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Tutorial: Modellazione dei tamponamenti in muratura nelle analisi sismiche di strutture a telaio in CA Dott.Ing. Laura Capra
MIDAS/Gen 7.2.0.
Modellazione dei tamponamenti Il ruolo de tamponamenti nella risposta dinamica degli edifici soggetti a carichi laterali è
riconosciuto
sia
progettazione
a
delle
livello
teorico
sia
strutture non
in
campo
indicano però
normativo;
con quali
i
codici
che
metodologie,
regolano
teoriche
e
la
di
calcolo, affrontare questo problema.
Attraverso un parallelo con la tecnica di modellazione ad oggi in uso per lo studio del
comportamento di un telaio in calcestruzzo armato è possibile definire una metodologia di
calcolo per le strutture tamponate. Essa si basa sulla rappresentazione dei pannelli in
muratura mediante una coppia di puntoni resistenti solamente a compressione, ai quali
viene poi associato un legame Forza-Deformazione di tipo non lineare.
1.1 Comportamento delle murature sotto carichi laterali È
ragionevole
pensare
che,
per
valori
modesti
di
forze
orizzontali,
gli
elementi
di
calcestruzzo armato e i pannelli in muratura di una struttura intelaiata restino in sostanza a
contatto gli uni con gli altri, comportandosi in modo unitario.
La validità di tale assunzione è però pregiudicata dall’aderenza davvero modesta che si
instaura tra gli elementi in calcestruzzo e pannello, specialmente nel caso in cui costruendo
la tamponatura dopo l’indurimento del calcestruzzo non si ricorra ad appositi connettori.
Inoltre con l’aumento delle deformazioni laterali il comportamento della struttura diventa
molto più complesso a causa del tentativo del telaio di deformarsi a flessione, mentre il
pannello cerca di deformarsi a taglio, come mostra la Figura 1 .
Figura 1: Deformazione laterale del telaio sotto carichi orizzontali
Il risultato è il distacco del pannello dalla maglia strutturale, accompagnato da un certo
scorrimento relativo sia nel senso orizzontale sia nel senso verticale. Mentre all'inizio gli
elementi del telaio, a contatto con la tamponatura, sono soggetti essenzialmente a sforzi
assiali, a seguito alla separazione intervengono anche importanti sollecitazioni flessionali.
Nello stesso tempo, il funzionamento a taglio del pannello si trasforma nel funzionamento
a
puntone
equivalente
disposto
secondo
la
diagonale
della
tamponatura.
Con
ciò
si
intende che gli sforzi prevalenti nel muro sono adesso le tensioni normali di compressione
che viaggiano tra gli angoli caricati, rimasti a contatto col telaio. Viceversa, gli sforzi di
taglio perdono importanza anche per le lesioni inclinate che si formano nel pannello al
crescere dei carichi, che all'invertirsi delle azioni assumono la classica forma a X.
Nella seconda fase, quando è avvenuto il distacco fra il pannello e la maglia strutturale e,
soprattutto,
la
fessurazione
per
taglio
del
muro,
è
spontaneo
schematizzare
il
telaio
tamponato come un telaio controventato da bielle diagonali reagenti solo a compressione
e connesse con delle cerniere agli angoli della maglia.
1.2 Legame costitutivo proposto da Panagiotakos e Fardis Per la modellazione numerica dei pannelli Panagiotakos e Fardis propongono il modello di
puntone equivalente, con l’associazione di un legame del tipo forza - spostamento per il
pannello in muratura sottoposto a soli carichi laterali.
La curva scheletro che rappresenta tali relazioni definisce tre rami che si riferiscono ai
meccanismi
che
governano
il
comportamento
della
tamponatura:
prima
parte
non
fessurata in cui è preponderante la resistenza a taglio, tratto post-fessurazione in cui
prevalgono le compressioni, parte finale di softening in cui viene meno la resistenza del
pannello; viene considerata nulla la resistenza a trazione dell’elemento.
Figura 2: Curva del legame definito da Panagiotakos e Fardis
I parametri che, in base alle caratteristiche della muratura, definiscono i tre rami della curva
nella fase di compressione sono:
-
rigidezza del tratto iniziale non fessurato:
R1 = Gw ⋅ t w ⋅ lw / hw
(1.1)
-
carico di fessurazione:
Fy = fws ⋅ t w ⋅ lw
(1.2)
-
rigidezza secante del secondo tratto:
R2 = Ew ⋅ t w ⋅ b w
(1.3)
-
carico massimo
Fm = 1,3 ⋅ Fy
(1.4)
-
R3 = α ⋅ R1
rigidezza del tratto di softening:
(la
percentuale
α
di
rigidezza
del
ramo
di
softening
è
(1.5)
da
valutare
in
base
alle
caratteristiche di duttilità della muratura e varia da 0,1 per murature fragili a 0,01 per
elementi duttili )
-
Fu = 0,1⋅ Fy
carico residuo dopo la rottura
(1.6)
con:
w
b : larghezza del puntone, valutata con la formula di Klinger e Bertero :
b w = 0,175 ⋅ ( λ ⋅ hw )
−0,4
⋅ h2w + l2w
λ=
4
Ew ⋅ t w ⋅ sin ( 2θ )
(1.7)
4 ⋅ Ec ⋅ Ip ⋅ hw
w
G : modulo di taglio della muratura secondo la prova di compressione diagonale
w
E : modulo elastico della muratura secondo la prova di compressione diagonale
ws: resistenza a taglio secondo la prova di compressione diagonale
f
w
t : spessore del paramento murario
w
l : lunghezza del paramento murario
w
h : altezza del paramento murario
Inserimento
dei
tamponamenti
in
Midas/Gen Nel programma di calcolo Midas/Gen ogni pannello viene rappresentato da una coppia di
elementi
truss
posizionate
che
collegano
esattamente
negli
gli
angoli
angoli
opposti
della
maglia,
del
ma
telaio.
sono
Le
bielle
traslati
non
verso
il
vengono
basso,
a
contatto col pilastro, in modo da tener conto del fatto che il contatto tra pannello e
puntone equivalente non è puntiforme.
L’inserimento dei puntoni viene fatto secondo la seguente procedura:
1) CREAZIONE DELLA SEZIONE DELLA BIELLA TEORICA Tale sezione ha spessore pari a quello del muro e larghezza bw calcolata in base alla
formula (1.7) illustrata precedentemente. Dovrà essere creata una sezione per ciascuna
tipologia
di
pannello,
ossia
ogni
qual
volta
cambino
le
proprietà
meccaniche
del
paramento, la sua geometria o le caratteristiche dei pilastri adiacenti.
2) INSERIMENTO DEI PUNTONI L’elemento truss non deve essere applicato in corrispondenza dell’intersezione degli
assi degli elementi strutturali, ma deve essere traslato (si veda per questo la Figura 3):
-
in orizzontale: della distanza pari all’ingombro del pilastro
-
in verticale: della distanza pari a 1/15 della luce libera del pilastro
Figura 3: Posizionamento della biella e vincoli
3) VINCOLI MUTUI PILASTRO-BIELLA Per vincolare gli spostamenti del puntone alle deformazioni del telaio in cui è inserito
vengono utilizzati i
proiezione
sul
rigid link,
pilastro.
in modo da collegare l’estremità della biella alla sua
Poiché
il
vincolo
ha
effetto
solo
suddividere precedentemente il pilastro in tre sottoelementi.
sui
nodi
è
necessario
Nella definizione del vincolo è necessario che siano selezionate solamente le opzioni
che agiscono sulla distanza tra i nodi e non sulla rotazione.
Figura 4: Finestra di assegnazione dei vincoli
4) CREAZIONE DEI LEGAMI A COMPORTAMENTO NON LINEARE La definizione del legame forza-spostamento di tipo non lineare avviene attraverso
l’assegnazione del legame isteretico tetralineare di Takeda.
Per ogni tipologia di tamponamento dovrà essere definita una diversa
Property
Inelastic Hinge
secondo la procedura seguente:
Model
Properties Inelastic Hinge Properties Add
Finestra
Add /Modify Inelastic Hinge Properties
Name
: nome del legame
Yield Strength Calculation Method: Type
:
selezionare
Truss
selezionare
(automaticamente
il
User Imput campo
Definition
si
porterà
Skeleton)
Component Properties
: selezionare
Properties
Fx,
Takeda tetralinear in Hysteresis Model
: cliccare per aprire la finestra di definizione dei parametri di resistenza
su
Figura 5:Creazione delle Inelastic Hinge Properties
5) DEFINIZIONE DEI PARAMETRI NEL LEGAME Il legame Takeda tetralineare implementato in Midas/Gen ha validità sia nel campo di
trazione
sia
in
quello
di
compressione
dell’elemento;
per
ogni
ambito
la
curva
scheletro è individuata dai quattro punti che delimitano l’ambito validità di ciascun
campo lineare con pendenza differente.
A differenza di questo modello generale il legame che definisce il comportamento dei
pannelli
è
trilineare
ed
ha
significato
solo
in
regime
di
compressione
(a
meno
di
parametri nella resistenza a trazione introdotti per assicurare la convergenza numerica
delle
simulazioni).
Per
adattare
il
legame
al
modello
presente
alcune variazioni così come descritto in seguito.
Finestra
Directional Hinge Properties: Takeda Tetralinear
Type
: Selezionare
Yield Properties: Imput Type
Asimmetric selezionare
: selezionare
User Imput
Strenght – Yield Displacement
verranno
introdotte
Figura 6: Definizione dei parametri di resistenza nel modello Takeda I valori contenuti nei campi
Yield Strength
base ai parametri Ny, Nm, Nu e
e
Yield Displacement
δy, δm, δu calcolati
vengono introdotti in
in base al modello di Panagiotakos e
Fardis così come illustrato nel Paragrafo 1.3.
Yield Strength
Trazione
Yield Displacement
Compressione
Trazione
Compressione
P1
0,01 Ny
P1
Ny
D1
≈ 5 δy
D1
δy
P2
0,01 Nm
P2
(Nm+Ny)/2
D2
≈ 2,5 (δy+δy)
D2
(δy+δy)/2
P3
0,01 Nm
P3
Nm
D3
≈ 5 δm
D3
δm
P4
0,01 Nm
P4
Nu
D4
≈ 5 δu
D4
δu
Tabella 1: Parametri di resistenza
6) ASSEGNAZIONE DEI LEGAMI NON LINEARI AGLI ELEMENTI Una volta definito il legame dei tamponamenti è necessario assegnare le Inelastic Hinge
create ai pannelli corrispondenti:
Model
Properties Inelastic Hinges …
Finestra
Directional Hinge Properties: Takeda Tetralinear
Option
: Selezionare
Element Type:
Add/Replace
selezionare
Truss
Inelastic Hinge Property
:
selezionare
il
nome
del
legame
costitutivo
del
tamponamento
Selezionare gli elementi a cui applicare il legame, cliccare poi su Add
Figura 7: Finestra di assegnazione delle Hinge Properties
1.3 Definizione dei parametri nel legame Takeda tetralineare
Per ogni tipologia di pannello devono essere definiti i parametri che ne descrivono il
comportamento
al
crescere
del
carico.
Nella
loro
formulazione
Panagiotakos
e
Fardis
definiscono i valori di riferimento per i tratti lineari della curva scheletro attraverso la
pendenza del grafico R e la forza F corrispondente al cambio di pendenza.
Nel legame Takeda tetralineare viene richiesto per ogni punto significativo del grafico
l’inserimento della coppia corrispondente Sforzo-Deformazione. È da considerare inoltre
che:
-
la sollecitazione considerata
nella formulazione teorica del legame è quella orizzontale
imposta sul telaio che circonda il pannello, mentre per la definizione del legame del
puntone è necessario ricavare la forza assiale imposta alla biella per effetto di tale forza
orizzontale.
-
Allo stesso modo l’ascissa del grafico rappresenta lo spostamento orizzontale del
telaio, per cui è necessario ricavare l’accorciamento corrispondente subito da tale
puntone.
PARAMETRI RIFERITI AL TELAIO (ORIZZONTALE)
Fy = fws ⋅ t w ⋅ lw Dy = Fy / R1 = fws ⋅ hw / Gw
Massima resistenza “a taglio“
Resistenza massima
Resistenza ultima
Fm = 1,3 ⋅ fws ⋅ t w ⋅ lw Dm − Dy = (Fm − Fy )/ R2 = 0,3 ⋅ fws ⋅ lw / Ew ⋅ b w
Fu = 0,1⋅ fws ⋅ t w ⋅ lw Du − Dm = (Fm − Fu )/ R3 = (1,2 ⋅ fws ⋅ hw ) / α ⋅ Gw
[ α= 0,1÷ 0,01]
PARAMETRI RIFERITI ALLA BIELLA
Angolo di inclinazione della diagonale
θ= arctg(hw / lw )
hw h = fws ⋅ t w ⋅ lw ⋅ 1+ w Ny = Fy ⋅ 1+ lw lw Massima resistenza “a taglio“ δ = D / cos θ = f ⋅ h / G ⋅ cos θ ( ws w ) ( w ) y y
Resistenza massima
hw h = 1,3 ⋅ fws ⋅ t w ⋅ lw ⋅ 1+ w Nm = Fm ⋅ 1+ lw lw δm − δy = (Dm − Dy ) / cos θ = ( 0,3 ⋅ fws ⋅ lw ) / (Ew ⋅ b w ⋅ cos θ )
hw h = 0,1⋅ fws ⋅ t w ⋅ lw ⋅ 1+ w Nu = Fu ⋅ 1+ lw lw δu − δm = (Du − Dm ) / cos θ = (1,2 ⋅ fws ⋅ hw ) / ( α ⋅ Gw ⋅ cos θ )
Resistenza ultima
[ α= 0,1÷ 0,01]
1.4 Caratteristiche dei materiali Le caratteristiche meccaniche principali che definiscono il comportamento della muratura
w
w e la resistenza a taglio fws.
sono il modulo di taglio G , il modulo elastico E
In
mancanza
di
informazioni
dirette
sulle
caratteristiche
dei
materiali
è
possibile
fare
riferimento ai parametri meccanici definiti in normativa.
Resistenza a taglio fws Il Decreto Ministeriale del 20/11/1987 “Norme
tecniche per la progettazione, esecuzione e
collaudo degli edifici in muratura e per il loro consolidamento”
stabilisce che la resistenza
caratteristica a taglio della muratura venga definita come resistenza all’effetto combinato
delle forze orizzontali e dei carichi verticali agenti nel piano del muro; tale valore può
essere ricavato tramite la seguente relazione:
fvk = fvk0 + 0,4 ⋅ σn vko
in cui f
è la
(1.8)
resistenza caratteristica a taglio in assenza di carichi verticali e
σn
è la
tensione normale media dovuta ai carichi verticali agenti nella sezione di verifica. Nel caso
in esame
σn
è dovuto al solo peso proprio della muratura, per cui questo contributo alla
resistenza a taglio può essere trascurato.
vko
Inoltre si stabilisce che la resistenza caratteristica f
può essere ottenuta dalla resistenza
media con
fvk0 = 0,7 ⋅ fvm vko viene stabilito in base alle seguenti tabelle:
In cui f
(1.9)
Figura 8: Valore di fvk0 per murature di elementi artificiali in laterizi pieni e semipieni
Figura 9: Valore di fvk0 per murature di elementi artificiali in calcestruzzo pieni e semipieni
Moduli di elasticità normale E e tangenziale G Il Decreto Ministeriale del 20/11/1987 non fornisce indicazioni dirette per determinare il
modulo elastico E, ma dispone che convenzionalmente si possa assumere il valore di 1000
vk;
f
tale indicazione viene ripresa anche dall’Eurocodice 6. Il legame tra il modulo di
w
elasticità tangenziale G
w
ed il modulo elastico E
viene definito
poi attraverso il modulo di
Poisson e vale:
Gw =
Ew ≅ 0,4 ⋅ Ew 2 ⋅ (1+ ν )
(1.10)
L’ordinanza 3274 riporta invece una tabella con le caratteristiche meccaniche relative alle
varie murature:
Figura 10: Proprietà delle murature così come definite dalla O.P.C.M. 3274 del 20.02.2003
Tutorial a cura della Dott.ssa Ing. Laura Capra (capra_laura@yahoo.it) Edizione a cura del BRICK Workgroup – CSPfea (info@cspfea.net) Informazioni commerciali sui prodotti MIDAS: www.CSPFea.net Documentazione teorica e scientifica: www.cspacademy.net