Zn del futuro by Pinillos Raul Bernardo Rodrigo Algebra

Índice Vectores………………………………………………………………………………………………………………3 Características de un vector……………………………………………………………………………………………4 Operaciones entre vectores……………………………………………………………………………………………6

Rectas y planos…………………………………………………………………………………………………..11 Rectas en IR2…………………………………………………………………………………………………………………11 Planos en IR3…………………………………………………………………………………………………………………12 Rectas en IR3…………………………………………………………………………………………………………………13 Distancias entre rectas y planos…………………………………………………………………………………...14 Ángulos entre rectas y planos ………………………………………………………………………………………16

Aritmética modular…………………………………………………………………………………………….18 Operaciones en aritmética modular……………………………………………………………………………..18

Sistemas de ecuaciones lineales…………………………………………………………………………21 Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales………………………………………………22 Conjuntos generadores e independencia lineal……………………………………………………………26

Vectores Un vector es un segmento de recta dirigido, que indica cual es el desplazamiento desde un punto hacia otro. Los vectores deben notarse diferentes a los nĂşmeros reales a la hora de escribirlos, los nĂşmeros reales en algebra lineal son conocidos con el nombre de escalares. Existen distintas ramas de notaciĂłn de vectores, tales como: u (letra minĂşscula y negrita). (letra minĂşscula con una flecha hacia la derecha encima de ella). Un vector estĂĄ compuesto por componentes en cada uno de los ejes del sistema. En un plano cartesiano, por ejemplo un vector tendrĂa componentes en â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;? y en â&#x20AC;&#x153;yâ&#x20AC;?. En algebra lineal al plano cartesiano se le denominarĂĄ IR2 pues cada vector en este sistema tiene dos componentes, es decir que un vector puede pertenecer a un sistema en IRn ejemplificando que el vector tiene n componentes. Las formas de escribir un vector en sus componentes son dos, en renglĂłn o en forma de columna. Forma de renglĂłn Sea u un vector en IRn, se puede escribir de la siguiente manera: u = [u1, u2, u3, â&#x20AC;Ś, un]. Forma de columna Sea u un vector en IRn, se puede escribir de la siguiente manera: u1 2 3 â&#x20AC;Ś

CaracterĂsticas de un vector Existen distintas caracterĂsticas que describen a un vector, tales como su magnitud y su direcciĂłn. Magnitud de un vector La magnitud de un vector es la longitud del vector y se denota de la siguiente forma, sea u un vector en IRn: â&#x20AC;&#x2013; â&#x20AC;&#x2013; DirecciĂłn de un vector La direcciĂłn de un vector es el ĂĄngulo que forma el vector con el eje x+, este es medido en radianes y estĂĄ dado de la siguiente forma, sea u un vector en IR2:

, donde y = u2 y x= u1 Vector nulo: El vector nulo es aquel que tiene componentes cero, por lo tanto su magnitud es cero y su direcciĂłn es indeterminable. El vector nulo se denota de la siguiente manera: O = [0,0] Vectores equivalentes Se dice que dos vectores son equivalentes cuando estos tienen la misma direcciĂłn y la misma magnitud.

Vector Unitario Un vector unitario es un vector de cuya magnitud es 1. En R2, el conjunto de todos los vectores unitarios es representado por el cĂrculo unitario, el cĂrculo de radio 1 con centro en el origen.

Ejemplo de un vector unitario V

Vectores unitarios en R2

5 Vectores paralelos: Son vectores paralelos aquellos que tienen la misma pendiente. Uno de los vectores puede ser representado como el múltiplo escalar de otro. c , " # "$ ||

Vectores ortogonales Son vectores que forman un ángulo recto entre sí, dos vectores son ortogonales si el producto punto entre ellos es igual a cero. ∙ , " # "$

Vector unitario estándar Los vectores i = [1,0,0]; j = [0,1,0]; y k = [0,0,1] son llamados vectores unitarios estándar. Estos se utilizan para representar cualquier vector. Esta forma de expresar un vector se le llama combinación lineal, donde “x”, “y” y “z” son componentes de un vector.

6 Desigualdad de Cauchy Schwarz Si

entonces

Desigualdad del triangulo Este teorema establece que la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es mayor a la longitud del tercer lado

Es decir que: a+b>c a+c>b b+c>a Utilizando vectores se puede decir que: ||u+v|| ≤ ||u||+||v||

Operaciones entre vectores Los vectores pueden ser operados analítica y geométricamente. Al operar vectores analíticamente se refiere a realizar la operación algebraicamente, es decir utilizando los componentes y realizando la operación que se quiere realizar. Al hablar de realizar la operación geométricamente, se habla de utilizar la representación gráfica del vector en un plano y sobreponerlos o moverlos de lugar según la operación deseada y de esta manera obtener un nuevo vector que puede ser representado gráficamente. Suma de vectores La suma de vectores es representar el desplazamiento total que se da al seguir dos vectores sean estos u y v. Geométricamente esto puede ser representado de la siguiente manera:

Esta operación también puede ser realizada analíticamente, para esto sean u y v dos vectores en IRn, la suma de ellos estará dada por la suma de cada una de sus componentes. u + v = [u1+v1, u2+v2,…,un+vn]

Multiplicación de un escalar por un vector La multiplicación de un escalar por un vector es la única operación realizable entre escalares y vectores. Esta operación es utilizada para modificar la magnitud o dirección del vector. Sea c un escalar y u un vector la multiplicación estada dada de la siguiente manera: cu = [cu1, cu2] Resta de vectores La resta de vectores es efectuar un suma de vectores pero uno de ellos ha sido multiplicado por un escalar con valor de -1. A este vector sea v un vector, se le denominaría negativo de v. Entonces la resta entre dos vectores u y v está dada por: U – v = u + (-v) = [u1-v1, u2-v2,…, un-vn]

Producto punto o producto escalar ( )'1, '2*, + ( )+1, +2*; Se define el producto punto de ' ( , + ( como : Sean ' ( ∙ . ( '1 +1 / '2 +2 El resultado de esta operación es un escalar

Propiedades del producto escalar

8 Las propiedades del producto escalar son importantes para poder llevar a cabo un problema algebraico, ellas son: ( ∙ + ( = + ( ∙ ' ( 1. '

( + 0 ( ) = ' ( ∙ + ( + ' ( ∙ 0 ( ( (+ 2. ' ( ∙ + ( = c' ( + ( = (' ( ∙ + ( ) 3. c ' ( ∙ 1 + ( = c d (' ( ∙ + ( ) 4. c '

Magnitudes de un vector Para calcular la magnitud de un vector, el Teorema de Pitágoras es lo único que necesita, por ejemplo: En ℝ4

( = ('1, '2) ' Por tanto (6 = 7'84 + '44 6 '

En ℝ5

( = ('1, '2, '3) ' Por tanto (6 = 7'84 + '44 + '54 6'

9 Normalización de un vector Normalizar un vector es un proceso que consiste en encontrar un vector unitario en la misma dirección de otro vector. Ecuación para normalización de un vector:

Ejemplo: Si sentido.

es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma dirección y

Ángulo entre dos vectores El ángulo entre dos vectores u y v, está dado por el coseno inverso de la división entre el producto punto entre ambos vectores dividido la multiplicación de sus magnitudes. Es decir: #$ =

∙ || ∙ ||

10 Proyección de un vector sobre otro La proyección de un vector sobre el otro está dado por la división del producto punto entre ambos vectores dividido el producto punto entre el vector sobre el que se está proyectando por sí mismo, el resultado de esta división es un escalar y se multiplica por el vector sobre el que se está proyectando. Ejemplo: Proyección de u sobre v Proyuv =

∙ ∙

Producto vectorial o producto cruz El producto vectorial está definido únicamente en IR3, el resultado del producto cruz entre dos vectores u y v será un vector ortogonal a ambos vectores. Sean u y v dos vectores en IR3 el producto cruz se define de la siguiente manera. 2;3 − 3;2 x = : 3;1 − 1;3= 1;2 − 2;1 Las propiedades del producto cruz sean u y v vectores en IR3 son: El producto vectorial entre u y v es el negativo del producto entre v x u. u x v = -(v x u) El producto vectorial entre un mismo vector es el vector O. uxu=O El producto punto entre un vector y el producto cruz de ese mismo vector con cualquier otro es 0. ( x ) ∙ = 0 ( x ) ∙ = 0

Distancia entre dos vectores Para encontrar la distancia entre dos vectores v =[v1, v2, …, vn] y u = u1, u2, …, un] se realiza la siguiente operación: d = ?( 8 – ;8 )4 + ( 4 – ;4 )4 + … + ( A – ;A )4

Rectas y Planos Rectas en IR2 En el plano cartesiano, podíamos verificar la ecuación de una recta. En el punto de vista vectorial, ahora se le conocen como ecuaciones de rectas en IR2. Para empezar una recta es una sucesión de puntos infinitos de extremo a extremo. En IR2 esta sucesión de puntos puede ser representada por varias formas que llevan a una misma ecuación general. Forma general La ecuación de una recta en IR2 en su forma general está dada de la siguiente manera: B + C, = Forma normal La forma normal de una recta es justo el paso anterior a llevar una recta a su forma general. Esta está dada por el producto punto del vector normal y el vector x e igualado al producto punto del vector normal y un punto conocido. D∙E=D∙F Forma vectorial La forma vectorial de una recta en IR2 tiene la siguiente forma: x = p + td B J1 11 G,H = I K + G H J2 12 En donde x es el vector [x,y], p es un punto conocido [p1, p2] y d es el vector dirección. El cual está dado por [-b,a], ambos son coeficientes de la forma general. Ecuaciones paramétricas Las ecuaciones paramétricas son aquellas que componen la forma vectorial. En estas se escriben ecuaciones por componentes. Las ecuaciones paramétricas en IR2 están dadas de la siguiente manera. x = p1 + td1 y = p2 +td2

Planos en IR3

En IR3 se pensaría que la ecuación de una recta fuera B + C, + L = 1, pero esto es incorrecto. Al evaluar esto vemos que esta ecuación en realidad no puede ser una recta pues al evaluar se puede observar que los vectores se dirigirían en infinitas direcciones del punto elegido. Al observar este fenómeno se puede concluir entonces que esta es la ecuación de un plano. Al igual que la recta en IR2 el plano en IR3 tiene ecuaciones en forma general, vectorial, normal y sus ecuaciones paramétricas. Forma general La forma general de un plano es entonces dada por la siguiente expresión: B + C, + L = 1, dónde a, b y c son los componentes del vector normal. Forma normal La forma normal de un es justo el paso anterior a llevar una recta a su forma general. Esta está dada por el producto punto del vector normal y el vector x e igualado al producto punto del vector normal y un punto conocido. D∙E=D∙F Forma vectorial La forma vectorial de un plano tiene la siguiente forma: X = p + su +tv, donde p es un punto conocido, s y t son parámetros y u y v son los vectores dirección del plano. J1 B 1 ;1 M,N = :J2= + $ : 2= + :;2= L J3 3 ;3 Ecuaciones paramétricas Las ecuaciones paramétricas de un plano, son aquellas que resultan de la separación de los componentes que forman la ecuación de un plano en su forma vectorial, entonces estas están dadas por: x = p1 + su1 + tv1 y = p2 + su2 + tv2 z = p3 + su3 + tv3

Rectas en IR3

Ya determinamos que la forma general de una recta en IR3 no es B + C, + L = 1, entonces como saber cuál es la ecuación general de una recta. En IR3 una recta es formada al intersectar dos planos. Al intersectar los planos, se puede observar que la intersección no se encuentra en un solo punto. La intersección entonces es una sucesión de puntos, es decir una recta. Las rectas en IR3 tienen ecuaciones en forma general, forma vectorial, forma normal, tienen ecuaciones paramétricas y estas además tienen ecuaciones simétricas. Forma general La forma general de una recta está dada por las dos ecuaciones generales de los planos que se intersectan. Entonces la forma general estaría dada por: 1B + C1, + 1L = 11 O 2B + C2, + 2L = 12 Forma normal La forma normal de una recta en IR3 es entonces el producto punto del vector normal y el vector x e igualado al producto punto del vector normal y un punto conocido de ambos planos. D1 ∙ E = D1 ∙ F1 D2 ∙ E = D2 ∙ F2 Forma vectorial La forma vectorial de una recta en IR2 es la misma que la de una recta en IR3 con la diferencia que en este caso tiene un componente más. x = p + td J1 B 11 M,N = :J2= + :12= L J3 13 En donde x es el vector [x,y,z], p es un punto conocido [p1, p2,p3] y d es el vector dirección. Ecuaciones paramétricas Las ecuaciones paramétricas son aquellas que componen la forma vectorial. En estas se escriben ecuaciones por componentes. Las ecuaciones paramétricas en IR3 están dadas de la siguiente manera. x = p1 + td1 y = p2 +td2 z= p3 + td3 Ecuaciones simétricas Las ecuaciones simétricas de una recta en IR3 son aquellas obtenidas al despejar por el parámetro “t” en las ecuaciones paramétricas. Las ecuaciones simétricas estarían dadas por: B − J1 , − J2 L − J3 = = 11 12 13

Distancia entre rectas y planos Distancia entre un punto y una recta La distancia entre un punto y una recta es la distancia más corta entre ese punto y la recta. Para encontrar esa distancia se calcula la longitud del segmento perpendicular a la recta que pasa por el punto. Considerando una recta de ecuación Ax + Bx + C = 0, y un punto P(px, py)Esta distancia se encuentra por medio de la fórmula

PQR STQU S V √PX S TX

Distancia entre un punto y un plano Si se traza la perpendicular a un plano pasando por un punto P, se puede encontrar la distancia entre ese punto y el plano. Si se conoce un punto P(x1, y1, z1) y un plano de ecuación Ax + By +Cz + D = 0. La distancia entre el punto P y el plano se encuentra por: d=

P Y S T Y S Z Y S [ √PX STX SV X

Distancia entre rectas paralelas Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas entre ellas, se debe tomar las coordenas de un punta cualquier sobre una de las rectas y luego calcular la distancia entre ese punto y la otra recta. Se utiliza la fórmula de la distancia entre una recta y un punto:

PQR STQU S V √PX S TX

Distancia entre dos planos paralelos Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, simplemente se debe encontrar las coordenadas de un punto cualquier sobre uno de los planos y luego calcular la distancia entre ese punto y el segundo plano por medio de la fórmula: d =

P Y S T Y S Z Y S [ √PX STX SV X

Ángulos entre rectas y planos Ángulo de intersección entre rectas Sean l1 y l2 dos rectas no verticales, cuyos ángulos de inclinación son 1 y 2 respectovamente. Al cortarse las rectas l1 y l2 forman cuatro ángulos iguales de dos en dos que equivale a b1 =b2 = q1 - q2

∝ 1 ∝ 2 180 < ^1 Sean l1 y l2 dos rectas no verticales, cuyos ángulos de inclinación son q1 y q2respectivamente. Al cortarse las rectas l1 y l2 forman cuatro ángulos iguales de dos en dos esto es igual a b1 = b2 = q1 = q2= y a1 = a2 = 1800 - b1

Se defina el ángulo entre l1 y l2 como el ángulo positivo obtenido al rotar la recta l2 hacia l1. En este caso, el ángulo entre l1 y l2 viene dado por: β1 θ1 < θ2 El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas. De la igualdad β1 θ1 < θ2 se tiene: tan β1 tan)θ1 < θ2* Ángulo de intersección entre planos Para calcular el ángulo entre dos rectas, se deben conocer los vectores normales para entonces recurrir a la siguiente fórmula: #$ =

de de

A8 A4

fgdegf gdeg A8

17 Ángulo de intersección entre una recta y un plano Ejemplo: El ángulo entre L y h se puede encontrar a través del vector dirección de la recta (1,1,1) y el vector normal del plano (0,1,1)

cos θ=

┃(1,1,1).(0,0,1)┃/ [(√(1²+1²+1²)(√(0²+0²+1²) ]

Cos θ= 1/√3= (√3)/3) θ=arcos((√3)/3)=0.9553 π radianes

Aritmética modular En la historia, las personas han transmitido mensajes utilizando códigos. La aritmética modular pretende realizar códigos encontrados en vectores llamados vectores códigos. El proceso de convertir un mensaje en vectores código se le llama codificación y el proceso inverso es la decodificación. Para esto se utilizan módulos en donde en vez de utilizar la notación IRn se utiliza Zn en dónde n representa el número de número permitidos en ese módulo contando desde 0. Es decir el número más grande en un módulo Zn será n-1.

Operaciones en aritmética modular Adición en aritmética modular En cualquier módulo: 0 es el elemento neutro aditivo 1 es el elemento multiplicativo

n = número cualquiera ---> el inverso aditivo de n en ℤj es (m-n)

Ejemplo

Resuelva la ecuación en ℤ11

Inversos aditivos

3x + 2 = 8

0 = 11, 22, 33, 44, 55

3x +( 2 + 9) = (8 + 9)

1 = 12, 23, 34, 45, 56

4 * 3x + 0 = 6 * 4

2 = 13, 24, 35, 46, 57

x=2 Nota: Tomar en cuenta que el resultado no se "pase" del módulo en el cual se está evaluando. Por tanto 2 si es aceptable como respuesta.

Multiplicación en aritmética modular Es una de las operaciones realizadas en aritmética modular. Se trabaja con números enteros, y se trabaja con un módulo N que se realiza en el conjunto ZN = {0, 1, 2, …, (N-1)}. El resultado de la multiplicación debe permanecer al conjunto del módulo N que se utiliza. Por ejemplo, si tenemos una multiplicación de 1 por 3 se obtiene 3 y este número se utiliza en módulo 2, el 3 se encuentra fuera del conjunto de 0 a 1 del modulo 2, por lo que podemos decir que este conjunto en términos de un reloj de 2 horas con 0 y 1, que al pasar de 1 se reinicia dando así que 3 sería igual a 0. Ejemplo: Sean u = [1, 1, 0, 1, 0] y v = [0, 1, 1, 1, 0]. Encuentre u · v en Z2. u · v = 1·0 + 1·1 + 0·1 + 1·1 + 0·0 = 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 0

19 Resolución de ecuaciones sobre ZN Una ecuación cualquiera se puede resolver mediante un módulo N, siendo N cualquier número entero. Al resolverlo implica que la suma de los elementos de tal ecuación se puedan realizar en el conjunto ZN = {0, 1, 2, …, (N-1)}. Ejemplo: 3x + 2 = 8 en Z11 Por ser módulo 11 sabemos que 11 es igual a 0 por lo que a 2 le sumamos 9 para eliminarlo. 3x + 2 (+9) = 8 (+9) -> 3x = 8 + 9 8 + 9 = 17 pero sabemos que 17 sobrepasa el conjunto válido del módulo 11 por lo que le restamos 11 y nos da 17 – 11 = 6 3x = 6 -> Sabemos que la multiplicación de 3 por 2 nos da 6 por lo que: R/ x = 2

Sistemas lineales sobre ZN Es la resolución de ecuaciones en un módulo N. Para ello depende del valor de N el cual puede ser cualquier número entero. Para la resolución de estos sistemas se debe de realizar en el conjunto de ZN = {0, 1, 2, …, (N-1)}. En tal conjunto los números del sistema no pueden salir del conjunto de valores dados por el módulo N. Ejemplo: Compruebe que 3(2 + 4) = 0 en Z2 3(2) + 3(4) = 6 + 12 = (2 + 2 + 2) + (2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2) = 0 Por ser módulo 2 sabemos que el 2 en tal módulo será igual a 0 por lo que: 0+0+0+0+0+0+0+0+0=0

Código universal del producto (UPC) Es un código asociado con los códigos de barra que se encuentran en muchos tipos de mercancía. Las barras blancas y negras que se escanean con un láser en un mostrador de verificación en una tienda, corresponden a un vector 10-ario u = [u1, u2, …, u11, d] de longitud 12. Los primeros 11 componentes 88 forman un vector en k8l que dan la información del fabricante y el producto; el último componente d es un dígito de control elegido de modo que c · u = 0 en Z10 donde el vector de control c (vector de verificación) es [3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1]. Esto después de reordenar: 3(u1 + u3 + u5 + u7 + u9 + u11) + (u2 + u4 + u6 u8 + u10) + d = 0

20 Donde d es el dígito de control. En otras palabras, el dígito de control se elige de modo que el lado izquierdo de esta expresión sea un múltiplo de 10. Ejemplo: Determine que el dígito de control. u = [0, 7, 4, 9, 2, 7, 0, 2, 0, 9, 4, d] c = [3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1] c · u = 3(0 + 4 + 2 + 0 + 0 + 4) + (7 + 9 + 7 + 2 + 9) + d = 3(0) + 4 + d = 4 + d Se agrega 6 a 4 para que el dígito sea múltiplo de 10. Esto nos da que d es igual a 6.

Número estándar internacional de libros (ISBN) El código de número internacional normalizado de libros de 10 dígitos (ISBN – 10) es un código de dígito de control muy utilizado, también puede ser de 13 dígitos. Este código está diseñado para detectar más tipos de errores que el código universal de productos y, en consecuencia, es ligeramente más 8l complicado. El vector código es un vector en k88 . Los primeros nueve componentes proporcionan el país, editor e información del libro; el décimo componente es el dígito de control. Para el código ISBN – 10, el vector de control es c = [10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1], y se requiere que c · b = 0 en Z11. El vector del código será nombrado b. Ejemplo: Determine el dígito de control d para el vector b. b = [0, 5, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 0, X] c = [10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1] c · b = 10·0 + 9·5 + 8·3 + 7·4 + 6·3 + 5·4 + 4·4 + 3·5 + 2·0 + d = 0 + 1 + 2 + 6 + 7 + 9 + 5 + 4 + 0 + d = 1 + d = 10 Se agrega 10 a 1 para que el dígito sea múltiplo de 11. Esto nos da d = 10.

Sistemas de ecuaciones lineales Las ecuaciones lineales están dadas por las ecuaciones generales de las rectas y planos. Una ecuación lineal entonces es una ecuación que puede escribirse en la forma: a1x1 + a2x2 + a3x3+…+ anxn = b Dónde los coeficientes a1, a2, a3,…, an y el término b son constantes. Cada ecuación lineal tiene soluciones, las cuales son vectores cuyos componentes satisfacen la ecuación cuando se sustituyen valores en cada variable. Las ecuaciones lineales entonces contienen variables elevadas a la primera potencia y se multiplican por constantes. Estas ecuaciones pueden interactuar con otras ecuaciones con las mismas variables, a este conjunto finito de ecuaciones lineales se le denomina sistema de ecuaciones lineales. Los sistemas de ecuaciones tienen soluciones también, las cuales son un vector que simultáneamente es una solución de cada ecuación lineal en el sistema. El conjunto solución en un sistema de ecuaciones lineales entonces es el conjunto de todas las posibles soluciones del sistema. A este proceso también se le llama resolver el sistema.

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales Al resolver ecuaciones lineales se pueden utilizar varios métodos que indicarán todas las posibles soluciones de un sistema. Se explicarán cuatro métodos: sustitución, eliminación, graficar y utilizando matrices aumentadas. Método por sustitución Este método es una manera muy simple y rápida de resolver sistemas de ecuaciones lineales cuando no se tienen muchas variables. El método consiste en despejar y encontrar el valor de una variable en términos de las demás variables y luego sustituir este valor en otra de las ecuaciones hasta tener únicamente una variable en el sistema, pudiendo despejarla y encontrar un valor numérico fácilmente. Por ejemplo:

23 Método por eliminación Este método al igual que el de sustitución es rápido y sencillo mientras el sistema de ecuaciones no cuente con una gran cantidad de variables. El método por eliminación consta en modificar las ecuaciones lineales de manera que al sumarlas poder eliminar una de las variables y despejando por la otra. Para modificar las ecuaciones se utiliza la multiplicación de un escalar por ambos lados de la igualdad. Por ejemplo: Dados las ecuaciones, resuelva el sistema. 5B + 5, = 12 B−, =8

Primero modificamos la ecuación x – y = 8, al multiplicar ambos lados por cinco, al hacer esto nuestra ecuación quedaría de la siguiente manera: 5B − 5, = 40 Ahora que se tiene modificada la ecuación sumamos ambas ecuaciones 5B + 5, = 12

+5B − 5, = 40

10B = 52, al despejar x tenemos que x = 26/5. Ahora esto se sustituye en cualquiera de las ecuaciones iniciales obteniendo que y = -14/5

24 Método gráfico Este método consiste en graficar cada ecuación lineal en un mismo sistema coordenado y las soluciones serán los puntos de intersección de las gráficas. Esto es demostrado por la siguiente imagen:

Solución de un sistema de ecuaciones utilizando matrices aumentadas En algebra lineal este método es el más utilizado para resolver sistemas de ecuaciones. Esto es debido a que si se incrementa el número de variables, los otros métodos se vuelven muy tediosos. Haciendo que la solución tome tiempo y dificultad al encontrarla. Al utilizar matrices aumentadas el trabajo deja de tomar tanto tiempo ya que es más fácil modificar el sistema de ecuaciones. Para pasar de un sistema de ecuaciones a una matriz aumentada se deben colocar en una misma columna los coeficientes de cada variable y por último en la columna final se escribe la constante b que tiene cada ecuación.

25 Al obtener la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones ahora se debe resolver. Para resolver una matriz aumentada se debe modificar la matriz y llevarla hasta la forma escalonada por renglones. La forma escalonada por renglones es aquella que satisface las siguientes características: • •

Cualquier renglón que consiste completamente de ceros está en la parte baja. En cada renglón distinto de cero, el primer elemento distinto de cero está en una columna a la izquierda de cualquier elemento distinto a cero bajo él.

Al primer elemento distinto de cero en cada renglón se le llama el elemento pivote.

Al tener la forma escalonada por renglones se tiene una matriz aumentada de un sistema el cual es fácil de resolver si se sustituye hacia atrás. Para llevar una matriz aumentada a su forma escalonada por renglones, hay tres operaciones elementales que se pueden realizar. 1. Intercambiar renglones: En este caso se cambia el orden de los renglones, esta operación está denotada por: o ↔ oq, donde “i” y “j” son el número de renglón. 2. Multiplicar un renglón por un escalar distinto a cero: En este caso se busca modificar los valores de un renglón al multiplicarlos por un escalar, esta operación está denotada por: roq, donde “k” es el escalar por el que se estará multiplicando el renglón “j”. 3. Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón: En este caso se busca modificar los valores de un renglón al tener que la multiplicación de un renglón por un escalar devolverá valores complicado de operar. Esta operación está denotada por: o + roq, donde Ri es el renglón que se quiere modificar, k es el escalar por el que se multiplicará el renglón j, y Rj será el renglón que se le sumará a los valores de Ri. Modificando la matriz aumentada y llevándola a su forma escalonada con las operaciones anteriores puede llevar a resolver un sistema de ecuaciones, aunque la parte de sustitución hacia atrás se puede volver tediosa. Para evitar este paso se puede utilizar la eliminación de Gauss-Jordan. Este método consiste en modifica la matriz aumentada aún más hasta llevarla a su forma escalonada reducida.

26 Una matriz está en su forma escalonada reducida si satisface las siguientes condiciones: 1. Está en forma escalonada por renglones. 2. El elemento pivote en cada renglón distinto de cero es 1(llamado 1 pivote). 3. Cada columna que contiene n 1 pivote tiene ceros en todos los otros lugares. Al tener una matriz en su forma escalonada reducida, se obtienen los valores directos de cada variable en el sistema de ecuaciones. La siguiente matriz está en su forma escalonada reducida:

Conjuntos generadores e independencia lineal Conjuntos generadores Si tomamos un conjunto de vectores S = {v1, v2, …, vk} en Rn, entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales de v1, v2, …, vk es llamado el conjunto generador de v1, v2, …, vk. Este conjunto se denota gen(S) o gen(v1, v2, …, vk). El resultado de un conjunto generador es llamado el conjunto generado. Ejemplo: Se desea demostrar que R2 = gen Para esto se necesita demostrar que existe un vector de

que puede escribirse como combinación lineal

Para hacer esto hay que demostrar que la ecuación cualquier valor de a y b.

siempre puede resolverse para

La matriz aumentada es y al reducirla por renglones queda se observa que x = (3a –b) / 7 y y = (a + 2b) / 7 Por lo tanto, sin importar los valores de a y b se tiene

en donde

Independencia lineal Un conjunto de vectores puede ser dependiente o independiente. Un conjunto independiente es aquel en el que no puede ser representado como una combinaci贸n lineal de otro conjunto de vectores. Esto implica pues, que un conjunto dependiente es aquel en el que un conjunto de vectores puede ser escrito como una combinaci贸n lineal de otro conjunto de vectores. Linealmente dependiente Un conjunto de vectores v, w, x, y, z es linealmente dependiente si existen escalares que al multiplicarse por cada vector al menos uno no sea cero y que cumpla con: C1v + c2w+c3x + c4z = 0. Linealmente independiente Un conjunto de vectores v, w, x, y, z es linealmente independiente si los escalares que al multiplicarse por cada vector son todos cero, tales que: C1v + c2w+c3x + c4z = 0.

Información acerca de los autores Luis José Pinillos, estudia ingeniería mecatrónica, lo que espera de la clase es aprender a manipular vectores y matrices para poder aplicarlos a la carrera. Le gusta jugar paintball y basketball.

Rodrigo Molina Dacaret, estudia ingeniería mecatrónica. De la clase espera comprender mejor y aprender varios conceptos que pueda aplicar más adelante en la carrera. Le gusta tocar guitarra y batería, hacer tricking, malabarear, entre otras cosas.

José Bernardo Fuentes Paniagua, estudia ingeniería mecatrónica. Sus expectativas del curso de algebra lineal son el conocimiento y uso de conceptos acerca de vectores, matrices entre otros, los cuales pueda implementar en otros cursos de su carrera. Le gusta practicar natación, boliche, jugar videojuegos y cualquier cosa relacionada a temas de ficción.

Raúl Cifuentes, estudia Ingeniería Electrónica. Sus expectativas del curso es poder tener conceptos más concretos acerca todo lo que se refiere a algebra y siempre poder ver con nuevas formas de resolver problemas. Personalmente le gusta mucho lo que son los deportes, le gusta practicar la mayoría de ellos. Le gusta también hacer música y realizar actividades con amigos.