Inst. Edu JORGE ROBLEDO. PLANEACION DEL PRIMER PERIODO Matemáticas grado 6° año 2012
MATERIALES:
Cuaderno de 100h cuadriculado, block de hojas milimetradas, calculadora, lápiz, borrador, lapicero de color verde. 1
TEORIA DE CONJUNTOS Introducción La teoría de conjuntos es una de las partes de la matemática que se desarrolló desde fines del siglo XIX. Ha introducido términos como pertenencia, inclusión, unión y otros con significados rigurosos y su uso sin dudas ha permitido mejorar la precisión del lenguaje en áreas de conocimiento como la teoría de relaciones y funciones, la teoría de las probabilidades y otras.
NOCIONES DE CONJUNTO Y DE ELEMENTO Conjunto: es una colección de personas animales o cosas con una característica especial. Para nombrar un conjunto se utiliza una letra mayúscula del abecedario A, B, C . . . . X,Y,Z, y para representarlos se puede hacer en una de las siguientes formas. Ejemplos
B = {1,2,3} ,
Un elemento es cada uno de los objetos que forman un conjunto. Los conjuntos se designan o anotan generalmente con una letra mayúscula del abecedario. Sus elementos se encierran entre llaves o entre un diagrama de ven.
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Símbolos Algunos de los símbolos usados para denotar un conjunto por comprensión son: / = < > ≤ ≥
∈
∉ ⇔
→
∧ ∨
∃
∀
∪ ∩ ⊂ ⊃
⊄
\
A⊆B A⊂B
Tal que Igual a Menor que Mayor que Menor o igual que Mayor o igual que Pertenece No pertenece Doble implicación: Si y sólo si Condicional, si entonces y o Existe: Cuantificador existencial Para todo: Cuantificador Universal Unión Intersección Contenido o está incluido Incluye a … No está incluido en … Diferencia simétrica Contenido: Significa que cada elemento de A es también elemento de B Subconjunto: significa que A ⊆ B pero A ≠ B
LA PERTENENCIA Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo
∈
De acuerdo al conjunto T de los ejemplos anteriores se puede afirmar que: e ∈T , que se lee: “e” pertenece a T. o ∈T , que se lee: “0” pertenece a T. a ∈T , que se lee: “a” pertenece a T. u ∈T , que se lee: “u” pertenece a T. i ∈T , que se lee: “i” pertenece a T. Para indicar que un elemento no pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo ∉ De acuerdo al conjunto T del ejemplo anterior se puede escribir que: 1 ∉T , que se lee: “1” no pertenece a T. 4 ∉T , que se lee: “4” no pertenece a T. 8 ∉T , que se lee: “8” no pertenece a T. 9 ∉T , que se lee: “9” no pertenece a T. 5 ∉T , que se lee: “5” no pertenece a T. En teoría de conjuntos no se acostumbra repetir los elementos de un conjunto, por ejemplo:
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El conjunto M= {x, x, x, y, y, z } simplemente será M= { x, y, z }. Es decir, en un conjunto no se deben repetir elementos.
DEFINICION ( O DETERMINACION) DE UN CONJUNTO Un conjunto está definido o está determinado cuando se conocen todos y cada uno de los elementos que lo forman. Se usan dos maneras para definir un conjunto: POR EXTENSION O
ENUMERACIÓN y POR COMPRENSION
DEFINICION POR EXTENSION O ENUMERACIÓN Un conjunto está definido por extensión o enumeración cuando para conocer los elementos que lo forman, éstos se nombran o enumeran uno a uno. Ejemplo: si decimos que el conjunto M está formado por los elementos –5 y 7, y anotamos M = {− 5;7} , lo hemos definido por extensión Enumerando sus elemento:
A = {a, e, i, o, u},
DEFINICION POR COMPRENSION Un conjunto está definido por comprensión cuando sus elementos se conocen a través de una propiedad que les es común a ellos y sólo a ellos. Es decir, Indicando alguna caracterización de sus elementos: Ejemplo
B = { x / x es una vocal } el símbolo “∕” se lee “Tal que”. En este caso leeríamos sea el conjunto B x tal que x es una vocal Representación de conjuntos
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La representación de conjuntos consiste en dado conjunto por extensión expresarlo pro comprensión, o dado un conjunto por compresión expresarlo por extensión. En ambos casos se debe llegar a la representación grafica de dicho conjunto. Ejemplos: Sea el conjunto
A= { x/x número par < 50}: “ éste conjunto está dado
por compresión”, entonces lo
tenernos que pasar la conjunto de extensión, de la siguiente forma
A={ 2,4,6,8,10,12,14,16,18}“ éste conjunto está dado
por extensión”, “ éste conjunto
está dado por compresión” Act5 Definir 3 conjuntos por ext. ActiClase 1 Dado un conjunto por compresión pasarlo a extensión y viceversa Determinar 3 por ex
pasarlo a comp
Determiar 3 por Com
Pasarlo a comp
CONJUNTOS ESPECIALES Es frecuente, en esta teoría, la referencia a los conjuntos que debemos distinguir como especiales: el conjunto vacío. El conjunto vacío es el que no tiene elementos y se representa
a)
por : A=
φ
ó A=
{}
Ejemplo: sea B = { x / x ∈ N ^ 2x = 1} A=φ
ó A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “
M = { x/x # > 9
b)
∧
# < 5 }: “que se leería “x tal que x números mayores que 9 y menores que 5
CONJUNTO UNITARIO: Es el conjunto que tiene un solo elemento
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Ejemplos: F = { x / x vocal de la palabra “sol” }
c)
CONJUNTO FINITO: Es el conjunto con limitado número de elementos
Ejemplos: E = { x / x es un número impar positivo menor que 10 } d) el conjunto universal (simbolizado con U). El conjunto universal es el que reúne a todos los elementos de que se trata. u
e) complemento de un conjunto, simbolizado con “
,
”: es lo que el falta al
conjunto indicado para ser igual al universal Ejemplo: De acuerdo al conjunto universal anterior, que le faltan para ser igual al universal, es decir
el A' son los elemento
A' ={d , g , n, q}
CARDIANALIDAD DE UN CONJUNTO La cardinalidad de un conjunto corresponde al número de elementos que tiene el conjunto y se representa con el símbolo #
DIAGRAMAS DE VENN-EULER
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Los diagramas de Venn-Euler están formados por curvas que encierran a los elementos de un conjunto del cual se necesita proponer un gráfico representativo. La letra mayúscula que lo nombra se coloca afuera de la curva. Ejemplo:
Si A = {1,2,3} , el gráfico será
OPERACIONES CON CONJUNTOS UNION DE DOS CONJUNTOS Definición: la unión de conjuntos es la operación que consiste en reunir en un solo conjunto los elementos de dos o más conjuntos.
Matemáticamente: Para el caso de dos conjuntos se tendría. C = A ∪ B ⇔ A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B}
Gráficamente:
U A
B
A∪ B
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Propiedades:
A∪ A = A
1º) Propiedad de Idempotencia:
2º) Propiedad Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A 3º) Propiedad Asociativa:
( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )
Casos particulares: 1º) Si un conjunto está incluido en otro, la unión de ambos es el conjunto incluyente. Gráficamente: A ⊂ B ⇒ A ∪ B − B B A A∪ B
Por lo tanto: a) A ∪φ = A ; b) A ∪ U = U .
INTERSECCION DE DOS CONJUNTOS La INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS es la operación binaria, en la cual dos conjuntos cualesquiera, A y B, reunen sus elementos COMUNES para formar otro conjunto I(intersección). Matemáticamente
C = A ∩ B ⇔ A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B}
Gráficamente: U A
Propiedades:
B
A∩ B
1º) Propiedad de Idempotencia:
A∩ A = A
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2º) Propiedad Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A
( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
3º) Propiedad Asociativa: Casos particulares:
1º) Si un conjunto está incluido en otro, la intersección de ambos es el conjunto incluido. Gráficamente:
A ⊂ B ⇒ A∩ B = A
B A A∩ B Resulta, entonces, que: c) A ∩φ = φ ; d) A ∩ U = A . 2º) Si la intersección de dos conjuntos es el conjunto vacío, los dos conjuntos se dicen disyuntos, y recíprocamente. A ∩ B = φ ⇔ A es disyunto con B Gráficamente: U A
B
III- COMPLEMENTACION DE CONJUNTOS Definición: se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos de U, que no pertenecen a A. El complemento de A se denota con A´, o con A . Usaremos preferentemente la segunda notación. Entonces: A = { x / x ∈U ∧ x ∉ A} , o bien, A = { x / x ∉ A} En forma gráfica: U A A
Propiedades de la complementación: 1º) Propiedad Involutiva:
( A) = A
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2º) A ⊂ B ⇒ B ⊂ A
PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS La unión y la intersección de conjuntos se relacionan a través de dos propiedades que se enuncian simbólicamente a continuación: I) Propiedad distributiva de la unión, con respecto a la intersección
( A ∩ B) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) II) Propiedad distributiva de la intersección, con respecto a la unión
( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C )
El único conjunto que se representa gráficamente de un modo distinto es el universal U, pues para él se utiliza un rectángulo y su nombre se coloca en el interior, generalmente en el ángulo superior izquierdo. U
Es también frecuente el uso de los dos diagramas que siguen, llamados diagramas de distribución, cuya utilidad se apreciará en sus aplicaciones. U A
B
U
B A C
U
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LA INCLUSION La inclusión es un concepto que permite comparar la ubicación de un conjunto con respecto a otro conjunto. Definición: un conjunto A está incluido en otro conjunto B si, y sólo si, todos los elementos de A lo son también de B. Los símbolos usuales en este caso son: • ⊂ (…está incluido en…) • ⊄ (…no está incluido en…) • ⊃ (…incluye a…) Con estos símbolos, podemos enunciar la definición de inclusión así: A ⊂ B ⇔ x∈ A⇒ x∈ B
o, usando el condicional contrarrecíproco (equivalente): A⊂ B ⇔ x∉ B ⇒ X ∉ A
Propiedades de la inclusión: 1º) Propiedad Reflexiva: todo conjunto está incluido en sí mismo. 2º) Propiedad Transitiva:
A⊂ B∧B⊂ C ⇒ A⊂ C
3º) El conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto. ∀A : φ ⊂ A ∀A : A ⊂ U
4º) Todo conjunto está incluido en el Universal: U A
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∀A : A ⊂ A
CONJUNTOS IGUALES Definición:
A= B ⇔ A⊂ B∧ B⊂ A
Propiedades de la igualdad de conjuntos: 1º) Propiedad Reflexiva: ∀A : A = A A= B⇒ B= A 2º) Propiedad Simétrica: 3º) Propiedad Transitiva: A = B ∧ B = C ⇒ A = C
LEYES DE DE MORGAN A su vez, la unión y la intersección de conjuntos se relacionan con la complementación de conjuntos a través de otras dos propiedades que se enuncian simbólicamente a continuación: I)
Primera ley de De Morgan
( A ∪ B) = A ∩ B II)
Segunda ley de De Morgan
( A ∩ B) = A ∪ B IV- DIFERENCIA Definición:
DE DOS CONJUNTOS
C = A − B ⇔ A − B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B}
Gráficamente: U A
B
A - B Observación: la diferencia de conjuntos no es conmutativa. A-B ≠ B-A Propiedades: 1º)
A-B = A ∩ B
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2º) Propiedad distributiva de la intersección con respecto a la diferencia:
( A − B) ∩ C = ( A ∩ C ) − ( B ∩ C )
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Cuestionario 1. ¿Cuál es la noción un conjunto? 2. ¿Cómo se nombra un conjunto? 3. ¿En qué consiste la unión de conjuntos? 4. ¿Cómo se puede nombrar un conjunto? 5. ¿Cómo se puede representar un conjunto? 6. ¿Cómo se llaman lo objetos que componen un conjunto? 7. ¿Qué es un conjunto unitario? 8. ¿Qué es un conjunto vacio? 9. ¿Cómo se enuncia un conjunto por extensión? 10. ¿Cómo se enuncia un conjunto por compresión? 11. ¿Qué es un conjunto universal? 12. ¿ ¿Qué es la unión de conjuntos? 13. ¿En la unión de conjuntos se repetir elementos? 14. ¿Qué es la intersección de conjuntos? 15. ¿Qué es el complemento de un conjunto? 16. ¿¿Cuándo un conjunto está definido o determinado? 17. ¿Cómo enuncia la propiedad de idempotencia? 18. ¿Cuáles son los conjuntos especiales? 19. ¿Qué representa la cardinalidad de un conjunto?
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