ISBN: 978-0-615-93971-1
XX Jornadas de IngenierĂa Arquitectura y DiseĂąo, FIAD-UABC
COORDENADAS CILĂ?NDRICAS, ESFÉRICAS Y RECTANGULARES “UN CASO PRĂ CTICOâ€? JesĂşs VĂĄzquez Suarez, Luis Enrique HernĂĄndez BeltrĂĄn, Diana Guadalupe Cruz RamĂrez, Ollinahui AlmazĂĄn GonzĂĄlez, Sergio IvĂĄn Retan Aguilera, AndrĂŠs Lara Núùez & JesĂşs Salinas Coronado* FACULTAD DE INGENIERĂ?A ARQUITECTURA Y DISEĂ‘O CARRETERA TRANSPENINSULAR ENSENADA-TIJUANA NUMERO 3917, COLONIA PLAYITAS. Ensenada, B.C., C.P. 22860. TelĂŠfono 646-1750744, Fax 646-1744333. *E-mail: jesus.salinas.coronado@uabc.edu.mx Abstract. La idea principal de este proyecto surgiĂł como una necesidad de mostrarle a los alumnos la manera en cĂłmo se trabaja la facultad de IngenierĂa, Arquitectura y DiseĂąo, principalmente en la carrera de IngenierĂa industrial en conjunto con la materia de MatemĂĄticas III (cĂĄlculo multivariable) con el tema Coordenadas CilĂndricas, EsfĂŠricas y Rectangulares “un caso prĂĄcticoâ€?, se puede comprender un poco mas su aplicaciĂłn en la ubicaciĂłn de ciudades, encontrar un punto dentro de un plano en segunda (2D) y tercera dimensiĂłn (3D), es fĂĄcil visualizar un punto en 2D pero cuesta un poco mas de trabajo visualizar dicho punto en 3D y como ayuda construimos un globo terrĂĄqueo interactivo. Palabras claves: ingenierĂa, coordenadas, cilĂndricas, esfĂŠricas, rectangulares.
1.-IntroducciĂłn En la materia de matemĂĄticas III (cĂĄlculo multivariable) dentro de las diferentes unidades que se ven en el semestre; en este caso particular sobre el tema de Coordenadas CilĂndricas, EsfĂŠricas y Rectangulares; indicado en la unidad uno,“Vectores y GeometrĂa en el espacioâ€?. Tiene como interĂŠs el mostrar al alumno de una manera divertida y tecnolĂłgica sus diferentes aplicaciones. Existen algunos trabajos previos a este proyecto, pero con esta nueva idea se busca mejorar dichos trabajos, haciendo que el alumno se lleve una mejor opiniĂłn sobre el. “La manera usual de representar un punto en el plano 2D es mediante coordenadas rectangulares (x,y); sin embargo las coordenadas polares en un plano pueden ser muy Ăştiles.â€? Las coordenadas cilĂndricas se representan como: (r,θ,z). Formando parte de un plano (x,y,z). Las coordenadas cilĂndricas no es la Ăşnica generalizaciĂłn posible a tres dimensiones de las coordenadas polares. Recordemos que en las dimensiones, la magnitud de xi+yjes đ?‘&#x;đ?‘&#x; = ďż˝đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 + đ?‘Śđ?‘Ś 2 en el sistema de coordenadas polares. Con las coordenadas cilĂndricas la longitud del vector xi+yj+zk, se representa por:
δ=��� 2 + �� 2 + �� 2 ,
en cambio, usamos la magnitud 2 2 r=ďż˝đ?‘Ľđ?‘Ľ + đ?‘Śđ?‘Ś , ĂĄngulo θ y la altura z, vamos introduciendo esto con el sistema de coordenadas esfĂŠricas, que usaδ acomo coordenada. Las coordenadas esfĂŠricas son Ăştiles con frecuencia en problemas donde hay simetrĂa esfĂŠrica (simetrĂa relativa a un punto), mientras que las coordenadas cilĂndricas se pueden utilizar cuando hay simetrĂa cilĂndrica. Dado en un punto (x,y,z) en tercera dimenciĂłn . La coordenada z viene dada por: z=δcosФ, donde Ф es elĂĄngulo (entre 0 yĎ€, ambos inclusive) que forma el radio del vector v=xi+yj+zk, con el eje positivo de la z. Con este trabajo se mostrarĂĄ al alumno como trasformar de: Coordenadas EsfĂŠricas a Rectangulares: x= Ď sen Ď• cos θ
(1)
y= Ď sen Ď• sen θ
(2)
z= Ď cos θ 77
(3)
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Coordenadas Rectangulares a EsfĂŠricas: Ď 2= x2+y2+z2
(4)
đ?‘Śđ?‘Ś
tan θ= ��
2. Materiales y MÊtodos •
(5) ��
Ď•= arccos(
��� 2 +�� 2 +��
) 2
Ya se ha visto que algunas grĂĄficas bidimensionales son muy fĂĄciles de representar en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares. Algo semejante ocurre con las superficies en el espacio.
(6)
Coordenadas EsfĂŠricas a CilĂndricas: r2= Ď 2 sen2Ď•
(7)
θ= θ
(8)
z= Ď cos Ď•
(9)
El sistema de coordenadas cilĂndricas, es una extensiĂłn de las coordenadas polares del plano al espacio tridimensional. En un sistema de coordenadas cilĂndricas un punto en el espacio se representa por medio de una terna ordenada (r,θ,z). Siendo: 1. (r,θ) una representaciĂłn polar de la proyecciĂłn de p en el plano xy.
Coordenadas CilĂndricas a EsfĂŠricas: Ď =√đ?‘&#x;đ?‘&#x; 2 + đ?‘§đ?‘§ 2
2. z la distancia dirigida de (r,θ) a p.
(10)
θ= θ
(11) ��
Ď•= arccos(√đ?‘&#x;đ?‘&#x; 2
+�� 2
)
•
(12)
x = r cos θ
(13)
y= r sen θ
(14)
z=z
(15)
El sistema de coordenadas esfĂŠricas en un punto p en el espacio se representa por medio de una terna ordenada (δ,θ,Ф). Siendo: 1. δ la distancia entre p y el origen, δ mayor o igual a cero. 2. θ el mismo ĂĄngulo utilizado en coordenadas cilĂndricas para ser mayor o igual a cero.
Coordenadas Rectangulares a CilĂndricas:
đ?‘Śđ?‘Ś
tan θ= ��
z=z
Coordenadas esfĂŠricas:
En el sistema de coordenadas esfĂŠricas, cada punto se representa por una terna ordenada: la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera coordenadas son ĂĄngulos.
Coordenadas CilĂndricas a Rectangulares:
r2= x2+y2
Coordenadas cilĂndricas:
(16)
3. Ф el ångulo entre el eje z positivo y el segmento de la recta op, cero menor o igual a Фy menor o igual a π.
(17) (18)
Hay que observar que la primera, la tercera coordenada y Ф, son positivas. δ es la letra minúscula ro, y Ф es la letra griega minúscula fi.
“AsĂ como los puntos en el espacio 2D pueden ponerse en una correspondencia uno a uno con pares de nĂşmeros reales usando dos rectas coordenadas perpendiculares los puntos en el espacio 3D pueden ponerse en una correspondencia uno a uno con triadas de nĂşmeros realesâ€? [2].
El sistema de coordenadas esfĂŠrico es Ăştil principalmente para superficies en el espacio que tiene un punto o centro de simetrĂa. 78
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Este sistema es similar al sistema de latitud-longitud que se usa para identificar puntos sobre la superficie de la tierra.
3. Parte Experimental. Realizamos un globo terráqueo para que nuestro público pudiera observar detalladamente nuestros cálculos y resultados. Ya teniendo el material a la mano, indicarán las coordenadas que anteriormente se calcularon.
Un ejemplo sería: Un punto en la superficie de la tierra cuya latitud es 40º Norte (respecto al ecuador) y cuya longitud es 80º oeste (respecto al meridiano cero). Si se supone que la tierra es esférica y tiene un radio de 4000 millas, este punto sería:
4. Resultados y Discusión.
(4000,- 80º,50º).
Resultados: Después de realizar varios intentos de crear un Globo terráqueo con coordenadas, elegimos el modelo adecuado para realizar nuestras actividades y así poder mostrar a los alumnos un trabajo sin errores y con la mayor aproximación posible.
En las jornadas se presentaron ejemplos como en clase y además se realizó un caso práctico para encontrar las coordenadas de dos ciudades. Realizando los siguientes pasos: 1. Diseño: se utilizó un globo terráqueo para mostrar el siguiente problema:
En la tabla 1 se puede observar los cálculos para obtener coordenadas esféricas y rectangulares también otra aplicación que es la distancia máxima del centro de la tierra hasta la ciudad.
“Los Ángeles se localiza a 34.05° de latitud norte y 118.24° de longitud oeste, y Rio de Janeiro, Brasil, se localiza a 22.90° de latitud sur y 43.23° de longitud oeste. Suponer que la tierra es esférica y tiene un radio de 4 000 millas” [3].
Tabla 1. Cálculos matemáticos
2. Entorno:se realizó el cambio de coordenadas durante una sesión de clases. 3. Intervenciones: siguientes cálculos.
se
realizaron
Ciudad CE
Los Angeles ρ= 4000 θ= -118.24 ϕ= 55.95
Rio de Janeiro ρ= 4000 θ= -43.33 ϕ= 22.90
CR
x= -1568.16 y= -2919.71 z= -2236.66
x= 1132.21 y= -1068.06 z= 3684.71
Distancia
rθ= 472.960
rθ= 173.220
los
a) Hallar las coordenadas esféricas (CE) para la ubicación de cada ciudad. b) Hallar las coordenadas rectangulares (CR) para la ubicación de cada ciudad. c) Hallar las distancias del círculo máximo entre las ciudades.
Tambien se muestra el modelo ya terminado donde se guiaran para la ubicación de las ciudades (Figura 1).
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“Suponga que en un sistema de coordenadas cartesianas y otro de coordenadas cilíndricas se colocan de un modo que el plano xy es el plano polar del sistema de coordenadas cilíndricas. Y que la parte positiva. Hasta ahora se ha localizado un punto en un plano mediante coordenadas cartesianas rectangulares. Otros sistemas Coordenados permiten ubicar un punto en un plano” [4]. El nombre “coordenadas cilíndricas” proviene del hecho de que la grafica de r=c es un cilindro circular recto como el de los ejemplos anteriores, las coordenadas cilíndricas se presentan con frecuencia en problemas físicos en los que se tiene un eje de simetría. Cumpliendo nuestro objetivo de dar a conocer las distintas formas de representar y explicarles los procedimientos de conversión. Así como el éxito que obtuvimos al momento de darles los conocimientos previos y pudieran resolver las distintas conversiones.
Fig.1 Fotografía del Globo terráqueo utilizado en este trabajo.
Discusión: Nuestro trabajo se realizó para ayudar al alumno a conocer y convertir coordenadas, de unas a otras. Facilitamos el aprendizaje mediante un esquema dinámico y entretenido, así pudiendo visualizar la importancia del cálculo aplicada en la vida cotidiana. Algo que fue de reconocerse es la falta de conocimiento del tema, tanto de, que es una coordenada, como de que existen diversas formas de representarse, así como de conversiones entre ellas.
6.-Biliografía. [1].- Marsden, Jerrold E.; Tromba, Anthony J., Calculo Vectorial, Pearson, pp 61-69, Quinta Edición, Madrid (2004). [2].- Anton, Howard; Bivens, Irl Davis, Stephen.,Cálculo multivariable, Limusa, pag. 786, Segunda Edicion, México (2011). [3].- Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H., Calculo II devarias Variables, Volumen II, Mc Graw Hill, pp820-830, Octava Edición. Mexico DF (2006). [4].- Leithold, Louis., El Cálculo, Oxford, pag. 752, séptima edición, México (1994).
4. Conclusiones La presentación de nuestro proyecto se concluye en las XX Jornadas de Ingeniería, Arquitectura y Diseño mediante una exposición a los alumnos donde se muestran los cálculos realizados y el proyecto terminado.
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