Recta de euler, circun de 9 puntos exposicion

RECTA DE EULER Es la recta que pasa por el ortocentro, baricentro y circuncentro de un triangulo cumpliéndose que la distancia del ortocentro al baricentro es el doble de la distancia del baricentro al circuncentro y además la distancia del ortocentro a un vértice es igual al doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto

A C B G E J N M F I O V n n f f m m β β α α θ θ µ µ

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I: Ortocentro V: Baricentro O: Circuncentro •

Por base media: MF= AC/2= 2n/2=n

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Los triángulos ACI y OFM son semejantes:

CI= 2(OF) •

Los triángulos CIV y VOF son semejantes: - CV= 2(VF) Lo que implica que “V” es Baricentro - IV= 2(VO) que es la propiedad.

CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS Se conoce como circunferencia de los nueve puntos a una circunferencia que se puede trazar en cualquier triangulo dado. Su nombre deriva del hecho que la circunferencia pasa por nueve puntos notables, seis de ellos sobre el mismo triángulo (salvo que el triángulo sea obtusángulo). Estos son: • el punto medio de cada lado del triángulo(N, M y P) • los pies de las alturas (E, J y G) • los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los vértices del triángulo ( H, F y D) Al círculo de los nueve puntos se le conoce también entre otros como círculo de Feuerbach, círculo de Euler, círculo de los seis puntos.

Demostración: • Consideremos en la figura anterior, el triangulo ortico GEJ, además por la teoría del triangulo ortico, “I” es el incentro, además A, B y C son los excentros de dicho triangulo, también se cumple que “I” es el ortocentro del triangulo acutángulo ABC.

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Demostraremos que el punto medio del segmento que une los excentros C y B es M: - En el cuadrilátero inscrito GEMJ se cumple que mJGE=mJMB=2m - Además mJCE= (mJGE)/2= m debido al ángulo formado por una bisectriz exterior con una bisectriz interior - También mCJB=90° debido al ángulo formado por una bisectriz interior y exterior de un mismo ángulo

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Luego en el triangulo JCM por Angulo exterior determinamos que mCJM= mMCJ=m y el triangulo es isósceles por lo tanto CM=JM=MB y M es punto medio del segmento CB.

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Análogamente se demuestra que P y N son puntos medios de los segmentos AB y AC respectivamente.

G E J C B M n n 2m 2m θ θ m α α θ θ β β

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G E C

Demostraremos que H es el punto medio del segmento que une el incentro I con el excentro C: - Por ángulo inscrito mHGE= mHJE=m(arco HE)/2= β - Además la mCGI=90° debido al ángulo formado por una bisectriz interior y exterior de un mismo ángulo - Por ángulo exterior en el triangulo GIJ se tiene que mGIH=β+m, luego el triangulo GHI es isósceles y por lo tanto: GH=HI=CH y H es el punto medio del segmento CI. - Análogamente se demuestra que F y D son puntos medios de los segmentos IB e IA respectivamente

I m+β

J m m θ m α α θ θ β β β

H