Randy Hernandez
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz). En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen: El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge) El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat) En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial. Siglo XVII Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. Newton y Leibniz A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos
«derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo). Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo. Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos de derivada y el símbolo de la integral
En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. (El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo.) La derivada de una función en un punto mide el coeficiente por cual el valor de la función cambia cuando la entrada de la función cambia. Es decir, que una derivada provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. La derivada es un concepto de muchos usos que se puede ver en muchos aspectos. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite de una secante. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad. Algunas funciones no tienen derivada, en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical o una discontinuidad. Las funciones que son diferenciables (derivables si hablamos en una sola
variable), la función es aproximable Linealmente. La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto. El nacimiento y uso de las derivadas en el ámbito matemático, aunque tienen su origen en la Antigua Grecia, podemos establecer que hacen aparición como tal gracias a dos figuras históricas muy importantes: el matemático inglés Isaac Newton y el lógico alemán Gottfried Leibniz. Y es que los mismos partieron de las teorías y conceptos establecidos por sus antecesores en el tiempo para poder llevar a cabo sus propias aplicaciones y métodos. Así, por ejemplo, Newton descubrió algoritmos, procedió a acometer la reestructuración de lo que son las bases de cálculos y creó su propio método para realizar el cálculo de las tangentes.
Las derivadas son unas funciones matemáticas que, a partir del siglo XVII, gracias a los estudios de Isaac Newton y Leibniz, dieron solución al cálculo infinitesimal, que se había empezado a estudiar en la Grecia clásica, más o menos en siglo III a. C. Cada uno de estos dos autores crearon un sistema de cálculo propio. La importancia de las derivadas está en que, hoy día, no es posible entender el mundo en que vivimos sin la aplicación de estas en la mayoría de los cálculos científicos y en casi todo lo que nos rodea. . Aunque no es un elemento tangible, su valor radica en que, desde el punto de vista científico, se aplica a numerosas investigaciones importantísimas y de las que sus aplicaciones revierten en la propia sociedad. Así, las derivadas son esenciales para estudios tan importantes como el de la relatividad, la mecánica cuántica, la ingeniería, ecuaciones diferenciales, teoría de las probabilidades, sistemas dinámicos, teoría de las funciones, etc. . Para los que no son expertos en la materia, ni matemáticos, ni científicos, es probable que las derivadas sean una zona de estudio bastante desconocida, un sinsentido o algo muy complicado. Sin embargo, para las personas que dedican su vida a la investigación, las matemáticas o las ciencias, es una parte esencial de conocimiento para poder llegar a entender y conocer muchos de los misterios, desde el punto de vista de nuestra realidad como seres humanos y como habitantes de un planeta y de un punto del espacio. Las derivadas aportan información concreta, directa y científica a los expertos y, con esos resultados, interpretan y son capaces de ofrecer información acerca de nuestra propia existencia y también utilizarlas para aplicarlas en cosas tan habituales como el vuelo de un avión, el movimiento de un coche, la construcción de un edificio, de un contenedor o de muchos otros elementos que para nosotros son normales y que, sin embargo, sin su utilización no serían posibles. En términos generales la derivada sirve para modelar o describir la variación, el movimiento, los fenómenos que cambian con el tiempo, lo que se conoce como sistemas dinámicos, Todas estas aplicaciones involucran diversos tipos de variables y campos de estudio en los cuales aparece el concepto de variación o cambio instantáneo de una variable respecto a otra.
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada. El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer. La derivada es un concepto que tiene muchas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad. A continuación veremos algunos ejemplos: - Extremos relativos - Extremos absolutos - Aplicaciones de máximos y mínimos. - Aceleración, concavidad. Análisis de las graficas Tasas relacionadas. Elasticidad de demanda
Extremos relativos La función f tiene un máximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≥ f (x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida. Principio del formulario
Final del formulario f tiene un mínimo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≤ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida. Un extremo relativo, significa un máximo relativo o un mínimo relativo. La siguiente gráfica muestra unos extremos relativos.
Ejemplo Sea
f(x) = x2 - 2x, con dominio [0, 4]. Aquí es su gráfica.
Mirando la gráfica, se observa que f tiene: Un máximo relativo a (0, 0); Un mínimo relativo a (1, - 1); Un máximo relativo a (4, 8).
Nota Nuestra definición de extremos relativos deja que tenga f un extremo relativo a un punto extremo de su dominio; las definiciones en algunos libros de texto no lo permiten. Extremos absolutos Extremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos, como demuestra la siguiente definición: f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f. f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f. La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos absolutos.
Nota Todos los extremos absolutos son automáticamente extremos relativos, según nuestra convención.
Ejemplo Sea otra vez dominio [0, 4].
f(x) = x2 - 2x, con
Mirando a sus extremos relativos, observamos que: El máximo a (0, 0) no es un máximo absoluto; El mínimo a (1, -1) es un mínimo absoluto; El máximo a (4, 8) es un máximo absoluto.Nota Si cambiamos el dominio a [0, +∞), entonces no sería ningún máximo absoluto (¿por qué?).
Ubicando candidatos al extremos relativos
Ejemplos 1. Vamos a mirar de nuevo la gráfica de f(x) = x2 Si f es continua en su dominio y diferenciable a cada punto de su dominio con la posible excepción 2x, con dominio [0, 4]. de unos puntos apartados, entonces sus extremos relativos ocurren entre los siguientes tipos de puntos: Puntos estacionarios: Puntos x en el dominio con f'(x) = 0. Para ubicar puntos estacionarios, haga que f'(x) = 0 y despeje x. El máximo relativo a (0, 0) es un punto extremo El mínimo absoluto a (1, - 1) es un punto estacionario Puntos singulares: Puntos x en el dominio El máximo absoluto a (4, 8) es un . punto extremo donde f'(x) no está definida. Para ubicar Principio del formulario puntos singulares, determine Final del formulario valores x donde f'(x) no está definida, perof Mas Ejemplos (x) sí está definida. Puntos estacionados: Sea f(x) = x3 - 12x. Puntos extremos: Los puntos extremos del dominio, si es que los hay. Recuerde que los Para ubicar los puntos estacionarios, haga que f'(x) = 0 y despeje x. Obtenemos 3x2- 12 = 0, entonces x = ±2 son los intervalos cerrados contienen los puntos puntos estacionados. extremos, pero intervalos abiertos no los Puntos singulares: Sea f(x) = 3(x- 1)1/3. contienen. Entonces f'(x) = (x- 1)- 2/3 = 1/(x- 1)2/3. La próxima figura demuestra instancias de f'(x) no está definida a x = 1, aunque f(x) sí está definida todos tres tipos. a x = 1. Entonces, el (solo) punto singular es x = 1. Puntos Extremos: Sea f(x) = 1/x, con dominio (- ∞, 0) [1, +∞). Entonces el único punto extremo in el dominio de f es x = 1. Por otro lado, el dominio natural de 1/x no tiene puntos . extremos. Nota Si cambiaríamos el dominio a [0, +∞), no sería ningún máximo absoluto (¿por qué?).
Elasticidad de demanda La elasticidad de demanda, E, es la tasa porcentual de disminución de la demanda por aumento porcentual en el precio. Lo calculamos con la formula: E = - dq . P dp Q donde la ecuación de demando expresa demando, q, como una función del precio unitario, p. Decimos que la demanda es elástica si E > 1, la demanda es inelástica si E < 1, y que la demanda tiene elasticidad unitaria si E = 1. Para calcular el precio unitario que maximiza el ingreso, escribimos E como un función dep, conjunctamos E = 1, y despejemos a p.
Ejemplo Supone que la ecuación de demanda es q = 20,000 - 2p. Entonces E=- (- 2) __ p___ = P_____ 20,000- 2p 10,000-p Si p = 2,000, entonces E = 1/4, y la demanda es inelástica a este precio. Si p = 8,000, entonces E = 4, y la demanda es elástica a este precio. Si p = 5,000, entonces E = 1, y la demanda tiene elasticidad unitaria a este precio.
Aplicaciones de máximos y mínimos: Problemas de optimización Solucionamos problemas de optimización con la forma siguiente: Determine los valores de las incógnitas x, y, . . . para minimizar (o maximizar) el valor de la función objetivo f, sujeta a algunas restricciones. Las restricciones son ecuaciones y desigualdades que relacionen o limitan las variables x, y, . . . . Para solucionar problemas como estos, usamos las ecuaciones de restricción para expresar todas las variables en función de una sola. A continuación, sustituimos esas ecuaciones en la función objetivo para expresarla como una función de una sola variable. Por último, determinamos los valores extremos de la función objetivo como más arriba. (Usamos las desigualdades de restricción para determinar el dominio de la función objetivo.) Específicamente: 1. Identifique la o los incógnitas. Por lo general éstas son las cantidades que se preguntan en el problema. 2. Identifique la función objetivo. Ésta es la cantidad que se pide maximizar o minimizar. 3. Identifique la o los restricciones. Éstas pueden ser ecuaciones que relacionen variables, o desigualdades que expresan limitaciones para los valores de las variables. 4. Enuncie el problema de optimización. Ésta tendré la forma "Máximize [o minimize] la función objetivo sujeta a la o los restricciones." 5. Elimine variables adicionales. Si la función objetivo depende de varias variables, resuelva las ecuaciones de restricción para expresar todas las variables en función de una sola. Sustituya esas ecuaciones en la función objetivo para expresarla como una función de una sola variable. Sustituya también esas ecuaciones en las desigualdades de restricción para ayudar a determinar el dominio de la función objetivo. 6. Calcule el máximo (o mínimo) absoluto de la función objetivo. Aplique las técnicas descritas más arriba.
Ejemplo Aquí es un problema de maximización: Maximize A = xy Función objetivo sujeta a x + 2y = 100, x ≥ 0, y Restricciones y≥0 Seguimos el procedimiento descrito a la izquierda: Como ya tenemos el problema enunciado como un problema de optimización, podremos comenzar a Paso 5. 5. Elimine variables adicionales. Podemos hacerlo tomando la ecuación de restricción x + 2y = 100 y despejamos a x (obteniendo x = 100 - 2y) y sustituyendo en la función objetivo y también en la desigualdad que involucra x: A = xy = (100- 2y)y = 100y - 2y2 (100- 2y) ≥ 0, o y ≤ 50. Entonces, solo falta maximizar A = 100y 2y2 sujeta a 0 ≤ y ≤ 50. 6. Calcule el máximo (o mínimo) absoluto de la función objetivo. Siguiendo el procedimiento más arriba, obtenemos dos puntos extremos y un punto estacionario con valores como sigue: y
0
25
50
A(y)
0
1,250
0
Tipo
Punto extremo
Punto estacionario
Punto extremo
Vemos en la tabla que el valor más grande de A es 1,250, que se ocurre cuando y = 25. El valor correspondiente de x es x = 100 - 2y, entonces x = 50 cuando y = 25.
Aceleración, concavidad, y la derivada segunda
Ejemplos
Aceleración La aceleración de un objeto en movimiento es la derivada de su velocidad: esto es, la segunda derivada (derivada de la derivada) de su función de posición. Concavidad Una curva es cóncava hacia arriba si su pendiente es creciente, en cuyo caso la derivada segunda es positiva. Una curva es cóncava hacia abajo si su pendiente es decreciente, en cuyo caso la derivada segunda es negativa. Un punto donde la gráfica de f cambia de estar cóncava hacia arriba a estar cóncava hacia abajo , o viceversa, se llama un punto de inflexión. a un punto de inflexión, la segunda derivada puede ser cero o indefinida.
Aceleración Si t es tiempo en horas y la posición de un carro en el momento t es s(t) = t3 + 2t2 km, entonces: Velocidad = v(t) = s'(t) = 3t2 + 4t km por hora. Aceleración = a(t) = s" (t) = 6t + 4 km por hora por hora. Concavidad Considere f(x) = x3 - 3x, cuya gráfica se ve más abajo.
f"(x) = 6x es negativa cuando x < 0 y positiva cuando x > 0. La gráfica de f es cóncava hacia abajo cuando x < 0 y cóncava hacia arriba cuando x > 0. f tiene un punto de inflexión a x = 0, donde la segunda derivada es 0.
Análisis de las gráficas Podemos utilizar a tecnología para trazar una gráfica, pero necesitamos a cálculo para comprender lo que estamos viendo. Las características más interesante de una gráfica son las siguientes: Características de una gráfica 1. Las intersecciones en x y y Si y = f(x), se calcula la o las intersecciones en x igualando y = 0 y despejando a x; se calcula la intercesión en y igualando x = 0. 2. Extremos relativos Se usa las técnicas descritas más arriba para ubicar candidatos al extremos relativos. 3. Puntos de inflexión Se mete f"(x) = 0 y despeja a x para ubicar candidatos al puntos de inflexión. 4. Comportamiento cerca puntos donde no se está definida la función Si f(x) no está definida a x = a, se considera limx → a- f(x) y limx → a+ f(x) para ver como se acerca este punto la gráfica de f. 5. Comportamiento al infinito Se considera limx → -∞ f(x) y limx → +∞ f(x) si apropiado, para ver como comporta la gráfica de f cuando x se aleja hacia la izquierda y la derecha.
Ejemplo Aquí está la gráfica de f (x) = _ x2___ (x+1)(x- 2)
Para analizar la, seguimos el procedimiento descrito a la izquierda: 1. Las intersecciones en x y y Igualando y = 0 y despejando a x da x = 0. Ésta es la única intercesión de x. Igualando x = 0 y despejando a y da y = 0: la intercesión de y. 2. Extremos relativos Los únicos extremos son los puntos estacionarios ubicando igualando f'(x) = 0 y despejando a x, dando x = 0 y x = - 4. Los puntos correspondientes en la gráfica son el máximo relativo a (0, 0) y el mínimo relativo a (- 4, 8/9). 3. Puntos de inflexión Solucionar f"(x) = 0 analíticamente es difícil, entonces podremos solucionarla numéricamente (haciendo la gráfica de la derivada segunda y estimando donde cruza el eje x). Observamos que el punto de inflexión está a x ;≈ -6.1072.
Tasas relacionadas
Ejemplo
Si Q es una cantidad que cambia en el tiempo, entonces la razón a la que cambia Q es dado por la derivada temporal, dQ/dt. Un típico problema de tasas relacionadas pide la razón de cambio de una cantidad Q, dado los razones de cambio de varias otras cantidades. Procedimiento para solucionar un problema te tasas relacionadas
El tráfico al sitio web de MundoReal es dado por h = - 0.001p2 + 400 peticiones al día, donde p es el número de problemas difícil al sitio. Hay ahora 100 problemas difícil al sitio, y este número esta creciendo con una tasa de 10 problemas al día. ¿Con qué razón disminuye al tráfico al sitio Mundo Real?
AEl problema Haga una lista de las cantidades relacionadas que cambian. Reformule el problema en términos de tasas de cambio. Reescriba el problema usando notación matemática para las cantidades que cambian y sus derivadas. B. La relación Trace un diagrama, si sea apropiado, que demuestra las cantidades que cambian. De un ecuación o ecuaciones que relacionan las cantidades que cambian. Tome la derivada respecto al tiempo de las ecuaciones que relacionan las cantidades para obtener la o las ecuaciones derivadas, que relacionan las rezones de cambio de las cantidades. C. La solución Sustituya los valores y sus derivadas de los datos, y despeje a derivada que se busca.
Principio del formulario A. El problema Las cantidades relacionadas que cambian son h y p. El problema se puede reformular matemáticamente como sigue: Calcule dh/dt cuando p= 100 y dp/dt =10 B. La relación Aquí no es apropiado un diagrama. Ecuaciones que relaciona las cantidades que cambian: h = - 0.001p2 + 400 Tome la derivada respecto al tiempo de la ecuación que relaciona las cantidades (con la regla de la cadena): dh = - 0.002p dp dt dt C. La solución dh = - 0.002(100)(10) = - 2 dt Sustituya los valores y sus derivadas de los datos, y despeje a derivada que se busca. Entonces, el tráfico al sitio Mundo Real está disminuyendo a una tasa de 2 peticiones al día cada día. Final del formulario
La Derivada es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Astronomía, Biología y Estadística o en ciencias sociales como la Sociología. Por lo tanto, su importancia como herramienta de trabajo es apreciable. La derivada es un limite por lo tanto una aplicación en la vida diaria Se utiliza mucho en la Ing. industrial, para reducir costos al fabricar un producto, esto se llama optimización. También es muy usada en administración y economía, la Utilizan para calcular razones de cambio cuando se tiene una función que indica algún crecimiento o decrecimiento económico. Los Ing. Químicos en procesos la usan Para representar fenómenos. En los movimientos acelerados la primera Derivada de la función espacio nos da La aceleración y la segunda la velocidad Instantánea, eso que no permite saber Con que velocidad pasa un ciclista Por un punto determinado de la carrera, Con que velocidad saca el tenista o con Que velocidad tira el balón el futbolista..
A partir del cálculo diferencial se pudieron calcular formulas, como por ejemplo, la formula del área de un triangulo b x h /2, salió a partir de calcular el área bajo la recta de un triangulo. Ahora, existe otra cuestión fundamental, que es el hecho de que sirve para calcular velocidades; no solo de un cuerpo, sino que velocidades de crecimiento, decrecimiento.
En ingeniería se ocupan para analizar cuestiones técnicas de cada rama que estudies, por ejemplo, en electrónica pues con la ley de ohm.
En mecánica se ocupan para calcular inercias, velocidades, aceleraciones, y por lo tanto fuerzas internas y externas que actúan en un mecanismo... Eso solo es lo básico, porque claro que ocupas el cálculo y demasiado en las ingenierías, si no se ocuparan mas que para eso, no nos darían tantísimas materias de cálculo. Cuánta fuerza necesitas para revolver una mezcla a velocidad constante en función de como varía su densidad al aumentar los ingredientes (una fábrica de mantequilla de maní)
Cuánto tiempo le durará la pila a tu celular en función del cambio de consumo de corriente durante una llamada.
El caso de la física Es muy similar al de la ingeniería (ingeniería es como física aplicada) pero a nivel un poco más teórico; por ejemplo La variación de la aceleración en función a la pérdida de masa y empuje en el despegue de un cohete espacial La variación de la cantidad de radiación del carbono 14 en función del tiempo cuando mides la edad de los fósiles Los corrimientos en frecuencia de la luz que llega de las estrellas en función de la distancia para ayudar a conocer su edad y/o distancia. Aproximación lineal: En una serie de ramas de la física, como es el caso de la óptica, la Aproximación lineal juega un papel vital. En este utilizamos una función lineal con el fin de encontrar la aproximación de cualquier función general. Esta es más comúnmente conocida como una aplicación de la recta tangencial al gráfico de cualquier función lineal Tasa de Variación: Esta es la aplicación más utilizada de las derivadas. Encuentra su aplicación en muchos problemas de la física. La tasa de variación en la localización de un punto te dará la velocidad de ese punto. De manera similar la tasa de cambio de la velocidad de un punto se conoce como la aceleración del mismo. La velocidad de un punto se despeja como, aquí x es el punto cuya velocidad será calculada y representa el intervalo de tiempo
Variedad de funciones biológicas - Análisis FOT Con estas consideraciones y tras varios años de estudios de las funciones cardiovasculares de presión y velocidad de la sangre, proponemos que el estudio de la variabilidad de la presión arterial, bajo diferentes condiciones hemodinámicas, se realice gráficamente. En efecto, una marcada tendencia actual en el estudio del estado o condición cardiovascular de los pacientes, es la observación de las formas de las ondas de presión arterial (p (t)) y su análisis mediante métodos matemáticos. El cálculo más utilizado es la obtención de la derivada (dp/dt) máxima, y existen numerosas publicaciones que correlacionan este parámetro con otras mediciones más complejas como el índice cardiaco y otros cuadros patológicos . Muchas de las enfermedades pueden ser descritas por ecuaciones, en las que se estudian el crecimiento de bacterias o células malignas, es decir el número de bacterías en un instante determinado La estatura del feto a lo largo del embarazo viene dado por la función: Donde x calcula :
f ( x)
x3 125
3x 2 10
x 10 3
se mide en semanas, ey, en centímetros
¿ Si el embarazo dura 40 semanas cual es la altura del niño al nacer? ¿ En que momento crece más rápidamente el feto?
Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción. En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente por acción de un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad o variable. Los economistas tienen un termino especial para denominar las razones de cambio y las derivadas los llaman MARGINALES. Costo Marginal Representa el aumento del costo total necesario para producir una unidad mas. En otras palabras es la derivada de la funcion de costo con respecto a la cantidad producida. Ingreso Marginal Representa en cuanto varia el ingreso si se vende una unidad de mas Utilidad Marginal Representa en cuanto aumenta o disminuye la utilidad por la venta y producción de una unidad mas. Función de consumo Desempeña un papel importante en el análisis económico . Esta expresa una relación entre el ingreso nacional total, I , y el consumo nacional total C. La propensión marginal al consumo se define como la razón de cambio del consumo con respecto al ingreso y es la derivada de C con respecto a I Ahorro es igual
La tendencia al ahorro indica que tan rápido cambia el ahorro con respecto al ingreso
La derivada tiene infinidad de aplicaciones, ya que Esta rama de la Ingeniería va de la mano con todos las demás ramas del conocimiento. La derivada puede tener aplicaciones sobre el diseño de algunos programas que involucren velocidades Ejemplo Se le pide a un Ingeniero de Sistemas crear un programa que permita calcula dos números cuya suma sea 100 y de forma que su producto sea máximo. Incógnitas y Datos x= Primer numero y= Segundo numero x+ y = 100 Función que hay que maximizar f(x,y) = xy Sujeto a x + y = 100 y = 100 – x Se escribe la función con una sola variable: f(x)= x (100 – x) f(x)= 100 x - X2 Se calculan los máximos y mínimos relacionados: f´(x)= 100- 2x 100 – 2x = 0 X = 50 Si x = 50 Entonces: y = 50 Se comprueba en la segunda derivada: f´(x)= -2 < 0 (-) = Máximo Relatívo El primer número es: x = 50 El segundo número es: y = 50
En electrónica, Se usa para modelar la corriente en circuitos eléctricos, ya que el voltaje es la derivada de la corriente.
En química, Se usa para calcular la vida media (periodo de descomposición) de los isótopos radiactivos.)
En meteorología, Pueden usarse las ecuaciones diferenciales (una extensión de las derivadas) para predecir sistemas caóticos
En mecánica de fluidos Lo que hizo posible la creación de las presas o los aviones
. Tenemos varios tipos de ejemplos de aplicación de máximos y mínimos en la vida real. Un clásico es el de construir con determinada cantidad de material, un recipiente de volumen máximo. De una lamina de 120 cm. X 75 cm, se desea construir una caja sin tapa, del mayor volumen posible recortando cuadrados iguales de las esquinas de la lámina y doblando hacia arriba las salientes para tomar las caras laterales. ¿Cuáles deben de ser las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo? ¿Cuál es el volumen máximo que puede contener? Al asignar X a la altura de la caja y V a su volumen, algebraicamente tendríamos: V = (120 - 2X) (75 - 2X) (X) V = 4X^3 - 390 X^2 + 9000X No se le pude recortar a la lámina más de 37.5 cm., por lo que la altura debe estar en el intervalo: 0<X<37.5 Calculando el máximo en la función V = 4X3 - 390 X2 + 9000X (derivando e igualando a cero): V´ = 12X^2 - 780X + 9000 12X2 - 780X + 9000 = 0 X1 = 50 y X2 = 15 desde ahora puede descartarse el valor X = 50 por ser mayor que 37.5 Usamos ahora la segunda derivada: V” = 24X - 780 sustituyendo los valores X1 = 50 y X2 = 15 en la segunda derivada: V” = 24 (50) - 780 = 420 por ser positivo, hay un mínimo para X = 50 V” = 24(15) - 780 = - 420 por lo tanto se encuentra el máximo que buscamos en X = 15 Al sustituir en la función V = 4X^3 - 390X^2 + 9000X el valor X = 15, encontramos el volumen máximo de la caja: V = 4(15) 3 - 390 (15)2 + 9000 (15) V = 60750 cm3 La altura debe ser X = 15cm La longitud es (120 - 2X) = 120 - 2(15) = 90 cm. La anchura es (75 - 2X) = 75 - 2(15) = 45 cm.
La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V (t)= 40+15t-9t2+t3, donde t es el tiempo (en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece. Solución Para que la función tenga un máximo o un mínimo la derivada debe ser cero. V´ (t)= 15-18t+3t2, igualando a 0, 3t2-18t+15=0 Simplificando t2-6t+5=0, cuyas soluciones son 5 y 1. Ahora voy a ver quien es el máximo y quien el mínimo de la función, en el intervalo [0, 6], que tiene que estar entre estos dos valores junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de Weirtrars ). Ordenamos la función V por comodidad, V (t)= t3-9t2+15t+40 V(0)=40 V(5)=125-225+75+40 =15 V(1)=1-9+15+40= 47 V(6)=216-324+90+40=22 La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas. Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V’(t)=3t2-18t+15 0 1 5 6 V’ + 0 0 + Luego V crece desde 0 a 1 y desde 5 a 6, (crece en (0, 1) unión (5, 6) ) y decrece en el intervalo (1, 5) Observando la gráfica de esta función vemos lo que hemos deducido
Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros: a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible. c) Cual será el valor de dicha rentabilidad. Solución a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece Procedimiento: -Se deriva la función: R`(x)=-0,004x+0,8 -Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta: R`(x)=0 , -Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico: f f´ + 200 se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0 Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros. c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)2+0,8.200-5=75 euros Solución Gráfica;
Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la expresión v(x)= (2-x).ex, donde x es el tiempo en horas y v( x) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en que momento del intervalo circula a la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. ¿En que periodos gano velocidad y en cuales redujo? ¿Se detuvo alguna vez? SOLUCIÓN Nos piden q estudiemos el crecimiento y decrecimiento y el máximo de la función velocidad v. Por eso utilizamos la derivada, ya que sabemos (por teoría) que si la derivada da positiva la función crece y si da negativa decrece. También sabemos que, la función tiene un máximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0 (condición necesaria) y además cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer a decrecer) La derivada es: v’(x)=-1.ex + ex.(2-x)= -ex + 2 ex- x .ex = ex- x. ex, sacando factor común ex se llega a: v’(x)=((1-x)ex Igualando a 0 nos da (1-x).ex =0, de donde 1-x =0 y por tanto x =1, (ya q ex nunca puede ser cero) Estudiamos v en los alrededores de 1 v‘ + 1 2 y crece decrece Por lo tanto en x=1 hay máximo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y decrece de 1 a 2 (reduce velocidad), veamos los valores en ese punto y en el extremo: v(x)= (2-x)ex v(1)=(2-1).e = e (aquí el máximo como justificamos antes) v(0)=(2-0).1=2 v(2)=(2-2).1=0 como da la velocidad 0 aquí se detuvo LA GRÁFICA:
Si sabemos por ejemplo que los campeones de 100 metros lisos corren esa distancia en unos 10 segundos, al calcular la velocidad promedio de10 metros por segundo (36 km por hora) estamos haciendo una derivada, bajo el supuesto de que la velocidad fuera constante (velocidad promedio)
Quieres comprar un auto y solamente te dan como dato que acelera durante el arranque a 3 metros por segundo cada segundo. Pero te interesa conocer el espacio que necesitas recorrer para pasar a120 km/h, y el tiempo que necesitas para ello: Entonces planteas a = 3 = d^2x / dt^2, lo que significa que dx /dt = 3 t (la operaciรณn es la inversa de la derivada, pero el concepto es el mismo). Serรก pues120 km/h = 120* 1000/3600 = 3* t ---> t = 400/36 = 11,11 segundos, y el espacio que hace falta recorrer serรก x = 3/2 t 2 = (3/2) 11,11 2 = 185 metros. Con esos datos puedes valorar si te conviene el comportamiento del auto