الفصل الرابع اهلندسة االحدايثة فكرة الدرس :متثيل املعادلة اخلطية يف املستوي االحداثي . متثيل املعادلة التربيعية يف املستوي االحداثي . املفردات : الزوج املرتب املعادلة اخلطية املستوى االحداثي املعادلة التربيعية
التمثيل البياين للمعادالت يف املستوى االحداثي أوالً :التمثيل البياين للمعادلة اخلطية يف املستوى االحداثي :الصيغة العامة هلا 𝟎 = 𝒄 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + حيث نقوم بفرض قيم لـ 𝒙 ولتكن )𝟐 (𝟎 , 𝟏 ,وتعويضها يف املعادلة املعطاة ،ويف حالة كون املعادلة بداللة املتغري 𝒙 فقط فإننا نقوم بفرض قيم لـ )𝒚( ولتكن مثال )𝟐 . (𝟎 , 𝟏 , مثال :مثل املعادلة 𝟎 = 𝒙 𝟐𝒚 −يف املستوي االحداثي : احلل :
4
)𝒚 (𝒙 , )𝟎 (𝟎 ,
)𝟏 (𝟐 ,
𝟎 = 𝒙 𝟐𝒚 − 𝟎 = 𝒚𝟐 ⟹ 𝟎 = 𝟎 𝟐𝒚 − 𝟎 𝒚𝟐 𝟎=𝒚⟹ = 𝟐 𝟐 𝟐 = 𝒚𝟐 ⟹ 𝟎 = 𝟐 𝟐𝒚 − 𝟐 𝒚𝟐 𝟏=𝒚⟹ = 𝟐 𝟐
3
𝒙 𝟎
2
)𝟏 (𝟐 ,
4
2
3
1
1 )𝟎 (𝟎 ,
𝟐
مثال :مثل املعادالت التالية يف املستوي االحداثي ،ماذا تالحظ : 𝟎 = 𝟓 𝟏) 𝒚 − 𝟑𝒙 + 𝟒 = 𝒚 )𝟐 𝟑𝟑) 𝒙 = − احلل 𝒚 − 𝟑𝒙 + 𝟓 = 𝟎 )1( : )𝒚 (𝒙 , )𝟓(𝟎 , −
𝒙
𝟎 = 𝒙 𝟐𝒚 − 𝟎 = 𝟓 𝒚 − 𝟑(𝟎) +
𝟎 = 𝟓 𝒚 − 𝟑(𝟐) +
3
𝟎
𝟓𝒚 − 𝟎 + 𝟓 = 𝟎 ⟹ 𝒚 = −
)𝟏 (𝟐 ,
4 2 )𝟏 (𝟐 ,
4
3
2
1 1
𝟐
−1 −2
𝟏=𝒚⟹𝟎 =𝟏𝒚−𝟔+𝟓= 𝟎⟹𝒚−
−3
املستقيم يقطع حمور السينات والصادات وال مير بنقطة االصل . 165
−4 )𝟓(𝟎 , −
−5
(𝒚 = 𝟒 )2
)𝟒 (𝟎 ,
)𝟒 (𝟐 ,
4
)𝒚 (𝒙 ,
𝟒=𝒚
𝒙
)𝟒 (𝟎 ,
𝟒=𝒚
𝟎
2
)𝟒 (𝟐 ,
𝟒=𝒚
𝟐
1
3
4
3
2
1
−1
املستقيم يوازي حمور السينات وعمودي على الصادات.
−2
(𝒙 = −𝟑 )3 )𝒚 (𝒙 ,
𝟑𝒙 = −
𝒚
4
)𝟎 (−𝟑 ,
𝟑𝒙 = −
𝟎
3
)𝟐 (−𝟑 ,
𝟑𝒙 = −
𝟐
2
)𝟐 (−𝟑 ,
1 )𝟎 (−𝟑 ,
3
املستقيم يوازي حمور الصادات وعمودي على السينات .
2
1
−3 − 2 − 1
−1 −2
ثانيا :التمثيل البياين للمعادلة التربيعية يف املستوي االحداثي :الصيغة العامة هلا 𝒄 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + حيث أن 𝑹 ∈ 𝒄 𝒂 ≠ 𝟎 ، 𝒂 , 𝒃 , نقوم بفرض قيم لـ 𝒙 ولتكن )𝟐 (𝟎 , 𝟏 , 𝟐 , −𝟏 , −حيث أن الشكل يكون ∪ اذا كان معامل 𝟐𝒙 موجب ويكون الشكل ∩ اذا كان معامل 𝟐𝒙 سالب . مثال :مثل املعادلة 𝟓 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 − احلل : )𝒚 (𝒙 , )𝟓(𝟎 , − )𝟑(𝟏 , − )𝟑 (𝟐 , )𝟑 (−𝟏 , − )𝟑 (−𝟐 ,
𝟓 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒚 = 𝟐(𝟎)𝟐 − 𝟓 = 𝟎 − 𝟓 = − 𝟑𝒚 = 𝟐(𝟏)𝟐 − 𝟓 = 𝟐 − 𝟓 = − 𝟑 = 𝟓 𝒚 = 𝟐(𝟐)𝟐 − 𝟓 = 𝟖 − 𝟑𝒚 = 𝟐(−𝟏)𝟐 − 𝟓 = 𝟐 − 𝟓 = − 𝟑 = 𝟓 𝒚 = 𝟐(−𝟐)𝟐 − 𝟓 = 𝟖 −
𝒙 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏− 𝟐−
−1 −2 −3 −4 −5
)𝟓(𝟎 , −
مثال :مثل املعادلة 𝟐𝒙𝒚 = − احلل :
)𝒚 (𝒙 , )𝟎 (𝟎 , )𝟏(𝟏 , − )𝟒(𝟐 , − )𝟏 (−𝟏 , − )𝟒(−𝟐 , −
𝟐
𝒙𝒚 = − 𝟎 = )𝟎(𝒚 = − 𝟏𝒚 = −(𝟏)𝟐 = − 𝟒𝒚 = −(𝟐)𝟐 = − 𝟏𝒚 = −(−𝟏)𝟐 = − 𝟒𝒚 = −(−𝟐)𝟐 = − 𝟐
166
𝒙 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏− 𝟐−
4 3 2 1 )𝟎 (𝟎 ,
3
2
1
−3 − 2 − 1
−1 −2
تأكد من فهمك :مثل املعادالت اخلطية التالية يف املستوي االحداثي وبني عالقتها باحملورين : 𝟏 1) 𝒚 = 𝟑𝒙 + احلل :
)𝒚 (𝒙 ,
𝟏 𝒚 = 𝟑𝒙 +
𝒙
)𝟏 (𝟎 ,
𝟏 = 𝟏 𝒚 = 𝟑(𝟎) +
𝟎
)𝟒 (𝟏 ,
𝟒 = 𝟏 𝒚 = 𝟑(𝟏) +
𝟏
4
)𝟒 (𝟏 ,
3 2 4
)𝟏 1 (𝟎 , 1 2
3
املستقيم يقطع احملور الصادي واحملور السيين . 𝒙𝟒2) 𝒚 = − احلل :
)𝒚 (𝒙 ,
𝒙𝟒𝒚 = −
𝒙
)𝟎 (𝟎 ,
𝟎 = )𝟎(𝟒𝒚 = −
𝟎
)𝟒(𝟏 , −
𝟒𝒚 = −𝟒(𝟏) = −
𝟏
4 3 2 1
املستقيم مير بنقطة االصل .
4
3
1
2
)𝟎 (𝟎 ,
−1 −2 −3 −4
)𝟒(𝟏 , −
−5
واجب
احلل :
𝟎 = 𝟐 3) 𝒚 + 𝟑𝐱 −
𝒙𝟑 4) 𝒚 = 𝟏 − واجب 𝟎 = 𝟓 5) 𝒚 + 𝟓𝒚 + 𝟓 = 𝟎 ⟹ 𝒚 = − )𝒚 (𝒙 ,
𝟓𝒚 = −
𝒙
)𝟎 (𝟎 ,
𝟓𝒚 = −
𝟎
)𝟓(𝟏 , −
𝟓𝒚 = −
𝟏
املستقيم يوازي احملور السيين وعمودي على احملور الصادي
−1 −2 −3 −4 )𝟓(𝟎 , −
167
−5
احلل :
)𝒚 (𝒙 ,
𝟓=𝒙
𝒚
)𝟎 (𝟓 ,
𝟓=𝒙
𝟎
)𝟏 (𝟓 ,
𝟓=𝒙
𝟏
𝟎 = 𝟓 6) 𝒙 − 𝟓=𝒙⟹𝟎=𝟓𝒙− 4 3 2 )𝟏 (𝟓 ,
4 5
املستقيم يوازي احملور الصادي وعمودي على السيين .
2
3
1
1
)𝟎 (𝟓 ,
مثل املعادالت التربيعية التالية يف املستوي االحداثي : 𝟒 𝟕) 𝒚 = 𝒙𝟐 + احلل : )𝒚 (𝒙 , )𝟒 (𝟎 , )𝟓 (𝟏 , )𝟖 (𝟐 , )𝟓 (−𝟏 , )𝟖 (−𝟐 ,
𝟒 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟒 = 𝟒 𝒚 = (𝟎)𝟐 + 𝟓 = 𝟒 𝒚 = (𝟏)𝟐 + 𝟖 = 𝟒 𝒚 = (𝟐)𝟐 + 𝟓 = 𝟒 𝒚 = (−𝟏)𝟐 + 𝟖 = 𝟒 𝒚 = (−𝟐)𝟐 +
𝒙 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏− 𝟐−
4
)𝟒 (𝟎 ,
3 2 1
3
2
1
−3 − 2 − 1
−1 −2
𝟐
𝒙 = 𝒚 )𝟖 واجب 𝟐𝒙𝟑 𝟗) 𝒚 = 𝟏 − احلل : )𝒚 (𝒙 ,
𝟐𝒙𝟑 𝒚 = 𝟏 −
3
𝒙
2 )𝟏 (𝟎 ,
1
𝟏 = 𝟐) 𝟎( 𝟑 𝒚 = 𝟏 −
𝟎
𝟐𝒚 = 𝟏 − 𝟑(𝟏)𝟐 = 𝟏 − 𝟑 = −
𝟏
)𝟏𝟏(𝟐 , −
𝟏𝟏𝒚 = 𝟏 − 𝟑(𝟐)𝟐 = 𝟏 − 𝟏𝟐 = −
𝟐
)𝟐(−𝟏 , −
𝟐𝒚 = 𝟏 − 𝟑(−𝟏)𝟐 = 𝟏 − 𝟑 = −
𝟏−
−4
𝟏𝟏𝒚 = 𝟏 − 𝟑(−𝟐)𝟐 = 𝟏 − 𝟏𝟐 = −
𝟐−
−5
)𝟏 (𝟎 , )𝟐(𝟏 , −
)𝟏𝟏(−𝟐 , −
−1 −2 −3
تدرب وحل التمرينات :مثل املعادالت اخلطية التالية يف املستوي االحداثي وبني عالقتها باحملورين : احلل :
)𝟒 4 (𝟎 ,
)𝒚 (𝒙 ,
𝟒 𝒚 = −𝒙 + )𝟒 𝒚 = −(𝟎) + 𝟒 = 𝟒 (𝟎 , 𝟏 )𝟑 𝒚 = −(𝟏) + 𝟒 = 𝟑 (𝟏 , املستقيم يقطع احملور الصادي واحملور السيين
)𝟑 (𝟏 ,
𝒙
𝟎
168
3 2
4 5
3
2
1
1
𝟒 10) 𝒚 = −𝒙 +
𝒙 = 𝒚 )𝟏𝟏 احلل :
4
)𝒚 (𝒙 , )𝟎 (𝟎 , )𝟏 (𝟏 ,
املستقيم مير بنقطة االصل .
𝒙=𝒚 𝟎=𝒚 𝟏=𝒚
3
𝒙
2
𝟎
5
𝟏
4
1
)𝟏 (𝟏 ,
3
1
2
)𝟎 (𝟎 ,
واجب احلل :
)𝒚 (𝒙 , )𝟑 (𝟎 , )𝟒 (𝟏 ,
4
)𝟒 (𝟏 ,
𝒙
𝟎=𝟑𝒚−𝒙−
𝟎 = 𝟏 𝟏𝟐) 𝒚 + 𝒙 − 𝟎 = 𝟑 𝟏𝟑) 𝒚 − 𝒙 − 3
)𝟑 (𝟎 ,
𝟎
𝟎=𝟑𝒚−𝟎− 𝟑=𝒚⟹𝟎=𝟑𝒚− 𝟎=𝟑𝒚−𝟏− 𝟒=𝒚⟹𝟎=𝟒𝒚−
2 1
5
4
3
1
2
𝟏
املستقيم يقطع احملور الصادي واحملور السيين .
𝟓− 𝟐 𝟎 = 𝒚 )𝟓𝟏
واجب احلل :
= 𝒙 )𝟒𝟏
4
)𝒚 (𝒙 ,
𝟎=𝒚
𝒙
)𝟎 (𝟎 ,
𝟎=𝒚
𝟎
)𝟎 (𝟏 ,
𝟎=𝒚
𝟏
3 2 1 5
4
3
2
1
)𝟎 (𝟏 ,
)𝟎 (𝟎 ,
املستقيم مير بنقطة االصل وينطبق على احملور السيين . واجب
𝟎 = 𝒚 𝟏𝟔) 𝒙 +
مثل املعادالت التربيعية التالية يف املستوي االحداثي : 𝟏 𝟏𝟕) 𝒚 = 𝒙𝟐 − احلل :
)𝒚 (𝒙 , )𝟏(𝟎 , − )𝟎 (𝟏 , )𝟑 (𝟐 , )𝟎 (−𝟏 , )𝟑 (−𝟐 ,
𝟐
𝟏𝒚=𝒙 − 𝟏𝒚 = (𝟎) − 𝟏 = 𝟎 − 𝟏 = − 𝟎 = 𝟏 𝒚 = (𝟏)𝟐 − 𝟏 = 𝟏 − 𝟑 = 𝟏 𝒚 = (𝟐)𝟐 − 𝟏 = 𝟒 − 𝟎 = 𝟏 𝒚 = (−𝟏)𝟐 − 𝟏 = 𝟏 − 𝟑 = 𝟏 𝒚 = (−𝟐)𝟐 − 𝟏 = 𝟒 − 𝟐
𝒙 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏− 𝟐−
−1 )𝟏(𝟎 , −
−2 −3 −4 −5
169
𝟑 𝟏𝟖) 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑𝟏𝟗) 𝒚 = −
واجب احلل :
3
𝟐𝒙𝟑𝒚 = − 𝟎 = 𝟐)𝟎(𝟑𝒚 = − 𝟑𝒚 = −𝟑(𝟏)𝟐 = − 𝟐𝟏𝒚 = −𝟑(𝟐)𝟐 = − 𝟑𝒚 = −𝟑(−𝟏)𝟐 = − 𝟐𝟏𝒚 = −𝟑(−𝟐)𝟐 = −
)𝒚 (𝒙 , )𝟎 (𝟎 , )𝟑(𝟏 , − )𝟐𝟏(𝟐 , − )𝟑(−𝟏 , − )𝟐𝟏(−𝟐 , −
𝒙 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏− 𝟐−
2 1 )𝟎 (𝟎 ,
−1 −2 −3 −4 −5
𝟐𝒙𝟐 = 𝒚 )𝟎𝟐
واجب
𝟐𝒙 = 𝒚𝟒 )𝟏𝟐 𝟐𝒙
احلل :
𝟒
=𝒚⟹
)𝟏 (𝟐 , )𝟏 (−𝟐 ,
𝟒
𝟐𝒙 𝟒
)𝒚 (𝒙 , )𝟎 (𝟎 ,
𝟐𝒙
=
𝒚𝟒 𝟒
⟹ 𝟐𝒙 = 𝒚𝟒 𝒙
=𝒚 𝟐
)𝟎( 𝟎 =𝒚 𝟎= = 𝟒 𝟒 𝟐 )𝟐( 𝟒 =𝒚 𝟏= = 𝟒 𝟒 𝟐 )𝟐(− 𝟒 =𝒚 𝟏= = 𝟒 𝟒
𝟎
)𝟎 (𝟎 ,
−1 −2
𝟐
−3 −4
𝟐−
−5
𝟏 = 𝒚𝟓 𝟐𝟐) 𝒙𝟐 + احلل : 𝟐𝒙𝟏− 𝟓
)𝒚 (𝒙 , 𝟏 ) (𝟎 , 𝟓 )𝟎 (𝟏 , )𝟎 (−𝟏 ,
=𝒚⟹
𝟐𝒙𝟏− 𝟓
=
𝒚𝟓 𝟓
𝟐𝒙 𝟏 − =𝒚 𝟓
⟹ 𝟐𝒙 𝒙𝟐 + 𝟓𝒚 = 𝟏 ⟹ 𝟓𝒚 = 𝟏 − 𝒙
4 3
𝟏 𝟐)𝟎( 𝟏 − = 𝟓 𝟓 𝟎 𝟏 𝟏 − (𝟏)𝟐 𝟏 − =𝒚 = 𝟎= = 𝟓 𝟓 𝟓 𝟎 𝟏 𝟏 − (−𝟏)𝟐 𝟏 − =𝒚 = 𝟎= = 𝟓 𝟓 𝟓 =𝒚
170
𝟎 𝟏
2 5
4
3
2
𝟏 ) (𝟎 , 𝟓1
1
𝟏−
واجب
𝟎 = 𝟐𝒙𝟐 𝟐𝟑) 𝒚 −
تدرب وحل مسائل حياتية : 9
𝟒𝟐) درجات حرارة :املعادلة 𝟐𝟑 𝐅 ° = 𝑪° +تبني العالقة بني درجات 5
احلرارة السيليزية ودرجات احلرارة الفهرهنايتية هلا ،مثل املعادلة بيانيا . احلل :
)(𝑪° , 𝑭°
9 𝟐𝟑 𝐅 ° = 𝑪° + 5
𝑪°
)𝟐𝟑 (𝟎 ,
9 𝟐𝟑 = 𝟐𝟑 𝐅 ° = (𝟎) + 5
𝟎
)𝟏𝟒 (𝟓 ,
9 𝟐𝟑 𝐅 ° = (𝟓) + 5
𝟏
𝟏𝟒 = 𝟐𝟑 𝐅 ° = 𝟗 + الرسم واجب . 𝟓𝟐( هندسة :مثلث قائم الزاوية متساوي الساقني ،طول ضلعه القائم 𝒙 وحدة 𝒇(𝒙) ،متثل مساحته )iاكتب العالقة )𝒙(𝒇 بداللة 𝒙 .
𝒙
)iiمثل العالقة )𝒙(𝒇 يف املستوي االحداثي . احلل :
𝒙
1 االرتفاع × القاعدة × = مساحة املثلث 2 𝟏 𝟐𝒙 = )𝒙𝟐()𝒙( = )𝒙(𝒇 𝟐 )𝒚 (𝒙 , )𝟎 (𝟎 , )𝟏 (𝟏 , )𝟒 (𝟐 , )𝟏 (−𝟏 , )𝟒 (−𝟐 ,
𝟐𝒙 = )𝒙(𝒇 𝟎 = 𝟐) 𝟎( = 𝒚 𝟏 = 𝟐) 𝟏( = 𝒚 𝟒 = 𝟐) 𝟐( = 𝒚 𝟏 = 𝟐)𝟏𝒚 = (− 𝟒 = 𝟐)𝟐𝒚 = (−
𝒙
𝒙
𝒙 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏− 𝟐−
𝒙
𝒙𝟐
)𝟎 (𝟎 ,
−1 −2 −3 −4 −5
171
𝟔𝟐( فيزياء :ميثل القانون 𝐦 𝟖 𝐅 = 𝟗.القوة النامجة على تأثري جاذبية االرض كتلة اجلسم بالكيلوغرام ،مثل القانون ، mالقوة بالنيوتن 𝐅 على جسم ،حيث باملستوي االحداثي . احلل : )𝑭 (𝒎 , )𝟎 (𝟎 , )𝟖 (𝟏 , 𝟗.
𝐦 𝟖 𝐅 = 𝟗. 𝟎 = )𝟎(𝟖 𝐅 = 𝟗. 𝟖 𝐅 = 𝟗. 𝟖 (𝟏) = 𝟗.
𝒎 𝟎 𝟏
الرسم واجب 𝟕𝟐( اعمال :تتقاضى شركة معدات بناء 𝟎𝟏 االف دينار كتأمني ،يضاف اليها 𝟓 االف دينار عن كل ساعة ،اكتب املعادلة اليت تعرب عن املسألة ،مث مثلها بيانيا يف املستوي االحداثي . احلل :
)𝒚 (𝒙 , )𝟓𝟏 (𝟏 , )𝟎𝟐 (𝟐 ,
𝒙𝟓 𝒚 = 𝟏𝟎 + 𝟓𝟏 = )𝟏(𝟓 𝒚 = 𝟏𝟎 + 𝟎𝟐 = )𝟐(𝟓 𝒚 = 𝟏𝟎 +
𝒙 𝟏 𝟐
الرسم واجب
فكر 𝟖𝟐( اكتشف اخلطأ :مثل حممد املعادلة اخلطية التالية 𝟗 𝒚 = −𝟑𝒙 +بالشكل البياين اجملاور .اكتشف خطأ حممد وصححه . احلل :
)𝒚 (𝒙 ,
𝟗 𝒚 = −𝟑𝒙 +
𝒙
)𝟗 (𝟎 ,
𝟗 = 𝟗 𝒚 = −𝟑(𝟎) +
𝟎
)𝟔 (𝟏 ,
𝟔 = 𝟗 𝒚 = −𝟑(𝟏) +
𝟐 )𝟗 (𝟎 ,
9 8 7 6
)𝟔 (𝟏 ,
5 4 3 2 1 2
172
1
𝟗𝟐( مسألة مفتوحة :إعط مثاالً ملعادلة خطية على صورة 𝟎 = 𝒄 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 +لكل حالة : 𝟎 = 𝒂 )𝒊 𝟎 = 𝒃)𝒊𝒊 𝟎 = 𝒄)𝒊𝒊𝒊 احلل : 𝟎 = 𝟔 𝒊) 𝒂 = 𝟎 ⟹ 𝟑𝒚 + 𝟎 = 𝟖 𝒊𝒊) 𝒃 = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒙 + 𝟎 = 𝒚𝟓𝟏 𝒊𝒊𝒊) 𝒄 = 𝟎 ⟹ 𝟏𝟎𝒙 + 𝟎𝟑( حتدٍ :شكلت االزواج املرتبة التالية )𝟒 (−𝟏 , 𝟐), (𝟏 , 𝟔), (𝟎 ,مستقيما ،ما نقطة تقاطع هذا املستقيم مع حمور السينات ؟
9
احلل :نقطة التقاطع هي )𝟎 (−𝟐 ,
8 7 6
)𝟔 (𝟏 ,
5 4 3 2
)𝟐 (−𝟏 ,
1 2
1
𝟏𝟑( تربير :بني اذا كانت االزواج املرتبة {(𝟐 , 𝟒), (𝟏 , 𝟏) , (𝟎 , 𝟎), (−𝟏 , 𝟏), (−𝟐 , 𝟒)} :متثل دالة خطية أم تربيعية . احلل :متثل دالة تربيعية
)𝟎 (𝟎 ,
−1 −2 −3 −4 −5
𝟐𝟑( حس عددي 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟏 , 𝒚 = 𝒙 + 𝟏 :ايهما متثل دالة تربيعية ؟ وضح ذلك . احلل 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟏 :متثل هي دالة تربيعية )𝒚 (𝒙 , )𝟏 (𝟎 , )𝟐 (𝟏 , )𝟓 (𝟐 , )𝟐 (−𝟏 , )𝟓 (−𝟐 ,
𝟏 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐)𝟎(
=𝒚 𝟏=𝟏+ 𝟐 = 𝟏 𝒚 = (𝟏)𝟐 + 𝟓 = 𝟏 𝒚 = (𝟐)𝟐 +
𝟐 = 𝟏 𝒚 = (−𝟏)𝟐 + 𝟓 = 𝟏 𝒚 = (−𝟐)𝟐 +
𝒙 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏− 𝟐−
)𝟏 (𝟎 ,
−1 −2 −3 −4 −5
173
أكتب :خطوات تبني أن 𝟑 𝒚 = 𝟒𝒙 +معادلة خطية ؟ احلل :من خالل متثيلها باملستوي االحداثي حيث متثل مستقيما . ***********************
ميل املستقيم املنحدرات اجلبلية تُعدّ مثالً جيداًعلى امليل ،فكلما زاد ارتفاع اجلبل زاد امليل .كيف ميكننا حتديد ميل املنحدرات؟ فكرة الدرس :اجياد ميل املستقيم . اجياد املقطع الصادي . اجياد املقطع السيين . املفردات : التغري العمودي التغري االفقي املقطع السيين املقطع الصادي امليل
اجياد ميل املستقيم امليل :يُعرف ميل املستقيم غري الرأسي بانه النسبة بني التغري العمودي والتغري االفقي . التغري العمودي :هو التغري الصادي ويساوي 𝟏𝒚 𝒚𝟐 − التغري االفقي :هو التغري السيين ويساوي 𝟏𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏𝒚 𝒚𝟐 − 𝟏𝒙 𝒙𝟐 −
=𝒎
التغري الصادي
,
التغري السيين
= امليل
𝒎 :هو ميل املستقيم املار بالنقطتني ) 𝟐𝒚 (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ), (𝒙𝟐 , * امليل يكون أما موجبا أو سالبا أو صفرا فهو يوازي حمور السينات أو غري حمدد فهو يوازي حمور الصادات .
مثال :جد ميل املستقيم املار بالنقطتني يف كل مما يأيت : )𝟏 𝟏) 𝑨 (𝟓 , 𝟕), 𝑩 (−𝟐 , احلل : 𝟔
امليل موجب (املستقيم حنو االعلى)
𝟕
=
𝟔− 𝟕−
=
𝟕𝟏− 𝟓−𝟐−
=𝒎 ⟹
𝟏𝒚𝒚𝟐 − 𝟏𝒙𝒙𝟐 −
=𝒎
)𝟐 𝟐) 𝑨 (−𝟏 , 𝟓), 𝑩 (𝟒 ,
احلل : امليل سالب (املستقيم حنو االسفل)
174
𝟑− 𝟓
=
𝟑− 𝟏𝟒+
=
𝟓𝟐− )𝟏𝟒−(−
=𝒎 ⟹
𝟏𝒚𝒚𝟐 − 𝟏𝒙𝒙𝟐 −
=𝒎
)𝟐𝟑) 𝑨 (𝟏 , −𝟐), 𝑩 (𝟒 , − احلل : 𝟎
امليل صفر (املستقيم أفقي) يوازي حمور السينات
𝟐−𝟐+
𝟎= =
𝟑
𝟑
=
)𝟐−𝟐−(− 𝟏𝟒−
=𝒎 ⟹
𝟏𝒚𝒚𝟐 − 𝟏𝒙𝒙𝟐 −
=𝒎
)𝟑𝟒) 𝑨 (−𝟐 , 𝟑), 𝑩 (−𝟐 , −
احلل : 𝟔−
امليل غري حمدد (املستقيم عمودي) يوازي حمور الصادات
𝟎
𝟔−
=
𝟐−𝟐+
=
𝟑−𝟑− )𝟐−𝟐−(−
=𝒎 ⟹
𝟏𝒚𝒚𝟐 − 𝟏𝒙𝒙𝟐 −
=𝒎
مثال :اجلدول اجملاور ميثل تغري درجات احلرارة بالزمن (بالساعات) جد ميل املستقيم واشرح ما يعنيه . درجات احلرارة 𝟐− 𝟏 𝟒 𝟎𝟏
الزمن (بالساعات) 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒
احلل :خنتار اي نقطتني من اجلدول ولتكن )𝟐. (𝟑 , 𝟒), (𝟏 , −
𝟏𝒚 𝒚𝟐 − 𝟒 −𝟐 − 𝟔− =𝒎 ⟹ = 𝟑= 𝟏𝒙 𝒙𝟐 − 𝟑𝟏− 𝟐− اي ان ميل املستقيم 𝟑 فإن درجات احلرارة زادت 𝟑 درجات سليزية كل ساعة .
=𝒎
املقطع السيين :هو قيمة 𝒙 من تقاطع املستقيم مع حمور السينات .ونقطة التقاطع )𝟎 . (𝒙 , املقطع السيين :هو قيمة 𝒚 من تقاطع املستقيم مع حمور الصادات .ونقطة التقاطع )𝒚 . (𝟎 , مالحظة :جنعل املعادلة بالصيغة االتية 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 : 𝒂 :معامل 𝒙
𝒃 :معامل 𝒚 ، 𝒄 , املقطع الصادي = 𝒚 𝒃
،
𝒄 املقطع السيين 𝒂
𝒄 :احلد املطلق =𝒙
مثال :جد املقطع السيين والصادي للمستقيم 𝟓𝟏 = 𝒚𝟓 𝟑𝒙 + احلل : نقطة التقاطع مع السينات )𝟎 (𝟓 ,
املقطع السيين
𝟓=
نقطة التقاطع مع الصادات )𝟑 (𝟎 ,
املقطع الصادي
𝟑=
مثال :جد املقطع السيين والصادي إن وجد لكل مما يأيت : نقطة التقاطع مع السينات )𝟎 (−𝟐 ,
نقطة التقاطع مع الصادات )𝟒 (𝟎 ,
املقطع السيين
𝟓𝟏 𝟑 𝟓𝟏 𝟓
𝒄
=𝒙⟹ =𝒙 𝒂 𝒄
=𝒚⟹ =𝒚 𝒃
𝟐𝟏) 𝒙 = − 𝒄 𝟐− =𝒙⟹ =𝒙 𝟐= − 𝒂 𝟏
ال يوجد مقطع صادي واملستقيم يوازي حمور الصادات 𝟒 = 𝒚 )𝟐 𝒄 𝟒 𝟒= =𝒚⟹ =𝒚 املقطع الصادي 𝒃 𝟏 ال يوجد مقطع سيين واملستقيم يوازي حمور السينات
175
تأكد من فهمك :جد ميل املستقيم املار بالنقطتني أموجب امليل أم سالب أم صفرا أم غري حمدد مث حدد إجتاه حركته لكل مما يأيت : )𝟏 𝟏) (−𝟐 , −𝟐), (−𝟒 , احلل : 𝟑
امليل سالب (املستقيم حنو االسفل)
𝟐−
=
𝟐𝟏+
=
𝟐−𝟒+
)𝟐𝟏−(− )𝟐−𝟒−(−
=𝒎 ⟹
𝟏𝒚𝒚𝟐 − 𝟏𝒙𝒙𝟐 −
=𝒎
)𝟐 𝟐) (𝟎 , 𝟎), (𝟑 ,
احلل : 𝟐
امليل موجب (املستقيم حنو االعلى)
=
𝟑
𝟎𝟐− 𝟎𝟑−
=𝒎 ⟹
𝟏𝒚𝒚𝟐 − 𝟏𝒙𝒙𝟐 −
=𝒎
)𝟓𝟑) (−𝟒 , 𝟒), (𝟐 , −
احلل : امليل سالب (املستقيم حنو االسفل)
𝟗−
=
𝟗−
=
𝟔
𝟗− 𝟒𝟐+
𝟒−𝟓−
=
)𝟒𝟐−(−
=𝒎 ⟹
𝟏𝒚𝒚𝟐 − 𝟏𝒙𝒙𝟐 −
=𝒎
)𝟐 𝟒) (𝟓 , 𝟎), (𝟎 ,
واجب احلل : امليل سالب (املستقيم حنو االسفل)
𝟔
𝟗− 𝟒𝟐+
𝟒−𝟓−
=
)𝟒𝟐−(−
=𝒎 ⟹
𝟏𝒚𝒚𝟐 − 𝟏𝒙𝒙𝟐 −
=𝒎
)𝟑𝟓) (𝟒 , 𝟑), (𝟒 , −
احلل : 𝟔−
غري حمدد (املستقيم عمودي)
𝟎
=
𝟑−𝟑− 𝟒𝟒−
=𝒎 ⟹
𝟏𝒚𝒚𝟐 − 𝟏𝒙𝒙𝟐 −
=𝒎
)𝟏𝟔) (−𝟔 , −𝟏), (−𝟐 , −
احلل : 𝟎
امليل صفر (املستقيم افقي)
𝟎= = 𝟒
𝟏−𝟏+ 𝟔−𝟐+
=
)𝟏−𝟏−(− )𝟔−𝟐−(−
=𝒎 ⟹
جد املقطع السيين واملقطع الصادي لكل مما يأيت :
املقطع السيين
𝟏𝒚𝒚𝟐 − 𝟏𝒙𝒙𝟐 −
=𝒎
𝟖𝟏 = 𝒚𝟔 𝟕) 𝟑𝒙 + 𝒄 𝟖𝟏 𝟔= =𝒙⟹ =𝒙 𝒂 𝟑 𝟖𝟏 𝟔
𝒄
𝟑= املقطع الصادي 𝟒 𝟖) 𝒚 + 𝟐 = 𝟓𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝟐 = 𝟓𝒙 − 𝟒 ⟹ −𝟓𝒙 + 𝒚 = −𝟒 − 𝟐 ⟹ −𝟓𝒙 + 𝒚 = − جعلنا املعادلة بالصيغة االتية 𝒄 = 𝒚𝒃 𝒂𝒙 +
جعلنا املعادلة بالصيغة االتية 𝒄 = 𝒚𝒃 𝒂𝒙 + 176
املقطع السيين
𝟓=
𝟔
املقطع الصادي
𝟔= −
𝟔− 𝟓− 𝟔− 𝟏
=𝒚⟹ =𝒚 𝒃
𝒄
=𝒙⟹ =𝒙 𝒂 𝒄
=𝒚⟹ =𝒚 𝒃
𝒙𝟒𝟗) 𝒚 = − 𝟎 = 𝒚 𝒚 = −𝟒𝒙 ⟹ 𝟒𝒙 +
املقطع السيين
جعلنا املعادلة بالصيغة االتية 𝒄 = 𝒚𝒃 𝒂𝒙 +
جعلنا املعادلة بالصيغة االتية 𝒄 = 𝒚𝒃 𝒂𝒙 +
𝟎=
𝟎 𝟒 𝟎 𝟏
𝒄
=𝒙⟹ =𝒙 𝒂 𝒄
𝟎= املقطع الصادي 𝟖 𝟏𝟎) 𝒚 = −𝒙 + 𝟖 = 𝒚 𝒚 = −𝒙 + 𝟖 ⟹ 𝒙 + املقطع السيين
𝟖=
املقطع الصادي
𝟖=
𝟖 𝟏 𝟖 𝟏
=𝒚⟹ =𝒚 𝒃
𝒄
=𝒙⟹ =𝒙 𝒂 𝒄
=𝒚⟹ =𝒚 𝒃
𝟖 𝟏𝟏) 𝟓𝒙 = 𝒚 − واجب 𝟑− = 𝒚 )𝟐𝟏 𝟓𝒙− 𝟒 𝟑− 𝟑 𝟓𝒚 = 𝒙 − 𝟓 ⟹ 𝒙 + 𝒚 = −
املقطع السيين (مقام املقام يضرب بالبسط)
𝟒 𝟎𝟐− 𝟑
املقطع الصادي
𝟓= −
=
𝟓− 𝟑 𝟒
𝟓− 𝟏
𝟒
𝒄
=𝒙⟹ =𝒙 𝒂 𝒄
=𝒚⟹ =𝒚 𝒃
واجب 𝟐𝟏 = 𝒚𝟔 𝟏𝟑) 𝟐𝒙 + واجب 𝟒 𝟏𝟒) 𝒚 + 𝟒 = 𝟐𝒙 − 𝒙𝟓𝟏𝟓) 𝒚 = − 𝟎 = 𝒚 𝒚 = −𝟓𝒙 ⟹ 𝟓𝒙 +
جعلنا املعادلة بالصيغة االتية 𝒄 = 𝒚𝒃 𝒂𝒙 +
املقطع السيين
𝟎=
املقطع الصادي
𝟎=
𝟎 𝟓 𝟎 𝟏
𝒄
=𝒙⟹ =𝒙 𝒂 𝒄
=𝒚⟹ =𝒚 𝒃
𝟒 = 𝒙 )𝟔𝟏 𝒄 𝟒 𝟒= =𝒙⟹ =𝒙 املقطع السيين وال يوجد مقطع صادي 𝒂 𝟏 𝟔𝟏𝟕) 𝟑𝒚 = − 𝒄 𝟔− =𝒚⟹ =𝒚 𝟐= − املقطع الصادي وال يوجد مقطع سيين 𝒃 𝟑 𝟏 𝟒 𝟏𝟖) 𝒚 = − 𝒙 + واجب 𝟐 تدرب وحل التمرينات :جد ميل املستقيم املار بالنقطتني أموجب أم سالب أم صفر أم غري حمدد مث حدد اجتاه حركته لكل مما يأيت : )𝟑 𝟏𝟗) (𝟒 , 𝟒), (𝟐 , احلل : امليل موجب (املستقيم حنو االعلى)
𝟏 𝟐
=
𝟏− 𝟐−
=
واجب 177
𝟒𝟑− 𝟒𝟐−
=𝒎 ⟹
𝟏𝒚𝒚𝟐 − 𝟏𝒙𝒙𝟐 −
=𝒎
)𝟐 𝟐𝟎) (𝟔 , 𝟐), (𝟎 ,
)𝟓 𝟐𝟏) (−𝟐 , 𝟒), (𝟓 , احلل : 𝟏
امليل موجب (املستقيم حنو االعلى)
𝟕
=
𝟏 𝟐𝟓+
=
𝟒𝟓− )𝟐𝟓−(−
=𝒎 ⟹
𝟏𝒚𝒚𝟐 − 𝟏𝒙𝒙𝟐 −
=𝒎
واجب
)𝟒 𝟐𝟐) (−𝟐 , −𝟑), (𝟐 ,
واجب
)𝟎 𝟐𝟑) (𝟑 , −𝟓), (𝟎 , 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 ) 𝟐𝟒) ( , ) , ( , 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐
واجب احلل : 𝟐 𝟒
امليل غري حمدد (املستقيم عمودي)
𝟎
=
جد املقطع السيين واملقطع الصادي لكل مما يأيت :
𝟏 𝟑 − 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 − 𝟐 𝟐
=𝒎 ⟹
𝟏𝒚𝒚𝟐 − 𝟏𝒙𝒙𝟐 −
=𝒎
املقطع السيين
𝟐𝟏 = 𝒚𝟒 𝟐𝟓) 𝟐𝒙 + 𝒄 𝟐𝟏 𝟔= =𝒙⟹ =𝒙 𝒂 𝟐
املقطع الصادي
=𝒚⟹ =𝒚
𝟐𝟏 𝟒
𝒄
𝟑= 𝟗 = 𝒙𝟕 𝟐𝟔) 𝟑𝒚 − 𝒄 𝟗 =𝒙⟹ =𝒙 𝒂 𝟕−
املقطع السيين
𝟗 𝟑
𝒃
𝒄
𝟑= املقطع الصادي 𝟐 𝟐𝟕) 𝒚 = −𝟑. 𝟓𝒙 + 𝟐 = 𝒚 𝒚 = −𝟑. 𝟓𝒙 + 𝟐 ⟹ 𝟑. 𝟓𝒙 +
جعلنا املعادلة بالصيغة االتية 𝒄 = 𝒚𝒃 𝒂𝒙 +
𝟎𝟐
املقطع السيين املقطع الصادي
جعلنا املعادلة بالصيغة االتية 𝒄 = 𝒚𝒃 𝒂𝒙 +
𝟓𝟑 =
𝟐=
𝟐 𝟏
𝒃
𝒄
=𝒙⟹ =𝒙 𝒂 𝒄
=𝒚⟹ =𝒚 𝒃
𝟑 𝒙 𝟐𝟖) 𝒚 = − 𝟐 𝟑 𝟑 𝟎=𝒚𝒚=− 𝒙⟹ 𝒙+ 𝟐
املقطع السيين
𝟎=
املقطع الصادي
𝟎=
جعلنا املعادلة بالصيغة االتية 𝒄 = 𝒚𝒃 𝒂𝒙 + املقطع الصادي وال يوجد مقطع سيين
178
𝟐 𝟓𝟑 𝟎𝟏
=
𝟐 𝟓𝟑.
=𝒚⟹ =𝒚
𝟎 𝟑 𝟐
𝟎 𝟏
𝟐
𝒄
=𝒙⟹ =𝒙 𝒂 𝒄
=𝒚⟹ =𝒚 𝒃
𝟒𝟐𝟗) 𝒙 = − واجب 𝟑 𝟑𝟎) 𝟎 = 𝒚 + 𝟑𝒚 + 𝟑 = 𝟎 ⟹ 𝒚 = − 𝟑= −
𝟑− 𝟏
𝒄
=𝒚⟹ =𝒚 𝒃
تدرب وحل مسائل حياتية : 𝟏𝟑( فيزياء :ميثل اجلدول اجملاور كمية السائل املتدفق من
كمية السائل املتسرب
حوض خالل فترة زمنية ،جد ميل املستقيم الذي ميثله
الزمن (ثواين) 𝟎𝟏 𝟑𝟏 𝟔𝟏 𝟗𝟏
اجلدول .وفسر مايعنيه . احلل : خنتار اي نقطتني من اجلدول ولتكن )𝟔𝟏 (𝟒𝟎 , 𝟏𝟎) , (𝟔𝟒 , 𝟏 𝟒
= 𝟏
𝟔 𝟒𝟐
=
𝟎𝟏𝟏𝟔− 𝟎𝟒𝟔𝟒−
=𝒎 ⟹
𝟏𝒚𝒚𝟐 − 𝟏𝒙𝒙𝟐 −
حجم السائل 𝟑𝒎 𝟎𝟒 𝟐𝟓 𝟒𝟔 𝟔𝟕
=𝒎 𝟏
ميل املستقيم تساوي فإن كمية املاء املتدفق من احلوض هو متر لكل ثانية . 𝟒
𝟒
𝟐𝟑( نبات :اذا كان طول نبتة 𝐦𝐜 𝟎𝟑 ،يف غضون كل
𝟎
الزمن
شهرين تنمو مبقدار ثابت 𝒎𝒄 𝟒 اخرى .
𝟒
𝟐
طول النبتة
𝒊( أكمل اجلدول . 𝒊𝒊( ما ميل املستقيم الذي متثله العالقة بني طول النبتة والزمن ؟ 𝒊𝒊𝒊( اكتب الدالة اخلطية اليت ميثلها اجلدول . 𝒗𝒊( مثل الدالة يف املستوي االحداثي . احلل :
)𝒊
الزمن
𝟎
𝟐
𝟒
طول النبتة
𝟔𝟐
𝟎𝟑
𝟒𝟑
𝟐=
𝟖 𝟒
)𝒊𝒊 𝒚𝒚 − 𝟔𝟐𝟑𝟒− =𝒎 ⟹𝟏 𝟐 =𝒎 = 𝟎𝟒−
𝟏𝒙𝒙𝟐 −
𝟔𝟐 𝒚 = 𝟐𝒙 +
)𝒚 (𝒙 ,
𝟔𝟐 𝒚 = 𝟐𝒙 +
𝒙
)𝟔𝟐 (𝟎 ,
𝟔𝟐 = 𝟔𝟐 𝒚 = 𝟐(𝟎) +
𝟎
)𝟖𝟐 (𝟎 ,
𝟖𝟐 = 𝟔𝟐 𝒚 = 𝟐(𝟏) +
𝟏
)𝒊𝒊𝒊 )𝒗𝒊
فكر 𝟑𝟑( حتدٍ :جد قيمة 𝒂 اليت جتعل ميل املستقيم املار بالنقطتني )𝒂 (𝟏 , 𝟔) , (−𝟓 ,يساوي احلل :
𝟏 𝟐
.
𝟏𝒚 𝒚𝟐 − 𝟏 𝟔𝒂− 𝟔𝟏 𝒂− = ⟹ = ⟹ 𝟏𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏 𝟐 −𝟓 − 𝟐 𝟔− 179
=𝒎
𝟔 𝒂𝟐 𝟑=𝒂⟹ = 𝟐 𝟐
⟹ 𝟔 = 𝒂𝟐 ⟹ 𝟐𝟏 𝟐𝒂 − 𝟏𝟐 = −𝟔 ⟹ 𝟐𝒂 = −𝟔 +
𝟒𝟑( تفكري ناقد :هل ميكنك حتديد ميل مستقيم مير بالنقطتني )𝟑 . (𝟕 , −𝟑), (𝟕 , 𝟏𝒚 𝒚𝟐 − )𝟑𝟑 − (− 𝟔 𝟑𝟑+ =𝒎 =𝒎 ⟹ =𝒎⟹ = امليل غري حمدد 𝟏𝒙 𝒙𝟐 − 𝟕𝟕− 𝟎 𝟎 𝟎𝟑− 𝟑 = 𝒎 أكتشف 𝟓𝟑( أكتشف اخلطأ :ميل املستقيم الذي مير بالنقطتني )𝟏 (𝟎 , 𝟑), (𝟑 , −هو = 𝟒
اخلطأ وصححه .
)𝟏𝟑−(−
𝟏𝒚 𝒚𝟐 − 𝟒−𝟏 − 𝟑 − =𝒎 ⟹ = 𝟏𝒙 𝒙𝟐 − 𝟎𝟑− 𝟑
𝟔𝟑( مسألة مفتوحة :إذكر نقطتني على مستقيم يكون ميله = )𝟑 (−𝟐 , 𝟒)(𝟏 ,
𝟏– 𝟑
𝟏𝒚 𝒚𝟐 − 𝟒𝟑− 𝟏− =𝒎 ⟹ = 𝟏𝒙 𝒙𝟐 − )𝟐𝟏 − (− 𝟑
𝟕𝟑( تفكري ناقد :من الشكل البياين اجملاور حدد اجتاه املستقيم
𝒚
أكتب :باسلوبك ماذا يعين امليل يساوي صفرا ،وامليل غري حمدد . امليل يساوي صفر يعين املستقيم افقي ويوازي حمور السينات وقيم 𝒚 ثابتة . امليل غري حمدد يعين املستقيم عمودي (شاقويل) ويوازي حمور الصادات وقيم 𝒙 ثابتة . ***********************
معادلة املستقيم تعلم :يقطع راكب دراجة هوائية 𝟎𝟐 كيلو متراً يف ساعتني و يقطع 𝟎𝟓 كيلو متراً يف مخس ساعات ،ما املعادلة اخلطية اليت تربط بني املسافة و الزمن ؟ فكرة الدرس :اجياد معادلة مستقيم علم منه : املفردات :
* نقطتان
* ميل ونقطة
* امليل
* املقطع
* ميل ومقطع
كتابة معادلة مستقيم مبعرفة نقطتني نستطيع اجياد معادلة مستقيم إذا علمت نقطتني وتكون املعادلة بالشكل االيت : 𝟏𝒚 𝒚 − 𝒚𝟏 𝒚𝟐 − = 𝟏𝒙 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒙𝟐 −
180
=𝒎
=𝒎
مثال :يقطع راكب دراجة هوائية 𝟎𝟐 كيلو متراً يف ساعتني و يقطع 𝟎𝟓 كيلو متراً يف مخس ساعات ،ما املعادلة اخلطية اليت تربط بني املسافة و الزمن ؟ احلل : )𝟎𝟓 𝑨 (𝟐 , 𝟐𝟎) , 𝑩 (𝟓 ,
𝟏𝒚 𝒚 − 𝒚𝟏 𝒚𝟐 − 𝟎𝟐 𝒚 − 𝟐𝟎 𝟓𝟎 − 𝟎𝟑 𝟎𝟐 𝒚 − = ⟹ = ⟹ = 𝟏𝒙 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙− 𝟐𝟓− 𝟐𝒙− 𝟑 𝟎𝟔 𝟑𝟎𝒙 − 𝟔𝟎 = 𝟑𝒚 − 𝟔𝟎 ⟹ 𝟑𝟎𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟔𝟎 + 𝒚𝟑 𝒙𝟎𝟑 − 𝟎 = 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝟏𝟎𝒙 − 𝟑 𝟑
⟹ 𝟑 ÷ ]𝟎 = 𝒚𝟑 [𝟑𝟎𝒙 −
كتابة معادلة املستقيم مبعرفة ميله ونقطة منه ) 𝟏𝒙 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 −
مثال :استعمل معادلة امليل والنقطة لكل مستقيم لتحديد ميله والنقطة املار هبا : )𝟐 𝒊) 𝒚 − 𝟑 = −𝟓 (𝒙 − احلل : ⏟𝒚− 𝟓𝟑 = − ⏟ ⏟ (𝒙 − )𝟐 ⇓
⇓
⇓
) 𝟏𝒙 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 (𝒙 − نقارن مبعادلة امليل والنقطة 𝟓𝒎 = − )𝟑 , (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) = (𝟐 ,
𝟐 𝒙 𝟓
احلل :نكتب املعادلة بالصيغة االتية :
= 𝟕 𝒊𝒊) 𝒚 +
𝟐 )𝟎 ⏟ (𝒙 − ⏟ 𝟓 ⇓
⏟𝒚+ =𝟕 ⇓
⇓
نقارن مبعادلة امليل والنقطة
) 𝟏𝒙 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 (𝒙 −
)𝟕(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) = (𝟎 , −
𝟐 𝟓
,
𝟏
=𝒎
مثال :جد معادلة املستقيم الذي ميله ومقطعه السيين يساوي 𝟏. − 𝟐
احلل :لدينا ميل املستقيم فنحتاج اىل نقطة ،فالنقطة نستخرجها من مقطعه السيين وهي )𝟎 (−𝟏, 𝟏 = 𝒙 (𝒙 + 𝟏) ⟹ 𝟐𝒚 = 𝒙 + 𝟏 ⟹ 𝟐𝒚 − كتابة معادلة املستقيم مبعرفة ميله ومقطعه مع أحد احملورين :
𝟏 𝟐
معادلة املستقيم بداللة ميله 𝒎 ومقطعه الصادي 𝒌 وهي 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒌 : 𝒎 :امليل
𝒌 :مقطعه الصادي 181
) 𝟏𝒙 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 (𝒙 − 𝟏 = 𝒚 ⟹ ))𝟏𝒚 − 𝟎 = (𝒙 − (− 𝟐
مثال :استعمل معادلة امليل واملقطع لكل مستقيم لتحديد ميله ومقطعه : 𝟖 𝒊𝒊) 𝟓𝒙 = 𝟕𝒚 + 𝒙 = 𝒚 )𝒊𝒊𝒊 𝟏 = 𝒚 )𝒗𝒊
𝟔 = 𝒚𝟑 𝒊) 𝟐𝒙 + 𝟎 = 𝒚 )𝒗
𝟓 = 𝒙 𝒗𝒊) 𝒚 + احلل : (نقسم املعادلة على 𝟑) 𝟐−
𝟔 𝒊) 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔 ⟹ 𝟑𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟔
⏟𝒙+ ⟹𝒚= ⏟ 𝒙+ 𝟐 𝟑 𝟑 ⇓
𝟐−
=
𝟑
𝒚𝟑 𝟑
⇓
𝒌𝒚=𝒎𝒙+ (نقسم املعادلة على 𝟕)
𝟐− =𝒎 ∴ 𝟐=𝒌 , 𝟑 𝟖 𝒊𝒊) 𝟓𝒙 = 𝟕𝒚 + 𝟖 ⟹ 𝟕𝒚 = 𝟓𝒙 −
𝟖
𝟓
𝟖
𝟓
𝟕 ⇓
𝟕 ⇓
𝟕
𝟕
⏟ = 𝒙 − ⟹ 𝒚 = ⏟𝒙− 𝒌𝒚=𝒎𝒙+
𝒚𝟕 𝟕
𝟓 𝟖− =𝒎 ∴ =𝒌 , 𝟕 𝟕 ⏟ = 𝒚 ⟹ 𝒙 = 𝒚 )𝒊𝒊𝒊 ⏟𝟏 𝒙+ 𝟎 ⇓
⇓
𝒌𝒚=𝒎𝒙+ 𝟎=𝒌 ∴ 𝒎=𝟏 , ⏟ 𝒊𝒗) 𝒚 = 𝟏 ⟹ 𝒚 = 𝟎 𝒙 + 𝟏 ⇓
⇓
𝒌𝒚=𝒎𝒙+ 𝟏=𝒌 ∴ 𝒎=𝟎 , ⏟ 𝒗) 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒚 = 𝟎 𝒙 + 𝟎 ⇓
⇓
𝒌𝒚=𝒎𝒙+ 𝟎=𝒌 ∴ 𝒎=𝟎 , 𝟏𝒗𝒊) 𝒚 + 𝒙 = 𝟓 ⟹ 𝒚 = − ⏟⏟ 𝒙+ 𝟓 ⇓
⇓
𝒌𝒚= 𝒎𝒙+ 𝟓=𝒌 , 𝟐− مثال :مستقيم مبر يف النقطة )𝟏 (𝟓 , −وميله .جد مقطعه ومعادلته .
𝟏∴ 𝒎 = −
𝟓
احلل :
) 𝟏𝒙 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 (𝒙 −
𝟐− 𝟐− = 𝟏 (𝒙 − 𝟓 ) ⟹ 𝒚 + 𝟎𝟏 (𝒙 − 𝟓) ⟹ 𝟓𝒚 + 𝟓 = −𝟐𝒙 + 𝟓 𝟓 معادلة املستقيم
= )𝟏𝒚 − (−
𝟓 𝟓𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 − 𝒚𝟓 𝒙𝟐− 𝟓 𝟐− = ⟹ 𝟓 𝟓𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟏+ ⟹𝒚= 𝒙+ 𝟓
182
𝟓
𝟓
𝟓
تأكد من فهمك :جد معادلة املستقيمات اليت مير كل منها بنقطتني فيما يأيت : )𝟏𝟏) (−𝟑 , 𝟏), (𝟐 , − احلل :
𝟏𝒚 𝒚 − 𝒚𝟏 𝒚𝟐 − 𝟏𝒚− 𝟏 −𝟏 − 𝟏𝒚− 𝟐− 𝟐𝒚 − 𝟏 − = ⟹ = ⟹ = ⟹ = 𝟏𝒙 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒙𝟐 − )𝟑𝒙 − (−𝟑) 𝟐 − (− 𝟑𝒙+𝟑 𝟐+ 𝟑𝒙+ 𝟓 نضرب طرفني يف وسطني 𝟏 𝒙𝟐𝟓𝒚 − ⟹ 𝟏 𝟓𝒚 − 𝟓 = −𝟐𝒙 − 𝟔 ⟹ 𝟓𝒚 = −𝟐𝒙 − 𝟔 + 𝟓 ⟹ 𝟓𝒚 = −𝟐𝒙 − = − 𝟓 𝟓 𝟓 𝟐− 𝟏 معادلة املستقيم 𝒚 = 𝒙 − واجب
𝟓
𝟓
)𝟒𝟐) (𝟎 , 𝟐), (𝟐 , −
إستعمل معادلة امليل والنقطة لكل مستقيم لتحديد ميله والنقطة املار هبا : )𝟑 𝟑) 𝒚 − 𝟏 = 𝟐(𝒙 − احلل : 𝟐= 𝟏𝒚− )𝟑 (𝒙 − ) 𝟏𝒙 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 (𝒙 − )𝟏 𝒎 = 𝟐 , (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) = (𝟑 , 𝟒 𝟒) 𝒚 + 𝟏 = −𝒙 + احلل : )𝟒 𝒚 − (−𝟏) = −𝟏 (𝒙 − ) 𝟏𝒙 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 (𝒙 − )𝟏𝒎 = −𝟏 , (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) = (𝟒 , −
جد معادلة املستقيم لكل مما يلي مث جد مقطعه :
𝟐− 𝟓 ) 𝟏𝒙 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 (𝒙 − 𝟐− 𝟎𝟑 (𝒙 − 𝟒) ⟹ 𝟓𝒚 − 𝟑𝟎 = −𝟐𝒙 + 𝟖 ⟹ 𝟓𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟖 + =𝟔𝒚− 𝟓 𝟖𝟑 𝒙𝟐𝟓𝒚 − 𝟐− 𝟖𝟑 ⟹ 𝟖𝟑 𝟓𝒚 = −𝟐𝒙 + = + =𝒚⟹ 𝒙+ 𝟓 𝟓 𝟓 𝟓 𝟓 𝟖𝟑 =𝒌 مقطعه الصادي 𝟓 𝟏 𝟔) (−𝟏 , −𝟑) , واجب 𝟑 استعمل معادلة امليل والنقطة لكل مستقيم لتحديد ميله ومقطعه : 𝟏 𝟕) 𝟓𝒚 = −𝟐𝒙 − 𝟏 𝒙𝟐𝟓𝒚 − 𝟐− 𝟏 ⟹ 𝟏 𝟓𝒚 = −𝟐𝒙 − = =𝒚⟹ − 𝒙− ⏟ ⏟ 𝟓 𝟓 𝟓 𝟓 𝟓 𝟓) (𝟒 , 𝟔) ,
𝟏− 𝟓
=𝒌 ,
𝟐− 𝟓
⇓
=𝒎 ∴
⇓
𝒌 𝒚=𝒎𝒙+ 183
𝒙𝟕 = 𝒚 𝟖) −
𝟕𝒚 = −𝟕𝒙 ⟹ 𝒚 = − ⏟⏟ 𝒙+ 𝟎 𝟎=𝒌 ,
⇓
𝟕∴ 𝒎 = −
𝟏×−
⇒ 𝒙𝟕 = 𝒚−
⇓
𝒌 𝒚= 𝒎𝒙+
تدرب وحل التمرينات :جد معادلة املستقيمات اليت مير كل منها بنقطتني فيما يأيت : واجب
)𝟕 𝟗) (𝟎 , 𝟎) , (−𝟑 ,
واجب )𝟎 𝟏𝟎) (𝟎 , 𝟕) , (−𝟓 , 𝟏 𝟑 )𝟏𝟏𝟏) ( , 𝟑) , ( , − 𝟐 𝟐
احلل :
𝟏𝒚 𝒚 − 𝒚𝟏 𝒚𝟐 − 𝟑 𝒚 − 𝟑 −𝟏 − 𝟒𝒚 − 𝟑 − 𝟒𝒚 − 𝟑 − = ⟹ = ⟹ = ⟹ = 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏𝒙 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙− − 𝒙− 𝒙− 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 نضرب طرفني يف وسطني 𝟏 𝟓 𝒚 − 𝟑 = −𝟒𝒙 − (−𝟒) ⟹ 𝒚 − 𝟑 = −𝟒𝒙 + 𝟐 ⟹ 𝒚 = −𝟒𝒙 + 𝟐 + 𝟑 ⟹ 𝒚 = −𝟒𝒙 + 𝟐 معادلة املستقيم 𝟓 𝒚 = −𝟒𝒙 + استعمل معادلة امليل والنقطة لكل مستقيم لتحديد ميله والنقطة املار هبا :
𝟑 )𝟖 = −𝟓(𝒙 − 𝟐 𝟑 )𝟖 𝒚 − (− ) = −𝟓(𝒙 − 𝟐 ) 𝟏𝒙 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 (𝒙 −
𝟏𝟐) 𝒚 +
𝟑 ) 𝒎 = −𝟓 , (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) = (𝟖 , − 𝟐 واجب 𝟖 = 𝒙 𝟏𝟑) 𝒚 − 𝟑 𝟓 )𝟐 𝟏𝟒) 𝒚 = (𝒙 + 𝟓 𝟐 𝟑 𝟓 𝟓 ]) 𝟐 [ 𝒚 = (𝒙 + نضرب بـ 𝟓 𝟐 𝟑 𝟓 𝟑 𝟓 𝟓 𝟓𝟐 ) 𝟐 (𝒙 + = 𝒚 ⟹ ) 𝟐 ( ) 𝒚 = ( ) (𝒙 + 𝟑 𝟓 𝟑 𝟐 𝟔 𝟓𝟐 ))𝟐(𝒙 − (− = 𝟎 𝒚− 𝟔 ) 𝟏𝒙 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 (𝒙 − 𝟓𝟐 =𝒎 )𝟎 , (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) = (−𝟐 , 𝟔 جد معادلة املستقيم لكل مما يلي مث جد مقطعه : امليل = 𝟑 𝟏𝟓) (−𝟑 , 𝟕) , − ) 𝟏𝒙 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 (𝒙 − 184
𝟗 𝒚 − 𝟕 = −𝟑 (𝒙 − (−𝟑)) ⟹ 𝒚 − 𝟕 = −𝟑(𝒙 + 𝟑) ⟹ 𝒚 − 𝟕 = −𝟑𝒙 − معادلة املستقيم 𝟐 𝒚 = −𝟑𝒙 − 𝟗 + 𝟕 ⟹ 𝒚 = −𝟑𝒙 − امليل = 𝟑 𝟏𝟓) (−𝟑 , 𝟕) , −
واجب إستعمل معادلة امليل واملقطع لكل مستقيم لتحديد ميله ومقطعه :
𝟓 𝟏𝟕) 𝒚 + 𝟕 = 𝟑𝒙 + ⏟ = 𝒚 ⟹ 𝟕 𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟓 − ⏟𝟑𝒙 − 𝟐 𝟐, 𝒌 = −
𝟑, 𝒌 = −
𝟓𝟏∴ 𝒎 = −
⇓
⇓
𝒌 𝒚= 𝒎𝒙+
𝟑=𝒎 ∴ 𝟏 𝟏 𝟏𝟖) 𝒚 = −𝟓𝒙 − 𝟑 𝟑 𝟑× 𝟏 𝟓𝟏𝒚 = −𝟓𝒙 − 𝟏 ⇒ 𝒚 = −𝟏𝟓𝒙 − 𝟑 ⟹ 𝒚 = − ⏟⏟𝒙− 𝟑 ⇓
𝟑
⇓
𝟑
𝒌 𝒚= 𝒎𝒙 +
تدرب وحل مسائل حياتية : 𝟗𝟏( أحياء :ينمو ناب الفيل طول حياته مبعدل 𝒎𝒄 𝟏 لكل شهر .افرض أنك بدأت مبراقبه فيل عندما كان طول نابه 𝐦𝐜 𝟎𝟎𝟏 .اكتب على صورة امليل – النقطة معادلة متثل منو ناب الفيل بعد 𝒏 شهر من املراقبة. احلل 𝒎 = 𝒏 ، (𝟏 , 𝟏𝟎𝟎) : )𝟏 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 (𝒙 − 𝒙𝟏 ) ⟹ 𝒚 − 𝟏𝟎𝟎 = 𝒏 (𝒙 −
𝟎𝟐( فيزياء :التمثيل البياين اجملاور ميثل كمية املياه املتسربة من خزان خالل مدة زمنية حمددة .اكتب على صورة نقطتني ،معادلة متثل تسرب املياه بعد 𝒏 ثانية . احلل (𝟓 , 𝟏𝟎), (𝟏𝟓 , 𝟑𝟎) :من الشكل البياين
𝟏𝒚 𝒚 − 𝒚𝟏 𝒚𝟐 − 𝟎𝟏 𝒚 − 𝟏𝟎 𝟑𝟎 − 𝟎𝟐 𝟎𝟏 𝒚 − = ⟹ = ⟹ = 𝟏𝒙 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙− 𝟓 𝟏𝟓 − 𝟓𝒙− 𝟎𝟏 𝟐 𝟎𝟏 𝒚 − 𝟎𝟏 = ⟹ 𝒚 − 𝟏𝟎 = 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 ⟹ 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 + 𝟓𝒙− 𝟏
معادلة متثل تسرب املياه 𝟎 = 𝒙𝟐 𝒚 = 𝟐𝒙 ⟹ 𝒚 − 𝟏𝟐( نقود :يريد شخص تسديد مبلغ قدره 𝟎𝟑 مليون دينار ،بدفعات شهرية متساوية مقدارها 𝟓 𝟏.مليون دينار .املعادلة اخلطية اآلتية 𝟎𝟑 𝒚 = −𝟏. 𝟓𝒙 +حيث 𝒚 القيمة الباقية من املبلغ 𝒙 ،عدد االشهر ،استعمل معادلة امليل واملقطع لتحديد ميله ومقطعه . احلل :
⏟=𝒚 𝟎𝟑 −𝟏. 𝟓 𝒙 + ⏟ 𝟎𝟑 = 𝒌 ,
𝟓 ∴ 𝒎 = −𝟏.
⇓
⇓
𝒌 𝒚= 𝒎𝒙 + 185
30 20 10
5 10 15
𝟐𝟐( صحة :يف دراسة حديثة توصلت اىل ان الشخص يفقد 𝟐 ساعة من عمره عند استهالكه علبة سكائر واحدة .اكتب املعادلة اليت متثل ذلك ،ومثلها بيانيا . احلل :نأخذ نقطتني من اجلدول )𝟒 (𝟏 , 𝟐) , (𝟐 , 𝟔 𝟒 𝟐 الزمن (ساعة) 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏𝒚𝒚𝟐 − 𝟏𝒙𝒙𝟐 −
=
𝟏𝒚𝒚−
االستهالك
احلل املتبقي واجب
𝟏𝒙𝒙−
𝟑𝟐( هندسة :استعمل املعلومات يف الشكل اجملاور وجد معادلة املستقيم يف حلاالت اآلتية : )𝑖( نقطتان
)𝑖𝑖𝑖( ميل -مقطعه الصادي
)𝑖𝑖( ميل -نقطة
احلل (𝟑 , 𝟎) , (𝟎 , 𝟐) : 𝟐
𝟐𝒙+
𝟐− 𝟑
=𝒚⟹
𝟔 𝟑−
𝟑−
−
= 𝒙𝟐 𝟑−
𝒚 𝟑𝒙−
=
النقطة )𝟎 (𝟑 , 𝟐− 𝟐𝒙+ 𝟑
⟹
𝒚𝟑− 𝟑− 𝟐 𝟑−
𝟎𝟐− 𝟑𝟎−
𝟎𝒚−
=
𝟑𝒙−
⟹
𝟏𝒚𝒚𝟐 − 𝟏𝒙𝒙𝟐 −
𝟏𝒚𝒚−
=
𝟏𝒙𝒙−
)𝒊
⟹ 𝟑[−𝟑𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟔] ÷ − =
𝟎𝟐− 𝟑𝟎−
=𝒎⟹
= 𝒚 ⟹ 𝟔 (𝒙 − 𝟑) ⟹ −𝟑𝒚 = 𝟐𝒙 −
واجب
𝟏𝒚𝒚𝟐 − 𝟏𝒙𝒙𝟐 −
𝟐 𝟑−
= 𝒎 )𝒊𝒊
=𝒚⟹
𝟐 ) 𝟑 (𝒙 − 𝟑−
=𝟎𝒚−
مقطعه الصادي – ميل )𝒊𝒊𝒊
فكر 𝟒𝟐( تفكري ناقد :هل يوجد مستقيم ميله 𝟒 ومير يف النقطتني )𝟐 (𝟓 , 𝟕)(𝟖 , −؟ إن وجدت مستقيما كهذا فاكتب معادلته وإال فعلل جوابك . احلل : 𝟑= −
𝟗− 𝟑
=
𝟕−𝟐− 𝟓𝟖−
=𝒎⟹
ال يوجد مستقيم ميله 𝟒 مير بالنقطتني .
𝟏𝒚𝒚𝟐 − 𝟏𝒙𝒙𝟐 −
=𝒎
𝟓𝟐( حتدٍّ :مستقيم تقاطعه األفقي النظري اجلمعي لتقاطعه العمودي ،ومير يف النقطة )𝟑 . (𝟐 ,اكتب معادلة امليل -النقطة هلذا املستقيم . احلل (𝟐 , 𝟑), (𝟎 , 𝟎) : 𝟑
𝟑 𝟔 (𝒙 − 𝟐) ⟹ 𝟐𝒚 − 𝟔 = 𝟑𝒙 − 𝟐 معادلة املستقيم
𝟑
𝟐
=
𝟓
كتب امحد املعادلة بشكل )𝟏 𝒚 − 𝟕 = (𝒙 + 𝟑
186
𝟐−
𝟐𝟎−
𝟏𝒙𝒙𝟐 −
= 𝟑 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 (𝒙 − 𝒙𝟏 ) ⟹ 𝒚 −
𝟎 = 𝒙𝟑 𝟐𝒚 − 𝟑𝒙 = −𝟔 + 𝟔 ⟹ 𝟐𝒚 −
𝟔𝟐( ايهما صحيح :معادلة مستقيم ميله ومير بالنقطة )𝟕 .(−𝟏 , 𝟓
𝟑−
=
𝟑𝟎−
=𝒎⟹
𝟏𝒚𝒚𝟐 −
=𝒎
𝟑
كتب حممد املعادلة بشكل )𝟏 𝒚 − 𝟕 = (𝒙 +أيهما اجابته صحيحة ؟ 𝟓
احلل :
𝟑 𝟑 )𝟏 (𝒙 − (−𝟏)) ⟹ 𝒚 − 𝟕 = (𝒙 + 𝟓 𝟓 إجابة حممد صحيحة .
= 𝟕 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 (𝒙 − 𝒙𝟏 ) ⟹ 𝒚 −
أكتب :مسألة من واقع احلياة ميكن متثيلها مبعادلة اخلط املستقيم . احلل :أشترى حممد أجهزة كهربائية بالتقسيط حيث دفع 750ألف دينار دفعة أوىل ويدفع 100ألف دينار كل شهر ،أكتب معادلة املبلغ الكلي الذي سيدفعه بعد 𝑥 شهرا .إستعمل معادلة امليل واملقطع لتحديد ميله ومقطعه . 𝟎𝟓𝟕 𝒚 = 𝟏𝟎𝟎𝒙 + 𝟎𝟎𝟏 = 𝒎 ∴ , 𝟎𝟓𝟕 = 𝒌 ***********************
𝒌 𝒚= 𝒎𝒙 +
املستقيمات املتوازية واملتعامدة فكرة الدرس :التمييز بني املستقيمات املتوازية . التمييز بني املستقيمات املتعامدة . املفردات : املستقيمات املتوازية املستقيمات املتعامدة
أوالً :املستقيمات املتوازية :ومها يقعان يف مستوي واحد وليس بينهما نقطة مشتركة . 𝑳⃡ 𝟏 // 𝟐⃡ 𝑳⟺ 𝟐𝒎 = 𝟏𝒎 وبذلك يكون مثال :بني ان النقط )𝟐 𝑨(−𝟐 , 𝟑), 𝑩(−𝟏 , 𝟒), 𝑪 (𝟐 , −𝟏) , 𝑫(𝟏 , −رؤوس متوازي اضالع باستعمال امليول . احلل :جند امليل بني كل نقطتني اي بني 𝑪𝑩 𝑨𝑫 ,و 𝑫𝑪 𝑨𝑩 ,حسب الرسم اجملاور 𝟏𝒚𝒚𝟐 − 𝟏𝒙𝒙𝟐 −
)𝟑 𝑨(−𝟐 , )𝟒 𝑩(−𝟏 , )𝟏𝑪(𝟐 , − )𝟐𝑫(𝟏 , −
𝟑𝟒− 𝟏 𝟏 = 𝟏= = 𝟏 𝟐 −𝟏 − (−𝟐) −𝟏 +
𝟏−𝟐 − (−𝟏) −𝟐 + 𝟏 − = = 𝟏= 𝟐𝟏− 𝟏− 𝟏− ⃡ 𝑫𝑪⃡ // 𝑩𝑨 ∴
𝑫𝑪𝒎 = 𝑩𝑨𝒎
=𝒎
= 𝑩𝑨𝒎 = 𝑫𝑪𝒎
)𝟒 𝑩(−𝟏 ,
𝟒 −𝟏 − 𝟓− 𝟓− = = 𝟏 𝟐 − (−𝟏) 𝟐 + 𝟑
)𝟑 𝑨(−𝟐 ,
𝟑 −𝟐 − 𝟓− 𝟓− = = 𝟐 𝟏 − (−𝟐) 𝟏 + 𝟑
)𝟏𝑪(𝟐 , − )𝟐𝑫(𝟏 , − 187
= 𝑪𝑩𝒎 = 𝑫𝑨𝒎
⃡ 𝑫𝑨𝒎𝑩𝑪 = 𝒎𝑨𝑫 ∴ ⃡𝑩𝑪 // ∴ الشكل 𝑫𝑪𝑩𝑨 متوازي اضالع ألن يف متوازي االضالع كل ضلعني متقابلني متوازيني مثال :اثبت أن النقاط )𝟑 𝑨(−𝟐 , −𝟏), 𝑩(−𝟏 , 𝟎), 𝑪 (𝟐 ,تقع على استقامة واحدة باستعمال امليول . احلل :
𝟏𝒚 𝒚𝟐 − 𝟏𝒙 𝒙𝟐 − )𝟏𝟎 − (− 𝟏 𝟏 = = 𝟏= = 𝟏 𝟐 −𝟏 − (−𝟐) −𝟏 +
)𝟏𝑨(−𝟐 , − )𝟎 𝑩(−𝟏 ,
𝟎𝟑− 𝟑 𝟑 = 𝟏= = 𝟑 𝟏 𝟐 − (−𝟏) 𝟐 +
)𝟎 𝑩(−𝟏 , ) 𝟑 𝑪 (𝟐 ,
=𝒎 𝑩𝑨𝒎
= 𝑪𝑩𝒎
𝑪𝑩𝒎 = 𝑩𝑨𝒎 ∴ النقط 𝐂 𝐀 , 𝐁 ,تقع على استقامة واحدة (اي متثل خط مستقيم) مثال :جد معادلة املستقيم املار بالنقطة )𝟑 𝑪 (𝟓 ,واملوازي للمستقيم املار بالنقطتني )𝟑. 𝑨(𝟒 , 𝟓), 𝑩(𝟐 , − احلل :جند ميل املستقيم املار بالنقطتني 𝐁 𝐀 ,
𝟏𝒚 𝒚𝟐 − 𝟏𝒙 𝒙𝟐 − 𝟖−𝟑 − 𝟓 − = = 𝟒= 𝟒𝟐− 𝟐−
)𝟓 𝑨(𝟒 ,
=𝒎 𝑩𝑨𝒎
)𝟑𝑩(𝟐 , − ∵ املستقيمان متوازيان ∴ ميل املستقيم املطلوب = 𝟒 اي هو نفس ميل 𝑩𝑨 نكتب االن معادلة املستقيم والنقطة الجياد معادلة املستقيم )𝟑 𝒎 = 𝟒 , 𝑪(𝟓 ,
) 𝟏𝒙 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝟕𝟏 𝒚 − 𝟑 = 𝟒(𝒙 − 𝟓) ⟹ 𝒚 − 𝟑 = 𝟒𝒙 − 𝟐𝟎 ⟹ 𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝟐𝟎 + 𝟑 ⟹ 𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝟓− 𝟓 𝟓− مثال :ليكن 𝟒 ⃡𝑳𝟏 ∶ 𝒚 = 𝒙 + 𝟒 , ⃡𝑳𝟐 ∶ 𝒚 = 𝒙 + 𝟒 , ⃡𝑳𝟑 ∶ 𝒚 = 𝒙 −اي املستقيمات متوازية وملاذا؟ احلل :
𝟑
𝟑
𝟑
𝟓− 𝟓− = 𝟏𝒎 ⟹ 𝟒 𝒙 + 𝟒 = 𝟏𝒌 , 𝟑 𝟑 𝟓 𝟓 = 𝟐𝒎 ⟹ 𝟒 ⃡𝑳𝟐 ∶ 𝒚 = 𝒙 + 𝟒 = 𝟐𝒌 , 𝟑 𝟑 𝟓− 𝟓− = 𝒚 ∶ 𝟑𝑳⃡ = 𝟑𝒎 ⟹ 𝟒 𝒙 − 𝟒 = 𝟑𝒌 , 𝟑 𝟑 𝟑𝒎 = 𝟏𝒎 ∴ 𝟑𝒌 ≠ 𝟏𝒌 ⟹ ⃡𝑳𝟏 // ⃡𝑳𝟑 , ثانيا :املستقيمات املتعامدة :إن املستقيمان املتعامدان يلتقيان يف نقطة واحدة ويصنعان زاوية قائمة ويقعان يف مستوٍ = 𝒚 ∶ 𝟏𝑳⃡
واحد . (املستقيمان املتعامدان حاصل ضرهبما = 𝟏)− 𝟏− 𝟐𝒎
= 𝟏𝒎
⟺
𝟐𝑳⃡ ⊥ 𝟏𝑳⃡
188
أو
𝟏𝒎𝟏 × 𝒎𝟐 = −
مثال :بني أن النقط )𝟒 𝑨(𝟐 , 𝟒), 𝑩(−𝟒 , 𝟐), 𝑪 (−𝟐 , −رؤوس ملثلث قائم الزاوية .حدد الزاوية القائمة فيه. احلل :
)𝟒 𝑨(𝟐 , )𝟐 𝑩(−𝟒 , )𝟐 𝑩(−𝟒 , )𝟒𝑪(−𝟐 , − )𝟒 𝑨(𝟐 , )𝟒𝑪(−𝟐 , −
𝟏𝒚 𝒚𝟐 − =𝒎 𝟏𝒙 𝒙𝟐 − 𝟒𝟐− 𝟏 𝟐− = 𝑩𝑨𝒎 = = 𝟑 𝟔−𝟒 − 𝟐 − 𝟐 −𝟒 − 𝟔− 𝟔− = = 𝟑= − 𝟒 −𝟐 − (−𝟒) −𝟐 + 𝟐
= 𝑪𝑩𝒎
𝟖−𝟒 − 𝟒 − = = 𝟐= 𝟒−𝟐 − 𝟐 −
𝑪𝑨𝒎 𝟏
𝟏∴ 𝒎𝑨𝑩 × 𝒎𝑩𝑪 = × −𝟑 = − 𝟑
⃡ 𝑪𝑩 ⊥ 𝑩𝑨⃡ ∴ , 𝒎∠𝑩 = 𝟗𝟎° مثال :جد معادلة املستقيم املار بالنقطة )𝟒 𝑪 (𝟑 , −والعمودي على املستقيم املار بالنقطتني )𝟐𝑨(𝟎 , 𝟑), 𝑩(𝟐 , − احلل :
𝟏𝒚 𝒚𝟐 − 𝟏𝒙 𝒙𝟐 − 𝟓−𝟐 − 𝟑 − = = 𝟎𝟐− 𝟐
)𝟑 𝑨(𝟎,
=𝒎 𝑩𝑨𝒎
)𝟐𝑩(𝟐, − 𝟐 ∵ املستقيمان متعامدان ∴ ميل املستقيم الثاين = اي هو (مقلوب ميل املستقيم 𝑩𝑨 عكس االشارة) 𝟓
نكتب االن معادلة املستقيم والنقطة الجياد معادلة املستقيم )𝟒, 𝑪(𝟑 , −
𝟐 𝟓
=𝒎
) 𝟏𝒙 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝟐 𝟐 𝟔 𝒚 − (−𝟒) = (𝒙 − 𝟑) ⟹ 𝒚 + 𝟒 = (𝒙 − 𝟑) ⟹ 𝟓𝒚 + 𝟐𝟎 = 𝟐𝒙 − 𝟓 𝟓
𝟔𝟐 𝒙𝟐 𝒚𝟓 𝟐 𝟔𝟐 = − ⟹ 𝒚 = 𝒙− 𝟓 𝟓 𝟓 𝟓 𝟓
⟹ 𝟔𝟐 𝟓𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟔 − 𝟐𝟎 ⟹ 𝟓𝒚 = 𝟐𝒙 −
مثال :جد قيمة 𝒂 اليت جتعل ميل املستقيم املار بالنقطتني )𝟏 (𝒂 , −𝟒), (𝟑 ,عمودي على املستقيم الذي ميله احلل :مبا أن املستقيمني متعامدان اذن ميل املستقيم املطلوب = 𝟓 (وهو مقلوب ميل املستقيم الذي ميله =
𝟏− 𝟓
عكس االشارة)
𝟏− 𝟓
.
𝟏𝒚 𝒚𝟐 − 𝟏𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏 −𝟒 − =𝟓 𝟑𝒂− =𝒎
) 𝟏 (𝟑 , )𝟒(𝒂 , −
𝟓 𝟓− 𝟎𝟏 𝒂𝟓 = ⟹ 𝟎𝟏 = 𝒂𝟓 ⟹ 𝟓𝟏 ⟹ 𝟓𝒂 − 𝟏𝟓 = −𝟓 ⟹ 𝟓𝒂 = −𝟓 + = 𝟐=𝒂⟹ 𝟑𝟏 𝒂− 𝟓 𝟓 189
تأكد من فهمك 𝟏( املستقيم 𝑩𝑨 مير بالنقطتني )𝟔 𝑨(−𝟐 , 𝟒), 𝑩(𝒂 ,عمودي على املستقيم 𝑫𝑪 الذي مير بالنقطتني )𝟕 𝑪(𝟔 , −𝟔) , 𝐃(𝟐 , −جد قيمة 𝒂 . احلل :
𝟏𝒚 𝒚𝟐 − 𝟏𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏 𝟏−𝟕 − (−𝟔) −𝟕 + 𝟔 − = = = = 𝟔𝟐− 𝟒− 𝟒 𝟒−
)𝟔𝑪(𝟔 , −
)𝟕𝑫(𝟐 , − ∴ ميل املستقيم 𝑩𝑨 هو 𝟒 – اي مقلوب ميل 𝑫𝑪 عكس االشارة ألنه عمودي عليه أي 𝟒= − )𝟒 𝑨 (−𝟐 , ) 𝟔 𝑩 (𝒂 ,
=𝒎 𝑫𝑪𝒎
𝑫𝑪𝒎 = 𝑩𝑨𝒎 𝟒𝟔− = 𝑩𝑨𝒎 )𝟐𝒂 − (−
𝟐 𝟒− 𝟐 ⟹ = 𝟎𝟏 = 𝒂𝟒⟹ −𝟒𝒂 − 𝟖 = 𝟐 ⟹ −𝟒𝒂 = 𝟐 + 𝟖 ⟹ − 𝟐𝒂+ 𝟏 𝟐𝒂+ 𝟎𝟏 𝒂𝟒− 𝟓− = =𝒂⟹ 𝟒− 𝟒− 𝟐 = 𝟒−
𝟐( جد قيمة 𝒂 اليت جتعل ميل املستقيم املار بالنقطتني )𝒂 (𝟑 , 𝟐) , (𝟔 ,يساوي احلل (𝟑 , 𝟐) : )𝒂 (𝟔 ,
𝟏− 𝟒
.
𝟏𝒚 𝒚𝟐 − 𝟐 −𝟏 𝒂 − 𝟐 −𝟏 𝒂 − ⟹ = ⟹ = 𝟏𝒙 𝒙𝟐 − 𝟒 𝟑𝟔− 𝟒 𝟑 𝟓 𝒂𝟒 𝟓 ⟹ 𝟓 = 𝒂𝟒 ⟹ 𝟖 𝟒𝒂 − 𝟖 = −𝟑 ⟹ 𝟒𝒂 = −𝟑 + =𝒂⟹ = 𝟒 𝟒 𝟒 𝟑( برهن أن الشكل 𝑫𝑪𝑩𝑨 متوازي اضالع حيث )𝟒. 𝑨(𝟑 , 𝟎), 𝑩(𝟎 , 𝟒), 𝑪 (−𝟑 , 𝟎) , 𝑫(𝟎 , − =𝒎
احلل :جند امليل بني كل نقطتني اي بني 𝑪𝑩 𝑨𝑫 ,و 𝑫𝑪 𝑨𝑩 , 𝟏𝒚 𝒚𝟐 − =𝒎 𝟏𝒙 𝒙𝟐 − )𝟎 𝑨(𝟑, ) 𝟒 𝑩 (𝟎 ,
𝟎 −𝟒 − 𝟒− = = )𝟑𝟎 − (− 𝟑
)𝟎 𝑪(−𝟑 , )𝟒𝑫(𝟎 , − ⃡ 𝑫𝑪⃡ // 𝑩𝑨 ∴
𝟎𝟒− 𝟒 = 𝟑𝟎 − 𝟑 −
= 𝑩𝑨𝒎
𝑫𝑪𝒎 = 𝑩𝑨𝒎
)𝟒 𝑩(𝟎 , )𝟎 𝑪(−𝟑 , 190
𝟒𝟎− 𝟒 𝟒− = = = 𝟑 𝟑−𝟑 − 𝟎 −
𝑫𝑪𝒎
𝑪𝑩𝒎
)𝟎 𝑨(𝟑 ,
𝟒 𝟒−𝟒 − 𝟎 − = = 𝟑𝟎− 𝟑 𝟑−
= 𝑫𝑨𝒎
)𝟒𝑫(𝟎 , − ⃡ 𝑫𝑨𝒎𝑩𝑪 = 𝒎𝑨𝑫 ∴ ⃡𝑩𝑪 // ∴ الشكل 𝑫𝑪𝑩𝑨 متوازي اضالع ألن يف متوازي االضالع كل ضلعني متقابلني متوازيني 𝟒( برهن أن ∆ 𝑪𝑩𝑨 حيث 𝑨(−𝟓 , −𝟕), 𝑩(−𝟖 , −𝟐), 𝑪 (−𝟒 , −𝟑) :قائم الزاوية ،مث حدد الزاوية القائمة . احلل :
𝟏𝒚 𝒚𝟐 − 𝟏𝒙 𝒙𝟐 − 𝟕 −𝟐 − (−𝟕) −𝟐 + 𝟓 = = = 𝟑−𝟖 − (−𝟓) −𝟖 + 𝟓 −
)𝟕𝑨(−𝟓 , − )𝟐𝑩(−𝟖 , −
𝟏−𝟑 − (−𝟐) −𝟑 + 𝟐 − = = 𝟖 −𝟒 − (−𝟖) −𝟒 + 𝟒
)𝟐𝑩(−𝟖 , − )𝟑𝑪(−𝟒 , −
𝟒 𝟕 −𝟑 − (−𝟕) −𝟑 + = 𝟒= = 𝟏 𝟓 −𝟒 − (−𝟓) −𝟒 +
)𝟕𝑨(−𝟓 , − )𝟑𝑪(−𝟒 , −
𝟏× 𝟒 = − 𝑪𝑨 ⊥ ⃡ ⃡ 𝑪𝑩 ∴ , 𝒎∠𝑪 = 𝟗𝟎° 𝟓( إثبت أن النقط 𝑨(𝟎 , −𝟏), 𝑩(𝟒 , 𝟐), 𝑪 (𝟖, 𝟓) :تقع على استقامة واحدة . احلل :
)𝟏𝑨(𝟎 , − ) 𝟐 𝑩 (𝟒 , )𝟐 𝑩(𝟒 ,
𝟏− 𝟒
=𝒎 𝑩𝑨𝒎
= 𝑪𝑩𝒎 = 𝑪𝑨𝒎
= 𝑪𝑨𝒎 × 𝑪𝑩𝒎 ∴
𝟏𝒚 𝒚𝟐 − 𝟏𝒙 𝒙𝟐 − 𝟑 𝟏 𝟐 − (−𝟏) 𝟐 + = = = 𝟎𝟒− 𝟒 𝟒 𝟑 𝟐𝟓− = = 𝟒 𝟒𝟖−
=𝒎 𝑩𝑨𝒎 𝑪𝑩𝒎
) 𝟓 𝑪 (𝟖 , 𝑪𝑩𝒎 = 𝑩𝑨𝒎 ∴ النقط 𝐂 𝐀 , 𝐁 ,تقع على استقامة واحدة (اي متثل خط مستقيم) 𝟔( جد معادلة املستقيم املار بالنقطة )𝟎 (−𝟒 ,والعمودي على املستقيم املار بالنقطتني )𝟎 . (𝟑 , −𝟐), (𝟔 , احلل :
)𝟐(𝟑 , − )𝟎 (𝟔 , 191
𝟏𝒚 𝒚𝟐 − 𝟏𝒙 𝒙𝟐 − 𝟐 )𝟐𝟎 − (− = = 𝟑𝟔− 𝟑
=𝒎 𝟐𝑳⃡𝒎
∵ املستقيمان متعامدان ∴ ميل املستقيم )𝟑⃡ 𝟏 = − 𝑳( اي هو (مقلوب ميل املستقيم 𝟐𝑳⃡ عكس االشارة) 𝟐
نكتب االن معادلة املستقيم والنقطة الجياد معادلة املستقيم
𝟑− )𝟎 , (−𝟒 , 𝟐
=𝒎
) 𝟏𝒙 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝟑− 𝟑− 𝟐𝟏 (𝒙 + 𝟒) ⟹ 𝟐𝒚 = −𝟑𝒙 − = 𝒚 ⟹ ))𝟒(𝒙 − (− =𝟎𝒚− 𝟐 𝟐 𝟐𝟏 𝒙𝟑𝟐𝒚 − 𝟑− = − =𝒚 ⟹ 𝟔𝒙− 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
تدرب وحل التمرينات 𝟕( املستقيم 𝑩𝑨 حيث )𝟎 𝑨(𝟎 , 𝟐) , 𝑩(𝟑 ,املستقيم 𝑫𝑪 حيث )𝟒 𝑪(𝟔 , −𝟐), 𝑫(𝟗 , −واملستقيم 𝐅𝐄 حيث )𝟐 ، 𝐄(𝟎 , −𝟓) , 𝐅(𝟐 , −ما عالقة 𝑩𝑨⃡ باملستقيمني 𝑫𝑪⃡ ⃡𝑬𝑭 ,؟ بني ذلك . احلل :
𝟏𝒚𝒚𝟐 − 𝟏𝒙𝒙𝟐 −
=𝒎 𝟐𝟎 − 𝟐 − = 𝟎𝟑− 𝟑
)𝟐 𝑨(𝟎 , )𝟎 𝑩(𝟑, )𝟐𝑪(𝟔 , − )𝟒𝑫(𝟗 , − )𝟓𝑪(𝟎 , − )𝟐𝑫(𝟐 , −
𝟐−𝟒 − (−𝟐) −𝟒 + 𝟐 − = = 𝟔𝟗− 𝟑 𝟑 𝟑 𝟓 −𝟐 − (−𝟓) −𝟐 + = = 𝟎𝟐− 𝟐 𝟐
𝑩𝑨𝒎 = ⃡ = 𝑫𝑪⃡𝒎 = 𝑭𝑬⃡𝒎
𝑫𝑪 𝒎𝑨𝑩 = 𝒎𝑪𝑫 ⟹ 𝑨𝑩 // 𝟐− 𝟑 𝑭𝑬 ⊥ 𝑩𝑨 ⟹ 𝟏𝒎𝑨𝑩 × 𝒎𝑬𝑭 = −𝟏 ⟹ × = − 𝟐
𝟑
𝟖( هل النقط )𝟑 𝑨(𝟎 , −𝟕), 𝑩(𝟏 , −𝟏), 𝑪 (𝟐 ,تقع على مستقيم واحد ؟ بني ذلك .واجب 𝟗( برهن أن الشكل 𝑫𝑪𝑩𝑨 مستطيل حيث )𝟏 . 𝑨(𝟏 , 𝟒), 𝑩(𝟐 , 𝟔), 𝑪 (𝟖, 𝟑) , 𝑫(𝟕 , احلل :جند امليل بني كل نقطتني اي بني 𝑪𝑩 𝑨𝑫 ,و 𝑫𝑪 𝑨𝑩 , 𝟏𝒚 𝒚𝟐 − =𝒎 𝟏𝒙 𝒙𝟐 − )𝟒 𝑨(𝟏 , ) 𝟔 𝑩 (𝟐 , ) 𝟑 𝑪 (𝟖 , ) 𝟏 𝑫(𝟕 , ) 𝟔 𝑩( 𝟐 , ) 𝟑 𝑪 (𝟖 , 192
𝟐 𝟒𝟔− 𝟐= = 𝟏 𝟏𝟐−
= 𝑩𝑨𝒎
𝟐𝟏 − 𝟑 − = = 𝟐= 𝟏𝟕 − 𝟖 − 𝟏𝟑 − 𝟔 −𝟑 − = = 𝟐𝟖− 𝟔 𝟐
𝑫𝑪𝒎
= 𝑪𝑩𝒎
𝟏𝟏 − 𝟒 −𝟑 − = = 𝟏𝟕− 𝟔 𝟐
)𝟒 𝑨(𝟏 , ) 𝟏 𝑫 (𝟕 ,
= 𝑫𝑨𝒎
𝑫𝑨 𝑨𝑩 ⊥ 𝑩𝑪 , 𝑫𝑨 𝑪𝑫 ⊥ 𝑩𝑪 , 𝑫𝑪𝒎 = 𝑩𝑨𝒎 𝒎𝑩𝑪 = 𝒎𝑨𝑫 ,
, ∠𝑩 = 𝟗𝟎° , ∠𝑫 = 𝟗𝟎°
∴ ∠𝑨 = 𝟗𝟎° ∴ ∠𝑪 = 𝟗𝟎°
∴ الشكل 𝑫𝑪𝑩𝑨 ميثل مستطيل 𝟎𝟏( جد معادلة املستقيم املار بالنقطة )𝟏 (𝟏 , −واملوازي للمستقيم املار بالنقطتني )𝟎 . (𝟑 , −𝟐) , (𝟔 ,واجب
تدرب وحل مسائل حياتية 𝟏𝟏( فيزياء :ميثل اجلدول اجملاور كمية املياه املتدفقة من احد السدود خالل فترة معينة من الزمن .هل بيانات اجلدول متثل خط مستقيم؟ بني ذلك . احلل :
𝟏𝒚 𝒚𝟐 − 𝟏𝒙 𝒙𝟐 −
=𝒎
)𝟎𝟎𝟎𝟓𝟕 (𝟓 , )𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟏 (𝟏𝟎 , )𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟏 (𝟏𝟎 , )𝟎𝟎𝟎𝟓𝟐𝟐 (𝟏𝟓 ,
املياه املتدفقة الزمن (ثوان) 𝟓 𝟎𝟏 𝟓𝟏
حجم املاء 𝟑𝒎 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟕 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟏 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟐𝟐
𝟎𝟎𝟎𝟓𝟕 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟕 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 − = 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟏 = 𝟓 𝟏𝟎 − 𝟓
= 𝟏𝒎
𝟎𝟎𝟎𝟓𝟕 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟏 𝟐𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 − = 𝟐𝒎 = 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟏 = 𝟎𝟏 𝟏𝟓 − 𝟓 ∴ بيانات اجلدول متثل خطا مستقيما
𝟐𝒎 = 𝟏𝒎
𝟐𝟏( هندسة :برهن ان الشكل 𝑫𝑪𝑩𝑨 شبه منحرف .حيث ان احداثيات القاعدة العليا )𝟐 (𝟒 , 𝟓) , (𝟔 , والقاعدة السفلى )𝟏 . (−𝟐 , 𝟓) , (𝟐 , −هل هو قائم الزاوية؟ بني ذلك . 𝟏𝒚𝒚𝟐 −
احلل :
𝟏𝒙𝒙𝟐 −
) 𝟓 (𝟒 ,
=𝒎
القاعدة العليا
) 𝟐 (𝟔 , )𝟓 (−𝟐 ,
القاعدة السفلى
)𝟏(𝟐 , −
𝟑𝟐 − 𝟓 − = 𝟒𝟔− 𝟐
= 𝟏𝒎
𝟓 −𝟏 − 𝟔− 𝟑−𝟔 − = 𝟐𝒎 = = = 𝟐 𝟐 − (−𝟐) 𝟐 + 𝟒 𝟐 𝟗 𝟑−𝟑 − = 𝟐𝒎 × 𝟏 𝒎 × 𝟏= ≠ − 𝟐 𝟐 𝟒
193
𝟑𝟏( خريطة :استعمل اخلريطة اجملاورة لتبني أن : )𝒊( الطريق االول يوازي الطريق الثاين . )𝒊𝒊( الطريق الثاين عمودي على الطريق الثالث . )𝒊𝒊𝒊( هل الطريق االول عمودي على الطريق الثالث ؟ بني ذلك . احلل (𝒊) :الطريق االول يقابل الطريق الثاين هذا يعين ان الطريقان متوازيان اي ان 𝟐𝒎 = 𝟏𝒎
)𝒊𝒊( الطريق الثاين يقطع الطريق الثالث هذا يعين ان الطريقان متعامدان :اي ان 𝟏𝒎𝟐 × 𝒎𝟑 = −
)𝒊𝒊𝒊( الطريق األول يقطع الطريق الثالث هذا يعين ان الطريقان متعامدان :اي ان 𝟏𝒎𝟏 × 𝒎𝟑 = −
فكر 𝟒𝟏( حتدٍّ :هل النقاط االتية (−𝟐 , −𝟏), (−𝟏 , 𝟎), (𝟒 , 𝟓), (𝟐 , 𝟑) :تقع على استقامة واحدة ؟ بني ذلك .واجب 𝟓𝟏( اصحح اخلطأ :قال امحد ان املستقيم املار بالنقطتني )𝟒 (−𝟑 , 𝟎), (𝟎 ,عمودي على املستقيم املار 𝟑
بالنقطتني )𝟎 (𝟏 , ) , (𝟎 ,اكتشف خطأ امحد وصححه . 𝟒 𝟏𝒚𝒚𝟐 −
احلل :
𝟏𝒙𝒙𝟐 −
=𝒎 𝟎𝟒− 𝟒 = 𝟑 )𝟑𝟎 − (−
)𝟎 (−𝟑 , ) 𝟒 (𝟎 ,
= 𝟏𝒎
𝟑 𝟑 − 𝟑 𝟒 = 𝟐𝒎 =𝟒 = 𝟒 𝟏𝟎 − 𝟏 − 𝟎−
𝟑 ) (𝟏 , 𝟒 ) 𝟎 (𝟎 ,
𝟑 𝟒 × = 1 ≠ −1 𝟒 𝟑
⟹ 𝟏𝒎𝟏 × 𝒎𝟐 = −
∴ املستقيمان ليس عموديان
𝟔𝟏( مسألة مفتوحة :املعادلتني اآلتيتان 𝟑𝒚 − 𝟓𝒙 = 𝟐𝟎 , 𝟑𝒚 − 𝟓𝒙 = 𝟏𝟓:متثالن مستقيمني متوازيني ما التشابه واالختالف بينهما؟ وضح ذلك
احلل :
𝟎𝟐 = 𝒙𝟓 𝟑𝒚 −
𝟓𝟏 = 𝒙𝟓 𝟑𝒚 − 𝟓𝟏 𝟑𝒚 = 𝟓𝒙 + 𝟓𝟏 𝒙𝟓 𝒚𝟑 = + 𝟑 𝟑 𝟑 𝟓 𝟓𝒚= 𝒙+ 𝟑 𝒌 𝒚 = 𝒎𝒙 +
𝟓 = 𝟐𝒌 ,
𝟎𝟐 𝟑𝒚 = 𝟓𝒙 + 𝟎𝟐 𝒙𝟓 𝒚𝟑 = + 𝟑 𝟑 𝟑 𝟓 𝟎𝟐 𝒚= 𝒙+ 𝟑 𝟑 𝒌 𝒚 = 𝒎𝒙 +
𝟓
𝟑 = 𝟐𝒎
𝟎𝟐 𝟑
𝟐𝒌 ≠ 𝟏𝒌 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 ,
194
= 𝟏𝒌 ,
𝟓
𝟑 = 𝟏𝒎
𝟕𝟏( تربير :ملاذا النقاط التالية تقع على مستقيم يوازي حمور السينات (−𝟏 , 𝟒), (𝟎 , 𝟒), (𝟐 , 𝟒) :؟ 𝟏𝒚𝒚𝟐 −
احلل :
𝟏𝒙𝒙𝟐 −
=𝒎 )𝟒 (−𝟏 ,
𝟒𝟒− 𝟎 𝟎= = 𝟏 )𝟏𝟎 − (−
) 𝟒 (𝟎 ,
𝟎 𝟒𝟒− 𝟎= = 𝟐 𝟎𝟐−
) 𝟒 (𝟎 , ) 𝟒 (𝟐 ,
= 𝟏𝒎 = 𝟐𝒎
𝟐𝒎 = 𝟏𝒎
∴ النقط تقع على استقامة واحدة ومبا ان امليل يساوي صفر فهو يوازي حمور السينات 𝟖𝟏( أيهما اصح :قالت سارة ان ميل املستقيم 𝟎𝟏 = 𝒙𝟐 𝟓𝒚 +هو 𝟐 𝟓
𝟐 𝟓
ومقطعه هو 𝟐 ،وقال مهند ان ميله
−ومقطعه 𝟐 ،بني اجابة أي منهما الصحيحة ؟
احلل : 𝟎𝟏 = 𝒙𝟐 𝟓𝒚 + 𝟎𝟏 𝟓𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟎𝟏 𝒙𝟐𝟓𝒚 − 𝟐− = + =𝒚⟹ 𝟐𝒙+ 𝟓 𝟓 𝟓 𝟓 𝒌 𝒚 = 𝒎𝒙 + إجابة مهند صحيحة
𝟐=𝒌
𝟐−
𝟓 =𝒎
,
𝟗𝟏( مسألة مفتوحة 𝑨𝑩𝑪𝑫 :معني رؤوسه )𝟎 𝑨(𝟎 , 𝟑), 𝑩(𝟑, 𝟒) , 𝑪(𝟐 , 𝟏) , 𝑫(−𝟏 ,برهن ان قطريه متعامدان . احلل :الرسم مطلوب
𝟏𝒚 𝒚𝟐 − 𝟏𝒙 𝒙𝟐 − 𝟐𝟏 − 𝟑 − = = 𝟏= − 𝟎𝟐− 𝟐 =𝒎
)𝟑 𝑨(𝟎 , ) 𝟏 𝑪 (𝟐 , )𝟒 𝑩(𝟑 , )𝟎 𝑫(−𝟏 ,
∴ قطرا املعني متعامدين
𝟒𝟎− 𝟒− = = 𝟏= 𝟒−𝟏 − 𝟑 −
𝑪𝑨𝒎 4
𝑩 𝑨
𝑫𝑩𝒎
𝟏𝒎𝑨𝑪 × 𝒎𝑩𝑫 = −𝟏 × 𝟏 = −
3 2
4
3
𝑪
1 2
1
𝑫
−1 −2 −3 −4
𝟎𝟐( مسألة مفتوحة :ما وجه التشابه واالختالف بني املستقيمني املتوازيني ؟ احلل :يتشابه املستقيمان املتوازيان يف ميلهما اي ان 𝟐𝒎 = 𝟏𝒎 وخيتلفان يف 𝟐𝒌 ≠ 𝟏𝒌 195
−5
أكتب :ما اذا كان املستقيمان متوازيني او متعامدين باستعمال ميلهما ؟ احلل :املستقيمان املتوازيان 𝟐𝒎 = 𝟏𝒎 واملستقيمان املتعامدان 𝟏𝒎𝟏 × 𝒎𝟐 = − (اي ان ميل احدمها يساوي مقلوب ميل الثاين عكس االشارة) ***********************
املسافة بني نقطتني تعلم :ثالثة اصدقاء خرجوا يف رحلة استكشافية ،حمددة مواقعهم كما يف الشكل اجملاور .حممد يبعدمن أمحد 𝒎𝒌 𝟑 ومهند يبعد من أمحد 𝒎𝒌𝟒 .كيف جتد املسافه بني حممد و مهند ؟ فكرة الدرس :
مهند
•تعرف اىل قانون املسافة بني نقطتني . •تطبيق قانون املسافة بني نقطتني . •تعرف اىل قانون نقطة املنتصف .
حممد
•تطبيق قانون نقطة املنتصف .
أمحد
املفردات : • قانون املسافة بني نقطتني . • نقطة املنتصف . • قانون نقطة املنتصف .
قانون املسافة بني نقطتني
𝟐) 𝟏𝒚 𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 −
مثال :يف فقرة تعلم جند أن موقع حممد هو النقطة )𝟎 𝑨(𝟑,وإن موقع مهند هو النقطة )𝟒 . 𝑩(𝟎 , احلل :
)𝟎 𝑨(𝟑 , )𝟒 𝑩(𝟎 ,
𝟐) 𝟏𝒚 𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝟐)𝟎 𝑨𝑩 = √(𝟎 − 𝟑)𝟐 + (𝟒 − 𝟓 = 𝟓𝟐√ = 𝟔𝟏 𝑨𝑩 = √(−𝟑)𝟐 + (𝟒)𝟐 = √𝟗 +
املسافة بني حممد ومهند 𝒎𝒌 𝟓 مثال :باستعمال قانون املسافة ،أثبت أن النقط )𝟒 𝑨(−𝟑 , −𝟐), 𝑩(𝟎 , 𝟏), 𝑪 (𝟑 ,تقع على استقامة واحدة . احلل :
)𝟐𝑨(−𝟑 , − )𝟏 𝑩(𝟎 ,
𝟐) 𝟏𝒚 𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝟐))𝟐𝑨𝑩 = √(𝟎 − (−𝟑))𝟐 + (𝟏 − (− 𝟐)𝟑( 𝑨𝑩 = √(𝟑)𝟐 + (𝟏 + 𝟐)𝟐 = √(𝟑)𝟐 + 𝟐√𝟑 = 𝟖𝟏√ = 𝟗 𝑨𝑩 = √𝟗 +
196
𝟐)𝟏 𝑩𝑪 = √(𝟑 − 𝟎)𝟐 + (𝟒 − )𝟏 𝑩(𝟎 , 𝟐√𝟑 = 𝟖𝟏√ = 𝟗 𝑩𝑪 = √(𝟑)𝟐 + (𝟑)𝟐 = √𝟗 + )𝟒 𝑪(𝟑 , 𝟐))𝟐𝑨𝑪 = √(𝟑 − (−𝟑))𝟐 + (𝟒 − (− )𝟐𝑨(−𝟑 , − 𝟐)𝟐 𝑨𝑪 = √(𝟑 + 𝟑)𝟐 + (𝟒 + )𝟒 𝑪(𝟑 , 𝟐√𝟔 = 𝟐𝟕√ = 𝟔𝟑 𝑨𝑪 = √(𝟔)𝟐 + (𝟔)𝟐 = √𝟑𝟔 + 𝑪𝑩 𝑨𝑪 = 𝑨𝑩 + 𝟐√𝟑 𝟔√𝟐 = 𝟑√𝟐 + ∴ النقط 𝐂 𝐀 , 𝐁 ,تقع على استقامة واحدة مثال :بني نوع املثلث الذي رؤوسه )𝟔 𝑨(𝟑, −𝟒), 𝑩(𝟓 , −𝟐), 𝑪 (𝟓 , −من حيث االضالع .وهل املثلث قائم الزاوية؟ احلل :
𝟐) 𝟏𝒚 𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝟐))𝟒𝑨𝑩 = √(𝟓 − 𝟑)𝟐 + (−𝟐 − (− )𝟒𝑨(𝟑 , − 𝟐)𝟐( 𝑨𝑩 = √(𝟐)𝟐 + (−𝟐 + 𝟒)𝟐 = √(𝟐)𝟐 + )𝟐𝑩(𝟓, − 𝟐√𝟐 = 𝟖√ = 𝟒 𝑨𝑩 = √𝟒 + 𝟐))𝟐𝑩𝑪 = √(𝟓 − 𝟓)𝟐 + (−𝟔 − (− )𝟐𝑩(𝟓 , − )𝟔𝑩𝑪 = √(𝟎)𝟐 + (−𝟔 + 𝟐)𝟐 = √(−𝟒)𝟐 = √𝟏𝟔 = 𝟒 𝑪(𝟓 , − 𝟐))𝟒𝑨𝑪 = √(𝟓 − 𝟑)𝟐 + (−𝟔 − (− )𝟒𝑨(𝟑 , − 𝟐)𝟒 𝑨𝑪 = √(𝟐)𝟐 + (−𝟔 + )𝟔𝑪(𝟓 , − 𝟐√𝟐 = 𝟖√ = 𝟒 𝑨𝑪 = √(𝟐)𝟐 + (−𝟐)𝟐 = √𝟒 + املثلث متساوي الساقني 𝑪𝑨 = 𝑩𝑨 𝟐)الضلع القائم( )𝟐 +الضلع القائم( = 𝟐)الوتر( 𝟐
𝟐
)𝟐√𝟐( (𝟒)𝟐 = (𝟐√𝟐) + 𝟖 𝟏𝟔 = 𝟒(𝟐) + 𝟒(𝟐) ⟹ 𝟏𝟔 = 𝟖 + ∴ املثلث قائم الزاوية يف 𝑨 . مثال :بني باستعمال قانون املسافة أن النقط )𝟐 𝑨(−𝟐 , 𝟑), 𝑩(−𝟏 , 𝟒), 𝑪 (𝟐 , −𝟏) , 𝑫(𝟏 , −رؤوس متوازي اضالع . احلل : )𝟑 𝑨(−𝟐 , )𝟒 𝑩(−𝟏 ,
𝟐) 𝟏𝒚 𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝟐)𝟑 𝑨𝑩 = √(−𝟏 − (−𝟐))𝟐 + (𝟒 − 𝟐)𝟏( 𝑨𝑩 = √(−𝟏 + 𝟐)𝟐 + (𝟏)𝟐 = √(𝟏)𝟐 + 𝟐√ = 𝟏 𝑨𝑩 = √𝟏 + 197
𝟐)𝟒 𝑩𝑪 = √(𝟐 − (−𝟏))𝟐 + (−𝟏 − )𝟒 𝑩(−𝟏 , 𝟐)𝟓𝑩𝑪 = √(𝟐 + 𝟏)𝟐 + (− )𝟏𝑪(𝟐 , − 𝟒𝟑√ = 𝟓𝟐 𝑩𝑪 = √(𝟑)𝟐 + (−𝟓)𝟐 = √𝟗 + 𝟐))𝟏𝑪𝑫 = √(𝟏 − 𝟐)𝟐 + (−𝟐 − (− )𝟏𝑪(𝟐 , − 𝟐)𝟏 𝑪𝑫 = √(−𝟏)𝟐 + (−𝟐 + )𝟐𝑫(𝟏 , − 𝟐√ = 𝟏 𝑪𝑫 = √(−𝟏)𝟐 + (−𝟏)𝟐 = √𝟏 + 𝟐)𝟑 𝑨𝑫 = √(𝟏 − (−𝟐))𝟐 + (−𝟐 − )𝟑 𝑨(−𝟐 , 𝟐)𝟓𝑨𝑫 = √(𝟏 + 𝟐)𝟐 + (− )𝟐𝑫(𝟏 , − 𝟒𝟑√ = 𝟓𝟐 𝑨𝑫 = √(𝟑)𝟐 + (−𝟓)𝟐 = √𝟗 + 𝑪𝑩 = 𝑫𝑨 ∴ 𝑨𝑩 = 𝑪𝑫 , ∴ الشكل 𝑫𝑪𝑩𝑨 متوازي اضالع (ألن من خواص متوازي االضالع كل ضلعني متقابلني متساويني بالطول)
قانون نقطة املنتصف نقطة املنتصف :وهي النقطة الواقعة على بعدين متساويني على طريف قطعة مستقيم وتنتمي له . 𝟐𝒚 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝒚𝟏 + (=𝑴 , ) 𝟐 𝟐
مثال :جد احداثي نقطة املنتصف للقطعة املستقيمة الواصلة بني )𝟔 . 𝑨(𝟑 , −𝟖), 𝑩(𝟑 , احلل :
𝟐𝒚 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝒚𝟏 + , ) 𝟐 𝟐 𝟔 𝟑 + 𝟑 −𝟖 + 𝟐𝟔 − (=𝑴 , )=( , )𝟏) = (𝟑 , − 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (=𝑴
)𝟖𝑨(𝟑 , −
)𝟔 𝑩(𝟑 , ∴ )𝟏 (𝟑 , −نقطة منتصف ̅̅̅̅ 𝑩𝑨 مثال :اذا كانت )𝟑 𝑴(𝟏 , −منتصف ̅̅̅̅ 𝑩𝑨 وكانت )𝟐 𝑨(−𝟏 , −جد إحداثي النقطة 𝐁 . احلل :
𝟐𝒚 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝒚𝟏 + , ) 𝟐 𝟐 𝒚 −𝟏 + 𝒙 −𝟐 + ( = )𝟑(𝟏 , − ) , 𝟐 𝟐 (=𝑴
)𝟐𝑨(−𝟏 , −
)𝒚 𝑩(𝒙 , 𝒙 −𝟏 + 𝟑 = 𝟏 = 𝟏 ⟹ −𝟏 + 𝒙 = 𝟐 ⟹ 𝒙 = 𝟐 + 𝟐 𝒚 −𝟐 + 𝟒= −𝟑 ⟹ −𝟐 + 𝒚 = −𝟔 ⟹ 𝒚 = −𝟔 + 𝟐 = − 𝟐 ∴احداثيات النقطة هي )𝟒𝐁 (𝟑 , −
198
مثال :بني باستعمال قانون نقطة املنتصف أن النقط )𝟐 𝑨(−𝟐 , 𝟑), 𝑩(−𝟏 , 𝟒), 𝑪 (𝟐 , −𝟏) , 𝑫(𝟏 , −رؤوس متوازي اضالع . احلل :
) )𝟒 𝑩(−𝟏 ,
𝟐𝒚𝒚𝟏 + 𝟐
,
𝟐𝒙𝒙𝟏 + 𝟐
)𝟐−𝟏 + 𝟏 𝟒 + (− 𝟐 𝟎 ) 𝟏 ) = ( , ) = (𝟎 , , 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
(=𝑴
( = 𝟏𝑴
)𝟐𝑫(𝟏 , − )𝟏−𝟐 + 𝟐 𝟑 + (− 𝟐 𝟎 )𝟑 ) = ( , ) = (𝟎 , 𝟏) 𝑨(−𝟐 , ( = 𝟐𝑴 , 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 )𝟏𝑪(𝟐 , −
∵ 𝟐𝑴 = 𝟏𝑴 ∴ الشكل 𝑫𝑪𝑩𝑨 متوازي اضالع (من خواص متوازي االضالع قطراه أحدمها ينصف االخر) ̅̅̅̅̅ . ̅̅̅̅ جد طول 𝑴𝑨 مثال 𝑨(𝟑, 𝟏), 𝑩(𝟓 , 𝟑), 𝑪 (𝟓 , −𝟏) :رؤوس مثلث حيث 𝑪𝑨 = 𝑩𝑨 النقطة 𝑴 منتصف 𝑪𝑩 احلل :
𝟐𝒚 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝒚𝟏 + , ) 𝟐 𝟐 )𝟏𝟓 + 𝟓 𝟑 + (− 𝟐 𝟎𝟏 (=𝑴 , )𝟏 ) = ( , ) = (𝟓 , 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (=𝑴
)𝟑 𝑩(𝟓 , )𝟏𝑪(𝟓 , −
𝟐) 𝟏𝒚 𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝟐)𝟏 𝑨𝑴 = √(𝟓 − 𝟑)𝟐 + (𝟏 − 𝟐 = 𝟒√ = 𝟐)𝟎( 𝑨𝑴 = √(𝟐)𝟐 +
)𝟏 𝑨(𝟑 , )𝟏 𝑴(𝟓,
تأكد من فهمك 𝟏( أوجد املسافة بني كل نقطتني فيما يأيت : )𝟒𝒊𝒊) (−𝟑, −𝟏), (𝟏 , − )𝟒𝒊𝒊𝒊) (−𝟏, −𝟐), (𝟑, − احلل :
)𝟎 (𝟎 , )𝟖 (𝟑 ,
)𝟏(−𝟑 , − )𝟒(𝟏 , −
)𝟖 𝒊) (𝟎 , 𝟎), (𝟑 ,
)𝟖 𝒊) (𝟎 , 𝟎), (𝟑 , 𝟐) 𝟏𝒚 𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝟐)𝟎 𝒅 = √(𝟑 − 𝟎)𝟐 + (𝟖 − 𝟑𝟕√ = 𝟒𝟔 𝒅 = √(𝟑)𝟐 + (𝟖)𝟐 = √𝟗 + )𝟒𝒊𝒊) (−𝟑, −𝟏), (𝟏 , − 𝟐) 𝟏𝒚 𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝟐))𝟏𝒅 = √(𝟏 − (−𝟑))𝟐 + (−𝟒 − (− 𝟐)𝟏 𝒅 = √(𝟏 + 𝟑)𝟐 + (−𝟒 + 𝟓 = 𝟓𝟐√ = 𝟗 𝒅 = √(𝟒)𝟐 + (−𝟑)𝟐 = √𝟏𝟔 + )𝟒𝒊𝒊𝒊) (−𝟏, −𝟐), (𝟑, − واجب 199
𝟐( أوجد نقطة املنتصف لالفرع يف السؤال 𝟏 . )𝟒𝒊𝒊) (−𝟑, −𝟏), (𝟏 , − )𝟒𝒊𝒊𝒊) (−𝟏, −𝟐), (𝟑, − احلل :
)𝟖 𝒊) (𝟎 , 𝟎), (𝟑 ,
)𝟖 𝒊) (𝟎 , 𝟎), (𝟑 , 𝟐𝒚 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝒚𝟏 + (=𝑴 , ) 𝟐 𝟐 𝟖𝟎+𝟑 𝟎+ )𝟎 (𝟎 , (=𝑴 , ) 𝟐 𝟐 𝟖 𝟑 𝟑 )𝟖 (𝟑 , )𝟒 𝑴 = ( , ) = ( , 𝟐 𝟐 𝟐 )𝟒𝒊𝒊) (−𝟑, −𝟏), (𝟏 , − واجب واجب
)𝟒𝒊𝒊𝒊) (−𝟏, −𝟐), (𝟑, −
𝟑( باستعمال قانون املسافة بني نقطتني ،أثبت أن النقط )𝟓 𝑨(−𝟐 , −𝟏) , 𝑩(−𝟏 , 𝟎), 𝑪(𝟒 ,على استقامة واحدة . احلل : 𝟐) 𝟏𝒚 𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝟐))𝟏𝑨𝑩 = √(−𝟏 − (−𝟐))𝟐 + (𝟎 − (− )𝟏𝑨(−𝟐 , − 𝟐)𝟏( 𝑨𝑩 = √(−𝟏 + 𝟐)𝟐 + (𝟏)𝟐 = √(𝟏)𝟐 + )𝟎 𝑩(−𝟏 , 𝟐√ = 𝟏 𝑨𝑩 = √𝟏 + 𝟐)𝟎 𝑩𝑪 = √(𝟒 − (−𝟏))𝟐 + (𝟓 − )𝟎 𝑩(−𝟏 , 𝟐)𝟓( 𝑩𝑪 = √(𝟒 + 𝟏)𝟐 + )𝟓 𝑪(𝟒 , 𝟐√𝟓 = 𝟎𝟓√ = 𝟓𝟐 𝑩𝑪 = √(𝟓)𝟐 + (𝟓)𝟐 = √𝟐𝟓 + 𝟐))𝟏𝑨𝑪 = √(𝟒 − (−𝟐))𝟐 + (𝟓 − (− )𝟏𝑨(−𝟐 , − 𝟐)𝟏 𝑨𝑪 = √(𝟒 + 𝟐)𝟐 + (𝟓 + )𝟓 𝑪(𝟒 , 𝟐√𝟔 = 𝟐𝟕√ = 𝟔𝟑 𝑨𝑪 = √(𝟔)𝟐 + (𝟔)𝟐 = √𝟑𝟔 + 𝑪𝑩 𝑨𝑪 = 𝑨𝑩 + 𝟐√𝟓 𝟔√𝟐 = √𝟐 + ∴ النقط 𝐂 𝐀 , 𝐁 ,تقع على استقامة واحدة 𝟒( بني نوع املثلث الذي رؤوسه )𝟐 𝑨(𝟐, 𝟒) , 𝑩(−𝟒 , 𝟐), 𝑪(−𝟏 , −من حيث االضالع .وهل املثلث قائم الزاوية ؟ واجب 𝟓( بني أن النقط االتية 𝑨(𝟒 , 𝟎) , 𝑩(𝟔 , −𝟔), 𝑪(−𝟖 , 𝟎) , 𝑫(−𝟏𝟎 , 𝟔) :رؤوس متوازي االضالع . 𝒊( باستعمال قانون املسافة بني نقطتني . 𝒊𝒊( باستعمال قانون نقطة املنتصف .
واجب 200
𝟔( اذا كانت )𝟎 𝑴(−𝟐,منتصف ̅̅̅̅ 𝑩𝑨 وكانت )𝟎 𝑨(𝟒 ,فجد إحداثيي النقطة 𝑩 . احلل :
𝟐𝒚 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝒚𝟏 + , ) 𝟐 𝟐 𝒚𝟒+𝒙 𝟎+ ( = )𝟎 (−𝟐 , , ) 𝟐 𝟐 (=𝑴
)𝟎 𝑨(𝟒 , )𝒚 𝑩(𝒙 ,
𝒙𝟒+ 𝟖= −𝟐 ⟹ 𝟒 + 𝒙 = −𝟒 ⟹ 𝒙 = −𝟒 − 𝟒 = − 𝟐 𝒚𝟎+ 𝟒= −𝟐 ⟹ 𝒚 = − 𝟐 )𝟎 𝑩 (−𝟖 ,
تدرب وحل التمرينات )7أوجد املسافة بني كل نقطتني فيما يأيت : )𝟐𝒊𝒊𝒊) (−𝟐 , 𝟒), (−𝟔 , − احلل :
)𝟐 𝒊𝒊) (𝟔 , −𝟗), (𝟎 ,
)𝟑 𝒊) (𝟖 , 𝟏), (−𝟒 ,
)𝟑 𝒊) (𝟖 , 𝟏), (−𝟒 , واجب )𝟐 𝒊𝒊) (𝟔 , −𝟗), (𝟎 , 𝟐) 𝟏𝒚 𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − )𝟗(𝟔 , − 𝟐))𝟗𝒅 = √(𝟎 − 𝟔)𝟐 + (𝟐 − (− )𝟐 (𝟎 , 𝟐)𝟗 𝒅 = √(−𝟔)𝟐 + (𝟐 + 𝟕𝟓𝟏√ = 𝟏𝟐𝟏 𝒅 = √(−𝟔)𝟐 + (𝟏𝟏)𝟐 = √𝟑𝟔 + )𝟐𝒊𝒊𝒊) (−𝟐 , 𝟒), (−𝟔 , − واجب 𝟖( أوجد نقطة املنتصف لالفرع يف السؤال 𝟕 . )𝟐 𝒊𝒊) (𝟔 , −𝟗), (𝟎 , )𝟐𝒊𝒊𝒊) (−𝟐 , 𝟒), (−𝟔 , − احلل :
)𝟑 𝒊) (𝟖 , 𝟏), (−𝟒 ,
)𝟑 𝒊) (𝟖 , 𝟏), (−𝟒 , 𝟐𝒚 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝒚𝟏 + (=𝑴 , ) 𝟐 𝟐 𝟑 𝟖 + (−𝟒) 𝟏 + )𝟏 (𝟖 , (=𝑴 , ) 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 )𝟑 (−𝟒 , )𝟐 𝑴 = ( , ) = (𝟐 , 𝟐 𝟐 )𝟐 𝒊𝒊) (𝟔 , −𝟗), (𝟎 , واجب واجب 201
)𝟐𝒊𝒊𝒊) (−𝟐 , 𝟒), (−𝟔 , −
𝟗( باستعمال قانون املسافة بني نقطتني ،أثبت أن النقط )𝟐 𝑨(𝟏 , −𝟑) , 𝑩(𝟑 , −𝟒), 𝑪(−𝟏 , −على استقامة واحدة .واجب 𝟎𝟏( بني نوع املثلث الذي رؤوسه )𝟏 𝑨(𝟐 , −𝟏), 𝑩(𝟐 , 𝟏), 𝑪 (−𝟏 , −من حيث االضالع .وهل املثلث قائم الزاوية؟ احلل :
𝟐) 𝟏𝒚 𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝟐))𝟏𝑨𝑩 = √(𝟐 − 𝟐)𝟐 + (𝟏 − (− )𝟏𝑨(𝟐 , − 𝟐)𝟐( 𝑨𝑩 = √(𝟎)𝟐 + (𝟏 + 𝟏)𝟐 = √𝟎 + )𝟏 𝑩(𝟐 , 𝟐 = 𝟒√ = 𝑩𝑨 𝟐)𝟏 𝑩𝑪 = √(−𝟏 − 𝟐)𝟐 + (−𝟏 − )𝟏 𝑩(𝟐 , 𝟑𝟏√ = 𝟒 𝑩𝑪 = √(−𝟑)𝟐 + (−𝟐)𝟐 = √𝟗 + )𝟏𝑪(−𝟏 , − 𝟐))𝟏𝑨𝑪 = √(−𝟏 − 𝟐)𝟐 + (−𝟏 − (− )𝟏𝑨(𝟐 , − 𝟐)𝟏 𝑨𝑪 = √(−𝟑)𝟐 + (−𝟏 + )𝟏𝑪(−𝟏 , − 𝟑 = 𝟗√ = 𝟎 𝑨𝑪 = √(−𝟑)𝟐 + (𝟎)𝟐 = √𝟗 + ∴ املثلث خمتلف االضالع 𝟐)الضلع القائم( )𝟐 +الضلع القائم( = 𝟐)الوتر( 𝟐)𝐂𝐀( (𝐁𝐂)𝟐 = (𝑨𝑩)𝟐 + 𝟐
𝟐)𝟑( (√𝟏𝟑) = (𝟐)𝟐 + 𝟗 𝟏𝟑 = 𝟒 + ∴ املثلث قائم الزاوية يف 𝐀 . 𝟏𝟏( بني أن النقط )𝟕 𝑨(−𝟑 , 𝟓), 𝑩(𝟐 , 𝟕), 𝑪 (𝟏 , 𝟗) , 𝑫(−𝟒 ,رؤوس متوازي اضالع . 𝒊( باستعمال قانون املسافة بني نقطتني .
واجب
𝒊𝒊( باستعمال قانون نقطة املنتصف . احلل :
𝟐𝒚 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝒚𝟏 + , ) 𝟐 𝟐
)𝟕 𝑩(𝟐 , )𝟕 𝑫(−𝟒 , )𝟓 𝑨(−𝟑 ,
𝟕 𝟐 + (−𝟒) 𝟕 + 𝟒𝟏 𝟐− (=) , )𝟕 , ) = (−𝟏 , 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
(=𝑴
( = 𝟏𝑴
𝟗 −𝟑 + 𝟏 𝟓 + 𝟒𝟏 𝟐− (=) ( = 𝟐𝑴 , )𝟕 , ) = (−𝟏 , 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
)𝟗 𝑪(𝟏 , ∵ 𝟐𝑴 = 𝟏𝑴 ∴ الشكل 𝑫𝑪𝑩𝑨 متوازي اضالع (من خواص متوازي االضالع قطراه أحدمها ينصف االخر)
𝟐𝟏( اذا كانت )𝟐 𝑴(𝟒 , −منتصف ̅̅̅̅ 𝑩𝑨 وكانت )𝟏 𝑩(𝟓 ,فجد إحداثيي النقطة 𝑨 .واجب 202
تدرب وحل مسائل حياتية 𝟑𝟏( هندسة 𝑨𝑩𝑪 :مثلث رؤوسه )𝟒 ، 𝑨(𝟔 , 𝟒), 𝑩(−𝟐 , 𝟔), 𝑪(𝟎 , −حتقق من ان طول القطعة املستقيمة الواصلة بني منتصفي ضلعني فيه يساوي نصف طول الضلع الثالث . احلل :جند نقط منتصف الضلعني 𝑪𝑩 𝑨𝑪 ، 𝟐𝒚 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝒚𝟏 + (=𝑴 , ) 𝟐 𝟐 )𝟒−𝟐 + 𝟎 𝟔 + (− 𝟐 𝟐− (=) , )𝟔 , ) = (−𝟏 , 𝟏) 𝑩(−𝟐 , 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 )𝟒𝑪(𝟎 , − )𝟒𝟔 + 𝟎 𝟒 + (− 𝟎 𝟔 ) 𝟎 ) = ( , ) = (𝟑 , ( = 𝟐𝑴 , )𝟒 𝑨(𝟔 , 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 )𝟒𝑪(𝟎 , −
7 6 5
( = 𝟏𝑴
جند طول القطعة املستقيمة الواصلة بني طويل ضلعني يف املثلث 𝑪𝑩𝑨
4
𝑨
3 2 1 𝟐𝑴 6
5
4
3
2
1
𝟐) 𝟏𝒚 𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − )𝟏 𝑴𝟏 (−𝟏 ,
𝟐 𝟐 )𝟏 𝑴𝟏 𝑴𝟐 = √(𝟑 − (−𝟏)) + (𝟎 −
𝑩
𝟏−
𝟏𝑴 −2 − 1
𝟐− 𝟑−
𝑪
𝟒−
𝟐)𝟏𝑴𝟏 𝑴𝟐 = √(𝟑 + 𝟏)𝟐 + (− )𝟎 𝑴 𝟐 ( 𝟑 , 𝟕𝟏√ = 𝟏 𝑴𝟏 𝑴𝟐 = √(𝟒)𝟐 + (−𝟏)𝟐 = √𝟏𝟔 + )𝟒 𝑨(𝟔 ,
𝟐 𝟐 )𝟒 𝑨𝑩 = √(−𝟐 − 𝟔) + (𝟔 −
)𝟔 𝑩 (−𝟐 ,
𝟐)𝟐( 𝑴𝟏 𝑴𝟐 = √(−𝟖)𝟐 + 𝟕𝟏√𝟐 = 𝟖𝟔√ = 𝟒 𝑴𝟏 𝑴𝟐 = √𝟔𝟒 +
𝟏 𝑩𝑨 = 𝟐𝑴 𝟏𝑴 𝟐 𝟏 𝟕𝟏√)𝟐( = 𝟕𝟏√ 𝟐
𝟒𝟏( حتديد موقع :موقع بيت حممود عند النقطة )𝟎 (−𝟒 ,وموقع مدرسته عند النقطة )𝟑 (𝟎 , −ما املسافة اليت يقطعها حممود عند ذهابه اىل املدرسة ،علما ان طول ضلع كل مربع يف املستوي االحداثي ميثل كيلومتراً واحداً؟ احلل :
𝟐) 𝟏𝒚 𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − )𝟎 (−𝟒 ,
𝟐 𝟐 )𝟎 𝒅 = √(𝟎 − (−𝟒)) + (−𝟑 −
)𝟑(𝟎 , −
𝒎𝒌 𝟓 = 𝟓𝟐√ = 𝟗 𝒅 = √(𝟒)𝟐 + (−𝟑)𝟐 = √𝟏𝟔 +
203
فكر 𝟓𝟏( حتدًّ :دائرة طرفا احد اقطارها النقطتان )𝟏 𝑨(−𝟏 , 𝟏), 𝑩(𝟓 ,جد : 𝑖𝑖( مساحتها
𝑖( إحداثيات مركزها
احلل (𝑖 :جند نقطة منتصف 𝑩𝑨
𝟐𝒚 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝒚𝟏 + , ) 𝟐 𝟐
𝟏 −𝟏 + 𝟓 𝟏 + 𝟐 𝟒 ) 𝟏 ) = ( , ) = (𝟐 , , 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
)𝟏 𝑩(−𝟏 ,
(=𝑴
( = 𝟏𝑴
)𝟏 𝑪(𝟓 , 𝑖𝑖( جند طول املسافة بني 𝟏𝑴𝑨 ألهنا متثل نصف القطر
𝟐) 𝟏𝒚 𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝟐 𝟐 )𝟏 𝒓 = √(𝟐 − (−𝟏)) + (𝟏 −
)𝟏 𝑨(−𝟏 , )𝟏 𝑴𝟏 (𝟐 ,
𝟑 = 𝟗√ = 𝟐)𝟑(√ = 𝟐)𝟎( 𝒓 = √(𝟐 + 𝟏)𝟐 + 𝟐
𝟐
𝝅𝟗 = 𝝅 𝟑 = 𝑨 ⟹ 𝝅 𝒓 = 𝑨 𝟓𝟏( اكتشف اخلطأ :وجدت شهد إحداثيات نقطة منتصف القطعة املستقيمة اليت طرفيها )𝟑 (𝟔, 𝟏), (𝟖, فكتبتها )𝟏 ) = (𝟏 , احلل :
𝟏𝟑− 𝟐
,
𝟔𝟖− 𝟐
( اكتشف خطأ شهد وصححه . 𝟐𝒚 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝒚𝟏 + , ) 𝟐 𝟐
𝟏𝟖+𝟔 𝟑+ 𝟒 𝟒𝟏 (=) , ) 𝟐 , ) = (𝟕 , 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
)𝟑 (𝟖 , )𝟏 (𝟔 ,
(=𝑴
( = 𝟏𝑴
اخلطأ هو قيام شهد بعملية الطرح بني 𝟐𝒚 𝟏𝒚 . 𝒙𝟏 𝒙𝟐 , أكتب :عالقة قانون نقطة املنتصف بإجياد الوسط احلسايب . احلل : إلجياد الوسط احلسايب لعددين فأنك جتمعهما وتقسم الناتج على 𝟐 والجياد احداثي نقطة املنتصف للقطعة املستقيمة اليت تصل بني نقطتني جتمع اإلحداثيني السينيني وكذلك االحداثيني الصاديني وتقسم ناتج كل من اجملموعني على 𝟐 وهبذا فإنك جتد املتوسط احلسايب لكل من االحداثيني السينيني واالحداثيني الصاديني . ***********************
204
النسب املثلثية تعلم :وقف مساح على بعد 𝒅 متر من بناية ،ومن خالل جهازه نظر اعلى البناية بزاوية معينة . كيف تساعده النسب املثلثية يف اجياد ارتفاع البناية؟فكرة الدرس : تعرف على النسب املثلثية االساسية . النسب املثلثية لبعض الزوايا اخلاصة ، اجياد قيم عبارات تتضمن زوايا اخلاصة . املفردات : النسب املثلثية 𝒕𝒐𝒄 𝒔𝒊𝒏 , 𝒄𝒐𝒔 , 𝒕𝒂𝒏 , 𝒔𝒆𝒄 , 𝒄𝒔𝒄 , الزوايا اخلاصة 𝟔𝟎° , 𝟒𝟓° , 𝟑𝟎° , 𝟗𝟎° , 𝟎°
النسب املثلثية )𝜽 𝒏𝒂𝒕 (𝒔𝒊𝒏𝜽 , 𝒄𝒐𝒔𝜽 , املقابل الوتر
𝜽 املجاور
املقابل
للزاوية
للزاوية
اجملاور الوتر املقابل
𝜽 املقابل للزاوية
اجملاور
املجاور للزاوية
= 𝜽𝒏𝒊𝒔 = 𝜽𝒔𝒐𝒄 = 𝜽𝒏𝒂𝒕
مثال :من الشكل اجملاور ،جد النسب املثلثية الثالث للزاوية 𝜽 .استعمل مربهنة فيثاغورس الجياد طول الضلع 𝑩𝑨 املقابل .
𝐀
احلل :نستخدم مربهنة فيثاغورس الجياد طول 𝑩𝑨 (املقابل) 𝟐)اجملاور( )𝟐 −الوتر( = 𝟐)املقابل( 𝟐)𝐂𝐁( (𝐀𝐁)𝟐 = (𝑨𝑪)𝟐 − 𝟐)𝟒( (𝐀𝐁)𝟐 = (𝟓)𝟐 − 𝟗 = 𝟔𝟏 (𝐀𝐁)𝟐 = 𝟐𝟓 − 𝟑 = 𝑩𝑨 𝟒 𝟓
= 𝜽𝒔𝒐𝒄 ⟹
اجملاور الوتر
باجلذر
𝐂
⇒ 𝟗 = 𝟐)𝐁𝐀(
= 𝜽𝒔𝒐𝒄
𝟑
,
𝟓
𝟑 𝟒 205
𝜽 𝒎𝒄 𝟒
= 𝜽𝒏𝒊𝒔 ⟹
= 𝜽𝒏𝒂𝒕 ⟹
املقابل الوتر
املقابل اجملاور
𝐁
= 𝜽𝒏𝒊𝒔 = 𝜽𝒏𝒂𝒕
مثال :املثلث 𝑪𝑩𝑨 القائم الزاوية يف 𝑩 اذا كانت
𝟓𝟏 𝟖
= 𝑨 𝒏𝒂𝒕 جد 𝑨 𝒔𝒐𝒄 . 𝒔𝒊𝒏 𝑨 ,
احلل :نستخدم مربهنة فيثاغورس الجياد طول 𝑪𝑨 (الوتر)
𝑪
𝟐)اجملاور( )𝟐 +املقابل( = 𝟐)الوتر( 𝟐)𝐁𝐀( (𝐀𝐂)𝟐 = (𝑩𝑪)𝟐 + 𝟐)𝟖( (𝐀𝐂)𝟐 = (𝟏𝟓)𝟐 + 𝟗𝟖𝟐 = 𝟒𝟔 (𝐀𝐂)𝟐 = 𝟐𝟐𝟓 + 𝟕𝟏 = 𝑪𝑨 𝟖 𝟕𝟏
= 𝑨𝒔𝒐𝒄 ⟹
باجلذر
⇒ 𝟗𝟖𝟐 = 𝟐)𝐂𝐀(
اجملاور
= 𝑨𝒔𝒐𝒄
الوتر
النسب املثلثية للزوايا اخلاصة : 𝟗𝟎° 𝟎°
𝟓𝟏
𝟒𝟓° 𝟏
𝟎
𝟏
𝟏
𝟎
𝟐√ 𝟏
𝟎
غري معرف
𝟐√ 𝟏
𝐀 𝟓𝟏
,
= 𝑨𝒏𝒊𝒔 ⟹
𝟕𝟏
𝟑𝟎° 𝟏 𝟐 𝟑√ 𝟐 𝟏
𝟔𝟎° 𝟑√ 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑√
𝟖
املقابل الوتر
𝐁
= 𝑨𝒏𝒊𝒔
النسب املثلثية 𝒏𝒊𝒔 𝒔𝒐𝒄 𝒏𝒂𝒕
𝟑√ مثال :اثبت أن 𝒔𝒊𝒏 𝟔𝟎° 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎° + 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎°𝒔𝒊𝒏𝟑𝟎° = 𝒔𝒊𝒏𝟗𝟎° احلل : 𝒔𝒊𝒏 𝟔𝟎° 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎° + 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎°𝒔𝒊𝒏𝟑𝟎°الطرف االيسر 𝟒
𝟏
𝟒
𝟒
𝟏= = +
𝟑 𝟒
𝟏
𝟏
= )𝟐 (
𝟐
𝟑√ 𝟐
𝟑√
(𝟐) +
𝟏 = 𝒔𝒊𝒏𝟗𝟎°الطرف االمين
الطرف االمين = الطرف االيسر مثال :وقف رجل أمام بناية وعلى بعد 𝒎𝟐𝟏 من قاعدهتا ونظر اىل قمة البناية بزاوية مقدارها . 𝟑𝟎° احلل :العالقة اليت حتل هبا املسألة هي 𝒏𝒂𝒕 ألن الوتر غري مطلوب
𝑨
فنستخدم عالقة فيها مقابل وجماور . املقابل اجملاور طرفني يف وسطني 𝟐𝟏 𝟑√
=𝒉⟹
𝒉 𝟐𝟏 𝟐𝟏 𝟑√
= =
𝟏
⟹
𝟑√ 𝒉𝟑√ 𝟑√
206
𝒉 𝟐𝟏
= 𝜽𝒏𝒂𝒕
= 𝟎𝟑𝒏𝒂𝒕
⟹ 𝟐𝟏 = 𝒉𝟑√
𝐡 𝟑𝟎° 𝐂
𝐦 𝟐𝟏
𝐁
اذا اردنا تبسيط الناتج نضرب العامل املنسب للمقام وهو 𝟑√ . 𝟑√𝟐𝟏 𝟑√𝟒 = 𝟑
=
𝟑√ 𝟑√
×
𝟐𝟏 𝟑√
=𝒉
عالقات النسب املثلثية 𝜽𝒏𝒊𝒔 𝜽𝒔𝒐𝒄 𝜽𝒏𝒂𝒕 النسبة املثلثية 𝟏 𝟏 𝟏 مقلوهبا = 𝜽𝒄𝒔𝒄 = 𝜽𝒄𝒆𝒔 = 𝜽𝒕𝒐𝒄 𝜽𝒏𝒊𝒔 𝜽𝒔𝒐𝒄 𝜽𝒏𝒂𝒕 𝟑√ = 𝑨𝒔𝒐𝒄 فجد 𝒔𝒆𝒄𝑨 , 𝒄𝒔𝒄𝑨 , 𝒄𝒐𝒕𝑨 : مثال :مثلث قائم الزاوية يف 𝑩 اذا كانت 𝟏𝟏√
احلل :نستخدم مربهنة فيثاغورس الجياد طول 𝑩𝑨 (املقابل) 𝟐)اجملاور( )𝟐 −الوتر( = 𝟐)املقابل( 𝟐)𝐁𝐀( (𝐁𝐂)𝟐 = (𝑨𝑪)𝟐 − 𝟐
𝐂
𝟐
)𝟑√( (𝐁𝐂)𝟐 = (√𝟏𝟏) − 𝟖 = 𝟑 (𝐁𝐂)𝟐 = 𝟏𝟏 −
𝟖√ = 𝑪𝑩
باجلذر
⇒ 𝟖 = 𝟐)𝐂𝐁( 𝐀
𝟏𝟏√ 𝟖√ 𝟑√ 𝟖√
مقلوب 𝑨 𝒏𝒊𝒔 ⟹ 𝑨 𝒄𝒔𝒄
,
= 𝑨 𝒄𝒔𝒄
,
= 𝑨 𝒄𝒔𝒄 ⟹ = 𝑨 𝒕𝒐𝒄 ⟹
الوتر املقابل اجملاور املقابل
= 𝑨 𝒕𝒐𝒄
𝜽 𝟑√
𝐁
مقلوب 𝑨 𝒔𝒐𝒄 ⟹ 𝑨 𝒄𝒆𝒔 𝟏𝟏√ 𝟑√
= 𝑨 𝒄𝒆𝒔 ⟹
الوتر اجملاور
= 𝑨 𝒄𝒆𝒔
مقلوب 𝑨 𝒏𝒂𝒕 ⟹ 𝑨 𝒕𝒐𝒄
مثال :جد القيمة العددية للمقدار : (𝒔𝒊𝒏 𝟒𝟓°)(𝒔𝒆𝒄 𝟒𝟓°) − (𝒕𝒂𝒏𝟔𝟎°)(𝒄𝒐𝒕𝟑𝟎°) + 𝟐𝒄𝒔𝒄 𝟗𝟎° احلل : (𝒔𝒊𝒏 𝟒𝟓°)(𝒔𝒆𝒄 𝟒𝟓°) − (𝒕𝒂𝒏𝟔𝟎°)(𝒄𝒐𝒕𝟑𝟎°) + 𝟐𝒄𝒔𝒄 𝟗𝟎° مقلوب 𝟎𝟑 𝒏𝒂𝒕 ⟹ 𝟎𝟑 𝒕𝒐𝒄 ,مقلوب 𝟎𝟗 𝒏𝒊𝒔 ⟹ 𝟎𝟗 𝒄𝒔𝒄 ,مقلوب 𝟓𝟒 𝒔𝒐𝒄 ⟹ 𝟓𝟒 𝒄𝒆𝒔 𝟐√ = 𝒔𝒆𝒄 𝟒𝟓° , 𝟏 = 𝟎𝟗 𝒄𝒔𝒄 𝟑√ = 𝟎𝟑 𝒕𝒐𝒄 , 𝟏 𝟎 = 𝟏 (√𝟐) − √𝟑 (√𝟑) + 𝟐(𝟏) = 𝟏 − 𝟑 + 𝟐 = 𝟏 − 𝟐√
207
تأكد من فهمك 𝟏( من الشكل اجملاور ،جد النسب املثلثية اآلتية : 𝑪 𝒔𝒐𝒄 )𝒊𝒊 𝑪 𝒕𝒐𝒄 )𝒊𝒊𝒊 𝑨 𝒄𝒆𝒔 )𝒗𝒊 احلل :
𝑨 𝒏𝒊𝒔 )𝒊
𝟐)اجملاور( )𝟐 +املقابل( = 𝟐)الوتر( 𝟐)𝐂𝐁( (𝐀𝐂)𝟐 = (𝑨𝑩)𝟐 + 𝟐)𝟑( (𝐀𝐂)𝟐 = (𝟒)𝟐 + 𝟓𝟐 = 𝟗 (𝐀𝐂)𝟐 = 𝟏𝟔 + 𝟓 = 𝑪𝑨 𝟑 𝟓
= 𝑪 𝒔𝒐𝒄 ⟹
اجملاور الوتر
باجلذر
𝒎𝒄 𝟒
𝐂
𝟐
⇒ 𝟓𝟐 = )𝐂𝐀(
= 𝑪 𝒔𝒐𝒄 )𝒊𝒊
𝟑 𝟒
= 𝑪 𝒕𝒐𝒄 ⟹
𝟓 𝟒
= 𝑨 𝒄𝒆𝒔 ⟹
𝟑
,
اجملاور املقابل الوتر اجملاور
𝑨
𝟓
𝒎𝒄 𝟑
= 𝑨 𝒏𝒊𝒔 ⟹
املقابل الوتر
احلل :
= 𝑨 𝒏𝒊𝒔 )𝒊
= 𝑪 𝒕𝒐𝒄 ⟹ مقلوب 𝑪 𝒏𝒂𝒕 ⟹ 𝑪 𝒕𝒐𝒄 )𝒊𝒊𝒊 = 𝑨 𝒄𝒆𝒔 ⟹ مقلوب 𝑨 𝒔𝒐𝒄 ⟹ 𝑨 𝒄𝒆𝒔 )𝒗𝒊
𝟐( يف املثلث 𝑪𝑩𝑨 القائم الزاوية يف 𝑩 إذا كانت 𝟑√ = 𝑨 𝒕𝒐𝒄 جد : 𝑨 𝒏𝒂𝒕 )𝒊 𝑨 𝒏𝒊𝒔 )𝒊𝒊 𝑨 𝒄𝒔𝒄 )𝒊𝒊𝒊 𝑨 𝒔𝒐𝒄 )𝒗𝒊 𝟑√ 𝟏
𝐁
𝑪
= 𝑨 𝒕𝒐𝒄 ⟹ 𝟑√ = 𝑨 𝒕𝒐𝒄 𝟐)اجملاور( )𝟐 +املقابل( = 𝟐)الوتر( 𝟐)𝐂𝐁( (𝐀𝐂)𝟐 = (𝑨𝑩)𝟐 +
𝟏
𝟐
𝟐)𝟏( (𝐀𝐂)𝟐 = (√𝟑) + 𝟒 = 𝟏 (𝐀𝐂)𝟐 = 𝟑 + 𝟐 = 𝑪𝑨 𝟏 𝟐
= 𝑨 𝒏𝒊𝒔 ⟹
املقابل الوتر
باجلذر
𝟑√
𝟐
⇒ 𝟒 = )𝐂𝐀(
= 𝑨 𝒏𝒊𝒔 )𝒊𝒊
𝟐 𝟐= 𝟏
𝐀
= 𝑨 𝒄𝒔𝒄 ⟹
, الوتر املقابل
𝟏 𝟑√
= 𝑨 𝒏𝒂𝒕 ⟹
املقابل اجملاور
= 𝑨 𝒏𝒂𝒕 )𝒊
= 𝑨 𝒄𝒔𝒄 ⟹ مقلوب 𝑨 𝒏𝒊𝒔 ⟹ 𝑨 𝒄𝒔𝒄 )𝒊𝒊𝒊 𝟑√ 𝟐
208
𝐁
= 𝑨 𝒔𝒐𝒄 ⟹
اجملاور الوتر
= 𝑨 𝒔𝒐𝒄 )𝒗𝒊
مثال :اثبت ما يأيت : 𝟓− 𝟒
احلل :
= )𝒊) (𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎° − 𝒄𝒔𝒄 𝟒𝟓°)(𝒔𝒊𝒏𝟔𝟎° + 𝒔𝒆𝒄𝟒𝟓°
) (𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎° − 𝒄𝒔𝒄 𝟒𝟓°)(𝒔𝒊𝒏𝟔𝟎° + 𝒔𝒆𝒄𝟒𝟓°الطرف االيسر مقلوب 𝒄𝒔𝒄 𝟒𝟓° ⟹ 𝒔𝒊𝒏 𝟒𝟓°
مقلوب , 𝒔𝒆𝒄𝟒𝟓° ⟹ 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓°
)𝟐√ +
𝟑√ 𝟐
( )𝟐√ −
𝟑√ 𝟐
(=
تعترب هذه (حدانية × حدانية) واشارة القوسني خمتلفة فنرجعها اىل اصلها وهو الفرق بني مربعني وكااليت : الطرف االمين
𝟓− 𝟒
=
𝟖𝟑−
𝟐
𝟑
𝟑
𝟒
𝟏
𝟒
𝟒
𝟐
= − (√𝟐) = − 𝟐 = −
𝟐 𝟑√ )𝟐(
=
الطرف االمين = الطرف االيسر 𝒊𝒊) 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟑𝟎°𝒔𝒆𝒄 𝟑𝟎° = 𝒄𝒔𝒄𝟔𝟎° احلل : 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟑𝟎°𝒔𝒆𝒄 𝟑𝟎°الطرف االيسر مقلوب 𝒔𝒆𝒄 𝟑𝟎° ⟹ 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎° 𝟐 𝟏 𝟐 =) ( 𝟐= 𝟑√ 𝟐 𝟑√ 𝟐 = 𝒄𝒔𝒄𝟔𝟎°الطرف االمين
مقلوب , 𝒄𝒔𝒄𝟔𝟎° ⟹ 𝒔𝒊𝒏 𝟔𝟎°
∴ الطرف االمين = الطرف االيسر واجب
𝟑√
𝒊𝒊𝒊) (𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓° − 𝒄𝒔𝒄 𝟒𝟓°)(𝒕𝒂𝒏 𝟒𝟓°)(𝒄𝒔𝒄 𝟗𝟎°) = −𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓° = 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝟎°
𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎° 𝟐
√ )𝒗𝒊
احلل : 𝟏
𝟏
𝟏− 𝟏 𝟏 = √ = 𝟐√ = 𝟐 √ = 𝟐
𝟒
𝟐
𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎° 𝟐
𝟐
𝟏
∴ الطرف االمين = الطرف االيسر
𝟐
√ الطرف االيسر
= 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝟎°الطرف االمين
𝟒( طائرة ورقية ارتفاعها 𝒎 𝟑√𝟑 عن سطح االرض ،اذا كان اخليط املتصل يصنع زاوية مقدارها 𝟔𝟎°مع طائرة
االرض .جد طول اخليط . احلل :نقوم باجياد احدى العالقات املثلثية اليت تالئم اجياد طول اخليط شرط ان يكون الوتر يف هذه العالقة وهي أما 𝒔𝒐𝒄 أو 𝒏𝒊𝒔 ولكن عالقة 𝒔𝒐𝒄 ال تفيدنا يف اجياد طول الوتر ألن اجملاور جمهول وبذلك سنستخدم 𝒏𝒊𝒔 . 209
𝟑√𝟑 𝟔𝟎°
املقابل الوتر
= 𝜽 𝒏𝒊𝒔
𝟑 √𝟑 𝟑 √𝟑 𝟑 √ ⟹ = طرفني يف وسطني 𝒙 𝟐 𝒙 𝟑√𝟔 𝒙𝟑√ = طول اخليط 𝟔 = 𝒙 ⟹ ⟹ 𝟑√𝟔 = 𝒙𝟑√ 𝟑√ 𝟑√ = 𝒔𝒊𝒏 𝟔𝟎°
تدرب وحل التمرينات 𝟓( من الشكل اجملاور ،جد النسب املثلثية اآلتية : 𝑪 𝒕𝒐𝒄 )𝒊𝒊 𝑪 𝒄𝒆𝒔 )𝒊𝒊𝒊 𝑨 𝒄𝒔𝒄 )𝒗𝒊 احلل :
𝑨 𝒕𝒐𝒄 )𝒊
𝑨
𝟐)اجملاور( )𝟐 −الوتر( = 𝟐)املقابل( 𝟐)𝐂𝐁( (𝐀𝐁)𝟐 = (𝑨𝑪)𝟐 − 𝟐)𝟐𝟏( (𝐀𝐁)𝟐 = (𝟏𝟑)𝟐 − 𝟓𝟐 = 𝟒𝟒𝟏 (𝐀𝐁)𝟐 = 𝟏𝟔𝟗 − باجلذر
𝟐
𝐂
𝟓 = 𝑩𝑨 ⇒ 𝟓𝟐 = )𝐁𝐀( اجملاور 𝟓 = 𝑨 𝒕𝒐𝒄 ⟹ مقلوب 𝑨 𝒏𝒂𝒕 ⟹ 𝑨 𝒕𝒐𝒄 )𝒊 = 𝑨 𝒕𝒐𝒄 ⟹ 𝟐𝟏 املقابل 𝟐𝟏 𝟓
= 𝑪 𝒕𝒐𝒄 ⟹
𝟑𝟏 𝟐𝟏
= 𝑪 𝒄𝒆𝒔 ⟹
𝟑𝟏 𝟐𝟏
= 𝑨 𝒄𝒔𝒄 ⟹
اجملاور املقابل الوتر
𝒎𝒄 𝟐𝟏
= 𝑪 𝒕𝒐𝒄 ⟹ مقلوب 𝑪 𝒏𝒂𝒕 ⟹ 𝑪 𝒕𝒐𝒄 )𝒊𝒊
= 𝑪 𝒄𝒆𝒔 ⟹ مقلوب 𝑪 𝒔𝒐𝒄 ⟹ 𝑪 𝒄𝒆𝒔 )𝒊𝒊𝒊
اجملاور الوتر املقابل
= 𝑨 𝒄𝒔𝒄 ⟹ مقلوب 𝑨 𝒏𝒊𝒔 ⟹ 𝑨 𝒄𝒔𝒄 )𝒊𝒊𝒊
واجب 𝟔( يف املثلث 𝑪𝑩𝑨 القائم الزاوية يف 𝑩 إذا كانت 𝟐√ = 𝑨 𝒄𝒆𝒔 جد : 𝑪 𝒕𝒐𝒄 )𝒊𝒊 𝑨 𝒄𝒔𝒄 )𝒊𝒊𝒊 𝑪 𝒔𝒐𝒄 )𝒗𝒊 𝟕( أثبت ما يأيت : واجب
𝟒 𝟑√
𝐁
𝑨 𝒏𝒊𝒔 )𝒊
= 𝒊) 𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎°𝒄𝒔𝒄 𝟔𝟎° + 𝒔𝒊𝒏𝟔𝟎°𝒔𝒆𝒄𝟔𝟎°
𝟐 = 𝒊𝒊) 𝒔𝒊𝒏 𝟒𝟓°𝒔𝒆𝒄 𝟒𝟓° + 𝒄𝒔𝒄 𝟒𝟓°𝒔𝒊𝒏𝟒𝟓° احلل : 𝒔𝒊𝒏 𝟒𝟓°𝒔𝒆𝒄 𝟒𝟓° + 𝒄𝒔𝒄 𝟒𝟓°𝒔𝒊𝒏𝟒𝟓°الطرف االيسر 210
مقلوب , 𝒔𝒆𝒄𝟒𝟓° ⟹ 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓° الطرف االمين
مقلوب 𝒄𝒔𝒄 𝟒𝟓° ⟹ 𝒔𝒊𝒏 𝟒𝟓°
𝟐=𝟏)=𝟏+
الطرف االمين = الطرف االيسر
𝟏 𝟐√
𝟐√( √𝟐) +
𝟏
(=
𝟐√
تدرب وحل مسائل حياتية 𝟖( رياضة:عمل جهاز رياضي مائل لتمرين السري بزاوية قدرها ، 𝟑𝟎°فإذا كان طرف اجلهاز يرتفع 𝒎 𝟓 𝟏. سطح االرض .فما طول حزام اجلهاز ؟ احلل :نفرض حزام اجلهاز = 𝒙 املقابل الوتر نضرب طرفني يف وسطني
𝟓𝟏.
𝟏
𝒙
𝟐
= ⟹
𝟓𝟏. 𝒙
= 𝜽 𝒏𝒊𝒔
𝐦𝟓 𝟏. 𝟑𝟎°
= 𝟎𝟑 𝒏𝒊𝒔
طول احلزام 𝒎 𝟑 = )𝟓 𝒙 = 𝟐 (𝟏. 𝟗( تزجل على اجلليد :يف موقع للتزجل على احد التالل ،كان ارتفاع التلة الرئيسية 500 mوزاوية ميلها عن مستوى االرض . 𝟔𝟎°ماطول سطح التزجل ؟ احلل :نفرض ارتفاع التلة = 𝒙 املقابل الوتر 𝟎𝟎𝟓
نضرب طرفني يف وسطني 𝟎𝟎𝟎𝟏 𝟑√
𝒙
=
=
𝟑√ 𝟐
𝒙𝟑√ 𝟑√
⟹
𝟎𝟎𝟓 𝒙
𝒎 𝟎𝟎𝟓
= 𝜽 𝒏𝒊𝒔
𝟔𝟎°
= 𝟎𝟔 𝒏𝒊𝒔
⟹ 𝟎𝟎𝟎𝟏 = 𝒙𝟑√
𝟎𝟎𝟎𝟏 𝒎 𝟖𝟖𝟓 = 𝟕 𝟏.
=𝒙
𝟎𝟏( سلم اطفاء احلرائق :سلم اطفاء حريق طوله 𝒎 𝟎𝟐 يرتكز احد طرفيه على بناية والطرف اآلخر على ارض افقية بزاوية ، 𝟒𝟓°جد ارتفاع نقطة ارتكاز طرف السلم على البناية .واجب 𝟏𝟏( حديقة :وقفت بنان على بعد 𝒎 𝟓𝟐 من قاعدة شجرة ارتفاعها 𝒎 𝟓𝟐 فما قياس الزاوية اليت تشكلها مع قمة الشجرة ؟ احلل :نستخدم يف هذه احلالة 𝜽 𝒏𝒂𝒕 ألن املقابل واجملاور معلوم وال حنتاج للوتر .
𝐦 𝟓𝟐
قاعدة الشجرة
211
𝐦 𝟓𝟐
بنان
املقابل اجملاور
= 𝜽 𝒏𝒂𝒕
𝟓𝟐 ⟹ 𝒕𝒂𝒏 𝜽 = 𝟏 ⟹ 𝜽 = 𝟒𝟓° 𝟓𝟐
= 𝜽 𝒏𝒂𝒕
فكر 𝟐𝟏( حتد :يف الشكل اجملاور ،جد القيم املؤشرة) ؟ ( باستعمال النسب املثلثية . نفرض اجملاور = 𝒚
احلل :نفرض املقابل = 𝒙
املقابل الوتر طرفني يف وسطني
𝒙 𝟒
=
𝟑√ 𝟐
= 𝜽 𝒏𝒊𝒔 ?
𝒙
𝟒
𝐂
𝟎𝟔
?
𝐁 𝐀
⟹ 𝟑√𝟒 = 𝒙𝟐 اجملاور الوتر
نضرب طرفني يف وسطني
?
⟹ = 𝟎𝟔 𝒏𝒊𝒔
𝟑√𝟒 𝒙𝟐 = 𝟑√𝟐 = 𝒙 ⟹ 𝟐 𝟐
𝒚
𝐀
𝟏
?
= 𝜽 𝒔𝒐𝒄
?
𝒚
= ⟹ = 𝟎𝟔 𝒔𝒐𝒄 𝟒 𝟐 𝟒 𝟒 𝒚𝟐 ⟹ 𝟒 = 𝒚𝟐 = 𝟐 𝟐
𝐂
𝟎𝟔
?
𝐁
𝟐=𝒚 الزاوية قائمة فإن ، 𝑩 = 𝟗𝟎°
∠𝑪 = 𝟔𝟎° 𝟎𝟖𝟏 = 𝑪∠ ∴ ∠𝑨 + ∠𝑩 +
∴ ∠𝑨 + 𝟗𝟎° + 𝟔𝟎° = 𝟏𝟖𝟎 ⟹ ∠𝑨 + 𝟏𝟓𝟎° = 𝟏𝟖𝟎 ⟹ ∠𝑨 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟏𝟓𝟎° = 𝟑𝟎° 𝟑𝟏( مسألة مفتوحة 𝑨𝑩𝑪 :مثلث قائم الزاوية يف 𝑩 , احلل :
𝑩∠ = 𝟗𝟎°
زاوية قائمة ،
𝟑√ 𝟐
= 𝑨 𝒏𝒊𝒔 كيف جتد قيمة الزاوية 𝑪 ؟
⟹ 𝑨 = 𝟔𝟎°
𝟑√ 𝟐
𝐀
= 𝑨 𝒏𝒊𝒔
∠𝑨 + ∠𝑩 + ∠𝑪 = 𝟏𝟖𝟎° ⟹ 𝟔𝟎 + 𝟗𝟎 + ∠𝑪 = 𝟏𝟖𝟎° 𝟏𝟓𝟎 + ∠𝑪 = 𝟏𝟖𝟎 ⟹ ∠𝑪 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟏𝟓𝟎 ⟹ ∠𝑪 = 𝟑𝟎° 𝐂
212
𝐁
𝟒𝟏( تربير :اذا كان جيب زاوية وجيب متامها متساويني يف مثلث قائم الزاوية .ما نوع املثلث من حيث اطوال اضالعه؟ احلل :نوع املثلث متساوي الساقني . أكتب :مسألة تستعمل فيها نسبة اجليب الجياد طول ضلع جمهول يف مثلث قائم الزاوية مث حلها. مسألة :طائرة ورقية طول خيطها 𝐦 𝟎𝟑 فإذا كانت الزاوية اليت يصنعها اخليط مع االرض 𝟎𝟑 جد ارتفاع الطائرة الورقية عن االرض . طائرة
احلل :نفرض ارتفاع الطائرة = 𝒙 املقابل الوتر 𝟏
𝒙
𝒙
= 𝜽 𝒏𝒊𝒔
ارتفاع الطائرة
= ⟹ نضرب طرفني يف وسطني 𝟎𝟑 𝟐 𝟎𝟑 𝟎𝟑 𝒙 𝟐 ⟹ 𝟎𝟑 = 𝒙𝟐 = ارتفاع الطائرة 𝟓𝟏 = 𝒙 ⟹ 𝟐 𝟐
= 𝟎𝟑 𝒏𝒊𝒔
𝟑𝟎°
تدريب :جد القيمة العددية للمقدار 𝟐)(𝒔𝒊𝒏 𝟔𝟎°)𝟐 (𝒕𝒂𝒏𝟒𝟓°)𝟐 + (𝒔𝒊𝒏𝟑𝟎° احلل : 𝟐)(𝒔𝒊𝒏 𝟔𝟎°)𝟐 (𝒕𝒂𝒏𝟒𝟓°)𝟐 + (𝒔𝒊𝒏𝟑𝟎° 𝟐
𝟐 𝟏 𝟑 𝟒 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑√ 𝟐 )𝟏( + ) ( 𝟏 = = ( ) = (𝟏) + = + 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 تدريب :جد القيمة العددية للمقدار 𝟐) (𝒕𝒂𝒏 𝟔𝟎°) + (𝒄𝒐𝒕𝟒𝟓°) + (𝒔𝒆𝒄𝟑𝟎°) + (𝒔𝒊𝒏𝟒𝟓°واجب تدريب :اثبت أن : احلل : 𝟏
𝟏 𝟐
(𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎°)𝟐 − (𝒔𝒊𝒏 𝟔𝟎°)𝟐 = −
الطرف االمين 𝟐 = −
𝟐− 𝟒
𝟑 𝟒
𝟏 𝟒
𝟐
𝟑√
𝟐 𝟏 𝟐
= (𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎°)𝟐 − (𝒔𝒊𝒏 𝟔𝟎°)𝟐 = ( ) − ( ) = −الطرف االيسر 𝟐
اختبار الفصل 𝟏( مثل املعادالت التالية يف املستوي االحداثي : 𝟖 = 𝒚𝟒 𝒊) 𝟐𝒙 − مثال :مثل املعادلة 𝟎 = 𝒙 𝟐𝒚 −يف املستوي االحداثي : احلل : )𝒚 (𝒙 , )𝟐(𝟎 , − )𝟏(𝟐 , −
4
𝟖 = 𝒚𝟒 𝟐𝒙 − 𝟖 = 𝒚𝟒 𝟐(𝟎) − 𝒚𝟒− 𝟖 ⟹ 𝟖 = 𝒚𝟒− = 𝟐⟹ 𝒚 = − 𝟒− 𝟒− 𝟖 = 𝒚𝟒 𝟐(𝟐) − 𝟒𝒚 = 𝟖 ⟹ 𝟒 − 𝒚𝟒− 𝟒 ⟹ 𝟒 −𝟒𝒚 = 𝟖 − = 𝟏⟹ 𝒚 = − 𝟒− 𝟒−
213
3
𝒙 𝟎
2 4
𝟐
3 )𝟏(𝟐 , −
2
1
1
)𝟐(𝟎 , −
واجب
𝟐 = 𝒚 )𝒊𝒊
واجب
𝟐 = 𝒙 )𝒊𝒊𝒊
𝟏 𝒊𝒗) 𝒚 = 𝒙𝟐 −
حملول 𝟐( جد معادلة املستقيم املار بالنقطتني 𝑨(−𝟐 , −𝟑) , 𝑩(𝟐 , 𝟑) : )𝟑𝑨(−𝟐 , −
احلل :
𝟏𝒚 𝒚 − 𝒚𝟏 𝒚𝟐 − )𝟑𝒚 − (−𝟑) 𝟑 − (− = ⟹ = 𝟏𝒙 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒙𝟐 − )𝟐𝒙 − (−𝟐) 𝟐 − (− 𝟑𝒚+ 𝟑𝟑+ 𝟑𝒚+ 𝟔 = ⟹ نضرب طرفني يف وسطني =
)𝟑 𝑩(𝟐 , 𝒙𝟔 𝒚𝟒 = 𝟒 𝟒
𝟒
𝟐𝒙+
𝟐𝒙+
𝟐𝟐+
⟹ 𝒙𝟔 = 𝒚𝟒 ⟹ 𝟐𝟏 𝟒𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟔𝒙 + 𝟏𝟐 ⟹ 𝟒𝒚 = 𝟔𝒙 + 𝟏𝟐 − 𝟑
معادلة املستقيم 𝒙 = 𝒚 𝟐
𝟑( جد املقطع السيين واملقطع الصادي للمعادلة االتية :
𝟒 = 𝒙 𝟕)𝒚 − 𝒄 𝟒 =𝒙⟹ =𝒙 𝟒= − 𝒂 𝟏−
املقطع السيين املقطع الصادي
𝟒=
𝟒( جد معادلة املستقيم لكل مما يأيت :
𝟒 𝟏
𝒄
=𝒚⟹ =𝒚 𝒃
𝒊( مير بالنقطتني )𝟓 . (𝟑 , −𝟐), (𝟏 ,واجب 𝒊𝒊( ميله
𝟑
ومقطعه الصادي يساوي 𝟓. −
𝟐 𝟏−
𝒊𝒊𝒊( ميله
𝟓
ومقطعه السيين يساوي 𝟑 .واجب ميله
احلل , 𝒚 = −𝟓 ⟹ (𝟎 , −𝟓) :
𝟑 𝟐
𝟑 𝟐
ومقطعه الصادي يساوي 𝟓𝒊𝒊) −
=𝒎
) 𝟏𝒙 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 (𝒙 − 𝟑 𝟑 𝒙𝟑 = 𝟎𝟏 (𝒙 − 𝟎) ⟹ 𝒚 + 𝟓 = 𝒙 ⟹ 𝟐𝒚 + = )𝟓𝒚 − (− 𝟐 𝟐 𝟎𝟏 𝒙𝟑 𝒚𝟐 𝟑 ⟹ 𝟎𝟏 𝟐𝒚 + 𝟏𝟎 = 𝟑𝒙 ⟹ 𝟐𝒚 = 𝟑𝒙 − = − 𝟓⟹𝒚= 𝒙− 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟓( استعمل معادلة امليل والنقطة لتحديد ميل املستقيم وإحدى نقاطه 𝟖 = 𝒙𝟑 . 𝟐𝒚 − احلل :
𝒙𝟑 = 𝟖 𝟐𝒚 − 𝒚𝟐 𝟐÷ 𝒙𝟑 𝟖 𝟑 ⇒ ]𝒙𝟑 = 𝟖 𝟐𝒚 − = − 𝒙 =𝟒⟹𝒚− 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 ) 𝟎 (𝒙 − = 𝟒 𝒚− 𝟐 ) 𝟏𝒙 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 (𝒙 − 𝟑 =𝒎 ) 𝟒 , (𝟎 , 𝟐 214
𝟔( باستعمال امليل بني ما يأيت : 𝒊( النقاط )𝟎 𝑨(𝟑 , 𝟐), 𝑩(𝟎 , −𝟏), 𝑫(𝟏 ,على استقامة واحدة . احلل :
𝟏𝒚 𝒚𝟐 − 𝟏𝒙 𝒙𝟐 − 𝟑−𝟏 − 𝟐 − = = 𝟏= 𝟑𝟎− 𝟑−
)𝟐 𝑨(𝟑 , )𝟏𝑩(𝟎 , −
𝟏 )𝟏𝟎 − (− 𝟏= = 𝟎𝟏− 𝟏
)𝟏𝑩(𝟎 , − ) 𝟎 𝑫(𝟏 , 𝑫𝑩𝒎 = 𝑩𝑨𝒎 ∴ النقط 𝑫 𝐀 , 𝐁 ,تقع على استقامة واحدة (اي متثل خط مستقيم)
=𝒎 𝑩𝑨𝒎
= 𝑫𝑩𝒎
𝒊𝒊( النقاط التالية رؤوس ملتوازي االضالع )𝟏 . 𝑨(𝟒 , −𝟏), 𝑩(𝟐, 𝟐), 𝑪(−𝟐 , 𝟒), 𝑫(𝟎 ,واجب 𝒊𝒊𝒊( املستقيم املار بالنقطتني )𝟏 𝑨(𝟑 , 𝟏), 𝑩(𝟒 , −عمودي على املستقيم املار بالنقطتني )𝟑.𝑪 (𝟒 , −𝟏), 𝑫(𝟎 , −
𝟏𝒚𝒚𝟐 −
احلل :
𝟏𝒙𝒙𝟐 −
=𝒎 𝟐−𝟏 − 𝟏 − = 𝟐= − 𝟑𝟒− 𝟏
)𝟏 𝑨(𝟑 , )𝟏𝑩(𝟒 , −
𝑩𝑨𝒎 = ⃡
𝟏 𝟐−𝟑 − (−𝟏) −𝟑 + 𝟏 − = = = )𝟏𝑪(𝟒 , − 𝟒𝟎− 𝟒− 𝟐 𝟒− )𝟑𝑫(𝟎 , − 𝟏 𝟏𝒎⃡𝑨𝑩 × 𝒎⃡𝑪𝑫 = −𝟏 ⟹ −𝟐 × = − 𝟐 = 𝑫𝑪⃡𝒎
∴ املستقيم 𝑩𝑨 عمودي على املستقيم 𝑫𝑪 .
𝟕( جد معادلة املستقيم املار بالنقطة )𝟑 𝑪 (𝟎 ,واملوازي للمستقيم الذي ميله احلل : ∵ املستقيمان متوازيان ∴ ميل املستقيم املطلوب =
𝟐− 𝟑
.
𝟐− 𝟑
نكتب االن معادلة املستقيم والنقطة الجياد معادلة املستقيم )𝟑 , 𝑪(𝟎 ,
𝟐− 𝟑
=𝒎
) 𝟏𝒙 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝟐− 𝟐− = 𝟑 (𝒙 − 𝟎 ) ⟹ 𝒚 − =𝟑𝒚− 𝟗 ⟹ 𝟑𝒚 − 𝟗 = −𝟐𝒙 ⟹ 𝟑𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟑 𝟑 𝒚𝟑 𝟐− 𝟗 𝟐− معادلة املستقيم 𝟑 = 𝒙 + ⟹ 𝒚 = 𝒙 + 𝟖( باستعمال قانون املسافة بني نقطتني أثبت )𝒊𝒊( (𝒊) ,يف السؤال 𝟔 .واجب
215
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
𝟗( باستعمال قانون نقطة املنتصف أثبت )𝒊𝒊( يف السؤال 𝟔 . احلل :
𝟐𝒚 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝒚𝟏 + , ) 𝟐 𝟐
𝟒 𝟒 + (−𝟐) −𝟏 + 𝟑 𝟐 𝟑 ) ) = ( , ) = (𝟏 , , 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
)𝟏𝑨(𝟒 , − )𝟒 𝑪(−𝟐 ,
𝟏𝟐+𝟎 𝟐+ 𝟑 𝟐 𝟑 ) ) = ( , ) = (𝟏 , , 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
)𝟐 𝑩(𝟐, )𝟏 𝑪(𝟎 ,
(=𝑴
( = 𝟏𝑴 ( = 𝟐𝑴
∵ 𝟐𝑴 = 𝟏𝑴 ∴ الشكل 𝑫𝑪𝑩𝑨 متوازي اضالع (من خواص متوازي االضالع قطراه أحدمها ينصف االخر) 𝟓 𝟒
= 𝑨 𝒄𝒆𝒔 ⟹
الوتر اجملاور
= 𝑨 𝒄𝒆𝒔 ⟹ مقلوب 𝑨 𝒔𝒐𝒄 ⟹ 𝑨 𝒄𝒆𝒔 )𝒗𝒊
𝟏
𝟎𝟏( يف املثلث 𝑪𝑩𝑨 القائم الزاوية يف 𝑩 إذا كانت = 𝑨 𝒏𝒊𝒔 جد : 𝟐 𝑨 𝒔𝒐𝒄 )𝒊 𝑨 𝒏𝒂𝒕 )𝒊𝒊 𝑪 𝒕𝒐𝒄 )𝒊𝒊𝒊 𝑨 𝒄𝒆𝒔 )𝒗𝒊 𝟏 = 𝑨 𝒏𝒊𝒔 احلل : 𝟐
𝟐)املقابل( )𝟐 −الوتر( = )اجملاور( 𝟐)𝐂𝐁( (𝐀𝐁)𝟐 = (𝑨𝑪)𝟐 − 𝟐)𝟏( (𝐀𝐁)𝟐 = (𝟐)𝟐 − 𝟑 = 𝟏 (𝐀𝐁)𝟐 = 𝟒 − 𝟑√ = 𝑩𝑨 𝟏 𝟐
= 𝑨 𝒏𝒂𝒕 ⟹
املقابل اجملاور
𝟑√ 𝟐 𝟑√
باجلذر
𝟏
𝟐
𝐀
𝐁
𝟐
⇒ 𝟑 = )𝐁𝐀(
= 𝑨 𝒏𝒂𝒕 )𝒊𝒊
𝟏
𝟐
𝑪
= 𝑪 𝒕𝒐𝒄 ⟹ = 𝑨 𝒄𝒆𝒔 ⟹
, اجملاور املقابل الوتر اجملاور
216
𝟑√ 𝟐
= 𝑨 𝒔𝒐𝒄 ⟹
اجملاور الوتر
= 𝑨 𝒔𝒐𝒄 )𝒊
= 𝑪 𝒕𝒐𝒄 ⟹ مقلوب 𝑪 𝒏𝒂𝒕 ⟹ 𝑪 𝒕𝒐𝒄 )𝒊𝒊𝒊 = 𝑨 𝒄𝒆𝒔 ⟹ مقلوب 𝑨 𝒔𝒐𝒄 ⟹ 𝑨 𝒄𝒆𝒔 )𝒗𝒊
الفصل اخلامس اهلندسة والقياس املضلعات واجملسمات (اهلرم واملخروط) تعرفت سابقا على املضلعات املنتظمة وغري املنتظمة وكيفية اجياد الزوايا الداخلية واخلارجية للمضلع املنتظم وكذلك تعرفت على كيفية اجياد الزاوية املركزية للمضلع .واستطعت التمييز بني املضلع املقعر واملضلع احملدب وسوف تتمكن يف هذا الدرس من اجياد مساحة وحميط املضلعات املنتظمة. فكرة الدرس : أجد حميط ومساحة املضلعات املنتظمة . اجد احلجم واملساحة الكلية لكل من اهلرم واملخروط . املفردات : العامد االرتفاع اجلانيب املخروط اهلرم
املضلعات املنتظمة حميط املضلع املنتظم = عدد االضالع × طول الضلع
𝑳×𝒏 = 𝑷
مساحة املضلع املنتظم = مساحة املثلث × عدد اضالعه طول الضلع 𝐋 :
𝟏
𝒏 ×𝑯×𝑳 = 𝑨 𝟐
العامد (االرتفاع) ( 𝐇 :وهو العمود النازل من مركز املضلع على أحد اضالع املضلع) 𝟏
𝟏
مساحة املثلث × = :القاعدة × االرتفاع (العامد)
𝑯×𝑳 =𝑨 𝟐
𝟐
مثال :جد حميط ومساحة الشكل السداسي املنتظم ،طول ضلعه 𝒎𝟒 وطول العامد 𝒎 𝟑√𝟐 .
احلل ( 𝒏 = 𝟔 :عدد االضالع للشكل) 𝟐𝒎 𝟒𝟐 = 𝟒 × 𝟔 = 𝑷 ⟹ 𝑳 × 𝒏 = 𝑷 𝟏 𝟏 𝟐𝒎𝟑√𝟒𝟐 = 𝟔 × 𝟑√𝟐 × 𝟒 × = 𝑨 ⟹ 𝒏 × 𝑯 × 𝑳 = 𝑨 𝟐 𝟐
مثال :جد حميط ومساحة الشكل السداسي املنتظم ،طول ضلعه 𝒎𝟒 وطول العامد 𝒎 𝟑√𝟐 .
احلل ( 𝒏 = 𝟒 :عدد االضالع للشكل)
(طريقة )1
217
𝟏 𝒏 ×𝑯×𝑳 𝟐
= 𝑨
(طريقة )2
طول ضلع املربع 𝒎𝒄 𝟖 = 𝟐 × 𝟒 = 𝑳 𝟏 𝟐𝒎𝒄 𝟒𝟔 = 𝟒 × 𝟒 × 𝟖 × = 𝑨 𝟐
مساحة املربع = طول الضلع × طول الضلع
𝟒𝟔 = 𝟖 × 𝟖 = 𝑨 ⟹ 𝑳 × 𝑳 = 𝑨 اهلرم :هو جمسّم له يف االقل ثالثة اوجه مثلثة الشكل وله قاعدة واحدة تعرب عن شكل مضلع (شكل القاعدة حيدد اسم اهلرم) . ،
𝐡 = االرتفاع = 𝐇 ،العامد
𝓵 =االرتفاع اجلانيب
املخروط :هو جمسّم له قاعدة واحدة فقط عبارة عن دائرة وله رأس واحد. 𝓵 =االرتفاع اجلانيب (مولد املخروط) = 𝐡 ،االرتفاع 𝟐 𝒓 𝓵 𝟐 = 𝒉𝟐 +
،
𝒓 = نصف القطر
قوانني املساحات املساحة اجلانبية
اهلرم املنتظم
املخروط القائم
𝟏 𝓵× 𝑷 𝟐 𝐏 :حميط القاعدة
𝓵 × 𝒓𝝅 = 𝑨𝑳
= 𝑨𝑳
𝟏 𝒃𝑷 ×𝓵+ 𝟐
املساحة الكلية
= 𝑨𝑻
اهلرم واملخروط
𝓵 :االرتفاع اجلانيب
حجم اهلرم
𝟏 𝒉×𝒃 𝟑
حجم
𝟐 𝟏 𝒉 × 𝒓𝝅 𝟑
=𝑽
𝒃 :املساحة
𝟐𝒓𝝅 𝑻𝑨 = 𝝅𝒓 × 𝓵 +
املخروط
𝐛 :مساحة القاعدة
=𝑽
املساحة الكلية = املساحة اجلانبية +مساحة القاعدة مثال :جد املساحة اجلانبية واملساحة الكلية هلرم منتظم ارتفاعه اجلانيب 𝒎𝒄 𝟖 وقاعدته مربعة طول ضلعها 𝒎𝒄 𝟑
احلل :املساحة اجلانبية 𝟏
𝟐𝒎𝒄 𝟖𝟒 = 𝟖 × 𝟐𝟏 × = 𝑨𝑳 ⟹ 𝓵 × 𝑷 𝟐
𝟏 𝟐
= 𝑨𝑳
املساحة الكلية 𝟗 =𝟑×𝟑=𝒃 ⟹𝑳×𝑳 = 𝒃 مساحة القاعدة = مساحة املربع 𝟏 𝟐𝒎𝒄 𝟕𝟓 = 𝟗 𝑻𝑨 = 𝑷 × 𝓵 + 𝒃 ⟹ 𝑻𝑨 = 𝟒𝟖 + 𝟐
218
مثال :استخدم الشكل اجملاور ألجياد (𝒊) :احلجم )𝒊𝒊( املساحة الكلية )𝒊𝒊𝒊( املساحة اجلانبية احلل : 𝟐𝒎𝒄 𝛑𝟓𝟏 = 𝟓 × 𝟑 × 𝝅 = 𝐀𝐋 ⟹ 𝓵 × 𝒓𝝅 = 𝑨𝑳 )𝒊 𝟐
𝟐𝒎𝒄 𝛑𝟒𝟐 = 𝛑𝟗 𝒊𝒊) 𝑻𝑨 = 𝝅𝒓 × 𝓵 + 𝝅𝒓𝟐 ⟹ 𝑻𝑨 = 𝟏𝟓𝛑 + 𝛑(𝟑) = 𝟏𝟓𝛑 + 𝟐 𝟏 𝟏 𝟑𝒎𝒄 𝛑𝟐𝟏 = 𝟒 × 𝛑𝟑 = 𝐕 ⟹ 𝟒 × 𝟐)𝟑(𝝅 = 𝐕 ⟹ 𝒉 × 𝒓𝝅 𝟑 𝟑
= 𝑽 )𝒊𝒊𝒊
مثال :جد حجم اهلرم اجملاور :
احلل :القاعدة هي عبارة عن شكل شبه منحرف فان مساحة القاعدة هي مساحة شبه املنحرف 1
مساحة شبه املنحرف = (جمموع طول ضلع القاعدتني) × االرتفاع 2 𝟏 𝟏 𝟐𝒎 𝟏𝟖 = 𝟔 × )𝟖𝟏 𝒃 = (𝒈𝒇 + 𝒃𝒅) × 𝒇𝒆 = (𝟗 + 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟑𝒎 𝟎𝟒𝟓 = 𝟎𝟐 × 𝟏𝟖 × = 𝑽 ⟹ 𝒉 × 𝒃 𝟑 𝟑 مثال :جد حجم اجملسم املركب اجملاور .
=𝑽
احلل :إلجياد حجم اجملسم املركب جند أوالً حجم االسطوانة وحجم املخروط وبعد ذلك جنمع احلجوم لنجد حجم اجملسم املركب .
𝟑𝒎𝒄 𝝅𝟎𝟐𝟕 = 𝟎𝟐 × 𝝅𝟔𝟑 = 𝟎𝟐 × 𝟐)𝟔(𝝅 = 𝟏𝑽 ⟹ 𝒉 𝟐𝒓𝝅 = 𝟏𝑽 ارتفاع املخروط
𝟎𝟑 = 𝟎𝟐 𝒉 = 𝟓𝟎 −
𝟐 𝟏 𝟏 𝟑𝒎𝒄 𝝅𝟎𝟔𝟑 = 𝟎𝟑 × 𝝅 𝟐)𝟔( = 𝟐𝑽 ⟹ 𝒉 × 𝝅 𝒓 𝟑 𝟑
= 𝟐𝑽
𝟑𝒎𝒄 𝝅𝟎𝟖𝟎𝟏 = 𝝅𝟎𝟔𝟑 𝑽 = 𝑽𝟏 + 𝑽𝟐 ⟹ 𝑽 = 𝟕𝟐𝟎𝝅 +
تأكد من فهمك جد حميط ومساحة كل مضلع منتظم : )𝟏
)𝟐
𝟏( احلل :
𝟐( احلل :
𝟓 = 𝒏 𝑯 = 𝟐 , 𝑳 = 𝟐. 𝟗 , احمليط 𝒎𝒄 𝟗 𝑷 = 𝒏 × 𝑳 = 𝟓 × 𝟐. 𝟗 = 𝟏𝟒. 𝟏 𝟏 املساحة 𝟐𝒎𝒄 𝟗 𝑨 = 𝑳 × 𝑯 × 𝒏 = × 𝟐. 𝟗 × 𝟐 × 𝟓 = 𝟏𝟒. 𝟐 𝟐 𝟕 = 𝒏 𝑯 = 𝟐 √𝟑 , 𝑳 = 𝟑 , احمليط 219
𝒎𝒄 𝟏𝟐 = 𝟑 × 𝟕 = 𝑳 × 𝒏 = 𝑷
املساحة
𝟏 𝟏 𝟐𝒎𝒄 𝟑√𝟏𝟐 = 𝟕 × 𝟑√𝟐 × 𝟑 × = 𝒏 × 𝑯 × 𝑳 𝟐 𝟐
=𝑨
𝟑( جد احلجم واملساحة اجلانبية والكلية لكلّ مما يأيت :
𝒊( خمروط دائري قائم :مساحة قاعدته 𝟐𝒎𝒄 𝛑𝟓𝟐𝟐 ،حميط قاعدته 𝐦𝐜 𝛑𝟎𝟑 ،ارتفاعه 𝒎𝒄 𝟎𝟐 ، ارتفاعه اجلانيب 𝒎𝒄 𝟓𝟐 . 𝒊𝒊( هرم :مساحة قاعدته 𝟐𝒎𝒄 𝟑√𝟒𝟓 ،حميط قاعدته 𝒎𝒄 𝟔𝟑 ،ارتفاعه 𝒎𝒄 𝟔√𝟑 ،ارتفاعه اجلانيب 𝒎𝒄 𝟗 . احلل : 𝝅𝟎𝟑 = 𝒑 𝒃 = 𝟐𝟐𝟓𝝅 , , 𝟎𝟐 = 𝒉 , 𝟓𝟐 = 𝓵 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝒓 𝓵 = 𝒉 + 𝒓 ⟹ (𝟐𝟓) = (𝟐𝟎) + 𝒓 ⟹ 𝟔𝟐𝟓 = 𝟒𝟎𝟎 + 𝟐
)𝒊
باجلذر
⇒ 𝟓𝟐𝟐 = 𝟐𝒓 ⟹ 𝟎𝟎𝟒 𝒓𝟐 = 𝟔𝟐𝟓 − 𝒎𝒄 𝟓𝟏 = 𝒓 𝟐𝒎𝒄 𝛑𝟎𝟓𝟕 = 𝟓𝟐 × 𝟓𝟏 × 𝝅 = 𝐀𝐋 ⟹ 𝓵 × 𝒓𝝅 = 𝑨𝑳 𝟐
𝟐𝒎𝒄 𝛑𝟓𝟕𝟗 = 𝛑𝟓𝟐𝟐 𝑻𝑨 = 𝝅𝒓 × 𝓵 + 𝝅𝒓𝟐 ⟹ 𝑻𝑨 = 𝟕𝟓𝟎𝛑 + 𝛑(𝟏𝟓) = 𝟕𝟓𝟎𝛑 + 𝟏 𝟑
𝟑𝒎𝒄 𝛑𝟎𝟎𝟓𝟏 = 𝟎𝟐 × 𝛑𝟓𝟕 = 𝟎𝟐 × 𝛑)𝟓𝟐𝟐( = 𝐕 ⟹ 𝟎𝟐 ×
𝟗=𝓵
,
𝟏 𝟐)𝟓𝟏(𝝅 𝟑
𝟏 𝟑
= 𝐕 ⟹ 𝒉 × 𝟐𝒓𝝅 = 𝑽
)𝒊𝒊
𝟔𝟑 = 𝒑 𝒃 = 𝟓𝟒√𝟑 , , 𝟔 √𝟑 = 𝒉 𝟏 𝟐𝒎𝒄 𝟐𝟔𝟏 = 𝟗 × 𝟔𝟑 × = 𝐀𝐋 ⟹ 𝓵 × 𝒑 = 𝑨𝑳 𝟐 𝟐 𝟏
𝟏
𝟐𝒎𝒄 𝟖 𝑻𝑨 = 𝟐 𝒑 × 𝓵 + 𝒃 ⟹ 𝑻𝑨 = 𝟏𝟔𝟐 + 𝟓𝟒√𝟑 = 𝟏𝟔𝟐 + 𝟓𝟒(𝟏. 𝟕) = 𝟏𝟔𝟐 + 𝟗𝟏. 𝟖 = 𝟐𝟓𝟑. 𝟑𝒎𝒄 𝟐√𝟖𝟎𝟏 = 𝟐√𝟑 × 𝟒𝟓 = 𝟖𝟏√𝟒𝟓 = 𝟔√ × 𝟑√𝟒𝟓 = 𝐕 ⟹ 𝟔√𝟑 × 𝟑√𝟒𝟓 ×
𝟒( جد احلجم واملساحة اجلانبية والكلُية لكلّ مما يأيت:
𝟏 𝟑
𝟏
= 𝐕 ⟹ 𝒉 × 𝒃𝟑 = 𝑽
𝒊( هرم قاعدته مثلث متساوي االضالع طول ضلعه 𝒎𝒄 𝟔 وارتفاعه 𝒎𝒄 𝟑𝟑√ وارتفاعه اجلانيب 𝒎𝒄 𝟔 . 𝒊𝒊( هرم قاعدته مربعة طول ضلعها 𝒎𝒄 𝟐𝟏 وارتفاعه 𝒎𝒄 𝟖 وارتفاعه اجلانيب 𝒎𝒄 𝟎𝟏 . احلل :
مساحة القاعدة املربعة
واجب )𝒊 𝒊𝒊) 𝑳 = 𝟏𝟐 , 𝒉 = 𝟖 , 𝟎𝟏 = 𝓵 𝟐𝒎𝒄 𝟒𝟒𝟏 = 𝟐𝟏 × 𝟐𝟏 = 𝑳 × 𝑳 = 𝒃 𝟏
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑𝒎𝒄 𝟒𝟖𝟑 = 𝟖 × 𝟖𝟒 = 𝟖 × 𝟒𝟒𝟏 × = 𝑽 ⟹ 𝒉 × 𝒃 = 𝑽 حميط املربع املساحة اجلانبية املساحة الكلية
𝒎𝒄 𝟖𝟒 = 𝟐𝟏 × 𝟒 = 𝑳 × 𝟒 = 𝑷 𝟏
𝟏
𝟐
𝟐 𝟏
𝟐𝒎𝒄 𝟎𝟒𝟐 = 𝟎𝟏 × 𝟒𝟐 = 𝟎𝟏 × )𝟖𝟒( = 𝑨𝑳 ⟹ 𝓵 × 𝒑 = 𝑨𝑳 𝟐𝒎𝒄 𝟒𝟖𝟑 = 𝟒𝟒𝟏 𝑻𝑨 = 𝒑 × 𝓵 + 𝒃 ⟹ 𝑻𝑨 = 𝟐𝟒𝟎 + 𝟐
220
𝟓( جد احلجم واملساحة اجلانبية والكلُية مستعمالً االشكال ادناه . )𝒊𝒊 )𝒊𝒊𝒊
)𝒊
احلل : 𝒎𝒄 𝟐𝟏 = 𝒉 𝒓 = 𝟓 𝒄𝒎 , 𝟏
𝟏
احلجم 𝟑𝒎𝒄 𝛑𝟎𝟎𝟏 = 𝟒 × 𝛑𝟓𝟐 = 𝟐𝟏 × 𝛑)𝟓𝟐( 𝟑 = 𝐕 ⟹ 𝟐𝟏 × 𝟐)𝟓(𝝅 𝟑
املساحة اجلانبية
𝒊) 𝓵 = 𝟏𝟑 𝒄𝒎 , 𝟐
𝟏
= 𝐕 ⟹ 𝒉 × 𝒓𝝅 𝟑 = 𝑽
𝟐𝒎𝒄 𝛑𝟓𝟔 = 𝟑𝟏 × 𝟓 × 𝝅 = 𝐀𝐋 ⟹ 𝓵 × 𝒓𝝅 = 𝑨𝑳
املساحة الكلية 𝟐𝒎𝒄 𝛑𝟎𝟗 = 𝛑𝟓𝟐 𝑻𝑨 = 𝝅𝒓 × 𝓵 + 𝝅𝒓𝟐 ⟹ 𝑻𝑨 = 𝟔𝟓𝛑 + 𝛑(𝟓)𝟐 = 𝟔𝟓𝛑 +
?=𝓵 , 𝟑=𝒓 , 𝟒=𝒉 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟓𝟐 = 𝟗 𝓵 = 𝒉 + 𝒓 ⟹ 𝓵 = (𝟒) + (𝟑)𝟐 ⟹ 𝓵𝟐 = 𝟏𝟔 + 𝟐
احلجم
𝒎𝒄 𝟓 = 𝓵
𝟏
𝟑𝒎𝒄 𝛑𝟐𝟏 = 𝟒 × 𝛑𝟑 = 𝟒 × 𝛑)𝟗( = 𝐕 ⟹ 𝟒 × 𝟐)𝟑(𝝅 𝟑
𝟏
)𝒊𝒊
باجلذر
⇒ 𝟓𝟐 = 𝟐𝓵 𝟏
= 𝐕 ⟹ 𝒉 × 𝟐𝒓𝝅 = 𝑽 𝟑
𝟑
املساحة اجلانبية 𝟐𝒎𝒄 𝛑𝟓𝟏 = 𝟓 × 𝟑 × 𝝅 = 𝐀𝐋 ⟹ 𝓵 × 𝒓𝝅 = 𝑨𝑳
املساحة الكلية
𝟐
𝟐𝒎𝒄 𝛑𝟒𝟐 = 𝛑𝟗 𝑻𝑨 = 𝝅𝒓 × 𝓵 + 𝝅𝒓𝟐 ⟹ 𝑻𝑨 = 𝟏𝟓𝛑 + 𝛑(𝟑) = 𝟏𝟓𝛑 +
واجب
𝟔( جد احلجم واملساحة اجلانبية واملساحة الكلية ملا يلي : 𝓵=𝟓 , 𝒉=𝟑 , 𝟖=𝑳 𝟐𝒎𝒄 𝟒𝟔 = 𝟖 × 𝟖 = 𝑳 × 𝑳 = 𝒃 مساحة القاعدة املربعة احلجم
𝟏
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑𝒎𝒄 𝟒𝟔 = 𝟑 × )𝟒𝟔( × = 𝑽 ⟹ 𝒉 × 𝒃 = 𝑽
حميط املربع
𝒎𝒄 𝟐𝟑 = 𝟖 × 𝟒 = 𝑳 × 𝟒 = 𝑷
𝟏 𝟏 املساحة اجلانبية 𝟐𝒎𝒄 𝟎𝟖 = 𝟓 × 𝟔𝟏 = 𝟓 × )𝟐𝟑( = 𝑨𝑳 ⟹ 𝓵 × 𝒑 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐𝒎𝒄 𝟒𝟒𝟏 = 𝟒𝟔 𝑻𝑨 = 𝒑 × 𝓵 + 𝒃 ⟹ 𝑻𝑨 = 𝟖𝟎 + املساحة الكلية = 𝑨𝑳
𝟐
مساحة املثلث املتساوي الساقني مساحة املثلث = طول الضلع ×
𝟑√ 𝟒
221
)𝒊𝒊𝒊
تدرب وحل التمرينات 𝟕( جد املساحة اجلانبية للهرم الذي قاعدته مربعة الشكل طول ضلعها 𝒎𝒄𝟖 وارتفاعه اجلانيب 𝒎𝒄𝟐 . 𝟕. احلل 𝓵 = 𝟕. 𝟐 𝒄𝒎 :
,
𝒎𝒄 𝟖 = 𝑳 حميط املربع
𝒎𝒄 𝟐𝟑 = 𝟖 × 𝟒 = 𝑳 × 𝟒 = 𝑷
𝟏 𝟏 املساحة اجلانبية 𝟐𝒎𝒄 𝟐 𝒑 × 𝓵 ⟹ 𝑳𝑨 = (𝟑𝟐) × 𝟕. 𝟐 = 𝟏𝟔 × 𝟕. 𝟐 = 𝟏𝟏𝟓. 𝟐 𝟐
= 𝑨𝑳
𝟖( جد املساحة اجلانبية للهرم الذي قاعدته املضلع الثماين املنتظم الذي قياس طول ضلعه 𝐦𝐜 𝟔𝟏 𝟏. وارتفاعه اجلانيب 𝒎𝒄 𝟐 . احلل :
𝟖=𝒏
𝒎𝒄 𝟐 = 𝐇
,
,
𝒎𝒄 𝟔𝟏 𝑳 = 𝟏.
𝟏 𝟏 𝟖 × 𝟐 × )𝟔𝟏 𝑳 × 𝑯 × 𝒏 ⟹ 𝑨 = (𝟏. 𝟐 𝟐 املساحة اجلانبية 𝟐𝒎𝒄 𝟖𝟐 𝐀 = 𝟏. 𝟏𝟔 × 𝟖 = 𝟗. =𝑨
𝟗( جد املساحة اجلانبية واملساحة الكلية ملخروط دائري قائم قطر قاعدته 𝒎 𝟓𝟑 وارتفاعه اجلانيب 𝒎 𝟎𝟐 واكتب اجلواب بداللة 𝝅 . احلل : 𝒎 𝟓 = 𝟏𝟕. املساحة اجلانبية
𝟓𝟑 𝟐
=𝒓
𝓵 = 𝟐𝟎 𝒎 ,
𝟐𝒎 𝛑𝟎𝟎𝟕 = 𝟎𝟐 × 𝟓 𝑳𝑨 = 𝝅𝒓 × 𝓵 ⟹ 𝐋𝐀 = 𝝅 × 𝟏𝟕.
𝛑𝟓𝟐 𝑻𝑨 = 𝝅𝒓 × 𝓵 + 𝝅𝒓𝟐 ⟹ 𝑻𝑨 = 𝟕𝟎𝟎𝛑 + 𝛑(𝟏𝟕. 𝟓)𝟐 = 𝟕𝟎𝟎𝛑 + 𝟑𝟎𝟔. املساحة الكلية
𝟐𝒎 𝛑𝟓𝟐 𝐓𝐀 = 𝟗𝟎𝟎𝟔.
𝟎𝟏( جد حجم هرم قاعدته مثلث منتظم وطول ضلعه 𝒎 𝟔 وارتفاعه 𝒎 𝟑𝟏 . احلل :
𝒎 𝟑𝟏 = 𝒉 ,
𝒎𝟔=𝑳 𝟏 𝟏 𝟐𝒎 𝟗𝟑 = 𝟑𝟏 × 𝟔 × = 𝒉 × 𝑳 × 𝟐 𝟐
مساحة املثلث
𝟏 𝟏 احلجم 𝟐𝒎 𝟗𝟔𝟏 = 𝟑𝟏 × 𝟑𝟏 = 𝟑𝟏 × )𝟗𝟑( = 𝑽 ⟹ 𝓵 × 𝒑 𝟑 𝟑
=𝑷 =𝑽
𝟏𝟏( جد حجم الشكل املركب اجملاور .
احلل :الجياد حجم الشكل املركب جند أوالً حجم املخروط الصغري وحجم املخروط الكبري وبعد ذلك جنمع احلجوم . حجم املخروط الصغري
𝟐=𝒓 ,
𝟔=𝒉
𝟐 𝟏 𝟏 𝟔 × 𝟐)𝟐(𝝅 = 𝟏𝐕 ⟹ 𝒉 × 𝒓𝝅 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑𝒎𝒄 𝛑𝟖 = 𝟐 × 𝛑𝟒 = 𝟔 × 𝛑)𝟒( = 𝟏𝑽 = 𝟏𝑽
𝟑
222
حجم املخروط الكبري
𝟖𝟏 = 𝒉
𝟗=𝒓 ,
𝟐 𝟏 𝟏 𝟖𝟏 × 𝟐)𝟗(𝝅 = 𝟐𝐕 ⟹ 𝒉 × 𝒓𝝅 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑𝒎𝒄 𝛑𝟔𝟖𝟒 = 𝟖𝟏 × 𝛑𝟕𝟐 = 𝟖𝟏 × 𝛑)𝟏𝟖( = 𝟐𝑽 = 𝟐𝑽
𝟑
𝟑𝒎𝒄 𝝅𝟒𝟗𝟒 = 𝝅𝟔𝟖𝟒 𝑽 = 𝑽𝟐 + 𝑽𝟏 = 𝟖𝝅 +
تدرب وحل مسائل حياتية 𝟐𝟏( علوم :منوذج بركاين على شكل خمروط دائري قائم طول نصف قطر قاعدته 𝒎𝒄 𝟑 اذا كان حجم النموذج 𝟑𝒎𝒄 𝟑𝟎𝟐 تقريبا ،ما ارتفاعه ؟ احلل :
?= 𝒉
𝟑𝟎𝟐 = 𝑽
,
𝟑=𝒓
,
𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝒉 × 𝝅𝟗 × = 𝟑𝟎𝟐 ⟹ 𝒉 × 𝟐)𝟑(𝝅 = 𝟑𝟎𝟐 ⟹ 𝒉 × 𝒓𝝅 𝟑 𝟑 𝟑
=𝑽
𝒉 × 𝟐𝟒 𝟐𝟎𝟑 = 𝟑𝝅 × 𝒉 ⟹ 𝟐𝟎𝟑 = 𝟑 × 𝟑. 𝟏𝟒 × 𝒉 ⟹ 𝟐𝟎𝟑 = 𝟗. 𝟑𝟎𝟐 𝟎𝟎𝟑𝟎𝟐 𝒎𝒄 𝟓𝟓 𝒉 = 𝟗.𝟒𝟐 = 𝟗𝟒𝟐 = 𝟐𝟏. ارتفاع النموذج الربكاين
𝟑𝟏( بناء :يبلغ ارتفاع برج العرب 𝒎 𝟏𝟐𝟑 وميثل هرما مقوسا ،احسب املساحة التقريبية لقاعدته اذا كان حجم اهلرم الذي ميثله 𝟑𝒎 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟎𝟗𝟏 . احلل :
𝒎 𝟏𝟐𝟑 = 𝒉
?= 𝒃
,
,
𝟑𝒎 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟎𝟗𝟏 = 𝑽
𝟏 𝟏 𝟏𝟐𝟑 × 𝒃 = 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟎𝟗𝟏 ⟹ 𝒉 × 𝒃 𝟑 𝟑
=𝑽
𝟕𝟎𝟏 × 𝒃 = 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟎𝟗𝟏 املساحة التقريبية
𝟐𝒎 𝟒 = 𝟏𝟕𝟕𝟗𝟒.
𝟎𝟎𝟎𝟒𝟎𝟗𝟏 𝟕𝟎𝟏
=𝒃
𝟒𝟏( هندسة :جد املساحة اجلانبية للهرم الذي قاعدته مربعة الشكل واملبني بالشكل اجملاور . احلل :
𝟖=𝓵
,
𝟖=𝑳 𝒎𝒄 𝟔𝟏 = 𝟒 × 𝟒 = 𝑷 ⟹ 𝑳 × 𝟒 = 𝑷
𝟏 𝟏 املساحة اجلانبية 𝟐𝒎𝒄 𝟒𝟔 = 𝟖 × 𝟖 = 𝟖 × )𝟔𝟏( = 𝑨𝑳 ⟹ 𝓵 × 𝒑 𝟐 𝟐
= 𝑨𝑳
فكر 𝟓𝟏( حتدً :خمروط واسطوانة هلما نفس القاعدة واحلجم ،قطر االسطوانة 𝒎𝒄 𝟎𝟒 وارتفاعها 𝒎𝒄 𝟕 ،ما املساحة اجلانبية للمخروط ؟ احلل :
𝟕=𝒉
,
𝟎𝟐 =
𝟎𝟒 𝟐
=𝒓 223
حجم االسطوانة 𝟑𝒎𝒄 𝝅𝟎𝟎𝟖𝟐 = 𝟕 × 𝝅𝟎𝟎𝟒 = 𝟕 × 𝟐)𝟎𝟐(𝝅 = 𝑽 ⟹ 𝒉 × 𝟐𝒓𝝅 = 𝑽 حجم االسطوانة = حجم املخروط 𝟏 𝟏 𝒉 × 𝝅𝟎𝟎𝟒 = 𝛑𝟎𝟎𝟒𝟖 ⟹ 𝒉 × 𝟐)𝟎𝟐(𝝅 = 𝛑𝟎𝟎𝟖𝟐 ⟹ 𝒉 × 𝟐𝒓𝝅 = 𝑽 𝟑 𝟑 𝝅𝟎𝟎𝟒𝟖 𝒎𝒄 𝟏𝟐 = 𝝅𝟎𝟎𝟒
=𝒉
𝟏𝟒𝟖 = 𝟎𝟎𝟒 𝓵𝟐 = 𝒉𝟐 + 𝒓𝟐 ⟹ 𝓵𝟐 = (𝟐𝟏)𝟐 + (𝟐𝟎)𝟐 ⟹ 𝓵𝟐 = 𝟒𝟒𝟏 + باجلذر
𝒎𝒄 𝟗𝟐 = 𝓵 ⇒ 𝟏𝟒𝟖 = 𝟐𝓵 𝟐𝒎𝒄 𝟎𝟔𝟏𝟏 = )𝟗𝟐()𝟎𝟐(𝝅𝟐 = 𝑨𝑳 ⟹ 𝓵 × 𝒓𝝅𝟐 = 𝑨𝑳 𝟔𝟏( أكتشف اخلطأ :اي احللني خطأ ؟ وضح اجابتك احلل : 𝒎𝒄 𝟎𝟏 = 𝓵
,
𝒎𝒄 𝟖 = 𝒉 ,
𝒎𝒄 𝟔 = 𝒓
𝟐 𝟏 𝟏 𝟖 × 𝟐)𝟔(𝝅 = 𝐕 ⟹ 𝒉 × 𝒓𝝅 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑𝒎𝒄 𝝅 𝟔𝟗 = 𝟖 × 𝝅𝟐𝟏 = 𝟖 × 𝟔𝟑 × 𝝅 = 𝐕 =𝑽
احلل االول خطأ
𝟑
أكتب :مسألة عن مضلع منتظم تسمح املعطيات فيه بأجياد حميط املضلع ومساحته . مسألة :جد حميط ومساحة الشكل التساعي املنتظم طول ضلعه 𝒎𝒄 𝟔 وطول العاند 𝒎𝒄 𝟒 . احلل 𝑳 = 𝟔 :
,
𝟒=𝑯
,
𝟗=𝒏
احمليط 𝒎𝒄 𝟒𝟓 = 𝟔 × 𝟗 = 𝑷 ⟹ 𝑳 × 𝒏 = 𝑷 𝟏 𝟏 املساحة 𝟐𝒎𝒄 𝟖𝟎𝟏 = 𝟗 × 𝟒 × 𝟑 = 𝟗 × 𝟒 × )𝟔( = 𝒏 × 𝑯 × 𝑳 = 𝑨 𝟐 𝟐 ***********************
املثلثات تعرفت سابقا اىل خواص املثلث وسنتعرف يف هذا الدرس اىل القطعة املتوسطة يف مثلث :هي قطعة مستقيمة طرفاها احد رؤوس املثلث ونقطة منتصف الضلع املقابل لذلك الرأس ،ولكل مثلث ثالث قطع متوسطة تتقاطع يف نقطة واحدة تسمى نقطة تالقي القطع املتوسطة للمثلث (مركز املثلث) . ارتفاع املثلث :هو العمود النازل من احد رؤوس املثلث على املستقيم الذي حيوي الضلع املقابل لذلك الرأس ،ولكل مثلث ثالثة ارتفاعات تتقاطع يف نقطة واحدة تسمى (ملتقى االرتفاعات) . فكرة الدرس : التعرف اىل منصفات الزوايا والقطع املتوسطة للمثلث وكيفية تشابه مثلثني واستعمال التشابه يف حل املسائل . املفردات : * املثلثان املتشاهبان
* نسبة التشابه 224
االضالع والزوايا يف املثلث (مربهنات بدون برهان) يف كل مثلث: مربهنة :اذا تباين ضلعا مثلث تباينت الزاويتان املقابلتان هلما ،فاكربمها تقابل الضلع االكرب وبالعكس 𝑩𝑪 > 𝑨𝑪 ⟺ 𝒎∠𝑪 > 𝒎∠𝑩 . مثال :جد حميط ومساحة الشكل السداسي املنتظم ،طول ضلعه 𝒎𝟒 وطول 𝒊( يف املثلث ادناه رتب الزوايا من االصغر اىل االكرب 𝒊𝒊( يف املثلث ادناه رتب االضالع من االقصر اىل االطول واحسب قياس 𝑪 ∠ . احلل : 𝒊( الضلع االقصر ̅̅̅̅ 𝑩𝑨 اذن الزاوية الصغرى 𝑪∠ . الضلع االطول ̅̅̅̅ 𝑪𝑨 اذن الزاوية الكربى 𝑩∠ . الترتيب هو :
𝑪∠𝒎 𝒎∠𝑩 , 𝒎∠𝑨 ,
𝒊𝒊( جمموع زوايا املثلث
𝟎𝟖𝟏 = 𝑪∠𝒎 𝒎∠𝑨 + 𝒎∠𝑩 + 𝟎𝟖𝟏 = 𝑪∠𝒎 𝟕𝟑 + 𝟒𝟓 + 𝒎∠𝑪 = 𝟏𝟖𝟎 ⟹ 𝟏𝟏𝟖 + 𝟐𝟔 = 𝟖𝟏𝟏 𝒎∠𝑪 = 𝟏𝟖𝟎 − ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝑨𝑪 , ̅̅̅̅ 𝑨𝑩 , الترتيب 𝑪𝑩 𝑨∠𝒎 < 𝑪∠𝒎 < 𝑩∠𝒎 ∴ ***********************
مربهنة :منصفات زوايا املثلث تتالقى بنقطة واحدة تكون متساوية االبعاد عن اضالعه (والعكس صحيح) . ̅̅̅̅ منصفات الزوايا 𝑪 𝑨 , 𝑩 ,على الترتيب ، ̅̅̅̅̅ 𝑶𝑨 , ̅̅̅̅ 𝑶𝑩 , اذا كان 𝑪𝑶 تلتقي يف نقطة 𝐎 ،فإن 𝑭𝑶 = 𝑬𝑶 = 𝑫𝑶 𝑶𝑩 تنصف 𝑩∠ ̅̅̅̅ ، مثال :يف املثلث اجملاور جد قيمة 𝒙 ̅̅̅̅̅ ، 𝑶𝑪 تنصف 𝑪∠ . احلل 𝐎 ∴ :نقطة التقاء منصفات زوايا املثلث 𝐂𝐁𝐀 ، )𝑶𝑨 تنصف 𝑨∠(
𝑨∠
جمموع زوايا املثلث
𝟏 𝟐
=𝒙
𝟎𝟖𝟏 = 𝑪∠𝒎 𝒎∠𝑨 + 𝒎∠𝑩 + 𝟎𝟖𝟏 = 𝟎𝟑𝟏 𝒎∠𝑨 + 𝟕𝟎 + 𝟔𝟎 = 𝟏𝟖𝟎 ⟹ 𝒎∠𝑨 + 𝟎𝟓 = 𝟎𝟑𝟏 𝒎∠𝑨 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟏 𝟏 𝟓𝟐 = 𝟎𝟓 × = 𝒙 ⟹ 𝑨∠ 𝟐 𝟐
225
=𝒙
مربهنة :القطع املستقيمة املتوسطة للمثلث تتالقى يف نقطة واحدة تسمى مركز ثقل املثلث ،تقسم كل منها 𝟐
بنسبة من جهة الرأس اىل منتصف الضلع املقابل . 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝑬𝑪 = 𝑶𝑪 𝑨𝑶 = 𝑨𝑫 , 𝑩𝑶 = 𝑩𝑭 , 𝟑 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝑬𝑪 = 𝑬𝑶 𝑶𝑫 = 𝑨𝑫 , 𝑶𝑭 = 𝑩𝑭 , 𝟑 𝟑 𝟑 مثال :املثلث 𝑪𝑩𝑨 فيه ̅̅̅̅ 𝑬𝑪 ̅̅̅̅̅, 𝑫𝑨 قطعتان متوسطتان تلتقيان يف نقطة 𝐎 . 𝐀𝐃 = 𝟔 𝐜𝐦 ، 𝐂𝐄 = 𝟗 𝐜𝐦 ,جد ̅̅̅̅̅ . ̅̅̅̅̅ 𝑨𝑶 , طول 𝑬𝑶 ̅̅̅̅ قطعة متوسطة احلل 𝑪𝑬 :
𝟏 𝑬𝑪 𝟑 𝟏 𝒎𝒄 𝟑 = 𝟗 × = 𝑬𝑶 ∴ 𝟑 = 𝑬𝑶
̅̅̅̅ 𝑫𝑨 قطعة متوسطة
𝟐 𝑫𝑨 𝟑 𝟐 𝒎𝒄 𝟒 = 𝟔 × = 𝑨𝑶 ∴ 𝟑 *********************** = 𝑨𝑶
تشابه املثلثات : املثلثان املتشاهبان :مها مثلثان تتناسب اضالعهما وتتطابق زوايامها ويرمز للتشابه بالرمز)∼( . مربهنة :اذا تطابقت زاويتان يف مثلث مع زاويتني يف مثلث آخر فان املثلثني يتشاهبان . 𝑭∠𝒎 = 𝑪∠𝒎
𝒎∠𝑨 = 𝒎∠𝑫 , 𝑭𝑬𝑫 △ ∼ 𝑪𝑩𝑨 △ ∴ مربهنة :اذا تناسب ثالثة اضالع من مثلث مع ثالثة اضالع من مثلث آخر فان املثلثني يتشاهبان . مثال :بني ما اذا كان املثلثني يف الشكل اجملاور متشاهبان ،واكتب نسبة التشابه . احلل : 𝟑 𝟎𝟏 𝟐
𝟒
𝟑
𝟗
=
= =
𝑩𝑨 𝑭𝑫
≠
𝟐
𝟔
𝑪𝑩
𝟑
= = 𝟗
𝑩𝑨
𝟐
𝟒
𝑭𝑫
𝟑
= = 𝟔
∴
𝟐
𝟒
𝟑
𝟔
𝑭𝑬
𝑪𝑩 𝑭𝑬
)𝒊𝒊
∴ املثلثان غري متشاهبان
= =
𝑩𝑨 𝑬𝑫 𝑪𝑨 𝑭𝑬 𝑪𝑩 𝑫𝑬
∴ املثلثان متشاهبان 226
)𝒊
مربهنة :اذا تناسب ضلعان يف مثلث مع نظائرمها يف مثلث آخر ،وتطابقت الزاوية احملصورة بينهما مع نظريهتا فان املثلثني يتشاهبان . مثال :يف الشكل اجملاور :اذا كان
𝑭𝑫 𝑩𝑫
=
𝑪𝑬 𝑫𝑪
𝒎∠𝑪 = 𝒎∠𝑭𝑫𝑩 ،جد قيمة 𝒙 .
احلل :مبا ان املثلثني 𝑪𝑬𝑫 𝑩𝑭𝑫 ,متشاهبان ،اذن اضالعهما املتناظرة متناسبة . 𝑫𝑪
𝑬𝑪
= 𝑩𝑫 𝟗 𝟏𝒙− 𝟏𝟐 = 𝒙𝟑 ⟹ 𝟑 = ⟹ 𝟑𝒙 − 𝟑 = 𝟏𝟖 ⟹ 𝟑𝒙 = 𝟏𝟖 + 𝟐 𝟑 𝟏𝟐 𝒙𝟑 = 𝟕=𝒙⟹ 𝟑 𝟑 𝑭𝑫
تأكد من فهمك رتب االضالع من االقصر اىل االطول : قائمة
𝟎𝟗 = 𝑨∠𝒎 )𝟏 جمموع زوايا املثلث
𝟎𝟖𝟏 = 𝑩∠𝒎 𝒎∠𝑨 + 𝒎∠𝑪 + 𝟎𝟖𝟏 = 𝑩∠𝒎 𝟗𝟎 + 𝟔𝟖 + 𝟎𝟖𝟏 = 𝑩∠𝒎 𝟏𝟓𝟖 + 𝟐𝟐 = 𝟖𝟓𝟏 𝒎∠𝑩 = 𝟏𝟖𝟎 − ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ , 𝑩𝑨 𝑩𝑪 , الترتيب 𝑪𝑨 واجب )𝟐
رتب الزوايا من االصغر اىل االكرب )𝟑
الضلع االقصر هو 𝐁𝐀 اذن الزاوية الصغرى 𝑪∠ الضلع االطول هو 𝐂𝐁 اذن الزاوية الكربى 𝑨∠ الترتيب 𝑪∠ ∠𝑨 , ∠𝑩 , واجب )𝟒
227
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ , ̅̅̅̅̅ منصفات الزوايا 𝑪 𝑨 , 𝑩 ,جد 𝑨∠𝒙 . 𝑶𝑩 𝑨𝑶 , 𝟓( يف املثلث اجملاور اذا كان 𝑶𝑪 احلل 𝐎 ∴ :نقطة التقاء منصفات زوايا املثلث 𝐂𝐁𝐀 ، )𝑶𝑨 تنصف 𝑨∠(
𝑨∠
𝟏 𝟐
=𝒙
𝟎𝟖𝟏 = 𝑪∠𝒎 𝒎∠𝑨 + 𝒎∠𝑩 + 𝟎𝟖𝟏 = 𝟓𝟐𝟏 𝒎∠𝑨 + 𝟖𝟎 + 𝟒𝟓 = 𝟏𝟖𝟎 ⟹ 𝒎∠𝑨 + 𝟓𝟓 = 𝟓𝟐𝟏 𝒎∠𝑨 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟏 𝟏 𝟓 ∠𝑨 ⟹ 𝒙 = × 𝟓𝟓 = 𝟐𝟕. 𝟐 𝟐
=𝒙
𝟔( 𝑪𝑩𝑨 مثلث 𝐎 ،نقطة تقاطع مستقيماته املتوسطة اذا كان 𝟐𝟏 = 𝑶𝑩 جد طول القطعة املستقيمة اليت احد طرفيها التقطة 𝑩 . احلل 𝐁𝐅 :القطعة املتوسطة 𝑭𝑩
𝟐 𝟑
𝟐 𝑭𝑩 𝟐 𝟔𝟑 ⟹ 𝑭𝑩 𝟐 = 𝟔𝟑 ⟹ 𝑭𝑩 = 𝟖𝟏 = 𝑭𝑩 ⟹ 𝟑 𝟐 𝟐
= 𝑶𝑩 = 𝟐𝟏
𝟕( يف املثلث 𝑪𝑩𝑨 𝐎 ،نقطة التقاء القطع املتوسطة جد طول ̅̅̅̅ 𝑫𝑨 اذا علمت ان :واجب 𝑪𝑩 ∩ ̅̅̅̅ 𝒎𝒄𝟔 = 𝑪𝑩 ̅̅̅̅ = {𝑫} , 𝑶𝑨 ∠ 𝑪𝑶𝑩 = 𝟗𝟎 , 𝟖( يف الشكل اجملاور :
𝒊( بني ان املثلثني 𝑬𝑫𝑩 𝑨𝑩𝑪 ,متشاهبان . 𝒊𝒊( جد نسبة التشابه .واجب 𝒊𝒊𝒊( جد قيمة 𝒙 .
واجب
احلل :
𝑬𝑩𝑫∠𝒎 = 𝑪𝑩𝑨∠𝒎 𝒊) 𝒎∠𝑨 = 𝒎∠𝑬 , 𝒎∠𝑪 = 𝒎∠𝑫 , 𝑬𝑫𝑩∆~𝑪𝑩𝑨∆ ∴ الن زواياه متطابقة
تدرب وحل التمرينات رتب االضالع من االقصر اىل االطول : )𝟗
𝟎𝟖𝟏 = 𝑩∠𝒎 𝒎∠𝑨 + 𝒎∠𝑪 + 𝟎𝟖𝟏 = 𝑩∠𝒎 𝟖𝟎 + 𝟔𝟎 + 𝟎𝟒 = 𝟎𝟒𝟏 𝟏𝟒𝟎 + 𝒎∠𝑩 = 𝟏𝟖𝟎 ⟹ 𝒎∠𝑩 = 𝟏𝟖𝟎 − ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ , 𝑩𝑨 𝑩𝑪 , الترتيب 𝑪𝑨
228
واجب
)𝟎𝟏
)𝟏𝟏 رتب الزوايا من االصغر اىل االكرب
الضلع االقصر هو 𝐁𝐀 اذن الزاوية الصغرى 𝑪∠ الضلع االطول هو 𝐂𝐀 اذن الزاوية الكربى 𝑩∠ الترتيب 𝑪∠ ∠𝑩 , ∠𝑨 , واجب
)𝟐𝟏
𝟑𝟏( بني ان املثلثني 𝑬𝑵𝑫 𝑨𝑩𝑪 ,يف الشكل اجملاور متشاهبان وأكتب نسبة التشابه مث سم ازواج الزوايا املتطابقة . احلل :
𝑵∠𝒎 = 𝑪∠𝒎 𝒎∠𝑨 = 𝒎∠𝑫 , 𝒎∠𝑩 = 𝒎∠𝑬 , ∴ املثلثان متشاهبان
𝟒 𝟖 𝑪𝑨 = = 𝟑 𝟔 𝑵𝑫 𝟒 𝟖 𝑩𝑨 = = 𝟑 𝟔 𝑬𝑫 𝟒 𝟖 𝑪𝑩 = = 𝟑 𝟔 𝑬𝑵
𝟑𝟏( بني ان املثلثني 𝑬𝑫𝑨 𝑨𝑩𝑪 ,يف الشكل اجملاور متشاهبان وأكتب نسبة التشابه مث بني أن 𝒎∠𝑩 ≅ 𝒎∠𝑫 : 𝟐𝟏 = 𝟒 ∴ 𝑨𝑪 = 𝟖 + احلل :
∴ املثلثان متشاهبان
229
𝟐 𝟒 𝑫𝑨 = = 𝟑 𝟔 𝑩𝑨 𝑬𝑨 𝟖 𝟐 = = 𝟑 𝟐𝟏 𝑪𝑨
تدرب وحل مسائل حياتية 𝑫𝑬̅̅̅̅// 𝟓𝟏( هندسة :اذا علمت ان 𝐅𝐄𝐃∆~𝐅𝐁𝐀∆ وان ̅̅̅̅ 𝑩𝑨 استعمل املعلومات يف الشكل اجملاور لتجد قيمة 𝒙 . احلل :
𝑭𝑫 𝑭𝑬 = 𝑨𝑭 𝑩𝑭 𝟎𝟐 𝟓𝟏 = 𝟓𝟑𝟏 ⟹ 𝟒𝟎𝒙 − 𝟒𝟎 = 𝟏𝟓𝒙 + 𝟐 𝒙 + 𝟗 𝟐𝒙 − 𝟓𝟕𝟏 = 𝒙𝟓𝟐 ⟹ 𝟎𝟒 𝟒𝟎𝒙 − 𝟏𝟓𝒙 = 𝟏𝟑𝟓 +
𝟓𝟕𝟏 𝒙𝟓𝟐 = 𝟕=𝒙⟹ 𝟓𝟐 𝟓𝟐 𝟔𝟏( بناية :ارتفاعها ميثل بضلع مثلث قائم الزاوية كما يف الشكل اجملاور .و 𝐄𝐁 هو ارتفاع للمثلث 𝑫𝑩𝑨 برهن أن :
𝒊( 𝑫∠ ≅ 𝑨𝑩𝑬∠
𝒊𝒊( 𝑬𝑩𝑫∆~𝑬𝑩𝑨∆
احلل :
𝟏 𝑫𝑨 𝟐
= 𝑬𝑩 )𝒊
𝟏 𝟎𝟔 = )𝟎𝟐𝟏( 𝟐 متساوي الساقني 𝑫𝑩𝑬 ∆ ∴ 𝟓𝟒 = 𝑨∠ = 𝑩∠ ⟹ 𝟎𝟗 = 𝑬∠ 𝟓𝟒 = 𝑫∠ = 𝑩∠ 𝟎𝟔 = 𝑬𝑩 = 𝑬𝑨 )𝒊𝒊 𝟎𝟔 = 𝑫𝑬 = 𝑬𝑩 = 𝑬𝑩
∴ ∠𝑬𝑩𝑨 ≅ ∠𝑫 = 𝟒𝟓°
𝑫𝑩 = 𝑩𝑨 ∴ 𝑬𝑩𝑫∆~𝑬𝑩𝑨∆ ∴ 𝟔𝟏( يف الشكل اجملاور املثلثان 𝐇𝐌𝐊 𝐊𝐀𝐁 ,متشاهبان ،جد احداثي 𝐌 ونسبة التشابه . احلل :
𝑨𝑲 𝑩𝑲 = 𝑴𝑲 𝑯𝑲 𝟒 𝟐 𝟐𝟏 )𝑴𝑲(𝟒 = ⟹ 𝟐𝟏 = )𝑴𝑲(𝟒 ⟹ = 𝑴𝑲 𝟔 𝟒 𝟒 )𝟎 𝑲𝑴 = 𝟑 ∴ 𝑴(𝟑 ,
فكر 𝟖𝟏( اكتشف :ما طول ̅̅̅̅ 𝑩𝑨 يف الرسم اجملاور؟ علما ان 𝐅𝐁𝐀∆~𝐃𝐂𝐄∆ . احلل :
𝑫𝑪 𝑪𝑬 𝟎𝟔 𝟎𝟔 𝟑 𝟎𝟔 𝟎𝟒𝟐 )𝑩𝑨( 𝟑 = ⟹ = ⟹ ⟹ 𝟎𝟒𝟐 = )𝑩𝑨( 𝟑 ⟹ = = 𝑭𝑩 𝑩𝑨 𝟎𝟖 𝑩𝑨 𝟒 𝑩𝑨 𝟑 𝟑 230
𝟎𝟖 = 𝑩𝑨
𝐅𝐁𝐀∆~𝐃𝐂𝐄∆ ∴
𝟗𝟏( حتد (𝒙 , 𝟏𝟓 , 𝟔) ، (𝟏𝟎 , 𝟓 , 𝟐) :هي اطوال اضالع متناظرة يف مثلثني ،ما قيمة 𝒙 ؟ احلل :
𝒙 𝟓𝟏 𝟎𝟓𝟏 𝒙𝟓 = ⟹ 𝟎𝟓𝟏 = 𝒙𝟓 ⟹ = 𝟎𝟑 = 𝒙 ⟹ 𝟎𝟏 𝟓 𝟓 𝟓
𝑫𝑨̅̅̅̅// 𝟎𝟐( حس عددي :جد قيمة 𝒙 يف الشكل اجملاور .اذا كان املثلثان 𝑪𝑩𝑬 𝑨𝑩𝑫 ,متشاهبان وإن ̅̅̅̅ : 𝑪𝑬 احلل (𝑨𝑩 = 𝒙 + 𝟑) :
𝑩𝑨 𝑫𝑨 𝟑𝒙+𝟓 𝒙+ = ⟹ = 𝟓𝟏 ⟹ 𝟒𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟑𝒙 + 𝑬𝑩 𝑪𝑬 𝟒 𝟑 𝟑 = 𝒙 ⟹ 𝟐𝟏 𝟒𝒙 − 𝟑𝒙 = 𝟏𝟓 −
𝟏𝟐( مسألة مفتوحة :اشرح ملاذا حتتاج قياسات الزوايا للتأكد من تشابه املثلثات ،اعط مثالً على ذلك . أكتب :مسألة عن مثلثني متساويي الساقني تتطابق فيهما زاويتا الرأس وجد نسبة التشابه . احلل : 𝟏
=
𝟏
=
𝟏
=
𝟐
𝟐
𝟐
𝟖 𝟔𝟏 𝟖 𝟔𝟏 𝟎𝟐 𝟎𝟒
= = =
𝑫𝑨 𝑪𝑨 𝑬𝑨 𝑩𝑨 𝑬𝑫 𝑪𝑩
***********************
التناسب والقياس يف املثلثات تعلم :تتضمن خمططات املدن والشوارع يف تطبيق اخلرائط يف االجهزة االلكترونية خطوطاًمتوازية واخرى متعامدة ،فاملخطط اجلانيب ميثل جزءاً من مدينة بغداد ونالحظ فيه الشوارع متوازية ومتعامدة .
فكرة الدرس : استعمل االجزاء املتناسبة يف املثلثات لنربهن توازي مستقيمني او اكثر . استعمل التناسب الجد قياسات جمهولة . -استعمل التناسب اهلندسي يف املستوي االحداثي .
املفردات :التناسب اهلندسي 231
𝟎𝟐
التناسب يف املثلثات مربهنة التناسب املثلثي : املربهنة :اذا وازى مستقيم ضلعا من اضالع مثلث وقطع الضلعني اآلخرين يف نقطتني خمتلفتني فإنه يقسم الضلعني اىل قطع متناسبة االطوال (بدون برهان) . ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝑨𝑩 // املعطى 𝑬𝑭 :
النتيجة :
𝑭𝑪 𝑩𝑭
=
𝑬𝑪 𝑨𝑬
𝑭𝑬 ̅̅̅̅ // مثال :جد طول قطعة املستقيم 𝑬𝑨 علما ان ̅̅̅̅ : 𝑩𝑨 يف الشكل اجملاور . احلل :
𝑭𝑪 𝑬𝑪 = 𝑩𝑭 𝑬𝑨 𝟗 𝟐𝟏 𝟔𝟑 )𝑬𝑨(𝟐𝟏 = ⟹ 𝟔𝟑 = )𝑬𝑨(𝟐𝟏 ⟹ = 𝟑 = 𝑬𝑨 ⟹ 𝑨𝑬 𝟒 𝟐𝟏 𝟐𝟏 ***********************
عكس مربهنة التناسب املثلثي املربهنة :اذا قسم مستقيم ضلعني يف مثلث اىل قطع متناسبة فإنه يكون موازيا للضلع الثالث (بدون برهان) . املعطى :
𝑭𝑪 𝑨𝑭
=
𝑬𝑪 𝑩𝑬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ // 𝑩𝑨 النتيجة 𝑬𝑭 : 𝑱𝑵 ̅̅̅̅̅ // مثال :يف الشكل اجملاور برهن أن ̅̅̅̅ : 𝑲𝑴 احلل :
𝟕 𝟓𝟑 𝑱𝑯 𝟕 𝟐𝟒 𝑵𝑯 = = , = = 𝟑 𝟓𝟏 𝑲𝑱 𝟑 𝟖𝟏 𝑴𝑵 𝟕 𝑵𝑯 𝑱𝑯 ∴ = = 𝟑 𝑴𝑵 𝑲𝑱 𝑱𝑵 ̅̅̅̅̅ // ̅̅̅̅ 𝑲𝑴 ∴ ***********************
مربهنة طالس املربهنة :اذا قطعت ثالثة مستقيمات متوازية او اكثر مبستقيمني فإن القطع احملددة باملستقيمات املتوازية تكون متناسبة . املعطى ⃡ : 𝑭𝑩 ⃡ // 𝑭𝑪 ⃡ // 𝑫𝑨 النتيجة :
𝑭𝑫 𝑬𝑭
=
𝑩𝑨 𝑪𝑩
232
مثال :استعمل مهندس الرسم املنظوري (هو رسم االجسام البعيدة حبيث تبدو اصغر واالجسام القريبة حيث تبدو اكرب ،مع احلفاظ على هيئتها وتناسب مقاييسها لتبدو ثالثية االبعاد) لريسم خطوطاً اولية تساعده على رسم اعمدة ̅̅̅̅ ؟ اتصاالت متوازية ،حتقق من رمسه بقياس املسافات بني االعمدة ،كم طول 𝑯𝑭 احلل :
𝑯𝑫̅̅̅// 𝑱𝑵 ̅̅̅̅̅ // 𝑱𝑪̅̅̅̅// ̅̅̅̅̅ 𝑲𝑴 𝑭𝑬 𝑩𝑨 = 𝑯𝑭 𝑫𝑩 𝒎 𝟔 𝑩𝑫 = 𝑩𝑪 + 𝑪𝑫 = 𝟐. 𝟐 + 𝟏. 𝟒 = 𝟑. 𝟑 𝟒. 𝟐 𝟔. 𝟔 𝟔. 𝟑 × 𝟑. = = 𝑯𝑭 ⟹ 𝟔 ⟹ 𝟒. 𝟐 (𝑭𝑯) = 𝟔. 𝟑 × 𝟑. 𝑯𝑭 𝟔 𝟑. 𝟐 𝟒. 𝒎 𝟒 = 𝟓.
𝟖𝟔𝟐𝟐. 𝟐𝟒.
= 𝑯𝑭
***********************
التناسب والقياس :الجياد نسبة احمليطني ونسبة املساحتني ملثلثان متشاهبان ،ميكنين استعمال املربهنة التالية (بدون برهان) . 𝒂
𝒂
𝒃
𝒃
مربهنة :اذا تشابه مثلثان بنسبة تشابه فإن نسبة احمليطني للمثلثني تساوي ونسبة املساحتني للمثلثني * اذا كان املثلثان متشاهبني ،فإن النسبة بني حميطيهما تساوي النسبة بني اطوال االضالع املتناظرة .
𝟐𝒂 𝟐𝒃
مثال :ليكن 𝑪𝑩𝑨∆~ 𝑻𝑽𝑾∆ جد حميط 𝑪𝑩𝑨∆ احلل 𝑷𝟏 :حميط املثلث 𝑻𝑽𝑾
𝟐𝑷 حميط املثلث 𝑪𝑩𝑨
𝒎𝒄 𝟕𝟏 = 𝟒 𝑷𝟏 = 𝟖 + 𝟓 + 𝑩𝑨 𝟐𝑷 𝟓 𝟐𝑷 = ⟹ 𝟓 × 𝟕𝟏 = 𝟐𝑷)𝟖( ⟹ = 𝑽𝑾 𝟏𝑷 𝟖 𝟕𝟏 حميط املثلث 𝑪𝑩𝑨 𝟓𝟐𝟔 = 𝟏𝟎.
𝟓𝟖 𝟖
=
𝟓×𝟕𝟏 𝟖
= 𝟐𝑷
***********************
التناسب اهلندسي احداثيا التناسب اهلندسي :هو حتويل يغري مقاييس االشكال اهلندسية دون تغيري هيئتها فالشكل وصورته بالتناسب اهلندسي يكونان دائما متشاهبني ،مركز التناسب هو نقطة االصل . سنقتصر دراسة التناسب اهلندسي يف هذا الدرس على املستوي االحداثي ،اذا تعاملت مع تناسب هندسي معامله اهلندسي 𝐌 فسوف يكون بامكانك ان جتد صورة النقطة بضرب احداثياهتا يف 𝐌 )𝒚𝑴 (𝒙 , 𝒚) ⟶ (𝑴𝒙 ,
233
مثال :يبني الرسم اجملاور موقع صورة على شبكة االنترنيت ،ارسم حدود الصورة بعد حتويلها بتناسب هندسي نسبته احلل :نقوم بضرب معامل التناسب اهلندسي يف احداثيات الرؤوس . 𝟓 𝟓 𝟎𝟐 ) 𝑨(𝟑 , 𝟒) ⟶ 𝑨́ ( × 𝟑 , × 𝟒) ⟶ 𝑨́ (𝟓 , 𝟑 𝟑 𝟑 𝟓 𝟓 𝟎𝟐 ) 𝑩(𝟎 , 𝟒) ⟶ 𝑩́( × 𝟎 , × 𝟒) ⟶ 𝑩́(𝟎 , 𝟑 𝟑 𝟑 𝟓 𝟓 )𝟎 𝑪(𝟎 , 𝟎) ⟶ 𝑪́( × 𝟎 , × 𝟎) ⟶ 𝑪́(𝟎 , 𝟑 𝟑 𝟓 𝟓 )𝟎 𝑫(𝟑 , 𝟎) ⟶ 𝑫́( × 𝟑 , × 𝟎) ⟶ 𝑫́(𝟓 , 𝟑 𝟑 نقوم بتمثيل النقاط االصلية 𝑫 𝑪 𝑩 𝑨 يف املستوي االحداثي فيظهر الشكل االول وبعد ادخال عامل التناسب على النقاط تظهر نقاط جديدة ́𝑫 ́𝑪 ́𝑩 ́𝑨 فنمثلها يف
𝟓 𝟑
املستوي االحداثي ليظهر الشكل الثاين .
تأكد من فهمك جد طول القطعة املستقيمة اجملهولة يف االشكال االتية : 𝑾𝑹
=
𝑳𝑹
)𝟏
𝑺𝑾 𝑻𝑳 𝟐𝟏 𝟔𝟏 𝟒𝟒𝟏 )𝑻𝑳(𝟐𝟏 = ⟹ 𝟗 × 𝟔𝟏 = )𝑻𝑳(𝟐𝟏 ⟹ = 𝟐𝟏 = 𝑻𝑳 ⟹ 𝑻𝑳 𝟗 𝟐𝟏 𝟐𝟏 مربهنة التناسب املثلثي واجب )𝟐
)مربهنة التناسب املثلثي(
𝟑( يف املثلث 𝑷𝑸𝑴 𝑴𝑵 = 𝟗 ، 𝑴𝑷 = 𝟐𝟓 ، 𝑴𝑹 = 𝟒. 𝟓 ، 𝑴𝑸 = 𝟏𝟐. 𝟓 ,هل 𝑷𝑸 𝑹𝑵//أو ال ؟ برر اجابتك حيث 𝑸𝑴 ∈ 𝑹 . 𝑵 ∈ 𝑴𝑷 , احلل : 𝟖 = 𝟓 𝑹𝑸 = 𝑴𝑸 − 𝑴𝑹 = 𝟏𝟐. 𝟓 − 𝟒. 𝟓𝟒 𝟓 𝑴𝑹 𝟒. 𝟗 = = = 𝑸𝑹 𝟖 𝟔𝟏 𝟎𝟖 𝟔𝟏 = 𝟗 𝑵𝑷 = 𝑴𝑷 − 𝑴𝑵 = 𝟐𝟓 − عكس مربهنة التناسب املثلثي
234
𝟗 𝟔𝟏
=
𝑵𝑴 𝑷𝑵
=
𝑹𝑴 𝑸𝑹
∴
,
𝟗 𝟔𝟏
=
𝑵𝑴 𝑷𝑵
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ 𝑲𝑵 , 𝟒( يف الرسم اجملاور جد طول 𝑵𝑴 احلل :
𝑩𝑨 𝑵𝑴 = 𝑪𝑩 𝑲𝑵 𝒙 𝒙 𝒙 𝟐 = 𝟒 ⟹ 𝒙(𝒙 − 𝟒) = (𝒙 + 𝟒𝒙+𝟒 𝒙− 𝟐 𝟐 𝒙 𝒙𝟒 𝟐𝒙 𝟐 𝟐 = 𝒙𝟒 𝒙 − + = 𝒙𝟒 ⟹ [𝒙 − 𝟐 × ]𝒙𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐𝒙 𝟎 = 𝒙𝟒 ) + 𝟒𝒙 ⟹ 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 ⟹ 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟐 𝟐 𝟎 = )𝟐𝟏 𝒙 − 𝟏𝟐𝒙 = 𝟎 ⟹ 𝒙(𝒙 − 𝟐𝟏 = 𝒙 ⟹ 𝟎 = 𝟐𝟏 𝒙 −أو ,هتمل 𝟎 = 𝒙 أما 𝟔𝟏 = 𝟒 𝑴𝑵 = 𝒙 = 𝟏𝟐 , 𝑲𝑵 = 𝒙 + 𝟒 = 𝟏𝟐 + 𝟓( املثلثان 𝑯𝑴𝑲 𝑨𝑩𝑪 ,متشاهبان ،مساحة 𝑪𝑩𝑨∆ ضعف مساحة 𝑯𝑴𝑲∆ ،ما طول ̅̅̅̅ 𝑩𝑨 ؟ واجب ( 𝟐 = 𝒙𝟖 𝟐𝒙𝟐 −
𝟔( املثلثان 𝑯𝑴𝑲 𝑨𝑩𝑪 ,متشاهبان ،جد مساحة وحميط املثلث 𝑪𝑩𝑨 علما ان حميط املثلث 𝑯𝑴𝑲 ،يساوي 𝐦𝐜 𝟖𝟏 ومساحته 𝟐𝒎𝒄 𝟓𝟏 . احلل :نفرض 𝟏𝑨 مساحة املثلث 𝑯𝑴𝑲 نفرض 𝟐𝑨 مساحة املثلث 𝑪𝑩𝑨 𝑯𝑴( 𝟏𝑨 𝟔( 𝟓𝟏 𝟔𝟑 𝟓𝟏 = ⟹ = ⟹ = 𝟐 𝟐 )𝑩𝑨( 𝟐𝑨 )𝟖( 𝟐𝑨 𝟒𝟔 𝟐𝑨 𝟓𝟏 𝟗 𝟔𝟏 × 𝟓𝟏 = = 𝟐𝑨 ⟹ 𝟔𝟏 × 𝟓𝟏 = 𝟗 × 𝟐𝑨 ⟹ 𝟔𝟏 𝟐𝑨 𝟗 𝟎𝟖 𝟐𝒎𝒄 𝟔 𝑨𝟐 = = 𝟐𝟔. مساحة املثلث 𝑪𝑩𝑨 𝟐)
𝟐)
𝟑
نفرض 𝟏𝑷 حميط املثلث 𝑯𝑴𝑲 ،نفرض 𝟐𝑷 حميط املثلث 𝑪𝑩𝑨 𝟔
𝟖 × 𝟖 = 𝟔 × 𝟐𝑷 ⟹ = 𝟖
𝟖 𝟐𝑷
⟹
حميط املثلث 𝑪𝑩𝑨 𝒎𝒄 𝟒 = 𝟏𝟎.
𝑯𝑴 𝑩𝑨 𝟒𝟔
𝟑
𝟔
=
𝟏𝑷 𝟐𝑷
= 𝟐𝑷 𝟏
𝟕( 𝑪𝑩𝑨 مثلث حيث )𝟔 𝑨(𝟔 , 𝟎) , 𝑩 (−𝟑 , ) , 𝑪(𝟑 , −جد صورته بعد تصغريه مبعامل ،علما ان مركزه هو نقطة االصل .
𝟑
𝟐
احلل :نقوم بضرب معامل التناسب اهلندسي يف احداثيات الرؤوس .
𝟏 𝟏 )𝟎 𝑨(𝟔, 𝟎) ⟶ 𝑨́ ( × 𝟔 , × 𝟎) ⟶ 𝑨́(𝟐 , 𝟑 𝟑
235
𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 ) 𝑩 (−𝟑 , ) ⟶ 𝑩́( × −𝟑 , × ) ⟶ 𝑩́(−𝟏 , 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 )𝟐𝑪(𝟑 , −𝟔) ⟶ 𝑪́( × 𝟑 , × −𝟔) ⟶ 𝑪́(𝟏 , − 𝟑 𝟑
تدرب وحل التمرينات 𝟖( يف املثلث 𝑫𝑪𝑨 ̅̅̅̅ ، 𝑫𝑪̅̅̅̅// ̅̅̅̅ اذا كان : 𝑬𝑩 جد قيمة 𝒙 و 𝑫𝑬 𝟐 = 𝑩𝑨 𝑬𝑫 = 𝟑𝒙 − 𝟑 , 𝑩𝑪 = 𝟖 , 𝑨𝑬 = 𝟑 , احلل : 𝑬𝑨 𝑩𝑨 𝟐 𝟑 = = ⟹ 𝑫𝑬 𝑪𝑩 𝟑 𝟖 𝟑𝒙 − 𝟏 𝟑 = 𝟑 ⟹ 𝟑𝒙 − 𝟑 = 𝟏𝟐 ⟹ 𝟑𝒙 = 𝟏𝟐 + 𝟑 𝟒 𝟑𝒙 − 𝟓𝟏 𝒙𝟑 ⟹ 𝟓𝟏 = 𝒙𝟑 = 𝟓=𝒙⟹ 𝟑 𝟑 𝟐𝟏 = 𝟑 𝑬𝑫 = 𝟑𝒙 − 𝟑 = 𝟑(𝟓) − 𝟑 = 𝟏𝟓 −
𝑲𝑴̅̅̅̅// 𝟗( حدد ما اذا كان ̅̅̅̅̅ 𝑩𝑨 يف الشكل اجملاور .واجب
𝟎𝟏( نسبة مساحة املثلث 𝑪𝑩𝑨 اىل نسبة مساحة املثلث𝐇𝐌𝐊 تساوي التشابه بني حميطيهما ؟ احلل :نسبة التشابه للمساحتني =
𝟔𝟏 𝟓𝟐
ما نسبة تشابه املثلثني وما النسبة
𝟐𝒂 𝟐𝒃
𝟐𝒂 𝒂 بالجذر 𝟔𝟏 𝟔𝟏 𝟒 𝒂 √ = ⇒ = ⟹ = 𝟐𝒃 𝟓𝟐 𝒃 𝟓𝟐 𝟓 𝒃 ∴ نسبة التشابه بني حميطيهما =
𝒂 𝒃
𝟒 𝒂 = 𝟓 𝒃
𝟏𝟏(جد صورة املثلث 𝑪𝑩𝑨 حيث 𝑨(−𝟏 , −𝟏) , 𝑩(𝟏, −𝟐) , 𝑪(𝟏 , 𝟐) :حتت تأثري تناسب معامله 𝟐 .واجب
236
تدرب وحل مسائل حياتية 𝟐𝟏(طرق :متثل اخلريطة اجملاورة بعض الشوارع املتوازية وطريقني عربها ،ما طول الطريق االول بني الشارع 𝟐𝟔 والشارع 𝟐𝟓 ؟ واجب
𝟑𝟏( هندسة :جد صورة الشكل الرباعي حيث 𝐀(𝟐, 𝟔), 𝐁(−𝟒, 𝟎), 𝐂(−𝟒, − 𝟖), 𝐃(−𝟐, − 𝟏𝟐) : 𝟏
حتت تأثري تناسب معامله . 𝟒
احلل :
𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 ) 𝑨(𝟐 , 𝟔) ⟶ 𝑨́ ( × 𝟐 , × 𝟔) ⟶ 𝑨́ ( , 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 )𝟎 𝑩(−𝟒 , 𝟎) ⟶ 𝑩́( × −𝟒 , × 𝟎) ⟶ 𝑩́(−𝟏 , 𝟒 𝟒 𝟏 𝟏 )𝟐𝑪(−𝟒 , −𝟖) ⟶ 𝑪́ ( × −𝟒 , × −𝟖) ⟶ 𝑪́(−𝟏 , − 𝟒 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 )𝟑𝑫(−𝟐 , −𝟏𝟐) ⟶ 𝑫́( × −𝟐 , × −𝟏𝟐) ⟶ 𝑫́(− , − 𝟒 𝟒 𝟐
فكر اذا علمت ان طول القطعة املستقيمة الواصلة من رأس القائمة اىل منتصف الوتر تساوي نصف .طول الوتر اجب عن السؤال 𝟒𝟏 . 𝟒𝟏( حتد :يف الرسم اجملاور 𝑴 منتصف ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ،الزوايا 𝑪∠ ∠𝒁 , ∠𝑨𝑩𝑯 ,قائمة ،برهن 𝑩𝑨 و 𝑲 منتصف 𝑩𝑯 أن
𝟐)𝑯𝒁((𝑩𝒁)𝟐 + 𝟐)𝑨𝑪((𝑩𝑪)𝟐 +
𝒁𝑲
(.
=) 𝑴𝑪
احلل :نفرض مساحة 𝑯𝒁𝑩∆ = 𝟏𝑨 نفرض مساحة 𝑪𝑩𝑨∆ = 𝟐𝑨 𝟏
مساحة املثلث = × القاعدة × االرتفاع 𝟐
املثلثان 𝒁𝑯𝑲 𝑲𝒁𝑩 ,متساوي الساقني فيه 𝒁𝑯 = 𝒁𝑲 𝑲𝒁 = 𝑩𝒁 , املثلثان 𝑩𝑪𝑴 𝑨𝑪𝑴 ,متساوي الساقني فيه 𝑪𝑨 = 𝑴𝑪 𝑪𝑴 = 𝑩𝑪 ,
𝟏 𝒁𝑲 × 𝒁𝑲 𝒁𝑯 × 𝒁𝑩 × 𝟐 𝟏𝑨 𝟐)𝒁𝑲( 𝟐 𝒁𝑲 = = = = ( ) 𝟐)𝑴𝑪( 𝑴𝑪 × 𝑴𝑪 𝑪𝑨 × 𝑪𝑩 × 𝟏 𝟐𝑨 𝑴𝑪 𝟐
237
أكتب :ما تستطيع من تناسبات اذا علمت ان ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ يف الشكل اجملاور . 𝑩𝑨𝑴𝑲// احلل :
𝐁𝐇 𝐀𝐇 = 𝐊𝐁 𝐌𝐀 𝑩𝑨̅̅̅̅̅// ̅̅̅̅ 𝑲𝑴 ∴ ***********************
الدائرة تعلم :كل زاوية بني عقريب ساعة هي زاوية مركزية والزاوية املركزية هي الزاوية اليت تقطع الدائرة يف نقطتني ورأسها هو مركز الدائرة وكل زاوية مركزية يف دائرة يقابلها قوس على الدائرة يسمى قوس الزاوية ،ما قياس ̂ 𝑩𝑨 املقابل 𝑩𝑶𝑨∠ ؟ وهل هناك عدة انواع من االقواس . فكرة الدرس : * اجد قياس االقواس والزوايا املركزية للدوائر . * أتعرف اىل املماس واملماس املشترك املفردات : القوس ،الوتر .
املماس ،املماس املشترك .
الزوايا املركزية .
تعرفت سابقا مفهوم الدائرة :وهي جمموعة من النقاط املتصلة يف املستوي واليت هلا البعد نفسه عن نقطة ثابتة تسمى مركز الدائرة ،ونصف قطر الدائرة 𝒓 :هو قطعة مستقيمة تصل بني مركز الدائرة ونقطة على الدائرة، وتر الدائرة :هو قطعة مستقيمة طرفاها على الدائرة . قطر الدائرة :هو وتر مير مبركز الدائرة. وسوف تزيد معلوماتك عن الدائرة يف هذا الدرس لتتعرف اىل القوس وقياسه بداللة الزاوية املركزية املقابلة له. مثال :كيف اجد قياس القوس ̂ 𝑩𝑨 بداللة الزاوية املركزية املقابلة له ؟ احلل :قياس الزاوية املركزية يكافئ قياس القوس املقابل هلا ويرمز للقوس ̂ 𝑩𝑨 الزاوية 𝑩𝑶𝑨 زاوية قائمة
𝒎 ∠𝑨𝑶𝑩 = 𝟗𝟎°
∴ قياس القوس املقابل للزاوية 𝑩𝑶𝑨 يساوي ̂ = 𝟗𝟎° 𝑩𝑨 𝒎
238
القوس االصغر (أصغر من )𝟏𝟖𝟎°
القوس األكرب (أكرب من )𝟏𝟖𝟎°
قياس نصف الدائرة(يساوي )𝟏𝟖𝟎°
𝟎𝟖𝟏 > 𝑩𝑶𝑨∠𝒎 = ̂ 𝑩𝑨 𝒎
𝟎𝟖𝟏 = 𝑩𝑶𝑨∠𝒎 = ̂ 𝑩𝑨 𝒎
𝟎𝟖𝟏 < 𝑩𝑶𝑨∠𝒎 = ̂ 𝑩𝑨 𝒎 مثال :جد قياس الزوايا واالقواس اجملهولة يف الشكل اجملاور : ̂ = 𝟑𝟎° 𝑪𝑩𝒎 ⟹ ∶ 𝒎∠𝑩𝑶𝑪 = 𝟑𝟎°
̂ 𝑪𝑩 )𝒊
̂ = 𝟗𝟎° 𝑪𝑫𝒎 ⟹ ∶ 𝒎∠𝑪𝑶𝑩 = 𝟗𝟎°
̂ 𝑪𝑫 )𝒊𝒊
̂ ∶ 𝒎∠𝑩𝑶𝑪 + 𝒎∠𝑪𝑶𝑫 = 𝟑𝟎° + 𝟗𝟎° = 𝟏𝟐𝟎° 𝑫𝑪𝑩 )𝒊𝒊𝒊 ̂ = 𝟏𝟐𝟎° 𝑫𝑪𝑩𝒎 𝑨𝑬𝑩𝒎 ⟹ ̂ ∶ 𝒎∠𝑩𝑶𝑨 = 𝟏𝟖𝟎° ̂ = 𝟏𝟐𝟎° 𝑨𝑬𝑩 )𝒗𝒊 ̂ = 𝟔𝟎° 𝑫𝑨𝒎 ⟹ ∶ 𝒎∠𝑨𝑶𝑫 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟏𝟐𝟎° = 𝟔𝟎°
̂ 𝑫𝑨 )𝒗
𝑩𝑨 ̂ , مثال :الدائرة املقابلة مقسمة اىل ثالثة اجزاء متطابقة ،جد قياس االقواس اآلتية̂ : 𝑪𝑩𝑨 . احلل :هناك ثالث زوايا مركزية متطابقة جمموعها 𝟑𝟔𝟎° 𝟎𝟔𝟑 = 𝑩𝑶𝑨∠𝒎 ∶ ̂ ̂ = 𝟏𝟐𝟎° 𝑩𝑨 )𝒊 𝑩𝑨 ⟹ = 𝟏𝟐𝟎° 𝟑 𝑪𝑩𝑨 ⟹ ̂ ∶ 𝒎∠𝑨𝑩𝑪 = 𝟏𝟐𝟎° + 𝟏𝟐𝟎° = 𝟐𝟒𝟎° ̂ = 𝟐𝟒𝟎° 𝑪𝑩𝑨 )𝒊𝒊 طريقة ثانية : 𝑪𝑩𝑨 ∶ ̂ 𝑩𝑨 ̂ = 𝟑𝟔𝟎° − ̂ = 𝟑𝟔𝟎° − 𝟏𝟐𝟎° = 𝟐𝟒𝟎° 𝑪𝑩𝑨 )𝒊𝒊 *********************** الحظ املثلثني والزاويتني املركزيتني 𝟐 𝟏,والقوسني ̂ 𝑨𝑪 ̂ , ̅̅̅̅ اذا تطابقت ̅̅̅̅ 𝑨𝑩 , 𝑩𝑨 والوترين 𝑨𝑪 ̅̅̅̅ وميكنك ان تستعمل مثل ̅̅̅̅ 𝑨𝑩 , الزاويتان تطابق القوسان وتطابق املثلثان فيتطابق الوتران 𝑨𝑪
هذه الطريقة للتوصل اىل املربهنة التالية (بدون برهان) : مربهنة االقواس واالوتار والزاوية املركزية ،يف كل دائرة او يف دائرتني متطابقتني ̅̅̅̅ ⟺ 𝟐∠ ≅ 𝟏∠ ̅̅̅̅ ≅ 𝑩𝑨 𝑪𝑨 اذا تطابقت زاويتان مركزيتان تطابق وتراها وبالعكس . اذا تطابقت زاويتان مركزيتان تطابق قوسامها وبالعكس ̂ . 𝑪𝑨 ≅ ̂ 𝑩𝑨 ⟺ 𝟐∠ ≅ 𝟏∠
̂ ̅̅̅̅ 𝑪𝑨 ≅ ̂ ̅̅̅̅ ≅ 𝑩𝑨 𝑩𝑨 ⟺ 𝑪𝑨
اذا تطابقت قوسان تطابق وترامها وبالعكس .
مثال :استعمل مربهنة االقواس واالوتار لتربهن ان املثلث 𝑪𝑩𝑨 متساوٍ 𝑩𝑪 ≅ ̂ ̂ 𝑪𝑨 ≅ ̂ 𝑩𝑨 احلل :االضالع يف الدائرة املقابلة علما ان (مربهنة االقواس واالوتار)
𝑩𝑪 ≅ ̂ ̂ 𝑪𝑨 ≅ ̂ 𝑩𝑨 ∵ 𝑩𝑪 ≅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝑪𝑨 ≅ ̅̅̅̅ 𝑩𝑨 ∴
لذا فإن املثلث 𝑪𝑩𝑨 متساوي االضالع 239
مربهنة القطر العمودي ،يف كل دائرة مربهنة :القطر العمودي على وتر يف دائرة ينصف الوتر وينصف كال قوسيه 𝑪𝑨 ≅ ̂ ̂ 𝑩𝑫 ≅ ̂ 𝑪𝑩 ̂ , 𝑫𝑨 𝑪𝑫 ⊥ 𝑨𝑩 → 𝑨𝑶 = 𝑩𝑶 , مثال :استعمل مربهنة القطر العمودي وجد طول الوتر 𝑩𝑨 اذا علمت ان نصف القطر 𝑫𝑶 يساوي 𝒎𝒄 𝟓 .وإن
𝒎𝒄 𝟐 = 𝑬𝑫 . احلل : أوالً :نقوم برسم نصف القطر ̅̅̅̅̅ 𝑫𝑶 𝒎𝒄 𝟐 = 𝑬𝑫
,
𝒎𝒄 𝟓 = 𝑫𝑶 = 𝑪𝑶
𝒎𝒄 𝟓 = 𝑩𝑶
,
𝒎𝒄 𝟑 = 𝟐 𝑶𝑬 = 𝟓 −
ثانيا :مستخدم مربهنة فيثاغورس
𝟐)𝑩𝑬( (𝑶𝑩)𝟐 = (𝑶𝑬)𝟐 +
𝟔𝟏 = 𝟗 (𝟓)𝟐 = (𝟑)𝟐 + (𝑬𝑩)𝟐 ⟹ (𝑬𝑩)𝟐 = 𝟐𝟓 − 𝒎𝒄 𝟒 = 𝑩𝑬
باجلذر
⇒ 𝟔𝟏 = 𝟐)𝑩𝑬(
𝒎𝒄 𝟖 = 𝟐 × 𝟒 = 𝑩𝑨 ∴ 𝐄 منتصف 𝐁𝐀 مربهنة القطر العمودي ،القطر ̅̅̅̅ 𝑫𝑪 عمودي على الوتر ̅̅̅̅ 𝑩𝑨 وينصفه . *********************** املماس مماس الدائرة :هو املستقيم الذي يالقي الدائرة يف
املماس املشترك لدائرتني :هو مستقيم مماس لكل من
نقطة واحدة تعرف بنقطة التماس ويكون عموديا على الدائرتني . نصف القطر يف نقطة التماس .
مربهنة املماسني مربهنة :القطعتان املماستان املرسومتان لدائرة من نقطة خارجة عنها متطابقتان . ̅̅̅̅̅ مماسان للدائرة من نقطة 𝑪 . ̅̅̅̅ 𝑪𝑩 , 𝑨𝑪 ̅̅̅̅̅ ∴ ̅̅̅̅ ≅ 𝑩𝑪 𝑨𝑪
240
مثال :دائرة مركزها 𝑶 يف الشكل اجملاور ̅̅̅̅̅ ، 𝑩𝑨 هو مماس للدائرة يف 𝑨 وقياس الزاوية 𝑶𝑩𝑨 يساوي 𝟑𝟓°جد قياس
الزاوية 𝑩𝑶𝑨 ،مث جد طول القطعة املستقيمة 𝑪𝑩 . احلل ̅̅̅̅̅ : 𝑩𝑨 مماس للدئرة يف النقطة 𝐀
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ⊥ 𝑩𝑨 𝑨𝑶 , 𝒎∠𝑶𝑨𝑩 = 𝟗𝟎° ∵ 𝒎∠𝑶𝑩𝑨 = 𝟑𝟓°
جمموع زوايا املثلث = 𝟎𝟖𝟏 𝟎𝟖𝟏 = 𝟎𝟗 ∴ 𝒎∠𝑨𝑶𝑩 + 𝒎∠𝑩 + 𝒎∠𝑶𝑨𝑩 = 𝟏𝟖𝟎 ⟹ 𝒎∠𝑨𝑶𝑩 + 𝟑𝟓 + 𝒎∠𝑨𝑶𝑩 + 𝟏𝟐𝟓 = 𝟏𝟖𝟎 ⟹ 𝒎∠𝑨𝑶𝑩 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟏𝟐𝟓 ⟹ 𝒎∠𝑨𝑶𝑩 = 𝟓𝟓° 𝒎𝒄 𝟐𝟏 = 𝑪𝑩 ∴
تأكد من فهمك يف الدائرة ادناه ،جد قياس الزوايا واالقواس فيما يأيت : زاوية قائمة 𝟏) ∠𝑨𝑶𝑫 ⟹ 𝒎∠𝑨𝑶𝑫 = 𝟗𝟎° 𝟐) ∠𝑪𝑶𝑩 ⟹ 𝒎∠𝑪𝑶𝑩 = 𝒎∠𝑩𝑶𝑫 − ∠𝑪𝑶𝑫 = 𝟗𝟎 − 𝟒𝟑 = 𝟒𝟕° 𝑬𝑩𝑫𝒎 ⟹ ̂ 𝑬𝑶𝑩∠𝒎 ̂ = 𝒎∠𝑪𝑶𝑫 + 𝒎∠𝑪𝑶𝑩 + 𝑬𝑩𝑫 )𝟑 𝟑𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟏 ̂ = 𝟒𝟑 + 𝟒𝟕 + 𝑬𝑩𝑫𝒎 𝑩𝑨𝑫𝒎 ⟹ ̂ 𝑩𝑶𝑬∠𝒎 ̂ = 𝒎∠𝑫𝑶𝑨 + 𝒎∠𝑨𝑶𝑬 + 𝑩𝑨𝑫 )𝟒 𝟎𝟕𝟐 = 𝟑𝟑𝟏 ̂ = 𝟗𝟎 + 𝟒𝟕 + 𝑬𝑩𝑫𝒎 دائرة مقسمة اىل 𝟔 اجزاء متطابقة جد قياس كل قوس مما يأيت : 𝟎𝟔 =
𝟎𝟔𝟑 𝟔
= 𝑩𝑶𝑨∠𝒎
𝑩𝑨𝒎 ⟹ ̂ ̂ = 𝒎∠𝑨𝑶𝑩 , 𝑩𝑨 )𝟓
̂ = 𝟔𝟎° 𝑩𝑨𝒎 ∴ ∴ قياس كل زاوية مركزية يف هذا الشكل = 𝟎𝟔 ألن االجزاء متطابقة .
𝑪𝑩𝑨𝒎 ⟹ ̂ ̂ = 𝒎∠𝑨𝑶𝑩 + 𝒎∠𝑩𝑶𝑪 = 𝟔𝟎 + 𝟔𝟎 = 𝟏𝟐𝟎° 𝑪𝑩𝑨 )𝟔 𝑫𝑩𝑨𝒎 ⟹ ̂ 𝑫𝑶𝑪∠𝒎 ̂ = 𝒎∠𝑨𝑶𝑩 + 𝒎∠𝑩𝑶𝑪 + 𝑫𝑩𝑨 )𝟕 𝟔𝟎 = 𝟏𝟖𝟎°
+
𝟎𝟔
+
𝟎𝟔
=
𝟖( الدائرة اجملاورة مقسمة اىل 𝟒 اجزاء متطابقة ،برهن ان الشكل 𝐃𝐂𝐁𝐀 مربع . احلل : = 𝟗𝟎°
𝟎𝟔𝟑 𝟒
= 𝑩𝑶𝑨∠𝒎 = ̂ 𝑩𝑨
𝑫𝑪 ≅ ̂ 𝑨𝑫 ≅ ̂ 𝑪𝑩 ≅ ̂ ̂ 𝑩𝑨 ∴ ̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ 𝑪𝑩 ≅ ̅̅̅̅ 𝑩𝑨 ∴ ̅̅̅̅ ≅ 𝑫𝑪 𝑨𝑫 ∴ الشكل 𝐃𝐂𝐁𝐀 مربع ألن كل االضالع يف الشكل متساوية . 241
𝟗( يف الشكل اجملاور استعمل مربهنة القطر العمودي وجد طول القطعة املستقيمة 𝑩𝑨 يف الدائرة اجملاورة مقربا الناتج اىل أقرب عشر . احلل :ارسم نصف قطر ̅̅̅̅̅ 𝑫𝑶 𝒎𝒄 𝟒 = 𝟕 𝑶𝑫 = 𝑶𝑪 = 𝟐. 𝟑 + 𝟏. 𝟐)𝑩𝑬( (𝑶𝑩)𝟐 = (𝑶𝑬)𝟐 + (𝑬𝑩)𝟐 ⟹ (𝟒)𝟐 = (𝟐. 𝟑)𝟐 + 𝟏𝟕 𝟏𝟔 = 𝟓. 𝟐𝟗 + (𝑬𝑩)𝟐 ⟹ (𝑬𝑩)𝟐 = 𝟏𝟔 − 𝟓. 𝟐𝟗 = 𝟏𝟎. 𝒎𝒄 𝟑 𝑬𝑩 = √𝟏𝟎. 𝟕𝟏 = 𝟑. 𝒎𝒄 𝟔 𝑨𝑩 = 𝟐 × 𝑬𝑩 = 𝟐 × 𝟑. 𝟑 = 𝟔. 𝐄 منتصف ̅̅̅̅ 𝑩𝑨 مربهنة القطر العمودي . 𝟗( استعمل مربهنة املماس لتجد طول القطعة املستقيمة 𝑫𝑨 𝑨𝑩 ,يف الشكل اجملاور . احلل 𝐀𝐁 :مماس للدائرة يف 𝐁
𝐃𝐀 مماس للدائرة يف 𝐃
،
̅̅̅̅̅ )مربهنة املماس( قائمة 𝟎𝟗 = 𝑶𝑩𝑨∠𝒎 ̅̅̅̅ , 𝑩𝑨 ⊥ 𝑩𝑶 𝐎𝐁 = 𝐎𝐂 = 𝟔𝐜𝐦 , 𝐦𝐜 𝟎𝟏 = 𝟒 𝐎𝐀 = 𝟔 + 𝟐)𝑩𝑨( (𝑶𝑨)𝟐 = (𝑶𝑩)𝟐 + (𝑨𝑩)𝟐 ⟹ (𝟏𝟎)𝟐 = (𝟔)𝟐 + 𝟒𝟔 = 𝟔𝟑 𝟏𝟎𝟎 = 𝟑𝟔 + (𝑨𝑩)𝟐 ⟹ (𝑨𝑩)𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟖 = 𝑩𝑨
باجلذر
⇒ 𝟒𝟔 = 𝟐)𝑩𝑨(
̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ 𝑩𝑨 مربهنة املماسني 𝒎𝒄𝟖 = 𝑫𝑨 ⟹ 𝑫𝑨
تدرب وحل التمرينات جد قياس الزوايا واالقواس فيما يأيت : )𝑫𝑶𝑪∠𝒎 𝟏𝟏) ∠𝑪𝑶𝑨 ⟹ 𝒎∠𝑪𝑶𝑨 = 𝟏𝟖𝟎° − (𝒎∠𝑩𝑶𝑨 + 𝒎∠𝑪𝑶𝑨 = 𝟏𝟖𝟎° − (𝟕𝟒 + 𝟒𝟎) = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟏𝟏𝟒 = 𝟔𝟔° واجب ̂ 𝑬𝑩𝑫 )𝟐𝟏 𝑪𝑨𝑩𝒎 ⟹ ̂ 𝟔𝟎𝟏 = 𝟔𝟔 ̂ = 𝒎∠𝑩𝑶𝑨 + 𝒎∠𝑪𝑶𝑨 = 𝟒𝟎 + 𝑪𝑨𝑩 )𝟑𝟏 𝟑𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟏 ̂ = 𝟒𝟑 + 𝟒𝟕 + 𝑬𝑩𝑫𝒎 𝑨𝑪𝑫𝒎 ⟹ ̂ 𝑨𝑶𝑪∠𝒎 ̂ = 𝒎∠𝑫𝑶𝑪 + 𝑨𝑪𝑫 )𝟒𝟏 𝟎𝟒𝟏 = 𝟔𝟔 ̂ = 𝟕𝟒 + 𝑨𝑪𝑫𝒎
242
الدائرة مقسمة اىل 𝟖 اجزاء متطابقة جد قياس كل قوس مما يأيت : 𝟎𝟔𝟑
= 𝑩𝑶𝑨∠𝒎
𝑩𝑨𝒎 ⟹ ̂ ̂ = 𝒎∠𝑨𝑶𝑩 , 𝑩𝑨 )𝟓𝟏
𝟓𝟒 = 𝟖 ∴ قياس كل زاوية مركزية يف هذا الشكل = 𝟓𝟒 ألن االجزاء متطابقة .
واجب ̂ 𝑪𝑩𝑨 )𝟔𝟏 𝑩𝑫𝑮𝒎 ⟹ ̂ 𝟓𝟐𝟐 = 𝟓𝟒 × 𝟓 = 𝑪𝑶𝑩∠𝒎̂ = 𝟓 × + 𝑩𝑫𝑮 )𝟕𝟏 𝟖𝟏( الدائرة اجملاورة مقسمة اىل 𝟔 اجزاء متطابقة ،برهن ان الشكل 𝐅𝐄𝐃𝐂𝐁𝐀 سداسي منتظم . احلل : = 𝟔𝟎°
𝟎𝟔𝟑 𝟔
= 𝑩𝑶𝑨∠𝒎 = ̂ 𝑩𝑨
𝑫𝑪 ≅ ̂ 𝑬𝑫 ≅ ̂ 𝑪𝑩 ≅ ̂ 𝑭𝑬 ≅ ̂ 𝑨𝑭 ≅ ̂ ̂ 𝑩𝑨 ∴ 𝑫𝑪 ≅ ̅̅̅̅ 𝑬𝑫 ≅ ̅̅̅̅ 𝑪𝑩 ≅ ̅̅̅̅ 𝑭𝑬 ≅ ̅̅̅̅ 𝑨𝑭 ≅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝑩𝑨 ∴ ∴ الشكل 𝐅𝐄𝐃𝐂𝐁𝐀 سداسي منتظم ألن كل االضالع يف الشكل متساوية 𝟗𝟏( استعمل مربهنة املماس لتجد طول القطع املستقيمة 𝑪𝑨 𝑨𝑩,يف الدائرة اجملاورة .واجب
تدرب وحل مسائل حياتية 𝟎𝟐( جغرافية (براكني) :ترتفع فوهة بركان) هوالالي (عن مستوى سطح البحر 𝒎𝒌 𝟐𝟓 𝟐.احسب املسافة بني قمة الربكان ومستوى االفق اذا علمت ان نصف قطر االرض 𝒎𝒌 𝟕𝟑𝟒𝟔 تقريبا مقربا الناتج القرب كيلومتر . احلل : 𝟐)𝟕𝟑𝟒𝟔( (𝑨𝑩)𝟐 = (𝑨𝑶)𝟐 + (𝑩𝑶)𝟐 ⟹ (𝑨𝑩)𝟐 = (𝟐. 𝟓𝟐)𝟐 + 𝟒 (𝑨𝑩)𝟐 = 𝟔. 𝟒 + 𝟒𝟏𝟒𝟑𝟒𝟗𝟔𝟗 ⟹ (𝑨𝑩)𝟐 = 𝟒𝟏𝟒𝟑𝟒𝟗𝟕𝟓. 𝒎𝒌 𝟕𝟑𝟒𝟔 ≈ 𝟒 (𝑨𝑩)𝟐 = 𝟒𝟏𝟒𝟑𝟒𝟗𝟕𝟓. 𝟒 ⟹ 𝑨𝑩 = √𝟒𝟏𝟒𝟑𝟒𝟗𝟕𝟓.
243
𝟏𝟐( حمطة فضائية :تبعد حمطة مري الروسية عن مستوى سطح البحر مسافة 𝒎𝒌 𝟎𝟗𝟑 تقريبا ،ما املسافة بني هذه احملطة واالفق ، مقربا الناتج اىل اقرب كيلومتر.علما ان نصف قطر االرض 𝒎𝒌 𝟕𝟑𝟒𝟔 تقريبا . احلل : 𝒎𝒌 𝟎𝟗𝟑 = 𝑩𝑨 ̅̅̅̅̅ 𝒎𝒌 𝟎𝟗𝟑 = 𝑪𝑨 ⟹ 𝑪𝑨 ≅ 𝑩𝑨 ⟹ ̅̅̅̅ 𝑩𝑨 ⊥ 𝑩𝑶
فكر 𝟐𝟐( حتدِ :استعمل مربهنة املماسني وجد طول ̅̅̅̅ 𝑩𝑨 يف الدائرة اجملاورة . احلل : مربهنة املماسني
𝑩𝑨 ⟹ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝑪𝑩 ≅ ̅̅̅̅ 𝑪𝑩 = ̅̅̅̅ 𝑩𝑨 ∵
𝟐𝟏 = 𝒙𝟐 ⟹ 𝟏 𝟒𝒙 − 𝟏 = 𝟐𝒙 + 𝟏𝟏 ⟹ 𝟒𝒙 − 𝟐𝒙 = 𝟏𝟏 + 𝟐𝟏 𝒙𝟐 = ̅̅̅̅ ⟹ 𝒙 = 𝟔 , 𝟑𝟐 = 𝟏 𝑨𝑩 = 𝟒𝒙 − 𝟏 = 𝟒(𝟔) − 𝟏 = 𝟐𝟒 − 𝟐 𝟐
𝟑𝟐( حس عددي :اذا كانت الزاويتان 𝑩𝑶𝑨 𝑪𝑶𝑩 ,متطابقني ،جد طول ̅̅̅̅ 𝑩𝑪 يف الدائرة اجملاورة . احلل : 𝑩𝑶𝑨∠ ≅ 𝑩𝑶𝑪∠ ∵ ̅̅̅̅ ∴ ⟹ ̂ ̅̅̅̅̅ 𝑩𝑪 ≅ ̂ 𝑩𝑨 𝑩𝑪 = 𝑩𝑨 𝟒=𝒚⟹
𝟖 𝟐
=
𝒚𝟐 𝟐
⟹ 𝟖 = 𝒚𝟐 ⟹ 𝟖 = 𝒚𝟔 𝟖𝒚 − 𝟖 = 𝟔𝒚 ⟹ 𝟖𝒚 −
𝑩𝑪 ⟹ 𝟖 ̅̅̅̅ = 𝟖𝒚 − 𝟒𝟐 = 𝟖 ̅̅̅̅ = 𝟖(𝟒) − 𝟖 = 𝟑𝟐 − 𝑩𝑪 ∴ أكتب :اخلطوات الالزمة لتجد قياس زاوية 𝑪𝑩𝑨 يف الرسم اجملاور اذا علمت أن ̅̅̅̅̅ 𝑶𝑩 ينصف الزاوية 𝑪𝑶𝑨 واليت قياسها يساوي . 𝟏𝟒𝟎° ̅̅̅̅̅ ينصف الزاوية 𝑪𝑶𝑨 احلل 𝑩𝑶 : , 𝒎∠𝑩𝑪𝑶 = 𝟗𝟎°قائمة 𝒎∠𝑩𝑨𝑶 = 𝟗𝟎° 𝟎𝟒𝟏 = 𝑩𝑶𝑪∠𝒎 = 𝑩𝑶𝑨∠𝒎 = 𝟕𝟎° 𝟐 𝒎∠𝑨𝑩𝑶 + 𝒎∠𝑨𝑶𝑩 + 𝒎∠𝑩𝑨𝑶 = 𝟏𝟖𝟎° 244
𝒎∠𝑨𝑩𝑶 + 𝟕𝟎 + 𝟗𝟎 = 𝟏𝟖𝟎° ⟹ 𝒎∠𝑨𝑩𝑶 + 𝟏𝟔𝟎 = 𝟏𝟖𝟎° 𝟎𝟐 = 𝟎𝟔𝟏 𝒎∠𝑨𝑩𝑶 = 𝟏𝟖𝟎° − واجب 𝑩𝑶𝑪∠𝒎 𝟎𝟒 = 𝟎𝟐 𝒎∠𝑨𝑩𝑶 + 𝒎∠𝑪𝑶𝑩 = 𝟐𝟎 + املثلث والدائرة ،القطع املستقيمة والدائرة تعلم :يف 𝐂𝐁𝐀 ∆ اجملاور يتقاطع حمور 𝐂𝐁 وحمور 𝐁𝐀 يف 𝐎 𝐎𝐁 = 𝐎𝐂 ، ألن 𝐎 تقع على حمور 𝐂𝐁 𝐎𝐀 = 𝐎𝐂 ،وبالتايل 𝐎 تقع على حمور 𝐂𝐀 اي ان حمور 𝐂𝐀 مير يف 𝐎 𝐎𝐀 = 𝐎𝐁 = 𝐎𝑪 . نستطيع أن نرسم دائرة مركزها 𝐎 ومتر يف رؤوس املثلث 𝐂𝐁𝐀 . فكرة الدرس :
استعمال خصائص احملاور ومنصفات الزوايا الرسم الدائرة احمليطة والدائرة احملاطة يف مثلث . اجد اطوال القطع املستقيمة حيددها قاطعان على دائرة . املفردات :
الدائرة احمليطة .
الدائرة احملاطة . املثلث والدائرة
تعرفنا سابقا يف الدرس )𝟐( اىل مربهنة )القطعة املستقيمة املتوسطة للمثلث( : ]تتقاطع حماور االضالع الثالثة للمثلث يف نقطة واحدة[ .ومنها نستطيع ان نرسم الدائرة احمليطة باملثلث .الدائرة احمليطة)الدائرة اخلارجية للمثلث( لكل مثلث دائرة واحدة حتيط .به مركزها نقطة تقاطع احملاور الثالثة . احملاور :هي االعمدة املقامة على اضالع مثلث من منتصفاهتا تلتقي بنقطة واحدة 𝐎 تكون متساوية البعد عن رؤوسه وهذه النقطة هي مركز الدائرة اليت متر برؤوس املثلث . مثال :جد نقطة تقاطع حماور املثلث 𝑪𝑩𝑨 كما يف الشكل اجملاور وارسم الدائرة احمليطة به .
𝑩𝑨 ويوازي ̅̅̅̅ 𝑩𝑨 مير يف منتصف ̅̅̅̅ احلل :حمور ̅̅̅̅ 𝑪𝑩 . 𝑪𝑩 مير يف منتصف ̅̅̅̅ حمور ̅̅̅̅ 𝑪𝑩 ويوازي ̅̅̅̅ 𝑩𝑨 .
∴ احملاور الثالثة تلتقي يف منتصف ̅̅̅̅ 𝑩𝑨 واليت متثل مركز الدائرة احمليطة باملثلث .
245
باالمكان االستفادة من مربهنة منصفات زوايا املثلث لرسم الدائرة احملاطة مبثلث (الدائرة الداخلية للمثلث) تتقاطع منصفات زوايا املثلث يف نقطة واحدة . نقطة تقاطع منصفات الزوايا تقع على املسافة نفسها من االضالع الثالثة .يف كل مثلث توجد دائرة داخل املثلث مماسة الضالعه الثالثة وتسمى الدائرة احملاطة. 𝐌𝐎 = 𝐊𝐎 = 𝐋𝐎 ̅̅̅̅ . ̅̅̅̅ منصف 𝑲𝑶𝑳∠ واحملور 𝐋𝐊 مثال :الدائرة اليت مركزها 𝐎 حماطة باملثلث 𝐂𝐁𝐀 برهن أن 𝐎𝐁 احلل : 𝑳𝑶 = 𝑲𝑶 ∵ املثلثان 𝑳𝑶𝑩 𝑩𝑶𝑲 ,متطابقان ]مربهنة التطابق (ض .ض .ض)[
,
𝑳𝑩 = 𝑲𝑩
من التطابق 𝟐∠𝒎 = 𝟏∠𝒎
̅̅̅̅ ينصف الزاوية 𝐊𝐎𝐋 𝐎𝐁
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ⊥ 𝐋𝐊 املثلثان 𝐁𝐃𝐋 𝐊𝐃𝐁 ,متطابقان (ض ز ض) 𝐁𝐎 ، ̅̅̅̅ ∴ ̅̅̅̅ حمور 𝐋𝐊 𝐎𝐁
القطع املستقيمة والدائرة مربهنة القاطعني للدائرة :اذا قطع مستقيمان متقاطعان دائرة تشكل على كل منهما قطعتان مستقيمتان ، ناجتا ضرب طوليهما متساويان .
𝑨𝑯 × 𝑩𝑯 = 𝑲𝑯 × 𝑴𝑯
𝑲𝑯 × 𝑴𝑯 = 𝑨𝑯 × 𝑩𝑯
مثال :جد قيمة 𝒙 وطول كل وتر . احلل : 𝟑 𝟒
=𝒙⟹
𝟔 𝟖
=
𝒙𝟖 𝟖
𝑨𝑯 × 𝑩𝑯 = 𝑲𝑯 × 𝑴𝑯 ⟹ 𝟔 = 𝒙𝟖 ⟹ 𝟐 × 𝟑 = 𝒙 × 𝟖
طول الوتر 𝐁𝐀 طول الوتر 𝐊𝐌
𝟓 = 𝟐 𝐀𝐁 = 𝟑 + 𝟑
𝟑
𝟒
𝟒
𝟖 = 𝐌𝐊 = 𝟖 + 246
̅̅̅̅̅ . ̅̅̅̅̅ 𝐀𝐌 , مثال :جد قيمة 𝒙 وطول كل من 𝐌𝐁 احلل :
𝑨𝑴 × 𝑪𝑴 = 𝑩𝑴 × 𝑫𝑴 )𝒙 × 𝟗 = 𝟑 × (𝟑 + 𝟗 𝒙𝟑 = 𝟑 𝟑
𝟐
⟹ 𝟗 = 𝒙𝟑 ⟹ 𝟗 𝟏𝟖 = 𝟗 + 𝟑𝒙 ⟹ 𝟑𝒙 = 𝟏𝟖 − 𝟑=𝒙
طول ̅̅̅̅̅ 𝐌𝐀
𝟔 = 𝟑 ̅̅̅̅̅ = 𝟑 + 𝒙 = 𝟑 + 𝐌𝐀
طول ̅̅̅̅̅ 𝐌𝐁
𝟗 = 𝟕 ̅̅̅̅̅ = 𝟐 + 𝐌𝐁 مربهنة املماس والقاطع يف الدائرة
املربهنة :من نقطة خارج الدائرة اذا رسم مماساً ومستقيماً قاطعا هلا .فأن ناتج ضرب طويل قطعيت القاطع ،يساوي مربع طول قطعة املماس . 𝟐)𝑩𝑨( = 𝑴𝑨 × 𝑪𝑨 مثال :جد طول قطعة املماس 𝐁𝐀 . احلل : 𝟐
𝟐√𝟒 = 𝟐𝟑√ = 𝑩𝑨
)𝑩𝑨( = 𝑴𝑨 × 𝑪𝑨
باجلذر
⇒ 𝟐)𝑩𝑨( = 𝟐𝟑 ⟹ 𝟐)𝑩𝑨( = 𝟖 × 𝟒
تأكد من فهمك ̅̅̅̅ برهن ان ̅̅̅̅ ≅ 𝐀𝐊 ̅̅̅̅ 𝐊𝐂 ، 𝟏( املثلث 𝐂𝐁𝐀 متساوي الساقني 𝑪𝑨 = 𝑩𝑨 𝐍 ،منتصف 𝐂𝐁 𝐊 هي نقطة تقاطع حماور املثلث 𝐂𝐁𝐀 مث ارسم الدائرة احمليطة به . احلل : ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ويوازي 𝐍𝐀 ̅̅̅̅ مير يف منتصف 𝐂𝐁 حمور 𝐂𝐁 ̅̅̅̅ 𝐍𝐀 مير يف منتصف ̅̅̅̅ حمور ̅̅̅̅ 𝐍𝐀 ويوازي 𝐂𝐁 ∴ اجملاور الثالثة متر يف منتصف ̅̅̅̅ 𝐍𝐀
247
𝟐( 𝐂𝐁𝐀 مثلث منتظم ،طول ضلعه 𝒎𝒄 𝟐𝟏 حدد نقطة تقاطع حماوره مث ارسم الدائرة احمليطة به وجد طول قطرها . احلل : 𝐁𝐀 ويوازي ̅̅̅̅ 𝐁𝐀 مير يف منتصف ̅̅̅̅ حمور ̅̅̅̅ 𝐂𝐁
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ويوازي 𝐁𝐀 ̅̅̅̅ مير يف منتصف 𝐂𝐁 حمور 𝐂𝐁 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 𝐁𝐀 ̅̅̅̅ = 𝐂𝐀 𝐂𝐁 القطر = ̅̅̅̅ 𝑪𝐀 × 𝟐 = 𝟐𝟏 × 𝟐 = 𝟒𝟐 جد قيمة 𝒙 وطول كل جمهولة لكل مما يأيت : )𝟑
𝑲
احلل : 𝐌𝐇 × 𝐇𝐊 = 𝐁𝐇 × 𝐇𝐀 𝟔𝟏 𝟒
=
𝟐𝒙𝟒 𝟒
𝑴
⟹ 𝟔𝟏 = 𝟐𝒙𝟒 ⟹ 𝟖 × 𝟐 = 𝒙 × )𝒙𝟒( باجلذر
⇒ 𝟒 = 𝟐𝒙 هتمل 𝟐𝒙 = ±𝟐 , 𝒙 = 𝟐 , 𝒙 = − 𝟎𝟏 = 𝟐 ̅̅̅̅ = 𝟒𝒙 + 𝒙 = 𝟒(𝟐) + 𝟐 = 𝟖 + 𝑩𝑨 واجب
)𝟒
واجب
)𝟓
̅̅̅̅ جد قيمة 𝒙 وطول 𝐁𝐀 )𝟔 احلل : 𝟐)
𝑩𝑨( = 𝑴𝑪 × 𝑪𝑨
𝟑√𝟒 = 𝑩𝑨
𝑪
باجلذر
⇒ 𝟐)𝑩𝑨( = 𝟖𝟒 ⟹ 𝟐)𝑩𝑨( = 𝟒 × 𝟐𝟏
248
𝑴
)𝟕 احلل :
𝐌
𝟐)
𝑴𝑨( = 𝑩𝑪 × 𝑪𝑨
𝟔𝟑 = 𝒙 (𝒙) × (𝒙 + 𝟏) = (𝟔)𝟐 ⟹ 𝒙𝟐 + حتل بالدستور
𝐂
𝟎 = 𝟔𝟑 𝒙𝟐 + 𝒙 −
تدرب وحل التمرينات 𝟖( 𝐂𝐁𝐀 مثلث قائم متساوِ الساقني وطول كل من ساقيه 𝐦𝐜 𝟔 ،ارسم الدائرة اليت حييط هبا املثلث 𝐂𝐁𝐀 وجد مساحة الدائرة . احلل : 𝐂𝐁 مير يف منتصف ̅̅̅̅ حمور ̅̅̅̅ 𝐂𝐁 ويوازي ̅̅̅̅ 𝐁𝐀 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ويوازي 𝐂𝐁 ̅̅̅̅ مير يف منتصف 𝐁𝐀 حمور 𝐁𝐀 ̅̅̅̅ ∴ اجملاور الثالثة متر يف منتصف 𝐂𝐀
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 𝐁𝐀 ̅̅̅̅ = 𝐂𝐁 𝒎𝒄𝟔 = 𝐂𝐀
̅̅̅̅ ،حدد نقطة تقاطع حماور هذا املثلث وارسم الدائرة احمليطة 𝟗( 𝑪𝑩𝑨 مثلث قائم متساوِ الساقني وتره 𝐂𝐁 به . احلل : 𝐂𝐀 مير يف منتصف ̅̅̅̅ حمور ̅̅̅̅ 𝐂𝐀 ويوازي ̅̅̅̅ 𝐁𝐀 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ويوازي 𝐂𝐀 ̅̅̅̅ مير يف منتصف 𝐁𝐀 حمور 𝐁𝐀 ̅̅̅̅ ∴ اجملاور الثالثة تلتقي يف منتصف 𝐂𝐁 جد قيمة 𝒙 وطول القطع املستقيمة اجملهولة لكل مما يأيت : )𝟎𝟏 احلل : 𝐂𝐃 × 𝐃𝐀 = 𝐁𝐌 × 𝐌𝐀 𝟖=𝒙⟹
𝟒𝟐 𝟑
=
𝒙𝟑 𝟑
⟹ 𝟒𝟐 = 𝒙𝟑 ⟹ 𝟔 × 𝟒 = )𝟑( × )𝒙( 𝟏𝟏 = 𝟑 ̅̅̅̅ = 𝟖 + 𝑩𝑨
249
واجب
)𝟏𝟏
واجب
)𝟐𝟏
)𝟑𝟏 احلل : 𝟐)
𝑩𝑨( = 𝑪𝑴 × 𝑴𝑨
𝟑√𝟑 = 𝒙
باجلذر
⇒ 𝟐𝒙 = 𝟕𝟐 ⟹ 𝟐)𝒙( = 𝟗 × 𝟑
تدرب وحل مسائل حياتية 𝐁𝐀 حمور ̅̅̅̅ 𝟒𝟏( بناء :يرتكز جسر على قوس دائرة كما مبني يف الشكل املقابل ̅̅̅̅ ، 𝐂𝐃 ، 𝑨𝑩 = 𝟔𝟎 𝒎 ، 𝒎 𝟎𝟓𝟏 = 𝑪𝑫 ما قطر الدائرة ؟ احلل : مربهنة القاطعني يف الدائرة
𝑪𝑩 = 𝑩𝑫
𝐂𝐁 × 𝐁𝐃 = 𝐌𝐁 × 𝐁𝐀 𝟓𝟕 = 𝟗𝟑.
𝟓𝟐𝟔𝟓 𝟎𝟔
= 𝐌𝐁 ⟹ 𝟓𝟐𝟔𝟓 = 𝑴𝑩 × )𝟎𝟔( ⟹ 𝟓𝟕 × 𝟓𝟕 = 𝑴𝑩 × )𝟎𝟔(
250
𝟓𝟏( فضاء :قمر صناعي يدور حول االرض على ارتفاع 𝐦𝐤 𝟎𝟎𝟐𝟖 اذا كان قطر االرض 𝒎𝒌 𝟎𝟎𝟖𝟐𝟏 تقريبا ،ما املسافة اليت تفصل القمر الصناعي عن النقطة ، Bيف الشكل اجملاور . احلل :
𝐀
𝟐)𝑩𝑨( = 𝑪𝑴 × 𝑴𝑨 𝟐)𝑩𝑨( = 𝟎𝟎𝟔𝟗𝟒𝟎𝟏 ⟹ 𝟐)𝑩𝑨( = 𝟎𝟎𝟖𝟐𝟏 × 𝟎𝟎𝟐𝟖 𝒎𝒌 𝟎𝟓𝟐𝟎𝟏 ≈ 𝟎𝟎𝟔𝟗𝟒𝟎𝟏√ = 𝑩𝑨
باجلذر
⇒ 𝟎𝟎𝟔𝟗𝟒𝟎𝟏 = 𝟐)𝑩𝑨(
𝐌 𝐁
𝐂
𝟔𝟏( هندسة 𝐎 :نقطة تقاطع حماور املثلث 𝐂𝐁𝐀 ،جد حميط املثلث 𝐂𝐁𝐀 مستعمالً الشكل اجملاور .واجب
فكر 𝟕𝟏( اكتشف اخلطأ :فيما يلي حالن الجياد قيمة 𝒙 يف الشكل املقابل ،ايهما احلل اخلطأ ؟ برر اجابتك احلل :مربهنة املماس والقاطع 𝟐)𝑩𝑨( = 𝑪𝑴 × 𝑴𝑨 𝟔√𝟐 = 𝒙
باجلذر
⇒ 𝟐𝒙 = 𝟒𝟐 ⟹ 𝟐)𝒙( = 𝟔 × 𝟒
احلل اخلطأ هو )𝒊𝒊(
𝟖𝟏( حتد :يف الشكل املقابل 𝟎𝟏 = 𝐁𝐀 وهو مماس للدائرة ،جد قيمة 𝒙 .واجب
251
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ مماسات للدائرة ،جد طول 𝑪𝑩 𝑨𝑪 , 𝟗𝟏( مسألة مفتوحة :يف الشكل اجملاور دائرة مركزها 𝐎 𝑩𝑫 , القطعة 𝐂𝐁 . احلل :
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ⟹ ̅̅̅̅ 𝟑𝟏 = ̅̅̅̅ 𝑬𝑩 ≅ 𝑫𝑩 𝑬𝑩 = 𝑫𝑩 𝑬𝑪 ≅ ̅̅̅̅ 𝑪𝑨 ⟹ ̅̅̅̅ 𝑬𝑪 = ̅̅̅̅ 𝟎𝟏 = ̅̅̅̅ 𝑪𝑨 𝟑𝟐 = 𝟑𝟏 𝑩𝑪 = 𝑪𝑬 + 𝑩𝑬 = 𝟏𝟎 +
أكتب :مسألة تستعمل فيها احملاور ومنصفات الزوايا ملثلث يف رسم دائرة حميطة به . املسألة :الدائرة اليت مركزها 𝐎 حماطة باملثلث 𝐂𝐁𝐀 برهن ان 𝐎𝐁 منصف 𝐊𝐎𝐋∠ وحمور ̅̅̅̅ 𝐋𝐊 . احلل :نصفا قطرا الدائرة 𝐋𝐎 = 𝐊𝐎 ،مربهنة املماسني 𝐋𝐁 = 𝐊𝐁 ∵ املثلثان 𝐋𝐎𝐁 𝐁𝐎𝐊 ,متطابقني ومن التطابق ∠𝟏 = ∠𝟐 : 𝐎𝐁 ينصف الزاوية 𝐊𝐎𝐋 𝐁𝐎 ،حمور 𝐋𝐊 املثلثان 𝐃𝐁𝐋 𝐊𝐃𝐁 ,متطابقان .
∴ 𝐎𝐁 حمور 𝐋𝐊 ⇒ ̅̅̅̅ 𝐎𝐁 ⊥ ̅̅̅̅ 𝐋𝐊
الزوايا والدائرة تعلم :يستعمل املفك كأداة لتثبيت الرباغي او فتحها والفجوة يف هذه االداة تأخذ شكالً سداسيا داخل اسطوانة معدنية .وكل زاوية يف الشكل السداسي تكون زاوية حميطية داخل الدائرة . فكرة الدرس : اجد قياس الزوايا احمليطية واملماسية . اجياد قياسات زوايا تتقاطع اضالعها مع دائرة . املفردات : الزاوية احمليطية الزاوية املركزية
الزواية احمليطية درست سابقا تعريف القوس بداللة الزاوية املركزية وكيفية قياس القوس ويف هذا الدرس سنتعرف اىل : الزاوية احمليطية :وهي الزاوية اليت رأسها نقطة من نقاط الدائرة وضلعاها وتران يف الدائرة .وكذلك سنتعرف اىل كيفية قياسها باستعمال القوس املواجه هلا بواسطة املربهنات االتية وهي بدون برهان .
252
مربهنة الزوايا احمليطية قياس الزاوية احمليطية يساوي نصف قياس القوس املواجه هلا . 𝟏 ̂ 𝑪𝑨𝒎 = 𝑩∠𝒎 𝟐
مثال :جد قياس الزوايا احمليطية التالية يف الشكل اجملاور 𝒊) ∠𝑫 , 𝒊𝒊) ∠𝑩𝑨𝑫 . احلل :
1 ̂ 𝑨𝑪𝑬𝒎 2
= 𝑫∠𝒎 ⟹ 𝑫∠ )𝒊
1
𝒎∠𝑫 = × 𝟏𝟒𝟎 = 𝟕𝟎° 2 1 مربهنة الزوايا احمليطية ̂ 𝑫𝑩𝒎 = 𝑫𝑨𝑩∠𝒎 ⟹ 𝑫𝑨𝑩∠ )𝒊𝒊 2
𝒎∠𝑩𝑬𝑫 = 𝒎∠𝑩𝑨𝑫 = 𝟑𝟎°
مربهنة الزوايا احمليطية املواجهة للقوس نفسه كل الزوايا احمليطية اليت تواجه قوسا مشتركا على الدائرة تتطابق . ̂ 𝑭𝑬𝒎 = 𝑫∠𝒎 ≅ 𝑪∠𝒎 ≅ 𝑩∠𝒎 ≅ 𝑨∠𝒎
هناك حالة خاصة للزاوية احمليطية عندما تكون زاوية قائمة : كل زاوية حميطية تواجه نصف دائرة تكون قائمة . كل زاوية حميطية تواجه قطراً تكون قائمة . كل زاوية حميطية قائمة تواجه قطرا . ̂ = 𝟗𝟎° 𝑪𝑩𝒎 = 𝑨∠𝒎 ̅̅̅̅̅̅ ارتفاعات ̅̅̅̅ 𝐇𝐌 , مثال :دائرة قطرها 𝐇𝐊 تقطع 𝐋𝐇 يف 𝐍 وتقطع 𝐋𝐊 يف 𝐌 ،كما يف الشكل اجملاور ،برهن أن 𝐍𝐊 يف املثلث 𝐋𝐊𝐇 . احلل :
زاوية حميطية تواجه القطر ̅̅̅̅̅ 𝐇𝐊 قائمة
𝐊𝐍𝐇∠𝒎 ∵ ∴ 𝒎∠𝐇𝐍𝐊 = 𝟗𝟎°
̅̅̅̅ 𝐍𝐊 ارتفاع يف املثلث 𝐋𝐊𝐇 زاوية حميطية تواجه القطر ̅̅̅̅̅ 𝐇𝐊 قائمة
𝐊𝐌𝐇∠𝒎 ∵ ∴ 𝒎∠𝐇𝐌𝐊 = 𝟗𝟎°
̅̅̅̅̅ 𝐌𝐇 ارتفاع يف املثلث 𝐋𝐊𝐇 253
الزاوية املماسية الزاوية املماسية :هي الزواية اليت يشكلها مماس الدائرة مع مستقيم اخر مير يف نقطة التماس (وتر للدائرة) . مربهنة الزوايا املماسية اذا تقاطع مماس الدائرة مع مستقيم مير يف نقطة التماس يكون قياس الزاوية بينهما نصف قياس القوس املقتطع . 𝟏 ̂ 𝑪𝑫𝑨𝒎 = 𝐀∠𝒎 𝟐
مثال :باستعمال مربهنة الزوايا املماسية والشكل اجملاور جد قياس كل مما يأيت ̂ : 𝑪𝑵 )𝒊𝒊
𝐂𝐀𝐁∠ )𝒊
احلل : مربهنة الزوايا املماسية
𝟏
̂ 𝑨𝑪𝒎 = 𝐂𝐀𝐁∠𝒎 )𝒊 𝟐 𝟏
𝟐𝟕 = 𝟒𝟒𝟏 × = 𝟐
∴ 𝒎∠𝐀 = 𝟕𝟐° ̂ 𝑪𝑵 )𝒊𝒊 𝟏 ̂ 𝑵𝑪𝒎 = 𝑴𝑵𝑪∠𝒎
̂ 𝑵𝑪𝒎
𝟐 𝟏 𝟐
= 𝟐𝟖
𝟒𝟔𝟏 = 𝟐 × 𝟐𝟖 = ̂ 𝑵𝑪𝒎 ∴
الزاويا الداخلية واخلارجية يف الدائرة مربهنة الزاويا اخلارجية يف الدائرة :اذا تقاطع مستقيمان خارج دائرة فقياس الزاوية بينهما يساوي نصف الفرق بني قياس القوسني املقتطعني .
𝟏 𝑵𝑲𝒎 ̂ − )̂ 𝑩𝑨𝒎( 𝟐
= 𝑫∠𝒎
مثال :جد قيمة الزاوية اخلارجية 𝒙 يف كل مما يأيت : )𝒊( باستعمال مربهنة الزاوية اخلارجية يف الدائرة وبالتعويض عن قيمة االقواس يف الرسم جند قياس زاوية 𝒙 . )𝒊𝒊( باستعمال مربهنة الزاوية اخلارجية يف الدائرة وبالتعويض عن قيمة ̂ 𝐍𝐀𝐊 بـ 𝟎𝟔𝟑 جند قياس زاوية 𝒙 . 𝟏 𝑵𝑲𝒎 ̂ − )̂ 𝑩𝑨𝒎( = 𝒙∠𝒎 )𝒊 𝟐 𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝒎∠𝒙 = (𝟏𝟕𝟐 − 𝟗𝟎) = (𝟖𝟐) = 𝟒𝟏°
254
𝟎𝟑𝟐 = 𝟎𝟑𝟏 ̂ = 𝟑𝟔𝟎 − 𝑵𝑨𝑲𝒎 )𝒊𝒊 𝟏 𝑵𝑲𝒎 ̂ − )̂ 𝑵𝑨𝑲𝒎( 𝟐 𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
= 𝒙∠𝒎
)𝟎𝟎𝟏( = )𝟎𝟑𝟏 𝒎∠𝒙 = (𝟐𝟑𝟎 − 𝒎∠𝒙 = 𝟓𝟎° مربهنة الزاوية الداخلية يف دائرة مربهنة الزاوية الداخلية يف دائرة :اذا تقاطع مستقيمان داخل دائرة فقياس الزاوية بينهما يساوي نصف جمموع قياس القوسني املقتطعني .
𝟏 𝑩𝑨𝒎 ̂ + )̂ 𝑲𝑪𝒎( 𝟐
= 𝑲𝑴𝑪∠𝒎
مثال :جد قياس 𝑩𝑫𝑨∠𝒎 مستعمالً مربهنة الزوايا الداخلية يف الدائرة : احلل : مربهنة الزوايا الداخلية يف دائرة
𝟏
𝑩𝑨𝒎 ̂ + )̂ 𝑵𝑲𝒎( = 𝑩𝑫𝑨∠𝒎 𝟐
𝟏
)𝟒𝟒 = (𝟏𝟎𝟐 + 𝟐 𝟏 𝒎∠𝑨𝑫𝑩 = (𝟏𝟒𝟔) = 𝟕𝟑° 𝟐 مربهنة الرباعي الدائري يف كل رباعي دائري جمموع قياس كل زاويتني متقابلتني يساوي . 𝟏𝟖𝟎° 𝒎∠𝑨 + 𝒎∠𝑪 = 𝟏𝟖𝟎° 𝒎∠𝑩 + 𝒎∠𝑫 = 𝟏𝟖𝟎°
مثال :جد قياس 𝒙 𝒂 ,يف الشكل اجملاور : احلل :مربهنة الرباعي الدائري 𝟑𝒙 𝟏𝟖𝟎° ⟹ 𝟐𝒙 + 𝒙 = 𝟏𝟖𝟎° ⟹ 𝟑𝒙 = 𝟏𝟖𝟎° = ⟹ 𝒙 = 𝟔𝟎° 𝟑 𝟑 𝒂 + 𝟖𝟏° = 𝟏𝟖𝟎° ⟹ 𝒂 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟖𝟏 ⟹ 𝒂 = 𝟗𝟗°
255
تأكد من فهمك ̂ 𝑬𝑩 𝒎 )𝟏 𝑩𝑨𝑪∠ 𝒎 )𝟑 احلل : مربهنة الزاوية احمليطية
̂ 𝑬𝑩 𝒎
𝟏
= 𝑬𝑫𝑩∠𝒎 )𝟏
𝟐 𝟏
𝑬𝑩 𝒎 ⟹ ̂ 𝟎𝟔𝟏 = 𝟐 × 𝟎𝟖 = ̂ 𝑬𝑩 𝒎 𝟏 𝟏 𝟎𝟑 = 𝟎𝟔 × = 𝑩𝑨𝑪∠ 𝒎 ⟹ ̂ 𝑩𝑪 𝒎 = 𝑩𝑨𝑪∠ 𝒎 )𝟑 𝟐 𝟐 𝑪𝑩𝑨∠ 𝒎 )𝟐 𝑩𝑪𝑨∠ 𝒎 )𝟒 ̂ 𝑵𝑩 𝒎 )𝟓 𝟐
= 𝟎𝟖
احلل : مربهنة الزاوية احمليطية
⟹ ̂ 𝑪𝑨 𝒎 𝟓 × 𝟐𝟓 = 𝟏𝟐.
𝟏 𝟐 𝟏 𝟐
= 𝑪𝑩𝑨∠ 𝒎 )𝟐 = 𝑩𝑨𝑪∠ 𝒎
𝟎𝟖𝟏 = 𝑩𝑨𝑪∠ 𝒎 𝟒) 𝒎 ∠𝑨𝑪𝑩 ⟹ 𝒎 ∠𝑨𝑪𝑩 + 𝒎 ∠𝑨𝑩𝑪 + جمموع زوايا املثلث = 𝟎𝟖𝟏 𝟎𝟖𝟏 = 𝟎𝟗 𝒎 ∠𝑨𝑪𝑩 + 𝟏𝟐. 𝟓 + 𝟓 𝒎 ∠𝑨𝑪𝑩 + 𝟏𝟎𝟐. 𝟓 = 𝟏𝟖𝟎 ⟹ 𝒎 ∠𝑨𝑪𝑩 = 𝟏𝟖𝟎 + 𝟏𝟎𝟐. 𝟓 = 𝟕𝟕. 𝟏 𝟏 𝑵𝑩 𝒎 = 𝑵𝑪𝑩∠𝒎 ⟹ ̂ 𝑵𝑩 𝒎 = 𝟎𝟒 ⟹ ̂ 𝑵𝑩 𝒎 ⟹ ̂ 𝟎𝟖 = 𝟐 × 𝟎𝟒 = ̂ 𝑵𝑩 𝒎 )𝟓 𝟐 𝟐 𝑨𝑲𝑪∠ 𝒎 )𝟔 𝑨𝑩𝑪∠ 𝒎 )𝟖 احلل : ̂ = 𝟗𝟎° 𝑪𝑨 𝒎 = 𝑨𝑲𝑪∠ 𝒎 )𝟔 زاوية حميطية تواجه القطر 𝑪𝑨 𝟏
نصف قياس القوس املقابل هلا × = 𝑨𝑩𝑪∠ 𝒎 )𝟖 𝟐 𝟏
𝒎 ∠𝑪𝑩𝑨 = × 𝟓𝟓 = 𝟐𝟕. 𝟓° 𝟐 𝑩𝑵𝑴∠ 𝒎 )𝟕 ̂ 𝑵𝑩 𝒎 )𝟗 احلل :
𝟏 𝟏 ̂ = 𝟏𝟐𝟖° 𝟔𝟓𝟐 𝒎 = ̂ 𝑵𝑩 𝒎 = 𝑩𝑵𝑴∠ 𝒎 )𝟕 𝟐 𝟐 𝟔𝟓𝟐 = ̂ 𝑵𝑩 𝒎 )𝟗
𝐁𝐊 ̅̅̅̅ , 𝐊𝐌 هو قطر الدائرة ، 2برهن ان ̅̅̅̅ 𝟎𝟏( اذا علمت ان 𝐌 مركز الدائرة 1و ̅̅̅̅̅ 𝐀𝐊 مماسان للدائرة . 1 احلل : ̅̅̅̅̅ زاوية حميطية تواجه القطر 𝐊𝐌
𝐌𝐀𝐊 ∵
قائمة
𝟎𝟗 = 𝐌𝐀𝐊 ∴
256
̅̅̅̅̅ زاوية حميطية تواجه القطر 𝐊𝐌
𝐌𝐁𝐊 ∵
قائمة
𝟎𝟗 = 𝐌𝐁𝐊 ∴
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 𝐀𝐊 ̅̅̅̅ مها مماسان للدائرة 𝐊𝐁 ⇒ 1 ̅̅̅̅ 𝐊𝐀 , 𝐁𝐊 جد قياس كل مما يأيت : 𝐀𝐍𝐊∠ 𝒎 )𝟏𝟏 احلل : )̂ 𝑪𝑩 𝒎 ̂ + 𝑲𝑨 𝒎(
مربهنة الزاوية الداخلية يف الدائرة
(𝟐𝟐𝟒) = 𝟏𝟏𝟐°
𝟏 𝟐
= )𝟎𝟐 (𝟐𝟎𝟒 +
𝟏 𝟐 𝟏 𝟐
= 𝐀𝐍𝐊∠ 𝒎 )𝟏𝟏 = 𝐀𝐍𝐊∠ 𝒎 ∴ ̂ ∠ 𝒎 )𝟐𝟏 𝒙
احلل : 𝑵𝑲 𝒎 ̂ − )̂ 𝑩𝑨 𝒎(
مربهنة الزاوية اخلارجية يف الدائرة –̂ ∠ 𝒎( 𝟐 × ])𝟎𝟑 𝒙
𝟏 𝟐
–̂ ∠ 𝒎( = 𝟓𝟐[ ⟹ )𝟎𝟑 𝒙
𝟏 𝟐 𝟏 𝟐
= 𝐂∠ 𝒎 )𝟐𝟏 = 𝟓𝟐
–̂ ∠ 𝒎( = 𝟎𝟓 ̂ ∠ 𝒎 ⟹ )𝟎𝟑 𝒙 𝟎𝟖 = 𝟎𝟑 𝒙 = 𝟓𝟎 +
تدرب وحل التمرينات 𝐂𝐁𝐇∠ 𝒎 )𝟑𝟏 𝑲𝑨 𝒎 ̂ + )̂ 𝑪𝑯 𝒎(
مربهنة الزاوية الداخلية يف الدائرة )𝟕𝟑𝟏(
𝟏
= 𝐂𝐁𝐇∠ 𝒎 ⟹ )𝟓𝟑 (𝟏𝟎𝟐 +
𝟐
𝟏 𝟐 𝟏 𝟐
= 𝐂𝐁𝐇∠ 𝒎 = 𝐂𝐁𝐇∠ 𝒎
𝟓 𝒎 ∠𝐇𝐁𝐂 = 𝟔𝟖. 𝒙∠ 𝒎 )𝟒𝟏 𝑩𝑲 𝒎 ̂ − )̂ 𝑩𝑨 𝒎(
𝟏 𝟐
= 𝐂∠ 𝒎
𝟎𝟒 = 𝟎𝟐𝟑 ̂ = 𝟑𝟔𝟎 − (𝟏𝟖𝟎 + 𝟏𝟒𝟎) = 𝟑𝟔𝟎 − 𝑩𝑲 𝒎 )𝟎𝟒𝟏(
𝟏 𝟐
= 𝒙∠ 𝒎 ⟹ )𝟎𝟒 (𝟏𝟖𝟎 −
𝟏 𝟐
= 𝒙∠ 𝒎
𝟎𝟕 = 𝒙∠ 𝒎 𝒚∠ 𝒎 𝟏𝟓) 𝒎 ∠𝒙 , 𝟎𝟗 = 𝒙 ⟹
𝟎𝟖𝟏 𝟐
=
𝒙𝟐 𝟐
⟹ 𝟎𝟖𝟏 = 𝒙𝟐 ⟹ 𝟎𝟖𝟏 = 𝒙 𝒙 + بالتبادل
257
𝟐𝟗 = 𝒚∠ 𝒎
تدرب وحل مسائل حياتية 𝟔𝟏( زجاج :رسم احد الفنانني الرسم اجملاور على زجاج ،جد قياس 𝑬𝑫𝑨∠ اذا علمت أن ∠𝑩𝑪𝑬 = 𝟑𝟎° وقياس 𝟐𝟒 = ̂ 𝑩𝑨 . احلل : مربهنة الزاوية احمليطية
̂ 𝑬𝑩 𝒎
𝟏 𝟐
= 𝐄𝐂𝐁∠ 𝒎
𝟏 𝑬𝑩 𝒎 ⟹ ̂ 𝟎𝟔 = 𝟐 × 𝟎𝟑 = ̂ 𝑬𝑩 𝒎 𝟐
= 𝟎𝟑
𝟏 ̂ 𝑬𝑨 𝒎 𝟐 𝟏 𝑬𝑩𝒎 ̂ + )𝟎𝟔 ̂ ) ⟹ 𝒎 ∠𝐀𝐃𝐄 = 𝟏 (𝟒𝟐 + 𝑩𝑨 𝒎( = 𝐄𝐃𝐀∠ 𝒎
= 𝐄𝐃𝐀∠ 𝒎
𝟐
𝟏𝟓 = )𝟐𝟎𝟏( ×
𝟐 𝟏 𝟐
= 𝐄𝐃𝐀∠ 𝒎
𝟕𝟏( فضاء :قمر صناعي يدور حول االرض عندما يصل النقطة 𝑴 يكون على ارتفاع 𝒎𝒌𝟎𝟎𝟎𝟒𝟏 ما قياس القوس الذي ميكن رؤيته من كامريا القمر الصناعي على االرض ؟ احلل : 𝑩𝑨𝒎 ̂ − )̂ 𝑩𝑫𝑨 𝒎(
𝟏 𝟐
= 𝐌∠ 𝒎
𝟏 𝟔𝟗𝟐 = 𝟒𝟔 (𝟑𝟔𝟎 − 𝒙)] × 𝟐 ⟹ 𝟔𝟒 = 𝟑𝟔𝟎 − 𝒙 ⟹ 𝒙 = 𝟑𝟔𝟎 − 𝟐
فكر 𝟖𝟏( أكتشف اخلطأ :كتب سعيد 𝟎𝟖 = اجلواب الصحيح .
𝟎𝟔𝟏 𝟐
= 𝑩𝑨𝑪∠ 𝒎 بني اخلطأ وجد
احلل : 𝟎𝟔𝟑 = 𝟎𝟓𝟏 𝟐𝒙 + 𝟐𝟎 + 𝒙 + 𝟏𝟑𝟎 = 𝟑𝟔𝟎 ⟹ 𝟑𝒙 + 𝟎𝟏𝟐 𝒙𝟑 ⟹ 𝟎𝟏𝟐 = 𝒙𝟑 ⟹ 𝟎𝟓𝟏 𝟑𝒙 = 𝟑𝟔𝟎 − = 𝟎𝟕 = 𝒙 ⟹ 𝟑 𝟑 𝟗𝟏( حس عددي :جد قيمة الزوايا اجملهولة :واجب
258
= 𝟐𝟑[
أكتب :مربهنات الزوايا الداخلية واخلارجية لتقارن بني الزاويتني 𝒚 . 𝒙 , احلل : تستعمل مربهنة الزاوية الداخلية اذا تقاطع مستقيمان داخل دائرة فقياس الزاوية بينهما يساوي نصف جمموع قياس القوسني املقتطعني .
𝟏 )̂ 𝑫𝑪𝒎 ̂ + 𝑬𝑩 𝒎( 𝟐 تستعمل مربهنة الزاوية اخلارجية اذا تقاطع مستقيمان خارج دائرة فقياس = 𝒙∠ 𝒎
الزاوية بينهما يساوي نصف الفرق بني القوسني . 𝟏 𝑬𝑫𝒎 ̂ − )̂ 𝑪𝑩 𝒎( = 𝒚∠ 𝒎 𝟐
إختبار الفصل 𝟏( جد مساحة وحميط مضلع منتظم اذا اعطيت املعلومات يف الشكل اجملاور . احلل : 𝒎𝒄 𝟏𝟏 𝑯 = 𝟓. , 𝒎𝒄𝟑 = 𝑳 𝟏𝟏 = 𝒏 , 𝟐 𝒎𝒄 𝟑𝟑 = 𝟑 × 𝟏𝟏 = 𝑷 ⟹ 𝑳 × 𝒏 = 𝑷 𝟏 𝟏 𝟏𝟏 × 𝟏𝟏 𝑨 = 𝑳 × 𝑯 × 𝒏 ⟹ 𝑨 = × 𝟑 × 𝟓. 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐𝒎𝒄 𝟓𝟏𝟑 𝑨 = × 𝟏𝟔𝟖. 𝟔𝟑 = 𝟖𝟒. 𝟐 𝟐( جد املساحة السطحية واحلجم للمخروط اذا علمت ان مساحة قاعدته 𝟐𝒎𝒄 𝝅𝟗 وارتفاعه اجلانيب 𝒎𝒄 𝟓 . احلل , 𝓵 = 𝟓 :
𝝅𝟗 = 𝒃 القاعدة دائرة 𝟑=𝒓
𝟐
𝒓𝝅 = 𝒃
باجلذر
⇒ 𝟗 = 𝟐𝒓 ⟹ 𝟐𝒓𝝅 = 𝝅𝟗
𝟗 𝓵𝟐 = 𝒉𝟐 + 𝒓𝟐 ⟹ (𝟓)𝟐 = 𝒉𝟐 + (𝟑)𝟐 ⟹ 𝟐𝟓 = 𝒉𝟐 + 𝒎𝒄 𝟒 = 𝒉
باجلذر
𝟐
𝟐
⇒ 𝟔𝟏 = 𝒉 ⟹ 𝟗 𝒉 = 𝟐𝟓 −
𝟏 𝟏 𝟑𝒎𝒄 𝛑𝟐𝟏 = 𝟒 × 𝛑𝟑 = 𝐕 ⟹ 𝟒 × 𝟐)𝟑(𝝅 = 𝐕 ⟹ 𝒉 × 𝟐𝒓𝝅 = 𝑽 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐𝒎𝒄 𝛑𝟒𝟐 = 𝛑𝟗 𝑻𝑨 = 𝝅𝒓 × 𝓵 + 𝝅𝒓 ⟹ 𝑻𝑨 = 𝟑𝛑 × 𝟓 + 𝛑(𝟑) = 𝟏𝟓𝛑 +
𝟑( املثلثان 𝐌𝐋𝐊 𝐀𝐁𝐂,متشاهبان ،مساحة املثلث 𝐂𝐁𝐀 تساوي 𝟐𝒎𝒄𝟒𝟐 ما مساحة املثلث 𝐌𝐋𝐊 . احلل :نفرض مساحة املثلث 𝑪𝑩𝑨 = 𝟏𝑨 ،نفرض مساحة املثلث 𝑴𝑳𝑲 = 𝟐𝑨 𝟏𝑨 𝟐)𝑪𝑩( 𝟒𝟐 𝟐)𝟎𝟏( 𝟒𝟐 𝟎𝟎𝟏 𝟒𝟐 𝟒 = ⟹ = ⟹ = ⟹ = 𝟐𝑨 𝟐)𝑳𝑴( 𝟐𝑨 𝟐)𝟓𝟏( 𝟐𝑨 𝟓𝟐𝟐 𝟐𝑨 𝟗 259
𝟗 × 𝟒𝟐 𝟐𝒎𝒄 𝟒𝟓 = 𝟗 × 𝟔 = 𝟒
= 𝟐𝑨 ⟹ 𝟗 × 𝟒𝟐 = 𝟒 × 𝟐𝑨
𝑫𝑭̅̅̅̅// 𝟒( بني أن املثلثان 𝐃𝐁𝐅 𝐀𝐁𝐂 ,يف الشكل اجملاور متشاهبان ،حيث ان ̅̅̅̅ 𝑪𝑨 جد قيمة 𝒙 .واجب
𝟓( جد قياس الزوايا اجملهولة يف االشكال اآلتية : )𝒊 مربهنة الرباعي الدائري 𝟗𝟕 = 𝒄 ⟹ 𝟏𝟎𝟏 𝒄 + 𝟏𝟎𝟏 = 𝟏𝟖𝟎° ⟹ 𝒄 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝒅 + 𝟗𝟔° = 𝟏𝟖𝟎° ⟹ 𝒅 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟗𝟔 ⟹ 𝒂 = 𝟖𝟒°
)𝒊𝒊 مربهنة الرباعي الدائري
𝟑𝒄 𝟏𝟖𝟎° = ⟹ 𝒄 = 𝟔𝟎° 𝟑 𝟑 𝟒𝒅 𝟏𝟖𝟎° ⟹ 𝒅 + 𝟑𝒅 = 𝟏𝟖𝟎° ⟹ 𝟒𝒅 = 𝟏𝟖𝟎° = ⟹ 𝒅 = 𝟒𝟓° 𝟒 𝟒 ⟹ 𝒄 + 𝟐𝒄 = 𝟏𝟖𝟎° ⟹ 𝟑𝒄 = 𝟏𝟖𝟎°
𝟔( جد قيمة 𝒙 يف كل مما يأيت :
)𝒊 𝟏
𝟐 × ])𝟎𝟒 [𝟑𝟓 = (𝒙 − 𝟐
𝟎𝟏𝟏 = 𝟎𝟒 𝟕𝟎 = 𝒙 − 𝟒𝟎 ⟹ 𝒙 = 𝟕𝟎 +
260
واجب )𝒊𝒊
)𝒊𝒊𝒊
)𝟖𝟎𝟏 𝒚 = 𝟑𝟔𝟎 − (𝟏𝟔𝟎 + 𝟐𝟗 = 𝟖𝟔𝟐 𝒚 = 𝟑𝟔𝟎 − 𝟏 𝟏 (𝟏𝟔𝟎 − 𝟗𝟐) = × 𝟔𝟖° = 𝟑𝟒° 𝟐 𝟐
=𝒙
واجب )𝒗𝒊
𝟔( جد قياس الزوايا واالقواس اجملهولة يف الشكل اجملاور . ̂ 𝐂𝐎𝐀∠ 𝒎 )𝒊 𝑪𝑫 𝒎 )𝒊𝒊 ̂ 𝑩𝑫 𝒎 )𝒊𝒊𝒊 𝐀𝐎𝐃∠ 𝒎 )𝒗𝒊 احلل :
)𝐂𝐎𝐃∠𝒎 𝒊) 𝒎 ∠𝐀𝐎𝐂 = 𝟑𝟔𝟎 − (𝒎∠𝐀𝐎𝐁 + 𝒎∠𝐁𝐀𝐎 + )𝟓𝟑 𝒎 ∠𝐀𝐎𝐂 = 𝟑𝟔𝟎 − (𝟏𝟖𝟎 + 𝟐𝟎 + 𝟓𝟐𝟏 = 𝟓𝟑𝟐 𝒎 ∠𝐀𝐎𝐂 = 𝟑𝟔𝟎 −
̂ 𝑪𝑫 𝒎 )𝒊𝒊
𝟏 ̂ 𝑪𝑫𝒎 𝟐 𝟏 𝑪𝑫𝒎 ⟹ ̂ ̂ = 𝟑𝟓 × 𝟐 = 𝟕𝟎° 𝑪𝑫𝒎 × = 𝟓𝟑
= 𝐂𝐎𝐃∠ 𝒎
𝟐
261
واجب
̂ 𝑩𝑫 𝒎 )𝒊𝒊𝒊
واجب
𝐀𝐎𝐃∠ 𝒎 )𝒗𝒊
โ ซุงู ู ุตู ุงู ุณุงุฏุณโ ฌ โ ซุงุงู ุญุตุงุก ู ุงุงู ุญุชู ุงุงู ุชโ ฌ โ ซุชุตู ู ู ุฏุฑุงุณุฉ ู ุณุญู ุฉ ู ุญุชู ู ู ู ุชุงุฆุฌู ุง โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซุชุนู ู โ ช :โ ฌู ุนุฏ ู ุนู ู ุงู ู ุฌู ู ุตู ุงุนุฉ ุงู ุจุฏุงู ุช ุงู ุฑุฌุงู ู ุฉ ู ู ุงู ุตุฑู ุญโ ฌ โ ซุงู ู ู ู ุฉ ู ู ุงู ุตู ุงุนุฉ ุงู ู ุทู ู ุฉ ุญู ุซ ุญู ุฑุต ุงู ู ุนู ู ู ู ุนู ู ุญุชู ู ู โ ฌ โ ซุงู ู ุฑ ู ุถู ุงู ุฌู ุฏุฉ ุงู ู ู ุชุฌ โ ช.โ ฌู ุฐู ู ู ู ุฎุงู ู ู ุญุต ู ู ุน ุงู ู ู ุงุดโ ชุ โ ฌโ ฌ โ ซู ุงุงู ู ู ุงู ู ุงู ุชุตุงู ู ู ุงุญู ุฏู ุซุฉ ู ุบุฑู ู ุง โ ช .โ ฌุงู ู ุญุต ู ู ุงู ู ู ุชุฌ ุณุชู ู ู โ ฌ โ ซุนู ู ู ุฉ ุบุฑู ู ู ุทู ู ุฉ ู ุฐุง ู ู ุญุต ุนุฏุฏ ุญู ุฏู ุฏ ู ู ุชู ู ุงู ุจุฏุงู ุชโ ฌ โ ซุจุฏุงู ู ู ู ุฐู ู โ ช .โ ฌู ู ุณุชู ุชุฌ ุงู ุงู ู ู ุชุฌ ู ุฏ ุญู ุชุงุฌ ุงู ู ุชุทู ู ุฑ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซู ู ุฑุฉ ุงู ุฏุฑุณ โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซโ ช ๏ ทโ ฌุชุตู ู ู ุฏุฑุงุณุฉ ู ุณุญู ุฉโ ฌ โ ซโ ช ๏ ทโ ฌุญุชู ู ู ุงู ู ุชุงุฆุฌโ ฌ โ ซุงู ู ู ุฑุฏุงุช โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซโ ช ๏ ทโ ฌุฏุฑุงุณุฉ ู ุณุญู ุฉโ ฌ โ ซโ ช ๏ ทโ ฌุงุฌู ู ุชู ุนโ ฌ โ ซโ ช ๏ ทโ ฌุงู ุนู ู ุฉโ ฌ
โ ซุชุตู ู ู ุฏุฑุงุณุฉ ู ุณุญู ุฉโ ฌ โ ซุงู ุนู ู ุฉ โ ช :โ ฌู ู ุฌู ู ู ุนุฉ ุฌุฒุฆู ุฉ ู ู ุงุฌู ู ุชู ุน โ ช .โ ฌู ู ู ุฎุงู ู ุญุชู ู ู ู ุชุงุฆุฌ ุงู ุนู ู ุฉ ู ู ู ู ุงู ุชู ุตู ุงู ู ุงุณุชู ุชุงุฌุงุช ุญู ู ุงุฌู ู ุชู ุนโ ฌ โ ซู ุงู ุงู ู โ ช .โ ฌุชู ู ู ุงุงู ุณุชู ุชุงุฌุงุช ุงู ุซุฑ ู ุชุซู ุงู ู ู ู ุฌุชู ุน ู ู ุงู ู ู ุงุญู ุงู ุชู ู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซโ ช ๏ ทโ ฌุญุฌู ุงู ุนู ู ุฉ ุงู ุฑุจ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซโ ช๏ ทโ ฌโ ฌ
โ ซุงุณุชุนู ุงู ุนู ู ุงุช ุงู ุซุฑ โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซู ู ู ู ุน ุงู ุนู ู ุฉ ุชุงุซุฑู ู ู ุงุงู ุณุชู ุชุงุฌุงุช ุงู ู ุช ู ุชู ุตู ุงู ู ู ุง ู ู ู ุนู ู ู ู ุนู ู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซุงู ุนู ู ุฉ ุงู ู ุชุญู ุฒุฉ โ ช :โ ฌุงุฐุง ู ุงู ู ู ู ู ุฑุฏ ู ู ู ุง ุงุงู ุญุชู ุงู ู ู ุณู ู ู ุงุงู ุฎุชู ุงุฑ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงู ุนู ู ุฉ ุบุฑู ุงู ู ุชุญู ุฒุฉ โ ช :โ ฌุงุฐุง ู ุงู ุงู ู ุฑุงุฏู ุง ุงุญุชู ุงุงู ุช ุฎู ุชู ู ุฉ ู ู ุงุงู ุฎุชู ุงุฑ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซู ุซุงู โ ช :โ ฌู ุฒุน ู ุฏู ุฑ ู ุฏุฑุณุฉ ๐ ๐ ๐ ู ุฑู ุฉ ุงุณุชุจุงู ุฉ ุนู ู ุทุงู ุจ ู ุฏุฑุณุชู ู ู ุชุนุฑู ุงู ู ุฌู ุฏุฉ ุงู ู ู ุงุฏ ุงู ุบุฐุงุฆู ุฉ ู ู ุญุงู ู ุช ุงู ู ุฏุฑุณุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ( ุญุฏุฏ ุงู ุนู ู ุฉ ู ุงุฌู ู ุชู ุน ุงู ุฐู ุงุฎุชุฑู ู ู ู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ๐ ( ุตู ุงุณู ู ุจ ู ุฌุน ุงู ุจู ุงู ุงุช ุงู ุฐู ุงุณุชุนู ู ู ุงู ู ุฏู ุฑ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ๐ ๐ ( ุญุฏุฏ ู ุง ุงุฐุง ู ุงู ุช ุงู ุนู ู ุฉ ู ุชุญู ุฒุฉ ุงู ุบุฑู ู ุชุญู ุฒุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงุญู ู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ( ุงู ุนู ู ุฉ โ ช :โ ฌุงู ุทุงู ุจ ุงู ุฐู ู ุชุณู ู ู ุง ุงุงู ุณุชุจู ุงู ุงุช ู ุนุฏุฏู ู ๐ ๐ ๐ ุทุงู ุจ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงุฌู ู ุชู ุน โ ช :โ ฌู ุฌู ุน ุทุงู ุจ ุงู ู ุฏุฑุณุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซโ ช262โ ฌโ ฌ
โ ซ๐ ๐ ( ุงุณู ู ุจ ู ุฌุน ุงู ุจู ุงู ุงุช ู ู ุฏุฑุงุณุฉ ู ุณุญู ุฉ โ ช ุ โ ฌุงุฐ ุชุคุฎุฐ ุงู ุจู ุงู ุงุช ู ู ุงุฌุงุจุงุช ุงู ุฑุงุฏ ุงู ุนู ู ุฉ ุญู ู ุงุงู ุณุชุจุงู ุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ๐ ๐ ( ุงู ุนู ู ุฉ ุบุฑู ู ุชุญู ุฒุฉ โ ช :โ ฌุงู ู ู ุฐู ุงู ุนู ู ุฉ ุชุชู ู ู ู ู ุทุงู ุจ ุงุฎุชุฑู ู ุง ุนุดู ุงุฆู ุง โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซู ุซุงู โ ช :โ ฌู ุฑู ุฏ ุตุงุญุจ ู ุชุฌุฑ ุงู ู ู ุฏู ู ุฏู ุฉ ู ู ู ุฒุจู ู ู ุชุณู ู ู ู ู ุชุฌุฑู โ ช.โ ฌู ู ู ู ุนู ุฏ ุจุงุจ ุงู ู ุชุฌุฑ ู ุณุฃู ๐ ๐ ู ุชุณู ู ุง ุนู โ ฌ โ ซู ู ุน ุงู ู ุฏู ุฉ ุงู ู ุช ู ู ุฏ ุงู ุชู ู ุฏู ู ู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ( ุญุฏุฏ ุงู ุนู ู ุฉ ู ุงุฌู ู ุชู ุน ุงู ุฐู ุงุฎุชุงุฑู ุตุงุญุจ ุงู ู ุชุฌุฑ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ๐ ( ุตู ุงุณู ู ุจ ู ุฌุน ุงู ุจู ุงู ุงุช ุงู ุฐู ุงุณุชุนู ู ู ุตุงุญุจ ุงู ู ุชุฌุฑ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ๐ ๐ ( ุญุฏุฏ ู ุง ุงุฐุง ู ุงู ุช ุงู ุนู ู ุฉ ู ุชุญู ุฒุฉ ุงู ุบุฑู ู ุชุญู ุฒุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงุญู ู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ( ุงู ุนู ู ุฉ โ ช :โ ฌุงู ู ุชุณู ู ู ู ุงู ุฐู ู ุณุฃู ู ุง ู ุนุฏุฏู ู ๐ ๐ ู ุชุณู ู ุง โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงุฌู ู ุชู ุน โ ช :โ ฌุงู ู ุชุณู ู ู ู ุงู ุฐู ู ุฏุฎู ู ุง ุงู ู ุชุฌุฑ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ๐ ( ุงุณู ู ุจ ู ุฌุน ุงู ุจู ุงู ุงุช ู ู ุฏุฑุงุณุฉ ู ุณุญู ุฉโ ช ุ โ ฌุงุฐ ุชุคุฎุฐ ุงุงู ุฌุงุจุงุช ู ู ุงู ุฑุงุฏ ุงู ุนู ู ุฉ ุงู ู ุฎุชุงุฑุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ๐ ๐ ( ุงู ุนู ู ุฉ ุบุฑู ู ุชุญู ุฒุฉโ ช ุ โ ฌุงู ู ุงุงู ุดุฎุงุต ุงู ุฐู ู ุฏุฎู ู ุง ุงู ู ุชุฌุฑ ุงุฎุชุฑู ู ุง ุนุดู ุงุฆู ุง โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซุญุชู ู ู ุงู ู ุชุงุฆุฌโ ฌ โ ซุจุนุฏ ู ุฌุน ุงู ุจู ุงู ุงุช ู ู ุฎุงู ู ุงู ุฏุฑุงุณุฉ ุงู ู ุณุญู ุฉ ุชู ุฎุต ุงู ุจู ุงู ุงุช ู ู ุชู ู ู ุฐุงุช ู ุนู ู ู ุฐู ู ุนู ุทุฑู ู ุงุณุชุนู ุงู ู ู ุงู ู ุณโ ฌ โ ซุงู ุฒู ุนุฉ ุงู ู ุฑู ุฒู ุฉ (ุงู ู ุณุท ุงุญู ุณุงู ุจ โ ช ุ โ ฌุงู ู ุณู ุท โ ช ุ โ ฌุงู ู ู ู ุงู ) ู ุงู ู ุช ุฏู ุฑุณุช ุณุงุจู ุง โ ช ุ โ ฌุจุทุฑุงุฆู ุฎู ุชู ู ุฉ ู ุงุฎุชู ุงุฑ ุงู ู ู ู ุงุณ ุงุฃู ู ุณุจโ ฌ โ ซู ุชู ุซู ู ุงู ุจู ุงู ุงุช โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซู ู ุช ู ู ุถู ุงุณุชุนู ุงู ู โ ฌ
โ ซุงู ู ู ุนโ ฌ โ ซุงู ู ุณุท ุงุญู ุณุงู ุจโ ฌ โ ซุงู ู ุณู ุทโ ฌ
โ ซุนู ุฏู ุง ุงู ุชู ุฌุฏ ู ู ู ู ุชุทุฑู ุฉ ู ู ุฌู ู ู ุนุฉ ุงู ุจู ุงู ุงุช โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุนู ุฏู ุง ุชู ุฌุฏ ู ู ู ู ุชุทุฑู ุฉ ู ู ุฌู ู ู ุนุฉ ุงู ุจู ุงู ุงุช โ ช ุ โ ฌู ู ู ู ุงู ุชู ุฌุฏ ู ุฌู ุงุช ู ุจุฑู ุฉโ ฌ โ ซู ู ู ุณุท ุงู ุจู ุงู ุงุช โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซุงู ู ู ู ุงู โ ฌ
โ ซุนู ุฏู ุง ู ู ุฌุฏ ุงุนุฏุงุฏ ู ุชู ุฑุฑุฉ ู ู ุฌู ู ู ุนุฉ ุงู ุจู ุงู ุงุชโ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซู ุซุงู โ ช :โ ฌุงู ู ู ุงู ู ุณ ุงู ุฒู ุนุฉ ุงู ู ุฑู ุฒู ุฉ (ุงู ู ุฌุฏุช) ู ู ุงุฃู ู ุณุจ ู ู ุตู ุงู ุจู ุงู ุงุช ู ู ู ู ู ู ุง ู ุฃู ุช โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ( ุงู ุจู ุงู ุงุช ุงุฌู ู ุงู ุฑุฉ ุชุจู ู ุงู ุฒุงู ๐ ๐ ุตู ุงุฏู ู ุจุงู ู ู ู ู ุบุฑุงู โ ช๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐ ๐ , ๐ , ๐ , ๐ :โ ฌโ ฌ โ ซุงุญู ู โ ช :โ ฌุงู ู ุณุท ุงุญู ุณุงู ุจ โ ช :โ ฌุบุฑู ู ู ุงุณุจ ู ุชู ุซู ุงู ุจู ุงู ุงุช ู ู ุฌู ุฏ ู ู ู ุฉ ู ุจุฑู ุฉ ู ุชุทุฑู ุฉ ู ู ๐ ๐ ุชุคุซุฑ ู ู ู ู ู ุฉ ุงู ู ุณุท ุงุญู ุณุงู ุจโ ฌ โ ซุงู ู ู ู ุงู โ ช :โ ฌุบุฑู ู ู ุงุณุจ ู ุชู ุซู ู ุงู ุจู ุงู ุงุช ู ู ุฌู ุฏ ุงู ุซุฑ ู ู ู ู ู ุงู ู ู ุง โ ช๐ , ๐ :โ ฌโ ฌ โ ซุงู ู ุณู ุท โ ช :โ ฌู ู ุงู ู ู ู ุงุณ ุงุฃู ู ุณุจ ู ุชู ุซู ู ู ุฐู ุงู ุจู ุงู ุงุช ู ุนุฏู ู ุฌู ุฏ ู ุฌู ุฉ ู ุจุฑู ุฉ ู ู ู ุณุท ุงู ุจู ุงู ุงุชโ ฌ โ ซ๐ ๐ โ ช๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐ ,โ ฌโ ฌ โ ซ๐ โ ช๐ +โ ฌโ ฌ โ ซ๐ โ ฌ โ ซ= ุงู ู ุณู ุทโ ฌ โ ซ๐ โ ช= = ๐ .โ ฌโ ฌ โ ซ๐ โ ฌ
โ ซ๐ โ ฌ
โ ซ๐ ๐ ( ุญุตู ุญู ู ุฏ ุนู ู ุงู ุฏุฑุฌุงุช ุงู ุชุงู ู ุฉ ู ู ู ุฎุณุฉ ุงุฎุชู ุงุฑุงุช ู ู ู ุงุฏุฉ ุงู ุฑู ุงุถู ุงุช โ ช๐ ๐ , ๐ ๐ , ๐ ๐ , ๐ ๐ , ๐ ๐ :โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ โ ช๐ ๐ + ๐ ๐ + ๐ ๐ + ๐ ๐ +โ ฌโ ฌ โ ซ=โ ฌ โ ซ๐ ๐ =โ ฌ โ ซ๐ โ ฌ โ ซ๐ โ ฌ
โ ซ=โ ฌ
โ ซุฌู ู ู ุน ุงู ู ู ู โ ฌ โ ซุนุฏุฏู ุงโ ฌ
โ ซุงู ู ุณุท ุงุญู ุณุงู ุจ = ๐ ๐ ู ู ู ู ู ุงุณ ู ู ุงุณุจ ู ุชู ุซู ู ุงู ุจู ุงู ุงุช ู ุนุฏู ู ุฌู ุฏ ู ู ู ุฉ ู ุชุทุฑู ุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซโ ช263โ ฌโ ฌ
โ ซ= ุงู ู ุณุท ุงุญู ุณุงู ุจโ ฌ
โ ซุงู ู ุณู ุท โ ช :โ ฌู ู ู ุงู ู ู ู ุฉ ุงู ู ุช ุชุชู ุณู ุท ุงู ู ู ู โ ช .โ ฌู ุฑุชุจ ุงู ุฏุฑุฌุงุช ุชุตุงุนุฏู ุง ุงู ุชู ุงุฒู ู ุง ๐ ๐ โ ช๐ ๐ , ๐ ๐ , ๐ ๐ , ๐ ๐ ,โ ฌโ ฌ โ ซุงู ู ุณู ุท = ๐ ๐ ู ู ุงู ู ู ู ุงุณ ุงู ู ู ุงุณุจ ู ุชู ุซู ู ุงู ุจู ุงู ุงุช ุงู ู ู ู ุชู ุณุท ุงู ุจู ุงู ุงุช ู ุงู ู ู ุฌุฏ ู ุฌู ุฉ ู ุจุฑู ุฉ ู ู ู ุณุท ุงู ุจู ุงู ุงุช ู ุฐุงโ ฌ โ ซู ุงู ู ู ุง ู ู ู ุงุณ ู ู ุงุณุจ ู ุชู ุซู ู ุงู ุจู ุงู ุงุช โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงู ู ู ู ุงู โ ช :โ ฌุงู ู ู ุฌุฏ ู ุนุฏู ู ุฌู ุฏ ุชู ุฑุงุฑ ู ู ุงู ุจู ุงู ุงุช โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซุชุฃู ุฏ ู ู ู ู ู ู โ ฌ โ ซุญุฏุฏ ุงู ุนู ู ุฉ ู ุงุฌู ู ุชู ุน ู ุซ ุตู ุงุณู ู ุจ ู ุฌุน ุงู ุจู ุงู ุงุช ู ู ู ุฒ ุงู ุนู ู ุฉ ุงู ู ุชุญู ุฒุฉ ุนู ุงู ุนู ู ุฉ ุบุฑู ู ุชุญู ุฒุฉ ู ู ู ู ู ู ุง ู ู ู ู ุณุฑโ ฌ โ ซุงุฌุงุจุชู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซ)๐ ( ุฏุฎู ๐ ๐ ุดุฎุต ู ู ุชุจุฉ ุนุงู ุฉ ู ุณุฆู ู ู ุณุงุฏุณ ุดุฎุต ู ุฏุฎู ุงู ู ู ุชุจุฉ ุนู ู ู ุงู ุชู ุงู ู ู ุถู ุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ)๐ ( ู ุฒุนุช ๐ ๐ ๐ ุงุณุชุจุงู ุฉ ุนู ู ุฌู ู ู ุนุฉ ู ู ุนู ุงู ุงุญุฏ ุงู ู ุตุงู ุน ุชุชุถู ู ุณุคุงุงู ู ุญู ู ุธุฑู ู ุงู ุนู ู ู ู ุงู ู ุนู ู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ)๐ ( ู ุฒุนุช ุงุญู ู ู ุงู ุงุช ู ู ุงุญุฏู ุญุฏุงุฆู ุงุญู ู ู ุงู ุงุชโ ช ุ โ ฌู ุซ ุงุฎุชุฑู ุญู ู ุงู ู ู ู ู ุฌู ู ู ุนุฉ ุจุตู ุฑุฉ ุนุดู ุงุฆู ุฉ ุงู ุฌุฑุงุก ู ุญู ุตุงุชโ ฌ โ ซุนู ู ู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงุญู ู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซ)๐ ( )๐ ( ุงู ุนู ู ุฉ โ ช :โ ฌุงุงู ุดุฎุงุต ุงู ุฐู ู ุณุฃู ู ุง ู ุนุฏุฏู ู ๐ ุงุดุฎุงุต โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงุฌู ู ุชู ุน โ ช :โ ฌุดุฎุต ู ุงุญุฏ ู ู ู ู ุณุชุฉ ุงุดุฎุงุต ุฏุฎู ู ุง ุงู ู ู ุชุจุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ)๐ ๐ ( ุงุณู ู ุจ ู ุฌุน ุงู ุจู ุงู ุงุช โ ช :โ ฌู ู ุฏุฑุงุณุฉ ู ุณุญู ุฉ ุงุฐ ุชุคุฎุฐ ุงุงู ุฌุงุจุงุช ู ู ุงู ุฑุงุฏ ุงู ุนู ู ุฉ ุงู ู ุฎุชุงุฑุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ)๐ ๐ ๐ (ุงู ุนู ู ุฉ ู ุชุญู ุฒุฉ โ ช :โ ฌุฃู ู ุงู ู ู ุงู ุฉ ุงู ู ู ุถู ุฉ ู ุฃู ุดุฎุงุต ุงู ุฐู ู ู ุฏุฎู ู ู ุงู ู ู ุชุจุฉ ู ู ุงู ู ุฑุงุกุฉโ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ)๐ ( )๐ ( ุงู ุนู ู ุฉ โ ช :โ ฌุงุงู ุดุฎุงุต ุงู ุฐู ุชุณู ู ู ุง ุงุงู ุณุชุจู ุงู ุงุช ู ุนุฏุฏู ู ๐ ๐ ๐ ุนุงู ู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงุฌู ู ุชู ุน โ ช :โ ฌู ุฌู ุน ุนู ุงู ุงู ู ุตู ุน โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ)๐ ๐ ( ุงุณู ู ุจ ู ุฌุน ุงู ุจู ุงู ุงุช โ ช :โ ฌู ู ุฏุฑุงุณุฉ ู ุณุญู ุฉ ุงุฐ ุชุคุฎุฐ ุงุงู ุฌุงุจุงุช ู ู ุงู ุฑุงุฏ ุงู ุนู ู ุฉ ุญู ู ุงุงู ุณุชุจุงู ุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ)๐ ๐ ๐ ( ุงู ุนู ู ุฉ ุบุฑู ู ุชุญู ุฒุฉ โ ช :โ ฌุฃู ู ู ุฐู ุงู ุนู ู ุฉ ุชุชู ู ู ู ู ุนู ุงู ุงุฎุชุฑู ู ุง ุนุดู ุงุฆู ุง โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ)๐ ( )๐ ( ุงู ุนู ู ุฉ โ ช :โ ฌุญู ู ุงู ู ุงุญุฏ ู ู ู ู ุฌู ู ู ุนุฉ ู ู ุงุญู ู ู ุงู ุงุช ุนุดู ุงุฆู ุง โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงุฌู ู ุชู ุน โ ช :โ ฌุฌู ู ู ุนุฉ ู ู ุงุญู ู ู ุงู ุงุช โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ)๐ ๐ ( ุงุณู ู ุจ ู ุฌุน ุงู ุจู ุงู ุงุช โ ช :โ ฌู ู ุฏุฑุงุณุฉ ู ุณุญู ุฉ ุงุฐ ุชุคุฎุฐ ุงู ู ุญู ุตุงุช ู ู ุงู ุฑุงุฏ ุงู ุนู ู ุฉ ุงู ู ุฎุชุงุฑุฉโ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ)๐ ๐ ๐ ( ุงู ุนู ู ุฉ ุบุฑู ู ุชุญู ุฒุฉ โ ช :โ ฌุฃู ู ู ุชุงุฆุฌ ุงู ู ุญู ุตุงุช ุฎู ุชู ู ุฉ ู ู ุญู ู ุงู ุขู ุฎุฑ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงู ู ู ุงู ู ุณ ุงู ุฒู ุนุฉ ุงู ู ุฑู ุฒู ุฉ (ุงู ู ุฌุฏุช) ู ู ุงุฃู ู ุณุจ ู ู ุตู ุงู ุจู ุงู ุงุช ุงู ุชุงู ู ุฉ ุ ู ุณุฑ ุงุฌุงุจุชู โ ฌ โ ซ๐ โ ช(๐ ) ๐ , ๐ ๐ , ๐ ๐ , ๐ , ๐ ๐ ,โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ๐ โ ช(๐ ) ๐ , ๐ ๐ , ๐ , ๐ , ๐ ๐ , ๐ , ๐ ,โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ๐ โ ช(๐ ) ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐ ๐ , ๐ , ๐ ๐ , ๐ ๐ , ๐ ๐ , ๐ , ๐ , ๐ ,โ ฌโ ฌ โ ซุงุญู ู โ ช(๐ ) :โ ฌโ ฌ
โ ซ๐ ๐ โ ช= ๐ .โ ฌโ ฌ
โ ซ๐ ๐ โ ฌ โ ซ๐ โ ฌ
โ ซ=โ ฌ
โ ซ๐ โ ช๐ +๐ ๐ +๐ ๐ +๐ +๐ ๐ +โ ฌโ ฌ โ ซ๐ โ ฌ
โ ซ=โ ฌ
โ ซุฌู ู ู ุน ุงู ู ู ู โ ฌ โ ซุนุฏุฏู ุงโ ฌ
โ ซ= ุงู ู ุณุท ุงุญู ุณุงู ุจโ ฌ
โ ซุงู ู ุณุท ุงุญู ุณุงู ุจ = ๐ ๐ โ ช ๐ .โ ฌู ู ู ู ู ุงุณ ู ู ุงุณุจ ู ุชู ุซู ู ุงู ุจู ุงู ุงุช ู ุนุฏู ู ุฌู ุฏ ู ู ู ุฉ ู ุชุทุฑู ุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงู ู ุณู ุท โ ช :โ ฌู ุฑุชุจ ุงู ุจู ุงู ุงุช ุชุตุงุนุฏู ุงโ ฌ
โ ซ๐ ๐ โ ช๐ , ๐ , ๐ , ๐ ๐ , ๐ ๐ ,โ ฌโ ฌ โ ซ๐ =โ ฌ โ ซโ ช264โ ฌโ ฌ
โ ซ๐ ๐ โ ฌ โ ซ๐ โ ฌ
โ ซ=โ ฌ
โ ซ๐ ๐ โ ช๐ +โ ฌโ ฌ โ ซ๐ โ ฌ
โ ซ= ุงู ู ุณู ุทโ ฌ
الوسيط = 𝟗 هو املقياس املناسب لتمثيل البيانات النه يتوسط البيانات وال يوجد فجوة كبرية يف وسط البيانات . املنوال :هو مقياس مناسب لتمثيل البيانات لوجود قيمة واحدة متكررة مرتني هي 𝟖 : واجب
𝟒𝟓 (𝟓) 𝟖 , 𝟏𝟎 , 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟏, 𝟒, 𝟔,
𝟗𝟏 (𝟔) 𝟖, 𝟗, 𝟖, 𝟔, 𝟏𝟎, 𝟗 , 𝟏𝟏, 𝟏𝟑, 𝟏𝟒, 𝟖, 𝟔, 𝟕, احلل : 𝟗𝟏 𝟖 + 𝟗 + 𝟖 + 𝟔 + 𝟏𝟎 + 𝟗 + 𝟏𝟏 + 𝟏𝟑 + 𝟏𝟒 + 𝟖 + 𝟔 + 𝟕 + 𝟑𝟏
=
جمموع القيم عددها
𝟒𝟖 = 𝟗.
𝟖𝟐𝟏 𝟑𝟏
= الوسط احلسايب =
الوسط احلسايب = 𝟒𝟖 𝟗.هو مقياس مناسب لتمثيل البيانات لعدم وجود قيمة متطرفة . الوسيط :نرتب البيانات تصاعديا 𝟗𝟏 𝟔 , 𝟔 , 𝟕 , 𝟖 , 𝟖 , 𝟖 , 𝟗 , 𝟗 , 𝟏𝟎, 𝟏𝟏 , 𝟏𝟑 , 𝟏𝟒 , الوسيط = 𝟗 هو املقياس املناسب لتمثيل البيانات النه يتوسط البيانات وال يوجد فجوة كبرية يف وسط البيانات . املنوال :هو مقياس مناسب لتمثيل البيانات لوجود قيمة واحدة متكررة مرتني هي 𝟖 :
تدرب وحل التمرينات حدد العينة واجملتمع مث صف اسلوب مجع البيانات وميز العينة املتحيزة من العينة غري متحيزة يف كل مما يلي ،فسر اجابتك : )𝟕( يريد صاحب معمل التحقق من ان العمال يعملون بشكل جيد ،فراقب احد العمال مدة ساعتني . )𝟖( يقف عدد من الطالبات عند مدخل املدرسة ويسألن كل عاشر طالبة تدخل املدرسة عن هوايتها املفضلة . احلل : )𝟕( )𝒊( العينة :احد عمال املعمل . اجملتمع :مجيع العمال داخل املعمل . )𝒊𝒊( اسلوب مجع البيانات :هو دراسة مسحية ملراقبة اداء احد العمال . )𝒊𝒊𝒊( العينة غري متحيزة :ألن هذه العينة تتكون من عمال اختريوا عشوائيا .
)𝟖( واجب اي مقياس الزنعة املركزية (ان وجدت) هو األنسب لتمثيل البيانات التالية ؟ فسر اجابتك واجب 𝟎𝟒 (𝟗) 𝟑𝟒, 𝟒𝟕, 𝟒𝟏, 𝟒𝟗, 𝟑𝟗, 𝟐𝟔, 𝟎𝟐 (𝟏𝟎) 𝟔, 𝟐, 𝟒, 𝟒, 𝟑, 𝟐, 𝟔, 𝟐, 𝟒, 𝟒, 𝟓 (𝟏𝟏) 𝟓, 𝟑, 𝟓, 𝟖, 𝟓, 𝟑, 𝟔, 𝟕, 𝟒, واجب )𝟎𝟏( احلل :الوسط احلسايب :غري مناسب لتمثل البيانات لوجود قيمة كبرية متطرفة هي 𝟎𝟐 تؤثر يف قيمة الوسط احلسايب املنوال :هو مقياس مناسب لتمثيل البيانات لوجود قيمة واحدة متكررة اربع مرات هي 𝟒 : 265
الوسيط 𝟒 :هو املقياس األنسب لتمثيل هذه البيانات لعدم وجود فجوة كبرية يف وسط البيانات
𝟎𝟐 𝟐 , 𝟐 , 𝟐 , 𝟑 , 𝟒 , 𝟒 , 𝟒 , 𝟒 , 𝟔 , 𝟔 ,
تدرب وحل مسائل حياتية مستشفى :يعد مستشفى مدينة الطب جممعا طبيا متكامالً ،يقدم خدمات للمواطنني يف بغداد و احملافظات ،يف ندوة تعريفية يتم اختيار طبيب من كل قسم عشوائيا ليقدم نبذة عن خدمات قسمه يف املستشفى . )𝟐𝟏( صف العينة و اجملتمع . )𝟑𝟏( هل العينة متحيزة ام ال ؟ فسر ذلك . احلل : العينة :طبيب من كل قسم .
)𝟐𝟏(
اجملتمع :أقسام جممع مستشفى مدينة الطب . )𝟑𝟏( العينة متحيزة :ألن األطباء الذين اختريوا من كل قسم عشوائيا .
)𝟒𝟏( تسوق :يبني اجلدول يف ادناه عدد الزبائن الذين يرتادون حمل لبيع االجهزة الكهربائية يف كل ساعة يف احد االيام .أي مقاييس الزنعة املركزية هو األنسب لوصف البيانات . عدد الزبائن 𝟔𝟖 𝟔𝟖 𝟎𝟕 𝟔𝟖
𝟔𝟖 𝟗𝟕 𝟐𝟖 𝟔𝟖
𝟗𝟕 𝟖𝟖 𝟏𝟕 𝟓𝟖
𝟏𝟕 𝟐𝟑 𝟗𝟔 𝟏𝟖
احلل : الوسط احلسايب :غري مناسب لتمثيل البيانات لوجود قيمة كبرية متطرفة هي 𝟐𝟑 تؤثر يف قيمة الوسط احلسايب . املنوال :هو مقياس مناسب لتمثيل البيانات لوجود قيمة واحدة متكررة مخس مرات 𝟖𝟔 : الوسيط :نرتب القيم تصاعديا 𝟔𝟖 𝟑𝟐, 𝟔𝟗, 𝟕𝟎, 𝟕𝟏, 𝟕𝟏, 𝟕𝟗, 𝟕𝟗, 𝟖𝟏, 𝟖𝟐, 𝟖𝟓, 𝟖𝟖, 𝟖𝟔, 𝟖𝟔, 𝟖𝟔, 𝟖𝟔,
𝟑𝟔𝟏 𝟐𝟖 𝟖𝟏 + = 𝟓 = 𝟖𝟏. 𝟐 𝟐
= الوسيط
الوسيط 𝟖𝟏. 𝟓 :هو مقياس مناسب لتمثيل البيانات ألنه يتوسط البيانات وال توجد فجوة كبرية يف وسط البيانات .
266
)𝟓𝟏( تغذية :يبني اجلدول يف ادناه السعرات احلرارية لبعض اخلضروات يف طبق لكل نوع ،اي مقاييس الزنعة املركزية هو األنسب لوصف البيانات . اخلضروات
السعرات 𝟔𝟏
خيار
فلفل
𝟎𝟐
ذرة
𝟔𝟔
ملفوف
𝟕𝟏
سبانخ
𝟗
جزر
𝟖𝟐
كوسا
𝟕𝟏
بصل
السعرات 𝟑𝟏
اخلضروات
احلل : الوسط احلسايب :غري مناسب لتمثيل البيانات لوجود قيمة كبرية متطرفة هي 𝟔𝟔 تؤثر يف قيمة الوسط احلسايب . املنوال :هو مقياس مناسب لتمثيل البيانات لوجود قيمة واحدة متكررة مرتني 𝟏𝟕 : الوسيط :نرتب القيم تصاعديا
𝟔𝟔 𝟗, 𝟏𝟑, 𝟏𝟔, 𝟏𝟕, 𝟏𝟕, 𝟐𝟎, 𝟐𝟖, 𝟒𝟑 𝟕𝟏 𝟏𝟕 + = 𝟕𝟏 = 𝟐 𝟐
= الوسيط
الوسيط 𝟏𝟕 :هو مقياس مناسب لتمثيل البيانات ألنه يتوسط البيانات وال توجد فجوة كبرية يف وسط البيانات
فكر )𝟔𝟏( حتدًّ :اوجد جمموعة من االعداد يكون وسيطها اصغر من وسطها احلسايب . احلل :االعداد هي 𝟔 , 𝟏𝟎 , 𝟏𝟒 , 𝟑 , 𝟕 : 𝟎𝟒 𝟕 𝟔 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟒 + 𝟑 + = 𝟖= 𝟓 𝟓 الوسيط :نرتب البيانات تصاعديا
=
جمموع القيم عددها
= الوسط احلسايب
𝟒𝟏 𝟑 , 𝟔 , 𝟕 , 𝟏𝟎,
الوسيط = 𝟕
)𝟕𝟏( أُصحِّحُ اخلطأ :تقول سناريا ان الوسط احلسايب هو انسب مقاييس الزنعة املركزية لتمثيل البيانات 𝟑 𝟐𝟎, 𝟖, 𝟒, 𝟓,حدد خطأ سناريا وصححه . احلل : الوسط احلسايب :غري مناسب لتمثيل البيانات لوجود قيمة كبرية متطرفة هي 𝟎𝟐 تؤثر يف قيمة الوسط احلسايب املنوال :ال يوجد لعدم وجود تكرار . الوسيط :نرتب القيم تصاعديا 𝟎𝟐 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟖, الوسيط 𝟓 :هو مقياس مناسب لتمثيل البيانات ألنه يتوسط البيانات وال توجد فجوة كبرية يف وسط البيانات .
)𝟖𝟏( حس عددي :يف دراسة مسحية حول الدوام يف مدرسة ثانوية ،وزعت استبانة على 𝟎𝟓 طالبا ،فكانت نسبة 𝟕𝟒%من الطالب يفضلون الدوام الصباحي .هل هذه الدراسة موثوق هبا ؟ بني ذلك . 267
โ ซุงุญู ู โ ช :โ ฌู ุงู ู ู ุณ ู ู ุซู ู ู ุจุง ุฃู ู ุงู ุฏู ุงู ุฎู ุต ู ุฌู ุน ุงู ุทู ุจุฉ ู ุงุฃู ู ุณุจ ุชู ู ู ุงุงู ุณุชุจุงู ุฉ ุฌู ู ู ุน ุทู ุจุฉ ุงู ู ุฏุฑุณุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซุฃู ุชุจ โ ช :โ ฌุณุคุงุงู ู ุนู ู ุนู ู ุชุฑู ุฏ ุงุฌุงุจุชู ู ู ุฎุงู ู ุฏุฑุงุณุฉ ู ุณุญู ุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงุญู ู โ ช :โ ฌู ู ุงู ุฏุฑุงุณุฉ ุงู ู ุณุญู ุฉ โ ช :โ ฌู ุชุจู ู ู ู ู ุงู ุนู ู ุฉ ุงู ู ุช ุชุคุฎุฐ ู ุนู ู ู ุฉ ุฃู ุงู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ***********************โ ฌ
โ ซุงู ุจู ุงู ุงุช ู ุงุฅู ุญุตุงุกุงุช ุงู ู ุถู ู ู ุฉโ ฌ โ ซุชุนู ู ุบุงู ุจุง ู ุง ู ุงู ุญุธ ุนู ู ู ุงุฌู ุงุช ุงุญู ู ุงู ุงู ุชุฌุงุฑู ุฉ ุงุนุงู ู ุงุชโ ฌ โ ซุชุฒู ู ุงู ุช ู ู ุงู ุฉ ุงู ู ู ุณู ู ุณู ุน ู ุนู ู ุฉ ุชู ุฑุบุจ ุงู ู ุงุธุฑ ู ู ุฏุฎู ู โ ฌ โ ซุงุญู ู ู ู ุงู ุชุจุถุน ู ู ู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซู ู ุฑุฉ ุงู ุฏุฑุณ โ ช:โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช ๏ ทโ ฌู ุชู ุฒ ุงู ุจู ุงู ุงุช ุงู ู ุถู ู ู ุฉโ ฌ โ ซโ ช ๏ ทโ ฌู ุชู ุฒ ุงุฅู ุญุตุงุกุงุช ุงู ู ุถู ู ู ุฉโ ฌ โ ซุงู ู ู ุฑุฏุงุช โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซโ ช ๏ ทโ ฌุงู ุจู ุงู ุงุช ุงู ู ุถู ู ู ุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซโ ช ๏ ทโ ฌุงุฅู ุญุตุงุกุงุช ุงู ู ุถู ู ู ุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซู ุชู ู ุฒ ุงู ุจู ุงู ุงุช ุงู ู ุถู ู ู ุฉโ ฌ โ ซุงู ุจู ุงู ุงุช ุงู ู ุถู ู ู ุฉ โ ช :โ ฌู ู ุงู ุจู ุงู ุงุช ุงู ู ุช ุชุฑุจุฒ ุตู ุฉ ู ุนู ู ุฉ ู ุณู ุนุฉ ุนู ู ุญู ู ู ุจุงู ุบ ู ู ู ู ุนุฑุถ ุงุญู ู ุงุฆู ุจุดู ู ู ู ู ุฏโ ฌ โ ซู ุฏู ุงู ู ุงุธุฑ ุงู ุทุจุงุนุง ู ุฑู ู ู ุตุงุญุจ ุงุงู ุนุงู ู ู ุชุถู ู ุงู ู ุณุชู ู ู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซู ุซุงู โ ช :โ ฌู ู ู ุฑ ุตุงุญุจ ู ุตู ุน ุชุทุจู ู ู ุธุงู ุฌุฏู ุฏ ู ู ุงู ุนู ู โ ช ุ โ ฌู ู ุฒุน ุงุณุชุจุงู ุฉ ุนู ู โ ฌ โ ซุงู ุนู ุงู ู ุณุฃู ู ู ุนู ุฑุฃู ู ู ู ู ุงู ู ุธุงู ุงุฌู ุฏู ุฏ โ ช .โ ฌู ู ุงู ุชู ุซู ู ุจุงุงู ุนู ุฏุฉ ุงุฌู ู ุงู ุฑโ ฌ โ ซู ุนุทู ุงู ุตู ุฑุฉ ุงู ุตุญู ุญุฉ ุญู ู ู ุชุงุฆุฌ ุงุงู ุณุชุจุงู ุฉ ุ โ ฌ โ ซู ุจุฏู ู ู ู ู ู ุฉ ุงุงู ู ู ู ุงู ู ุนุธู ุงู ุนู ุงู ู ู ุงู ู ู ู ุนู ู ุชุทุจู ู ุงู ู ุธุงู ุงุฌู ุฏู ุฏ โ ช ุ โ ฌู ุนโ ฌ โ ซุงู ุนู ู ุงู ุงุทู ุงู ุงู ู ุฏุฉ ุงู ุฒู ู ู ุฉ ู ู ุชุฏุฑู ุฌ ุบุฑู ู ุชุณุงู ู ุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงู ุญุธ ุงู โ ช ๐ ๐ ๐ :โ ฌุนุงู ู ุบุฑู ู ู ุงู ู ู ู ู ุบุฑู ู ู ุงู ู ู ู ุฌุฏุงู ุนู ู ู ุฐุง ุงู ู ุธุงู โ ฌ โ ซุงุฌู ุฏู ุฏ โ ช ุ โ ฌู ู ุญู ู ุงู ุนุฏุฏ ุงู ู ู ุงู ู ู ู ู ุงู ู ู ุงู ู ู ู ุฌุฏุงู ู ุฒู ุฏ ู ู ู ุงู ู ุนู ู ๐ ๐ ๐ ุนุงู ู โ ฌ โ ซู ู ุท โ ช ุ โ ฌู ุนู ู ู ู ุฃู ุงู ุชู ุซู ู ุงู ุจู ุงู ู ุงู ู ุนุฑู ุถ ู ุถู ู ู โ ช ุ โ ฌู ุงุงู ุณุชู ุชุงุฌ ุบุฑู ุตุงุฏู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซู ุงู ุญุธุฉ โ ช :โ ฌุงู ุฑุณู ุงู ุจู ุงู ู ู ุฏ ู ู ู ู ู ุถู ู ุงู ู โ ช ุ โ ฌุจุฅุทุงู ุฉ ุงู ุชู ุตุฑู ุงู ู ุชุฑุงุช ุจู ู ู ู ู ุงู ุจู ุงู ุงุช โ ช ุ โ ฌู ุฐู ู ุงู ุนุทุงุก ุงู ุทุจุงุน ู ุนู ู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซู ุซุงู โ ช :โ ฌุงู ุฑุณู ุงู ุจู ุงู ู ุงุฌู ู ุงู ุฑ ู ู ุถุญ ุงู ุนุงู ู ุฉ ุจู ู ุทู ู ู ุงู ู ุฑุด ุงู ุจู ุถุงุก ุงู ู ุจุฑู ุฉโ ฌ โ ซู ุทู ู ู ุณู ุฉ ุงู ู ุฑุด ู ุงู ู โ ช .โ ฌุจู ู ู ู ุงู ุฑุณู ุงู ุจู ุงู ู ู ุถู ู ู ุ ู ุถุญ ุฐู ู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซู ู ุงู ุดู ู ุงุฌู ู ุงู ุฑ โ ช ุ โ ฌู ุงู ุญุธ ุงู ุทู ู ุงู ุนู ู ุฏ ุงู ุนู ู ู ุถุนู ุทู ู ุงู ุนู ู ุฏ ุงู ุณู ู ู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซู ู ู ู ุงู ู ู ู ุฉ ุงู ู ู ุงุธุฑุฉ ู ุทู ู ุงู ุนู ู ุฏ ุงู ุนู ู ู ู ู ๐ โ ช ๐ .โ ฌู ุงู ู ู ู ุฉ ุงู ู ู ุงุธุฑุฉ ู ุทู ู โ ฌ
โ ซโ ช268โ ฌโ ฌ
โ ซุงู ุนู ู ุฏ ุงู ุณู ู ู ู ู ๐ ู ุจุงู ุชุฃู ู ุฏ ู ู ู ุฉ ๐ โ ช ๐ .โ ฌู ู ุณุช ุถุนู ๐ โ ช ุ โ ฌู ุนู ู ู ุงู ุฑุณู ุงู ุจู ุงู ู ุงุฌู ู ุงู ุฑ ู ุถู ู ู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซู ุงู ุญุธุฉ โ ช :โ ฌุนู ุฏู ุง ู ุจุฏุฃ ุงู ุฑุณู ุงู ุจู ุงู ู ู ู ุงู ุตู ุฑโ ช ุ โ ฌู ุตุจุญ ุงู ุฑุณู ุบุฑู ู ุถู ู ู โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซู ุชู ู ุฒ ุงุงู ุญุตุงุกุงุช ุงู ู ุถู ู ู ุฉโ ฌ โ ซุงุฅู ุญุตุงุกุงุช ุงู ู ุถู ู ู ุฉ โ ช :โ ฌุจุงุงู ุถุงู ุฉ ุงู ู ุงู ุฑุณู ู ุงู ู ุถู ู ู ุฉ ุชุณุชุนู ู ุงุฅู ุญุตุงุกุงุช ุงู ู ุถู ู ู ุฉ ู ุจุฏู ุงู ุชุฑู ู ุฌ ู ุดุฑู ุฉ ุงู ุจุถุงุนุฉ ู ุนู ู ุฉโ ฌ โ ซโ ช ุ โ ฌุจุงู ุนุงู ุงู ู ุธุฑ ุฌู ุฏุงู ู ู ู ุนุทู ุงุช ุงุงู ุนุงู ู ู ู ู ู ู ุชู ู ุฒ ุงุฅู ุญุตุงุกุงุช ุงู ู ุถู ู ู ุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซู ุซุงู โ ช :โ ฌู ุถุน ุตุงุญุจ ุญู ู ู ู ู ุงู ุจุณ ุงู ุฑุฌุงู ู ุฉ ุงุงู ุนุงู ู ุงุขู ู ุช โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซ(ุจุฏุงู ุช ุฑุฌุงู ู ุฉ ุฌุฏู ุฏุฉ ู ุชู ุณุท ุงู ุณุนุฑ ๐ ๐ ุงู ู ุฏู ู ุงุฑ) ู ู ุงุญู ู ู ๐ ู ู ุงุฐุฌ ู ู โ ฌ โ ซุงู ุจุฏุงู ุช ุงุณุนุงุฑู ุง ุจุงุงู ุงู ู โ ช๐ ๐ , ๐ ๐ , ๐ ๐ , ๐ ๐ , ๐ ๐ :โ ฌโ ฌ โ ซุงุญู ู โ ช:โ ฌโ ฌ
โ ซ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ โ ช๐ ๐ + ๐ ๐ + ๐ ๐ + ๐ ๐ +โ ฌโ ฌ โ ซ=โ ฌ โ ซ๐ ๐ =โ ฌ โ ซ๐ โ ฌ โ ซ๐ โ ฌ
โ ซุงู ุญุธ ุงู ู ุชู ุณุท ุงุณุนุงุฑ ุงู ุจุฏุงู ุช ุงุฎู ู ุณ ๐ ๐ ุงู ู ุฏู ู ุงุฑ โ ช ุ โ ฌุงุงู ุงู ุจุฏู ุฉ ู ุงุญุฏุฉ ู ู ุท ุณุนุฑู ุง ๐ ๐ ุงู ู ุฏู ู ุงุฑ โ ช .โ ฌุญู ุซ ู ู ู โ ฌ โ ซุณุนุฑู ุง ุนู ู ุฐุง ุงู ู ุชู ุณุท โ ช .โ ฌู ู ุฐุง ุฌู ุนู ุงู ุฒุจู ู ุณู ู ู ุฏู ุน ุงู ุซุฑ ู ู ู ุฐุง ุงู ุณุนุฑ ู ุซู ุง ู ู ุจุฏู ุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซู ุซุงู โ ช :โ ฌู ู ุงุณุชุทุงู ุน ุนู ู ๐ ๐ ๐ ุทุงู ุจ ุงุนุฏุงุฏู ุฉ โ ช ุ โ ฌุงู ุงุฏ ๐ ๐ ู ู ู ู ุงู ู ู ู ุฑุบุจู ู โ ฌ โ ซุฏุฎู ู ู ู ู ุฉ ุงู ู ู ุฏุณุฉ ู ู ู ุง ู ุงู ๐ ๐ ู ู ู ู โ ช ุ โ ฌุจุงู ู ู ู ุฑุบุจู ู ู ู ุฏุฎู ู ู ู ู ุฉ ุงู ุทุจโ ฌ โ ซโ ช ุ โ ฌุฌุงุก ู ู ู ุชุงุฆุฌ ุงุงู ุณุชุทุงู ุน ุงู ุงู ุทุงู ุจ ู ู ุถู ู ู ุงู ู ู ุฏุณุฉ ุนู ู ุงู ุทุจ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงุญู ู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซุงู ุฌู ู ู ุน ุงู ุทุงู ุจ ุงู ุฐู ู ู ุดู ู ู ุงุงู ุณุชุทุงู ุน ู ุนุงู ู ู ู ๐ ๐ ๐ = )๐ ๐ โ ช (๐ ๐ +โ ฌุทุงู ุจุงโ ฌ โ ซู ู ุงุตู ๐ ๐ ๐ ุทุงู ุจ โ ช ุ โ ฌุงู ุงู ุงู ุนู ู ุฉ ุงู ุนุดู ุงุฆู ุฉ ู ุงู ุช ุตุบุฑู ุฉ ุฌุฏุงู ุงู ู ุณุจุฉโ ฌ โ ซุงู ู ุฆู ู ุฉ ู ู ุทุงู ุจ ุงู ุฐู ู ู ุดู ู ู ุงุงู ุณุชุทุงู ุน ุชุณุงู ู โ ชร ๐ ๐ ๐ = ๐ ๐ %โ ฌโ ฌ
โ ซ๐ ๐ ๐ โ ฌ โ ซ๐ ๐ ๐ โ ฌ
โ ซุชุฃู ุฏ ู ู ู ู ู ู โ ฌ โ ซู ุถุญ ู ู ู ู ู ู ู ุงู ู ู ู ู ู ุฏ ู ู ู ู ุงู ุฑู ุณู ู ุงู ุจู ุงู ู ู ู ุงู ุชุงู ู ู ู ุงู ุทุจุงุนุง ู ุถู ู ุงู ู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซ)๐ โ ฌ โ ซุงุญู ู โ ช :โ ฌุงู ุฑุณู ุงู ุจู ุงู ู ู ุนุทู ุงู ุทุจุงุนุง ู ุถู ุงู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุฃู ู ุงู ู ุณุจ ุจู ู ุงุฃู ุทู ุงู ุบุฑู ู ุชุณุงู ู ุฉ ู ุฐู ู ู ู ู ู ุงู โ ฌ โ ซุงู ู ุณุจุฉ ุงุฃู ู ู ู โ ช (๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐ ๐ ) :โ ฌุจู ู ู ู ุง ๐ ๐ ๐ โ ฌ โ ซู ุงู ู ุณุจุฉ ุงู ุซุงู ู ุฉ โ ช (๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐ ๐ ) :โ ฌุจู ู ู ู ุง ๐ ฆ๐ ๐ ๐ โ ฌ โ ซู ุฐู ู ู ู ุงุญู ุงู ู ู ุงู ู ุณุจุฉ ุงู ุซุงู ุซุฉ โ ช (๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐ ๐ ) :โ ฌุจู ู ู ู ุง ๐ ๐ ๐ โ ฌ
โ ซโ ช269โ ฌโ ฌ
โ ซ)๐ โ ฌ โ ซุงุญู ู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซู ู ุงู ุดู ู ุงุฌู ู ุงู ุฑ ู ุงู ุญุธ ุงู ุฃุฌู ุฑ ุงู ุนุงู ู ุงู ู ุงู ุฑู ู โ ฌ โ ซุถุนู ุฃุฌู ุฑ ุงู ุนุงู ู ุงู ุนุงุฏู โ ช .โ ฌู ู ู ู ุฃุฌุฑุฉ ุงู ุนุงู ู โ ฌ โ ซุงู ู ุงู ุฑ ุจุงู ุณุงุนุฉ ู ู ๐ โ ช ๐ .โ ฌุงู ู ุฏู ู ุงุฑ ู ุฃุฌุฑุฉ ุงู ุนุงู ู โ ฌ โ ซุงู ุนุงุฏู ุจุงู ุณุงุนุฉ ู ู ๐ ุงุงู ู ู ุฏู ู ุงุฑ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุจุงู ุชุฃู ู ุฏ ๐ โ ช ๐ .โ ฌู ู ุณุช ุถุนู ๐ ุนู ู ู ุงู ุฑุณู ุงู ุจู ุงู ู โ ฌ โ ซุงุฌู ู ุงู ุฑ ู ุถู ู โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซู ุณุฑ ู ู ุงุฐุง ุงุฅู ุญุตุงุกุงุช ุงู ุชุงู ู ุฉ ู ุถู ู ู ุฉ โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ( ุนู ุฑุถ ู ู ุงู ุนู ู ๐ ๐ ุดุฎุตุง ู ุชู ู ู ู ู โ ช ุ โ ฌุฃุจุฏู ๐ ๐ ู ู ู ู ุงุนุฌุงู ุจู ุจุงู ู ู ุงู โ ช ุ โ ฌุจู ุงุกู ุนู ู ุฐู ู ู ุตุฑุญ ุตุงุญุจ ุงู ู ู ุงู โ ช :โ ฌุจุฃู โ ฌ โ ซุงู ู ู ุงู ุตุงุญู ู ู ู ุดุฑ ุงู ู ู ุณุจุฉ ุงู ุฐู ู ู ุถู ู ู ู ุงู ุช ๐ ๐ ุงู ู ๐ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงุญู ู โ ช :โ ฌุงุงู ุญุตุงุก ู ุถู ุงู ุฃู ู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซโ ช )1โ ฌุฌู ุจ ุฃู ู ู ู ู ุนุฑุถ ุงู ู ู ุงู ุจุดู ู ุนุดู ุงุฆู ู ู ู ุณ ุงู ุชุฎุงู ุจ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซโ ช )2โ ฌุฌู ุจ ุฃู ุญู ุฏุฏ ุฑุฃู ุงุฃู ุดุฎุงุต ุงู โ ช 7โ ฌุญู ู ุงู ู ู ุงู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ( ุจุงุน ุฎู ุฒู ู ุงู ุจุณ ุฑู ุงุถู ุฉ ู ู ุฏุฉ ุฒู ู ู ุฉ ู ุนู ู ุฉ ๐ ๐ ๐ ุจุฏู ุฉ ุฑู ุงุถู ุฉ โ ช ุ โ ฌู ู ุญู ู ุจุงุน ุฎู ุฒู ู ุจู ุน ุงุงู ู ุนุงุจ ู ุงู ู ุงู ุจุณ ุงู ุฑู ุงุถู ุฉโ ฌ โ ซู ู ู ู ุฏุฉ ู ู ุณู ุง ๐ ๐ ุจุฏู ุฉ ุฑู ุงุถู ุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงุญู ู โ ช :โ ฌุงุงู ุญุตุงุก ู ุถู ุงู ุฃู ู ุงู ุฒู ู ู ู ุณ ู ู ุงุณ ู ุจู ุน ุงู ุจุฏุงู ุช ุงู ุฑู ุงุถู ุฉ ู ุงู ู ุง โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซโ ช )1โ ฌุฌู ุจ ุฃู ุชู ู ู ุงู ุจุถุงุนุฉ ู ุชุซู ู ู ุณ ุงู ู ู ุนู ุฉ ู ู ู ู ู ุณ ุงู ู ู ุดุฃ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซโ ช )2โ ฌุงุฃู ุณุนุงุฑ ุงู ู ุช ุชุจุงุน ู ุจุง ุงู ุจุถุงุนุฉ ุฌู ุจ ุฃู ุชู ู ู ู ุชุณุงู ู ุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซโ ช )3โ ฌู ู ู ุน ุงู ู ุฎุฒู ู ู ู ุคุซุฑ ู ู ู ุน ุงู ุฒุจุงุฆู ู ุงู ู ุฏุฑุฉ ุงู ุดุฑุงุฆู ุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซโ ช )4โ ฌุงู ู ุชุฑุฉ ุงู ุฒู ู ู ุฉ ู ู ุชุญ ุงู ู ุฎุฒู ู ุงุบุงู ู ู ู ู ู ู ุง โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซโ ช )5โ ฌุฃุณู ู ุจ ุงู ุจุงุฆุน ู ู ุทุฑุญ ุงู ุจุถุงุนุฉ ู ู ู ู ู ุฉ ุชุนุงู ู ู ู ุน ุงู ุฒุจุงุฆู โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซุชุฏุฑุจ ู ุญู ุงู ุชู ุฑู ู ุงุชโ ฌ โ ซู ุถุญ ู ู ู ู ู ู ู ุงู ู ู ู ุฏ ู ู ู ู ุงู ุฑู ุณู ู ุงู ุจู ุงู ู ู ู ุงู ุชุงู ู ู ู ุงู ุทุจุงุนุง ู ุถู ู ุงู ู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซู ุงุฌุจ )๐ โ ฌ
โ ซโ ช270โ ฌโ ฌ
โ ซ)๐ โ ฌ โ ซุงุญู ู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซู ู ุงู ู ุชุถู ู ู ุฃู ู ุงู ู ุณุจุฉ ุจู ู ุงู ุฑุณู ู ุงู ุนุฏุฏ ุบุฑู ู ุชุณุงู ู ุฉ ู ู ู ู ุงุฏโ ฌ โ ซุญู ุซ ุนุฏุฏ ุงู ู ุฑุงุช ุงู ู ุฑุณู ู ุฉ ๐ ู ุฑุงุช ู ุนุฏุฏ ุงู ู ุฑุงุช ู ู ุฎุงู ุฉโ ฌ โ ซุงุงู ุนุฏุงุฏ ๐ ๐ ู ุฑุฉ ุญู ุซ ุฃู ุงู ู ุณุจุฉ ู ู โ ช ๐ ( :โ ฌู ู ๐ ๐ ) โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุจู ู ู ุง ู ู ุงุฎู ุงู ุฉ ุงู ุนู ู ุง (ุงู ุตู ุงุฏู ู ) ู ู ุงู ู ู ุฎุณ ุตู ุงุฏู ู ู ู ู โ ฌ โ ซุฎุงู ุฉ ุงู ุนุฏุฏ ู ู ุงู ๐ ๐ ุตู ุฏู ู ุงู ุงู ุงู ู ุณุจุฉ ู ู โ ช ๐ ( :โ ฌู ู ๐ ๐ )โ ฌ โ ซ๐ ( ู ู ุงุณุชุทุงู ุน ู ุดู ๐ ุงุดุฎุงุต ุญู ู ู ุทุงู ุนุฉ ุฌุฑู ุฏุฉ ู ู ู ู ุฉ โ ช ุ โ ฌุงู ุงุฏ ๐ ู ู ู ู ุงู ู ู ู ู ุถู ู ู ุงุฌู ุฑู ุฏุฉ ู ู ู ู ุงู ุฉโ ฌ โ ซุงุงู ุณุชุทุงู ุน ู ุฑุฏุช ุงุฌู ู ู ุฉ ุงุขู ุชู ุฉ โ ช :โ ฌู ู ุถู ๐ ู ู ู ู ๐ ุงุดุฎุงุต ู ุทุงู ุนุฉ ุงุฌู ุฑู ุฏุฉ ู ู ุงุฐุง ู ู ุนุฏ ู ุฐุง ุงุงู ุนุงู ู ู ุถู ู ุงู ู ุ โ ฌ โ ซุงุญู ู โ ช :โ ฌู ุนุฏ ู ุฐุง ุงุฅู ุนุงู ู ู ุถู ุงู ุฃู ู ุงุงู ุณุชุทุงู ุน ู ุดู ๐ ุฃุดุฎุงุต ู ู ุท ู ู ุฌุจ ุฃู ู ู ู ู ุงุงู ุณุชุทุงู ุน ุนุดู ุงุฆู ู ู ุดู ู โ ฌ โ ซุฃุนุฏุงุฏ ู ุจุฑู ุฉ ู ู ุงุฃู ุดุฎุงุต ู ู ู ุงู ุงุฌู ู ุณู ู ู ุฃู ุนู ุงุฑ ู ุชู ุงู ุชุฉ ู ู ุทุจู ุงุช ู ุซู ู ุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ( ุณุฆู ๐ ๐ ๐ ุทุงู ุจ ุนู ุงู ุทุฑู ู ุฉ ุงู ู ุช ู ู ุถู ู ู ู ุง ู ู ุงู ู ุฏู ู ุงู ู ุงู ู ุฏุฑุณุฉ โ ช ุ โ ฌู ู ุงู ุช ุฅุฌุงุจุงุช ๐ ๐ ุทุงู ุจุง ู ู ู ู ุนู ู โ ฌ โ ซุงู ู ุญู ุงุขู ู ุช โ ช ๐ ๐ :โ ฌู ู ู ู ู ู ุถู ู ู ุงู ู ุฏู ู ุจู ุงุณุทุฉ ุณู ุงุฑุฉ ุงุงู ุฌุฑุฉ ู ๐ ๐ ู ู ุถู ู ู ุงู ู ุดู ู ๐ ๐ ุทุงู ุจ ู ู ุถู ู ู โ ฌ โ ซุงู ู ุฏู ู ุจุณู ุงุฑุงู ุชู ุงุฎู ุงุตุฉ โ ช .โ ฌุฃุณุชู ุชุฌ ุงู ู ุตู ุงู ุทุงู ุจ ู ู ุถู ู ู ุณู ุงุฑุฉ ุงุฃู ุฌุฑุฉ โ ช .โ ฌู ุณุฑ ู ู ุงุฐุง ุงุฅู ุญุตุงุกุงุช ู ุถู ู ู ุฉุ โ ฌ โ ซ๐ โ ฌ
โ ซุงุญู ู โ ช :โ ฌุงุงู ุญุตุงุกุงุช ู ุถู ู ุฉ ุฃู ู ุงู ุฐู ู ู ู ุถู ู ู ุณู ุงุฑุฉ ุงุฃู ุฌุฑุฉ ู ู ุงู ู ุฏู ู ุงู ู ุงู ู ุฏุฑุณุฉ ู ู ุซู ุชู ุฑู ุจุง ) ( ุซู ุซโ ฌ โ ซุฅุฌุงุจุงุช ๐ ๐ ุทุงู ุจุง ู ุงุงู ุญุตุงุก ุฌู ุจ ุฃู ู ู ู ู ุนู ู ุนุฏุฏ ุงู ุทุงู ุจ ๐ ๐ ๐ ู ู ู ุณ ุนู ู ๐ ๐ ุทุงู ุจ โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซุชุฏุฑุจ ู ุญู ู ุณุงุฆู ุญู ุงุชู ุฉโ ฌ โ ซ๐ ( ุงุงู ุญู ุงุก โ ช :โ ฌุงู ุฑุณู ุงู ุจู ุงู ู ุงุฌู ู ุงู ุฑ ู ู ุซู ุงู ู ุฏุฑุฉ ุนู ู โ ฌ โ ซู ุชู ุงู ู ู ุณ ู ู ุฑุณ ุงู ู ู ุฑ ู ุซุนู ุจ ุงู ู ู ุงู โ ช .โ ฌู ู ุงุฐุง ุงู ุจู ุงู ุงุชโ ฌ โ ซู ู ุงู ุฑุณู ู ุถู ู ู ุฉ ุ ู ุถุญ ุฐู ู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงุญู ู โ ช :โ ฌุงู ุจู ุงู ุงุช ู ู ุงู ุดู ู ุงู ุจู ุงู ู ู ุถู ู ุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซโ ช )1โ ฌุงู ู ุงู ู ุฏุฑุฉ ุนู ู ู ุชู ุงู ู ู ุณ ู ู ุงุฃู ุนู ุฏุฉโ ฌ โ ซุงู ุจู ุงู ู ุฉ ุชุจู ู ุจุฃู ู ุฑุณ ุงู ู ู ุฑ ู ู ู ุฏุฑุฉ ุถุนู โ ฌ โ ซู ุฏุฑุฉ ุซุนู ุจ ุงู ู ู ุงู ู ู ู ู ู ู ุงู ู ู ู ุงู ุนู ู ุฏู ุฉโ ฌ โ ซู ู ุฑุณู ุงู ุจู ุงู ู ู ุฃู ู ุฏุฑุฉ ู ุฑุณ ุงู ู ู ุฑ ุซุงู ุซโ ฌ โ ซุฃู ุซุงู ู ุฏุฑุฉ ุซุนู ุจ ุงู ู ู ุงู ู ู ู ุชู ุงู ู ู ุณ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซโ ช )2โ ฌุฃู ู ุญู ุฏุฏ ู ู ุงู ุจู ุงู ุงุช ุงู ุนู ู ุฏู ุฉ ู ู ุฑุณู โ ฌ โ ซุงู ุจู ุงู ู ุงู ู ุช ู ุชุซู ุงู ู ู ุช ู ู ู ู ุฏู ุงุฆู ุฃู โ ฌ โ ซุณุงุนุงุช ุฃู ุฃู ุงู ู ู ุฐุง ู ุนุชุฑุจ ู ุถู ุงู โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช271โ ฌโ ฌ
โ ซ๐ โ ฌ
โ ซ๐ ๐ ( ู ุทุงู ุนุฉ โ ช :โ ฌุงู ุฑุณู ุงุฌู ู ุงู ุฑ ู ู ุซู ุงุดุฎุงุต ู ู ุถู ู ู โ ฌ โ ซู ุทุงู ุนุฉ ุงู ู ุชุจ ุงุงู ุฏุจู ุฉโ ช ุ โ ฌุงู ุนู ู ู ุฉโ ช ุ โ ฌุงู ู ู ู ุฉ โ ช .โ ฌู ุณุฑ ู ู ุงุฐุงโ ฌ โ ซุงู ุจู ุงู ุงุช ู ู ุงู ุฑุณู ู ุถู ู ู ุฉุ โ ฌ โ ซุงุญู ู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซู ู ุงุงู ุนู ุฏุฉ ุงู ุจู ุงู ู ุฉ ู ุชุจู ู ุจุฃู ู ุฑุงุกุฉ ุงู ู ุชุจ ุงู ู ู ู ุฉ ุฃู ุฑุจโ ฌ โ ซู ู ุฌู ู ู ุน ุงู ุฐู ู ู ู ุถู ู ู ู ุฑุงุกุฉ ุงู ู ุชุจ ุงุฃู ุฏุจู ุฉ ู ุงู ุนู ู ู ุฉโ ฌ โ ซู ุงู ู ุงู ุน ุงู ุนุฏุฏ ุงู ู ุฑุงุก ุงู ุฐู ู ู ู ุถู ู ู ุงู ู ุชุจ ุงู ุนู ู ู ุฉโ ฌ โ ซุจุงุงู ุถุงู ุฉ ุงู ู ุนุฏุฏ ู ุฑุงุก ุงู ู ุชุจ ุงุฃู ุฏุจู ุฉ ุงู ุฑุจ ู ู ุนุฏุฏโ ฌ โ ซุงู ุฐู ู ู ู ุถู ู ู ุงู ู ุชุจ ุงู ู ู ู ุฉ ู ุฐู ู ู ุฃู ุงู ุจู ุงู ุงุช ู ู ุงู ุฑุณู โ ฌ โ ซู ุถู ู ุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ๐ ( ู ู ุงุตุงู ุช โ ช :โ ฌุจู ุบุช ุงุฑุจุงุญ ุดุฑู ุฉ ุงู ุทุฑู ุงู ๐ ู ู ุดู ุฑู ู ุชู ุฒโ ฌ โ ซ๐ ๐ ๐ ๐ ู ู ู ู ู ุฏู ู ุงุฑ โ ช ุ โ ฌู ู ุญู ู ู ุงู ุช ุงุฑุจุงุญ ุดุฑู ุฉ ุงู ุทุฑู ุงู ๐ ู ู โ ฌ โ ซุดู ุฑู ู ู ุณุงู ู ู ุงู ุณ ๐ ๐ ๐ ๐ ู ู ู ู ู ุฏู ู ุงุฑ โ ช .โ ฌู ุณุฑ ู ู ุงุฐุง ุงุฅู ุญุตุงุกุงุชโ ฌ โ ซู ุถู ู ู ุฉ ุ โ ฌ โ ซุงุญู ู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซุงุงู ุญุตุงุกุงุช ู ุถู ู ุฉ ุฃู ู ู ู ุงุฑู ุฉ ุงุฃู ุฑุจุงุญ ุบุฑู ู ุชุทุงุจู ุฉ ู ุงู ุดุฑู ุฉ ๐ ุฃุฑุจุงุญู ุง ู ุดู ุฑู ู ุชู ุฒ ู ุขุจ ๐ ๐ ๐ ๐ ู ู ู ู ู ุฏู ู ุงุฑโ ฌ โ ซู ุฃู ุง ุงู ุดุฑู ุฉ ๐ ู ุฃู ุงุฑุจุงุญู ุง ู ุดู ุฑู ู ู ุณุงู ู ู ุงู ุณ ๐ ๐ ๐ ๐ ู ู ู ู ู ุฏู ู ุงุฑ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ๐ ( ุชุบุฐู ุฉ โ ช :โ ฌุญุชุชู ู ู ุตุจุฉ ุงู ุฑุจู ู ู ู ุนู ู ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ู ู ุงู ุจู ุชุงุณู ู ู ู ุงุฌู ุฒุฑุฉ ุงู ู ุจุฑู ุฉโ ฌ โ ซ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ู ู ุงู ุจู ุชุงุณู ู ู ู ู ุญู ู ุญู ุชู ู ุฑุฃุณ ุงู ู ุฑู ุจู ุท ุนู ู ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ู ู โ ฌ โ ซุงู ุจู ุชุงุณู ู ู โ ช .โ ฌู ุณุฑ ู ู ุงุฐุง ุงุฅู ุญุตุงุกุงุช ู ุฐู ู ุถู ู ู ุฉุ โ ฌ โ ซุงุญู ู โ ช :โ ฌุงุงู ุญุตุงุกุงุช ู ุถู ู ุฉ ุฃู ู ุงู ู ู ุงุฑู ุฉ ุจู ู ุงู ู ู ุงุฏ ุงู ุบุฐุงุฆู ุฉ ุฎู ุชู ู ุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซู ู ุฑโ ฌ โ ซ๐ ๐ ( ุงู ุชุดู ุงุฎู ุทุฃ โ ช :โ ฌู ู ู ู ุญู ู ุฏ ุงู ุงู ุฑุณู ู ู ู ู ุบุฑู ู ุถู ู ู ุงุฐุง ุจุฏุฃ ุฑุณู ุงุงู ุนู ุฏุฉ ู ู ุงู ุตู ุฑ ุจุตุฑู ุงู ู ุธุฑโ ฌ โ ซุนู ุซุจู ุช ุทู ู ุงู ู ุชุฑุงุช โ ช .โ ฌุงู ุชุดู ุฎุทุฃ ุญู ู ุฏ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงุญู ู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซู ู ู ู ุงู ุฑุณู ุงู ุจู ุงู ู ู ุถู ุงู ุงุฐุง ู ุงู ุฑุณู ุงุฃู ุนู ุฏุฉ ุงู ู ุจุฏุฃ ู ู ุงู ุตู ุฑ ู ุนุฏู ุซุจู ุช ุทู ู ุงู ู ุชุฑุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ๐ ( ุญุณ ุนุฏุฏู โ ช :โ ฌุญุตู ุงุญุฏ ุงู ุจุงุนุฉ ุนู ู ุงู ุนู ู ุงู ุช ุงู ุชุงู ู ุฉ ุจุงุงู ุงู ู ุงู ุฏู ุงู ุฑู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซุดุจุงุท ๐ ๐ ๐ โ ช ุ โ ฌุงุฐุงุฑ ๐ ๐ ๐ โ ช ุ โ ฌู ู ุณุงู ๐ ๐ ๐ โ ช ุ โ ฌู ุชู ุฒ ๐ ๐ ๐ โ ช ุ โ ฌู ุงู ุณ ๐ ๐ ๐ โ ฌ โ ซุงุฎุฑุจ ุงุตุฏู ุงุคู ุงู ู ุชู ุณุท ุนู ู ู ุชู ุงู ุดู ุฑู ุฉ ๐ ๐ ๐ ุงู ู ุฏู ู ุงุฑ โ ช .โ ฌู ุณุฑ ู ู ุงุฐุง ู ุฐุง ุงุงู ุญุตุงุก ู ุถู ู ู ุ โ ฌ โ ซโ ช272โ ฌโ ฌ
โ ซุงุญู ู โ ช :โ ฌุฃู ู ู ุชู ุณุท ุงู ุนู ู ู ุฉ ุงู ุดู ุฑู ุฉ ๐ ๐ ๐ ุงู ู ุฏู ู ุงุฑ ู ู ุฑุจุน ุนู ู ู ุฉ ุดู ุฑ ุดุจุงุท ุชู ุฑู ุจุง ู ู ุฐู ู ู ุฃู ู ุชู ุณุทโ ฌ โ ซุงู ุนู ู ู ุฉ ู ุณุงู ู ุถุนู ุงู ุนู ู ู ุฉ ู ุฃู ุดู ุฑ ู ู ุณุงู ู ู ุชู ุฒ ู ู ุงู ุณ ุชู ุฑู ุจุง โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ๐ ( ู ุง ุงู ุฐู ุฌู ุจ ุงู ุชุชุฃู ุฏ ู ู ู ู ุชู ุฑุฑ ู ุง ุงุฐุง ู ุงู ุงู ุฑุณู ุงู ุจู ุงู ู ู ุถู ู ุงู ู ุงู ุงู ุ โ ฌ โ ซโ ช -1โ ฌู ุจุฏุฃ ุงู ุฑุณู ุงู ุจู ุงู ู ู ุงู ุนู ุฏุฉ ู ู ุงู ุตู ุฑ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซโ ช -2โ ฌุซุจู ุช ุงู ู ุชุฑุงุช ุงุญู ู ุฏุฏุฉ ู ู ุงู ุฑุณู ุงู ุจู ุงู ู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุฃู ุชุจ โ ช :โ ฌุณุคุงู ู ู ุงุญู ู ุงุฉ ุงู ู ู ู ู ุฉ ุญุชุชุงุฌ ุงู ู ู ู ุนู ู ุฑุณู ู ู ุถู ู ู ุฉ โ ช .โ ฌู ุงุฌุจโ ฌ โ ซ***********************โ ฌ
โ ซุงู ุชุจุงุฏู ู ู ุงู ุชู ุงู ู ู โ ฌ โ ซุชุนู ู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซุฏุฎู ๐ ุงุดุฎุงุต ุงู ู ุบุฑู ุฉ ุญุชุชู ู ุนู ู ๐ ู ุฑุงุณู ู ู ุตู ู ุงุญุฏโ ฌ โ ซู ุทู ุจ ู ู ู ู ุงุฌู ู ู ุณ ุนู ู ุชู ู ุงู ู ุฑุงุณู โ ช .โ ฌู ู ู ุทุฑู ู ุฉ ู ู ู ู ุงู โ ฌ โ ซุฌู ู ุณู ู ุ โ ฌ โ ซู ู ุฑุฉ ุงู ุฏุฑุณ โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซโ ช ๏ ทโ ฌุชุนุฑู ู ุถุฑู ุจ ุงู ุนุฏุฏโ ฌ โ ซโ ช ๏ ทโ ฌุงู ุตุญู ุญ ุบุฑู ุงู ุณุงู ุจโ ฌ โ ซโ ช ๏ ทโ ฌุชุนุฑู ู ู ู ู ู ุงู ุชุจุงุฏู ู โ ฌ โ ซโ ช ๏ ทโ ฌุชุนุฑู ู ู ู ู ู ุงู ุชู ุงู ู ู โ ฌ โ ซุงู ู ู ุฑุฏุงุช โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซโ ช ๏ ทโ ฌู ุถุฑู ุจ ุงู ุนุฏุฏโ ฌ โ ซโ ช ๏ ทโ ฌุงู ุชุจุงุฏู ู โ ฌ โ ซโ ช๏ ทโ ฌโ ฌ
โ ซุงู ุชู ุงู ู ู โ ฌ
โ ซโ ช ๏ ทโ ฌู ุถุงุก ุงู ุนู ู ุฉโ ฌ
โ ซุงู ู ุถุฑู ุจโ ฌ โ ซุงุฐุง ู ุงู ๐ ุนุฏุฏุง ุตุญู ุญุง ุบุฑู ุณุงู ุจ ู ุฃู โ ช :โ ฌู ุถุฑู ุจ ุงู ุนุฏุฏ ๐ ู ุฑู ุฒ ู ู !๐ ู ู ุนุฑู ุจุงู ุนุงู ู ุฉ ุงุงู ุชู ุฉ โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซโ ช๐ ! = ๐ (๐ โ ๐ )( ๐ โ ๐ ). . . (๐ )( ๐ )( ๐ ), ๐ โ ๐ +โ ฌโ ฌ โ ซู ุงู ๐ = !๐ โ ช๐ ! = ๐ ,โ ฌโ ฌ โ ซู ุซุงู โ ช :โ ฌุฏุฎู ๐ ุงุดุฎุงุต ุงู ู ุบุฑู ุฉ ุญุชุชู ู ุตู ุง ู ู ๐ ู ุฑุงุณู ู ุทู ุจ ุงู ู ู ู ุงุฌู ู ู ุณ ุนู ู ุชู ู โ ฌ โ ซุงู ู ุฑุงุณู โ ช .โ ฌู ู ุทุฑู ู ุฉ ู ู ู ู ุงู ุฌู ู ุณู ู ุ โ ฌ โ ซุงุญู ู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซ* ุงู ุดุฎุต ุงุงู ู ู ุงู ุฐู ุฏุฎู ุงู ู ุงู ุบุฑู ุฉ ู ู ู ู ุงู ุฌู ู ุณ ุนู ู ุงู ู ุฑุณู โ ช ุ โ ฌุงู ู ู ๐ ุงุฎุชู ุงุฑุงุช โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ* ุงู ุดุฎุต ุงู ุซุงู ู ุญู ู ู ู ุงู ุฌู ู ุณ ุนู ู ุงู ู ุฑุณู ู ู ุงู ุซุงู ุซุฉ ุงู ุจุงู ู ุฉ โ ช ุ โ ฌุงู ู ู ๐ ุงุฎุชู ุงุฑุงุช โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ* ุงู ุดุฎุต ุงู ุซุงู ุซ ุญู ู ู ู ุงู ุฌู ู ุณ ุนู ู ุงู ู ุฑุณู ู ู ุงู ู ุฑุณู ู ู ุงู ุจุงู ู ู ู โ ช ุ โ ฌุงู ู ู ๐ ุงุฎุชู ุงุฑ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซโ ช273โ ฌโ ฌ
* اما الشخص الرابع فانه حتما سيجلس على الكرسي االخري ،اي له 𝟏 اختيار . اذن عدد طرق اجللوس املمكنة تساوي 𝟒 × 𝟑 × 𝟐 × 𝟏 = 𝟐𝟒 : الحظ انك حصلت على النتيجة السابقة بضرب اعداد متتالية تبدأ من العدد )𝟒( وتتناقص حىت تصل اىل العدد )𝟏( تسمى مثل هذه الصورة مضروب العدد )𝟒( ويرمز هلا بالرمز !𝟒 مثال :جد قيمة كل مما يأيت : !𝟔
احلل :
𝟔×𝟑
!)𝟐(𝟔−
)𝒊𝒗
!𝟎
)𝒗
!𝟕
!𝟐 × !𝟑 )𝒗𝒊
)تقرأ مضروب العدد 𝟓(
!𝟓
)𝒊𝒊𝒊
!𝟐 𝒊𝒊) 𝟒! −
!𝟓 )𝒊
𝟎𝟐𝟏 = 𝟏 × 𝟐 × 𝟑 × 𝟒 × 𝟓 = !𝟓 )𝒊
𝟐𝟐 = 𝟐 𝒊𝒊) 𝟒! − 𝟐! = (𝟒 × 𝟑 × 𝟐 × 𝟏) − (𝟐 × 𝟏) = 𝟐𝟒 − !𝟕 𝟏× 𝟐× 𝟑× 𝟒× 𝟓×𝟔×𝟕 = 𝟐𝟒 = 𝟔 × 𝟕 = !𝟓 𝟏× 𝟐× 𝟑× 𝟒× 𝟓
)𝒊𝒊𝒊
𝟐𝟏 = 𝟐 × 𝟔 = )𝟏 × 𝟐( × )𝟏 × 𝟐 × 𝟑( = !𝟐 × !𝟑 )𝒗𝒊 𝟏 × 𝟐 × 𝟑 × 𝟒 !𝟒 !)𝟐 (𝟔 − = = 𝟒𝟐 = !𝟎 !𝟎 𝟏 !𝟔 𝟏× 𝟐× 𝟑× 𝟒× 𝟓×𝟔 )𝒊𝒗 = 𝟎𝟒 = 𝟐 × 𝟒 × 𝟓 = 𝟔×𝟑 𝟔×𝟑 )𝒗
التباديل التباديل :كم زوج مرتب ميكن تكوينه من االحرف 𝒄 𝒂 , 𝒃 ,؟ باستخدام قاعدة الشجرة
𝒂→𝒄 )𝒃 →𝒃 ⟹ (𝒂 , 𝒃), (𝒂 , 𝒄) , (𝒃 , 𝒂) , (𝒃 , 𝒄) , (𝒄 , 𝒂) , (𝒄 ,
هناك ستة ازواج مرتبة وهذا يعطي فكرة مبسطة عن التباديل اليت سندرسها الحقاً.
𝒂→𝒃 𝒄→
𝒃→𝒂 𝒄→
عدد التباديل لعناصر عددها 𝒏 مأخوذة 𝒓 يف كل مرة هو ناتج قسمة !𝒏 على !)𝒓 (𝒏 −يرمز للتباديل بالرمز 𝒓𝒏𝑷 أو )𝒓 𝑷(𝒏 ,حيث
!𝒏 قانون التباديل 𝒏 ≤ 𝒓 ≤ 𝟎 !)𝒓 (𝒏 − , 𝒏 = 𝟏𝒏𝑷 , 𝟏=𝒓
= 𝒓𝒏𝑷
𝟏 = 𝟎𝒏𝑷 , 𝟎=𝒓 مالحظة : !𝒏 = 𝒏𝒏𝑷 , 𝒏=𝒓 مالحظة :ميكن معرفة حل السؤال وفق مفهوم التباديل من منطوق السؤال يف احلاالت اآلتية فقط : )1الترتيب مطلوب . )2طلب تكوين جلان وحدد هلا مناصب مثل رئيس ،نائب رئيس .... ، )3طلب تكوين اعداد من جمموعة أرقام (بشرط عدم تكرار الرقم ،دون ارجاع ،خمتلفة) )4طلب حل اسئلة امتحان مادة ما (بشرط عدم ترك أي سؤال) . )5أسئلة ترتيب صف يف مستقيم أو اجللوس على كراسي . 274
مثال :جد قيمة كل مما يأيت : 𝟐𝟕𝑷 )𝒊
ط𝟏 (اي نضرب بعدد مرات 𝒓)
𝟑𝟑𝑷)𝒊𝒊 𝟏𝟗𝑷 )𝒊𝒊𝒊 𝟎𝟏𝑷 )𝒗𝒊 𝟎 !𝟕 !𝟕 𝟕 × 𝟔 × !𝟓 = 𝟐𝟕𝑷 )𝒊 = = 𝟐𝟒 = 𝟔 × 𝟕 = !)𝟐 (𝟕 − !𝟓 !𝟓 𝟐𝟒 = 𝟔 × 𝟕 = 𝟐𝟕𝑷 )𝒊
ط𝟐
𝟔 = 𝟏 × 𝟐 × 𝟑 = !𝟑 = 𝟑𝟑𝑷)𝒊𝒊 } 𝟗 = 𝟏𝟗𝑷 )𝒊𝒊𝒊 𝟎𝟏𝑷 )𝒗𝒊 𝟏= 𝟎
حسب املالحظة اعاله
مثال :لوحة ارقام :لعمل لوحات ارقام مكونة من مخسة ارقام من بني االرقام 𝟏 اىل 𝟗 .ما عدد الترتيبات املختلفة املمكنة ؟ احلل :مبا ان ترتيب االرقام مهم فهذه احلالة متثل تباديل . 𝟓=𝒓 𝒏=𝟗 , !𝟗 !𝟒 × 𝟓 × 𝟔 × 𝟕 × 𝟖 × 𝟗 !𝟗 = 𝟗𝟓𝐏 = = 𝟎𝟎𝟐𝟏𝟓𝟏 = 𝟓 × 𝟔 × 𝟕 × 𝟖 × 𝟗 = !)𝟓 (𝟗 − !𝟒 !𝟒
التوافيق كم جمموعة مكونة من عنصرين ميكن تكوينها من االحرف 𝒄 𝒂 , 𝒃 ,؟ مبا ان اجملموعات غري خاضعة للترتيب اذن هناك ثالث جمموعات هي {𝒂, 𝒃} , {𝒃, 𝒄} , {𝒂, 𝒄} :
وهذا يعطي فكرة مبسطة على التوافيق واليت سندرسها الحقا . عدد التوافيق لعناصر عددها 𝒏 مأخوذة 𝒓 يف كل مرة هو ناتج قسمة !𝒏 على !𝒓 !)𝒓 (𝒏 −يرمز للتوافيق بالرمز 𝒓𝒏𝑪 أو ) 𝒓𝒏( حيث قانون التوافيق 𝒏 ≤ 𝒓 ≤ 𝟎 مالحظة : 𝟏=𝒓
,
𝒏 = 𝟏𝒏𝑪
,
!𝒏 !𝒓 !)𝒓 (𝒏 − 𝟎=𝒓 𝒏=𝒓
التوافيق ال يهم هبا الترتيب . مالحظة :ميكن معرفة حل السؤال وفق مفهوم التوافيق من منطوق السؤال كااليت : ∎اذا كان لدينا عملية سحب أو تكوين جلنة أو فريق والترتيب فيها غري مطلوب . ∎اذا طلب بالسؤال عدد طرق تكوين جلنة أو فريق ومل حيدد هلا مناصب. ∎طلب عدد اجملموعات اجلزئية (الثنائية 𝟐 = 𝒓 والثالثية 𝟑 = 𝒓 ) …. , 275
= 𝒓𝒏𝑪 = ) 𝒓𝒏(
, ,
𝟏 = 𝟎𝒏𝑪 𝟏 = 𝒏𝒏𝑪
∎طلب عدد األشكال اهلندسية خط مستقيم 𝟐 = 𝒓 واملربع 𝟒 = 𝒓 واملثلث 𝟑 = 𝒓 . ∎طلب حل اسئلة امتحان مادة ما وفيها ترك يف االجابة عن األسئلة . مثال :جد قيمة كل مما يأيت : 𝟗𝟏𝐂 )𝒊𝒊𝒊
𝟎𝟓𝑪 )𝒗𝒊 𝟎 احلل :
𝟖𝟐𝐂 )𝒊
𝟐𝟏 𝟐𝟏𝐂 )𝒊𝒊
!𝒏 !𝒓 !)𝒓 (𝒏 − !𝟖 !𝟔×𝟕×𝟖 = !𝟐!)𝟐𝐂𝟐𝟖 = (𝟖− =
= 𝐧𝒓𝐂 )𝒊
𝟖𝟐 = 𝟕 × 𝟒 =
ط𝟏 ط𝟐
𝟕×𝟖
)𝟏×𝟐(×!𝟔 𝟕×𝟖
𝟐
𝟖𝟐 = 𝟕 × 𝟒 = حسب املالحظة اعاله
}
𝟐
=
𝟕×𝟖 𝟏×𝟐
= 𝟖𝟐𝐂
𝟐𝟏𝑪)𝒊𝒊 𝟏 = 𝟐𝟏 𝟗 = 𝟏𝟗𝑪 )𝒊𝒊𝒊 𝟎𝟓𝑷 )𝒗𝒊 𝟏= 𝟎
مثال :وظائف :أعلنت شركة عن 𝟒 وظائف شاغرة ،فتقدم 𝟎𝟏 اشخاص ،بكم طريقة ميكن شغل الوظائف األربع ؟ احلل :مبا ان ترتيب الوظائف غري مهم فهذه احلالة متثل توافيق . 𝟎𝟏 = 𝒏 𝒓 = 𝟒 , !𝟎𝟏 = !𝟒 !)𝟒 (𝟏𝟎 − ط𝟏
!𝒏 𝟎𝟏𝟒𝐂 ⟹ !𝒓 !)𝒓 (𝒏 −
𝟕 × 𝟖 × 𝟗 × 𝟎𝟏 !𝟔 × 𝟕 × 𝟖 × 𝟗 × 𝟎𝟏 = 𝟎𝟏𝟐 = 𝟕 × 𝟑 × 𝟎𝟏 = )𝟏 × 𝟐 × 𝟑 × 𝟒( !𝟔 𝟏×𝟐×𝟑×𝟒
اذن هناك 𝟎𝟏𝟐 طريقة لشغل الوظائف األربع ط𝟐
𝟕 × 𝟖 × 𝟗 × 𝟎𝟏 𝟎𝟏𝟐 = 𝟕 × 𝟑 × 𝟎𝟏 = 𝟏×𝟐×𝟑×𝟒
= 𝐧𝒓𝐂
= 𝟎𝟏𝟒𝐂
= 𝟎𝟏𝟒𝐂
اي يف الطريقة الثانية نقوم بضرب العدد يف البسط بعدد مرات 𝒓 ويف املقام نأخذ مضروب 𝒓 .
تأكد من فهمك جد قيمة كل مما يأيت : 𝟖𝟒 = 𝟐 × 𝟒𝟐 = )𝟏 × 𝟐( × )𝟏 × 𝟐 × 𝟑 × 𝟒( = !𝟐 × !𝟒 )𝟏 𝟎𝟐𝟏 = 𝟏 × 𝟐 × 𝟑 × 𝟒 × 𝟓 = !𝟓 = !)𝟐 𝟐) (𝟑 + !𝟗 !𝟔 × 𝟕 × 𝟖 × 𝟗 = 𝟒𝟎𝟓 = 𝟕 × 𝟖 × 𝟗 = !𝟔 !𝟔 276
)𝟑
𝟐 = 𝟏 × 𝟐 = !𝟐 = !)𝟓 𝟒) (𝟕 − 𝟖 = 𝟐 𝟓) 𝟑! + 𝟐! = (𝟑 × 𝟐 × 𝟏) + (𝟐 × 𝟏) = 𝟔 + 𝟎𝟐𝟑𝟎𝟒 = 𝟏 × 𝟐 × 𝟑 × 𝟒 × 𝟓 × 𝟔 × 𝟕 × 𝟖 = !𝟖 = 𝟖𝟖𝑷 )𝟔 𝟎𝟏𝑷 )𝟕 𝟎𝟒𝟎𝟓 = 𝟕 × 𝟖 × 𝟗 × 𝟎𝟏 = 𝟒 𝟑𝟖𝑪 )𝟖
واجب
𝟏 = ) 𝟎𝟗( )𝟗
تدرب وحل التمرينات جد قيمة كل مما يأيت : 𝟎𝟒𝟒𝟏 = 𝟎𝟐𝟕 × 𝟐 = )𝟏 × 𝟐 × 𝟑 × 𝟒 × 𝟓 × 𝟔( × )𝟏 × 𝟐( = !𝟔 × !𝟐 )𝟎𝟏 واجب
!𝟑 × !𝟒 )𝟏𝟏
𝟏 = )𝟏( × )𝟏( = !𝟏 × !𝟎 )𝟐𝟏 𝟎𝟏𝑷 )𝟑𝟏 𝟏 = 𝟎 𝟎𝟏( )𝟒𝟏 𝟎𝟏 = ) 𝟏
𝟓×𝟔×𝟕×𝟖×𝟗 𝟔𝟐𝟏 = 𝟐 × 𝟕 × 𝟗 = 𝟏×𝟐×𝟑×𝟒×𝟓
= 𝟓𝟗𝑪 )𝟓𝟏
واجب
𝟑𝟕𝑷 )𝟔𝟏
𝟓𝟏𝑷 )𝟕𝟏 𝟓𝟏 = 𝟏 𝟎𝟎𝟏𝑪 )𝟖𝟏 𝟏 = 𝟎𝟎𝟏
تدرب وحل مسائل حياتية 𝟗𝟏( جلان :بكم طريقة ميكن اختيار جلنة ثالثية من بني هيئة مكونة من 𝟓 شخصا ؟ احلل 𝒏 = 𝟓 , 𝒓 = 𝟑 :
𝟎𝟐 𝟑 × 𝟒 × 𝟓 = 𝟎𝟏 = 𝟏×𝟐×𝟑 𝟐
= 𝟑𝟓𝑪
𝟎𝟐( جلان :بكم طريقة ميكن اختيار جلنة ثالثية مكونة من رئيس ونائب الرئيس وامني الصندوق من بني هيئة مكونة من 𝟓 شخصا ؟ احلل :حتديد مناصب حيل بالتباديل 𝟑 = 𝒓 𝒏 = 𝟓 , !𝒏 !𝟓 !𝟐 × 𝟑 × 𝟒 × 𝟓 = 𝒓𝒏𝑷 = 𝟓𝟑𝐏 ⟹ = 𝟎𝟔 = 𝟑 × 𝟒 × 𝟓 = !)𝒓 (𝒏 − !)𝟑 (𝟓 − !𝟐 277
𝟏𝟐( شطرنج :يف التصفية النهائية لبطولة الشطرنج يف احدى املدارس بني اربعة طالب .كم عدد املباريات اليت ميكن اجراؤها للتصفية ؟ احلل :الترتيب غري مهم حيل بالتوافيق 𝟐 = 𝒓 𝒏 = 𝟒 , 𝟐𝟏 𝟑 × 𝟒 = 𝟐𝟒𝑪 = 𝟔= 𝟏×𝟐 𝟐 𝟐𝟐( لوحات :رسم فنان 𝟕 لوحات فنية ،فبكم طريقة ميكنه اختيار 𝟓 لوحات منها لعرضها يف معرض فين؟ احلل :الترتيب غري مهم حيل بالتوافيق 𝟓 = 𝒓 𝒏 = 𝟕 , 𝟐𝟒 𝟔 × 𝟕 𝟑 × 𝟒 × 𝟓 × 𝟔 × 𝟕 = 𝟓𝟕𝑪 = = 𝟏𝟐 = 𝟏×𝟐×𝟑×𝟒×𝟓 𝟐 𝟐 𝟑𝟐( اختبار :ورقة اسئلة حتتوي على 𝟐𝟏 سؤاالً واملطلوب االجابة عن 𝟎𝟏اسئلة بكم طريقة ميكن اختيار االسئلة ؟ احلل :الترتيب غري مهم حيل بالتوافيق 𝟎𝟏 = 𝒓 𝒏 = 𝟏𝟐 , !𝒏 !𝟐𝟏 𝟐𝟏 = 𝐧𝒓𝐂 𝟎𝟏𝐂 ⟹ = !𝒓 !)𝒓 (𝒏 − !𝟎𝟏 !)𝟎𝟏 (𝟏𝟐 − 𝟔𝟔 = 𝟏𝟏 × 𝟔 =
𝟏𝟏×𝟐𝟏 𝟐
=
!𝟎𝟏×𝟏𝟏×𝟐𝟏 )!𝟎𝟏( )𝟏×𝟐(
𝟐𝟏𝑪 = 𝟎𝟏
𝟒𝟐( رياضة :أراد مدرس الرياضة اختيار فريق لكرة السلة من أصل 𝟗 العبا ،بكم طريقة ميكنه تشكيل الفريق ؟ احلل :الترتيب غري مهم حيل بالتوافيق 𝟓 = 𝒓 𝒏 = 𝟗 , عدد العبني كرة السلة 𝟓 العبني ×𝟐×𝟗=
𝟓×𝟔×𝟕×𝟖×𝟗 𝟏×𝟐×𝟑×𝟒×𝟓
= 𝟓𝟗𝑪
𝟔𝟐𝟏 = 𝟕
𝟓𝟐( عصائر :كم خيار لدى متارة الختيار 𝟑 اقداح من أقداح حتتوي على عصري الفواكه اآلتية :ليمون ،تفاح ،عنب ،موز ؟ احلل :الترتيب غري مهم حيل بالتوافيق 𝟑 = 𝒓 𝒏 = 𝟒 , 𝟐×𝟑×𝟒 = 𝟑𝟒𝑪 𝟒= 𝟏×𝟐×𝟑
278
فكر 𝟔𝟐( حتد :جد قيمة
!𝟗 !𝟓𝟏 !𝟎𝟏 !𝟒𝟏
احلل :
)𝒊
𝟑 𝟓𝟏 !𝟗 )!𝟒𝟏 × 𝟓𝟏( = = 𝟐 𝟎𝟏 )!𝟗 × 𝟎𝟏( !𝟒𝟏 !𝟓 !𝟔 )𝒊𝒊 × !𝟒 × !𝟓 !𝟏 × !𝟑
احلل :
)!𝟑 × 𝟒 × 𝟓( !𝟓 × 𝟔 𝟏 × 𝟓 = × 𝟎𝟐 = )𝟏( × !𝟑 )𝟏 × 𝟐 × 𝟑 × 𝟒( × !𝟓 𝟒 𝟕 𝟕 𝟕𝟐( أيهما صحيح ؟ اختيار جلنة من 𝟒 طالب من جمموعة 𝟕 طالب ،فان عدد االختيارات اما 𝟒𝑷 أو 𝟒𝑪 فسر اجابتك . احلل :توافيق ألن الترتيب غري مهم
𝟒×𝟓×𝟔×𝟕 𝟓𝟑 = 𝟓 × 𝟕 = 𝟏×𝟐×𝟑×𝟒
𝐦𝑪 = 𝒓𝐧𝑪 ؟ 𝟖𝟐( تربير :مىت تكون العبارة 𝒓
= 𝟒𝟕𝑪
𝐦𝑪 = 𝒓𝐧𝑪 اذا كانت 𝟎 = 𝒓 احلل :تكون 𝒓 𝟗𝟐( تفكري ناقد :ما العالقة بني تراتيب 𝟑 من اصل 𝟓 ،وتوافيق 𝟑 من اصل 𝟓 ؟ اكتب هذه العالقة من خالل حسابك لكل منهما . احلل :
!𝒏 !𝟓 !𝟐 × 𝟑 × 𝟒 × 𝟓 = 𝟓𝟑𝐏 ⟹ = 𝟎𝟔 = 𝟑 × 𝟒 × 𝟓 = !)𝒓 (𝒏 − !)𝟑 (𝟓 − !𝟐 𝟑×𝟒×𝟓 𝟎𝟏 = 𝟐 × 𝟓 = 𝟏×𝟐×𝟑 العالقة
𝟎𝟑( مسألة عددية :جد قيمة 𝒏 اليت جتعل 𝟗 =
= 𝒓𝒏𝑷 = 𝟑𝟓𝑪
𝟑𝟓𝑪𝟔 = 𝟓𝟑𝐏
!𝒏 !)𝟏(𝒏−
احلل :
!)𝟏 𝒏 (𝒏 − 𝟗=𝒏 ⟹ 𝟗= !)𝟏 (𝒏 −
279
أكتب :مسألة الختيار 𝟐 من بني 𝟓 اشياء على ان يكون الترتيب فيها مهما . احلل :الترتيب مهم حيل بالتباديل
!𝒏 !𝟓 !𝟑 × 𝟒 × 𝟓 = 𝟓𝟐𝐏 ⟹ = 𝟎𝟐 = 𝟒 × 𝟓 = !)𝒓 (𝒏 − !)𝟐 (𝟓 − !𝟑
= 𝒓𝒏𝑷
االحتمال التجرييب واالحتمال النظري تعلم :رمى مهند قطعيت نقود 𝟑𝟏 مرة وسجل النتائج كما مبني يف اجلدول اجملاور : 𝟏( أوجد النسبة 𝟐( أوجد النسبة
عدد ظهور )𝐓(𝐇 ,
التكرار 𝟕 𝟑 𝟏 𝟐
عدد عناصر فضاء العينة عدد ظهور )𝐓(𝐇 , عدد مرات التجربة
فكرة الدرس : حساب االحتمال التجرييب
النتائج 𝐇𝐇 , 𝐓𝐇 , 𝐇𝐓 , 𝐓𝐓 ,
حساب االحتمال النظري املفردات : االحتمال التجرييب االحتمال النظري فضاء العينة
سبق ان درست حساب االحتمال التجرييب والنظري حيث حتديد االحتمال يف الفقرة) تعلم (عن طريق اجراء التجربة والنواتج هبذه الطريقة تسمى االحتماالت التجريبية . اما االحتماالت املبنية على حقائق وخصائص معروفة فتسمى االحتماالت النظرية . مثال :فضاء العينة لتجربة رمي قطعيت نقود هي : النسبة يف السؤال االول : })𝑻 𝜴 = {(𝑯, 𝑯), (𝑯, 𝑻), (𝑻, 𝑯), (𝑻, اذن عدد عناصر فضاء العينة يساوي 𝟒 من اجلدول عدد مرات ظهور احلدث 𝐓 𝐇 ,يساوي 𝟑 االحتمال نظري 𝟑 𝟒
= )𝑻 ⟹∴ 𝑷(𝑯,
عدد ظهور )𝐓(𝐇 , عدد عناصر فضاء العينة
= )𝑻 𝑷(𝑯,
النسبة يف السؤال الثاين : من اجلدول عدد مرات ظهور احلدث 𝐓 𝐇 ,يساوي 𝟑 𝟑 𝟑𝟏
عدد مرات التجربة يساوي 𝟑𝟏 280
= )𝑻 ⟹∴ 𝑷(𝑯,
عدد ظهور )𝐓(𝐇 , عدد مرات التجربة
= )𝑻 𝑷(𝑯,
االحتمال جترييب االحتماالت النظرية تزودنا بنتائج التجربة دون احلاجة اىل إجرائها (تعتمد على فضاء العينة للتجربة) االحتماالت التجريبية تزودنا بنتائج التجربة بتكرارها عدة مرات (تعتمد على تكرار التجربة) مثال :وجد باحث يف مصنع بطاريات السيارات ان احتمال كون البطارية غري صاحلة هو
𝟑 𝟎𝟐
انظري هذا
االحتمال ام جترييب ؟ واذا اراد املصنع احلصول على 𝟎𝟒𝟐 بطارية غري صاحلة .فكم بطارية كان على املصنع انتاجه ؟ احلل : هذا االحتمال جترييب ،النه يعتمد على ما حدث فعالً .استعمل التناسب حلل اجلزء الثاين من املثال كل 𝟑 بطاريات من اصل 𝟎𝟐 غري صاحلة اذن 𝟎𝟒𝟐 بطارية غري صاحلة من اصل 𝒙 بطارية ينتجها املصنع 𝟑 𝟎𝟒𝟐 𝟎𝟎𝟖𝟒 𝒙𝟑 = ⟹ 𝟎𝟎𝟖𝟒 = 𝒙𝟑 ⟹ = 𝟎𝟎𝟔𝟏 = 𝒙 ⟹ 𝟎𝟐 𝒙 𝟑 𝟑 ∴ جيب ان ينتج املصنع 𝟎𝟎𝟔𝟏 بطارية مثال :عند رمي حجري النرد مرة واحدة جد احتمال : 𝒊( احلدث :احلصول على اجملموع 𝟓 على وجهي احلجرين . 𝒊𝒊( احلدث :الرقم على وجه احلجر االول ضعف الرقم على وجه احلجر الثاين . احلل :هذا االحتمال نظري :الن احلجرين رميا مرة واحدة . عدد ارقام احلجر االول = 𝟔 ،عدد ارقام احلجر الثاين = 𝟔 اذن حسب قانون العد االساسي :عدد عناصر فضاء العينة تساوي 𝟔 × 𝟔 وتساوي 𝟔𝟑 )𝟔 (𝟏 , 𝟏), … . , (𝟏 , )𝟔 (𝟐 , 𝟏), … . , (𝟐 , {=𝛀 𝟔𝟑 = 𝒏 } .. )𝟔 (𝟔, 𝟏), … . , (𝟔 , 𝟒 = 𝒎 })𝟐 𝐄𝟏 = {(𝟏 , 𝟒), (𝟒, 𝟏), (𝟐, 𝟑), (𝟑, 𝟒 𝟏 = ) 𝟏𝐄(𝐏 = 𝟔𝟑 𝟗 𝟔𝟑 = 𝒏 𝐄𝟐 = {(𝟐 , 𝟏), (𝟒 , 𝟐), (𝟔, 𝟑)} 𝒎 = 𝟑 , 𝟑 𝟏 = ) 𝟏𝐄(𝐏 = 𝟔𝟑 𝟐𝟏
281
االحداث املتنافية احلدثان املتنافيان :مها حدثان الميكن ان يتحققا معا يف جتربة واحدة . مثالً :عند رمي حجر النرد مرة واحدة ،فان احلصول على عدد فردي و عدد زوجي معا مستحيل اذن مها حدثان متنافيان . حساب احتمال احلدثني املتنافيني : اذا كان 𝟐𝐄 𝐄𝟏 ,حدثني متنافيني فان احتمال وقوع 𝟏𝐄 أو وقوع 𝟐𝐄 يساوي جمموع احتمايل احلدثني أي ) 𝟐𝐄(𝐏 𝐏(𝐄𝟏 𝒐𝒓 𝐄𝟐 ) = 𝐏(𝐄𝟏 ) + مثال :عند رمي حجر النرد مرة واحدة ،جد احتمال احلصول على العدد 𝟑 او على عدد زوجي . احلل :مبا انه الميكن ان يظهر على وجه احلجر العدد 𝟑 يف الوقت نفسه مع عدد زوجي فان هذين احلدثني متنافيان . }𝟔 𝛀 = { 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝒎 𝟏 = = ) 𝟏𝐄(𝐏 𝒏 𝟔 𝒎 𝟑 = = ) 𝟐𝐄(𝐏 𝒏 𝟔
فضاء العينة احتمال احلصول على عدد 𝟑
احتمال احلصول على عدد زوجي 𝟐 𝟒 𝟑 𝟏 = = 𝐏(𝐄𝟏 𝒐𝒓 𝐄𝟐 ) = 𝐏(𝐄𝟏 ) + 𝐏(𝐄𝟐 ) = + 𝟑 𝟔 𝟔 𝟔 𝟐 اذن احتمال ظهور العدد 𝟑 او عدد زوجي يف رمي حجر النرد يساوي 𝟑
مثال :عند رمي حجري النرد مرة واحدة ،جد احتمال احلصول على عددين متساويني او جمموع عددين يساوي 𝟑 احلل :
})𝟔 𝐄𝟏 = {(𝟏, 𝟏) , (𝟐, 𝟐), … (𝟔 , 𝟔 𝟔𝟑
=
عدد ظهور 𝟏𝐄 فضاء العينة
= ) 𝟏𝐄(𝐏
})𝟏 𝐄𝟐 = {(𝟏, 𝟐) , (𝟐, 𝟐 𝟔𝟑
=
عدد ظهور 𝟐𝐄 فضاء العينة
= ) 𝟐𝐄(𝐏
𝟏𝐄 𝐄𝟐 ,حدثان متنافيان ال توجد عناصر مشتركة بينهما . 𝟔 𝟐 𝟖 𝟐 = ) 𝟐𝐄(𝐏 𝐏(𝐄𝟏 𝒐𝒓 𝐄𝟐 ) = 𝐏(𝐄𝟏 ) + + = = 𝟗 𝟔𝟑 𝟔𝟑 𝟔𝟑
282
تأكد من فهمك يف جتربة رمي حجري النرد مرة واحدة ،جد احتمال حدوث االحداث االتية : 𝟏( العددان على وجهي احلجرين متساويان . احلل :عدد عناصر فضاء العينة تساوي 𝟔 × 𝟔 وتساوي 𝟔𝟑 𝟔 = 𝒎 })𝟔 𝐄 = {(𝟏 , 𝟏), (𝟐, 𝟐), (𝟑, 𝟑), (𝟒, 𝟒) , (𝟓 , 𝟓), (𝟔 , 𝟔𝟑 = 𝒏 , 𝒎 𝟔 𝟏 = = = )𝐄(𝐏 𝟔
𝟐( العدد على وجه احلجر االول نصف العدد على وجه احلجر الثاين . احلل :عدد عناصر فضاء العينة تساوي 𝟔 × 𝟔 وتساوي 𝟔𝟑 𝟑=𝒎 𝟔𝟑 = 𝒏 ,
𝟔𝟑
})𝟔 𝐄 = {(𝟏 , 𝟐), (𝟐, 𝟒), (𝟑, 𝒎 𝟑 𝟏 = = = )𝐄(𝐏 𝟐𝟏
𝟑( جمموع العددين على وجهي احلجرين يساوي 𝟎𝟏 . احلل :عدد عناصر فضاء العينة تساوي 𝟔 × 𝟔 وتساوي 𝟔𝟑 𝟑=𝒎 𝟔𝟑 = 𝒏 ,
𝒏
𝒏
𝟔𝟑
})𝟓 𝐄 = {(𝟒, 𝟔), (𝟔, 𝟒), (𝟓, 𝒎 𝟑 𝟏 = = = )𝐄(𝐏 𝟐𝟏
𝟒( جمموع العددين على وجهي احلجرين اقل من 𝟓 .
𝒏
𝟔𝟑
احلل :عدد عناصر فضاء العينة تساوي 𝟔 × 𝟔 وتساوي 𝟔𝟑 𝟔 = 𝒎 })𝟐 𝐄 = {(𝟏, 𝟏), (𝟏 , 𝟐), (𝟐, 𝟏), (𝟑, 𝟏) , (𝟑, 𝟏) , (𝟐, 𝟔𝟑 = 𝒏 , 𝒎 𝟔 𝟏 = = = )𝐄(𝐏 𝟔
𝟓( أجتريبية االحتماالت السابقة ام نظرية ؟
𝒏
𝟔𝟑
احلل :االحتماالت السابقة نظرية لكون احلجران رميا مرة واحدة (ألهنا تعتمد على فضاء العينة) 𝟔( كيس فيه 𝟒 كرات محر ،كرة خضراء ،كم كرة زرقاء جيب ان تضاف اىل الكيس كي يكون احتمال سحب 𝟐
كرة محراء ؟ انظري االحتمال ام جترييب ؟ 𝟑
احلل :نضع كرة زرقاء واحدة فقط يف الكيس ليصبح عدد الكرات يف الكيس )𝟔( كرات . االحتمال جترييب ألن عملية السحب ستتكرر عدة مرات . 𝟕( وقف شخص يف احدى تقاطعات مدينة بغداد فأحصى 𝟓𝟐 سيارة شاهدها ،منها 𝟑𝟏 سيارة صفر اللون 𝟕، سيارات بيض اللون 𝟓 ،سيارات رصاصية اللون .قدر احتمال ان تكون السيارة التالية اليت جتتاز التقاطع صفراء اللون .وما نوع االحتمال انظري ام جترييب ؟ اكتب النسبة بشكل كسر عشري ونسبة مئوية . احلل :فضاء العينة = 𝟓 ، 𝟐𝟓 = 𝟏𝟑 + 𝟕 +احلدث 𝟑𝟏 سيارة صفراء 𝟑𝟏
أحتمال قدوم سيارة صفراء االحتمال جترييب 283
= 𝟎. 𝟓𝟐 = 𝟓𝟐%
𝟓𝟐 𝟐𝟓 𝟎𝟎𝟏
= =
𝒎
= )𝐄(𝐏
𝒏 𝟒×𝟑𝟏 𝟒×𝟓𝟐
=
𝟑𝟏 𝟓𝟐
𝟖( عند رمي حجري نرد ،جد احتمال حصول على عددين جمموعهما 𝟓 او جمموعهما 𝟏𝟏 .هل احلدثان متنافيان بني ذلك . احلل :عدد عناصر فضاء العينة تساوي 𝟔 × 𝟔 وتساوي 𝟔𝟑 𝟒=𝒎 𝟔𝟑 = 𝒏 ,
})𝟒 𝐄𝟏 = {(𝟐, 𝟑), (𝟑, 𝟐), (𝟒, 𝟏), (𝟏, 𝒎 𝟒 = = ) 𝟏𝐄(𝐏 𝒏 𝟔𝟑 𝟐 = 𝒎 })𝟓 𝐄𝟐 = {(𝟓, 𝟔), (𝟔, 𝟔𝟑 = 𝒏 , 𝒎 𝟐 = = ) 𝟐𝐄(𝐏 𝒏 𝟔𝟑 𝟒 𝟐 𝟔 𝟏 = ) 𝟐𝐄(𝐏 𝐏(𝐄𝟏 𝒐𝒓 𝐄𝟐 ) = 𝐏(𝐄𝟏 ) + + = = 𝟔 𝟔𝟑 𝟔𝟑 𝟔𝟑
تدرب وحل التمرينات يف جتربة رمي حجري النرد مرة واحدة ،جد احتمال حدوث االحداث االتية : 𝟗( جمموع العددين على وجهي احلجرين اكرب من 𝟖 .
واجب
𝟎𝟏( جمموع العددين على وجهي احلجرين يساوي 𝟐𝟏 .واجب 𝟏𝟏( اجريت دراسة على 𝟎𝟎𝟏 شخص ،فاجاب 𝟓𝟏 منهم اهنم يستعملون اليد اليسرى فاذا اجريت الدراسة على 𝟎𝟎𝟒 شخص ،فكم تتوقع عدد االشخاص الذين يستعملون اليد اليسرى ؟ احلل :نفرض عدد االشخاص الذين يستعملون لليد اليسرى = 𝒙 𝟓𝟏 𝒙 𝟎𝟎𝟎𝟔 𝒙𝟎𝟎𝟏 = ⟹ 𝟎𝟎𝟎𝟔 = 𝒙𝟎𝟎𝟏 ⟹ = 𝟎𝟔 = 𝒙 ⟹ 𝟎𝟎𝟒 𝟎𝟎𝟏 𝟎𝟎𝟏 𝟎𝟎𝟏 𝟐𝟏( جد احتمال سحب بطاقة حتمل عدداً فرديا او حتمل عدداً من مضاعفات العدد 𝟐 من بطاقات مرقمة من 𝟏اىل 𝟗 . احلل : }𝟗 𝛀 = { 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , فضاء العينة 𝟗 = 𝒏 𝟓 = 𝒎 }𝟗 𝐄𝟏 = {𝟏 , 𝟑 , 𝟓 , 𝟕 , 𝒎 𝟓 = = ) 𝟏𝐄(𝐏 احتمال سحب بطاقة حتمل عددا فرديا 𝒏 𝟗 }𝟖 𝐄𝟐 = {𝟐 , 𝟒 , 𝟔 , 𝟒=𝒎 𝒎 𝟒 = = ) 𝟐𝐄(𝐏 احتمال سحب بطاقة حتمل عددا زوجيا 𝒏 𝟗 𝟗 𝟒 𝟓 𝟏 = = 𝐏(𝐄𝟏 𝒐𝒓 𝐄𝟐 ) = 𝐏(𝐄𝟏 ) + 𝐏(𝐄𝟐 ) = + 𝟗 𝟗 𝟗
284
تدرب وحل التمرينات 𝟑𝟏( تسلية :بأي لون جيب تلوين الفراغ حبيث يكون احتمال ان يأيت املؤشر عند 𝟏
هذا اللون . 𝟒
احلل :تلوين الفراغ باللون االخضر . 𝟒𝟏( طوابع :يهوى مهند مجع الطوابع الربيدية ،فمن بني 𝟎𝟔 طابعا مجع 𝟓𝟐 طابعا للدول العربية 𝟏𝟓 ،طابعا لدول افريقية و 𝟎𝟐 طابعا لدول اوربية .قدر احتمال ان يكون الطابع الذي سيجمعه أوربيا . احلل :عدد الطوابع للدول االوربية 𝟎𝟐 = 𝒎 𝟏 𝟎𝟐 𝒎 = = )𝐄(𝐏 = 𝟑 𝟎𝟔 𝒏 𝟓𝟏( رياضية :يف التدريب على كرة السلة ،اصاب العب السلة 𝟓𝟏 كرة من 𝟓𝟐 رمية ،ما االحتمال التجرييب الن يصيب العب السلة يف الرمية التالية ؟ اكتب اجلواب على صورة كسر و عدد عشري و نسبة مئوية . احلل :فضاء العينة (عدد الرميات) 𝟓𝟐 = 𝒏 عدد الرميات اليت فيها اصابة 𝟓𝟏 = 𝒎
𝟑 𝟓𝟏 𝒎 = = = 𝟎. 𝟔 = 𝟔𝟎% 𝟓 𝟓𝟐 𝒏 𝟔𝟏( دراسة :احصى رجل يف عائلته 𝟑 افراد عيوهنم زرق من كل 𝟐𝟐 فرداً ،اذا رزق الرجل مبولود جديد ،ما = )𝐄(𝐏
احتمال ان تكون عيناه ليست زرقاء ؟ ،االفراد الذين ليسوا عيوهنم زرق 𝟗𝟏 = 𝟑 𝒎 = 𝟐𝟐 − 𝟗𝟏 𝒎 = = )𝐄(𝐏 𝟐𝟐 𝒏
احلل :فضاء العينة 𝟐𝟐 = 𝒏
فكر 𝟕𝟏( حتدًّ :قرص ذو مؤشر ،مقسم اىل ثالثة اجزاء على الشكل اجملاور :نصف القرص اخضر ثلثه امحر وسدسه ازرق .ما احتمال ان يدل مؤشر القرص على األخضر او األمحر بعد اطالقه ؟ احلل : القرص امحر
𝟏 𝟑
= ) 𝟐𝐄(𝐏 ,القرص اخضر
𝟏 𝟐
= ) 𝟏𝐄(𝐏
) 𝟐𝐄(𝐏 𝐏(𝐄𝟏 𝒐𝒓 𝐄𝟐 ) = 𝐏(𝐄𝟏 ) + 𝟓 𝟐𝟏 𝟏 𝟑+ = 𝐏(𝐄𝟏 𝒐𝒓 𝐄𝟐 ) = + = 𝟑 𝟐 𝟔 𝟔 285
𝟕𝟏( أكتشف اخلطأ :يريد كل من سارة و مهند حتديد احتمال اختيار كرة زرقاء او محراء عشوائيا من كيس حيتوي على 𝟓 كرات زرق 𝟒 ،كرات محر 𝟔 ،كرات صفر ايهما كانت اجابته صحيحة ؟ فسر اجابتك . احلل :اجابة سارة هي اإلجابة الصحيحة ألن االختيار أما كرة زرقاء أو كرة محراء فأن االحتمال النهائي يكون جكع وليس ضرب . أكتب :توضيحا ملا ميثله كل عدد يف الكسر نظري او جترييب .
𝟐 𝟗
الذي ميثل احتمال وقوع حدث
احلل 𝟐 :ميثل عدد االحتماالت (احلدث) 𝟗 متثل فضاء العينة
االحداث املركبة تشري تقارير شركة اخلطوط اجلوية العراقية اىل وصول طائراهتا يف موعدها احملدد بنسبة
𝟗𝟏 𝟎𝟐
،كما تشريالنسبة 𝟐٪اىل فقدان االمتعة من
احلاالت فما احتمال وصول طائرة يف موعدها مع فقدان االمتعة ؟ فكرة الدرس : حساب احتمال االحداث املستقلة حساب احتمال االحداث املترابطة املفردات : االحداث املستقلة االحداث املترابطة
االحداث املستقلة سبق وان تعلمت مفهوم االحداث املستقلة (نتيجة احدمها ال تؤثر يف نتيجة اآلخر) يف هذا الدرس سوف نتعلم حساب احتمال احلوادث املستقلة ،اذا كان 𝟏𝐄 𝐄𝟐 ,حدثني مستقلني فان احتمال وقوعهما معا يساوي حاصل ضرب احتمال 𝟏𝐄 يف احتمال احلدث 𝟐𝐄 . اي :
) 𝟐𝐄(𝐏 × ) 𝟏𝐄(𝐏 = ) 𝟐𝐄 𝐝𝐧𝐚 𝟏𝐄(𝐏
مثال :يف فقرة تعلم : 𝟗𝟏
ان احتمال وصول الطائرة يف موعدها هو
𝟎𝟐 𝟏
ان احتمال فقدان االمتعة هو
𝟎𝟓
= ) 𝟏𝐄(𝐏 = ) 𝟐𝐄(𝐏
ان وصول الطائرة يف موعدها اليؤثر يف فقدان االمتعة ،هذا يعين ان احلدثني مستقالن ) 𝟐𝐄(𝐏 × ) 𝟏𝐄(𝐏 = ) 𝟐𝐄 𝐝𝐧𝐚 𝟏𝐄(𝐏 286
𝟏 𝟗𝟏 𝟗𝟏 × = = 𝟎. 𝟎𝟏𝟗 = 𝟏. 𝟗% 𝟎𝟓 𝟎𝟐 𝟎𝟎𝟎𝟏 مثال :كيس حيتوي على 𝟑 كرات محر 𝟒 ،كرات خضر 𝟓 ،كرات زرق ،سحبت منه كرة عشوائيا مث اعيدت = ) 𝟐𝐄 𝐝𝐧𝐚 𝟏𝐄(𝐏
وسحبت كرة ثانية .جد احتمال سحب كرة محراء مث كرة خضراء . احلل 𝐑 :كرات محراء
𝐆 ،كرات خضر
عدد الكرات الكلي = 𝟑 𝟏𝟐 = 𝟓 + 𝟒 + 1
=
𝟏
=
4 𝟑 𝟏
𝟏
𝟐𝟏
𝟑
𝟑 𝟐𝟏 𝟒 𝟐𝟏
= =
𝟏
عدد الكرات احلمراء العدد الكلي للكرات عدد الكرات اخلضراء العدد الكلي للكرات
= )𝐑(𝐏 = )𝑮(𝐏
= × = )𝐆(𝐏 × )𝐑(𝐏 = ) 𝐆 𝐝𝐧𝐚 𝐑(𝐏
احتمال االحداث املستقلة (الن الكرة االوىل اعيدت اىل الكيس)
𝟒
اذن احتمال سحب كرة محراء مث كرة خضراء مع اعادة الكرة احلمراء يساوي
𝟏 𝟐𝟏
مثال :اذا اختريت احدى البطاقات املرقمة وتدوير مؤشر القرص الدواركما مبني يف الشكل اجملاور .ما احتمال ان يكون الناتج عدداً زوجيا واللون ازرق ؟ احلل :نفرض أن ) 𝟏𝐄(𝐏 أحتمال العدد زوجي
𝟏 𝟐 = 𝟐 𝟒 نفرض أن ) 𝟐𝐄(𝐏 أحتمال وقوف املؤشر على اللون االزرق
= ) 𝟏𝐄(𝐏
𝟏 𝟏
𝟏
𝟏
𝟖
𝟒
𝟐
𝟒
= ) 𝟐𝐄(𝐏
= × = ) 𝟐𝐄(𝐏 × ) 𝟏𝐄(𝐏 = ) 𝟐𝐄 𝐝𝐧𝐚 𝟏𝐄(𝐏
احتمال عدد زوجي ولون أزرق
𝐏(𝐄𝟏 𝐚𝐧𝐝 𝐄𝟐 ) = 𝟏𝟐. 𝟖% ***********************
االحداث املترابطة االحداث املترابطة (نتيجة احدمها تؤثر يف نتيجة اآلخر) اذا كان 𝟐𝑬 و 𝟏𝑬 حدثني مترابطني فان احتمال وقوعهما معا هو حاصل ضرب احتمال احلدث االول 𝟏𝑬 يف ضرب (احتمال احلدث 𝟐𝑬 بعد حصول احلدث 𝟏𝑬) ،اي : ) 𝟏𝐄 𝒓𝒆𝒕𝒇𝒂 𝟐𝐄(𝐏 × ) 𝟏𝐄(𝐏 = ) 𝟐𝐄 𝐝𝐧𝐚 𝟏𝐄(𝐏 مثال :كيس حيتوي على 𝟑 كرات محر 𝟒 ،كرات خضر 𝟓 ،كرات زرق ،سحبت منه كرة عشوائيا وسحبت كرة ثانية ومل نعيد الكرة احلمراء اىل الكيس .ما احتمال سحب كرة محراء مث كرة خضراء ؟ احلل 𝐑 :كرات محراء
𝐆 ،كرات خضر
عدد الكرات الكلي = 𝟑 𝟏𝟐 = 𝟓 + 𝟒 + 287
1 4 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏𝟏
=
𝟒 𝟒𝟒
=
𝟒
𝟏
𝟏𝟏
𝟒
=
𝟒 𝟏𝟏
=
=
𝟑 𝟐𝟏
=
عدد الكرات احلمراء العدد الكلي للكرات
عدد الكرات اخلضراء العدد الكلي للكرات
= )𝐑(𝐏
= )𝐑 𝒓𝒆𝒕𝒇𝒂 𝐆(𝐏
× = )𝐑 𝒓𝒆𝒕𝒇𝒂 𝐆(𝐏 × )𝐑(𝐏 = ) 𝐆 𝐝𝐧𝐚 𝐑(𝐏
اذن احتمال سحب كرة محراء مث خضراء دون اعادة الكرة احلمراء يساوي
𝟏 𝟏𝟏
مثال :كيس حيتوي على 𝟑 كرات محر 𝟒 ،كرات خضر 𝟓 ،كرات زرق ،سحبت منه كرة عشوائيا وسحبت كرة صندوق فيه 𝟓 كرات محر 𝟑 ،زرق 𝟖 ،صفر ،سحبت كرة من الصندوق دون اعادهتا مث سحبت ثانيةً ،جد (صفراء مث محر)𝐏 . احلل :عدد الكرات الكلي = 𝟓 𝟏𝟔 = 𝟖 + 𝟑 + افرض )𝐘(𝐏 سحب صفر ،
𝟏 𝟐
=
𝟖 𝟔𝟏
= )𝐘(𝐏
عدم اعادة الكرة الصفراء ،اصبح يف الصندوق 𝟓 كرات محراء 𝟑 ،زرقاء 𝟕 ،صفراء ،اي جمموعهما 𝟓𝟏 كرة. سحبت كرة محراء من الصندوق . 𝟏 𝟏
𝟏
𝟏
𝟔
𝟑
𝟐
𝟑
=
𝟓 𝟓𝟏
= )𝐘 𝒓𝒆𝒕𝒇𝒂 𝐑(𝐏
= × = )𝐘 𝒓𝒆𝒕𝒇𝒂 𝐑(𝐏 × )𝐘(𝐏 = ) 𝐑 𝐝𝐧𝐚 𝐘(𝐏
اذن احتمال سحب كرة صفراء مث كرة محراء دون اعادة الكرة الصفراء هو
𝟏 𝟔
تأكد من فهمك 𝟏( صندوق فيه 𝟑 كرات محراء 𝟑 ،كرات خضر ،ما احتمال سحب كرتني خضر من دون اعادة الكرة االوىل ؟ احلل : العدد الكلي للكرات = 𝟑 𝟔 = 𝟑 + 𝟏
𝟑
𝟐
𝟔
= =
عدد الكرات اخلضراء العدد الكلي للكرات
= )𝐆(𝐏
عدم اعادة الكرة اخلضراء أصبح عدد الكرات يف الصندوق 𝟑 محراء 𝟐 ،خضراء اي ان جمموعهما = 𝟓 𝟐
احلدثان مترابطان
𝟏 𝟓
=
=
عدد الكرات اخلضراء املتبقية
𝟐
𝟓 𝟐
𝟏
𝟎𝟏
𝟓
𝟐
العدد اجلديد للكرات
= × = )𝐆(𝐏 × )𝐆(𝐏 = ) 𝐆 𝐝𝐧𝐚 𝐆(𝐏
𝟐( اطلق مؤشر يف القرصني املقابلني مرة واحدة ،ما احتمال ان يأيت مؤشر االول على اللون األمحر ومؤشر الثاين على العدد 𝟓 ؟ احلل :العدد الكلي لالرقام = 𝟖
288
= )𝐆 𝐫𝐞𝐭𝐟𝐚 𝐆(𝐏
𝟏 𝟒 القرص األول = 𝟐 𝟖
إحتمال أن يأيت املؤشر على اللون االمحر
=
العدد الكلي لأللوان
𝟏 𝟖
القرص الثاين حدثان مستقالن
=
إحتمال أن يأيت املؤشر على العدد 𝟓 العدد الكلي لالرقام
𝟏
𝟏
𝟏
𝟔𝟏
𝟖
𝟐
= ) 𝟏𝐄(𝐏 = ) 𝟐𝐄(𝐏
= × = ) 𝟐𝐄(𝐏 × ) 𝟏𝐄(𝐏 = ) 𝟐𝐄 𝐝𝐧𝐚 𝟏𝐄(𝐏
𝟑( رمي قطعيت نقود مرة واحدة ،ما احتمال ظهور صورة على القطعة االوىل ،وكتابة على القطعة الثانية . احلل :العدد الكلي لظهور الصورة = 𝟐 𝟏 القطعة األوىل 𝟐
=
𝟏 القطعة الثانية 𝟐
=
حدثان مستقالن
إحتمال ظهور صورة على القطعة األوىل العدد الكلي إحتمال ظهور كتابة على القطعة الثانية العدد الكلي
𝟏
𝟏
𝟏
𝟒
𝟐
𝟐
= ) 𝟏𝐄(𝐏 = ) 𝟐𝐄(𝐏
= × = ) 𝟐𝐄(𝐏 × ) 𝟏𝐄(𝐏 = ) 𝟐𝐄 𝐝𝐧𝐚 𝟏𝐄(𝐏
تدرب وحل التمرينات 𝟒( صندوق فيه 𝟓 بطاقات محر 𝟒 ،بطاقات سود 𝟔 ،بطاقات خضر . سحبت بطاقة دون اعادهتا للصندوق وسحبت بطاقة ثانية ،ما احتمال ان تكون البطاقة االوىل محراء والثانية سوداء ؟ احلل :العدد الكلي للبطاقات = 𝟓 𝟏𝟓 = 𝟔 + 𝟒 + 𝟏 𝟑
=
𝟓 𝟓𝟏
=
عدد البطاقات احلمراء العدد الكلي للبطاقات
= )𝐑(𝐏
عدم اعادة البطاقة احلمراء اىل الصندوق أصبح عدد البطاقات 𝟒 محراء 𝟒 ،سوداء 𝟔 ،خضراء اي ان جمموعهما = 𝟒𝟏 𝟐 𝟕
احلدثان مترابطان
𝟐
𝟐
𝟏
𝟏𝟐
𝟕
𝟑
=
𝟒 𝟒𝟏
=
عدد البطاقات السوداء العدد الكلي للبطاقات
= )𝐑 𝐫𝐞𝐭𝐟𝐚 𝐁(𝐏
= × = )𝐑 𝐫𝐞𝐭𝐟𝐚 𝐁(𝐏 × )𝐑(𝐏 = ) 𝐑 𝐝𝐧𝐚 𝐁(𝐏
𝟓( اطلق مؤشر يف القرصني اجملاورين مرة واحدة ،ما احتمال ان يأيت مؤشر االول على اللون األخضر ومؤشر الثاين على العدد 𝟑 ؟ واجب
289
𝟔( رمي حجري النرد مرة واحدة ،ما احتمال ظهور عدد يقبل القسمة على 𝟑 على احلجر االول ،وعدد يقبل القسمة على 𝟓 على احلجر الثاين ؟ احلل :فضاء العينة للحجر األول = 𝟔 }𝟔 𝛀 = {𝟏 , 𝟐, … , االعداد اليت تقبل القسمة على 𝟑 هي 𝟐 = 𝒎 {𝟑 , 𝟔} ,
𝒎 𝟏 𝟐 = = 𝒏 𝟑 𝟔
فضاء العينة للحجر الثاين = 𝟔
= ) 𝟏𝐄(𝐏
}𝟔 𝛀 = {𝟏 , 𝟐, … , االعداد اليت تقبل القسمة على 𝟓 هي 𝟏 = 𝒎 {𝟓} ,
𝟏 𝒎 = 𝒏 𝟔 𝟏 𝟏 = × = ) 𝟐𝐄(𝐏 × ) 𝟏𝐄(𝐏 = ) 𝟐𝐄 𝐝𝐧𝐚 𝟏𝐄(𝐏 = ) 𝟐𝐄(𝐏
𝟏
حدثان مستقالن
𝟖𝟏
𝟑
𝟔
تدرب وحل مسائل حياتية 𝟕( حلوى :حتتوي علبة على 𝟎𝟏 قطع حلوى بطعم الفراولة 𝟏𝟓 ،قطعة بطعم الشكوالته 𝟓 ،قطع بطعم الليمون .ما احتمال اختيار قطعتني عشوائيا الواحدة تلو االخرى دون ارجاع على ان تكون االوىل بطعم الشوكالته والثانية بطعم الليمون ؟ احلل :جمموع قطع احللوى = 𝟓 𝟑𝟎 = 𝟏𝟎 + 𝟏𝟓 + نفرض احتمال اختيار القطعة األوىل بطعم الشوكوالتة ) 𝟏𝐄(𝐏 𝟏 𝟓𝟏 = 𝟐 𝟎𝟑
=
عدد قطع احللوى بطعم الشوكوالتة جمموع قطع احللوى
= ) 𝟏𝐄(𝐏
عدم ارجاع قطع الشوكوالتة أصبحت العلبة حتتوي 𝟎𝟏 قطع حلوى بطعم الفراولة 𝟒𝟏 قطعة بطعم الشوكوالتة 𝟓 ،قطع بطعم الليمون اي جمموع القطع اجلديد = 𝟗𝟐 نفرض احتمال اختيار القطعة الثانية بطعم الليمون ) 𝟐𝐄(𝐏 𝟓 𝟗𝟐 احلدثان مترابطان
𝟓 𝟖𝟓
=
=
𝟓
𝟏
𝟗𝟐
𝟐
عدد قطع احللوى بطعم الليمون جمموع قطع اجلديد
= ) 𝟏𝐄 𝐫𝐞𝐭𝐟𝐚 𝟐𝐄(𝐏
× = ) 𝟏𝐄 𝐫𝐞𝐭𝐟𝐚 𝟐𝐄(𝐏 × ) 𝟏𝐄(𝐏 = ) 𝟐𝐄 𝐝𝐧𝐚 𝟏𝐄(𝐏
𝟖( كتب :اختارت سها كتابا من رف يف غرفتها واعادته مث اختارت كتابا آخر ،ما احتمال ان يكون اختيار الكتاب من كتب الرياضيات؟ علما ان الرف حيتوي على 𝟓 كتب رياضيات 𝟐 ،كتاب لغة انكليزية 𝟑 ،كتب علوم . احلل :جمموع الكتب = 𝟑 𝟏𝟎 = 𝟓 + 𝟐 + 290
إحتمال إختيار كتاب الرياضيات األول
حدثان مستقالن
𝟏
𝟏
𝟒
𝟐
𝟐
𝟏
=
𝟐
إحتمال إختيار كتاب الرياضيات الثاين 𝟏
𝟏
=
𝟐
𝟓 𝟎𝟏 𝟓 𝟎𝟏
عدد كتب الرياضيات
=
جمموع الكتب عدد كتب الرياضيات
=
جمموع الكتب
= ) 𝟏𝐄(𝐏 = ) 𝟐𝐄(𝐏
= × = ) 𝟐𝐄(𝐏 × ) 𝟏𝐄(𝐏 = ) 𝟐𝐄 𝐝𝐧𝐚 𝟏𝐄(𝐏
فكر 𝟗( أكتشف اخلطأ :يريد كل من مجانة واختها سايل حتديد احتمال اختيار كرة محراء واخرى صفراء عشوائيا من كيس حيتوي 𝟒 كرات محراء 𝟓 ،كرات صفراء دون ارجاع الكرة بعد السحب . سايل
مجانة (محراء وصفراء) 𝐏
(محراء وصفراء) 𝐏
(صفراء) 𝐏 ×(محراء) 𝐏
(صفراء) 𝐏 ×(محراء) 𝐏
𝟓 𝟗
×
ايهما كان حلها صحيحا ؟
𝟒
𝟓
𝟗
𝟖
×
𝟒 𝟗
احلل :العدد الكلي للكرات = 𝟓 𝟗 = 𝟒 + 𝟒
إحتمال إختيار كرة محراء
𝟗
=
عدد الكرات احلمراء عدد الكرات الكلي
= )𝐑(𝐏
عدم اعادة الكرة احلمراء أصبح 𝟑 كرات محراء 𝟓 ،كرات صفراء فإن جمموع الكرات اجلديد = 𝟖 إحتمال إختيار كرة صفراء احلدثان مترابطان احلل الصحيح هو حل سايل
𝟓 𝟖𝟏
=
𝟎𝟐
𝟓
𝟒
𝟐𝟕
𝟖
𝟗
𝟓 𝟖
=
عدد الكرات الصفراء عدد الكرات الكلي
= )𝐑 𝐫𝐞𝐭𝐟𝐚 𝐘(𝐏
= × = )𝐑 𝐫𝐞𝐭𝐟𝐚 𝐘(𝐏 × )𝐑(𝐏 = )𝐘 𝐝𝐧𝐚 𝐑(𝐏
𝟎𝟏( حتدًّ :عند رمي حجر النرد وقطعة نقود ،ما احتمال ظهور رقم اكرب من 𝟐 واصغر من 𝟔 على حجر النرد والكتابة على قطعة النقود ؟ احلل :فضاء العينة حلجر النرد ∶ 𝟔 = 𝒏 }𝟔 𝛀 = {𝟏 , 𝟐, … , احتمال ظهور رقم أكرب من 𝟐 وأصغر من 𝟔 هو 𝟐 = 𝒎 {𝟑 , 𝟒 , 𝟓} , فضاء العينة لقطعة النقود 𝒏 = 𝟐 :
𝒎 𝟏 𝟑 = = 𝒏 𝟐 𝟔
= ) 𝟏𝐄(𝐏
}𝐓 𝛀 = {𝐇 , احتمال ظهور كتابة هي 𝟏 = 𝒎 {𝐇} ,
𝟏 𝒎 = 𝒏 𝟐 291
= ) 𝟐𝐄(𝐏
حدثان مستقالن
𝟏
𝟏
𝟏
𝟒
𝟐
𝟐
= × = ) 𝟐𝐄(𝐏 × ) 𝟏𝐄(𝐏 = ) 𝟐𝐄 𝐝𝐧𝐚 𝟏𝐄(𝐏
𝟏𝟏( مسألة مفتوحة𝟏𝟎 :بطاقات بثالثة اشكال خمتلفة ،اكتب مسألة تتعلق بسحب بطاقتني عشوائيا دون ارجاعهما على ان يكون االحتمال
𝟏 𝟓𝟏
.
احلل :صندوق فيه 𝟓 بطاقات صفراء 𝟑 ,بطاقات خضراء 𝟐 ,بطاقة محراء سحبت بطاقة دون اعادهتا للصندوق وسحبت بطاقة ثانية .ما احتمال ان تكون البطاقة األوىل محراء والثانية خضراء .واجب أكتب :مثاالً على حدثني مستقلني ومثاالً آخر على حدثني مترابطني . مثال :تريد مجانة اختيار 𝟑 اقداح من 𝟓 اقداح حتتوي على عصري الفواكه :تفاح ،ليمون ،عنب ،موز ،اناناس . بكم طريقة ميكنها االختيار ؟ احلل :
!𝒏 !𝒓 !)𝒓 (𝒏 −
= 𝒓𝒏𝑪
!𝟓 𝟎𝟐 𝟒 × 𝟓 !𝟑 × 𝟒 × 𝟓 = = = 𝟎𝟏 = !𝟑 !)𝟑 (𝟓 − )!𝟑( !𝟐 𝟐 𝟏×𝟐
= 𝟑𝟓𝑪
ميكن اختيار 𝟎𝟏 طرائق مثال :يراد تكوين عدد من اربع مراتب من جمموعة االرقام 𝟓 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒,دون تكرار الرقم يف العدد ؟ احلل :
!𝒏 !)𝒓 (𝒏 − !𝟓 𝟏×𝟐×𝟑×𝟒×𝟓 = 𝟎𝟐𝟏 = 𝟏 × 𝟐 × 𝟑 × 𝟒 × 𝟓 = ! )𝟒 ( 𝟓 − !𝟏
= 𝒓𝒏𝑷 = 𝟒𝟓𝑷
مثال :كيس حيتوي على 𝟓 كرات زرق 𝟖 ،كرات خضر 𝟕 ،كرات صفر . جد : 𝒊( ما نوع االحتمال نظري ام جترييب؟ 𝒊𝒊( جد احتمال سحب كرة زرقاء واحدة احلل : 𝒊( االحتمال نظري 𝒊𝒊( عدد الكرات = 𝟓 𝟐𝟎 = 𝟕 + 𝟖 + 𝟓 𝟏 = 𝟒 𝟎𝟐
292
=
عدد الكرات الزرقاء عدد الكرات الكلي
= )𝐄(𝐏
تدريب𝟏 :تريد سايل ترتيب 𝟒 كتب يف خزانتها اليت حتتوي على 𝟔 رفوف ،شرط اال تضع اكثر من كتاب واحد على كل رف .كم خياراً لديها؟ احلل :الترتيب غري مهم فهي حتل بالتوافيق 𝟔=𝒏 𝒓=𝟒 ,
𝟑×𝟒×𝟓×𝟔 𝟓𝟏 = 𝟎𝟏 = 𝟓 × 𝟑 = 𝟏×𝟐×𝟑×𝟒
= 𝟔𝟒𝐂
إختبار الفصل 𝟏( وزع استبيان على 𝟎𝟑 طالب من بني 𝟎𝟎𝟏 طالب ،اجب عما يأيت : 𝒊( حدد العينة واجملتمع الذي اختري منه . 𝒊𝒊( صف اسلوب توزيع االستبيان . 𝒊𝒊𝒊( حدد ما اذا كانت العينة متحيزة ام ال . احلل : 𝒊(العينة :توزيع االستبيان عل 𝟎𝟑 طالب من بني 𝟎𝟎𝟏 طالب . اجملتمع 𝟏𝟎𝟎 :طالب . 𝒊𝒊( اسلوب توزيع االستبيان :هي دراسة مسحية اذ تؤخذ االجابات من افراد العينة املختارة. 𝒊𝒊𝒊(العينة غري متحر ية :ألن هذه العينة تتكون من طالب اختريوا عشوائيا. 𝟐( كيف متيز بني الرسوم البيانية املضللة والرسوم البيانية غري املضللة ؟ احلل )1 :الرسم البياين املظلل ال يبدأ من الصفر بينما الرسم البياين غري املظلل يبدأ من الصفر . )2عدم تساوي الفترات يف الرسم البياين املظلل بينما تساوي الفترات يف الرسم البياين غري املظلل . 𝟑( جد ناتج ما يأيت : 𝟏 = 𝟎𝟓𝑪 )𝒊 𝟏 = 𝟎𝟓𝑷 )𝒊𝒊 𝟎𝟏𝑪 )𝒊𝒊𝒊 𝟏 = 𝟎𝟏 واجب
𝟎𝟏𝑷 )𝒗𝒊 !𝟎𝟏 = 𝟎𝟏
𝟑×𝟒×𝟓×𝟔×𝟕 𝟏𝟐 = 𝟑 × 𝟕 = 𝟏×𝟐×𝟑×𝟒×𝟓
= 𝟓𝟕𝑷 )𝒗 𝟓𝟕𝑷 )𝒊𝒗
!𝒏 !𝟕 !𝟐 × 𝟑 × 𝟒 × 𝟓 × 𝟔 × 𝟕 = 𝟓𝟕𝑷 ⟹ = !)𝒓 (𝒏 − !)𝟓 (𝟕 − !𝟐 𝟎𝟐𝟓𝟐 = 𝟑 × 𝟒 × 𝟓 × 𝟔 × 𝟕 = 𝟓𝟕𝑷 293
= 𝒓𝒏𝑷
𝟒( بكم طريقة ميكن اختبار جلنة مكونة من 𝟑 طالب من بني 𝟖 طالب ؟ احلل :الترتيب غري مهم لذا حيل التوافيق 𝟖=𝒏 𝒓=𝟑 ,
𝟔×𝟕×𝟖 𝟔𝟓 = 𝟕 × 𝟖 = 𝟏×𝟐×𝟑
= 𝟖𝟑𝐂
𝟓( رمي حجر النرد 𝟓𝟐 مرة وكانت النتائج كما موضح يف اجلدول التايل : 𝟔 𝟓 𝟒 𝟑 𝟐 𝟏 النتيجة عدد املرات 𝒊( نوع االحتمال؟
𝟔
𝟐
𝟑
𝟓
𝟐
𝟕
𝒊𝒊( جد احتمال ظهور العدد 𝟒 .
احلل (𝒊 :االحتمال جترييب . 𝒊𝒊( عدد املرات = 𝟓𝟐 𝟓 𝟏 = 𝟓 𝟓𝟐
=
عدد مرات ظهور 𝟒 عدد املرات
= )𝐄(𝐏
𝟔( يف جتربة رمي حجر النرد مرة واحدة ،جد: 𝒊( نوع االحتمال نظري ام جترييب . 𝒊𝒊( احتمال احلصول على عدد يقبل القسمة على 𝟒 . احلل : 𝒊( االحتمال نظري 𝒊𝒊( فضاء العينة حلجر النرد ∶ 𝟔 = 𝒏 }𝟔 𝛀 = {𝟏 , 𝟐, … , احتمال ظهور العدد 𝟒 هو
𝟏 = 𝒎 {𝟒} ,
𝒎 𝟏 = 𝒏 𝟔 𝟕( وقف مهند يف احدى تقاطعات مدينة بغداد ،واحصى انواع السيارات عند التقاطع ،من بني 𝟎𝟐 سيارة شاهدها، = )𝐄(𝐏
احصى 𝟎𝟏 سيارات صالون 𝟕 ،سيارات نقل صغرية لنقل الركاب 𝟑 ،سيارات محل .قدر احتمال ان تكون السيارة التالية اليت جتتاز التقاطع سيارة صالون . احلل :العدد الكلي للسيارات = 𝟎𝟏 𝟐𝟎 = 𝟑 + 𝟕 + 𝟏 𝟎𝟏 = 𝟐 𝟎𝟐
294
=
عدد سيارات الصالون عدد السيارات الكلي
= )𝐄(𝐏