Nierozwiazane problemy w matematyce Hipoteza Riemanna
Problem przesuniecia sofy
Hipoteza Riemanna to sformułowana w 1859 roku hipoteza dotycząca badanej przez niemieckiego matematyka
Nierozwiązane do dziś zadanie, sformułowane przez austriacko-kanadyjskiego matematyka Leo Mosera w 1966 roku.
Bernharda Riemanna funkcji dzeta. Jest jednym z największych nierozwiązanych problemów w matematyce.
Problem dotyczy znalezienia kształtu sofy o jak największym polu A, tak aby można było ją przesunąć
Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, co wiemy zapewne ze szkoły. Czy istnieją jakieś regularności
w korytarzu o kształcie litery L szerokości 1. Otrzymane pole „A” jest określane jako „stała sofy”. Dokładna wartość
w ich rozłożeniu? Okazuje się, że tak. Z częstością występowania liczb pierwszych ściśle związana
stałej A nie jest znana.
jest pewna funkcja, zwana funkcją dzeta Riemanna. Mówi ona, że wszystkie tzw. nietrywialne zera (nierzeczywiste) tej funkcji mają część rzeczywistą równą 1/2. Problem ten ma duże znaczenie dla całej matematyki – w szczególności dla teorii liczb, ale również dla statystyki oraz fizyki. Otóż hipoteza mówi, że wszystkie interesujące zera tej funkcji leżą na pewnej prostej. Sprawdzono już numerycznie ponad 1 500 000 000 takich miejsc - wszystkie mają tę właściwość. Dowodu (ani kontrprzykładu) nadal jednak nie ma...
Uniwersytet w Aalborgu wykorzystuje problem przesunięcia sofy jako zadanie pilotażowe dla studentów pierwszego roku matematyki i informatyki. Muszą oni spróbować rozwiązać ten problem w grupach.
Hipoteza Riemanna, a teoria liczb π(n)=Li(n)+0 ( √n ln n)
Wykres części rzeczywistej i urojonej funkcji dzeta Riemanna dla s = 0,5 + i * t.
Georg Friedrich
Leo Moser
Bernhard Riemann
ur. 11 kwietnia 1921r., zm. 9 lutego 1970 r.
ur. 17 września 1826 r., zm. 20 lipca 1886 r.
Leonhard Euler
Christian Goldbach
ur. 15 kwietnia 1707 r., zm. 18 września 1783 r.
Istnienie doskonalej cegielki Eulera
Cegiełka Eulera jest to prostopadłościan, w którym zarówno długości krawędzi, jak i przekątnych ścian są liczbami naturalnymi. Wymiary cegiełki Eulera można zatem otrzymać rozwiązując układ równań diofantycznych. a +b =d 2
2
2
a2 + c2 = e2 b +c =f 2
2
2
a >b >c
ur. 18 marca 1690 r., zm. 20 listopada 1764 r.
Problem P vs NP
Hipoteza Goldbacha
Problem został sformułowany w 1859 roku
Hipoteza jest problemem teorii liczb, liczącym sobie ponad 250 lat i ciągle
Czas potrzebny do wykonania zadania to P, a czas potrzebny do weryfikacji wyniku
nierozstrzygniętym. Znajduje się na liście problemów Hilberta.
to NP. Jeśli zatem P=NP, oznacza to, że każdy problem, którego rozwiązanie może
O tym, że każda liczba parzysta składa się z jednej, dwóch lub trzech liczb
być szybko zweryfikowane, może zostać też szybko rozwiązany.
pierwszych, wspomniał już Kartezjusz. W 1742 roku w liście do Leonharda
W praktyce oznacza to, że jeśli np. postawimy przed komputerem zadanie
Eulera, Christian Goldbach przedstawił hipotezę, że
faktoryzacji (rozkładu na czynniki) danej liczby, to niezwykle istotny jest czas, w jakim zadanie zostanie wykonane. Zbyt długi czas oznacza, że np. łamanie interesującego
,,Każda nieparzysta liczba naturalna większa niż 5 może być przedstawiona
nas szyfru jest nieopłacalne gdyż użytkownik i tak go w międzyczasie zmieni, a
w postaci sumy trzech liczb pierwszych (ta sama liczba pierwsza może być
próba dokładnego poznania funkcji skomplikowanej cząsteczki jest skazana na
użyta dwukrotnie)”
niepowodzenie, gdyż potrwa zbyt długo, musimy zatem zadowolić się pewnym Euler podał dwa rozwiązania parametryczne powyższego układu, ale nie obejmują one wszystkich możliwych rozwiązań. Najmniejsza z cegiełek Eulera ma wymiary krawędzi 240 – 117 – 44 oraz przekątne ścian 267 – 125 – 244 i została odkryta w 1719 roku przez Paula Halckego.
przybliżeniem.
Goldbach uznawał 1 za liczbę pierwszą; konwencja ta nie jest obecnie
Różnica pomiędzy problemami P i NP polega na tym, że w przypadku P znalezienie
stosowana. Przy tym ograniczeniu hipotezę można przeformułować,
rozwiązania ma mieć złożoność wielomianową, podczas gdy dla NP sprawdzenie
przyjmując jej prawdziwość dla liczb naturalnych większych niż 5.
podanego z zewnątrz rozwiązania ma mieć taką złożoność.
Euler po otrzymaniu listu stwierdził, że sformułowanie hipotezy Goldbacha
Przykładowy problem:
można uprościć i przedstawić ją w następujący sposób:
Do tej pory nie udało się znaleźć tzw. doskonałej cegiełki Eulera, w której także długość głównej przekątnej jest liczbą naturalną. Nie wiadomo też, czy takie cegiełki istnieją. Znane są jedynie własności, jakie musi ona
,,Każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych”
Czy jakikolwiek niepusty podzbiór zadanego zbioru (np.
posiadać:
{-2,6,-3,72,10,-11}) sumuje się
•
jedna krawędź musi mieć długość podzielną przez 4, a inna przez 16
do zera?
•
jedna krawędź musi mieć długość podzielną przez 3, a inna przez 9
•
jedna krawędź musi mieć długość podzielną przez 5
•
jedna krawędź musi mieć długość podzielną przez 11
Powyższą hipotezę, do dzisiaj nazywaną „hipotezą Goldbacha”, sformułował w rezultacie Euler, jednak nazwa nie została zmieniona.
Diagram Eulera dla problemów P, NP, NP-zupełnych i NP-trudnych