TRIGONOMETRÍA Raymond Barroso 5º “F”
ORIGEN Y SIGNIFICADO DE LA PALABRA TRIGONOMETRÍA • La trigonometría es una rama de las tantas ramas de matemáticas, se encarga de estudiar y analizar la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos. Para esto recurre generalmente a las llamadas razones trigonométricas. El origen de la palabra trigonometría desciende del griego “trigonos” (triángulo) y “metros” (metria).
1. Definición, elementos y propiedades Definición: (y)
+ + + (-)
X’
-
-
-
- 0 -
+ +
+ + +
Esta circunferencia trigonométrica sirve para representar a las líneas trigonométricas
x2 + y 2 = 1
+
Es una circunferencia inscrita en un sistema de coordenadas rectangulares cuyo centro coincide con el origen de dicho sistema, esta circunferencia tiene como característica fundamental, el valor del radio que es la UNIDAD (R = 1).
X
Y’
Elementos de la circunferencia Se tiene los siguientes elementos: I.
O (0 ; 0): Origen de la circunferencia.
II.
A(1 ; 0): Origen de arcos, a partir del cual se miden los ángulos trigonométricos, es decir, ángulos positivos, negativos y de cualquier magnitud.
(+) B(0;1)
(-) A’(-1;0)
(+) 0
A(1;0)
III. B (0 ; 1): Origen de complementos.
IV. A’ (-1 ; 0): Origen de suplementos. V.
B’ (0 ; -1): Sin denominación específica. P (x ; y): “P” de coordenadas (x ; y)
(-) B’(0;-1)
Propiedades de la circunferencias a) b) c)
Radio de la circunferencia igual a la UNIDAD. g Cuatro cuadrantes, cada uno de los cuales mide 90º, 100 ó π/2 rad. Se adoptan los signos de los ejes coordenadas, o sea, los segmentos OA´ y OB´ son negativos. Por formula:
x2 + y2 = 1
A
θ = L ; R=1 R
Arco
L 0
θ = L ; θ =L
B
tg 45º Ángulo en grados sexagesimales
1
tg= π 4
rad
Ángulo en radianes
tg π
tg 0,7854 = 1
Arco numérico
Número real ( R)
4
2. Líneas trigonométricas. • Línea seno
Representación: Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro horizontal.
B
P(x;y) 1 θ A’
PQ OQP: Sen θ= OP
• En el
=
A 0
Q
. . .
B’
Sen θ = y
y 1
Análisis de la línea seno • Valores Cuadrantales. +∞ -------------------------- 1
90º
0º 360º
180º
0
• Variación cuadrantal.
-------------------------270º
-1 ≤ Sen α ≤ 1
-∞
-1
Línea Coseno • Representación:
B
P(x;y) 1
θ A’
0
-----------------------
N
Q
A
Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro vertical. • En el
NP PNO: Cos θ= OP
=
x 1
B’
. . .
Cos θ = x
• De la figura: Cos AP = Cos θ = NP = x
Análisis de la línea coseno 90º
0º
0
-1 ≤ Cos α ≤ 1
1
-1
270º
--------------------------
--------------------------
180º
-∞
• Valores Cuadrantales.
360º
• Variación cuadrantal.
+∞
Línea Tangente T( 1 ; y1 )
B
P
θ A’
A 0
1
B’
• Representación: Es una parte de la tangente geométrica trazada por el origen de arcos A(1;0), se empieza a medir de este origen y termina en la intersección de la tangente geométrica con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco. • En el
AT TAO: Tg θ = OA
. . .
=
y1 1
Tg θ = y1
Análisis de la línea tangente • Valores Cuadrantales.
+∞ --------------------
0º
-----------------------------
90º
Tg
0
90º
180º
270º
0
---------0º 180º
0
360º
-----------270º
-∞<
-------------------------------------------------------
Tg α < +∞
-∞
• Variación cuadrantal.
360º 0
Línea cotangente • Representación:
B
T( x1 ; 1 )
θ
P
A’
θ 0
A 1
Es una parte de la tangente que pasa por el origen de complementos B(0; 1), se empieza a medir a partir de ese origen y termina en la intersección de la tangente mencionada con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco. • En el
B’
TBO:Cotg θ = . . .
x BT = 1 1 BO
Cotg θ = x1
• De la figura: Cotg AP=Cotg θ = BT = x1
Análisis de la línea cotangente 0
-------------------------------------------------------
90º
+∞
------------
----------
------------------------------------------------
-∞
• Valores Cuadrantales. 0º
cotg
90º
180º
270º
360º
0
0
0
0
• Variación cuadrantal. 0º 360º
180º
270º
-∞<
Cotg α < +∞
Línea Secante • Representación: Es una parte del diámetro prolongado que pasa por el origen del arco, se empieza a medir del centro de la circunferencia y termina en la intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco:
.
. .
Sec θ = x2
B
P
θ
1
A’
θ
0
A
B’
T( x2 ; 0 )
Análisis de la línea secante
• Valores Cuadrantales. 90º
Sec ≤ -1 U Sec ≥ 1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------
---------------------------------------------------------------
270º
+∞ 1 -1
-∞
• Variación cuadrantal.
1 -1 1 Sec
360º 270º 180º 90º 0º
Línea Cosecante. • Representación:
T( 0 ; x2 )
Es una del diámetro prolongado que pasa por el origen de complementos, se empieza a medir en el centro de la circunferencia y termina en la intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco.
θ
B
P
1 θ 0
A
En el
OPT : Cosec θ . . .
B’
=
A’
y OT = 2 1 OP
Cosec θ = y2
De la figura: Cosec AP = Cosec θ = OT = y2
Análisis de la línea cosecante +∞ • Valores Cuadrantales.
--------------------------------------------
0º
----------------------------------------------------------180º
1
Cosec
90º
180º
270º
1
360º
-1
0º 360º
--------------------------------------------------------------
• Variación cuadrantal. -1
----------------------------------------------∞ Cosec ≤ -1 U Cosec ≥ 1
Cuadrante
Variación
Comportamiento
Signo
Q1
+∞ a 1 Decreciente
(+)
Q2
1 a +∞ Creciente
(+)
Q3
-∞ a -1 Creciente
(-)
Q4
-1 a -∞ Decreciente
(-)
Transformar grados sexagesimales en grados minutos y segundos
El teorema de Pitágoras En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:
•Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º. •En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.
Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Razones trigonomĂŠtricas de un Angulo cualquiera
Signos de razones trigonomĂŠtricas
Unidades de medida de รกngulos
Relaciones entre las razones de ciertos รกngulos
Reducciรณn de รกngulos al primer cuadrante
Aplicaciones en la topografĂa
Ángulos de elevación y Angulo de Depresión Son ángulos formados por dos líneas imaginarias llamadas: línea visual o línea de visión y la línea horizontal. En estos casos, el observador se encuentra por debajo del objeto observado o bien, se encuentra por encima de dicho objeto. Para estas mediciones se utilizan sencillos aparatos que colocados sobre un trípode ( 3 puntos determinan un solo plano) el simple giro realizado de la mirilla sobre el punto a observar nos señala los grados girados respecto a la horizontal:
ANGULO DE ELEVACION
ANGULO DE DEPRESION En el caso del รกngulo de depresiรณn, el observador se encuentra por encima del lugar a observar y del modo anterior su representaciรณn podemos hacerla del modo siguiente
Ă ngulos dobles
Angulo mitad
Suma y diferencia de angulos
Identidades TrigonomĂŠtricas
SENO (X)
CARACTERISTICAS 1. Dominio: IR Recorrido: [-1, 1] 2. El período de la función seno es 2 π. 3. La función y=sen x es impar, ya que sen(-x)=-sen x, para todo x en IR.
4. La gráfica de y=sen x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n π. Para todo número entero n. 5. El valor máximo de senx es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la función y=senx es 1.
COSENO (X)
CARACTERISTICAS 1. Dominio: IR Recorrido: [-1, 1] 2. Es una función periódica, y su período es 2 π. 3. La función y=cosx es par, ya que cos(-x)=cos x, para todo x en IR.
4. La gráfica de y=cosx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =2/π+n π , para todo número entero n. 5. El valor máximo de cos x es 1, y el valor mínimo valor es -1. La amplitud de la función y=cosx es 1.
TANGENTE(X)
CARACTERISTICAS
1. Dominio:
Recorrido: IR 2. La función tangente es una función periódica, y su período es π. 3. La función y=tan x es una función impar, ya que tan(-x)=-tan x. 4. La gráfica de y=tan x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x=n π , para todo número entero n.
COSECANTE (X)
CARACTERISTICAS
SECANTE (X)
CARACTERISTICAS
COTANGENTE (X)
CARACTERISTICAS
Breve historia de la trigonometría
Hace unos 4000 años en Babilonia (antiguo reino localizado en la región de Mesopotamia) y Egipto se determinó y establecieron aproximaciones de medidas de ángulos y de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos para ampliar y desarrollar medidas tanto en la agricultura como en la construcción de pirámides. Los egipcios fijaron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Además se utilizaba la trigonometría para el estudio de la astronomía. Antiguamente la astronomía se ocupaba de la observación y predicciones de los movimientos de los objetos visibles a simple vista y en el estudio de la predicción de las rutas y posiciones y perspectivas de los cuerpos en el espacio, para luego progresar y perfeccionar la exactitud en la navegación y el cálculo del tiempo así como los calendarios. La astronomía precolombina poseía calendarios muy puntuales y las pirámides de Egipto fueron construidas sobre patrones astronómicos muy exactos y puntuales.
Luego de Egipto y Babilonia, el estudio de la trigonometría se asentó en Grecia, donde podemos nombrar al matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, quien fue uno de los principales y más importantes desarrolladores de la Trigonometría. Este matemático construyó una tabla de cuerdas para solucionar triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y aproximándose hasta 180° con ampliaciones de 71°, la tabla facilitaba la longitud de la cuerda limitada por los lados del ángulo central ya que fragmentaba a una circunferencia de radio r. Hasta el momento no se conoce el valor que Hiparco utilizó para r. 300 años mas tarde, el astrónomo griego Tolomeo utilizó r = 60, ya que los griegos tomaron el sistema numeral (base 60) que era usado por los babilonios. Durante varios siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción primordial para los astrónomos. El libro de astronomía, Almagesto, escrito por él, igualmente poseía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, presentando también el catálogo estelar más perfecto y completo de la antigüedad. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue también obra de Tolomeo.
En India y Arabia la trigonometría era utilizada en la Astronomía. El primer uso de la función seno, aparece en el Shulba o Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Se desarrollo entonces un sistema trigonométrico que estaba basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función nueva función, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa. A finales del siglo X ya habían se habían completado la función seno y las otras cinco funciones trigonométricas. En el siglo XII comienzan a aparecer en Europa traducciones de libros de matemáticas y astronomía árabes, hecho que lleva a la familiarización con la trigonometría. El primer trabajo significativo en esta materia en el continente Europeo fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller. Se le considerada fundador y un importante innovador en esta materia, puesto que detalla y crea varias herramientas de gran utilidad, así como importantes tratados como De triangulis y Epitome in Almagestum en el cual explica, analiza y muestra la obra de Tolomeo. Durante el siglo XII el astrónomo alemán Georges Joachim, introdujo el concepto moderno de las funciones trigonométricas como proporcionales en vez de longitudes de algunas determinadas líneas. Ya en el siglo XVI el matemático francés François Vieté, incorpora en su tratado “Canon matemáticas” el triángulo polar en la trigonometría esférica.
A comienzos del siglo XVII, el matemático escocés John Napier descubrió los logaritmos que el llamó “números artificiales”. Esto fue trascendental en el desarrollo de la trigonometría. A mediados del siglo XVII el físico, inventor, alquimista y matemático inglés, Isaac Newton descubre el cálculo diferencial e integral. También contribuyó en otras áreas de la matemática, por ejemplo desarrollando el teorema del binomio o las fórmulas de Newton-Cotes. En el siglo XVIII, el físico y matemático suizo Leonhard Euler, explicó que las propiedades de la trigonometría eran consecuencia de la aritmética de los números complejos. Estudió además la notación actual de las funciones trigonométricas y se le atribuye el descubrimiento de la letra e como base del logaritmo natural, así como la unidad imaginaria que generalmente se denota con la letra i. Euler también popularizó El número pi ( π ). Durante el siglo XX la trigonometría ha realizado muchos aportes en el estudio de los fenómenos de onda y oscilatorio, así como el comportamiento periódico, el cual se relaciona con las propiedades analíticas de las funciones trigonométricas. En astronomía se utiliza para medir distancias a estrellas próximas, para la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación satelital.
Referencias Bibliográficas Historia de la trigonometría | La Guía de Matemática http://matematica.laguia2000.com/general/historia-de-la-trigonometria#ixzz4j31MjySK https://es.slideshare.net/frankoxy/circunferencia-trigonometrica-5e?next_slideshow=1
https://es.slideshare.net/marferlu/trigonometria-presentation-870210?qid=1db41e2b5469-44d0-ab72-b631e44a0af8&v=&b=&from_search=1 https://www.google.co.ve/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja &uact=8&ved=0ahUKEwiIxthh6jUAhUI7SYKHXsGDdsQjRwIBw&url=https%3A%2F%2Facademiamgh.wordpress.com %2Ftag%2Fformulas%2F&psig=AFQjCNGRq58Ci2EZypirgkNFN2DO3uWdQ&ust=1496798428515137
https://www.google.co.ve/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&ua ct=8&ved=0ahUKEwi0iuCljKjUAhWB6iYKHep9AVMQjRwIBw&url=https%3A%2F%2Fes.slides hare.net%2Ftoribio99%2Fecuaciones-trigonometricas34411439&psig=Ahttps://es.slideshare.net/fabianvidal/graficas-de-las-funcionestrigonometricas-9504161?qid=8ea90c9c-0ffe-4e14-80501b3aa41555b7&v=&b=&from_search=3FQjCNF87iP8h318JEexijE4D9IvsdDHhw&ust=14967 99893782610