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Presentación Ni por un momento pensamos que un trabajo de tecnología, matemáticas, fotografía ..., fuera a tener un final tan estupendo. Durante el curso tratamos de esforzarnos para que todo salga bien y nuestros objetivos se vean cumplidos. El proyecto de revista que presentamos no es simplemente una plasmación de un trabajo bien hecho sino que pretendemos que sea algo abierto donde todo el mundo pueda participar, no sólo con comentarios, sino con sugerencias y aportando ideas frescas, originales, que sirvan de motivación y engranaje para seguir haciendo nuevas cosas. Lo podemos ver como un juego o un entretenimiento, individual o colectivo, familiar o de amigos que nos sirva para abrir nuestra mirada al mundo que nos rodea, para que veamos algo más que simples imágenes, para aprender a ser observadores y no cerrar nuestros ojos a todas las maravillas con las que nos regala la naturaleza, a descubrir otros puntos de vista… Deciros también que nada de esto hubiera sido posible sin el apoyo continuo y el trabajo constante de nuestro profesor al que agradecemos todo el esfuerzo dedicado. Así como al colegio que tanto nos aporta. Os invitamos a que os deis una vuelta por nuestras bitácoras a través de la página “www.rinconsolidario.org/ciencias/” y así descubrir el apasionante mundo de las matemáticas. Marta y Eva Gutiérrez
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Invitación a la fotografía matemática La presente revista pretende acercarnos al mundo de la fotografía matemática, nos invita a descubrir la geometría en nuestro entorno, en nuestros viajes y en todas las cosas cotidianas. A mirar la realidad que nos rodea con otros ojos. Esta serie de fotografías que os presentamos a continuación forman parte de un trabajo desarrollado a lo largo del curso 2006-2007. Las alumnas de tercero de ESO han recopilado y seleccionado las fotografías; os invitan a que las observéis detenidamente, con curiosidad científica, para que podáis sacar vuestras propias conclusiones. Esperamos que disfrutéis con este trabajo al menos tanto como lo hemos hecho nosotros. Queremos que sirva también como pequeño homenaje a la Ciencia en este “Año de la Ciencia 2007”. Personalmente, quiero felicitar a las alumnas que han participado en este proyecto por su gran trabajo y todo el esfuerzo realizado. Miguel Ángel Queiruga
Como dice uno de nuestros mayores divulgadores matemáticos, Claudi Alsina, en su libro “Contar bien para vivir mejor” (Editorial Rubes): “Uno de los secretos que han hecho de la fotografía una afición casi universal ha sido facilitar los resultados de calidad al margen de la “patosidad” del que dispara. Con una máquina automática y un flash, cualquiera se puede hacer (es un decir) una foto. Mirar y apretar un botón son todas las exigencias del guión”. A la hora de hacer la fotografía hay que buscar la estética en aquellos objetos e imágenes que tengan algo de matemático. Pero, ¿qué tienen de matemático la belleza y la estética?. Animamos a todos a “retratar” las matemáticas del mundo que nos envuelve apuntando el objetivo a cualquier rincón matemático, descubierto o por descubrir, que imaginar podáis. Pilar Diez
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Arcos concéntricos, radios, cuerpos geométricos… es lo que forman esta maravillosa estructura, la semicircunferencia empieza por una muy pequeña pero gracias a esta fórmula geométrica (arcos concéntricos) acaba siendo una mucho más grande. Además de la circunferencia en esta fotografía se pueden ver ortoedros dispuestos en un orden totalmente paralelo.
Este edificio está formado por un gran número de rectángulos iguales, además tiene una altura espectacular, visto desde esta perspectiva da la sensación de alejamiento y de altura.
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Esta otra fotografía sacada en Terra Mítica (Alicante), nos da un parecido con la bola del mundo pero… lo único… que hecha con aros.
Combinación de arcos y colores crean el tejado del famoso mercado de Barcelona conocido principalmente por su original estructura.
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Un arco, un ángulo, un paisaje, naturaleza, crean un rincón irrepetible que despierta a la imaginación y a la sorpresa.
Precioso patio que está dividido en dos por un paso cubierto y elevado. Juego geométrico de semicírculos y cilindros, paralelas y ángulos, sombras y luces. Se asemeja a los planos imposibles puesto que el efecto visual que se crea da la sensación de que las columnas de arriba continúan hasta abajo.
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CATEDRAL DE BURGOS Estrellada bóveda que corona el crucero de la catedral de Burgos. Doble estructura con forma de estrella de ocho puntas, encajada en un octógono regular. Podemos observar diferentes figuras geométricas: cuadrados, rombos, triángulos, círculos...
¿Hay algo que nosotros no podemos ver?, ¿algo prohibido o que nos escandalice?. Nuestros ojos sólo ven rombos, paralelas, perpendiculares, cuadrados, ángulos opuestos por el vértice, rectángulos...
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Acabábamos de tener un examen de mates. Volvíamos a casa y todo estaba relacionado. Esta construcción infantil es la solución gráfica de una ecuación de segundo grado (parábola). Es una curva plana que se puede ajustar a un sistema de coordenadas: y = ax2 + bx + c.
Te proponemos “hacer ejercicio”. ¿Cuántos metros hemos recorrido si el radio mide 35 cm y hemos dado 1085 vueltas?. Una pista: la longitud de la circunferencia es igual a 2 * 3,1416.. * radio.
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¿Tienes carnet profesional de operador de grúa torre?. ¿Has observado la cantidad de ángulos y triángulos que aparecen en la foto?. Uno de los principales problemas de una grúa, además de levantar la gran cantidad de peso, reside en mantener el equilibrio. En numerosas ocasiones el único soporte de la grúa reside en su base.
Disfrutamos de una imagen que pocas veces nos paramos a observar. Desde la altura vemos diferentes niveles que dan sensación de profundidad. Otra manera de ver diferentes figuras geométricas.
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Nos situamos en la ciudad de Amsterdam, todo son cifras: 1281 puentes y 165 canales. Cada noche se cierran una decena de esclusas urbanas y se bombean 600.000 metros cúbicos de agua a los canales; de este modo, cada tres días se renueva toda el agua de los mismos. La ciudad tiene 700.000 habitantes, 400.000 bicicletas, 220.000 árboles, 2.400 casas flotantes atracadas en sus canales, 300 esculturas al aire libre y 40 museos.
CARTUJA DE MIRAFLORES Nueve medallones formando un semicírculo y el escudo de Castilla del que salen varias radiales en distintas direcciones dibujando una estrella tienen como fin coronar el retablo de la Cartuja.
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Después de dar un paseo por la ciudad estos arcos formando una serpentina nos invitan a descansar. Bonita figura geométrica que ¿quién se atreve a dibujar?
PISCINAS MUNICIPALES EL PLANTIO Día de sol, esperamos a los amigos para poder disfrutar de esta atractiva construcción. Mientras, observamos como una misma figura, cilindro, puede adoptar varias formas: el tobogán, los soportes, las escaleras... esto es suficiente para darte un buen chapuzón.
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¡Menuda la que se va a liar cuando este inmenso semicilindro se nos venga encima!. ¡Cuidado al pasar debajo de los tejados de los edificios!. Al deslizarse lentamente sobre el tejado esta capa de nieve adquiere esta curiosa forma. Si lo miramos desde el otro lado veremos el otro semicilindro que completaría éste... ?¿
A menudo nos encontramos con formas difíciles de clasificar geométricamente. Sus contornos son tan irregulares que, nos sería imposible contar los lados de estas figuras...
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Las arañas famosas por su perfección, construyen su tela con un centro, radios, marco y espiral viscosa. ¿¿Cómo pueden construir, sin aprendizaje, una tela tan complicada??
Ritmo, compás, al unísono. Transparencia, frescura, pureza. Todo son sensaciones, las que nos producen estas quince parábolas paralelas en traslación.
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Para prevenir los resfriados no hay nada mejor que una naranja. Así repasamos los elementos principales de un círculo: circunferencia, radios, arcos, diámetros, centro, ángulos...
La legumbre, las semillas, la pasta, ordenados en la cocina. A la vista de esta combinación, en barras paralelas, nos resultará más fácil elegir el menú de hoy.
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Aproximamos el objetivo. Observamos la simetrĂa al natural de las hojas. Lo rojo marca el eje central. De un punto surgen todos los ejes.
Nacen, crecen, se chocan, se mezclan, cilindros de varios grosores que abrazan dos prismas. Descontrol sin fin.
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El caparazón de esta tortuga nos muestra una bonita estructura geométrica. En el centro hexágonos, componiendo un mosaico que protege a este reptil.
La perspectiva existe en nuestro entorno. Esta fotografía crea ilusión de profundidad, un horizonte lejano. Las líneas paralelas (los árboles) que se alejan de nosotros dan la impresión de desaparecer.
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Es la representación de una molécula de cristal de hierro. Sus 9 átomos (9 esferas de acero de 18 metros de diámetro recubiertas de aluminio) están aumentados nada menos que 150 billones de veces. Tiene 102 metros de altura y 2400 toneladas de peso.
Cinco figuras, tres prismas y dos esferas, son suficientes para servir de adorno en la presentación de un stand.
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Arte matemático Maurits Cornelis Escher nació en Leeuwarden, Países Bajos, en 1898, y murió en 1972. Vivió en varios países, como Italia, Suiza y Bélgica. Murió a los 73 años, justamente cuando estaba siendo conocido mundialmente tanto por matemáticos y científicos (que fueron los primeros en interesarse por su trabajo) como por el público en general. Fue un artista holandés, conocido por sus grabados en madera (xilografías), en piedra (litografías) y a media tinta, que trataban de representar construcciones imposibles, la exploración de lo infinito, y las combinaciones de motivos que se transforman gradualmente en formas totalmente diferentes. Su obra experimenta con diversos métodos de representar (en dibujos de 2 ó 3 dimensiones) espacios paradójicos que desafían a los modos habituales de representación. Artista que conocía el mundo de las matemáticas y era capaz de montar una composición acerca de un tema matemático. Una vez dijo: “Me siento más próximo a los matemáticos que a mis amigos pintores“. Sus trabajos pueden ser encontrados en todas las partes del mundo.
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2007 Año de la Ciencia 2007 es un año muy especial para todas las personas que trabajan en la generación del conocimiento científico y tecnológico. Para quienes quieren conocer mejor nuestro mundo y contribuir a mejorarlo. Para quienes apoyan y apuestan por la ciencia. Porque respaldar la ciencia es defender la curiosidad, la racionalidad, la cultura, el sentido crítico, el descubrimiento, la constancia, la observación... El año de la ciencia proyecta “un salto cualitativo” a la investigación en España. Son palabras de la ministra de Educación y Ciencia Mercedes Cabrera. Está previsto organizar congresos, exposiciones y otras actividades con el objetivo de acercar a la ciudadanía el papel de la ciencia en la vida cotidiana, y de una manera muy especial en el bienestar y el progreso de toda la sociedad. Así mismo el Ministerio de Educación y Ciencia, en colaboración con la Fundación Española para la Ciencia y la Tecnología, ha puesto en marcha un Plan Integral de comunicación y divulgación de la ciencia y la tecnología en España. Las iniciativas gubernamentales diseñadas se complementarán con actividades y propuestas de carácter regional y local. Así por ejemplo, en Burgos, entidades que participan son Caja de Burgos y la Fundación para el estudio de los Dinosaurios en Castilla y León. Nos ha parecido muy curiosa la forma de participar haciendo comentarios al “árbol de la ciencia”. Este árbol te permite depositar tus deseos para la ciencia o lo que esperas de ella. “Tendrás que esperar un poco hasta poder ver tu fruto florecer. Mientras eso sucede puedes consultar los deseos de otras personas” El mes de enero estuvo dedicado a la ciencia y fotografía. La fotografía enseña a la gente a ver. Aportar un componente estético a la ciencia es esencial para hacerla más accesible a las masas. Al fin y al cabo, la belleza es algo inherente a la ciencia. Por ejemplo la Universidad de Navarra entre otras actividades ha convocado un concurso de fotografía y la ciudad de Barcelona se ha declarado “Ciudad de la Ciencia” ya que hace 100 años se concedió el Premio Nobel de Medicina a Santiago Ramón y Cajal.
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El agua de esta fuente es el espejo perfecto. Simetría, arte, belleza, naturaleza, vida, sentidos... todo se conjuga.
Los tubos van siguiendo siempre formas triangulares. Esto es así porque los triángulos son los únicos polígonos indeformables, ya que los segmentos que componen el triángulo sólo encajan en una posición fija.
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Las aspas de un viejo molino holandés sirven para entender los ángulos rectos y suplementarios, a la vez que observamos un perfecto eje de coordenadas donde situamos los números positivos y negativos en X e Y.
Gran dique que separa el mar Interior (antiguo estuario del Rin) del mar del Norte. Es una verdadera obra de ingeniería hidráulica. Cuando se concluyó su construcción comenzaron los trabajos para drenar unas 225.000 hectáreas y construir grandes pólderes que dan lugar a un paisaje geométrico.
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La línea central de la bóveda de cristal supone el eje de simetría de los diferentes escaparates, ventanas, farolas, arcos de medio punto... que componen este maravilloso bulevar.
Infinitos círculos en suspensión. Pequeños soles a la hora de la instrucción, en perfecta formación. Genial iluminación a la hora de coger el avión.
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Obra moderna de estilo arquitectónico, funcional, con diseño modular y vanguardista. Juega con la luminosidad, el equilibrio y las diferentes formas.
En la naturaleza también aparece la geometría fractal, como en este romanescu (híbrido de brócoli y coliflor rico en vitamina C y fibra). Podemos observar que la estructura básica del romanescu se repite en diferentes escalas. Es una disposición geométrica que combina irregularidad y estructura.
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Es interesante ver la geometría de la celda de un panal. Son hexagonales, compartiendo paredes en común. Nos preguntamos por la regularidad. ¿Son ángulos perfectos?, ¿son todos iguales en el panal?, ¿cómo hacen las abejas el cálculo correcto?, ¿puro instinto?, ¿quién las guía?, ¿quién ejerce de ingeniero proyectista?...
Sucesión, sección de circunferencia, tangencias, paralelas, diseño, y sin salir de la ciudad. Dando un paseo, y no lejos podemos encontrar infinidad de instantáneas que nos trasladan al mundo matemático.
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Al aire...al aire... Paralelas, ángulos, rectas, sistema métrico decimal,... Al subir dividir, para bajar multiplicar. Las escaleras pueden ser un excelente material didáctico para los niños. Se pueden contar los escalones al subir, al bajar, de dos en dos, en grupos,...
Chocolate negro, chocolate blanco, virutas de chocolate, filas, círculos, columnas, cilindros, 6 x 6, ....
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Original fuente de luz de una de las tiendas de moda más importantes del país. Un prisma es un cuerpo geométrico limitado por dos polígonos paralelos e iguales, llamados bases, con tantos rectángulos como lados tenga la base.
Mirando al cielo desde el interior de la Basílica del Escorial, observamos este maravilloso cimborrio, un cuerpo cilíndrico que sirve de base a la cúpula.
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La distribución regular, con celdas, bordes, líneas horizontales, verticales, paralelas, nos muestran un orden total para dejar “nuestras cositas”.
Vemos como las matemáticas están siempre presentes, incluso en los momentos más dulces. Los moldes utilizados para hacer estos bombones son totalmente geométricos. Pentágonos, aristas...
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Los cálculos matemáticos han sido perfectos para lograr que esta pirámide invertida (que es una fuente) pueda mantener su equilibrio.
Invierno... la noche había sido muy fría... la humedad se congeló sobre la hoja. El sol de la mañana empezó a deshacer el hielo y el agua resbalaba. En el momento ideal, en décimas de segundo, el ojo mecánico fue capaz de percibir la transparencia... la luz ... el reflejo...
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Paseando por la naturaleza podemos encontrar ejemplos claros de geometría. Éste es un típico fractal de funciones iteradas; es decir, una parte de la figura guarda una razón de semejanza con la figura completa.
Queríamos un primer plano. ¿Dónde están las matemáticas?. Cuidadín que te pinchas. ¿Cuerpo regular o irregular?. Este cardo ¿es un fractal natural?, ¿quién me resuelve la duda?
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Esferas truncadas por cilindros, en ellos podemos ver dibujados las líneas imaginarias del globo terrestre: meridianos y paralelos. Cada cúpula guarda simetría con su eje central. La rueda gigante de Viena, o lo que siempre se ha denominado la noria de “El Tercer Hombre” (por la famosa película de intriga de Graham Greene) tiene 64,75 metros de altura; 34,20 metros de altura del centro del eje; 60,96 metros de diámetro de la rueda. El peso de la construcción de hierro es de 430 toneladas y la velocidad de rotación es de 0,75 metros por segundo. ¿Se podría considerar una circunferencia perfecta?.
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Bonita figura estrellada y dorada que vimos en el techo del Parlamento de Budapest. ¿Cómo se llamará el polígono que forma esa estrella de dieciséis puntas?.
Estructuras que parten de un centro común. ¿Forman una estrella? lo que sí nos muestra es solidez y seguridad. Se ven no sólo labor matemática, sino trabajo duro de forja y soldadura.
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“Bienvenu à Paris”. Bonito día soleado en el que la Torre Eiffel hace perfecta simetría al enfocarla entre estos cilindros paralelos. La perspectiva que nos dibujan los arbustos a ambos lados de la imagen nos acercan a este conocidísimo monumento parisino.
Líneas paralelas que se alejan y nos crean una gran sensación de profundidad y longitud es lo que forman este puente situado en Londres. Al fondo también hay edificios con cuadriláteros que dan lugar a ventanas.
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¿Cuántas figuras geométricas diferentes ves? ¿Qué clase de polígonos? ¿Hay varias semicircunferencias concéntricas o es una sola con diferentes mosaicos? ¿Cuántos círculos ves?
Esta pieza de ingeniería medieval está compuesta por una esfera superior (signos del zodíaco) y una esfera inferior (reloj calendario). La originalidad de este reloj radica en su complicada esfera astronómica, que indica la posición y el movimiento de los cuerpos celestes con relación a Praga.
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Este puente y estos edificios están repletos de geometría, líneas paralelas y perpendiculares formando ángulos, cuadriláteros y otras muchas cosas relacionadas con las matemáticas.
La naturaleza nos muestra muchos ejemplos de formas geométricas. En esta fotografía encontramos en la superficie de una seta, una especie de rugosidades que forman circunferencias concéntricas que van aumentando de radio a medida que se va desarrollando.
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Estas velas, se van alejando poco a poco, así crean una sensación de profundidad, en esta fotografía también podemos ver líneas paralelas, secantes.
Cilindros paralelos de colores que intentan completar el círculo; rectángulos, cuadrados y escaleras en el edificio del fondo; las farolas como rectas que se inclinan; mástiles en serie; rectas en el asfalto que nos indican que no debemos detenernos...
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Naturaleza y geometría Cuando miramos a nuestro alrededor vemos edificios, casas, monumentos, fuentes, calles… A todo esto siempre lo relacionamos de alguna manera con las matemáticas y, principalmente, con la geometría por sus diversas formas, todas perfectas. Además, encontramos plantas y animales, en los que, por sus formas irregulares, no hallamos en principio una relación geométrica. ¿Os habéis fijado en las hojas de un árbol?. Pueden tener formas que, de alguna manera, las relacionemos con polígonos irregulares de diverso número de lados, o al mirar una planta podemos ver que todas sus hojas salen de un eje y que muchas veces están formadas por dos planos simétricos entre sí respecto a una línea central que los separa. También las gotas de lluvia parecen pequeñas esferas o elipsoides que al caer y chocar contra el suelo se dividen en otras mucho más pequeñas que las anteriores. ¡Os invitamos a que busquéis e investiguéis la geometría en la Naturaleza!. Sandra Gómez
Espiral de Durero o espiral Logarítmica, sucesión de Fibonacci, secuencias, número de espirales, número áureo, sección áurea.. Estos conceptos son la llave del crecimiento en la naturaleza (conchas, caracolas piñas.).
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¿Qué son los fractales? A lo largo de está publicación habrás observado la palabra “fractal”... pero, ¿qué son los fractales?. Los fractales son entidades matemáticas que están por todas partes. Y, precisamente, por su variedad, son difíciles de definir, porque no todos tienen las mismas características; aunque hay algo en común: son el producto de la repetición de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación extraordinaria. Hay muchos objetos de la naturaleza que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales aunque no lo parezcan: las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos. En lo que se diferencian de los fractales matemáticos es que éstos son entidades infinitas. El término fractal proviene del latín “fractus” o “frangere”: quebrar, romper en fragmentos irregulares. Fue introducido en 1970 por Benoit Mandelbrot, en su libro “La geometría Fractal de la Naturaleza”. Mandelbrot es quien propuso el término fractal para describir ciertas curvas y superficies que a pesar de ser rugosas conservan cierta regularidad. Se apoyó en la obra anterior de muchas personas. Los modelos fractales tienen su aplicación en prácticamente todas las disciplinas: informática, arte, biología, medicina y geografía.
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¡¡¡Nos despedimos!!! No podéis imaginaros lo que hemos disfrutado trabajando y elaborando esta revista. Además hemos aprendido cosas nuevas: ver lo de alrededor con otros ojos, ser observadores, conocer a artistas, matemáticos y personas relacionadas con el tema, conceptos de los que no habíamos oído hablar o no sabíamos lo que significaban...en definitiva estamos encantados. Nuestra última recomendación es un libro que os puede gustar mucho si os ha parecido interesante el tema que nosotros hemos elegido: ANDA CON OJO de Pilar Moreno. La profesora Pilar Moreno invita al lector a perderle el miedo a las matemáticas y a serenarse ante la idea de que estamos rodeados por una ciencia que podemos encontrar en el hogar, el trabajo, la ciudad... En las páginas de este libro se muestran 50 fotografías: desde la naturaleza hasta el arte, pasando por arquitectura, máquinas, objetos de diseño o sombras. Ibáñez Torres -responsable de DivulgaMAT (Centro Virtual de Divulgación de las Matemáticas)- propone al lector un interesante juego: acercarse al libro con mirada inocente, implicarse luego en su contenido buscándole título a las imágenes o agrupándolas por temas, colores, similitudes y diferencias; así se llegará a descubrir las formas y las matemáticas que se ocultan. El siguiente paso consiste en recorrer la ciudad, el pueblo o el barrio en busca de imágenes parecidas. Al final, el lector será capaz de responder a preguntas como: ¿por qué la naturaleza nos sorprende con ciertas formas?, ¿por qué los objetos que construye el hombre tienen esa apariencia y no otra? Pilar Moreno ha convertido la fotografía en una herramienta para la divulgación de las matemáticas; nos demuestra que nos rodea la geometría, potencia la riqueza de nuestra mirada, estimula nuestra creatividad matemática y alimenta nuestra curiosidad con preguntas sobre el porqué de las cosas. En definitiva, “rompe la barrera que existe entre la sociedad y las matemáticas, utiliza su cámara para enseñarnos a mirar y ver con ojos matemáticos”. Enlazando ideas y conocimientos, irán incorporándose a nuestra cultura los nombres de científicos como Euclides o Newton, arquitectos como Gaudí o Calatrava, artistas como Escher o Chillida. Porque todo en la vida tiene explicación: la simetría de las flores, las ondas del agua, los eclipses de sol... Simplemente deciros: Hasta pronto y a ser conscientes de lo que nos rodea. Por último, agradecemos a Miguel Ángel todo el interés demostrado y su continuo apoyo. Saludos!!
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Cuaderno de Divulgación Curso 2006-2007
Colegio Jesús-María Burgos
http://www.jesus-maria.net/burgos
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