UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE NICARAGUA RECINTO UNIVERSITARIO “RUBÉN DARÍO” FACULTAD DE EDUCACIÓN E IDIOMAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATERIAL DIDÁCTICO PARA LA ENSEÑANZA – APRENDIZAJE DE CONCEPTOS DE MATEMÁTICOS. (EL TANGRAM Y EL GEOPLANO)
RECURDO DE: Bra. Yissell Angelita Potoy Bra. Johana Bra. Silvia María Poveda Pilarte Bra. Rosa María Alarcón Medina Br. Pedro José Gómez Martínez Br. Yeral Antonio Vilches Br. José David Alemán Pérez (Alumnos practicantes de la carrera de matemática)
TUTORA MSc. María Mercedes Selva Useda
Managua, 22 de Junio de 2007
ÍNDICE
PRESENTACIÓN ........................................................................2 Parte 1: El Juego del Tangram ........................................................3 1. EL JUEGO DEL TANGRAM ......................................................4 1.1) Introducción ................................................................................................................ 4 1.2) Historia Del Tangram.................................................................................................. 6 1.3) Definición de Tangram y reglas del juego. ................................................................. 7 1.4) Objetivos que se pueden alcanzar con el Tangram. .................................................... 7 1.5) Valores y actitudes que se pueden desarrollar. ........................................................... 8 1.6) Contenidos que se estudian con el uso del tangram. ................................................... 9 1.7) Aprendizajes esperados. .............................................................................................. 9 1.8) Figuras humanas o de animales formadas con la sietes piezas del tangram. ............. 9 1.9) ¡Construyamos nuestro propio juego del Tangram!.................................................. 11 1.10) Otros modelos de tangram ...................................................................................... 18 1.11) Construcción del tangram en forma de Huevo........................................................ 20 1.12) Disfrutemos de un cuento ....................................................................................... 22 1.13) Actividades propuestas con el tangram chino y más............................................... 23
Parte 2: El Geoplano...................................................................24 2. EL GEOPLANO .....................................................................25 2.1) ¿Qué es el Geoplano?................................................................................................ 25 2.2) El Geoplano valiosa Herramienta Didáctica en Educación Matemática................... 26 2.3) Objetivos que se persiguen con el Juego del Geoplano ............................................ 27 2.4) Algunos contenidos que podemos trabajar con el geoplano ..................................... 29 2.5) Tipos de Geoplanos................................................................................................... 29 2.6) Uso del Geoplano en el nivel inicial ......................................................................... 31 2.7) Actividades con el geoplano ..................................................................................... 32
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PRESENTACIÓN El presente documento es una pequeña guía para el docente y el alumno que desea utilizar como medio didáctico para la enseñanza y el aprendizaje de algunos conceptos matemáticos: “El Tangram” y “El Geoplano”.
Hablaremos de manera breve en qué consisten estos juegos, las reglas de su uso, cómo construirlos y qué objetivos se persiguen en el conocimiento de conceptos matemáticos, aunque éstos pueden utilizarse en otras situaciones, según los intereses de cada persona.
Sin ánimos de poner camisa de fuerza, propondremos algunas ideas acerca de cómo trabajar con estos materiales didácticos, ya que en realidad son innumerables las actividades que se pueden realizar con ellos, sólo basta un poco de motivación y sobre todo un poco de imaginación y creatividad.
Esperamos sea de mucho agrado y utilidad para todos y que la idea pueda ser compartida con otros. Por favor tengan en cuenta que el uso de estos juegos no está limitado a escolares y maestros, ni a edades determinadas, sino que es para todas las edades y todas las personas con buen ánimo y deseos de recreación.
¡Muchas Gracias! Alumnos Practicantes, Carrera de Matemática Año 2007.
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Parte 1: El Juego del Tangram
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1. EL JUEGO DEL TANGRAM 1.1) Introducción El tangram es un rompecabezas que consta de 7 piezas. Es un juego que requiere de ingenio, imaginación y, sobre todo, paciencia. No se conoce con certeza su origen, pero hay quienes suponen que se inventó en China a principios del siglo XIX, pues las primeras noticias escritas sobre el tangram datan de esa época y lugar. En 1818 se publicaron libros de tangram en algunos países de Europa y en Estados Unidos, lo que lo hizo un juego popular y de mucho auge.
El origen de la palabra “tangram” es tan incierto como el juego mismo. Hay quienes sostienen que el nombre es un invento occidental y lo atribuyen a un estadounidense o aficionado a los rompecabezas, quien habría combinado la palabra cantonesa tang, que significa ‘chino’, con el sufijo inglés -gram (-grama), que significa ‘escrito’ o ‘gráfico’.
El tangram es un gran estímulo para la creatividad y se lo puede aprovechar en la enseñanza de la matemática para introducir conceptos de geometría plana, y para promover el desarrollo de capacidades psicomotrices e intelectuales pues permite ligar de manera lúdica la manipulación concreta de materiales con la formación de ideas abstractas.
En la enseñanza de la matemática el tangram se puede utilizar como material didáctico que favorecerá el desarrollo de habilidades del pensamiento abstracto, de relaciones espaciales, lógica, imaginación, estrategias para resolver problemas, entre muchas otras, así como un medio que permite introducir conceptos geométricos.
Además EL TANGRAM se constituye en un material didáctico ideal para desarrollar habilidades mentales, mejorar la ubicación espacial, conceptualizar
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sobre las fracciones y las operaciones entre ellas, comprender y operar la notación algebraica, deducir relaciones, fórmulas para área y perímetro de figuras planas y un sin número de conceptos que abarcan desde el nivel preescolar, hasta la básica y media e incluso la educación superior.
La configuración geométrica de sus piezas (cinco triángulos, un cuadrado y un paralelogramo), así como su versatilidad por las más de mil composiciones posibles con sólo siete figuras, hacen de él un juego matemático.
El tangram más común es el tangram chino, llamado también: "tabla de la sabiduría" o "tabla de los siete elementos" porque se ha comprobado que su uso continuo motiva la reflexión y desarrolla la inteligencia la capacidad creadora, la fraternidad individual y colectiva y la introducción a la geometría y a las matemáticas.
El principal reto de este juego consiste en formar figuras con todas las fichas sin superponerlas combinando sus unidades básicas cada vez de forma distinta el tangram resulta de la descomposición de un polígono regular con una intención especifica y que permite la construcción de cientos de formas figurativas y abstractas al combinarlas adecuadamente partiendo de una figura estática se pueden efectuar innumerables movimientos gracias al juego conjunto de sus elementos, que de este modo se liberan de la inmovilidad.
Además del tangram chino, existen otros tangrams que se utilizan para construir nuevos conceptos, o para superar algunas de las dificultades que se presentan al utilizar solamente el tangram chino, entre ellos se cuentan: el cardiotangrama, el ovotangram, el hexatangram (o simplemente Hexagram), el armonigrama o tangram pitagórico, el juego de los ocho elementos, tangram ruso de doce piezas, tangram de Fletcher, de los cuales presentaremos sus modelos.
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1.2) Historia Del Tangram. El Tangram es un juego chino muy antiguo llamado "Chi Chiao Pan" que significa "juego de los siete elementos" o "tabla de la sabiduría". Existen varias versiones sobre el origen de la palabra Tangram, una de las más aceptadas cuenta que la palabra la inventó un inglés uniendo el vocablo cantones "tang" que significa chino con el vocablo latino "gram" que significa escrito o gráfico. Otra versión narra que el origen del juego se remonta a los años 618 a 907 de nuestra era, época en la que reinó en China la dinastía Tang de donde se derivaría su nombre. No se sabe con certeza quien inventó el juego ni cuando, pues las primeras publicaciones chinas en las que aparece el juego datan del siglo XVIII, época para la cual el juego era ya muy conocido en varios países del mundo. En China, el Tangram era muy popular y era considerado un juego para mujeres y niños. A partir del siglo XVIII, se publicaron en América y Europa varias traducciones de libros chinos en los que se explicaban las reglas del Tangram, el juego era llamado "el rompecabezas chino" y se volvió tan popular que lo jugaban niños y adultos, personas comunes y personalidades del mundo de las ciencias y las artes. Napoleón Bonaparte se volvió un verdadero especialista en el Tangram desde que fue exiliado en la isla de Santa Elena. En cuanto al número de figuras que pueden realizarse con el Tangram, la mayor parte de los libros europeos copiaron las figuras chinas originales que eran tan sólo unos cientos. Para 1900 se habían inventado nuevas figuras y formas geométricas y se tenían aproximadamente 900. Actualmente se pueden realizar con el Tangram alrededor de 16,000 figuras distintas. Hoy en día el Tangram no se usa sólo como un entretenimiento, se utiliza también en la psicología, en diseño, en filosofía y particularmente en la pedagogía. En el área de enseñanza de las matemáticas el Tangram se usa para introducir conceptos de geometría plana, y para promover el desarrollo de capacidades
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psicomotrices e intelectuales de los niños, pues permite ligar de manera lúdica la manipulación concreta de materiales con la formación de ideas abstractas. 1.3) Definición de Tangram y reglas del juego. El Tangram es un juego chino muy antiguo llamado “Chi Chiao Pan” que significa “Juego de los siete elementos” o “tabla de la sabiduría” consiste en formar siluetas de figuras con la totalidad de una serie de piezas dadas. Las siete piezas llamadas Tans, que juntas forman un cuadrado, son las siguientes: “cinco triángulos de diferentes tamaños”, “un cuadrado”, y “un paralelogramo”.
Sus reglas son muy simples: 1. Con dichos elementos, ni uno más ni uno menos, se deben de construir figuras. Es decir, al momento de formar las distintas figuras no debe quedar ni una de las piezas sin utilizarse, además que éstas no deben superponerse.
2. El tangram es un juego planimétrico, es decir, todas las figuras deben estar contenidas en un mismo plano.
3. Aparte de esto, se tiene libertad total para elaborar las figuras. 1.4) Objetivos que se pueden alcanzar con el Tangram. 1. Planificar el trazado de figura sobre la base del análisis de sus propiedades, utilizando instrumentos pertinentes.
2. Comprender los efectos que provocan en el perímetro o en el área de cuadrados y rectángulos la variación de la medida de sus lados y recurrir a las razones para expresarlas
3. Desarrollar las capacidades de analizar temas relacionados con geometría a través del juego.
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4. Reproducir y crear figuras y representaciones planas de cuerpos geométricos. 5. Combinar figuras para obtener otras previas establecidas. 6. Calcular perímetro y áreas de figuras compuestas por cuadrados, rectángulos y otros tipos de polígonos. 7. Descubrir formulas a partir de modelos dados. 8. Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico. 9. Desarrollar la creatividad y las capacidades del autoaprendizaje. 1.5) Valores y actitudes que se pueden desarrollar. Con el juego “el tangram” también podemos buscar que los alumnos asuman actitudes y practiquen valores, mencionaremos algunos, por ejemplo:
Responsabilidad.
Responsabilidad
Colaboración.
Fraternidad
Atención.
Compañerismo
Trabajo en equipo.
Relaciones interpersonales
Estimula la creatividad.
Participación.
Sentido del orden.
Realizar bien las tareas.
Perseverancia.
Paciencia.
Estética.
Comunicación.
Cortesía.
Imaginación.
Amor al trabajo.
Pensamiento lógico.
Respeto.
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1.6) Contenidos que se estudian con el uso del tangram.
Figuras geométricas planas.
Ángulos y su clasificación.
Congruencia de figuras.
Áreas y perímetro de figura.
1.7) Aprendizajes esperados.
Utilizar las piezas del tangram como modelo geométrico. Combinar las piezas del tangram para describir otras figuras. Medir, describir y clasificar ángulos. Reconocer figuras congruentes. Definir el concepto de congruencia. Medir áreas de polígonos y figuras de distintos tipos. Medir perímetros de polígonos y figuras. 1.8) Figuras humanas o de animales formadas con la sietes piezas del tangram. El TANGRAM o juego de formas chino es un juego individual que estimula la creatividad.
Con
él
se
pueden
construir
infinidad
de
figuras
consta de siete piezas: •
un cuadrado
•
un paralelogramo
•
cinco triángulos (dos grandes, dos pequeños y uno mediano)
Algunas de estas figuras las presentamos a continuación
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1.9) ¡Construyamos nuestro propio juego del Tangram! Como hemos dicho, el juego del Tangram está dirigido, o bien a todo aquel que le interese aprender algunos conceptos matemáticos y geométricos; o bien a personas que desean pasar un rato ameno y a la vez echar a andar su imaginación y creatividad. Por tanto, esta actividad está dirigida a todas estas personas, en particular a los estudiantes. El objetivo es que ellos construyan su propio juego de Tangram, lo gradúen y lo usen para practicar el cálculo de áreas y perímetros. Con esta actividad se podrán reforzar, además, conceptos de geometría como líneas paralelas, perpendiculares, punto medio de un segmento, y diagonales de un cuadrado, ya que a medida que vamos construyendo el juego utilizamos todos estos conceptos.
¿Cómo construir un juego de tangram? Para empezar sugerimos que los alumnos trabajen en una hoja de cuadrícula chica (es decir cuadrículas o cuadrados de 0.5cm por lado), pues eso facilitará los cálculos de las figuras. Si no se trabaja en este tipo de papel, entonces deberá utilizarse una regla, con la cual realizará las respectivas medidas. Luego continuamos con los siguientes pasos. ¡Empecemos! Paso 1: Dibuja un cuadrado de 10 cm por lado. (20 cuadritos de la hoja).
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Paso 2: Traza una de las diagonales del cuadrado y la recta que une los puntos medios de dos lados consecutivos del cuadrado; esta recta debe ser paralela a la diagonal.
Paso 3: Dibuja la otra diagonal del cuadrado y llĂŠvala hasta la segunda lĂnea.
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Paso 4: La primera diagonal que trazaste deberás partirla en cuatro partes iguales. (Cada pedacito medirá 5 cuadritos). Paso 5: Traza la recta que se muestra en el dibujo siguiente (dibujo 5) La recta que debes trazar
Paso 6: Por último traza esta otra recta (la de la figura 6)
Traza esta otra recta
Paso 7 Ahora deberás graduar el tangram haciendo marcas de 1cm (o de dos cuadritos) tal y como se muestra en el dibujo siguiente. Para marcar las diagonales necesariamente deberás usar una regla
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Paso 8: Por último recortamos las piezas, de tal manera que obtengamos lo que se presenta en la siguiente figura.
¡Listo! Ya tienes tu propio juego del Tangram. Hemos dado un ejemplo de cómo se construye el juego del tangram utilizando una hoja con cuadrículas, pero no es lo único que se puede utilizar, ya que te puedes construir dicho juego con diferentes tipos de materiales: cartulina, papel, cartón, madera, plycem, fomi, plywood, etc.
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Una forma alternativa para la construcción del tangram chino es como sigue: 1. Hacemos un cuadrado de cartulina, lo doblamos por una de sus diagonales y recortamos por la línea del doblez para obtener dos triángulos.
2. Tomamos uno de los dos triángulos obtenidos en el paso anterior y lo doblamos por el vértice del ángulo recto, de tal manera que éste quede dividido en dos ángulos iguales, y que los lados de igual tamaño del triángulo queden uno sobrepuesto al otro. Recortamos por el doblez y así obtenemos las primeras piezas de nuestro tangram: dos triángulos.
3. Con el otro triángulo que quedó del cuadrado de cartulina hacemos lo siguiente: doblamos el vértice del ángulo recto de tal manera que mire hacia el lado opuesto del triángulo, y que la línea que resulte del doblado sea paralela a ese lado. Recortamos por el doblez para obtener un triángulo –tercera pieza de nuestro tangram– y un trapecio.
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4. Tomamos el trapecio y lo doblamos por uno de los vértices del lado menor, de tal manera que el doblez sea perpendicular tanto al lado menor como al lado mayor. Recortamos por el doblez para obtener otro triángulo –cuarta pieza de nuestro tangram– y un trapecio rectangular.
5. Doblamos el trapecio rectangular por el lado que tiene los ángulos rectos, de tal manera que el doblez sea perpendicular tanto al lado menor como al lado mayor, y dividimos en dos partes iguales el lado menor. Recortamos por el doblez y obtenemos un cuadrado –quinta pieza de nuestro tangram– y de nuevo un trapecio rectangular.
6. Tomamos el nuevo trapecio rectangular y doblamos de tal forma que el vértice del ángulo recto del lado mayor coincida con el vértice del ángulo obtuso del lado menor. Recortamos por el doblez y obtenemos un triángulo y un paralelogramo – sexta y séptima piezas de nuestro trangram.
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Observa el resultado en la figura siguiente:
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1.10) Otros modelos de tangram En la actualidad, existen multitud de juegos basados en los mismos principios pero con distintas piezas. A casi todos estos rompecabezas se les conoce con el nombre de tangram. En las figuras siguientes mostramos algunos de los mรกs populares.
Tangram de ocho piezas
Tangram de Fletcher
Tangram de cinco piezas
Tangram ruso de 12 piezas
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Ovotangram
Cardiotangram
Hexagram
Trangram Pitagรณrico
Armonigrama
Tangram Cuadrado
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El Armonigrama nos sirve para emprender caminos interesantes al rededor de las operaciones con expresiones algebraicas, trabajar áreas, perímetros, relaciones de orden entre fracciones y muchos conceptos más. Con el CARDIOTANGRAMA podemos trabajar las nociones de radio, diámetro, cuerda, ángulos en el círculo, tangentes, secantes, segmentos circulares, relaciones de tamaño cuadrado-círculo, razones trigonométricas, área de regiones sombreadas, y hasta hacer una muy buena introducción al concepto de integral definida. EL OVOTANGRAM, es un curioso tangram que tiene forma de huevo y lo más interesante es que con él sólo es posible construir AVES... A nivel geométrico este tangram se consigue tomando dos medias elipses en las cuales el eje menor de la más grande es el eje mayor de la pequeña, los cortes aparecen ilustrados en la figura y nos permiten hacer un trabajo bastante interesante al rededor de esta sección cónica y sus propiedades. 1.11) Construcción del tangram en forma de Huevo. Observa el dibujo del huevo y construye uno igual siguiendo las siguientes instrucciones:
1). Dibuja un círculo de radio 6 cm. y marca el centro con una A. 2). Traza los diámetros BC y DE, de forma que determinen un ángulo recto. 3). Une B a E y E a C y luego alarga estas dos líneas 5 cm. por encima de E. 4). Utilizando B como centro y BC como radio, traza un arco que corte la prolongación de la línea BE en G. 5). Utilizando C como centro y CB como radio, traza un arco que corte la prolongación de la línea CE en F. 6). Con E como centro y EF como radio, traza un arco que una F y G. 7). Mide este mismo radio desde D a lo largo de la línea DA para determinar el punto H.
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8). Con ese mismo radio y H como centro, traza un arco que cruce la línea BC en J y en K. 9). Alarga la línea AE hasta que corte el arco FG en L. 10). Une H con J y después H con K.
A continuación mostramos algunos ejemplos de figuras que se pueden formar con las piezas del tangram del huevo.
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1.12) Disfrutemos de un cuento .
En una bella
vivía un
, con su
muy alegre y le gustaba mucho
perdió, y el niño estaba muy triste
se los enseño a todos sus conocidos
había visto a su
muelle
, el
, este niño era
, pero cierto día su perro se
. Hizo dibujos de su perro y
, alguien le dijo
que
cerca del muelle, el muchacho corrió hasta el
al ver a su dueño corrió hacia él
y los dos felices decidieron realizar una paseo en
,
.
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1.13) Actividades propuestas con el tangram chino y más 1. Forma triángulos con las piezas del tangram. Utiliza primero una sola pieza, luego, dos, tres, hasta llegar a utilizar las siete piezas. a) ¿Cuántos triángulos puedes formar en cada caso? ¿Estás seguro que no existen más? b) Clasifica los que encontraste en función: b.1) De la medida de sus ángulos. b.2) De la medida de sus lados. c) ¿Cuál es el triángulo de mayor perímetro? ¿Cuál es el de mayor área?
2. Forma rectángulos con las piezas del tangram. Utiliza diferente números de piezas hasta llegar a utilizar las siete. a) ¿Cuántos rectángulos puedes formar en cada caso? b) ¿Cuál es el de mayor perímetro? ¿Cuál es el de mayor área?
3. Utilizando algunas piezas del tangram, construye figuras semejantes. Dibújalas en papel cuadriculado y anota la relación entre sus lados y sus áreas. Utilizando las piezas 1, 2 y 5 construye dos cuadrados y encuentra su razón de semejanza.
4. Formar todos los cuadrados de distinto tamaño posibles con distintas piezas del tangram. Determinar las respectivas áreas.
5. ¿Qué combinación de piezas dan como resultado otra pieza del tangram? Encuentra todas las alternativas posibles.
6. Piense en alguna anécdota o algo que desea contar a sus amigos y nárrela haciendo uso de las piezas del tangram (debe usarlas todas en cada ocasión), de forma similar a nuestro cuento.
7. Utilizando cartulina o cualquier otro material disponible e instrumentos de dibujo construye el HEXAGRAM. Describe los pasos que seguiste.
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Parte 2: El Geoplano
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2. EL GEOPLANO 2.1) ¿Qué es el Geoplano? El geoplano es un recurso didáctico para la introducción de gran parte de los conceptos geométricos; el carácter manipulativo de éste permite a los niños una mayor comprensión de toda una serie de términos abstractos, que muchas veces o no entienden o nos generan ideas erróneas en torno a ellos. Consiste en un tablero cuadrado, generalmente de madera, el cuál se ha cuadriculado y se ha introducido un clavo en cada vértice de tal manera que éstos sobresalen de la superficie de la madera unos 2cm. El tamaño del tablero es variable y está determinado por un número de cuadrículas; éstas pueden variar desde 25 (5 x 5) hasta 100 (10 x 10). El trozo de madera utilizado no puede ser una plancha fina, ya que tiene que ser lo suficientemente grueso -2cm. aproximadamente- como para poder clavar los clavos de modo que queden firmes y que no se ladeen. Sobre esta base se colocan gomas elásticas de colores que se sujetan en los clavos formando las gomas geométricas que se deseen. Su nombre significa plano de geometría, ya que las cabezas de los clavos pertenecen a un mismo plano. El tamaño del geoplano es variable, como ya hemos dicho, según se utilice individualmente, en grupos o bien por el docente para toda la clase. Con el Geoplano que se pueden formar figuras geométricas utilizando gomas elásticas;
establecer
semejanzas
y
diferencias
entre
paralelismo-
perpendicularidad; emplear un lenguaje gráfico-algebraico. Además, el Geoplano ofrece la oportunidad para que el alumno estudie y descubra la relación entre superficie-volumen, profundice y comprenda los conceptos de áreas y planos geométricos, y asocie contenidos de la geometría con el algebra y el cálculo. Esta construcción cognitiva se produce de una forma creativa mediante actividades grupales, en las cuales se presentan preguntas dirigidas por el docente, con la finalidad ayudarles a construir sus respuestas, y al mismo tiempo lograr que el
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alumno formule sus propias interrogantes, permitiéndole así crear sus propias conjeturas
acerca de algún concepto matemático, favoreciendo con ello la
optimización de los
procesos de aprendizajes significativo y el desarrollo de
capacidades cognitivas complejas.
2.2) El Geoplano valiosa Herramienta Didáctica en Educación Matemática. Esta herramienta, sencilla y eficaz, le permite a los estudiantes experimentar con modelos matemáticos y construir conceptos numéricos en diversos contextos. Ella puede ser usada con la finalidad de establecer patrones ideales, para combinar y realizar medidas directas o indirectas. También, es útil para reproducir en forma creativa nuevas colecciones de figuras complejas, innovar conceptos, descubrir propiedades-relaciones exactas y comprobar conjeturas e hipótesis. Además, el Geoplano es potencialmente beneficioso para estimular y despertar la creatividad, buscando integrar lo pedagógico con el desarrollo de estrategias y habilidades cognitivas (estímulo informal, búsqueda íntegra de información constante, razonamiento espacial a través de procesos de análisis y síntesis sobre figuras geométricas).
El geoplano, como recurso didáctico, sirve para introducir los conceptos geométricos de forma manipulativa. Es de fácil manejo para cualquier niño y permite el paso rápido de una a otra actividad, lo que mantiene a los alumnos continuamente activos en la realización de ejercicios variados.
Este recurso puede comenzar a utilizarse en los primeros años de escolarización, aunque su utilización óptima se da en el Ciclo medio de la Educación Primaria. El geoplano, como recurso didáctico, sirve para introducir los conceptos geométricos de forma manipulativa. Es de fácil manejo para cualquier niño y permite el paso rápido de una a otra actividad, lo que mantiene a los alumnos continuamente activos en la realización de ejercicios variados.
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Los niños y niñas necesitan bastante tiempo para experimentar con el geoplano antes de iniciar actividades más serias. A los pequeños les gusta crear figuras, letras, números o diseños sencillos en sus geoplanos. Los niños y niñas mayores producirán diseños y dibujos más complicados. En una fase posterior, no ya de juego se puede utilizar esta actividad para que describan lo que han hecho utilizando el lenguaje matemático lo más correctamente posible. La generosa estructura matemática de los geoplanos permiten que los niñas y niños descubran propiedades matemáticas con poco o ninguna necesidad de que se les dirija. No tardaran en advertir que una línea de goma estirada entre dos clavijas forma una línea recta. Al hacer segmentos de dos líneas observan que algunos pares de clavijas están más separados que otros. Estas posibilidades y otras muchas están ahí para que los niños y niñas las exploten. Dependiendo de las figuras que presenten nosotros podríamos enseñar cierta terminología, pero no se debe tener excesiva prisa en formalizar el proceso de descubrimiento. Cuando los niños y niñas están dedicados a actividades, podremos encontrar ocasiones que se presenten de manera natural, para dar al alumnado el vocabulario que le servirá para comunicarse matemáticamente.
2.3) Objetivos que se persiguen con el Juego del Geoplano Los objetivos más importantes que se consiguen con el uso del geoplano son: •
La representación de la geometría en los primeros años de forma lúdica y atractiva, y no como venía siendo tradicional, de forma verbal y abstracta al final de curso y de manera secundaria.
•
La representación de las figuras geométricas antes de que el niño tenga la destreza manual necesaria para dibujarlas perfectamente.
•
Desarrollar la creatividad a través de la composición y descomposición de figuras geométricas en un contexto de juego libre.
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•
Conseguir una mayor autonomía intelectual de los niños, potenciando que, mediante actividades libre y dirigidas con el geoplano, descubran por sí mismos algunos de los conocimientos geométricos básicos.
•
Desarrollar la reversibilidad del pensamiento: la fácil y rápida manipulación de las gomas elásticas permite realizar transformaciones diversas y volver a la posición inicial deshaciendo el movimiento.
•
Trabajar nociones topológicas básicas líneas abiertas, cerradas, frontera, región, etc.
•
Reconocer las formas geométricas planas.
•
Desarrollar la orientación espacial mediante la realización de cenefas y laberintos.
•
Llegar a reconocer y adquirir la noción de ángulo, vértice y lado.
•
Comparar diferentes longitudes y superficies; hacer las figuras más grandes estirando las gomas a más cuadrículas.
•
Componer figuras y descomponerlas a través de la superposición de polígonos.
•
Introducir la clasificación de los polígonos a partir de actividades de recuento de lados.
•
Llegar al concepto intuitivo de superficie a través de las cuadrículas que contiene cada polígono.
•
Introducir los movimientos en el plano; girando el geoplano se puede observar una misma figura desde muchas posiciones, evitando el error de asociar una figura a una posición determinada, tal es el caso del cuadrado.
•
Desarrollar las simetrías y la noción de rotación.
•
Conocer visualmente como se construyen las distintas figuras a partir los puntos: Cuadrado, rectángulo, triangulo.
•
Construir figuras variando sus dimensiones.
•
Reconocer en el plano visual y táctil las figuras.
•
Asociar las formas al movimiento.
•
Desarrollar su pensamiento espacial.
•
Cultivar la destreza motriz.
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•
Representar figuras geométricas.
2.4) Algunos contenidos que podemos trabajar con el geoplano RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON: •
REPRESENTACIÓN
DE
PUNTOS:
Ejes
de
coordenadas,
abscisas,
ordenadas, representación de un punto a partir de pares de números ordenados, externos o internos a una figura… •
REPRESENTACIÓN DE LÍNEAS: rectas, semirectas, segmentos, curvas, mixtas, paralelas, tangentes, secantes a una figura, poligonales, abiertas, cerradas…
•
REPRESENTACIÓN DE FIGURAS: con líneas rectas o curvas, perímetros, áreas, aristas, vértices, • • •
REPRESENTACIÓN DE POLÍGONOS: regulares, irregulares REPRESENTACIÓN DE ÁNGULOS: internos y externos, operatoria, fracciones, porcentajes, cálculo mental, vocabulario, expresión y comprensión oral y escrita, interacción social, CÁLCULO Y COMPARACIÓN: de puntos, de líneas, de figuras, de ángulos, semejanzas, mayor, menor igual…
• Pomos explicar con su ayuda toda la TRIGONOMETRÍA, trazar en una semicircunferencia un triangulo rectángulo, y todo lo correspondiente a "Pitágoras", puntos "notables" del triangulo.
2.5) Tipos de Geoplanos El geoplano fue utilizado por primera vez por Gattegno, e introducido en España por Puig Adam. Es muy útil en la escuela y de fácil construcción y aplicación. Básicamente es plano y cuadrado, pero a partir del modelo clásico se han desarrollado una serie de variaciones, como son el geoplano circular y los bigeoplanos. Se pueden clasificar en función de su forma, de su tamaño y del material utilizado en su fabricación.
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Con relación a su tamaño se diferencian según el número de pivotes, y pueden ir desde el más pequeño de 9 pivotes (3 x 3) hasta el de 100 pivotes (10 x 10), que e se más utilizado. Con relación a la forma, pueden ser: Geoplano cuadrado Es un tablero cuadrado y cuadriculado en un número variable de cuadrículas; en cada vértice hay un clavo, o cualquier otro pivote de cabeza achatada, que sobresale de la plancha de madera unos 2 cm. Geoplano circular
Tiene el mismo sistema que el anterior; el tablero puede ir cortado en forma cuadrada o circular, pero los clavos tienen que estar situados de tal manera que al pasar la goma elástica por todos los pivotes exteriores se forme una circunferencia. La forma más común de construirlo es haciendo inicialmente un polígono de 12, o mejor, 24 lados., de tal forma que al colocar las gomas se obtienen la circunferencia. Se coloca un pivote en el centro. A veces se inscribe un cuadrado dentro de la circunferencia y permite trabajar nuevos conceptos de geometría. Pueden ser de diferentes tamaños. Bigeoplanos Son iguales que los anteriores, pero se utiliza un tablero lo suficientemente grueso para utilizar las dos caras; en una se puede construir un geoplano cuadrado y en la otra una circular, o dos iguales pero de diferente tamaño.
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Geoplano Circular y Polígono Regular El geoplano circular es una colección de puntos de una circunferencia igualmente espaciados. Permite estudiar algunas propiedades de los puntos de la circunferencia o de figuras inscritas y circunscritas.
Si se unen con segmentos puntos del geoplano circular, se obtienen líneas poligonales y polígonos. Cuando, en este último caso, los segmentos tienen todos la misma longitud, el polígono es regular. La figura de la derecha permite construir cómodamente polígonos regulares de 3, 4, 6, 8 12 y 24 lados.
En general, si el geoplano tiene n puntos en su circunferencia, se podrán construir todos los polígonos regulares de k lados, donde k (>2) es un divisor de n. 2.6) Uso del Geoplano en el nivel inicial Enseñar geometría en nivel inicial muchas veces nos ha limitado al trabajo con la manipulación de objetos con forma de ... la ubicación de los objetos en relación a.... modelado de objetos con forma de...el plegado de formas, recortado de formas, y el ensamblado de formas, pero también hay otros recursos que, si bien no son exclusivos de uso en nivel inicial, nos pueden brindar ricas experiencias en el plano geométrico. El uso del geoplano puede ser adaptado para el nivel inicial presentando a los niños situaciones problemáticas que deberán resolver y poniéndolos en contacto con otros materiales nuevos para ellos. Con este trabajo pretendemos que los niños puedan descubrir y vivenciar desde una nueva experiencia la construcción de figuras geométricas.
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2.7) Actividades con el geoplano Puntos: Los clavos del geoplano representan puntos y en el pizarrón se representarán con una X. o
Tocar los puntos.
o
Contar los puntos por línea y luego el total.
o
Representar gráficamente en una hoja los puntos del geoplano
Líneas: La unión o surcos que forman el geoplano representan líneas. En el geoplano rectilíneo ( utilizado en al sección de 5 años), los surcos forman una cuadrícula y representan líneas rectas. o
Unir con bandas elásticas, dos puntos cualquiera representando rectas.
o
Unir con bandas elásticas, puntos formando rectas.
o
Trazar rectas en el pizarrón.
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Trazar con bandas elásticas, en el geoplano todas las rectas que pasan por un punto.
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Trazar con bandas elásticas, rectas horizontales, verticales y oblicuas.
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Se mostrará que con un simple giro las rectas pueden transformarse en horizontales, verticales u oblicuas. Girar las bandas elásticas transformando las rectas.
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Representar con bandas elásticas, en el geoplano rectas en distintas posiciones formando objetos o figuras.
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Juego: buscamos cuadrados en el geoplano uniendo 4 puntos con 1 banda elástica, buscamos todos los cuadrados que se puedan construir en el geoplano usando mas bandas elásticas.
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Dibujamos en el pizarrón cuadrados uniendo 4 puntos ( X).
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Juego: buscamos con bandas elásticas, nuevas uniones de puntos: 2, 3, 4 5 y nos iniciamos en la noción de otras figuras geométricas.
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o
Construimos un triángulo por transformación del cuadrado, es decir levantando y liberando un vértice de la banda elástica. Realizar el mismo ejercicio en sentido inverso.
Observaciones. Se acostumbrará al niño a “ver” las posibilidades de figuras geométricas que se hallan contenidas en el geoplano y la posibilidad de construir una figura a partir de dos conocidas. Ejemplo. Construir un cuadrado a partir de dos triángulos.. Evaluación: El docente podrá evaluar el aprendizaje de sus alumnos en diversos momentos y de distintas formas, de acuerdo al nivel de los mismos, es decir: En proceso. Pruebas de ejecución gráfica. Pruebas de ejecución práctica. Observación.
Anexo explicativo: Recordemos que el geoplano es un intrumento didáctico que consiste en una tabla cuadrada de “n” cm de lado en el que se distribuyen clavos formando una cuadrícula de cuadrados de 1,5 cm x 1,5 cm. Se utilizan bandas elásticas ( gomitas) para la contrucción de figuras geométricas.
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OTRAS ACTIVIDADES (ACTIVIDAD CUADRADOS)
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Pedir a los niños/as que con un elástico hagan una figura de cuatro lados en el geoplano.
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Pedir que muestren la figura realizada.
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Seleccionar las figuras de varios niños que hayan hecho cuadrados y la de otros que no y hacer con ellos dos grupos.
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Preguntar si saben cómo se han agrupado.
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Intentar que verbalicen todo lo que ven (cuadrado- no cuadrado)
para
llegar a las propiedades de un cuadrado. -
Reforzar para que queden claras las características de un cuadrado.
Más: -
¿Son todo los cuadrados que han hecho iguales?
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Mostrar un cuadrado de punta, ¿cuadrado o rombo?
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Calcular el área y perímetro. Sistema de cálculo de áreas (descomposición o sustracción)
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Formar figuras con la misma área, pero con perímetros diferentes.
LAS VALLAS DE LA GRANJA
¿Qué aprenden? -
Línea poligonal abierta y cerrada.
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Polígonos y variedad de polígonos.
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Pueden descubrir polígonos iguales en distintas posiciones.
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Clasificar figuras por el nº de lados, por cóncavos o convexos…
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Significado intuitivo de superficie al comprobar en qué valla caben más animales.
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Nombre de los polígonos.
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Relación área- perímetro….Vallado donde quepan los mismos animales, pero gastemos menos metros de valla.
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DE LA A a la Z
¿Qué pueden aprender?
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Líneas rectas, paralelas, perpendiculares, inclinadas, horizontal, vertical, diagonal…
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Ángulos.
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Longitud: más larga, más corta…
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Imágenes visuales: se parece a una persona con los brazos abiertos.
TRIÁNGULOS EN EL INTERIOR.
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Se pueden hacer muchos triángulos diferentes con cada propuesta.
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Observar que algunos niños y niñas son sistemáticos y otros buscan soluciones al azar.
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Lo importante no es que encuentren todas las soluciones, sino que investiguen
HAZ LA OTRA MITAD
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Involucra al alumnado en el concepto de simetría y su significado.
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Distintas estrategias: comparando y mirando, contando las clavijas,…
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Más facilidad para trabajar con horizontales y verticales, que con diagonales.
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Uno o varios ejes de simetría…
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Más actividades Construya un cuadrilátero en el geoplano y reprodúzcalo en la siguiente figura.
Señale con otra liga una de sus diagonales, de modo que quede al interior del cuadrilátero. ¿Qué figuras se formaron al interior del cuadrilátero? ¿Las figuras que se formaron son simétricas? Verifíquelo con el espejo. ¿Tienen el mismo tamaño y la misma forma? Señale con otra liga, la otra diagonal. ¿Las diagonales se cortaron al interior del cuadrilátero? Si la respuesta al inciso anterior es afirmativa, entonces ha construido un cuadrilátero convexo; si no, ha construido un cuadrilátero cóncavo. Construya un cuadrilátero convexo y uno cóncavo en el geoplano y reprodúzcalos en la siguiente figura:
Compare con sus compañeros los cuadriláteros que construyó.
Encontrar áreas de triángulos en el Geoplano
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Una vez que puedes construir un geoplano 10x10 teniendo en cuenta lo siguiente:
Material y elaboraciรณn: - Una tabla cuadrada de 22 centรญmetros de lado. - 121 clavos de 3 cm sin cabeza. - Gomas elรกsticas de distintos colores. - Dibuja en la tabla una cuadrรญcula de 10 x10 cuadrados de 2 cm de lado, con un margen de 1 cm. - Clava en cada punto de la cuadrรญcula un clavo (deja fuera unos 2 cm)
Utilizaciรณn: Enganchando las gomas en los clavos se pueden formar distintos tipos de cuadrilรกteros e investigar sus propiedades
En las prรกcticas que siguen usamos papel cuadriculado que nos permitirรก simular un geoplano.
Representa y calcula el รกrea de las figuras: a) Triรกngulo isรณsceles de รกrea 21 b) Triรกngulo escaleno de รกrea 18 c) Triรกngulo rectรกngulo de รกrea 24 d) Triรกngulo rectรกngulo isรณsceles de รกrea 32 e) Triรกngulo obtusรกngulo isรณsceles de รกrea 12 f) Triรกngulo escaleno obtusรกngulo de รกrea 18 g) Triรกngulo isรณsceles de รกrea mรกxima h) Triรกngulo rectรกngulo de รกrea mรกxima
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Web grafĂa: 1.http://www.uniquindio.edu.co/uniquindio/investigacion/gedes/proyectos/geoplano/geopla no.htm 2.http://centros4.pntic.mec.es/ies.gregorio.maranon/departamentos/Mate/TANGRAM3.htm 3. http://tangrams.ca/puzzles/ani-01s.htm 4. http://www.ua.es/personal/SEMCV/Actas/IIIJornadas/pdf/Part63.PDF
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