AULA 02 MATEMÁTICA II Professor: João Alessandro
CÁLCULO DE LIMITES
Cálculo - Limites Para o cálculo do limite de uma função basta substituir o valor para o qual x está tendendo (valor genérico “a”) na expressão da função f(x). No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nem sempre) para funções racionais. Isto acontece quando se faz a substituição direta de x por seu valor de tendência e encontra-se indeterminação (0/0 ou b/0 ou ∞/∞ ou ∞/0). Veja os casos nos slides seguintes.
Cálculo - Limites Regras adicionais • 1ª Regra: Para funções racionais cujos numeradores e denominadores são 0 quando se substitui x por a (valor de tendência). Neste caso, tanto o polinômio do numerador quanto o do denominador devem ser divididos por (x - a). Após esta simplificação, faz-se a substituição de x por a.
x 2 − 4 22 − 4 0 lim = = = Indeterminação x →2 x − 2 2 −2 0 x2 − 4 ( x − 2)( x + 2) lim = lim = lim( x + 2) = 2 + 2 = 4 x →2 x − 2 x →2 x →2 x −2
Regras adicionais • 2ª Regra: Quando somente o denominador for 0 na substituição direta de x, calcula-se os limites laterais. O limite existirá somente se os limites laterais forem iguais. 1 1 1 lim = = = x →2 x − 2 2 − 2 0 1 lim = −∞ e x −2 x →2 −
1 lim = +∞. x −2 x →2 +
Portanto o limite não existe. Pois pela condição de existência de limite, o limite pela direita deve ser igual ao limite pela esquerda.
Regras adicionais – Limites com e/no Infinito • 3ª Regra: Quando se tem uma função polinomial ou uma função racional, os limites destas funções, quando x tende para +∞ ou -∞, são calculados com base no termo de maior ordem, veja os exemplos abaixo. 1o exemplo (função racional):
2x3 + x 2 − 5x + 3 2x3 lim = lim = lim 2 x 2 = 2.(∞) 2 = ∞ x →∞ x →∞ x x →∞ x −2 2o exemplo (função polinomial):
lim (5 x 2 − 2 x +1) = lim (5 x 2 ) = 5.(∞) 2 = ∞
x →∞
x →∞
EXEMPLO Expressões indeterminadas: Considere o seguinte limite:
x − 27 lim x →3 x − 3 3
Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já conhecidas chegaríamos ao seguinte resultado:
x − 27 3 − 27 0 lim = = x →3 x − 3 3−3 0 3
3
EXEMPLO Expressões indeterminadas Mas vejamos o gráfico desta função:
x
f(x)
2,7
24,39
2,8
25,24
2,9
26,11
3,0
27
3,1
27,91
3,2
28,84
3,3
29,79
L
• Apesar da função não estar definida no ponto x = 3, quando nos aproximamos de x = 3, f(x) se aproxima de 27. Portanto:
x − 27 lim = 27 x →3 x − 3 3
• Mas como se resolve a equação algébrica de modo a chegar a este valor?
• Com a FATORAÇÃO de Produtos Notáveis!!! Neste exemplo,
x − 27 = ( x − 3)( x + 3x + 9) 3
2
Logo, podemos reescrever a função do seguinte modo:
( x − 3)( x + 3 x + 9) 2 f ( x) = = x + 3x + 9 ( x − 3) 2
Basta então calcular:
lim( x + 3x + 9) = 27 2
x →3
FATORAÇÃO • Diferença de quadrados
a − b = (a + b).(a − b) 2
2
2
2
2
(a + b).(a − b) = a − a.b + b.a − b = a − b
Exemplos:
a ) x 2 − 16 = ( x − 4).( x + 4) b ) 9y 2 − a 2 = (3y + a ).(3y − a ) c ) 16x 4 − 81 = ( 4x 2 − 9).( 4x 2 + 9) = ( 2x − 3).( 2x + 3).( 4x 2 + 9)
2
FATORAÇÃO • Trinômio quadrado perfeito (a + b) 2 = (a + b).(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b) 2 = (a − b).(a − b) = a 2 − ab − ba + b 2 = a 2 − 2ab + b 2
Exemplos:
2 2 a + 4a + 4 = (a + 2) 16y 6 − 24y 3 + 9 = 4y 3 − 3
2
Não confundir o quadrado da diferença (a - b) 2, com a diferença de quadrados a2 - b2.
FATORAÇÃO • Soma e Diferença de Cubos
a + b = (a + b).(a − ab + b ) 3
3
2
2
a − b = (a − b).(a + ab + b ) 3
3
2
2
Exemplos:
x + 8 = ( x + 2).( x − x.2 = 2 ) = ( x + 2).( x − 2 x + 4) 3
2
2
2
64a 3 − 125 = (4a)3 − 53 = (4a − 5).(16a 2 = 20a + 25)
PROPRIEDADES DE LIMITES
• P1 - O limite da soma é igual a soma dos limites (caso esses limites existam):
lim[ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x) x →a
Exemplo:
x →a
x →a
lim ( x 2 + 3x + 5) = x →2 lim x 2 + lim 3x + lim 5 = x →2 x →2 x →2 lim x 2 + 3 lim x + lim 5 x →2 x →2 x →2 = 2 2 + 3.2 + 5 = 15
PROPRIEDADES DE LIMITES • P2- O limite da diferença é igual a diferença dos limites (caso esses limites existam):
lim[ f ( x) − g ( x)] = lim f ( x) − lim g ( x) x→a
x→a
x→a
Exemplo:
lim(2 x 2 − x) = lim 2 x 2 − lim x x →2
x →2
x →2
2 lim x − lim x = 2.2 − 2 = 6 2
x →2
2
x →2
PROPRIEDADES DE LIMITES
• P3 - O limite do produto é igual ao produto dos limites (caso esses limites existam):
lim[ f ( x).g ( x)] = lim f ( x). lim g ( x) x →a
x →a
x →a
Exemplo: 2
lim( x ) = lim x.x = lim x. lim x = 3.3 = 9 x →3
x →3
x →3
x →3
PROPRIEDADES DE LIMITES • P4- O limite do quociente é igual ao quociente dos limites (caso esses limites existam):
f ( x) f ( x) lim x →a lim = x →a g ( x ) g ( x) lim x →a Exemplo:
lim ( x − 5) x −5 3−5 − 2 -1 x → 3 lim = = = = x →3 x 3 − 7 lim ( x 3 − 7 ) 27 − 7 20 10 x →3
DÚVIDAS?