Vectores by raymond

VECTORES

Raymond Barroso

Definiciรณn de vector extremo

Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Una magnitud vectorial es aquella que posee mรณdulo, direcciรณn y sentido origen Raymond Barroso

Mรณdulo del vector Es la longitud del segmento AB, se representa por

Direcciรณn del vector Es la direcciรณn de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella. Sentido del vector El que va del origen A al extremo B. Viene dado por la punta de la flecha Raymond Barroso

Sentido del vector

Dos puntos A y B determinan dos vectores fijos y de igual magnitud y de igual direcciรณn, pero con sentido distinto, que se llaman vectores opuestos. Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden

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NotaciĂłn de un vector

â&#x20AC;˘ Una magnitud vectorial se designa con una flecha encima. â&#x20AC;˘ Ej:

Ő&#x153; đ??š

đ?&#x2018;&#x2030;

đ?&#x2018;&#x17D;

â&#x20AC;˘ Los componentes de un vector se pueden expresar mediante coordenadas cartesianas ( x, y) o bien mediante coordenadas rectangulares: xĂŽ + yÄľ Ejemplo: un vector cuyas componentes rectangulares son 2ĂŽ - 4Äľ, se representarĂĄ mediante coordenadas cartesianas por (2, -4) Raymond Barroso

Módulo de un vector

• El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. • El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero

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CĂĄlculo del mĂłdulo conociendo sus componentes:

Ő&#x153;

Sea đ?&#x2018;˘ un vector cuyas coordenadas cartesianas vienen dada por: Entonces, aplicando el teorema de PitĂĄgoras, tenemos que el mĂłdulo del vector es:

Ejemplo. Calcular el mĂłdulo del vector:

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Cรกlculo del mรณdulo conociendo las coordenadas de los puntos

Y2 - Y1

X2 - X1

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Ejemplo:

Calcular el mรณdulo del vector cuyas coordenadas son:

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Componentes rectangulares o componentes de un vector Todo vector se puede escribir o identificar como la suma de otros dos perpendiculares entre sí (ortogonales), puestos en un plano cartesiano. Los vectores que se suman deben estar en alguno de los ejes y sus valores respectivos son las componentes rectangulares del vector resultante. Las componentes rectangulares se llaman así porque se fundamentan en la construcción de un rectángulo.

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Dos vectores perpendiculares originan un tercero. En la imagen de arriba se puede ver que el vector A , no es más que la suma de un vector en el eje "X" (valor 3) y otro en el eje "Y" (valor 6). A cada uno de estos vectores se le conoce con el nombre de componente, así el vector Ax es la componente "X" (valor 3) del vector A, y el vector Ay es la componente “Y” (valor 6) del mismo vector A; por lo tanto, este vector A = (3, 6).

Ojo: Insistimos: estos valores (3, 6) representan las componentes del vector resultante, no confundir con puntos de coordenadas en un plano (con los cuales pueden ser coincidentes). Profundicemos en las componentes de un vector.

Para realizar operatoria algebraica con vectores es imprescindible hacerlo usando los valores de sus componentes, por ello resulta tan importante entender y saber cuáles son esas componentes y cómo se reconocen. En la imagen abajo, el vector v tiene origen en P = (2; 1) y su extremo en Q = (4; 4) Raymond Barroso

Ojo: Nótese que aquí los pares de dígitos representan cada uno una coordenada en el espacio del plano cartesiano. Luego, en el gráfico siguiente vemos que vx y vy son las proyecciones del vector sobre los ejes y son las componentes de dicho vector

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Como dato para el futuro próximo, el valor de los componentes será el valor de los catetos del triángulo rectángulo que se puede formar para calcular el valor numérico del vector (que será la hipotenusa). Entonces, el vector v puede describirse con sus componentes:

De nuevo: No hay que confundir las componentes del vector con las coordenadas de un punto.

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Ejemplos de vectores con sus componentes.

V = (–4, –2) Tenemos el vector v cuyas componentes son –4 y –2 Las componentes de un vector se pueden obtener visualmente trasladando el origen del vector hacia el origen (0, 0) del plano. Pero las componentes del vector también se pueden obtener restando a las coordenadas de su extremo las coordenadas de su origen. En el ejemplo anterior: Coordenadas del extremo (–2, 1) menos ( – ) coordenadas del origen (2, 3) (–2 –2) = –4 (1 – 3) = –2 Raymond Barroso

Vectores equipolentes Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual mรณdulo, direcciรณn y sentido.

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Vectores libres El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sĂ se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo mĂłdulo, direcciĂłn y sentido.

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Vectores fijos Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo mรณdulo, direcciรณn, sentido y origen.

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Vectores ligados Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y se encuentran en la misma recta.

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Vectores opuestos Los vectores opuestos tienen el mismo mรณdulo, direcciรณn, y distinto sentido.

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Vectores unitarios Los vectores unitario tienen de módulo, la unidad. Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado se divide éste por su módulo.

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Vectores concurrentes Los vectores concurrentes tienen el mismo origen

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Vector de posiciรณn El vector vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posiciรณn del punto P.

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Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres del plano son linealmente independientes si existe una combinaciรณn lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinaciรณn lineal.

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Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinaci贸n lineal de los otros.

a1 = a2 = 路路路 = an = 0 Raymond Barroso

Vectores ortogonales Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.

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Vectores ortonormales Dos vectores son ortonormales si: 1. Su producto escalar es cero. 2. Los dos vectores son unitarios.

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Suma de vectores Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

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Ejemplo: dados los vectores a, b, c y d: a

SĂşmelos:

b c

d Raymond Barroso

Regla del paralelogramo Se toman como representantes dos vectores con el origen en comĂşn, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniĂŠndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

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Propiedades de la suma de vectores Asociativa

Conmutativa Elemento neutro

Elemento opuesto

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Resta de vectores

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Producto de un escalar por un vector El producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original. Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector. Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:

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Ejemplo

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Producto vectorial El producto vectorial es una multiplicación entre vectores que da como resultado otro vector ortogonal a ambos. Dado que el resultado es otro vector, se define su módulo, dirección y sentido. El módulo se calcula como el producto de los módulos de los vectores multiplicado por el seno del ángulo que los separa.

La dirección es sobre la recta ortogonal a ambos vectores, es decir que forma 90 grados con los mismos. El sentido se calcula con la regla de la mano derecha, en donde el pulgar indica el sentido del vector resultado. Esto quiere decir que en el producto vectorial importa el orden en que se multiplican los vectores, ya que determina el sentido del vector resultado

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Combinación lineal de vectores Dados dos vectores: vector y vector, y dos números: a y b, el vector vector se dice que es una combinación lineal de vector y vector. Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

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El vector

, ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectores

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

El vector vector, ?

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¿se puede expresar como combinación lineal de los vectores

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HISTORIA DE LOS VECTORES El antecesor del vector es el cuaterniòn que es un número complejo que puede expresarse como un conjunto y este conjunto a su vez estaba formado por dos partes, una parte real y una parte imaginaria y que solo indican una dirección todo esto planteado gracia a los aportes del irlandés William Hamilton. Como se fueron empleando los cuaterniones fueron apareciendo problemas aseguro Lord Kelvin , pero lo que Lord Kelvin estaba equivocado ya que él no sabía que cuando en el cuaternion se trabajaba la parte real y la parte imaginaria se manejaban al mismo tiempo , esto origino que muchos científicos se dieran cuenta de que muchos de estos problemas se podían manejar analizando cada una de las partes por separado originando así el análisis vectorial, el análisis vectorial se lo debemos en general al físico norteamericano Gibbs.

Raymond Barroso

BibliografĂa http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Vectores_plano_cartesiano.html https://es.slideshare.net/dinoflagelado/vectores-en-el-plano-25501401 http://www.geoan.com/vectores/multiplicacion.html http://www.fisicapractica.com/vectores.php http://www.vitutor.com/geo/vec/b_3.html https://es.slideshare.net/royjesuslopezdamian/historia-de-los-vectores

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