Style Book Math
แผนผังมโนทัศน์ ความคล้าย 1. รูปเรขาคณิตที่คล้ายกัน 2. รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน สมบัติของสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน การประยุกต์ใช้สมบัติของสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
3. การน�ำไปใช้ ตัวชี้วัด ค 3.2 ม.3/1 ใช้สมบัติของรูปสามเหลี่ยมคล้ายในการให้เหตุผลและการแก้ปัญหา ค 6.1 ม.1-3/1 ใช้วิธีการที่หลากหลายแก้ปัญหา ค 6.1 ม.1-3/2 ใช้ความรู้ ทักษะ และกระบวนการทางคณิตศาสตร์และเทคโนโลยีในการแก้ปัญหาใน สถานการณ์ต่างๆได้อย่างเหมาะสม ค 6.1 ม.1-3/3 ให้เหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลได้อย่างเหมาะสม ค 6.1 ม.1-3/4 ใช้ภาษาสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร การสื่อความหมาย และการน�ำเสนอ ได้อย่างถูกต้องและชัดเจน ค 6.1 ม.1-3/5 เชือ่ มโยงความรูต้ า่ งๆในคณิตศาสตร์ และน�ำความรู้ หลักการ กระบวนการทางคณิตศาสตร์ ไปเชื่อมโยงกับศาสตร์อื่นๆ ค 6.1 ม.1-3/6 มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ สาระการเรียนรู้แกนกลาง • สมบัติของรูปสามเหลี่ยมคล้ายและการน�ำไปใช้
Cartoon
NOTE
ความคล้าย
กล้องจุลทรรศน์
กล้องโทรทรรศน์วทิ ยุ (ทีม่ า : en.wikipedia. zorg/wiki/Very_Large_Array)
อุปกรณ์เกี่ยวกับการมองเห็นต่างๆหรือการถ่ายภาพ ได้ถูกพัฒนา ขึ้นโดยสามารถเลือกใช้ได้ตามความเหมาะสมของภาพ เช่น กล้องถ่ายรูป กล้ อ งส่ อ งทางไกล กล้ อ งโทรทรรศน์ วิ ท ยุ ซึ่ ง ใช้ บั น ทึ ก และวั ด สั ญ ญาณ คลื่นวิทยุจากวัตถุท้องฟ้าต่าง ๆ และกล้องจุลทรรศน์ใช้ส่องดูวัตถุที่มีขนาด เล็กเกินกว่ามองเห็นด้วยตาเปล่า เป็นต้น โดยกล้องต่างๆสามารถมองภาพ ได้โดยใช้หลักของความคล้ายย่อหรือขยายภาพ
แบบแปลนบ้าน
สถาปนิก วิศกร และดีไซเนอร์ ต่างก็ใช้หลักการของความคล้ายใน การทำ�แบบแปลนหรือแผนผังในการสร้างสรรค์หรือออกแบบจำ�ลองอาคาร และสิ่งต่างๆ ให้เสมือนจริง
55
กล้องส่องทางไกล
ความคล้าย 1. รูปเรขาคณิตที่คล้ายกัน รอบตัวเรามีสิ่งต่างๆ มากมายที่มีรูปร่างแตกต่างกัน เช่น คน พืช สัตว์ สิ่งของ เป็นต้น และมีสิ่งของต่างๆหลายอย่างที่มีรูปร่างเหมือนกัน แต่ มีขนาดต่างกัน เช่น ตุ๊กตา หม้อต้มกาแฟ ลูกฟุตบอล เค้ก ดังรูปด้านล่าง
ตุ๊กตา Matryoshka
กาน�้ำร้อน
ลูกฟุตบอล
เค้ก
จากตัวอย่างข้างต้นเราอาจกล่าวได้ว่าสิ่งของที่มีรูปร่างเหมือนกัน แต่มีขนาดต่างกันว่าเป็น “รูปที่คล้ายกัน” ภาพที่ได้จากการถ่ายเอกสารซึ่งมีขนาดเท่ากับรูปต้นแบบ หรือมี การย่อภาพหรือขยายภาพก็เป็นรูปที่คล้ายกันเช่นกัน
รูปต้นแบบ
ภาพที่มีขนาด เท่ากับรูปต้นแบบ
66
ภาพย่อ
ภาพขยาย
เท่ากันหรือไม่
มีจุดสีด�ำหรือไม่
77
ความคล้าย รูปใดคล้ายกัน รูปเรขาคณิตที่ก�ำหนดให้เป็นรูปที่คล้ายกันหรือไม่ รูปเลขาคณิต
คล้ายกัน
1.
ไม่คล้ายกัน
2.
3.
4.
5.
จากกิจกรรมจะสังเกตเห็นว่า รูปเรขาคณิตสองรูปในข้อ 1, 3และ4 เป็นรูปทีค่ ล้ายกัน ส่วนรูปเรขาคณิตสองรูปในข้อ 2 และ 5 เป็นรูปทีไ่ ม่คล้าย กัน เพราะมีรูปร่างแตกต่างกัน รูปเรขาคณิตสองรูปเป็นรูปทีค่ ล้ายกัน ก็ตอ่ เมือ่ รูปเรขาคณิตทัง้ สอง นั้นมีรูปร่างเหมือนกัน ซึ่งรูปที่คล้ายกันอาจมีขนาดเท่ากันหรือแตกต่างกัน ก็ได้
88
เมื่อรูปเรขาคณิต A และรูปเรขาคณิต B เป็นรูปที่คล้ายกัน จะเขียนว่า รูปเรขาคณิต A ~ รูปเรขาคณิต B อ่านว่า “รูปเรขาคณิต A คล้ายกับรูปเรขาคณิต B”
ตัวอย่างที่ 1 รูปเรขาคณิตที่คล้ายกัน D
B A
C E
H
G
F
K I
J
จากรูปรูปใดบ้างเป็นรูปที่คล้ายกัน และรูปใดบ้างที่ไม่คล้ายกัน รูปเรขาคณิต A ~ D ~ G รูปเรขาคณิต B ~ J รูปเรขาคณิต C ~ K รูปเรขาคณิต E ~ I รูปเรขาคณิตที่ไม่คล้าย คือ H, F
99
เราใช้เครื ่ องหมาย “ ~ ” แทน สัญลักษณ์ของการคล้ายกัน เช่น รูป A คล้ายกับรูป B สามารถ เขียนแทนได้ดว้ ย รูป A ~ รูป B
ความคล้าย
C
B
A
D
E
F
I G
H
จากรูปรูปใดบ้างเป็นรูปที่คล้ายกัน และรูปใดบ้างที่ไม่คล้ายกัน รูปเรขาคณิต A ~ C รูปเรขาคณิต D ~ H รูปเรขาคณิต B ~ F ~ I รูปเรขาคณิตที่ไม่คล้าย คือ G, E
สมบัติความคล้าย สมบัติความคล้ายของรูปเรขาคณิต A, B และ C ใดๆ เป็นดังนี้ 1. สมบัติการสะท้อน : รูปเรขาคณิต A ~ รูปเรขาคณิต A 2. สมบัติสมมาตร : ถ้ารูปเรขาคณิต A ~ รูปเรขาคณิต B แล้ว รูปเรขาคณิต B ~ รูปเรขาคณิต A 3. สมบัติถ่ายทอด : ถ้ารูปเรขาคณิต A ~ รูปเรขาคณิต B รูปเรขาคณิต B ~ รูปเรขาคณิต C แล้ว รูปเรขาคณิต A ~ รูปเรขาคณิต C
10 10
ตัวอย่างที่ 2 ก�ำหนดให้รปู สีเ่ หลีย่ ม A คล้ายกับรูปสีเ่ หลีย่ ม B และรูปสีเ่ หลีย่ ม B คล้ายกับรูปสีเ่ หลีย่ ม C A
B
C
สมบัติการสะท้อน : รูปสี่เหลี่ยม A ~ รูปสี่เหลี่ยม A รูปสี่เหลี่ยม B ~ รูปสี่เหลี่ยม B รูปสี่เหลี่ยม C ~ รูปสี่เหลี่ยม C สมบัติสมมาตร : ถ้ารูปสี่เหลี่ยม A ~ รูปสี่เหลี่ยม B แล้วรูปสี่เหลี่ยม B ~ รูปสี่เหลี่ยม A ถ้ารูปสี่เหลี่ยม B ~ รูปสี่เหลี่ยม C แล้วรูปสี่เหลี่ยม C ~ รูปสี่เหลี่ยม B สมบัติถ่ายทอด : ถ้ารูปสี่เหลี่ยม A ~ รูปสี่เหลี่ยม B รูปสี่เหลี่ยม B ~ รูปสี่เหลี่ยม C แล้วรูปสี่เหลี่ยม A ~ รูปสี่เหลี่ยม C
ก�ำหนดให้รูปห้าเหลี่ยม P คล้ายกับรูปห้าเหลี่ยม Q และรูปห้าเหลี่ยม Q คล้ายกับรูปห้าเหลี่ยม R
P
R Q
สมบัติการสะท้อน : รูปห้าเหลี่ยม P ~ รูปห้าเหลี่ยม P รูปห้าเหลี่ยม Q ~ รูปห้าเหลี่ยม Q รูปห้าเหลี่ยม R ~ รูปห้าเหลี่ยม R สมบัติสมมาตร : ถ้ารูปห้าเหลี่ยม P ~ รูปห้าเหลี่ยม Q แล้วรูปห้าเหลี่ยม Q ~ รูปห้าเหลี่ยม P ถ้ารูปห้าเหลี่ยม Q ~ รูปห้าเหลี่ยม R แล้วรูปห้าเหลี่ยม R ~ รูปห้าเหลี่ยม Q สมบัติถ่ายทอด : ถ้ารูปห้าเหลี่ยม P ~ รูปห้าเหลี่ยม Q รูปห้าเหลี่ยม Q ~ รูปห้าเหลี่ยม R แล้วรูปห้าเหลี่ยม P ~ รูปห้าเหลี่ยม R
11 11
ความคล้าย ให้นกั เรียนพิจารณารูปด้านล่างจะเห็นว่ารูปสามเหลีย่ ม ABC และ รูปสามเหลีย่ ม abc เกิดจากการย่อขยายรูป โดยมีจดุ ศูนย์กลางของการขยาย คือจุด O b
a
B
A
c C
O
มุมที่สมนัยกันจะต้องมีด้านที่ สมนัยกันเป็นแขนของมุม
จากรูปจะได้ว่า จุด จุด จุด และ และ มุม มุม มุม
A B C
AB CA t A t B Ct
และ a และ b และ c และ ab และ ca และ at และ bt และ ct
เป็นจุดที่สมนัยกัน เป็นจุดที่สมนัยกัน เป็นจุดที่สมนัยกัน เป็นด้านที่สมนัยกัน เป็นด้านที่สมนัยกัน เป็นมุมที่สมนัยกัน เป็นมุมที่สมนัยกัน เป็นมุมที่สมนัยกัน
นักเรียนอาจจะสงสัยว่า การจับคู่ของด้านที่สมนัยกัน และมุมคู่ที่ สมนัยกันมีประโยชน์อย่างไร ให้นักเรียนพิจรณาจากตัวอย่างต่อไปนี้
12 12
ตัวอย่างที่ 3 ก�ำหนดให้รปู สีเ่ หลีย่ ม ABCD และรูปสีเ่ หลีย่ ม GHIJ จงหาขนาดของมุมคู่ที่สมนัยกันและอัตราส่วนของ ด้านคู่ที่สมนัยกัน A
B G
3 D
H
1.5 4
มุมคู่ที่สมนัยกัน t = G t = 90˚ A t = H t = 90˚ B t = tI = 90˚ C t = Jt = 90˚ D
C
J
I
อัตราส่วนของด้านคู่ที่สมนัยกัน AB = 3 = 2 GH 1.5 BC = 4 = 2 HI 2 CD = 3 = 2 IJ 1.5 DA = 4 = 2 JG 2
จากตัวอย่างที่ 3 จะเห็นว่า รูปสี่เหลี่ยม ABCD กับรูปสี่เหลี่ยม GHIJ มีขนาดของมุมทีส ่ มนัยกันเท่ากันทัง้ สีค่ ู่ และอัตราส่วนของความยาว ของด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทั้งสี่คู่ เรียกรูปสี่เหลี่ยมทั้งสองนี้ว่าเป็นรูปที่ คล้ายกัน รูปหลายเหลีย่ มสองรูปคล้ายกัน ก็ตอ่ เมือ่ รูปหลายเหลีย่ มสองรูปนัน้ มี 1. ขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ ทุกคู่ และ 2. อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็น อัตราส่วนที่เท่ากัน
13 13
ความคล้าย ก�ำหนดให้รูปสามเหลี่ยม ABC และรูปสามเหลี่ยม XYZ จงหา ขนาดของมุมคู่ที่สมนัยกันและ อัตราส่วนของด้านคู่ที่สมนัยกัน B Q 6
6
A
6
3 C
P
3 3
R
มุมคู่ที่สมนัยกัน t = Pt = 60˚ A t = Qt = 60˚ B t = Rt = 60˚ C
อัตราส่วนของด้านคู่ที่สมนัยกัน AB = 6 = 2 PQ 3 BC = 6 = 2 3 QR CA = 6 = 2 RP 3 เนือ่ งจากมุมคูท่ สี่ มนัยกันมีขนาดเท่ากันเป็นคูๆ่ ทุกคู่ และอัตราส่วน ของความยาวของด้านคูท่ สี่ มนัยกันทุกคูเ่ ป็นอัตราส่วนทีเ่ ท่ากัน ดังนั้น
∆ABC ~ ∆PQR
ตอบ
จากกิจกรรมชวนน้องคิดจะเห็นได้ว่า รูปสามเหลี่ยม ABC กับรูป สามเหลีย่ ม PQR มีขนาดของมุมทีส่ มนัยกันเท่ากันทัง้ สามคู่ และอัตราส่วน ของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทั้งสามคู่ เรียกรูปสามเหลี่ยมทั้ง สองนี้ว่าเป็นรูปที่คล้ายกัน
14 14
ตัวอย่างที่ 4 ก�ำหนดให้รปู สีเ่ หลีย่ มผืนผ้า ABCD และรูปสีเ่ หลีย่ ม ผ้า MNOP จงหารูปสีเ่ หลีย่ มทัง้ สองรูปคล้ายกันหรือไม่ A
10
B
6
M
5
N
3
D
C
มุมคู่ที่สมนัยกัน t = M t A t = N t B t Ct = O t = Pt D
P
O
อัตราส่วนของด้านคู่ที่สมนัยกัน AB = 10 = 5 MN 6 3 BC = 5 NO 3 CD = 10 = 5 OP 6 3 CD = 5 OP 3
เนื่องจากมุมคู่ที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ ทุกคู่ และ อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่ เท่ากัน ดังนั้น □ABCD ~ □MNOP
ตอบ
จากตัวอย่างที่ 4 รูปหลายเหลี่ยมสองรูปจะเป็นรูปที่คล้ายกันเมื่อ มุมคูท่ สี่ มนัยกันมีขนาดเท่ากันเป็นคูๆ่ ทุกคูแ่ ละอัตราส่วนของความยาวของ ด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน
ข้อสังเกต การเขียนสัญลักษณ์ □ABCD ~ □MNOP เป็นการแสดง การจับคู่ระหว่างมุมและด้านคู่ที่สมนัยกัน ดังนี้
t ↔ M t A
AB ↔ MN
t ↔ Nt B
BC ↔ NO
t ↔ Ot C
CD ↔ OP
t ↔ Pt D
DA ↔ PM
ถ้ามีการเขียนสลับที่กัน อาจท�ำให้เกิดความสับสนได้
15 15
ความคล้าย เรียนรู้รูปเรขาคณิตที่คล้ายกันด้วย Geometer’s Sketchpad (GSP) 1. สร้างรูปสามเหลี่ยม ABC 2. สร้างจุด O นอกรูปสามเหลีย่ ม ดับเบิล้ คลิกทีจ่ ดุ O เพือ่ ท�ำเครือ่ งหมายให้เป็นจุดศูนย์กลางของการย่อหรือ ขยายรูป 3. เลือกรูปสามเหลี่ยม ABC แล้วคลิกที่ย่อหรือขยายรูป (ก�ำหนดอัตราส่วน 100 200 )
4. 4.1) หาขนาดของมุมโดยใช้ GSP จะได้ t = ................... t = ................... At = ................... B C t = ................... t = ................... Kt = ................... M N 4.2) ข้อสังเกตเกี่ยวกับขนาดของมุมของ ∆ABC และ ∆KMN เป็นอย่างไร .............................................................................................................................................................. 5. หาความยาวของด้านต่อไปนี้ AB = ................... AC = ................... CA = ................... KM = ................... MN = ................... NK = ................... 6. หาอัตราส่วนด้านสมนัยกัน AB = ................... AC = ................... CA = ................... KM MN NK ข้อสังเกตเกี่ยวกับอัตราส่วนเป็นอย่างไร ........................................................................................................ 3.00 7. ลบรูป ∆KMN แล้วท�ำซ�้ำข้อ 3 - 6 โดยขยายเป็นอัตราส่วน 1.00 7.1) ข้อสังเกตเกี่ยวกันมุมของ ∆ABC และ ∆KMN คือ ............................................................................. 7.2) ข้อสังเกตเกี่ยวกับอัตราส่วนของด้านที่สมนัยกันของ ∆ABC และ ∆KMN คือ ................................... ..............................................................................................................................................................
16 16
ตัวอย่างที่ 5 ก�ำหนดรูปสี่เหลี่ยม ABCD และรูปสี่เหลี่ยม EFGH จงแสดงว่ารูปสีเ่ หลีย่ มทัง้ สองรูปคล้ายกันหรือไม่ A
B
3 D
3
C
E
F
H
G
มุมคู่ที่สมนัยกัน อัตราส่วนของด้านคู่ที่สมนัยกัน AB = 3 t = Et = 90˚ A EF 4 tB = Ft = 90˚ AD = 3 EH 2 t = 90˚ Ct = G AB ≠ AD t = H t = 90˚ EF EH D เนื่องจากอัตราส่วนของความยาวด้านคู่ที่สมนัยกันมีขนาด ไม่เท่ากันทุกคู่ ดังนั้น □ABCD และ □EFGH เป็นรูปที่ไม่คล้าย
ตอบ
ตัวอย่างที่ 6 ก�ำหนดรูปสีเ่ หลีย่ ม PQRS และรูปสีเ่ หลีย่ ม KLMN จงแสดงว่ารูปสี่เหลี่ยมทั้งสองรูปคล้ายกันหรือไม่ A
B
D
C
มุมคู่ที่สมนัยกัน ไม่มีมุมคู่ที่สมนัยกัน
K
L
N
M
อัตราส่วนของด้านคู่ที่สมนัยกัน PQ QR RS = SP = = MN KL LM NK
อัตราส่วนของความยาวด้านคู่ที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากัน ทุกคู่ แต่ไม่มีขนาดของมุมคู่สมนัยไม่เท่ากัน ดังนั้น □PQRS และ □KLMN เป็นรูปที่ไม่คล้าย
17 17
ตอบ
ความคล้าย จากตัวอย่างที่ 5 □ABCD และ □EFGH ไม่เป็นรูปที่คล้ายกัน เนื่องจากอัตราส่วนของความยาวของด้านที่สมนัยกันทุกคู่ไม่เป็นอัตราส่วน ที่เท่ากัน ถึงแม้จะมีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆทุกคู่ก็ตาม และตัวอย่าง 6 □PQRS และ □KLMN เป็นรูปที่ไม่คล้ายกัน เนื่องจากขนาดของมุมไม่ เท่ากันเป็นคู่ๆ ถึงแม้จะมีอัตราส่วนของความยาวของด้านที่สมนัยกันทุกคู่ เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกันจะต้องมีขนาดของมุมเท่า กันเป็นคู่ๆ ทุกคู่ และอัตราส่วนของความยาวของด้านที่ สมนัยกันทุกคู่เป็น อัตราส่วนที่เท่ากัน ตัวอย่างที่ 7 ก�ำหนดให้รูปสี่เหลี่ยม ABCD คล้ายกับรูปสี่เหลี่ยม KLMN จงตอบค�ำถามต่อไปนี้ N A
ผลรวมขนาดของมุมภายในของ รูปสี่เหลี่ยมเท่ากับ 360°
115˚
4 B
57˚
4
120˚ 68˚
D
3
K C
4
2 L
1. มุมคู่ที่สมนัยกัน At = Kt , Bt = Lt , Ct = Mt , Dt = Nt 2. อัตราส่วนของความยาวด้านคู่ที่สมนัยกัน เนื่องจาก □ABCD ~ □KLMN และ AB = 42 = 2 KL
BC = CD = DA = 2 ดังนั้น AB = LM KL MN NK 3. จงหา 3.1) ขนาดของมุม D จากรูปจะได้ Ct = 68˚ และมุมคู่ที่สมนัยกัน Ct = M ท�ำให้ Ct = M = 68˚
18 18
M
เนื่องจากผลรวมขนาดของมุมภายในของรูปสี่เหลี่ยม เท่ากับ 360˚ t = N t = 360˚ - 115˚ - 57˚ - 68˚ D t = 120˚ D ดังนั้น ขนาดของมุม D เท่ากับ 120˚ ตอบ 3.2) ความยาวของด้าน BC AB = BC KL LM 4 = BC 2 4 BC = 8 ดังนั้น ความยาวของด้าน BC คือ 8 เซนติเมตร ตอบ 3.3) ความยาวของด้าน MN AB = CD KL MN 4 3 2 = MN MN = 32 ดังนั้น ความยาวของด้าน MN คือ 1.5 เซนติเมตร ตอบ 3.4) ความยาวของด้าน NK AB = DA KL NK 4 = 4 2 NK NK = 2 ดังนั้น ความยาวของด้าน NK คือ 2 เซนติเมตร ตอบ 4. ความยาวรอบรูปของ □ABCD เท่ากับ 4 + 4 + 8 + 3 = 19 หน่วย ความยาวรอบรูปของ □KLMN เท่ากับ 2 + 2 + 4 + 1.5 = 9.5 หน่วย 5. อัตราส่วนของความยาวรอบรูปของ □ABCD ต่อความยาว รอบรูปของ □KLMN เป็น จากตัวอย่างท 7 จะเห็นว่าอัตราส่วนของความยาวรอบรูปของ □ABCD และ □KLMN จะเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่ สมนัยกันซึ่งเท่ากับ 2
19 19
ความคล้าย ก�ำหนดให้รูปห้าเหลี่ยม L
5 M
20
LMNOP
10
คล้ายกับรูปห้าเหลี่ยม Q
P
R
QRSTU
6 15
N 119˚
O
S
12
1. มุมคู่ที่สมนัยกัน Lt = Qt , Mt = Rt , Nt = St , Ot = Tt , Pt = Ut 2. อัตราส่วนของความยาวด้านคู่ที่สมนัยกัน เนื่องจาก รูปห้าเหลี่ยม LMNOP ~ รูปห้าเหลี่ยม PL = 10 และ UQ 6
61˚
QRSTU
OP = PL = 10 ดังนั้น LM = MN = NO = TU 6 QR RS ST UQ 3. หา 3.1) มุม O จากรูปจะได้ Tt = 61˚ และมุมคู่ที่สมนัยกัน Ot = ดังนั้น Ot = 61˚ 3.2) ความยาวของด้าน NO PL = NO UQ ST NO 10 6 = 12 NO = 20 ดังนั้น ความยาวของด้าน NO คือ 20 หน่วย 3.3) ความยาวของด้าน OP PL = OP UQ TU 10 OP 6 = 15 OP = 25 ดังนั้น ความยาวของด้าน OP คือ 25 หน่วย 3.4) ความยาวของด้าน QR PL = LM UQ QR 10 5 6 = QR QR = 3 ดังนั้น ความยาวของด้าน QR คือ 3 หน่วย
20 20
T
t T
ตอบ
ตอบ
ตอบ
3.5) ความยาวของด้าน RS PL = MN UQ RS 20 10 6 = RS QR = 12 ดังนั้น ความยาวของด้าน RS คือ 12 หน่วย ตอบ 4. ความยาวรอบรูปของ □ABCD เท่ากับ 5 + 20 + 20 + 25 + 10 = 80 หน่วย ความยาวรอบรูปของ □KLMN เท่ากับ 3 + 12 + 12 + 15 + 6 = 48 หน่วย 5. อัตราส่วนของความยาวรอบรูปของ □ABCD ต่อความยารอบรูป 80 = 10 ของ □KLMN เป็น 48 6
ตัวอย่างที่ 8 ก�ำหนดให้รูปห้าเหลี่ยม STUVW และรูปห้าเหลี่ยม MNOPQ เป็นรูปที่คล้ายกัน จงหา S, U, W, M, O และP P
S
T
140˚
U
สู ต รการหาผลรวมของมุ ม มุ ม ภายในของรูป n เหลี่ยม (n - 2) x 180
Q
135˚
W M
145˚ V
64˚
N
U
วิธีท�ำ จากโจทย์ รูปห้าเหลีย่ ม STUVW ~ รูปห้าเหลีย่ ม MNOPQ จะได้มุมที่สมนัยกันทุกๆ คู่ ดังนี้ t = 145˚ t = 140˚ t = O Tt = M V t = 135˚ t = N t = 64˚ U St = Q เนื่องผลรวมขนาดของมุมภายในของรูปห้าเหลี่ยมเท่ากับ 540˚ จะได้ Wt = Pt = 540˚- 140˚ - 64˚ - 145˚ - 135˚ = 56˚ ดังนั้น S, U, W, M, OและP คือ 135˚, 64˚, 56˚, 140˚และ56˚ ตามล�ำดับ ตอบ 21 21
ขนาดของมุมภายในของรูป ห้าเหลี่ยมเป็น 3 × 180˚ = 540˚
ความคล้าย 2. รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ในเรือ่ งทีผ่ า่ นมานักเรียนได้รเู้ กีย่ วกับรูปเรขาคณิตทีค่ ล้ายกันจะต้องมี รูปร่างทีเ่ หมือนกัน แต่มขี นาดเหมือนกันหรือต่างกัน และได้ศกึ ษาเกีย่ วกับ บทนิยามของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน ในหน่วยนี้นักเรียนจะได้ศึกษารูป สามเหลี่ยมที่คล้ายกันซึ่งนำ�บทนิยามนี้มาพิจารณาเกี่ยวกับความคล้ายของ รูปสามเหลี่ยม X
A
B
C Y
Z
จากบทนิยามความคล้ายของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน ∆ABC ~ ∆XYZ ก็ต่อเมื่อ 1. At = Xt , Bt = Yt , Ct = Zt AB = BC = CA และ 2. XY YZ ZX หมายเหตุ : สามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการเป็นสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน แต่ สามเหลี่ยมที่คล้ายกันไม่จำ�เป็นต้องเป็นสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ
22 22
ตัวอย่างที่ 1 ก�ำหนดให้ ∆ABC ~ ∆DEF D
A
C E
B
1. จงหาค่าต่อไปนี้ 1.1) AB = DE BC EF
F
DF AC
1.2)
=
DE AB
2. ถ้า BC ยาว 3 เซนติเมตร AC ยาว 2.4 เซนติเมตร และ EF ยาว 5 เซนติเมตร จงหาความยาวด้าน DF DF = EF จากรูปจะได้ว่า AC BC DF 5 2.4 = 3 DF = 4 ดังนั้น ความยาวของด้าน DF คือ 4 เซนติเมตร ตอบ
ก�ำหนดให้
∆ABC
~
Z
∆XYZ
A
C X
B
1. จงหาค่าต่อไปนี้ 1.1) AC = AB
Y XZ XY
1.2)
BC YZ
=
AB XY
2. ถ้า AB ยาว 27 เซนติเมตร AC ยาว 9 เซนติเมตร และ XZ ยาว 6 เซนติเมตร จงหาความยาวด้าน XY XZ จากรูปจะได้ว่า XY = AC AB 6 27 = 9
XY
DF
ดังนั้น ความยาวของด้าน
XY
คือ 18 เซนติเมตร 23 23
ตอบ
ความยาวของด้าน FD = DF ความยาวของด้าน CA = AC
ความคล้าย 2.1 สมบัติของสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน รูปสามเหลีย่ มสองรูปคล้ายกัน ก็ตอ่ เมือ่ รูปสามเหลีย่ มสองรูปนัน้ มีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคูๆ่ สามคู่
X A
B
C Y
Z
จากรูปจะได้ว่า ถ้า At = Xt , Bt = Yt , Ct = Zt จะสรุปได้ว่า ∆ABC ~ ∆XYZ ตัวอย่างที่ 2 รูปสามเหลี่ยม ANT และรูปสามเหลี่ยม FIX คล้าย กันหรือไม่ เพราะเหตุใด X
ผลรวมขนาดของมุมภายในของ รูปสามเหลี่ยม เท่ากับ 180
95˚
T
A
60˚
25˚
NF
60˚
I
วิธีท�ำ เนื่องจาก tI = 180˚ - 60˚ - 95˚ = 25˚ Tt = 180˚ - 60˚ - 25˚ = 95˚ จะได้ At = Ft = 60˚ Nt = tI = 25˚ Tt = Xt = 75˚ รูปสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่ ดังนั้น ∆ANT ~ ∆FIX
24 24
ตอบ
รูปสามเหลี่ยม เพราะเหตุใด
DOG
และรูปสามเหลี่ยม
O
D
BAT
คล้ายกันหรือไม่
A
75˚
15˚
GB
T
= 180˚ - 60˚ - 75˚ = 15˚ Bt = 180˚ - 60˚ - 15˚ = 75˚ จะได้ Dt = Bt = 75˚ Nt = At = 90˚ Gt = Tt = 15˚ รูปสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่ วิธีท�ำ เนื่องจาก
ดังนั้น
t G
∆DOG ~ ∆BAT
ตอบ
จากตัวอย่างที่ 2 และชวนน้องคิด เราจะได้วา่ ถ้ารูปสามเหลีย่ มสองรูป มีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคูๆ่ สามคูแ่ ล้ว จะสรุปได้วา่ รูปสามเหลีย่ มสองรูปนัน้ เป็นรูปสามเหลีย่ มทีค่ ล้ายกัน โดยไม่จำ�เป็นต้องตรวจสอบอัตราส่วนความยาว ของด้านคู่ที่สมนัยกัน ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีอัตราส่วนความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกัน เท่ากันทัง้ สามคูแ่ ล้ว จะสรุปได้วา่ รูปสามเหลีย่ มสองรูปนัน้ เป็นรูปสามเหลีย่ ม ที่คล้ายกันหรือไม่ เราสามารถศึกษาได้จากเรื่องต่อไปนี้ ถ้าอัตราส่วนของความยาวของด้านคูท่ สี่ มนัยกันทุกคู่ ของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปเป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน แล้วรูป สามเหลี่ยมสองรูปนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
25 25
ความคล้าย X A
B
C Y
จากรูปจะได้ว่า AB = ถ้า XY
BC YZ
=
Z
CA ZX
จะสรุปได้ว่า ∆ABC ~ ∆XYZ ในการจับคู่ด้านที่สมนัยกัน ควรเริ่มจากด้านที่สั้นที่สุดไปหาด้าน ที่ยาวที่สุด หรือด้านที่ยาวที่สุดไปหาด้านที่สั้นที่สุด ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 3 รูปสามเหลีย่ ม ABC และรูปสามเหลีย่ ม DEF คล้าย กันหรือไม่ เพราะเหตุใด D A
10
4 B
C E
8
วิธีท�ำ เนื่องจาก
AB = 4 = 2 DE 10 5 BC = 8 = 2 EF 20 5 CA = 5 = 2 FD 12.5 5
20
F
อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่ ดังนั้น ∆ABC ~ ∆DEF
26 26
ตอบ
รูปสามเหลี่ยม เพราะเหตุใด
ABC
และรูปสามเหลี่ยม
HIJ
คล้ายกันหรือไม่
A
H J
B
C
I
12 = 3 วิธีท�ำ เนื่องจาก 4 BC = 146 = 37 IJ 12 CA = 24 18 = 9 JH อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันไม่เท่ากันทุกคู่ ดังนั้น
∆ABC
AB = HI
และ
อย่าลืม!!! หาอัตราส่วนของ ความยาวของด้านคู่ที่สั้นที่สุด ก่ อ นไปจนถึ ง อั ต ราส่ ว นของ ความยาวของด้านคู่ที่ยาวที่สุด หรื อกลับกันก็ ได้
ไม่คล้ายกัน
∆HIJ
ตอบ
ตัวอย่างที่ 4 รูปสามเหลี่ยม ABC และรูปสามเหลี่ยม DEF คล้าย กันหรือไม่ เพราะเหตุใด และหาค่า x 12
A
8
วิธีท�ำ เนื่องจาก
X
C
36
D
4
B
AB = 4 = 1 DE 12 3 BC = 8 = 1 EF 24 3 CA = 12 = 1 FD 36 3
35˚ 12
24
F
E
อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่ ดังนั้น ∆ABC ~ ∆DEF (อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัย กันทุกคู่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน) หาค่า x t = DFE t เนื่องจาก ACB จะได้ xt = 35˚ ตอบ
ดังนั้น ค่า x เท่ากับ 35
27 27
ความคล้าย ถ้าอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันสองคู่ของ รูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน และมุมระหว่างด้านคู่ ทีส่ มนัยกันของรูปสามเหลีย่ มสองรูปเท่ากันแล้ว รูปสามเหลีย่ มสอง รูปนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
X A
B
C Y
จากรูปจะได้ว่า AB = ถ้า XY
BC YZ
Z
และ Bt = Yt
จะสรุปได้ว่า ∆ABC ~ ∆XYZ ตัวอย่างที่ 5 รูปสามเหลีย่ ม SKY และรูปสามเหลีย่ ม RED คล้าย กันหรือไม่ เพราะเหตุใด S
R
9
75
12
12
D
75
16
Y
K
E
วิธีท�ำ เนื่องจาก
SK = 12 = RE 9 SY = 16 = 12 RD = Rt
จากรูปจะได้ St SK = SY RE RD
4 3 4 3
ดังนั้น ∆SKY ~ ∆RED (อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัย กันสองคู่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน และมุม ระหว่างด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากัน) ตอบ
28 28
รูปสามเหลี่ยม ABC และรูปสามเหลี่ยม เพราะเหตุใด และหาค่า a
XYZ
คล้ายกันหรือไม่
B Y
21 A
60˚
14
9 15
C
X
60˚
a
10
Z
วิธีท�ำ เนื่องจาก At = Xt = 60˚ (ก�ำหนดให้) AB = 21 = 3 XY 14 2 3 AC = 15 10 = 2 XZ ดังนั้น ∆ABC ~ ∆XYZ (อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกัน สองคู่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน และมุมระหว่าง ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากัน) หาค่า a AB = BC เนื่องจาก XY YZ 21 9 14 = a a = 6 ดังนั้น a = 6 ตอบ
จากที่เราได้ศึกษามา การที่เราจะพิจารณาว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูป เป็นรูปที่คล้ายกันหรือไม่ เราสามารถพิจารณาเพียงเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่ง ต่อไปนีก้ เ็ พียงพอสำ�หรับการพิสจู น์รปู สามเหลีย่ มสองรูปว่าป็นรูปทีค่ ล้ายกัน หรือไม่ รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกัน มีลักษณะดังนี้ 1. มีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่ 2. อัตราส่วนความยาวของด้านคูท่ ส่ี มนัยกัน เป็นอัตราส่วนทีเ่ ท่ากัน 3. อัตราส่วนความยาวของด้านที่สมนัยกันเท่ากันสองคู่ และมีมุม ระหว่างด้านที่มีอัตราส่วนความยาวของด้านที่สมนัยกันเท่ากัน มีขนาดเท่ากัน
29 29
ความคล้าย ตัวอย่างที่ 6 รูปสามเหลี่ยม ABC และรูปสามเหลี่ยม XYZ คล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตุใด และหาค่ามุม X 25 A
56˚
B Y
20
X
30
24
16 20 Z C
5 4 5 4 5 4 อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่ ดังนั้น ∆ABC ~ ∆XYZ (อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่ สมนัยกันทุกคู่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน) หาค่ามุม X จะได้ Xt = At (∆ABC ~ ∆XYZ) t = 56˚ X ดังนั้น Xt เท่ากับ 56° ตอบ วิธีท�ำ เนื่องจาก
30 30
AB = 25 = XY 20 BC = 20 = YZ 16 CA = 30 = ZX 24
รูปสามเหลี่ยม ABC และรูปสามเหลี่ยม เพราะเหตุใด และหาค่าของ a B
18 A
24
PQR
คล้ายกันหรือไม่
P
12 84˚ C
10 Q
84˚
20 R
a
วิธีท�ำ เนื่องจาก Ct = Pt = 84˚ (ก�ำหนดให้) 6 AC = 24 20 = 5 RP 6 BC = 12 10 = 5 QP ดังนั้น ∆ABC ~ ∆PQR (อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกัน สองคู่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน และมุมระหว่าง ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากัน) หาค่า a AB เนื่องจาก AC = RQ RP 24 = 18 20 a a = 15 ดังนั้น a = 15 ตอบ
31 31
ความคล้าย 2.2 การประยุกต์ใช้สมบัติของสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน จากทีไ่ ด้ศกึ ษาเกีย่ วกับสมบัตขิ องสามเหลีย่ มทีค่ ล้ายกันสามารถนำ� ความรู้มาประยุกต์ใช้ในการคำ�นวณความยาวของด้านของสามเหลี่ยมที่ คล้ายกันได้ เมื่อมีการกำ�หนดเงื่อนไขที่เหมาะสมมาให้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 7 ก�ำหนดให้ AB // DE, BC = 8 เซนติเมตร CD = 3.2 เซนติเมตร และ CE = 4 เซนติเมตร ดังรูป D
3.2 x
A
C
4
E
8 B
1. หามุมที่เท่ากับมุมต่อไปนี้ t = DEC t 1.1) BAC (มุมแย้ง) t = ECD t 1.2) ACB (เส้นตรงสองเส้นตัดกันมุมที่อยู่ ตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) 2. รูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตุใด จากรูป ∆ABC และ ∆EDC t (มุมแย้ง) t = ECD จะได้ว่า ABC t = DEC t และ BAC t = ECD t ACB ดังนั้น ∆ABC ~ ∆EDC (รูปสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาด ของมุมเท่ากันเป็นคูๆ่ สามคู)่ 3. หาค่า x เนื่องจาก ∆ABC ~ ∆EDC BC = CA จากรูปจะได้ว่า DC CE 8 x 3.2 = 4 x = 10 ดังนั้น x = 10
32 32
แนวข้อสอบ o-net ก�ำหนดให้ AB // DE, AB = 9 เซนติเมตร และ ED = 6 เซนติเมตร และ BC = ED ดังรูป 9 A B x
C y E
6
CD
= 8 เซนติเมตร
8 D
จงหาค่า x - y t = CDE t วิธีท�ำ เนื่องจาก BAC (มุมแย้ง) t = CED t (มุมแย้ง) ABC t = ECD t (เส้นตรงสองเส้นตัดกันมุมที ่ ACB อยูต่ รงข้ามมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น ∆ABC ~ ∆EDC (รูปสามเหลีย่ มสองรูปมีขนาด ของมุมเท่ากันเป็นคูๆ่ สามคู)่ หาค่า x เนื่องจาก ∆ABC ~ ∆EDC AC จะได้ AB = DC ED 8 x 3.2 = 4 x = 10 หาค่า y จากโจทย์ BC = ED = 6 จะได้ AB = BC ED EC 9 6 6 = y y = 4 ดังนั้น x – y = 12 – 4 = 8 ตอบ
33 33
ความคล้าย ตัวอย่างที่ 8 ก�ำหนดให้ BC // EF, AE = 9 เซนติเมตร EB = 3 เซนติเมตร และ BC = 8 เซนติเมตร ดังรูป A
12
9 E
3 เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัว แล้ ว มุ ม ภายนอกและมุ มภายในที่อยู่ ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดจะมี ขนาดเท่ากัน เช่น At = Bt A
B
B
x
F y
8
C
1. หามุมที่เท่ากับมุมต่อไปนี้ t = AEF t 1.1) ABC (เส้นตรงสองเส้นขนานกัน และมีเส้นตัวแล้ว มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้าม บนข้างเดียวกันของเส้นตัดจะมีขนาดเท่ากัน) t = AFE t 1.2) ACB (เหมือนข้อ 1.1) 2. รูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตุใด จากรูปc ∆ABC และ ∆AEF t = EAF t จะได้ว่า BAC (มุมร่วม) ดังนั้น ∆ABC ~ ∆AEF (รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มี ขนาดของมุมเท่ากันเป็นคูๆ่ สามคู่) 3. จงหาค่า x และ y เนื่องจาก ∆ABC ~ ∆AEF AE = EF จากรูปจะได้ว่า AB BC 9 x 12 = 8 x = 6 AE = AF จากรูปจะได้ว่า AB AC 9 12 12 = 12 + y y = 16 - 12 = 4 y = 4 ดังนั้น x = 6 และ y = 4 ตอบ
34 34
แนวข้อสอบ o-net จงหาพื้นที่ส่วนที่แรเงา 24 A ซ.ม.
D
B
16 ซ.ม.
E
8 ซ. ม.
C
วิธีท�ำ หา DE จากรูป ∆ABC และ ∆DEC จะได้ว่า AB // DE t = DCE t ACB t = CDE t CAB t = DEC t ABC ดังนั้น ∆ABC ~ ∆DEC
(มุมร่วม) (เส้นตรงทัง้ สองเส้นขนานกัน และมีเส้นตัดแล้วมุมภายนอก และมุมภายในทีอ่ ยูต่ รงข้ามบน ข้างเดียวกันของเส้นตัดจะมี ขนาดเท่ากัน) (รูปสามเหลีย่ มสองรูปมีขนาด ของมุมเท่ากันเป็นคูๆ่ สามคู)่
หาความยาวด้าน DE AC จะได้ AB = DE DC 12 24 = 8 DE DE = 4 หาพื้นที่ส่วนที่แรเงา สูตรพื้นที่วงกลม rr จะได้ว่า rr = r x 42 = 16 r ดังนั้น พื้นที่ส่วนที่แรเงา 16 r ตารางเซนติเมตร 2
2
ตอบ
35 35
ความคล้าย ตัวอย่างที่ 9 ก�ำหนดให้ AF // BE // CD และ AB = 4 เซนติเมตร BC = 12 เซนติเมตร และ AF = 8 เซนติเมตร ดังรูป D
F E x
8 A
สมบัติของการเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขนาด มุมเท่ากันสองคู่ เป็นรูปสามเหลี่ยม คล้าย เพราะมุมคู่ที่เหลือจะมีขนาด เท่ากันด้วย
4
B
y
12
C
1. จงหาค่า x 2. จงหาค่า y วิธีท�ำ 1) หาค่า x t = BEC t จากโจทย์ ACF (มุมร่วม) t = EBC t FAC (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนาน กันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้าม บนด้านเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน) t = BEC t จะได้ AFC (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก ∆ACF ~ ∆BCE (มุมคูส่ มนัยเท่ากันทัง้ 3 คู)่ AF = AC จากรูปจะได้ว่า BE BC 8 = 4 + 12 x 12 x = 6 ดังนั้น x = 6 ตอบ 2) หาค่า y t = BAE t จากโจทย์ CAD (มุมร่วม) t = ABE t ACD (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนาน กันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้าม บนด้านเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน) t = ABE t จะได้ ACD (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก ∆CAD ~ ∆BAE (มุมคูส่ มนัยเท่ากันทัง้ 3 คู)่ จากรูปจะได้ว่า AC = CD AB BE y 4 + 12 = 6 4 y = 24 ดังนั้น y = 24 ตอบ 36 36
ก�ำหนดให้ AF // BE // CD และ AB = 15 เซนติเมตร เซนติเมตร และ CD = 10 เซนติเมตร ดังรูป
BC
=5
F D E
y
1. จงหาค่า x 2. จงหาค่า y วิธีท�ำ 1) หาค่า x จากโจทย์
10
x A
15
t = ABE t ACD
t t = BAE CDA
B
5
C
(มุมร่วม)
(ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน และมีเส้นตัดแล้วมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนด้าน เดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน) t = AEB t จะได้ (สมบัติของการเท่ากัน) ADC เนื่องจาก ∆CAD ~ ∆BAE (มุมคู่สมนัยเท่ากันทั้ง 3 คู่) จะได้ว่า AC = CD AB BE 15 + 5 = 10 15 x ดังนั้น x = 7.5 ตอบ 2) หาค่า y t = BCE t จากโจทย์ ACF (มุมร่วม) t = EBC t (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน FAC และมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนด้าน เดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน) t = BEC t จะได้ (สมบัติของการเท่ากัน) AFC เนื่องจาก ∆ACF ~ ∆BCE (มุมคู่สมนัยเท่ากันทั้ง 3 คู่) AF = AC จะได้ว่า BE BC y 15 + 5 7.5 = 5 ดังนั้น y = 30 ตอบ
37 37
ความคล้าย ตัวอย่างที่ 9 จากรูปจงหาความยาวด้าน DE ก�ำหนดให้ BDEF เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า A
6
D
E
F
B
8
4 C
วิธีท�ำ เนื่องจาก BDEF เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า จะได้ว่า BF // DE จากรูป ∆ABC และ ∆ADE t = DAE t จะได้ว่า BAC (มุมร่วม) t = ADE t ABC (เส้นตรงสองเส้นขนานกัน t = AED t ACB มีเส้นตัด แล้วมุมภายนอก และมุมภายในทีอ่ ยูต่ รงข้าม บนข้างเดียวกันของเส้นตัด จะมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น ∆ABC ~ ∆ADE (รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มี ขนาดของมุมเท่ากันเป็นคูๆ่ สามคู่) หาความยาวด้าน DE AE จะได้ว่า DE = AC BC DE = 6 8 6+4 DE = 4.8 ดังนั้น ความยาวด้าน DE ยาว 4.8 หน่วย ตอบ
38 38
แนวข้อสอบ O-net
B E
12
6
A
C
D
20 ก�ำหนดให้ AB = 12 เซนติเมตร AC = 20 เซนติเมตร DE = 6 t = CDE t = 90˚ จงหาว่า AD ยาวกี่เซนติเมตร เซนติเมตร ABC t = CDE t วิธีท�ำ เนื่องจาก ABC (ก�ำหนดให้) t t = DCE (มุมร่วม) ABC t = CED t (สมบัติของการเท่ากัน) ABC ดังนั้น ∆ABC ~ ∆DC (มุมคู่สมนัยเท่ากันทั้ง 3 คู่) หาความยาวด้าน EC
จะได้ว่า
AB DE
=
AC EC
12 = 20 6 EC
จะได้ EC = 10 หาความยาวด้าน DC ทฤษฏีบทปีทาโกรัส จะได้ว่า (EC)2 – (ED)2 = (DC)2 102 – 62 = (DC)2 (DC)2 = 64 DC = 8 หาความยาวด้าน AD จะได้ ดังนั้น ความยาวด้าน AD ยาว 12 เซนติเมตร
39 39
ตอบ
ความคล้าย 3. การนำ�ไปใช้ จากบทเรียนที่ผ่านมาเราสามารถนำ�ความรู้เรื่องสามเหลี่ยมคล้าย มาปรับใช้ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับระยะทางและความสูงในชีวิตประจำ�วัน ซึ่งเราไม่สามารถวัดได้โดยตรง ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 1 นภาต้องการประมาณความสูงของต้นไม้โดยใช้เงาทอดยาวบนพื้น โดยเงา ของต้นไม้ยาว 4 เมตร เงาของนภายาว 2 เมตร นภาสูง 1.5 เมตร ต้นมะพร้าว จะสูงเท่าใด เนื่อ งจากดวงอาทิ ต ย์ อ ยู ่ ห ่ า งจากโลก มาก จึงท�ำให้แสงจากดวงอาทิตย์ที่ส่อง มายังพื้นโลกเป็นแสงขนาน 1.5 4
2
วิธีท�ำ จากข้อมูลในโจทย์ เขียนแผนภาพได้ดังนี้ B h A
4
C D
ให้ h แทนความสูงของต้นไม้ เนื่องจาก AB // DE E t = EDF t จะได้ว่า BAC (เส้นตรงสองเส้นขนานกัน 1.5 และมีเส้นตัวแล้ว มุมภายนอกและมุมภายในทีอ่ ยูต่ รงข้ามบน 2 F ข้างเดียวกันของเส้นตัดจะมีขนาดเท่ากัน) t = CFE t = 90˚ และ ACB t = DEF t ABC (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น ∆ABC ~ ∆DEF จะได้ว่า BE = AC EF DF h 4 1.5 = 2 h = 3 ดังนั้น ต้นไม้สูง 3 เมตร ตอบ
40 40
ตึกเรียนทอดเงายาว 10 เมตร เสาธงเงาทอดยาว 6 เมตร หาก เสาธงสูง 12 เมตร จงหาว่าตึกสูงกี่เมตร
วิธีท�ำ จากข้อมูลในโจทย์ เขียนแผนภาพได้ดังนี้ A D h
12 C
10
B F
6
E
ให้ h แทนความสูงของตีกเรียน เนื่องจาก AB // DE t = EDF t จะได้ว่า BAC (เส้นตรงสองเส้นขนานกัน มีเส้นตัดแล้ว มุมภายนอก และมุมภายในทีอ่ ยูต่ รงข้าม บนข้างเดียวกันของเส้นตัด จะมีขนาดเท่ากัน) t = DFE t = 90˚ และ ACB t = DFE t ABC (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น ∆ABC ~ ∆DEF จะได้ BC = AC EF DF 10 h 6 = 12 h = 20 ดังนั้น ตึกเรียนสูง 20 เมตร
ตอบ
41 41
ความคล้าย เธลีสเป็นนักปริชญาชาวกรีก เป็นนักวิทยาศาตร์ และคณิตศาสตร์ที่ มีชื่อเสียง เธลิส เป็นชาวเมืองไมล์ตุส (Miletus) ซึ่งอยู่ทางตะวันตกเฉียงใต้ ของตรุกี เธลีสมีชวี ติ อยูใ๋ นช่วงเวลาประมาณ 600 ปี ก่อนคริตศตวรรศ ผลงาน ของเธลิสไม่หลงเหลือเป็นหลักฐานเลย แต่จากหลักฐานที่กล่าวอ้างถึงเธลิส โดยนักคณิตศาสตร์ผู้อื่นพบว่า เธลีสได้เขียนต�ำราเกี่ยวกับการหาทิศและ การเดินเรือ เธลิสได้มีโอกาสดินทางไปประอิยิปต์ ขณะนั้นศิลปวิทยาการที่อียิปต์ รุ่งเรือง โดยเฉพาะคณิตศาสตร์ในสาขาวิชาเรขาคณิต เธลีสได้เสนอวิธีการ ค�ำนวณความสูงของปิรามิดที่อียิปต์ โดยการวัดระยะทางของเงาที่เกิดขึ้นที่ ฐานของปิรามิด กับเงาของหลักทีร่ คู้ วามสูงแน่นอนวิชาการของเธลีสคือการใช้ รูปสามเหลี่ยมคล้าย
h
พีระมิด
a b x
ความสูงของพีระมิด h =
42 42
ax b
ตัวอย่างที่ 2
ปริณต้องการประมาณความสูงของเสาธง ปริณวาง กระจกเงาหงายห่างจากเสาธง 9 เมตร จากนัน้ ปริณ เดินไปยืนทีจ่ ดุ ๆหนึง่ จะเห็นยอดเสาธงจากกระจกพอดี ถ้าปริณยืนห่างจากกระจกเงา 1.5 เมตร และดวงตา ของปริณอยูส่ งู จากพืน้ ดิน 1.8 เมตร เสาธงจะสูงเท่าใด
1.8 ม. 1.5 ม.
กระจก
9 ม.
วิธีท�ำ จากข้อมูลในโจทย์ เขียนแผนภาพได้ดังนี้ E A
h
1.8 ม. B
1.5 ม.
C
9 ม.
D
ให้ h แทนความสูงของเสาธง t = EDC t = 90˚ เนื่องจาก ABC t = ECF t (มุมตกกระทบเท่ากับมุม ACF สะท้อน) t + BCA t = ECF t + DCE t = 90˚ (มุมฉาก) ACF t = DCE t จะได้ BCA t = DEC t และ BAC (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น ∆ABC ~ ∆CDE BC จะได้ว่า AB = DC ED 1.8 = 1.5 h 9 h = 10.8 ดังนั้น เสาธงสูง 10.8 เมตร ตอบ
43 43
ความคล้าย นับหนึ่งต้องการหาความสูงของเสาไฟฟ้า โดยวางกระจกห่างจาก ฐานเสาไฟฟ้า 12 เมตร และนับหนึง่ เดินห่างออกจากเสาไฟฟ้าและกระจก ในทิศตรงข้าม 4 เมตร ถ้านับหนึ่งสูง 1.6 เมตรอเสาไฟฟ้าจะสูงเท่าใด
กระจก
วิธีท�ำ วิธีท�ำ จากข้อมูลในโจทย์ เขียนแผนภาพได้ดังนี้
ให้ h แทนความสูงของเสาไฟฟ้า t = EDC t = 90˚ เนื่องจาก ABC t = ECF t (มุมตกกระทบเท่ากับมุม ACF สะท้อน) t + BCA t = ECF t + DCE t = 90˚ ACF t = DCE t จะได้ BCA t = DEC t และ (สมบัติของการเท่ากัน) BAC ดังนั้น ∆ABC ~ ∆CDE BC จะได้ AB = ED DC h
1.5
1.6 = 9
h = 4.8
ดังนั้น เสาไฟฟ้าสูง 4.8 เมตร
44 44
ตอบ
ตัวอย่างที่ 3 ญาญ่าต้องการวัดความกว้างของแม่น�้ำ โดยให้ AB แทนความกว้างของแม่นำ�้ และญาญ่าต้องเดินผ่านจุด BCD และ DE โดยที่จุด E เป็นจุดที่มองเห็นจุด A และ C อยูใ่ นแนวเส้นตรงเดียวกัน โดย BC = 30 เมตร CD = 20 เมตร และ DE = 12 เมตร จงหาความกว้าง ของแม่น้า (AB) เป็นเท่าไร
t = CDE t = 90˚ วิธีท�ำ เนื่องจาก ABC t = DCE t (มุมตรงข้าม) ACB t = DEC t (สมบัติของการเท่ากัน) BAC ดังนั้น ∆ABC ~ ∆CDE BC จะได้ AB = DC ED AB = 30 12 20 จะได้ AB = 18 ดังนั้น แม่น�้ำกว้าง 18 เมตร ตอบ
45 45
ความคล้าย ตัวอย่างที่ 3
ณเดชต้องการทราบความสูงของตึกหลังหนึง่ เขาน�ำ ไม้ฉากสามเหลีย่ มมาเล็งยอดของตึกโดยเขาอยู่ห่าง จากตึก 12 เมตร และดวงตาของณเดชอยู่สูงจาก พื้นดิน 1.85 เมตร ดังรูป จงหาความสูงของตึก 20 ซ.ม.
15 ซ.ม. 1.85 ม. 12 ม.
วิธีท�ำ จากข้อมูลในโจทย์ เขียนแผนภาพได้ดังนี้ C B A
1.85 ม.
0.2 ม. 0.15 ม.
E
h D
12 ม.
ให้ h แทนความสูงของตึก t = ADC t = 90˚ เนื่องจาก AEB t = CAD t (มุมร่วม) BAE t t = ACD (สมบัติของการเท่ากัน) ABE ดังนั้น ∆ABC ~ ∆CDE AE = BE จะได้ AD CD 0.15 0.2 12 = CD CD = 16 จะได้ว่า h = CD + 1.85 = 16 + 1.85 = 17.85 ดังนั้น ตึกสูง 17.85 เมตร ตอบ
46 46
นิวัตต้องการตัดกิ่งไม้ออกจากต้นไม้ โดยใช้บันไดยาว 8 เมตร พาดกับต้นไม้สูงจากพื้นดิน 6 เมตร นิวัตเดินขึ้นบันไดไปได้ 4 เมตร นิวัตอยู่สูงจากพื้นดินเท่าไร
วิธีท�ำ จากข้อมูลในโจทย์ เขียนแผนภาพได้ดังนี้ A E
6
4
h B
8
D
C
ให้ h แทนความสูงที่นิวัตอยู่ห่างจากพื้นดิน t = EDC t เนื่องจาก ABC (มุมฉาก) t = ECD t (มุมร่วม) ACB t = DEC t (สมบัติของการเท่ากัน) BAC ดังนั้น ∆ABC ~ ∆EDC จะได้ AC = AB EC ED 8 6 4 = h
= 3
h
ดังนั้น นิวัตสูงจากพื้นดิน 3 เมตร
ตอบ
47 47
ความคล้าย สุริยุปราคา เป็นปรากฏการณ์ ตามธรรมชาติ ที่ดวงจันทร์ โลก และ ดวงอาทิตย์ โคจรมาอยู่ในแนวเส้นตรง ท�ำให้ดวงจันทร์บังดวงอาทิตย์ และ เงาของดวงจันทร์จึงตกมาบน บริเวณ ต่างๆ บนโลก
(ที่มา : news.bbc.co.uk/2/hi/8161578.stm)
สุริยุปราคาหรือเรียกอีกอย่างว่า สุริยะคราส หมายถึง ปรากฏการณ์ ที่เกิดขึ้นขณะที่ดวงจันทร์หมุนรอบโลก แล้วโคจรมาบังดวงอาทิตย์ จึงท�ำให้ โลกไม่ได้รับแสงสว่างจากดวงอาทิตย์ ช่วงขณะหนึ่ง โดยเงาของดวงจันทร์ จึงตกมาบนโลก ท�ำให้บริเวณพื้นผิวโลกที่อยู่ใต้เงามืดของดวงจันทร์ เห็น ดวงอาทิตย์มืดลง เงาของดวงจันทร์มี 2 แบบ คือ เงามืด กับเงามัว พื้นที่ส่วนใดบนโลกเงามืดของดวงจันทร์ทอดผ่าน ผู้คนในแทบนั้นจะ มองเห็นดวงจันทร์บังดวงอาทิตย์มืดหมดดวง เกิดเป็นสุริยุปราคาเต็มดวง ส่วนผู้คนในพื้นที่ที่เงามัวเคลื่อนผ่านจะมองเห็นเป็น สุริยุปราคาชนิด บ่างส่วน
48 48
เมือ่ เกิดสุรยิ ปุ ราคาทีด่ วงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และโลกโคจรมาอยูใ่ นแนว เส้นตรงเดียวกันดังรูป ถ้าดวงจันทร์และดวงอาทิตย์มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 3.500×103 กม. และ 1.4×106 กิโลเมตรตามล�ำดับ ดวงอาทิตย์อยูห่ า่ งจากโลก 1.5×108 กิโลเมตร จงหาว่าดวงจันทร์อยู่ห่างจากดวงอาทิตย์เป็นระยะทาง เท่าใด
วิธีท�ำ จากข้อมูลในโจทย์ เขียนแผนภาพได้ดังนี้ A 1.4×106 C
D 3.5×103
B
E
ให้ x แทนระยะห่างระหว่างดวงจันทร์และโลก เนื่องจาก AC // DE t = BDE t จะได้ ABC (เส้นตรงสองเส้นขนานกันและ t = DEB t มีเส้นตัดแล้วมุมภายนอกและ ACB มุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบน ข้างเดียวกันของเส้นตัดจะมี ขนาดเท่ากัน) t = DBE t และ ABC (มุมร่วม) ดังนั้น ∆ABC ~ ∆DBE (รูปสามเหลีย่ มสองรูปมีขนาด ของมุมเท่ากันเป็นคูๆ่ สามคู)่ AC BC จะได้ว่า = BE DE 1.4x106 = 1.5x108 x 3.5x103 x = 3.75 x 105 ดวงจันทร์อยู่ห่างจากดวงอาทิตย์เป็นระยะทาง CE = CB – EB = 1.5 x 108 - 3.75 x 105 = 1.49625 x 108 ดังนั้น ดวงจันทร์อยู่ห่างจากดวงอาทิตย์เป็นระยะทาง 1.49625 x 108 กิโลเมตร ตอบ 49 49
ความคล้าย 1. รูปเรขาคณิตที่คล้ายกัน รูปที่คล้ายกัน คือ รูปที่มีรูปร่างเหมือนกัน แต่มีขนาดเท่ากันหรือต่างกัน
รูปต้นแบบ
ภาพที่มีขนาด เท่ากับรูปต้นแบบ
ภาพย่อ
ภาพขยาย
เมื่อรูปเรขาคณิต A และรูปเรขาคณิต B เป็นรูปที่คล้ายกัน จะเขียนว่า รูปเรขาคณิต A ~ รูปเรขาคณิต B อ่านว่า รูปเรขาคณิต A คล้ายกับรูปเรขาคณิต B สมบัติความคล้าย สมบัติความคล้ายของรูปเรขาคณิต A, B และ C ใดๆ เป็นดังนี้ 1. สมบัติการสะท้อน : รูปเรขาคณิต A ~ รูปเรขาคณิต A 2. สมบัติสมมาตร : ถ้ารูปเรขาคณิต A ~ รูปเรขาคณิต B แล้ว รูปเรขาคณิต B ~ รูปเรขาคณิต A 3. สมบัติถ่ายทอด : ถ้ารูปเรขาคณิต A ~ รูปเรขาคณิต B รูปเรขาคณิต B ~ รูปเรขาคณิต C แล้ว รูปเรขาคณิต A ~ รูปเรขาคณิต C รูปหลายเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รูปหลายเหลี่ยมสองรูปนั้นมี 1. ขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ ทุกคู่ และ 2. อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน
ความคล้าย
2. สามเหลี่ยมคล้าย
รูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นมี 1. ขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ ทุกคู่ และ 2. อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน X
A
B
C Y
Z
จากรูปจะได้ว่า และ ดังนั้น รูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นมี ขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่ X
A
B
จากรูปจะได้ว่า ดังนั้น
C Y
Z
ความคล้าย
2. สามเหลี่ยมคล้าย
ถ้าอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่ของรูป สามเหลี่ยมสองรูปเป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเป็น รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน X
A
B
Z
C Y
จากรูปจะได้ว่า ดังนั้น ถ้าอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันสองคู่ของรูป สามเหลี่ยมสองรูปเป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน และมุมระหว่างด้านคู่ที่สมนัย กันของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันแล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเป็นรูป สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน X
A
B
จากรูปจะได้ว่า ดังนั้น
C Y
Z
ความคล้าย
3. การน�ำไปใช้
นิดาต้องการทราบความสูงของหอไอเฟล เมื่อนิดาเดินเข้าไปใกล้หอไอเฟล โดยยืนอในแนวเดียวกับหอไอเฟล นิดาวัดเงาของเขาทอดยาว 0.2 เมตร และเงา ของหอไอเฟลยาว 43.2 เมตร ถ้านิดาสูง 1.5 เมตร หอไอเฟลสูงเท่าไร
วิธีท�ำ จากข้อมูลในโจทย์ เขียนแผนภาพได้ดังนี้ A E
B
D
C
ให้ h แทนความสูงของหอไอเฟล เนื่องจาก (มุมร่วม) (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น ∆ABC ~ ∆EDC จะได้
ดังนั้น หอไอเฟลสูง 324 เมตร
ตอบ