅ y3) = 45x3y5 TEOREMA 2: Si a ∈ R y m, n ∈ Z, entonces (am) n = a mn. Esto es, para elevar un término a una potencia determinada, la base permanece y los exponentes se multiplican. EJEMPLOS:
(x2)4 = x 2 ⋅ 4 = x8 - a2)3 = - a 2 ⋅ 3 = - a6 (- a3)2 = a 3 ⋅ 2 = a6
TEOREMA 3: Si a, b ∈ R y m ∈ Z, entonces (ab)m = am bm. Es decir, para elevar un producto a una potencia determinada, cada factor se eleva a la potencia indicada. COROLARIO: Al aplicar los Teoremas 3 y 2, cuando a, b ∈ R y m, n, k ∈ Z, se obtiene (a m b n)k = [(a m)(b n)] k = (a m) k (b n) k = a mk b nk EJEMPLOS:
(- 2a2b3)3 = (- 2)3 (a2)3 (b3)3 = - 8a6 b9 (- 3ab2)4 = (- 3)4 (a)4 (b2)4 = 81a4 b8 (3x2 y)2 (2xy3)3 = (32 ⋅ 23)(x4 ⋅ x3)(y2 ⋅ y9) = (9 ⋅ 8)x7 y11 = 72x7 y11 (2ab)4 (- a3b)2 – (- 3a2)3 (a2 b3)2 = (16a4 b4)(a6 b2) – (- 27a6)(a4 b6) = 16a10 b6 + 27a10 b6 = 43a10 b6
1.5.3.
MULTIPLICACIÓN
DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO
A veces, es necesario usar muchos números literales en un problema. Para no emplear gran parte del alfabeto, puede utilizarse una letra con subíndices, como a1 (que se lee “a sub uno”), a2 (que se lee “a sub dos”), y así sucesivamente. Recuérdese que a1, a2, a3, ... representan números diferentes. Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la ley distributiva extendida de la multiplicación: a (b1 + b2 + ... + bn) = ab1 + ab2 + … + ab n En otras palabras, para multiplicar un monomio por un polinomio, simplemente se multiplica cada término del polinomio por el monomio y se hace la suma de los productos parciales. EJEMPLOS:
3a2b (a2b – 2b2c + 5c2a) = (3a2b)(a2b) + (3a2b)(-2b2c) + (3a2b)(5c2a) = 3a4b2 – 6a2b3c + 15a3bc2 2x (3x – 4) – 6x (x – 2) = 6x2 – 8x – 6x2 + 12x = 4x
7
3x − 2 2 x − 1 12 3 x − 2 2x −1 12 − − = 4 6 1 4 6
12 3 x − 2 12 2 x − 1 − 1 1 4 6 = 3 (3x – 2) – 2 (2x – 1) = 9x – 6 – 4x + 2 = 5x – 4
=
1.5.4.
MULTIPLICACIÓN
DE POLINOMIOS
Para multiplicar un polinomio por otro, se considera al primer polinomio como una cantidad y se aplica la ley distributiva. Por ejemplo: (x + 2)(x – 3) = (x + 2)(x) + (x + 2)(- 3) = x (x + 2) + (- 3)(x + 2) Luego se vuelve a aplicar dicha ley: = x2 + 2x – 3x – 6 = x2 – x – 6 Nótese que cada término del segundo polinomio ha sido multiplicado por cada uno de los términos del primer polinomio. Además, en muchos problemas aparecen una y otra vez para ser multiplicados, algunos factores que son expresiones algebraicas de un cierto tipo. En consecuencia, vale la pena aprender a escribir rápidamente los productos A continuación se enlistan algunas fórmulas para la multiplicación que condensan en buena medida el procedimiento usado arriba. Cada fórmula se puede verificar desarrollando la multiplicación indicada en el lado izquierdo. Estas fórmulas se deben memorizar y aplicarlas hasta adquirir el dominio en la obtención de los productos formados con factores de estos tipos y, en forma recíproca, hay que ser capaz de obtener los factores a partir de los productos dados. Estos productos se llaman productos notables: 1. Cuadrado de un binomio
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
2. Producto de dos binomios conjugados
(a + b)(a - b) = a2 – b2
3. Cubo de un binomio
(a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3
4. Suma de dos cubos
(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3
5. Diferencia de dos cubos
(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
6. Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
NOTA:
8
(a ± b)2 ≠ a2 ± b2 (a ± b)3 ≠ a3 ± b3 (x + a)(x + b) ≠ x2 + ab
1.6.
DIVISIÓN
DE POLINOMIOS
Las siguientes son algunas de las propiedades de las fracciones:
a ac = b bc a c ad ÷ = b d bc
1.
a +b a b = + c c c
2.
3.
a c ac ⋅ = b d bd
4.
(Recuérdese que la división por cero no está definida y, por tanto, todos los denominadores se suponen distintos de cero). 1.6.1. DIVISIÓN
DE MONOMIOS
TEOREMA 4: Si a ∈ R, a ≠ 0, y m, n ∈ Z, entonces
− 30 a
EJEMPLO: Simplificar − 30 a 12 a
2
3
b
b
12 a 2
=-
4
2
3
b
b
a
m
a
n
a m −n = 1 1 n −m a
cuando m > n cuando m = n cuando m < n
2
aplicando las leyes de los exponentes
4
30 a ⋅ 12 a
3
⋅
2
b
2
b
4
=−
6 5 a 3 −2 1 5a ⋅ ⋅ ⋅ =− 4 −2 6 2 1 b 2b 2
a b
m
TEOREMA 5: Si a, b ∈ R, b ≠ 0, y m ∈ Z, entonces
=
a
m
b
m
COROLARIO: Si a, b, c, d ∈ R, c ≠ 0, d ≠ 0, y m, n, p, q, k ∈ Z, entonces haciendo uso de los Teoremas 2, 3 y 5, se tiene a c
m
b
n
p
d
q
k
=
(a (c
m
b
n
p
d
q
) )
k k
=
a
mk
b
nk
c
pk
d
qk
2x 4 y z EJEMPLO: Al aplicar las leyes de los exponentes, simplificar la expresión 6x y 2 2x 4 y z 6x y 2
3
x 3 z = 3y
3
=
x
9
z
3
3
3
y
3
=
z
3
27 y
3
x
9
3
9
1.6.2. DIVISIÓN
DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO
De las propiedades de las fracciones se tiene que
a1 + a 2 ++ a n a Recuérdese que
Además,
=
a1 a
+
a2 a
+ +
an a
a +b significa (a + b) ÷ c c
a +b a +b a b b ≠ b , pues = + =1 + a a a a a
Así pues, para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada término del polinomio por el monomio.
3a
EJEMPLOS: 1) Dividir
3a
2) Dividir
3
3
−2 a 2 b −a b − ab
−2 a 2 b −a b − ab
2
y simplificar
2
=
3a 3 −2a 2 b −ab 2 3a 2 + + =− + 2a + b − ab − ab − ab b
( 3x + a ) 2 − a ( 3x + a ) ( 3x + a )
y simplificar
( 3x + a ) 2 − a ( 3x + a ) ( 3x + a ) ( 3x + a ) 2 ( 3x + a) 1.6.3.
DIVISIÓN
−
=
a ( 3x + a ) = ( 3x + a ) − a = 3x + a − a = 3x ( 3x + a )
DE DOS POLINOMIOS
La división se define como la operación inversa de la multiplicación. Para efectuar la división de dos polinomios, el procedimiento es semejante al de la división larga en la aritmética: 1. Arreglar el dividendo (numerador) y el divisor (denominador) en orden descendente de las potencias de una de las literales, dejando un espacio para cualquier potencia faltante de la letra en el dividendo. 2. Dividir el primer término del dividendo por el primer término del divisor para obtener el primer término del cociente. 3. Multiplicar este primer término del cociente por cada término del divisor y restar el resultado del dividendo, colocando los términos debajo de los correspondientes términos semejantes del dividendo.
10
4. Considerar el residuo así obtenido como un nuevo dividendo y repetir los pasos 2 y 3 para encontrar el segundo término del cociente y el siguiente residuo. 5. Continuar este proceso hasta que se obtenga un residuo que sea cero o bien hasta que el grado del polinomio recién obtenido, con respecto a la literal empleada en la ordenación del dividendo, sea por lo menos una unidad menor que el grado del divisor en dicha literal. Si el residuo es cero, entonces la división es exacta y el resultado se puede expresar como
dividendo = cociente divisor Si el residuo no es igual a cero, entonces se expresa el resultado como
dividendo residuo = cociente + divisor divisor En cualquier caso, se puede comprobar el resultado mediante la relación (cociente × divisor) + residuo = dividendo NOTA:
Para poder dividir dos polinomios es necesario que el dividendo sea de grado mayor o igual que el divisor. Además, no hay que olvidar la aplicación de la regla de los signos para la división. EJEMPLO: Dividir (19x2 – 10x3 + x5 – 14x + 6) por (x2 + 1 – 2x) Se escribe el dividendo como x5 – 10x3 + 19x2 – 14x + 6, y el divisor como x2 – 2x + 1
x
2
x
3
− 2x +1 x
5
−x
5
+ 2x
2
− 7x − 10 x
+ 2x 2x − 2x
4
+3 3
+ 19 x
2
− 14 x + 6
2
− 14 x + 6
−
x
3
4 −
11x
3
+ 19 x
+ 4x
3
−
− 7x
3
+ 17 x
2
− 14 x + 6
+ 7x
3
− 14 x
2
+
3x
2
− 7x + 6
− 3x
2
+ 6x − 3 − x +3
4
2x
2
7x
Entonces (19x2 – 10x3 + x5 – 14x + 6) ÷ (x2 + 1 – 2x) = x3 + 2x2 – 7x + 3 -
x −3 x
2
− 2 x +1
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