Matemáticas: álgebra
Mauricio Rubiano
ÁLGEBRA 1. USO DE LAS LETRAS Cuando en las operaciones se usan números se dice que es un “lenguaje numérico”. Cuando en las operaciones se utilizan números y letras, se dice que se usa un “lenguaje algebraico” 2. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA El valor numérico de una expresión algebraica es el que resulta al sustituir las letras por números y realizar las operaciones indicadas. Ejemplo: Calcular el valor numérico de 3a 2 + 6b + c b
a=4 b=-7 c=8
Solución:
3·(4) 2 + 6·(−7) + 8 48 − 42 + 8 14 = = = −2 −7 −7 −7
3. MONOMIO
Monomio Es la expresión algebraica donde no figuran las operaciones de sumar y restar. Un monomio consta de un coeficiente que es el número que multiplica a las letras y de una parte literal, que son las letras con sus respectivos exponentes. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus letras. Monomio
Coeficient e
Parte Literal
Grado
3a 2bc
3
a2bc
4
-4x3y2z
-4
X3y2z
6
3a 2 b 4
3 4
a2 b
3
3x2
3
X2
2
-1-
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4. MONOMIOS SEMEJANTES Monomios semejantes son los que tienen la misma parte literal; es decir, las mismas letras elevadas a los mismos exponentes. 5. SUMA DE MONOMIOS Para sumar monomios semejantes se suman los coeficientes y se deja la misma parte literal. Ejemplo: 3 a2b + 7a2b + 4 a2 b = 14 a2b Si en una suma aparece3n monomios semejantes y otros no semejantes, podemos agrupar los que lo son. Esta operación se denomina reducción de términos semejantes. Ejemplo: 6a2b3 + 7 ab + 8 a2b3 + 4 ab = 14 a2b3 + 11ab 6. RESTA DE MONOMIOS Para restar dos monomios semejantes se suma al minuendo el opuesto del sustraendo: 4x2 - (-5x2) = 4x2 + (5x2) = 9x2 Minuendo sustraendo opuesto al sustraendo Para restar dos monomios semejantes se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal: 3x2y + 2x2y – x2y = (3 +2)x2y – 1 x2y = 5 x2y – x2y = 4 x2y 7. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS El producto de varios monomios es otro monomio cuyo grado es la suma de los grados de los factores y cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes: -2-
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(2x2) · (3x) · (4x3) = (2 · 3 · 4) x2+1+3 = 24 x6 8. DIVISIÓN DE MONOMIOS El cociente entre dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente entre los coeficientes del dividendo y el divisor y cuyo grado es la diferencia entre sus grados: − 8x 3 = [ ( − 8) : 4]·x 3−2 = −2 x 2 4x 9. POTENCIA DE UN MONOMIO Calcular la potencia de un monomio se reduce a calcular la potencia de un producto: (-2x4)2 = (-2)2 · (x4)2 = 4 x8 10.
ECUACIONES
Una igualdad se compone de dos expresiones matemáticas unidas por el sino igual. La expresión que se encuentra a la izquierda del signo igual se llama primer miembro y la que está a la derecha, segundo miembro. Igualdad numérica: 2 + 3 + 5 = 10 Igualdad algebraica: 2x2 + x + 1 = 0 11.
RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
Para resolver ecuaciones de primer grado, llamadas también ecuaciones lineales, se aplican los siguientes pasos: 1º. Quitar paréntesis y simplificar. 2º. Quitar denominadores (si los hubiera) y simplificar. 3º. Transposición de términos y simplificar. 4º. Despejar el coeficiente de la incógnita y simplificar. Despejar la incógnita consiste en traspasar al otro miembro el coeficiente que acompaña a ésta; como está multiplicando pasa al otro miembro dividiendo y viceversa. 4x = 200 x=
200 4
x = 50 La transposición de términos consiste en desplazar términos de un miembro a otro. Si están sumando pasan restando o viceversa. En un -3-
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miembro se agrupan todos los términos con incógnita y en el otro todos los términos independientes. X + 7 = 17 X = 17 – 7 X = 10 Quitar denominadores consiste en hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores y simplificar. x 2x +5 = 4 3 3 x 60 8 x + = 12 12 12 3x 60 8x 12· +12· =12· 12 12 12
m.c.m (4, 3) = 12
3x + 60 = 8x -8x + 3x = - 60 -5x = -60 x=
− 60 −5
x = 12
Quitar paréntesis consiste en aplicar la propiedad distributiva. 2(x + 5) = 9x + 31 2x + 10 = 9x + 31 2x – 9x = 31 – 10 -7x = 21 x=
21 −7
x=-3
12. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ECUACIONES En general cuando nos enfrentamos con un problema los pasos que debemos seguir son: 1º. Comprender perfectamente, con una lectura detallada, el problema, teniendo claro que significan todos los datos y cada uno de los datos que nos están dando y qué es lo que nos piden. 2º. Para poder resolver el problema, que nos viene dado en lenguaje usual, tenemos que traducirlo a lenguaje matemático, esto es, escribir algebraicamente el problema en forma de ecuación de primer grado. 3º. Resolver la ecuación obtenida en dicha traducción. 4º. Analizar los resultados dados en el problema. Comprobando que los datos obtenidos satisfacen las condiciones del enunciado. Ejemplo: Buscar dos números pares consecutivos cuya suma sea igual a 14. 1º número par = 2x = 2 · 3 = 6 2º “ “consecutivo = 2x + 2 = 2·3 + 2 = 8 2x + (2x + 2) = 14 -4-
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2x + 2x + 2 = 14 4x = 14 – 2 4x = 12; Sustituimos en
x=
12 =3 4
x=3
Los números que buscamos son: 6 y 8, si los sumamos nos dan 14 Problemas de edades La edad del padre es triple que la del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno, si ambas edades suman 72 años? Edad del hijo = x edad del hijo = 18 años Edad del padre = 3x edad del padre = 3 · 18 = 54 X + 3x = 72 4x = 72 x=
72 = 18 4
x = 18
Sustituimos Problemas de números consecutivos La suma de dos números impares consecutivos es 156. ¿Cuáles son dichos números? 1º número = x = 77 2º número = x + 2 = 77 + 2 = 79 x + (x + 2) = 156 x + x + 2 = 156 2x = 156 – 2 x=
154 = 77 2
Sustituimos
-5-
x = 77
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ACTIVIDADES 1.
2.
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones: a. 2x + 4y para x = 2, y = -3 2 2 b. 4x – 5xy + y para x = -2, y = 3 Completar la tabla, escribiendo el coeficiente, la parte literal y el grado de los monomios que se indican. Monomio
Parte Literal
Coeficiente
Grado
3x3 -4x3 6a2b3 -7a4b5 -12x3y 3. Efectuar las siguientes sumas de monomios: • 5x4 + 6x4 = • 2x3 + 7x3 + x3 = • 5x2 + x2 + 6x2 = • 3x6 + 5x6 + x6 = 4. Sumar: • 3 a2b + 5 a2b + 6 a2b = • 8 x3y3z2 + x3y3z2 + 4 x3y3z2= 5. Sumar reduciendo los términos semejantes: 2 2 • 3 a b + 4 ab + 5 ab + 2 a b + ab = 3 2 2 3 2 • 4 x + 2 x + 3 x + 5 x + x +8 x + 6x = 3 3 • X y + 4 xyz + 2 x y + 2 xyz = 6. Efectuar las siguientes diferencias de monomios reduciéndolas a sumas: 2 2 • 2x –4x = 3 3 • 3x –8x = 4 • 4x–3x = 4 4 • 4x –3x = 2 2 • - 8 x – 10 x = 7. Efectuar las siguientes diferencias de monomios: -6-
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5 x5 – 4 x 5 = 3 3 • -8x –7x = 6 6 • - 2 x – (-5 x ) = 8. Multiplicar: • 5 x · (-2x) · x = 2 2 • 10 x · 2 x · (-4 x) = • 5x ·(- 4x) · 2x = 2 2 • 3x · 6x · (-x ) 9. Dividir: 50 x 4 • = 25 x 2 •
•
25 x 3 = 5x
•
−15 x 3 = 5x 2
•
− 45 x 4 = 9x
10. Efectuar las siguientes potencias de monomios: a. (2 x2)3 = b. (- 3x)2 = c. (- 4x )2= d. (4x2)3= e. (- 2x)4 = LENGUAJE SIMBÓLICO 11.
Número de ruedas necesarias para fabricar “x” coches.
12.
Número de monedas de 10 céntimos para cambiar por “x” euros.
13.
Número de días de “x” semanas.
14.
Número de patas de un corral de “x” gallinas.
15.
Número de zapatos que hay en una habitación
16.
Número de zapatos que hay en una habitación con “x” personas
17.
Número de dedos de “x” manos.
18.
Número de orejas en una habitación con “x” personas.
19.
Número de personas que hay en una habitación después de llegar dos.
20.
Número de cromos que quedan después de perder 12 en el juego.
21.
Número de lectores de una biblioteca después de irse 8. -7-
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22.
La edad de un padre es triple de la de su hijo.
23.
Un número más dos unidades.
24.
Un número menos dos unidades.
25.
El doble de un número
26.
La mitad de un número.
27.
El doble de un número menos dos unidades.
28.
Restar la mitad de un número al dos.
29.
Añadir dos al doble de un número.
30.
El doble de un número menos su mitad
31.
La mitad de un número menos su doble.
32.
El duplo de un número menos cuatro.
33.
Dos números pares consecutivos.
34.
El triple de un número.
35.
La tercera parte de un número.
36.
La mitad de un número menos su tercera parte.
37.
Repartir una fortuna entre siete hermanos.
38.
El duplo de la edad más 25 años.
39.
La edad de Pedro hace 4 años.
40.
El doble de mi edad menos dos años.
41.
La edad de Juan dentro de 16 años.
42.
La tercera parte de un número más tres unidades.
43.
El triple de un número más su tercera parte.
44.
el cuádruple de un número.
45.
La cuarta parte de un número más su quinta parte.
46.
El quíntuplo de un número dividido entre tres.
47.
Dos números impares consecutivos.
48. 49. 50.
2x + 3 = 5 3x – 5 =6 –5x –3 = 3x -8-
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51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71.
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8x – 3 = 6x 5x + 9 = 6x 3x = 12 X + 8 = 13 X -6 = 5 3 –x = 12 5 = -x + 2 –3=x-6 x – 1 = 25 – x x+4=8–x x – 17 = 28 – 2x 3x – 2 = 4x – 7 6x – 3 = 2x + 1 – 3x + 2 = x + 10 10 + 2x = 7x - 15 2 x + 17 =5 5 30 − 2 x x 3+ =8+ 4 2 3x + 7 1 −1 = − 24 3 3x + 21 = x − 7 7 4x − 6 x 4 = − 5 3 15 x +1 2x + 2 − =1 3 12
72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79.
–5 (6 – 5x) = 5x – 10 16 + 5x = x – 3(4 + x) –3(6 – 6x) – 3 = x – 4 –6x = 3(5x + 8) –3 12 – (x – 3) = 6 9 (x – 1) = 6 ( x + 3 ) 3( 6 + x ) = 2( x – 5 ) 8(x – 2) = 12( x – 3)
80.
2(13 – x) + 3(2 – x) =
81.
1 11x 12 x − 5( x − ) = 3 3 3(2 x + 1) 19 x − 3 x + 1 151 + + = x+ 4 6 3 12 x + 5 = 2 x − 15 3 x −2 =6 3
82. 83. 84.
4+x 5
-9-
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85.
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x = 12 7
86. (x + 28) + 15 =2(x + 15) 87. (2x + 1) = 8 – (3x + 3) 88. 8x – 4 + 3x = 6x + 2x + 12 + 2 89.– 3x + 2 = x + 10 1. PROBLEMAS DE ECUACIONES 2. Halla un número al que sumado 72 resulta su duplo menos 46 unidades. 3. Busca un número cuyo cuádruple es igual al mismo número aumentado en 36 unidades. 4. En una competición de atletismo hay el doble número de atletas de USA que de España. En total hay 213 atletas. ¿Cuántos participantes hay de cada uno de estos países? 5. ¿Qué número sumado con su mitad da 81? 6. ¿Qué número multiplicado por 7 se convierte en 245? 7. Entre dos niños tienen 132 euros y uno tiene 19 euros más que el otro. ¿Cuántos euros tiene cada uno? 8. Una granja tiene el doble número de gallinas que de patos. Si en total hay 1512 animales. ¿Cuántos serán de cada clase? 9. Sumando un número a su mitad y a su duplo nos da como resultado 350. Halla dicho número. 10. El padre de Antonio tiene 38 años y él 6. ¿Dentro de cuántos años la edad de su padre será el doble de la de Antonio? 11. Una fábrica hace 5 bolígrafos azules por cada bolígrafo rojo. Al cabo de una hora han fabricado 37518 bolígrafos. ¿Cuántos serán de cada color? 12. Encuentra dos números pares consecutivos cuya suma sea 442. 13. Josefa tiene 7 años menos que su prima Paulina y dentro de 15 años la suma de sus edades será 53 años. ¿Qué edad tiene cada una? 14. La suma de dos números consecutivos es 137. ¿Qué números son? - 10 -
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15. Sergio tiene 10 años más que su hermana y dentro de 2 años tendrá el doble que ella. ¿cuántos años tienen cada uno? 16. Irene tiene 29 años más que su hija y dentro de 7 años la suma de sus edades será de 51 años. ¿Qué edad tiene cada una? 17. Un padre tiene actualmente triple edad que su hijo. Dentro de 10 años la edad del padre será doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen ambos en la actualidad? 18. En una granja hay entre gallinas y conejos 216 animales. Si el número de conejos es 5 veces el de gallinas. ¿cuántas gallinas y conejos hay? 19. Halla tres números pares consecutivos cuya suma sea 66. 20. Halla tres números impares consecutivos, tales que la suma de los dos últimos sea 92. 21. En un corral hay gallinas y conejos, contándose en total 41 cabezas y 118 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase? 22. Se ha construido 1/5 de la valla de una finca y aun faltan 90 metros para llegar a la mitad ¿Cuál es la longitud total de la valla? 23. Reparte 1200 euros entre cuatro hombres y 6 mujeres de modo que cada hombre reciba 15 euros menos que cada mujer. 24. La base de un rectángulo es tres veces la altura. Si el perímetro es 96 cm. Halla el valor de sus lados. 25. Un ciclista parte carretera adelante a una velocidad de 15 Km/h, veinte minutos después sale otro ciclista en su persecución a 20 Km/h. ¿A qué distancia del punto de partida le alcanzará? 26. La distancia entre A y B es de 245 Km. A las 9 de la mañana, sale de A hacia B un camión a 90 Km/h. Simultáneamente sale de B hacia A un coche a 120 Km/h. Calcular la hora en la que se encuentran y la distancia recorrida por cada uno.
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27. Dos ciudades A y B distan entre si 60 Km. A la misma hora salen de ambas dos coches en distintos sentidos. El que sale de A, a 120 Km/h y el que sale de B a 90 Km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo se encontrarán? 28. Un coche sale de una ciudad A a la velocidad de 90 Km/h. tres horas más tarde sale de la misma ciudad otro coche en persecución del primero con una velocidad de 120 Km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzarlo? y ¿A qué distancia de la ciudad A se producirá el encuentro? 29. Dos ciudades A y B distan entre si 600 Km. De A parte un automóvil hacia B con una velocidad de 40 Km/h. ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse? 30. La suma de dos números es 92 y su diferencia 14. ¿Cuáles son los números? 31. Halla un número tal que restándole dos unidades se obtenga un resultado dos veces mayor que restándole tres. 32. Al triple de un número se le resta 36 y resulta 72. ¿Cuál es el número? 33. Si al doble de un número se le resta 36 y resulta 72. ¿Cuál es el número? 34. Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número? 35. Halla un número que disminuido en 25 de 111 menos el número que se busca. 36. La suma de dos números impares consecutivos es 176. ¿Cuáles son dichos números? 37. La edad del padre es triple de la del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno, si ambas edades suman 72 años? - 12 -
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38. La edad del padre y la del hijo suman 82 años. Cuando el padre tenía la edad que ahora tiene el hijo sus edades sumaban 38 años. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? 39. El padre tiene 32 años y el hijo 8 años. ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que la edad del padre sea el doble que la del hijo? 40. El patio de mi colegio es rectangular y mide 25 m más de largo que de ancho. Si su perímetro es 270. ¿Cuál es su longitud y su anchura? 41. Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 10 manzanas más que le segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en cada cesto? 42. Hace 5 años la edad de un padre era tres veces la de su hijo y dentro de 5 años será el doble. ¿Qué edades tiene ahora el padre y el hijo? 43. Un hombre deja una herencia de 16.500.000 euros para repartir entre tres hijos y dos hijas, y manda que cada hija reciba 2.000.000 más que cada hijo. Halla la parte de cada hijo y de cada hija. 44. Si al doble de la edad que tiene Enrique quitamos el cuádruplo de la que tenía 6 años atrás, resulta su edad actual. ¿Cuál es su edad? 45. La valla que rodea un campo rectangular mide 3200 metros. ¿Cuáles son las dimensiones del campo si su largo es triple que su ancho? 46. Antonio dice a Juan: “El dinero que tengo es el doble del que tienes tú” y Juan contesta: “Si tú me das 6 €, tendremos los dos igual cantidad”. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? 47. Si un número se le suma su doble y su triple resulta 90. ¿Cuál es el número? 48. Ana tiene 2 € más que Berta, Berta tiene 2 € más que Eva y Eva tiene 2 € más que Luisa. Entre las cuatro tienen 48 €.Cuántos euros tiene cada una? - 13 -
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49. La suma de tres números consecutivos es 48. ¿Cuáles son? 50. Una madre tiene 40 años y su hijo 10. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de la madre sea el triple de la del hijo? 51. Si al dinero que tengo ahora le añadiera su mitad y además otros 6 €, tendría 60 €. ¿Cuánto dinero tengo? 52. Juan tiene dos cromos más que Luis, Luis tiene 2 cromos más que Ana y Ana tiene 2 cromos más que Eva. Entre los cuatro tienen 60 cromos. ¿Cuántos cromos tiene cada uno de ellos? 53. Eva tiene el triple de edad que Juan y Pedro 3 años más que Eva: Entre los tres suman 101 años. Calculamos la edad de cada uno. 54. Un padre tiene 80 años y su hijo la mitad. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido desde que la edad del padre era triple de la de su hijo?
PROBLEMA RESUELTO: Los organizadores de un concierto pusieron a la venta cierto número de boletas con precios de $350, $250 y $200. El ingreso total fue $92 000. Se vendieron en igual número las de $250 y las de $200, en tanto que las de $350 representaron 2/3 del total de boletas. Determinar el total de boletas vendidas. Solución:
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