Guia didatico calculos financeiros by Rafael Abad

UNIVERSIDADE PARANAENSE MANTENEDORA Associação Paranaense de Ensino e Cultura – APEC REITOR Carlos Eduardo Garcia Vice-Reitora Executiva Neiva Pavan Machado Garcia Vice-Reitor Chanceler Candido Garcia

Diretorias Executivas de Gestão Administrativa

Diretorias Executivas de Gestão Acadêmica

Diretor Executivo de Gestão dos Assuntos Comunitários Cássio Eugênio Garcia

Diretora Executiva de Gestão do Ensino Superior Maria Regina Celi de Oliveira

Diretora Executiva de Gestão da Cultura e da Divulgação Institucional Cláudia Elaine Garcia Custódio

Diretor Executivo de Gestão da Pesquisa e da Pós-Graduação Evellyn Cláudia Wietzikoski

Diretora Executiva de Gestão e Auditoria de Bens Materiais Permanentes e de Consumo Rosilamar de Paula Garcia

Diretor Executivo de Gestão da Extensão Universitária Adriano Augusto Martins Diretor Executivo de Gestão da Dinâmica Universitária José de Oliveira Filho

Diretor Executivo de Gestão dos Recursos Financeiros Rui de Souza Martins Diretora Executiva de Gestão do Planejamento Acadêmico Sônia Regina da Costa Oliveira Diretor Executivo de Gestão das Relações Trabalhistas Jânio Tramontin Paganini Diretor Executivo de Gestão dos Assuntos Jurídicos Lino Massayuki Ito

Diretorias dos Institutos Superiores das Ciências

Diretorias das Unidades Universitárias

Diretora do Instituto Superior de Ciências Exatas, Agrárias, Tecnológicas e Geociências Giani Andréa Linde Colauto

Diretor da Unidade de Umuarama – Sede Nílvio Ourives dos Santos

Diretora do Núcleo dos Institutos Superiores de Ciências Humanas, Linguística, Letras e Artes, Ciências Sociais Aplicadas e Educação Fernanda Garcia Velásquez Diretora do Instituto Superior de Ciências Biológicas, Médicas e da Saúde Irinéia Paulina Baretta

Diretor da Unidade de Toledo Roberto Ferreira Niero Diretora da Unidade de Guaíra Sandra Regina de Souza Takahashi Diretora da Unidade de Paranavaí Edwirge Vieira Franco Diretor da Unidade de Cianorte José Aparecido de Souza Diretor da Unidade de Cascavel Gelson Luiz Uecker Diretor da Unidade de Francisco Beltrão Claudemir José de Souza

SEMEAD – SECRETARIA ESPECIAL MULTICAMPI DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Secretário Executivo Carlos Eduardo Garcia Coordenação Geral de EAD Ana Cristina de Oliveira Cirino Codato Coordenador do Núcleo de Cursos Superiores nas Áreas de Educação, Linguística, Letras e Artes e Ciências Humanas Heiji Tanaka Coordenador do Núcleo de Cursos Superiores da Área de Ciências Sociais Aplicadas Evandro Mendes Aguiar

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca da UNIPAR

Revisão de Normas Bibliográficas Inês Gemelli Diagramação e Capa Sandro Luciano Pavan * Material de uso exclusivo da Universidade Paranaense – UNIPAR com todos os direitos da edição a ela reservados.

SUMÁRIO CÁLCULOS FINANCEIROS Apresentação....................................................................................................................... 7 Introdução............................................................................................................................11

UNIDADE I: MATEMÁTICA ELEMENTAR................................................... 13 Objetivos da Unidade ...................................................................................................... 13 Operações Matemáticas e Ordem de Resolução.................................................. 14 Operações com Sinais .................................................................................................... 16 Operações de Soma e Subtração ................................................................................ 18 Multiplicação de Frações............................................................................................... 20 Divisão de Frações ........................................................................................................... 20 Outra Particularidade de Frações ............................................................................. 21 Razão e Proporção ........................................................................................................... 21 Regra de Três Simples e Composta........................................................................... 25 Potenciação ......................................................................................................................... 32 Potência com Expoente Negativo .............................................................................. 35 Radiciação............................................................................................................................ 35 Atividades ............................................................................................................................ 40

UNIDADE II: MATEMÁTICA ELEMENTAR, FLUXO DE CAIXA E JUROS SIMPLES ............................................................................................................ 43 Objetivos da Unidade ...................................................................................................... 43 Porcentagem....................................................................................................................... 47 Fator de Aumento Sucessivo ....................................................................................... 49 Fator de Desconto Sucessivo ....................................................................................... 51 Aumento e Desconto Sucessivo .................................................................................. 51 Uso da Hp12c ..................................................................................................................... 52 Iniciando Seu Uso ............................................................................................................. 53 Tabela de Erros da Hp12c............................................................................................. 54

Cálculos Aritméticos ....................................................................................................... 54 Armazenamento e Recuperação de Memória Numérica ................................. 55 Funções de Percentagem .............................................................................................. 56 Funções Matemáticas ..................................................................................................... 57 Funções de Calendário ................................................................................................... 59 Fluxo de Caixa .................................................................................................................... 60 Diagrama de Fluxo de Caixa......................................................................................... 61 Juros Simples ...................................................................................................................... 63 Capitalização Simples ..................................................................................................... 64 Equivalência de Taxas de Juros Simples................................................................. 65 Cálculo do Montante e Capital .................................................................................... 67 Calculando Juros Simples na Hp12c ......................................................................... 69 Desconto Simples ............................................................................................................. 71 Desconto Simples para Série de Títulos de Mesmo Valor ............................... 74 Atividades ............................................................................................................................ 76

UNIDADE III: JUROS COMPOSTOS E O SISTEMA HAMBURGUÊS DE CÁLCULO ................................................................................................................... 79 Objetivos da Unidade ...................................................................................................... 79 Cálculo do Montante e Capital dos Juros Compostos ........................................ 81 Equivalência de Taxas Compostas ............................................................................ 85 Juros Compostos na Hp12c .......................................................................................... 87 Equivalência de Taxas Compostas na Hp12c ....................................................... 90 Programação da Hp12c para Conversão de Taxa de Juros Compostos..... 90 Desconto Composto......................................................................................................... 93 Sistema Hamburguês de Cálculo................................................................................ 96 Atividades ......................................................................................................................... 100

UNIDADE IV: SÉRIES UNIFORMES E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO .......................................................................................................... 103 Objetivos da Unidade ................................................................................................... 103 Fator de Acumulo de Capital (FAC) ....................................................................... 105

Fator de Formação de Capital (FFC) ..................................................................... 109 Fator de Valor Atual (FVA) ........................................................................................ 111 Fator de Recuperação de Capital (FRC) ............................................................... 114 Sistema de Amortização Francês ............................................................................ 117 Sistema de Amortização Constante (SAC) .......................................................... 127 Valor Presente Líquido (VPL) .................................................................................. 131 Taxa Interna de Retorno (TIR) ................................................................................ 135 Atividades ......................................................................................................................... 139 Respostas das Atividades........................................................................................... 141 Referências....................................................................................................................... 145

Apresentação Diante dos novos desafios trazidos pelo mundo contemporâneo e o surgimento de um novo paradigma educacional frente às Tecnologias de Informação e Comunicação disponíveis que favorecem a construção do conhecimento, a revolução educacional está entre os mais pungentes, levando as universidades a assumirem a sua missão como instituição formadora, com competência e comprometimento, optando por uma gestão mais aberta e flexível, democratizando o conhecimento científico e tecnológico, através da Educação a Distância. Sendo assim, a Universidade Paranaense - UNIPAR - atenta a este novo cenário e buscando formar profissionais cada vez mais preparados, autônomos, criativos, responsáveis, críticos e comprometidos com a formação de uma sociedade mais democrática, vem oferecer-lhe o Ensino a Distância, como uma opção dinâmica e acessível estimulando o processo de autoaprendizagem. Como parte deste processo e dos recursos didático-pedagógicos do programa da Educação a Distância oferecida por esta universidade, este Guia Didático tem como objetivo oferecer a você, acadêmico(a), meios para que, através do autoestudo, possa construir o conhecimento e, ao mesmo tempo, refletir sobre a importância dele em sua formação profissional.

Seja bem-vindo(a) ao Programa de Educação a Distância da UNIPAR.

Carlos Eduardo Garcia Reitor

Seja bem-vindo caro(a) acadêmico(a), Os cursos e/ou programas da UNIPAR, ofertados na modalidade de educação a distância, são compostos de atividades de autoestudo, atividades de tutoria e atividades presenciais obrigatórias, os quais individualmente e no conjunto são planejados e organizados de forma a garantir a interatividade e o alcance dos objetivos pedagógicos estabelecidos em seus respectivos projetos. As atividades de autoestudo, de caráter individual, compreendem o cumprimento das atividades propostas pelo professor e pelo tutor mediador, a partir de métodos e práticas de ensino-aprendizagem que incorporem a mediação de recursos didáticos organizados em diferentes suportes de informação e comunicação. As atividades de tutoria, também de caráter individual, compreendem atividades de comunicação pessoal entre você e o tutor mediador, que está apto a: esclarecer as dúvidas que, no decorrer deste estudo, venham a surgir; trocar informações sobre assuntos concernentes à disciplina; auxiliá-lo na execução das atividades propostas no material didático, conforme calendário estabelecido, enfim, acompanhá-lo e orientá-lo no que for necessário. As atividades presenciais, de âmbito coletivo para toda a turma, destinam-se obrigatoriamente à realização das avaliações oficiais e outras atividades, conforme dispuser o plano de ensino da disciplina. Neste contexto, este Guia Didático foi produzido a partir do esforço coletivo de uma equipe de profissionais multidisciplinares totalmente integrados que se preocupa com a construção do seu conhecimento, independente da distância geográfica que você se encontra. O Programa de Educação a Distância adotado pela UNIPAR prioriza a interatividade, e respeita a sua autonomia, assegurando que o conhecimento ora disponibilizado seja

construído

apropriado

forma

que,

progressivamente,

novos

comportamentos, novas atitudes e novos valores sejam desenvolvidos por você.

A interatividade será vivenciada principalmente no ambiente virtual de aprendizagem – AVA, nele serão disponibilizados os materiais de autoestudo e as atividades de tutoria que possibilitarão o desenvolvimento de competências necessárias para que você se aproprie do conhecimento. Recomendo que durante a realização de seu curso, você explore os textos sugeridos e as indicações de leituras, resolva às atividades propostas e participe dos fóruns de discussão, considerando que estas atividades são fundamentais para o sucesso da sua aprendizagem.

Bons estudos! e-@braços.

Ana Cristina de Oliveira Cirino Codato Coordenadora Geral da EAD

Caro(a) acadêmico(a), Este Guia Didático é composto de informações e exercícios de análise, interpretação e compreensão dos conteúdos programáticos da disciplina de Cálculos Financeiros do Curso de Graduação em que você se encontra matriculado. O Guia Didático foi elaborado por um Professor Conteudista, embasado no plano de ensino da disciplina, conforme os critérios estabelecidos no Projeto Pedagógico do Curso. Abaixo, apresentamos, resumidamente, o currículo do Professor Conteudista responsável pela elaboração deste material: Disciplina: Cálculos Financeiros Autor: Evandro Mendes de Aguiar Pós-graduado em Gestão Estratégica de Negócios, pela Universidade AnhangueraUNIDERP (2012); graduado em Tecnologia em Gestão Comercial e Rep. Comerciais, pela Universidade Paranaense (2007); graduado em Ciência da Computação, pela Universidade Paranaense (2000). Coordenador do Núcleo EAD de Cursos de Ciências Sociais Aplicadas da Unipar; Professor de Cálculos Financeiros

Universidade

Paranaense,

nos

cursos

Administração

(Bacharelado Presencial), Administração (Bacharelado EAD), Gestão Comercial (Presencial), Gestão Comercial (EAD) e Gestão Financeira (EAD); sócio consultor da ATTA Consultores Associados Ltda; consultor credenciado SEBRAE-PR em Marketing e Vendas. Além do professor conteudista, existe uma equipe de professores e tutores mediadores devidamente preparados para acompanhá-lo e auxiliá-lo, de forma colaborativa, na construção de seu conhecimento. Bons momentos de estudos! e-@braços. Evandro Mendes Aguiar Coordenador do Núcleo de Cursos Superiores da Área de Ciências Sociais Aplicadas

INTRODUÇÃO Caro aluno, olá, seja bem vindo à disciplina de Cálculos Financeiros. O presente material foi criado com o objetivo de conduzir e auxiliá-lo nos estudos na área de Cálculos Financeiros, alguns chamam esta disciplina também de “matemática financeira”, isso é apenas uma nomenclatura. Não se prenda apenas ao estudo deste material, como todo conteúdo de matemática, você deve exercitar muito, como fazê-lo? Simples, resolvendo o maior número de exercícios que puder, pois, cálculos necessitam de prática. Vale lembrar que a ação de resolver exercícios, para muitos, é feita de maneira errônea, ou seja, resolvem “copiando” os exercícios. Isso está errado! Os exercícios devem sempre ser resolvidos apurando seus conhecimentos, portanto, pesquise antes, resolva depois, evite aquela “olhadinha na cola”, é imprescindível saber até onde chega seus conhecimentos e habilidades, pois desta forma poderá focar melhor nas dificuldades e obter melhores resultados. Muitos insistem em dizer que matemática é coisa de outro planeta, mas garanto, não é! Seu sucesso depende de sua dedicação em estudar, pesquisar e resolver os exercícios. Seguindo essas dicas, você não só aprenderá melhor, como também desmistificará todo o suspense e chegará a conclusão que no fundo não há segredos, apenas sua dedicação. Então venha logo, vamos aprender um pouco sobre o mundo dos números!

UNIDADE I: MATEMATICA ELEMENTAR OBJETIVOS DA UNIDADE Caro aluno, esta etapa ajudará você a recordar alguns assuntos da matemática básica ou elementar, desta forma iremos relembrar operações já vistas no passado, não crie barreiras à matemática, poderá ser mais fácil do que imagina. Tudo gira a favor do exercício, muito treino, que o levará a compreender questões e raciocínios lógicos. Nessa unidade em especial você verá:  Operações matemáticas;  A tão famosa razão e proporção, abrangendo regra de três;  Potenciação e suas propriedades;  Radiciação e suas propriedades;  Equações Exponenciais. Ao término desta Unidade, os estudos, atividades e exercícios o capacitarão a resolver questões já estudadas no passado. As operações matemáticas serão explanadas apenas para reforço do assunto, o estudo da razão e proporção servem para noções de proporção, muito útil não só em cálculos financeiros, mas também em outras disciplinas que verá ao longo de seus estudos. Já potenciação, radiciação e as equações exponenciais, são úteis para o entendimento e resolução de questões de cálculo financeiro que envolvam o estudo dos juros compostos.

DICA! Se tiver a oportunidade de adquirir uma calculadora financeira, a HP12c®, faça, pois é de grande valia para seus estudos, e quanto mais cedo aprender a trabalhar com sua metodologia, melhor será a absorção da lógica de trabalho, caso não possa ou não tenha o interesse em comprá-la, você pode usar os chamados emuladores, disponíveis para smartphones e computadores.

Mas devo avisar, não são todos 100%, por isso, use apenas os indicados no material, são muitos os oferecidos sem qualquer custo. Porém, não há confiabilidade nos resultados, e na dúvida, pergunte! Você poderá encontrar um emulador on-line para computador no endereço: http://www.epx.com.br/ctb/hp12c.php.

OPERAÇÕES MATEMÁTICAS E ORDEM DE RESOLUÇÃO Lembrar das operações matemáticas é realmente muito simples, relembrando aquelas pequenas contas que fazíamos na escola, lembrou-se? São elas:  Soma;  Subtração;  Divisão; e  Multiplicação.

Com essas quatro operações, podemos criar as expressões numéricas, ou até mesmo simples operações combinando-as. Desta forma eu pergunto, qual é o resultado de: 2 + 2 × 3? Pense antes de olhar qualquer resposta. A experiência de sala de aula que tenho me diz que muitos irão responder 12, uns poucos, acredito, que se estivéssemos numa sala, diria 8. Então pergunto: é 12 ou 8? Consegue justificar sua resposta? O que muitos acabam se esquecendo e cometendo o erro de responder 12, está no fato que não colocaram em prática o conceito de ordem das operações, isso mesmo “ordem das operações”, as pessoas sempre se esquecem disso, e se você se esqueceu tudo bem, venha, vou te ajudar a resgatar essas regras. Bom, se respondeu 8, começou bem, parabéns, então vamos justificar a resposta: as operações demandam uma ordem para serem resolvidas, nesse caso, a expressão proposta é composta com duas operações diferentes, a soma e a multiplicação. Na matemática aprendemos que as expressões numéricas devem ser resolvidas da esquerda para a direita.

Porém, no exemplo, a multiplicação tem prioridade sobre a soma, logo devemos primeiro multiplicar para depois somar. Mas por que? Simples, digamos que a multiplicação e a divisão possui prioridade 1, a soma e a subtração por sua vez, possui prioridade 2. Desta forma, você obrigatoriamente resolver multiplicação e depois a soma. Então se pergunta: por que estou vendo algo tão simples, acredite, muitos erram isso! Ótimo e se tivermos as operações concorrentes iguais numa expressão numérica? Por exemplo: 4 ÷ 2 × 3. Essas possuem a mesma prioridade, tente visualizar uma escada, a soma e a subtração estão no mesmo degrau, já a multiplicação e divisão num mesmo, mas acima. Já que ambas estão no mesmo degrau de escada nesse novo exemplo, deve-se resolver com o método de leitura e solução da esquerda para direita, obtendo assim como resposta: 6. É comum, encontrarmos nas expressões numéricas o uso de parênteses “( )”, colchetes “[ ]” e chaves “{ }”, a finalidade desses sinais é organizar as expressões numéricas, e são usados para dar prioridade ou preferência para alguma operação. Quando encontrados esses símbolos, a ordem de solução é 1º: parênteses, 2º: o colchete e em 3º e último lugar, as chaves. Podendo também ocorrer o aparecimento apenas dos parênteses, desta forma, você deve observar o parênteses mais interno, e então, resolver a expressão de “dentro para fora”. Quanto mais interno for o parênteses, maior será sua prioridade para solução. Desta forma, se aplicarmos o uso do parênteses no nosso primeiro exemplo, o 2 + 2 × 3, acrescentando o parênteses para a soma, ficando então (2 + 2) × 3, agora sim poderá responder que o resultado é 12, resolvendo o que há dentro do parênteses para em seguida multiplicar.

DICA! Para agilizar a resolução de expressões, procure sempre eliminar o que há dentro dos parênteses, depois de resolver essa etapa que você irá se preocupar com o que está fora.

OPERAÇÕES COM SINAIS As operações com sinais, podemos dizer que são aquelas que os números possuem a indicação de números positivos (+), este que normalmente não apresenta o sinal, e os números negativos (-), representados com o sinal de menos antecedendo o algarismo. Ao realizar a solução de problemas matemáticos envolvendo sinais de conotação positiva ou negativa, você deverá prestar muita atenção com o chamado “jogo de sinais”, você lembra? Não se preocupe, vou recapitular a seguir. Para os casos de operações de soma ou subtração você utilizará a seguinte regra:  (+) (+) = você irá somar (+);  (+) (-) = você irá subtrair (-);  (-) (+) = você irá subtrair (-); e  (-) (-) = você irá somar (+), mas o resultado é negativo!

Para não esquecer mais esse jogo de sinais, vou dar um exemplo bastante corriqueiro nos dias atuais, veja, suponhamos que você tenha uma conta bancária com R$ 1.000,00 de saldo positivo, também chamado de saldo credor, se você depositar R$ 200,00, como ficará seu saldo no banco? Muito simples como temos dois valores positivos, seu saldo será de R$ 1.200,00. Agora, para exemplificar com operações com sinais negativos, imagina esse mesma conta corrente bancária com o saldo de R$ 1.000,00 positivos, saldo credor, você então realiza um saque no caixa da agência bancária no valor de R$ 800,00, veja bem, você está sacando dinheiro, portanto é uma operação que irá subtrair, desta forma R$ 1.000,00 – R$ 800,00 = R$ 200,00. Legal, mas imagine agora, realizando um segundo saque, no valor de R$ 300,00, como ficará seu saldo bancário? Claro, devedor, isso mesmo, você está com saldo negativo de R$ 100,00, que pode ser representado da seguinte forma: R$ –100,00. Mas vou mais longe agora, caso você efetue um terceiro saque no valor de R$ 400,00, se representarmos matematicamente essa operação temos: –100,00 –

400,00, isso significa que (–) com (–), somamos! Então o saldo final será de R$ – 500,00. Viu como o saldo devedor aumentou, perfeito, foi somado o saldo devedor anterior ao novo saque realizado. Bom, espero ter deixado claro essas operações, se persistirem as dúvidas, fale com o tutor, não deixe dúvidas para adiante, dúvidas são como bolas de neve no alto da montanha, se não a resolvermos no início, à medida que desce, aumenta de tamanho se tornando mais difícil de ser solucionado! Ótimo, você relembrou as operações com sinais para soma e subtração, mas também temos para a multiplicação e divisão, não é diferente, mas vale rever os procedimentos:  (+) × (+) = +  (+) × (–) = –  (–) × (+) = –  (–) × (–) = +

Não esqueça que na divisão serão os mesmos resultados, quando realizar uma divisão entre números com sinais diferentes, enxergue a divisão de sinais como se fosse uma multiplicação.

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES O próximo passo é uma ênfase nas frações, lembra-se delas? Miranda (s.d.) explica a fração como sendo “a representação da parte de um todo”, são os números fracionários que conhecemos, uma maneira simples de compreender a fração é usar o exemplo da pizza ou um bolo se preferir, ao cortarmos a exatamente no meio, pode-se assim dizer que cada parte corresponde a ½, cortando em quatro partes, cada parte desta é então chamada de ¼.

De modo simples, posso dizer que uma fração, de modo genérico, pode ser representada como

, onde

é o nosso numerador e

corresponde ao

denominador.

IMPORTANTE! Não esqueça que numa fração, temos uma divisão, e não existe divisão por 0 (zero), logo em nossa fração

deve ser ≠

(diferente) de 0 (zero).

Operações de soma e subtração Para as operações de soma ou subtração utilizando frações você sempre deverá usar o MMC (Mínimo Múltiplo Comum), isto mesmo o velho MMC, caso não se recorde, não se preocupe, irei recapitular esse assunto. Para tal, vamos a um exemplo prático, vamos fazer a seguinte operação:

Para iniciarmos o processo de resolução, nosso 1º passo é o MMC com todos os denominadores das frações, logo temos: 2, 3, 3, 4 2 1, 3, 3, 2 2 1, 3, 3, 1 3 1, 1, 1, 1 = 2 × 2 × 3 = 12

Veja que sempre usará o menor divisor primeiro, no nosso caso, o menor divisor comum para o MMC foi o 2, desta forma dividimos apenas aqueles que são múltiplos de 2, na linha seguinte perceba que foi necessário a utilização do 2, afim de transformarmos todos os múltiplos de 2 por meio de divisão até que o resultado seja “1”, na etapa seguinte utilizamos o 3, esse que é o próximo “menor” divisor para múltiplos de 3, restando apenas como resposta no lado esquerdo o “1, 1, 1, 1”, para

finalizar multiplicamos a sequência de múltiplos utilizados (lado direto), portanto 2 × 2 × 3 = 12, conclui-se que o MMC é 12, agora vamos ao nosso próximo passo:

Você deve estar se perguntando como fiz isso, vou explicar, o 12 que acabamos de encontrar no MMC deve ser “dividido” pelos denominadores das frações da expressão, ou seja, temos: 12 ÷ 2, 12 ÷ 3, 12 ÷ 4 e 12 ÷ 3 novamente, os resultados dessa divisão deve então ser multiplicado pelo numerador da fração, respectivamente temos: 6 × 1, 4 × 1, 3 × 1 e 4 × 2. Como resposta obtém-se: 6, 1, 3 e 8. O que deve ser observado agora é a utilização dos sinais originais da expressão, são eles o (+) e o (–). No último passo resolva a expressão localizada apenas no numerador:

Lemos então “5 sobre 12 avos”!

IMPORTANTE! Os denominadores sempre maiores que 10 utiliza-se a palavra “avos” no final, mas isso é apenas para a leitura.

POR QUE SE USA A TERMINAÇÃO "AVOS" NAS FRAÇÕES? Utiliza-se "avos" quando o denominador de uma fração é maior do que dez - como 1/12 (que se lê "um doze avos"). O termo tem origem em octavus (em latim, "oitavo"), que passou a ser escrito oit'avos (aí sim para representar uma fração). Desde então, a terminação "avos" passou a ter o uso atual. Essa variação entre palavras, com perda de letras e eventual mudança de sentido, é chamada de

falsa segmentação - como ocorreu entre descendere (em latim, que significava descer) para scendere (em italiano, com o mesmo significado). Fonte: Revista Nova Escola (2012)

Multiplicação de frações O caso de temos multiplicações entre frações para ser solucionado, é bem mais simples, para isso basta realizarmos a simples multiplicação “direta”, veja o exemplo:

Isso mesmo, realizei a multiplicação direta, 1 × 7 e 5 × 3, por sua vez totalizando 7 sobre 15 avos.

Divisão de frações Na divisão de frações, existem métodos diferentes usados pelas pessoas, particularmente eu utilizo o seguinte: conservo o primeiro e inverto o segundo transformando numa multiplicação. Vejamos como isso acontece:

Veja que temos então dois terços divididos por três quintos, a primeira fração foi conservada, invertendo a segunda fração, os três quintos viraram cinco terços, desta forma, sendo então realizada a simples multiplicação, resultado por sua vez em dez sextos, o que fiz na sequência foi o que chamamos de simplificação de frações, mas o que é isso? É simples aluno, observe que tanto o 10 quanto o 6 são múltiplos de 2, logo simplifiquei dividindo por 2, por isso a resposta final é cinco terços, mas é apenas uma mera coincidência com os cinco terços na expressão.

A divisão de fração também por ser representada como:

Isso não muda nada, é apenas uma forma de representação, continuamos com a mesma divisão e o mesmo método de resolver.

Outra particularidade de frações Agora que você já reviu as operações com frações, quero abrir aqui um parênteses sobre uma particularidade das frações, na verdade apenas relembrar uma situação que poderá ocorrer, e qual seria essa? Vamos para o exemplo:

O 2 é um número inteiro, não está representado no formato de fração, porém para esses casos, e isso é uma regra importante, você irá considerar o denominador para o 2 sendo 1, logo aplicando essa regra terá:

Conclusão, sempre que encontrar números inteiros em operações com frações, considere 1 no denominador.

RAZÃO E PROPORÇÃO Razão Podemos dizer que a razão é uma forma de comparar duas grandezas, mas para isso as duas devem estar na mesma unidade de medida, sempre uso um exemplo

onde acredito que não irá se esquecer: como é possível somarmos 2 kg de carne com 10 km? Consegue resolver isso? Obviamente que não, é uma operação impossível por se tratar de unidades de medida diferentes uma da outra, só podemos somar peso com peso e distância com distância, e não peso com distância, espero que tenha ficado claro o exemplo. A razão entre dois números, representados por , temos então

e , é obtida pela divisão de

: , ou simplesmente , logo a razão de 12 : 4 é 3.

Numa razão, seguindo a representação utilizada de antecedente e

por

e , temos que

chama-se

de consequente.

Proporção A proporção nada mais é do que uma igualdade de razões, mas não é simplesmente igualar duas razões e já consideramos isso como uma proporção. Para ser considerada uma proporção, essa igualdade de razões deve atender um quesito, chamado de propriedade fundamental da proporção, tal propriedade diz que o produto dos meios deve ser igual ao produto dos extremos, se isso for verdade, então temos uma proporção. Observe a prática:

Meios Extremos Qual multiplicamos os meios, 8 × 10, e multiplicamos os extremos, 5 × 16, obtemos o mesmo resultado, ou seja, 80. Havendo igualdade entre os produtos temos uma proporção. Na proporção existem cinco propriedades, porém você irá apenas rever duas propriedades, a propriedade da soma e a da diferença, para o seu estudo nesta disciplina se faz necessário apenas essas descritas.

1ª Propriedade: soma Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). Fonte: Só Matemática (s.d.).

Podemos representar essa propriedade por intermédio da seguinte expressão:

Vamos para um exemplo prático, como aplicar a propriedade da soma em proporções. Exemplo 1: Determine

na proporção

, sabendo que

= 84.

Aplicando a propriedade, temos:

Ótimo, agora que conhecemos o valor de conhecida de

= 84, portanto:

, basta então substituir na equação

2ª Propriedade: diferença

Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). Fonte: Só Matemática (s.d.).

Podemos representar essa propriedade por intermédio da seguinte expressão:

Não há praticamente diferenças quanto ao modo de resolver a propriedade da “diferença”, o método é igual, fica apenas a operação sendo uma subtração, mesmo assim vou exemplificar. Exemplo 1: Sabendo-se que

–

= 18, determine

na proporção

Partindo do mesmo raciocínio, pode-se solucionar da seguinte forma:

Tomando conhecimento do valor de , será possível realizar a substituição do valor na equação conhecida de

–

= 18, desta forma têm-se:

REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA Agora que já reviu os conceitos básicos de razão e proporção, iremos aprofundar um pouco mais nesse assunto, o objetivo agora é relembrar ou até mesmo reforçar os conceitos inseridos quando estudou regra de três simples e composta. Apesar de cálculos extremamente simples, a regra de três se mostra muito útil no dia a dia, pois seus conceitos podem ser utilizado para cálculos de proporção na distribuição de determinada porção, encontrar o que chamamos de “equivalente”. Minha primeira abordagem será sobre a regra de três simples.

Regra de três simples Bom, para iniciarmos, vale lembrar que o estudo das proporções está sobre a relação entre grandezas, ou seja, para um melhor entendimento quero lembrar-lhe do exemplo que usei no início do conteúdo de “Razão”, como pode ser possível operar a soma de uma distância a um peso. Como vimos isso não é possível! Logo, você deve entender que sempre deverá trabalhar com unidades de grandezas iguais, se trabalhar com distância, usará unidades de medida de distância de mesma proporção, se for de peso ou massa, fará a mesma coisa.

IMPORTANTE! Nunca use grandezas diferentes, chamadas incompatíveis, isso irá prejudicar seus cálculos e comprometer totalmente o resultado, procure sempre criar uma relação entre as proporções para saber se é possível opera-las.

UM POUCO DE HISTÓRIA O conhecimento e a utilização de conceitos semelhantes à regra de três são muito antigos, tendo sua provável origem na China antiga, podendo ser observados em tempos muito distantes. Vários problemas envolvendo manipulações muito próximas do que hoje conhecemos como regra de três

podem ser vistos no Papiro Rhind, documento confeccionado no Egito há cerca de 3000 anos. Mais recente que o Papiro Rhind, o livro Liber Abaci do matemático italiano Leonardo Fibonacci (1175-1250) revela vários problemas envolvendo a regra de três. Apesar de sua criação ser tão remota, as aplicações relativas à regra de três são as mais variadas. Tratando da matemática utilitária, podemos dizer que a regra de três é primordial a nossa vida, pois soluciona questões corriqueiras com muita simplicidade e economia de tempo. Fonte: Sá (s.d.).

Quando se trabalha com regra de três, na verdade estamos igualando duas, nos casos de regra de três simples, ou mais razões, para os casos de regra de três composta. Essa igualdade pode ser considerada diretamente proporcional ou inversamente proporcional, mas como identificar sua característica? Identificar se é inversamente ou diretamente proporcional é uma tarefa fácil, demandando apenas de atenção e um pouco de raciocínio lógico. De início entenda que uma grandeza diretamente proporcional é aquela que quando “aumentamos um lado” o outro aumenta também, seguindo uma proporção. Já uma grandeza inversamente proporcional é aquela que quando “aumentamos um lado” o outro tende a reduzir proporcionalmente, ou seja sempre que a razão “base” é alterada para mais, a outra razão da igualdade reduz. Não se preocupe, são conceitos que exercitando a prática irá conseguir sem problemas assimilar o assunto. Para um melhor entendimento da regra de três simples, vamos exemplificar com um problema. Exemplo 1: Quatro pedreiros constroem uma pequena casa em 90 dias. Dois pedreiros construirão a mesma casa em quanto tempo? Solução: veja que o exercício é bem simples e lógico, mas iremos começar por práticas simples para uma boa assimilação do conteúdo, o primeiro passo é montar as razões e a igualdade das mesmas, lembrando que é muito importante você

identificar as colunas que representam as razões de modo a localizar o alvo no exercício. Pedreiros 4 2

Dias 90 x

Segundo passo: na coluna onde se posiciona o

da equação, você deverá colocar

uma seta apontando para baixo, essa seta será nosso ponto de apoio nas comparações de grandezas direta ou inversamente proporcionais. Desta forma ficamos com: Pedreiros 4 2

Dias 90 x

No terceiro passo: você fará a comparação da outra coluna com a coluna de , isso vale tanto para a regra de três simples quanto para a composta, aqui a metodologia é igual, simplesmente teremos mais colunas que deverão ser comparadas com a coluna de . Mas como como comparar a coluna? A resposta é fácil, você deverá fazer a seguinte pergunta, e nesse momento esqueça a linha do 2 e do , pois se ficar olhando para elas será induzido ao erro, a pergunta é: se aumentarmos o número de dias, o que vai acontecer com o número de pedreiros? Há de concordar comigo que o número de pedreiros irá reduzir, mas como assim? Simples, veja que quando aumentamos o prazo de dias da obra, poderei então empregar menos pessoas para trabalhar, pois não necessitaremos de tantos trabalhando para a conclusão. Entendeu a questão? Bom, com essa resposta nota-se que sempre que aumentamos o número de dias, e a pergunta sempre será caso aumentarmos a coluna de , recomendo que não faça diferente, então aumentando os dias tenho menos pedreiros, podemos dizer que é inversamente proporcional, isso mesmo, sempre que aumentamos um lado o outro reduz, característica das grandezas inversamente proporcionais.

Deste modo, recomendo que assinale com uma seta apontando para cima, por ser inversa. Temos: Pedreiros 4 2

Dias 90 x

Excelente, essas setas, são nossas referencias para apuração da proporção, já que temos uma grandeza inversa, devemos tomar um cuidado com a montagem da proporção, vamos ao nosso próximo passo. Quarto passo:

As setas nos auxiliam na leitura, ditando o sentido que devemos ler a razão. Agora basta multiplicar cruzado para realização do cálculo e pronto, encontra-se o valor de . Vamos aos cálculos:

Percebeu como é simples? Não há segredos, basta observar o sentido de leitura das setas para que saia a correta leitura da razão na grandeza, e lembre-se não tem qualquer relação do sentido da seta com os números que estão na coluna, muitos cometem o erro de achar que por estar aumentando de 2 para 4 na coluna de pedreiros, acabam acreditando que a seta indica o aumento da coluna, não há qualquer relação, no entanto você lembra que solicitei que não olhasse a linha do 2 e do ? Fez sentido a você? Espero ter ficado claro. Faço agora um segundo exemplo onde você verá uma grandeza diretamente proporcional, e já vou avisando, não muda muita coisa, apenas o sentido da leitura, no demais, permanecemos com a mesma metodologia.

Exemplo 2: Um quilo (usarei “quilo” simplificadamente para representar quilograma (Kg)) de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha necessito para fazer 18 pães? Nosso primeiro passo é montar as colunas posicionando o

onde desejamos

conhecer a resposta, temos: Quilos 1 x

Pães 12 18

Simples não? Agora posicione a seta na coluna de . Kg Farinha 1 x

Pães 12 18

A pergunta “mágica”: se aumentamos a farinha, o que acontece com o número de pães? Se sua resposta é: teremos mais pães, está correto! Portanto, a seta da coluna de pães apontará para baixo, então poderá surgir uma dúvida: mas se está aumentando o número de pães por que devo colocar a seta apontando para baixo? Fácil, a seta não diz se estão aumentando ou não a coluna de pães, está dizendo que sempre que aumentamos os quilos de farinha, teremos mais pães, uma relação aumenta-aumenta,

seja,

temos

uma

grandeza

diretamente

proporcional,

posicionando a seta: Kg Farinha 1 x

Pães 12 18

Vamos aos cálculos:

Notou que em termos de cálculos não há diferenças, o cuidado a ser tomado é apenas no momento da construção da proporção, representada pela igualdade de razões.

IMPORTANTE! Alguns autores usam as setas para referência do tipo de proporção, inversamente ou diretamente proporcionais, de maneira invertida, ou seja, a abordagem usada no material aponta o uso da seta inicial de referência (coluna de ) com seta apontada para baixo, fica a ressalta que alguns autores a utilizam incialmente para cima, mas apenas esse detalhe, a forma metodológica de descobrir o tipo da proporção é exatamente a mesma.

Regra de três composta Chamamos de regra de três composta quando estivermos trabalhando com três ou mais grandezas, também podendo essas serem diretamente ou inversamente proporcionais, não necessariamente apenas um tipo no problema, podendo este apresentar as duas situações na mesma problemática. No que diz respeito à resolução, se faz como na regra de três simples, tendo apenas mais colunas a serem comparadas à coluna base (coluna de localização do ). Para deixar claro essa questão, vamos usar um exemplo. Exemplo 1: Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens levarão quantos dias para montar 50 máquinas? Solução: No primeiro momento, iremos montar a estrutura das razões assim como construído na regra de três simples, a diferença aqui será uma coluna a mais. Qtde. de homens

Dias

Número de máquinas

8 15

12 x

16 50

Ótimo, agora no segundo passo, posicionar a seta para comparação das colunas, e esta será feita uma a uma com a coluna de “Dias”, pois na mesma encontra-se a nossa incógnita. Qtde. de homens

Dias

Número de máquinas

8 15

12 x

16 50

Lembre-se a pergunta será sempre do tipo, se aumentarmos o valor da coluna da incógnita, o que acontece com a coluna comparada? Essa é a chave de todo o exercício. Logo, aumentando os dias de montagem, o que acontece com a quantidade de homem necessários para o trabalho? Irá diminuir, pois entende-se que a existência de um prazo maior demandará de menos pessoas para concluir o trabalho. Qtde. de homens 8 15

Dias 12 x

Número de máquinas 16 50

A próxima pergunta, e sempre tratando as colunas separadas, é: se aumentarmos o números de dias, o que acontece com o número de máquinas montadas, aumentará ou montaremos menos máquinas? Se pensou em mais máquinas está correto, pois se aumentarmos o tempo de montagem, consequentemente aumentaremos o resultado, no caso aqui, o número de máquinas montadas. Logo: Qtde. de homens 8 15

Dias 12 x

Número de máquinas 16 50

Tem-se então duas grandezas, as setas indicarão o sentido da leitura das razões, mas aqui você encontrará uma diferença em relação à regra de três simples, está no fato de termos uma igualde onde o lado da incógnita continua com uma razão apenas, já o outro lado teremos duas razões, e poderá ocorrer, dependendo do exercício, mais razões. E como proceder? Muito simples, faremos uma multiplicação por entra as razões, desta forma o exercício montado será:

Como a multiplicação de frações é direta, basta então multiplicar e apurar apenas uma simples razão na igualdade, desta forma, poderá prosseguir com a resolução.

Portanto, serão necessários 20 dias para conseguir o objetivo de montagens das máquinas.

Potenciação De um modo geral, Iezzi et al. (1985) caracteriza uma potência como sendo número real e (lê-se:

sendo um número do conjunto dos números naturais, formamos

elevado a ), onde

é a base e

o expoente.

Quando temos um número ou incógnita elevado a 2, dizemos que está elevado ao quadrado, quando encontrarmos um expoente 3, devemos ler elevado ao cubo. No demais as leituras se fazem de maneira comum, por exemplo:

, dizemos 2 elevado

à quarta potência ou simplesmente 2 elevado a 4. Mas o que realmente é uma potência, como resolver? Bem, vou ajuda-lo a lembrar esse conceito. Seguindo o exemplo dado acima,

, podemos dizer que:

Nada mais é que a base multiplicada por ela mesma o número de vezes ditado pelo expoente. Então temos que

é igual a 16.

A potenciação também tem suas propriedades, importante entendermos essas propriedades, pois nos serão muito úteis nos próximos assuntos. Existem também os chamados “macetes” para agilizar cálculos com potenciação, veremos ambos os casos.

IMPORTANTE! Todo número elevado a 0 (zero) será igual a 1 (um), exemplo: Todo número elevado a 1 (um) será ele mesmo, exemplo:

= 7.

= 1.

Vejamos agora alguns exemplos: 1º) 2º) 3º) 4º) 5º) (

)

6º) (

)

7º) ( )

Você deve estar se perguntado: por que no exemplo 4 e 5 os números negativos resultaram numa resposta negativa, sendo que o exemplo 6 resultou um número positivo? Essa pergunta é fácil de ser respondida, no caso do 4º exemplo, não há parênteses, logo a base submetida ao expoente será apenas o numeral. Mas no 5º exemplo, e agora vem aquele “macete” que havia citado acima, sempre que houver o parênteses e o sinal estiver contido no parênteses, este por sua vez também será submetido ao expoente, mas como nosso expoente é ímpar a resposta, nesse caso, sempre será negativa. No caso do 6º exemplo, existe o parênteses, então já é sabido que o sinal também deverá ser elevado ao expoente, e neste exemplo o nosso expoente é par, portanto a resposta sempre será positiva. Independentemente de qual seja a base, sendo o sinal negativo e contido no parênteses, observe se o expoente é par ou ímpar, se for par a resposta será positiva, sendo ímpar, o resultado sempre será negativo. Em nosso 7º exemplo, toda a fração deverá ser elevada ao expoente, e a regra do sinal negativo com expoente par ou ímpar também está valendo quando a fração contida no parêntese for negativa.

1ª Propriedade

Quando existir uma multiplicação de bases idênticas, conservamos a base e somamos os expoentes.

2ª Propriedade

Caso exista uma divisão de bases idênticas, conserve a base e subtraia os expoentes.

3ª Propriedade (

)

Numa multiplicação de bases diferentes, contidas num parênteses, é equivalente ao expoente ser aplicado a cada um dos fatores. Cada elemento dentro do parênteses deve ser elevado ao expoente.

4ª Propriedade ( ) Quando uma fração contida no parênteses for elevada a um expoente, toda a fração deve ser considerada. Tanto o numerado quando o denominador serão elevados.

5ª Propriedade (

)

Chamamos essa propriedade de “potência da potência”, neste caso a solução é simples, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.

Agora veja alguns exemplos para melhor fixação das propriedades:

1º) 2º) ( ) 3º) (

)

4º) ( ) 5º) (

)

Potência com expoente negativo Podemos nos deparar com o chamado expoente negativo, sendo

um número real

e não nulo, ou seja, diferente de zero.

A solução, como pode acompanhar é muito prática, sempre que ocorrer a existência de um expoente negativo, invertemos a fração, então surge a pergunta: mas não há fração para ? Existe sim, o fato é que para números inteiros, é considerado uma fração de sempre estar “sobre 1”. Para os casos de existir de fato uma fração, simplesmente faça a inversão, mas atenção, essa inversão não altera o sinal da base, apenas do expoente. Vejamos exemplos: 1º) ( )

( )

2º)

Radiciação Radiciação nada mais é que o estudo das raízes, não pode ser dito apenas raiz quadrada até porque existem raízes de índices diferentes.

Iezzi et al. (1985), considera que para ser uma raiz válida, sendo deve ser

. Então chamamos

de radicando e

o radicando,

o índice, e esse deve ser

, temos √ . Exemplos: 1º) √ 2º) √ 3º) √ A verdade é que uma raiz é o contrário da potência, então se analisarmos o 1º exemplo, você notará que √

é igual a 2 porque

Números que são múltiplos são fáceis de calcular a raiz sem o uso de uma calculadora, o problema estão nos números que não possuem raiz exata, nesses casos, recomendo o uso de uma calculadora, seria até possível calcular manualmente, mas dado o trabalho e também não é nosso objetivo aqui, não abordaremos esse assunto, vou demonstrar apenas a metodologia para raízes exatas. Desta forma, aproveitando o 1º exemplo, como sei que 32 é

? Podemos fazer uma

espécie de “decomposição” do número, quase um M.M.C. (Mínimo Múltiplo Comum), mas apenas para decompor, não iremos apurar o M.M.C. 32 16 8 4 2 1

2 2 2 2 2

Para uma melhor compreensão disso, é necessário o estudo das propriedades das raízes, então, mãos à obra! Propriedade das raízes: 1ª) √ 2ª) √ 3ª) √

√ √ √

√

4ª) ( √ )

√

5ª) √ √

√

Vamos usar a 1ª propriedade para resolver nossa √

, já é sabido que 32 =

então substituindo na raiz o 32 temos: √ Como 1 não chega a ser uma potência, a resposta é simplesmente 2, está aí o motivo da √

ser apenas 2, e isso vale para o cálculo de todas as raízes exatas,

mas como saber se a raiz será ou não exata? Por tentativa e erro, como o tempo você acaba decorando algumas raízes não exatas. Veja mais um exemplo, quando é √

? Fácil, você já irá responder que é 4, mas por que 4? Demonstrando:

decompondo 16, temos

, logo: √

IMPORTANTE! Toda raiz que não apresentar o índice, o mesmo é considerado 2 (quadrado), sendo chamada raiz quadrada.

Agora veja outro exemplo interessante, calcule a √

, sabendo que a √

aproximadamente 1,7321. Solução: decompondo 27 temos

, como

é:

ou simplesmente

perceba que realizei uma decomposição do 27, e posicionei a decomposição de forma a ao menos ter um radicando com expoente igual e/ou divisível pelo índice da raiz. Mas por que desse operação? Vou te ajudar: √

√

Então você me pergunta, o que é isso? Vamos por partes, primeiro disse que decompus o número 27 de maneira a ter radicando elevado a um expoente divisível pelo índice da raiz, então, sempre que o expoente do radicando for igual ao índice da raiz, ambos são anulados, e se o valor da raiz quadrada de 3 é conhecido basta multiplicar.

DICA! Quer tirar a prova? Simples, digite exatamente no Google®: raiz quadrada de 27, então pressione a tecla “ENTER” ou clique em pesquisar. Aparecerá a resposta 5.19615242271, arredondando para 4 casas temos 5,1962. Gostou? Saiba que o Google® realiza muito mais cálculos, inclusive até mesmo gráficos!

Equações exponenciais Iezzi (1985, p. 34-B) define “equações exponenciais são equações com incógnitas no expoente”. Quer dizer, iremos trabalhar com uma literal no lugar da potência, e o mais comum é o uso de . As equações exponenciais combinam uma série de conhecimentos matemáticos, como potenciação principalmente, radiciação e muita equação com incógnita para ser resolvida. Não se assuste, apesar de possuírem uma “cara feia”, não merecem tanto medo desta forma. Para resolver uma equação exponencial trabalhamos com o conceito de base comum, ou seja, simplificamos ao máximo usando algumas propriedades já estudadas para igualarmos as bases, para finalmente “cortar” as bases e resolver a equação construída nos expoentes. Exemplo 1:

Não tem segredo, fiz apenas a decomposição do 64, transformando em

conforme

já estudamos, então simplesmente cortamos a base (2), que por sua vez estão idênticas e trabalhamos finalmente com os expoentes. Exemplo 2:

Nesse momento paramos e notamos que as bases são diferentes, claro, mas o 32 não se transforma em 8, pois a menor das potências seria

que já daria 64, nem

perto chegamos. Mas, percebeu que são múltiplos de 2? Isso mesmo, vamos transformar tudo isso em 2! (

)

(

)

Usei para separar os novos expoentes originados da decomposição do 8 e do 32, quero que essa separação seja nítida de modo a você entender o processo. Prosseguimos utilizando a propriedade da potência da potência, conservo a base e multiplico os expoentes:

Exemplo 3:

Parece um “monstro”, mas vai ver que é apenas um “gatinho”.

Como sei que 0,04 é

, simples, após a vírgula existem 2 casas, então basta juntar

1 com dois zeros pelas duas casas existentes, temos 100.

(

)

(

)

(

)

Usei pura e simplesmente as propriedades que vimos, nada a mais, com exceção da dica do 0,04. Vamos para um último exemplo: Exemplo 4: (√ )

√

Num primeiro momento usei a propriedade da raiz, fiz a decomposição do 8, eliminei as bases, e o 3 que estava dividindo o

passou para o outro lado multiplicando.

ATIVIDADES 1) Utilizando o conceito de multiplicação cruzada da proporção, encontre o valor de nas proporções: a)

b) g) c) h) d) i) e)

2) Calcule x e y na proporção

, sabendo que x + y = 35.

3) Calcule x e y na proporção

, sabendo que x – y = 25.

4) Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha? 5) Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia?

6) Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km? 7) Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada? 8) Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12 dias? 9) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia? 10) Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 dessas camisetas, 4 máquinas gastariam quantas horas? 11) O valor de (

)

(

) é? ( )

12) Calcule o valor da expressão:

( )

(

)

13) Efetue: a) (

)

(

)

(

)

(

)

14) Calcule a raiz indicada: a) √

d) √

b) √ e) √ c) √

15) Resolva as seguintes equações exponenciais: a) b) c)

√

UNIDADE II: MATEMATICA ELEMENTAR, FLUXO DE CAIXA E JUROS SIMPLES OBJETIVOS DA UNIDADE Finalizamos a Unidade 1 e quando encerrar essa nova etapa, a etapa 2, você deverá ter a compreensão de mais alguns assuntos e conteúdo do estudo da matemática básica, também nesta unidade iniciaremos os assuntos de matemática financeira, como o estudo do fluxo de caixa e juros simples, nesse momento faremos algumas práticas com a calculadora financeira HP12c:  Logaritmos e propriedades;  Porcentagem;  Conhecer a metodologia e princípios da calculadora HP12c®;  Fluxo de caixa e diagrama de caixa;  Cálculo dos juros simples e a capitalização simples;  Equivalência de taxas de juros simples;  Cálculo do montante e capital;  HP12c e os juros simples;  Desconto simples. O estudo dos logaritmos é fundamental para a boa compreensão da resolução dos estudos de caso do juro composto, claro que se os cálculos forem realizados de maneira manual, no uso de calculadoras financeiras não caberá seu uso, uma vez que esses equipamentos possuem funções prontas. Iniciaremos o estudo da porcentagem, um conteúdo simples, mas que gera certa polêmica com algumas particularidades, você me entenderá logo no que diz respeito a polêmica gerada pela porcentagem. O estudo do fluxo de caixa, sua representação gráfica, o diagrama, são na verdade os primeiros passos nos estudos da matemática financeira.

Analisaremos os juros simples juntamente com a capitalização simples, a equivalência de taxas, o montante e capital, tudo isso despertará o conhecimento sobre algumas operações comerciais e financeiras. O desconto simples, muito usado nas operações com títulos monetários. E não poderia faltar, sua iniciação na HP12c, não se assuste com a metodologia da calculadora, como disse na Unidade I, tudo não passa apenas de uma necessidade de treino. Bons estudos!

LOGARITMOS E PROPRIEDADES Os logaritmos são importantes no cálculo financeiros, pois com eles é que iremos resolver o problema de encontrar o período, sem o auxílio de calculadora financeira, em juros compostos. Para Iezzi et al. (1985, p. 51-B), define logaritmo “sendo positivos, com dar à base

, chama-se logaritmo de

números reais e

na base , o expoente que se deve

de modo que a potência obtida seja igual a ”.

Traduzindo a linguagem matemática, temos a seguinte definição:

Nota-se que o logaritmo se transforma numa equação exponencial. Os elementos envolvidos em

, são:

logaritmando e finalmente

é a base do logaritmo, dizemos que

é o

é o logaritmo.

Algumas definições importantes dos logaritmos: 1)

não importa o valor de sempre será 0 (zero).

, o logaritmando sendo 1, o resultado

se a base e o logaritmando forem iguais, o resultado sempre será 1 (um).

Agora estudaremos as propriedades dos logaritmos: 1)

( ) quando existir um produto (multiplicação) dentro do logaritmando teremos então a substituição por uma soma, conservando a base do logaritmo.

( ) existindo uma divisão no logaritmando, transformamos numa subtração, conservando a base do logaritmo.

chamamos de propriedade do tombo, pois a potência do logaritmando “tomba” à frente, se transformando numa multiplicação e conservando o restante do logaritmo.

essa propriedade recebe o nome de inversão de base, note que apareceu o , o valor de c aqui no caso é 10, por isso damos o nome de logaritmo decimal.

IMPORTANTE! Sempre que um logaritmo não apresentar sua base, considere como sendo 10 (dez), isso é uma regra, igual a expoente de potenciação que quando não aparece consideramos 1 (um), ou até mesmo números inteiros que posicionados em formato de fração estão “sobre” 1 (um).

é mais uma consequência propriamente do que uma propriedade do logaritmo, quando existir um expoente na base do logaritmo, passamos esse expoente no formato de uma fração, porém, com o devido cuidado de 1 “sobre” o expoente multiplicando o logaritmo conservado.

Agora vamos à prática, pois já tivemos muita definição e propriedade. Num primeiro momento utilizaremos o auxílio das exponenciais para resolver, e caso você nunca havia ouvido falar as exponenciais são o inverso dos logaritmos. Exemplos: 1º) O primeiro passo é igualar a

e então transformar numa exponencial. (

)

Então temos que o

é igual a

2º) (

)

3º) ( ( )

(

)

) (

O passo a passo foi: igualei a

(

)

nosso logaritmo, transformei em uma equação

exponencial, na sequência e usando a dica do número de casas após a vírgula, transformei o 0,25, fiz a inversão ficando assim o expoente

negativo, e

decompondo as bases para torná-las idênticas para o “corte”, finalmente trabalhei com a expressão buscando o valor de . 4º) Nesse exemplo nota-se a presença da potência então inicialmente usamos a propriedade do “tombo” e resolvemos o logaritmo restante. ( (

)

(

)

(

)

Portanto o valor de

é 4.

5º) Sabe-se que

, calcule

Esse logaritmo não apresentou a base, portanto consideramos base 10 (dez), então vamos decompor o 75 de forma que fique simplificado a números já conhecidos, que são 3 e 5. 75 3 25 5 5 5 1 (

)

Como já conhecemos os valores dos logs de 3 e 5, basta substituir e realizar as operações aritméticas.

Chega-se à conclusão que o

é igual a 1,8751.

PORCENTAGEM Quando se estuda porcentagem, nos deparamos com o símbolo de sua representação, o “%” (por cento), que segundo Bongiovanni (1998), esse símbolo foi criado há pelo menos quatro séculos, por comerciantes ingleses com a finalidade de simplificar a linguagem em transações comerciais. Quando lemos, por exemplo: 20% (vinte por cento), na verdade estamos dizendo 20 (vinte) unidades de uma porção de cem, a porcentagem ou percentagem, e os termos querem dizer a mesma coisa, sempre fazem referência a uma porção de 100 (cem), por essa razão o nome “por cento”. Existem várias formas de se calcular uma porcentagem, veremos algum métodos seguros de se calcular a mesma. Por exemplo, vamos calcular 25% de 700, quais formas podemos proceder? 1) Método convencional, e de certa forma, é o método original:

Perceba que o 700 multiplica o 25 e o produto é dividido por 100, este 100 é oriundo da porcentagem, a porção de cem citada a pouco. 2) Já que dizemos ser uma porção de cem, 25 divididos por 100 sabe-se que é 0,25, damos o nome de razão centesimal. Ao multiplicarmos a quantia pela razão centesimal também obtemos a equivalência procurada.

3) Nas calculadoras utilizamos o símbolo de % para execução deste mesmo cálculo, o correto dessa procura pela equivalência é sempre usar a operação de multiplicação. Erroneamente, as pessoas e isso principalmente no comércio de

modo geral, quando desejam calcular, por exemplo, um acréscimo de 25%, institivamente fazem 700 + 25% e pressionam o = (igual). Antes de qualquer linha de pensamento ou opinião eu lhe pergunto: você consegue realizar aquele cálculo proposto no início deste material, aquele que deve-se somar quilos de carne a quilômetros? Obviamente que não, logo esse cálculo também não é possível, uma vez que tratam-se de grandezas diferentes. Aí você pode me dizer: “mas a calculadora faz a soma”. Sim, de fato ela faz, mas apenas as calculadoras que carinhosamente as chamo de “calculadoras de doce”, caso tente optar em realizar esse cálculo numa calculadora científica de qualidade ou até mesmo uma calculadora financeira original, verá que não irá conseguir, nessas, a porcentagem funciona apenas por meio de multiplicação e nas financeiras por intermédio da função porcentagem. Fique sabendo que apenas as “calculadoras de doce” fazem isso! Acredito ser uma comodidade criada pelos seus fabricantes, mas está, digamos, matematicamente errada. Exemplo do cálculo:  em calculadoras científicas:  na HP12c®, que é financeira: Da mesma forma, usando a metodologia da multiplicação pelo valor centesimal, é possível calcular valores com acréscimo ou desconto diretamente. Acompanhe o raciocínio: usando o mesmo exemplo dos 25% de 700, iremos acrescentar esse percentual ao valor base, vale lembrar que a regra para o desconto é a mesma. Tomamos como princípio que todo e qualquer valor base é 100%, como estamos trabalho com o número 700, dizemos então que ele é 100%, se então desejamos acrescer 25%, temos que 100% mais 25% é na verdade 125%. Você pode dizer que, afirmei acima que a operação de soma não existe na porcentagem. Está correto, mas essa soma que proponho é diferente, primeiro porque estamos trabalhando com grandezas idênticas, e segundo que é apenas um ponto de referência da equivalência percentual.

Se então dividirmos o 125% por 100, transformando em razão centesimal, obtemos 1,25, ao multiplicarmos o 700 por 1,25 temos 875, ou seja, o valor já acrescido dos 25%. Para o desconto não é diferente, apenas a operação realizada, trocamos a soma por uma subtração, 100% menos 25% é 75%, que por sua vez divididos por 100 obtemos 0,75, agora multiplicando 700 por 0,75 obtemos como produto 525, esse por sua vez sendo o valor líquido após o desconto dos 25%.

Fator de aumento sucessivo O fator de aumento sucessivo se enquadra nos casos que que temos sucessivos aumentos percentuais a serem aplicados sobre um valor. Podemos usar como exemplo um dado produto que tem seu preço negociado num expediente de bolsa de valores. Imagine uma saca (60kg) de determinado tipo de café beneficiado, negociados na abertura do pregão por R$ 300,00, após algumas negociações, fala-se em um aumento de 5%, passado mais um breve período a mesma saca sofre outro aumento, agora de 3%, no final do dia, poucos instantes antes do fechamento do pregão, o produto sofre mais uma alta, agora com 2%. A pergunta é, quanto efetivamente essa saca de café subiu? Engana-se que dizer 10%, as pessoas tendem a somar: 5% + 3% + 2%, então dizer que foi um aumento total de 10%, volto a afirmar, está errado! Por que? Simples, esse produto teve aumentos sucessivos, então os 5% iniciais foram de fato sobre o preço inicial da saca, os R$ 300,00. Porém, os 3%, não incidiram sobre os R$ 300,00, mas sobre os R$ 300,00 acrescidos de 5%, já os 2%, incidem sobre o valor acrescido primeiro por 5%, seguindo de 3% para finalmente calcular os 2%. É possível calcular por meio de uma fórmula bastante simples: ( A incógnita

)

(

)

(

)

(

)

representa a razão centesimal da porcentagem, e sempre você irá

utilizar a porcentagem em formato centesimal nas equações, isso é regra!

Então, em breve descrição, dizemos que a fórmula poderá atender uma necessidade de dois ou mais aumentos sucessivos sobre um determinado valor, por isso temos até a “enésima” posição ( ). O numeral 1 (um), nada mais é que a representação centesimal de 100%, ou seja,

Aplicando a fórmula: (

)

(

)

(

)

O fator, resultado apresentado no cálculo, pode ser usado para apurar o preço final do produto ou até mesmo saber o aumento efetivo do mesmo. Para conhecer o valor final do produto basta multiplicar o preço do produto pelo fator encontrado.

Caso queira saber quantos por cento efetivamente esse produto aumentou é simples, basta subtrair o fator encontrado por 1, e então multiplicar o resultado por 100, isso irá transformar a razão centesimal em porcentagem novamente.

Pode-se dizer que o produto teve uma variação positiva, ou aumento, de 10,313%. Acredito que poderei ser questionado sobre a pequena diferença entre o valor errado de 10% e o valor correto de 10,313%, sim a diferença é pequena de fato, apenas R$ 0,94 centavos. Pode parecer pouco, mas estamos falando de uma saca apenas, imagine um navio carregado de café! Acredito que a diferença será sensível.

Fator de desconto sucessivo Não há diferença no conceito, apenas a substituição do operador de soma para o operado de subtração, desta forma a equação pode ser apresenta conforme abaixo: (

)

(

)

(

)

(

)

Os cálculos serão como no aumento sucessivo, até mesmo para encontrar a variação final do preço, para exemplificar, vou usar os mesmo valores, mas simulando uma queda no preço, nosso produto está sofrendo quedas no preço com os seguintes percentuais sucessivos: 5%, 3% e 2%. (

)

(

)

(

)

Apresentados todos os cálculos, notará que o princípio é exatamente o mesmo, como disse, fazendo uso da subtração no lugar da soma, já a variação resultou em um percentual negativo, e isso nos aponta que o preço sofreu um desconto real de 9,693% em relação ao valor inicial.

Aumento e desconto sucessivo Poderá ocorrer aumentos e descontos sucessivos concomitantes na operação, quero dizer, ao mesmo tempo. O princípio é exatamente o mesmo, simplesmente quando for aumento irá usar soma, onde for um desconto, poderá usar a subtração no parênteses para encontrar a equivalência final.

Rescrevendo a equação com a possibilidade de aumento e desconto sucessivo, temos: (

)

(

)

(

)

(

)

Cada conjunto de parênteses até a enésima posição poderá ser empregado no aumento (+) ou no desconto (-). Chamo a atenção apenas para ao resultado final da “Variação final”, se positivo, dizemos que o valor sofreu um aumento final equivalente. Caso negativo, diz que apesar do aumento se ocorrido, o produto sofre um desconto final.

USO DA HP12C A calculadora HP12c é um equipamento considerado muito útil no cálculo financeiro, é um produto bem específico para tal. No entanto, sua metodologia se diferencia das calculadoras convencionais, ela trabalho com o que chamamos de lógica reversa polonesa, onde primeiro são inseridos os numerais para no final a operação matemática ou função.

FIGURA 1- HP12c Gold

Fonte: Web HP-12C emulator.

Na figura 1, vemos um exemplar da HP12c, modelo Gold, existem outros modelos, como a Platinum e a Prestige, são fáceis de identificar, a Platinum possui a região

superior na cor prata, a Prestige por sua vez é dourada como o exemplo da figura 1, mas com um pequeno escrito no lado direito superior da calculadora com o nome do modelo “Prestige”. Suas diferenças vão de velocidade do cálculo a alguma funções, a Gold é a mais simples, nos novos lotes fabricados não há mais diferenças de velocidade, apenas funções, dos outros dois modelos apenas a Platinum segue produção, funções que a Platinum e a Prestige apresentam em relação à Gold são: capacidade de mudar o contraste do LCD, capaz de desfazer a última operação realizada, apagar o último dígito e a capacidade de operar no modo algébrico, esse faz a HP12c se parecer muito com calculadoras comuns.

Iniciando seu uso Para começar a suar sua HP 12c, aperte a tecla “ON”. Apertando “ON” novamente desliga a calculadora. Se não desligada manualmente, a calculadora se desligará automaticamente entre 8 a 17 minutos depois do último uso. A HP12c possui um indicador de bateria que você somente o verá quando a bateria estiver fraca, esse indicador é representado por “*” (asterisco) que irá piscar na tela. As teclas da calculadora podem executar duas ou até três funções, temos a função primária, na cor branca, e as funções secundárias, representadas pelas cores azul e laranja. Para o acesso às funções secundárias, deverá ser usada a tecla de prefixo, localizadas na área inferior esquerda da calculadora, tecla de cor laranja para funções em laranja, tecla azul para o acesso à funções em azul. Um detalhe importante a ser observado no dispositivo, é o separador de decimais, na calculadora temos a tecla do separador decimal o ponto, servirá para os números fracionários. Porém, é possível trocar o ponto por vírgula, que é na verdade a notação adotada aqui no Brasil, para isso mantenha a tela do ponto pressionada e ligue a calculadora, na sequência solte o botão do ponto, pronto, estará convertida para formato brasileiro, ou seja, aparecerá a virgula na tela para a leitura dos números fracionários.

Observe que quando for utilizados números em formato de milhar, a cada três casas a calculadora colocará um ponto automaticamente, haja visto que, se você fez a personalização do separador decimal para vírgula. Para números negativos a calculadora apresentará o sinal de menos à frente dos numerais, caso deseje transformar um número em negativo ou vice-versa, use a tecla chamada “CHS”.

Tabela de erros da HP12c Código de erro apresentados no visor da calculadora:  Erro 0: Matemática  Erro 1: Estouro do registro de armazenamento  Erro 2: Estatística  Erro 3: IRR (Taxa Interna de Retorno)  Erro 4: Memória  Erro 5: Juros compostos  Erro 6: Registros de armazenamento  Erro 7: IRR (Taxa Interna de Retorno)  Erro 8: Calendário  Erro 9: Assistência técnica

Cálculos aritméticos Cálculo aritmético simples, nada mais é do que dois números e uma operação, podendo esta ser: adição, subtração, multiplicação ou divisão. Realizar um cálculo qualquer desse tipo com o dispositivo, você precisa primeiro informar os números e indicar a operação a ser executada depois. A resposta é informada quase que instantaneamente quando a tecla de operação (+, -, × ou ÷) é pressionada.

Os dois números devem ser inseridos na memória da calculadora, na mesma ordem em que apareceriam se o cálculo fosse escrito em papel: da esquerda para a direita. Sempre, após digitar o primeiro número tecle “ENTER”, isso indicará o término da digitação. Exemplo de operação: 1) Digite o primeiro número, aperte “ENTER” 2) Digite o segundo número 3) Aperte a operação desejada (+, -, × ou ÷) para executar

Mais exemplos: 1) 13 ÷ 2, faça: digite 13, “ENTER”, digite 2, aperte “÷”. 2) (3 × 4) + (5 × 6), faça: digite 3, “ENTER”, digite 4, aperte “×”, digite 5, “ENTER”, digite 6, aperte “×”, pressione “+”. 3) 5 ÷ (3 + 16 + 21), faça: 5, “ENTER”; 3, “ENTER”, 16, “+”, 21, “+”; Pressione “÷”.

Não há segredos, apenas prática, e essa calculadora demanda realmente que você pratique!

Consulte o guia do usuário da HP12c online, encontrará muitos exemplos práticos de uso com a explicação necessária para o entendimento correto dos procedimentos. Você encontrará em: <http://h10032.www1.hp.com/ctg/Manual/bpia5239.pdf>. Também poderá contar com uma HP12c on-line, basta acessar <www.epx.com.br>.

Armazenamento e recuperação de memória numérica Para armazenar um número que está no mostrador na memória de armazenamento:

Armazenando Estando o número que se deseja memorizar no mostrador, aperte “STO”, em seguida digite o número de registro: “0” a “9”.

Recuperando Para recuperar o número armazenado no registrador, siga os passos: Aperte “RCL”, e na sequência digite o número do registro a que se deseja recuperar, o número armazenado aparecerá no visor.

Funções de percentagem A calculadora conta com três funções de percentagem, são elas: %, ∆% e %T. No uso da função %, você não irá precisar converter os números em razão centesimal, ou seja, dividi-los por 100.

Função porcentagem (%) Para calcular o valor que corresponde à percentagem de um dado valor, exemplo: calcular 5% de 730 1) Digite o número base, aqui no caso é o 730, aperte “ENTER”; 2) Digite a percentagem, nosso exemplo: 5, e aperte “%”. A resposta no visor é a correspondência dos 5% de 730.

Variação Percentual (∆%) Para encontrar a variação percentual entre dois números, por exemplo: o valor do litro da gasolina era de R$ 2,99, com o aumento foi para R$ 3,12, qual foi a variação percentual do preço por litro da gasolina? 1) Digite o número base, que em nosso caso é 2,99 seguido de “ENTER”; 2) Digite o novo preço, no exemplo 3,12 e pressione ∆%. O resultado corresponde a variação percentual do preço.

Percentual do total (%T) Essa função tem o objetivo de encontrar quanto um determinado valor é equivalente percentualmente do outro, exemplo: o total de vendas da empresa foi de R$ 300.000,00, se o vendedor A vendeu R$ 170.000,00, qual foi a participação dele no resultado da empresa? 1) Digite o total das vendas, sempre inicie pelo ponto de comparação, nesse caso o 300.000, em seguida pressione “ENTER”; 2) Digite o valor correspondente ao vendedor A, no exemplo foi de 170.000, então pressione a tecla “%T”. O resultado é a equivalência percentual da contribuição do vendendo A frente ao resultado geral da empresa.

Funções matemáticas Potenciação Para encontrar a potência enésima ( ) de um número qualquer, utilizamos a seguinte sequência: Exemplo:

1) Digite 8, “ENTER”; 2) Digite 5 e aperte “y^x”.

Recíproco Pressionando “1⁄x”, podemos calcular o inverso do número apresentado no mostrador, isto é, a calculadora irá dividir 1 pelo número no apresentado no mostrador.

Raiz quadrada Pressionando “g” “√x” calcula a raiz quadrada do número no mostrador, observe que essa função está em azul, por isso utilizamos a tecla azul. Não é necessário o uso do “ENTER”, pois a função é raiz quadrada de , sabe-se que detalhe não usamos a tecla de entrada.

é o visor, por esse

Raiz cúbica ou superior A calculadora HP12c não possui uma tecla específica para o cálculo de raiz cúbica ou superior diretamente, para isso, devemos utilizar duas funções que nos dará o resultado esperado. Exemplo: quanto é √ ? 1) Digite o radicando, nesse exemplo o numeral 8, e pressione “ENTER”; 2) Agora digite o índice da raiz, no caso 3, e pressione na sequência: “1⁄x” e depois “y^x”. Pronto, o resultado apresentado é o valor da raiz procurada.

Logaritmo A calculadora possui apenas a função de calcular logaritmos naturais ou também chamados logaritmos neperianos. Isso significa que ela não possui a capacidade de calcular logaritmos decimais? Apesar do equipamento não ter essa função, a matemática nos permite usar uma propriedade dos logaritmos para encontrar o valor do log decimal de um determinado número. Para isso usamos a propriedade da inversão de base, mas também não há nenhum problema em se usar os logaritmos neperianos nos nossos cálculos, pois os logaritmos decimais nasceram dos neperiados, mesmo que os logaritmos em questão tenham valores diferentes, o resultado final do exercício aplicado será o mesmo! 1) Digitando o numeral, sem a necessidade de pressionar “ENTER”, faça “g” “LN”; O resultado é o logaritmo natural, mas caso realmente necessite do log decimal, prossiga com o seguinte passo, lembre-se: somente se necessitar de log decimal! 2) Digite 10, aperte na sequência: “g”, em seguida “LN”, finalmente “÷”. Pronto, o resultado apresentado, trata-se do log decimal no nosso primeiro numeral a que iniciamos o processo.

Funções de calendário As operações com datas realizadas na HP12C estão restritas à faixa que compreende 15 de outubro 1582 a 25 de novembro de 4046. A calculadora possui dois formatos de entrada, sendo M.DY (mês, dia e ano) ou D.MY (dia, mês e ano), podemos selecionar o método de entrada da seguinte forma: “g” “M.DY” (tecla 5) ou “D.MY” (tecla 4). No formato “brasileiro” de data, será exibido um indicador (D.MY no visor), no mostrador da calculadora, comunicando o formato de entrada padrão. Para entrar datas na HP12C, utilize por questões didáticas o formato D.MY, portanto a data 06/07/2010 será “06.072010”. Teclas empregadas nas funções de calendário:  D.MY → Formato dia/mês/ano (usado no Brasil)  M.DY → Formato mês/dia/ano (usado no USA)  ΔDYS → Variação em dias, quando queremos saber quantos dias há entre duas datas  DATE → Dia da semana Exemplo 1: Encontrar a quantidade de dias entre datas 1) Pressione “g” e “D.MY” para mudar a calculadora para o modo brasileiro (dia/mês/ano); 2) Digite 20.012011 (assim mesmo como está escrito; não se esqueça do ponto) e aperte “ENTER”; 3) Digite a segunda data: 06.072011; 4) Finalmente, aperte na sequência: “g” e “ΔDYS”. Esse cálculo considera o número real de dias de cada ano (ano civil), incluindo-se os anos bissextos. A calculadora HP 12c determina também o número de dias entre as duas datas, considerando que os doze meses do ano têm trinta dias, ou ano de 360 dias (ano comercial), resultado obtido pressionando em sequência a tecla “x>< y”.

Exemplo 2: Em que dia da semana caiu 31/07/1997? 1) Entre com a data: “31.071997” e pressione “ENTER”; 2) Digite: “0”, e na sequência “g” e “DATE”. Resposta no visor: 31.07.1997 4 (4 = quinta-feira) Como sabemos que 4 é uma quinta-feira? Existe uma tabela da calculadora, veja:  1 = segunda-feira  2 = terça-feira  3 = quarta-feira  4 = quinta-feira  5 = sexta-feira  6 = sábado  7 = domingo Exemplo 3: Somar determinado número de dias a uma data e conhecer o dia da semana, nesse exemplo, iremos somar 4 dias à data de 06/07/2010: 1) Digite a data: “06.072010”, pressione “ENTER”; 2) Digite “4”, aperte “g” e na sequência “DATE”. Resposta no visor: 10.07.2010 6 (6 = sábado). Observação: para se conhecer uma data anterior, ou seja, descontando um número de dias específico, basta utilizar a tecla “CHS” logo após a digitação do número de dias, antes mesmo das próximas funções.

FLUXO DE CAIXA O termo fluxo de caixa simboliza uma sequência de entradas e saídas, ou até mesmo apenas uma única situação desta, de valores (dinheiro) ao longo do tempo.

Para Vieira Sobrinho (2011, p.64) um fluxo de caixa “pode ser entendido como uma sucessão de recebimentos ou de pagamentos, em dinheiro, previstos para determinado período de tempo”. O objetivo da abordagem desse assunto será apenas para você compreender o posicionamento de parcelas (valores), onde sua compreensão ajudará no entendimento de questões relacionadas ao estudo de séries de pagamentos. Vejamos um exemplo básico: Uma operadora financeira concede a determinado cliente um empréstimo no valor de R$ 40.000,00, na qual deverá ser quitado em 6 prestações iguais de R$ 9.000,00.

Diagrama de fluxo de caixa O diagrama de fluxo de caixa nada mais é que a representação gráfica das operações concorrentes, usando os valores das entradas e saídas para moldar a interpretação visual. Confeccionar o diagrama é tarefa simples, usamos algumas setas verticais ao logo de uma reta horizontal para demonstrar as entradas e as saídas. No caso das entradas, dizemos que estamos realizando uma operação de crédito, as setas verticais apontarão “para cima”. Já as operações de saída, os débitos, são representados por setas verticais apontando “para baixo”. Então é simples, setas na parte superior da reta representam créditos, setas na parte inferior da reta horizontal demonstram os débitos. Agora usando o mesmo exemplo abordado no início do assunto, farei a demonstração do diagrama usando o ponto de vista da instituição financeira. 9.000,00 9.000,00 9.000,00 9.000,00

9.000,00

00 1

40.000,00

Perceba que os números de 0 a 6 representam o período de tempo, onde 0 é o tempo presente, o exato momento da tomada do empréstimo, os números de 1 a 6, representam as parcelas que ocorrem em intervalos iguais. A seta inferior, representa a saída do caixa, visão do banco, no valor de R$ 40.000,00. Da mesma forma as setas superiores demonstram as entradas por consequência desse empréstimo, créditos no valor de R$ 9.000,00. Usei o ponto de vista do banco, se for o ponto de vista do cliente, é muito fácil, basta inverter o cenário, ou seja, uma entrada de R$ 40.000,00 usando a seta superior, e ao longo do período, setas inferiores sinalizando a saída (débitos) de dinheiro do caixa do cliente. Também podemos encontrar exemplos ou situações reais em que temos setas superiores e inferiores mesclando a linha de tempo (figura 2), visualizando entradas e saídas ao mesmo tempo, isso é comum quando estudamos o caixa de uma empresa. Simplesmente teremos um maior número de setas indicativas para representar o caixa.

FIGURA 2 - Exemplo de setas mesclando o período

Fonte: Rigoni (2012)

Interessante apontar o terceiro período com entrada e saída ocorrendo ao mesmo tempo, isso é comum no estudo de fluxos de caixa com considerável número de movimentações financeiras.

JUROS SIMPLES Os juros simples nada mais são do que a o resultado da aplicação de valores percentuais, que chamamos de taxa de juros, sobre valores monetários. Também entendemos como juros a remuneração de certo capital, onde uma parte deverá fazer a compensação dos valores de modo a obter lucro e correção do valor, evitando assim a desvalorização da moeda frente a uma situação inflacionária. Castanheira apud Castanheira e Macedo (2010, p.15) coloca alguns motivos para a existência dos juros:   



Valor pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros colocado à nossa disposição; Remuneração do capital empregado em atividades produtivas; Remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado; Remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro.

Quando estudamos os juros simples, esse é representado nas fórmulas por meio da letra J, quando usamos esse termo, estamos fazendo referência a um valor monetário resultado da aplicação de uma taxa de juros, os juros não são valores percentuais, e sim, monetários. A taxa de juros, que na grande maioria dos casos, é representada pela vogal i, esse sim é um valor percentual, mas muito cuidado, no momento do cálculo os valores de i serão sempre em razão centesimal, ou seja, o percentual dado será dividido por 100, para na sequência ser usado na fórmula. Há apenas a exceção do uso do i na calculadora HP12c, mas num momento mais oportuno falaremos mais sobre isso. O capital, ao qual a taxa de juros aplicada geram os juros, serão representados pela letra C, é comum encontrar também sua representação por meio da letra P, então não se assuste quando usar autores diferentes, perceber o uso de outra letra, importante saber que isso não influenciará em nada, é apenas uma incógnita. Quando agregamos os juros ao capital dizemos que constituímos o montante, representado pela letra M.

Logo, vou lhe apresentar duas fórmulas de juros simples: 1ª) 2ª)

A primeira fórmula é usada para encontrar o valor dos juros, ou até mesmo as outras incógnitas que a compõem, bastando apenas conhecer as demais. Já a segunda fórmula, é na verdade, a aplicação da construção do montante quando somamos o valor dos juros ao capital principal. Então para deixar de maneira mais clara, vou usar um exemplo: suponha que um empréstimo de capital, no valor de R$ 1.000,00, deverá ser quitado após o acréscimo de 10% de taxa de juros, qual será o montante pago? Essa resolução é fácil, bastando aplicar a fórmula:

Explicando melhor os cálculos, note que a taxa foi dividida por 100, pois a fórmula não admite valores percentuais, na sequência o valor de juros (R$ 100,00) foi somado ao capital (R$ 1.000,00) formando então, o montante (R$ 1.100,00).

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES A capitalização simples é uma expansão dos juros simples, a diferença aqui agregada está no fato de considerarmos o período ao qual o capital sofrerá correção dos juros, e quando cito período, quero chamar sua atenção para mais uma incógnita que representa o “tempo”, a letra n.

Desta forma o mesmo exemplo acima, o empréstimo de R$ 1.000,00, que deverão ser corrigidos por uma taxa de juros de 10% ao mês, será quitado após 3 meses, calcule o montante. Percebeu a chegada da variável tempo? Isso muda as coisas, principalmente a fórmula dos juros que agora poderá ser apresentado como:

A constituição do montante não mudará em absolutamente nada, apenas, como disse, a fórmula dos juros. Resolvendo o problema temos:

A alteração ocorreu apenas na fórmula dos juros, assim, sempre que a taxa por aplicada por um período determinado, você deverá usar essa fórmula.

EQUIVALÊNCIA DE TAXAS DE JUROS SIMPLES Como agora iniciamos a incógnita de tempo na capitalização simples, será necessário

que

você

entenda

algumas grandezas de

tempo

comumente

empregadas nos cálculos. Essas grandezas possuem abreviações que irão facilitar o trabalho, logo, existem taxas:  ao dia = a.d.;  ao mês = a.m.;  ao bimestre = a.b.;  ao trimestre = a.t.;  ao semestre = a.s.;  ao ano = a.a.

No cálculo da capitalização simples e na equivalência de taxas, a grandeza do período e da taxa devem ser idênticos, do contrário não há equivalências, assim é necessário converter o período ou a taxa, fazendo com que sejam iguais para então serem operados na fórmula. Para melhor exemplificar, tomo por base uma taxa de 3% a.b. por um período de tempo de 7 meses. Atenção, a taxa possui uma grandeza bimestral, mas o período está em meses, pergunto: será possível converter os 7 meses em equivalência bimestral sabendo que um bimestre tem dois meses? Não será possível porque o período com valor em bimestre não será um número inteiro, e valor de período “quebrado” (número fracionário) é um tanto perigoso, o arredondamento do número poderá esconder valores consideráveis no fim do cálculo. Por isso, recomendo sempre converter a taxa caso o período não se torne um número inteiro. Portanto, iremos transformar a taxa de 3% a.b., sabendo que o bimestre possui 2 meses, dividimos 3 por 2, assim a taxa equivalente será de 1,5% a.m. A taxa com valor quebrado não apresenta riscos maiores do que o período, mesmo realizando arredondamentos na taxa, a diferença no final será ainda menor do que o provado pelo arredondamento do período. Como o maior usuário de taxas é o sistema financeiro, ressalto que a conversão deve ser observada sobre o critério de duas situações, estaremos lidando com um calendário civil ou calendário comercial, também chamado de bancário. Bom, essa diferença está no número de dias contidos em um único mês e ano. Por padrão, o calendário comercial adota a metodologia de qualquer que seja o mês em questão, este terá exatos 30 dias, já o ano terá 360 dias, diferentemente do calendário civil onde você encontrará meses com 28, 30 ou 31 dias, havendo a possibilidade de ano bissexto com o mês de fevereiro contando com 29 dias. O ano civil possui 365 dias ou 366 para o bissexto. Imagine a confusão que isso iria gerar para a aplicação da conversão de taxas, teríamos taxas diferentes em anos bissextos comparados aos não bissextos. Esse padrão comercial vem resolver o problema.

CÁLCULO DO MONTANTE E CAPITAL Faço uma abordagem especial nesse momento, para o cálculo do montante e capital, vou inserir mais uma fórmula ao nosso quadro de fórmulas dos juros simples. Nos exemplos acima empregados, o valor dos juros foi calculado separadamente, e então somado ao capital para formar o montante. Existe uma fórmula que facilmente responderá o valor do montante sem a necessidade de empregar duas fórmulas na solução. (

)

É sabido que a variável M representa o montante, i a taxa em formato centesimal e n o período, tomando o devido cuidado para taxa e período estarem na mesma grandeza de tempo. A mudança na fórmula se faz no posicionamento no numeral 1 (um), ele é a representação centesimal do todo, ou seja, os 100% do capital acrescidos de uma taxa que será primeiro multiplicada pelo período. Aplicando a fórmula no exemplo já batido: empréstimo de R$ 1.000,00, que deverão ser corrigidos por uma taxa de juros de 10% ao mês, será quitado após 3 meses, calcule o montante. Você poderá agora usar apenas uma única fórmula, desta forma, a resolução será: (

) (

)

Muito mais fácil, concorda? Agora poderá resolver os problemas de montante como também encontrar outra variável da fórmula, desde que as demais variáreis sejam conhecidas.

Farei alguns exemplos: 1) Um empréstimo de R$ 5.000,00 que será quitado em uma única parcela cinco meses após, com uma taxa de juros simples de 2%a.m. De quanto será o montante ao final do quinto mês? (

)

(

)

2) Determinar o valor atual de um título cujo valor de resgate é de R$ 60.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% a.m. e que faltam quatro meses para o seu vencimento. (

)

(

) (

)

3) Um empréstimo de $ 40.000,00 deverá ser quitado por $ 80.000,00 no final de 12 meses. Determinar as taxas mensal e anual cobradas nessa operação. (

) (

)

O resultado está em centesimal, devemos multiplicar por 100 para transformá-lo em porcentagem, deste modo temos:

Como sabemos se é a.m.? Simples, usamos a grandeza do período em meses, logo a resposta será também em meses, mas não finalizamos o exercício ainda, pede que seja informada a taxa anual, para isso iremos multiplicar por 12, afinal, o ano possui doze meses e a taxa encontrada é equivalente a um único mês.

A dica de observar a unidade de tempo do período vale de maneira inversa também, deste modo se você conhecer uma taxa ao mês e utilizá-la na fórmula para encontrar o período, tenha a certeza que esta será em número de meses.

CALCULANDO JUROS SIMPLES NA HP12C Apesar de não ser o “forte” da calculadora, é possível usarmos uma função da mesma para o processo de cálculo do valor dos juros e do montante final, não será possível o cálculo automatizado de incógnitas como a taxa de juros usada, o período e o capital inicial da operação. Porém, você verá nos juros compostos que o uso da HP12c é imprescindível, afinal, a justificativa de seu uso se dá por meio dos juros compostos, sua verdadeira “praia”. Tomaremos como exemplo 1, o seguinte caso: Calcular o montante da aplicação de um capital de $ 8.000,00, pelo prazo de 12 meses, à taxa de 3% ao mês. ( (

) )

Essa seria a resolução corriqueira do problema, ou seja, de maneira manual, mas como seria a metodologia da calculadora? Bem, é bem simples, mas atente-se às teclas de funções utilizadas, de posse das mesmas informações do exemplo anterior: 1) Digite “8000” e tecle “PV”; 2) A HP12c na capitalização simples compreende o período apenas em dias, desta forma devemos converter os meses em dias, convertendo 12 meses em dias:

digite: “360” e tecle “n”, justificando que 360 dias são 12 meses × 30 dias comerciais/mês; 3) A taxa deverá ser sempre anual (a.a.), portanto também converteremos a taxa dada que está em mês para ano, assim convertendo 3% a.m. em anual, você fará: digite “36” e tecle “i”, o 36 se justifica por 3 × 12 meses; 4) Finalmente tecle o prefixo “f” (tecla laranja) e em seguida “INT”.

O resultado do mostrador é o valor dos juros, para acrescentar os juros ao montante inicial basta pressionar a tecla “+”. Lembrando que os resultados estão em negativo devido a metodologia de trabalho do dispositivo, onde é usado o método de fluxo de caixa, apontando a saída do valor, uma vez que $ 8.000,00 foi a entrada do caixa. Exemplo 2: Calcular os juros produzidos e o montante acumulado por uma aplicação de $1.000,00, a uma taxa de desconto racional de 5% ao mês, durante 6 meses, no regime de juros simples. Solução (irei abreviar o mapa de teclas, de forma a não ficar cansativo o seus estudo, bastando apenas executar o procedimento em sequência): 1) “1000” “PV”; 2) “5” “ENTER” “12” “×” “i”; 3) “6” “ENTER” “30” “×” “n”; 4) “f” “INT” “+”. Exemplo 3: Calcular o valor a ser aplicado para que no final de 7 meses seja possível retirar um montante igual a $20.000,00, a uma taxa de desconto racional de 3% ao mês no regime de juros simples. 1) “20000” “ENTER”; 2) “1” “ENTER”; 3) “0,03” “ENTER”; 4) “7”; 5) “×”; 6) “+”; 7) “÷”.

Exemplo 4: Calcular a taxa mensal de desconto racional que faz um capital dobrar de valor em 8 meses. Por questões de didática, vamos considerar o capital inicial sendo $ 100,00 e o montante final $ 200,00, já que não foi informado no exercício o capital e montante. 1) “100” “ENTER”; 2) “200”; 3) “Δ%”; 4) “8”; 5) “÷”. Exemplo 5: Calcular o tempo necessário para que um capital de $100.000,00 alcance o montante de $160.000,00, sabendo que a taxa de desconto racional utilizada será de 4% ao mês. 1) “100000” “ENTER”; 2) “160000”; 3) “Δ%”; 4) “4”; 5) “÷”. Você pode notar nos exemplos aplicados, que existem várias formas de se calcular juros simples na HP12c, usando funções matemáticas para nos auxiliar.

DESCONTO SIMPLES O desconto simples é uma técnica muito utilizada por instituições financeiras para o cálculo do valor de antecipação de títulos ou documentos. Sua base é formada pelo juro simples, portanto teremos poucas alterações frente ao que já foi visto. Vieira Sobrinho (2011, p.47) conceitua como uma “operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer determinar o seu valor atual”.

Para darmos início ao entendimento do mecanismo de desconto, entenda que o valor de desconto de um título nada mais é que a diferença entre o seu valor de resgate e o seu valor atual, desta forma, podemos equacionar:

Sendo a incógnita D o valor do desconto, as demais não mudam, seguem a padronização dos juros simples. A operação de desconto simples, também é chamada por desconto bancário ou desconto comercial, é muito utilizada como dito, por instituições financeiras, geralmente na prática de antecipação de duplicadas. Para o cálculo do desconto utilizando o valor nominal, taxa de desconto e prazo para vencimento ou resgate tem:

Na fórmula do desconto (acima), temos uma nova incógnita, a letra d, que por sua vez representa a taxa de desconto, isso se faz necessário para não ocasionar confusão entre taxa de juros com taxa de desconto, são coisas distintas, mas no cálculo ela deve passar pelo mesmo processo, a divisão por 100, transformando os valores percentuais em razão centesimal. Lembrando que essas fórmulas estudadas podem ser adaptadas para encontrar qualquer uma das incógnitas que a compõe, bastando assim, conhecer as demais. Veremos alguns exemplos. Exemplo 1: Calcule o valor de desconto simples de um título, cujo valor de face é de R$ 2.000,00, seu vencimento é para 90 dias, considere taxa de desconto de 2,5% a.m. Solução: à primeira vista, nota-se a diferente grandeza de tempo do vencimento em relação à taxa, como o prazo é de 90 dias, facilmente poderá ser transformado para meses, simplesmente dividindo por 30 (mês comercial = 30 dias).

Exemplo 2: Encontre a taxa mensal de desconto, utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00, sabendo que seu valor presente é de R$ 880,00. Solução: converter os 120 dias em meses: 4 meses, veja que não conhecemos o valor do desconto para usar a fórmula do desconto, montante e prazo, assim, utilizarei como fórmula auxiliar nossa primeira fórmula do desconto, desse modo poderei tornar conhecido o desconto, para então no próximo passo calcular a taxa de desconto.

Como sabemos que a taxa é a.m.? Basta observar a grandeza de tempo no período, como utilizei um valor em meses, a resposta será também em meses. Prosseguindo nosso assunto de desconto simples, que apresentar uma nova fórmula, que nos será muito útil, essa nova fórmula lhe dará a capacidade de calcular o montante (M), capital principal (P), a taxa de desconto (d) ou até mesmo o período (n), sem conhecermos o valor do desconto.

(

)

Esta nova fórmula é muito próxima à equação dos juros simples, mas com algumas adaptações.

Como aplicar essa fórmula? Veja o exemplo: Exemplo 1: Uma operação de desconto gerou um crédito ao cliente no valor de R$ 70.190,00 em sua conta corrente. Sabendo-se que esse título tem um prazo a decorrer de 37 dias até seu vencimento, também é sabido que o Banco cobra, nesse tipo de operação, uma taxa de desconto de 5,2% a.m. Calcular o valor da duplicata. Solução: o período de 37 dias, apresentado no exercício não se tornarão num valor de mês ou meses inteiro, e como já visto, períodos fracionários são perigosos devido ao seu arredondamento, por segurança sempre, nesses casos, converta a taxa, como o prazo é dias e a taxa está em mês, irei dividir a taxa por 30.

(

)

Você poderá dividir a taxa fora ou dentro da fórmula, fique por seu critério se irá converter dentro ou fora da fórmula, o resultado será o mesmo.

Desconto simples para série de títulos de mesmo valor Imagine uma situação em que você venda um automóvel em dez parcelas iguais, com vencimentos mensais. Então para comprar seu novo automóvel precisará do recurso financeiro que se encontra em forma de títulos que estão a vencer, logo não poderá contar com esses valores. Assim, você decide procurar seu banco, numa conversa com o gerente, decide fazer a troca dos cheques por um valor presente, bem sabemos que o banco irá cobrar uma taxa de desconto para a operação, se desejar simular a operação para tomar conhecimento do valor que o banco irá pagar líquido pelos seus títulos, deverá então realizar os cálculos de desconto um a um? Calcular um a um funciona, mas temos uma maneira mais eficiente de encontrar o valor líquido final, a fórmula responsável por esse cálculo é:

Sendo: DT: valor de desconto total; M: valor do montante ou valor de resgate; N: número de títulos; d: taxa de desconto, em razão centesimal; t1: tempo do primeiro vencimento a ocorrer; tn: tempo do último vencimento a ocorrer. Não esqueça que esta fórmula se aplica apenas a títulos de mesmo valor e com a mesma periodicidade de vencimentos e que também sejam sucessivos, do contrário o cálculo deverá ser feito um a um. Como estou falando sobre vários títulos, para o cálculo do valor principal, também necessitaremos de uma fórmula para o cálculo do valor líquido a ser creditado, utilizaremos a fórmula:

Sendo: DT: valor de desconto total; M: valor do montante ou valor de resgate; N: número de títulos; PT: valor líquido total. Vou demonstrar o funcionamento das fórmulas: Exemplo 1: Calcule o valor líquido correspondente a uma operação bancário de desconto, sabendo que são 12 títulos, no valor de R$ 1.680,00 cada um, vencíveis de 30 a 360 dias, respectivamente, usando uma taxa cobrada pelo banco de 2,5%a.m. Solução: note que taxa e vencimento estão em “tempos” diferentes, logo vou converter o prazo de vencimento, sendo 30 dias = 1 mês e 360 dias = 12 meses, partiremos ao cálculo:

Se analisar, verá que a primeira fórmula apenas apurou o valor total do desconto, sendo necessária a utilização do segundo modelo matemático para conhecer o valor líquido total creditado ao cliente desta operação.

ATIVIDADES 1) Calcule o valor dos logaritmos: a) b) c)

d) e)

√

2) Determinado produto iniciou o dia cotado a R$ 285,00 a saca de 50kg, após negociações no mercado da bolsa de valores, sobre aumentos sucessivos de 1,5%, 3%, 4,5% e 5,3%, calcule o percentual efetivo de aumento e o preço de cotação final após a incidência dos aumentos. 3) Um banco concede ao cliente um empréstimo de R$ 50.000,00, para pagamento em 6 prestações iguais de R$ 9.800,00. Represente graficamente o fluxo de caixa sob o ponto de vista do banco. 4) Determinar quanto renderá um capital de R$ 60.000,00 aplicado à taxa de 24% a.a., durante sete meses. 5) Um capital de R$ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de R$ 11.200,00. Determinar a taxa anual. 6) Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000,00, resultante da aplicação de certo capital à taxa de 42% a.a., durante 13 meses?

7) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado no dia 19/06/2011 e resgatado em 20/01/2012. Sabendo-se que a taxa de juros da aplicação foi de 56% a.a., calcular o valor dos juros, considerando-se o número de dias efetivo entre as duas datas. 8) Determinar o capital necessário para produzir um montante de R$ 798.000,00 no final de um ano e meio, aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre. 9) Em quanto tempo um capital aplicado a 48% a.a. dobra o seu valor? 10) Uma duplicata de R$ 70.000,00, com 90 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descontada por um banco à taxa de 2,7% a.m. Calcular o valor líquido entregue ao creditado ao cliente. 11) Calcular o valor do desconto de um título de R$ 100.000,00, com 115 dias a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3% ao mês. 12) Sabendo-se que o desconto de uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, com 150 dias a vencer, gerou um crédito de R$ 22.075,06 na conta do cliente, determinar a taxa mensal de desconto. 13) Determinar o valor nominal ou de face de um título, com 144 dias para o seu vencimento, que descontado à taxa de 48% a.a. proporcionou um valor atual de R$ 38.784,00. 14) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9.800,00, que sofreu um desconto de R$ 548,50, à taxa de 32% a.a. 15) Uma empresa apresenta a um banco, para desconto, 4 duplicatas no valor de R$ 32.600,00 cada uma, com vencimentos para 60, 120, 180 e 240 dias. Calcular o valor líquido creditado pelo banco na conta da empresa, sabendo-se que a taxa de desconto cobrada é de 2,4% a.m. 16) ) Determinar a que taxa deve ser descontados 3 títulos, no valor de R$ 6.000,00 cada um, com vencimento para 30, 60 e 90 dias, para que se tenha um valor atual, global, de R$ 16.524,00.

UNIDADE III: JUROS COMPOSTOS E O SISTEMA HAMBURGUES DE CALCULO OBJETIVOS DA UNIDADE Caro aluno, chegamos a Unidade III, você concluiu 50% dos conteúdos da disciplina, conheceu novos termos e fórmulas, sem falar de operações básicas que ocorrem em nosso mercado financeiro, e vejo grande importância nessas operações, pois nos permite uma visão mais ampla daquilo que se é realizado em operações financeiras. Deste ponto em diante, de maneira mais aprofundada, discutiremos assuntos que movem o funcionamento de aplicações financeiras e a base para futuros conteúdos, onde entenderá os princípios de financiamentos e empréstimos. Nesta Unidade você verá:  Cálculo dos juros compostos;  Montante e capital nos juros compostos;  A equivalência das taxas compostas;  Uso da HP12c com juros compostos;  Desconto composto;  Sistema Hamburguês. Estudar juros compostos é necessário para compreender todo o processo que envolve financiamentos, empréstimos, aplicações financeiras que emanam métodos de depósitos mensais, faço aqui a reserva que esse conteúdo das parcelas de empréstimos e aplicações serão vistas na próxima Unidade, aqui veremos apenas sua base. Diferentemente da taxa de juros simples, a taxa de juros compostos necessitam de mais atenção para sua conversão, mas não se preocupe, veremos passo a passo.

Aqui, conhecerá as poderosas funções que estão contidas na sua calculadora, certamente irá justificar o investimento feito em sua aquisição. O desconto composto, técnica essa pouco utilizada, mas importante para fundamentar algumas operações nas instituições financeiras. Finalmente, o sistema hamburguês, método este que rege o sistema de cobrança dos juros em utilização do cheque especial ou limite da conta corrente. Mãos à obra e bons estudos!

JUROS COMPOSTOS Para melhor explicar o funcionamento dos juros compostos, quero chamar à sua mente os conceitos dos juros simples, note que, nos juros simples o juro sempre incide sobre o capital inicial, independentemente de qual for o prazo, sempre aplicamos a taxa sobre o capital inicial. Já no nosso assunto do momento, os juros compostos, a taxa incidirá sempre sobre o capital atualizado, ou seja, se falarmos de apenas dois meses de aplicação em regime de juros compostos, no primeiro mês temos a taxa incidindo diretamente sobre o capital principal, no segundo mês a taxa incidirá sobre o capital inicial corrigido pelos juros do mês anterior, quero dizer, o capital acrescido dos juros do primeiro mês. Esta metodologia é o modelo de funcionamento das cadernetas de poupança, a correção sempre incide sobre o saldo corrigido. Deste modo, nossa fórmula dos juros compostos sofre uma alteração considerável sem comparada ao modelo dos juros simples. Os juros compostos são também conhecidos como juros exponenciais ou juros sobre juros, isso gera grande debate acerca de processos judiciais montados para rever juros cobrados ou não pagos.

FIGURA 3 - Comparação de juros compostos e juros simples

Fonte: Elaborado pelo autor.

Na figura 3, é possível notar a diferença entre os sistemas de capitalização, ambos partem do mesmo ponto, o capital principal, mas ao longo do período o valor dos juros compostos se distância do eixo, isto devido ao valor dos juros serem calculados sempre sobre o valor atualizado, ocorrendo o fenômeno dos juros sobre juros, enquanto que na capitalização simples os juros incidentes sempre são calculados sobre o capital inicial. Os conceitos básicos de formação do montante são os mesmos, também iriei conservar as incógnitas já utilizadas, evitando confusões ou uma “salada” de incógnitas. As mudanças serão vistas apenas nas equações.

CÁLCULO DO MONTANTE E CAPITAL DOS JUROS COMPOSTOS O cálculo do montante e capital, usando juros compostos, torna-se um pouco mais complexo, em comparação ao regime de juros simples, devido ao já mencionado juros exponenciais, e desejo que fique bem claro que esse modelo é para um único pagamento, para múltiplos pagamentos será abordado na próxima Unidade.

Assim apresento a formula dos juros compostos: (

)

Note que as incógnitas são as mesmas, mas nossa variável de período (n), não está mais na posição de multiplicar a taxa (i), e sim na posição de exponencial, isso mesmo uma potência, por isso estudamos as propriedades da potência e equações exponenciais. Os juros compostos, no que diz respeito a parcela única, não demanda inúmeras fórmulas, tornando sua resolução mais direta, porém quando falamos em múltiplas parcelas você verá fórmulas para cada situação ocorrente. Agora quero exemplificar o uso da fórmula dos juros compostos. Exemplo 1: Ao final de dois anos, o Sr. Manoel deverá efetuar um pagamento de R$ 200.000,00 referentes ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Pergunta-se: Qual o valor emprestado? Solução:  M = 200.000,00  n = 2 anos, convertendo em meses temos 24 meses  i = 4% a.m.  a pergunta é: qual o valor do principal (P)? (

)

(

) (

)

Exemplo 2: Em que prazo um empréstimo de R$ 30.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 51.310,18, sabendo-se que a taxa contratada é de 5%a.m.?

Solução:  M = 51.310,18  P = 30.000,00  i = 5%a.m.  n = Qual o prazo? (

) (

)

Perceba que neste ponto não conseguimos aplicar o expoente por se tratar de uma incógnita, o que não permite multiplicar pelo o que está fora dos parênteses (os 30.000,00), assim nosso passo será passar os 30.000,00 dividindo no outro lado da igualdade. (

)

(

)

Temos novamente o problema da incógnita na potência, para resolver, irei usar um artifício matemático, o logaritmo, pois nos logaritmos temos uma propriedade (propriedade do “tombo”) que irá transformar o expoente numa multiplicação, prosseguindo: (

)

Uma vez transformado tudo em logaritmo aplico a propriedade do tombo:

Exemplo 3: A loja “Móveis e Eletros” financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 16.000,00, sem entrada, para pagamento em uma única parcela de R$ 22.753,61 no final de 8 meses. Qual a taxa mensal cobrada nesta operação?

Solução:  M = 22.753,61  P = 16.000,00  n = 8 meses  i = Qual a taxa cobrada? (

) ( ( (

)

) )

Neste exemplo, nosso movimento matemático se deu numa incógnita dentro dos parênteses, deste modo não podemos elevar, como então podemos resolver o expoente 8? Usaremos a técnica de isolar a incógnita, assim o expoente passará para o outro lado da igualdade, logo o contrário de uma potência será uma raiz com índice 8! √

Consulte os procedimentos da HP12c descritos neste guia para cálculo de raízes de índice superior a 2. Exemplo 4: Determine o montante correspondente a uma aplicação de R$ 10.000,00, no prazo de 7 meses a uma taxa de 3,387%a.m. Solução:  P = 10.000,00  n = 7 meses  i = 3,387%a.m.  M = Qual será o montante?

(

)

(

) (

)

(

)

Você acompanhou os cálculos e pode notar que em todos os exemplos, apenas uma única fórmula foi utilizada, confirmando a fundamentação que fiz acima sobre os juros compostos em uma única parcela.

EQUIVALÊNCIA DE TAXAS COMPOSTAS Assim como as equivalências de taxas simples, o juro composto também possui a regra, porém na capitalização simples a conversão se dá numa divisão ou multiplicação por valores das grandezas de tempo (dias, mês, bimestre, trimestre, semestre e ano), já a capitalização composta necessita de um modelo matemático para realização da conversão. Logo, a capitalização composta representada numa taxa de, por exemplo, 1%a.m., não poderá ser uma simples conversão e dizer que sua equivalência anual é de 12%a.a., não funciona desta forma devido a exponenciação da taxa, portanto para a conversão utilizaremos a seguinte fórmula: ( Sendo:  iq = “taxa que quero”  it = “taxa que tenho”  q = “tempo que quero”  t = “tempo que tenho”

)

Aproveitando o exemplo da taxa dada, 1%a.m., querendo conhecer a taxa equivalente anual, você irá proceder da seguinte forma: Solução:  it = 1%a.m.  q = 12 meses (quantidade de meses equivalentes a um ano)  t = 1 (como a taxa é ao mês, perceba que é singular, logo nossa taxa é equivalente a um mês)  iq = taxa ao ano equivalente que será calculada. (

)

(

) (

)

Na prática, engana-se quem diz, segundo o regime de capitalização composta, que uma taxa de 1%a.m. é equivalente a uma taxa de 12%a.a., você pode acompanhar e notou um valor maior que os 12%a.a., isso se deu graças ao modelo de exponenciação da taxa empregado nos juros compostos. Outro exemplo: imagine agora a situação dos 12%a.a. em regime de juros compostos, qual seria sua taxa equivalente mensal? Ótimo, vamos aos cálculos. Solução:  it = 12%a.a.  q = 1 mês (queremos a taxa ao mês, lembre-se do singular)  t = 12 (nossa equivalência em meses referente a um ano)  iq = taxa ao ano equivalente que será calculada. ( (

) )

(

)

DICA! Para realizar a operação de elevar a base (1,12) a um expoente no formato de fração ( ), use o seguinte procedimento na HP12c: 1) Digite: 1,12 e pressione “ENTER”; 2) Agora digite apenas a parte inferior da fração (denominador): 12 e pressione a tecla “ ” na HP12c e em seguida pressione “ . Com isso calculamos uma potência usando um expoente em fração.

JUROS COMPOSTOS NA HP12C Como visto, a capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital acrescido dos juros acumulados até o período anterior. É nesse momento que conhecemos a capacidade da calculadora HP12c, neste dispositivo, você verá que a única problemática é definir o nosso entendimento quanto às variáveis, padronizar as grandezas de tempo entre taxa e período, fora esses detalhes é muito prático lidar com a calculadora nos juros compostos. Afinal esse é sua principal finalidade, lidar com exponenciação da taxa. Neste ponto, quero deixar padronizadas as variáveis com as funções da calculadora, deste modo reconheceremos como: QUADRO 1 - Correspondência de teclas

Variável n i M P Fonte: Elaborado pelo autor.

Tecla (funções na HP12c) n i FV PV

Um ponto muito importante para o uso do dispositivo é que possui seu projeto de construção todo baseado em fluxo de caixa, isso significa que devemos observar as entradas e saídas (crédito e débito), para uma correta execução dos cálculos devemos nos ater a esse princípio, pois do contrário, a calculadora apresentará mensagem de erro, o chamado “ERRO 5”, certamente quando visualizar essa mensagem no visor será porque esqueceu-se de diferenciar entrada e saída. E como podemos diferenciar? Tal procedimento se dá em transformar a saída em número negativo, fazemos isso usando a tecla “CHS”, que deve ser pressionada antes de descarregarmos o valor digitado nas teclas de funções financeiras. Mas qual será o valor que devo usar sinal de negativo? Olhe, irá depender de qual visão você irá trabalhar, se você posicionar-se no lugar de uma instituição financeira, terá para o caso de empréstimos, uma saída (“PV”) negativa com uma entrada futura (“FV”) de valor positivo. Observando pelo lado do tomador de empréstimo, aquele que está recebendo o empréstimo, vemos esse processo ao contrário, a entrada (“PV”) é positiva para termos um pagamento futuro (“FV”) negativo. O que desejo deixar claro é: quando usamos as funções “PV” e “FV”, uma delas deve obrigatoriamente ser negativa, não importa qual, do contrário você verá a mensagem de erro dita anteriormente. Agora você pode perguntar: Mas e se eu só estou usando uma das funções, seja apenas o “PV” ou o “FV”? A resposta é direta: caso esteja realizando a execução da função financeira, a resposta será negativa se der entrada em valores positivos em uma das teclas de entrada de dados. Usar valores negativos (uso da tecla “CHS”) se aplica apenas então ao “PV”, ao “FV” e a uma tecla que iremos estudar em breve, a tecla “PMT”. Vamos a um exemplo: Calcular o montante de uma aplicação de $ 15.000,00 pelo prazo de 6 meses, à taxa de 3% ao mês. Solução:  P = 15.000,00  n = 6 meses  i = 3%a.m.

Com base no nosso quadro 1, trocaremos as variáveis conhecidas das fórmulas pelas teclas da calculadora, e nesse exemplo estou considerando que somos a instituição financeira que irá receber a aplicação, para no futuro devolver o montante corrigido, claro que você poderá fazer diferente, apenas tenha atenção ao uso da tecla “CHS”, desse modo farei: 1) Digitar “15000” e pressione “PV”; 2) Digitar “3” e pressionar “i”; 3) Digitar “6” e pressionar “n”; 4) Pressione “FV” para obter a resposta.

Notou que a resposta é “- 17.910,78”, um valor negativo? Isso porque não usamos o “CHS” no “PV”, numa visão de fluxo de caixa, recebemos os 15.000,00 e após 6 meses, devolveremos corrigido a 3% a.m. o montante de 17.910,78. Aproveitando as mesmas informações do problema, irei simular novas situações, quero que imagine a situação de aplicar os R$ 15.000,00 para sacar os R$ 17.910,78, conhecendo a taxa de 3% a.m., qual será o prazo? Óbvio que conhecemos essa resposta, mas faremos mesmo assim para fixar a metodologia da calculadora. Claro, não se esqueça de cada novo cálculo limpar a memória da calculadora, usando “f” “CLx”. Solução: 1) Digitar “15000” e pressione “PV”; 2) Digitar “3” e pressionar “i”; 3) Digitar “17910,78” e pressionar na sequência “CHS” e “FV”; 4) Pressione “n” para obter a resposta.

A calculadora está respondendo 6, simples não é? E podemos fazer isso em qualquer ordem, o único detalhe é: inserir primeiro todos os dados, por último usamos a tecla da função que queremos conhecer o valor, ou seja, a pergunta final.

EQUIVALÊNCIA DE TAXAS COMPOSTAS NA HP12C Como bem sabemos, as taxas poderão não estar na mesma proporção ou razão de tempo comparado ao período, assim, quando depararmos com a situação uma conversão de taxa ou período será necessário. Se a conversão do período for possível, e digo ser possível quando o processo de conversão gera um número inteiro no resultado, se não for número inteiro, recomendo que faça a conversão da taxa de juros, pois, arredondamentos no período geram diferenças muito maiores no resultado final, se comparado ao arredondamento da taxa convertida. A calculadora não faz automaticamente essa conversão, não há função que venha de fábrica para resolver esse processo, mas por se tratar de uma calculadora programável é que conseguimos criar essa função, tornando-a disponível para os cálculos. Esse procedimento que irei listar deve ser realizado na íntegra, por isso, preste muita atenção nos passos a serem realizados, não se preocupe se você se perder no processo de programação, é perfeitamente possível iniciarmos o processo do “zero” novamente.

Programação da HP12c para conversão de taxa de juros compostos Irei usar apenas a sequência de teclas, basta seguir a ordem, em nenhum momento você deverá ficar “segurando” uma tecla, em todas as situações são apenas os “cliques”, e não se preocupe com o que irá aparecer no visor da calculadora, você notará que o que ela irá mostrar é diferente do que foi pressionado, repito, não se preocupe, é normal! Vamos à programação: 1) “f” “CLx” 2) “f” “P/R” 3) “f” “PRGM” 4) “RCL” “i” 5) “100” “÷”

6) “1” “+” 7) “RCL” “PV” 8) “RCL” “FV” 9) “÷” “yx” 10) “1” “-” 11) “100” “×” 12) “g” “GTO” “00” 13) “f” “P/R” Observação: caso tenha se perdido em meio ao processo basta executar o seguinte procedimento: “f” “P/R”, e então inicie o processo do primeiro passo. Muito bem, agora sua calculadora está programada, esta programação não será perdida quando desligar o dispositivo, você apenas perderá se retirar a bateria da calculadora ou resetar. Para resetar o dispositivo é necessário remover a tampa da bateria e localizar um orifício com a indicação de “reset”, introduzindo um clips de papel para conseguir pressionar o botão. Mas não é de forma alguma comum resetar a calculadora, somente realizará essa tarefa se sua calculadora travar, o que não é fácil de acontecer. Ótimo, mas e agora? Como usar a programação que acabamos de criar? Vou usar os mesmos exemplos de conversão da taxa dados anteriormente para que possa ver o quanto é prático e funcional. Primeiro passo é entender dois conceitos básicos do funcionamento da programação, o uso das teclas PV e FV, são propositais, até por uma questão didática de fácil assimilação. A tecla PV chama “Preciso Ver”, e a tecla FV de “Fácil de Ver”, esses apelidos de fácil memorização irão ajudar durante o processo. O segundo passo vem com o entendimento de que a taxa que temos em mãos, a que iremos converter, para o cálculo é a fácil de ver (FV), logo a taxa que estou procurando é o que preciso ver (PV), absorvido esse conceito, basta executar o procedimento de alimentar as teclas e chamar a execução da função. Nosso primeiro exemplo de conversão foi a taxa dada de 1%a.m., querendo conhecer a taxa equivalente anual, ou seja, a taxa “a.a.”, lembrando mais uma vez

que as grandezas do período sempre são fornecidos no singular, fazendo a referência a uma unidade, note que a taxa conhecida de 1%a.m. refere-se a um único mês. Sabendo que é fácil de ver que é referente a 1 (um) mês, preciso ver a taxa equivalente a 12 meses (1 ano), sempre as grandezas deverão estar na mesma referência de tempo, aqui no nosso exemplo, usando meses. Desta forma podemos fazer: 1) Vamos informar a taxa de 1%: “1” “i”; 2) Informa-se o que é fácil dever, que no caso, equivalente a 1 mês: “1” “FV”; 3) Agora informo o que preciso ver, a equivalência a 12 meses: “12” “PV”; 4) Finalmente, irei chamar a execução da função: “R/S”.

Se a programação foi realizada corretamente, o visor apresentará o resultado do cálculo: 12,683, isso significa que temos uma taxa de 12,683%a.a., muito mais rápido, concorda? E sem a necessidade de realizar os cálculos da conversão, sua calculadora fez todo o processo por você. Farei o segundo exemplo para que acompanhe: 12%a.a. em regime de juros compostos, qual seria sua taxa equivalente mensal? Estamos procurando a equivalência da taxa “a.m.” (ao mês), em rápida identificação temos que é fácil de ver uma taxa equivalente de 12 meses e precisamos ver uma taxa equivalente a 1 mês. Veja o processo resumido: 1) “12” “i” 2) “12” “FV” (referência aos 12 meses, não confunda com a taxa) 3) “1” “PV” 4) “R/S”

Você

visualizará

resultado

0,949, significando

convertidos pelo regime de juros compostos.

0,949%a.a.,

devidamente

Viu como sua calculadora “quase faz café”! Por isso é tão importante para os cálculos financeiros.

DESCONTO COMPOSTO O desconto composto não é muito comum em meio ao comércio ou mercado financeiro, porém é importante abordarmos. Esta metodologia trabalha de forma que a taxa de desconto incidirá sempre sobre o valor deduzido dos descontos referente ao período anterior. É muito parecido com os juros compostos, porém num processo inverso, onde o cálculo do valor descontado é realizado sobre o valor líquido anterior, nunca sobre o valor inicial da operação. Irei continuar utilizando a definição vista no desconto composto que, o valor líquido é resultante da diferença entre o valor de face do título (M) e o valor do desconto (D), usando a fórmula:

Já no cálculo do valor de desconto temos algumas mudanças, pois a fórmula do desconto composto calcula diretamente o valor líquido já com o desconto. Desta forma temos que: (

)

Ficando assim a fórmula que fornece o valor total do desconto (D), utilizada apenas quando você estiver procurando especificamente o “valor descontado”, ou até mesmo quando estiver de posse das variáveis buscando integrá-la à fórmula principal do desconto composto. Quero também apresentar uma fórmula do desconto composto (D), que possui a capacidade de calcular diretamente o valor do desconto, posso dizer que é uma união das duas fórmulas demonstradas acima, tal combinação pode ser representada por: [

(

) ]

Deste modo, podemos calcular diretamente o valor total do desconto composto (D), (

sem a necessidade de apurarmos o valor líquido ( momento executarmos a fórmula do desconto (

) ) para num segundo ).

Com as fórmulas devidamente apresentadas, vamos aos exemplos. Exemplo 1: Um título comercial no valor de R$ 28.800, com 120 dias para o seu vencimento, é negociada numa operação de desconto a uma taxa de 2,5% a.m., segundo o regime de desconto composto. Calcular o valor líquido creditado na conta do cliente e o valor do desconto praticado. Solução:  M = 28.800,00  n = 120 dias (convertendo para meses, temos 4 meses)  d = 2,5% a.m.  P = Qual valor líquido creditado na conta do cliente?  D = Qual o valor do desconto praticado? (

)

(

) (

)

Exemplo 2: Antônio realizou uma operação de desconto junto ao banco da empresa, o valor do título é de R$ 67.300,00, com 51 dias de prazo, após a operação recebeu um crédito em conta no valor de R$ 61.680,12. Calcule a taxa mensal de desconto cobrada pelo Banco da empresa.

Solução:  M = 67.300,00  P = 61.680,12  n = 51 dias (obrigatoriamente devemos converter para mês: ≈ 1,7 meses)  d = Qual a taxa mensal cobrada? (

) (

)

( (

) )

√

Neste exemplos, somos obrigados a converter o prazo e não a taxa, pois em desconto composto jamais convertemos a taxa, sempre o período, caso deseje você pode até no lugar do 1,7, usar uma fração ( ) no expoente da potência, isso é perfeitamente possível, até para cálculos futuros você não ficar muito distante dos resultados reais, devido ao arredondamento do período calculado. Exemplo 3: A empresa L & L Ltda., apresenta para desconto um título, com 90 dias para vencer, à taxa de 3% a.m., produzindo um desconto no valor de R$ 1.379,77. Calcule o valor nominal do título. Solução:  D = 1.379,77  d = 3% a.m.  n = 90 dias (convertendo para meses temos 3 meses completos)  M = Qual o valor nominal do título?

[

(

) ]

[

(

) ]

[

(

) ]

[

]

No desconto composto não há segredos, qualquer coisa que fôssemos adicionar, estaríamos “enfeitando a roda”, e convenhamos que isso em matemática não é nada bom!

SISTEMA HAMBURGUÊS DE CÁLCULO O Sistema Hamburguês de cálculo é utilizado pelos Bancos para correção de saldo devedor em conta, cheques especiais e alguns sistemas de crédito rotativo, claro que tudo isso também depende do contrato com a instituição, pois neste citado documento é que constarão as formas de correção dos valores. Esta metodologia baseia-se em juros simples, estamos vendo apenas agora por questões didáticas, até para não gerar muita confusão com juros simples na Unidade II, apesar das taxas serem simples, há alguns detalhes que veremos para execução deste procedimento. Caso se interesse em pesquisar mais sobre esse assunto, o método hamburguês foi muito utilizado no Brasil em épocas que os Bancos pagavam juros sobre situações de depósito à vista (VIEIRA SOBRINHO, 2011). Tal metodologia se aplica quando temos diferentes saldos a serem aplicados a uma mesma taxa, mas que os mesmos saldos incidem prazos diferentes, ou seja, a única coisa em comum aqui será a taxa.

Há uma fórmula que irei apresentar, porém não se prenda a esta, pois iremos trabalhar de uma forma mais prática e de fácil compreensão. Os juros do sistema hamburguês é dado por:

∑ Onde se entende que:  JT = Juros totais  id = taxa de juro diária  ∑

= soma do produto do saldo devedor pelo número de dias.

Volto a enfatizar, não se preocupe com essa fórmula, iremos tratar com uma abordagem prática para resolvermos este modelo matemático, deste modo vamos aos exemplos. Exemplo 1: Calcule o valor dos juros totais referentes às aplicações dos capitais de R$ 20.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 40.000,00, pelos prazos de 65, 72 e 20 dias, respectivamente, conhecendo-se a taxa de 25,2% a.a. Solução:  Faça o cálculo inicial, multiplicando o valor do capital pelo seu respectivo prazo.

 O próximo passo é converter a taxa de 25,2% a.a. para taxa diária, dividindo por 360.

 Finalmente, multiplicamos a somatória pela taxa diária acima apurada.

Deste modo, é mais fácil o entendimento do cálculo hamburguês, mas que na verdade executamos a fórmula de maneira separada, apurando cada seção de modo a simplificar o processo. Trarei agora um exemplo de operação de conta corrente, onde para visualizarmos o cenário, quero que imagine uma conta poupança onde são pagos juros diários proporcionais ao saldo da conta, como os saldos mudam em virtude da movimentação, os métodos convencionais dariam muito mais trabalho para apuração dos juros, você verá que usando o sistema hamburguês chegaremos mais rapidamente ao resultado. Exemplo 2: Considere que o Banco Dólar S.A. esteja pagando juros aos seus aplicadores, no final de cada semestre, sobre os saldos da conta corrente à razão de 12% a.a. Calcule o total de juros a ser creditado ao cliente titular da conta no 1º semestre na seguinte movimentação de conta:

Data 15/01/2013 26/01/2013 13/02/2013 28/02/2013 05/03/2013 20/04/2013 02/05/2013 05/05/2013 15/06/2013

Histórico Depósito Cheque Cheque Ordem Pgto. Aviso Débito Cheque Depósito Cheque Depósito

D/C 100.000,00C 30.000,00D 15.000,00D 40.000,00C 60.000,00D 28.000,00D 22.000,00C 29.000,00D 10.000,00C

Saldo 100.000,00 70.000,00 55.000,00 95.000,00 35.000,00 7.000,00 29.000,00 0,00 10.000,00

C: Crédito D: Débito

Solução:  De modo a facilitar os cálculos, sugiro que acrescente duas colunas para realização dos cálculos de dias e apuração do saldo médio.  Para iniciar a tabela, calcule com o auxílio da HP12c o intervalo de dias entre as datas de 15/01/2013 a 26/01/2013.  Em seguida multiplique o caso pela quantidade de dias encontrados.  Após completar todos os saldos médios, a última linha deve ser considerada o fim do semestre, portanto, 30/06/2013, faça a soma dos saldos médios.

Data 15/01/2013 26/01/2013 13/02/2013 28/02/2013 05/03/2013 20/04/2013 02/05/2013 05/05/2013 15/06/2013

Histórico Depósito Cheque Cheque Ordem Pgto. Aviso Débito Cheque Depósito Cheque Depósito

D/C 100.000,00C 30.000,00D 15.000,00D 40.000,00C 60.000,00D 28.000,00D 22.000,00C 29.000,00D 10.000,00C

Saldo 100.000,00 70.000,00 55.000,00 95.000,00 35.000,00 7.000,00 29.000,00 10.000,00

30/06/2013 Saldo Médio Total

Nº de Dias 11 18 15 5 46 12 3 41 15

Dias x Saldo 1.100.000,00 1.260.000,00 825.000,00 475.000,00 1.610.000,00 84.000,00 87.000,00 150.000,00 5.591.000,00

Para encontrar o intervalo de datas na HP12c, proceda da seguinte forma: 1) Configure a HP12c com 6 casas após a vírgula: “f” “6”; 2) Certifique-se que a calculadora está no formato de data dd/mm/aaaa, para isso ela deva estar apresentando no visor “D.MY”, do contrário faça: “g” “4”; 3) Insira a 1ª data: “15” “.” “012013” (não esqueça de usar o ponto para separar dd.mmaaa); 4) Insira a 2º data: “26” “.” “012013”; 5) Pressione: “g” “∆DYS”. Pronto, a HP12c irá calcular o intervalo de dias, faça isso para toda a tabela. O próximo passo é dividir a taxa por 360 e multiplicar pelo saldo médio total:

Exemplo 3: Calcule o valor dos juros incidentes sobre os saldos devedores (momentos em que a conta ficou devedora) do extrato exposto, sabendo-se que os juros estão na razão de 4% a.m.

Data 01/04/2013 05/04/2013 12/04/2013 13/04/2013 18/04/2013 21/04/2013 26/04/2013

Histórico Transferência Cheque Cheque Depósito Aviso Débito Cheque Depósito

D/C 25.000,00D 10.000,00D 19.000,00C 5.500,00D 8.500,00D 3.000,00C

Saldo -

20.000,00 5.000,00 15.000,00 4.000,00 1.500,00 10.000,00 7.000,00

Solução:  Seguindo os mesmos procedimentos do exemplo anterior, mas neste caso, iremos apurar os juros apenas do saldo devedor, desconsiderando o saldo credor, e a taxa não será dividida por 360, mas por 30, afinal temos uma taxa ao mês.

Data 01/04/2013 05/04/2013 12/04/2013 13/04/2013 18/04/2013 21/04/2013 26/04/2013

Histórico Transferência Cheque Cheque Depósito Aviso Débito Cheque Depósito

30/04/2013 Total

D/C 25.000,00D 10.000,00D 19.000,00C 5.500,00D 8.500,00D 3.000,00C

Saldo -

20.000,00 5.000,00 15.000,00 4.000,00 1.500,00 10.000,00 7.000,00

Nº de Dias 4 7 1 5 3 5 4

Dias x Saldo -

35.000,00 15.000,00

4.500,00 - 50.000,00 - 28.000,00 - 132.500,00

Longo, entendemos que o titular desta conta irá pagar juros no valor de 176,67 por usar o cheque especial.

ATIVIDADES 1) Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de R$ 100.000,00 à taxa de 3,75% a.m.

2) Uma pessoa empresta R$ 80.000,00 hoje para receber R$ 507.294,46 no final de dois anos. Calcular as taxas mensal e anual desse empréstimo. 3) Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 51,107% a.a., para ter R$ 1.000.000,00 no final de 19 meses? 4) Qual é mais vantajoso: aplicar R$ 10.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% a.m., ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% a.m.? 5) Certa aplicação rende 0,225% a.d. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro da sua aplicação? 6) A aplicação de R$ 380.000,00 proporcionou um rendimento de R$ 240.000,00 no final de 208 dias. Determinar as taxas diária, mensal, trimestral e anual de juros. 7) Qual o valor do capital, que aplicado à taxa de 18% a.t. durante 181 dias, produziu um montante de R$ 5.000,00? 8) Calcular o valor atual de um título de valor de resgate igual a R$ 90.000,00, com 4 meses a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3,25% a.m. 9) Calcular a que taxa mensal um título de R$ 100.000,00, com 75 dias a vencer, gera um desconto no valor de R$ 11.106,31. 10) Calcular o valor do desconto concedido num Certificado de Depósito Bancário, de valor de resgate igual a R$ 200.000,00, sabendo-se que faltam 90 dias para o seu vencimento e que a taxa de desconto é de 3,8% a.m. 11) Sabendo-se que o valor líquido do creditado na conta de um cliente foi de R$ 57.170,24, correspondente ao desconto de um título de R$ 66.000,00, à taxa de 5% a.m., determinar o prazo a decorrer até o vencimento desse título. 12) Calcule o saldo final da conta em 01/10/09 através do Sistema Hamburguês de cálculo, considerando Juros de 120% a.a. para saldos devedores, e 10,96% a.a. para saldos credores.

Data Descrição 01/09/09 Saldo em conta 03/09/09 Saque Caixa Eletrônico 05/09/09 Cheque compensado 10/09/09 Pagamento 11/09/09 Débito automático 13/09/09 Débito automático 17/09/09 Cheque compensado 21/09/09 Depósito em Dinheiro 25/09/09 Fatura do Cartão 30/09/09 Tarifa manutenção de Conta

Tipo D D C D D D C D D

Valor 300,00 150,00 200,00 1.200,00 200,00 383,00 380,00 183,00 750,00 25,00

13) Suponha que um aplicador tenha efetuado a movimentação mostrada no quadro a seguir, remunerada a juros simples de 12% ao ano. Considere o ano comercial contendo 360 dias. Responda: qual o valor dos juros pagos referente ao saldo credor em 05/03/2002? Datas

Histórico D/C

15/01/2002 26/01/2002 13/02/2002 28/02/2002 05/03/2002

Depósito Saque Saque Depósito Saque

100.000,00 - 30.000,00 - 15.000,00 40.000,00 - 95.000,00

Saldo

Dias Saldo Médio

100.000,00 70.000,00 55.000,00 95.000,00 0,00

Total 14) Calcule a taxa equivalente mensal a 87,04% a.s. a) 0,05 b) 0,07

c) 0,09 d) 0,11

e) 0,13

15) Qual a taxa mensal de juros compostos à qual devo aplicar $11.000,00, de modo a aumentá-lo em 19,61% após um ano e meio? a) 0,01 b) 0,02

c) 0,03 d) 0,04

e) 0,05

16) Um título tem valor nominal de $108.160,00 e vencimento para 180 dias. Se negociado 60 dias antes do vencimento à mesma taxa de 4% ao mês, através de capitalização composta, terá valor de: a) $90.000,00 b) $80.000,00

c) $60.000,00 d) $40.000,00

e) $100.000,00

UNIDADE IV: SERIES UNIFORMES E SISTEMAS DE AMORTIZAÇAO OBJETIVOS DA UNIDADE Enfim chegamos a Unidade 4, falta muito pouco para concluir seus estudos da disciplina, você pode ver e acompanhar alguns princípios de matemática básica e na matemática financeira pode estudar: a porcentagem, juros simples e compostos, as formas de desconto simples e composto e taxas equivalentes de uma forma geral. Agora estudaremos questões mais específicas dos juros compostos, assim se aprofundando um pouco mais principalmente quando envolvemos parcelas de pagamentos. Nesta Unidade você verá:  Comandos e Funções da HP12c;  Fator de Acumulo de Capital;  Fator de Formação de Capital;  Fator de Valor Atual;  Fator de Recuperação de Capital;  Sistema de Amortização Francês;  Sistema de Amortização Constante;  Valor Presente Líquido;  Taxa Interna de Retorno. Como disse na unidade anterior, iremos estudar o funcionamento das parcelas dentro dos juros compostos, e recomendo para os seus estudos, rever os conceitos de fluxo de caixa, pois desenhar o gráfico irá ajudá-lo a compreender melhor tais questões. Farei de maneira detalhada a inserção de técnicas da HP12c para auxiliar nos cálculos, nesta fase é imprescindível ter o dispositivo em mãos.

Os estudos dos fatores de acúmulo e formação, de valor e atual e recuperação de capital nos remetem às condições de análise de financiamentos ou investimentos. Já os sistemas de amortização, visto que, abordaremos os dois principais usados em instituições financeiras, lhe dará condições de simular financiamentos, e avaliar as variáveis que foram empregadas no cálculo. Encerrando nossos estudos em cálculos financeiros, trabalharemos com duas técnicas de avaliação de investimentos, claro que estudaremos os conceitos e cálculos básicos, pois a análise de investimentos demandaria uma disciplina específica para abordar o conteúdo. Mãos à obra, força que estamos quase no fim e bons estudos!

COMANDOS E FUNÇÕES DA HP12C Neste momento trataremos de funções mais avançadas na calculadora, nada mais é que seu uso no conteúdo desta Unidade, mas farei com uma metodologia diferente, você aprenderá as funções juntamente com o cálculo manual. Visto que, você recebeu informações de seu funcionamento, então, para um melhor aproveitamento do conteúdo desta última Unidade, faremos o acompanhamento contínuo com a HP12c ao nosso lado. Já que estamos falando da HP12c, deixo uma legenda de teclas conhecidas por você anteriormente em nossos exemplos, e uma tecla nova que irei inserir no contexto para os futuros cálculos que faremos.  n (representa prazo e número de parcelas) = “n”;  i (taxa) = “i”;  P (capital inicial, principal ou valor financiado) = “PV”;  R (valor de parcela) = “PMT”;  S ou M (valor futuro) = “FV”;  Trocar de sinal (positivo/negativo) = “CHS”.

FATOR DE ACÚMULO DE CAPITAL (FAC) O fator de acúmulo capital é empregado na situação em que sabemos quando iremos depositar numa aplicação, quantas vezes isso será repetido e o conhecimento da taxa de aplicação, de posse destas informações será possível apurar o valor (montante) que iremos sacar no futuro. Vieira Sobrinho (2011, p.71) enfatiza que o FAC (Fator de Acumulo de Capital) “representa o montante oriundo da aplicação de n parcelas de uma unidade de capital [...], em determinado intervalo de tempo [...] e a uma determina taxa de juros”. Você está poderá responder o valor do saque futuro, por exemplo, que 20 depósitos mensais de R$ 300,00, a uma taxa de juros de 0,6% a.m. poderá gerar. O modelo matemático que permite esse estudo é dado por: (

)

Onde:  S = nosso montante, ora apresentado pela incógnita M, estou usando outra letra para não confundir com as outras fórmulas que estudou, mas nada impede de usá-la;  R = valor da parcela (depósito) constante;  i = taxa de juros da aplicação/rendimento;  n = número de parcelas aplicadas, que por teoria, é igual ao tempo. Aproveitando nosso exemplo dado acima, vamos conhecer o valor no que seria nosso saque futuro (S). Portanto a solução será: Solução:  R = 300,00  i = 0,6% a.m.  n = 20 parcelas/meses  S = Quanto iremos sacar no futuro?

(

)

(

) (

)

Solução HP12c: 1) “300” “CHS” “PMT” (estou usando a parcela negativa porque entendo que estamos “pagando” esse depósito); 2) “0,6” “i”; 3) “20” “n”; 4) Pressionamos “FV” para obter a resposta.

Você deve estar pensando: “Por que ver todos esses cálculos se a calculadora faz tudo de maneira muito mais prática?” É necessário entender como as coisas funcionam para compreender melhor a ferramenta, e também, porque assim damos mais valor à calculadora (risos). Exemplo 2: Quanto terá, no final de 4 anos, uma pessoa que aplicar R$ 500,00 por mês, durante esse prazo, e um “fundo de renda fixa”, à taxa de 3% ao mês? Solução:  R = 500,00  n = 4 anos (logo temos 48 prestações:  i = 3% a.m.  S = Quanto terá a pessoa?

)

(

)

(

) (

)

Solução HP12c:  “500” “CHS” “PMT”;  “48” “n”;  “3” “i”;  “FV”. Quando estamos procurando o valor futuro (S), a aplicação da fórmula torna-se simples, apesar do conhecimento de matemática básica ser necessário, porém se formos aplicar a fórmulas na tentativa de encontrar a taxa (i), aí temos um problema de verdade! Tanto a fórmula apresentada quanto as demais que iremos ver a seguir, demanda o uso de uma tabela financeira para auxiliar o cálculo, essa tabela é composta de alguns índices (taxas) padrões, que se encontram pré-resolvidos e estes por sua vez e servem para uma consulta, onde o cruzamento de taxa e quantidade da parcela (linha e coluna), localizamos o índice e calculamos a taxa final procurada por valores de aproximação, digamos que usando o método “tentativa e erro”. Mas o uso da HP12c não necessita de tal tabela de índices para consulta, ela possui a capacidade de calcular qualquer uma das variáveis, desde que as demais sejam informadas. Usarei como base o exemplo 2 para demonstrar o funcionamento manual e da calculadora. Para isso considere que certa pessoa terá após aplicar R$ 500,00 por mês ao longo de 4 anos, a quantia de R$ 52.204,20, calcule a taxa mensal.

Solução:  S = 52.204,20;  R = 500,00  n = 4 anos (48 parcelas);  i = qual a taxa? (

) (

)

(

)

(

)

Neste ponto temos um empasse matemático, pois como iremos resolver o problema da incógnita que está em dois lugares? Por isso usamos a tabela com índices prontos, multiplicando o índice encontrado na tabela pelo valor da parcela (R), chegamos ao valor futuro já conhecido, e claro que não iremos acertar logo na primeira, faremos muitas tentativas e erraremos até chegar no valor ou próximo dele! Existem algumas tabelas financeiras que iremos procurar valores próximos ao encontrado até o empasse matemático, o valor de 104,40840, buscando o valor mais próximo a este, será possível determinar a taxa aproximada. Já a calculadora possui a capacidade de simular esses cálculos complexos na memória e apresentar a resposta correta em instantes. Solução HP12c:  “52204,20” “FV”;  “500” “CHS” “PMT”;  “48” “n”;  “i” (ao pressionarmos a tecla “i” temos a resposta à nossa questão, os 3% a.m.). Como já havia dito, a calculadora é indispensável nos cálculos financeiros.

FATOR DE FORMAÇÃO DE CAPITAL (FFC) O fator de formação de capital nos dá a resposta para a seguinte pergunta: quanto temos que poupar ou depositar por mês para conquistarmos, por exemplo a quantia de R$ 40.000,00 em 5 anos, considerando a taxa de juros de determinada aplicação financeira que rende 0,6% a.m. Neste modelo matemático, sabemos muito bem a taxa, o período de tempo, que no caso são o número de parcelas a serem depositadas, e finalmente, sabemos onde queremos chegar, como no exemplo acima, os R$ 40.000,00. Para responder necessitamos de uma nova fórmula, que apresento abaixo:

(

)

O significado das incógnitas não muda, permanecemos com a mesma legenda de trabalho apresentada no início da unidade. Então, irei calcular com as variáveis que temos para encontrar o valor de parcela a ser depositada mensalmente. Solução:  S = 40.000,00;  i = 0,6% a.m.;  n = 5 anos (multiplicados por 12 meses do ano, temos 60 meses);  R = quanto devemos depositar mensalmente na aplicação? ( (

) )

Solução HP12c:  “40000” “FV”;  “0,6” “i”;  “60” “n”;  Pressione “PMT” para obter a resposta. Perceba que a calculadora apresenta o resultado negativo, ela não está errada, a lógica desse cálculo é simples, ela está considerando que queremos receber R$ 40.000,00, logo, isso é um crédito que está no futuro, e para obtermos esse crédito, teremos um débito presente, no caso, a parcela de R$ 555,83 mensais. Quero ressaltar que assim como o FAC, o FFC também sobre com a questão de estarmos procurando a taxa, é necessário a tabela financeira para pesquisa. Você viu no nosso exemplo que não é complexo o cálculo, porém necessita de atenção para não deixar números para trás ou até mesmo operações não concluídas até o final. Farei mais um exemplo. Exemplo 2: Quantas prestações trimestrais de R$ 4.000,00 são necessárias aplicar a uma taxa de 7% a.t., para acumular um montante de R$ 100.516,08. Encontre o prazo da aplicação. Solução:  R = 4.000,00;  i = 7% a.t. (ao trimestre);  S = 100.516,08;  n = Qual número de prestações e prazo da aplicação? (

) ( (

) )

( (( (

)

(

)

(

) (

) )

)

Nesse momento temos que usar os logaritmos pra resolver o problema no expoente (n): (

)

Se são 15 prestações trimestrais, cada trimestre tem 3 meses, então multiplicamos 15 por 3, temos 45 meses de duração para esta aplicação. Solução HP12c:  “4000” “CHS” “PMT”;  “7” “i”;  “100516,08” “FV”;  Pressionamos “n” para obter o número de prestações;  Assim que apresentado o número de prestações multiplicamos por 3 para conhecer o tempo de duração: “3” “×”.

FATOR DE VALOR ATUAL (FVA) A função do fator de valor atual é para trazer a valor presente, parcelas que irão vencer ao longo do tempo, considerando um número de parcelas e uma taxa de juros para atualização.

Quando temos por exemplo, parcelas de R$ 300,00 ao longo de 12 meses, sendo a primeira daqui a 30 dias, a segunda daqui 60 dias e assim por diante. Veja, a parcela é de R$ 300,00 daqui a 30 dias, temos uma segunda daqui a 60 dias com o mesmo valor, porém quando trazemos esses valores para o dia de hoje, esses valores são menores. Para ficar fácil de entender, vou usar um exemplo de uma venda, você vende algo para alguém em 12x de R$ 300,00, mas imediatamente você quer comprar um novo produto e não tem o dinheiro para pagar, então você pega esses títulos que estão à vencer e negocia por um dinheiro presente, assim quando você faz essa operação o montante final torna-se menor, devido ao adiantamento de parcelas. Outro exemplo é que quando você vai a uma loja pagar uma conta que está faltando alguns dias ou até meses para vencer, você não pede desconto por estar antecipando o pagamento? É isso que acontece, estamos trazendo um valor que está no futuro para o presente, e neste processo ocorre um tipo de “desconto” sobre a monta. Mas não é o FVA que as lojas utilizam, normalmente o comércio usa o desconto simples, usei esse exemplo para sua compreensão, o FVA é usado para o cálculo de adiantamento de parcelas no caso de financiamentos pelo sistema Francês de amortização. Para o cálculo de FVA necessitamos de uma nova fórmula, na qual apresento abaixo: ( (

) )

As variáveis continuam conhecidas, não temos nada de novo, a incógnita do valor presente (P) já foi vista e citada inclusive no início desta unidade. Vou demonstrar usando um exemplo do funcionamento do FVA. Exemplo 1: Calcule o valor atual de uma dívida com uma série de 24 prestações, mensais, iguais e consecutivas de R$ 3.500,00 cada, considerando uma taxa de 5% ao mês.

Solução:  n = 24 prestações;  R = 3.500,00 cada;  i = 5% a.m.;  P = qual o valor atual da dívida? ( (

) )

(

)

(

) ( (

) )

Logo, uma dívida de 24 parcelas de R$ 3.500,00, que ao término somariam R$ 84.000,00, em valor presente vale apenas R$ 48.295,24. Solução HP12c:  “24” “n”;  “3500” “CHS” “PMT”;  “5” “i”;  “PV”. Mais um exemplo: Qual valor atual que, financiado à taxa de 4% a.m., pode ser pago em 5 vezes de R$ 100,00, parcelas estas que são mensais, iguais e sucessivas? Solução:  i = 4% a.m.;  n = 5 parcelas;  R = 100,00;  P = qual o valor atual da dívida?

( (

) )

(

)

(

) ( (

) )

( (

) )

( (

) )

Solução HP12c:  “4” “i”;  “5” “n”;  “100” “CHS” “PMT”;  “PV”.

FATOR DE RECUPERAÇÃO DE CAPITAL (FRC) O estudo do fator de recuperação de capital começa a preparar a base para o sistema de amortização Francês que estudaremos a frente, é justamente essa fórmula que nos auxiliará a calcular o valor de parcelas de um financiamento. A aplicação do FRC está no fato de termos uma situação de um valor presente que será financiado, a uma determinada taxa e certo número de parcelas. Aqui estamos buscando o valor da parcela, muito diferente das condições anteriores. Podemos então deduzir o FRC usando a fórmula: ( (

) )

Exemplificando o método temos: Certo cliente solicita um financiamento de R$ 30.000,00 em seu Banco, o empréstimo é então concedido nas seguintes condições:

deverá ser liquidado em 12 parcelas, iguais, mensais e consecutivas, a uma taxa de 3,5% a.m., calcule o valor da parcela. Solução:  P = 30.000,00;  n = 12 parcelas;  i = 3,5% a.m.;  R = qual o valor da parcela? ( (

) )

(

) (

)

(

) (

(

) )

(

)

Serão desta forma, 12 parcelas iguais de R$ 3.104,52. Solução HP12c:  “30000” “PV”;  “12” “n”;  “3,5” “i”;  “PMT”. Prático, não? O uso da calculadora facilita as condições em que temos e procuramos:  Temos i, n e P, procurando R;  Temos i, n e R, procurando P;  Temos n, R e P, procurando i;  Ou quando temos R, P e i, procurando n.

E isso vale para os outros fatores que estudamos, e vale também lembrar: os fatores são juros compostos, logo, se a taxa fornecida não estiver condizente com o prazo estabelecido, você deverá fazer a conversão, tente primeiro o prazo, caso não seja possível, vá para a taxa. No processo de conversão da taxa, use o modelo de conversão das taxas compostas equivalentes. Vou simular agora uma situação bastante comum e interessante, irei usar apenas a metodologia da calculadora, muito comum conhecermos o valor financiado, o número de prestações e até mesmo o valor da prestação, mas será que a taxa descrita no contrato de financiamento foi seguida? Aquela indesejável situação de descobrir que lhe informaram uma coisa, mas cobraram outra. Vamos apurar por meio de um exemplo. Exemplo 2: Encontre a taxa mensal que foi contratada numa operação de empréstimo, cujo valor financiado foi de R$ 100.000,00 para ser liquidado em 18 prestações iguais, mensais e consecutivas de R$ 7.270,87 cada uma. Solução HP12c:  “100000” “PV” (nosso P);  “18” “n” (o número de parcelas, sendo n);  “7270,87” “CHS” “PMT” (o valor de nossa parcela, R);  Pressione “i” para conhecer a resposta. Executando o cálculo encontrará como resposta, 3% a.m., e é nesse momento que questionamos se houver algum desacordo com a taxa encontrada no contrato.

IMPORTANTE! Contratos de financiamento são na verdade, um tipo de operação financeira, é válido lembrar que operações financeiras no Brasil são tributadas por um imposto chamado IOF (Imposto sobre Operações Financeiras), o mais comum em financiamentos é o imposto de 0,38% do valor financiado, porém podendo haver percentuais diferentes, não é nosso objetivo estudar essa tributação aqui, mas numa negociação se informe das condições.

O IOF é na grande maioria dos casos somado ao valor financiado e cobrado junto ao parcelamento do financiamento, quer dizer, você acaba financiando uma monta ou bem com o imposto acrescido, financiando até mesmo o pagamento deste tributo.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS O sistema de amortização Francês, também é conhecido como tabela Price entre os profissionais do mercado financeiro e áreas afins, esse sistema recebeu esse apelido Price devido ao seu criador, o matemático, filósofo e teólogo inglês Richard Price, que viveu no século XVIII. Mas se ele era inglês, por que o sistema é francês? Porque o sistema foi desenvolvido efetivamente na França. A característica do sistema Price é que suas parcelas são constantes, iguais e sucessivas, não necessariamente mensais, pois podemos ter prestações bimestrais, trimestrais, semestrais ou até anuais. Uma parcela deste modelo de cálculo é composto por uma parte chamada juros e outra, que recebe nome de amortização do saldo devedor, ou também de parcela de amortização do capital. Não se preocupe, farei toda a demonstração matemática do funcionamento da tabela. Como disse antes, a forma de calcularmos a parcela da tabela Price, é idêntica ao método de apuração da parcela do FRC (Fator de Recuperação de Capital), deste modo, apresento novamente a fórmula apenas para um reforço: ( (

) )

Teremos uma variação desta fórmula quando o sistema envolver o que chamamos de carência no pagamento, porém irei abordar mais adiante sobre tal. Para a resolução completa da tabela, será necessária a utilização de mais três pequenas fórmulas, sendo elas:

Onde:  J = representação do valor dos juros;  i = nossa taxa de juros;  P = valor do capital financiado ou saldo devedor (o que falta ser pago);  A = valor da amortização de capital;  R = Valor da prestação/parcela;  Sd = Saldo devedor;  Sa = Saldo anterior.

Deste modo, como podemos apurar a tabela? Farei um exemplo utilizando as situações abordadas acima. Exemplo 1: Calcular o valor de parcela, amortização e juros, segundo o sistema Francês de amortização, para um empréstimo de R$ 10.000,00 a serem pagos em 10 parcelas mensais, iguais e sucessivas, considerando uma taxa de juros de 1,99% a.m. Solução:  P = 10.000,00;  n = 10 parcelas;  i = 1,99% a.m.;  Calcular a parcela (R), a amortização (A) e o valor dos juros (J). ( (

) )

(

) (

)

(

) (

)

Bem sabemos que a parcela é constante, logo, teremos dez parcelas de R$ 1.112,68, usaremos essa informação na tabela que sugiro a seguir, os valores de juros, amortização e saldo devedor você encontrará na metodologia utilizada na memória de cálculo após a tabela 1. TABELA 1 - Plano de pagamento sistema Price

Saldo Devedor

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Fonte: Elaborado pelo autor.

Memória de cálculo Linha 1:

Linha 2:

Linha 3:

Linha 4:

Linha 5:

10.000,00 9.086,32 8.154,46 7.204,05 6.234,72 5.246,11 4.237,83 3.209,48 2.160,67 1.090,92 -0,05

Amortização 0,00 913,68 831,86 950,41 969,33 988,61 1.008,28 1.028,35 1.048,81 1.069,68 1.090,97

Juros 0,00 199,00 180,82 162,27 143,36 124,07 104,40 84,33 63,87 43,00 21,71

Prestação 0,00 1.112,68 1.112,68 1.112,68 1.112,68 1.112,68 1.112,68 1.112,68 1.112,68 1.112,68 1.112,68

Linha 6:

Linha 7:

Linha 8:

Linha 9:

Linha 10:

Note que o saldo devedor encerrou em R$ -0,05 (devedor), significando que, por questões de arredondamento, cobramos R$ 0,05 a mais do cliente deste contrato. Uma característica se faz notória, ao longo do processo os juros estão diminuindo, enquanto que a amortização aumenta, fazendo com que o saldo devedor seja amortizado mais rapidamente à medida que evoluímos na segunda metade do financiamento. Observando a memória de cálculo e a tabela preenchida, é possível comprovar que os cálculos da linha em que você estiver trabalhando, usa de base o saldo da linha superior, por isso chamamos de saldo anterior, criando desta forma, o saldo devedor atualizado. Confesso que demanda certo trabalho construir tabelas Price manualmente, mas a calculadora possui a capacidade de resolver toda a nossa tabela. Dessa forma, farei a demonstração dos procedimentos da calculadora.

Solução HP12c: 1) “10000” “PV”; 2) “1,99” “i”; 3) “10” “n”; 4) “PMT” (aqui tomamos conhecimento do valor da parcela); 5) “1” “f” “AMORT” (essa rotina informa os juros da parcela); 6) “x>< y” (mostra o valor de amortização); 7) “RCL” “PV” (saldo devedor atualizado); 8) Retorne ao 5º passo (você deverá repetir os passos de 5 a 7 até o término da tabela). Esse procedimento, apesar da repetição dos passos de 5 a 7, exige menos de nós, pois toda a parte “pesada” dos cálculos é realizada pelo dispositivo. Porém, nesse exemplo consideramos que o cliente irá pagar exatamente 30 dias após a contratação deste financiamento, chamo sua atenção para a seguinte situação, a que o cliente irá começar a pagar depois de 90 dias, 3 meses após a tomada do empréstimo. Tal ação se chama carência, muito comum nas operações de financiamento. O cliente ou contratante começa a pagar as parcelas após esse período sem parcelas, e claro, isso influenciará no valor das parcelas, pois os 3 meses em que não houve amortização de saldo devedor irá gerar juros! Esses juros corrigem o saldo devedor, no cálculo da parcela será apresentado uma seção na fórmula que irá corrigir o saldo para então gerar o parcelamento. O que devemos levar em consideração é que a fórmula de cálculo da parcela já considera uma carência de 30 dias (um mês comercial), se o cliente terá uma carência de 3 meses, iremos nos preocupar apenas com 2 meses, já que um está previsto fórmula. Calcular a carência é tarefa fácil, seguindo o mesmo exemplo de empréstimo que realizamos, sendo os R$ 10.000,00, à taxa de 1,99% a.m. e 10 parcelas mensais, iguais e sucessivas, mas com carência de 3 meses para começar a pagar.

Solução:  P = 10.000,00;  i = 1,99% a.m.;  n = 10 parcelas;  Carência = 3 meses. Em relação aos cálculos farei um misto agora entre HP12c e tabela manual, não se preocupe com a memória de cálculo, simplesmente iniciamos os cálculos de juros e amortização, após passada a carência, essa é a única diferença para o exemplo anterior. Considerando a carência, temos que o modelo matemático para o cálculo da prestação é: ( ( A seção acrescentada de (

) )

(

)

) , fará a correção em função da carência, a taxa

considerada será a mesma do exercício, já a incógnita m que devemos interpretar, como dito anteriormente, a fórmula possui 30 dias de carência “automática”, se o cliente solicita 90 dias de carência, iremos apurar apenas 60 dias de juros na correção do saldo devedor, sem contar que existem contratos de empréstimos que a parcela é paga no momento da assinatura do contrato, assim, nem mesmo os 30 dias deverão existir dentro da planilha. Considere para m:  Carência superior a 30 dias: faça sempre m = carência -1;  Carência de 30 dias: considere m = 0 ou use a fórmula original;  Pagamento imediato: considere m = -1. Sendo assim, temos:

Calculamos: ( ( (

) )

(

) (

(

) (

) )

(

) (

) )

Assim nossa tabela fica: TABELA 2 - Evolução dos pagamentos com carência

Saldo Devedor

Amortização

Juros

Prestação

10.000,00

10.199,00

10.401,96

3/1

9.451,55

950,41

207,00

1.157,41

8.482,22

969,32

188,09

1.157,41

7.493,61

988,61

168,80

1.157,41

6.485,32

1.008,29

149,12

1.157,41

5.456,97

1.028,35

129,06

1.157,41

4.408,16

1.048,82

108,59

1.157,41

3.338,47

1.069,69

87,72

1.157,41

2.247,49

1.090,97

66,44

1.157,41

1.134,81

1.112,68

44,73

1.157,41

0,02

1.134,83

22,58

1.157,41

Fonte: Elaborado pelo autor.

Analisando nossa tabela 2, é notório os 3 blocos iniciais que não temos valores lançados, pois tratam da carência de 90 dias para início das parcelas, a única evolução no começo são dos juros que corrigem o saldo devedor, na linha 3/1 é

exatamente onde termina a carência e inicia o parcelamento, e o cálculo é exatamente o mesmo procedimento da tabela anterior. Na calculadora o procedimento segue a mesma simplicidade, devemos apenas preparar inicialmente o valor financiado para prosseguir, ficando: Solução: 1) “10000” “PV”; 2) “1,99” “i”; 3) “2” “n” (realizado carência - 1); 4) “FV” (aqui temos o saldo corrigido pela carência); 5) “CHS” (vamos voltar o valor para positivo, seguindo os passos comuns); 6) “f” “FIN” (limpamos apenas a memória financeira para não perdermos o valor registrado em memória); 7) “PV” (aproveitamos o valor no visor e alimentamos o PV); 8) “1,99” “i” (devemos inserir novamente a taxa, pois limpamos tudo na memória); 9) “10” “n” (quantidade de parcelas); 10) “PMT” (aqui tomamos conhecimento do valor da parcela); 11) “1” “f” “AMORT” (essa rotina informa os juros da parcela); 12) “x>< y” (mostra o valor de amortização); 13) “RCL” “PV” (saldo devedor atualizado); 14) Retorne ao 11º passo (você deverá repetir os passos de 11 a 13 até o término da tabela). Com esse procedimento resolvemos nossa tabela sem maiores problemas, só nos é exigido atenção e concentração para não pular passos e comprometermos o resultado final. Foi mencionado a situação do cliente optar por pagar a primeira parcela no ato de assinatura do contrato, apesar de não ser muito comum, existe e devemos estudar o caso. Os procedimentos em que se é pago parcela 30 dias após ou em casos de carência, um prazo maior, chamamos de séries postecipadas, essas séries são caracterizadas

por correção primeiro, após correção é que vemos a amortização. Foi exatamente o que estamos até aqui, séries postecipadas. Agora se observarmos o caso de clientes que pagam a primeira parcela no ato, damos o nome de séries antecipadas, caracterizam-se por amortizar primeiro, calcular juros depois, e para ficar ainda mais fácil de você entender raciocine da seguinte forma: se estou pagando uma parcela no exato momento que estou tomando meu empréstimo, não há porque pagar juros se não estamos tendo prazo algum! Por esse motivo é que a primeira parcela amortiza em seu valor integral o saldo devedor. Usando o mesmo exemplo, vamos considerar o pagamento imediato. Sendo assim, temos:

Calculamos: ( ( (

) )

(

) (

)

) ( (

) )

LEMBRETE! Note que expoentes negativos, segundo a propriedade da potência, invertemos formando uma fração.

Montando a tabela, temos: TABELA 3 - Evolução dos pagamentos com parcela imediata

Saldo Devedor

Amortização

Juros

Prestação

10.000,00

1.090,97

8.909,03

913,68

177,29

1.090,97

7.995,35

931,86

159,11

1.090,97

7.063,49

950,41

140,56

1.090,97

6.113,08

969,32

121,65

1.090,97

5.143,76

988,61

102,36

1.090,97

4.155,15

1.008,28

82,69

1.090,97

3.146,87

1.028,35

62,62

1.090,97

2.118,52

1.048,81

42,16

1.090,97

1.069,71

1.069,68

21,29

1.090,97

0,03

1.090,97

0,00

1.090,97

Fonte: Elaborado pelo autor.

Procedimento na HP12c: 1) “10000” “PV”; 2) “1,99” “i”; 3) “10” “n”; 4) “g” “BEG” (ativa parcelas antecipadas) 5) “PMT” (aqui tomamos conhecimento do valor da parcela); 6) “1” “f” “AMORT” (essa rotina informa os juros da parcela); 7) “x>< y” (mostra o valor de amortização); 8) “RCL” “PV” (saldo devedor atualizado); 9) Retorne ao 6º passo (você deverá repetir os passos de 6 a 8 até o término da tabela).

IMPORTANTE! No 4º passo, conforme assinalado, ativamos o mecanismo de antecipação de parcelas na HP12c. Sempre que encerrar o cálculo você deverá desativar esse procedimento, pois, isso influenciará seus cálculos futuros. Para desativar basta pressionar: “g” “8”. Como saber se estamos ou não com modo antecipação ativado? Observe o visor, se estiver a palavra “BEGIN” sendo exibida, o modo antecipação está ativado, do contrário, nada apresentado, temos o modo postecipado como padrão.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) O sistema de amortização constante, mais conhecido como sistema SAC, não possui parcelas iguais como estudamos na tabela Price, à medida que evoluímos os pagamentos, o valor da parcela diminui ao longo do tempo, a HP12c não realiza esse tipo de tarefa automaticamente, portanto devemos realiza-lo todo manual. Como o próprio nome diz: “Sistema de Amortização Constante”, a parcela começa maior e finaliza menor, mas a amortização é constate do começo ao fim. Essa metodologia é utilizada nos financiamentos de casa própria ou FINAMES (esses são contratos de financiamento na sua grande maioria de máquinas agrícolas ou caminhões). Assim como o sistema Price, o SAC também sofre influência de carência, a correção do saldo devedor na carência vai depender muito do que está no contrato, tais documentos descreve a metodologia de cálculo, como foram ou como poderiam ser apurados. Não é comum os contratos conterem os cálculos, apenas as regras que se aplicam ao mesmo, cabe a nós interpretarmos os procedimentos para apuração dos valores. Portanto, para a apuração de carência no SAC, você deve observar o que está especificado no contrato do financiamento, podendo haver duas formas de corrigir esse valor financiado até que se iniciem os pagamentos, as técnicas poderão ser tanto de valor futuro dos juros compostos, quanto também do montante nos juros simples. A apuração das parcelas se dá ao término da carência, sendo então

calculados amortização, juros e prestação, seguindo o princípio básico do sistema, princípio este que abordo a seguir. No cálculo do SAC iremos precisar das fórmulas:

A fórmulas, primeira e última, são comuns em ambos os sistemas (Price e SAC), havendo algumas alterações nas demais. Você já percebeu que as fórmulas exigem bem menos, sendo mais básicas, se assim podemos dizer. O significado de cada incógnita também não muda, havendo o mesmo entendimento padronizado que estamos trabalhando, você poderá encontrar variáveis diferentes em livros ou artigos que pesquisar, mas a essência é a mesma. Para demonstrar o funcionamento do SAC, vou usar os mesmos dados dos exercícios resolvidos pelo sistema Price, assim você poderá também ter uma noção e um “horizonte” para comparar os sistemas e tirar suas conclusões sobre eles. Portanto, temos um empréstimo de R$ 10.000,00, a serem pagos em 10 parcelas pelo sistema SAC, considerando juros de 1,99% a.m., iremos calcular todo o procedimento de construção da tabela. O primeiro passo é calcular a amortização:

Assim, podemos construir a tabela SAC com os valores de amortização:

TABELA 4 - Construção da tabela SAC

Saldo Devedor

Amortização

Juros

Prestação

10.000,00

1.000,00

Fonte: Elaborado pelo autor.

Uma vez conhecida a amortização, calculamos os juros, apuramos a prestação e finalmente atualizamos o saldo devedor:

Linha 1:

Linha 2:

Linha 3:

Linha 4:

Linha 5:

Linha 6:

Linha 7:

Linha 8:

Linha 9:

Linha 10:

Os cálculos usando a metodologia do SAC são mais “leves” se comparados ao sistema Price, analisando mais friamente, notamos a presença de apenas 4 operações básicas. No SAC não há uma função na HP12c, assim sua resolução se dá por cálculos algébricos comuns na calculadora, não necessitando de nenhuma função especial, apenas operações básicas que já temos conhecimento para realizar no dispositivo. Agora construindo nossa tabela com os valores que acabamos de apurar, temos: TABELA 5 - Apresentação dos valores usando SAC

Saldo Devedor

Amortização

Juros

Prestação

10.000,00

9.000,00

1.000,00

199,00

1.199,00

8.000,00

1.000,00

179,10

1.179,10

7.000,00

1.000,00

159,20

1.159,20

6.000,00

1.000,00

139,30

1.139,30

5.000,00

1.000,00

119,40

1.119,40

4.000,00

1.000,00

99,50

1.099,50

3.000,00

1.000,00

79,60

1.079,60

2.000,00

1.000,00

59,70

1.059,70

1.000,00

39,80

1.039,80

1.000,00

19,90

1.019,90

Fonte: Elaborado pelo autor.

VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) O cálculo do VPL é uma das técnicas de avaliação de empresas, aplicações financeiras ou projetos de investimentos com resgate futuro. Também pode ser usado para a apuração de valor presente para séries não uniformes, ou seja, séries de parcelas cujos valores não são iguais. A única questão a ser observada, e não menos importante, é o intervalo por entre as parcelas, este deve ser uniforme, sempre havendo o mesmo período de tempo entre parcelas, não podendo ser diferente a questão período. Usar o VPL, consiste em tomarmos os valores do fluxo de caixa e submetermos a um modelo matemático, considerando uma taxa de atratividades, taxa esta que normalmente é o que o mercado financeiro tem a nos oferecer, em algumas situações recomenda-se usar o custo de capital. Também podendo ser usada, e recomendada a taxa da segunda opção de investimento, desta forma, estaremos comparando opções ou projetos de investimentos, onde podemos chamar de projeto A e projeto B. Mais informações sobre custo de capital serão dadas no estudo específico de finanças, não sendo nosso foco aqui. Então do valor presente que será apurado tiramos o investimento inicial, assim apuramos o valor presente líquido, esse então caberá algumas interpretações que são elas:  Se o VPL for positivo, o projeto poderá ser aceito, pois haverá retorno;  Se o VPL for igual a 0 (zero), podemos aceitar o projeto A ou projeto B, ambos trarão o mesmo resultado final;  Se o VPL for menor que 0 (zero), não deverá aceitar o projeto avaliado, pois se comparado ao outro, estaria perdendo dinheiro.

Então, temos:

(

)

(

)

(

)

Melhor explicando o modelo, esboçarei a legenda das variáveis utilizadas.  M1, M2, Mn: montantes que representam a operação de caixa, podendo ser entradas ou saídas consequentes do projeto avaliado;  i: taxa de juros composto da operação ou taxa mínima de retorno desejada para comparação do projeto;  C: investimento inicial do projeto. Vamos a uma aplicação prática: Exemplo 1: considere que uma empresa de aluguel de veículos está analisando a possiblidade de comprar veículos novos para sua frota, o valor unitário de investimento é de R$ 40.000,00, de posse dos dados históricos da empresa, formulou-se estimativas de faturamento para os 5 primeiros anos com a nova frota, as receitas líquidas estimadas são de R$ 18.000,00, R$ 18.500,00, R$ 19.200,00, R$ 20.000,00 e R$ 21.200,00, respectivamente. Ao final do 5º ano, o valor de venda deste veículo será de R$ 10.000,00. Diante do exposto, a locadora de veículos deve ou não investir na compra desses veículos, sendo que, para esse valor de investimento a empresa possui outra opção de investimento com taxa de 18% a.a. Solução:  M1 = 18.000,00;  M2 = 18.500,00;  M3 = 19.200,00;  M4 = 20.000,00;  M5 = 31.200,00 (são 21.200,00 oriundos de receitas mais 10.000,00 referentes à venda do veículo);  C = 40.000,00;  i = 18% a.a.

( (

) (

)

(

) )

)

(

)

( )

(

) (

)

(

( (

) )

(

) (

)

Acompanhando as possíveis interpretações que podemos dar ao VPL, temos que o projeto de compra o veículo é viável, pois se comparado ao investimento que a empresa teria com os R$ 40.000,00 a uma taxa de 18% a.a., a compra e utilização do veículo para gerar receitas é mais vantajoso! Solução HP12c: 1) “40000” “CHS” “g” “CF0”; 2) “18000” “g” “CFj”; 3) “18500” “g” “CFj”; 4) “19200” “g” “CFj”; 5) “20000” “g” “CFj”; 6) “31200” “g” “CFj”; 7) “18” “i”; 8) “f” “NPV”.

Uma rápida explicação sobre a metodologia usada na HP12c, posso dizer a você que o “CF0” sempre será alimentando com valor de investimento inicial, e que o mesmo é negativo, por se tratar de uma saída de recursos da empresa para investimento. E os fluxos de caixa provenientes das receitas, dadas aqui no exemplo, são atribuídas ao “CFJ”, não informamos a evolução do ano, apenas a sequência correta com que os fluxos acontecem, pois a calculadora possui um contador interno que controla o número de entradas dos valores em sua memória. Por fim, a taxa informada em “i” e para disparar a função usamos “f” “NPV”, o valor apresentado em tela é o VPL.

Exemplo 2: Suponha os valores de receita líquida do exemplo anterior, considere que o valor do veículo seja de R$ 59.000,00 e que a taxa mínima de retorno desejada seja de 22% a.a., nestas condições a empresa deve investir? Solução:  M1 = 18.000,00;  M2 = 18.500,00;  M3 = 19.200,00;  M4 = 20.000,00;  M5 = 31.200,00 (são 21.200,00 oriundos de receitas mais 10.000,00 referentes à venda do veículo);  C = 59.000,00;  i = 22% a.a.

( (

) (

)

(

) )

)

(

)

( )

(

) (

)

(

( (

) )

(

) (

)

Perceba que neste novo cenário o VPL resultou em negativo, e seguindo a regra de intepretações, a empresa não deverá aceitar o projeto, caso aceite perderá dinheiro. Solução HP12c: 1) “59000” “CHS” “g” “CF0”; 2) “18000” “g” “CFj”; 3) “18500” “g” “CFj”; 4) “19200” “g” “CFj”; 5) “20000” “g” “CFj”; 6) “31200” “g” “CFj”;

7) “22” “i”; 8) “f” “NPV”.

Tanto o cálculo manual quanto o automatizado, chegamos mesma conclusão, a empresa não deve aceitar o projeto.

IMPORTANTE! Vale lembrar que se a taxa de juros ou custo de capital foi fornecido em unidade temporal diferente do período do fluxo de caixa, você deverá realizar a conversão da taxa pelo método dos juros compostos.

TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) Assim como o VPL, a TIR é uma técnica de avaliação de projetos de investimento, trata-se de um modelo capaz de calcular a taxa de juros compostos que o projeto tem a capacidade de retornar. A fórmula matemática capaz de retornar a taxa de juros é a mesma do VPL, porém exige que igualemos o VPL a 0 (zero) de modo a procurar a taxa com a fórmula. O TIR, para ser resolvido manualmente, demanda conhecimentos matemáticos mais avançados, sendo possível sua solução por meio de interpolação linear ou derivadas, mas tais conceitos não foram estudados por nós e que demandam um razoável conhecimento e familiaridade com o assunto. É um problema matemático muito parecido com uma situação anterior, a de procurar a taxa nas fórmulas dos fatores nas séries uniformes. Desta forma não empregaremos a resolução por técnica manual, farei apenas por automatização, usando a HP12c. A TIR na verdade, é a taxa de retorno que o projeto tem a capacidade de trazer ao investidor, tal resposta ajudará ao interessado escolher melhor suas opções de investimento comparando taxas de retorno do investimento. O modelo pode ser demonstrado como:

(

)

(

)

(

)

Também devemos seguir algumas regras para a interpretação dos resultados: TABELA 6 - Avaliação da TIR

Resultado da TIR Igual a 0 (Zero) Positivo Negativo

IRR (Investimento)

IRR (Financiamento)

Igual a Taxa de mercado

Maior que a Taxa de mercado Menor que a Taxa de mercado

Menor que a Taxa de mercado Maior que a Taxa de mercado

Fonte: Elaborado pelo autor.

Agora, irei exemplificar o funcionamento da TIR usando a calculadora. Usando o exemplo 1 da VPL, que demonstrou ser viável para o investidor, mas exatamente quanto ele é viável? A resposta a essa pergunta teremos a seguir. Exemplo 1: Calcular a taxa interna de retorno do projeto em que uma empresa de aluguel de veículos está analisando a possiblidade de comprar veículos novos para sua frota, o valor unitário de investimento é de R$ 40.000,00, de posse dos dados históricos da empresa, formulou-se estimativas de faturamento para os 5 primeiros anos com a nova frota, as receitas líquidas estimadas são de R$ 18.000,00, R$ 18.500,00, R$ 19.200,00, R$ 20.000,00 e R$ 21.200,00, respectivamente. Ao final do 5º ano, o valor de venda deste veículo será de R$ 10.000,00. Sabe-se que a locadora de veículos possui outra opção de investimento com taxa de 18% a.a. Solução HP12c: 1) “40000” “CHS” “g” “CF0”; 2) “18000” “g” “CFj”; 3) “18500” “g” “CFj”; 4) “19200” “g” “CFj”; 5) “20000” “g” “CFj”; 6) “31200” “g” “CFj”;

7) “18” “i” 8) “f” “IRR”. A resposta é 40,41% a.a., essa é a capacidade de retorno do projeto, o que indica mais uma vez que o projeto poderá ser aceito sem problemas, é rentável. Você deve estar se perguntando o motivo de ter informado a taxa, sendo que na verdade estamos procurando a taxa. Bem, tenho uma resposta muito plausível, a calculadora precisa de uma porcentagem para usar como estimativa no cálculo, significa que com base na porcentagem que usamos, ela irá simular condições acima e abaixo dos 18% a.a. até que o VPL zere em sua memória. No momento que isso acontecer, a memória é verificada pelo processador e colhido o valor da porcentagem que zerou o VPL. É desta forma que obtemos a resposta. INFORMAR A PORCENTAGEM DE ESTIMATIVA PARA A CALCULADORA NÃO É OBRIGATÓRIO! Para fecharmos nossa Unidade, farei mais exemplos simulando a análise de um financiamento. Exemplo 2: Um financiamento no valor de R$ 5.000,00 foi contraído por um cliente, onde poderá ser pago em três parcelas consecutivas de R$ 1.500,00, R$ 2.300,00 e R$ 2.000,00, respectivamente. Calcule o custo efetivo do financiamento. Solução: 1) “5000” “g” “CF0” (não é negativo porque estamos contraindo o financiamento, logo é um fluxo de entrada); 2) “1500” “CHS” “g” “CFj” (negativo por ser parcela de pagamento); 3) “2300” “CHS” “g” “CFj”; 4) “2000” “CHS” “g” “CFj”; 5) “f” “IRR”. Resposta: 7,4530%

Exemplo 3: Um cliente estuda a compra de um objeto, cujo valor à vista é de R$ 3.245 que pode ser paga com uma entrada de 10%, mais três parcelas mensais de R$ 1.000,00, R$ 1.200,00 e R$ 1.400,00, respectivamente. Considerando que a primeira parcela será paga três meses após a compra, ou seja, uma carência de três meses para início dos pagamentos, calcule qual o custo efetivo do financiamento. Solução: 1) “3245” “ENTER” “10” “%” “-” “g” “CF0” (devemos tirar os 10% dados de entrada); 2) “0” “g” “CFj” (lançamos zero porque não houve pagamento); 3) “0” “g” “CFj” (lançamos zero porque não houve pagamento); 4) “1000” “CHS” “g” “CFj”; 5) “1200” “CHS” “g” “CFj”; 6) “1400” “CHS” “g” “CFj”; 7) “f” “IRR”. Resposta: 5,2417% a.m. Exemplo 4: Considere que uma pessoa comprou uma casa cujo valor à vista era de R$ 400.000,00. Pagou R$ 100.000,00 de entrada, mais seis prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 25.000,00, e outras oito prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 28.000,00. Se a primeira parcela venceu um mês após a aquisição, qual é o custo efetivo desse financiamento? Solução: 1) “400000” “ENTER” “100000” “-” “g” “CF0”; 2) “25000” “CHS” “g” “CFj”; 3) “6” “g” “Nj” (não precisamos lançar a parcela de 25.000 por seis vezes, usamos esse recurso para dizer à calculadora que o mesmo se repete seis vezes); 4) “28000” “CHS” “g” “CFj”; 5) “8” “g” “Nj”; 6) “f” “IRR”. Resposta: 3,0018% a.m.

PARABÉNS! Muito bem! Chegamos ao fim do Guia Didático de Cálculos Financeiros, espero que tenha sido uma leitura e prática agradável, não deixe de resolver os exercícios, pois é importante para seu aprendizado. Recomendo rever as aulas, fazer anotações e envie suas dúvidas, não deixe para a última hora. Bons estudos e sucesso!

ATIVIDADES FAC: 1) Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente num “Fundo de Renda Fixa”, durante 5 anos, sendo o primeiro depósito no final do primeiro período, para que possa resgatar $ 200.000,00 no final de 60 meses, sabendo que o fundo proporciona um rendimento de 2% ao mês? 2) Quantas prestações de $ 4.000,00 devo aplicar trimestralmente, à taxa de 7% ao trimestre, para acumular o montante de $ 100.516,08 no final de certo prazo? E qual esse prazo? 3) A que taxa devo aplicar $ 15.036,28 por ano para que eu tenha um montante de $ 500.000,00 no final de 10 anos?

FFC: 4) Quanto terei de aplicar mensalmente, a partir de hoje, para acumular no final de 36 meses, um montante de $ 300.000,00, sabendo que o rendimento firmado é de 34,489% ao ano, e que as prestações são iguais e consecutivas, e em número de 36? 5) Quantas aplicações mensais de $ 1.000,00 são necessárias para se obter um montante de $ 33.426,47, sabendo-se que a taxa é de 3% ao mês, e que a primeira aplicação é feita no ato da assinatura do contrato e a última 30 dias antes do resgate daquele valor? 6) Um "Fundo de Renda Fixa" assegura, a quem aplicar 60 parcelas iguais e mensais de $ 500,00, o resgate de um montante de $ 58.166,29 no final do 60º mês. Sabendo-se que a primeira aplicação é feita na data do contrato, calcular a taxa de rendimento proporcionada pelo Fundo. 7) Calcular o montante, no final do 8º mês, resultante da aplicação de 8 parcelas mensais e consecutivas, à taxa de 2,25% ao mês, sendo as 4 primeiras de $ 12.000,00 cada uma e as 4 restantes de $ 18.000,00 cada uma, sabendo-se que

se trata de uma série de pagamentos com termos antecipados (renda antecipada). 8) Quanto um aplicador poderá resgatar, no final de 2 anos, se adquirir trimestralmente, no início dos 5 primeiros trimestres, $ 10.000,00 sabendo-se que o rendimento é de 9% ao trimestre e que a primeira aplicação é feita "hoje"?

FRC: 9) Um empréstimo de $ 30.000,00 é concedido por uma instituição financeira para ser liquidado em 12 prestações iguais, mensais e consecutivas. Sabendo-se que a taxa de juros é 3,5% ao mês, calcular o valor da prestação. 10) Calcule o número de prestações semestrais de $ 15.000,00 cada uma, capaz de liquidar um financiamento de $ 49.882,65, à taxa de 20% ao semestre. 11) Determinar a que taxa anual foi firmada uma operação de empréstimo de $ 100.000,00, para ser liquidada em 18 prestações mensais, iguais e consecutivas de $ 7.270,87 cada uma?

FAV: 12) Qual o valor atual de uma renda de 15 termos mensais de R$ 700, com 3 meses de carência, à taxa de 1,5% ao mês? 13) Calcule o valor atual de uma dívida que pode ser amortizada com dez prestações mensais de $500,00, sendo de 2% ao mês a taxa de juros e devendo a primeira prestação ser paga no 3º mês. 14) A propaganda de uma grande loja de eletrodoméstico anuncia: “Compre o que quiser e pague em 10 vezes. Leve o produto hoje e só comece a pagar daqui a 3 meses”. Se a taxa de financiamento é de 3% ao mês, qual é o valor da prestação de uma geladeira cujo o preço a vista é de $2.800,00?

Price e SAC 15) O financiamento de um equipamento no valor de $ 60.000,00 é feito em 6 meses, à taxa de 10% a.m., sendo os juros capitalizados no financiamento. Como fica a planilha de financiamento Tabela Price e SAC com a primeira prestação vencendo daqui a um mês? 16) Um automóvel no valor de $ 40.000,00 foi financiado segundo um sistema de prestações. Sabendo que serão pagas cinco parcelas sem entrada e que a taxa de juros vigente na operação foi igual a 5% ao mês, componha, para cada período, o valor pago a título de juros e a título de amortização (Price e SAC). 17) Uma máquina industrial é vendida através de um financiamento em 12 prestações mensais e iguais. O fornecedor do equipamento exige 20% sobre o preço a vista como entrada. A taxa de juros compostos da loja é igual a 2% ao

mês, com prestações constantes. A primeira prestação, no valor de $ 3.500,00, vence um mês após a compra. Qual o valor do equipamento a vista?

VPL e TIR 18) A Empresa Boas Vendas Ltda., está analisando a perspectiva de investir na ampliação de sua loja, o que permitirá elevar o faturamento. O fluxo de caixa incremental decorrente do investimento está estimado na tabela apresentada a seguir. Pede-se determinar o VPL desse fluxo de caixa, para a taxa de desconto de 14% ao ano, e sua TIR em termos anuais. Ano Valor ($)

0 - 200.000,00

1 50.000,00

2 60.000,00

3 80.000,00

4 100.000,00

19) A Companhia Gaúcho dos Pampas Transportes S.A. estuda a realização de um projeto com o fluxo de caixa a seguir. Ela dispões de $ 400 mil para aquisição de dois novos caminhões, ao longo dos cinco anos, o custo efetivo do capital é de 18% ao ano. Os valores da tabela abaixo apresentam o fluxo de caixa anual da empresa. Calcule o VPL e a TIR do projeto. Ano Valor ($)

0 - 400.000,00

1 120.000,00

2 135.000,00

3 110.000,00

4 122.000,00

5 137.000,00

RESPOSTAS DAS ATIVIDADES Atividades da Unidade I 1) a) 3; b) 5; c) 5; 2) x = 15 e y = 20. 3) x = 35 e y = 10. 4) 40kg de farinha. 5) 702 litros. 6) 15 litros.

d) 3/2; e) f) 1/18;

g) 10/21; h) 8; i) 5/3;

j) 4.

7) 14 metros. 8) 24 ovos. 9) 360 famílias. 10) 6 horas. 11) 4. 12) 65/4. 13) a)

14) a) 2a; b)

;

; d)

;

15) a) x = 7;

c) x = -3;

e) x = 5;

g) x = 3/5;

b) 5/2;

d) x = -4/3;

f) x = -3;

h) x = 5/4.

Atividades da Unidade II 1) a) 6;

c) – 0,333;

e) – 0,667;

b) 4;

d) 2,5;

f) – 3.

2) Aumento efetivo de 15,04%, preço de R$ 327,86. 9.800,0 0

3) 0

50.000,0 0

4) R$ 8.400,00. 5) 60% a.a. 6) R$ 31.271,48. 7) R$ 16.722,22. 8) R$ 420.000,00. 9) 25 meses. 10) R$ 64.330,00. 11) R$ 11.500,00. 12) 2,34% a.m. 13) R$ 48.000,00. 14) 63 dias. 15) R$ 114.752,00. 16) 4,1% a.m.

Atividades da Unidade III 1) R$ 144.504,39. 2) 8% a.m. e 151,817% a.a. 3) R$ 520.154,96. 4) aplicar a juros compostos de 3% a.m. 5) 308 dias. 6) 0,24% a.d.; 7,32% a.m.; 23,59% a.t.; 133,33% a.a. 7) R$ 3.584,32. 8) R$ 78.858,12. 9) 4,6% a.m. 10) R$ 21.944,57. 11) 84 dias. 12) Creditar R$ 2,57; Debitar R$ â&#x20AC;&#x201C; 8,52; Saldo final: R$ â&#x20AC;&#x201C; 410,95. 13) R$ 1.220,00. 14) d.

15) a. 16) e.

Atividades da Unidade IV 1) R$ 1.753,59.

8) R$ 84.479,07.

2) 15 prestações; 45 meses.

9) R$ 3.104,52.

3) 25% a.a.

10) 6 prestações.

4) R$ 5.107,77.

11) 3% a.m.

5) 23 prestações.

12) R$ 9.066,24.

6) 2% a.m.

13) R$ 4.316,89.

7) R$ 129.953,13.

14) R$ 348,24.

15) PRICE n

Saldo Devedor

Amortização

Juros

Parcela

60.000,00

52.223,56

7.776,44

6.000,00

13.776,44

43.669,47

8.554,09

5.222,36

13.776,44

34.259,97

9.409,50

4.366,95

13.776,44

23.909,53

10.350,45

3.426,00

13.776,44

12.524,04

11.385,49

2.390,95

13.776,44

12.524,04

1.252,40

13.776,44

Juros

Parcela

6.000,00 5.000,00 4.000,00 3.000,00 2.000,00 1.000,00

16.000,00 15.000,00 14.000,00 13.000,00 12.000,00 11.000,00

0,00

SAC n 0 1 2 3 4 5 6

Saldo Devedor 60.000,00 50.000,00 40.000,00 30.000,00 20.000,00 10.000,00 -

Amortização 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00

16) Price n 0 1 2 3 4 5

Saldo Devedor 40.000,00 32.761,01 25.160,07 17.179,08 8.799,04 -

Amortização

Juros

7.238,99 7.600,94 7.980,99 8.380,04 8.799,04

2.000,00 1.638,05 1.258,00 858,95 439,95

Parcela 9.238,99 9.238,99 9.238,99 9.238,99 9.238,99

SAC n 0 1 2 3 4 5

Saldo Devedor 40.000,00 32.000,00 24.000,00 16.000,00 8.000,00 -

Amortização

Juros

8.000,00 8.000,00 8.000,00 8.000,00 8.000,00

2.000,00 1.600,00 1.200,00 800,00 400,00

Parcela 10.000,00 9.600,00 9.200,00 8.800,00 8.400,00

17) R$ 46.267,12 18) VPL = R$ 2.836,36 e TIR = 14,70% 19) VPL = R$ - 9.822,53 e TIR = 16,73%

REFERÊNCIAS BONGIOVANNI, V. et al. Matemática: volume único. 6. ed. São Paulo: Ática, 1998. IEZZI, G. et al. Fundamentos da matemática elementar. 7. ed. São Paulo: Atual, 1985. MIRANDA, Danielle. Fração. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/fracao.htm>. Acesso em: 30 dez. 2013. PFÜTZENREUTER, Elvis. Web HP-12C emulator. Disponível em: <http://epx.com.br/ctb/hp12c.php>. Acesso em: 22 jan. 2014.

RIGONI, José R. Como criar um fluxo de caixa usando uma planilha do Excel. 2012. Disponível em: <http://www.totalqualidade.com.br/2012/07/como-criar-umfluxo-de-caixa-usando-uma.html>. Acesso em: 30 jan. 2014. SÁ, Robson. Regra de três simples e composta. Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/regra-de-tres-simples-e-composta/>. Acesso em: 09 jan. 2014. SANTOMAURO, Beatriz. Por que se usa a terminação "avos" nas frações? Revista Nova Escola, n. 254, ago. 2012. Disponível em: <http://revistaescola.abril.com.br/fundamental-2/se-usa-terminacao-avos-fracoes700443.shtml>. Acesso em: 31 dez. 2013. SÓ Matemática. Propriedades das proporções. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/fundam/propor6.php>. Acesso em: 31 dez. 2013. VIEIRA SOBRINHO, José D. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2011.