SISTEMAS DE CONTROL
Autor: Raul Álvarez
Un sistema de control discreto es estable si posee todos los polos de su función de transferencia en el interior del circulo de radio unidad en el plano de la transformada Z
La condición de estabilidad consiste en que estos polos deben estar ubicados en el interior del circulo unitario, si algún polo esta situado sobre la circunferencia unitaria el sistema es críticamente estable, cabe destacar que los ceros no afectan la estabilidad por lo cual pueden localizarse en cualquier lugar del plano Z.
- Determinar la ecuación E(z), señal de error. - Sustituir R(z) por la transformada correspondiente al escalón (Error de Posición), a la rampa de velocidad y parabólica (Error de Aceleración). - Evaluar el limite Css = Lim Z 1 (1-Z-1) (Teorema del Valor Final.
T(r) es el tiempo que se requiere para que la respuesta pase del 10 al 90% del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final, para sistemas sub amortiguados de segundo orden por lo general se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%. Para sistemas sobre amortiguados suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90% se obtiene haciendo: C(t) = 1.
el sobrepaso máximo es el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo. Se define mediante:
La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa del sistema.
Un diagrama de bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente posee dos graficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra que corresponde con la fase. Recibe su nombre de Hendrik Wade Bode el científico norte americano que lo desarrollo.
El diagrama de Bode consiste en 2 trazas por separado, la magnitud logarítmica G(jv) en función del logaritmo de v y el ángulo de fase G(jv) en función del logaritmo de v. La traza de la magnitud logarítmica se basa en la factorización de G(jv), de tal forma que funciona en el principio de sumar los términos individuales factorizados, en vez de multiplicar los términos individuales.
°
˂ ˂
°
𝑧=
1+𝑤 1−𝑤
1+𝑤 1+𝑤 𝑃 =9 1−𝑤 1−𝑤
3
1+𝑤 + 9,5 1−𝑤
2
+9
1+𝑤 +1=0 1−𝑤
1+𝑤 9 1 + 𝑤 3 9,5 1 + 𝑤 2 9 1 + 𝑤 𝑃 = + + +1=0 1−𝑤 1−𝑤 3 1−𝑤 2 1−𝑤 1+𝑤 9 1+𝑤 𝑃 = 1−𝑤
𝑃
𝑃
3
+ 9,5 1 + 𝑤
2
1−𝑤 +9 1−𝑤 1−𝑤 1−𝑤 3
2
+ 1−𝑤
3
=0
1+𝑤 = 9 1 + 3𝑤 + 3𝑤 2 + 𝑤 3 + 9,5 1 + 2𝑤 + 𝑤 2 1 − 𝑤 + 9 1 + 𝑤 1 + 2𝑤 + 𝑤 2 + 1 − 3𝑤 + 3𝑤 2 − 𝑤 3 = 0 1−𝑤 1+𝑤 = 9 + 27𝑤 + 27𝑤 2 + 9𝑤 3 + 9,5 1 − 𝑤 + 2𝑤 − 2𝑤 2 + 𝑤 2 + 𝑤 3 + 9 1 − 2𝑤 + 𝑤 2 + 2𝑤 2 + 𝑤 3 1−𝑤 +1 − 3𝑤 + 3𝑤 2 − 𝑤 3 = 0 𝑃
1+𝑤 = 9 + 27𝑤 + 27𝑤 2 + 9𝑤 3 + 9,5 − 9,5𝑤 + 19w − 19w 2 +19𝑤 2 + 9,5𝑤 3 +9 − 18𝑤 + 9𝑤 2 + 18w 2 + 9𝑤 3 + 1 − 3𝑤 + 3w² − w³ = 0 1−𝑤
𝑤 3 + 6𝑤 2 + 12𝑤 + 8 = 0
8𝑤 3 + 48𝑤 2 + 96𝑤 + 64 = 0 𝑤 3 + 6𝑤 2 + 12𝑤 + 8 = 0
6 ∗ 12 − 2 ∗ 1 64 32 𝐶0 = = = 6 6 3
𝐶1 =
6∗0−1∗0 =0 6
32 ∗8−0 3 𝐶0 = =8 32 3
°
𝐺 𝑠 .𝐻 𝑠 =
𝐶(𝑠 𝐸 𝑠
𝐶 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝐻 𝑠 . 𝐸(𝑠
𝐸 𝑠 = 𝑅 𝑠 − 𝐺 𝑠 . 𝐻 𝑠 . 𝐸(𝑠 . 𝐷(𝑠 𝐸 𝑠 1 + 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 .𝐷 𝑠 𝐸 𝑠 =
= 𝑅(𝑠
𝑅(𝑠 1 + 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 .𝐷 𝑠
𝑆𝑅(𝑠 𝑠→0 1 + 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 . 𝐷 𝑠
𝑒𝑠𝑠 = lim 𝑆𝐸 𝑠 = lim 𝑠→0
𝐾𝑎 = lim𝑠 2 . 𝐺 𝑠 . 𝐻 𝑠 . 𝐷(𝑠 𝑠→
𝑅1 𝑠 𝑒𝑠𝑠 = lim 𝑠→0 1 + 𝐺 𝑠 . 𝐻 𝑠 . 𝐷(𝑠
𝑅3 𝑠3 𝑒𝑠𝑠 = lim 𝑠→0 1 + 𝐺 𝑠 . 𝐻 𝑠 . 𝐷(𝑠
𝑠
𝑅1 𝑠→0 1 + 𝐺 𝑠 . 𝐻 𝑠 . 𝐷(𝑠
𝑠
𝑒𝑠𝑠 = lim
𝑒𝑠𝑠 = lim
𝑅1. 𝑠 2 𝑒𝑠𝑠 = lim 2 𝑠→0 𝑠 + 𝑠 2 . 𝐺 𝑠 . 𝐻 𝑠 . 𝐷(𝑠
𝑒𝑠𝑠 = lim
𝑒𝑠𝑠 =
0 0 → 𝑒𝑠𝑠 = 0 + 𝐾𝑎 𝐾𝑎
𝑅3
𝑠→0 𝑠 2 (1
+ 𝐺 𝑠 .𝐻 𝑠 .𝐷 𝑠
𝑅3 𝑠→0 𝑠 2 + 𝑠 2 𝐺 𝑠 . 𝐻 𝑠 . 𝐷 𝑠
𝑒𝑠𝑠 =
𝑅3 lim 𝑠 2 + lim 𝑠 2 𝐺 𝑠 . 𝐻 𝑠 . 𝐷 𝑠 𝑠→0
𝑒𝑠𝑠 =
𝑠→0
𝑅3 𝑅3 = 0 + 𝐾𝑎 𝐾𝑎
→
𝐾𝑎 =
𝑅3 𝑒𝑠𝑠
SISTEMAS DE CONTROL
Autor: Raul Álvarez