Teoria general del análisis neuroestructural by Kevin

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Pinto Mindiola, Lácides Teoría general del análisis neuro-estructural / Lácides Pinto Mindiola, Olenka Gómez Julio, Fabio Moya Camacho. -- Barranquilla: Ediciones Universidad Simón Bolívar, 2016. 181 p.; 17 x 24 cm. ISBN: 978-958-8942-03-2 1. Análisis estructural (Ingeniería) 2. Teoría reticular I. Gómez Julio, Olenka II. Moya Camacho, Fabio III. Tit. 624.171 P659 2016 SCDD21 ed. Universidad Simón Bolívar-Sistema de Bibliotecas

TEORÍA GENERAL DEL ANÁLISIS NEURO-ESTRUCTURAL Lácides Pinto Mindiola© Olenka Gómez Julio© Fabio Moya Camacho© ISBN: 978-958-8942-03-2 Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida, almacenada en sistema recuperable o transmitida en ninguna forma por medios electrónico, mecánico, fotocopia, grabación u otros, sin la previa autorización por escrito de Universidad de La Guajira y de los autores. Los conceptos expresados de este documento son responsabilidad exclusiva de los autores y no necesariamente corresponden con los de la Universidad de La Guajira y da cumplimiento al Depósito Legal según lo establecido en la Ley 44 de 1993, los Decretos 460 del 16 de marzo de 1995, el 2150 de 1995, el 358 de 2000 y la Ley 1379 de 2010.

Ediciones Universidad Simón Bolívar© Carrera 54 No. 59-102 http://publicaciones.unisimonbolivar.edu.co/edicionesUSB/ dptopublicaciones@unisimonbolivar.edu.co Barranquilla - Cúcuta Febrero 2016 Barranquilla Printed and made in Colombia

DEDICATORIA A Dios, por darme la vida. A mi esposo Jaider, por su comprensión y apoyo incondicional. Y especialmente a mis dos hijas María Fernanda y María Lucía, la razón de mi existir. Olenka Virginia Gomez Julio A Dios, fuente de toda inspiración y vida. A mi hermosa y bella familia que Dios tuvo por bien dar, bendecirnos. Concededme mi Señor la gracia de visitar las galerías y bajar a las profundidades del pozo de las ciencias. Lacides Rafael Pinto Mindiola Porque de Él, y por Él, y en Él, son todas las cosas. A Él sea gloria por siglos. Amén (Romanos 11:36) A Sara Luz, hermosa bendición que mi Señor Jesucristo me dio por esposa. A Leonor que en ausencia de un padre, hizo un hermoso y bello papel que Dios le dio de padre y madre, con una gran bendición de nuestro Señor. A Janeth mujer de gran empuje, compañera, amiga y hermoso corazón, mi bella gorda, mi bella hermana, que desde hace tiempo el Señor la tiene cerca de Él. A Orlo y MariaK, mis bellos hijos. Fabio Orlando Moya Camacho

ÍNDICE Prefacio......................................................................................................................... 13

CAPÍTULO I CRONOLOGÍA Y ENFOQUES DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL............ 17 1. Preámbulo............................................................................................................ 19 2. Enfoques................................................................................................................ 20 a) Métodos de la resistencia de materiales........................................... 21 b) Métodos de la elasticidad......................................................................... 23 c) Métodos de la distribución de momentos........................................ 29 d) Métodos matriciales................................................................................... 32 e) Métodos de los elementos finitos......................................................... 37 f) Aplicación de la tecnología de las redes neuronales artificiales............................................................................... 39

CAPÍTULO II FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL..................................... 45 1. Introducción........................................................................................................ 47 2. Conceptos estructurales básicos................................................................. 47 a) Hipótesis......................................................................................................... 48 b) Rigidez y flexibilidad.................................................................................. 48 c) Nodos y conexiones.................................................................................... 49 d) Cargas............................................................................................................... 50 e) Desplazamientos......................................................................................... 51

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3. Estructura de un edificio................................................................................ 51 a) Conectividad plana y en el espacio...................................................... 53 b) Cálculo en el espacio.................................................................................. 59 c) Propiedades elásticas de los miembros............................................. 59 d) Principio de superposición..................................................................... 60 4. Ecuaciones elásticas......................................................................................... 60 5. Descomposición de la estructura en capas............................................. 64 a) Notación.......................................................................................................... 65 b) Modelo estructural..................................................................................... 66 6. Modelo matemático en paralelo.................................................................. 68 a) Salida: 1a capa............................................................................................... 69

b) Salida: 2a capa oculta................................................................................. 70 c) Q-ésima capa genérica.............................................................................. 72 d) Capa salida – L-ésima capa...................................................................... 73 7. Conclusiones........................................................................................................ 75

CAPÍTULO III NEURO-ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS RETICULADAS MULTINIVEL............................................................................. 77 1. Introducción........................................................................................................ 79 2. Fundamentos neuro-estructurales............................................................ 80 a) Notación.......................................................................................................... 81 b) Definición del modelo de red neuronal primitivo......................... 82 3. Arquitectura general del modelo primitivo............................................ 83 a) Vector de salida del modelo neuro-estructural primitivo.......... 87 b) Comparación de modelos de red estructural y primitiva neuronal.................................................................................. 87 4. Ampliación del marco teórico neuro-estructural................................ 89 a) Fenómeno de la mitosis neuronal........................................................ 89 b) División de la estructura neuronal en subestructuras................ 93 5. Primer modelo neuro-estructural derivado – Mitosis 1................... 94 a) Arquitectura del modelo neuronal mitosis 1.................................. 96

6. Sub-modelos derivados - neuromodelo................................................... 97 a) Arquitectura del modelo neuronal mitosis 2.................................. 97 b) Arquitectura del modelo neuronal mitosis Q-ésima.................... 99 c) Arquitectura del modelo neuronal de una capa L-ésima mitosis............................................................................................ 101 7. Ventajas de los modelos ANN....................................................................... 102 8. Sistemas de redes.............................................................................................. 105 a) Sistema de modelos neuro-estructurales que operan en serie.................................................................................... 107 9. Conclusiones........................................................................................................ 108 APÉNDICES................................................................................................................ 111 Referencias.......................................................................................................... 177

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TABLA DE FIGURAS 1. Métodos de las fuerzas y deformaciones.............................................. 35 2. Neurona biológica y artificial..................................................................... 40 3 Esquema general de un edificio y los vínculos nodales para el análisis estructural. (a) Conjunto completo de un edificio, (b) Sistema de vigas, columnas y fundaciones y (c) Modelo estructural con sus respectivos nodos........................... 52 4. Pórticos planos que se forma a partir del modelo tridimensional. (a) Pórtico tridimensional con las indicaciones de los pórticos planos resultantes, (b) Pórticos en los planos P1, P2, P3 y P4 y (c) Pórticos en los planos PA, PB y PC.................................................... 53 5. Nudo de baja conectividad lado izquierdo........................................... 54 6. Nudo de baja conectividad lado derecho.............................................. 55 7. Nodos de mediana conectividad lado izquierdo................................ 56 8. Nodos de mediana conectividad lado derecho................................... 57 9. Nodos de mediana conectividad nivel superior................................. 58 10. Nodo de alta conectividad........................................................................... 59 11. Giros y desplazamientos de los nudos................................................... 61 12. Nudo típico de una estructura................................................................... 62 13. El modelo estructural y capas constituyentes.................................... 66 14. Modelo de red neuronal primitivo u originario................................. 85 15. Mitosis neuronas artificiales capa de salida........................................ 92 16. Modelo derivado mitosis 1.......................................................................... 96

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17. Modelo derivado mitosis 2.......................................................................... 99 18. Modelo derivado Q-ésima mitosis........................................................... 100 19. Mitosis primera capa..................................................................................... 101 20. Arquitectura del sistema de redes........................................................... 106 21 Sistema de sub-modelos neuronales en serie..................................... 107

TABLA DE TABLAS 1. Comparación de los enfoques.................................................................... 43

Prefacio Empezaremos por indicar algunos de los objetivos que nos hemos traza-

do y el modo en que hemos intentado establecer un equilibrio entre todos los enfoques del “análisis estructural”.

Como en muchos otros campos de la ciencia, el desarrollo de un nuevo enfoque depende fundamentalmente de la discusión, la crítica y la con-

troversia. Intentaremos ilustrar lo mejor posible las singularidades de

nuestro enfoque, sin sacrificar en ningún caso la diversidad de criterios

que hoy conviven en el mundo del análisis estructural como ciencia de diferentes enfoques.

Limitaremos el contenido del libro ofreciendo un catálogo de las distintas versiones, bajo las cuales se han abordado los distintos problemas del

análisis estructural. No hemos dudado en ningún instante, en presentar

una nueva versión o enfoque de esta ciencia, utilizando para ello, las he-

rramientas que ofrece “la computación neuronal”. Para ello, omitiremos hasta donde sea posible la arquitectura computacional de Von Neumann.

Los enfoques del análisis estructural están íntimamente conectados entre sí, a través de la teoría de la elasticidad y la resistencia de materiales. La propuesta de un enfoque neuronal no escapa de manera alguna, a la caracterización arriba señalada.

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La relación de semejanza de nuestro enfoque con el modelo estructural, no es solo de carácter algorítmico sino que va más allá, hacia su apariencia física cuando intenta mantener en lo posible una correspondencia topológica importante, entre los modelos estructural y neuronal, exhibiendo en ambas mallas o redes, pequeñas diferencias entre sus conexiones, en un caso entre nodos, y en el otro entre neuronas.

Nuestro objetivo no es ilustrar las fortalezas y debilidades de los métodos tradicionales, ni el opacar de alguna manera los marcos teóricos que los sustentan, ni hacer evaluaciones conceptuales de fondo acerca de las singularidades de sus algoritmos, como tampoco examinar cada uno de los puntos de vista mantenidos durante las evoluciones de los distintos enfoques desarrollados en los siglos XIX y XX. En resumen, hemos evitado cualquier valoración rigurosa de los enfoques convencionales. La noción de método cubre un amplio espectro, que va desde los procedimientos seguidos instintivamente hasta las reglas empíricas formuladas de forma explícita, sin tener en cuenta los procedimientos deductivos. Recomendamos el análisis de la Tabla 1, referida a la comparación de enfoques y métodos. El esfuerzo a dispensar en cuanto a la comprensión del contenido del libro, no es mayor que el necesario para comprender, por ejemplo, las complejas formulaciones matemáticas que requieren algunos enfoques, las laboriosas sentencias de kilométricos programas de computación, para quienes utilizan las computadoras, como herramienta para el análisis de las estructuras.

Una alternativa, como las que nos ofrece la computación neuronal, es viable dentro de lo que significa el potencial de las redes neuronales en el presente y el futuro. Es preferible disponer de un dispositivo electrónico que logre el aprendizaje por adaptación, antes que tener que elaborar las

engorrosas sentencias secuenciales ofertadas por la programación tradicional. La investigación fundamentalmente se ha llevado a cabo, teniendo en cuenta la apertura del análisis estructural a las nuevas tecnologías y la actualización en estas áreas del conocimiento.

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Capítulo I CRONOLOGÍA Y ENFOQUES DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL

1. Preámbulo Por definición, una disciplina teórica consiste idealmente de una clara delimitación de los problemas que resuelve y los que deja de resolver, así como de cuáles métodos emplea para resolverlos o para intentar hacerlo. Por razones obvias, el análisis estructural no escapa a esta exigencia.

La mayor parte de las ciencias, tales como la matemática, la física y el análisis estructural incluido, son objeto de un constante cambio, en la medida en que se enfrentan con nuevos problemas. Descartan los viejos y modifican los nuevos métodos de análisis. Por otro lado, los problemas y los métodos de las distintas disciplinas pueden solaparse. Es el caso, por ejemplo, de toda ciencia antigua que da origen a otra nueva, o la situación que se plantea cuando un problema irresoluble para una determinada disciplina, se manifiesta susceptible de ser prácticamente resuelto en el marco de otra. Además, las nociones de problema y método admiten una serie de gradaciones que se desvanecen con facilidad al intentar enmarcarlos bajo definiciones rígidas. En cualquier disciplina teórica los problemas que pueden plantearse mediante preguntas claras, van desde las preguntas que parecen, son irresolubles o presentan cierta complejidad, mediante el uso de cualquiera de los métodos a nuestra disposición, hasta las que pueden quedar completamente resueltas una vez sometidas a un examen. Por su parte, la noción de método cubre un amplio espectro, que va desde procedimientos seguidos instintivamente hasta reglas empíricas formuladas de forma explícita.

Existe una enorme dificultad en la comparación y la implementación de los distintos enfoques, cuando estos se confrontan con la tecnología de las redes neuronales; este campo es relativamente nuevo, y tanto su marco teórico como su implementación no son generalmente del dominio del usuario común del análisis estructural. No obstante, nos esforzaremos por presentar un estudio coherente y altamente sinóptico de los modelos de las redes neuronales artificiales y su aplicación a las estructuras porticadas de varios niveles.

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2. Enfoques Para los ingenieros civiles y estructurales, la palabra estructura es muy amplia y tiene múltiples significados. Las estructuras más utilizadas son las de edificios, muros, puentes, etc. Las mismas están compuestas generalmente por diferentes elementos unidos entre sí, de tal manera que puedan soportar las fuerzas externas manteniéndose en equilibrio.

El análisis estructural se ocupa del cálculo de las deformaciones, deflexiones y hasta de las fuerzas internas de los miembros, para predecir su desempeño. Pero se requiere del conocimiento previo de: uso, geometría de la estructura, cargas estructurales, esfuerzos máximos de los miembros y de los nudos, condiciones de soportes y propiedades de los materiales. Existen cinco enfoques del análisis estructural: • Teoría de la resistencia de los materiales. • Teoría de la elasticidad (que es actualmente un caso especial del campo más general de la mecánica continua). • Enfoque de la distribución de momentos. • Enfoque matricial. • Método de los elementos finitos.

Los dos primeros utilizan la formulación analítica para dar soluciones a los problemas planteados. Conocidos también, como los métodos clásicos desarrollados a fines del siglo XIX, se caracterizan por su generalidad, simplicidad lógica y elegancia matemática. Desafortunadamente, su aplicación práctica implica a menudo cálculos muy laboriosos, ya que sus algoritmos conducían generalmente a múltiples ecuaciones lineales difíciles de resolver en forma manual.

Por otro lado, la teoría de la elasticidad en principio, permite la solución de los elementos estructurales de geometría compleja bajo condiciones

generales de carga. La solución de problemas de elasticidad también requiere de la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales, lo que constituye una demanda matemática de una labor más significativa, que la necesitada por los problemas de la resistencia de materiales, que obliga a dar la solución a un sistema de ecuaciones ordinarias.

Los métodos de la teoría de la elasticidad están disponibles para los sólidos elásticos de cualquier forma. A través de esta teoría pueden ser modelados elementos individuales, tales como: vigas, columnas, ejes, láminas y conchas. Las soluciones son obtenidas a partir de la elasticidad lineal. Las ecuaciones de dicha teoría, constituyen un sistema de 15 ecuaciones diferenciales parciales. Debido a la naturaleza de la matemática involucrada, las soluciones analíticas solo pueden ser generadas a partir de geometrías relativamente simples. Si estas son complejas, se requiere entonces de una solución numérica, tal como, las que nos ofrece el método de los elementos finitos, que en la realidad constituye también una tecnología que emplea el álgebra matricial, como herramienta para el análisis de estructuras entre sus múltiples aplicaciones. a) Métodos de la resistencia de materiales Es el más simple de los cuatro enfoques; y el mismo está disponible para miembros estructurales sometidos a la acción de cargas específicas, tales como, las barras cargadas axialmente, las vigas prismáticas sometidas a flexión pura, y los elementos de sección circular bajo torsión.

El método de la resistencia de materiales es de uso limitado –como se desprende de lo arriba expuesto–, solo disponible para elementos estructurales muy sencillos bajo condiciones de cargas relativamente simples. Los elementos estructurales y las condiciones de cargas permitidas, sin embargo, son suficientes para resolver muchos problemas de uso frecuente en la ingeniería estructural. Las soluciones bajo ciertas condiciones de

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cargas pueden ser superpuestas utilizando el principio de superposición para analizar un miembro que está siendo sometido a una combinación de cargas. Existen casos especiales de estructuras de frecuente uso, tales como: muros portantes y recipientes que trabajan a presión. Para el análisis de sistemas complejos, este enfoque puede ser utilizado combinado con la estática, dando lugar al método de las secciones o de Ritter, para el análisis de armaduras. Los métodos de distribución de momentos, el portal y el método del cantilíver para grandes estructuras rígidas. A excepción de la distribución de momentos, que vino a ser utilizado ampliamente en la década de los treinta, los métodos restantes fueron desarrollados en la segunda mitad del siglo XIX. Estos métodos aún están siendo utilizados para estructuras relativamente pequeñas y para el prediseño de las grandes estructuras. Sus soluciones se apoyan en elasticidad infinitesimal lineal e isotrópica, y además en la teoría de la viga de Euler-Bernoulli. En otras palabras, ellos suponen entre otras las siguientes hipótesis: 1. Que los materiales empleados son elásticos; 2. Que los esfuerzos están relacionados linealmente con las deformaciones; 3. Que el material pero no la estructura, tiene un comportamiento similar independientemente de la dirección en que son aplicadas las cargas; 4. Todas las deformaciones son pequeñas; y 5. Las longitudes de las vigas son relativamente grandes si se les compara con la altura de su respectiva sección transversal. A Saint-Venant, corresponde el privilegio de haber adaptado la flexión y la torsión a la teoría general de la elasticidad. Él percibió la dificultad de obtener soluciones, y además se dio cuenta de la imperiosa necesidad de una teoría que brindase las herramientas adecuadas para ser aplicada a la resistencia de las estructuras bajo cualquier condición de cargas externas. Creó un método para dar soluciones aplicables a problemas especiales que lleva su nombre y que algunos se han dado en llamar “método

de solución semi-inverso”. El primer problema al cual aplicó este método, fue el de la torsión de prismas. En el que estuvo trabajando desde 1839 hasta 1855, cuando publicó su famosísima Memoria. En esta investigación dio por sabido el carácter general de la deformación, suponiendo que consiste en una distorsión de las secciones transversales, acompañada de una torsión simple en torno al eje. A partir de aquí, dedujo la ecuación diferencial y las condiciones referentes a los límites, que tienen que ser satisfechas por un desplazamiento paralelo al eje. En caso de simetría, la ecuación diferencial es la de Laplace; y Saint-Venant a partir de sus soluciones conocidas propuso discutir un gran número de casos. Entre los resultados más importantes figuran: 1. Las secciones no se conservan planas. 2. La fórmula de la torsión de Coulomb es inexacta y por lo tanto, se debe utilizar en ella un factor de corrección, que depende de la sección transversal. En esta misma Memoria introdujo la discusión del problema de la flexión, el cual concluyó en una memoria posterior. La nueva forma del eje es una curva plana; las extensiones o contracciones de las fibras varían con su distancia a un cierto plano que pasa por el eje. Las fibras no ejercen tracciones unas sobre otras. De esta manera concluyó: • Los esfuerzos en una sección transversal se reducen a una fuerza transversal y a un par flector, de acuerdo con lo deducido por la teoría de Euler-Bernoulli. • Las secciones transversales no se conservan planas, sino que el desplazamiento paralelo al eje neutro contiene un término que satisface una condición análoga a la de la torsión, pero con otros límites. b) Métodos de la elasticidad La teoría matemática de la elasticidad intenta despejar el tercer punto de vista de las estructuras para reducir el cálculo al estado de desplazamiento relativo o deformación de un sólido bajo la acción de un sistema

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de fuerzas en equilibrio o en estado de pequeño movimiento interno relativo, apoyándose en datos experimentales y en hipótesis físicas admitidas

de antemano como axiomas. El objetivo es obtener resultados que puedan ser aplicados a las estructuras fabricadas con sólidos deformables. Según Love, A. E. H.:

En los conocimientos experimentales adquiridos y en los procedimientos y resultados del análisis, nada que haya sido descubierto pierde nunca su valor ni tiene que ser abandonado; pero las hipótesis físicas se van reduciendo a menos principios y más generales; de modo que se van unifican-

do las diversas teorías físicas y acabarán por apoyarse todas ellas en los mismos principios dinámicos.

A continuación, presentamos secuencias cronológicas de logros alcanza-

dos por investigadores, físicos y matemáticos del mundo de la teoría de la elasticidad.

En este desarrollo se puede apreciar que la discrepancia entre la teoría antigua y las modernas es mayor cuando se trata de la torsión, mientras

que es mucho menor para el caso de la flexión. En el tratamiento de este último concepto la teoría antigua presenta en forma lo suficientemente clara, la naturaleza del esfuerzo, pero se equivoca en forma relevante cuando se trata de la deformación.

La teoría de la elasticidad no es una ciencia pura, como suelen algunos entendidos aseverar; debido a que ella considera su aplicación directa,

a la técnica productiva, como es su aplicación directa a la mecánica de los sólidos continuos y al diseño de aeronaves espaciales, membranas y otros. Y como teoría científica, contiene una o más hipótesis como partes integrantes.

La teoría de la elasticidad se ocupa de los siguientes problemas: • Se supone que un cuerpo de cualquier forma está sometido a fuerzas y tensiones superficiales cualesquiera, y se quiere determinar el estado de tensión y desplazamiento relativo de su interior. • El cuerpo ejecuta pequeñas vibraciones libremente, o bajo la acción de fuerzas periódicas conocidas, y se quiere conocer el modo y período de las oscilaciones libres y la amplitud de las forzadas. La primera solución general fue la publicada por Lamé y Clapeyron en una Memoria de 1828, que contiene un estudio de las deformaciones interiores de un sólido isótropo limitado por un plano indefinido y en cuya superficie actúa una determinada distribución de carga externa (Lamé & Clapeyrom, 1828).

Los primeros trabajos teóricos y experimentales realizados durante los siglos XVII, XVIII y aun, los ejecutados en los inicios del siglo XIX, están profundamente marcados por la fuerte comunidad de intereses conceptuales entre la teoría de la elasticidad y la mecánica de los materiales. Esta convivencia de conocimientos compartidos, condujo a ambas teorías algunas veces, a compartir las mismas hipótesis y hasta servirse de los mismos experimentos.

Dentro de la comunidad de conocimiento, y aun de las hipótesis surgen dos problemas fundamentales en la primera mitad del siglo XVII. Los enunciados de estos problemas, ya lo hemos presentado anteriormente, en este mismo capítulo. Se abren los caminos en la segunda mitad del siglo XVII, cuando Hooke y Mariotte centraron sus estudios en el descubrimiento de las deformaciones como causa de los esfuerzos. Nace así, el concepto de cuerpo elástico y en consecuencia, también una hipótesis. El primero, sienta la que bien podría ser llamada, la primera piedra de la teoría de la elasticidad, que es el descubrimiento de la ley de Hooke entre los años 1660 y 1678, entre fallas y mejoras. Esta ley establece la proporcio-

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nalidad entre los esfuerzos y las pequeñas deformaciones. Sin embargo, hubo que esperar hasta 1680 para que Mariotte, hiciera el mismo descubrimiento experimentalmente de la misma ley. Pero Mariotte añadió a la verificación experimental de la ley de Hooke; un nuevo descubrimiento; ya que este pudo observar también, que: la resistencia de una viga a la flexión nace del hecho de que tienen que estirarse o comprimirse sus fibras. Admitió que la mitad se estiran y la otra mitad se comprimen, y ubica el eje neutro, en la mitad de la altura de la sección transversal rectangular.

Dice Love, en su “historia de la teoría de la elasticidad”, que: Podría creer un lector moderno, que el análisis de las tensiones y deformaciones es un preliminar necesario para el estudio de la teoría general de la elasticidad, y, sin embargo, tal no ha sido el orden histórico de los descubrimientos. En las investigaciones llevadas a cabo por Navier, las ecuaciones se obtienen en función de los desplazamientos; los sólidos se suponen isótropos y las ecuaciones contienen sólo una constante. Las de Poisson dependen de las tensiones pero no de las deformaciones. Resulta de las investigaciones de Cauchy y Poisson, que si se supone la fuerza entre dos moléculas en función únicamente de su distancia conduce esta hipótesis a resultados absurdos.

Existen en realidad tres vías para obtener las ecuaciones. La primera consiste en aceptar la existencia de una ley para las fuerzas intermoleculares, y a partir de esta deducir las ecuaciones diferenciales del desplazamiento las del equilibrio de una sola de las moléculas desplazadas, que se corresponde con el método de Navier. La segunda se fundamenta en la formación de las ecuaciones diferenciales del equilibrio de un elemento en función de los esfuerzos ejercidos sobre él por la materia que le rodea, y luego, utilizando las relaciones entre el esfuerzo y el desplazamiento relativo, se eliminan las componentes de las tensiones de las ecuaciones. La tercera consiste en desarrollar una expresión para la energía del sólido

deformado y las ecuaciones se obtienen a partir del teorema del trabajo virtual, y es precisamente el método seguido por Green, Kirchoof y algunos investigadores pertenecientes a la escuela de los ingleses.

• Las Leyes de Hooke Generalizadas: Si en un punto interior de un sólido

elástico consideramos un entorno cúbico cuyas aristas tengan las direc-

ciones principales; y admitido el principio de superposición, las deformaciones principales serán:

Siendo

las deformaciones principales.

Las tres expresiones anteriores, nos dicen que en un sólido elástico lineal, homogéneo e isótropo las tensiones y las deformaciones están relacionadas linealmente mediante estas tres ecuaciones constitutivas.

Stokes, fue el primero en observar que la ley de Hooke generalizada, que establece la proporcionalidad de la tensión y la deformación es una conse-

cuencia del hecho cierto que experimentalmente es posible, que todos los

sólidos pueden ser puestos en estado de vibración isócrona. A partir de esta ley, y de otras observaciones dedujo las ecuaciones de la elasticidad con dos parámetros. La memoria de Sir George Gabriel Stokes es notable

por la continuidad que intenta establecer desde los fluidos perfectos hasta los sólidos perfectamente elásticos, pasando por los sólidos plásticos, y por su encomiable defensa de las ecuaciones con dos constantes, lo cual, fundamentalmente depende de la supuesta continuidad.

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Stokes se adelantó a los tiempos cuando anticipó en 1845, al comprobar que basta el hecho de que los cuerpos puedan ser puestos en estado de vibración isócrona para demostrar que las relaciones entre tensiones y deformaciones tienen que ser funciones lineales dentro de los pequeños desplazamientos estudiados, y para establecer la teoría moderna, basta con que esto sea verdad para las deformaciones infinitesimales (Revista Obras Públicas). El sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales con quince incógnitas, para la solución del problema elástico, Ecuaciones para el equilibrio interno:

Ecuaciones de las componentes de la matriz de deformación, definidas en función de las componentes u, v, w del vector desplazamiento , como:

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Ecuaciones de compatibilidad.

Las tres ecuaciones necesarias para el equilibrio interno, las seis requeridas para las condiciones de deformación definidas en función de las componentes u, v, w, más las seis necesarias para la compatibilidad, cons-

tituyen un sistema de 15 ecuaciones. Por otra parte, el número de incóg-

nitas es también de 15: seis componentes de la matriz de las tensiones, seis componentes de la matriz de deformación, mas tres componentes del vector desplazamiento.

c) Métodos de la distribución de momentos Muchas técnicas ingeniosas de gran valor práctico fueron apareciendo (Métodos de: Cross, Kani Takabeya y otros). Pero la mayoría de estas técnicas ingeniosas eran aplicables solo a determinados tipos de estructuras.

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• Método de Hardy Cross Durante el mes de mayo de 1930, el profesor Hardy Cross de la Universidad de Illinois dio a conocer públicamente el “método de distribución de momentos” en las memorias (proceedings) de la American Society of Civil Engineers, aun cuando desde 1924 había hecho conocer el método a sus estudiantes. Su artículo marca el mundo del análisis de estructuras estáticamente indeterminadas, ya que el mismo impacta positivamente a los usuarios y establece un mito en la historia de los sistemas estructurales. El mito ofrecía enormes ventajas en los procesos de cálculo de las vigas continuas y estructuras verticales de alta hiperasticidad y además proporciona una exactitud equivalente a la obtenida con la aplicación de los métodos exactos que para la época eran muy laboriosos y que requerían de mucho tiempo de cálculo. No obstante, este es un método de aproximaciones sucesivas (Eaton, 2001). Los métodos expuestos para el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas, implicaban la resolución de complicadas ecuaciones simultáneas muy difíciles de manipular. Para la aplicación del método de la distribución de momentos no son necesarias estas ecuaciones, se exceptúan los casos de estructuras reticuladas complejas.

El método de Cross requiere de cálculos sucesivos que van aproximando los resultados hacia la exactitud deseada. Este proceso iterativo puede suspenderse después de dos o tres ciclos, generando de esta manera, resultados bastante satisfactorios; y aún el proceso de cálculo puede continuar hasta cuando se logre la precisión deseada. Las ventajas del método de distribución de momentos, contrastadas con la precisión de los laboriosos “procedimientos clásicos” deberán ser profundamente evaluadas; y seguramente se puede comprender la gran utilidad del método práctico presentado por Cross.

El periodo comprendido entre los años 1930 y 1960, fue un tiempo donde

el método propuesto por el profesor Cross se transformó en el método de los usuarios del cálculo estructural, más concretamente para el análisis de vigas continuas y pórticos de edificios de varios pisos. Sin embargo, el uso de las computadoras como herramienta eficiente disponible para los calculistas fue imponiéndose en el mercado de los analistas de estructuras. Los programas utilizados se basan generalmente en el análisis matricial que expondremos más adelante. No obstante, el método de la distribución de momentos mantiene un escenario bastante importante entre los métodos manuales aún disponibles para analizar vigas continuas y marcos. Los calculistas de estructuras pueden ejecutar rápidamente, análisis aproximados para diseño a nivel de ingeniería básica conceptual, pero también, es útil como una herramienta de comprobación de los resultados obtenidos a través del uso de las computadoras; aun cuando el método tiene la imitante de que solo es práctico para el análisis de estructuras relativamente pequeñas. El método de Cross, tiene dos atractivos. Su sencillez teórica y la facilidad en las aplicaciones prácticas. Los principios fundamentales son fácilmente comprensibles y exponen con claridad meridiana el procedimiento. Las hipótesis de cálculo siguientes establecen el marco del método de Cross: ⇒ Los elementos constituyentes de la estructura son prismáticos, es decir, de sección transversal constante. ⇒ Los nodos donde se juntan dos o más elementos no se trasladan. Sin embargo, puede rotar sin desplazamiento relativo de sus miembros concurrentes. ⇒ Se omite la deformación axial de los elementos de la estructura hiperestática. • Método de Gaspar Kani Kani, nos ofrece un método de “aproximaciones sucesivas”, que puede aplicarse a estructuras reticuladas de varios pisos con nodos rígidos, e

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igualmente a pórticos de varios pisos con desplazamiento horizontal de los nodos. Este método también se utiliza en el análisis de vigas continúas con apoyos elásticamente empotrados.

El método de iteración de Kani ha resultado ser extremadamente satisfactorio para el análisis de cualquier tipo de estructura convencional bajo

cualquier condición de cargas externas. La estructura de esta manera, se deformará así que cualquier nodo i rota un ángulo . Al mismo tiempo, podrá producirse o no, un desplazamiento horizontal relativo

se pro-

ducirá en cada r-ésimo piso. Suponiendo que el efecto de las fuerzas es despreciable, es decir, que las longitudes axiales de los miembros de la estructura no son alterados.

Si consideramos por ejemplo, al miembro i-k, entonces las fuerzas y momentos ejercidos sobre los nodos i y k por el miembro son iguales y opues-

tas a aquellas ejercidas sobre los extremos del miembro por las juntas. La convención de signos para estas cantidades son positivas cuando giran en

el sentido de las manecillas del reloj. En el método de Kani, los momentos finales en los extremos de las barras

ción de las componentes

son determinados en fun-

separadamente, siendo,

el momento rotacional en el extremo debido a la rotación

del extremo

es de forma análoga, el momento rotacional extremo debido a la

rotación

del extremo k y

es el momento debido al desplazamiento

horizontal del extremo de la columna. d) Métodos matriciales

La formulación matricial de las ecuaciones discretas, y el método de los elementos finitos pueden ubicarse en tres etapas: los modelos matemáticos, formulaciones matriciales de las ecuaciones discretas, y las herramientas computacionales para hacer cálculos numéricos. De las tres la última es la que ha experimentado los cambios más dramáticos.

Las formulaciones matriciales para el análisis matricial de estructuras y el método de los elementos finitos han sido tradicionalmente clasificados como los de mayor uso práctico. La solución de los problemas se ejecuta manualmente o por computadoras digitales. El método de los desplazamientos y el de las fuerzas son los que más se destacan entre los métodos matriciales. No obstante, existen otros adicionales que implican combinaciones de fuerza y desplazamiento, fuerza y/o deformaciones, pero estos no son de importancia práctica.

La teoría de elasticidad tuvo un desarrollo sostenido durante la terminación del siglo XVIII y todo el siglo XIX, donde se trazan líneas magistrales impulsadas principalmente por las investigaciones llevadas a cabo en Francia: Cauchy, Navier, Lamé Saint Venant, Clapeyron; en Alemania: Kirchhoff, Clebsh, Mohr, Neumann, Culmann, y en Gran Bretaña: Maxwell, Green, Love, Thomson, entre otros igualmente dignos de ser nombrados. No obstante, el desarrollo del siglo XX encuentra fuertes obstáculos, dada la dificultad que suponía no tener a la mano las herramientas necesarias para la realización de los largos y complejos cálculos de los algoritmos que habían logrado imponerse más por su precisión que por su versatilidad y rapidez. Sin embargo, una vez culminada la Segunda Guerra Mundial, los investigadores de Estados Unidos y Gran Bretaña asumen el protagonismo en el marco de la teoría de la elasticidad a partir de la segunda mitad del siglo XX; exigidos principalmente por la demanda de nuevos, rápidos y precisos diseños en la aeronáutica civil y militar; y además, en la construcción de naves espaciales. Pero lo que más contribuyó al desarrollo de las investigaciones en el área de la elasticidad fue la aparición en el mercado de las primeras computadoras. Bajo este escenario, surge el Enfoque Matricial y el método de los Elementos Finitos. Métodos, que admiten la aplicación directa de la teoría de los sólidos elásticos y que son generadores de una significativa economía de cálculo, eficacia, y precisión en las magnitudes obtenidas; que no dejaban nada que desear, pero siempre y cuando se disponga del uso de las computadoras.

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Entre la variedad de métodos de cálculo matriciales se destacan principalmente dos: el de los desplazamientos o “método de la rigidez o del equilibrio” y el de las fuerzas o “método de las flexibilidades o de las compatibilidades”. Ambos, conducen a un sistema de ecuaciones lineales, pero difieren fundamentalmente en los procedimientos algebraicos. Las ecuaciones necesarias y suficientes son:

• Las condiciones de equilibrio entre las fuerzas externas directamente aplicadas en los nodos, las fuerzas nodales equivalentes inducidas por

cargas intermedias, las acciones de origen térmico y las reacciones internas de cada elemento.

• Las condiciones de compatibilidad entre los desplazamientos de los nodos y las deformaciones elásticas de cada elemento.

• Ecuaciones de elasticidad que ligan esfuerzos y deformaciones.

Las incógnitas que se deben calcular son los desplazamientos en los no-

dos de la estructura y las reacciones internas de los elementos, es decir, las matrices U y P.

En el Método de las Fuerzas, la matriz P es la principal y en consecuencia,

en función de ella se calculará la matriz U.

En el Método de las Deformaciones U es la matriz principal que se calcula

y en función de ella se expresa la P.

Es importante expresar aquí, que en ambos métodos se calcula mediante el uso de fórmulas sencillas la matriz δ de deformaciones internas de los elementos. Tampoco, el cálculo de σ, τ, ε y γ en cualquier punto de un

elemento no ofrece mayores dificultades. En la Figura 1 se muestran el tipo de parámetros y ecuaciones en que se fundamenta los métodos matriciales.

Figura 1. Métodos de las fuerzas y deformaciones

En 1930 Collar y Duncan formularon la aeroelasticidad discreta en forma

matricial. Los dos primeros papers sobre este tópico aparecieron en los años 1934 y 1935, los cuales se titulan respectivamente: A method for the solution of oscillations problems by matrices. Matrices applied to the motion of damped systems.

El segundo avance importante en el análisis estructural matricial ocurrió durante 1954 y 1955 cuando el profesor John H. Argyris sistematizó el ensamblaje de los elementos componentes de una estructura en un sistema

de ecuaciones. Argyris, presentó una unificación formal de los Métodos de las Fuerzas y Desplazamientos utilizando los teoremas de la energía dual (Argyris & Kelsey, 1960, Part. I).

Luego, Turner, Clough, Martin y Topp (1956), publicaron una obra donde están vertidas las primeras aplicaciones del Método de los Elementos finitos.

Y que, desde entonces es paradigma tanto de investigación como de las aplicaciones prácticas.

Finalmente, Turner (1959), propuso el Método Directo de las Rigideces como una implementación general y eficiente de la computadora del aun embrionario y todavía anónimo Método de los Elementos Finitos.

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En 1960 y emergiendo como el investigador de la década surge C. Truesdell quien finalmente asigna el concepto de continuidad a toda sustancia sólida o fluida y formuló bajo esta hipótesis los fundamentos de la Mecánica del Continuo. El cual constituye un nuevo marco conceptual en el que el sólido elástico bajo esta hipótesis, continuidad como medio no presenta vacíos en su interior, en oposición a la realidad discreta de la materia, cuya hipótesis la supone constituida por átomos y moléculas. Bajo estas consideraciones, el medio continuo (sólido elástico) es, por lo tanto, un modelo a través del cual se idealiza la realidad macroscópica. Este hecho, provee a la teoría de la elasticidad del cálculo diferencial como herramienta natural. Cabe señalar, que la característica fundamental del sólido elástico como medio continuo es su deformabilidad.

El método de la flexibilidad, no es un método apropiado para uso de diferentes propósitos del análisis estructural. Mientras que, el método de las rigideces es un método tan mecánico, que está siendo utilizado sin mucho entendimiento del comportamiento estructural. En consecuencia, su valor educacional para impartir los conceptos de equilibrio y compatibilidad, no son lo suficientemente satisfactorios. Pero esto no es todo, lo que se dice. También, Carlos A. Felippa, miembro del Department of Aerospace Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures University of Colorado, dice textualmente en su conclusión del paper. “A Historical Outline of Matrix Structural Analysis: A Play in Three Acts”, lo siguiente:

This outline can be hopefully instructive in two respects. First, matrix me-

thods now in disfavor may come back in response to new circumstances. An example is the resurgence of flexibility methods in massively parallel

processing. A general awareness of the older literature helps. Second, the sweeping victory the Direct Stiffness Method (DSM) over the befuddling

complexity of the matrix forest period illustrates the virtue of Occam’s

proscription against multiplying entities: when in doubt chose simplicity. This dictum is relevant to the present confused state of computational mechanics (Felippa, 2000).

Este trabajo de C. A. Felippa ha sido respaldado por la National Science Foundation bajo el premio ECS-9725504.

El autor hace referencia explícita, acerca de la situación que actualmente no favorece a las matrices; y además nos habla del resurgimiento de los métodos de flexibilidad de procesamiento masivamente paralelo. Clara coincidencia con los métodos de las redes neuronales artificiales, que tienen como característica esencial la de ser masivamente paralelos.

Pero eso no es todo. Felippa se refiere también, a la complejidad y perplejidad del período de la selva de matrices; y para ello, nos ilustra con la proscripción de Occam, contra los entes multiplicadores: “cuando se esté en duda escoja la simplicidad”. e) Métodos de los elementos finitos El enfoque de los elementos finitos, nace por la necesidad de dar solución a la elasticidad compleja, de los problemas de la ingeniería civil, estructural, y aeronáutica. Su desarrollo puede ser bien entendido siguiendo los trabajos realizados por A. Hrennikoff y por Richard Courant en los años 1941 y 1942 respectivamente. A pesar que los medios utilizados por estos pioneros fueron dramáticamente diferentes, ellos compartieron una característica esencial, que es precisamente el mallado de discretización de un dominio continuo en un conjunto de subdominios discretos. Hrennikoff, discretizó el dominio utilizando cuadrículas análogas, mientras que Courant dividió el dominio en subregiones triangulares, para la solución de ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden, las cuales surgen del problema de la torsión de un cilindro. El enfoque de R. Courant ha ido evolucionando con el transcurrir de los tiempos. El

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desarrollo del método de los elementos finitos, comienza en los inicios de la segunda mitad de la década de los 50 para el diseño de estructuras de aviones y el análisis estructural. Finalmente, el método fue acompañado por rigurosos fundamentos matemáticos en el año 1973, con la publicación de Strang and Fix’s An Analysis of the Finite Element Method, y ha sido aplicado, para el modelado numérico de problemas físicos en una amplia variedad de disciplinas de la ingeniería, tales como: electromagnetismo, dinámica de los fluidos y otras.

El desarrollo del método de los elementos finitos en la mecánica estructural está basado a menudo sobre un principio de energía, por ejemplo el principio del trabajo virtual o el principio de la energía potencial total mínima, el cual proporciona una base general, intuitiva y física que tiene un gran recurso, para los ingenieros civiles y estructurales. Matemáticamente, el método de los elementos finitos es utilizado, para encontrar la solución aproximada de ecuaciones diferenciales parciales además, de ecuaciones integrales, tales como, la ecuación de transferencia de calor. La solución del enfoque está basada en la eliminación completa de la ecuación diferencial, o la interpretación de una ecuación diferencial parcial en una ecuación diferencial ordinaria equivalente, la cual es luego resuelta utilizando técnicas estándares tales como, las diferencias finitas.

La tecnología de los elementos finitos está actualmente, lo suficientemente sofisticada como para manejar cualquier sistema, mientras se tenga disponible un poderoso sistema computacional. Su aplicación incluye, pero no está limitado a, análisis lineal y no lineal, interacciones entre sólidos y fluidos, materiales isotrópicos, orto-trópico, anisótropos, y efectos estáticos externos, dinámicos, y factores ambientales. Esto, sin embargo, no implica que la solución calculada será automáticamente confiable porque en mucho depende del modelo y de la confiabilidad de los datos de entrada.

f) Aplicación de la tecnología de las redes neuronales artificiales El interés de las redes neuronales artificiales, en el estado de confusión actual de la mecánica computacional es una alternativa bastante importante; ya que se plantea actualmente un NO a la arquitectura computacional de Von Neumann, que ha estado vigente por muchos años (DARPA). Algunos han mirado a las redes neuronales como una alternativa para la inteligencia artificial. En verdad, como una manera, de resolver problemas que la inteligencia artificial no ha sido capaz de dar solución.

Otros creen que, la confianza en las redes neuronales en este nuevo encuentro es algo ingenuo. Entre estos dos rangos de perspectivas, han surgido una gran variedad de opiniones, acerca de la eficacia de las redes neuronales (DARPA, 1990). Lo cierto es que, dos características claves ampliamente creíbles, distinguen a las redes neuronales de cualquier otra clase de sistema de procesamiento de información desarrollado hasta ahora: • Las redes neuronales artificiales pueden ser entrenadas para aprender. En otras palabras, las redes neuronales no son, tan “programadas como entrenadas con datos”. • Las redes neuronales son “masivamente paralelas”. Esto sugiere que ellas deberían ser capaces de tomar decisiones a altas velocidades y ejecutar múltiples operaciones sencillas en forma simultánea. Una red neuronal artificial, puede emprender la ejecución de millones de operaciones simples en paralelo que pretende la disección de un problema. En general, una red neuronal puede tener L capas compuesta cada una de ellas, respectivamente, por: S1, S2, … ,SL elementos de procesamiento. Una arquitectura neuronal de esta clase, puede tener millones de interconexiones entre sus neuronas componentes.

• Fundamentos teóricos Una red neuronal artificial (ANN) es una estructura computacional modelada sobre los procesos biológicos. En su nivel más fundamental, el in-

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terés en las redes neuronales está inspirado por dos hechos: a) la función

del sistema nervioso de los humanos, que puede fácilmente resolver problemas que son muy difíciles, si se le pretende dar solución a través del uso de una computadora convencional, incluyendo las mejores computa-

doras disponibles; y b) la capacidad de modelar las funciones del sistema biológico de los humanos.

Las “neuronas artificiales” son análogas a sus inspiradoras biológicas.

Las neuronas son elementos de procesamiento, los axones y dendritas vienen a ser cables, y el fenómeno de la sinapsis es como una resistencia

variable que pondera las entradas que representan los datos. Ver Figura 2. Ilustra los tipos de neuronas.

Figura 2. Neurona biológica y artificial

Los elementos de procesamiento pueden interactuar de muchas maneras, dependiendo de la forma como están interconectados (redes: alimenta-

das hacia adelante y/o alimentadas hacia atrás). La naturaleza y número de estas conexiones depende de la clase de modelo o arquitectura, utiliza-

da para construir la red neuronal. El diseño de una red alimentada hacia atrás, tiene implicaciones en la naturaleza de su adaptabilidad/ entre-

nabilidad, mientras que el diseño de las interconexiones de una red tiene implicaciones en su paralelismo.

• Aprendizaje de una red neuronal Una característica clave de la red neuronal es el aprendizaje o entrenamiento. Existen muchas técnicas generalmente articuladas como algoritmos para entrenar las redes neuronales; los cuales forman tres categorías básicas: • Entrenamiento supervisado: requiere de la presencia de un supervisor externo; y de unos datos rotulados utilizados para entrenar la red. El supervisor conoce la respuesta correcta y proporciona una señal de error de la red. • Entrenamiento no supervisado: utiliza para el entrenamiento de datos no rotulados y no requiere de un supervisor externo. Los datos son presentados a la red, la cual forma grupos internos, que comprime los datos de entrada dentro de ciertas categorías. • Entrenamiento auto-supervisado: es utilizado por ciertas clases de redes. Las redes monitorean su desempeño internamente no requiriendo de un supervisor interno. Una señal de error se genera en el sistema; y se alimenta hacia atrás a sí misma, y se produce la respuesta correcta después de un número de iteraciones. ¿Por qué las redes neuronales y no otros enfoques? Es útil para el entendimiento de las redes neuronales y sus implicaciones ubicarlas en el más grande de los contextos de los enfoques disponibles para el “procesa-miento de información”. El enfoque de las redes neuronales no se opone a otros, más bien trata de ampliarlos.

La Tabla 1 delinea las principales directrices en el procesamiento de la información en un sentido histórico, comenzando con el sistema y la teoría de información, que es realmente el procesamiento de la base de datos.

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Resistencia de materiales

Cross, Kani, Takabeya, otros

CLÁSICOS: Finales del siglo XIX.

Distribución de momentos: Siglo XX década de los 30.

REDES NEURONALES: Siglo XX, fundamentalmente década de los 80. Compuesto por procesadores simples interconectados.

Análisis Neuro-Estructural masivamente paralelo

Matriciales MATRICIALES: Siglo XX, década 30 y 70. Métodos completamente generales, compactos y precisos. Preservan los principios Elementos fundamentales. finitos

Tienen las cualidades de la generalidad, simplicidad lógi- Teoría de la ca y elegancia matemática. Elasticidad

Método

Enfoque

Programa computacional

Forma de implementación

Algoritmo de aprendizaje y memoria adaptativa

• División de elementos • Sistema de ecuaciones lineales

Sistema de ecuaciones lineales

Diseño de redes y software de simulación

Software especializado

Determinación de matrices Programa computacional

Aproximaciones Manual sucesivas

A través de 15 ecuaciones diferenciales

A través de 15 ecuaciones

Adquisición conocimiento

• Sencillez teórica • Facilidad de aplicación

Precisión

Aproximado

Fortalezas

Tecnología de propósitos generales

Una selva de matrices Computación secuencial

Métodos manuales para estructuras pequeñas

Exagerado número de ecuaciones lineales difíciles de resolver

Exagerado número de ecuaciones lineales, difíciles de resolver manualmente

Debilidades

Aprendizaje, procesamiento en paralelo y computación neuronal

La no disponiblidad de hardware a gran escala para la implementación

• Selva de matrices Aplicación en • Computación tradicional varias áreas del secuencial conocimiento • El software es una caja negra

• Exactos Son generales • Preservan los Precisos y principios generales fundamentales

Técnicas ingeniosas de gran valor práctico

Estructuras complejas

Para pequeñas estructuras

Singularidad

Tabla 1. Comparación de los Enfoques

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Capítulo II FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL

El análisis estructural implica una consideración completa de las cargas y acciones que tendrá que soportar la estructura, incluyendo las condicio-

nes que ocurrirán durante su ejecución. Se deben considerar los métodos y todas las circunstancias y combinaciones de carga, que conduzcan a una

adecuada precisión de los resultados. Se calcula el efecto que las acciones producen en los diferentes miembros estructurales (Maicas & Parras, 1987).

“Debido a que en las últimas décadas aumentó el uso de las computadoras digitales, ha cambiado completamente la aplicación práctica del análisis estructural. En vez de usar métodos clásicos especializados, ahora los ingenieros usan, en la práctica, programas de computadoras que se basan en métodos matriciales” (McCormac & Elling, 1996).

“Los métodos modernos de análisis que usan matrices y computadoras permiten al ingeniero analizar estructuras, grandes y pequeñas, con rapidez increíble. Sin embargo, la belleza matemática de tales análisis tiende a ocultar los principios básicos del análisis estructural”. “Analizar y predecir el comportamiento de las estructuras y sus partes es una etapa sumamente importante del diseño estructural, en realidad solo se trata de uno de varios pasos importantes interrelacionados. El análisis estructural puede ser tan interesante para algunas personas, que quizás decidan dedicarse por completo a su estudio”. 2. Conceptos Estructurales Básicos El análisis estructural es el proceso mediante el cual se determina la res-

puesta de una estructura a cargas o acciones especificadas. Esta respuesta generalmente se mide cuantificando las fuerzas y/o momentos y las deformaciones en toda la estructura.

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1. Introducción

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Los métodos de análisis estructural se basan en estudios y cálculos sobre

modelos matemáticos que se asimilan a la estructura real. La formulación del modelo requiere que se hagan gran número de suposiciones:

1. Propiedades del material, 2. Rigidez de los miembros de la estructura (vigas y columnas), 3. Nodos y conexiones, 4. Forma de aplicación de las

cargas, 5. Magnitud relativa de los desplazamientos, y 6. Interdependen-

cia de una parte de la estructura respecto a otras (Maicas & Parras, 1987). a) Hipótesis

Las hipótesis, deben concordar siempre con el comportamiento real de

la estructura. En todos los casos las hipótesis supuestas deben quedarse siempre, del lado de la seguridad. En otras palabras, el esquema que se estudia en sustitución del caso real debe estar en las condiciones más desfavorables.

Los aspectos físicos reales son fundamentales para poder conocer, con que exactitud se asemeja el modelo matemático al comportamiento real de la estructura (Maicas & Parras, 1987).

Los métodos matriciales requieren de la determinación previa de los materiales. El enfoque neuronal en este sentido es más general porque no lo necesita conocer previamente. No obstante, en ambos casos los materiales en general, se consideran elásticos. b) Rigidez y flexibilidad

Existen relaciones mutuas entre fuerzas y desplazamientos. Es decir, las

fuerzas producen desplazamientos en las estructuras; y la existencia de desplazamientos en un pórtico reticulado van asociados necesariamente a la presencia de fuerzas.

Como existe una interacción real, entre los conceptos fuerza y desplazamiento, se hace necesario, establecer una relación entre estas dos cantidades. Hay dos formas de definir estas relaciones: • Utilizando el concepto de rigidez y

• Empleando el concepto de flexibilidad En su forma más básica:

La rigidez: Es la fuerza que debe aplicarse en un punto para producir un desplazamiento unitario en ese punto.

La flexibilidad: Es el desplazamiento que se produce en un punto por la aplicación de una carga unitaria en ese punto.

En general, para las estructuras comunes las longitudes de los miembros

son significativamente mayores que sus dimensiones transversales. Sin embargo, el modelo que se adopta para ser objeto de análisis se compondrá de elementos lineales (piezas prismáticas) entre los nodos.

La rigidez, es la base del enfoque de las redes neuronales. Con la rigidez se determinan los factores de giro, los cuales permiten determinar la entrada a los modelos de redes neuronales y determinar las matrices de los pesos (Maicas & Parras, 1987). c) Nodos y conexiones

Las dimensiones de las conexiones entre los elementos de una estructura son usualmente pequeñas si se les compara con las longitudes de los miembros.

Las longitudes de los elementos lineales se determinan mediante las distancias entre los centros de las conexiones o uniones, que a su vez, se es-

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tablecen mediante las intersecciones de las directrices de los elementos prismáticos que coinciden en el nudo o nodo. Las vigas y columnas bien podrían verse como conexiones entre nodos, que transmiten información de un nodo a sus vecinos. Las conexiones para las estructuras porticadas se suponen que son conexiones rígidas en las cuales todos los extremos de vigas y columnas que concurren en un nudo tienen un giro común (Maicas & Parras, 1987). A un nudo cualquiera de un pórtico reticulado de varios pisos, según su localización dentro de la estructura concurrirán a él un número determinado de vigas y columnas, es decir, según su ubicación en el plano le corresponderán: una viga una columna, una viga dos columnas, dos vigas una columna, dos vigas dos columnas, según el lugar que ocupe el nudo.

El mismo podría encontrarse en el contorno del pórtico o alejado de este. En adelante, según sea la clase a que pertenezca el nodo tendrá un grado de conectividad, el cual estará fundamentalmente determinado, por el número de miembros que concurran en el nudo.

d) Cargas Bajo la acción de las cargas dadas la estructura se deformará, así que cualquier nudo i rota hasta un ángulo ζ. Estas cargas (concentradas y uniformemente distribuidas), consisten de fuerzas verticales, horizontales, momentos y cortes (Thadani, 1959). Las fuerzas y momentos ejercidos sobre los nudos i y k por el miembro son iguales y opuestas a aquellas ejercidas sobre los extremos del miembro por las juntas. e) Desplazamientos Las rotaciones de los extremos ζi y ζk expresadas en radianes son produci-

das conjuntamente con el desplazamiento lateral ᵟi. Estas rotaciones son

positivas cuando se producen en el sentido de las manecillas del reloj. 3. Estructura de un Edificio

Generalmente están integradas por dos partes: la infraestructura que está formada por las fundaciones pedestales y vigas de riostras; y la superes-

tructura que normalmente está constituida por vigas, columnas y losas de

entrepisos. Las vigas y columnas se unen para dar origen a los pórticos, que es una estructura reticulada que es de las más frecuentes utilizadas en edificaciones.

Los elementos de un pórtico con nudos, también conocidos como juntas

resistentes a momentos están conectados rígidamente en sus extremos. Cuando se aplica un sistema de fuerzas externas (cargas distribuidas, fuerzas concentradas y/o momentos) a esa estructura, esta se deformará

de tal manera, que sus nudos rotarán, pero cada uno de los miembros que se unen en un i-ésimo nudo no se moverán entre sí. En otras palabras, los ángulos que forman los extremos de las vigas y columnas no cambiarán, después de las solicitaciones externas.

En la Figura 3 se muestra un edificio típico, los pórticos ensamblados y el modelo estructural completo formado por los nudos resistentes a momentos y los ejes de los cuerpos prismáticos que forman los distintos pórticos (McCormag-Elling, 1996).

Las estructuras reales son ensamblados de miembros tridimensionales. No obstante, en la mayoría de los casos existen componentes planos de la

estructura (caso de los pórticos) cuyo comportamiento bien podría con-

siderarse como el de unidades independientes y de esta manera, pueden aislarse y analizarse como pórticos planos.

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Figura 3. Esquema general de un edificio y los vínculos nodales para el análisis estructural. (a) Conjunto completo de un edificio; (b) Sistema de vigas, columnas y fundaciones; y (c) Modelo estructura con sus respectivos nodos

(a)

Nodos

(b)

(c)

Por ejemplo, en la Figura 4, se muestra la idealización de dos pórticos de direcciones diferentes de la estructura típica de un edificio de varios pisos. Se extraen los pórticos planos del sistema tridimensional y se preparan todas las combinaciones de cargas externas más desfavorables que exigen las normas y especificaciones vigentes, para luego hacer el análisis bajo la acción de las cargas de gravedad o cargas horizontales según el caso. Para el análisis siempre se tendrán en cuenta, todas las hipótesis de la resistencia de materiales. Los principios o axiomas fundamentales de la resistencia de materiales, los teoremas y las hipótesis constituyen la base fundamental del análisis estructural. Solo por la profunda comprensión de estos, el ingeniero puede adaptar los distintos métodos de análisis a los problemas siempre diferentes con los que se enfrentará en esta época moderna (Timoshenko & Young, 1981).

Figura 4. Pórticos planos que se forman a partir del modelo tridimensional. (a) Pórtico tridimensional con las indicaciones de los pórticos planos resultantes; (b) Pórticos en los planos P1, P2, P3 y P4; y (c) Pórticos en los planos PA, PB y PC P4

PA PC

(b)

(c)

(a)

A continuación, se ilustran las distintas clases de conectividad de un nudo.

La misma, se hará en el espacio y en el plano para facilitar una mejor comprensión al lector.

a) Conectividad Plana y en el Espacio La Figura 5 muestra a un nudo genérico, localizado en la esquina superior lateral izquierda de la estructura de un edificio convencional. El mismo requiere de la transmisión respectivamente, de tres o dos salidas distin-

tas en el espacio y en el plano (transmisión de señales: momentos rotacionales hacia los extremos de los miembros concurrentes en el nudo). En el

caso plano, el nudo debe enviar una fracción proporcional, del momento

rotacional acumulado hacia el extremo de la viga (sentido a la derecha) y el momento rotacional restante, hacia el extremo superior de la columna (sentido hacia abajo) (ver la Figura 5).

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Axioma: “Todo nudo, perteneciente a una estructura reticulada multinivel, sometida a la acción de un sistema de cargas externas, transmite señales de momento rotacionales a los extremos de todos los miembros que concurren en él, en función de la rigidez del elemento”. Figura 5. Nudo de baja conectividad lado izquierdo (a) Nudo en el espacio: 3 salidas; (b) Nudo en el plano: salidas

Es evidente, que en el caso particular del nudo plano, para poder transmitir dos señales distintas (una hacia la viga y otra, hacia la columna) el nudo debe ser reemplazado por dos neuronas artificiales o elementos de procesamiento, con características esenciales similares a las del nudo en cuestión, ya que, una neurona puede transmitir una, y solamente una señal hacia su exterior.

La Figura 6 muestra un nudo genérico, localizado en la esquina superior lateral derecha de la estructura de un edificio convencional. El mismo, requiere de la transmisión respectivamente, de tres o dos salidas distintas en el espacio y en el plano (transmisión de señales: momentos rota-

cionales hacia los extremos de los miembros concurrentes en el nudo).

En el caso plano, el nudo debe transferir una fracción proporcional del momento rotacional acumulado hacia el extremo de la viga (sentido a la

izquierda) y el momento rotacional restante, hacia el extremo superior de

la columna (sentido hacia abajo). En otras palabras, se necesita sustituir

el nudo por una neurona, para que esta luego, se multiplique y se transforme en dos elementos de procesamiento que solo se diferencien en el

peso de conexión de su entrada; y de esta manera, podemos obtener las dos salidas requeridas por el nudo (señales hacia la viga y columna) (ver Figura 6) ilustración más clara:

Figura 6. Nudo de baja conectividad lado derecho (a) Nudo en el espacio: 3 salida; (b) Nudo en el plano: 2 salida

En el caso particular del nudo plano, que trasmite dos señales distintas (una hacia la viga y otra hacia la columna) el nodo debe ser reemplazado por dos neuronas artificiales o elementos de procesamiento, con características esenciales similares a las del nudo en cuestión, debido a que una neurona puede transmitir una y solamente una señal hacia otras neuronas o hacia el mundo externo. Este caso, es similar al del nodo anterior, donde se requiere igualmente, que la neurona se multiplique por dos (que se desdoble la neurona madre).

Las Figuras 7 y 8 representan un nudo genérico que está ubicado en el lado izquierdo o lado derecho del pórtico plano reticulado (nudos de un solo borde). En cualquiera de los dos casos, el nudo requiere de la salida

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de tres señales en el plano o momentos rotacionales en los extremos de los miembros concurrentes en el nudo. Dos en la dirección de cada una de las columnas que concurren en el i-ésimo nudo, y otro en el extremo izquierdo de la viga sentido a la derecha, que accede al nodo, …esto en el caso, que el nudo pertenezca a la capa de nodos de la entrada. Si el i-ésimo nudo pertenece a la capa de salida del pórtico, los momentos rotacionales a distribuir son: y otro en el extre-

mo derecho de la viga sentido hacia la izquierda . Para producir tres señales de los nudos en cuestión, se necesita sustituir el nudo por una neurona, para que esta luego, se multiplique y se transforme en tres (es decir, la neurona debe ser objeto de dos desdoblamientos) elementos de procesamiento que sólo se diferencien en el peso de conexión de su entrada; y de este modo, podemos obtener las tres salidas requeridas por los nudos (señales hacia la viga y los dos extremos de columnas) (Ver Figura 7). Figura 7. Nodos de mediana conectividad lado izquierdo (a) Nudo en el espacio: 5 salidas; (b) Nudo en el plano: 3 salidas

Figura 8. Nodos de mediana conectividad lado derecho (a) Nudo en el espacio: 5 salidas; (b) Nudo en el plano: 3 salidas

Es evidente, que en el caso particular del nudo plano para poder transmitir tres señales distintas (una hacia la viga y dos, hacia las columnas) el

nudo debe ser reemplazado, por tres neuronas artificiales o elementos de procesamiento con características esenciales similares a las del nudo en

cuestión, ya que una neurona puede transmitir una y solamente una señal hacia otras neuronas o hacia el entorno.

La Figura 9 muestra una clase de nudos de los que se presentan en el nivel más alto de los edificios convencionales. El 1-ésimo nudo pertenecien te a

la Q-ésima capa del nivel más alto del edificio, requiere de la transmisión respectivamente, de cinco o tres salidas distintas en el espacio y en el pla-

no (transmisión de señales: momentos rotacionales hacia los extremos de los miembros concurrentes en el nudo). En el caso plano, el nudo debe transferir una fracción proporcional, y distinta del momento rotacional

acumulado, hacia cada extremo de las dos vigas concurrentes en el nudo (sentidos a la izquierda y derecha:

) y el momento rotacio-

nal restante, hacia el extremo superior de la columna (sentido hacia abajo:

) (ver Figura 9).

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Figura 9. Nodos de mediana conectividad nivel superior (a) Nudo en el espacio: 5 salidas; (b) Nudo en el plano: 3 salidas

Por último, en la Figura 10 se muestra el nudo típico de más alta conectividad. Este es un nudo al que concurren cuatro elementos en el plano.

En consecuencia, transmite cuatro señales o momentos rotacionales a los

extremos de los miembros concurrentes en el nudo. Dos en la dirección de las vigas que concurren en él,

y las otras dos las envía en

la dirección de las columnas que igualmente acceden al nodo

La neurona que sustituye al nudo debe multiplicarse para que de esta manera se transforme en cuatro elementos de procesamiento, que solo se diferencian en el peso de conexión de su entrada. Dicho de otra manera, se necesita, que el nudo sea capaz de transmitir en forma simultánea

(procesamiento en paralelo), cuatro señales, en lugar de una cada vez. Esta cualidad se podría obtener, si el mismo, es sustituido en primera instancia, por una neurona, que luego, se multiplique (ver Figura 10) para una ilustración más clara.

Figura 10. Nodo de alta conectividad (a) Nudo en el espacio: 6 salidas; (b) Nudo en el plano: 3 salida

b) Cálculo en el espacio Al observar los distintos nodos típicos y sus diferentes formas de conexiones, intuitivamente podemos ver plausible la aplicación del enfoque neuronal, no solo a pórticos planos, sino que el método puede ser extensivo a estructuras en el espacio tridimensional. Si para ello se determinan los factores de distribución de giros en todas las direcciones. c) Propiedades elásticas de los miembros Cuando una estructura se encuentra sometida a la acción de un sistema de cargas externas sus miembros sufren ciertas deformaciones. Pero se espera, que una vez cesen las cargas, todos los miembros y aun la estructura completa vuelvan a su estado de deformación nula o estado original. De ser así, se dice entonces que la estructura completa y sus miembros trabajan en la zona elástica. En caso contrario, si cuando suspendidas las cargas aún persisten las deformaciones de la estructura y de sus miembros constituyentes, se dice entonces, que la estructura está sometida a un régimen plástico (deformación permanente).

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Es obvio, que esperemos que todos los materiales que conforman una

estructura trabajen dentro de la zona elástica que es la del sector de la proporcionalidad entre esfuerzos y deformaciones.

La relación entre los esfuerzos de tensión y deformación fue establecida

experimentalmente por (Hooke, 1678) y (Mariotte, 1686). Sin embargo, el principio se conoce como la ley de Hooke, por haber sido este el prime-

ro en hacerla del conocimiento del mundo científico. Esta ley constituye la hipótesis básica de la teoría de la elasticidad. d) Principio de superposición

“Si el comportamiento estructural es linealmente elástico, las fuerzas que actúan sobre una estructura pueden separarse o dividirse en cualquier forma conveniente para analizar luego la estructura para cada caso por

separado. Los resultados finales pueden obtenerse entonces sumando los efectos individuales (Ortiz, 1998)”. 4. Ecuaciones Elásticas

Las estructuras porticadas, están formadas por lo general de miembros prismáticos rectos, que se pueden considerar como barras fijadas elásti-

camente en sus extremos. Un miembro tal como el i-k, por ejemplo, puede

aislarse como se indica en la Figura 11 reemplazando los vínculos elásticos en los extremos por pares de reacción Mik y Mki. De esta manera, el

problema se reduce al de una viga simplemente apoyada sobre la que actúan, además de cargas transversales los momentos en los extremos. Bajo

tales condiciones de cargas, la viga está sometida a flexión y las tangentes

en sus extremos giran pequeños ángulos ζi y ζk, como puede observarse en la figura. Para la discusión posterior será de mucha utilidad establecer

las relaciones matemáticas entre estos ángulos, los momentos extremos y las cargas transversales sobre el miembro. Tales relaciones se conocen, como las ecuaciones elásticas (Timoshenko, 1981).

La Figura 11 nos muestra, el conjunto de las deformaciones de los nodos de los miembros de una estructura hiperestática reticulada de varios niveles, durante el proceso de deformación, los nodos giran y se desplazan horizontalmente, bajo la acción de las cargas externas dadas. En otras palabras, la estructura se deforma. Así que cualquier nodo i rota un ángulo τi y al mismo tiempo, sufre un desplazamiento lateral relativo δr producido

en cada r – ésimo nivel de piso. Suponiendo que el efecto de las fuerzas axiales se desprecia, esto es, que las longitudes axiales de los distintos miembros de la estructura no se alteran durante el proceso de deformación. A continuación para una mejor ilustración, se muestra la descomposición de la deformación de una viga y una columna genérica, así: La viga i – k se deforma, flexando bajo la acción de las cargas externas aplicadas, suponiendo que los extremos de la misma, están completamente fijos en posición y dirección. En forma equivalente, el miembro se encuentra bajo la acción de un empotramiento perfecto. Figura 11. Giros y desplazamientos de los nudos

Los extremos i – k del elemento se desplazan horizontalmente un valor δik, sin que dichos extremos experimenten nuevo giro.

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En consecuencia,

para todas las vigas.

Por lo tanto, el momento total en el extremo i de la viga i – k vendrá dado por la superposición de los efectos de las Figuras: 11 a, b, c y d. En consecuencia, las componentes escalares del momento total en el extremo de la barra vienen dadas por los siguientes términos:

Momento de empotramiento perfecto en el extremo i de la viga o columna. Momento rotacional en el extremo i debido a la rotación θi del extremo i del miembro i – k.

Momento rotacional en el extremo i debido a la rotación θk del extremo k del miembro i - k.

Luego, los demás parámetros estáticos pueden ser determinados a partir de estos momentos extremos. En consecuencia, el cálculo esencialmente consiste solo en la determinación de los momentos totales actuantes en los extremos de cada miembro. Nosotros nos ocuparemos de la determinación de los momentos rotacionales y de los momentos por desplazamiento lateral. Figura 12. Nudo genérico de una estructura

Particularmente, en cada nodo de la estructura actúan dos momentos, iguales pero de signos contrarios, uno de los cuales, gira con el extremo del miembro, que n adelante analizaremos como momento aplicado en el

referido extremo, y el otro que actúa externamente sobre el nodo en cues-

tión. En otras palabras, las fuerzas y momentos ejercidos sobre los nodos i y k por el miembro son iguales y opuestas a aquellas ejercidas sobre los extremos del miembro (Thadani, 1959). Equilibrio del i-ésimo nodo

(2.1) La ecuación escalar (2.1) establece el “equilibrio de momentos” del nodo i al que concurren m barras de la estructura reticulada.

El primer miembro de la ecuación (2.1) recibe el nombre de “momento de sujeción del nodo i”, resultando:

(2.2)

Reiterando esta operación en los nudos de cada capa mediante un proce-

so secuencial se pueden hallar los valores sucesivos debidos a los giros en los extremos opuestos de las barras que concurren en cada nudo de la capa con la aproximación deseada.

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La expresión (2.2) es la “regla operatoria” para el cálculo de las influen-

cias del giro y desplazamientos de los nodos en forma particular. Sería muy conveniente disponer de una herramienta computacional, que nos permita calcular en forma masivamente paralela (de manera simultánea)

las influencias de los giros y desplazamientos en cada uno de los m nodos de cada una de las capas de columnas o nudos de la estructura reticulada.

Esto generaría, una profunda economía de cálculo y abriría las puertas a

una forma de enfoque similar a la utilizada por el sistema nervioso central de los humanos.

Vamos a calcular separadamente cada uno de los valores del segundo miembro de la Ecuación (2.2), de forma masivamente paralela (simultáneamente), para cada nodo de la primera capa de columnas.

A través de una sucesión secuencial, saltando de una a otra capa de la

estructura de izquierda a derecha, y con la reiteración de una misma ope-

ración, puede llegarse a conseguir el grado de aproximación que se desea en los resultados.

5. Descomposición de la Estructura en Capas Consideraremos la estructura reticulada porticada plana como una red formada por varias capas de nudos. La primera capa la constituyen los nudos ubicados del lado izquierdo de la estructura, donde concurren la

línea de columnas más a la izquierda; y los extremos izquierdos de las

primeras vigas. Esta recibe el nombre de capa de entrada a la red. A continuación, existen una serie de capas intermedias, que junto con la primera

capa reciben el nombre de capas ocultas. La red o estructura reticulada puede tener una o más capas ocultas. La última capa es llamada de salida.

Para el análisis de estructuras reticuladas multinivel, la estructura es di-

vidida en subdominios o subestructuras, (cada estructura o malla reti-

culada derivada tendrá una capa menos, que la precedente). Las cuales

serán procesada masivamente en paralelo en forma separada, pero los subdominios estarán conectados por los momentos rotacionales de los extremos de los miembros y sus nodos son procesadores de memoria distribuida. Cada subdominio está basado en los momentos rotacionales y

sus resultados se obtienen iterativamente en paralelo, a través de aproxi-

maciones sucesivas: De esta manera, podemos conocer las salidas de las capas ocultas de la red reticulada originaria. Pero aun después, de seccionar la estructura (eliminando cada vez la capa más a la derecha) cada modelo de red arrojará sus propios resultados. Valores que se conservarán,

para que opere el siguiente modelo de red y finalmente, se pueda determinar la matriz de los resultados de los momentos rotacionales totales en los extremos de todos los miembros de las estructura (Felippa, 2000). a) Notación

El análisis estructural neuronal requiere de una notación matemática y otra para la representación arquitectónica de capas de las redes. Utili-

zaremos superíndices para identificar las capas de nudos de la estructu-

ra. Específicamente, añadiremos el número de la capa de nudos como un

superíndice a los nombres de cada una de estas variables. Así, el vector formado por los factores de giros correspondientes a los extremos de vi-

gas (factores de distribución de las vigas) de la primera capa o capa de

, y el vector de los factores

entrada es escrito como:

de giros de los extremos derechos de las vigas para la segunda capa es: . Esta notación será utilizada para todas las capas de

la estructura porticada, siendo N el número de niveles del pórtico plano,

contados de arriba hacia abajo (ver Figura 13). Adicionalmente, todos los

nudos que se encuentran en un mismo nivel de piso reciben la misma meración; y se diferencian por el número de la capa a la que pertenecen.

De la misma manera, la red de nudos de la estructura porticada tiene S1

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nudos en la primera capa, S2 nudos en la segunda capa, S3 en la tercera,

hasta SL nudos en la capa de salida de la red o L-ésima capa. Como se pue-

de apreciar capas diferentes suelen tener distintos números de nudos.

La red porticada exhibe varias clases de patrones de conectividad entre

sus elementos (nudos) dependiendo de la localización del nudo dentro del modelo estructural planteado.

Los nudos pueden estar completamente conectados a través de vigas y columnas (alta conectividad) parcialmente conectados (mediana conec-

tividad) o localmente conectados (baja conectividad). En general, todos los elementos de la red están conectados solo por vigas y columnas: El

nudo envía señales de momentos rotacionales a todos los extremos de los miembros que concurren en él.

Figura 13. El modelo estructural y capas constituyentes

h) Modelo estructural En general, los momentos rotacionales en los extremos de los miembros

concurrentes en el i – ésimo nodo correspondiente a la Q – ésima capa de columnas o de nodos de una estructura reticulada de N niveles, son fun-

ciones lineales de los cinco parámetros o argumentos de las expresiones que se muestran a continuación: los momentos de empotramiento per-

fecto de los miembros que concurren al nodo, los momentos rotacionales de los extremos opuestos, los momentos debidos al desplazamiento hori-

zontal de los niveles de pisos, de los factores de distribución rotacionales y factores de distribución debido a los desplazamientos horizontales.

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Siendo, la sumatoria de todos los momentos de empotramiento perfecto en el i – ésimo nudo.

, es el momento rotacional en el extremo de la columna inferior) concurrente en el (i-1) - ésimo nudo. , es el momento rotacional en el extremo izquierdo de la viga concurrente en el i - ésimo y el (i – 1) - ésimo – nodo.

, es el momento rotacional en el extremo derecho de la viga concurrente en los nudos i e (i + 1).

es el momento rotacional en el extremo de la columna inferior concurrente en los nudos i e (i + 1).

. Son los momentos en los extremos de las columnas debido al desplazamiento horizontal del piso.

6. Modelo Matemático en Paralelo A partir de la figura genérica (2.11) determinaremos las salidas típicas de las distintas capas del modelo general, de estructura reticulada. Para ello, vamos a analizar un pórtico reticulado de N niveles y un número genérico de L capas de columnas y nodos.

Comenzaremos nuestro análisis, determinando las salidas de la capa de entrada para el modelo correspondiente al pórtico reticulado plano de N niveles y L capas. Cada nodo de la primera capa del modelo, distribuirá los momentos rotacionales en dos y tres sentidos, según corresponda a un nodo de doble borde (baja conectividad) o de un solo borde (mediana conectividad). En general, los nudos de la primera capa de columnas (capa de nudos) distribuirán momentos rotacionales en 3N-1 (S1=3N-1) extremos de miembros de la estructura reticulada de N niveles. Los valores de

los momentos rotacionales, en los extremos de los distintos elementos estructurales concurrentes en cada nudo de la primera capa de columnas, vienen dados en general, por las siguientes expresiones: a) Salida: 1a capa

Salida nodo 1-Viga:

Salida nodo 1-Col. Inf.:

Salida nodo 1 Col. Sup.:

Salida nodo 2 VIGA:

Salida nodo 2 Col. Inf.: (2-11)

Salida nodo N Col. Sup.:

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Salida nodo N Viga:

Salida nodo N Col. Inf.:

Los caracteres numéricos que acompañan a los términos de los momentos rotacionales, de desplazamiento horizontal y factores de distribución, corresponden a la señalización de las capas, nodos (neuronas) y niveles de la red reticulada del edificio.

Las señales transmitidas por los nudos o momentos rotacionales en los extremos de los miembros concurrentes en las juntas de la segunda capa interna de nudos o columnas vienen dadas por las expresiones que se muestran a continuación (ver Figura 14). b) Salida: 2a capa oculta Salida nodo 1 Viga Izq.:

Nodo 1 Viga Der.:

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Salida nodo 1 Col. Inf.:

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Salida Nodo 2 Col. Sup.:

Salida nodo 2 Viga Izq.:

Salida nodo 2 Viga Der.:

Salida nodo 2 Col. Inf.:

Salida nodo N Col. Sup.:

Salida nodo N Viga Izq.:

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Salida nodo N Viga Der.:

Salida nodo N Col. Inf.:

c) Q-ésima Capa Genérica Los momentos rotacionales en los extremos de los miembros concurrentes en los nodos de la Q - ésima capa interna de nudos vienen dados por las expresiones que se muestran a continuación: Q – ésima capa salida nodo 1 Viga Izq.:

Q–ésima capa salida nodo 1 Viga Der.:

Q–ésima capa salida nodo 1 Col. Inf.:

Q–ésima capa salida nodo 2 Col. Sup.:

Q–ésima capa salida nodo 2 Viga Izq.:

Q–ésima capa salida nodo 2 Viga Der.: (2.31)

Q – ésima capa salida nodo 2 Col. Inf.: (2.32)

Q – ésima capa salida nodo N Col. Sup.: (2.33)

Q – ésima capa salida nodo N Viga Izq.: (2.34)

Q – ésima capa salida nodo N Viga Der.: (2.35)

Q – ésima capa salida nodo N Col. Inf.: (2.36)

d) Capa Salida – L-ésima Capa Los momentos rotacionales (señales transmitidas por los nodos) en los extremos de los distintos miembros concurrentes en los diferentes nodos

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que conforman la última capa de columnas (capa de nodos) de la estructura reticulada, están dados por las siguientes expresiones: L – ésima capa salida nodo 1 Viga Izq.:

(2.37)

L – ésima capa salida nodo 1 Viga Col. Inf.: (2.38)

L – ésima capa salida nodo 2 Viga Col. Sup.: (2.39)

L – ésima capa salida nodo 2 Viga Izq.: (2.40)

L – ésima capa salida nodo 2 Viga Col. Inf.: (2.41)

L – ésima capa salida nodo N Col. Sup.: (2.42)

L – ésima capa salida nodo N Viga Izq.:

(2.43)

L – ésima capa salida nodo N Col. Inf.: (2.44)

7. Conclusiones a) Al plantear las estructuras como constituidas por capas de nudos en lugar de nudos individuales, se impone automáticamente la necesidad de un algoritmo que opere masivamente en paralelo. b) El análisis en paralelo por capas de nodos, disminuye sustancialmente el tiempo de cálculo por las operaciones en paralelo. Elimina la búsqueda de los nodos más desequilibrados; y permite un nuevo agrupamiento de nodos por clases. c) Se necesita de un computador neuronal con una nueva arquitectura, donde los elementos de procesamiento requieren de una memoria local. d) El algoritmo debe tener la capacidad de corrección automática de errores, para mantener la confiabilidad, eficiencia y precisión de los resultados. e) La técnica o tecnología utilizada para el análisis por capas debe garantizar como herramienta el estar disponible para todos los usuarios. f) El algoritmo debe mantener inalteradas todas las propiedades inherentes a los nodos, miembros y a la estructura completa. g) El método utilizado para el análisis masivamente en paralelo acelera el proceso de cálculo si se compara con el análisis de nudos individuales. h) El concepto de baja, mediana y alta conectividad de los nodos, nos habla del compromiso de un nodo de recibir y transmitir un número determinado de señales a los extremos de los miembros concurrentes.

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En consecuencia, nos dice sobre su grado de relación con la vecindad. Estas señales están altamente vinculadas a la rigidez de los miembros que concurren en él. i) La naturaleza de las expresiones algebraicas, que constituyen el modelo matemático para el cálculo de los momentos rotacionales extremos y de los momentos por desplazamiento horizontal, presentan una composición tal, que sus términos pueden transformarse en ecuaciones neuronales de la forma: a = W*p + b

j) El método acepta que la estructura sea dividida en subestructuras o subdominios por la eliminación de una capa de nudos por vez, de derecha a izquierda, lo que permite conocer las salidas de los nodos ocultos.

Capítulo III NEURO-ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS RETICULADAS MULTINIVEL

“Quiero imitar el comportamiento del humano no como lo veo, sino como lo sueña mi imaginación”. L.P.

1. Introducción El análisis neuro-estructural requiere de la adición de un conjunto de conceptos nuevos pero sencillos y de otros clásicos ya definidos. Todos ellos finalmente, se hacen propios de la naturaleza del nuevo enfoque cuyo marco teórico y conceptual, seguidamente presentaremos en una forma sucinta, pero lo más clara posible.

De esta manera, nos centraremos directamente en la elaboración conceptual de las ecuaciones y modelos neuronales, los cuales nos han conducido a una experiencia nueva. En resumen, intentaremos edificar un esquema de unificación sistemática para diferentes contenidos, con el mar de dificultades que de ello se deriva, pero obviamente, debemos intentarlo.

Los modelos ANN son capaces de ejecutar operaciones aritméticas relativamente simples, masivamente en paralelo, con un bajo nivel de exigencia de memoria computacional. Más adelante, intentaremos explicar cómo organizar los problemas del análisis de las estructuras reticuladas de varios pisos desde la perspectiva de los modelos ANN, para de esta manera, dar soluciones adecuadas con alto nivel de precisión a complejos problemas estructurales; garantizando en todos los casos, una contundente y significativa economía de cálculo.

El manejo del concepto de capas de nodos o de neuronas de los diferentes modelos estructurales y neuronales con sus respectivas matrices de los pesos y vectores tendencias, ofrece grandes ventajas operativas, ya que se ejecutan simultáneamente, sobre capas de nodos y no sobre individualidades.

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2. Fundamentos Neuro-Estructurales En esta sección intentaremos sentar las bases necesarias y suficientes, que sustentan el contenido de este texto como desarrollo de un enfoque neuronal para el análisis de estructuras de edificación multinivel. Trataremos de resumir y explicar en forma sucinta, los conceptos claves o fundamentales, para la comprensión de los objetivos de este.

En esta documentación didáctica priman los aspectos cualitativos sobre los cuantitativos. Se pretende facilitar la comprensión de los aspectos topológicos de los modelos estructurales reticulados multinivel, y su sorprendente relación con la topología de un conjunto de modelos de redes neuronales, que operan en serie y que están inspirados en la arquitectura de red estructural originalmente propuesta. También se intenta mostrar hasta donde puede conducirnos el desarrollo de la intuición y el cómo su productividad puede ayudarnos a sortear las singularidades existentes, en uno y otro modelo. No pretendemos aquí, discutir los principios básicos del análisis de estructuras hiperestáticas, como tampoco la plausibilidad de los enfoques convencionales. Queremos mostrar, que es posible utilizar la aplicación del enfoque de las redes neuronales artificiales, para resolver problemas de cualquier complejidad en el campo del análisis estructural.

Tenemos que reconocer que las redes neuronales representan un “estilo” de procesamiento de información, que es visto por muchos investigadores como prometedor con muy importantes potencialidades y beneficios. Estamos conscientes, que durante el proceso de comparación de la tecnología de las redes neuronales con los enfoques convencionales, para el procesamiento de información, debemos tener absoluta claridad acerca de las limitaciones que presenta la computación neuronal en la actualidad. Como por ejemplo, el volumen de las empresas de comercialización

de sistemas de redes neuronales es bastante pequeño, además existen pocos sistemas prácticos de redes neuronales en funcionamiento. Actualmente, casi todas las actividades en este campo están dirigidas a pruebas para el entendimiento de las redes neuronales artificiales; y para desarrollar y demostrar sus capacidades en aplicaciones simples. No obstante, creemos que las condiciones, para que puedan ejecutarse, algunas aplicaciones del enfoque neuronal a problemas de ingeniería, muy particularmente, en el área de la ingeniería estructural y de pronósticos de la vida útil de ciertas construcciones. Las condiciones, para que la solución de tales problemas, de una vez por todas, deje de ser una utopía; y pase a ser una realidad. Actualmente, existe en el mercado internacional, la disponibilidad de software de simulación, aplicables a los modelos convencionales de redes neuronales (DARPA, 1988).

Las redes neuronales electrónicas generalmente existen en forma de simulaciones por computador. Ya que, las mismas son típicamente concebidas como muy grandes. La capacidad para simularlas está limitada por la velocidad y capacidad de almacenamiento disponibles de las computadoras digitales. Algunos investigadores han desarrollado hardware con el propósito de aumentar la velocidad de procesamiento (DARPA, 1988). Pero las condiciones aún no están dadas para facilitar este evento. a) Notación Muchos investigadores y estudiosos de las redes neuronales artificiales tienden a utilizar vocabularios asociados a su especialidad. Como consecuencia, muchos libros y papers de este campo son difíciles de leer; y esto conduce a que, algunos conceptos claves parezcan más difíciles de lo que realmente son. En este libro, trataremos de utilizar la notación estándar, hasta donde sea posible, para ser lo más claro en nuestras descripciones, sin que por ello, tengamos que sacrificar el rigor. Particularmente, debemos intentar defi-

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nir algunas convenciones simbólicas que utilizaremos en forma frecuente:

• Escalares - Letras itálicas minúsculas: a, b, c, p, q, w,...

• Escalares - Letras mayúsculas no itálicas L, N, Q, R, S,…

• Vectores - Letras minúsculas no itálicas negritas: a, b, c,…, n,…p, q,…

• Matrices - Letras mayúsculas no itálicas negritas: A, B, C,…, Q,…, W,…

Posteriormente, iremos introduciendo otras notaciones. b) Definición del modelo de red neuronal primitivo

Entre los objetivos principales de esta sección, está el de establecer los

criterios de diseño del modelo neuro-estructural primitivo. Para cumplir con este propósito se necesita definir algunos conceptos fundamentales

asociados con su arquitectura y su topología particular. Todo ello, toman-

do como principal referencia, el “modelo general de red estructural reticulada multinivel”. A partir de este modelo estructural, sentaremos las

bases para abordar en la forma más completa una exploración, que nos

permita diseñar la topología de los sub-modelos y la síntesis del sistema global.

Para generar el modelo ANN primitivo u originario, nos inspiramos en el

modelo estructural de la Figura 14, apoyándonos en el siguiente axioma: “Los nudos de una estructura reticulada son inteligentes. En consecuencia,

todo nudo es capaz de distribuir las influencias de las cargas actuantes di-

rectamente sobre él, en forma automática, proporcionalmente a la rigidez de cada una de las barras que concurren en el mismo”. Nuestro “modelo neuro-estructural originario o primitivo”, nos ofrece una singularidad extremadamente importante, debido a que mantiene

con el modelo estructural, una relación invariante que está presente en

la estructura investigada. En consecuencia, el modelo de la estructura re-

ticulada multinivel, será utilizado como “inspiración directa para el dise-

ño del modelo de red neuronal artificial primitivo”. La analogía se apoya

en el siguiente procedimiento: repetir (es decir, duplicar) el modelo de red estructural, ubicando en el lugar de cada nudo del modelo estructural

una neurona (respetando así, la correspondencia biunívoca descrita en el axioma).

Durante el proceso de transformación del modelo estructural, en neuronal se eliminan, las conexiones de las columnas entre los nudos. De esta

manera, los dos modelos se diferencian en la conectividad que dan lugar a las columnas. Esta diferencia entre las conexiones de las dos redes, crea

una especial singularidad topológica entre los modelos; pero el efecto, de las conexiones eliminadas será tenido en cuenta en la tendencia de cada neurona o elemento de procesamiento. Conservando de esta manera, la equivalencia física entre los dos sistemas.

Para una mejor ilustración del proceso de transformación del modelo estructural en el neuro-estructural observe la Figura 14, que muestra una

estructura porticada reticulada plana, estáticamente indeterminada de N niveles y un número genérico “L” de capas de nudos sometidos a cual-

quier sistema de cargas provenientes del exterior. Las fuerzas externas son de las clases, distribuidas y concentradas y de los tipos verticales y horizontales; y la figura 14 que muestra, el correspondiente “modelo ge-

neral de red neuronal artificial primitivo u originario multicapa alimenta-

do hacia adelante”, incluyendo las capas ocultas (observe, en el fondo del neuro-modelo estructural el sombreado del modelo estructural). 3. Arquitectura General del Modelo Primitivo

Un modelo de red neuro-estructural artificial primitivo, es una red constituida por elementos de procesamiento simples, cada uno de los cuales

tiene una memoria local. Los elementos de procesamiento (neuronas)

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están conectados, por conexiones unidireccionales que transfieren datos de una neurona a otra en una forma diferenciada. El modelo es una red auto-supervisada, alimentada hacia adelante, cuyo algoritmo no requerirá de un supervisor, ya que por sí mismo, ejecutará el monitoreo inter-

no, para controlar el desempeño de la red, con el uso de una función de transferencia lineal. Se ha encontrado que el modelo de red es un sistema

efectivo para el aprendizaje, que permite el procesamiento de parámetros físicos de carácter estructural, a partir de un vector de entradas cuyas

componentes son factores de giro dados, con características claramente determinadas.

En general, el modelo de red neuronal primitivo está formado por L capas

de procesadores simples. Cada capa tiene su propia matriz diagonal de

los pesos W, su propio vector tendencia b, un vector de entrada neta n

y un vector de salida a. Introduciremos seguidamente, una notación adicional para distinguir las distintas capas. Utilizaremos superíndices para

identificar las capas. Específicamente, añadiremos el número de la capa o estrato como un superíndice de los nombres de cada una de estas varia-

bles. Así, la matriz de los pesos de la primera capa (capa de entrada a la

red) se escribe como W1, y la matriz de los pesos, para la segunda capa se

escribe como W2; y en general, la matriz de los pesos de la Q-ésima capa del modelo primitivo se escribe como WQ. Esta notación, es utilizada en

todas las capas de la red (ver Figura 14).

Las salidas de los nodos (neuronas) de una capa son transferidas a los nodos correspondientes de la otra capa a través de enlaces que excitan o inhiben tales salidas a través de los factores pesos. Excepto, para los nu-

dos de la capa de entrada, la entrada a cada nodo (unidad) es la suma de la salida ponderada de la neurona correspondiente de la capa previa, más la tendencia. Cada nudo es activado en concordancia, con la entrada al

nodo, la función de activación del nudo y el valor de la tendencia del nodo.

Figura 14. Modelo de red neuronal primitivo u originario

Observe, que hemos simplificado la red con cinco neuronas en cascada. En general, cada capa puede tener un número diferente de neuronas, y aun, una función de transferencia diferente. Sin embargo, en los modelos de redes propuestos en este texto, todas las capas tienen la misma función de transferencia lineal. La capa de entrada del modelo primitivo (primera capa de la red), tiene un vector de entrada p con R componentes que son los factores de giro de los extremos de las vigas que concurren en la primera capa de nudos

. La primera capa tiene S1 neuronas, S2 neuronas la segunda, y así sucesivamente hasta la L-ésima capa que tiene SL neuronas. Es difícil, que las capas de un modelo primitivo (aplicado al análisis estructural) puedan tener diferente número de neuronas, pero es posible. Se debe mencionar que la matriz de inicialización de los pesos de conexión de la capa de entrada a la red primitiva es una matriz diagonal de orden cuyos valores iníciales son nulos (momentos rotacionales de los extremos derechos de las vigas ubicadas entre la primera y segunda capa

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de nudos). Mientras que, el vector tendencia (umbral) de la primera capa

tiene S1 componentes conformadas por los momentos de fijación del nudo

o nodo respectivo, los momentos rotacionales de los extremos de columnas

opuestos al nodo en cuestión y los momentos por desplazamiento horizontal de los extremos de columnas (de los entrepisos). El vector tendencia

inicial, tiene todos sus componentes nulas a excepción de la componente momento de fijación del nudo.

En el modelo neuro-estructural primitivo, cada nodo de una capa oculta o de la capa de salida recibe una y solamente una salida proveniente, de la

neurona correspondiente de la capa previa (además de su tendencia). De esta manera, la i-ésima neurona perteneciente a la k-ésima capa de la red,

recibe como entrada la salida de la i-ésima neurona correspondiente a la

(k-1)-ésima capa, o sea, ai(k–1); y por lo tanto, su salida será aik, que a su vez, corresponde a la entrada de la i-ésima neurona localizada en la (k+1)-ési-

ma capa. El procesador simple o neurona procesa la entrada que recibe,

suma el producto de la entrada por su peso de conexión (peso ponderado) con la tendencia (umbral) asociada a la neurona. Luego, la neurona

toma la suma de las entradas ponderadas y produce la salida neta, cuyo valor es el argumento de la función de transferencia lineal (purelin: Toolbox del Matlab).

Las salidas de las capas uno y dos son las entradas a las capas dos y tres. Así, la capa dos puede ser vista como una red de una capa con R = S1 en-

tradas, S = S2 neuronas, y una matriz de los pesos W2 de orden S1 x S2. La entrada a la capa 2 es el vector a1, y la salida es el vector a2.

La L-ésima capa es la salida de la red y la misma, es llamada capa de sa-

lida de la red. Las otras capas son llamadas capas ocultas. En general, el modelo de red neuronal primitivo (red originaria) tiene una capa de salida (L-ésima capa) y (L – 1) capas ocultas (capas: 1, 2, …, (L - 1)).

Para identificar la estructura de la red primitiva multi-capa (feedforward), algunas veces utilizaremos la siguiente notación corta, donde el número de entradas es seguido por el número de neuronas en cada capa (Hagan & Demuth, 1996).

R – S1 – S2 - … - S L

a) Vector de salida del modelo neuro-estructural primitivo Seguidamente, investigaremos las potencialidades del modelo de red neuronal artificial primitivo. El vector de la capa de salida del modelo origi-

nario o primitivo, permite calcular los momentos rotacionales en los extremos derechos de las vigas, que concurren a los nudos de la capa de

salida. Sin embargo, no podemos conocer los momentos rotacionales de

los extremos de las columnas, que concurren igualmente en los nudos de la capa de salida (las neuronas solo pueden generar una salida, y sola-

mente una). Esta limitación nos conduce necesariamente, al proceso de generación de los modelos derivados; y para lograrlo necesitamos ampliar nuestro marco teórico, como lo intentaremos a continuación.

b) Comparación de modelos de red estructural y primitiva neuronal Al comparar los modelos de redes, tanto el estructural como el primitivo neuronal (modelo origen), podemos observar que se pierden las conexio-

nes verticales (conexiones columnas) durante el proceso de generación del modelo de red neuronal primitivo a partir del modelo de red estruc-

tural. Pero no debemos preocuparnos por este hecho, ya que el “vector tendencia” asociado a cada capa del modelo neuronal primitivo y a todas

las redes derivadas de este, toman en cuenta los efectos debidos a las referidas conexiones-columnas, que aparecen en el modelo red estructural

y no están en la red neuronal primitiva. De esta manera, se mantiene la equivalencia entre las dos redes.

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Topológicamente hablando, los modelos de red estructural y neuronal

presentan esquemas con una acentuada semejanza. Y no estamos equivo-

cados, cuando pensamos que existe una relación profunda entre las dos redes estructural y neuronal, de tal manera que, las relaciones entre los nodos de la red estructural y los correspondientes elementos de procesa-

miento de la red neuronal tienen comportamientos similares en función de su ubicación dentro de las redes. Este hecho, nos dice que es posible

que ambas redes puedan procesar igual información y obtener los mismos resultados.

Al comparar las dos figuras pueden apreciarse las diferencias y semejanzas topológicas entre estructural y el modelo de red neuronal: Semejanzas:

• La correspondencia biunívoca entre nodos y neuronas en los dos modelos.

• Coincidencia entre la conectividad horizontal (conectividad entre nodos y vigas del mismo nivel de piso).

• Los dos modelos poseen el mismo número de capas (el número de capas de nodos es igual al número de capas de neuronas).

Diferencias:

• La diferencia entre los dos modelos de red reside, en que el modelo estructural muestra una conectividad vertical entre los nodos extre-

mos de cada columna (propiedad que también puede apreciarse en los modelos de redes neuronales radiales).

• Los nodos conectados a tierra de la red estructural no aparecen en el modelo primitivo (no rotan, ni se trasladan).

Un nodo perteneciente al modelo estructural de un pórtico plano puede transmitir señales en dos, tres y cuatro sentidos, dependiendo de su ubi-

cación en la estructura (nodo de doble borde, de un solo borde, o nodo sin borde o de alta conectividad); mientras que la neurona tiene una sola salida. En otras palabras, emite una única señal. Este hecho, es el que conduce a la propuesta de la mitosis en un plano, para que la neurona madre y las neuronas hijas puedan compensar el total de las señales requeridas.

4. Ampliación del Marco Teórico Neuro-Estructural Vamos a proponer una ampliación del marco teórico neuro-estructural elaborado hasta el momento. Para lograr este objetivo, integramos dos conceptos fundamentales:

a) Fenómeno de la mitosis neuronal En general, los organismos biológicos naturales son mucho más complicados que los dispositivos automáticos. Sin embargo, algunas singularidades que observamos en la organización de los primeros y su manera de ejecutar ciertas operaciones o comportamientos, puede servirnos de referencia para la inspiración de un enfoque para dar solución a una familia de problemas frecuentes en la vida real. El conjunto de experiencias y dificultades que se nos muestran, cuando operamos ciertos dispositivos automáticos, pueden ser originadas en cierta medida, sobre las interpretaciones de los sistemas fisiológicos, principalmente el de los humanos y algunos vertebrados singulares. El hombre se ha inspirado en el sistema nervioso central de los humanos, que es en realidad el más complicado de todos; el cual ha sido fuente de una inspiración biológica que ha conducido a la creación de algunos dispositivos automáticos como las redes neuronales artificiales. Tales dispositivos, presentan algunas veces, ciertas limitaciones en su diseño y operación, cuando se trata de dar solución a una determinada clase de problemas. En consecuencia, podríamos asegurar que, tales sistemas están aún en proceso de evolución. Lo que significa, que está abierto a cambios, o lo que es equivalente; los modelos de redes admiten nuevos

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paradigmas; sin que por ello, se vulneren sus objetivos esenciales, tales como el aprendizaje y el paralelismo masivo.

El sistema nervioso central de los humanos, tiene una ilimitada complejidad. Para su estudio, se toma a las neuronas biológicas como unidades

independientes. De esta manera, se aísla como primera etapa del problema; la estructura y funcionamientos individuales de tales unidades de procesamiento elementales. La segunda parte del problema tiene como

objetivo comprender, de qué modo se organizan las neuronas en un todo

y cómo se expresa ese funcionamiento del todo, partiendo lógicamente de la base de estos elementos de procesamiento de información individuales.

Las neuronas se consideran como dispositivos fisiológicos automáticos

como una “caja negra”, que reacciona ante la presencia de ciertos estímulos y emiten una respuesta como unidades funcionales independientes.

Estas tienen características claramente definidas; es decir, las neuronas reciben señales que pueden ser de dos tipos excitadoras o inhibidoras.

Para estimular a una neurona es necesario, que esta reciba estímulos excitadores. Después de un tiempo determinado, la neurona emitirá “una y solamente una” pulsación de salida (señal).

¿Qué haría usted, si una neurona al igual que un nudo de una estructura, tuviese que transmitir más de una señal distinta a otras neuronas o al

mundo externo? ¿Por qué, si la neurona artificial es realmente, una simplificación muy grande del funcionamiento real de una neurona biológica, no podemos inspirarnos y crear una neurona artificial que vaya más allá, que genere neuronas hijas con el mismo ADN? El ADN de la neurona ma-

dre y las hijas estaría definido por: 1) La misma entrada, proveniente de la neurona correspondiente de la capa previa. 2) Igual vector tendencia y

3) Tendrían la misma función de transferencia. La neurona madre y sus hijas se diferencian solo, en el peso de conexión y en la señal de salida.

En este escenario evolutivo, cabe otra pregunta ¿Será posible pensar en una estructura y funcionamiento neuronal, que incorpore el concepto de la multiplicación neuronal? De ser positiva la respuesta. Entonces, la mitosis podría ser una característica atribuible a las neuronas artificiales, aun cuando, esta propiedad no la comparta esencialmente con su equivalente biológica. Al fin y al cabo, existe una gran variedad de clases de diseños y de técnicas de aprendizaje que se enriquecen con sus propias singularidades, que pueden generar o fabricar los usuarios por sus propios medios y atendiendo sus propias necesidades. No olvidemos, que el campo de las redes neuronales se encuentra en plena fase de evolución y crecimiento; y por lo tanto, para su total desarrollo, falta mucho por hacer. Estamos absolutamente convencidos, que deben darse los escenarios apropiados, para los nuevos paradigmas; y sus posibles aplicaciones, una sola sobre todo, si estos, pueden conducirnos a soluciones de problemas de ingeniería. La síntesis de las neuronas biológicas, es importante y difícil, porque de ella nace el cerebro humano. En él, nos inspiramos para generar los dispositivos electrónicos o redes neuronales artificiales, que constituyen la síntesis de las neuronas artificiales. Las redes neuronales artificiales, se caracterizan por su autonomía y flexibilidad lógica. Ejecutan, al menos una parte de las funciones del sistema nervioso central. La Figura 15 a y b ilustran acerca de las clases de células biológicas, que sirven de inspiración al neuro-análisis de estructuras reticulares multinivel. La primera, es una neurona típica del sistema nervioso del humano. La segunda es una célula de la clase, que conforman el epitelio intestinal y la epidermis. Estas últimas, son células capaces de multiplicarse, para generar a través de la mitosis de una célula madre dos o más células hijas, genéticamente idénticas a la madre. En otras palabras, la mitosis es un proceso de reparto equitativo del material hereditario, ADN.

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Por otra parte, la Figura 15 c, d y e muestran distintas versiones de lo que podría ser la “mitosis de una neurona artificial”. En cada uno de los casos, usted puede apreciar en el fondo el esquema de un nudo típico, de una estructura reticulada multinivel. Cada nudo necesita transmitir: dos, tres y hasta cuatro señales (momentos rotacionales a los extremos de los miembros concurrentes en el nudo respectivo). Solo después del fenómeno de la mitosis, la neurona que lo reemplaza podría satisfacer la demanda del número de señales requeridas. Figura 15. Mitosis neuronas artificiales capa de salida

Si admitimos el anterior planteamiento, entonces hemos cubierto las expectativas de la primera parte de la ampliación del marco teórico de nuestra teoría, donde el ADN de la neurona madre y el de sus neuronas hijas es: ADN = (Entrada común, proveniente de la neurona correspondiente de la capa previa, igual vector tendencia, misma función de transferencia lineal). b) División de la estructura neuronal en subestructuras Para conocer los momentos rotacionales, en los extremos de los miembros que concurren a los nudos de las capas ocultas, el modelo neuro-estructural primitivo debe ser dividido en neuro sub-modelos derivados (sub-dominios). Esto se consigue, eliminando sucesivamente, del modelo originario, cada vez, una capa de neurona de derecha a izquierda. Este proceso se inicia inmediatamente después, de la mitosis que genera el primer sub-modelo. Los (L-1) sub-modelos de red neuro-estructural derivados restantes, se obtienen después de cada división y la respectiva mitosis de la nueva capa de salida del nuevo sub-modelo.

Para el análisis de estructuras hiperestáticas reticuladas multinivel, la estructura original será dividida en subdominios o subestructuras, eliminando una capa de nudos por vez, de derecha a izquierda. En consecuencia, toda sub-estructura o malla reticulada derivada tendrá una capa menos, que la precedente. Cada sub-estructura así obtenida, dará origen a un neuro-modelo estructural (respetando la correspondencia biunívoca entre nudos y neuronas). Como segunda etapa del proceso de formación del sub-modelo neuronal, su capa de salida debe ser objeto de una mitosis neuronal, según los requerimientos de salida de cada nudo de la capa. Todo sub-modelo neuro-estructural así formado, estará conectado con el sub-modelo previo y el posterior. A excepción del primer modelo derivado, que solo estará conectado con el posterior neuro-modelo. Todos los neuro-modelos derivados, así obte-

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nidos, operan de forma masivamente en paralelo y tendrán como vector de salida los momentos rotacionales extremos asociados con los nudos de la capa de salida. El proceso de cálculo de cada red será iterativo y se ejecutará a través de aproximaciones sucesivas; y el mismo será controlado por el algoritmo de aprendizaje. De esta manera, podemos conocer las salidas de las capas ocultas de la red reticulada multinivel originaria. Es importante tener en cuenta, que cada modelo de red arrojará sus propios resultados. Valores que se conservarán, para que opere el siguiente neuro-modelo de red. Finalmente, se obtiene la matriz de los resultados de los momentos rotacionales totales en los extremos de todos los miembros de las estructura (Felippa, 2000). Todos los neuro-modelos derivados tienen el mismo vector de entrada

. Se exceptúa, el neuro modelo derivado de una capa, cuyas componentes de su vector de entrada son todos los factores de giro de los extremos de las barras, que concurren a los nudos de la capa de entrada, o sea, .

5. Primer Modelo Neuro-Estructural Derivado - Mitosis 1 El “modelo de red neuronal artificial primitivo” o “modelo originario”, constituye la fase inicial del desarrollo del enfoque neuronal del “análisis estructural”. Esta red originaria representa el modelo base, que nos permitirá obtener un conjunto de “modelos de redes neuronales derivados”. Partimos del conocimiento previo, que el modelo originario nace del hecho de que existe una “correspondencia biunívoca” entre los nudos del pórtico plano propuesto y las neuronas o elementos de procesamiento del modelo neuronal primitivo. El problema es más sencillo de lo que parece. Primero, tengamos en cuenta que si N ha de ser el número de neuronas de la capa de entrada y de salida de la red originaria, entonces debería ser S1 = N y también, SL = N el número de neuronas respectivamente, de las capas de entrada y de salida de la red. Es así, como la arquitectura de una red está parcialmente determinada por las especificaciones del proble-

ma estructural, incluyendo el número de entradas, el número de salidas

y las características particulares de estas salidas. Y este es precisamente el caso que nos ocupa. Si observamos detenidamente el pórtico plano de N niveles (enumerados de arriba hacia abajo: 1, 2,…, N) y L capas de nodos contadas de izquierda a derecha nos daremos cuenta, que el modelo requiere en cada nodo de tantas salidas como extremos de barras concurran en el nodo (las salidas, son los momentos rotacionales totales en

los extremos de los miembros concurrentes en el nodo). Es evidente que, el elemento de procesamiento correspondiente del modelo primitivo, no está en capacidad por su naturaleza de producir más de una salida. Por lo

tanto, el modelo originario debe ser objeto, de una evolución computacional de su capa de salida y de la multiplicación de sus neuronas.

El estudio del modelo de red neuronal primitivo, nos muestra: S1 = N y SL = N el número de neuronas de las capas de entrada y salida de la red.

Pero también, el modelo estructural (pórtico plano) requiere de dos resultados en los nodos localizados en las esquinas superiores de las capas

de entrada y salida respectivamente dos valores de salida, por ser nudos

de baja conectividad, los momentos rotacionales totales en los extremos

de los miembros que acceden a dichos nodos. Asimismo, los (N - 1) nodos restantes en cada una de las dos capas en referencia, requieren cada uno

de tres resultados o salidas, por ser estos nodos de mediana conectividad.

En conclusión, las capas de entrada y de salida del pórtico plano necesitan cada una de (3N – 1) salidas, lo que es equivalente a decir que debe darse una multiplicación neuronal, de tal manera que, las capas nombradas

tengan finalmente, S1 = (3N - 1) neuronas para la primera capa y además SL = (3N - 1) neuronas en la capa de salida.

La mitosis neuronal del modelo de red primitivo, para la obtención de los diferentes modelos derivados, se ejecutará capa por capa a partir de la capa de salida del modelo originario.

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a) Arquitectura del modelo neuronal mitosis 1 La Figura 16 muestra un esquema general, del modelo de red neuronal artificial, constituida por nodos simples, los cuales tienen una memoria local. Las neuronas están conectadas con conexiones unidireccionales. Excepto la capa de salida, y transfieren datos de una neurona a otra en forma diferenciada. El modelo es una red auto-supervisada, alimentada hacia delante (feedforward) cuyo algoritmo es común al de los otros modelos con los que opera en serie y en consecuencia, no requerirá de un supervisor ya que por si mismo, ejecutará el monitoreo interno, para controlar el desempeño de la red, con una función de transferencia lineal. Se ha comprobado que el modelo de red es un sistema efectivo y autónomo, que permite el procesamiento de parámetros físicos de carácter estructural a partir de un vector de entrada. El algoritmo, es común para todos los modelos ANN con que opera. Exceptuado el vector de entrada del modelo de una sola capa de neuronas. Las componentes del vector de entrada son los factores de distribución de los momentos rotacionales, con características claramente determinadas. Estos factores pertenecen a las vigas y columnas pertenecientes a la primera capa. Figura 16. Modelo derivado mitosis 1

6. Sub-Modelos Derivados - Neuro Modelo Como se expresó en la Sección 4 literal (b). Para conocer los momentos rotacionales, en los extremos de los miembros que concurren a los nudos de las capas ocultas, el modelo neuro-estructural primitivo debe ser dividido en neuro sub-modelos derivados (sub-dominios). Esto se consigue, eliminando sucesivamente, del modelo originario, cada vez, una capa de neurona de derecha a izquierda. Este proceso se inicia inmediatamente después, de la mitosis que genera el primer sub-modelo. Los (L1) sub-modelos de red neuro-estructural derivados restantes, se obtienen después de cada división y la respectiva mitosis de la nueva capa de salida del nuevo sub-modelo. Las salidas de las neuronas de una capa son transferidas a los nodos correspondientes de la capa siguiente a través de conexiones locales que excitan o inhiben tales salidas a través de factores de peso. Excepto, para los elementos de procesamiento de la capa de entrada y neuronas de la capa de salida. La entrada de cada neurona es la suma de las salidas ponderadas de los nodos (neuronas) en la capa previa más la tendencia correspondiente.

Cada neurona o elemento de procesamiento es activado en concordancia con la entrada a la neurona, la función de activación del nodo y el valor de la tendencia o umbral de la neurona. Como vemos en la Figura 16 el modelo neuronal Mitosis 1, está compuesto por L capas, al igual que su primitivo, pero se diferencia de este en el número de neuronas de la capa de salida. La capa de entrada LE consta de un arreglo de S1 = N neuronas, una capa de salida SL que contiene SL = 3N - 1 elementos de procesamiento. Entre las capas de entrada LE y de salida LS se encuentran (L – 2) capas ocultas. Cada capa tiene su propia matriz de los pesos W su propio vector tendencia b , un vector de entrada neta n y un vector de salida a . a) Arquitectura del modelo neuronal mitosis 2 A continuación en la Figura 17 se muestra un esquema general, del mo-

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delo de red neuronal artificial, constituida por nodos simples, los cuales tienen una memoria local. Las neuronas están conectadas unidirecciona-

les. Excepto la capa de salida, y transfieren datos de una neurona a otra en forma diferenciada. El modelo es una red auto-supervisada, alimentada

hacia delante (feedforward) cuyo algoritmo es común al de los otros modelos con los que opera en serie y en consecuencia, no requerirá de un

supervisor ya que por sí mismo, ejecutará el monitoreo interno, para con-

trolar el desempeño de la red, con una función de transferencia lineal. Se

ha comprobado que el modelo de red es un sistema efectivo y autónomo,

que permite el procesamiento de parámetros físicos de carácter estruc-

tural a partir de un vector de entrada fijo, también común para todos los modelos con que opera conjuntamente. Exceptuado el vector de entrada

del modelo de una sola capa de neuronas. Las componentes del vector de entrada son los factores de distribución de los momentos rotacionales, que son parámetros físicos con características claramente determinadas.

Las salidas de las neuronas de una capa son transferidas a los nodos co-

rrespondientes de la capa siguiente a través de conexiones locales que excitan o inhiben tales salidas a través de factores de peso. Excepto, para los elementos de procesamiento de la capa de entrada y neuronas de la

capa de salida. La entrada de cada neurona es la suma de las salidas pon-

deradas de los nodos (neuronas) en la capa previa más la tendencia co-

rrespondiente. Cada neurona o elemento de procesamiento es activada en concordancia con la entrada a la neurona, la función de activación del nodo y el valor de la tendencia o umbral de la neurona.

En la Figura 17 el modelo neuronal Mitosis 2, está compuesto por (L – 1) capas, o sea, que posee una capa menos que el modelo primitivo y que el de Mitosis 1. la capa de entrada LE es un arreglo de S1 = N neuronas, una

capa de salida LS que contiene S(L–1) = 4N – 1 elementos de procesamiento. Entre las capas de entrada LE y de salida LE se encuentran (L – 3) capas

ocultas. Cada capa tiene su propia matriz de los pesos W, su propio vector tendencia b, un vector de entrada n y un vector de salida a. Figura 17. Modelo derivado mitosis 2

b) Arquitectura del modelo neuronal mitosis Q-ésima A continuación en la Figura 18 se muestra un esquema general, del modelo de red neuronal artificial, constituida por nodos simples, los cuales tienen una memoria local. Las neuronas están conectadas con conexiones unidireccionales. Excepto la capa de salida. Las neuronas transfieren datos de una neurona a otra en forma diferenciada. El modelo es una red auto-supervisada, alimentada hacia delante (feedforward) cuyo algoritmo es común al de los otros modelos con los que opera en serie y en consecuencia, no requerirá de un supervisor ya que por sí mismo, ejecutará el monitoreo interno, para controlar el desempeño de la red, con una función de transferencia lineal. Se ha comprobado que el modelo de red es un sistema efectivo y autónomo, que permite el procesamiento de parámetros físicos de carácter estructural a partir de un vector de entrada, también común para todos los modelos con que opera conjuntamente. Excep-

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tuado el vector de entrada del modelo de una sola capa de neuronas. Los componentes del vector de entrada son los factores de distribución de los momentos rotacionales, con características claramente determinadas. Las salidas de las neuronas de una capa son transferidas a los nodos correspondientes de la capa siguiente a través de conexiones locales que excitan o inhiben tales salidas a través de factores de peso. Excepto, para los elementos de procesamiento de la capa de entrada y neuronas de la capa de salida. La entrada de cada neurona es la suma de las salidas ponderadas de los nodos en la capa previa más la tendencia correspondiente. Cada neurona o elemento de procesamiento es activada en concordancia con la entrada a la neurona, su función de activación del nodo y el valor de la tendencia o umbral de la neurona. Figura 18. Modelo derivado Q-ésima mitosis

Si observamos la Figura 18 el modelo neuronal Q-ésima Mitosis, está formada por Q capas; la capa de entrada Le es un arreglo de S1 = N neuronas, una capa de salida Ls que contiene SQ = 4N – 1 elementos de procesamiento. Entre las capas de entrada Le y de salida LsQ, se encuentran (Q – 2) capas ocultas, que en general poseen N neuronas cada una. Cada una tiene

su propia matriz de los pesos W, su propio vector tendencia b, un vector de entrada neta n y un vector de salida a. c) Arquitectura del modelo neuronal de una capa L-ésima mitosis La Figura 19 muestra un esquema general, de un modelo de red neuronal artificial de una capa, constituida por elementos de procesamiento simples, los cuales tienen una memoria local. Las neuronas están conectadas con el mundo exterior. Figura. 19. Mitosis primera capa

El modelo es una red auto-supervisada, cuyo algoritmo de aprendizaje es el mismo utilizado por los modelos restantes. Se ha comprobado que el modelo de red es un sistema efectivo y autónomo, que permite el procesamiento de parámetros físicos de naturaleza estructural a partir de un vector de entrada cuyas componentes son llamadas factores de distribución de los momentos rotacionales, con características predeterminadas.

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Las salidas de las neuronas de una capa son transferidas directamente al mundo externo. La entrada de cada unidad de procesamiento es la suma ponderada de las componentes correspondiente del vector de entrada más la tendencia asociada a la neurona. Cada elemento de procesamiento de la capa es activado en concordancia con la entrada, ponderada proveniente del entorno, la función de activación o de transferencia de la neurona y el valor de la tendencia o umbral del elemento de procesamiento.

En la Figura 20 el modelo neuronal de una capa, está compuesto por S1 = 3N – 1 neuronas. La capa tiene su propia matriz de los pesos W1, su propia tendencia b1, un vector de entrada neta n1, un vector entrada p de 3N – 1 componentes y un vector de salida a1.

7. Ventajas de los modelos ANN Una vez terminada la ampliación de nuestro marco conceptual, haremos el examen de los fundamentos teóricos de las redes neuronales, que nos han permitido llegar a la conclusión sobre sus ventajas comparativas (DARPA, 1988), tales como: • Adaptabilidad y capacidad de aprender: Su adaptabilidad y capacidad de aprender, además de su paralelismo masivo, le permite ejecutar muchas operaciones simples en forma automática.. • Maduración de la investigación: Esta maduración tiene tres fuentes: (a) el desarrollo de las nuevas herramientas de computación; (b) el avance logrado en algunas teorías matemáticas; y (c) el crecimiento del entendimiento de la neurobiología. • Centrar la investigación en entrenamiento y criterio de desempeño: Existen teorías matemáticas para el entrenamiento de las redes neuronales. Para las redes con un modesto número de elementos de procesamiento y aun, para aquellas redes que contienen millones de neuronas.

El poder de cálculo de las neuronas por sí solas es muy limitado. Esto

100

quiere decir, que si la red está hecha con estas unidades de procesamiento o nodos y debe resolver tareas muy complejas, su robustez consistirá en algo adicional diferente a las neuronas simples, llámese, la interacción entre sus unidades. Así, la interacción requerirá de una topología para la red. La conectividad y el sentido de flujo (feedforward, para nuestro caso) que depende de la naturaleza del modelo de red neuronal que está siendo utilizado (Hrycej, 1992) y (Lippman, 1987). Determinar la topología adecuada es esencial para la aplicación de las redes neuronales artificiales, especialmente para el cálculo del número de nodos ocultos. El diseño de las redes neuronales principalmente consta de dos partes: una es el diseño de la topología, incluyendo el número de capas ocultas, número de nodos y la manera como los nodos están conectados; la otra, es el entrenamiento de las redes neuronales (Liang & Lu, paper 19, 2005).

El campo del análisis estructural, y de alguna manera lo hemos demostrado, ofrece un ambiente adecuado para la aplicación de las redes neuronales a alguna clase de problemas, que manual o computacionalmente presentan distintas complejidades. Tales como: precisión, tiempo de respuesta, adquisición del conocimiento (tiempo para adquirir el conocimiento, diseñarlo, construirlo, ajustarlo y prueba), confiabilidad, características físicas. En resumen, se trata de presentar una descripción de la aplicabilidad de la computación de los modelos de redes neuronales artificiales, para determinar los momentos rotacionales en los extremos de los miembros de una estructura reticulada de varios niveles. Para lo cual, se ha configurado un sistema de redes y se han seleccionado los factores de giros, como parámetros de entrada a los distintos especímenes, son los responsables de la distribución de momentos rotacionales en cada extremo de barra. Los momentos rotacionales en los extremos de los miembros concurrentes en los nodos de una estructura reticulada, son una función de los momentos de empotramiento perfecto, los giros de los nudos, los desplaza-

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mientos horizontales de los extremos de columnas y las rigideces de los diferentes elementos concurrentes. En este texto se presenta un esquema estructural reticulado general, para la simulación estructural y subestructural con el fin de realizar el análisis del modelo. Con este propósito se presentó una teoría neuro-estructural para la aplicación de la computación de las redes neuronales artificiales para determinar los momentos totales rotacionales en los extremos de los elementos (vigas y columnas). A tal efecto, se deben simular modelos neuronales de la estructura completa y simulaciones de subestructuras (modelos neuronales derivados con capas o partes similares a la estructura original). Todos los especímenes neurológicos, se obtienen a partir de la división de la estructura en sub-dominios o sub-estructuras y de la mitosis neuronal del modelo neuronal primitivo, o de cualquier otro, obtenido previamente inspirado en la red originaria. Combinando adecuadamente los resultados de las salidas de los diferentes modelos derivados, se obtienen como resultados los momentos totales rotacionales en los extremos de vigas y columnas, reproduciendo de esta manera, el comportamiento de todo el sistema estructural. En realidad, la computación neuronal artificial nos ofrece una alternativa de simular la estructura original y sub-estructuras, en donde el sistema estructural se divide en especímenes derivados del modelo neuronal primitivo, con la ayuda de la mitosis neuronal. Combinando la simulación de los sub-modelos derivados a partir del modelo primitivo neuronal de la estructura original, puede reproducirse el comportamiento de la estructura completa. En otras palabras, a partir de la idealización de distintos modelos neuro-estructurales, se logra obtener el análisis estructural del edificio completo.

Un modelo de pórtico estructural en el plano, es una clase de “estructura reticulada hiperestática multinivel.” En otras palabras, es una red de nudos interconectados entre sí (por vigas y columnas: neuro-conductores).

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De la misma manera, un modelo de capas de neuronas obtenido, a través de, la aplicación del axioma de la correspondencia biunívoca de nudos y

neuronas, es una red de neuronas interconectadas unas con otras. Topológicamente hablando ambos modelos tienen esquemas bastante similares, debido a que la primera red nos muestra las relaciones entre “nudos”,

mientras que el segundo modelo nos enseña, acerca de las posibles relaciones entre “neuronas”. Entonces, bien podríamos pensar, que la topolo-

gía de las dos clases de “modelos conexionistas,” nos conduce a deducir

que ambas redes podrían tratar en algunos casos cuestiones similares. Es verdad que los dos modelos de redes presentan una significativa diferencia topológica, en la conectividad de las columnas (conectividad que no existe en el caso de la red neuronal); pero no es menos cierto, que la referida dificultad queda superada, cuando el efecto que produce la

conectividad de las columnas en la red estructural, es sustituido en los

neuro-modelos estructurales, al incluir sus efectos conexionistas como componente de la tendencia de cada neurona que conforman las distintas capas de la red neuronal.

Siendo así, el nodo estructural actúa como un procesador local de infor-

mación, el cual distribuye proporcionalmente los momentos rotacionales extremos acumulados en el nudo, entre los distintos miembros que con-

curren en él. Expresado en otros términos, el nodo asigna cuotas de mo-

mentos rotacionales a los nudos de su vecindad en función de la rigidez de estos. Pero no podemos perder de vista, que a su vez, el nudo recibe información de su entorno (nodos vecinos). Este hecho, nos sirvió de inspiración para proponer este enfoque. 8. Sistemas de Redes

El análisis neuro-estructural es una nueva alternativa que se apoya en dos estrategias: la división del pórtico en sub-estructuras o sub-dominios y la mitosis de la capa de salida de los sub-modelos.

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El primer sub-modelo derivado es el llamado ANN-I (mitosis 1) como se muestra en la Figura 20. ANN-I calcula los momentos rotacionales en los extremos de los miembros que concurren en la última capa de nudos de la estructura o capa de salida de la red. El sub-modelo ANN-II (mitosis 2) calcula los momentos rotacionales en los extremos, que concurren en los nudos de la penúltima capa, o capa de salida de la red; y así, sucesivamente, hasta la simulación del sub-modelo ANN-L (sub-modelo de red neuronal unicapa), que calcula los momentos rotacionales en los extremos de los miembros que concurren en los nudos de la primera capa de la estructura original. El sistema de modelos ANN que opera en serie queda bien ilustrado en la Figura 20 donde se muestran los ANN que requieren de la división de la estructura original en subdominios; y también se presenta el primer modelo derivado que apenas necesita de la mitosis de la capa de salida. Figura. 20. Arquitectura del sistema de redes

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a) Sistema de modelos neuro-estructurales que operan en serie “La división secuencial del modelo neuro-estructural primitivo, conjuntamente con la mitosis neuronal es un mecanismo mediante el cual, se genera un sistema de sub-modelos neuronales híbridos, capaces de dar lugar a un proceso de registro de ingreso, procesamiento, almacenamiento y salida de información proveniente de los medios internos y externos de una estructura reticulada plana de varios niveles”. Ver la Figura 21 que se muestra en forma simplificada. Figura 21. Sistema de sub-modelos neuronales en serie

“Cada sub-modelo neuronal perteneciente al sistema de modelos, tiene una capa de neuronas menos que el modelo que le precede; y una capa de neurona más, que el modelo neuronal que le antecede”. “El primer sub-modelo neuronal derivado se diferencia del sub-modelo neuro-estructural primitivo, apenas en su capa de salida. A partir de esta diferenciación, cada modelo derivado se diferencia del anterior en su or-

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den cronológico, y en que tiene una capa de neuronas menos que este; y posiblemente en el número de neuronas de su capa de salida”.

“Todos los modelos neuronales al igual que su primitivo tienen el mismo vector de entrada. Se exceptúa, el modelo derivado de una capa, el cual tiene un vector de entrada con un número de componentes igual al número de neuronas del modelo unicapa”. 9. Conclusiones a) La simulación de los modelos ANN está relacionada directamente con los métodos directos del análisis estructural, es decir, conociendo las entradas. b) La identificación, está asociada con el análisis inverso de las estructuras, es decir, si son conocidas las entradas (factores de giro) y la respuesta de las redes (momentos rotacionales) se pueden conseguir algunas características de la estructura. c) Existe una gran facilidad para el diseño de la red primitiva inspirada en el simple modelo reticulado de la estructura propuesta; ya que esta sugiere en forma automática la topología de la red neuronal, tipo de conectividad y hasta el número de capas ocultas y el número de neuronas constituyentes. d) El diseño de los distintos modelos de redes neuronales artificiales es enormemente didáctico, ya que a partir del modelo primitivo se obtiene el diseño de la topología de cada ANN, incluyendo número de capas ocultas, número de neuronas por capa, y el modo como estas se conectan. e) En general, el algoritmo de aprendizaje auto-supervisado es común para todos los modelos ANN. Apenas se diferencian en las sentencias que definen la arquitectura individual. f) Los modelos ANN se conectan en serie permitiendo la interacción entre redes neuronales artificiales con diferentes arquitecturas (distintos número de capas) y formas de conectividad.

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g) Todos los modelos ANN son lineales, lo que reduce significativamente la complejidad de los cálculos y del diseño neuronal. h) La multiplicidad de modelos ANN operando en serie apoyados en el proceso de la mitosis, que genera las neuronas híbridas, resuelve el enigma de las salidas desconocidas de las neuronas pertenecientes a las capas ocultas. La mitosis permite conocer por lo menos en este caso salidas que complicaban la aplicación de las redes al análisis estructural. i) El ADN de las neuronas híbridas madre e hijas, producto de la mitosis está constituido por: La entrada no ponderada proveniente de la neurona correspondiente de la capa previa. Por la tendencia de las neuronas madre y de las hijas, producto de la multiplicación y,

La función de transferencia de la neurona madre y de las hijas. j) La diferencia esencial entre las neuronas madre e hijas, como resultado de la mitosis está constituida por el factor de reparto o giro. k) Los distintos modelos ANN feedforward (obtenidos después de las mitosis), pueden ser resueltos bidireccionalmente o en cuatro sentidos, o lo que es equivalente, pueden tener cuatro capas de entradas posibles (capa de nodos de la izquierda, capa de nodos de la derecha, capa de nodos superior y capa de nodos o vigas del nivel inferior o N). Sin embargo, los resultados no se alteran; aun cuando, si cambian los vectores de entrada a la red, que dependen de los correspondientes factores de distribución.

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APÉNDICES

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APÉNDICE A Simulación Manual

Simulación Manual de la Red La “tecnología de las redes neuronales artificiales” nos revela el mundo y sus realidades; desde el reconocimiento de estilos de escrituras hasta la determinación de la calidad de productos y sus materias primas, control de procesos y el cálculo de los parámetros de calidad.

Pero lo más sorprendente de las redes neuronales está en su capacidad de ser aplicadas a una amplia variedad de problemas en múltiples campos la hace ser una tecnología bastante atractiva. Dentro de la gama de posibilidades probaremos su capacidad de distribuir momentos tal y lo realizan los nodos de un pórtico de un edificio de varios vanos. Como por ejemplo, la distribución de los momentos correspondientes a una estructura para un edificio de varios pisos. La red sabe compartir las solicitaciones externas; y es lo suficientemente inteligente como para diferenciar entre los diversos valores de las medidas del pórtico. Por ejemplo, el valor del momento de empotramiento perfecto en el extremo de un miembro de la estructura, difiere de los factores de giro que residen en el nodo donde concurre el extremo de la barra en cuestión. La red bien puede diferenciar las medidas y función de estos valores.

Las características de los distintos pisos del pórtico son parámetros, algunos de ellos son ajustados por la red durante su proceso de aprendizaje o entrenamiento. Después de ajustar los parámetros, tendencias y pesos, la red ha conseguido su objetivo central: ‘su entrenamiento’. Nos gustaría, conocer más, ya que es evidente, que no todas las estructuras tienen exactamente el mismo comportamiento. Los nodos asociados a un edificio de varios pisos muestran los factores de distribución y la diferencia entre cada uno de sus valores. Es claro que existe siempre, diferencias considerables entre los distintos valores que concurren en un nodo; y por

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supuesto entre dos cualesquiera de ellos. Estas variaciones, tienen que ser claramente identificadas por la red neuronal. Los cálculos iterativos que se muestran a continuación, se apoyan en los datos suministrados en el Capítulo 2.

El pórtico analizado se corresponde con una representación paramétrica bidimensional. En consecuencia, se necesitan dos coordenadas para especificar un nodo particular en el plano. En tal determinación se conviene en asignar números a los nodos donde concurren los miembros (vigas y columnas). En líneas generales, consideramos el pórtico estructural como una superficie formada por “nodos y barras”. Utilizando el lenguaje de la geometría euclideana, podemos hablar de una entidad bidimensional a la cual podemos aplicar una variedad de razonamientos de la ingeniería estructural, con la esperanza de encontrar “un algo” interesante. Las investigaciones pudieran sugerirnos el desarrollo de un sencillo y rápido método de cálculo en paralelo, para resolver pórticos ortogonales con nodos indesplazables. Durante el proceso se ejecutarán varias iteraciones, hasta cuando se logren las salidas adecuadas de la red neuronal con una aproximación aceptable. Si ello es posible, entonces, adelantaremos una investigación más profunda y especializada. Las iteraciones que siguen, presentan una descripción del proceso que debería realizar una red neuronal artificial diseñada para tal fin. Estimamos que los resultados aquí alcanzados, constituyen un logro nada despreciable, acerca de la posible aplicación de la teoría de las redes neuronales a las estructuras reticuladas ortogonales.

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Datos de la Estructura Modelo FACTORES DE GIRO

MOMENTOS DE FIJACIÓN M21 = -2.40

M22 = -6.20

M23 = -6.20

M21 =-6.20

M32 = +3.20

M33 =+3.20

M31 =+11.80

M42 = +11.80

M43 = +11.80

M12 = -2.40

M13 = -2.40

PARÁMETROS PRIMERA ITERACIÓN Al ejecutarse “cualquier iteración” de la red neuronal artificial, automáticamente se generan un conjunto de parámetros ajustables, los cuales no solo caracterizan la iteración en cuestión, sino que también, intervienen en los cálculos sucesivos de las salidas de las distintas capas de la red.

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Entre los parámetros a ser generados por las distintas iteraciones que se intenten ejecutar se encuentran: - Los pesos de conexión de la primera capa. - Cálculo de las influencias de cada una de las columnas de la estructura, que se encuentran hipotéticamente alineadas con cada una de las capas de la red, (Mkjci y MK2jcs). - La retropropagación de las influencias de la k-esima capa sobre la (k1)- ésima capa que inmediatamente le antecede y la propagación hacia adelante sobre la (k+l)-ésima capa. - Cálculo de las tendencias como parámetros ajustables de las distintas capas de la red. Los pesos de las conexiones de las neuronas correspondientes a las capas segunda, tercera y cuarta son constantes, de valores:

Pesos segunda capa µ21d = - 0.214 µ22d = -0.200 µ22d = 0.200M µ23d = -194 Pesos tercera capa µ32d =- 0.462 µ32d = -222 µ32d = -.207 Pesos cuarta capa µ42i = -0.429 µ43i = -0.353

Las tendencias correspondientes a las neuronas de la primera, segunda, tercera y cuarta capa son parámetros ajustables, así como, los pesos de las conexiones de la primera capa o capa de entrada.

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SALIDAS Primera Capa Pesos de Conexión: = M21i = M22i = M23i = M23i = 0 a11 = purelin (b11) = purelin (M21 µ11d) = purelin [(-2.40)(-0.469)] = +1.1256 a12 = purlin (b12) = purelin (M12 µ12d) = purelin [(-2.40)(-0.416)] = +0.9984 a13 = purelin (b13) = purelin (M13 µ13d) = purelin [(-2.40)(-0.394)] = +0.9956

Segunda Capa Pesos de Conexión: µ21d = -0.214; µ22d = -0.200; µ33d = -0.194 a21 = purelin (a11 µ21d + b21) = purelin [(a11 + M21 ) µ21d)] = purelin [(1.12566.20)(-0.214)] = +1.0859 a22 = purelin (a12 µ22d + b22 ) = purelin [(a12 + M22) µ22d)] = purelin [(0.99846.20)(-0.200)] = +1.0403 a23 = purelin ( a13 µ23d + b23) = purelin [(a13 + M23) µ33d)] = purelin [(0.94566.20)(-0.194)] = +1.0194 Tercera Capa Pesos de Conexión: µ31i = -0.462; µ32i M32i = -0.222; µ33i = -0.207 a31 = purelin (a21 µ31i + b31) = purelin [(a21 + M31) µ31i)] = purelin [(1.0859+11.80) (-0.462)] = -5.9533 a32 = purelin ( a22 µ32d + b32) = purelin [(a22 + M32) µ32d)] = purelin [(1.0403+3.20) (-0.222)] = -0.9413 a33 = purelin (a23 µ33d + b33) = purelin [(a23 + M33) µ33d)] = purelin [(1.0194+3.20) (-0.207)] = -0.8734

Cuarta Capa Salida de la Red Pesos de Conexión: µ42i = -0.429; µ43i = -0.353 a42 = purelin ( a32 µ42i + a33) = purelin [(a32 + M42) µ42i)] = purelin [(-0.9413 + 11.80)(-0.429)] = -4.6587 a43 = purelin (a33 µ42i + b43) = purelin [(a33 + M42) µ43i)] = purelin [(-0.8734 + 11.80)(-0.353)] = -3.8571

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PARÁMETROS SEGUNDA ITERACIÓN a) Vigas Ajuste pesos primera capa

b) Columnas Primera Capa

Segunda Capa

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Tercera Capa

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Cuarta Capa

TENDENCIAS – 2º ITERACIÓN Primera Capa

Segunda Capa

Tercera Capa

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Cuarta Capa

SEGUNDA ITERACIÓN

Salidas Primera Capa

Segunda Capa

Tercera Capa

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Cuarta Capa

PARÁMETROS DE LA TERCERA ITERACIÓN a) Vigas Ajuste pesos primera capa

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b) Columnas Primera Capa

Segunda Capa

Tercera Capa

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Cuarta Capa

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TENDENCIAS – 3º ITERACIÓN Primera Capa

Segunda Capa

Tercera Capa

Cuarta Capa

TERCERA ITERACIÓN

Salidas Primera Capa

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Segunda Capa

Tercera Capa

Cuarta Capa

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APÉNDICE B Diseño y Estructuración

NOTACIÓN La estructura de cualquier capa de una red neuronal está sujeta al “modelo de neurona artificial universalmente aceptado”. Para desarrollar la “estructura modelo de la capa de entrada a la red”, debemos recordar que, ya, se ha denotado el peso de conexión a la i-ésima neurona de la primera capa de red por M2ki (i, significa hacia la izquierda). Por ejemplo, para la barra genérica i-k del pórtico: i es el extremo izquierdo o neurona destino y k es el extremo derecho de la barra i.k o neurona fuente. En consecuencia, según la notación empleada, M2ki (momento en el extremo i debido al giro del extremo k de la barra i-k). de todo lo anterior, se deduce la siguiente ampliación de la notación: M21i: es el peso de conexión de la neurona 1 de la capa de entrada, o también, momento aportado al extremo 1 de la barra debido al giro del extremo derecho (otro extremo).

M22i: es el peso de conexión de la neurona 2 de la primera capa de la red, o momento en el extremo 2 de la barra debido al giro del otro extremo (el derecho).

M2(S1): Peso de conexión de la última neurona de la primera capa (neurona S1 – ésima), o también, momento en el extremo S1 de la barra debido al giro de su extremo derecho. Mkjd: Factor giro del nodo i, correspondiente a la k-ésima capa de la red a la derecha. Mkji: Factor de giro del nodo j de la capa de salida de la red, que se propaga hacia el extremo izquierdo de la viga.

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Mki: Momento de fijación en el i-ésimo nodo correspondiente a la k-ésima capa. Mknci: Influencia sobre el nodo j debido al giro del extremo opuesto de la columna inferior, que concurre al j-ésimo nodo.

Mkjcs: Influencia sobre el nodo j debido al giro del extremo opuesto de la columna superior, que concurre al j-ésimo nodo.

Conocidas las entradas y las clases de tendencias existentes para la primera capa, podemos proponer la estructura, para la capa de entrada correspondiente a pórticos ortogonales de varios pisos, con nodos indesplasables. En consecuencia, podemos también proponer una configuración para las restantes capas ocultas y capa de salida de la red. Modelo matemático-neuronal A continuación presentamos un modelo matemático-neuronal para las distintas iteraciones de la red propuesta:

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APÉNDICE A  Notación

 A.1. Conceptos básicos A.1.1. Escalares: letras minúsculas itálicas: a, b, c A.1.2. Vectores: letras minúsculas negritas, itálicas: a, b, c A.1.3. Matrices: A, B, C  A.2. Redes neuronales A.2.1. Matriz de los pesos

A.2.2. Vector tendencia

A.2.3. Vector de entrada

A.2.4. Vector entrada neta

A.2.5. Vector de salida

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A.2.6. Función de transferencia

A.2.7. Vector error

A.2.8. Tamaños y dimensiones Número de capas: L Número de neuronas por capa: Sk Dimensión del vector de entrada: R A.2.9. Vector de los parámetros Vector: x En iteración: x(k) o xk

 A.3. Análisis estructural A.3.1. Momentos de empotramiento

A.3.2. Momento rotacional del nudo n capa l Extremo viga izquierda: MRlnviz Extremo columna superior: MRlncs Extremo viga derecha: MRlnvd Extremo columna inferior: MRlnci

A.3.3. Momento desplazamiento horizontal capa l

A.3.4. Coeficiente de rigidez

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A.3.5. Factores de giro

A.3.5.1. Extremo viga izquierda A.3.5.2. Extremo columna superior A.3.5.3. Extremo viga derecha A.3.5.4. Extremo columna inferior

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 Modelo matemático neuro-estructural en paralelo  B.1. Introducción La Figura 13, muestra un modelo general de estructura reticulada de N niveles o pisos y un número genérico de L capas de nudos contadas de izquierda a derecha, como se denota en la figura. Todos los nudos per-

tenecientes al nivel de piso más alto se enumeran con el número 1, los correspondientes al penúltimo nivel de piso con el número 2 y así, suce-

sivamente, hasta llegar al nivel más bajo cuyos nudos se nombrarán to-

dos, con el número entero N. Las capas de nudos se enumeran en forma ascendente partiendo con el número 1 de izquierda a derecha hasta el número L.

Comenzaremos nuestro análisis, determinando las salidas o momentos

rotacionales en los extremos de los miembros concurrentes en los nudos de la capa de entrada (la localizada más a la izquierda de la figura). Por lo

tanto, los nudos de la primera capa del modelo, distribuirán en forma inteligente los momentos rotacionales en dos y tres sentidos en cada nudo,

según corresponda a un nudo de doble borde (baja conectividad) o de un solo borde (mediana conectividad). Ver las figuras de los nudos en el espacio y en el plano.

En general, los nudos de la primera capa distribuirán los momentos ro-

tacionales en los extremos de 3N-1 (S1=3N-1) miembros de la estructura

reticulada de N niveles y L capas.

Los momentos rotacionales en los extremos de los distintos elementos estructurales concurrentes en cada nudo de la primera capa vienen dados, por las siguientes expresiones matemáticas neuro-estructurales:

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APÉNDICE B

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 B.2. Momentos rotacionales en los extremos de las barras B.2.1. Salidas de la primera capa B.2.1.1. Nudo 1 capa 1 Ecuación estructural viga

Entrada: Peso: Tendencia: Ecuación neuronal extremo de viga:

Ecuación estructural columna inferior:

Entrada: Peso:

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Tendencia: Ecuación neuronal extremo columna inferior:

B.2.1.2. Nudo 2 capa 1 Ecuación estructural extremo columna superior:

Entrada: Peso: Tendencia:

Ecuación neuronal extremo columna superior:

Ecuación estructural extremo viga:

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Entrada: Peso: Tendencia:

Ecuación neuronal extremo viga:

Ecuación estructural extremo columna inferior:

Entrada: Peso: Tendencia:

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Ecuación neuronal extremo columna inferior:

B.2.1.3. Nudo N capa 1 Ecuación estructural extremo columna superior:

Entrada: Peso: Tendencia:

Ecuación neuronal extremo columna superior:

Ecuación estructural extremo viga:

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Entrada: Peso: Tendencia:

Ecuación neuronal extremo viga:

Ecuación estructural extremo columna inferior:

Entrada: Peso: Tendencia:

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Ecuación neuronal extremo columna inferior:

B.2.2. Salidas segunda capa Las Figura 9 y 10, muestra los nudos típicos de la segunda capa y de cualquier capa oculta; y las mismas muestran las salidas de los nudos hacia los extremos de los elementos que acceden al nudo.

Las señales transmitidas por los nudos o momentos rotacionales en los extremos de los miembros concurrentes en las juntas de la segunda capa interna, vienen dadas por las expresiones que se muestran a continuación: B.2.2.1. Nudo 1 capa 2 Ecuación estructural extremo viga izquierda:

Entrada: Peso: Tendencia:

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Ecuación neuronal extremo viga izquierda:

Ecuación estructural extremo viga derecha:

Entrada: Peso: Tendencia: Ecuación neuronal extremo viga derecha:

Ecuación estructural extremo columna inferior:

Entrada:

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Peso: Tendencia: Ecuación neuronal extremo columna inferior:

B.2.2.2. Nudo 2 capa 2 Ecuación estructural extremo viga izquierda:

Entrada: Peso: Tendencia:

Ecuación neuronal extremo viga izquierda:

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Ecuación estructural extremo columna superior:

Entrada: Peso: Tendencia:

Ecuación neuronal extremo columna superior:

Ecuación estructural extremo viga derecha:

Entrada: Peso:

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Tendencia:

Ecuación neuronal extremo viga derecha:

Ecuación estructural extremo columna inferior:

Entrada: Peso: Tendencia:

Ecuación neuronal extremo columna inferior:

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B.2.2.3. Nudo N capa 2 Ecuación estructural extremo viga izquierda:

Entrada: Peso: Tendencia:

Ecuación neuronal extremo viga izquierda:

Ecuación estructural extremo columna superior:

Entrada: Peso:

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Tendencia:

Ecuación neuronal extremo columna superior:

Ecuación estructural extremo viga derecha:

Entrada: Peso: Tendencia:

Ecuación neuronal extremo viga derecha:

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Ecuación estructural extremo columna inferior:

Entrada: Peso: Tendencia:

Ecuación neuronal extremo columna inferior:

B.2.3. Capa de salida – L-ésima capa A continuación presentamos el modelo neuro-matemático, que expresa los momentos rotacionales extremos (señales transmitidas por los nudos) en los distintos miembros concurrentes en los diferentes nudos que conforman la última capa (Ver Figuras 6 y 8). Las salidas de la última capa de nudos de la estructura reticulada de N niveles y L capas, están dados por las siguientes expresiones estructurales y neuro-estructurales:

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B.2.3.1. Nudo 1 capa L Ecuación estructural extremo viga izquierda:

Entrada: Peso: Tendencia: Ecuación neuronal extremo viga izquierda:

Ecuación estructural extremo columna inferior:

Entrada: Peso: Tendencia:

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Ecuación neuronal extremo columna inferior:

B.2.3.2. Nudo 2 capa L Ecuación estructural extremo viga izquierda:

Entrada: Peso: Tendencia:

Ecuación neuronal extremo viga izquierda:

Ecuación estructural extremo columna superior:

Entrada:

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Peso: Tendencia:

Ecuación neuronal extremo columna superior:

Ecuación estructural extremo columna inferior:

Entrada: Peso: Tendencia:

Ecuación neuronal extremo columna inferior:

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B.2.3.3. Nudo N capa L Ecuación estructural extremo viga izquierda:

Entrada: Peso: Tendencia:

Ecuación neuronal extremo viga izquierda:

Ecuación estructural extremo columna superior:

Entrada: Peso:

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Tendencia:

Ecuación neuronal extremo columna superior:

Ecuación estructural extremo columna inferior:

Entrada: Peso: Tendencia:

Ecuación neuronal extremo columna inferior:

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APÉNDICE C

 Arquitectura y diseño de las redes  C.1. Modelo primitivo La Figura C1 muestra un esquema general, del modelo de red neuronal artificial primitiva, constituida por nudos simples, los cuales tienen una memoria local. Las neuronas están conectadas con conexiones unidireccionales que transfieren datos de una neurona a otra en una forma diferenciada. Este modelo representa la estructura de un edificio de N niveles, enumerados con el número 1 el nivel superior, y a partir de allí, en orden creciente hasta el nivel inferior. El modelo de red neuronal primitivo está compuesto por L capas precedidas por una capa de entrada Le, la cual consta de un arreglo de neuronas,

una capa de salida Ls que contiene S1 neuronas. Entre las capas de entrada Le y de salida Ls se encuentran L-2 capas ocultas. Cada capa tiene su propia matriz de los pesos W, su propio vector tendencia b, un vector de entrada neta n y un vector de salida a. Para distinguir las distintas capas utilizaremos superíndices.

La Figura C1 constituye, la forma general del modelo de red multicapa primitiva feedforward, incluyendo las capas ocultas. El vector de entrada a una capa genérica oculta Q, contiene las componentes del vector de entrada a los nudos de la Q-ésima capa representando un conjunto de variables . Las salidas de los nudos en esa capa no están normalizadas, ni escaladas. La capa de salida contiene múltiples nudos o neuronas con el vector de salida .

Específicamente, necesitamos hacer una distinción de la capa con un superíndice con el nombre de cada una de las variables. Así, la matriz de cada uno de los pesos para la primera capa es escrita como W1 y la matriz

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para la segunda capa W2 hasta llegar a denotar la matriz de los pesos de la capa de salida como WL.

En el modelo de red primitivo, el vector de entrada tiene R componentes, la primera capa tiene S1 neuronas, la segunda capa S2 y así, sucesivamente. En general, diferentes capas tienen el mismo número de neuronas, pero en todos los casos dependerá del modelo estructural propuesto.

Para identificar la estructura de una red multicapa, utilizaremos la siguiente notación abreviada, donde el número de entradas es seguido por el número de neuronas en cada capa: R – S1 – S2 – S3 – ° ° ° – SQ – ° ° ° – SL

C.1.1. Propiedades arquitectónicas modelo de red primitivo net=network(1,L,[1;1;1;1],[1;0;0;0],[0 0 0 0;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0],[0 0 1 1],[0 0 0 0]) RANGO DE LAS ENTRADAS net.inputs{1}.range=[-0.5 0;-0.5 0;-0.5 0];

NEURONAS POR CAPAS – FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA %Primera Capa: net.layers{1}.size=N; net.layers{1}.transferFcn=’purelin’; net.layers{1}.initFcn=”; %Segunda Capa: net.layers{2}.size=N; net.layers{2}.transferFcn=’purelin’; net.layers{2}.initFcn=”;

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% Capa (L-1): net.layers{L-1}.size=N; net.layers{L-1}.transferFcn=’purelin’; net.layers{L-1}.initFcn=”; % Capa L: net.layers{L}.size=N; net.layers{L}.transferFcn=’purelin’; net.layers{L},initFcn=”; Figura C.1. Red primitiva

Figura C.2. Red primitiva abreviada

158

Figura C.3. Neurona típica

 C.2. Sub-modelos derivados Para conocer los momentos rotacionales, en los extremos de los miembros que concurren a los nudos de las capas ocultas de la estructura, el modelo neuro-estructural primitivo debe ser dividido en neuro sub-modelos derivados (sub-dominios). Esto se consigue, eliminando sucesivamente, del modelo originario, cada vez, una capa de neurona de derecha a izquierda. Este proceso se inicia inmediatamente después, de la mitosis 1, que genera el primer sub-modelo derivado. Los (L-1) sub-modelos de red neuro-estructural derivados restantes, se obtienen después de cada división y la respectiva mitosis de la nueva capa de salida del nuevo sub-modelo.

C.2.1. Modelo mitosis 1 El modelo de red neuronal mitosis 1 es una red derivada del modelo primitivo. Es auto-supervisada, alimentada hacia adelante (feedforward) cuyo algoritmo de aprendizaje es común al de los otros modelos con los que opera en serie y en consecuencia, no requerirá de un supervisor ya que por sí mismo, ejecutará el monitoreo interno, para controlar el desempeño de la red, con una función de transferencia lineal. Como vemos en la figuras C4 y C5 el modelo neuronal mitosis 1, está compuesto por L capas de neuronas, al igual que el modelo primitivo, pero se diferencia de este en el número de neuronas de la capa de salida. Este se deriva de la mitosis neuronal de la capa de salida de la red primitiva.

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C.2.1.1. Propiedades arquitectónicas del modelo de red mitosis 1 net=network(1,L,[1;1;1;1],[1;0;0;0],[0 0 0 0;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0],[0 0 0 1],[0 0 0 0]) RANGO DE LAS ENTRADAS net.inputs{1}.range=[-0.5 0;-0.5 0;-0.5 0];

% Capa (L-1): net.layers{L-1}.size=N; net.layers{L-1}.transferFcn=’purelin’; net.layers{L-1}.initFcn=”; % Capa L: net.layers{L}.size=3N-1; net.layers{L}.transferFcn=’purelin’; net.layers{L},initFcn=”;

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Figura C.4. Red mitosis 1

Figura C.5. Red mitosis 1 abreviada

C.2.2. Modelo derivado mitosis 2 Las Figuras C6 y C7 muestran el modelo neuronal mitosis 2, el cual está compuesto por (L - 1) capas de neuronas, o sea, que posee una capa menos que el modelo primitivo y la red mitosis 1. La capa de entrada LE es un arreglo que contiene S1 = N neuronas, una capa de salida LS que posee S(L–1) = 4N – 1 elementos de procesamiento. Entre las capas de entrada LE y de salida LE se encuentran (L – 3) capas ocultas. Cada capa tiene su propia matriz de los pesos W, su propio vector tendencia b, un vector de entrada n y un vector de salida a.

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C.2.2.1. Propiedades arquitectónicas del modelo de red mitosis 2 net=network(1,L-1,[1;1;1],[1;0;0],[0 0 0;1 0 0;0 1 0],[0 0 1],[0 0 0]) RANGO DE LAS ENTRADAS net.inputs{1}.range=[-0.5 0;-0.5 0;-0.5 0];

% Capa (L-2) net.layers{L-2}.size=4N-1; net.layers{L-2}.transferFcn=’purelin’; net.layers{L-2}.initFcn=”;

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Figura C.6. Red mitosis 2

Figura C.7. Red mitosis 2 abreviada

C.2.3. Modelo derivado mitosis Q Al observar las Figuras C8 y C9 correspondientes al modelo genérico neuronal que llamaremos la Q-ésima mitosis, vemos que su arquitectura muestra Q capas; la capa de entrada Le es un arreglo de S1 = N neuronas, una capa de salida Ls que contiene SQ = 4N – 1 elementos de procesamiento. Entre las capas de entrada Le y de salida Ls , se encuentran (Q – 2) capas ocultas, que en general poseen N neuronas cada una. Cada capa tiene su propia matriz de los pesos W, su propio vector tendencia b, un vector de entrada neta n y un vector de salida a.

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C.2.3.1. Propiedades arquitectónicas del modelo de red mitosis Q net=network(1,Q,[1;1],[1;0],[0 0 ;1 0],[0 1],[0 0]); RANGO DE LAS ENTRADAS

net.inputs{1}.range=[-0.5 0;-0.5 0;-0.5 0];

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Figura C.8. Red mitosis Q

Figura C.9. Red mitosis Q abreviada

C.2.4. Modelo mitosis L Las Figuras C10 y C11 muestran un esquema general, de un modelo de red neuronal artificial de una capa, constituida por elementos de procesamiento simples, los cuales tienen una memoria local. Las neuronas están conectadas con el mundo exterior. El modelo es una red auto-supervisada, cuyo algoritmo de aprendizaje

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es el mismo utilizado por los neuro-modelos derivados previos. Se ha comprobado que el modelo de red es un sistema efectivo y autónomo, que permite el procesamiento de parámetros físicos de naturaleza estructural, a partir de un vector de entrada cuyas componentes son llamadas factores de distribución de los momentos rotacionales, con características predeterminadas. C.2.4.1. Propiedades arquitectónicas del modelo de red mitosis L net=network(1,1,[1],[1],[0],[1],[0]); RANGO DE LAS ENTRADAS

net.inputs{1}.range=[-0.5 0;-0.5 0;-0.5 0;-0.5 0;-0.5 0;-0.5 0;-0.5 0;-0.5 0]; NEURONAS DE LA CAPA – FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA %Primera Capa: net.layers{1}.size=3N-1; net.layers{1}.transferFcn=’purelin’; net.layers{1}.initFcn=”;

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Figura C.10. Red mitosis L

Figura C.11. Red mitosis L abreviada

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APÉNDICE D  Software

 D.1. Introducción Nosotros hemos utilizado el Lenguaje de Programación MATLAB, para el cálculo numérico en esta tesis. Sin embargo, MATLAB no es esencial para la aplicación del marco teórico propuesto en este libro, sino que también, es posible la aplicación de cualquier otro lenguaje de programación disponible.

MATLAB ha sido muy útil, ya que su notación vectorial, matricial y gráfica, nos ofrece un ambiente que se nos muestra casi insuperable, cuando se trata de experimentar con las redes neuronales artificiales. Con el MATLAB, los algoritmos de aprendizaje para los modelos de redes neuronales pueden ser rápidamente implementados y probados a gran escala, en forma conveniente.

Los algoritmos auto supervisados de los distintos modelos de red abordados en estos trabajos pueden ser ejecutados en la versión 4.0 cualquiera de las últimas versiones, incluyendo la versión 1.0 del MathWorks’ Neural Network Toolbox y además, del uso de la función Network de MATLAB para el diseño de la arquitectura de las redes feedforward y también el empleo de la función Sim, para la simulación de las redes neuronales que conforman el paquete de nuestro trabajo. El Apéndice D ilustra la forma de ejecución del problema de aplicación del Capítulo 5. D.1.1. Función network La función network, es utilizada para crear modelos de redes neuronales artificiales personalizadas. Estas redes pueden tomar argumentos opcionales.

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D.1.1.1. Sintaxis net = network net = network(numInputs,numLayers,biasConnect,inputConnect, layerConnect,outputConnect,targetConnect)

D.1.1.2. Argumentos Los argumentos opcionales con sus valores por default (cero) se describen de la siguiente manera: numInputs: Número de entradas a la red. numLayers: Número de capas que conforman la red biasConnect: Vector Booleano columna de orden numLayersX1. inputConnect: Matriz Booleana de orden numLayersXnumInputs. layerConnect: Matriz Booleana de orden numLayersXnumLayers. outputConnect: Vector Booleano fila de orden 1XnumLayers. targetConnect: Vector Booleano fila de orden 1XnumLayers Tabla D.1. Descripción de argumento Propiedades Arquitectónicas

numInputs numLayers biasConnect

inputConnect

Valor de la Propiedad

Descripción

CERO O ENTERO POSITIVO CERO O ENTERO POSITIVO

NÚMERO DE ENTRADAS NÚMERO DE CAPAS

VECTOR BOOLEA- SI net.biasConnect ES 1, ENTONNO NUMLAYERSX1 CES LA CAPA i TIENE UNA TENDENCIA, Y net.biases {i} ES UNA ESTRUCTURA QUE DESCRIBE ESA TENDENCIA. MATRIZ BOOLEANA NUMLAYERSXNUMINPUTS

SI net.inputConnect (i, j) ES 1, ENTONCES LA CAPA i TIENE UN PESO QUE VIENE DESDE LA ENTRADA j, Y net.inputWeights {i, j} ES UNA ESTRUCTURA QUE DESCRIBE ESE PESO.

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MATRIZ BOOLEANA NUMLAYERSXNUMLAYERS

outputConnect

VECTOR BOOLEA- SI net.outputConnect (i) ES 1, NO 1XNUMLAYERS ENTONCES LA RED TIENE UNA SALIDA DE LA CAPA i, Y net.outputs {i} ES UNA ESTRUCTURA QUE DESCRIBE ESA SALIDA.

targetConnect

SI net.layerConnect (i, j) ES 1, ENTONCES LA CAPA i TIENE UN PESO QUE VIENE DESDE LA CAPA j, Y net.layerWeights {i, j} ES UNA ESTRUCTURA QUE DESCRIBE ESE PESO.

VECTOR BOOLEA- SI net.targetConnect (i) ES 1, NO 1XNUMLAYERS ENTONCES LA RED TIENE UNA SALIDA ESPERADA DESDE LA CAPA i, Y net.targets {i} ES UNA ESTRUCTURA QUE DESCRIBE ESA SALIDA ESPERADA.

 D.2. Diseño de modelos

En general, el modelo de red neuronal primitivo está formado por L capas

de procesadores simples. Cada capa tiene su propia matriz diagonal de los pesos W, su propio vector tendencia b, un vector entrada neta n y un vector de salida a.

Para establecer los criterios de diseño del modelo neuro-estructural pri-

mitivo, se necesita definir algunos conceptos fundamentales asociados con su arquitectura y su topología particular. Todo ello, tomando como principal referencia, el “modelo general de red estructural reticulada

multinivel”. A partir de este modelo estructural, sentaremos las bases para abordar en la forma más completa una exploración, que nos permita diseñar la topología de los sub-modelos y la síntesis del sistema global.

Para generar el modelo ANN primitivo u originario, nos inspiramos en el

modelo estructural de la Figura 14, apoyándonos en el siguiente axioma: “Los nudos de una estructura reticulada son inteligentes. En consecuen-

170

cia, todo nudo es capaz de distribuir las influencias de las cargas actuantes directamente sobre él, en forma automática, proporcionalmente a la rigidez de cada una de las barras que concurren en el mismo”.

Nuestro “modelo neuro-estructural originario o primitivo”, nos ofrece una singularidad extremadamente importante, debido a que mantiene con el modelo estructural, una relación invariante que está presente en la

estructura investigada. En consecuencia, el modelo de la estructura reti-

culada multinivel, será utilizado como “inspiración directa para el diseño del modelo de red neuronal artificial primitivo”.

La analogía se apoya en el siguiente procedimiento: repetir (es decir, du-

plicar) el modelo de red estructural, ubicando en el lugar de cada nudo

del modelo estructural una neurona (respetando así, la correspondencia biunívoca descrita en el axioma). Durante el proceso de transformación del modelo estructural, en neuronal se eliminan, las conexiones de las columnas entre los nudos. De esta manera, los dos modelos se diferencian en la conectividad que dan lugar a las columnas. Esta diferencia entre las

conexiones de las dos redes, crea una especial singularidad topológica en-

tre los modelos; pero el efecto, de las conexiones eliminadas será tenido en cuenta en la tendencia de cada neurona o elemento de procesamiento,

conservando de esta manera, la equivalencia física entre los dos sistemas. D.2.1. Modelo neuronal primitivo Propiedades Arquitectónicas:

net=network(1,4,[1;1;1;1],[1;0;0;0],[0 0 0 0;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0],[0 0 1 1],[0 0 0 0])

Rango de las Entradas:

net.inputs{1}.range= [-0.5 0;-0.5 0;-0.5 0];

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D.2.2. Red neuronal mitosis 1 Propiedades Arquitectónicas: net=network(1,4,[1;1;1;1],[1;0;0;0],[0 0 0 0;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0],[0 0 0 1],[0 0 0 0]) Rango de las Entradas: net.inputs{1}.range= [-0.5 0;-0.5 0;-0.5 0];

D.2.3. Red neuronal mitosis 2 Propiedades Arquitectónicas net=network(1,3,[1;1;1],[1;0;0],[0 0 0;1 0 0;0 1 0],[0 0 1],[0 0 0]) Rango de las Entradas net.inputs{1}.range=[-0.5 0;-0.5 0;-0.5 0];

D.2.4. Red neuronal mitosis 3 Propiedades Arquitectónicas net=network(1,2,[1;1],[1;0],[0 0 ;1 0],[0 1],[0 0]); Rango de las Entradas net.inputs{1}.range= [-0.5 0;-0.5 0;-0.5 0]; D.2.5. Red neuronal mitosis 4 Propiedades Arquitectónicas net=network (1,1,[1],[1],[0],[1],[0]);

Rango de las Entradas net.inputs{1}.range= [-0.5 0;-0.5 0;-0.5 0;-0.5 0;-0.5 0;-0.5 0;-0.5 0;-0.5 0];  D.3. Simulación de modelos Las redes neuronales electrónicas generalmente, existen en forma de simulaciones por computador. Ya que, las mismas son típicamente conce-

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bidas como muy grandes. La capacidad para simularlas está limitada por la velocidad y capacidad de almacenamiento disponibles de las computadoras digitales. Algunos investigadores han desarrollado hardware con el propósito de aumentar la velocidad de procesamiento (Darpa, 1988). Pero las condiciones aún no están dadas para facilitar este evento. D.3.1. Función Sim El comando sim simula redes neuronales artificiales. Los argumentos Pi, Ai, Pf, y Af son opcionales y solamente necesitan ser utilizados para las redes que tienen demora en las entradas o capas. D.3.1.1. Sintaxis [Y, Pf, Af, E, perf] = sim (net, P, Pi, Ai, T) [Y, Pf, Af, E, perf] = sim (net, {Q TS}, Pi, Ai, T) [Y, Pf, Af, E, perf] = sim (net, Q, Pi, Ai, T)

D.3.1.2. Argumentos net: Red. P: Entradas a la red neuronal artificial Pi: Condiciones de demora de la entrada inicial. Por default, cero Ai: Condiciones de demora de la capa. Por default, cero. T: Salidas esperadas de la red neuronal artificial. Por default, cero. Y: Salida de la red neuronal. Pf: Condiciones de demora de la entrada final. Af: Condiciones de demora de la capa final. E: Errores de la red neuronal. Perf: Desempeño de la red neuronal artificial.

D.3.2. Simulación de los modelos: primitivo, mitosis 1, mitosis 2, mitosis 3 p = [μ11vd; μ12vd; μ13vd] [Y, E]=sim (net, p)

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D.3.3. Simulación del modelo mitosis 4 p = [μ11vd; μ11ci; μ12vd; μ12ci; μ12cs; μ13vd; μ13ci; μ13cs] [Y, E]=sim (net, p)

 D.4. Ejecución de los algoritmos El software debe ser cargado dentro de un directorio de MATLAB de su computadora personal; y el mismo puede ser invocado tipiando mitosis en el prompt de MATLAB. Alternativamente, usted puede también, ejecutar de manera secuencial mitosis 1, mitosis 2, mitosis 3 y mitosis 4; y de este modo obtendrá igualmente, los mismos resultados que si ejecuta directamente mitosis.

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