Apostila de Matemática INSS Prof. Guilherme by Guilherme Baggio Marin

CONJUNTOS NUMÉRICOS Resumindo:

NUMEROS INTEIROS (Z) O conjunto dos números inteiros possui infinitos elementos é:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Notações especiais: *

Z Z Z Z *

= Conjunto dos números inteiros sem o zero = Z – {0} = Conjunto dos números inteiros positivos = {0, 1, 2, 3, 4,...} = Conjunto dos números inteiros negativos = {..., -3, -2, -1, 0} = Conjuntos dos números inteiros positivos menos o zero = {1, 2, 3, 4,...}

* 

Z = Conjunto dos números inteiros negativos menos o zero = {...,-3, -2, -1}

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS  Números com sinais iguais somam e conservam o sinal.  Números com sinais diferentes subtraem e conservam o sinal do maior. Ex:

(+4) + (+2) = +6 (- 4) + (- 2) = - 6 (+4) + (- 2) = +2 (- 4) + (+2) = - 2 OBS: É preciso tomar cuidado com os parênteses ( ), existe uma seqüência a seguir e não podemos ignorá-la. Sempre começamos a resolver um exercício pelos parênteses. Ex: 20 – (30 – 10 + 20) =

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Para facilitar a compreensão das regras de sinais na multiplicação, observe a tabela abaixo. (-)x(+)=(-) (-)x(-)=(+) (+)x(-)=(-) (+)x(+)=(+) Ex: a) (+4) x (+5) = +20 b) (+4) x (- 5) = - 20

DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

Para facilitar a compreensão das regras de sinais na divisão, observe a tabela abaixo. (-):(+)=(-) (-):(-)=(+) (+):(-)=(-) (+):(+)=(+) Podemos observar que a tabela da multiplicação é igual à tabela da divisão. Ex:

a) (+20) : (+2) = +10 b) (+20) : ( -2) = - 10

POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Sabemos que, por exemplo, 3 3 = 3 x 3 x 3 = 27. Do mesmo modo, ( -2)3 = ( -2) x ( -2) x ( -2) = - 8.

Algumas Regras De Potenciação  Número positivo elevado a um expoente par ou ímpar resulta sempre em um numero positivo. Ex: (+5)2 = 25 e (+5)3 = 125

 Número negativo elevado a um expoente par resulta em um numero positivo, se elevado a um expoente ímpar, resulta em um número negativo. Ex: (- 2)2 = 4 e (- 2)3 = - 8

 1 elevado em qualquer expoente é sempre 1. Ex: ( 1 )250 = 1

( 1 )27 = 1

 Para multiplicar potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. Ex: 22 x 23 = 25

(- 3)-5 x (- 3)3 = (- 3)-2

 Para dividirmos potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes. Ex: 24 : 22 = 22

(- 2)3 : (- 2)5 = (- 2)-2

 Para elevar uma potência em outra potência, conserva-se a base e multiplicamos os expoentes.





Ex:  2   2  2.2.2.2.2.2  64  Para elevar um produto a uma potência, elevamos cada fator a essa potência. 2 3

Ex: 2.5  2 2.5 2  2.2.5.5  100 2

É preciso tomar cuidado. 2  3  2 2  32 2

2  32  52

 25 e 2 2  32  4  9  13 logo 25  13

 Qualquer número elevado na 0 (zero) é igual a 1. 2 2 2.2 PROVA: 2 0  2 2.2 2  2  1 2.2 2 Ex: (2546)0 = 1

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Agora que sabemos as regras de potenciação, devemos tomar muito cuidado na hora de resolver uma expressão algébrica com potências. Existe uma seqüência hierárquica de resolução que não pode ser quebrada. Começamos sempre pela potenciação, multiplicação ou divisão (na ordem), adição ou subtração (na ordem) não esquecendo também que resolvemos primeiro os parênteses ( ) depois os colchetes [ ] e depois as chaves { }. Ex:

1





  3  1  2  3  1  5  3   7  5  2

COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Consideramos os números -5 e 3. É evidente que – 5 < 3, pois colocando esses números na reta numérica temos:

Portanto, para compararmos dois ou mais números inteiros, basta colocá-los na reta numérica, considerando que um número situado a esquerda de outro é menor que esse outro.

SUCESSOR E ANTECESSOR DE UM NÚMERO INTEIRO CONSECUTIVO Antecessor: é o número que vem antes de outro número. Ex: (- 5) é antecessor de (- 4), 2 é antecessor de 3 e assim por diante. Sucessor: é o número que vem depois de outro número. Ex: 8 é sucessor de 7, (- 3) é sucessor de (- 4) e assim por diante.

INTERVALOS Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos de R chamados intervalos. Intervalo fechado nos extremos a e b:

a, b  a  x  b

Intervalo fechado em a e aberto em b:

a, b  x   / a  x  b

Intervalo aberto em a e fechado em b:

a, b  x   / a  x  b

Intervalo aberto em a e b:

a, b  x   / a  x  b

Temos também:

a,  xe / x  a  , b  x   / b  0

Exercícios 1) Sendo A=[1;7] e B=[3;9[, determine os conjuntos abaixo: a) A  B b) A  B c) A  B d) B  A 2) Sendo A=]-1;3] e B=[3;5[, determine: a) A  B b) A  B c) A  B d) B  A PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

3) Sendo A=[1;4] e B=]-1;2], determine: a) A  B b) A  B c) A  B d) B  A

MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO O módulo, nada mais é que a distancia entre um número e o zero na reta numérica. Na reta acima, temos que: | -5 | = 5 e | 3 | = 3.

MÚLTIPLOS (NÃO NEGATIVOS) DE UM NÚMERO INTEIRO POSITIVO Para determinarmos se um número é múltiplo de outro, basta dividir esse número pelo outro, se a divisão for exata é múltiplo, se não for exata, não é múltiplo. Ex: 21 é múltiplo de 3? Para descobrirmos, basta dividir 21 por 3. Portanto 21 é múltiplo de 3. Ex: 20 é múltiplo de 3?

Como determinar todos os múltiplos de um número? Para isso basta pegarmos o numero que queremos achar seus múltiplos e multiplicar por {0, 1, 2, 3, 4,...}. Ex: Determinar M (3).

Portanto os múltiplos de 3 são: {0, 3, 6, 9,...} Ex: Determinar M (5). OBS: O zero é múltiplo de qualquer inteiro, pois 0 dividido por qualquer inteiro não nulo sempre dá como resultado o número 0. ATENÇÃO!!! Não podemos dividir nenhum número por 0.

DIVISORES DE UM NÚMERO INTEIRO POSITIVO Para determinar os divisores de um número inteiro positivo, devemos decompor esses números em fatores primos.

Lembrando que números primos são aqueles que são divisíveis por 1 e por ele mesmo. Ex: 2, 3, 5, 7, 11,... Depois de decompor esse número em fatores primos, adicionamos uma nova coluna, que começa com o número 1 que é divisor que qualquer número.

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Logo os divisores de 20 são: {1,2,4,5,10,20}. Ex: Ache os divisores de 30.

MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C) DE DOIS NÚMEROS INTEIROS (NÃO NEGATIVOS)

Se formos calcular o m.d.c (20, 30), devemos achar todos os divisores de 20 e todos os divisores de 30, e verificar os divisores em comum dos dois números, então o maior entre eles é o m.d.c (20, 30). Mas felizmente existe um jeito prático de calcular o m.d.c, pelo método das divisões consecutivas. Este método baseia-se, em pegar o maior número e dividir pelo menor, o resto dessa divisão é o novo divisor, e assim por diante até o novo resto ser igual a 0.

Ex: Calcule o m.d.c (210, 140).

MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C) DE MAIS DE DOIS NÚMEROS INTEIROS (NÃO NEGATIVOS) O processo é semelhante ao anterior, primeiro calculamos o m.d.c de dois dos números e questão, depois é feito o mesmo processo, só que agora com o m.d.c encontrado e o número que ficou de fora da operação anterior. Ex: Calcular o m.d.c (126, 420, 210). OBS: 1) No caso do m.d.c de vários números ser 1, dizemos que esses números são primos entre si. 2) O conjunto de divisores de um número é um conjunto finito, e o 1 é divisor de qualquer numero inteiro.

MÍNIMO MULTIPLO COMUM (M.M.C) DE NÚMEROS INTEIROS Se formos calcular o m.m.c (5, 3), temos que achar os múltiplos de 5 e os múltiplos de 3 e verificar o menor número comum entre os múltiplos de cada um deles. Temos que concordar que esse método é um pouco demorado se lidarmos com números muito grandes. Assim como o m.d.c o m.m.c também tem um jeito mais prático de calcular. Esse método consiste em decompor simultaneamente os números em questão em fatores primos. Ex: Calcular o m.m.c (9, 4).

Logo o m.m.c (9, 4) = 2x2x3x3 = 36 Ex: Calcule o m.m.c (20, 7, 3). PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

NÚMEROS RACIONAIS O conjunto dos números racionais Q é formado por todo número da forma

a com a e b inteiros e b  b

0, primos entre si. Este conjunto possui uma quantidade infinita de elemento que podem ser representados na reta numérica.

OBS: Todo número inteiro é racional, pois podemos escrever qualquer número inteiro na forma de fração.

NÚMEROS FRACIONÁRIOS São números escritos na forma

a com a e b inteiros e b  0 . Como já sabemos desde o ensino b

fundamental, a é o numerador e b é o denominador. Devemos saber que uma função pode ser representada de várias maneiras. Ex:

3 9 15 30 6     ... 2 6 10 20 4

Esta propriedade nos diz que podemos simplificar uma fração, desde que o numerador e o denominador sejam múltiplos de um mesmo úmero inteiro. Ex: a)

45 = 25

27 = 9 40 c) = 220  256 d) = 24 b)

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES 1° Caso: Se as frações têm o mesmo denominador, apenas somamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador. Ex:

3 9 1 13    4 4 4 4

2° Caso: Se as frações têm denominadores diferentes, calculamos o m.m.c dos denominadores, dividimos o m.m.c pelo denominador da primeira fração e multiplicamos pelo numerador, fazemos o mesmo com a segunda fração. Ex:

2 3 1 10  9  5 14     3 5 3 15 15

Ex:

5 3 1    6 8 2

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

Para multiplicar duas ou mais frações, multiplicamos o numerador de uma fração com o numerador da outra, e o denominador de uma com o denominador da outra.

3 2 6 1    4 3 12 2 1 3 5 Ex:    8 2 2 Ex:

OBS: Simplifique o máximo possível o resultado.

DIVISÃO DE FRAÇÕES Para dividir uma fração pó outra, basta multiplicarmos a primeira pelo inverso da segunda.

2 3 2 7 14     5 7 5 3 15 3 Ex: 2  5 3 Ex:

ATENÇÃO!!!!!! Não confunda oposto de um número com inverso de um número. Ex: O oposto de 50 é – 50, e o inverso de 50 é

1 . 50

OBS: Quando você enxergar uma expressão do seguinte tipo:

2 100  50   20 5 5

2 de 50, significa multiplicação. 5

POTENCIAÇÃO DE FRAÇÕES

1° Caso: Fração elevada a um expoente positivo.

4 3

5 2

Ex:   

4 4 16   3 3 9

Ex:    2° Caso: Fração elevada em 0. Novamente, qualquer número elevado na zero é igual a 1. 0

7 Ex:    1 8 0

 2512   1  20 

Ex: 

3° Caso: Fração elevada em expoente negativo. Nesse caso, invertemos a base e trocamos o sinal do expoente. 2

3 2 Ex:      2 3 3 Ex: 2 

2

Exercícios PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

1) O valor da expressão  2  (3).(2) 1 : (3)1 . 2) O valor de

2 1  (2) 2  (2) 1 é: 2 2  2 2

RADICIAÇÃO

É do tipo: n a  b que é a operação inversa da potenciação. n  índice do radical a  radicando b  raiz OBS: 1) Raízes de índice par darão sempre números positivos e negativos. 2) Raízes de índice ímpar sempre existem, seja o radicando positivo ou negativo. 3) Quando estivermos resolvendo expressões, nas raízes de índice par só usaremos o valor positivo. 4) Para obtermos a raiz de uma fração devemos extrair a raiz do numerador e do dominador.

25  5

Ex1: Ex2:

16  4 2 4  2

Ex3:

 32  16  25

Ex4: Ex5:

27 = 8

Ex6:

 32  243

Expoente Racional Fracionário a

m n

 n am

Ex: 2 5  5 2 3

NÚMEROS IRRACIONAIS

Os números irracionais são todos aqueles que escritos na forma decimal, apresenta um número infinito de casas decimais, sem formar períodos. Ex1: π = 3,1415... Ex2: 2 = 1,41421... OBS: Toda raiz quadrada de um número primo é irracional.

NÚMEROS DECIMAIS São números que não são inteiros, e que possuem um número finito de casas decimais depois da vírgula. Ex: 0,1 ; 3,29 ; 30,41 ;...

Como Transformar Um Número Decimal Em Uma Fração O método é bem simples, basta copiar o número todo sem a vírgula e dividir por 1 acrescido de tantos zeros quantos forem os números depois da vírgula. PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

Ex1: 0,3 

3 10

Ex2: 5,749 

5749 1000

Ex3: 0,00059 

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS Temos dois métodos para somar ou subtrair números decimais. 1° Método: transformar os números décimas em frações, e desenvolver a soma de frações como já aprendemos. 2° Método: dispor os números um abaixo do outro, vírgula em baixo de vírgula e desenvolvendo a soma. Ex1: Faça a adição ou subtração dos números decimais abaixo utilizando os dois métodos descritos acima. 1°Método) 0,05  3,22  4,001 

5 322 4001 50  3220  4001 831      0,831 100 100 1000 1000 1000

2° Método)

Ex2: Faça a adição ou subtração de números decimais abaixo utilizando os dois métodos descritos acima.

 7,31  2,015  0,357 

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS Existem dois métodos de calcular o produto entre dois números decimais. 1° Método: Transformar os números decimais em frações e efetuar a multiplicação como já sabemos. 2° Método: Colocar número abaixo de número, não sendo necessário o alinhamento das vírgulas, multiplique normalmente os números como se fossem inteiros, após isso conte o numero de casas depois da vírgula dos dois números e adicione a vírgula no resultado de acordo com as casas decimais que você contou. Ex1: Faça a multiplicação dos números decimais abaixo utilizando os dois métodos descritos acima. 1°Método)

0,3  0,15 

3 15 45    0,045 10 100 1000

2° Método)

Ex2: Faça a multiplicação dos números decimais abaixo utilizando os dois métodos descritos acima.

0,32  0,11 

DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS Colocamos os números na disposição usual da divisão e mexemos a vírgula para a direita simultaneamente nos dois números, até os dois números se tornarem inteiros. PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

Ex: Calcule a divisão de 0,016 por 0,04.

Logo a divisão de 0,016 por 0,04 é 0,4.

POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS Expoente positivo: Transformamos o número decimal em fração e o elevamos ao expoente como já aprendemos anteriormente. Expoente zero: Sabemos que qualquer número elevado no expoente 0 é igual a 1, aqui não é diferente. Expoente negativo: Transformamos o número decimal em fração, invertemos esse número e trocamos o sinal do expoente, bem como aprendemos anteriormente. 2

4 1 2   0,04   100 25  10  2 Ex2:  0,15  Ex1: 0,2   2

DÍZIMAS PERIÓDICAS Dízimas periódicas, são números decimais que apresentam infinitos algarismos após a vírgula aos quais se repetem, a parte que se repete é chamada de período.

1  3 Dízima Periódica Simples: é quando sua parte decimal é formada apenas pelo período. Ex:    0,333...

Ex:

0,222... indicamos por 0,2 4,4343... indicamos por 4,43

Dízima Periódica Composta: é quando sua parte decimal apresenta, antes do período, algarismos que não se repetem. 0,2444... indicamos por 0,24 Ex: 3,165757... indicamos por 3,1657

Transformação De Dízima Periódica Em Fração: Precisamos achar a sua função geratriz. Ex1: Ache a fração geratriz da dízima 0,333... Seja: x = 0,333... ( * ) 10x = 3,333... ( ** )  multiplicamos por 10 por que o período tem 1 algarismo. Fazendo (**) – (*) temos:

9x  3  x 

3 1  x  que é a fração geratriz. 9 3

Ex2: Ache a fração geratriz da dízima 0,4545... Ex3: Ache a fração geratriz da dízima 0,135135... Ex4: Ache a fração geratriz da dízima 2,211515...

DIVISÃO PROPORCIONAL. PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA. PORCENTAGEM GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, variando-se uma delas, a outra varia na mesma razão da primeira. Ex1: Joãzinho foi até o armazém da esquina comprar alguns refrigerantes e se deparou com a seguinte situação. 1 refrigerante custa R$ 2,00 2 refrigerantes custam R$ 4,00 3 refrigerantes custam R$ 6,00 e assim por diante. Observe que à medida que o número de refrigerantes cresce o preço a se pagar por eles crescem na mesma proporção.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, variando-se uma delas, a outra varia na razão inversa da primeira. Ex2: A distância entre a cidade A e a cidade B é de 120 km. Então.  Com velocidade de 30 km/h, o tempo gasto para ir de A até B é de 4 horas.  Com velocidade de 40 km/h, o tempo gasto para ir de A até B é de 3 horas.  Com velocidade de 60 km/h, o tempo gasto para ir de A até B é de 2 horas.  Com velocidade de 120 km/h, o tempo gasto para ir de A até B é de 1 hora. Observe que à medida que a velocidade do carro aumenta, o tempo de viagem diminui.

NÚMEROS PROPORCIONAIS Sucessões Diretamente Proporcionais Duas sucessões de números são diretamente proporcionais quando as razões entre os números correspondentes forem iguais. Observe as sucessões:

4 8 12 16 20 = 4, onde 4 é a constante de proporcionalidade     1 2 3 4 5

direta entre elas.

Sucessões Inversamente Proporcionais

Duas sucessões de números são inversamente proporcionais, quando os produtos entre os números correspondentes forem iguais. Ob serve

sucessões:

2 12 4 6    , 18 3 9 6

são

inversamente

proporcionais,

2 18  12  3  4  9  6  6 = 36, onde 36 é a constante de proporcionalidade inversa. PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

pois

DIVISÃO PROPORCIONAL

Divisão Em Partes Diretamente Proporcionais Dividir um número em partes diretamente proporcionais consiste em determinar valores que, divididos por números previamente estabelecidos, produzam uma mesma razão.

50 75 150 = 25 = constante de proporcionalidade k.   2 3 6 Para calcularmos a constante de proporcionalidade k basta fazermos a razão entre a soma dos numeradores e a soma dos denominadores.

k

50  75  150  25 236

Ex: Dividir o número 200 em partes diretamente proporcionais a 12, 2 e 6.

Divisão Em Partes Inversamente Proporcionais Toda divisão inversamente proporcional torna-se diretamente proporcional quando invertemos os representativos das partes em que o número dado foi dividido. Ex1: Dividir o número 2370 em partes inversamente proporcionais a Os inversos dos representativos das partes são:

2 4 ,5e . 3 9

3 1 9 , e . Temos, então: O m.m.c. (2,4 e 5) = 20 2 5 4

30 4 45 e . Portanto, os representativos procurados são: 30, 4, 45. , 20 20 20 2370 Aplicando a regra prática, obtemos: 30 + 4 + 45 = 79  k   30 79 1ª parte: 30  30  900 2ª parte: 30  4  120 3ª parte: 30  45  1350



Ex2: Dividir o número 928 em três partes tais que sejam, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 2, 5 e 7 e a 4, 3 e 5.

Aplicação Da Divisão Em Partes Proporcionais Um pai distribuiu certa importância entre seus três filhos em partes diretamente proporcionais às suas idades, que eram 8, 13 e 15 anos. Se o primogênito recebeu R$ 1.400,00 a mais que o caçula, qual foi a quantia distribuída e quanto recebeu o filho do meio?

REGRA DE TRÊS SIMPLES É um processo prático para resolver problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.

Resolução De Problemas PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

Para resolver problemas envolvendo regra de três deve-se proceder da seguinte maneira.  Indicar duas grandezas diretamente proporcionais com flechas de mesmo sentido  Indicar duas grandezas inversamente proporcionais com flechas de sentido contrário. Ex1: Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m2. Quantos litros são necessários para uma parede de 15 m2? Ex2: Com 12 operários podemos construir um muro em 3 dias. Quantos dias levarão 4 operários para fazer o mesmo número?

REGRA DE TRÊS COMPOSTA É um processo prático que envolve problemas com mais de duas grandezas. Ex1: Sabe-se que 5 máquinas produzem 60m de tecido em 2 horas. Pergunta-se quantos metros de tecido serão produzidos por 10 máquinas do mesmo tipo, trabalhando 6 horas. Ex2: Sabendo que 20 operários executam determinado serviço em 12 dias e 9 horas cada, perguntase quantos operários realizarão o mesmo serviço trabalhando 15 dias de 6 horas casa.

PORCENTAGEM Porcentagem é uma razão centesimal representada pelo símbolo % (por cento). Ex: a)

8  8% (lê-se “8 por cento”) 100

5  5% (lê-se “5 por cento”) 100

Problemas De Porcentagem

São resolvidos através de regra de três simples. Ex1: Calcular 8% de R$ 700,00. Ex2: Numa escola de 900 alunos, 42% são rapazes. Calcule o número de rapazes.

Exercícios: 1. Uma mistura apresenta 3 kg de leite em pó e 900 g de café em pó. Qual a razão entre a quantidade de leite e a quantidade de café? 2. Dividindo 264 em três partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 8, encontramos três números cuja soma dos dois maiores é igual a S. Calcule o valor de S. 3) Calcular o valor desconhecido em cada proporção abaixo:

x 49  3 21 x 3 b)  x3 8 c)  x4 a)

8 20 5 x2

4. Em um mapa na escala de 1 : 500.000, a distância entre duas cidades é de 6 cm. Qual a distância real, em km, entre essas cidades?

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5. Embalando alimentos doados para o programa "Fome Zero", 4 voluntários gastaram 75 horas. Se fosse possível contar com 12 voluntários, trabalhando no mesmo ritmo daqueles 4, em quanto tempo o trabalho teria sido feito? 6. Uma confeiteira deseja comprar 2,6 kg de achocolatado em um supermercado, que é vendido em embalagens de 200 g, 400 g e 1 kg, a R$1,80, R$2,80 e R$6,80, respectivamente. Quantas unidades de cada tipo de embalagem ela deve comprar, para gastar o menor valor possível? 7. Uma certa marca de cereal em barra disponibiliza seu produto nas versões normal e light, em caixas com três barras de 25 g cada uma. Segundo a informação nutricional do produto, cada 100 g da versão normal tem 100 calorias e cada 100 g da versão light tem 80 calorias. Qual é a diferença calórica entre uma barra normal e uma light? 8. Um feirante vende uma dúzia de laranjas por R$1,50. Se um cliente comprar 20 laranjas, quanto ele irá pagar ao feirante? 9) Calcule os conseqüentes de uma proporção sabendo que sua soma é 11 e que os antecedentes são 12 e 10. 10) Calcular antecedentes de uma proporção, sabendo que sua soma é 8 e que os conseqüentes são 27 e 45. 11. O preço do ingresso da arquibancada no ano passado era de R$ 16,00 mas sofreu um reajuste de 40%. Para o jogo da final do campeonato carioca, em fevereiro foi concedido um desconto de 30% para o ingresso da arquibancada. Quanto custou o ingresso na final do campeonato? 12. O preço da gasolina sofreu um reajuste de 25% em novembro e de mais 25% em dezembro. Qual a porcentagem em que deve ser reduzido o seu preço atual para que volte a custar o que custava antes dos dois reajustes? 13) Um segmento de 330cm é dividido em duas partes que estão na razão de 80/30. Qual o comprimento de cada parte, em cm? 14) Dividir R$280,00 entre duas pessoas, de modo que a primeira receba uma quantia proporcional à 2 e a segunda uma quantia proporcional a 5. 15. Segundo estudo do BNDES, publicado na Folha de S. Paulo, em 26/09/2006, o setor siderúrgico pretende investir 46,4 bilhões de reais no período de 2007 a 2011. Esse valor equivale a um aumento de 140% em relação aos valores aplicados no período de 2001 a 2005. De acordo com esses dados, calcule o total investido no setor siderúrgico no período de 2001 a 2005. 16. Segundo dados publicados na revista Istoé Dinheiro (02/08/06) no ano de 2006 deverão ser investidos no mundo 673 bilhões de dólares em mídia e serviços de marketing. Este valor representa um crescimento de 6,2% em relação a 2005. Com base nesses dados, calcule quanto foi investido no mundo, no ano de 2005, em mídia e serviços de marketing. 17) A razão entre a base e a altura de um triângulo é 7/3 e a soma das medidas é 30cm. Determinar a área do triângulo.

b.h    At   2  

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18. O gás natural veicular (GNV) pode substituir a gasolina ou álcool nos veículos automotores. Nas grandes cidades, essa possibilidade tem sido explorada, principalmente, pelos táxis, que recuperam em um tempo relativamente curto o investimento feito com a conversão por meio da economia proporcionada pelo uso do gás natural. Atualmente, a conversão para gás natural do motor de um automóvel que utiliza a gasolina custa R$ 3.000,00. Um litro de gasolina permite percorrer cerca de 10 km e custa R$ 2,20, enquanto um metro cúbico de GNV permite percorrer cerca de 12 km e custa R$ 1,10. Desse modo, um taxista que percorra 6.000 km por mês recupera o investimento da conversão em aproximadamente: 19) Quais devem ser os valores de x e y para que os números 2, 4 e x sejam diretamente proporcionais a y, 6 e 15, respectivamente? 20) Quais devem ser os valores de x, y e z, para que os números 2, x, 4 e y seja inversamente proporcionais a 10, 20, z e 2? 21) Dividir 1800 em partes diretamente proporcionais aos números 10, 2 e 6. 22) Dividir 2460 em partes inversamente proporcionais aos números 10, 3 e 4. 23) Dividir o número 13350 em partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 6 e, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a 2/5, 3/4 e 1/3. 24) Para percorrer 360 km de uma estrada, um automóvel consome 30 litros de gasolina. Determinar a percentagem do acréscimo no consumo de combustível, se a distância percorrida for de 600 km (supondo que as condições do percurso não se alteram). 25) A velocidade de um carro de F1 é 270km/h. Qual a sua velocidade em m/s? 26) Se 40 operários constroem um barracão trabalhando durante 24 dias, durante 8 horas diárias, em quantos dias, de 10 horas, 60 operários constroem o mesmo barracão? 27) Em 30 dias uma frota de 35 caminhões consome 100.000 litros de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 caminhões (do mesmo tipo) consumiria 240000 litros de combustível. 28) O Sr. Silva teve um aumento de 22%, e assim seu salário passou a ser de R$ 742,37. Quanto ganhava o Sr. Silva antes do aumento? 29) Um produto que custava R$ 100,00 teve um aumento de 20%. Ais tarde, foi posto em promoção, com um desconto dos mesmos 20%. A quanto era vendido o produto na promoção? a) R$ 96,00 b) R$ 97,00 c) R$ 98,00 d) R$ 99,00 e) R$ 100,00 30) A ultima pesquisa de opinião, realizada as vésperas de uma eleição para prefeito de um certo município, apontava as seguintes taxas de intenção de voto: Candidato A..................43% Candidato B..................37% Candidato C..................10% Candidato D..................10% Se o município tem 570000 eleitores, a diferença esperada de votos entre os candidatos A e B é: a) 34000 b) 34100 c) 34200 d) 34300 e) n.d.a

GABARITO PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

1) 10/3

2) S = 224

3) 7

4) 30 km

5) 25 horas

6) 2 de 1Kg 1 de 400g 1 de 200g 11) 15,68 reais

7) 5 calorias

8) R$ 2,50

9) x=6 y=5

10) x=3 y=5

12) 36%

17) 94,5cm2

14) x=80 y=200 19)

15) 19,33 bilhões de reais

16) 633,71 bilôes

13) x=240 y=90 18) 4 meses

21) x=1000 y=200 z=600 26) 12 d 19 h 12 min

22) X=360 Y=1200 Z=900 27) 70 Dias

23) 2250 3000 8100 28)

x=10 y=3 24)

20) x=1 y=10 z=5 25)

67%

75m/s

29)

30)

608,50

SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS MEDIDAS DE COMPRIMENTO A unidade fundamental de medidas de comprimento é o metro ( m ), que é um padrão internacional. Dependendo do comprimento a ser medido, podemos utilizar seus múltiplos ou submúltiplos. km 1000 m

hm 100 m

dam 10 m

m 1m

dm 0,1 m

cm 0,01 m

Observamos que as unidades variam de 10 em 10. Ex: Transforme as unidades abaixo. a) 1 dam = 10 m d) 0,08 km = ____m b) 1 dm = ____m e) 62,361 dam = ____cm c) 84,7 hm = ____m f) 05 mm = _________km

mm 0,001 m

g) 0,35 km = ______cm h) 5218 cm = ______hm i) 8,35 dam = ______dm

MEDIDAS DE SUPERFÍCIE A unidade fundamental para medir superfícies é o ( m2 ), que é um padrão internacional. Dependendo da superfície cuja área queremos determinar, podemos utilizar seus múltiplos ou submúltiplos. 2

km 1000000 m2

hm 10000 m2

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dam 100 m2

m 1 m2

dm 0,01 m2

cm 0,0001 m2

mm 0,000001 m2

Observamos que as unidades variam de 100 em 100. Ex: Transforme as unidades abaixo. a) 3 dam2 = 300 m2 2 2 b) 5482,2 m = _______hm 2 c) 38 mm = ___________m2

d) 7,5 cm2 = ________dm2 2 2 e) 58,7 km = _________dam 2 2 f) 800 mm = ______m

g) 47,25 hm2 = ________cm2 2 2 h) 48,2 cm = ______hm 2 i) 0,025 hm = ________dm2

Medidas agrárias de superfície As medidas agrárias são utilizadas para medir grandes extensões de terra, como fazendas, sítios, etc...

  

 

1 are = 1ª = 100 m2 2 1 hectare = 1 há = 10000 m 2 1 centiare = 1 ca = 1 m

1 alqueire mineiro = 48400 m 2 2 1 alqueire paulista = 24200 m

MEDIDAS DE VOLUME 3

A unidade fundamental para medir volumes é o ( m ), que é um padrão internacional. Dependendo do volume a ser medido, podemos utilizar múltiplos ou submúltiplos do m 3. 3

km 1000000000

hm 1000000

dam 1000

m 1 m3

dm 0,001

cm 0,000001

mm 0,000000001

Observamos que as unidades variam de 1000 em 1000. Ex: Transforme as unidades abaixo a) 2 hm3 = 2000000 m3 b) 84,5 dam3 = _______________dm3 c) 62,4 cm3 = ________________m3

d) 2,59 mm3 = ________________dm3 e) 592,1 hm3 = ________________dam3 f) 91,37 mm3 = _______________dam3

MEDIDAS DE CAPACIDADE Chamamos capacidade de um recipiente ao volume de um líquido ou de um gás que esteja contido nesse recipiente. O litro é um padrão internacional para medidas de capacidade e corresponde à capacidade de um cubo de aresta 1dm. A unidade fundamental de medidas de capacidade é o (  ), que é um padrão internacional. Dependendo da capacidade a ser medida, podemos utilizar os seus múltiplos ou submúltiplos. k 1000 

h 100 

da  10 

 1 

d 0,1 

c 0,01 

m 0,001 

Observamos que as unidades variam de 10 em 10. Ex: Transforme as unidades abaixo a) 0,4 d  = 0,04  b) 916,3  = _________k  c) 84,52 da  = _________d 

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d) 50000 c  = ________  3 e) 1000  = ________dm = ___m 3 3 f) 100 h  = _______  = ______dm = ______m

OBS: 1  = 1 dm

MEDIDAS DE MASSA A unidade fundamental de medidas de massa é o grama ( g ), e é um padrão internacional que equivale à massa 3 de 1cm de água destilada a temperatura de 4°C.

kg 1000 g

hg 100 g

dag 10 g

g 1g

dg 0,1 g

cg 0,01 g

mg 0,001 g

Observamos que as unidades variam de 10 em 10. Ex: Transforme as unidades abaixo. a) 2 dag = 10 g b) 6,52 dag = ________cg c) 5 cg = _____________kg

d) 16,25 cg = _____________hg e) 0,05 kg = __________g f) 65,2 hg = _________________mg

MEDIDA DE TEMPO No sistema internacional, a unidade oficial de tempo é o segundo, cujo símbolo é ( s ). Além do segundo, também são usados, minuto, hora, semana, mês, ano e século. Temos que: a) 1 minuto = 60 segundos b) 1 hora = 60 minutos c) 1 semana = 7 dias

d) 1 mês comercial = 30 dias e) 1 ano comercial = 360 dias (ou 12 meses) f) 1 século = 100 anos

OBS: O ano civil tem 365 dias e o ano bissexto tem 366 dias.

Ex1: Transforme em dias: 2 anos 6 meses e 5 dias

2  360  6  30  5  720  180  5  905 dias. Ex2: Transforme em meses: 1 ano 4 meses 10 dias Ex3: Transforme 789 dias em anos, meses e dias: Ex4: Transforme 2,325 anos em anos, meses e dias. Ex5: Efetue a adição: (2h 47mim 18s) + (3h 18min 51s) Ex6: Efetue a subtração: (4h 26min 12s) – (2h 35min 45s)

EQUAÇÃO DO 1º GRAU EQUAÇÃO DO 1° GRAU Resolver uma equação é determinar um valor que, colocado no lugar da variável, torna o 1° membro igual ao 2° membro. Ex1: x  2  10 , veja que somente para x  8 conseguiremos igualar os dois lados da equação. Ex2:

x  2 2 x  1 3( x  1)   3 4 2

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Ex3: Equação do 1° grau fracionária: Ex:

2 2 5   0 3x x  1 3

x  0 e x 1

Exercícios 1) As tarifas praticadas por duas agências de locação de automóveis, para veículos idênticos são: Agência A => 14.400 cruzeiros por dia (seguros incluídos) mais 167,50 cruzeiros por km rodado. Agência B => 14.100 cruzeiros por dia (seguros incluídos) mais 170,00 cruzeiros por km rodado a) Para um percurso diário de 110km, qual agência oferece o menor preço? b) Seja x o número de km percorridos durante um dia. Determinar o intervalo de variação de x de modo que seja mais vantajosa a locação de um automóvel na Agência A do que na B. 2) O dobro do peso de Sônia somado com 42 kg é igual a 150 kg. Qual é o peso de Sônia? 3) Determine o valor de x que torna verdadeira a igualdade dada por (-3x)/7 = (x - 1)/12 4) Claudete leu 3/5 de um livro e ainda faltam 48 páginas para ela terminar de ler o livro todo. Quantas páginas desse livro ela já leu? Qual é o total de folhas que tem esse livro? 5) O número -2 é raiz da equação dada por 5(x-4) + 2(-x+2) = -3 + -7(x+8), com U = Z? 6) Supondo que dois pilotos de Fórmula 1 largam juntos num determinado circuito e completam, respectivamente, cada volta em 72 e 75 segundos, pergunta-se: depois de quantas voltas do mais rápido, contadas a partir da largada, ele estará uma volta na frente do outro? Justifique sua resposta. 7) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos. Um destes tirou para si metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro menino também tirou para si metade dos bombons que encontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa. 8) Após ter percorrido 2/7 de um percurso e, em seguida, caminhando 5/11 do mesmo percurso um atleta verificou que ainda faltavam 600 metros para o final do percurso. a) Qual o comprimento total do percurso? b) Quantos metros o atleta havia corrido? c) Quantos metros o atleta havia caminhado? 9) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada "bandeirada", e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeira custa R$3,44 e cada quilômetro rodado custa R$0,86, calcule: a) o preço de uma corrida de 11 km; b) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$21,50 pela corrida. 10) O preço unitário de um produto é dado por. p = k/n + 10, para n

1

onde k é uma constante e n é o número de unidades adquiridas. Encontre o valor da constante k, sabendo-se que quando foram adquiridas 10 unidades, o preço unitário foi de R$19,00.

11) Resolvendo a equação 1/2 - x = 6 (1/3 - x) no conjunto R; obtemos a raiz: a) 3/10

b) 1/10

c) 10

d) 3

e) 5/2

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12) Para que as equações: (m - 2)x - (m - 1) = 0 e 2x - 4 = 0 sejam equivalentes, devemos ter m igual a a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 3/2

13) Num exercício de tiro ao alvo, o número de acertos de uma pessoa A foi 40% maior do que B. Se A e B acertaram juntas 720 tiros, então o número de acertos de B foi: a) 380 b) 320 c) 300 d) 220 e) 280 14) Um reservatório, contendo 200 litros de água, está sendo esvaziado por meio de uma torneira cuja vazão é de 200cm3 por minuto. O tempo necessário para esvaziar completamente o reservatório, em minutos, é: a) 1

b) 10

c) 100

d) 1000

e) 10000

15) Um feirante compra maçãs ao preço de R$0,75 para cada duas unidades e as vende ao preço de R$3,00 para cada seis unidades. O número de maçãs que deverá vender para obter um lucro de R$50,00 é: a) 40

b) 52

c) 400

d) 520 e) 600

16) João mediu o comprimento do seu sofá com o auxílio de uma régua. Colocando 12 vezes a régua na direção do comprimento, sobraram 15cm da régua; por outro lado, estendendo 11 vezes, faltaram 5cm para atingir o comprimento total. O comprimento do sofá, em centímetros, equivale a: a) 240

b) 235

c) 225

d) 220 GABARITO

1) a) Agencia B b) maior que 120 km

2) 54 kg

5) Não

6) x>25 voltas

7) 40 bombons

9) a) R$ 12,90 b) 21 Km 13) c)

10) a) k = 90

11) a)

8) a) 2310 m b) 660 m c) 1050 m 12) b)

14) d)

15) c)

16) c)

3) x =

7 43

4) 72 e 120

EQUAÇÃO DO 2° GRAU A equação do segundo grau tem a forma

2 x 2  3x  1  0 2 Ex2: 5x  3  0 Ex1:

Ex3:

x 2  2x  0

1° Caso: Equações da forma Ex:

a  2, b  3 e c  1 onde a  5, b  0 e c  3 onde a  1, b  2 e c  0 onde

ax 2  bx  0

x 2  4x  0

2° Caso: Equações da forma Ex:

ax 2  bx  c , onde x é a variável e a, b e c são os coeficientes.

ax 2  c  0

x 2  81  0

3° Caso: Equações da forma a fórmula de Báskara.

ax 2  bx  c  0 . Para resolver uma equação do segundo grau completa, usamos

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 b  b 2  4ac x 2a Chamamos o termo

b 2  4ac de Delta (  ).

  b 2  4ac Reescrevendo a fórmula de Báskara temos:

x

  

OBS:

b  2a

Se   0 teremos duas soluções reais e diferentes. Se   0 teremos duas soluções reais e iguais. Se   0 a equação não admite soluções reais.

Também podemos resolver uma equação do segundo grau por Soma e Produto. Soma das Raízes: x1  x 2  

Produto das Raízes: x1 .x 2  Ex:

b b ou S   a a

c c ou P  a a

x 2  8x  12  0

4° Caso: A equação dada é fracionária.

Ex:

x 1 1 1 x2   2 x3 x3 x 9

x  3

5° Caso: A equação for literal. Ex:

2 x 2  (3a  4b) x  6ab  0

Exercícios

1) Ao quadrado de um número você adiciona 7 e obtém sete vezes o número, menos 3. Escreva na forma normal a equação do segundo grau que se pode formar com os dados desse problema. 2) Dada a equação, calcule o discriminante  e diga como são as raízes sem calculá-las.

7 x 2  6x  1  0 3) Quando o polinômio x 2  x  a tem raízes iguais? 4) A maior raiz da equação  2 x 2  3x  5  0 vale: a) -1

b) 1

c) 2

d) 2,5

e) (3 +

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19 )/4

5) Sejam x1 e x 2 ‚ as raízes da equação 10 x 2  33x  7  0 . O número inteiro mais próximo do número

5x1 .x2  2( x1  x2 ) é: a) – 33

b) – 10

c) – 7

d) 10

6) O valor de x na equação a) 3

b) 2

c) 2 e 3

x

e) 33

 2x  1 é: 3x  6 2

d) 1

e) -3

7) A soma e o produto das raízes da equação x 2  x  1  0 são, respectivamente: a) -1 e 0

b) 1 e -1

c) -1 e 1

d) +1 e 0

e) -1 e -1

8) O quadrado de um número natural é igual ao seu dobro somado com 24. O dobro desse número menos 8 é igual a" a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

9) A equação x/(1 - x) + (x - 2)/(x -1) = 0 tem duas raízes. A soma e o produto dessas raízes são iguais a: a) -2

b) 0

c) 3

d) -4

e) 1

10) Se x1 e x 2 ‚ são as raízes da equação 3x 2  2 x  8  0 , sendo x1  x2 ‚ então 3x22  2 x1  8 é igual a: a) 2/3

b) 8/3

c) 16/3

d) 20/3

11) Os valores de m, para os quais a equação 3x 2  mx  4  0 tem duas raízes reais iguais, são a)  5 e 2 5

b)  4 3 e 4 3

c) 3 2 e -3 2

d) 2 e 5

e) - 6 e 8

12) Qual é o valor da soma dos inversos dos quadrados das duas raízes da equação x 2  x  1  0 ? GABARITO 1)

x 2  7 x  10  0 5) b) 9) a)

2) Reais e distintas

3) a = - 0,25

4) a)

6) a) 10) d)

7) e) 11) b)

8) c) 12) - 1

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS São equações onde a incógnita aparece como expoente de uma ou mais potências. Geralmente, uma equação exponencial pode ser resolvida de duas maneiras. 1ª Maneira: Igualando as bases. Ex: a) 2 x  8 b) 7 x  1 c) 9 x  27

2 x d) (3 )  81

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2ª Maneira: Substituição. Ex: a) 2

x 1

 2 x2  24

b) 2 2 x  2 x  72  0 c) 32 x  4.3 x  3  0 Exercícios: 1) Sabendo que 6 x2  72 , tem-se que 6  x vale: a) -4 b) -2 c) 0 d) ½ e) 2 2) O valor de x , x  R , que é solução da equação 4 x2  8 x3 , é: a) 0 b) 1/5 c) ½ d) 1 e) 4/3

3.4 9  3 x é: 3

3) O valor de x na equação a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) -3

2 x 5

 (0,25) 4) A solução da equação 2 a) -1 b) ½ c) 14/15 d) 15/14 e) 2 3

5) O produto das raízes da equação 21x a) 3 b) 2 c) 1 d) -1 e) -2 6) A solução da equação a) -2 b) 2 c) 3 d) -3 e) 6

2 x

é:

3 x 1

 1 é:

5 x2  3 125 x é:

7) A soma das raízes da equação 5 x

 2 x 1



5625 é: 9

a) -4 b) -2 c) -1 d) 2 e) 4 x

 3   49  8) O valor de x na equação      é: 7  9  a) ¼ b) -4 c) 16 d) -8 e) -1/4 9) Se 0,1  100 , então x vale: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 x 5

10) O valor de x que verifica a equação

4 x1 

a) -1 b) -1/2 c) 0 d) ½ e) 1 11) Se 0,064

x 1

 0,16 , então x  2 é: 4

a) -81 b) -1/81 c) 0,81 d) 1/81 e) 81 x4 12) O valor de x na equação 8  0,25 é:

a) -14/3 b) 3/7 c) 1/8 d) 4 e) 3

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1 é: 16 x1

a b

13) O valor de x que satisfaz a equação  

b   a

x 1

para todo a, b  R , é:

  1  e)  3 3

1  3

a) 1 b)  1 c)   d) 

 

14) A solução da equação 27 2 x1  3 3

pertence ao conjunto:

a) x  R /  2  x  1 b) x  R /  1  x  0 c) x  R / x  2 d) x  R /1  x  2

e) x  R / 0  x  1

 

x x 3

 625 é: 15) O conjunto verdade da equação 5 a) {2,3} b) {-1,4} c) {-4,1} d) {-2,3} e) {3,4} 16) A soma das raízes da equação 3 x .9 x1  1 é igual a: a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 3 2

3 x1  243 , o valor de y é: 9 x  81.81y

17) No sistema 

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 18) O produto das raízes da equação

9 x  27  3 x1 é: 4

a) 2 b) 3 c) 9 d) 12 e) 27 19) Sendo 2  2 x

x1

 12 , o valor de 3 x é:

a) 3 b) 8 c) 9 d) 12 e) 27 3x

20) A raiz da equação 2 2 =256 é: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

GABARITO 1)d 6)b 11)d 16)a

2)d 7)d 12)a 17)a

3)a 8)d 13)c 18)a

4)b 9)b 14)e 19)e

5)b 10)a 15)b 20)e

EQUAÇÕES LOGARÍTIMICAS Chama-se logaritmo de um número N positivo, numa base a, positiva e diferente de 1, ao expoente que devemos elevar a base a para obtermos o número N, ou seja:

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log a N  x  a x  N PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS a)

log a 1  0

log a a  1

1  1 a log N d) a a  N m e) log a a  m c) log a

OUTRA PROPRIEDADE IMPORTANTE

log a b  log a c  b  c PROPRIEDADES OPERATÓRIAS a)

log c ( A.B)  log c A  log c B

 A   log c A  log c B B n c) log c A  n log c A b) log c 

LOGARITMOS DECIMAIS

log N  x  N  10 x LOGARITMO NATURAL OU NEPERIANO

ln N  x  N  e x MUDANÇA DE BASE

log b N 

log a N log a b

OUTRAS PROPRIEDADES

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a) log b a  b)

1 log a b

log a N . log b a  log b N

c) log a n b



m log a b n

Ex1: Calcule: a) log 2 8 b) log 2 (4.8) c) log 3 27 d) log 3 10 Ex2) Transforme as seguintes potências em logaritmos e vice-versa. a) 32  9 b) 23  8 c) log10 100  2 Ex3) Resolva os seguintes logaritmos. a) log10 10  b) log10 1  c) log10 10 2  d) 10

log10 2



Exercícios: 1) O valor de y na expressão: y 

log 0,01  log 1000 , é: log 2 2  log 6 1

a) 1 b) 2 c) -1 d) 0 e) -2 2) Simplificando log 8 12.log 12 8+ log 5 7 .log 7 25. Obtém-se a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) -1 3) O valor de x que satisfaz a igualdade abaixo,é log 3 x+log 3 2 = -1 a) 6 b) 1/6 c) 3/2 d) 2/3 e) -3/2 4) Usando log 2 = a, o valor de y na expressão y = log 125 2 pode ser determinado como:

a a 1 a 3 a) b) 3 c) a.5 d) e) 2 3(1  a) 125 5 log 3

log 3

5) Efetuando 2 2 +4 2 . Tem-se a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 6) No universo dos números reais,o subconjunto solução da equação log 2 log 3 ( x  1) = 2, está na alternativa a) {9} b) {81} c) {80} d) {8} e) {35} 7) Considerando as afirmações: PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

I - (logA) = 4.log A.(A    ) 4

2 II - log x + 2log y=log(xy ).(x    . y    ) *

III - log 8 9 = log 2

assinale a alternativa correta. a) I,II e III são falsas b) I,II e III são verdadeiras c) Somente II é verdadeira. d) Somente I é falsa e) I é verdadeira e II é falsa 8) Considere as seguintes afirmações abaixo: I. log 3 1/2 = log 1 / 3 2 II. log(1/x) = -log x, x>0 ( ) x

III. Se 3 = 4 então x = log 3 4 a) Todas são verdadeiras b) Todas são falsas c) Só II é falsa d) Só III é falsa e) Só I é verdadeira 9) Se log 2 b-log 2 a = 5, o quociente b/a vale: a)10 b)25 c)32 d)64 e)128 10) Seja k a solução da equação 2 8 O valor de k é igual a: a) 1/8 b) ¼ c) ½ d) 1 e) 2

log8 log2 x

=1/2

11) O produto (log 3 2).(log 2 5).(log 5 3) é igual a: a) 0 b)1 c) 10 d) 30 e) 1/10 12) Sabendo-se que log x y = 4,então: a) x + y = 1/4

b) x.y = 1/16

c) y = 4x

d) x-y = 8

1

e) x = 4y

13) Se m = log b a, m  0, então log 1 / a 2

b vale: 2 a) –m b) m+2 c) m d) -2/m e) -1/m 3. log x

5 14) A expressão 5 ,para x > 0 é equivalente a: 2x 3x 5 3 a) 3x b) 5 c) 5 d) x e) x

15) A equação ( log x ) - 3.log x + 2 = 0 tem como conjunto-solução: a) {1,2} b) {-1,-2} c) {10,100} d) {1,10}

a5. b 16) O valor de log é: 3 log a log b  2 log b  log 3 b) 5 log a   log 3 a) 5 2 log b log a . log 3  5 log b  log 3 d) 5 log a. e) 2 2 PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

c) 5 log a 

log b  log 3 2

17) Para todo x  (0,) , a expressão 2 log 6 (6 x)  log 6 x 2 é igual a: a) 2

b) 6

c) 12/x2

d) 6 log 6 x

6  x

e) 2 log 6  

a2 18) Se log a  4 e log b  1 então log vale: b 3

a) 6

b) 4

c) 3

d) 8/3

e) 7/3

19) Se log 2  a e log 3  a  b , então log 3 54 é: a) 12a  3b

a  4b 3

4a  3b 3

4a  b 3

e) 4a  b

log 2

20) A potência 9 3 é igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 GABARITO 1)a 6)c 11)b 16)b

2)d 7)d 12)e 17)a

3)b 8)a 13)d 18)e

4)a 9)d 14)e 19)c

5)d 10)e 15)c 20)c

FUNÇÕES Antes de entrarmos definitivamente em funções, vamos aprender um pouco sobre o Plano Cartesiano, que será uma ferramenta muito importante nesse assunto. Todo ponto no plano é representado por um par ordenado ( x, y ) .  O eixo x se chama eixo das abscissas.  O eixo y se chama eixo das coordenadas.

FUNÇÃO DO 1° GRAU Domínio, Contradomínio e Imagem Observe o diagrama a seguir:

Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados será: f={(1,2),(2,3),(3,4)} O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f. D(F)=X O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f. C(F)=Y Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f. f(1)=2

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Ainda, f(2)=3 e f(3)=4. Logo o conjunto das imagens de f e dado por: Im(f)={2,3,4}

Denomina-se função do 1° grau toda função

f :    definida por: f ( x)  ax  b

com a , b   e a  0 .

a  coeficiente angular ou taxa de variação b  coeficiente linear O gráfico de uma função do 1° grau é uma reta.

Zero ou Raiz da Função O zero ou raiz de uma função do primeiro grau é o valor de x que torna

f ( x)  0 .

f ( x)  ax  b ax  b  0  ax  b  x   Ex: Ache a raiz da função

b que é a raiz da função. a

f ( x)  2 x  4 .

Estudo do sinal de uma função do 1° grau Para estudar o sinal de uma função do primeiro grau, devemos primeiramente achar a sua raiz, depois ver se a função é crescente ou decrescente.

 

f ( x)  0 a direita da raiz e f ( x)  0 a esquerda da raiz. Se a função e decrescente (a<0), então f ( x)  0 a esquerda da raiz e f ( x)  0 a direita da raiz. Se a função é crescente (a>0), então

Ex: Faça o estudo do sinal das funções

f ( x)  4 x  8 e f ( x)  3x  9 .

Construção do gráfico de uma função do 1° grau Para construirmos o gráfico de uma função do 1° grau, primeiramente calculamos sua raiz, que vai nos dizer aonde o gráfico intercepta o eixo x (eixo das abscissas), depois analisamos o coeficiente angular ( a ) para saber se a função é crescente ou decrescente, e o coeficiente linear ( b ), que indica onde o gráfico intercepta o eixo y (eixo das coordenadas). Ex: Construa o gráfico das seguintes funções do 1° grau.

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f ( x)  2 x  4

f ( x)  3 x

f ( x)  3  x

Nomenclaturas da função de 1°grau

f ( x)  ax  b com a, b   . Função Linear: é a função f ( x)  ax com a   e b  0 . Seu gráfico sempre passa pela origem. Função Afim: é a função

Ex:

Função Constante: é a função

f ( x)  2 x

f ( x)  b com b   e a  0 . O gráfico sempre é uma reta paralela ao eixo x. Ex:

Função Identidade: É a função

f ( x)  3

f ( x)  x . O gráfico é a bissetriz do 1° e 3° quadrantes.

Determinar a função analisando o gráfico Ex: Obtenha a função que determina o seguinte gráfico:

Exercícios 1) Seja a função definida por f(x) = x – 1, então o valor f(K + 1) é: a) 0 b) 1 c) K – 1 d) K

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e) K – 2

2) Sendo f(x) = 100x + 3, o valor de a)10-14 b)10-2

c) 0

d)102

f (10 8 )  3 é: 10 8

e)1014

3) Seja a função de IR em IR definida por f(x) =

2x  3 3 . Qual é o elemento do domínio que tem como 5 4

imagem?

9 10  45 b) 2 3 c) 8 8 d) 3  10 e) 9 a)

4) Dada a função f(x) = kx + 5, e sabendo que f(1) = 2, então: a) k = 1 b) k = 2 c) k = 3 d) k = -1 e)k = -3

5) Seja f(x) =

xa , para x  -b. sabendo-se que f(b) = 1, pode-se afirmar que: xb

a) a = -b b) a = b c) a = 2b d) a =

b 2

e) a = -3b 6) Considerando f(x) = x + 1, o valor de x de modo que f(1) + 2f(x) + 2 = 0 é: a) – 2 b) 1 c) – 3 d) 0 7) Sendo f(x) = a) 5 b) 9 c) 16 d) 20 e) 25

x + 1, então f(9) + (16) é:

8) O gráfico abaixo representa uma função do 1 grau f(x) = ax + b. y É correto afirmar que: a) a > 0 e b > 0 b) a > 0 e b = 0 c) a < 0 e b > 0 d) a < 0 e b < 0 e) a > 0 e b < 0

9) O valor de x que anula a função f(x) = 2x – 1 é:

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a) b) c) d) e)

1 0 2 1,5 0,5

10) Seja a função f:IR  IR, f(x) = ax + b. Se f(2) = 1 e f(1) = -1, então a e b valem respectivamente: a) 2 e 3 b) 1 e –2 c) 3 e 1 d) 3 e 2 e) 2 e –3 11) Dada f(x) = ax + b. Se os pontos (0,4) e (2,0) pertencem ao gráfico de f, então a e b valem respectivamente: a) –2 e 4 b) 4 e 2 c) 1 e 2 d) 2 e 3 12) Identifique a função dada pelo gráfico e marque a opção correta:

(0;1)

a) f(x) = 2x + 1 b) f ( x)  3  2 c) f(x) = -x + 2 d) f(x) = x – 2 e) f(x) = x + 1

-1

13) Em uma loja, o salário mensal fixo de um vendedor é de R$ 130,00. Além disso, ele ganha R$ 2,50 por unidade vendida. Expressando o ganho mensal desse vendedor em função do número x de unidades vendidas e determinando a quantidade de unidades que ele deve vender para receber um salário de R$ 530,00 tem-se, respectivamente: a) y = 130x + 2,5x; 4 b) y = 130x + 2,5; 4 c) y = 130 + 2,5x; 160 d) y = 2,5x ; 212 e) y = 130 + 2,5x; 80 14) A função f(x) = x – 1 é: a) Positiva para x > -1. b) Negativa para x < 1. c) Negativa para x = 1. d) Positiva para x < 1. e) Positiva para todo x real. 15) A reta 2x+y=5 corta o eixo das abscissas no ponto: a) (0,5/2) b) (5/2,0) c) (-5/2,0) d) (0,-5/2) 16) Seja a reta ® cuja equação é 2x-3y=-1. O coeficiente linear e o angular são, respectivamente, iguais a: a) 1 e 2 b) 2/3 e 1/3 c) 1/3 e 2/3 d) -1/3 e 2/3 17) Seja a função f de R em R definida por y=2x+1. Um dos pontos do gráfico desta função tem coordenadas: a) (0,1) b) (1,4) c) (-1,1) d) (-10,-20) 18) Dada a função f(x)=2x,qual é o elemento do domínio cuja imagem é 1/4? a) 1/8 b) 1/4 c) 1/2 d) 9/4 19) As funções f e g, de R em R são definidas por f(x)=-x-1 e g(x)=2x+2. Qual o valor de f(2).g(0)? a) 0 b)2 c) -6 d) 6 20) Qual das funções abaixo corresponde ao gráfico ao lado?

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a) y= -2x-2x b) y= 2x+2 c) y= -x-2 d) y= -x+2 21) Fazendo a representação gráfica da função definida por y = x-3, verificamos que a reta obtida intercepta o eixo das ordenadas no ponto de coordenadas: a) (3,0) b) (-3,0) c) (0,3) d) (0,-3) 22) Qual o valor do coeficiente linear da reta definida por -2x+4-y=2x+3? a) 1 b) 4 c) -1 d) -4 23) As coordenadas do ponto de intersecção de duas retas de equações, y=3-3x e 2x=-y-1, são: a) (4,7) b) (4,-9) c) (-9,4) d) (2/3,1) 24) Qual deve ser o valor de “m” para que o coeficiente angular da reta seguinte, 2x+my+6=0, seja 12? a) -1/6 b) -1/2 c) 1/6 d) 1/3

FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU Denomina-se função do 2° grau toda função

f :    definida por f ( x)  ax 2  bx  c , com a, b, c   e

a  0. O gráfico de uma função do 2° grau é uma curva aberta chamada parábola.

Zero ou raiz da função São os valores de x para os quais a função se anula, ou seja, f ( x)  0 . Para obter as raízes da função de 2° grau, usamos a fórmula de Báskara, que já é de nosso conhecimento.



Se   0 , teremos duas raízes reais e diferentes.

Ex:



f ( x)  x 2  5 x  6



Se   0 , teremos duas raízes reais e iguais.

Ex:

f ( x)   x 2  4 x  4



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

Se   0 , não existem raízes reais.

Ex:

f ( x)  x 2  x  1



Estudo do sinal de uma função do 2° grau Para estudarmos o sinal de uma função do 2° grau, devemos analisar o sinal do coeficiente angular a , e também o valor do  . Consideramos as seguintes possibilidades:

  >0 temos duas raízes reais x1 e x 2 . Assim:

   0 temos duas raízes reais iguais, x1  x2 . Assim:

   0 não teremos raízes reais. Assim:

Construção do gráfico de uma função do 2°grau Para construirmos o gráfico de uma função do 2° grau, primeiramente calculamos suas raízes através da fórmula de Báskara, que vai nos dizer aonde o gráfico intercepta o eixo das abscissas (x) , depois analisamos o sinal do coeficiente angular (a ) , para saber se a função é crescente ou decrescente, de depois o coeficiente linear

(b) indica se a parábola está descendo ou subindo quando corta o eixo y.

Ex: Construa o gráfico das seguintes funções do 2° grau. a)

f ( x)  x 2  5 x  4

f ( x)   x 2  4 x  4

f ( x)  x 2  3 x

f ( x)   x 2  9

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Coordenadas do vértice Vértice é o ponto extremo da função do 2° grau, é aonde a função admite um valor máximo ou um valor mínimo. As coordenadas do vértice da parábola obtida através da função do 2° grau

y  ax 2  bx  c e ( xv , yv ) , que

calculamos da seguinte maneira.

xv 

b 2a

yv 

 4a

 Se a função é crescente (a  0) , as coordenadas do vértice da parábola representarão um ponto de valor mínimo.  Se a função é decrescente (a  0) , as coordenadas do vértice da parábola representarão um ponto de valor máximo.

Ex: Obtenha as coordenadas do vértice da parábola obtida através da função quadrática

Determinar a função analisando o gráfico Ex: Obtenha a função que determina o gráfico:

Exercícios 1) Dado a função f: IR  IR, definida por f(x) = x2 – 1, então f(-1) + f(1) vale: a) 2 b) 0 c) 1 d) –1 e) –2 2) Seja f: IR  IR a função definida por f(x) = x – 3x + 1. O valor de 2

a) 0 b) h c) h2 – h

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f (1  h)  f (1) h

é:

f ( x)  2 x 2  4 x .

h2 1 h

e) h – 1

x2 1 1 , então f   é igual a: x a 2 a a2 1 a 2 a c) a) a  1 b) a  1 3) Se f(x) =

a 1 2 e) a  1

x2  6 para todo x IR; se f(m) = f(m - 4) então: 4

4) Dada f: IR  IR definida por f(x) = a) b) c) d) e)

a2 1 d) a  1

m = -1 m=1 m=4 m=2 m=-4

5) Se f (x + 1) = 2x 2 – 5, então f(-1) é igual a: a) 5 b) – 3 c) – 1 d) 3 e) 5 6) A parábola representada na figura é o gráfico da função f(x) = ax 2 + bx + c, com x  IR.. A soma e o produto das raízes dessa função valem, respectivamente: a) 5; 4. b) –5; 4. c) 4; -5. d) 4; 5. e) –4; -5.

y 8

7) A parábola P representada na figura é o gráfico de uma função quadrática f. Se y = g(x) por outra função quadrática cujas raízes sejam as mesmas de f e se o vértice do gráfico dessa g for simétrico ao vértice de P com relação ao eixo 0x, então g(-1) vale: y

a) -8 b) –6 c) 0 d) 6 e) 8

3 2

8) f(x) dm

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2 x (dm)

A figura indica a trajetória parabólica do salto de uma rã e destaca a distância horizontal máxima (8 dm) e a altura máxima (2 dm) atingidas. A função quadrática que expressa a altura em relação à distância horizontal é dada por: 2 a) f(x) = 0,125x + x b) f(x) = -0,125x2 + x c) f(x) = -0,25x2 + 1,5x 2 d) f(x) = -x + 4,5x 2 e) f(x) = -0,5x + 2,5x 2 9) Veja a função f(x) = ax + bx + c y representada abaixo, é INCORRETO afirmar que: a) b) c) d) e)

a>0 b<0 c=0 a.b>0 b.c=0

10) Dada a função f:    definida por f(x) = x2 + 3 podemos afirmar que seu gráfico: a) passa pelo ponto de ordenada –3 b) passa pela origem. c) Tangencia o eixo das abcissas. d) Não intercepta o eixo das abcissas. e) Intercepta o eixo das abcissas em dois pontos distintos. 11) Se f(x) = ax2 + bx, onde f(1) = 2 e f(-1) = 0, então: a) o gráfico de f é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. b) O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto (0; 1). c) O gráfico de f intercepta o eixo x no ponto (1; 0). d) O gráfico de f intercepta o eixo x num único ponto. e) O gráfico de f intercepta o eixo x em dois pontos distintos. 12) A cordenada do vértice da parábola f(x) = x2 – 2x + 5 é: a) 4 y b) 5 c) 3 d) 2 e) – 2 9

13) O valor máximo da função f(x) = - x2 + 2x + 2 é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e)6 2

14) O valor da função y = x – 8x + 15 é: a) máximo, dado por V = (4, 1) b) mínimo, dado por V = (4, -1) c) máximo, dado por V = (-4, -1) d) mínimo, dado por V = (-4, -1)

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e) máximo, dado por V = (4, -1) 15) Determine o vértice da parábola definida pela função f(x)= x a) (3,-1) b) (3,1) c) (2,0) d) (1,3) 16) A função f(x)=x 2 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

 6x  8 .

x 2  2 x  1 , tem mínimo no ponto em que “x” vale:

17) O gráfico da função f(x)= x  mp  (-1,3). Então o seu valor mínimo é: a) 3/2 b) -3/2 c) 3/4 d)1/2 18) A função y  ax a) positivo b) exterior às raízes c) negativo d) interior às raízes

p com m,p constantes reais,passa pelos pontos (0,1) e

 bx  c onde b 2  4ac  0 e a  0 , é estritamente positivo para todo x ...

19) Para que a equação x  mx  m  m  12  0 tenha uma raiz nula e outra positiva, o valor de m, deve ser : a) -4 b) -3 c) 4 d) 3 20) Seja uma função f do 1º grau. Se f(-1)=3 e f(1)=1, então o valor de f(3) é a) -1 b) -3 c) 0 d) 2 2

21) Qual o maior valor numérico que a função a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 22) Dê o valor de “m” para que a equação real. Dica: Se ∆ =0 ⇒ somente uma raiz. a) -3/2 ou 9/2 b) -2/3 ou 3/4 c) 5/3 ou -3/5 d) 7/5 ou 9/7

x 2  (2m  3) x  9  0 admita apenas uma raiz

23) O maior valor numérico da função y   x a) -41 b) 41 c) -9 d) 9

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f ( x)   x 2  6 x  5 pode assumir?

 10 x  16 é:

24) Se a parábola (gráfico da função y  ax então podemos afirmar que: a) 4ac= b

 bx  c ) tangenciar o eixo das abscissas,

b 2 <4ac 2 c) b >4ac b)

d) b=4a-c 25) Determine o valor de “m” para que a função f ( x)  x das abscissas. (dica: teremos somente uma raiz) a) 1 b) -2 c) 3 d) -3

 (m  1) x  m  2 , tangencie o eixo

26) A figura representa, graficamente, no plano cartesiano, a função polinomial do 2º grau

f ( x)  ax 2  bx  c ,

onde a, b e c são constantes reais e f( x1 )=f( x2 )=0. Então, de acordo com a figura, a firmação correta é: a) a.b.c<0 b) a<0 e c>0 c) 4ac>b 2 d) b<0 e c<0 e) b>0 e c>0 27) O valor de k, para que a função igual a 10,25 é a) 10 b) 25 c) 12,5 d) 8 e) 16

f ( x)   x 2  3x  k tenha um valor máximo

FUNÇÃO EXPONENCIAL Esta função é do tipo: f ( x)  a x , com a  0 e a  1 .

GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL  Se a  1 , então a função é crescente e tem o seguinte gráfico.

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 Se 0  a  1 , então a função é decrescente e tem o seguinte gráfico.

Ex: a) Analise se a função f ( x)  5 x é crescente ou decrescente e construa seu gráfico. x

1 b) Analise se a função f ( x)    é crescente ou decrescente e construa seu gráfico. 2

Exercícios: 2 x

1 5 1) Dada a função f : R  R , definida por f ( x)    , pode-se dizer que f é ......................... 2 (crescente ou decrescente) e o valor de x para o qual f ( x)  32 vale .........................(13/5 ou -13/5). a) crescente, -13/5 b) decrescente, -13/5 c) crescente, 13/5 d) decrescente, 13/5 2) Qual é o ponto comum aos gráficos de f(x)= 4 x-1 e g(x) = 2x? 3) A figura mostra um esboço do gráfico da função f(x) = a x + b, com a, b  IR, a > 0, a  1 e b  0. Então, o valor de a2 – b2 é: a) -3 b) –1 c) 0 d) 1 e) 3

5 2 2

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GABARITO

1)b

2) x=2

3)e

FUNÇÃO LOGARÍTMICA Esta função é do tipo: f ( x)  log a x com a  0 e a  1 .

GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA  Se a  1 , então a função é crescente e tem o seguinte gráfico:

 Se 0  a  1 , então a função é decrescente e tem o seguinte gráfico.

Ex: a) Analise se a função f ( x)  log 2 x é crescente ou decrescente e construa seu gráfico. b) Analise se a função f ( x)  log 1 x é crescente ou decrescente e construa seu gráfico. 2

Exercícios: 1) O gráfico mostra o comportamento da função logarítmica na base a. Então o valor de a é: y a) 10 b) 2 c) 1 d) 1 2 e) –2

4 0

-2

2) A figura abaixo mostra o gráfico da função logarítmica na base b. O valor de b é: a) 1 4

b) 2

c) 3

d) 4

e) 10

y 0,25 1

PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN -1

GABARITO 1)d

2)d

EXERCÍCIOS: 1) Sendo x uma variável real, a função f ( x)  5 x é: a) crescente b) decrescente c) constante d) quadrática e) linear 2) Dada a função y  2 x , podemos afirmar que a) seu domíneo é   b) seu conjunto imagem é  c) o gráfico é uma curva que passa pelo ponto (0,1) d) esta função é decrescente e) f (3)  6 3) Assinale o domíneo e a imagem de f ( x)  2 x : a)  e  b)  e (0,   ) c) [0,   ) e [0,   ) e) [1,   ) e 

d) [1,   ) e [0,   )

4) Entre os gráficos, o que melhor se adapta ao da função dada por y  a x , com a  1 , é

1 5) Dentre os gráficos abaixo, aquele que representa a função real definida por y    é: 2

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6) Na figura está a representação geométrica de uma função exponencial f dada por f ( x)  b x . Podemos garantir que a) b = 10 b) b = 2 c) b = 1 d) b < 0 e) 0 < b < 1 7) A função f:    definida por f ( x)  2.b x é exponencial crescente se, e somente se a) b >0 b) b< 0 c) 0< b < 1 d) b < 1 e) b > 1 8) A função f ( x)  2 x é .................. e o valor de f (0) é ............. . Completando as lacunas, temos: a) decrescente; 1/2 b) crescente; 1/2 c) decrescente; 1 d) crescente; 0 e) crescente; 1 x 2

1 9) Dadas as funções f ( x)    e g ( x)  32 x definidas para todo o x   , pode-se dizer que f é  16  ....... e o valor de x para o qual f ( x)  g ( x) é .......... . Selecione a alternativa que completa corretamente as lacunas. a) decrescente; 8/9 b) crescente; -8/9 c) constante; -8/9 d) crescente; 8/9 e) decrescente; -8/9 10) Indique as afirmativas referentes à função f ( x)  a x , com a  0 e a  1 , são verdadeiras (V) ou falsas (F). ( ) f é crescente para a  (0,1) ( ) o domíneo de f é  ( ) a imagem de f é (0,   ) A seqüência correta é: a) F – V – F b) V – F – F c) F – V – V d) V – V – V e) V – F – V PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

2 3

x 1

11) O gráfico de f ( x)    a) passa pelo ponto (1,0) b) é crescente em 

 

2 3

c) passa pelo ponto  0,  d) passa pelo ponto (0,1) e) intersecta o eixo x 12) A figura mostra um esboço do gráfico da função y  a x  b , com a e b   , a  0, a  1 e b  0 . Então, o valor de a 2  b 2 é: a) -3 b) -1 c) 0 d) 1 e) 3 13) Observe os gráficos:

As funções de (I e (II) são, respectivamete: a) y  2 x ; y  2 x b) y  2  x ; y  2 x2 c) y  2 x ; y  2 x  1 d) y  2  x ; y  2 x  1

e) y  x ; y  x  2

14) A função f ( x)  log 2 x é: a) exponencial b) crescente c) decrescente d) quadrática e) linear 15) Responda esta questão com base no gráfico abaixo:

A função

f ( x)  log a x (a  0 e a  1) a) intercepta o eixo das ordenadas no ponto (1,0) b) é sempre crescente c) a > 1 d) 0< a < 1 e) Im( f )   PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

16) O gráfico abaixo mostra o comportamento da função logarítmica na base a . Então o valor de a é: a) 10 b) 2 c) 1 d) 1/2 e) -2

17) O gráfico abaixo representa a função: a) f ( x)  2 x

13 5 c) f ( x)  log 2 x b) f ( x) 

d) f ( x)   x 3  1 e) nenhuma das respostas anteriores 18) o valor de t, para que o ponto P=(1000,t) pertença ao gráfico de f ( x)  log10 x  1 , é igual a a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 19)

O gráfico acima representa uma função

f ( x)  log b x Ache o valor de b : a) 1/3 b) 3

c) 2

d) ½

e) 2 / 2

20) Sejam as funções f e g , de   , em  , definidas por f ( x)  log a x e g ( x)  a x , com 0  a  1 . Os gráficos cartesianos de f e g : a) não tem pontos comuns b) têm um único ponto comum, cuja abscissa é menor que 1 c) têm um único ponto comum, cuja abscissa é igual a 1 d) têm um único ponto comum, cuja abscissa é maior que 1 e) têm somente dois pontos comuns 21) Seja y1  a x a função exponencial de base a e y2  log a x , a função logarítmica na base a , onde a  0 e a  1 . Afirma-se o seguinte: I – y1 e y2 são crescentes para x >1. II – Para x <0, obtêm-se y1>0 e y2<0. III – O domínio de y1 é igual a imagem de y2. É(são) verdadeira(as): a) apenas I b) apenas III c) apenas I e II d) apenas I e III PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

e) apenas II e III 22) Se f ( x)  2 x , então f ( x  3)  f ( x  1) é igual a: a)

15 f ( x) b) 4 2

 15 f ( x) 32

3 f ( x) 2

23) Se f ( x)  2 x , então a propriedade 2 r .2t  2 r t é expressa em notação funcional por a) f (r ). f (t )  f (r  t ) b) f (r ). f (t )  f (r )  f (t ) c) f (r.t )  f (r  t ) d) f (r.t )  f (r )  f (t ) e) f (r.t )  f (r ). f (t ) GABARITO 1)a 7)e 13)d 19)d

2)c 8)e 14)b 20)b

3)b 9)a 15)d 21)b

4)e 10)c 16)d 22)a

5)d 11)c 17)c 23)a

6)e 12)e 18)d

INEQUAÇÕES DO 1° GRAU O estudo das inequações do 1° grau tem como finalidade encontrar os valores da variável x para os quais a expressão ax  b é positiva ou negativa. Se você prestar atenção, este assunto tem tudo a ver com o estudo do sinal de uma função. Ex: a) 4 x  2  10 b) 3x  4  x  8 c) 3( x  5)  4( x  2) d)

2x  1 x  2  3 4

INEQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU O estudo das inequações de segundo grau tem como finalidade encontrar os valores da variável x para os quais a expressão ax 2  bx  c é positiva ou negativa. Este assunto tem a ver com o estudo do sinal de uma função. Ex: a) x 2  4 x  3  0 b)  x 2  5x  4  0 2 c) ( x  1).( x  3x  2)  0 2 d) ( x  2).( x  4 x  3)  0

x 1 0 x2  9

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x2  x 0 x 2  3x  2 Exercícios:

1) O conjunto solução da inequação a) (   , -2)

x 2 -3x<10 é:

b) (-  , -2)  (5 ,  ) c) (-2,5)

d) (0,3) e) (3,10)

2) As soluções de x 2 -2x<0 são valores de x pertencentes ao conjunto: a) (0,2) b) (-  ,0) c) (2,  ) d) (-  ,0)  (2,  ) e) (0,  ) 3) A solução da inequação x 2  x é o intervalo real: a) (-  , -1] b) [-1,  ) c) [-1, 0] d) [-1, 1] e) [0,1] 4) As soluções reais da desigualdade x 2 +1>2x são os números x, tais que a) x  0 b) x  1 c) x>1 d) x  1 e) x<1 5) O intervalo que corresponde à solução da inequação x 2 -x-2>0 é a) (-1;2) b) (-2;1) c) (-  ;-1)  (2;  ) d) (-  ;2)  (1;  ) e) (-2;2) 6) O lucro L de uma empresa é dado por L = -x 2 +8x-7, onde x é a quantidade vendida. O lucro será positivo se, e somente se: a) 2<x<5 b) x>7 ou x<1 c) 1<x<7 d) 0<x<12 e) x>12 7) A menor solução inteira de x 2 -2x-35<0 é: a) -5 b) -4 c) -3 d) -2 e) -1 8) A soma dos valores inteiros da solução da inequação x 2 -8x+7<0 é. a) 28 b) 27 c) 21 d) 20 e) 10 9) O conjunto solução de x 2 -4x+4  0 é: a) { x   / x 2 >0 } b) { x   / -2  x  2} d) { 4 } e) { x   x  2}

c) { 2 }

10) O conjunto solução da inequação x 2 -2x+1  0 é. a) (0,1) b) { 1 } c) { 2 } d) [ 1 ,  ) e) (-  ,1] 11) Quantos números naturais não nulos pertencem ao conjunto solução de x 2 -2x+1  0 é. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 12) A soma dos valores inteiros da solução da inequação x 2 -4x-5<0 é: a) 9 b) 10 c) 11 d) 13 e) 14 13) O conjunto solução da inequação ( x 2 -7x+12) . ( x 2 -16)<0 é: a) (-4,3) b) (-  ,3)  (4,  ) c) [3,  ) d) [3,4] e) [4,  ) 14) Os valores de x que satisfazem a inequação (x 2 +x+1). (x-5) <0são: PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

a) [5,  ) b) { 5 } c) (1,  ) d) (-  ,1) e) (-  ,5) 15) O conjunto solução da inequação (x+3)(x-2)  0 é: a) {x   x  3 ] b) {x   2  x  3 } c) {x  x  2oux  3 } d) {x    3  x  2 } e) {x    2  x  3 } 16) O número de soluções inteiras da inequação (x 2 +2x+7) (x 2 -7x+6)  0 é: a) 6 b) 5

c) 4 d) 7 e) 3

x 2  5x  6 17) Os valores de x que verificam <0 são expressas por: x2 a) x<3 b) 2<x<3 c) x<2 ou x>3 d) x  2 e) x<3 e x  2 18) O conjunto solução da inequação

x  x2 0 x 2  2x  3 a) {x   x  3oux  0ex  1 } b) {x   x  3oux  1 } d) {x    3  0  0 }

c) {x   3  x  1 }

e) {x   3, x  0oux  1 }

19) Os valores de x que satisfazem a inequação

x 2  4x  4  0 são: x 2  7 x  12

a) 2  x  3 b) 2  x  4 c) 3<x<4 d) x<3 e) x<3 ou x>4 20) O conjunto de todos os números reais que satisfazem a inequação a) { 0 } b) { 0;

2 <1 é: x 1

1 } c) {x  ,1  x  1} d) {x  , x  0 } e) {x , x  1 ou x>3} 2

21) O conjunto solução

x2  x 1 1  é dado por 2 3 x 9 x

a) [-3,3 [ b) ]-  ,-2]  [2,  [ c) ]-3,-2]  [2,3[ d) [-2,2] e) [2,  [

GABARITO 1)c 8)d 15)d

2)a 9)c 16)a

3)e 10)b 17)b

4)d 11)c 18)d

5)c 12)b 19)e

6)c 13)a 20)e

7)b 14)e 21)c

PROGRESSÃO ARITIMÉTICA (PA) É a seqüência de termos em que cada termo a partir do 2° termo é igual ao anterior somado com uma constante chamada razão. Ex1: A seqüência (1,4,7,10,...) é uma PA de r=3. Ex2: A seqüência (3,1,-1,...) é uma PA de r=-2 PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

CÁLCULO DA RAZÃO

r  an  an1 Ex: Na PA (1,7,13,19,...) a razão é:

FÓRMULA DO TERMO GERAL

a k  ( n  k ) r  an Exercícios: 1) Calcule o 20° termo da PA (2,6,10,...) 2) Calcule o 13° termo da PA (5,2,-1,...) 3) Calcule o 16° termo da PA (2,7,12,...) 4) Numa Pa de 20 termos onde a1 = 50 e r = -2, os quatro primeiros termos são a1 = 50, a 2 = 48, a3 = 46 e a 4 = 44. Calcule a20 . 5) Numa PA, o 3° termo é 12 e o 5° termo é 20. Calcule a razão da PA. 6) Numa P.A. de razão 3, cujo 8º termo vale 10, o valor do 15º termo é: 7) Se o 5º termo de uma P.A. é 13 e o 9º termo é 45, pode-se determinar a razão da seguinte forma: 8) Interpole 4 meios aritméticos entre 11 e 26. 9) Numa PA, a soma do 3° termo com o 5° termo é 30 e a soma do 4° termo com o 7° termo é 42. Calcule o 1° termo da PA. 10) Quantos múltiplos de 3 existem entre 14 e 100? 11) A soma de três números em PA é 18 e o maior é o triplo do menor. Calcule o menor dos números. OBS 1:Com exceção dos extremos, qualquer termo é igual à soma do termo anterior com o termo posterior dividida por 2. OBS 2: Se a PA tiver um número ímpar de termos, esta propriedade é válida para os extremos. Ex1: Na PA (1,3,5,7,...) temos: Ex2: Calcule x, sabendo que x+1, 5x-3 e 2x+7 formam nesta ordem, uma PA. Ex3: Sabendo que x-1, 2x+3 e 4x+4 formam nesta ordem uma PA, determine a razão da PA. EX4: Numa PA, de número ímpar de termos, os extremos são 4 e 28. Calcule o termo médio da PA.

SOMA DOS TERMOS DE UMA (PA) Sn 

a1  an n 2

Exercícios: 1) Numa P.A. com 30 termos o primeiro e 12 e o último, 58. Qual o valor da soma de todos eles? 2) Calcule a soma dos 30 primeiros termos da PA (3,6,9,12,...). 3) Calcule a soma dos 20 primeiros termos da PA (2,6,10,14,...). 4) O termo geral de uma PA é an  3n  5 . Determine a soma dos 40 primeiros termos da PA.

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a3  a6  29 Calcule o primeiro termos desta PA e a soma dos 15 primeiros a4  a7  35

5) Numa PA temos:  termos.

6) A soma dos 80 primeiros números positivos é:

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) É a seqüência de termos em que cada termo a partir do 2° termo é igual ao anterior multiplicado por uma constante chamada razão. Ex1: A seqüência (1,2,4,8,16,...) é uma PG de razão 2. Ex2: A seqüência (-3,9,-27,81,...) é uma PG de razão -3.

CALCULO DA RAZÃO q

an an1

FÓRMULA DO TERMO GERAL ak .q nk  an Exercícios: 1) Calcule o 5° termo da PG (4,12,36,...). 2) Calcule a7 da PG de razão 3 e a2  5 . 3) Determine a razão da PG onde o 1° termo é 2 e o 4° termo é 250. 4) Dê a razão da PG em que à soma do 2° termo com o 5° termo é 90 e a do 3° com o 6° termo é 180. 5) Interpole 6 meios geométricos entre 1 e 128. 6) Quantos termos tem a PG (5,10,20,...,2560)? 7) A soma de três números em PG de razão 4 é 42. Quais são os números? 8) O produto de três números em PG de razão 2 é 1000. Calcule a soma dos números. 9) O produto dos três primeiros termos de uma PG é 27 e a razão é 4. O termo do meio é: 10) Um produto custa inicialmente 1000 reais e tem seu preço ajustado mensalmente com uma taxa de 30%. Ao fim de 12 meses, o preço do produto será, em reais. OBS 1: Numa PG, com exceção dos extremos, qualquer termo ao quadrado é igual ao produto do termo anterior pelo termo posterior. OBS 2: Numa PG de número ímpar de termos, o termo médio é igual ao produto dos extremos, ou igual ao produto dos termos eqüidistantes dos extremos. Ex1: Calcule x para que x-1, x+1, x+7 formem, nesta ordem, uma PG. EX2: Numa PG de número ímpar de termos, o termo médio é igual a 9. Calcule o produto dos extremos dessa PG. PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

SOMA DOS TERMOS DE UMA (PG) Sn 

a1 (q n  1) q 1

Exercícios: 1) Calcule a soma dos 8 primeiros termos da PG (2,4,8,16,...): 2) Calcule a soma dos dez primeiros termos da PG (1,3,9,27,...). 3) Numa PG, o primeiro termo é 2 e o quarto termo é 54. Calcule a soma dos 7 primeiros termos da PG.

SOMA DOS TERMOS DE UMA (PG) INFINITA Sn 

a1 1 q

Exercícios:

1   1) Calcular a soma dos termos da PG  5,1, ,...  : 5   2) Resolva a equação em que o primeiro membro representa a soma dos termos de uma PG infinita: 80x  40x  20x  ...  320 . 3) Calcule x na equação: x 

x x   ...  60 . 4 16

PRODUTO DOS TERMOS DE UMA (PG) Pn  a1 .q n

n ( n 1) 2

Exercícios: 1) Calcule o produto dos 9 primeiros termos da PG (-2,-4,-8,...). a) 512.236 b) 256.232 c) 512.233 d) 256.220 e) 512.230

 

2) O 10° termo da PA  a,

11a 2 13a d) 2 a)

9a 2 15a e) 2 b)

3a  ,...  , é igual a: 2  7a c) 2

3) Numa PA, o 2° termo é 5 e o 6° termo é 17. A razão da PA é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4) Sabendo que numa PA, o 4° termo é 8 e o 10° termo é 50, o valor do 13° termo é: PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

a) 51 b) 31 c) 20 d) 42 e) 71 5) A razão para inserir 7 meios aritméticos entre 3 e 99 é: a) 16 b) 12 c) 8 d) 17 e) n.d.r

a3  a6  29 . O primeiro termo da PA é: a4  a7  35

6) Numa PA temos:  a) 2

b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

7) A quantidade de múltiplos de 5 existentes entre 8 e 101 é: a) 17 b) 18 c)19 d) 20 e) 21 8) O número de múltiplos de 7 entre 50 e 1206 é: a) 53 b) 87 c) 100 d) 165 e) 157 9) A quantidade de números compreendidos entre 1 e 5000 que são divisíveis por 3 e 7, é: a) 138 b) 238 c) 137 d) 247 e) 157 10) Os ângulos internos de um triângulo estão em progressão aritmética. Se o menor deles mede a metade do maior, então o maior mede: a) 80° b) 90° c) 100° d) 60° e) 120° 11) A soma de três números em PA é 12 e o produto é 28. O maior dos números é: a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 12) O perímetro de um triângulo retângulo é 48cm e os seus lados estão em PA. A área do triângulo, em cm2, é igual a: a) 108 b) 96 c) 64 d) 54 e) 48 13) Os lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. O perímetro do triângulo é: a) 36 b) 27 c) 24 d) 22 e) 18 14) O valor de a na PA (2a, 4a+2, 8a+6) é: a) -1 b) 1 c) -3 d) 3 e) 6 15) Os três primeiros termos de uma seqüência aritmética estão representados por (2x+5, x-4, 3x-1). O valor da razão dessa seqüência é: a) -3 b) -2 c) 3 d) 2 e) -5 16) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x+1, 2x, x 2-5 e estão em PA, nesta ordem. O perímetro do triângulo é: a) 8 b) 12 c) 15 d) 24 e) 33 17) O termo geral de uma progressão é an  5n  3 . A soma dos 15 primeiros termos é: a) 72 b) 375 c) 555 d) 615 e) 1080 18) A soma dos múltiplos de 3, entre 25 e 98 é: a) 1053 b) 1403 c) 1476 d) 1538 e) 1668 19) A soma dos 80 primeiros números ímpares positivos é: a) 3240 b) 6400 c) 1476 d) 1538 e) 1668 20) A soma dos 100 primeiros números pares positivos é: a) 5050 b) 5100 c) 6360 d) 10050 e) 10100 21) Em uma progressão aritmética, a soma dos termos é 70, o primeiro termo é 10 e a razão é 5. O número de termos é: a) 10 b) 8 c) 4 d) 12 e) 16 PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

22) A soma dos n primeiros termos de uma PA é n 2  2n . O 10° termo dessa PA vale: a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 23) A soma dos n primeiros termos de uma PA é S n  2n 2  3n . O 21° termo dessa PA é: a) 70 b) 79 c) 47 d) 84 e) 100 24) A soma dos n primeiros de uma progressão aritmética é dada por S n  3n 2  5n . A razão dessa progressão aritmética é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 25) Em uma rodovia muito movimentada, havia 2 telefones instalados nos quilômetros de número 2 e 50. A população conseguiu 11 novos telefones para serem instalados, a igual espaçamento um do outro, entre aqueles dois existentes. Assim sendo, a distância entre cada telefone deverá ser de: a) 3 km b) 4 km c) 4,8 km d) 5 km e) 5,2 km 26) Calcular o valor de “X”, sabendo-se que, nesta ordem, x+2, 2x+6, e 4x+8, formam uma progressão aritmética. a) 5 b) 3 c) 2 d) 12 e) nenhuma 27) As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Se o perímetro deste triângulo mede 3cm, a medida da hipotenusa, em cm, é igual a: a) 0,75 b) 1 c) 1,25 d) 1,75 e) 2,25 28) Vinte pessoas se reúnem para doar uma certa quantia para uma instituição. A primeira pessoa oferece 350 reais e cada uma das seguintes da 50 reais a mais que a anterior. Qual a quantia total doada, em reais: a) 1200 b) 1350 c) 16500 d) 13000 e) 14000 29) Numa campanha promocional de venda de veículos, uma concessionária propôs a seguinte condição para um automóvel de tipo popular: R$ 3500,00 de entrada mais 36 parcelas. A primeira é de R$ 436,00 e a cada uma das demais parcelas sofre um abatimento de R$ 5,00. O valor total do caro é: a) R$ 15516,00 b) R$ 12546,00 c) R$ 13849,00 d) R$ 16046,00 e) R$ 19016,00 30) Numa progressão aritmética crescente, os dois primeiros termos são as raízes da equação x 2+2x8=0. Sabendo que o número de termos dessa PA é igual ao triplo da sua razão, então a soma dos termos dessa PA é igual a: a) -378 b) -282 c) 98 d) 294 e) 846 31) A soma dos cinqüenta primeiros múltiplos de 3, maiores que 100, é: a) 8725 b) 33.52.13 c) 8675 d) 32.53.13 e) (3.5.13)2 32) A soma dos termos de uma PA cujo primeiro termo é 4, o último é 46 e a razão é igual ao número de termos é: a) 50 b) 100 c) 150 d) 175 e) 200 33) O primeiro termo de uma progressão aritmética é -10 e a soma dos 8 primeiros termos, 60. A razão é: a) -15/7 b) 15/7 c) 5 d) 28 e) 35 34) Numa progressão aritmética de 7 termos, o ultimo termo é igual ao dobro da razão e a soma de todos eles é 28. Determine a razão. a) 14/12 b) 0,5 c) -14/11 d) -2 e) -4

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35) Um oficial comanda 325 soldados e quer formá-los em disposição triangular, de modo que a primeira fila tenha 1 soldado, a segunda 2, a terceira 3 e assim por diante. O número de filas assim constituídas será: a) 20 b) 24 c) 25 d) 27 e) 28 36) Um nadador treinando para as olimpíadas decidiu nadar 200 metros no 1° dia de treino e, a cada dia, aumentar 50 metros em relação à distância anterior. Prosseguindo assim e acumulando as distâncias nadadas a cada dia, o nadador totalizou 3000m de nado em: a) 8 b) 15 c) 7 d) 16 e) 50 37) Uma criança consumiu no 1° mês de vida, 2 latas de leite em pó; no segundo mês a quantia de 3 latas; no terceiro mês a quantia de 4 latas e assim sucessivamente, até consumir a quantia de 119 latas. Esse consumo ocorreu em: a) 13 meses b) 14 meses c) 15 meses d) 16 meses e) 17 meses 38) A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. O valor de n é: a) 11 b) 16 c) 26 d) 54 e) 66 39) Os concorrentes de uma prova de atletismo organizada pela academia do professor Zacarias, foram distribuídos de forma que aparecia 1 na primeira fila, e, em cada fila seguinte, 2 a mais que na anterior, totalizando 324 atletas. O número de atletas da penúltima fila foi de: a) 27 b) 31 c) 33 d) 35 e) 39 40) Para todo n N a soma dos n primeiros termos de uma PA é 3n 2  2n . A razão é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 41) A soma dos n primeiros de uma PA é dado por S n  n 2  n . O termo geral dessa PA é: a) n b) 3n c) 2n+1 d) 2n e) 2n-1

42) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou uma coleção de bolitas e formou uma seqüência de “T” (a inicial de seu nome), conforme a figura abaixo. Supondo que o guri conseguiu formar 10”T” completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía:

a) mais de 300 bolitas b) pelo menos 230 bolitas c) menos de 220 bolitas d) exatamente 300 bolitas e) exatamente 41 bolitas

43) Numa PG o 4° termo é 8 e o 7° termo é 64. O 11° termo da PG é: a) 2048 b) 128 c) 256 d) 512 e) 1024 44) Em uma progressão geométrica de razão positiva, o 2° termo é 8 e o 8° termo é 1/8. A soma dos dois primeiros termos é: a) 24 b) 16 c) 12 d) 8 e) 4 45) O primeiro termo de uma PG em que a 3=1 e a5=9 é: a) 1/9 b) 1/3 c) 1/27 d) 1 e) 0

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46) Um produto custa inicialmente 1000 reais e tem seu preço reajustado mensalmente com uma taxa de 30%. Ao fim de 12 meses, o preço do produto será, em reais: a) 1000.(1,3)12 b) 1000.(0,3)12 c) 1000.(30)k d) 1000.312 e) 100.(1,3)12 47) A cada ano que passa, um capital de 400 reais aumenta 10% em relação ao seu valor no ano anterior. O valor do montante após 5 anos será: a) 400.(1,1)4 b) 400.(1,1)5 c) 400.(1,1)3 d) 400.(0,1)5 e) 400.105 48) Uma empresa produziu inicialmente 100.000 unidades de um produto. O aumento anual de produção da empresa é de 20%. Quantas unidades deste produto deverá produzir após 4 anos? a) 100.000(0,2)4 b) 100.000(1,2)3 c) 100.000(1,2)4 d) 100.000(1,2)5 e) 100.000(0,2)3 49) O crescimento anual das vendas de computadores de uma fábrica é de 20%. Supondo que A represente o número de computadores vendidos no ano de 2005 e que o crescimento anual se mantenha o mesmo, o número de computadores que a fábrica venderá no ano 2008 é dado pela expressão: a) 3,6ª b) (0,2)3ª c) (0,2A)3 d) (1,2)3ª e) (1,2A)3

50) Durante um ano certo produto tem seu preço reajustado 15% ao mês. Os preços mensais do produto formam uma progressão: a) aritmética com razão 15 b) aritmética com razão 1,15 c) geométrica com razão 115 d) geométrica com razão 15 e) geométrica com razão 1,15 51) Se cada ratazana de uma colônia gera três ratas, então o número de ratas da 7ª geração que serão descendentes de uma única ratazana é: a) 6561 b) 2187 c) 729 d) 243 e) 21 52) A dívida de uma pessoa dobra a cada três meses. Se a dívida está acumulada hoje em 1200 reais, há seis meses a dívida era de: a) 75 reais b) 150 reais c) 300 reais d) 450 reais e) 600 reais 53) Numa progressão geométrica crescente de 4 termos positivos, a soma dos dois primeiros termos vale 1, e a soma dos 2 últimos vale 9. A razão da progressão é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 54) Numa PG de razão 3, o primeiro termo é 8. O termo que vale 648 é o: a) 4° b) 5° c) 6° d) 7° e) 8° 55) Considere esta progressão geométrica: 3; 0,3; 0,03; 0,003;...... Os logarítmos decimais de cada um desses números, na ordem em que estão dispostos formam uma: a) PG de razão 0,01 b) PG de razão 0,1 c) PA de razão 0,1 d) PA de razão -1 e) PG de razão -1 56) Se o número 111 for dividido em três partes que constituem uma PG de razão ¾, a menor dessas partes será: a) 12 b) 16 c) 18 d) 21 e) 27 57) O produto de 3 números em PG é 125 e a soma é 31. O maior número é: a) 5 b) 1 c) 25 d) 120 e) 4 58) Os termos x, x+9 e x+45 estão em progressão geométrica, nesta ordem. A razão desta progressão é: a) 45 b) 9 c) 4 d) 3 e) 4/3 x

1 2

59) Os números x, x , 2 são nessa ordem, os três primeiros termos de uma PG. Então, o primeiro termo e o produto dos quatro primeiros termos são, respectivamente: PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

1 e 2

1 1 1 1 b) e c) e 2 2 2 2

2 d)

1 e) 2

60) Para que a seqüência (1+x, 4+x, 10+x, y) seja uma PG, o valor de y é: a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32 61) Se x e y são positivos e x, xy, 3x estão, nesta ordem, em PG, então o valor de y é: a) 2 b) 3 c) 2 d) 3 e) 9 62) Qual o número que devemos somar a 1; 5 e 17, nesta ordem, para obtermos uma PG? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 63) Os números log10x, 2x e x2 estão em progressão geométrica nesta ordem. Sendo x  R , x>0, o valor de x é: a) 3 b) 4 c) 10 d) 500 e) 1000 64) Uma pessoa compra um automóvel e vai pagá-lo em 7 prestações, de modo que a primeira prestação é de R$ 100,00 e cada uma das seguintes é o dobro da anterior. O preço do automóvel é, em R$, igual a: a) 6200 b) 25600 c) 4800 d) 12800 e) 12700 65) Numa plantação de eucaliptos, as árvores são atacadas por uma praga, semana após semana. De acordo com observações feitas, uma árvore adoeceu na primeira semana; outras duas, na segunda semana; mais 4 na terceira semana e, assim por diante, até que, na décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto 7 árvores. Pode se afirmar que o número total de árvores desta plantação é: a) menor que 824 b) igual a 1030 c) maior que 1502 d) igual a 1024 e) igual a 1320 66) A soma dos termos de uma PG (3, 6, 12,..., 384) é: a) 8 b) 765 c) 964 d) 101 e) 114

 

x x 3 9

 

67) A soma dos termos da seqüência infinita  x, , ,... é: a) x b) 2x c) 3x d)

2x 3x e) 3 2  

68) O limite da soma 1 

1 1 1   1 1 1   ... é igual a:    ... + 1    2 4 8    3 9 27

a) +  b) 2 c) 3/2 d) 7/2 e) 1 69) Dado um quadrado de lado 2, une-se os pontos médios dos lados, obtendo um novo quadrado. Após, une-se os pontos médios deste novo quadrado, obtendo-se um outro quadrado, e assim sucessivamente. A soma das áreas dos infinitos quadrados assim obtidos é: a) 4 b) 6 c) 8 d) 16 e) 48 70) Considere um quadrado de lado a. pelos pontos médios de dois dos seus lados não paralelos, construa um novo quadrado, orientado pela figura abaixo. Nesse novo quadrado, repita o processo e assim proceda sucessivamente. A soma das áreas de todos os quadrados é: a) 2a 2

4a 2 3 7a 2 3a 2 c) d) e) 4a 2 3 3 b)

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71) O limite do produto

2 b) 2 c) 3 d)

2.4 2.8 2.16 2... é igual a:

1 e) 1 2

72) Se x  0 e x  1 então a expressão:

1 1 1 1     ... 2 4 log x 2 log x 2 log x 2 log x 28

y

É equivalente a: a) 2 log 2 x b)

3 5 4 1 d) e) log 2 x log 2 x c) 2 2 log 2 x log 2 x

73) O valor de x na equação

x

x x   ...  18 é: 2 4

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 18

74) O valor de a , que satisfaz a equação

3

a a a    ...  30 3 9 27

a) 18 b) 27 c) 30 d) 54 e) impossível de ser calculado 75) Numa PG decrescente ilimitada, o primeiro termo é 5 e a soma é

25 . O segundo termo da 4

progressão é: a) ½ b) 3/2 c) 2/5 d) 3 e) 6 76) Uma tabela tem 5 valores. Observa-se que com exceção do primeiro, cada valor é 2/3 do valor numérico anterior. Se a soma total dos valores é 211, o primeiro valor da tabela é: a) 81 b) 87 c) 90 d) 93 e) 99

 

x 3

 

77) A soma dos infinitos termos da progressão geométrica  3x, x, ,... é -5. o primeiro termo dessa PG é: a) 3 b) -1/3 c) -10/3 d) -10/9 e) 10/3 78) Numa progressão geométrica crescente de 5 termos, o primeiro e o último correspondem respectivamente às raízes da equação x2 – 51x + 144 = 0. o valor do segundo, terceiro e quarto termos dessa PG é: a) 12 b) 24 c) 28 d) 36 e) 42 79) O preço de um carro é R$ 5000,00. A cada ano que passa o preço do carro deprecia 8%. O preço do carro após 4 anos é: a) 5000(0,92)3 b) 5000(0,92)5 c) 5000(0,92)4 d) 5000(1,08)4 e) 5000(0,08)4 80) No triângulo proposto abaixo, M1, M2, M3,... são os pontos médios dos seguimentos AC, M1C, M2C,..., respectivamente, e N1, N2, N3,... são os pontos médios dos seguimentos BC, N1C, N2C,..., respectivamente. Continuando indefinidamente esse processo de obter segmentos e sabendo que AB mede 1, a soma das medidas dos segmentos M1N1, M2N2,... é: a) 8/3 b) 4 c) 2 d) 1 PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

e) 1/2

GABARITO 1)a 7)c 13)a 19)b 25)b 31)b 37)b 43)e 49)d 55)d 61)b 67)e 73)c 79)c

2)a 8)d 14)a 20)e 26)c 32)d 38)a 44)a 50)e 56)e 62)a 68)d 74)d 80)d

3)c 9)b 15)e 21)c 27)c 33)c 39)c 45)a 51)b 57)c 63)e 69)c 75)d

4)e 10)a 16)d 22)e 28)c 34)e 40)e 46)a 52)c 58)c 64)e 70)b 76)a

5)b 11)c 17)c 23)b 29)d 35)c 41)d 47)b 53)c 59)b 65)b 71)b 77)c

6)c 12)b 18)c 24)a 30)e 36)a 42)b 48)c 54)b 60)a 66)b 72)a 78)e

MATEMÁTICA FINANCEIRA Taxas de acréscimo São utilizados para majoração de preços de bens ou serviços, para determinação de preços de venda a partir de preços de custo e numa série de outras ocasiões. Para encontrar o valor da taxa de acréscimo, do valor inicial do produto ou o valor final, utiliza-se regra de três. Exemplos: 1. Qual foi o acréscimo sofrido por um produto cujo valor inicial era de R$175,00 e passou a custar R$ 220,00? 2. As exportações de vinhos brasileiros cresceram 37,4% no último ano. Se o total de vendas foi de R$175 milhões, qual foi o valor no inicio do período? Acréscimos simultâneos São acréscimos (dois ou mais) aplicados sobre o mesmo valor inicial, onde a taxa total é a soma das taxas parciais e o valor final ou o inicial é encontrado através de regra de três. Exemplos: 1. Uma fabrica de detergente determina o preço de venda de suas mercadorias calculando, sobre o preço de custo, 22% a título de impostos, 3,5% para comissões, 25% como lucro e 5% para despesas gerais. Qual o preço de custo de uma mercadoria que foi vendida por R$7,45? Acréscimos sucessivos No caso dos acréscimos sucessivos, cada um deles incide sobre o valor resultante do acréscimo anterior (isto é, a cada aplicação de taxa se altera a base de cálculo do acréscimo). Exemplos: 1. Em janeiro Fernando ganhava um salário de R$ 600,00. Nos meses de fevereiro, março e abril seu salário foi aumentado em 5%, 8% e 4%, respectivamente. Quantos reais Fernando passou a ganhar em abril? 2. Se os preços aumentam 20% ao mês, qual a porcentagem de aumento em 2 meses? PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

3. Quanto é 20% de 70%? Descontos Os descontos, também designados por abatimentos, são operações freqüentes no nosso dia-a-dia, como exemplo, as compras de mercadorias em liquidação. Exemplo: 1. Numa revenda de automóveis foi concedido um desconto de 12% nos automóveis zero Km que custava R$14.999.00. O preço a ser pago pelo automóvel é de? Descontos simultâneos São descontos (dois ou mais) são aplicados sobre o mesmo valor inicial. Exemplo: 1. Qual é o salário líquido de um operário cujo salário bruto é de R$600,00, após serem descontados de seu salário bruto, 11% de INSS, 5,5% para Fundo de Pensão e 12% para o plano de assistência médica. Qual o percentual X de desconto para o plano de assistência médica? Descontos sucessivos No caso dos descontos sucessivos, cada um deles incide sobre o valor resultante do desconto anterior (isto é, a cada aplicação de taxa se reduz a base de cálculo do desconto). Exemplos: 1. A cada ano que passa, o valor de um carro usado diminui 15% em relação ao seu preço original. Se um carro zero quilômetro custa R$ 12000,00, qual será seu valor daqui a 2 anos?

2. Num bingo beneficente, o valor arrecadado foi de R$3.400,00. Desse valor, R$1.200,00 foi pago para o conjunto musical, e 15 % do valor restante foi de despesas. Qual o valor total descontado da entidade beneficente?

MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática Financeira é a ciência que estuda as várias formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem assim analisa, compara e decide a melhor alternativa para a aplicação/obtenção de recursos financeiros. Juros (J) Sempre que alguém emprega certos recursos, espera por parte destes, algum rendimento, ou seja, uma diferença positiva entre o montante readquirido e a quantia inicialmente investida, a qual chamamos de juros, isto é, remuneração do capital empregado em atividades produtivas. Alguns fatores que ocasionam juros são; Inflação – a diminuição do poder aquisitivo da moeda exige que o investimento produza retorno maior que o capital investido. Risco – existe sempre a possibilidade do investimento não ocorrer às expectativas. Os investidores assumem esta situação ao receber uma determinada remuneração. Oportunidade – os recursos são limitados, por isso, quando se opta por um investimento, perde-se a oportunidade de ganhar em outros. É preciso que o primeiro ofereça retorno satisfatório. Utilidade – investir significa deixar de consumir hoje para consumir amanhã, o que só é atraente quando o capital recebe remuneração adequada. Capital (C) É qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível em determinada época. Referido montante de dinheiro também é denominado de capital inicial ou principal. PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

Taxa de Juros (i) É um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado.

i

J P

Exemplo: C = 100

J=50

i=50/100=0,5 ou 50%

obs.: A taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês, ano, etc.) e pode ser apresentada na forma percentual ou unitária. Taxa de Juros unitária A taxa de juros expressa na forma unitária é quase que exclusivamente utilizada na aplicação de fórmulas de resolução de problemas de Matemática Financeira para conseguirmos a taxa unitária a partir da percentual, basta dividirmos a taxa percentual por 100. Montante (M) Denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos). Exemplo: C = 100 J= 50 M = 150 Regimes de Capitalização Quando um capital é emprestado ou investido a uma certa taxa por período ou diversos períodos de tempo, o montante pode ser calculado de acordo com dois regimes de capitalização de juros: - capitalização simples; - capitalização composta. Capitalização Simples Somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros são devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal ao longo dos períodos de capitalização a que se refere à taxa de juros. Capitalização Composta Os juros produzidos ao final de um período são somados ao montante do início do período seguinte e essa soma passa a render juros no período seguinte e assim sucessivamente. Comparando-se os dois regimes de capitalização, podemos ver que para o primeiro período considerado, o montante e os juros são iguais, tanto para o regime de capitalização simples quanto para o regime de capitalização composto. Salvo aviso contrário, os juros devidos no fim de cada período (juros postecipados) a que se refere a taxa de juros. No regime de capitalização simples, o montante evolui como uma progressão aritmética, ou seja, linearmente, enquanto que no regime de capitalização composta o montante evolui como uma progressão geométrica, ou seja, exponencialmente. Fluxo de Caixa O fluxo de caixa de uma empresa, de uma aplicação financeira ou de um empréstimo consiste no conjunto de entradas (recebimentos) e saídas (pagamentos) de dinheiro ao longo de um determinado período.

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A representação gráfica de uma empresa, do fluxo de caixa é o ponto de partida para a resolução de qualquer problema de Matemática Financeira, na medida em que possibilita a correta interpretação, com a visualização de todos os elementos necessários para o perfeito atendimento de uma situação. Por usa utilidade, enfatizamos que o uso do diagrama do fluxo de caixa deve ser exercitado desde o início do estudo de Matemática Financeira. eixo horizontal: contado o tempo eixo horizontal: pagamentos e recebimentos setas para cima: entradas de dinheiro setas para baixo: saídas de dinheiro 10.000,0 0

0 i=2%

10.612,08

O fluxo acima indica o seguinte: · Foi feito um empréstimo (entrada de dinheiro) no valor de R$ 10.000,00, após 3 períodos foram pagos R$ 10.612,08 (saída de dinheiro), que representa capital mais juro, a taxa deste empréstimo foi de 2 %. O ponto de vista representado foi o de quem pegou dinheiro emprestado, do ponto de vista de quem emprestou, teríamos o seguinte: 10.612,08

i=2%

10.000,0 0

O que não mudaria o resultado, pois a taxa é a mesma para quem emprestou como para quem pegou emprestado. O importante é que as setas (fluxos de entrada e saída de capital) sejam respeitadas, usaremos a seguinte convenção: Contagem de dias A contagem de dias, na matemática financeira é óbvio, diz respeito ao tempo decorrido ou a fluir e ele poderá considerar os dias isoladamente, se superior a trinta dias ou o ano comercial (360 dias) ou o civil (365 dias ou 366 dias se o ano for bissexto), se superior. Naquele os meses são considerados de trinta dias, de maneira uniforme e neste o número de dias é o que o calendário lhes dá. Tempo exato e tempo aproximado Exato: número exato de dias. Aproximado: todos os meses são considerados como tendo 30 dias. Exemplo: De 17/03 a 29/07 aproximado: 4 meses + (29-17) = 120 + 12 = 132 dias exato: 132 + 1 (março) + 1 (maio) = 134 dias Regra do Banqueiro PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

Convenção mundialmente conhecida e praticada no comércio mundial, na qual utiliza-se a contagem exata de dias nos empréstimos, mas considera-se ano comercial ou bancário, ou seja, o ano tem 360 dias. JUROS SIMPLES Temos um processo de Juros Simples quando a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; não incide, pois,, sobre os juros acumulados. Nesse regime de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo. Simbologia: C  Capital inicial ou valor inicial; M  Montante ou valor final (é obtido através da soma entre o capital inicial e o juro produzido); J  Juros; i  Taxa de aplicação ou taxa de juros (unitária); t  Prazo ou tempo de aplicação. Obs.1: Tempo e taxa de juros precisam estar sempre na mesma unidade de tempo. Obs. 2: A taxa de juros deve sempre estar no seu formato unitário.

Fórmulas para o cálculo do Juro Simples e do Montante Juros Simples: J=C.i.t Montante:

M=C+J M = C + Cit M = C ( 1 + i. t)

Exemplos: 1) Aplicou-se a juros simples o capital de R$600,00, a taxa de juros de 4%a.m. Qual o valor acumulado (montante ao final de 2 anos e 5 meses? 2) Ao final de quantos anos um capital aplicado a juros simples a uma taxa de 2% a.a. triplicará? Exercícios 1) Calcule o juro simples por um capital de R$ 2.000,00 investido à: a) 9% a.a. em 8 anos b) 12% a.t. em 4 trimestres c) 18,5% a.m. em 5 meses d) 0,5% a.s. em 4 semestres 2) Encontre o juro simples referente a um capital de R$ 1.500,00 aplicado a uma taxa de juro de: a) 84% a.a. em 340 dias b) 0,3% a.m. em 34 dias c) 22,5% a.a. em 3 meses d) 75% a.a. em 2 meses e 20 dias 3) Um investidor aplica a juro simples R$ 650,00 a 1,6% a.m. por 4 meses. Um segundo investidor aplica, também a juro simples, R$ 800,00 a 1,8% a.m., por 3 meses. PROF. GUILHERME BAGGIO MARIN

a) Qual dos 2 investidores recebe mais juros? b) De quanto será a diferença desses juros recebidos? 4) Achar o tempo de aplicação de um capital de R$ 560,00 a 0,7% ao mês, para render R$ 11,76 de juro simples. 5) Determine a taxa de juro simples de um capital de R$ 5.000,00 de modo a produzir um montante de R$ 6.200,00 em 4 meses. 6) Solange colocou certo capital à taxa de juro simples de 1,5% ao mês por 4 meses. Em seguida, ela aplicou o juro simples obtido a 1% ao mês por 2 meses, obtendo nessa última aplicação R$ 12,00 de juro simples. Qual era o capital inicial? Gabarito: 1) a) R$ 1.440,00 b) R$ 960,00 c) R$1.850,00 d) R$ 40,00 2) a) R$ 1.190,00 c) R$ 5,10 c) R$ 84,38 d) R$ 250,00 3) a) O segundo investidor recebe mais juros b) A diferença entre os juros é de R$ 1,60. 4) 3 meses 5) 6% ao mês 6) R$ 10.000,00 JUROS COMPOSTOS São aqueles em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Nesse regime a taxa varia exponencialmente em função do tempo. Assim, M = C ( 1 + i) t Exemplos: 1. Qual o valor do montante de um capital de R$ 1.000,00, à taxa de juros compostos de 3% am, num período de 3 meses? 2. Calcule o montante produzido por R$ 2.000,00 em regime de juros compostos a 5% am, durante 2 meses. Exercícios: 1. Um investidor aplicou R$500 000,00 a juro composto de 2% am. Quantos reais terá após 5 meses de aplicação? Qual o juro obtido? 2. Um investidor aplicou R$ 14 000,00 a juro composto de 2% ao mês. Quantos reais terá após 8 meses de aplicação? 3. Uma pessoa aplicou R$ 5 000,00, à taxa de 3% ao mês durante 5 meses. Que montante esse capital irá gerar, se o rendimento for de juro composto? Quantos reais de juro obterá nessa operação? 4. Uma pessoa aplicou R$ 40 000,00 em um banco a juro composto de 16% aa. Qual o juro obtido ao final de 2 anos? 5. Calcule o montante correspondente a um capital de R$ 100 000,00 empregado, no regime de juros compostos, durante um ano a cada uma das seguintes taxas: a) 240% ao ano. b) 120% ao semestre. c) 60% ao trimestre. d) 20% ao mês. 6. Apliquei R$ 600,00 a juros compostos de 8% ao mês, por 5 meses. Qual o valor dos juros que me serão pagos? 7. Determinado capital foi aplicado a juros compostos por 5 meses à taxa de 4% ao mês, gerando um montante de R$ 3 100,00. Qual seria o montante se a aplicação fosse efetuada por 8 meses?

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8. Para uma aplicação pelo prazo de 3 anos o que é mais vantajoso receber: juros simples de 5% ao mês ou juros compostos de 3% ao mês? R: juros compostos 9. Um capital aplicado durante 6 anos à taxa de juros compostos de 15% ao ano transformou-se em R$ 14 000,00. Qual foi o capital inicialmente aplicado? Gabarito: 1. R$552 000,00 e R$ 52 000,00 2. R$16 408,00 3. R$ 5 795,00 e R$ 795,00 4.R$ 13 824,00 5. a) R$ 340 000,00 b) R$ 484 000,00 c) R$ 655 360,00 d) R$ 891 610,00 6. R$ 281,60 7. R$ 3 487,07 9. R$ 6 052,62.

Convenção Linear e Exponencial Se denominarmos n o número de períodos inteiros em que o capital permanecer aplicado e n 1 a fração de período de aplicação, teremos: M

Juros Compostos (sempre)

0 C

n 2 = n + n1 n

C = Capital Aplicado n = número de períodos inteiros n 1 = fração de período M = montante Para encontrar o valor do montante irá depender de como estará regulamentado o período fracionário n 1 . Poderemos encontrar duas situações: 1ª) Não remuneração no período fracionário; 2ª) Remuneração no período fracionário. Quando houver remuneração no período fracionário esta poderá ser a juros simples ou a juros compostos. Se a remuneração for a juros simples temos que se convencionou a chamar de Convenção Linear, se a juros compostos Convenção Exponencial. Exemplo: 1. Suponhamos que um capital de R$ 18.000,00 esteja aplicado a juros compostos de 7,50% am por três meses e meio.

Como o período a que se refere a taxa é o mês e temos um número não inteiro de meses, precisamos adotar alguma convenção para o cálculo do montante numa situação como essa. Não remuneração do capital no período fracionário. O capital só será remunerado após um número inteiro de períodos. Assim teremos:

M  C (1  i)n Remuneração do capital também no período fracionário. Convenção Linear

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A convenção linear é aquela que remunera a juros compostos somente a parte inteira do período considerado e sobre o montante assim obtido, juros simples durante a parte não inteira do período considerado. Assim:

M  C (1  i)n (1  i.n1 ) Convenção Exponencial A convenção exponencial remunera a juros compostos todo o período de aplicação. Assim: M = C ( 1 + i)

Exercícios: 1. Dado um capital de R$ 100.000,00, aplicado a juros compostos durante 3 anos e 2 meses, à taxa de 12%aa, capitalizados anualmente, calcular o montante, pela conversão linear e pela conversão exponencial. (Considere 1,12 3,167 = 1,4318) 2. Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado à taxa de 36% aa, durante dois anos e quatro meses. Qual o valor do montante, considerando-se a convenção linear? 3.Apliquei R$ 80.000,00 por três anos e três meses, à taxa de 60% aa. Quanto resgatarei no final da aplicação? Considere a convenção exponencial. Despreze os centavos. Considere 1,6 3, 25 = 4,6067. 4.Um capital no valor de R$ 25.000,00 foi aplicado por 42 meses à taxa de 30% aa. Calcule, desprezando os centavos: (Considere 1,3 3,5 = 2,505) a) o valor dos juros, considerando a convenção linear. b) o valor do montante, considerando a convenção exponencial. Gabarito: 1. R$ 143.302,66 e R$ 143.180,00 2. R$ 103.577,60 3. R$ 368 536,00 4. a) R$ 38.163,00 b) R$ 62.625,00

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